高考数学题型

2024-08-27

高考数学题型（精选8篇）

篇1：高考数学题型

1、三角函数、向量、解三角形

(1)三角函数画图、性质、三角恒等变换、和与差公式。

(2)向量的工具性(平面向量背景)。

(3)正弦定理、余弦定理、解三角形背景。

(4)综合题、三角题一般用平面向量进行“包装”，讲究知识的交汇性，或将三角函数与解三角形有机融合，

重视三角恒等变换下的性质探究，重视考查图形图像的变换。

2、概率与统计

(1)古典概型。

(2)茎叶图。

(3)直方图。

(4)回归方程(2x2列联表)。

(5)(理)概率分布、期望、方差、排列组合。概率题贴近生活、贴近实际，考查等可能性事件、互斥事件、独立事件的概率计算公式，难度不算很大

3、立体几何

(1)平行。

(2)垂直。

(3)角a:异面直线角 b:(理)二面角、线面角。

(4)利用三视图计算面积与体积。

(5)文理有一定的差别，理科相关题目既可以用传统的几何法，也可以建立空间直角坐标系，利用法向量等。文科对立体几何的考查主要是空间中平行、垂直关系的判断与证明，表面积体积的计算,直线与平面所成角的计算。理科对立体几何的考查主要是空间中平行、垂直关系的判断与证明，表面积体积的计算, 各类角的计算。

4、数列

(1)等差数列、等比数列、递推数列是考查的热点，数列通项、数列前n项的和以及二者之间的关系。

(2)文理科的区别较大，理科多出现在压轴题位置的卷型，理科注重数学归纳法。

(3)错位相减法、裂项求和法。

(4)应用题。

5、圆锥曲线(椭圆)与圆

(1)椭圆为主线，强调圆锥曲线与直线的位置关系，突出韦达定理或差值法。

(2)圆的方程，圆与直线的位置关系。

(3)注重椭圆与圆、椭圆与抛物线等的组合题。

6、函数、导数与不等式

(1)函数是该题型的主体：三次函数，指数函数，对数函数及其复合函数。

(2)函数是考查的核心内容，与导数结合，基本题型是判断函数的单调性，求函数的最值(极值)，求曲线的切线方程，对参数取值范围、根的分布的探求，对参数的分类讨论以及代数推理等等。

(3)利用基本不等式、对勾函数性质。

篇2：高考数学题型

(1)等差数列、等比数列、递推数列是考查的热点，数列通项、数列前n项的和以及二者之间的关系。

(2)文理科的区别较大，理科多出现在压轴题位置的卷型，理科注重数学归纳法。

(3)错位相减法、裂项求和法。

(4)应用题。

2、圆锥曲线(椭圆)与圆

(1)椭圆为主线，强调圆锥曲线与直线的位置关系，突出韦达定理或差值法。

(2)圆的方程，圆与直线的位置关系。

(3)注重椭圆与圆、椭圆与抛物线等的组合题。

小编推荐：高考数学题型特点和答题技巧

3、函数、导数与不等式

(1)函数是该题型的主体：三次函数，指数函数，对数函数及其复合函数。

(3)利用基本不等式、对勾函数性质。

篇3：聚焦高考数学中的导数题型

1. 利用导数求切线方程

例1.已知一直线l经过原点且与曲线y=x3-3x2+2x相切, 试求直线l的方程。

分析:设切点 (x0, y0) , 则。由于直线l经过原点, 故等式的两边同除以x0即得切线的斜率, 再根据导数的几何意义, 求出曲线在x0处的切线斜率, 便可建立关于x0的方程。在两边同除以x0时, 要注意对x0是否为0进行讨论。

解析:设直线l∶y=kx,

又直线与曲线均过原点,

于是直线y=kx与曲线y=x3-3x2+2x相切于原点时, k=2。

若直线与曲线切于点 (x0, y0) , (x0≠0) , 则

故直线l的方程为y=2x或y=。

2. 利用导数研究函数单调性

例3.设a>0, 求函数, x∈ (0, +∞) 的单调区间。

分析:本题主要考查导数在求函数单调区间方面的应用, 对求导数公式与复合求导有一定要求, 对考生分类讨论思想和等价转换思想有较高要求, 考生应先求得, 然后将问题进行等价转化:

f′ (x) >0x2+ (2a-4) x+a2>0, f′ (x) <0x2+ (2a-4) x+a2<0, 最后依判别式△>0, △=0, △<0a>0, a=0, 0

