高一数学函数与方程专项检测题

2024-07-11

高一数学函数与方程专项检测题（精选10篇）

篇1：高一数学函数与方程专项检测题

高一数学函数与方程专项检测题

1. (20XX安徽六安二中高一期末考试)实数是图象连续不断的函数定义域中的三个数，且满足，则函数在区间上的零点个数为( )

A.2 B.质数 C.合数 D.至少是2

2. (20XX陕西师大附中高一上学期期末考试)已知函数f(x)的图像是连续不断的.，且有如下对应值表：

x12345

f(x)-4-2147

在下列区间中，函数f(x)必有零点的区间为( )

A.(1，2) B.(2，3) C .(3, 4) D. (4, 5)

3.(20XX年合肥市高三第一次质量监测)函数的零点个数为( )

A.0 B.1 C.2 D.3

4. (20XX安徽蚌埠铁中高一单元测试)物理课上老师拿出长为1米的一根导线，此导线中有一处折断无法通电(表面看不出来)，如何迅速查出故障所在?如果沿着线路一小段一小段查找，较为麻烦.想一想，怎样工作最合理?要把折断处的范围缩小到3~4厘米左右，要查多少次?

篇2：高一数学函数与方程专项检测题

1.函数的思想，是用运动和变化的观点，分析和研究数学中的数量关系，建立函数关系或构造函数，运用函数的图像和性质去分析问题、转化问题，从而使问题获得解决。

2.方程的思想，就是分析数学问题中变量间的等量关系，建立方程或方程组，或者构造方程，通过解方程或方程组，或者运用方程的性质去分析、转化问题，使问题获得解决。方程思想是动中求静，研究运动中的等量关系;

3.函数方程思想的.几种重要形式

(1)函数和方程是密切相关的，对于函数y=f(x)，当y=0时，就转化为方程f(x)=0，也可以把函数式y=f(x)看做二元方程y-f(x)=0。

(2)函数与不等式也可以相互转化，对于函数y=f(x)，当y>0时，就转化为不等式f(x)>0，借助于函数图像与性质解决有关问题，而研究函数的性质，也离不开解不等式;

(3)数列的通项或前n项和是自变量为正整数的函数，用函数的观点处理数列问题十分重要;

(4)函数f(x)=(1+x)^n (n∈N*)与二项式定理是密切相关的，利用这个函数用赋值法和比较系数法可以解决很多二项式定理的问题;

(5)解析几何中的许多问题，例如直线和二次曲线的位置关系问题，需要通过解二元方程组才能解决，涉及到二次方程与二次函数的有关理论;

篇3：高一数学函数与方程专项检测题

关键词：初中数学,方程型综合题,函数型综合题,方程与函数型综合题

方程与函数综合题是历年中考的必考内容,它主要是围绕着方程和函数展开的,可分为三大类型:方程型综合题、函数型综合题、方程与函数型综合题。

解方程与函数综合题,第一要掌握好数和式这些知识体系,它们是方程和函数的构成基础;第二要掌握好方程的各种解法和相关定理,掌握好函数的概念及其各种性质,掌握好方程和函数间的各种联系;第三要会适时恰当地运用方程与函数思想、转化思想、分类思想,灵活运用配方、消元、代换、待定系数法等基本方法。当然,解方程与函数综合题,还要求我们有较强的分析问题和解决问题的能力,善于把综合性的问题转化为若干个基本问题来解决。下面我们逐一分析这三大类型:

一、方程型综合题

方程型综合题主要是以一元二次方程为主线,直接利用二次方程根的定义、方程的解法、根的判别式、根与系数的关系、不等式等有关知识来解决问题。

例1. 设x1、x2是关于x的方程x2+4kx+3=0的两个实数根,y1、y2是关于y的方程y2-k2y+p=0的两个实数根。若x1-y1=2,x2-y2=2,求k和p的值.

分析:由根与系数的关系及已知,可建立关于k的二次方程,再利用根的判别式即可确定k的值,从而进一步求出p的值。

说明:本题的关键是利用根与系数的关系构造方程,再结合根的判别式确定k,p的值。

练习:已知:关于x的方程kx2+(2k-1)x+k-1=0只有整数根,且关于y的一元二次方程 (k-1)y2-3y+m= 0有两个实数根y1和y2.

求:(1)当k为整数时,确定k的值;

(2)在(1)的条件下,若m>-2,用关于m的代数式表示y12+y22.

