数学思想方法论文

数学思想方法论文（通用8篇）

篇1：数学思想方法论文

高中数学思想是高中数学教学的灵魂，是获取和吸收知识最有效的方法，具有极高的实用性和适用性，高中生在充分了解和掌握数学思想方法就能够提高处理数学问题的能力了，进而在面对数学考试的时候能够从容不迫，同时也有助于高中生综合素质的完善和提高。

因此，培养学生数学思想方法对学生数学学习具有非常重要的意义，但是将数学思想方法融入到整个高中阶段的教学中是非常不容易的，不同的数学概念不一定会蕴含着一样的数学思想方法，举例来说，牛顿从物理角度对微积分定义进行了解释，而莱布尼茨从几何角度对微积分的定义进行了另一种解释，所以为了更好的掌握微积分的内容，就一定要明确它的定义极限，而这里所蕴含的数学思想就是对数学对象进行分割定义等一系列处理。只有具备数学思想，并以此为基础，才能通过这种数学学习方法高效的解决各种类型的数学难题和数学概念和理论，进而更好的完成数学教学任务，帮助高中生尽快的提高数学成绩。

高中数学教学中强化数学思想方法渗透的实践途径

虽然数学思想方法在高中数学教学中会起到很重要的作用，但假如我们将这种思想直接的灌输和传授高中生，他们可能并不能很好的接受这种思想，脱离了实际的数学活动，数学思想方法的适用性就会大打折扣，在授课时刻意的对学生强制性的进行数学思想方法渗透，就会让学生逐渐沉溺在形式主义的环境里

所以数学思想方法的渗透一定要与具体的教学活动相结合，并通过学习和反思不断加强数学思想方法的掌握程度，进而习惯用数学思想方法解题。

数学思想方法的渗透应当与具体的数学知识和数学活动结合在一起。

高中数学教师要首先学习和掌握数学思想方法，在实践教学过程中要率先对数学思想方法进行实际应用，这也会帮助学生认识到数学思想的重要性;

其次，数学思想方法通常要从具体到抽象，以数学教学活动为依托，并经过一系列的渗透、理解、应用和反思阶段，并针对不同的课程安排有选择性的采取对应的教学策略。

篇2：数学思想方法论文

函数与方程思想是中学数学函数的基本思想， 在中考、高考中，常常以大题的方式呈现。函数是对于客观事物在运动变化过程中，各个变量之间的相互关系，用函数的形式将这种数量关系表示出来并加以解释，从而解决问题。函数思想是指采用运动和变化的观念来建立函数关系式或构造模型，将抽象的问题运用函数的图象和性质规律去分析、转化问题，最终解决问题;

方程思想是指分析数学问题中的变量间的等量关系，建立方程或者构造方程组，运用方程的性质去分析问题，从而达到解决问题的目的。函数与方程思想在数学教学运用非常广泛， 并注重培养学生的运算能力与逻辑思维能力。

数形结合的思想方法

数形结合是数学中的一种非常重要的思想方法。它将抽象的数量关系用直观的方式在平面或空间上呈现出来，也是将抽象思维与形象思维地结合起来解决问题的一种重要的数学解题方法。华罗庚曾说过：“数缺形时少直观，形少数时难入微，数形结合百般好，割裂分家万事休。”

有时仅从“数量关系”中观察很难入手，但如果把数量关系转化为图形，并利用其图形的规律性质来确定，借助形的明了直观性来描述数量之间的联系，可使问题由难转易，化繁为简。故在面临一些抽象的函数题型时，老师要引导学生用数形结合的思想方法，使解题思路峰回路转。例如，求y=(cosθ-cosα+3)2+(sinθ-sinα-2)2的最值(θ， α∈R) 可利用距离函数模型来解决。

化归、类比思想

所谓化归、类比思想是把一个抽象、陌生、复杂的数学问题化比成熟知的、简单的、具体直观的数学问题，从而使问题得到解决，这就是化归与类比的数学思想。 函数中一切问题的解决都离不开化归与类比思想，常见的转化方法如：①类比法：运用类比推理，猜测问题的结论，易于确定转化的途径;②换元法，运用“换元”把非标准形式的方程、不等式、函数转化为容易解决的基本问题;

③等价转化法：把原问题转化为一个易于解决的等价命题，达到转化目的;④坐标法：以坐标系为工具，用代数方法解决解析几何问题，是转化方法的一种重要途径。高中数学老师要熟悉数学化归思想，有意识地运用化归的思想方法去灵活解决相关的数学问题，并在教学中渗透到学生的思想意识里，将有利于强化在解决数学问题巾的应变能力，提高学生数学思维能力。

分类讨论思想方法

分类讨论思想是一种“化整为零，积零为整”的思想方法。在研究和解决某些数学问题时，当所给对象无法进行统一研究时，就需要我们根据数学对象的本质属性的异同特点，将问题对象分为不同类别，然后逐类进行讨论和研究，从而达到解决整个问题的目的。

篇3：数学思想方法论文

1在集合概念的教学中渗透抽象概括的思想

集合是一个不加定义的原始的概念, 教材给出的“一般地, 我们把研究对象统称为元素, 把一些元素 组成的总 体叫做集 合 (set) (简称为集) ”只是对集合的描述性说明.教材首先列出了8个背景例子让学生对比分析它们的共同特征, 从而抽象概括出元素和集合的含义.教学时, 教师要通过设置恰当的问题情境, 让学生自己通过讨论、交流概括出集合的含义, 切忌“一个定 义, 三项注意, 马上解题”的教学形式.此外通过本单元的教学, 还要使学生概括总结出学习一个新概念的一条主线:定义→表示→关注特殊元→两元关系及分类 (尤其是相等) →构造运算及性质→应用, 为以后的学习起到一个导向作用, 从而帮助学生形成认知结构, 发展元认知.

