椭圆知识点总结

椭圆知识点总结（共13篇）

篇1：椭圆知识点总结

【椭圆】

一、椭圆的定义

1、椭圆的第一定义：平面内一个动点到两个定点、的距离之和等于常数，这个动点的轨迹叫椭圆。这两个定点叫椭圆的焦点，两焦点的距离叫作椭圆的焦距。

注意：若，则动点的轨迹为线段；

若，则动点的轨迹无图形。

二、椭圆的方程

1、椭圆的标准方程（端点为a、b，焦点为c）

（1）当焦点在轴上时，椭圆的标准方程：，其中；

（2）当焦点在轴上时，椭圆的标准方程：，其中；

2、两种标准方程可用一般形式表示：

或者

mx2+ny2=1

三、椭圆的性质（以为例）

1、对称性：

对于椭圆标准方程：是以轴、轴为对称轴的轴对称图形；并且是以原点为对称中心的中心对称图形，这个对称中心称为椭圆的中心。

2、范围：

椭圆上所有的点都位于直线和所围成的矩形内，所以椭圆上点的坐标满足。

3、顶点：

①椭圆的对称轴与椭圆的交点称为椭圆的顶点。

②椭圆与坐标轴的四个交点即为椭圆的四个顶点，坐标分别为，。

③线段，分别叫做椭圆的长轴和短轴。和分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长。

4、离心率：

①

椭圆的焦距与长轴长度的比叫做椭圆的离心率，用表示，记作。

②

因为，所以的取值范围是。越接近1，则就越接近，从而越小，因此椭圆越扁；反之，越接近于0，就越接近0，从而越接近于，这时椭圆就越接近于圆。

当且仅当时，这时两个焦点重合，图形变为圆，方程为。

③

离心率的大小只与椭圆本身的形状有关，与其所处的位置无关。

注意：椭圆的图像中线段的几何特征（如下图）：

5、椭圆的第二定义：

平面内与一个定点（焦点）和一条定直线（准线）的距离的比为常数e，（0＜e＜1）的点的轨迹为椭圆（）。

即：到焦点的距离与到准线的距离的比为离心率的点所构成的图形，也即上图中有。

①焦点在x轴上：（a＞b＞0）准线方程：

②焦点在y轴上：（a＞b＞0）准线方程：

6、椭圆的内外部

（1）点在椭圆的内部

（2）点在椭圆的外部

四、椭圆的两个标准方程的区别和联系

标准方程

图形

性质

焦点，焦距

范围，对称性

关于轴、轴和原点对称

顶点，轴长

长轴长=，短轴长=

离心率

准线方程

焦半径，五、其他结论

1、若在椭圆上，则过的椭圆的切线方程是

2、若在椭圆外，则过Po作椭圆的两条切线切点为P1、P2，则切点弦P1P2的直线方程是

3、椭圆

(a＞b＞0)的左右焦点分别为F1，F

2，点P为椭圆上任意一点，则椭圆的焦点角形的面积为

4、椭圆（a＞b＞0）的焦半径公式：,(,)

5、设过椭圆焦点F作直线与椭圆相交

P、Q两点，A为椭圆长轴上一个顶点，连结AP

和AQ分别交相应于焦点F的椭圆准线于M、N两点，则MF⊥NF。

6、过椭圆一个焦点F的直线与椭圆交于两点P、Q,A1、A2为椭圆长轴上的顶点，A1P和A2Q交于点M，A2P和A1Q交于点N，则MF⊥NF。

7、AB是椭圆的不平行于对称轴的弦，M为AB的中点，则，即。

8、若在椭圆内，则被Po所平分的中点弦的方程是

9、若在椭圆内，则过Po的弦中点的轨迹方程是

10、点P处的切线PT平分△PF1F2在点P处的外角

11、PT平分△PF1F2在点P处的外角，则焦点在直线PT上的射影H点的轨迹是以长轴为直径的圆，除去长轴的两个端点

12、以焦点弦PQ为直径的圆必与对应准线相离

13、以焦点半径PF1为直径的圆必与以长轴为直径的圆内切

篇2：椭圆知识点总结

1.椭圆的概念

在平面内到两定点F1、F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹(或集合)叫椭圆.这两定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做焦距.

集合P={M||MF1|+|MF2|=2a}，|F1F2|=2c，其中a>0，c>0，且a，c为常数：

(1)若a>c，则集合P为椭圆;

(2)若a=c，则集合P为线段;

(3)若a

2.椭圆的标准方程和几何性质

一条规律

椭圆焦点位置与x2，y2系数间的关系：

两种方法

(1)定义法：根据椭圆定义，确定a2、b2的值，再结合焦点位置，直接写出椭圆方程.

(2)待定系数法：根据椭圆焦点是在x轴还是y轴上，设出相应形式的标准方程，然后根据条件确定关于a、b、c的方程组，解出a2、b2，从而写出椭圆的标准方程.

三种技巧

(1)椭圆上任意一点M到焦点F的所有距离中，长轴端点到焦点的距离分别为最大距离和最小距离，且最大距离为a+c，最小距离为a-c.

(2)求椭圆离心率e时，只要求出a，b，c的一个齐次方程，再结合b2=a2-c2就可求得e(0

(3)求椭圆方程时，常用待定系数法，但首先要判断是否为标准方程，判断的依据是：①中心是否在原点;②对称轴是否为坐标轴.

椭圆方程的第一定义：

⑴①椭圆的标准方程：

i. 中心在原点，焦点在x轴上：. ii. 中心在原点，焦点在轴上：.

②一般方程：.③椭圆的标准参数方程：的参数方程为(一象限应是属于

).

⑵①顶点：或.②轴：对称轴：x轴，轴;长轴长，短轴长.③焦点：或.④焦距：.⑤准线：或.⑥离心率：.⑦焦点半径：

i. 设为椭圆上的一点，为左、右焦点，则

由椭圆方程的第二定义可以推出.

ii.设为椭圆上的一点，为上、下焦点，则

由椭圆方程的第二定义可以推出.