二、函数型综合题

例2如图所示,已知反比例函数的图象经过点,过点A作AB⊥OX于点B,△AOB的面积为

(1)求k和b的值;

(2)若一次函数y=ax+1的图象经过点A,并且与x相交于点M,求AO:AM;

(3) 如果以AM为一边的正三角形AMP的顶点P在二次函数的图象上,求m的值.

分析:⑴由且b>0可求得k、b的值;(2)由直线y=ax+1过点A可求出a的值,从而得到M点的坐标,再由勾股定理求得AO与AM的值; (3) 在Rt△ABM中,由AB与AM的值可求得∠BMA=30°,再分类讨论点P位置的两种情况,再由点P在抛物线上,得到M的值。

在 Rt△ABO 中,

(3)由(2)得,Rt△ABM中,∵AB=2,AM=4,∴∠BMA=30°∵ 点A在第二象限,M在x轴的正半轴上,且 ∠AMB=30°,∠AMP=60°,∴ 点P的位置有两种情况: 1点P在第一象限,∵∠BMA=30°,∠AMP=60°,∴ ∠PMB=900,∴ 点P的坐标为(31/2,4).由点P在二次函数y=-x2+mx+m-9的图象上,得m=4;2点P在第三象限,可求得点P的坐标为(- 31/2,-2).由点P在二次函数y=-x2+mx+m-9的图象上,得m=-5.综上所述,m=4或m=-5.

说明:此题易错处是考虑不周,第⑶问没有分类讨论,做此类题应多加注意。

练习:如图所示,在直角坐标系中,点A、B的坐标分别为(-3,0)、(0,3).

(1) 一次函数图象上的两点P、Q在直线AB的同侧, 且直线PQ与y轴交点的纵坐标大于3, 若 △PAB和△QAB的面积都等于3,求这个一次函数的解析式.

(2)二次函数的图象经过点A、B,其顶点C在x轴上方且在直线PQ上,求这个二次函数的解析式.

(3) 若使⑵中所确定的抛物线的开口方向不变,顶点C在直线PQ上运动,当点C运动到C′时,抛物线在x轴上截得的线段长为6,求点C′的坐标。

三、方程与函数的综合题

这类问题主要是沟通了二次方程与二次函数之间的内在联系,解题的关键是抓住二次方程的有关理论与二次函数的有关性质,借助数形结合,就能寻找到解题的途径。

例3已知抛物线y=x2-mx+2m-4.⑴求证:不论m为任何实数,抛物线与x轴总有交点;⑵当抛物线与x轴交于A、B两点 (A在y轴左侧,B在y轴右侧), 且OA与OB的长的比为2:1,求m的值.

分析:抛物线与x轴有无交点的问题,可转化为一元二次方程有无实数根的问题,应由根的判别式 △=b2-4ac解决;问题⑵可以归结为一元二次方程有一正一负两根且两根的比的绝对值等于2:1的问题, 利用根与系数的关系解决。

解:⑴因△=(-m)2-4(2m-4)=(m-4)2≥0,故不论m为任何实数,抛物线与x轴总有交点.(2)设两个交点的横坐标为x1,x2,依题意,得:

解之,得m=-2.

说明:把二次函数的某些问题转化为求解一元二次方程的有关问题,是一种常用的解题思路。二次方程与二次函数既有区别,又有联系,要善于把二者结合起来思考,往往能使问题迎刃而解。

练习:如图所示,在矩形ABCD中,BC=acm,AB=bcm,a>b,且a、b是方程的两个根.P是BC上一动点,动点Q在PC或其延长线上,BP= PQ,作以PQ为一边的正方形PQRS.点P从B点开始沿射线BC方向运动,设BP=xcm,正方形PQRS与矩形ABCD重叠部分面积为ycm2.

(1)求 a 和 b;

(2) 分别求出0≤x≤2和2≤x≤4时,y和x之间的函数关系式.

篇4：高一数学函数与方程专项检测题

关键词：初中数学；方程型综合题；函数型综合题；方程与函数型综合题

中图分类号：G633.6 文献标识码：A 文章编号：1009-010X（2015）21-0062-03

方程与函数综合题是历年中考的必考内容，它主要是围绕着方程和函数展开的，可分为三大类型：方程型综合题、函数型综合题、方程与函数型综合题。

解方程与函数综合题，第一要掌握好数和式这些知识体系，它们是方程和函数的构成基础；第二要掌握好方程的各种解法和相关定理，掌握好函数的概念及其各种性质，掌握好方程和函数间的各种联系；第三要会适时恰当地运用方程与函数思想、转化思想、分类思想，灵活运用配方、消元、代换、待定系数法等基本方法。当然，解方程与函数综合题，还要求我们有较强的分析问题和解决问题的能力，善于把综合性的问题转化为若干个基本问题来解决。下面我们逐一分析这三大类型：

一、方程型综合题

方程型综合题主要是以一元二次方程为主线，直接利用二次方程根的定义、方程的解法、根的判别式、根与系数的关系、不等式等有关知识来解决问题。

例1.设x1、x2是关于x的方程x2+4kx+3=0的两个实数根，y1、y2是关于y的方程y2-k2y+p=0的两个实数根。若x1-y1=2，x2-y2=2，求k和p的值.

