线性代数期末模拟试卷

线性代数期末模拟试卷（精选6篇）

篇1：线性代数期末模拟试卷

《线性代数》期终试卷1

（2学时）

本试卷共七大题

一、填空题(本大题共7个小题，满分25分)：

1.(4分)设阶实对称矩阵的特征值为 , , , 的属于 的特征向量是 , 则 的属于 的两个线性无关的特征向量是（）；

2.(4分)设阶矩阵矩阵, 则 的特征值为，， 其中 是 的伴随的行列式（）；

3.(4分)设 , , 则

（）；

4.(4分)已知维列向量组的向量空间为,则的维数dim

（）；

所生成

5.(3分)二次型经过正交变换可化为

标准型 ,则（）； 6.(3分)行列式中 的系数是（）；

7.(3分)元非齐次线性方程组的系数矩阵的秩为, 已知

解向量 , 其中 , , 则该方程组的通解是（）。

二、计算行列式：

(满分10分)

三、设 , , 求。

(满分10分)

四、取何值时, 线性方程组

有解时求出所有解（用向量形式表示）。

是它的个

无解或有解？(满分15分)

五、设向量组, ，线性无关 , 问: 常数

也线性无关。

满足什么条件时, 向量组

(满分10分)

六、已知二次型，(1)写出二次型 的矩阵表达式；

(2)求一个正交变换，把 化为标准形, 并写该标准型；

(3)是什么类型的二次曲面?

(满分15分)

七、证明题（本大题共 2个小题，满分15分）： 1．(7分)设向量组

线性无关 , 向量

能由

线性表示 , 向量

不能由线性表示.证明: 向量组 也线性无关。

2.(8分)设是 矩阵, 是 矩阵, 证明: 时, 齐次线性方程组

必有非零解。

《线性代数》期终试卷2

（2学时）

本试卷共八大题

一、是非题（判别下列命题是否正确，正确的在括号内打√，错误的在括号内打×；每小题2 分，满分20 分）：

1.若 阶方阵 的秩，则其伴随阵。

（）

2.若 矩阵 和 矩阵 满足，则。

（）

3.实对称阵 与对角阵 相似：，这里 必须是正交阵。

（）

4.初等矩阵都是可逆阵，并且其逆阵都是它们本身。

（）

5.若 阶方阵 满足，则对任意 维列向量，均有。

（）6.若矩阵 和 等价，则 的行向量组与 的行向量组等价。

（）

7.若向量 线性无关，向量 线性无关，则 也线性无关。

（）

8.是 矩阵，则。

（）

9.非齐次线性方程组 有唯一解，则。

10.正交阵的特征值一定是实数。

（）

二、设阶行列式：）

（试建立递推关系，并求(满分10分)。

三、设(满分10分)，并且，求

四、设 阵，求。，矩阵 满足，其中 是 的伴随(满分10分)

五、讨论线性方程组(满分12分)的解的情况，在有解时求出通解。

六、求一个正交变换 化为标准形。(满分14分)，将二次型

七、已知

3维列向量构成的向量空间，问：，由它们生成的向量空间记为，为所有

1． 取何值时，但，为什么？

2． 取何值时，为什么？(满分 12 分)

八、证明题（本大题共2个小题，满分12分）： 1．若2阶方阵满足，证明

可与对角阵相似。

2.若

是正定阵，则其伴随阵 也是正定阵。

《线性代数》期终试卷

3（3学时）

一、填空题(15’)： ．设向量组（），一个最大线性无关组是（）., 它的秩是2 ．已知矩阵和（）.3 ．设是秩为 的

矩阵 ，是

相似 , 则x =

矩阵 , 且, 则 的秩的取值范围是

（）.二、计算题： 1 ．(7’)计算行列式.2 ．(8’)设, 求.3 ．(10’)已知 维向量空间 的两个基分别为;, 向量 的过渡矩阵

;并求向量

.求由基 在这两个基下的坐标.到基 ．(15’)讨论下述线性方程组有无穷多解，则必须求出通解.的解的情况；若5．(15’)已知为对角阵.有一个特征值为, 求正交阵, 使得6 ．(10’)在次数不超过 3的实系数多项式所成的线性空间 线性变换?为?= , 求线性变换?在基

中定义

下的矩阵.三、证明题：

1．(10’)已知矩阵与合同, 矩阵与合同, 证明: 分块对角矩阵与也合同.．(10’)设特征值与

是正交矩阵 , , 是的特征值 , 是相应于, 的特征向量 , 问 : 与是否线性相关 , 为什么 ? 是否正交 , 为什么 ?

《线性代数》期终试卷

4（3学时）

本试卷共九大题

一、选择题（本大题共 4个小题，每小题2分，满分8分）：

1．若阶方阵均可逆，则

(A)

(B)

(C)

(D)

答()

2．设是元齐次线性方程组的解空间，其中，则的维数为(A)

(B)

(C)

答()

3．设是维列向量，则=

(A)

(B)

(C)

(D)

答()

(D)4．

若向量组则(A)

可由另一向量组线性表示，；

(B)

；

(C)答（）的秩的秩；(D)的秩的秩.二、填空题（本大题共 4个小题，每小题3分，满分12分）：

1.若，则。

2.设，，则

3.设4 阶方阵的秩为2，则其伴随阵的秩为。

4.设是方阵的一个特征值，则矩阵的一个特征值是。

三、计算行列式，（）（满分8分）

四、设，，求，使得。

（满分12分）

五、在中有两组基：

和

写出到的变换公式以及

到的变换公式。

（满分8分）

取何值时，线性方程组

六、当

有唯一解、无解或有无穷多解？并在有无穷多解时求出通解。（满分14分）

七、已知，为3阶单位矩阵，为对角阵，并写出该对角阵.（满分16分），求一个正交矩阵，使得

八、设为已知的矩阵，集合

下的线性空间； 1．验证对通常矩阵的加法和数乘构成实数域2．当时，求该线性空间的一组基。

（满分10分）

九、证明题（本大题共 2个小题，每小题6分，满分12分）：

1．设由为一向量组，其中线性表示。

线性相关，线性无关，证明能2．若

为阶方阵，证明：为可逆矩阵。

篇2：线性代数期末模拟试卷

一、单项选择题(本大题共5小题，每小题3分，共15分)在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。1、6阶有限群的任何子群一定不是（）。A、2阶

B、3 阶 C、4 阶 D、6 阶

2、设G是群，G有（）个元素，则不能肯定G是交换群。A、4个 B、5个 C、6个 D、7个

3、有限布尔代数的元素的个数一定等于（）。

A、偶数 B、奇数 C、4的倍数 D、2的正整数次幂

4、下列哪个偏序集构成有界格（）

A、（N,）B、（Z,）C、（{2,3,4,6,12},|（整除关系））D、(P(A),)