2在集合中元素的特征教学中渗透符号化思想

集合论的语言是数学的基本语言, 集合语言在数学的各领域中主要是以符号的形式出现, 这主要是利用了符号语言的高度概括性和简洁性.

例1已知集合A={x|y=x, x∈R}, B={ (x, y) |y=x, x∈R}, C={y|y=x2-2, x∈R}, D={ (x, y) |y=x2-2, x∈R}, E={y=x2-2}.求:

(Ⅰ) A∩C; (Ⅱ) B∩D; (Ⅲ) C∩E.

解 (Ⅰ) 集合A, C的代表元素分别是实数x, y, 集合A, C分别是函数y=x, y=x2-2的定义域和值域, 即A=R, C= (y|y≥-2}, 所以A∩C={y|y≥-2}.

(Ⅱ) 集合B, D的代表元素均为 (x, y) , 且 (x, y) 分别是直线y=x, 抛物线y=x2-2上的点.所以B∩D就是直线与抛物线的交点, 故B∩D={ (-1, -1) , (2, 2) }.

(Ⅲ) 集合C, E的代表元素一个是实数y, 一个是点 (x, y) , 所以两个集合没有相同元素, 故C∩E=Φ.

评析解集合问题时一定要分清其代表元素, 即分清集合的类型 (数集、点集、图形、定义域、值域、方程或不等式的解或解集等) .还要注意集合中元素的3个特性.

3在集合之间的关系教学中渗透类比的思想

由某类事物已有的性质, 以类比、联想的方式猜想另一类相似事物的性质, 是数学逻辑思考的重要思维方法.在集合单元教学中, 由学生比较熟悉的数的关系类比、联想集合之间的关系不失为学习集合的一种行之有效的方法.例如我们在教学中可以做以下类比: (1) 对于实数a, 有a≤a;对于集合A, 有AA; (2) 对于实数a, b, c, 若a≤b, 且b≤c, 则a≤c;对于集合A, B, C, 如果AB, 且BC, 则AC; (3) 对于实数a, b, a<b, a=b, a>b三式有且只有一式成立;对于集合A, B, AB, A=B, AB三式有且 只有一式 成立; (4) 两个实数的加、减、乘运算与两个集合的并、补、交; (5) 实数中的特殊元0与集合中的特殊元Φ.通过类比学习, 加深学生对概念的理解和记忆.

例2设集合, 则 () .

(A) M=N (B) MΦN

(C) M∪N (D) M∩N=Φ

解析联想到三角函数中集合A=, 表示终边在各象限平分线的角集, 集合B=表示终边在各象限平分线以及坐标轴 上的角集, 显然有AB, 类比此立刻可得正确答案应为B.

4在集合的图形表示中渗透数形结合的思想

教材中指出:为了形象地表示集合, 我们常常画一条封闭的曲线, 用它的内部来表示一个集合.把表示集合的图形也叫做文氏图.由于文氏图表示集合具有形象、直观的特点, 因此, 它是处理集合问题的重要工具之一.它不仅能帮助我们深刻理解与记 忆集合的 概念、运算公式及相互关系, 而且还能对一些数学问题进行合理、有效地分类与探求, 从而获得便捷、简明的解题途径.

例3已知全集U={30以内的质数}, 它的子集A, B满足求集合A, B.

解因为全集U={2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29}, 画出文氏图1.从图中立即求得A={3, 11, 19, 23}, B={2, 7, 11, 17, 19}.

5在3种语言的转译中渗透化归转化的思想

集合问题中的语言有3种:文字语言、符号语言、图形语言 (文氏图) .3种语言各有优缺点, 因此, 注意3种语言间的转译往往是寻求解题的关键所在, 但要注意转译的准确性.

例4设集合U = { (x, y) |x∈R, y∈R}, 集合A={ (x, y) |}, B={ (x, y) |y≠x+1}, 那么等于 () .

(A) Φ (B) { (2, 3) }

(C) (2, 3) (D) { (x, y) |y=x+1}

解析将符号语言转译成文字语言, 集合A是由直线y=x+1除去 (2, 3) 后的点组成的集合, 集合B是由坐标平面上不在直线y=x+1上的点组成的, 因此, A∪B是由坐标平面上除 (2, 3) 的点组成的, 它关于坐标平面上的点组成的集合U的补集.故选B.

6在研究集合的子集间关系的教学中渗透分类整合的思想

有些数学问题涉及的对象较复杂, 统一地解决有困难, 于是就将这些对象分成“不重不漏”的若干类, 然后逐类解决.这就是集合中的分类思想.

例5 (教材例3) 写出集合{a, b}的所有子集, 并指出哪些是它的真子集.

解析如果教师教学时就题论题, 就失去了一次渗透数学思想方法的机会.教学时先让学生自主解答, 再说出他们是如何思考的.学生可能漏写空集, 或者虽然写出了正确结果, 但有些乱等等.在此基础上教师引导学生分类写出子集和真子集.此题可按不同的标准分类.一是按子集中是否含有元素可分为空集和非空子集, 非空子集又可分为一元子集和二元子集.二是按子集中元素的个数分为零元子集 (空集) 、一元子集和二元子集.接着再让学生写出含三个元素集合的所有子集, 并观察、归纳、猜测出一般结论.