分析：由根与系数的关系及已知，可建立关于k的二次方程，再利用根的判别式即可确定k的值，从而进一步求出p的值。

解：由已知得x1+x2=-4k，x1·x2=3，Δ1=16k2-4×3≥0；

y1+y2=k2， y1·y2=p，Δ2=k4-4p≥0.

∵x1-y1=2，x2-y2=2，

∴（x1+x2）-（y1+y2）=4，

即k2+4k+4=0，解之得k1=k2=-2.

当k=-2时，Δ1>0，故k=-2.

由y1·y2=p=（x1-2）（x2-2）=x1·x2-2（x1+x2）+4=3+8k+4=-9，

∵当k=-2，p=-9时，满足Δ2=k4-4p≥0，

故k=-2，p=-9.

说明：本题的关键是利用根与系数的关系构造方程，再结合根的判别式确定k，p的值。

练习：已知：关于x的方程kx2+（2k-1）x+k-1=0只有整数根，且关于y的一元二次方程（k-1）y2-3y+m=0有两个实数根y1和y2.

求：（1）当k为整数时，确定k的值；

（2）在（1）的条件下，若m>-2，用关于m的代数式表示y12+y22.

二、函数型综合题

例2如图所示，已知反比例函数y=■的图象经过点A（-■，b），过点A作AB⊥OX于点B，△AOB的面积为■.

（1）求k和b的值；

（2）若一次函数y=ax+1的图象经过点A，并且与x相交于点M，求AO：AM；

（3）如果以AM为一边的正三角形AMP的顶点P在二次函数y=-x2+■mx+m-9的图象上，求m的值.

分析：⑴由S△AOB=■k且b>0可求得k、b的值；（2）由直线y=ax+1过点A可求出a的值，从而得到M点的坐标，再由勾股定理求得AO与AM的值；（3）在Rt△ABM中，由AB与AM的值可求得∠BMA=30°，再分类讨论点P位置的两种情况，再由点P在抛物线上，得到M的值。

解：（1）由点A在第二象限，得b>0.又AB⊥OX于B，S△AOB=■，∴■-■b=■，∴b=2，∴A点坐标为（-■，2）.

由反比例函数y=■的图象过点A，得2=■，∴k=-2■.

（2）∵一次函数y=ax+1的图象经过点A（-■，2），

∴2=a（-■）+1，∴a=-■.

∴一次函数的解析式为y=--■x+1.令y=0，可求得M点的坐标为（■，0）.

在Rt△ABO中，

AO=■=■=■，

在Rt△ABM中，BM=BO+OM=2■，

∴AM=■=■=4.

∴AO：AM=■：4.

（3）由（2）得，Rt△ABM中，∵AB=2，AM=4，∴∠BMA=30°∵点A在第二象限，M在x轴的正半轴上，且∠AMB=30°，∠AMP=60°，∴点P的位置有两种情况：①点P在第一象限，∵∠BMA=30°，∠AMP=60°，∴∠PMB=900，∴点P的坐标为（■，4）.由点P在二次函数y=-x2+mx+m-9的图象上，得m=4；②点P在第三象限，可求得点P的坐标为（-■，-2）.由点P在二次函数y=-x2+mx+m-9的图象上，得m=-5.综上所述，m=4或m=-5.

说明：此题易错处是考虑不周，第⑶问没有分类讨论，做此类题应多加注意。

练习：如图所示，在直角坐标系中，点A、B的坐标分别为（-3，0）、（0，3）.

（1）一次函数图象上的两点P、Q在直线AB的同侧，且直线PQ与y轴交点的纵坐标大于3，若△PAB和△QAB的面积都等于3，求这个一次函数的解析式.

（2）二次函数的图象经过点A、B，其顶点C在x轴上方且在直线PQ上，求这个二次函数的解析式.