5、设S3＝{(1)，(12)，(13)，(23)，(123)，(132)}，那么，在S3中可以与(123)交换的所有元素有（）

A、(1)，(123)，(132)B、12)，(13)，(23)C、(1)，(123)D、S3中的所有元素

二、填空题(本大题共10小题，每空3分，共30分)请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。

1、群的单位元是--------的，每个元素的逆元素是--------的。

2、如果f是A与A间的一一映射，a是A的一个元，则f1fa----------。

3、区间[1，2]上的运算ab{mina,b}的单位元是-------。

4、可换群G中|a|=6,|x|=8,则|ax|=——————————。

5、环Z8的零因子有-----------------------。

6、一个子群H的右、左陪集的个数----------。

7、从同构的观点，每个群只能同构于他/它自己的---------。

8、无零因子环R中所有非零元的共同的加法阶数称为R的-----------。

n9、设群G中元素a的阶为m，如果ae，那么m与n存在整除关系为--------。

三、解答题（本大题共3小题，每小题10分，共30分）

1、用2种颜色的珠子做成有5颗珠子项链，问可做出多少种不同的项链？

2、S1，S2是A的子环，则S1∩S2也是子环。S1+S2也是子环吗？

3、设有置换(1345)(1245)，(234)(456)S6。

1．求和1；

2．确定置换和1的奇偶性。

四、证明题（本大题共2小题，第1题10分，第2小题15分，共25分）

1、一个除环R只有两个理想就是零理想和单位理想。

2、M为含幺半群，证明b=a-1的充分必要条件是aba=a和ab2a=e。

近世代数模拟试题三

参考答案

一、单项选择题(本大题共5小题，每小题3分，共15分)在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。

1、C；

2、C；

3、D；

4、D；

5、A；

二、填空题(本大题共10小题，每空3分，共30分)请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。

1、唯

一、唯一；

2、a；

3、2；

4、24；

5、9、mn；

6、相等；

7、商群；

8、特征；；

三、解答题（本大题共3小题，每小题10分，共30分）

1、解 在学群论前我们没有一般的方法，只能用枚举法。用笔在纸上画一下，用黑白两种珠子，分类进行计算：例如，全白只1种，四白一黑1种，三白二黑2种，…等等，可得总共8种。

2、证 由上题子环的充分必要条件，要证对任意a,b∈S1∩S2 有a-b, ab∈S1∩S2：

因为S1，S2是A的子环，故a-b, ab∈S1和a-b, ab∈S2，因而a-b, ab∈S1∩S2，所以S1∩S2是子环。S1+S2不一定是子环。在矩阵环中很容易找到反例：

1(1243)(56)

3、解： 1．，(16524)；

2．两个都是偶置换。

四、证明题（本大题共2小题，第1题10分，第2小题15分，共25分）

1、证明：假定是R的一个理想而不是零理想，那么a0，由理想的定 3

1a义a1，因而R的任意元bb1

这就是说=R，证毕。

2、证 必要性：将b代入即可得。充分性：利用结合律作以下运算： ab=ab(ab2a)=(aba)b2a=ab2a=e，ba=(ab2a)ba=ab2(aba)=ab2a=e，所以b=a-1。

—————————————————————————————————————— 一．判断题(每小题2分,共20分)

1.实数集R关于数的乘法成群.（）2.若H是群G的一个非空有限子集，且a,bH都有abH成立，则H是G的一个子群.（）3.循环群一定是交换群.（）4.素数阶循环群是单群.（）

5.设G是有限群，aG，n是a的阶，若ake，则n|k.（）

6.设f是群G到群G的同态映射，H是G的子群，则fH是G的子群.（）7.交换群的子群是正规子群.（）8.设G是有限群，H是G的子群，则GH|G|.（）|H|9.有限域的特征是合数.（）10.整数环Z的全部理想为形如nZ的理想.（）二．选择题(每小题3分,共15分)11.下面的代数系统G,中，（）不是群.A.G为整数集合，为加法； B.G为偶数集合，为加法； C.G为有理数集合，为加法； D.G为整数集合，为乘法.12.设H是G的子群，且G有左陪集分类H,aH,bH,cH.如果H的阶为6，那么G 的阶G（）

A.6；

B.24；

C.10；

D.12.4

13.设S31,12,13,23,123,132,，则S B.2；

C.3；

3中与元123不能交换的元的个数是

A.1；

D.4.14.从同构的观点看，循环群有且只有两种，分别是（）

A.G=（a）与G的子群；

B.整数加法群与模n的剩余类的加法群； C.变换群与置换群；

D.有理数加法群与模n的剩余类的加法群.15.整数环Z中，可逆元的个数是()。

A.1个

B.2个

C.4个

D.无限个 三．填空题(每小题3分,共15分)

16.如果G是全体非零有理数的集合，对于普通乘法来说作成一个群，则这个群的单位元是.17.n次对称群Sn的阶是____________.18.整数加法群Z关于子群nZ的陪集为.19.设N是G的正规子群，商群GN中的单位元是。

20.若R是交换环, aR则主理想a____________.四．计算题(第21小题8分, 第22小题12分，共20分)21.令6123456123456，543212315641621354，计算,.123456

22.设H{(1),(123),(132)}是3次对称群S3的子群，求H的所有左陪集和右陪集，并说明H是否是S3的正规子群.五．证明题(每题10分,共30分)

23.设G是群，H是G的子群，证明：aG，则aHa1也是子群

24.设G是群，H是G的正规子群.G关于H的陪集的集合为

GH{gH|gG}，证明：G/H对于陪集的乘法成为一个群，称为G对H的商群.25.证明：域F上全体nn矩阵的集合MnF在矩阵的加法和乘法下成为环.一．判断题(每小题2分,共20分)

1-10 ××√√√ √√√×√ 二．选择题(每小题3分,共15分)11.D；12.B；13.C；14.B；15.B.三．填空题(每小题3分,共15分)16.1； 17.n!；18.nZ,nZ1,,nZn1；

19.N；20.aR.四．计算下列各题(第21小题8分, 第22小题12分，共20分)

21.解：123456546213，4分 6

1123456.8分

31264522.解：H的所有左陪集为

H{(1),(123),(132)}，(23)}4分

12H{(12),(13),；H的所有右陪集为

H{(1),(123),(132)}，H12{(12),(13),(23)}.对S3，有HH，即H是正规子群.12分 五．证明题(每题10分,共30分)