由椭圆第二定义可知：归结起来为“左加右减”.

注意：椭圆参数方程的推导：得方程的轨迹为椭圆.

⑧通径：垂直于x轴且过焦点的弦叫做通经.坐标：和

⑶共离心率的椭圆系的方程：椭圆的离心率是，方程是大于0的参数，的离心率也是 我们称此方程为共离心率的椭圆系方程.

篇3：巧用圆的知识妙解椭圆问题

圆是中学数学中最基本、最重要的概念之一, 也是近几年各类考试中的热点内容之一.解题时, 若能充分利用题设条件, 利用圆的定义, 圆的方程, 圆的圆心、直径 (或半径) , 圆与曲线的位置关系等性质, 常能收到事半功倍的作用, 达到化繁为简, 化难为易之目的.下面举例说明圆的知识在解椭圆问题中的运用, 供大家参考.

1 借助圆求椭圆中轨迹方程

例1F1, F2分别为椭圆$\frac{x{}^2}{4}+\frac{y{}^2}{3}=1$的左右焦点, A为椭圆上任意一点, 过焦点F1向∠F1AF2的外角平分线作垂线, 垂足为D, 求点D的轨迹方程.

分析 设F1D的延长线交F2A的延长线于C, 易证D为F1C的中点, 在△CF1F2中, O, D为中点, 且O为定点 (原点) , 若求出中位线OD的长, 即可解决问题.

解 设F1D的延长线交F2A的延长线于C, 因为AD是∠CAF1的角平分线, 且AD⊥CF1, 所以|AF1|=|AC|, D为CF1的中点.又O是F1F2的中点, OD是△CF1F2的中位线, 所以

$\begin{array}{l}|{\rm O}D|=\frac{1}{2}|CF{}_2|=\frac{1}{2}(|AF{}_2|+|AC|)\\ =\frac{1}{2}(|AF{}_2|+|AF{}_1|)=2.\end{array}$

由圆的定义可知, 点D的轨迹是以O为圆心, 2为半径的圆.

所以点D的轨迹方程为x2+y2=4.

2 借助圆求椭圆中参量的取值

2.1 求椭圆上点的坐标范围

例2 (2002年全国卷) 椭圆$\frac{x{}^2}{9}+\frac{y{}^2}{4}=1$的焦点为F1, F2, 点P为其上的动点, 当∠F1PF2为钝角时, 求点P的横坐标的取值范围.

分析 本题常规解法可通过设P点坐标 (x0, y0) , 借助向量$\overrightarrow{{\rm P}F{}_1}$与$\overrightarrow{{\rm P}F{}_2}$的夹角为钝角, 则$\overrightarrow{{\rm P}F{}_1}\cdot \overrightarrow{{\rm P}F{}_2}＜0$, 得不等式通过消元进行求解.但本题可由椭圆的性质知, 当0≤x0≤3上变化时, x0的值越小∠F1PF2越大, 当x0=0时, ∠F1PF2有最大值, 所以要想使∠F1PF2为钝角先求出∠F1PF2为直角时P的坐标, 再由椭圆的对称性求得x0的取值范围.

解 如图1, 设P (x0, y0) , 由题意知$F{}_{1}F{}_2=2\sqrt{5}$, 当PF1⊥PF2时, P在以F1F2为直径的圆上, 即满足解得$x{}_0=\pm \frac{3\sqrt{5}}{5}$.又同圆中同弧所对的顶点在圆内的角大于顶点在圆周上的角, 大于顶点在圆外的角, 当P在椭圆和圆的交点上时, ∠F1PF2为直角, 当P在圆外部的椭圆弧上时, ∠F1P3F2为锐角, 故当P在椭圆和圆的交点间的上下两段椭圆弧上时, ∠F1P1F2为钝角, 所以$-\frac{3\sqrt{5}}{5}＜x＜\frac{3\sqrt{5}}{5}.$

2.2 求椭圆中参数的值

例3 (2002江苏高考题) 直线y=mx+1 (m>0) 与椭圆2x2+y2=2相交于A, B两点, 若AB的长为$\frac{3\sqrt{2}}{5}$, 求m的值.

分析 本题可通过联列方程组, 消元得二元一次方程, 通过韦达定理由弦长公式进行求解, 若对方程组分别进行消x和消y处理会得到两个一元二次方程, 将两方程相加会得到意想不到的结果, 进而转化为圆的知识进行求解.

解 由

消去y得

(2+m2) x2+2mx-1=0, (1)

消去x得

(2+m2) y2-4y+2-2m2=0. (2)

将 (1) (2) 两式相加得方程

$\begin{array}{l}\left(x+\frac{m}{2+m{}^2}\right){}^2+\left(y-\frac{2}{2+m{}^2}\right){}^2\\ =\frac{2m{}^2-1}{2+m{}^2}+\frac{m{}^2+4}{(2+m{}^2){}^2}.(3)\end{array}$

易验证圆心$\left(-\frac{m}{2+m{}^2}‚\frac{2}{2+m{}^2}\right)$在直线AB上, 所以 (3) 式是以AB为直径的圆的方程, 所以圆的直径等于弦AB的长, 即

$\sqrt{\frac{2m{}^2-1}{2+m{}^2}+\frac{m{}^2+4}{(2+m{}^2){}^2}}=\frac{3\sqrt{2}}{5}$,

化简得

16m4+14m2-11=0,

解之得$m{}^2=\frac{1}{2}$, 又m>0, 故$m=\frac{\sqrt{2}}{2}.$

2.3 求椭圆中参数的范围

例4 椭圆a2x2+y2=a2 (0<a<1) 上离顶点A (0, a) 距离最远的点恰好是另一顶点B (0, -a) , 则a的取值范围是 ( ) .