（3）若使⑵中所确定的抛物线的开口方向不变，顶点C在直线PQ上运动，当点C运动到C′时，抛物线在x轴上截得的线段长为6，求点C′的坐标。

三、方程与函数的综合题

这类问题主要是沟通了二次方程与二次函数之间的内在联系，解题的关键是抓住二次方程的有关理论与二次函数的有关性质，借助数形结合，就能寻找到解题的途径。

例3已知抛物线y=x2-mx+2m-4.⑴求证：不论m为任何实数，抛物线与x轴总有交点；⑵当抛物线与x轴交于A、B两点（A在y轴左侧，B在y轴右侧），且OA与OB的长的比为2：1，求m的值.

分析：抛物线与x轴有无交点的问题，可转化为一元二次方程有无实数根的问题，应由根的判别式△=b2-4ac解决；问题⑵可以归结为一元二次方程有一正一负两根且两根的比的绝对值等于2：1的问题，利用根与系数的关系解决。

解：⑴因△=（-m）2-4（2m-4）=（m-4）2≥0，故不论m为任何实数，抛物线与x轴总有交点.（2）设两个交点的横坐标为x1，x2，依题意，得：

x1=-2x2，x1+x2=m，x1·x2=2m-4，m<0

解之，得m=-2.

说明：把二次函数的某些问题转化为求解一元二次方程的有关问题，是一种常用的解题思路。二次方程与二次函数既有区别，又有联系，要善于把二者结合起来思考，往往能使问题迎刃而解。

练习：如图所示，在矩形ABCD中，BC=acm，AB=bcm，a>b，且a、b是方程■+■=1的两个根.P是BC上一动点，动点Q在PC或其延长线上，BP=PQ，作以PQ为一边的正方形PQRS.点P从B点开始沿射线BC方向运动，设BP=xcm，正方形PQRS与矩形ABCD重叠部分面积为ycm2.

（1）求a和b；

（2）分别求出0≤x≤2和2≤x≤4时，y和x之间的函数关系式.

篇5：高一数学函数与方程练习题及答案

1.设f(x)=x3+bx+c是[-1,1]上的增函数，且f(-12)f(12)<0，则方程f(x)=0在[-1,1]内

( )

A.可能有3个实数根 B.可能有2个实数根

C.有唯一的实数根 D.没有实数根

解析：由f -12f 12<0得f(x)在-12，12内有零点，又f(x)在[-1,1]上为增函数，

∴f(x)在[-1,1]上只有一个零点，即方程f(x)=0在[-1,1]上有唯一的实根.

答案：C

2.(长沙模拟)已知函数f(x)的图象是连续不断的，x、f(x)的对应关系如下表：

x 1 2 3 4 5 6

f(x) 136.13 15.552 -3.92 10.88 -52.488 -232.064

则函数f(x)存在零点的区间有

( )

A.区间[1,2]和[2,3]

B.区间[2,3]和[3,4]

C.区间[2,3]、[3,4]和[4,5]

D.区间[3,4]、[4,5]和[5,6]

解析：∵f(2)与f(3)，f(3)与f(4)，f(4)与f(5)异号，

∴f(x)在区间[2,3]，[3,4]，[4,5]上都存在零点.

答案：C

3.若a>1，设函数f(x)=ax+x-4的零点为m，g(x)=logax+x-4的零点为n，则1m+1n的取值范围是

( )

A.(3.5，+∞) B.(1，+∞)

C.(4，+∞) D.(4.5，+∞)

解析：令ax+x-4=0得ax=-x+4，令logax+x-4=0得logax=-x+4，

在同一坐标系中画出函数y=ax，y=logax，y=-x+4的图象，结合图形可知，n+m为直线y=x与y=-x+4的.交点的横坐标的2倍，由y=xy=-x+4，解得x=2，所以n+m=4，因为(n+m)1n+1m=1+1+mn+nm≥4，又n≠m，故(n+m)1n+1m>4，则1n+1m>1.

答案：B

4.(2014昌平模拟)已知函数f(x)=ln x，则函数g(x)=f(x)-f′(x)的零点所在的区间是

( )

A.(0,1) B.(1,2)

C.(2,3) D.(3,4)

解析：函数f(x)的导数为f′(x)=1x，所以g(x)=f(x)-f′(x)=ln x-1x.因为g(1)=ln 1-1=-1<0，g(2)=ln 2-12=“”>0，所以函数g(x)=f(x)-f′(x)的零点所在的区间为(1,2).故选B.

答案：B

5.已知函数f(x)=2x-1，x>0，-x2-2x，x≤0，若函数g(x)=f(x)-m有3个零点，则实数m的取值范围是________.

