高一数学必修2直线与方程知识点总结(精选4篇)
篇1:高一数学必修2直线与方程知识点总结
导语:聪明出于勤奋,天才在于积累。我们要振作精神,下苦功学习。下面由小编为您整理出的高一数学必修2直线与方程知识点总结的相关内容,一起来看看吧。
(一)高一数学必修2直线与方程知识点总结
一、直线与方程
(1)直线的倾斜角
定义:x轴正向与直线向上方向之间所成的角叫直线的倾斜角。特别地,当直线与x轴平行或重合时,我们规定它的倾斜角为0度。因此,倾斜角的取值范围是0180
(2)直线的斜率
①定义:倾斜角不是90的直线,它的倾斜角的正切叫做这条直线的斜率。直线的斜率常用k表示。即。斜率反映直线与轴的倾斜程度。
当 时,;当 时,;当 时,不存在。
②过两点的直线的斜率公式:
注意下面四点:(1)当 时,公式右边无意义,直线的斜率不存在,倾斜角为90
(2)k与P1、P2的顺序无关;(3)以后求斜率可不通过倾斜角而由直线上两点的坐标直接求得;
(4)求直线的倾斜角可由直线上两点的坐标先求斜率得到。
(3)直线方程
①点斜式: 直线斜率k,且过点
注意:当直线的斜率为0时,k=0,直线的方程是y=y1。
当直线的斜率为90时,直线的斜率不存在,它的方程不能用点斜式表示.但因l上每一点的横坐标都等于x1,所以它的方程是x=x1。
②斜截式:,直线斜率为k,直线在y轴上的截距为b
③两点式:()直线两点,④截矩式:
其中直线 与 轴交于点 ,与 轴交于点 ,即 与 轴、轴的截距分别为。
⑤一般式:(A,B不全为0)
注意:各式的适用范围 特殊的方程如:
平行于x轴的直线:(b为常数);平行于y轴的直线:(a为常数);
(5)直线系方程:即具有某一共同性质的直线
(一)平行直线系
平行于已知直线(是不全为0的常数)的直线系:(C为常数)
(二)垂直直线系
垂直于已知直线(是不全为0的常数)的直线系:(C为常数)
(三)过定点的直线系
(ⅰ)斜率为k的直线系:,直线过定点;
(ⅱ)过两条直线,的交点的直线系方程为
(为参数),其中直线 不在直线系中。
(6)两直线平行与垂直
注意:利用斜率判断直线的平行与垂直时,要注意斜率的存在与否。
(7)两条直线的交点
相交
交点坐标即方程组 的一组解。
方程组无解;方程组有无数解 与 重合(8)两点间距离公式:设 是平面直角坐标系中的两个点,则
(9)点到直线距离公式:一点 到直线 的距离
(10)两平行直线距离公式
在任一直线上任取一点,再转化为点到直线的距离进行求解。
(二)高一数学必修二知识点总结
1、柱、锥、台、球的结构特征
(1)棱柱:
定义:有两个面互相平行,其余各面都是四边形,且每相邻两个四边形的公共边都互相平行,由这些面所围成的几何体。
分类:以底面多边形的边数作为分类的标准分为三棱柱、四棱柱、五棱柱等。
表示:用各顶点字母,如五棱柱或用对角线的端点字母,如五棱柱
几何特征:两底面是对应边平行的全等多边形;侧面、对角面都是平行四边形;侧棱平行且相等;平行于底面的截面是与底面全等的多边形。
(2)棱锥
定义:有一个面是多边形,其余各面都是有一个公共顶点的三角形,由这些面所围成的几何体
分类:以底面多边形的边数作为分类的标准分为三棱锥、四棱锥、五棱锥等
表示:用各顶点字母,如五棱锥
几何特征:侧面、对角面都是三角形;平行于底面的截面与底面相似,其相似比等于顶点到截面距离与高的比的平方。
(3)棱台:
定义:用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥,截面和底面之间的部分
分类:以底面多边形的边数作为分类的标准分为三棱态、四棱台、五棱台等
表示:用各顶点字母,如五棱台
几何特征:①上下底面是相似的平行多边形②侧面是梯形③侧棱交于原棱锥的顶点
(4)圆柱:
定义:以矩形的一边所在的直线为轴旋转,其余三边旋转所成的曲面所围成的几何体