23.证明：因为H是G的子群，对任意x,yH，有xyH.4分 由题意，对任意

1,ax,yH，有ax11ay1aa，a从H而

axaay111aaxy11aaHa1，即aHa1也是子群.10分

24.证明：首先G3分 H对于上述乘法是封闭的，且乘法满足结合律.陪集HeH是它的单位元，eHgHegHgH,gH.7分 又任意gH，有gHgHeHgHgH，即gH是gH的逆元.10分

25.证明：MnF关于加法是封闭的，且满足结合律， 3分 零元是0nn，对任意AnnMnF，有AnnAnn0nn，即Ann的负元是Ann.111MnF关于乘法是封闭的，且满足结合律，单位元是Enn. 8分

篇3：线性代数期末模拟试卷

从语音、声音、图像等信息源直接转换得到的电信号是频率较低的电信号,其频谱特点是包括直流分量的低通频谱。如电话信号的频率范围在0.3~3kHz,这些信号可以直接通过架空线、电缆等有线信道传输,但不可能在无线信道直接传输。另外,这些信号即使可以在有线信道传输,但一对线路上只能传输一路信号,对信道的利用不经济。为了使低频信号能够在像无线信道上传输,同时为了使有线信道上同时传输多路信号,就需要采用调制和解调技术。

在发送端把基带信号频谱搬移到给定信道通带内的过程称为调制,而在接收端把已搬移到给定信道通带内的频谱还原为基带信号的过程称为解调。调制和解调在一个通信系统中是同时出现的,因此将调制和解调系统通称为调制系统或调制方式。

调制和解调在通信系统中是一个极为重要的组成部分,采用什么样的调制与解调方式将直接影响通信系统的性能。而模拟调制技术的原理还可以推广到数字调制中,因此我们有必要对模拟调制技术进行研究。

1 模拟调制原理

模拟调制是指用来自信源的基带模拟信号去调制某个载波,而载波是一个确知的周期性波形。模拟调制可分为线性调制和非线性调制,本文主要研究线性调制。

线性调制的原理模型如图一所示。设载波为c(t)=A-cosω0t=Acos2πf0t,调制信号为m(t),已调信号为s(t)。

调制信号m(t)和载波在乘法器中相乘的结果为:s'(t)=m(t)Acosω0t,然后通过一个传输函数为H(f)的带通滤波器,得出已调信号为s(t)。

从图一中可得已调信号的时域和频域表达式为:

式(1)中,M(f)为调制信号m(t)的频谱。

由于调制信号m(t)和乘法器输出信号之间是线性关系,所以称为线性调制。带通滤波器H(f)可以有不同的设计,从而得到不同的调制种类。

1.1 AM(调幅)调制

设调制信号m(t)叠加直流分量A后与载波相乘,滤波器为全通滤波器,就形成了AM(调幅)信号。其时域和频域表达式分别为:

调幅信号的频谱密度中含有离散的载波频率分量,因此,AM信号的功率利用较低。

由于调幅信号包络的形状和调制信号的波形一样。所以在接收端解调时,用包络检波法就能恢复出原调制信号,不需要本地同步载波信号。

1.2 DSB(双边带)调制

在AM信号中,载波分量不携带信息,如果将载波抑制,去掉直流分量A,即可输出抑制载波的双边带信号(DSB)。将频谱位置高于载频的边带称为上边带,低于载频的边带称为下边带。其时域和频域表达式分别为:

双边带信号节省了载波功率,功率利用率提高了,但它的频带宽度仍是调制信号宽度的两倍。上、下两个边带完全对称,携带相同的调制信号信息。

双边带信号解调时需要在接收端的电路中加入载波,载波的频率和相位应该和接收信号完全一样,故接收电路较为复杂。

1.3 SSB(单边带)调制

在DSB信号中,由于两个边带含有同样的信息,因而只传输一个边带就可以,这就是单边带(SSB)调制。

可以通过滤波法产生单边带信号,将滤波器设计成理想低通特性HLSB(f)或理想高通特性HHSB(f),就可分别获得下边带信号或上边带信号。但要求单边滤波器在载频附近具有陡峭的截止特性,才能有效地抑制无用的一个边带。

还可以用相移法形成单边带信号,需要借助希尔伯特变换来表述。其时域和频域表达式分别为:

单边带信号节省了发射功率,信号带宽是双边带信号的一半,所以,它是目前短波通信的一种重要调制方式。

1.4 VSB(残留边带)调制

残留边带信号介于单边带信号和双边带信号之间,对低频信号保留双边带,对高频分量部分采用单边带方式传输。其滤波器的特性应满足如下特性:

信号的频域表达式为:

2 仿真实现

本文利用Matlab对功率为1W、频率为2Hz的余弦信号进行AM、DSB、SSB调制。选取载波频率为20 kHz,对频率分别为5Hz、2.5 Hz的余弦和正弦叠加信号进行VSB调制,两个频率分量功率相同,波频率为20 kHz,从而获得各种已调制信号。已调制信号的功率谱以及解调后的信号波形如图二所示,以便于分析研究。

3 结束语

由仿真结果可知:调幅AM信号中的载波分量不携带基带信号的信息,但是却占用了信号中的大部分功率,故传输效率低。若除去调幅AM信号中的载波,就得到双边带DSB信号。双边带信号与调幅信号相比,可以节省大部分发送功率,但在接收端必须恢复载频,增大了接收设备的复杂性。在双边带信号中,上、下两个边带具有相同的信息,形成重复传输。所以,完全可以只传输上边带或下边带,这就得到了单边带SSB信号。单边带信号虽然在功率和频带利用率方面具有优越性,但是在接收端解调时仍需恢复载频。另外在发送端为了滤出单边带信号,要求滤波器的边缘很陡峭,很难做到。残留边带VSB调制信号的频谱介于双边带和单边带信号之间,并且含有载波分量。所以它能避免上述单边带的缺点,特别适合于含有滞留分量和很低频率分量的基带信号。

通过对四种不同的线性模拟调制技术的研究,我们在对处于不同特性的低频信号要想通过具有一定带宽的模拟信道,可以根据自身特性的不同,选择不同的线性模拟调制方式,使低频信号能够通过信道进行传输;其次,如果信道宽度较宽,只传输一个信号不利于信道的使用,因此通过模拟调制,能够实现多路复用技术,从而提高信道利用率。

参考文献

[1]樊昌信.通信原理教程[M].北京:电子工业出版社,2006.

[2]章国安,徐晨,杨永杰,等.现代通信网络系统实验室的构建[J].电气电子教学学报,2004,(6).