解析：画出f(x)=2x-1，x>0，-x2-2x，x≤0，的图象，如图.由函数g(x)=f(x)-m有3个零点，结合图象得：0

篇6：高一数学函数与方程专项检测题

一、选择题

1.已知函数f(x)在区间[a，b]上单调，且f(a)f(b)0则方程f(x)=0在区间[a，b]上

A.至少有一实根 B.至多有一实根

C.没有实根 D.必有唯一的实根

[答案] D

2.已知函数f(x)的图象是连续不断的，有如下的x、f(x)对应值表：

x123456

f(x)123.5621.45-7.8211.57-53.76-126.49

函数f(x)在区间[1,6]上的零点至少有()

A.2个 B.3个

C.4个 D.5个

[答案] B

3.(～山东淄博一中高一期中试题)对于函数f(x)=x2+mx+n，若f(a)0，f(b)0，则f(x)在(a，b)上()

A.一定有零点 B.可能有两个零点

C.一定有没有零点 D.至少有一个零点

[答案] B

[解析] 若f(x)的.图象如图所示否定C、D

若f(x)的图象与x轴无交点，满足f(a)0，f(b)0，则否定A，故选B.

4.下列函数中，在[1,2]上有零点的是()

A.f(x)=3x2-4x+5 B.f(x)=x3-5x-5

C.f(x)=lnx-3x+6 D.f(x)=ex+3x-6

[答案] D

[解析] A：3x2-4x+5=0的判别式0，

此方程无实数根，f(x)=3x2-4x+5在[1,2]上无零点.

B：由f(x)=x3-5x-5=0得x3=5x+5.

在同一坐标系中画出y=x3，x[1,2]与y=5x+5，x[1,2]的图象，如图1，两个图象没有交点.

f(x)=0在[1,2]上无零点.

C：由f(x)=0得lnx=3x-6，在同一坐标系中画出y=lnx与y=3x-6的图象，如图2所示，由图象知两个函数图象在[1,2]内没有交点，因而方程f(x)=0在[1,2]内没有零点.

D：∵f(1)=e+31-6=e-30，f(2)=e20，

f(1)f(2)0.

f(x)在[1,2]内有零点.

5.若函数f(x)=x2-ax+b的两个零点是2和3，则函数g(x)=bx2-ax-1的零点是()

A.-1和16 B.1和-16

C.12和13 D.-12和-13

[答案] B

[解析] 由于f(x)=x2-ax+b有两个零点2和3，

a=5，b=6.g(x)=6x2-5x-1有两个零点1和-16.

6.(福建理，4)函数f(x)=x2+2x-3，x0-2+lnx，x0的零点个数为()

A.0 B.1

C.2 D.3

[答案] C

[解析] 令x2+2x-3=0，x=-3或1;

∵x0，x=-3;令-2+lnx=0，lnx=2，

x=e20，故函数f(x)有两个零点.

二、填空题

7.已知函数f(x)=x+m的零点是2，则2m=________.

[答案] 14

[解析] ∵f(x)的零点是2，f(2)=0.

2+m=0，解得m=-2.2m=2-2=14.

8.函数f(x)=2x2-x-1，x0，3x-4，x0的零点的个数为________.

[答案] 2

[解析] 当x0时，令2x2-x-1=0，解得x=-12(x=1舍去);当x0时，令3x-4=0，解得x=log34，所以函数f(x)=2x2-x-1，x0，3x-4，x0有2个零点.

9.对于方程x3+x2-2x-1=0，有下列判断：

①在(-2，-1)内有实数根;

②在(-1,0)内有实数根;

③在(1,2)内有实数根;

④在(-，+)内没有实数根.

其中正确的有________.(填序号)

[答案] ①②③

[解析] 设f(x)=x3+x2-2x-1，则f(-2)=-10，

f(-1)=10，

f(0)=-10，f(1)=-10，f(2)=70，

篇7：高一数学函数与方程专项检测题

一、函数与方程思想在实际教学过程中的应用

1．方程的根与函数的零点

方程f(x)=0的解就是函数f(x)与坐标轴x轴的交点的横坐标;对于形如y=f(x)通常可以看作为二元方程f(x)-y=0，方程f(x)=a就有解，当然a要在函数f(x)的值域之内.所以函数与方程之间的这种转化关系在该考试题的应用十分广泛.

例1(2013年天津市高考数学理科试题)函数f(x)=2x|log0.5x|-1的零点个数为()

(A)0(B)1(C)2(D)3

解:要求函数f(x)=2x|log0.5x|-1的零点个数，可令f(x)=0，那么就会得到方程;第二步在平面直角坐标系中画出函数y=|log0.5x|与函数的图象，观察两条函数曲线的交点，从而确定出方程解的个数，所以本题答案为(B).