解略。

这是导数在研究函数性质中最重要的应用。

3. 利用导数解决根的存在性问题

例3.证明方程x3-3x+c=0 (c为常数) , 在区间[0, 1]上至多有一实根。

分析:该题是一元三次方程, 常规讨论一元二次方程根的个数的“△法”难以奏效, 可考虑转化为函数在[0, 1]上的单调来解决。

解析:设y=x3-3x+c, 则y′=3x2-3=3 (x2-1) 。

∵当0

∴y=x3-3x+c在 (0, 1) 上单调递减。

又因为该函数在x=0与x=1处都连续, 从而在[0, 1]上该函数也单调递减, 所以原方程在区间[0, 1]内至多有一实根。

4. 导数在综合证明中的应用

例4.已知m, n是正整数, 且2≤m (1+n) m。

分析:由于m, n是正整数, 要证明 (1+m) n> (1+n) m, 取对数后只要证明nln (1+m) >mln (1+n) , 即要证明。由于上式两端具有同样的数学结构, 仅有m与n的区别, 把m与n都换成同一个变数x, 则得到函数, 此时问题就转化为函数的单调性问题。于是我们得到以下证明。

证明:∵m, n是正整数, 且n>m≥2,

设函数

则

从而f′ (x) <0,

因此函数是单调减函数,

故有 (1+m) n> (1+n) m。

篇4：高考数学题型答题技巧（一）

选择题是高考数学试卷的三大题型之一.选择题的分数一般占全卷的30%左右，高考数学选择题的基本特点是：

绝大部分数学选择题属于低中档题，且一般按由易到难的顺序排列，主要的数学思想和数学方法能通过它得到充分的体现和应用，并且因为它还有相对难度（如思维层次、解题方法的优劣选择，解题速度的快慢等），所以选择题已成为具有较好区分度的基本题型之一.

选择题具有概括性强、知识覆盖面广、小巧灵活及有一定的综合性和深度等特点，且每一题几乎都有两种或两种以上的解法，能有效地检测学生的思维层次及观察、分析、判断和推理能力.

目前高考数学选择题采用的是一元选择题（即有且只有一个正确答案），由选择题的结构特点，决定了解选择题除常规方法外还有一些特殊的方法.解选择题的基本原则是：“小题不能大做”，要充分利用题目中（包括题干和选项）提供的各种信息，排除干扰，利用矛盾，作出正确的判断.

选择题注重多个知识点的小型综合，渗透各种数学思想和方法，体现以考查“三基”为重点的导向，能否在选择题上获取高分，对高考数学成绩影响重大.解答选择题的基本要求是四个字——准确、快捷.选择题主要考查基础知识的理解、基本技能的熟练、基本计算的准确、基本方法的运用、考虑问题的严谨、解题速度的快捷等方面. 解答选择题的基本策略是：要充分利用题设和选择支两方面提供的信息作出判断。一般说来，能定性判断的，就不再使用复杂的定量计算；能使用特殊值判断的，就不必采用常规解法；能使用间接法解的，就不必采用直接解；对于明显可以否定的选择应及早排除，以缩小选择的范围；对于具有多种解题思路的，宜选最简解法等。解题时应仔细审题、深入分析、正确推演、谨防疏漏；初选后认真检验，确保准确.

解数学选择题的常用方法，主要分直接法和间接法两大类.直接法是解答选择题最基本、最常用的方法；但高考的题量较大，如果所有选择题都用直接法解答，不但时间不允许，甚至有些题目根本无法解答.因此，我们还要掌握一些特殊的解答选择题的方法.本文就从选择题的基本方法来做一些讨论，有些试题除了文中所列举的方法外可能还有许多其他简洁的方法，希望提出宝贵意见.

二、解选择题试题方法及技巧

1. 直接法

直接从题设条件出发，运用有关概念、性质、定理、法则和公式等知识，通过严密的推理和准确的运算，从而得出正确的结论，然后对照题目所给出的选择支“对号入座”作出相应的选择.涉及概念、性质的辨析或运算较简单的题目常用直接法.