篇4：线性代数期末模拟试卷

关键词多元线性回归模型 ；活动积温 ；空间模拟 ；华南地区

分类号P423

Spatial Simulation of AAT10 (Active Accumulated Temperature≥10℃)

based on Multiple Linear Regression Model

DAI Shengpei1,2)LI Hailiang1,2)LUO Hongxia1,2)LIU Haiqing1,3)CAO Jianhua4)

(1 Institute of Scientific and Technical Information, CATAS, Danzhou, Hainan 571737, China

2 Key Laboratory of Practical Research on Tropical Crops Information Technology in Hainan,

Danzhou, Hainan 571737, China

3 Research Center of Tropical Agricultural Economics，CATAS，Danzhou， Hainan 571737，China;

4 Rubber Research Institute, CATAS, Danzhou, Hainan 571737, China)

AbstractThe spatial distribution of active accumulated temperature ≥10℃ (AAT10) was simulated by using the multiple linear regression model (MLRM) and IDW, Kriging, Spline interpolation method based on the daily meteorological observation data from 111 meteorological stations in Southern China and surrounding areas during 1980 to 2011. The result shows that compared with the conventional methods such as IDW, Kriging and Spline, it solves the complexity of the spatial distribution of AAT10, and considers the elevation, longitude and latitude differences to AAT10. It shows higher simulation accuracy,and is suitable for a wide range of spatialization of accumulated temperature. At the same time, the AAT10 in South China was reduced with increasing altitude from 1980 to 2011; and reduced with increasing latitude. There is a large variation with longitude in the western Yunnan region affected by the impact of changes in topography, and a little variation with longitude in the eastern part of Guangxi,Guangdong, Fujian province.

Keywordsmultiple linear regression model (MLRM) ; active accumulated temperature≥10℃ (AAT10) ; Spatial simulation ; Southern China

政府间气候变化委员会(Intergovernmental Panel on Climate Change，IPCC)于2013年9月发布了第五次全球气候变化评估报告(Fifth Assessment Report，AR5)第一工作组报告——《气候变化2013：自然科学基础》。报告指出：气候变暖是毋庸置疑的，自1880年以来，地球平均的表面温度上升了0.85℃，预计到2100年全球气温将上升2～4.8℃，并且极有可能(95%可信度)是人为活动导致全球变暖，同时伴随出现大气和海洋升温、冰雪量下降、海平面上升、温室气体浓度增加、极端天气频繁出现等现象[1]。

气候变化给人类的生存和发展带来了一系列重大影响，已经危及到农业安全、能源安全、生态安全、水资源安全、公共卫生安全等各方面[2]。农业是受气候变化影响最敏感的领域之一。积温是一个地区十分重要的热量资源，是作物生长的重要因素之一，对指导农业生产具有重要意义[3-4]，也是进行农业气候区划、合理配置农作物以及预报物候期、病虫害发生期的重要依据[5]。了解复杂地形下各界限温度下精细网格的积温对农、林、牧业的规划、布局是十分重要的[6]。由于受地理条件、维护条件等因素的限制，气象站点的布设很不均匀。如何根据有限的气象站资料获取空间化的气象要素是近年来生态学、资源科学和环境科学的重要任务[4]。近年来，一些学者开展了关于华南地区积温方面的相关研究[7-11]，因受当时资料、技术方法等方面的限制，尚存在一些不足，如缺乏对积温的精确空间化模拟。

华南地区属热带、亚热带季风气候，气候温暖湿润、雨热同季，区内动植物种类繁多，同时拥有广阔的热带海洋。不仅是我国重要的粮食生产基地，还是我国主要热带作物的生产基地。因此，充分利用该区丰富的热量和水分资源，发展农业生产以及热带经济作物，合理利用和保护热带性植物和动物资源，开发热带海洋资源等，对于我国自然资源的开发利用具有重要意义。因此，在此背景下，研究华南地区≥10℃积温的空间模拟、揭示热量资源分配的新格局，对现有农业结构和品种布局进行重新规划和调整具有重要意义。

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1资料与方法

1.1研究区域概况

华南地区位于欧亚大陆南端(3°58′N～26°23′N，104°29′E～117°50′E)，包括广东、广西、福建、云南和海南等省(区)，总陆地面积为96.99万 km2(图1)，属热带、亚热带季风气候，气候温暖湿润，雨热同季。年均气温21.40 ℃，降水量1 900.20 mm。华南地区大部分农作物属于我国的晚三熟和热三熟区域，农业生产水平相对较高，主要粮食作物有水稻、旱稻、小麦、番薯、木薯、玉米、高梁等，珠江三角洲、潮汕平原和厦门、漳州、泉州一带是我国双季稻高产地区[12]。经济作物主要有橡胶、甘蔗、麻类、花生、芝麻、茶等；该区的热带林木、热带水果、热带水产在我国农业生产中占有突出地位。

1.2数据来源

本文选用华南地区111个及周边(四川、贵州、湖南、江西、浙江等省份)39个气象站1980～2011年逐日平均气温实测数据及各气象台站地名、经度、纬度和海拔高度数据，资料来源于中国气象科学数据共享服务网(http：//cdc.cma.gov.cn/)和中国气象局。部分站点缺测数据，通过已有数据与临近站点数据作一致性检验之后进行插补，以保证数据的完整性和连续性。数字高程(Digital Elevation Models，DEM)数据采用美国地质调查局(U.S. Geological Survey，USGS)发布的全球90 m空间分辨率DEM数据；研究区边界数据采用国家基础地理信息中心发布的1∶400万中国行政区划数据。

1.3研究方法

1.3.1≥10℃积温的计算

本文计算积温的界限温度确定为10℃，采用五日滑动平均法确定日平均气温稳定≥10℃起止日期，其起始日定义为五日滑动平均气温≥10℃的日期，终止日定义为五日滑动平均气温<10℃的日期，具体算法见参考文献[13]。由于在热带地区全年日平均气温均大于10℃，所以研究区内部分站点的日平均气温稳定≥10℃起止日期分别为儒略历第一日和最后一日。

对于某一年某一站点而言，在确定界限温度(10℃)起止日期之后，计算该起止日期之间的日平均气温总和即为日平均气温稳定≥10℃期间积温[14]。

1.3.2基于多元线性回归模型(Multiple Linear Regression Model，MLRM)的积温空间模拟方法

在多要素的地理系统中，多个(多于2个)要素之间也存在着相关影响、相互关联的情况[15-17]。假设某一因变量y受k个自变量x1，x2，…，xk的影响，其n组观测值为yα，x1α，x2α，…，xkα，α=1，2，…，n。那么，多元线性回归模型的结构形式为：

ya=β0+β1x1a+β2x2a+…+βkxka+εa(1)

上式中，β0，β1，…，βk为待定参数，εα为随机变量。如果b0，b1，…，bk分别为β0，β1，…，βk的拟合值，则回归方程为：

y=b0+b1x1+b2x2+…+bkxk(2)