7在两个集合之间联系的教学中渗透对应的思想

有些数学问题需要我们求集合中元素的个数, 但由于计数的对象的特征不明显或混乱复杂难以直接计数, 这时可建立适当的映射将问题化归为容易计数的对象后再解决, 从而使问题化繁为简, 取得化难为易的效果.集合的这种对应思想有时可给解决问题带来很大的帮助.集合论的创始人康托尔就是利用集合的这一思想解决了几个特定集合是否可数的问题.如有理数是可数的, 实数是不可数的等.

例6把△ABC的各边n等分, 过各分点分别作各边的平行线, 得到一些由三角形的边和这些平行线所组成的平行四边形, 试计算这些平行四边形的个数.

解由对称性, 先考虑边不平行于BC的小平行四边形.如图2, 把AB边和AC边各延长一等分, 得B′, C′, 连B′C′.将AB′的n条平行线分别延长与B′C′相交, 则在B′C′共有n+2个点, 从B′到C′依次记为1, 2, …, n+2, 图中阴影所示的小平行四边形4边所在的4条直线分别交B′C′于i, j, k, l, 记

A={边不平行于BC的小平行四边形},

B={ (i, j, k, l) |1≤i<j<k<l≤n+2}.

现将小平行四边形的4条边延长且交B′C′边于4点的过程定义为一个映射f:A→B.

易知f是一一映射, 由|B|=C4n+2 (“|B|”表示集合B中元素的个数) 知|A|=C4n+2.

故得所有平行四边形的总数为3C4n+2.

评析这种通过建立一一对应关系而将所要解决的问题化难为易的办法, 是数学中的一种常用手法, 并且在计算集合中元素个数问题中发挥着极大的作用.利用好这种思想方法的关键是寻找适当的对应.

8在特殊集合空集的教学中渗透一分为二的思想

空集是一个特殊的重要集合, 它不含任何元素, 在解与集合相关的一类问题时, 由于思维定势的原因, 学生常将空集遗忘而使解答发生错误.空集有如下性质:ΦA, ΦA (A≠Φ) , A∩Φ=Φ, A∪Φ=A等, 因此, 如果题目中有:BA, A∩B=B, A∪B=A等条件时, 要注意B为空集的情形.为防止遗漏空集, 我们在教学中要善于运用一分为二的思想方法, 既要考虑集合为非空的情形, 又要注意集合可能为空集的情形, 深刻理解空集的含义, 重视空集的特殊性和重要作用, 养成缜密、全面思考问题的习惯, 以减少解题的失误.

例7已知A={x|2≤x≤6}, B={x|2a≤x≤a+3}.若BA, 则实数a的取值范围是 .

解由BA, 分两类:

1当B=Φ时, 得a+3<2a, 即a>3满足题意;

2当B≠Φ时, 得2a≥2, a+3≤6, 即1≤a≤3满足题意.

综上, 实数a的取值范围是a≥1.

评析本题在实际考查中错误率是很高的, 原因都是遗漏了B=Φ的情况.需要指出的是, 如果集合B用区间形式给出, 即B=[2a, a+3], 则隐含着B不可能是空集, 这点务必要让学生明白.

9在例习题的教学中渗透特殊与一般的思想

将待解问题看成特殊问题, 通过对它的一般形式问题的解决而得到原问题的解, 这种思想方法就是一般化思想.与此相反, 对于待解问题, 先解决它的特殊情况, 然后把解决特殊情况的方法或结果应用到一般情况, 使原问题获解的思想就是特殊化思想.

例8已知集合M满足{2, 5}MΦ{1, 2, 3, 4, 5}, 则不同的M的个数是 .

解用枚举法可写出符合条件的集 合{2, 5}, {2, 5, 1}, {2, 5, 3}, {2, 5, 4}, {2, 5, 1, 3}, {2, 5, 1, 4}, {2, 5, 3, 4}.所以不同的M个数是7个.

评析如果我们令集合M=N∪{2, 5}, 且N∩{2, 5}=Φ, 则ΦN{1, 3, 4}, 这样不同的集合N与不同的集合M构成一一对应, 它们的个数就是集合{1, 3, 4}的真子集的个数, 即23-1=7个.将此结论进一步推广可得

1若集合M满足, 则不同的M的个数是2n个.

2若集合M满足则不同的M的个数是2n-1个.

3若集合M满足则不同的M的个数是2n-1个.

4若集合M满足则不同的M的个数是2n-2个.

再特殊化, 当m=0时, 集合{a1, a2, …, am}可认为是Φ, 上述4个结论分别对应:含n个元素的集合, 它有子集2n个;真子集2n-1个;非空子集2n-1个;非空真子集2n-2个.

10从反面入手渗透补集思想

对于某些问题, 如果从正面求解较困难或较繁, 则可以考虑从问题的反面入手, 采用“顺繁则逆”, “正难则反”的解题策略, 这就是将研究对象的全体视为全集, 求出使问题反面成立的集合A, A的补集即为所求.

例9解不等式

教学实践证明, 该题学生能得出正确结果的很少.大多数学生的解法如下:

显然, 当x=1或2时, 原不等式也成立.

为什么会漏掉x=1和x=2这两个解呢?究其原因是忽视了原不等式中的“≥”号具有不等和相等双重性.如果运用补集思想来求解, 则可避免这种情况.

正解等价于不等式组解得x<1或2<x, 烆<3, 记A={x|x<1或2<x<3}, 因为原不等式的存在域是不等式x2-3x+2≥0的解集, 即U={x|x≤1, 或x≥2}, 故原不等式的解集为

当然上述思想方法要真正让学生领悟, 不是通过一两节课在一朝一夕完成的, 教师要在本章乃至整个高中数学教学过程中依照螺旋上升的原则, 有计划、有步 骤地逐步 渗透、介绍这些思想方法, 使学生在反复的体验和练习中逐步领悟它.

