等腰三角形的性质教学反思

等腰三角形的性质教学反思（共19篇）

篇1：等腰三角形的性质教学反思

安排一课时学习等腰三角形的性质，内容很多，课堂容量很大，本课教学后，有很多方面需要总结。

在证明性质时，不再有同学直接用性质证明性质了，这是一个很大的进步，用三种方法研究性质的证明，要用到小组交流，比较发现有三种方法：取中点，用“SSS”证明全等；作垂线，用“HL”证明全等；作角平分线，用“SAS”证明全等。通过这样的教学设计，一方面，体会了辅助线不同的作法，就有不同的证法；另一方面，为性质2“三线合一”的教学提供了方便。不足的是，课堂交流的面可以更宽些。

性质2的应用比较多，初学者往往不能灵活应用这条性质优化证题途径，因此要解读这条性质，由图形训练和规范符号语言，把性质一句话改写成三句话或者六句话。

一句话是“等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合”。

三句话是“

1、等腰三角形的顶角平分线平分底边、垂直于底边；

2、等腰三角形的底边上的中线平分顶角、垂直于底边；

3、等腰三角形的底边上的高平分顶角、平分底边。”

13.3等腰三角形的性质教学反思——《初中数学解题能力与解题策略的研究》课题研究阶段材料六句话是“1等腰三角形的顶角平分线平分底边；2等腰三角形的顶角平分线垂直于底边；3等腰三角形的底边上的中线平分顶角；4等腰三角形的底边上的中线垂直于底边；5等腰三角形的底边上的高平分顶角；6等腰三角形的底边上的高平分底边”。结合图形概括起来就是：在ABc中，AB＝Ac，下列论断∠BAD＝∠cAD，BD＝cD，AD⊥Bc中，有一条成立，另外两条就成立，分六句话，写出推理语言。这里设计了一组填空题，有利于性质2的应用。学生能够整齐地叙述，但还需进一步巩固。

性质在计算中的应用，涉及到方程思想和分类讨论思想，课堂上的训练不是太充分的，安排了两个同学在黑板上板演，提升学习的六道题没有讨论。要培养学生讨论和自觉纠错的学习习惯。

性质在证明中的应用，集体备课安排的两道题很好，先由学生独立思考，多数同学用全等证明，提出问题进行思考“结合新知识，可以不用全等证明吗”，课堂至此，到了思维的最高潮，两道题最优解法的得到是学生取得成功的最好感受，这是我觉得提升学习的一道题可以不要了，留有更多的时间进行课堂小结，本课的课堂小结还应当更充分些。

篇2：等腰三角形的性质教学反思

在新课标中十分强调“过程”这一词，既要重视学生的参与过程，又要重视知识的再现过程。有了学生的参与，课堂教学才显得生机勃勃，学生才会变成课堂学习的主人。知识的再现过程有助于让学生了解所学知识从何而来，解决何种问题，在有限的时间内探究知识，主动获取知识。

本节课重点是让学生通过动手折纸得出“等腰三角形的两底角相等”及“三线合一”的性质。设计理念是让学生通过折纸、猜想、验证等腰三角形的性质，然后运用全等三角形的知识加以论证。使学生思维由形象直观过渡到抽象的逻辑演绎，层层展开，步步深入，从而实现教学目标。授课过程分为4个环节：

⑴ 感受生活中的等腰三角形。在学习本节课之前，学生早已认识了等腰三角形，所以在上课前引导学生寻找“身边的等腰三角形”，带领学生走进《等腰三角形的性质》的知识世界。

⑵ 形象认识等腰三角形的性质。由于等腰三角形的腰、底边、顶角和底角多数学生已提前掌握，因此对于本环节的学习学生感觉很轻松，积极参与探究等腰三角形的性质。

⑶ 通过折纸探究等腰三角形的性质。等腰三角形的“等边对等角”、“三线合一”的性质都是由其具有轴对称性质引出的，学生得出“等腰三角形的两底角相等”较为容易。由于担心“三线合一”的性质学生会感到困难，我特意介绍了三角形中的`角平分线、高线和中线，并且为学生们设计出对应表格，让学生填出“三线合一”的性质。这样做降低了“三线合一”的性质得出的难度，学生较易理解。但是我想如果让学生自主发挥，时间虽然多浪费一些，课堂上不确定因素虽然多了一些，但是学习效果应该会好得多!

⑷ 运用等腰三角形的性质解决实际问题。本节课的另一个重点是学会应用等腰三角形的性质解决实际问题。课堂上，完成了一些角度计算的填空后，侧重于让学生书写解题过程。我感觉到新课标教材中对学生解题步骤书写的规范程度要求比较放松，但是我总是认为如果让学生养成严谨的书写习惯对于培养学生思维的严谨性有很大的帮助，因此经过近一个学期的严格要求和训练，我们班虽然还有一部分学生对此感到困难，但是大多数学生都能够比较顺利地进行解题步骤的书写。

篇3：等腰三角形的性质教学反思

一、教学设想

本课的知识性内容非常简单, 如果单纯从例题出发, 就题讲题, 学生会感到枯燥乏味.为了调动学生学习的积极性, 在处理本课中的例2时, 我从学生平时熟悉、喜欢的内容出发, 让学生从动手操作 (折纸) 做起, 在折纸的过程中探索结论, 即使学生当时折不出来, 也不一下子给予否定, 而是告诉学生, 通过后面的学习, 很快就能折出来, 这样激发了学生的学习兴趣, 促使学生积极探索.在教学中, 教师应放手让学生积极思考, 主动表达自己的想法, 让学生从多角度观察, 多方位思考, 让每一个学生都有收获.

二、教学片断

教师将事先准备好的等腰三角形纸片分发给学生, 然后引导学生探究等腰三角形的相关性质.

师:你能否沿着等腰三角形的一个顶点折一下, 使折出的两个三角形是等腰三角形?请同学们动手折一折.

学生动手折三角形, 并分组讨论、互相交流, 课堂气氛非常活跃.

师:谁能将自己折的图形展示给大家?告诉同学们, 你是怎样折的?

生1: (展示自己的图形) 沿着等腰三角形的顶点折.

生2:不对.沿着顶点折, 得到的是两个全等的直角三角形.

师:谁有其他的想法?

生3:沿着底角对折.

师:为什么?你能说明你折的两个三角形是等腰三角形吗?

生:觉得像 (学生笑) .

师:凭直觉不能让大家心服口服, 证明给大家看吧 (用鼓励的眼光看学生)

生: (思索一会儿) 如果你能告诉我这个等腰三角形的一些条件, 我就能证明出来.

师:不错, 没折出来的同学也不要着急, 学习了下面的例题 (出示课本例2) , 在座的每一位同学都能折出来, 下面请同学们看例题.

【例2】已知在△ABC (如图1) 中, AB=AC, 点D在AC上, 且BD=BC=AD.

求: (1) 图中共有几个等腰三角形.

(2) 图中共有几个相等的角.

(3) △ABC各角的度数.

师:图中共有几个等腰三角形?