上式中，b0为常数，b1，b2，…，bk为偏回归系数，y为ya的预测值，则观测值(实际值)为预测值 y与残差y′的和，公式为：

y=y+y′(3)

在本研究中，考虑到积温受经度、纬度和海拔的影响。因此，建立积温与海报、经度、纬度之间的多元线性回归模型，公式为：

y=b0+b1θ+b2φ+b3λ(4)

上式中，θ为经度、φ为纬度、λ为海拔；将站点数的90%(134个)≥10℃积温及其经度、纬度、海拔代入上式进行建模，得出回归方程如下：

yj=22 235.969 8-65.185 5θ-313.936 2φ-1.575 1λ(5)

经统计检验，模型的置信水平α为0.001，复相关系数为0.941 6，R2为0.886 0，达到建模的精度验证要求。

1.3.3积温空间模拟过程

(1)参数获取：利用研究区DEM数据在ArcGIS10.0平台上获取的研究区经度和纬度90 m分辨率栅格数据，获得模拟所需的三个参数(海拔、经度、纬度)(图2)。

(2)预测栅格图：利用获取的模拟参数和回归模型公式(5)求得研究区1980～2011年≥10℃积温的预测栅格图。

(3)模拟结果：利用建模站点回归模型模拟残差进行反距离权重(Inverse Distance Weighted，IDW)插值，获得模拟残差栅格图，并根据公式(3)计算得出研究区1980～2011年≥10℃积温空间分布图(图3a)。

(4)精度验证：利用未参与建模的16个气象站点的实测数据作为模拟结果的验证数据，经检验模拟值与实测值的线性一致性较强，R2为0.953 8(图3b)，表明模拟结果符合精度验证要求，说明基于多元线性回归模型的≥10℃活动积温空间模拟方法可行，适合于较大范围的积温数据空间化模拟。

(5)模型对比：利用反距离权重(IDW)、普通克里格(Kriging)、样条函数(Spline)等插值方法对数据进行空间插值，获取不同插值方法模拟的积温空间分布图(图4)，并对比模拟精度(表1)。

(6)结果分析：分析研究区1980～2011年≥10℃积温的空间分布规律，并利用ArcGIS10.0三维分析(3D Analyst)工具的剖面分析功能，获取不同海拔高度和不同经纬线(101°E、110°E、117°E、24°N)上的剖面曲线(图5)，分析≥10℃活动积温随海拔、经纬度的变化情况。

2结果分析

2.1积温空间模拟结果

由图3a和图3b可知，基于多元线性回归模型的≥10℃积温空间模拟分布图较好体现了海拔、经纬度对积温的影响，更真实地体现了积温的空间分布状况。从模型的精度验证也可看出，模拟值与实测值的线性一致性较强，R2为0.953 8，表明基于多元线性回归模型的积温空间模拟方面适合于较大范围的积温数据空间化模拟，对农业结构调整、空间布局规划等方面有积极的指导意义。

研究区1980～2011年≥10℃积温小于 3 000℃的区域分布在云南西北部的德钦、贡山、香格里拉、丽江和东北部的昭通、会泽等高原地区；≥10℃积温大于3 000℃小于5 000℃的区域分布在云南的沾益、泸西、玉溪、大理、泸水、保山和广西北部融安、桂林以及福建的武夷山、九仙山、漳平等地区；≥10℃积温大于5 000℃小于7 000℃的区域分布在云南中部的腾冲、楚雄、景东和东部的文山、砚山、屏边，广西中部的百色、都安、河池、来宾、蒙山、梧州，广东北部的连州、广宁、韶关、佛岗、南雄、连平、五华、梅县，福建北部等低山丘陵地区；≥10℃积温大于7 000℃的区域在云南主要分布在怒江、澜沧江、元江、金沙江等河谷地区和西双版纳地区，还分布在广西、广东的南部地区，以及福建南部的漳州、厦门一带；其最高值出现在海南岛，其值为9 415℃。

2.2积温随海拔、经度、纬度的变化分析

图5a曲线为≥10℃积温随海拔的变化情况。由该图可知，研究区1980～2011年≥10℃积温随海拔的升高而减小。图5b、5c、5d曲线分别为不同经线(101°E、110°E、117°E)上的≥10℃积温变化剖面曲线，可知，≥10℃积温随纬度的增大而减小。图5e曲线为24°N纬线上的≥10℃活动积温变化剖面曲线。由此可知，≥10℃活动积温随经度的变化幅度较大，在研究区西部云南地区受地形的影响变化幅度强烈，在研究区东部广西、广东、福建等地变化幅度较小。

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2.3与其它插值方法对比分析

由图3、4可知，对比多元线性回归模型模拟的积温空间分布结果与常用的空间化方法IDW、Kriging、Spline等插值方法结果，发现4种方法对≥10℃积温总体分布趋势表现基本一致，都是随纬度的增大而减小，呈现出由南向北逐渐降低的趋势。但是基于多元线性回归模型的≥10℃积温空间模拟方法的精度较优，主要表现在以下几方面。

(1)≥10℃积温随海拔的变化趋势和精细度更明显，体现了海拔对活动积温的显著影响。

(2)对预留10%(16个)气象站点的模拟值与观测值线性一致性更强，R2为0.953 8，分别大于IDW(0.818 6)、Kriging(0.840 7)、Spline(0.753 2)对插值方法的模拟结果(表1)，并且均方根误差(Root-mean-square Error，RMSE)和相对均方根误差(Relative Root-mean-square Error，RMSEr)都小于IDW、Kriging、Spline插值方法(表1)，表明其模拟精度高、误差小。

3结论与讨论

本文选用华南地区111个及周边地区39个气象站点1980～2011年逐日平均气温实测数据及各气象台站地名、经度、纬度和海拔高度数据，利用多元线性回归模型和IDW、Kriging、Spline等插值方法模拟了华南地区≥10℃积温的空间分布，得出结论如下。

(1)通过分析1980～2011年华南地区≥10℃积温的空间分布情况，及其随海拔、经纬度的变化情况，可知研究区≥10℃积温最低值出现在云南省北部地区，最高值出现在海南岛；并且≥10℃积温随海拔的升高而减小，随纬度的增大而减小，随经度的变化幅度较大。在研究区西部云南地区受地形的影响变化幅度强烈，在研究区东部广西、广东、福建地区变化幅度较小。

(2)基于多元线性回归模型的≥10℃积温空间模拟方法较IDW、Kriging、Spline等插值方法的精度较优。其R2为0.953 8，分别大于IDW(0.818 6)、Kriging(0.840 7)、Spline(0.753 2)插值方法的模拟结果，并且其模拟结果随海拔、经纬度的变化趋势和精细度更明显，体现了海拔、经纬度对积温的显著影响。

(3)本文在进行≥10℃积温空间模拟时，虽然考虑了海拔、经度和纬度的影响，使模拟结果的精度和精细化程度都有所提高。但也存在一些不足，比如未考虑坡度、坡向、地形遮蔽、坡地反射辐射、散射辐射各向异性及天气过程等因素对积温的影响，同时，还应进一步加强遥感卫星资料在本研究中的应用。

参考文献

[1] http：//www.ipcc.ch/report/ar5/wg1/[EB/OL].