参考文献

[1]钱珮玲.数学思想方法与中学数学[M].北京:北京师范大学出版社, 2008.

[2]罗增儒.数学解题学引论 (第2版) [M].西安:陕西师范大学出版社, 2004.

[3]人民教育出版社中学数学室.普通高中课程标准实验教科书 (A版) ·数学1[M].北京:人民教育出版社, 2007.

[4]人民教育出版社中学数学室.普通高中课程标准实验教科书 (A版) ·数学1教师教学用书[M].北京:人民教育出版社, 2007.

篇4：初中数学的数学思想方法

【关键词】初中数学 数学思想方法 教学

初中是每个人学生生涯中至关重要的一个阶段，这个阶段的学生还没有正确的世界观和人生观，对待数学更没有很完整的概念，所以在这段时间里，数学教师对学生在数学方面的引导就显得尤为重要。教师在教学过程中的引导是很重要的，这个时候就能体现出教师对数学方法的理解了，在平时的学习的过程中，我也总结了一些关于初中数学的数学方法，首先说说初中数学思想方法教学的重要性。

长期以来，传统的数学教学中，只注重知识的传授，却忽视知识形成过程听数学思想方法的现象非常普遍，它严重影响了学生的思维发展和能力培养。随着教育改革的不断深入，越来越多的教育工作者、特别是一线的教师们充分认识到：中学数学教学，一方面要传授数学知识，使学生掌握必备数学基础知识；另一方面，更要通过数学知识这个载体，挖掘其中蕴涵的数学思想方法，更好地理解数学，掌握数学，形成正确的数学观和一定的数学意识。

关于初中数学思想方法有很多的种类，下面我来说说我所总结的集中数学方法：

1.分类讨论思想。分类讨论是根据教学对象的本质属性将其划分为不同种类，即根据教学对象的共同性与差异性，把具有相同属性的归入一类，把具有不同属性的归入另一类。分类是数学发现的重要手段。在教学中，如果对学过的知识恰当地进行分类，就可以使大量纷繁的知识具有条理性。

2.数形结合思想。人们一般把代数称为“数”而把几何称为“形”，数与形表面看是相互独立，其实在一定条件下它们可以相互转化，数量问题可以转化为图形问题，图形问题也可以转化为数量问题。数形结合在各年级中都得到充分利用。

3.逆向思维的方法。所谓逆向思维就是把问题倒过来或从问题的反面思考或逆用某些数学公式、法则解决问题。加强逆向思维的训练，可以培养学生思维的灵活性和发散性，使学生掌握的数学知识得到有效的迁移。

4.类比联想的思想和方法。数学教学设计在考虑某些问题时常根据事物间的相似点提出假设和猜想，从而把已知事物的属性类比推广到类似的新事物中去，促进发现新结论。

5.整体的思想和方法。整体思想就是考虑数学问题时，不是着眼于它的局部特征，而是把注意和和着眼点放在问题的整体结构上，通过对其全面深刻的观察，从宏观整体上认识问题的实质，把一些彼此独立但实质上又相互紧密联系着的量作为整体来处理的思想方法。整体思想在处理数学问题时，有广泛的应用。

光知道数学教学思想方法是不行的，作为未来的教师，我们也要知道各种思想方法要怎样渗透到平时的教学中呢？

1.在备课中，有意识地体现数学思想方法。数学概念、法则、公式、性质等知识都明显地写在教材中，是有“形”的，而数学思想方法却隐含在数学知识体系里，是无“形”的，并且不成体系地散见于教材各章节中。教师讲不讲，讲多少，随意性较大，常常因教学时间紧而将它作为一个“软任务”挤掉。对于学生的要求是能领会多少算多少。因此，作为教师首先要更新观念，从思想上不断提高对渗透数学思想方法重要性的认识，把掌握数学知识和渗透数学思想方法同时纳入教学目的，把数学思想方法教学的要求融入备课环节。其次要深入钻研教材，努力挖掘教材中可以进行数学思想方法渗透的各种因素，对于每一章每一节，都要考虑如何结合具体内容进行数学思想方法渗透，渗透哪些数学思想方法，怎么渗透，渗透到什么程度，应有一个总体设计，提出不同阶段的具体教学要求。

应充分利用数学的现实原型作为反映数学思想方法的基础。数学思想方法是对数学问题解决或构建所做的整体性考虑，它来源于现实原型又高于现实原型，往往借助现实原型使数学思想方法得以生动地表现，有利于对其深入理解和把握。例如：分类讨论的思想方法始终贯穿于整个数学教学中。在教学中要引导学生对所讨论的对象进行合理分类。

2.以教材知识为载体，在教学中渗透数学思想方法。受篇幅的限制，教材内容较多显示的是数学结论，对数学结论里面所隐含的数学思想方法以及数学思维活动的过程，并没有在教材里明显地体现。在知识的引进、消化和应用过程中促使学生领悟和提炼数学思想方法。数学知识发生的过程也是其思想方法产生的过程。在此过程中，要向学生提供丰富的、典型的以及正确的直观背景材料，创设使认知主体与客体之间激发作用的环境和条件，通过对知识发生过程的展示，使学生的思维和经验全部投入到接受问题、分析问题感悟思想方法的挑战之中，从而主动构建科学的认知结构，将数学思想方法与数学知识融汇成一体，最终形成独立探索分析、解决问题的能力。

3.在掌握重点、突破难点中，有意识地运用数学思想方法。数学教学中的重点，往往就是需要有意识地运用或揭示数学思想方法之处。数学教学中的难点，往往与数学思想方法的更新交替、综合运用、跳跃性较大有关。因此，教师要掌握重点，突破难点，更要有意识地运用数学思想方法组织教学。例如，“二次根式的加减运算”是一个教学难点，为了突破难点，就要运用类比思想、整体思想、化归转换思想方法寻找解决问题途径，采用类比“整式的加减运算”的手段，构造出具体形象的数学模型，从而进行猜想、推理、研究，实现从未知到已知的转化。

数学思想和方法不仅是上述几种，还有很多我没接触到的，所以这里不可能全面阐述。总之，作为未来教师的我们应该意识到数学思想方法教学的重要性，数学思想和方法是数学知识的有机组成部分，是数学知识的精髓，是知识转化为能力的桥梁。

【参考文献】

[1]邵光华.作为教育任务的数学思想与方法.上海教育出版社，2009-8-1.