三、选择题解法总结提炼

数学选择题的求解，一般有两条思路：一是从题干出发考虑，探求结果；二是从题干和选择项联合考虑或从选择项出发探求是否满足题干条件.

解答数学选择题的主要方法包括直接对照法、概念辨析法、图像分析法、特例检验法、排除法、逆向思维法等，这些方法既是数学思维的具体体现，也是解题的有效手段.

以上的解法，能有效地检测考生的思维层次及观察、分析、判断和推理能力. 小题不能大做、不要不管选项、能定性分析就不要定量计算、能特值法就不要常规计算、能间接解就不要直接解、能排除的先排除缩小选择范围.

从考试的角度来看，解选择题只要选对就行，至于用什么“策略”，“手段”都是无关紧要的.所以人称可以“不择手段”.但平时做题时要尽量弄清每一个选择项正确的理由与错误的原因，另外，在解答一道选择题时，往往需要同时采用几种方法进行分析、推理，只有这样，才会在高考时充分利用题目自身提供的信息，化常规为特殊，避免小题大作，真正做到准确和快速.总之，解答选择题既要看到各类常规题的解题思想原则上都可以指导选择题的解答，但更应该充分挖掘题目的“个性”，寻求简便解法，充分利用选择项的暗示作用，迅速地作出正确的选择.这样不但可以迅速、准确地获取正确答案，还可以提高解题速度，为后续解题节省时间.

篇5：高考数学必考题型

注意归一公式、诱导公式的正确性(转化成同名同角三角函数时，套用归一公式、诱导公式(奇变、偶不变;符号看象限)时，很容易因为粗心，导致错误。一着不慎，满盘皆输)。

二、数列题

1、证明一个数列是等差(等比)数列时，最后下结论时要写上以谁为首项，谁为公差(公比)的等差(等比)数列;

2、最后一问证明不等式成立时，如果一端是常数，另一端是含有n的式子时，一般考虑用放缩法;如果两端都是含n的式子，一般考虑数学归纳法(用数学归纳法时，当n=k+1时，一定利用上n=k时的假设，否则不正确。利用上假设后，如何把当前的式子转化到目标式子，一般进行适当的放缩，这一点是有难度的。简洁的方法是，用当前的式子减去目标式子，看符号，得到目标式子，下结论时一定写上综上：由①②得证;

3、证明不等式时，有时构造函数，利用函数单调性很简单(所以要有构造函数的意识)。

三、立体几何题

1、证明线面位置关系，一般不需要去建系，更简单;

2、求异面直线所成的角、线面角、二面角、存在性问题、几何体的高、表面积、体积等问题时，最好要建系;

3、注意向量所成的角的余弦值(范围)与所求角的余弦值(范围)的关系(符号问题、钝角、锐角问题)。

四、概率题

1、搞清随机试验包含的所有基本事件和所求事件包含的基本事件的个数;

2、搞清是什么概率模型，套用哪个公式;

3、记准均值、方差、标准差公式;

4、求概率时，正难则反(根据p1+p2+...+pn=1);

5、注意计数时利用列举、树图等基本方法;

6、注意放回抽样，不放回抽样;

7、注意“零散的”的知识点(茎叶图，频率分布直方图、分层抽样等)在大题中的渗透;

8、注意条件概率公式;

9、注意平均分组、不完全平均分组问题。

五、圆锥曲线问题

1、注意求轨迹方程时，从三种曲线(椭圆、双曲线、抛物线)着想，椭圆考得最多，方法上有直接法、定义法、交轨法、参数法、待定系数法;

2、注意直线的设法(法1分有斜率，没斜率;法2设x=my+b(斜率不为零时)，知道弦中点时，往往用点差法);注意判别式;注意韦达定理;注意弦长公式;注意自变量的取值范围等等;

3、战术上整体思路要保7分，争9分，想12分。

六、导数、极值、最值、不等式恒成立(或逆用求参)问题

1、先求函数的定义域，正确求出导数，特别是复合函数的导数，单调区间一般不能并，用“和”或“，”隔开(知函数求单调区间，不带等号;知单调性，求参数范围，带等号);