$\begin{array}{l}(\text{A})\left(\frac{\sqrt{2}}{2}‚1\right)(\text{B})\left[\frac{\sqrt{2}}{2}‚1\right)\\ (\text{C})\left(0‚\frac{\sqrt{2}}{2}\right)(\text{D})\left(0‚\frac{\sqrt{2}}{2}\right]\end{array}$

分析 从常规入手, 设椭圆上任一点坐标P (x0, y0) (-a≤y0≤a) , 则

$\begin{array}{l}|{\rm P}A|=\sqrt{x{}_0^2+(y{}_0-a){}^2}\\ =\sqrt{1-\frac{y{}_0^2}{a{}^2}+(y{}_0-a){}^2}\\ =\sqrt{\frac{a{}^2-1}{a{}^2}\left(y{}_0-\frac{a{}^3}{a{}^2-1}\right){}^2+a{}^2+1-\frac{a{}^4}{a{}^2-1}}.\end{array}$

因为0<a<1, 所以$\frac{a{}^2-1}{a{}^2}＜0$, 由题意知, 要在B (0, -a) 处取最大值, 即当$\frac{a{}^3}{a{}^2-1}=-a$时, 那么只需$\frac{a{}^3}{a{}^2-1}\le -a$, 所以$a{}^2\ge \frac{1}{2}$, 即$a\in \left[\frac{\sqrt{2}}{2}‚1\right).$

另外若设椭圆上任一点P的坐标为参数 (cos θ, asin θ) 形式, 同理可得, 都是通过函数思想求范围.如果设想以点A为圆心, 2a为半径作一圆, 则此圆与已知椭圆位置关系如何?显然是相切, 如图2, 若半径发生变化时, 则圆与椭圆的位置关系随之变化, 故可用圆与椭圆的位置关系解题.

解 以点A为圆心, 2a为半径作一圆的方程为x2+ (y-a) 2= (2a) 2, 由

$\{\begin{array}{l}x{}^2+(y-a){}^2=4a{}^2‚\\ a{}^{2}x{}^2+y{}^2=a{}^2‚\end{array}$

消去x并化简得

(a2-1) y2-2a3y+a2-3a4=0.

令Δ=0, 得$a{}^2=\frac{1}{2}(0＜a＜1)‚a=\frac{\sqrt{2}}{2}$.此时a表示短半轴长, 观察可知选B.

3 借助圆求椭圆离心率范围

例5 (2008年江西高考) 椭圆$\frac{x{}^2}{a{}^2}+\frac{y{}^2}{b{}^2}=1(a＞b＞0)$的左右焦点分别为F1, F2, 若椭圆内部存在一点M, 使得MF1⊥MF2, 求椭圆离心率的取值范围.

分析 求椭圆离心率或离心率的取值范围, 关键是要找好a和c等量关系与不等量关系, 将条件转化为关于$\frac{c}{a}$的方程或不等式, 即得离心率e的值或范围.本题由MF1⊥MF2, 可巧妙地借助圆与椭圆的关系建立a和c的不等式, 即可解决问题.

解 如图3, 设椭圆的半焦距为c, 因为椭圆上存在一点M, 使得MF1⊥MF2, 则以F1F2为直径的圆与椭圆无交点, 即c<b, 所以c2<a2-c2, 所$\text{以}e{}^2＜\frac{1}{2}.$又0<e<1, 故$e\in \left(0‚\frac{\sqrt{2}}{2}\right).$

变式 椭圆$\frac{x{}^2}{a{}^2}+\frac{y{}^2}{b{}^2}=1(a＞b＞0)$的左右焦点分别为F1, F2, 若椭圆上存在一点M, 使得MF1⊥MF2, 求椭圆离心率的取值范围.

解 以F1F2为直径的圆与椭圆有交点, 即c≥b, 所以c2≥a2-c2, 所以$e\ge \frac{1}{2}$, 又0<e<1, 故$e\in \left[\frac{\sqrt{2}}{2}‚1\right).$

4 借助圆求椭圆中有关最值问题

例6 (2005年上海高考) 已知点A, B分别是椭圆$\frac{x{}^2}{36}+\frac{y{}^2}{20}=1$长轴的左右端点, 点F是椭圆的右焦点, 点P在椭圆上, 位于x轴的上方, 且PA⊥PF.

(Ⅰ) 求点P的坐标;

(Ⅱ) 设M是椭圆长轴AB上的一点, 且点M到直线PA的距离等于MB, 求椭圆上的点到点M的距离的最小值.

分析 本题由于PA⊥PF, 用前面例题的处理方法求出P的坐标.再根据题意知M应为AB轴上的定点, 所以利用M到定直线与定点距离相等确定M位置, 要求椭圆上的点到M点的距离的最小值, 可以以M点为圆心作圆, 当圆M与椭圆相切时, 圆的半径就是椭圆上的点到M距离的最小值.

解 由题意得A (-6, 0) , B (6, 0) , F (4, 0) .

(Ⅰ) 如图4, 设P (x0, y0) , 因为PA⊥PF, 所以P在以AF为直径的圆上, 即

$\{\begin{array}{l}\frac{x{}_0^2}{36}+\frac{y{}_0^2}{20}=1‚\\ (x{}_0+1){}^2+y{}_0^2=25.\end{array}$

解得$x{}_0=\frac{3}{2}$或-6 (舍去) , 因为点P在椭圆上, 位于x轴的上方, 所以${\rm P}\left(\frac{3}{2}‚\frac{5\sqrt{3}}{2}\right).$

(Ⅱ) 设M (m, 0) , 直线AP方程为

$y=\frac{\sqrt{3}}{3}(x+6)$, 即$x-\sqrt{3}y+6=0$,

由点M到直线AP的距离等于MB, 得

$\frac{|m+6|}{\sqrt{1+3}}=|m-6|(-6＜m＜6)$,

解之得m=2, 即M (2, 0) .则以M为圆心, d为半径的圆方程是

(x-2) 2+y2=d2 (d>0) .