[2]杨传林.数学分析解题思想与方法.浙江大学出版社，2008-12-09.

[3]黄明信.浅谈如何把握数学思想方法教学[J].数学学习研究，2010（8）.

[4]吴晓娜.数学思想方法及其应用[J].青年文学家，2010（7）.

篇5：数学解题方法与数学思想

1. 函数与方程的思想：函数与方程的思想是中学数学最基本的思想。所谓函数的思想是指用运动变化的观点去分析和研究数学中的数量关系，建立函数关系或构造函数，再运用函数的图像与性质去分析、解决相关的问题。而所谓方程的思想是分析数学中的等量关系，去构建方程或方程组，通过求解或利用方程的性质去分析解决问题。

2. 数形结合的思想：数与形在一定的条件下可以转化。如某些代数问题、三角问题往往有几何背景，可以借助几何特征去解决相关的代数三角问题;而某些几何问题也往往可以通过数量的结构特征用代数的方法去解决。因此数形结合的思想对问题的解决有举足轻重的作用。

3. 分类讨论的思想

分类讨论的思想之所以重要，原因一是因为它的逻辑性较强，原因二是因为它的知识点的涵盖比较广，原因三是因为它可培养学生的分析和解决问题的能力。原因四是实际问题中常常需要分类讨论各种可能性。

解决分类讨论问题的关键是化整为零，在局部讨论降低难度。

常见的类型：

类型1 ：由数学概念引起的的讨论，如 实数、有理数、绝对值、点(直线、圆)与圆的位置关系等概念的分类讨论 ;

类型2 ：由数学运算引起的讨论，如不等式两边同乘一个正数还是负数的问题;

类型3 ：由性质、定理、公式的限制条件引起的讨论，如一元二次方程求根公式的应用引起的讨论;

类型4 ：由图形位置的不确定性引起的讨论，如直角、锐角、钝角三角形中的相关问题引起的讨论。

类型5 ：由某些字母系数对方程的影响造成的分类讨论，如二次函数中字母系数对图象的影响，二次项系数对图象开口方向的影响，一次项系数对顶点坐标的影响，常数项对截距的影响等。

如分类讨论的案例： 在一张长为 9 厘米 ，宽为 8 厘米 的矩形纸板上，剪下一个腰长为 5 厘米 的等腰三角形(要求等腰三角形的一个顶点与矩形的一个顶点重合，其余两个顶点在矩形的边上)，请计算剪下的等腰三角形的面积?

分类讨论思想是对数学对象进行分类寻求解答的一种思想方法，其作用在于克服思维的片面性，全面考虑问题。分类的原则：分类不重不漏。

分类的步骤：

①确定讨论的对象及其范围;

②确定分类讨论的分类标准;

③ 按所分类别进行讨论;

④ 归纳小结、综合得出结论。注意动态问题一定要先画动态图。

4 .转化与化归的思想

转化与化归市中学数学最基本的数学思想之一，数形结合的`思想体现了数与形的转化;函数与方程的思想体现了函数、方程、不等式之间的相互转化;分类讨论思想体现了局部与整体的相互转化，所以以上三种思想也是转化与化归思想的具体呈现。

但是转化包括等价转化和非等价转化，等价转化要求在转化的过程中前因和后果是充分的也是必要的;不等价转化就只有一种情况，因此结论要注意检验、调整和补充。转化的原则是将不熟悉和难解的问题转为熟知的、易解的和已经解决的问题，将抽象的问题转为具体的和直观的问题;将复杂的转为简单的问题;将一般的转为特殊的问题;将实际的问题转为数学的问题等等使问题易于解决。

常见的转化方法有： ?

( 1 )直接转化法：把原问题直接转化为基本定理、基本公式或基本图形问题 .

( 2 )换元法：运用“换元”把式子转化为有理式或使整式降幂等，把较复杂的函数、方程、不等式问题转化为易于解决的基本问题 .

?( 3 )数形结合法：研究原问题中数量关系(解析式)与空间形式(图形)关系，通过互相变换获得转化途径 .

?( 4 )等价转化法：把原问题转化为一个易于解决的等价命题，达到化归的目的 .

?( 5 )特殊化方法：把原问题的形式向特殊化形式转化，并证明特殊化后的问题，使结论适合原问题 .

( 6 )构造法：“构造”一个合适的数学模型，把问题变为易于解决的问题 .