生4:共有3个等腰三角形, 即△ABC、△ABD、△BCD.

师:图中共有几个相等的角?

生5:相等的角有:∠A=∠ABD=∠DBC, ∠C=∠ABC=∠BDC.

师:求△ABC各角的度数, 只需利用等腰三角形的性质即可 (板书解题过程) .本题还可以利用方程来解.

师:其实刚才的折纸, 只不过是本例题的变形, 老师提供给大家的等腰三角形非常特殊, 也就是刚才例题中顶角是36°的等腰三角形;请同学们想一想, 从等腰△ABC的一个顶点出发的直线, 将△ABC分成两个等腰三角形, 这样的等腰三角形有几个, 求出△ABC各角的度数.

让学生分小组讨论, 将讨论的结果以图形的形式展示出来.

师: (引导、提示) 顶角是36°的等腰三角形在例题中我们已经求出了.那么, 顶角不是36°的锐角等腰三角形, 顶角是直角、顶角是钝角的等腰三角形该怎样画呢?

教师巡视、指导.

学生互相交流, 画出下面三种图形 (如图2、3、4) .

师:还有没有其他的图形?

生: (沉思不语) .

师:如果同学们有兴趣, 可以课下相互讨论交流, 并求出你所画的三角形的每一个内角的度数.

三、教学反思

1. 注重学生学习兴趣的激发, 营造学生开放学习的氛围

苏霍姆林斯基说:“让学生体验到一种自己在亲身参与掌握知识的情感, 乃是唤起少年特有的对知识的兴趣的重要条件.”在教学中, 要真正落实好学生的主体地位, 引导学生积极主动地参与教学全过程, 把学生推向前台.在教学中, 应当好组织者、引导者、合作者, 为学生创造民主、平等、宽松、和谐的教学环境, 激发学生的学习兴趣, 让兴趣最大限度地吸引学生投入课堂学习, 让学生充满自信、充满热情地学习数学;要留给学生广阔的学习空间, 让学生自主参与、观察、操作、合作、交流、验证, 实现数学再创造.

作为教师, 应为学生营造良好、开放、民主的学习氛围, 激发学生探究与创新的欲望, 使每个学生都积极投入到学习的探究过程中, 通过猜想、探究、尝试、验证等数学活动, 自主参与类似于科学研究的学习活动, 获得亲身体验, 并尝试探究成功, 以此培养学生喜爱质疑、乐于探究、努力求知的习惯, 继而, 在潜移默化中培养学生发现问题、解决问题、发展问题、再解决问题的数学能力.

2. 让学生在学习中获得成功的喜悦

学生在学习过程中的成功体验是他们学习的源泉, 有了成功的体验, 激活学生的内驱力, 才能激发学生学习的主动性, 才能有效地培养学生的自信心.所以, 我在教学中注重让学生自己动手, 小组讨论, 探究结论, 在探究过程中获得成功, 体会学习的快乐.在例题的处理上, 将原题中的一问改成三问, 将难度降低.如果原题中只有第三问, 这对成绩较差的学生来说, 简直无从下手.设计前两个问, 则可让每个学生都能在学习中找到自我, 使不同层次的学生在学习中都有收获.

3. 精心设计, 给学生充足的尝试时间和空间

在以往的教学中, 教师往往为了课堂教学结构的紧凑而忽视留给学生一定的思维时间和空间.这种“赶鸭式”的教学模式只求教学进度, 而忽视了学生思维及探究新知的过程, 扼杀了学生的主体地位.而学生的自主学习和探索需要充足的时间和空间作保障.所以, 教师应给学生提供足够的时间和广阔的空间, 让学生尽情地尝试.这样, 在充足的时空保障下, 学生才能真正经历数学活动的探索过程, 体验从中带来的乐趣, 在大脑细胞的兴奋状态下迸发出创造性的智慧火花.我在讲完例2后的拓展方面, 给学生留了10分钟的时间, 让学生小组讨论、画图, 这对于40分钟的一堂课来讲, 无疑是分量很大的一部分.由于给学生充分的时间思考、探索, 所以学生很好地完成了知识的迁移.

4. 积极参与学生活动, 缩短师生之间的距离

篇4：三角形的性质

■ （2011江西）如图1，在△ABC中，点P是△ABC的内心，则∠PBC+∠PCA+∠PAB=______.

■ 90°.

■ 本题主要考查三角形内角和定理和内心的基本性质. 因为三角形的内心是三角形的三条角平分线的交点，所以PA，PB，PC是△ABC的内角平分线，即∠PBC+∠PCA+∠PAB=■（∠ABC+∠ACB+∠BAC）=180°×■=90°.

■ （2011山东菏泽）将一副三角板按图2所示叠放，则角α等于（ ）

A. 30° B. 45° C. 60° D. 75°

■ D.

■ 本题主要考查三角形的外角性质以及三角板的特殊角． 根据三角板的特殊性容易求得∠1的度数为45°，再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和可求得角α为75°．

■ （2011广东茂名）如图3，两条笔直的公路l1，l2相交于点O，村庄C的村民在公路的旁边建了三个加工厂A，B，D，已知AB=BC=CD=DA=5 km，村庄C到公路l1的距离为4 km，则村庄C到公路l2的距离是（ ）

A. 3 km B. 4 km

C. 5 km D. 6 km

■ B.

■ 本题主要考查角平分线的性质. 由已知能够注意到四边形ABCD是菱形，而菱形的对角线平分对角则成了解题的关键． 根据菱形的对角线平分对角，作出辅助线，即可证得CE=CF=4 km．

■ （2011广西河池）如图4，在△ABC中，AB=AC，∠A=36°，AB的垂直平分线DE交AC于点D，交AB于点E，下述结论错误的是（ ）

A. BD平分∠ABC

B. △BCD的周长等于AB+BC

C. AD=BD=BC

D. 点D是线段AC的中点

■ D.

■ 在△ABC中，AB=AC，∠A=36°，根据等边对等角与三角形内角和定理，即可求得∠ABC与∠C的度数. 又由AB的垂直平分线是DE，根据线段垂直平分线的性质，即可求得AD=BD，继而可求得∠ABD的度数，于是可知BD平分∠ABC. 可得△BCD的周长=BD+CD+BC=AD+CD+BC=AC+BC=AB+BC. 可求得∠BDC的度数，进而求得AD=BD=BC．

■ （2011黑龙江）在△ABC中，BC ∶ AC ∶ AB=1 ∶ 1 ∶ ■ ，则△ABC是（ ）

A. 等腰三角形

B. 钝角三角形

C. 直角三角形

D. 等腰直角三角形

■ D.