分析:此题为高考数学中常见的类型化题目，核心思想就是把函数的零点问题转化成了方程解的个数的问题.在平时的解题过程中，遇到此类问题就是构造方程f(x)=g(x)，从而利用数形结合的方法，求出解的个数.

2．函数方程思想在三角函数中的应用

设定义域为R的奇函数f(x)，在定义域内单调递减，如果0≤θ≤π/2,f(cos2θ-2msinθ)+f(3m-5)>0，求m值的取值范围.

解析:本题主要考察函数的单调性、奇偶性，以及三角函数、二次函数和不等式的相关知识.根据函数的单调性和奇偶性，可以得到如下不等式:

由于cos2θ+sin2θ=1，不等式可以转化为sin2θ+2msinθ+4-3m>0，随后假设t=sinθ，可以得到:(t+m)2+4-m2-3m>0，此时t的取值范围是[0,1];再利用函数与方程的思想，假设f(t)=(t+m)2+4-m2-3m，然后结合二次函数的对称轴以及函数区间的单调性，得到相关的参数不等式，如下所示:

笔者认为此题不仅考察了函数与方程的思想，同时又考察了数形结合以及换元化归思想.

3．函数方程思想在数列问题中的应用

数列问题是高考数学综合性较强的问题，在历年高考中经常出现.

例3假设等差数列{an}的前n项和为Sn，已知a3=12,S12>0,S13<0;

(1)求公差d的取值范围;

(2)求出S1～S12中的最大值，并说明理由.

解析:因为数列之中的自然数是离散的变量，所以数列也被称为是离散函数，在高考数学中占有重要的地位.在该问题的第二项就体现着函数与方程思想，数列{an}的前n项和为Sn是n的二次函数，利用配方法可以得到如下解析式:

所以第二项问题的求解就转化为二次函数中变量n取何值，才能够使得Sn取得最大值.所以只有求出公差d的取值范围，才能够求得Sn的最大值.另外该题型也充分体现着函数思想与方程的结合应用，主要目的是为了考察学生对等差数列知识本质的理解.

二、小结

篇8：高一数学函数与方程专项检测题

□ 缪林

1. （必修1第2章第5节例2）判断函数f（x）=x2-2x-1在区间（2，3）内是否存在零点.

1-1. （改编）判断函数f（x）=x2-2x-1在区间（2，3）内是否存在零点.若存在，求个数；若不存在，请说明理由.

1-2. （改编）就实数a讨论函数f（x）=ax2-2x+1在区间（0，3）内零点的个数.

1-3. （改编）已知二次函数f（x）=ax2+bx+c.

（1）若f（-1）=0，试判断函数f（x）零点的个数；

（2）若对?坌x1，x2∈R，且x1＜x2，f（x1）≠f（x2），试证明存在x0∈（x1，x2），使f（x0）=［f（x1）+f（x2）］成立；

（3）是否存在a，b，c∈R，使f（x）同时满足以下条件：① 对?坌x∈R，f（x-4）=f（2-x），且f（x）的最小值是0；② 对?坌x∈R，都有0≤f（x）-x≤（x-1）2？若存在，求出a，b，c的值；若不存在，请说明理由.

2. （必修1第2章第5节思考题）如果x0是二次函数y=f（x）的零点，且m＜x0＜n，那么f（m）f（n）＜0一定成立吗？

2-1. （改编）已知下列命题：

（1）函数y=f（x）在区间［a，b］上有定义，若f（a）·

f（b）＜0，则函数y=f（x）在区间（a，b）内一定有零点；

（2）函数y=f（x）在区间［a，b］上的图像是不间断的一条曲线，若f（a）·f（b）＜0，则函数y=f（x）在区间（a，b）内有且只有一个零点；

（3）函数y=f（x）在区间［a，b］上的图像是不间断的一条曲线，若f（a）·f（b）≤0，则函数y=f（x）在区间（a，b）内有零点；

（4）函数y=f（x）在区间［a，b］上的图像是不间断的一条曲线，若f（a）·f（b）＞0，则函数y=f（x）在区间（a，b）内没有零点；

（5）函数y=f（x）在区间［a，b］内的图像是不间断的一条曲线，若y=f（x）在区间（a，b）内存在零点x0，那么f（a）·f（b）＜0；

（6）函数y=f（x）在区间［a，b］上单调，其图像是不间断的一条曲线，若y=f（x）在区间（a，b）内存在零点x0，那么f（a）·f（b）＜0.