[2] 柏秦凤，霍治国，李世奎，等. 1978年前、后中国≥10℃年积温对比[J]. 应用生态学报，2008，19(8)：1 810-1 816.

[3] 廖顺宝，李泽辉. 积温数据栅格化方法的实验[J]. 地理研究，2004，23(5)：633-640.

[4] 袁淑杰，谷晓平，向红琼，等. 基于GIS的贵州高原复杂地形下积温的精细空间分布[J]. 资源科学，2010，32(12)：2427-2432.

[5] 李飞，王春，赵军，等. 中国陆地多年平均积温空间化研究[J]. 自然资源学报，2010，25(5)：778-784.

[6] 于贵瑞，何洪林，刘新安，等. 中国陆地生态信息空间化技术研究(Ⅰ)——气象/气候信息的空间化技术途径[J]. 自然资源学报，2004，19(4)：537-544.

[7] 顾骏强，杨军. 中国华南地区气候和环境变化特征及其对策[J]. 资源科学，2005，27(1)：128-135.

[8] 李勇， 杨晓光， 王文峰， 等. 气候变化背景下中国农业气候资源变化Ⅰ：华南地区农业气候资源时空变化特征[J]. 应用生态学报，2010，21(10)：2 605-2 614.

[9] 代姝玮，杨晓光，赵孟，等. 气候变化背景下中国农业气候资源变化Ⅱ：西南地区农业气候资源时空变化特征[J]. 应用生态学报，2011，22(2)：442-452.

[10] 赵锦，杨晓光，刘志娟，等. 全球气候变暖对中国种植制度可能影响Ⅱ：南方地区气候要素变化特征及对种植制度界限可能影响[J]. 中国农业科学，2010，43(9)：1 860-1 867.

[11] 李勇，杨晓光，王文峰，等. 全球气候变暖对中国种植制度可能影响Ⅴ：气候变暖对中国热带作物种植北界和寒害风险的影响分析[J]. 中国农业科学，2010，43(12)：2 477-2 484.

[12] 骆继宾. 我国农业气候资源的开发利用与农业区域开发[J]. 农业区划，1990，11(5)：44-47.

[13] 刘勤，严昌荣，何文清，等. 黄河流域近40a积温动态变化研究[J]. 自然资源学报，2009，24(1)：147-153.

[14] 曲曼丽. 农业气候实习指导. 北京： 北京农业大学出版社，1991.

[15] 徐建华. 现代地理学中的数学方法(第二版)[M]. 北京：高等教育出版社， 2002.

[16] 刘新安，于贵瑞，范辽生，等. 中国陆地生态信息空间化技术研究(Ⅲ)——温度、降水等气候要素[J]. 自然资源学报，2004，19(6)：818-825.

[17] 高仲亮，周汝良，李智，等. 积温分布的空间模拟及三维可视化初探[J]. 广东农业科学，2012，16：182-184，237-238.

篇5：线性代数期末复习题详解

(一)单项选择题

1．设A，B为n阶方阵，且ABE，则下列各式中可能不成立的是（A）

2(A)AB

(B)ABAB

(C)BABA

(D)(BA)2E 2．若由AB=AC必能推出B=C（A，B，C均为n阶矩阵）则A必须满足（C）(A)A≠O

(B)A=O

(C)A0

(D)AB0 3．A为n阶方阵，若存在n阶方阵B，使AB=BA=A，则（D）(A)B为单位矩阵

(B)B为零方阵

(C)B1111A

(D)不一定

4．设A为n×n阶矩阵，如果r(A)

(C)A的行（列）向量组中必有一个行（列）向量是其余各行（列）向量的线性组合(D)A的行（列）向量组中必有两个行（列）向量对应元素成比例 5．71．已知向量组1,2,3,4线性无关则向量组(C)(A)(B)(C)(D)12,23,34,41线性无关 12,23,34,41线性无关

12,23,34,41线性无关 12,23,34,41线性无关

6．下列说法不正确的是(A)(A)如果r个向量1,仍然线性无关(B)如果r个向量1,组仍然线性无关(C)如果r个向量1,(D)如果r个向量1,2,,r线性无关，则加入k个向量1,2,,k后，2,,r线性无关，则在每个向量中增加k个分量后所得向量2,,r线性相关，则加入k个向量后，仍然线性相关

则在每个向量中去掉k个分量后所得向量组2,,r线性相关，仍然线性相关

7．设n阶方阵A的秩r

(B)任意r个行向量均可构成极大无关组(C)任意r个行向量均线性无关

(D)任一行向量均可由其他r个行向量线性表示 8．设方阵A的行列式A0，则A中 C(A)必有一行（列）元素为零(B)必有两行（列）成比例

(C)必有一行向量是其余行（列）向量的线性组合(D)任一行向量是其余行（列）向量的线性组合

9．设A是m×n矩阵，齐次线性方程组AX=0仅有零解的充分必要条件是(A)(A)A的列向量线性无关(B)A的列向量线性相关(C)A的行向量线性无关(D)A的行向量线性相关

11．n元线性方程组AX=b，r（A，b）

(B)有唯一解

(C)无解

(D)不确定 10．设A，B均为n阶非零矩阵，且AB＝0，则A和B的秩（D）(A)必有一个等于零

(B)一个等于n，一个小于n

(C)都等于n

(D)都小于n 12．设向量组1,2,,s(s>1，10)线性相关，则（C）由1,2,,i1线性表出。

(A)每个i(i1)都能

(B)每个i(i1)都不能

(C)有一个i(i1)能

(D)某一个i(i1)不能

A的第二行加到第一行得到B，再将B的第一列的(1)倍加13.设A为3阶矩阵，将到第2列得到C，记B

110P010

001（A）CP1AP则：

（C）CPTAP(B)CPAP1

(D)CPAPT

14.若向量组,,线性无关;,,线性相关,则(C)(A)必可由,,线性表示.(B)必不可由,,线性表示(C)必可由,,线性表示.(D)必不可由,,线性表示.15．下列命题正确的是(D)(A)若向量组线性相关, 则其任意一部分向量也线性相关(B)线性相关的向量组中必有零向量