篇5：等腰三角形的性质教学反思

本课内容在初中数学教学中起着比较重要的作用，它是对三角形的性质的呈现也是特殊的三角形一种。通过等腰三角形的性质反映在一个三角形中等边对等角，等角对等边的边角关系，并且对轴对称图形性质的直观反映（三线合一）。并且在以后直角三角形和相似三角形中等腰三角形的性质也占有一席之地。通过本节课的教学要求学生掌握等腰三角形的性质定理1、2、3，使学生会用等腰三角形的性质定理进行证明或计算，逐步渗透几何证题的基本方法：分析法和综合法，培养学生的联想能力。而等腰三角形的性质定理是本课的重点，等腰三角形“三线合一”性质的运用是本课的难点

首先，我用生活中的图片引入等腰三角形的基本图形，联系生活，创设问题情境，把问题作为教学的出发点，激发学生的学习兴趣。在本章的开始已经学习了三角形的分类，并且认识了等腰三角形，为了更好地学好本节课，让学生画一个等腰三角形，指出其各部分的名称，然后让学生猜测等腰三角形除了两腰相等以外它还具有哪些性质？猜想形成不成熟的结论∠B=∠C，那么，我们如何来证明呢？为学生提供可探索性的问题，合理的设计实验过程，创造出良好的问题情境，不断地引导学生观察、实验、思考、探索，使学生感到自己就像数学家那样发现问题、分析问题、解决问题，去发现规律，证实结论。发挥学生学习的主观能动性，培养学生的探索能力、科学的研究方法、实事求是的态度,通过引导，学生容易想到可添加辅助线构造全等三

角形来加以证明。通过这样一个过程既培养了学生动口、动手、动脑的能力，也使本节课的难点得以突破，最后师生共同完成证明过程，定理得证。从而由感性认识上升到了理性认识。性质得出后再引导学生观察。既然△ABC≌△ACD，那么∠BAD、∠CAD，BD与CD、AD与BC有什么关系呢？让学生自己去发现、去联想，能充分地发挥学生主观能动性。通过学生自己动手实验得到两个定理的内容，可以使他们比较好的掌握知识、提高学习数学的兴趣，达到了事半功倍之效。在整个教学过程中通过提问，把学生从被动学习步入主动想学的习惯。学完定理，我出示了一组练习，集中学生的注意力，同时为了突出重点，我设计了具有变式性的练习，通过口答、抡答形式来完成，既培养了学生的语言表达能力，又发挥了学生的主体地位，激发了学习兴趣，活跃了课堂气氛。课堂教学，一是注重引入激发兴趣，二是注重教学过程，重视方法，三是注重概括总结，首先我让学业生总结本节课你都学到了哪些知识哪些解题方法、学习方法，然后教师对肯定学生的积极性，在今后的学习中继续发扬，让学生带着成功感走出课堂。作业必做题面向全体学生，注重基本知识的巩固，选做题面向学有余力的同学，培养他们产生学好数学的长久愿望。总之，在整个教学过程中，我遵循着“教师为主导，学生为主体，训练为主线”的原则，在课上的每个环节中通过各种媒体，各种手段，始终注重兴趣的激发，培养学生学习的热情，让他们在轻松愉快中学习知识。总之，在本节教学中，我始终坚持以学生为主体，教师为主导，致力启用学生已掌握的知识，充分调动了学生的兴趣和积极性，使他们最

篇6：等腰三角形性质教学反思

在本节课中，首先，从学生熟悉的亲身经历的现实生活入手，符合学生原有认知结构，营造使学生亲自体验新知识的氛围，创设有利于引向数学问题本质的真实情境，引导学生发现问题、提出问题，激发学生学习兴趣及探究的欲望，显示实际生活中等腰三角形的广泛应用，引出研究等腰三角形的重要性。

其次，通过对折、测量等活动，培养学生的合作意识、探究意识和动手能力。引导学生自主探究、发现、猜想、验证等腰三角形的性质，体验数学的学习活动过程，发展合理推理能力，符合学生认知规律。然后， 在学生经历“实验 --- 发现 --- 猜想 --- 验证”的基础上，引导学生讨论交流， 分别作出不同的辅助线，利用不同的方法证明，猜想， 符合学生的原有知识结构，使学生逐步意识到，结论的正确性需要演绎推理的确认，把证明作为学生探索等腰三角形性质活动的自然延续和必要发展，发展演绎推理的能力，激发学生对数学证明的兴趣，提高学生思维的广阔性和灵活性。

最后，启发引导学生：要证明两个角相等，可以通过构造 两个全等三角形进行证明。在学生独立思考后， 引导学生讨论交流，分别作出不同的辅助线，用不同的 思路、方法 证明性质， 教师对学生及时进行鼓励评价，归纳示范，形成定理，并 揭示 等腰三角形 性质 定理的实质，体会转化思想 ，同时帮助引导学生总结证明两个角相等的方法，开阔学生思路。

篇7：等腰三角形性质教学反思

在教学设计上，我把重点放在了学生交流展示和解疑点评上，由个别形象到一般抽象，体现出了学生从感性认识到理性知识发生发展的认知过程。在教学过程中，我注重引导学生对解题思路和方法进行总结，渗透化归思想与分类讨论数学思想；注重培养学生形成积极探索、主动学习的态度，关注学生学习兴趣和体验，充分体现数学教学主要是数学活动的教学；注重培养学生之间的合作、交流意识与语言表达能力，增强小组合作意识。

存在的问题：

1、本课主要放在学生知识的形成过程上，因此对等腰三角形性质的应用及知识的拓展方面较薄弱，显得深度不够。还需要在习题的设计上来补充体现。

篇8：巧用等腰三角形的性质进行计算

一、与等腰三角形的周长、面积有关的计算

例1如图1, △ABC中, BO、CO分别平分∠ABC和∠ACB, OD∥AB, OE∥AC, BC=15 cm, 求△ODE的周长。

分析:本题需由题意及图形先判断△OBD与△OEC为等腰三角形, 然后很容易就可导出△ODE的周长即为BC的长度。

解:∵OB, OC分别平分∠ABC和∠ACB

∴∠1=∠2, ∠3=∠4

∵OD∥AB, OE∥AC

∴∠1=∠5, ∠4=∠6

∴∠2=∠5, ∠3=∠6

∴OD=BD, OE=EC

∵△ODE的周长=OD+OE+DE

∴△ODE的周长=BD+EC+DE=BC

∵BC=15 cm

∴△ODE的周长为15 cm

例2等腰三角形一腰上的高为1, 这条高与底边的夹角为45°, 求此三角形的面积。

分析:由“此三角形腰上的高与底边的夹角为45°”可知, 这个三角形为等腰直角三角形。因此, 它的面积为

二、与等腰三角形的角的度数有关的计算

例3等腰三角形一腰上的高是腰长的一半时, 底角的度数为_。

分析:在等腰三角形中求角的度数, 很多时候需要考虑顶角是直角、钝角, 还是锐角。此题若分类画出图形来, 问题就会变得很简单。如图2、图3与图4:

由图2可知, 若高BD为腰AB的一半, 则∠A=30°∴底角为75°;由图3可知, 腰上的高即为腰本身, 所以不可能是腰的一半;由图4可知, 若高CD为腰AC的一半, 则∠DAC=30°∴底角为15°。因此, 此题有两个答案:底角的度数为75°或15°。

三、其他类型的计算

篇9：例析对顶三角形的性质

这条性质看似简单，但在求某些复杂图形中多个内角之和时作用可大着呢．请看下面几例．

例1图2是一个星形图案，求∠A+∠B+∠ACE+∠ADB+∠E的大小．

<\192.168.2.1230七年级数学人教版2008年3月分析.tif>[分析：]观察图形，我们发现连接AB、BC、CD、DE、EA都能构成对顶三角形，这样就把求这五个角之和的问题转化为求三角形内角和的问题，而三角形的内角和为180°，问题就轻松解决了．

解：连接CD，则△BOE和△COD是一组对顶三角形.