联立椭圆方程消元得

$\frac{4}{9}x{}^2-4x+24-d{}^2=0.$

因为当圆M与椭圆相切时, 圆的半径就是椭圆上的点到M距离的最小值.所以令Δ=0, 得$d=\sqrt{15}$, 即椭圆上的点到点M的距离的最小值为$\sqrt{15}.$

通过上述问题的解决可以看到, 巧妙借助圆的相关性质, 优化了解题过程, 给人耳目一新的感觉, 同时我们也要注意数形结合思想的渗透, 数形结合法是解析几何中的重要方法, 一旦运用成功, 它呈现的是问题的本质规律和数学的内在美, 因此在平时练习时要注意方法的渗透与解题方法的优化, 有助于培养思维的敏捷性和创造性.

篇4：椭圆知识点总结

(一)、对性质的考查：

1、范围：要注意方程与函数的区别与联系;与椭圆有关的求最值是变量的取值范围;作椭圆的草图。

2、对称性：椭圆的中心及其对称性;判断曲线关于x轴、y轴及原点对称的依据;如果曲线具有关于x轴、y轴及原点对称中的任意两种，那么它也具有另一种对称性;注意椭圆不因坐标轴改变的固有性质。

3、顶点：椭圆的顶点坐标;一般二次曲线的顶点即是曲线与对称轴的交点;椭圆中a、b、c的几何意义(椭圆的特征三角形及离心率的三角函数表示)。

4、离心率：离心率的定义;椭圆离心率的取值范围：(0，1);椭圆的离心率的变化对椭圆的影响：当e趋向于1时：c趋向于a，此时，椭圆越扁平;当e趋向于0时：c趋向于0，此时，椭圆越接近于圆;当且仅当a=b时，c=0，两焦点重合，椭圆变成圆。

(二)、课本例题的变形考查：

1、近日点、远日点的概念：椭圆上任意一点p(x，y)到椭圆一焦点距离的最大值：a+c与最小值：a-c及取最值时点p的坐标;

2、椭圆的第二定义及其应用;椭圆的准线方程及两准线间的距离、焦准距：焦半径公式。

3、已知椭圆内一点m，在椭圆上求一点p，使点p到点m与到椭圆准线的距离的和最小的求法。

4、椭圆的参数方程及椭圆的离心角：椭圆的参数方程的简单应用：

篇5：椭圆的行星轨道科普知识

如果我们问一个中国小孩：“你知道的著名天文学家都有谁？”答案可能少不了张衡（公元78年-139年）。如果在全球范围内问这个问题，排名第一的则多半是哥白尼（公元1473-1543年）。他的不朽名著《天体运行论》，为人类揭示了“日心说”的真谛，掀起了一场“哥白尼革命”。

不过，鲜为人知的是，还有一个比日心说更难突破的观念，即便是哥白尼也没能再进一步。这就是行星的椭圆轨道。

一、从正圆到椭圆

对偏爱几何学的古希腊人来说，圆是最完美的形状。和它同样完美的，还有宇宙本身。以亚里士多德为代表的古希腊先哲们认为，日月是圆的，大地是圆的，星辰的轨道当然也是完美的圆形。托勒密（约公元90年-168年）的地心说体系，把圆轨道的几何发展到了极致。他用几十个小圆套大圆的方法，相当准确地计算出了行星的运动轨迹。1400多年后，哥白尼横空出世，提出了惊世骇俗的日心说，但他依然沿用圆轨道来描述行星运动，这使得计算仍然比较繁琐。

最先突破圆轨道桎梏的，是一对黄金搭档——开普勒（1571-1630）和第谷（1546-1601）。第谷是那个时代最勤奋、最精确的.观星者。他孜孜不倦地观测了，积累了大量日、月和行星运动数据，准确性几乎达到了肉眼观测的极限。开普勒根据老师第谷的数据，发现无论是托勒密还是哥白尼体系都无法精确给出行星的位置。火星的资料最多，偏差很明显。他为此花费了8年的心血，终于发现，只要抛弃圆轨道，让行星以变化的速度沿椭圆轨道围绕太阳运动，就可以完美地解释火星的数据。在此基础上，他得到了开普勒第一定律：“行星围绕太阳沿椭圆形轨道运动，太阳在椭圆的一个焦点上。”

椭圆运动可以完美地预言和解释经验事实，而且也远比托勒密或哥白尼体系简单，所以人们称开普勒为“天空立法者”。

二、从椭圆到近圆

开普勒发现了椭圆轨道，不过当时并没有人能给出解释，直到牛顿时代才揭开了其中的奥秘。根据牛顿的万有引力定律可以计算出，两个天体组成的系统，它们绕质心运行的轨道只可能有三种情况：椭圆、抛物线、双曲线，其中圆轨道是椭圆轨道的一种特例。

在太阳系这样的系统中，行星轨道是难以维持圆形的。圆轨道要求行星的公转速率保持恒定，如果太阳系只有一颗行星，这个条件不难满足。但事实上行星不止一颗，它们相互之间也有引力扰动，会直接影响轨道的形状。以火星为例，就算它的初始轨道是正圆，但每当它和木星绕到太阳的同一侧时，木星引力就会“拉”它一把，使它变速。很快，火星轨道就会偏离正圆，最终变成一个基本稳定的椭圆。