篇6：数学思想方法

前言

美国著名数学教育家波利亚说过，掌握数学就意味着要善于解题。而当我们解题时遇到一个新问题，总想用熟悉的题型去“套”，这只是满足于解出来，只有对数学思想、数学方法理解透彻及融会贯通时，才能提出新看法、巧解法。高考试题十分重视对于数学思想方法的考查，特别是突出考查能力的试题，其解答过程都蕴含着重要的数学思想方法。我们要有意识地应用数学思想方法去分析问题解决问题，形成能力，提高数学素质，使自己具有数学头脑和眼光。

高考试题主要从以下几个方面对数学思想方法进行考查：①常用数学方法：配方法、换元法、待定系数法、数学归纳法、参数法、消去法等；②数学逻辑方法：分析法、综合法、反证法、归纳法、演绎法等； ③数学思维方法：观察与分析、概括与抽象、分析与综合、特殊与一般、类比、归纳和演绎等；④常用数学思想：函数与方程思想、数形结合思想、分类讨论思想、转化（化归）思想等。①常用数学方法：配方法、换元法、待定系数法、数学归纳法、参数法、消去法等；

②数学逻辑方法：分析法、综合法、反证法、归纳法、演绎法等；

③数学思维方法：观察与分析、概括与抽象、分析与综合、特殊与一般、类比、归纳和演绎等； ④常用数学思想：函数与方程思想、数形结合思想、分类讨论思想、转化（化归）思想等。数学思想方法与数学基础知识相比较，它有较高的地位和层次。数学知识是数学内容，可以用文字和符号来记录和描述，随着时间的推移，记忆力的减退，将来可能忘记。而数学思想方法则是一种数学意识，只能够领会和运用，属于思维的范畴，用以对数学问题的认识、处理和解决，掌握数学思想方法，不是受用一阵子，而是受用一辈子，即使数学知识忘记了，数学思想方法也还是对你起作用。数学思想方法中，数学基本方法是数学思想的体现，是数学的行为，具有模式化与可操作性的特征，可以选用作为解题的具体手段。数学思想是数学的灵魂，它与数学基本方法常常在学习、掌握数学知识的同时获得。

可以说，“知识”是基础，“方法”是手段，“思想”是深化，提高数学素质的核心就是提高学生对数学思想方法的认识和运用，数学素质的综合体现就是“能力”。

为了帮助学生掌握解题的金钥匙，掌握解题的思想方法，本书先是介绍高考中常用的数学基本方法：配方法、换元法、待定系数法、数学归纳法、参数法、消去法、反证法、分析与综合法、特殊与一般法、类比与归纳法、观察与实验法，再介绍高考中常用的数学思想：函数与方程思想、数形结合思想、分类讨论思想、转化（化归）思想。最后谈谈解题中的有关策略和高考中的几个热点问题，并在附录部分提供了近几年的高考试卷。

在每节的内容中，先是对方法或者问题进行综合性的叙述，再以三种题组的形式出现。再现性题组是一组简单的选择填空题进行方法的再现，示范性题组进行详细的解答和分析，对方法和问题进行示范。巩固性题组旨在检查学习的效果，起到巩固的作用。每个题组中习题的选取，又尽量综合到代数、三角、几何几个部分重要章节的数学知识。

高中数学解题基本方法配方法换元法待定系数法定义法数学归纳法参数法反证法消去法分析与综合法特殊与一般法类比与归纳法观察与实验法

篇7：高中数学思想方法

而二次复习如果也采用这样的模式，导致的直接结果就是，考生按知识点分块的模式分章节去解题会很顺利，一旦拿过来一份高考试卷，遇到里面的综合性题目却无从下手，这就是平时考生经常遇到的问题——没有解题思路。

初次学习和再次复习不同。绝大部分考生在高一高二两年的时间中进行的都是新知识新理论的学习，这是初次认识初次接触的过程，我们称之为初次学习，这个过程强调的是认知、接受和掌握。而高三将近一年的时间考生几乎接触的都是之前两年当中见过的理解了的但是很多已经遗忘的内容，我们将这个过程称之为再次复习。

篇8：初中数学的数学思想方法

一、初中数学思想方法教学的重要性

长期以来, 传统的数学教学中, 只注重知识的传授, 却忽视知识形成过程听数学思想方法的现象非常普遍, 它严重影响了学生的思维发展和能力培养。随着教育改革的不断深入, 越来越多的教育工作者、特别是一线的教师们充分认识到:中学数学教学, 一方面要传授数学知识, 使学生掌握必备数学基础知识;另一方面, 更要通过数学知识这个载体, 挖掘其中蕴含的数学思想方法, 更好地理解数学, 掌握数学, 形成正确的数学观和一定的数学意识。事实上, 单纯的知识教学, 只显见于学生知识的积累, 是会遗忘甚至于消失的, 而方法的掌握, 思想的形成, 才能使学生受益终生, 正所谓“授之以鱼, 不如授之以渔”。不管他们将来从事什么职业和工作, 数学思想方法, 作为一种解决问题的思维策略, 都将随时随地有意无意地发挥作用。

二、初中数学思想方法的主要内容

初中数学中蕴含的数学思想方法很多, 最基本最主要的有:转化的思想方法, 数形结合的思想方法, 分类讨论的思想方法, 函数与方程的思想方法等。

1. 对应的思想和方法:

在初一代数入门教学中, 有代数式求值的计算值, 通过计算发现:代数式的值是由代数式里字母的取值所决定的, 字母的不同取值可得不同的计算结果。这里字母的取值与代数式的值之间就建立了一种对应关系, 再如实数与数轴上的点, 有序实数对与坐标平面内的点都存在对应关系……在进行此类教学设计时, 应注意渗透对应的思想, 这样既有助于培养学生用变化的观点看问题, 有助于培养学生的函数观念。

2. 数形结合的思想和方法

数形结合思想是指将数 (量) 与 (图) 形结合起来进行分析、研究、解决问题的一种思维策略。著名数学家华罗庚先生说:“数与形本是相倚依, 怎能分作两边飞, 数缺形时少直觉, 形少数时难入微, 数形结合百般好, 隔离分家万事休。”这充分说明了数形结合思想在数学研究和数学应用中的重要性。