根据对顶三角形的性质可知，∠B+∠E=∠OCD+∠ODC．所以有

∠A+∠B+∠ACE+∠ADB+∠E

=∠A+（∠B+∠E）+∠ACE+∠ADB

=∠A+（∠OCD+∠ODC）+∠ACE+∠ADB

=∠A+∠OCD+∠ACE+∠ADB+∠ODC

=∠A+∠ACD+∠ADC

=180°．

例2如图3，∠A+∠B+∠BCE+∠ADE+∠E=．

<\192.168.2.1230七年级数学人教版2008年3月分析.tif>[分析：]只要连接CD就可构造出一组对顶三角形，利用对顶三角形的性质和三角形的内角和定理，即可求出这五个角的和．

解：连接CD，则△AOB和△COD是一组对顶三角形，于是可知∠A+∠B=∠OCD+∠ODC．所以有

∠A+∠B+∠BCE+∠ADE+∠E

=∠OCD+∠ODC+∠BCE+∠ADE+∠E

=∠ECD+∠EDC+∠E

=180°．

例3如图4，∠A+∠B+∠BCE+∠ADF+∠E+∠F= ．

<\192.168.2.1230七年级数学人教版2008年3月分析.tif>[分析：]连接CD可构造出一组对顶三角形，利用对顶三角形的性质，可以把求这六个角之和的问题转化为求四边形内角和的问题，而四边形的内角和是360°，于是问题即可解决．

解：连接CD，则△EOF和△COD是一组对顶三角形，于是可知∠E+∠F=∠OCD+∠ODC．所以有

∠A+∠B+∠BCE+∠ADF+∠E+∠F

=∠A+∠B+∠BCE+∠ADF+∠OCD+∠ODC

=∠A+∠B+∠BCD+∠ADC

=360°．

篇10：等腰三角形的性质教学反思

关于《相似三角形的性质（1））》教学反思

九 年级 数学 学科 姓名： 周晓焕

教材分析：

本节课内容是在学生学习了相似三角形的判定和利用相似三角形测高，以及一些关于相似三角形性质的探究等知识的基础上进行的，它既是对前面所学知识的综合应用，也是对相似三角形性质的拓展与延伸.学情分析：

本节课是教材第四章《图形的相似》的第七节，学生对相似三角形的性质已具有一定的认知水平，特别是经历了探索三角形相似的条件及利用相似三角形测高等数学活动后，探索图形的意识明显增强.在此基础上对相似三角形的性质作进一步的研究，无论是思想上还是方法上都具备良好的契机.课后思考

在《相似三角形的性质》的第一课时，主要是导出相似三角形的性质定理1，并进行初步运用，让学生经历相似三角形性质探索的过程，提高数学思考、分析和探究活动能力，体会相似三角形中的变量与不变量，体会其中蕴涵的数学思想。

本节课我从复习相似三角形的判定方法入手，由判定与性质的互逆得到：相似三角形对应角相等，对应边成比例。再由全等三角形中对应的特殊线段的比为1，引出思考：相似三角形对应的特殊线段的比与相似比有什么关系呢？

我从以下四方面着手，让学生更好的掌握本节的内容并进行了总结：

第一、以合作探究的形式展开，即以小组的形式展开，让学生探究发现结论，体验成功的乐趣，培养学生探究问题的科学态度，促进创造性思维的发展。

第二、类比归纳。通过类比归纳，让学生发现其中的异同点，更好的理解并掌握相似三角形对应角平分线的比、对应中线的比都等于相似比，并能用来解决简单的问题。

第三、深入挖掘。通过此方法的探究，让学生能够更加清楚的知道在解决相似三角形的运算问题时，要灵活充分应用相似三角形的有关性质。同时，对培养学生由特殊到一般的思维方法，培养逻辑思维能力和应用能力有很大的作用。

第四、作业的设计。此部分主要是为了巩固学生对相似三角形性质的认识，并增强学生灵活应用相似三角形的性质解决综合问题的能力，以解决本节的教学难点。

在课后评课中，也看到自己的不足。

[每次反思都是一次进步]

[教学反思专用稿]

一、本节课在定理的证明阶段，本来是由小组探讨，教师总结即可，但是由于自己放不开手，怕学生没学会，不由地又把思路讲一遍，造成学生的听力负担，画蛇添足。其实在学校“乐学”课堂的大环境下，我们应该做学生学习的引导者，学生才是真正的学习主人。我们应该更大胆一些，放开一些，让学生有更大的思维空间；达到“授之以渔”的目的。

二、我的教学语言不够精炼，不够严谨；课堂气氛还不够活跃。在今后的教育教学中，要多下点工夫磨练自己的课堂语言；在如何调动课堂气氛，使语言更加生动上下功夫。初中学生的注意力还是比较容易分散的，兴趣也比较容易转移，因此，越是生动形象的语言，越是宽松活泼的气氛，越容易被他们接受。如何找到适合自己适合学生的教学风格？或严谨有序，或生动活泼，或诙谐幽默，或春风细雨润物细无声，每一种都是教学魅力和人格魅力的展现。我将不断摸索，不断进步。

篇11：《相似三角形性质》教学反思

我在上《相似三角形的性质》这节课时，先复习全等三角形的性质：全等三角形的对应角相等;对应边相等;对应中线、对应角平分线、对应高线相等;周长相等;面积相等。根据全等三角形是特殊的`相似三角形，诱导学生们在类比中，猜想相似三角形的性质，同学们积极性很高，抢着猜，大多数同学猜对了相似三角形的对应角相等;对应边成比例;对应中线、角平分线、高线的比等于相似比;周长的比等于相似比;

可对面积的比有争议，有的说等于相似比，有的说等于相似比的平方。我又及时诱导：猜想并不能代替证明，它只是一个推理，一个假设，你们应该再进一步深入，把你们的猜想结果去证明，看到底是谁的对，让它更有说服力，同学们为了证明自己的猜想是正确的，马上开始证明，这一节课掌握的很好。而且对相似三角形面积的比等于相似比的平方印象非常深刻。因为那是在有争议的情况下，得到的正确结论。这一节课中，引导学生复习全等三角形的性质是“诱”的过程，让学生利用这个思维惯性去“猜想”相似三角形的性质，就是“思”的过程。