(C)向量组中部分向量线性无关, 则整个向量组必线性无关(D)向量组中部分向量线性相关, 则整个向量组必线性相关 16．设向量组1,2,,s的秩为r，则 D(A)必定r

17．A是m×n矩阵, r(A)=r 则A中必(B)(A)没有等于零的r-1阶子式至少有一个r阶子式不为零(B)有不等于零的r阶子式所有r+1阶子式全为零(C)有等于零的r阶子式没有不等于零的r+1阶子式(D)任何r阶子式都不等于零任何r+1阶子式都等于零 18．能表成向量10,的向量是（B）(A)0,0,0,1,20,1,1,1,31,1,1,1的线性组合0,1,1(B)2,1,1,0

(C)2,3,1,0,1(D)0,0,0,0,0

19．已知11,2,3, 23,1,2,32,3,x 则x=（D）时1,2,3线性相关。

(A)1

(B)2

(C)4

(D)5

20．向量组11,1,2,4,20,3,1,2,330,7,14

41,1,2,0的秩为 C（A）1

（B）2

（C）3

（D）4

21．设A为n阶方阵,且A0，则C(A)A中任一行（列）向量是其余各行（列）向量的线性组合(B)A必有两行（列）对应元素乘比例

(C)A中必存在一行（列）向量是其余各行（列）向量的线性组合(D)A中至少有一行（列）向量为零向量

22．向量组1,2,,s线性相关的充要条件是(C)3

(A)(B)(C)(D)1,2,,s中有一零向量

1,2,,s中任意两个向量的分量成比例 1,2,,s中有一向量是其余向量的线性组合 1,2,,s中任意一个向量均是其余向量的线性组合

23．若向量可由向量组1,2,,s线性表出,则(C)(A)存在一组不全为零的数k1,k2,,ks,使等式k11k22kss成立(B)存在一组全为零的数k1,k2,,ks,使等式k11k22kss成立(C)向量,1,2,,s线性相关(D)对的线性表示不唯一

24．对于n元方程组，正确的命题是（D）(A)如AX=0只有零解, 则AX=b有唯一解(B)AX=0有非零解, 则AX=b有无穷解(C)AX=B有唯一解的充要条件是A0

(D)如AX=b有两个不同的解, 则AX=b有无穷多解

25．设矩阵Amn的秩为r(A)=m

(C)A通过初等变换, 必可化为(Im,0)的形式

(D)若矩阵B满足BA0,则B0.26．非齐次线性方程组AX=b中未知数的个数为n，方程个数为m，系数矩阵A的秩为r，则（A）

(A)r=m时, 方程组AX=b有解(B)r=n时, 方程组AX=b有唯一解(C)m=n时, 方程组AX=b有唯一解(D)r

27．已知1,2,3是齐次线性方程组AX=0的基础解系，那么基础解系还可以是（B）(A)k11k22k33(B)(C)12,23,31 12,23，(D)1,123,32，28．向量组1,2,,r线性无关，且可由向量组1,2,,s线性表示，则 D r(1,2,,r)必（）r(1,2,,s)(A)大于等于

(B)大于

(C)小于

(D)小于等于

T 29．设n元齐次线性方程组AX=0的通解为k（1，2，…，n），那么矩阵A的秩为（B）(A)r(A)=1

(B)r(A)=n-1

(C)r(A)=n

(D)以上都不是

1111的秩为2，则=（D）30．设矩阵A=12233A.2

B.1

C.0

D.-1 31．设n维向量组1,2,,r(Ⅰ)中每一个向量都可由向量组1,2,,s(Ⅱ)线性表出,且有r>s, 则(D)

(A)(Ⅱ)线性无关

(B)(Ⅱ)线性相关

(C)(Ⅰ)线性无关

(D)(Ⅰ)线性相关 32．设1,2,,n是n个m维向量，且n>m, 则此向量组1,2,,n必定(A)(A)线性相关

(B)线性无关

(C)含有零向量

(D)有两个向量相等 33．矩阵A 适合条件（D）时，它的秩为r(A)A中任何r+1列线性相关

(B)A中任何r列线性相关

(C)A中有r列线性无关

(D)A中线性无关的列向量最多有r个 34．若m×n阶矩阵A中的n个列线性无关

则A的秩（C）(A)大于m

(B)大于n

(C)等于n

(D)等于m 35．若矩阵A中有一个r阶子式D≠0，且A中有一个含D的r+1阶子式等于零，则一定有R（A）（A）

(A)≥r

(B)＜r

(C)=r

(D)=r+1 36．要断言矩阵A的秩为r，只须条件（D）满足即可(A)A中有r阶子式不等于零(B)A中任何r+1阶子式等于零

(C)A中不等于零的子式的阶数小于等于r(D)A中不等于零的子式的最高阶数等于r 37.设m×n阶矩阵A，B的秩分别为r1,r2，则分块矩阵（A，B）的秩适合关系式（A）(A)rr1r2

(B)rr1r2

(C)rr1r2

(D)rr1r2 38．R(A)=n是n元线性方程组AX=b有唯一解（C)(A)充分必要条件

(B)充分条件

(C)必要条件

(D)无关的条件 39．矩阵A=11的特征值为0,2, 则3A的特征值为（B)115

(A)2,2;

(B)0,6;

(C)0,0;

(D)2,6;40．A=1122I2AA，则的特征值为（B）111(A)2,2;

(B)–2,-2;

(C)0,0;

(D)–4,-4;41．BPAP,0是A,B的一个特征值, 特征向量是(C)(A)

是A的关于0的特征向量, 则B的关于0的

(B)P

(C)P1

(D)P

242．A满足关系式A2AEO，则A的特征值是 C(A)=2

(B)= －1

(C)= 1

(D)= －2是

022x2的特征值，其中b≠0的任意常数，则x=（D）43．已知－2是A=222b(A)2

(B)4

(C)－2

(D)－4

41771有特征值123,312，则x=（D）44．已知矩阵A=444x(A)2

(B)－ 4

(C)－2

(D)4（提示：用特征值的和等于迹的结论来做较简单，迹的向定义见计算题与填空题17）45．设A为三阶矩阵，已知AE0，A2E0，A3E0，则A4E A(A)6

(B)－ 4

(C)－2

(D)4

46.设A为三阶矩阵，有特征值为1，-1，2，则下列矩阵中可逆矩阵是（D）(A)E-A

(B)E+A

(C)2E-A

(D)2E+A

（二）计算题与填空题

1．A5A6I0，则A31（）

（12A5I）621012,则RBA_____2___ 2．设A是34矩阵,RA2,B11113.设A为3阶矩阵，且|A|2, 则行列式|TTTA3A1|____