其中正确命题的个数为.

第Ⅱ部分（人教版教材）

□ 任宪伟

1. （A版必修1第三章3.1.1例1）求函数f（x）=lnx+2x-6的零点的个数.

1-1. （改编）函数f（x）=lnx+2x-6的零点为x0，则满足n≤x0的最大的整数n为.

1-2. （改编）方程lgx+x2-6x=0的实数根的个数为.

1-3. （改编）函数f（x）=lg（x+3）+x2-6x的零点的个数为.

1-4. （改编）方程lnx-x2+2x=0的实数根的个数为

1-5. （改编）若函数f（x）=logax+x-a（a＞0，且a≠1）有两个不同的零点，则实数a的取值范围是.

2. （A版必修1第三章3.1.2例2）借助计算器或计算机，用二分法求方程2x+3x=7的近似解.（精确到0.1）

2-1. （改编）若函数f（x）=3x-x-4，其函数值的一些参考数据为：

根据所给数据，利用二分法，可确定方程3x-x-4=0的一个实数根的近似值为.（精确到0.01）

2-2. （改编）利用二分法研究函数f（x）=x3+3x-1的零点时，第一次经计算可知f（0）＜0，f（0.5）＞0，于是可知函数f（x）的一个零点x0∈，为了进一步确定函数f（x）的零点x0的近似值，则第二次应计算

3. （A版必修1第三章习题3.1A组2）已知函数f（x）的图像是连续的，且有如下对应值表：

根据所给数据确定函数f（x）在哪个区间内有零点？为什么？

3-1. （改编）根据下列对应值表中的数据，可判断函数f（x）=ex-x-3的一个零点所在的区间是（）

A. （-1，0）B. （0，1）

C. （1，2）D. （2，3）

3-2. （改编）若函数f（x）=x2+（1-m）x-m的一个零点在区间（2，3）内，则实数m的取值范围是.

3-3. （改编）若方程3x-0.618=0在区间［k，k+1），k∈Z内有解，则k的值为.

4. （B版必修1第二章习题2-4B组1）已知y=f（x）是偶函数，其图像与x轴有4个交点，试求方程f（x）=0的所有实数根的和.

4-1. （改编）已知y=f（x）是R上的奇函数，其图像与x轴有2011个交点，则函数f（x）的所有零点的和为

4-2. （改编）已知定义在R上的奇函数f（x）满足：对任意的x，有f（x-2）=-f（x），且在区间［0，1］上是增函数.若方程f（x）=a（a＞0）在区间［-4，4］上有四个根，则这四个根之和为.

5. （A版必修1第三章3.2.1例1）假设你有一笔资金用于投资，现有三种投资方案供你选择，这三种方案的回报如下：方案一：每天回报40元；方案二：第一天回报10元，以后每天比前一天多回报10元；方案三：第一天回报0.4元，以后每天的回报比前一天翻一番.请问，你会选择哪种投资方案？

5-1. （改编）为了帮助上高中的孩子学习，爸爸打算去电信公司开户上网，经询问，记录了可供选择的三种上网方式与相应价格的资料：① 每小时2元；② 每月50元，可上网50小时，超过50小时的部分每小时2元；③ 每月70元，时间不限（其他因素均忽略不计）.请你利用所学的函数知识对上网方式与费用问题进行研究，对这位爸爸的选择给一个合理的建议.

5-2. （改编）某经营者将甲、乙两种商品在六个月试销期内逐月的投资与纯利润列表如下：

该经营者准备在下个月投入12万元经营这两种商品，但不知投入甲、乙两种商品各多少万元才合算.请你帮助该经营者制定一个投资方案，使得该经营者能获得最大纯利润，并按你的方案求出该经营者可获得的最大纯利润.（结果保留两位有效数字）

6. （A版必修1第三章3.2.1例2）某公司为了实现1 000万元利润的目标，准备制定一个激励销售部门的奖励方案：在销售利润达到10万元时，按销售利润进行奖励，且奖金y（单位：万元）随销售利润x（单位：万元）的增加而增加，但奖金总数不超过5万元，同时不超过利润的25%.现有三个奖励模型：y=0.25x，y=log2x+1，y=1.002x.其中哪个模型能符合公司的要求？

篇9：高中数学中函数与方程思想的研究

一、构建函数关系

在数学各分支形形色色的数学问题或综合题中, 将非函数问题的条件或结论通过类比、联想、抽象、概括等手段, 构造某些函数关系, 利用函数思想和方法使原问题获解, 这是函数思想解题的高层次的体现。构造函数时要仔细审题, 充分发掘题设中可类比、联想的因素, 促进思维迁移。

例题1.a为何值时, 不等式a2+2a-sin2x-2acosx>2对任意实数x都成立。

分析:看到这个题目后很容易想到分离变量a和x, 转化为a的二次函数的最值解决, 但实际解题中却无法直接从原不等式中分离出参数a, 深入审题知思维屏障产生于sin2x与cosx的不和谐性。以此为突破口, 利用整体思想、换元, 将原不等式先转换为cosx的二次不等式, 再利用新构造的函数关系求解.