几何特征:①底面是全等的圆;②母线与轴平行;③轴与底面圆的半径垂直;④侧面展开图是一个矩形。
(5)圆锥:
定义:以直角三角形的一条直角边为旋转轴,旋转一周所成的曲面所围成的几何体
几何特征:①底面是一个圆;②母线交于圆锥的顶点;③侧面展开图是一个扇形。
(6)圆台:
定义:用一个平行于圆锥底面的平面去截圆锥,截面和底面之间的部分
几何特征:①上下底面是两个圆;②侧面母线交于原圆锥的顶点;③侧面展开图是一个弓形。
(7)球体:
定义:以半圆的直径所在直线为旋转轴,半圆面旋转一周形成的几何体
几何特征:①球的截面是圆;②球面上任意一点到球心的距离等于半径。
2、空间几何体的三视图
定义三视图:正视图(光线从几何体的前面向后面正投影);侧视图(从左向右)、俯视图(从上向下)
注:正视图反映了物体上下、左右的位置关系,即反映了物体的高度和长度;
俯视图反映了物体左右、前后的位置关系,即反映了物体的长度和宽度;
侧视图反映了物体上下、前后的位置关系,即反映了物体的高度和宽度。
3、空间几何体的直观图——斜二测画法
斜二测画法特点:①原来与x轴平行的线段仍然与x平行且长度不变;②原来与y轴平行的线段仍然与y平行,长度为原来的一半。
两个平面的位置关系:
(1)两个平面互相平行的定义:空间两平面没有公共点
(2)两个平面的位置关系:
两个平面平行-----没有公共点;两个平面相交-----有一条公共直线。
a、平行
两个平面平行的判定定理:如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面,那么这两个平面平行。
两个平面平行的性质定理:如果两个平行平面同时和第三个平面相交,那么交线平行。
b、相交
二面角
(1)半平面:平面内的一条直线把这个平面分成两个部分,其中每一个部分叫做半平面。
(2)二面角:从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角。二面角的取值范围为[0°,180°]
(3)二面角的棱:这一条直线叫做二面角的棱。
(4)二面角的面:这两个半平面叫做二面角的面。
(5)二面角的平面角:以二面角的棱上任意一点为端点,在两个面内分别作垂直于棱的两条射线,这两条射线所成的角叫做二面角的平面角。
(6)直二面角:平面角是直角的二面角叫做直二面角。
esp.两平面垂直
两平面垂直的定义:两平面相交,如果所成的角是直二面角,就说这两个平面互相垂直。记为⊥
两平面垂直的判定定理:如果一个平面经过另一个平面的一条垂线,那么这两个平面互相垂直
两个平面垂直的性质定理:如果两个平面互相垂直,那么在一个平面内垂直于交线的直线垂直于另一个平面。
棱锥
棱锥的定义:有一个面是多边形,其余各面都是有一个公共顶点的三角形,这些面围成的几何体叫做棱锥
棱锥的的性质:
(1)侧棱交于一点。侧面都是三角形
(2)平行于底面的截面与底面是相似的多边形。且其面积比等于截得的棱锥的高与远棱锥高的比的平方
正棱锥
正棱锥的定义:如果一个棱锥底面是正多边形,并且顶点在底面内的射影是底面的中心,这样的棱锥叫做正棱锥。
正棱锥的性质:
(1)各侧棱交于一点且相等,各侧面都是全等的等腰三角形。各等腰三角形底边上的高相等,它叫做正棱锥的斜高。
(3)多个特殊的直角三角形
esp:
a、相邻两侧棱互相垂直的正三棱锥,由三垂线定理可得顶点在底面的射影为底面三角形的垂心。
b、四面体中有三对异面直线,若有两对互相垂直,则可得第三对也互相垂直。且顶点在底面的射影为底面三角形的垂心。
篇2:高一数学必修2直线与方程知识点总结
1. 当直线l与x轴相交时,我们把x轴正方向与直线l向上方向之间所成的角叫做直线l的倾斜角.当直线l与x轴平行或重合时, 我们规定它的倾斜角为0°. 则直线l的倾斜角 的范围是 .