这个“猜想”不是凭空瞎猜，而是在原有知识的基础上的一种思维的延伸、拓展，能够培养学生良好的思维习惯。

篇12：《全等三角形性质》教学反思

复习课的类型很多，但目的都是帮助学生整理和贯通知识。复习课要精讲多练，但又不能把它演变成纯粹的习题课，否则效果甚微，为了能在有限的时间里得到比较有效的复习效果，我们集备组进行了反复的探讨，并结合学生层次和期中复习的综合性，选取从一个简单熟悉的图形出发，通过对它不断地叠加、变形衍生出许多新的问题，而这些问题所反映的知识又是相互联系，体现本章核心结构的，这当然要比给出不同的问题来落实重点知识好得多。另外为了解决抽象思维的不足，我们在课前准备了几何画板动态演示，以便让学生在课堂上能通过直观地观察进行联想，从课堂教学的效果来看，感觉教学设计意图在本次课中基本得到了贯彻，几何画板演示图形的旋转位置变化，不仅加深了学生对动态的理解，而且对动态问题进行静态研究提供了思路。

对一次复习课的探讨和实施过程，让我深切地感受到教师的教学设计意图、预见学生学习的困难情况、课前采取的应对策略、实施教学时对重点和难点的认识等等都直接会影响到一堂课的效果，这些都需要我们在课前进行深入地思考和研讨。

二、教学过程的成功之处：

1、本节课教学上我采用以引导发现法为主，并以讨论法、演示法相结合，以问题导入，循序渐近，由浅入深，从单一到综合，以逐步提高学生的应用能力。

2、多媒体辅助教学既能够直观、生动地反映图形，增加课堂的容量，又有利于突出重点、分散难点，增强了教学条理性，形象性，更好地提高了课堂效率。

3、教学中以多种形式（组合条件、添加条件、作全等三角形、练习等）强化学生对三角形全等判定的理解，并起到了一定的效果。

4、真正关注到中等偏下的学生，课堂中设计的问题有三分之二是针对这一部分学生，并在课堂中也正是让他们表现的。

5、营造了和谐轻松的课堂氛围，通过动手活动、分组交流归纳总结全等三角形的各种常见形式，这个环节的设计调动了学生的积极性，让每一学生都获得了成功的喜悦。

三、教学过程的遗憾之处：

1、题量过大，课堂时间安排较紧，有些问题落实的还不够深入。

2、出示了几道中考题，虽然学生做了，教师讲了，但没有从题目本身往深处挖掘，对中考命题方向进行研究和探索，仅是为做题而做题。

篇13：等腰三角形的性质教学反思

关键词：教学反思,学习方式,教学策略,教学目标

引言

新课标明确指出, 高水平的数学学习不能仅依靠模仿与记忆, 自主学习、探索与合作交流才是学生学习的正确方式。而根据美国心理学家布鲁纳的研究成果, 探究性学习是数学教育的生命线, 学生通过探究所得到的知识比教师传授的更牢固、更深刻, 并且学生在探究的过程中能够更好的体会到学习的乐趣, 进而提升其学习积极性与实际能力。根据上述理念, 笔者在日常教学过程中进行了一次尝试, 并对结果进行了反思。

一、教学过程

教师:某公路需要将绿化带某处改造成等腰三角形, 且顶点要位于公路边, 符合条件的选址共有几处? (先要求学生独立思考, 再进行小组讨论)

(几分钟后) 想要解决这一问题, 我们首先要明确下面的问题:

(1) 直线l与线段AB交于点A, 点C位于直线l上, 若△ABC为等腰三角形, 且AB与AC相等, 则C点在直线l上有几处? (这一问题需要学生使用画图工具进行操作, 再进行研究和总结, 不过不需要进行证明)

学生:可以找到两处, 以AB为半径, 以A为圆心画圆, 两处与直线l的交点就是C。

教师:回答的很详细, 下面我们研究第二个问题。

(2) 直线l与线段AB交于点A, 点C位于直线l上, 若△ABC为等腰三角形, 且BC与AC相等, 则C点在直线l上有几处?

学生:一处, AB的中垂线与直线l的交点就是C。

教师:回答的很好, 这两个问题解决后, 我们就可以研究最初的那个问题了。如果我们将公路比作直线l, 将绿化带比作线段AB, 将选址点比作C, 那么选址点有几个?

学生:四处, 如果AB与AC相等, 就可以以A为圆心, 以AB为半径画圆, 与直线l有两个交点;如果AB与BC相等, 就可以有一个交点;如果AC与BC相等, 仍有一个交点。

教师:很好, 从这个思路分析, 我们可知“若△ABC为等腰三角形, 就存在着AB、AC, AB、BC, AC、BC相等的三种可能”, 谁还有不同意见?

学生:如果AB与l垂直, 就只能找到AB与AC相等时的两处C点。

教师:嗯, 这的确是一种可能存在的特殊情况, 还有其它特殊情况吗?

学生:如果AB与l相交为60°, 那么在AB与AC相等时有两处, 在AB、BC, AC、BC相等时, △ABC就是等边三角形, 与l的交点会存在重合, 此时仍有两处。

教师:那公路上到底有几个选址点呢?

学生:在AB与l不垂直, 且不相交为60°时, 有四个;当AB与l垂直, 或与l相交为60°时, 有两个。

教师:非常好, 一般情况与特殊情况结合到一起, 就是在一条直线上寻找等腰三角形构成点的方法, 通过这节课, 相信大家也能够体会到“动手———探索———创新———提高”这种学习方法的有效性, 希望同学们能够在课后以小组的形式继续对相关问题进行讨论, 并且要写出各自的探究报告。

二、教学反思

本节课的目的是让学生从日常生活中的常见情形出发, 逐渐完成问题的递进, 使学生在探索和发现的基础上完成创新和提高, 最终获取应得的知识, 使不同层次的学生在解决问题的过程中都能够有所收获, 这与过去传统的教学方式相比, 本节课主要完成了三个方面的转变:

1. 学习方式

本节课改变以往那种模仿、记忆、练习、强化记忆的学习方式, 将学习的主动权转移到学生手中, 各类限制的减少让学生的思维有了广阔的发展空间, 探究、发现、创新替代了呆板单一的练习模式, 学生自己说思路、寻方法、找规律、讲过程, 亲自参与到数学知识的发生与发展过程中, 感受到了蕴含其中的数学思维与方法, 学生在思维与方法方面的个性得到了充分的展示, 数学能力也在自主探究的过程中有了明显进步。

2. 教学策略

在对教材进行仔细分析、详细了解班级学生能力的基础上, 打破了以往填鸭式教学的教师主导模式, 对“等腰三角形性质”这一简单的问题做了重新的整合, 提出了更贴近学生生活的若干问题, 使学生能够乐于探究, 这种新的教学策略可以归纳为“创设情境、展示个性、总结提升”, 教师在整个教学过程中的作用是启发、引导、纠偏, 从而更好的扮演教学引导者和合作者的角色。

3. 教学目标

在新课标的背景下, 数学教学目标应向培养学生数学能力、体现学生个性化特征的方向转变, 力求提高学生的创新、探究、合作意识, 让学生学会探究、学会创新, 最终学会数学。本节课改变了以往那种以掌握知识并能够以此解决数学问题的教学目标, 获得了更加令人满意的教学效果。