（-1/2）

4.11t3,20t5,310t, 当t0,2时, 向量组1,2,3 线性无关.6

5．设1kTTT5,1132,2211,k（）时可被向量组1,2线性表出。

（-8）

6.1001111000113120110010110013 答案：110 349012 7.设122T,1111T,2111T,3111T.则是否为向量组1,2,3的线性组合？

（是）

8． 确定a,b为何值时，使下列非齐次线性方程组有解，并求其所有解.x1x22x33x40x3x5x2x11234.x1x2ax34x41x17x210x37x4b答： 当a1,b4时，解为

1172131，其中

c1c1,c2为任意非零常数;c22020020

当a1,b4时，解为

17211

k0，其中k为任意常数;2020

方程组不存在唯一解.1111，矩阵X满足A*XA12X，其中A*是A的伴随矩阵，求9．已知A11111矩阵X.1101答 ：X0114101

10． 求下列矩阵的特征值与特征向量.102（1）010(2)201

312202.211答案：(1)11,21,33，对应于11的全部特征向量是k10,1,0，k10；

对应于21的全部特征向量是k21,0,1，k20；

对应于33的全部特征向量是k31,0,1，k30.(2)10,231，1

对应于10的全部特征向量是k11，k1为非零常数；

1TTT

对应于231的全部特征向量为

10k22k32，k2,k3是不同时为零的常数； 0111.三阶矩阵A的特征值为11,22,33,则A为（）.(6;1,;A1,A*,A1A2的特征值

1111,;6,3,2;2,4,9.)2323 8

1k1012.设矩阵A121有一个特征向量为2，求k及A的三个特征值.101k答案：k3，A的三个特征值为1,3,4.13．已知向量组

12,1,2,1T,21,1,5,7T,31,2,3,8T,41,1,a,6T,53,0,4,7T 的秩为3，求a及该向量组的一个极大无关组，并用该极大无关组表示其余向量。答案：a2,1,2,4 为一个极大无关组，31204，51024，14． 设向量组11,k,1,2k1,2,1,31,1,k，(1)k为何值时，1,2线性相关？线性无关？

(2)k为何值时，1,2,3线性相关？线性无关？

(3)当1,2,3线性相关时，将3表示为1,2的线性组合.答案：(1)k2时线性相关，k2时线性无关；

(2)k1,2或2时线性相关；k1且k2且k2时线性无关；

(3)当k1时，3102；当k2时，3534142.15设A123012,使得方程组AXb总有解的b是（211(k12310k21k322)1121116.已知向量(1,k,1)T是矩阵A121的逆矩阵A1的特征向量，求常数k

112答案：k1,2

17．矩阵A321315的迹为

。（7）323).定义：对于n阶方阵A(aij)，矩对角线元素之和称为方阵A的迹，记为trA，即

trAa11a22ann，定义2.15 如果矩阵A经过有限次初等变换变成矩阵B，则称矩阵A与B等价，记作AB

（三）证明题：

1.设A为mn矩阵，B为ns矩阵，且AB0，证明rArBn.证 设B(1,2，s)，则AB(A1,A2，As)，由AB0得

Ai0,i1,2，s，所以矩阵B的列向量都是方程组Ax0的解.设rAr，如r0，则结论显然成立.如rn，则方程组Ax0仅有零解，故B0，从而有rArBn.如0rn，则方程组Ax0的基础解系中有nr个线性无关解向量.由于B的列都能由基础解系线性表示，由定理3.12知，rBnr，所以rArBrnrn.T2.证明：对任意矩阵A，有rAArA.

证

设A为mn矩阵，x为n维列向量，如果x满足Ax0，则有

TT

篇6：线性代数期末模拟试卷

………课程 线性代数与空间解析几何B考试时间 2012 年7 月2 日

……………………注：请将答案全部答在答题纸上，直接答在试卷上无效。………………

…

……

一、填空题（每小题3分，满分27分）

……x

yz

2x2y2z

…

1、设行列式4

036，则行列式4301_________.……

1……

2、已知矩阵A满足A2-2A-8E= 0，则(A+E)-1=_____________.……

3、已知向量组T…1=(1,2,3)T, 2=(3,-1,2), T3=(2,3,k)线性相关，则常数k =_________.线……5200……

4、设矩阵A=2

100

…0021，则A-1

=________________.…

00

1

……

5、若A、B为5阶方阵，且Ax= 0只有零解，且R(B)=3，则R(AB)=___________.……

6、三元线性方程x1+ x2+ x3=1的通解是_______________.订…0

b

…

7、若矩阵

A=1

与矩阵B=…

43



a

x相似，则x=_____.

……1……

8、设3元非齐次线性方程组Ax=b有解1=21,2=2且R(A)=2，则Ax=b的通解为……33

…装__________________.……

9、若f(x1, x2, x3)=x214x224x232x1x24x2x3为正定二次型,则的取值应满足______.……

二、选择题（每小题3分，满分15分）

……

…

1、若矩阵A可逆，则下列等式成立的是（）

………(A)A=

1…AA*

；(B)A0；(C)(A2)

1

(A

1)

;(D)(3A)1

3A

1

.………

2、若A、B相似，则下列说法错误．．的是()…(A)A与B等价；(B)A与B合同；(C)| A |=| B |；

(A)A与B有相同特征值.…第 1 页，3、设有向量组A：1,2,3,4，其中1,2,3线性无关，则（）

(A)1,3线性无关；(B)1,2,3,4线性无关；(C)1,2,3,4线性相关(D)2,3,4线性相关.4、设A为n阶对称矩阵，B为n阶反对称矩阵，则下列矩阵中为对称矩阵的是()(A)AB-BA；(B)AB+BA；(C)AB；(D)BA.5、设A为m×n矩阵，则n元齐次线性方程组Ax= 0存在非零解的充要条件是（）

(A)A的行向量组线性无关；(B)A的行向量组线性相关；(C)A的列向量组线性无关；(D)A的列向量组线性相关.三、计算题（每小题9分，满分18分）

a

00（1）D =11ab0011bc.1

1c

01（2）设矩阵A=

0

20

,而X满足AX+E=A2+X，求X.

1

四、应用题（每小题10分，满分20分）

（1）求向量组11,1，1，4T，3，5T，TT

22,1，33,1,5,6，41,-1，3，2的一个

极大线性无关组，并将其余向量用该极大线性无关组表示出来.1

0a（2）设A =

-1

0

20=

, b -1，已知非齐次线性方程组Ax=b存在两个不同



-11的解，求（I），a的值；（II）Ax=b的通解.五、证明题（满分8分）设A，B，A+B均为n阶正交矩阵，证明:(AB)1A1B1.六、综合题（满分12分）

2

00100

设A=

0

3a的三个特征值分别为1，2，5，求正交矩阵P，使P-1AP =0

20.

0a

3

00

5