2. 倾斜角不是90°的直线的斜率,等于直线的倾斜角的正切值,即 . 如果知道直线上两点 ,则有斜率公式 . 特别地是,当 , 时,直线与x轴垂直,斜率k不存在;当 , 时,直线与y轴垂直,斜率k=0.
注意:直线的倾斜角α=90°时,斜率不存在,即直线与y轴平行或者重合. 当α=90°时,斜率k=0;当 时,斜率 ,随着α的增大,斜率k也增大;当 时,斜率 ,随着α的增大,斜率k也增大. 这样,可以求解倾斜角α的范围与斜率k取值范围的一些对应问题.
两条直线平行与垂直的判定
1. 对于两条不重合的直线 、,其斜率分别为 、,有:
(1) ? ;(2) ? .
2. 特例:两条直线中一条斜率不存在时,另一条斜率也不存在时,则它们平行,都垂直于x轴;….
直线的点斜式方程
1. 点斜式:直线 过点 ,且斜率为k,其方程为 .
2. 斜截式:直线 的斜率为k,在y轴上截距为b,其方程为 .
3. 点斜式和斜截式不能表示垂直x轴直线. 若直线 过点 且与x轴垂直,此时它的倾斜角为90°,斜率不存在,它的方程不能用点斜式表示,这时的直线方程为 ,或 .
4. 注意: 与 是不同的方程,前者表示的直线上缺少一点 ,后者才是整条直线.
直线的两点式方程
1. 两点式:直线 经过两点 ,其方程为 ,
2. 截距式:直线 在x、y轴上的截距分别为a、b,其方程为 .
3. 两点式不能表示垂直x、y轴直线;截距式不能表示垂直x、y轴及过原点的直线.
4. 线段 中点坐标公式 .
直线的一般式方程
1. 一般式: ,注意A、B不同时为0. 直线一般式方程 化为斜截式方程 ,表示斜率为 ,y轴上截距为 的直线.
2 与直线平行的直线,可设所求方程为 ;与直线 垂直的直线,可设所求方程为 . 过点 的直线可写为 .
经过点 ,且平行于直线l的直线方程是 ;
经过点 ,且垂直于直线l的直线方程是 .
3. 已知直线 的方程分别是: ( 不同时为0), ( 不同时为0),则两条直线的位置关系可以如下判别:
(1) ; (2) ;
(3) 与 重合 ; (4) 与 相交 .
如果 时,则 ; 与 重合 ; 与 相交 .
两条直线的交点坐标
1. 一般地,将两条直线的方程联立,得到二元一次方程组 . 若方程组有惟一解,则两条直线相交,此解就是交点的坐标;若方程组无解,则两条直线无公共点,此时两条直线平行;若方程组有无数解,则两条直线有无数个公共点,此时两条直线重合.
2. 方程 为直线系,所有的直线恒过一个定点,其定点就是 与 的交点.
两点间的距离
1.平面内两点 , ,则两点间的距离为: .
特别地,当 所在直线与x轴平行时, ;当 所在直线与y轴平行时, ;当 在直线 上时, .
篇3:高一数学必修2知识点总结
两平面垂直的判定定理:如果一个平面经过另一个平面的一条垂线,那么这两个平面互相垂直
两个平面垂直的性质定理:如果两个平面互相垂直,那么在一个平
二面角求法:直接法(作出平面角)、三垂线定理及逆定理、面积射影定理、空间向量之法向量法(注意求出的角与所需要求的角之间的等补关系)
篇4:高一数学必修2直线与方程知识点总结
一、教学目标(一)知识教学点
在直角坐标平面内,已知直线上一点和直线的斜率或已知直线上两点,会求直线的方程;给出直线的点斜式方程,能观察直线的斜率和直线经过的定点;能化直线方程成截距式,并利用直线的截距式作直线.
(二)能力训练点
通过直线的点斜式方程向斜截式方程的过渡、两点式方程向截距式方程的过渡,训练学生由一般到特殊的处理问题方法;通过直线的方程特征观察直线的位置特征,培养学生的数形结合能力.
(三)学科渗透点
通过直线方程的几种形式培养学生的美学意识.