三、结语

总的来说, 本节课是在新课标理念指导下所开展的一次探究课程, 除收到了较传统模式更好的授课效果外, 也使笔者明确了这样一个观念, 那就是不要低估学生的能力, 只要适当的予以引导, 他们就会绽放出意想不到的光彩。

参考文献

[1]王丽平刘厚卓.“等腰三角形”中不可或缺的分类思想[J].数学大世界:初中生数学辅导, 2011, (7) :125-127

篇14：《三角形的三边关系》教学反思

都说数学简单，数学能让一切科学变得有趣味性，如果我们老师把数学教学在课堂上让学生好玩起来，就会有更多的孩子愿意走进数学的世界，如果让学生用玩的方式接近数学，就会有更多的孩子收获独特的个性化发展。为此我们学校进行了“同课异构”教学活动。我们四年组三位数学教师讲的《三角形的三边关系》是人教版数学四年级下册，就是这样一节让学生在课堂玩的课让我反思如下：

《三角形的三边关系》这节课内容安排三角形特征之后、分类教学之前进行教学的，是在学生知道了三角形有三条边、三个角、三个顶点以及三角形具有稳定性的基础上学习的，是本章的一个难点。通过前面的学习，学生虽然知道了三角形有三条边，但对三角形“边”的研究却是首次接触，一节课的时间，要让学生从抽象的几何图形中得出结论，并加以运用，并非易事。因此，教学中，三位教师都注重了下面的教学活动。

一、动手操作，感知三边关系

我先分组做一实验：请同学们打开1号学具袋，里面有6根小棒，拿出其中的三根，动手摆一个三角形，比一比，哪一小组围得好，围得快！通过操作问学生有何发现？大家一致认为任意用三根小棒都能围成一个三角形。再次确认真是这样的吗？好，先保留你们的看法，让我们再动手操作一次，看看是否会有什么新的发现。打开学具2号袋，里面有6根小棒，任意选三根动手再摆一次三角形。无论学生怎样调换6根小棒其中的三根，仍然没有围成一个三角形。这时学生提出质疑，只是长短差异为何就围不成三角形呢？

英国教育家斯宾塞说过：“应当引导学生进行探讨，给他们讲的应当尽量少一些，而引导他们发现的应尽量多一些。”因此，本节课按排了大量的时间让学生自己操作，学生在动手、动脑、活动中，初步感悟和理解三角形三边之间的关系，为了下一个环节总结、知识的建构做好充分的铺垫。

二、操作中理解三边的关系

通过以上动手操作这一环节都是在新课部分进行的。发现有能够摆成的，有不能摆成的。在通过填写的报告单上两边的和与第三边比较结果，发现“任意两边之和大于第三边”是可以摆成三角形的，而当其中两边之和等于或小于第三边时，是围不成三角形的。高寒老师是让学生随意准备两根同样长的小棒和两根不同样长的小棒（长度不限），让学生先选择其中一根剪成两段，再与另一根小棒拼三角形，学生兴致很高，他们各自按照自己的意愿去做，感觉很放松，他们在拼摆时只是考虑我怎样才能拼成三角形，并不知什么三边关系。摆后高寒老师拿学生的作品引导学生去发现三边关系，效果很好，因为这样学生经历了知识的探究过程，感受了怎样从感性认识上升到了理性认识，对三边关系的印象极为深刻。真正体现了顺“生”而变，顺“生”而教，把课堂教学放手交给了学生，使学生成了课堂的真正主人。三位教师的总体教学模式都体现了：操作—感悟—升华。

本节课的课堂教学充分体现了“异构”特色。导入部分高老师是让学生先摆三角形，发现拼摆出现的问题及时纠正，让学生掌握正确的拼摆方法后，才进入探究活动的。王晓玉老师是从三角形的特性导入新课的。丁芳梅老师是从三角形的概念入手，提出两个问题：①是不是任意三条线段就一定能围成三角形的？②什么样的三条线段才能围成三角形呢？导入新课的。新课部分，高寒老师是在摆的过程当中，让学生先发现，教师再及时引导学生说三边关系。学生发现什么？老师就跟着总结什么，体现了教学的灵活性。同时也反映了老师的应变能力很强。是一节真正的探究课。丁芳梅老师在总结三边关系时，是交给学生把表格中数字表示的三边关系，怎样转化成用语言表述三边关系的方法。学生学会方法后，用语言表述三边关系就很轻松了。特别是丁芳梅老师在学生探究出三角形任意两边的和大于第三边的三边关系后，又引导学生探究出了三角形任意两边的差小于第三边的三边关系。这是课本中没有的，拓宽并延伸了知识，把课本教“活”了，她没有就教材而教教材，挖掘了教材的内涵。练习设计也有不同：王晓玉老师是应用了课本上的习题。高寒老师现场画图出示练习题。由于时间不够，她们后面的习题没有能出现，是课堂练习中的一个缺憾。丁芳梅老师的课堂练习时间比较充分，所以学生在判断三条线段能否围成三角形后，又运用三边关系解释了生活当中出现的实际问题。如：草地被人们才出了一条小路。是因为走两边没有这样走近？也体现了三角形任意两边的和大于第三边的三边关系。同时老师及时对学生进行了要爱护花草树木的思想教育。体现了教育与教学相结合的教学特点。任何一节课都有其遗憾和不足的地方，比如：

（1）学具选择不当

高老师上第一节课，学生准备的是一厘米宽的纸条，学生在摆三角形时，就总是出现纸条重叠或端点连接不上的情况，结果老师总是忙于纠正，耽误了有效的教学时间。丁老师改用了小棒，效果好一些，但圆形的小棒有一定的粗细，和纸条有一定的宽度一样，学生在操作时也很容易产生误差。所以丁老师在学生摆完后，又用了一组课件动态呈现出三条线段围成三角形的过程，学生就看得比较清楚了。

（2）合作探究时间欠足

小组合作探究时，要给能力差一些的孩子多一些时间，等等他们，尽量让每一个孩子在合作中有一点发现，有一点收获。切实体现到小组合作的实效性。

（3）课堂教学时间掌控欠佳

由于各种原因老师在上课时，会遇到学生新生成的问题，老师没有智慧的去及时处理，总想按照自己预设的步骤去完成课堂教学任务，所以就出现了后面时间不足，练习出示不完，匆忙结束教学的状况。另外，为节省时间教师的课堂语言还需要进一步锤炼。

篇15：等腰三角形的性质教学反思

本节课的主要内容是直角三角形全等的判定方法HL，这是仅适用于直角三角形的判定方法。

通过HL得出角平分线性质定理的逆定理，是本节课的所得出的重要结论。

教学设计中的不足

1、学生在复习“SSS”的时候已经提出对于直角三角形我只需补充两条边的条件即可。而我在课堂上，没有重视学生的生成，可以顺着学生的思路，补充两个条件：①两条直角边;②一条直角边和斜边。若补充①，可根据SAS直接证明两个三角形全等。若补充②，引导学生思考，如何证明两个直角三角形全等，直接引出HL。