解析:令t=cosx, 则sin2x=1-t2, t∈[-1, 1],

不等式化为t2-2at+a2+2a-3>0在t∈[-1, 1]上恒成立,

设f (t) =t2-2at+a2+2a-3= (t-a) 2+2a-3.当a≤-1时, f (t) min=f (-1) =a2+4a-2;且当-1<a<1时, f (t) min=f (a) =2a3;当a≥1时, f (t) min=f (1) =a2-2.原问题等价于当t∈[-1, 1]时f (t) min>0.即所求的a值为下列不等式组的解。

点拨解疑:1不等式恒成立问题的基本解法是转化为函数最值问题, 利用函数性质解决, 但本题无法分离参数, 顾只好对含参数a的二次函数最值依对称轴位置分情况讨论, 利用函数性质:f (t) >0, 对t∈[-1, 1]恒成立等价于f (t) min>0, t∈[-1, 1], 使问题解决。2在解题中综合使用了函数思想, 数形结合思想, 分类讨论思想和化归思想及换元法, 对思维品质要求较高。

二、待定系数法

把题目中待定的未知数 (或参数) 和已知数的等量关系揭示出来, 建立方程 (组) 求出未知数的值, 是待定系数法的基本形式, 也是方程思想的一种基本应用。

例题2.是否存在常数a, b, c, 使得等式对于一切自然数n都成立?并证明你的结论。

分析:本例属存在型探索题, 但也是待定系数法运用的典型题目, 问题要求含三个待定常数a, b, c的等式对一切自然数都成立, 易联想到用赋值法, 此等式必然对a, b, c所取的任何具体的自然数的值都成立.令n=1, 2, 3, 建立a, b, c的三元方程组, 转化为方程组是否有解, 问题便不难解决了。

解析:假设存在a, b, c, 使题设的等式成立, 令n=1, 2, 3, 得

(略:读者自行完成)

点拨解疑:待定系数法的实质就是方程思想的应用, 由于待定系数法是数学的一大基本方法, 因而赋予方程思想的应用以广阔空间, 高中数学中比比皆是, 诸如已知函数式及某特殊函数值, 求待定系数或底数或指数的值, 已知数列的类型及某特殊项或前n项和的值, 求通项公式或前n项和公式中的待定系数, 已知曲线方程的类型, 由某些已知数求方程中待定系数的值等等。

三、函数思想与方程思想的联用

在解综合题时, 解决一个问题常常不止需要一种数学思想, 而是需要多种数学思想方法的联用, 例如函数思想与方程思想的联用。它们间的相互转换一步步使问题获得解决, 转换的途径为函数 + 方程 + 函数或方程 + 函数 + 方程。

例题3.若抛物线y=-x2+mx-1和两端点A (0, 3) , B (3, 0) 的线段AB有两个不同的交点, 求m的取值范围。

分析:先由方程思想将曲线的交点问题转化的方程的解的问题, 再由方程有解转化为二次函数的实根分布问题, 再通过解不等式 (组) 得到所求范围。

结语:函数是高中数学的主线, 它用联系、运动和变化的观点研究、描述客观世界中相互关联的量之间的依存关系, 形成变量数学的一大重要基础和分枝。函数思想以函数知识做基石, 用运动变化的观点分析和研究数学对象间的数量关系, 使函数知识的应用得到极大的扩展, 丰富并优化了数学解题活动, 给数学解题带来一股很强的创新能力。方程思想是从问题的数量关系出发, 运用数学语言将问题中的条件转化为方程、不等式或它们的混合组, 通过解方程 (组) 、不等式 (组) 或其混合组使问题获解。函数思想与方程思想的联系十分密切, 正是由于函数与方程思想在数学解题中的互化互换才丰富了数学解题的思想宝库。

摘要：数学思想是数学活动的指导思想, 是数学活动的一般概括。它从整体和思维的更高层次上指导学生有效地认识数学本质, 运用基本的数学知识发现、完善数学知识结构, 探寻解题的方向和途径。本文对此进行了分析研究。