二、教材分析
1.重点:由于斜截式方程是点斜式方程的特殊情况,截距式方程是两点式方程的特殊情况,教学重点应放在推导直线的斜截式方程和两点式方程上.
2.难点:在推导出直线的点斜式方程后,说明得到的就是直线的方程,即直线上每个点的坐标都是方程的解;反过来,以这个方程的解为坐标的点在直线上. 的坐标不满足这个方程,但化为y-y1=k(x-x1)后,点P1的坐标满足方程.
三、活动设计
分析、启发、诱导、讲练结合.
四、教学过程(一)点斜式
已知直线l的斜率是k,并且经过点P1(x1,y1),直线是确定的,也就是可求的,怎样求直线l的方程(图1-24)?
设点P(x,y)是直线l上不同于P1的任意一点,根据经过两点的斜率公式得
注意方程(1)与方程(2)的差异:点P1的坐标不满足方程(1)而满足方程(2),因此,点P1不在方程(1)表示的图形上而在方程(2)表示的图形上,方程(1)不能称作直线l的方程. 重复上面的过程,可以证明直线上每个点的坐标都是这个方程的解;对上面的过程逆推,可以证明以这个方程的解为坐标的点都在直线l上,所以这个方程就是过点P1、斜率为k的直线l的方程.
这个方程是由直线上一点和直线的斜率确定的,叫做直线方程的点斜式. 当直线的斜率为0°时(图1-25),k=0,直线的方程是y=y1.
当直线的斜率为90°时(图1-26),直线的斜率不存在,它的方程不能用点斜式表示.但因l上每一点的横坐标都等于x1,所以它的方程是x=x1.
(二)斜截式
已知直线l在y轴上的截距为b,斜率为b,求直线的方程.
这个问题,相当于给出了直线上一点(0,b)及直线的斜率k,求直线的方程,是点斜式方程的特殊情况,代入点斜式方程可得:
y-b=k(x-0)也就是
上面的方程叫做直线的斜截式方程.为什么叫斜截式方程?因为它是由直线的斜率和它在y轴上的截距确定的.
当k≠0时,斜截式方程就是直线的表示形式,这样一次函数中k和b的几何意义就是分别表示直线的斜率和在y轴上的截距.
(三)两点式
已知直线l上的两点P1(x1,y1)、P2(x2,y2),(x1≠x2),直线的位置是确定的,也就是直线的方程是可求的,请同学们求直线l的方程.
当y1≠y2时,为了便于记忆,我们把方程改写成
请同学们给这个方程命名:这个方程是由直线上两点确定的,叫做直线的两点式. 对两点式方程要注意下面两点:(1)方程只适用于与坐标轴不平行的直线,当直线与坐标轴平行(x1=x2或y1=y2)时,可直接写出方程;(2)要记住两点式方程,只要记住左边就行了,右边可由左边见y就用x代换得到,足码的规律完全一样.
(四)截距式
例1 已知直线l在x轴和y轴上的截距分别是a和b(a≠0,b≠0),求直线l的方程. 此题由老师归纳成已知两点求直线的方程问题,由学生自己完成.
解:因为直线l过A(a,0)和B(0,b)两点,将这两点的坐标代入两点式,得
就是
学生也可能用先求斜率,然后用点斜式方程求得截距式.
引导学生给方程命名:这个方程是由直线在x轴和y轴上的截距确定的,叫做直线方程的截距式.
对截距式方程要注意下面三点:(1)如果已知直线在两轴上的截距,可以直接代入截距式求直线的方程;(2)将直线的方程化为截距式后,可以观察出直线在x轴和y轴上的截距,这一点常被用来作图;(3)与坐标轴平行和过原点的直线不能用截距式表示.
(五)例题
例2 三角形的顶点是A(-5,0)、B(3,-3)、C(0,2)(图1-27),求这个三角形三边所在直线的方程.
本例题要在引导学生灵活选用方程形式、简化运算上多下功夫. 解:直线AB的方程可由两点式得:
即 3x+8y+15=0 这就是直线AB的方程.
BC的方程本来也可以用两点式得到,为简化计算,我们选用下面途径:
由斜截式得:
即 5x+3y-6=0. 这就是直线BC的方程. 由截距式方程得AC的方程是
即 2x+5y+10=0.
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