(1) 由数思形, 数形结合, 用形解决数的问题。

例如在《有理数及其运算》这一章教学中利用“数轴”这一图形, 巩固“具有相反意义的量”的概念, 了解相反数, 绝对值的概念, 掌握有理数大小的道理, 理解有理数加法、乘法的意义, 掌握运算法则等。实际上, 对学生来说, 也只有通过数形结合, 才能较好地完成本章的学习任务。另外, 第五章《一元一次方程》中列方程解应用题中画示意图, 常常会给解决问题带来思路。第九章《生活中的数据》“统计图的选择”及“复习形统计图”, 利用图形来展示数据, 很直观明了。

(2) 由形思数, 数形结合, 用形解决数的问题。

例如第四章的《平面图形及其位置关系》中, 用数量表示线段的长度, 用数量表示角的度数, 利用数量的比较来进行线段的比较、角的比较等。

3. 整体的思想和方法

整体思想就是考虑数学问题时, 不是着眼于它的局部特征, 而是把注意和和着眼点放在问题的整体结构上, 通过对其全面深刻的观察, 从宏观整体上认识问题的实质, 把一些彼此独立但实质上又相互紧密联系着的量作为整体来处理的思想方法。整体思想在处理数学问题时, 有广泛的应用。

4. 分类的思想和方法

教材中进行分类的实例比较多, 如有理数、实数、三角形、四边形等分类的教学不仅可以使学生明确分类的重要性:一是使有关的概念系统化、完整化;二是使被分概念的外延更清楚、更深刻、更具体, 并且还能使学生掌握分数的要点方法: (1) 分类是按一定的标准进行的, 分类的标准不同, 分类的结果也不相同; (2) 要注意分类的结果既无遗漏, 也不能交叉重复; (3) 分类要逐级逐次地进行, 不能越级化分, 如不能把实数分为整数、分数和无理数。

5. 类比联想的思想和方法

数学教学设计在考虑某些问题时常根据事物间的相似点提出假设和猜想, 从而把已知事物的属性类比推广到类似的新事物中去, 促进发现新结论。如分式的各种运算法则就是与小学学过的分数的运算法则类比联想到的;再如由天平的平衡条件比得出等式的基本性质, 这种方法体现了“法故而知新”和“以旧引新”的教学设计原则, 这样的设计起点低, 学生学起来更容易接受。教学中由于提供了思维发生的背景材料, 既活跃了课堂气氛, 又有利于在和谐、轻松的氛围中完成新知识的学习。

6. 逆向思维的方法

所谓逆向思维就是把问题倒过来或从问题的反面思考或逆用某些数学公式、法则解决问题。加强逆向思维的训练, 可以培养学生思维的灵活性和发散性, 使学生掌握的数学知识得到有效的迁移, 如绝对值等于2的数有几个, 平方得4的数是什么, 立方得6的数是什么, 是学习绝对值、有理数的乘方后的逆去用, 还有分配律的逆用等。

7. 化归与转化的思想和方法:

化归意识是指在解决问题的过程中, 对问题进行转化, 使之成为简单、熟知问题的基本解题模式, 它是使一种数学对象在一定条件下转化为另一种数学对象的思想和方法。如有理数的减法运算是利用了相反数的概念转化为加法;学习方程和方程组时, 通过逐步“消元”或“降次”的方法使“多元”转化为“一元”、“高次”转化为“低次”方程进行求解;将多边形的内角和转化为三角形的内角和进行研究等问题都是化归思想的运用, 它们均采用将“未知”转化为“已知”、将“陌生”转化“熟知”、将“复杂”转化为“简单”的解题方法, 其核心就是将有等解决的问题转化为已有明确解决程序的问题, 以便利用已有的理论、技术来加以处理, 从而培养学生用联系的、发展的、运动变化的观点观察事物、认识问题。数学思想和方法不仅是上述几种, 这里不可能全面阐述。数学思想和方法是数学知识的有机组成部分, 是数学知识的精髓, 是知识转化为能力的桥梁。因此在平时的教学过程中教师应根据学生的认知水平和能力结构, 充分利用教材内容对数学思想和方法反复渗透, 从而帮助学生顺利实现两个迁移:一是要抓住概念、法则、公式、定理等共性进行类比, 实现知识上的迁移;二是要不断研究运用知识、方法的共性, 不断引导学生举一反三, 触类旁通, 实现能力上的迁移。最终培养和锻炼学生思维的广阔性、灵活性、敏捷性和创造性。

实验教学中的“度”就是一种教学尺度, 讲究的是适中, 追求的是根据大纲的要求和学生的需求来把握教学。教学中“度”的艺术具体体现在以下几个方面:

一、基础知识铺垫应具有“高效度”

每次实验之前, 教师必须帮助学生复习好与实验有关的基础知识作为铺垫, 为实验的顺利进行创造有利的条件。在这里所复习的知识内容不宜面面俱到, 而是要在课始几分钟内平中见奇, 快速切入与本实验有关的知识, 直接触及实验的实际需要。如在探究二氧化碳的物理性质时, 先帮助学生复习与之相关的物理知识天平平衡知识、物体浮沉条件等, 然后让学生组织讨论, 设计实验的方案。这样学生对所要进行的实验有了一个清楚的了解, 以便课堂实验教学顺利进行。

二、实验教学的导入要有“磁力度”

实验伊始, 教师可巧设导语, “磁石”般地吸引学生的注意力, 激起其内心的求知浪花, 营造积极探索学习的大氛围。如探究燃烧的条件及灭火方法的实验, 在实验课开始即可联系生活实际设问:

1.酒精灯为何用灯帽可以盖灭?

2.扑灭森林火灾时往往开出一片隔离带?