有意思的是，行星轨道也不会是非常扁的椭圆，而是更接近于正圆。这也许可以看作是一种“自然选择”。首先，一颗轨道很扁的行星，会有更大的概率和其他行星靠得很近，从而受到更强的引力扰动，使轨道不再稳定。其次，如果多颗行星的轨道都很扁，这些轨道就很容易形成交叉，行星碰撞的概率也会大大增加。碰撞之后，要么散成碎片，要么合并成更大的星体。在太阳系40多亿年的历史中，各种频繁的碰撞曾持续了将近10亿年。最终的行星“幸存者”都具有了近圆形的轨道，其中水星的轨道最扁，偏心率达到了0.206，其他行星都不到0.1。有研究表明，现在的太阳系是稳定的，在接下来的5000万年里任何行星都不会失控。但水星确实是个“隐患”，会有大约1%的概率失控，并可能导致地球和火星碰撞。不过这即便真的发生，那也是很多亿年以后的事了。

三、什么时候才真的圆

完美的圆轨道只是理想情况，可望而不可及。不过宇宙之大，无奇不有，十分接近圆轨道的情况也不在少数。土星光环就是一个例子。土星环在形成的过程中，无数碎片不停地碰撞、分解，它们最终形成了一圈圈相当标准的圆轨道，就像唱片一样里外排开。内环和外环之间还有圆形的缝隙，例如著名的“卡西尼”缝和“恩克”缝等。这表明，频繁的随机碰撞的确会使天体的轨道变圆。

除了碰撞以外，在一些双星系统中，潮汐摩擦也会使得两星的轨道最终都趋向圆形（称为“轨道圆化”）并相互“潮汐锁定”。我们的太阳系中就有这样的例子，即冥王星和它的卫星喀戎（冥卫一）。它俩的质量相差不大，在不长的时间内就互相“锁定”了，也就是都以同一面对准对方，就像月亮总是以同一面对着地球一样。在这种情况下，它们绕着二者质心旋转的轨道几乎就是正圆。

篇6：椭圆知识点总结

本课重点与难点：

l圆的绘制及绘制的几种形式，

l圆弧的绘制。

l椭圆与椭圆弧的绘制。

一、圆命令(C)

2.在绘图菜单下单击圆命令

3.直接在命令中输入快捷键C

绘制圆的几种形式

通过指定圆心和半径或直径绘制圆的步骤：在命令栏中输入快捷键为C，指定圆心，指定半径或直径

创建与两个对象相切的圆的步骤：选择CAD中“切点”对象捕捉模式在命令栏中输入快捷键为C，点击T，选择与要绘制的圆相切的第一个对象，选择与要绘制的圆相切的第二个对象，指定圆的半径

三点(3P)通过单击第一点、第二点、第三点确定一个圆。

相切、相切、相切(A)相切三个对象可以画一个圆。

二点(2P)两点确定一个圆

在“绘图”菜单中提供了6种画圆方法

二、圆弧命令(A)

绘制方式：1.直接在绘图工具栏上点击圆弧按纽

2.在绘图菜单下单击圆弧命令

3.直接在命令中输入快捷键A

绘制弧的几种形式:绘图菜单中提供了11种方式.

通过指定三点的绘制圆弧方法：确定弧的起点位置，确定第二点的位置，确定第三点的位置

通过指定起点，圆心，端点绘制圆弧方法

己知起点，中心点和端点，可以通过首先指定起点或中心点来绘制圆弧，中心点是指圆弧所在圆的圆心

通过指定起点，圆心，角度绘制圆弧方法，如果存在可以捕捉到的起点和圆心点，并且己知包含角度，使用“起点，圆心，角度”或“圆心，起点，角度”选项

如果己知两个端点但不能捕捉到圆心，可以使用“使用，端点，角度”法

通过指定起点，圆心，长度绘制圆弧方法“，如果可以捕捉到的起点和中心点，并且己知弦长，可使用”起点，圆心，长度“或圆心，起点，长度”选项(弧的弦长决定包含角度)

三、椭圆命令(EL)

绘制方式:1.直接在绘图工具栏上点击椭圆按纽

2.在绘图菜单下单击椭圆命令

3.直接在命令中输入快捷键EL

绘制椭圆两种方法

1.中心点：通过指定椭圆中心，一个轴的端点(主轴)以及另一个轴的半轴和度绘制椭圆，

2.轴，端点：通过指定一个轴的两个端点(主轴)和另一个轴的半轴的长度绘制椭圆。

四、椭圆弧命令

绘制方式:1.直接在绘图工具栏上点击椭圆弧按纽

2.在绘图菜单下单击椭圆弧命令

椭圆弧的绘制

椭圆弧绘制方法为按照命令栏提示绘制，顺时针方向是图形去除的部分，逆时针方向是图形保留的部分

篇7：椭圆知识点总结

教学目标：

掌握“椭圆”、“橡皮”和“放大镜”等工具的使用方法，会画课本示例中的圆形器物，能保存绘画作品。

通过课本中画“小茶碗”的联系，引导学生领会另一种画图思想和方法，启迪学生的逆向思维。

教学重点：

会使用“画图”程序中的“椭圆”、“橡皮”工具。

教学难点：

1、画图前对物体组成图形的分析

2、文件的保存

课时划分： 1课时

课前准备：

1、教师机、学生机

2、范例

教学过程：

一、引入

我们身边有许多椭圆形和圆形的器物，像碗、碟子、盆、桶等。同学们还能举出哪些圆形和椭圆形的器物?