2、注意最后一问有应用前面结论的意识;

3、注意分论讨论的思想;

4、不等式问题有构造函数的意识;

5、恒成立问题(分离常数法、利用函数图像与根的分布法、求函数最值法);

6、整体思路上保6分，争10分，想14分。

七、复数题型

复数是高中数学选修的知识点，每年必考题型，并且都是以选择题的形式出现，不是第一道题就是第二道题，以学姐的说法，就是白白送分题，所以这5分，是不容失分题，只要你把复数的运算掌握住，这道题就拿分了。

八、集合的运用题型

集合与元素的关系，也是高考常考题，一般也是选择题居多，很是简单，只是结合其他运算方式变换形式去考查集合与元素的关系、子集、空集等问题，属于送分题，这5分也是必拿分数。

九、等差数列、等比数列题型

这类题型每年高考必考题，不是选择题5分，就是第一道解答题12分，一般都是考查等差数列的知识点，很简单，掌握这个知识点并不难，多加练习就行，并且做些中档题题就行，此类型属于送分题，不会太难。

十、三角函数的正余弦求解、求边长、求面积、求周长

三角函数的正余弦知识点，历年高考数学必考题型，涉及到画图问题，易错点就是不会画图、计算失误，所以三角函数的正余弦知识点你必须加强，做题方法：先简单把图画出来，再标明题中给的条件及数值，最后进行推理计算，这道类型题也是属于送分题，一般分值在5分、12分，很轻松拿到。

十一、X、Y约束条件的最大值、最小值求解

约束条件也是数学高考常考题型，主要解题步骤：(1)先进行画图(2)分析X/Y取值范围，走势关系(3)代入公式，进行求最大值、最小值即可，关键点在于画图后，标明三条线的区域范围，必出找出线与线的相交点位置的数值，只要找出数值，求解就简单了，平常做题稍加练习即可，这5分应该很轻松拿到。

十二、向量运算法则、向量与几何的运算

篇6：内蒙高考文科数学题型总结

集合复数

函数综合运用函数的基本性质椭圆基本知识程序框图

概率

三角函数

三视图

解析集合（难点）

三角函数图像（平移对称问题）

向量

线性规划

解答题

数列

立体几何

概率

篇7：高考数学题型分析及答题技巧

先说说训练。主要分两步走，如果实力可以做到除了后三道大题其余均会做，那么老师发的每一套卷子就先不做后三题，这样可以节约出大量的时间(因为后三道的任何一道都够做一套选择题了)训练准确度。大约两周的时间吧，把这一关过了，最后三道题能剩将近一小时吧，而且做5套卷子能错1道题左右。即使能做出的题目，或是难题中比较简单的前几小问也要比较认真地过一下答案，因为很多时候虽然能做出来但是可能方法不是最直接的，表述也不是最严密的，模仿标准答案的思路对于解决答题标准性问题帮助很大。

然后开始攻克后三题。先找来了近三年各个省的后2-3题，把他们按六大专题归了类(就是三角函数，立体几何，概率统计，数列，导数，解析几何)，每周一个专题，先做一半的题，总结一次方法，再做另一半的题目。这样又花了一个半月的时间搞定了。

压轴题的难度一般较大，因此计算能力的练习是必要的。这里的计算能力不仅仅指数字计算，还有化简带有一堆符号的等式不等式。扎实的基本功是前提。

压轴题的思路往往比前边的题多拐一些弯，所以在做压轴题的时候，思维就要调整为压轴题模式，不要怕思维绕和计算量大，只要认为方法正确就做。

每一个专题的压轴题都可以分为几个类型，而每个类型会有一点共性，做的时候多总结会大有裨益。

篇8：高考数学解答题的题型与解读

认真分析近几年各省市高考数学试题,虽略有差别,但总体上高考卷五至六个解答题的模式基本不变,分别为三角函数与平面向量型解答题、立体几何型解答题、概率型解答题、函数与不等式型解答题、解析几何型解答题、数列型解答题.这是高考数学的重头戏.这部分内容包含的知识容量大、解题方法多、综合能力要求高,它们突出了中学数学的主要思想和方法,考查了考生的数学能力和创新意识.