2、在【应用实践】环节，还是给出较多的两个三角形全等的辨析，有些重复，并且没有突出重点，还容易让学生混乱。因此，可将其中的某些练习删除，保留更多HL的应用证明。

3、课本例题经过分析之后，没有在黑板上板书完整的证明过程，没有突出板书的示范作用。同时，对于学生书写的落实不够，学生缺少独立书写的时间和机会，也导致了学生作业完成格式不规范的原因。因此，在今后的教学中，对例题分析完成之后，应给予学生一定时间书写证明过程。

4、在课堂的整体教学中，太过心急。学生没有及时反应时，就急忙对学生进行引导，给予学生思考时间不足。并且，在课堂上总是抢学生的话，嗦嗦讲个不停，不但没有对学生进行需要的引导作用，还扰乱学生读题的注意力和思考的思路。

5、启发性、激趣性不足，导致学生的学习兴趣不易集中，课堂气氛不能很快达到高潮，延误了学生学习的最佳时机;

6、在学生的自主探究与合作交流中，时机控制不好，导致部分学生不能有所收获;

7、在评价学生表现时，不够及时，没有让他们获得成功的体验，丧失激起学生继续学习的很多机会。

三、对课堂教学的改进

1、在今后的教学中，对于课堂教学过程的设计还需多多向前辈讨教学生，碰到比较难处理的地方也可向周边老师学校讨论，设计更清晰的教学流程，不能含糊，生硬的压给学生。

2、关于课堂板书，分析过程写明之后，还应该书写完成的证明过程，示范给学生。因此，可以在分析完成之后，请学生打开随堂练习本，与老师一起书写证明过程，最后展示书写规范并美观的学生作品。

篇16：等腰三角形的性质教学反思

第二，让学生自己动手随意去做两个形状与大小相同的图形，通过动手实践，合作交流，直观感知全等形和全等三角形的概念。然后，通过阅读的方法让学生找出全等形和全等三角形的概念。

第三，教师演示一个三角形经过平移，翻折，旋转后构成的两个三角形全等。通过教具演示让学生体会对应顶点、对应边、对应角的概念，并以找朋友的形式练指出对应顶点、对应边、对应角，加强对对应元素的熟练程度。此时给出全等三角形的表示方法，提示对应顶点，写在对应的位置上，然后再给出用全等符号，表示全等三角形并加以练习，加强对知识的巩固。

第四，通过学生对全等三角形纸板的观察，小组讨论，合作交流，观察对应边、对应角有何关系，从而得出全等三角形的性质。并通过练习来理解全等三角形的性质并渗透符号语言推理。最后师生共同小结，这节课我们知道了什么是全等形、全等三角形，学会了用全等符号表示全等三角形，会用全等三角形的性质解决一些简单的实际问题。

篇17：等腰三角形的性质教学方案

3.等腰三角形的底角为20°，求它的顶角度数.

引入新课

等腰三角形一腰上的中线把它的周长分为15cm和6cm的两部分，求这三角形各边的.长.

学生可能利用算术的方法，计算出腰长为10底边长为1.也可能算不出来，这里教师可作如下引导：

在图1中，AB=AC，D为AB的中点(即AD=DB)，设 AD=xcm，则 AB=AC=2cm(中线定义).由AC+AD=15cm，得

2x+x=15.

解得 x=5，……

本题是利用列方程的方法解得的，此法对于某些几何计算题来说，简捷而有效.

新课

例2 已知：图2，在△ABC中，AB=AC，点D在AC上，且 BD=BC=AD.求△ABC各角的度数.

分析：欲求三角形各角度数.只需求出∠A度数，把∠A度数作为一个未知数x，则∠A=∠1=x°，∠2=∠A+∠1=2x°，∠ABC=∠C=∠2=2x°.应用三角形内角和定理于△ABC，求出方程所对应的几何等式：∠A+∠ABC+∠C=180°，即可得出关于x的方程.

例3 已知：如图3，点D、E在△ABC的边BC上，AB=AC，AD=AE.求证：BD=CE.

通过分析使学生发现，要作AF⊥BC即底边上的高这条辅助线(这是证明的关键所在)，并告诉学生这是等腰三角形中一种常见的辅助线.利用这条辅助线就很容易证得结论.并说明，这是利用等腰三角形的“三线合一”性质来证明的题目.

小结

1.列方程解几何计算题是几何计算题的一种重要解法，在这种解法中，寻求几何等式(如例2中∠A+∠ABC+∠C=180°)是基础，把几何等式的各项转化为未知数x的代数式是关键(如∠A=x°，∠ABC=∠C=2x°).

2.对于等腰三角形的”三线合一”性要灵活运用.

练习：略

作业：略

思考题：例3中辅助线改为△ABC的顶角平分线AF，写出证明过程.

四、教学注意问题

1.等腰三角形性质的灵活、综合应用，防止依赖于全等三角形证明线段或角相等的思维定势.

篇18：焦点三角形的面积公式与性质探究

在圆锥曲线中,焦点三角形的面积,椭圆周角是非常重要的几何量,与其相关的问题在历年高考中经常出现.在解决有关焦点三角形问题中, 如果能巧妙地应用焦点三角形的面积公式与性质,就可以避免大量的推理和运算,使实际问题得到完美解决, 从而节省解题时间. 本文仅以椭圆焦点三角形为例,就这方面进行初步探究.

定义:在圆锥曲线中,P是椭圆上异于长轴两端点的任意一点,F1、F2是椭圆的两个焦点,我们称三角形 ∠F1PF2为椭圆周角,△F1PF2为焦点三角形.

椭圆焦点三角形的面积公式:

证明:由余弦定理知,在三角形△F1PF2中

性质1:如图1,设椭圆长轴的两个端点为A1,A2,短轴两个端点为B1,B2,当点P从B2沿椭圆第一象限部分运动到点A2的过程中,θ递减.

∴当点P从B2沿椭圆第一象限部分运动到点A2的过程中,θ 递减.

推论:根据椭圆对称性,可以得出结论.当点P在短轴顶点B1或B2的位置时,θ取得最大值,此时

例1: 椭圆的两个焦点为F1、F2, 点P为其上的动点,当∠F1PF2为钝角时,点P的横坐标的取值范围为 _________

解析:不少同学习惯用余弦定理解不等式求解,但运算量比较大,容易产生错误.

根据性质1椭圆周角单调性可知:当∠F1PF2=90°,顶点P的横坐标之间的坐标值就是题目所求值.

性质2:P是椭圆上任意一点 ,F1、F2是椭圆的两个焦点,设

证明:由椭圆焦点三角形的面积公式和三角形面积公式

解析:由性质2易求

性质3:P是椭圆上任意一点 ,F1、F2是椭圆的两个焦点,设

证明:由基本不等式可知

例3:已知F1、F2是椭圆的两个焦点 , 椭圆上一点P使得∠F1PF2=90°,则椭圆的离心率e存在的范围是 _________.