3.怎样点煤炉?短短的几句话可引发起学生强烈的探究兴趣, 他们做起实验就格外认真, 观察起来特别细致。

三、实验教学过程要加强学生的“参与度”

教为主导、学为主体应贯穿在整个实验教学过程中, 这就需要在教的过程中应充分地调动起学生的学习积极性和主动性, 使其最大限度地动手、动口和动脑, 主动地参与到实验的探究活动中来。如在“探究空气中氧气的含量”实验中, 从装置的连接、实验的操作、现象的观察都可在教师的指导下让学生自己完成, 以此来训练学生的动手操作能力;在实验完成后, 教师可就一些现象及操作程序提出疑问让学生进行分析回答, 以此来培养他们的思考能力。

四、实验教学的分析及设问应“多角度”

实验现象的分析和探索是实验教学的重要组成部分, 教师应从多角度出发进行导“思”导“疑”。“疑”的提出既要有“质”的体现, 又要有“量”的要求, 并且“疑”的设置应全方位地切入实验教学的重点、难点和疑点, 组织学生在短时间内去说理、讨论和操作, 以获得较多的技能。如在“验证质量守恒定律”的实验中, 在学生完成了氢氧化钠溶液和硫酸铜溶液的反应后, 让学生进一步做大理石与稀盐酸的反应, 并要求学生分析为何反应后天平不再平衡?接着进一步要求学生思考对装置如何进行改进才能验证质量守恒定律?最后思考回答下列问题:

1.蜂窝煤燃烧后留下的灰烬质量变轻了?2.铁生锈后质量为何会变大?

通过以上实验的研究, 从而让学生知道要用有气体参加或有气体生成的反应来验证质量守恒定律时, 必须在密闭的体系中进行实验。

五、实验教学的课后小结应“高浓度”

俗语:“编筐编篓全在收口”。同样, 实验教学的成败关键是设计出高质量的课后小结, 因为小结, 是对整节课堂教学内容的高度浓缩, 是提纲挈领地展现本节实验的过程及结构, 其作用是起画龙点睛的作

三、初中数学思想方法的教学规律

数学思想方法蕴含于数学知识之中, 又相对超脱于某一个具体化的数学知识之外。数学思想方法的教学比单纯的数学知识教学困难得多, 因为数学思想方法是具体数学知识的本质和内在联系的反映, 具有一定的抽象性和概括性, 它强调的是一种意识和用。如实验室用高锰酸钾分解制氧气且用排水法收集的实验步骤, 可归纳如下:一查、二装、三连、四热、五收、六撤、七熄……又如在归纳电解水实验中两电极上得到的气体及体积关系时, 可这样说:父亲正想儿毕业 (取谐) 。

实验教学中的“导”是控制整个实验教学的“遥控器”。古语:“施教之法, 贵在启导。”课堂教学活动的每一环节都应在教师施“导”的操作下进行, 其最终目的是服务于“学”。“导”的艺术体现在以下几个方面:

一、当学生出现“厌学”时, 应着手于“诱导”

有的实验内容枯燥乏味, 过程复杂多变, 目的及要求又有一定难度, 这就容易使学生产生望而生畏的厌学心理。针对这种现象, 教师要适时诱导。如“证明二氧化锰是双氧水分解制氧气反应的催化剂”的实验, 由于要称几次质量、过滤、烘干等操作步骤的烦琐, 再加上最后的实验结果不易成功, 容易使学生产生厌烦心理, 因此, 教师应随时从实验方法、实验技巧等方面加以引导, 明确引导使学生掌握操作要点, 就会得到满意的实验结果。实验的成功, 会使学生从内心产生一种愉悦感, 也就会变“厌学”为“乐学”, 进而提高实

二、当学生感到“难学”时, 应及时“疏导”

学生在做实验时, 会遇到思维受阻或偏差, 此时教师应就疑解答, 指点迷津, 化难为易, 使学生产生顿悟、顿解, 以获取成功的喜悦。如遇到“二氧化碳通入氢氧化钠溶液”中的如何证明它们之间已发生了反应, “铁丝在氧气中燃烧”中操作控制等难点时, 教师应着力做好“疏导”工作, 抓住要点变“难学”为“易学”, 促进整个实验教学的顺利开展。

三、当学生“死学”时, 应给予“引导”

有的学生在实验过程中, 特别是对于难度较大的实验, 往往机械地“照方抓药”, 忙得不亦乐乎, 但由于对现象的观察不详细, 对结果分析不透彻, 仍得不到满意的结果。对此, 教师应避虚就实, 依据实验特点和学生实际, 恰当地把实验进程划分为层层递进的若干问题, 引导学生去发现新知, 总结规律, 从而获得真知, 变“死学”为“活学”。如“二氧化碳与水的反应”实验, 为了加强学生对实验的理解, 可设计如下

1.什么物质能使紫色石蕊变红色?

2.为何要将干燥的小花放入二氧化碳气体中?

四、当学生认为“学会”后, 应适时“指导”

实验中, 当学生掌握一定的实验技巧, 或学会有关操作技能后, 应教育学生不满足现有的知识和能力, 鼓励他们大胆地去设想, 搞小发明、小创造。在培养学生多方面素质活动中, 教师可在思维方法和心智技能上给予指导, 让学生真正从“学会”的乐园中走到“会学”的王国中去。

(姜堰市沈高初级中学)

观念, 对于初中学生来说, 这个年龄段正是由形象思维向抽象的逻辑思维过渡的阶段, 虽然初步具有了简单的逻辑思维能力, 但是还缺乏主动性和能动性, 因此, 在数学教学中, 必须注意数学思想方法和教学规律。