同学们答：有钟表、球拍、锅等。

今天我们就来学习如何用“画图”程序画茶碗。

同学们展示老师用“画图”程序画好的茶碗图片。

二、讲授新课

1、观察

观察展示图片中茶碗的构成。

提问：茶碗都是由哪些图形组成的？

同学答：椭圆形

*注意：此处学生答不上来，利用课件演示：用若干集合图形，组成茶碗形象的过程。（再次要引导学生看到并不存在的线条。只有在分析清楚的基础上，才能顺利地完成画图任务。）

2、画小茶碗

第一步：选择“椭圆”工具，画一个椭圆，如书上图4.2

第二步：分别画三个椭圆，作为小茶碗的碗口、腕托和碗把，如书上图4.3 第三步：选择“橡皮”工具，擦去多余的线条。如书上图4.4

*提醒：

（1）、用“橡皮”工具，擦去细小部位时，可选用“放大镜”工具，在“放大镜”下可方便的使用橡皮。不用放大镜使要还原。

（2）、“椭圆”工具有3种样式：椭圆、有背景色的椭圆、实心椭圆。

3、保存图片

第一步：单击“文件”菜单，选择“保存”命令。

第二步：打开“保存为”对话框，如书上图4.8

第三步：在“文件名”处，输入图片的文件名。

*如果学生在输入汉字是有困难，可指导学生输入英文字符或者数字来代替。

第四步：单击“保存”按钮，保存文件

三、学生练习

1、启动“画图”程序软件，用“椭圆”和“橡皮”工具，画出小茶碗

2、保存图片文件（可以让掌握快的同学画出其他圆形或者椭圆形的器物）

四、小结

通过本节的学习，使学生了解到“椭圆”工具也有3种样式：椭圆、有背景色的椭圆、实心椭圆。并且使学生学会用“椭圆”和“橡皮”工具，绘画出简单的器物。并且学会保存文件的方法，让学生知道保存文件是提高工作效率的一个重要环节。

五、课后反思

篇8：椭圆教学反思

1、本节课书上内容较简单，如果仅按书上安排照讲，学生也能掌握本节知识，但学生的能力的不到提高。新课标强调，教师应不只是知识的传授者，更是教学的组织者和引导者，课堂教学不仅是基本知识和基本技能的传授，还要重视获取知识的过程。

椭圆是常见的曲线，学生通过引言课及日常生活的经验，对椭圆已有一定的认识。为了使学生掌握椭圆的本质特征，以便得出椭圆的定义，教学过程中特别介绍了两种画椭圆的方法，一种是用一根细绳画椭圆的方法，主要是考虑到材料（细绳）取得比较容易，操作也比较简便，能调动学生积极性，培养学生动手能力；另一种是用计算机软件画椭圆的方法，这个画法的好处是便于揭示椭圆形成的本质特征。（即便于观察出椭圆上点所要满足的几何条件），也为以后学习椭圆性质和双曲线打下伏笔，突出双曲线与椭圆的区别与联系。

2、概括出椭圆定义是本节的重点。本节课，我放大了椭圆定义建立的过程。首先让学生观看“神舟”六号发射录像，使学生在感叹祖国科技发展的辉煌成就的激情中认识椭圆、感受椭圆。生活中的实例及多彩的多媒体图片可激发学生的学习兴趣，充分调动学生主动参与的积极性。之后让学生探索如何借助手中的细绳画椭圆，从实践中体会椭圆上的点所满足的条件，逐渐把图形语言转化为文字语言。这样，不仅完善了椭圆的定义，也有助于培养学生质疑，养成勤于动脑的良好思维习惯。有助于帮助学生自主学习，学会学习。事实上，沿着学生的思维轨道展开思维，才是对学生最大的尊重，才是以人为本。

3、椭圆标准方程的推导是本节课的难点。建立直角坐标系、建立椭圆标准方程是两个重要环节。本课中，我尽可能多地为寻求适当坐标系和建立椭圆标准方程提供时间和空间。首先给学生建系的机会，让他们充分暴露自然思维，让他们在自己认为简洁的坐标系下建立椭圆的方程。通过展示推导过程，比较化简结果，让学生明白哪种坐标系更合适，这样，学生可以在对比、观察、思维的基础上提升自己的思维，使新知识与旧知识尽可能产生天然的联系，而不是人为的告诉其正确的结果，把经验强加给学生。

篇9：椭圆几何性质

(1)学习目标：①熟悉椭圆的几何性质(对称性，范围，顶点，离心率)②理解离心率的大小对椭圆形状的影响③能利用椭圆的几何性质求椭圆的标准方程知识要点：方程图形范围-a≤x≤a,-b≤y≤b-b≤x≤b,-a≤y≤a对称性关于x轴，y轴，原点关于x轴，y轴，原点顶点a1(-a，0)a2(a，0)b1(0，-b)b2(0，b)a1(0，-a)a2(0，a)b1(-b，0)b2(b，0)离心率e= [导学提示]1、试完成下列几题： (1)请同学们通过看书说明椭圆的几何性质有哪些?(2)通过 说明椭离心率与椭圆形状的关系。(3)请同学说出椭圆的标准方程与圆的标准方程的区别。[课堂指导]1、 总结：椭圆的几何性质并说明椭圆的离心率与椭圆形状的关系。2、椭圆何性质的应用(例题精讲)例1.求椭圆16x2+25y2=400的长轴和短轴的长，离心率，焦点和顶点坐标，并用描点法画出它的图形.例2.求适合下列条件的椭圆的标准方程:①经过点p(-3，0)，q(0，-2);②长轴的长等于20，离心率等于 aboxy例3.如图，我国发射的第一颗人造地球卫星的运行轨道，是以地心(地球的中心)f2为一个焦点的椭圆.已知它的近地点a(离地面最近的点)距地面439km，远地点b(离地面最远的点)距地面2384km，并且f2、a、b在同一条直线上，地球半径约为6371km，求卫星运行的轨迹方程(精确到1km).[随堂训练]1.求适合下列条件的椭圆的标准方程①a=6， 焦点在x轴上 ;②c=3， ，焦点在y轴上.2.下列各组椭圆中，哪一个更接近于圆?①9x2+y2=36与 ②x2+9y2=36与 3.椭圆 与 的关系为 ( )a.有相同的长、短轴 b.有相等的焦距 c.有相同的焦点 d.以上均不对4.中心在原点，焦点在x轴上，若长轴为18，且两个焦点恰好将长轴三等分，则其方程为 ( )a. b. c. d. [课后扩展]1.椭圆的一焦点与长轴较接近端点的距离为 ，焦点与短轴两端点的连线互相垂直，求椭圆的方程.2.已知椭圆在x轴，y轴正半轴上的两顶点分别为a、b，原点到直线ab的距离等于 ，又该椭圆离心率 ，求其方程.