性质4:P是椭圆上任意一点 ,F1、F2是椭圆的两个焦点,I为△F1PF2S的内心,如果|PI|=λ,则

证明:设三角形△FPF的内切圆半径为r,

由椭圆焦点三角形的面积公式和三角形面积公式

例4:椭圆的两个焦点为F1、F2,点M为其上的动点 ,当的内心为I,则|MI|cosθ= _________.

解析:由性质4易知

篇19：三角形旋转存在性的判定与性质

图1 图2图3 图4图5注意每个图形中的两个三角形：△ACN和△MCB，仔细分析不难发现，这是两个全等的三角形，并且不论在哪个图形中，△MCB都可以看成△ACN绕顶点旋转60°得到．图１－图５只是∠ACN的大小不同，具体的∠ACN度数分别为：①等于120°；②大于60°，小于120°；③等于60°；④小于60°；⑤大于120°．因此，△ACN绕顶点旋转60°应是该组图形中旋转的本质规律．

于是得到三角形绕顶点旋转的性质定理：

定理1 三角形绕它的一个顶点旋转60°，形成以该顶点上的两条边为边的两个正三角形．

将两个正三角形改为具有公共直角顶点的两个等腰直角三角形，同样的研究方法可以得到：

定理2 三角形绕它的一个顶点旋转90°，形成以该顶点上的两条边为直角边的两个等腰直角三角形．

进一步，将两个正三角形改为两个具有公共顶角顶点的两个等腰三角形（顶角均为α）.

定理3 三角形绕它的一个顶点旋转α，形成以该顶点上的两条边为腰的两个等腰三角形（顶角均为α）．

反过来，我们可以根据图形特点，判断该图形中是否存在三角形旋转，一个图形中存在三角形绕顶点旋转的判定定理：

定理4 如果一个图形中存在两个有公共顶点的正三角形，则该图形可以看成一个三角形绕它的一个顶点转动60°形成的．

定理5 如果一个图形中存在两个有公共直角顶点的等腰直角三角形，则该图形可以看成一个三角形绕它的一个顶点转动９０°形成的．

定理6 如果一个图形中存在两个有公共顶点（顶角顶点）、顶角均为α的等腰三角形，则该图形可以看成一个三角形绕它的一个顶点转动α后形成的．

下面举例说明上述定理(主要是判定定理)在解题中的应用．

图6例１如图6所示，P是等边△ABC内一点，∠PBM=60°，PB=PM，求证：MC=PA．

分析 由已知条件，图形中存在两个有公共顶点的正△ABC和正△PBM，所以该图形可以看成一个三角形绕它的一个顶点转动60°形成的，不难看出△BMC转动60°到△BPA．因此，可以通过证明△BMC≌△BPA，证明MC=PA

例２ 如图7，在四边形中ABCD中，∠ABC=30°,∠ADC=60°,AD=CD,证明：BD²=AB²+BC²

分析 由∠ADC=60°，AD=CD得：△ADC为正三角形，而∠ABC=30°，若以BC为边作一正三角形，就有两个正三角形，并且出现一个直角三角形，联想到勾股定理与要证结论，这个思路应该可行．

图7证明 连结AC．因为AD=CD，∠ADC=60°，所以△ADC是正三角形．以BC为边作正△BCE，连结AE．则△ACE为△DCB顺时针转动60°形成的图形．所以△ACE≌△DCB，AE=DB．在Rt△ABE中，AE²=AB²+BE²，于是BD²=AB²+BC²．

图8例3 （2006年山东竞赛试题）如图8，△ABC中，AB=3，AC=4，BC=5，△ABD，△ACE，△BFC都是等边三角形，则四边形ADFE的面积为．

分析 在B点处有两个具有公共顶点的正△ABD和△BFC，分析不难得到是因为△BDF旋转60°到△BAC形成，于是△BDF≌△BAC．同理，在C点处有两个具有公共顶点的正△ACE和△BFC，因此，可以证明△CEF≌△CAB．利用这两对全等三角形问题迎刃而解．答案是6．

图9例４ （2000年希望杯竞赛试题） 如图9，正方形ABCD中，AB=3，点E、F分别在BC、CD上，且∠BAE=30°，∠DAF=15°．求：△AEF的面积．

分析 由于∠DAF=15°，过点A作线段AG=AD并使∠GAB=15°，交CB的延长线与点G，于是，在点A处有两个等腰直角三角形△AFG与△ADB，△AGB是△ADF旋转90°形成的，由此可以证明△AGE≌△AFE，△AEF的面积可由△AGE的面积求得．答案：3-3．

图10例5 （2006年东营市中考试题）两个全等的含30°，60°角的三角板ADE和三角板ABC如图10所示放置，E，A，C三点在一条直线上，连结BD，取BD的中点M，连结ME，MC．试判断△EMC的形状，并说明理由．

分析 连结AM，由题意得：DE=AC，∠DAE+∠BAC=90°．所以∠DAB=90°．又因为DM=MB,所以MA=12DB=DM，∠MAD=∠MAB= 45°．

所以∠MDE=∠MAC=105°，∠DMA=90°．所以△DMA是等腰直角三角形，分析题意容易证明△EDM≌△CAM，即△EDM绕点M旋转90°可以与△CAM重合，因此，在点处M除了△DMA外必有另一个等腰直角三角形，不难得到△ECM的形状是等腰直角三角形．

图11例6 (根据2007年临沂中考题改编)如图11，已知△ABC中，AB=BC=1，∠ABC=90°，把一块含30°角的直角三角板DEF的直角顶点D放在AC的中点上，（直角三角板的短直角边为DE，长直角边为DF），将直角三角板DEF绕D点按逆时针方向旋转，DE交AB于点M，DF交BC于点N．

求证：DM=DN ．

分析 连结BD，从结论入手，若DM=DN，则以D为直角顶点有三个等腰直角三角形，因此，存在三对旋转：△ADM与△DBN、△DMB与△DNC、△ADB与△DBC（与结论无关），因此，可以通过证明前两对三角形中的任一对全等证明该问题．

图12例7 如图11，五边形ABCDE中，AB=AE，BC+DE=CD,∠BAE=∠BCD=120°,∠ ABC+∠AED=180°，连结AD．

求证：AD平分∠CDE．

分析 连结AC，因为BC+DE=CD，延长DE到F，使DF=BC，连结AF，因为AB=AE，△ABC可以看成△AEF旋转∠BAE形成的，通过证明这两个三角形全等，证明AC=AF，从而证明△ACD≌△AFD，于是AD平分∠CDE．

参考文献

[1] 盖仕广．三角形旋转规律的探讨和应用[J]．初中数学教与学，2007,(7).

[2] 魏祖成．“双正三角形”问题的联想[J]．中学生数学，2007，(4).

作者简介 盖仕广，1970年6月生，中学高级教师，从事数学解题教学研究，在各类中等数学刊物发表论文十余篇.