篇10：椭圆焦点坐标是什么

椭圆的定义和性质

在数学中，椭圆是围绕两个焦点的平面中的曲线，使得对于曲线上的每个点，到两个焦点的距离之和是恒定的。因此，它是圆的概括，其是具有两个焦点在相同位置处的特殊类型的.椭圆。也可以这样定义椭圆，椭圆是点的集合，点其到两个焦点的距离的和是固定数。

篇11：教案椭圆工具的使用

新城区通济坊小学 赵燕

一．教学内容

本课讲授的是画图程序中椭圆工具的使用。三年级学生由于初次接触画图板，而且工具较多，考虑到学生心智发展水平和知识接受能力，本节课只给学生介绍椭圆工具的应用。包括画法，颜色填充，组合成景，让他们利用椭圆工具来画出小鸡，鸡蛋，月亮等生活中常见物体，在此基础上，让学有余力的学生能创造性的使用“椭圆”工具画出生活中的景物。二．教材分析

本节课是省编小学信息技术三年级（下）第八课。主要介绍画图板中椭圆工具的应用。在认真钻研本课知识重点的基础上，鉴于原教材的程式化设计不利于激发学生的学习兴趣，我从学生的年龄特点和爱好等情况出发，设计出“小鸡的诞生”这个过程性的场景。在实际教学中由易到难，让学生在有趣的故事任务中，利用椭圆工具逐步画出鸡蛋、月亮、小鸡等生活中常见物体，在此基础上，让学有余力的学生能创造性的使用“椭圆”工具画出生活中的景物。本课知识的掌握和应用，在为后面学习其他画图程序的工具，将会起到借鉴和知识迁移的作用。

三．教学目标 1.知识目标

（1）学会“椭圆”的正确画法。（2）正确选择椭圆工具的样式进行画图。2.技能目标

（1）运用“椭圆”工具表达生活中的景物。（2）为提高绘画技巧埋下铺垫。3.情感态度

（1）培养学生合作、交流能力。（2）培养学生信息技术和美术整合能力

四、教学重点

（1）掌握“椭圆”工具的基本操作方法。（2）了解“椭圆”工具的三种样式的不同效果。教学难点

如何通过椭圆颜色的合理使用，画出弯月效果。应用椭圆工具，画出生活中的景物。

五、板书设计

椭圆工具的应用

进入：开始-----程序---附件----画图 母鸡妈妈孵鸡蛋

弯弯月亮升起来 小蛋裂开一条缝 跳出一只小黄鸡

六、教学过程

教学内容组织和呈现方式：

趣味故事导入——任务驱动——小结提升——自主创作

1、教学过程 新课导入

教师教学：前几天，老师看到了一幅图。请同学们一起来跟我来分享一下。

（1）出示气球图画

请大家告诉我，这些气球主要由什么图形组成的？ ——学生齐答：椭圆！

（2）这节课我们就来和椭圆工具交个朋友好不好！（板书课题——椭圆工具的应用）

设计意图：运用生活中的常见物体来引出椭圆的课题，使学生易于接受，容易接受椭圆工具的学习。

（3）故事引入：（学生闭上眼睛听老师讲故事）

一只母鸡妈妈整日耐心地孵着鸡蛋，它天天盼望着自己的小宝宝早日出壳。终于在一个月明风清的晚上，一只小蛋晃动了起来，不久便裂开了一条缝，一只毛绒绒的小鸡钻了出来。—— 学生睁开眼睛，联想故事情节。

设计意图：运用生动故事来引发学生兴趣，让他们脑海中浮现实景，可以使他们对画图更加有兴趣。步骤一：用椭圆工具画一只蛋。

步骤二：弯弯的月亮。怎样使用椭圆工具画弯弯的月亮，涉及到一些技巧，教师引导学生去想办法。

步骤三：画裂了缝的蛋。思考用什么来表示这个裂了缝的蛋？

步骤四：出生后的小动物。

设计意图：在画弯月时候，教师用矩形两种颜色的填充遮挡来启发学生来画出弯月，学生愿意动脑来解决办法，兴趣更浓。在画小鸡的时候教师运用选定工具的介绍来引导学生将几个椭圆组合起来，完成各种小鸡活灵活现的样子。

3、同学们和椭圆交上朋友，你想用它来表达生活中的那些景物呢 ？ 学生简答：太阳，气球，金鱼，云彩…… 综合练习——

教师引导学生：你们觉得还可以在你们的画板上添加什么景物，使画面丰富起来呢？

学生答：太阳、小花、小鸟、莲叶、蝌蚪…… 4.学生综合练习，填充画板，勾勒美丽生活。——教师巡视指导

设计意图：运用生活中常见的实景，启发学生给这幅画添砖加瓦，使画面更饱满丰富，让学生充分发挥想象力。

六．展示学生作品

教师简单口头评价学生师范画 七．拓展

篇12：认识椭圆形教案

执教

周爱娣 活动目标：

1.通过比较椭圆形，感知椭圆形的基本特征。2.能区分椭圆形与其他图形的不同。活动准备：

1.电脑课件；幼儿操作卡片等。

2.认识正方形、三角形、长方形、圆形、梯形的经验。活动过程：

一、以电脑课件的方式，引出课题。

边出示课件边讲述故事：今天老师要带小朋友们去一个神奇、好玩的地方，你们猜一猜这是什么地方啊？（边出示课件中的图片）今天我们要去的这个地方是一座神奇的城堡，这座城堡里住着许多许多可爱的图形宝宝，所以这座城堡有一个好听的名字，叫做图形王国。图形王国里的图形宝宝可多可多了，有我们小朋友已经认识的正方形宝宝、长方形宝宝、三角形宝宝、圆形宝宝，还有很多我们小朋友叫不上名字的宝宝。今天有几个图形宝宝来到了城堡中的一片草地上来聚会，你们猜一猜都有哪些图形宝宝来参加聚会了？那我们一起来看一看都有谁来了。（边演示课件边提出问题）这是谁呀？这是谁呢？这又是谁呢？圆形宝宝说：“今天我要给大家介绍一位新朋友，它是我的好朋友，和我长的有一点像，但是又不大一样，你们想不想知道它是谁呀？那我们快把它请出来吧！（出示椭圆形）它就是椭圆形宝宝。

二、找找生活中的椭圆。

三、认识椭圆形的特征。

1.通过圆形与椭圆形进行比较，直观感受椭圆形的特征。

师：（出示一样高的椭圆形和圆形）老师这里有一个圆形宝宝和一个椭圆形宝宝。刚才圆形宝宝说了，它这个好朋友和它长的有一点儿像，可又不太一样？现在我们就来看看他们哪不一样？

师：我们先把这两个图形宝宝重叠，你们发现了什么？ 师：你们找的很对，椭圆形比圆形要长、要扁。2.圆形容易滚动，椭圆形不容易滚动。（汽车）

教师小结：椭圆形宝宝与圆形宝宝有两点不同，椭圆形宝宝比圆形宝宝要长一些、扁一些。它不容易滚动。3.认识圆形和椭圆形的相同处。

师：光滑，不像三角形正方形和长方形一样有角。

四、集体练习操作。

篇13：椭圆及其标准方程教案

教学目标:

(一)知识目标：掌握椭圆的定义及其标准方程，能正确推导椭圆的标准方程，会由标准方程求出椭圆的交点和焦距；

(二)能力目标：通过对椭圆概念的引入和标准方程的推导，培养学生分析、探索的能力，增强学生运用代数法解决几何问题的能力；

(三)情感目标：激发学生学习数学的兴趣、提高学生的审美情趣、培养学生勇于探索,敢于创新的精神。

教学重点:椭圆的定义和椭圆的标准方程的推导。教学难点:椭圆标准方程的推导。

教学方法:探究式教学法（教师通过问题诱导→启发讨论→探索结果，引导学生直观观察→归纳抽象→总结规律，使学生在获得知识的同时,能够掌握方法、提升能力。）

教具准备:自制教具(圆柱体、细绳)。

教学过程:(一)启发诱导，推陈出新

1、复习旧知识：拉直一根细线，一端固定，作一个圆，由此回忆圆的定义（到一点的距离等于定长的点的轨迹），圆的标准方程；

2、提出新问题：到两点的距离等于定长的点是什么轨迹呢？ 尝试作图；

3、创设情境，引出课题：“椭圆及其标准方程”。(二)小组合作，形成概念

下面请同学们思考下面的问题：

1、在作图时,视笔尖为动点，线的两个固定的端点为定点，动点到两定点距离之和符合什么条件？其轨迹如何？

2、改变两端点之间的距离,使其与绳长相等,画出的图形还是椭圆吗？

3、当绳长小于两图钉之间的距离时,还能画出图形吗？

学生经过动手操作→独立思考→小组讨论→共同交流的探究过程，得出这样三个结论：椭圆、线段、不存在。

归纳出椭圆的定义：平面内到两个定点F1、F2的距离之和等于定长(大于F1F2)的点的轨迹叫做椭圆。这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点的距离叫做椭圆的焦距。

(三)椭圆标准方程的推导

1、建立适当坐标系（让学生根据自己的经验来确定）

原则：尽可能使方程的形式简单、运算简单；主要应使曲线对于坐标轴具有较多的对称性。

2、标准方程推导过程如下：

①建立直角坐标系：以直线F1F2为x轴，线段F1F2的垂直平分线为y轴，建

立如图所示的坐标系；

②确定点的坐标：设F1F22c，则F1c，0，F2c，0，设Px，y是椭圆上的任意一点；

③设定长为2a，由条件PF1PF22a得

xc2y2xc2y22a；

x2y2④化简：得到椭圆方程为221。

ab（通过学生自己动手推导方程是学生构建知识的一个过程。）

3、归纳方程特点，巩固上述知识。

4、延伸：①焦点在y轴上：F10，c，F20，c

y2x2②方程：221

ab③a，b，c的关系：b2a2c2，ab0，ac0

(四)例题讲解

例1：平面内两个定点的距离是8，写出到这两个定点距离的和是10的动点的轨迹方程。

解：这个轨迹是椭圆，两个定点是焦点，用F1、F2表示。

取过点F1和F2的直线为x轴，线段F1F2的垂直平分线为y轴。2a10，2c8

a5，c4，b2a2c252429，即b3

x2y2x2y2这个椭圆的标准方程是221，即1

25953（例1是巩固椭圆的定义及标准方程）

x2y2x2y21与椭圆c2:1的焦点。

例2：分别求椭圆c1:433解：43

椭圆c1的焦点在x轴上，椭圆c2的焦点在y 轴上

a24，b23，ca2b21

1，椭圆c1的两个焦点分别是0和1，0 0，是1和0，1。

椭圆c2的两个焦点分别（例2会由椭圆的标准方程求出椭圆的焦点坐标和焦距）

(五)课堂练习

课本P61 A 1(2)(3)2(3)(4)(五)课堂小结

1、椭圆定义

2、焦点分别在x轴和y轴上的椭圆的标准方程（结合图形，表述焦点坐标，焦距，系数的关系等）

3、考虑一下将椭圆平移到坐标轴任意位置时的坐标，留给同学们课后思考