二、解答题的审题要求

解答题多为综合题.综合题从题设到结论,从题型到内容,条件隐蔽,变化多样,因此就决定了审题思考的复杂性和解题设计的多样性.在审题思考中,要把握好“三性”,即(1)目的性:明确解题结果的终极目标和每一步骤分项目标.(2)准确性:提高概念把握的准确性和运算的准确性.(3)隐含性:注意题设条件的隐含性.审题这第一步,不要怕慢,其实慢中有快,解题方向明确,解题手段合理,这是提高解题速度和准确性的前提和保证.

三、高考数学解答题的答题策略

(1)审题要慢,解答要快.审题是整个解题过程的“基础工程”,题目本身是“怎样解题”的信息源,必须充分搞清题意,综合所有条件,提炼全部线索,形成整体认识.在此基础上,集中精力,投人解题过程.

(2)确保运算准确,立足一次成功;重视推理论证,做到简洁严谨.

(3)讲求书写规范,力争既对又全.这就要求考生在面对试题时不但会而且要对,对而且全,全而规范.在此基础上,提高速度,力争高效益.

(4)面对难题,讲究策略,争取得分.会做的题目当然要力求做对、做全、得满分.而对于不能全部完成的题目应:①缺步解答;②跳步解答.解题过程卡在某一中间环节上时,可以承接中间结论,往下推,或直接利用前面的结论做下面的(2)、(3)问.总之,对高三学子来说:准确、规范、速度,高考必胜;刻苦、坚韧、自信,势必成功!

四、链接2010年高考题,分类解析数学解答题的基本题型

1. 三角函数与平面向量型解答题

三角函数和平面向量不仅是数学的重要基础知识,同时也是解决其他问题的一种数学工具.一般考查求三角函数值、三角函数图象和性质、三角形中的三角函数问题.而平面向量的运算、数量积,既有代数形式又有几何意义,能够体现重要的数形结合思想,所以更是高考中的热点内容.高考命题者常在平面向量与三角函数、解析几何等知识交汇处命题.

例1 (2010年安徽文)△ABC的面积是30,内角A、B、C所对边长分别为a、b、c,,

(Ⅰ)求;

(Ⅱ)若c-b=1,求a的值.

分析:(1)根据同角三角函数关系,由得sinA的值,再根据△ABC面积公式得bc=156;直接求数量积.(2)由余弦定理a2=b2+c2-2bccosA,代入已知条件c-b=1,及bc=156,可求a的值.

解:由,得.又,所以bc=156.

(Ⅰ)

(Ⅱ)

评注:本题考查同角三角函数的基本关系,三角形面积公式,向量的数量积,利用余弦定理解三角形以及运算求解能力.

2. 概率、统计型解答题

概率、统计型解答题一般是以实际问题为背景,考查概率统计知识的实际应用,是近年来高考考查应用问题的一个主要命题点.解决概率统计型解答题,分析问题的实际意义,把实际问题中所蕴含的数学关系找出来是十分重要的,这往往成为能不能解答这类题目的关键,同时要注意准确地使用概率统计的基础知识和基本方法.

例2 (2010年天津理数)某射手每次射击击中目标的概率是,且各次射击的结果互不影响.

(Ⅰ)假设这名射手射击5次,求恰有2次击中目标的概率;

(Ⅱ)假设这名射手射击5次,求有3次连续击中目标;另外2次未击中目标的概率;

(Ⅲ)假设这名射手射击3次,每次射击,击中目标得1分,未击中目标得0分.在3次射击中,若有2次连续击中,而另外1次未击中,则额外加1分;若3次全击中,则额外加3分.记ξ为射手射击3次后的总得分数,求ξ的分布列.

解析:(1)设X为射手在5次射击中击中目标的次数,则.在5次射击中,恰有2次击中目标的概率.

(Ⅱ)设“第i次射击击中目标”为事件Ai(i=1,2,3,4,5);“射手在5次射击中,有3次连续击中目标,另外2次未击中目标”为事件A,则

(Ⅲ)由题意可知,ξ的所有可能取值为0,1,2,3,6.

所以ξ的分布列如表1.

评注:本小题主要考查二项分布及其概率

计算公式、离散型随机变量的分布列、互斥事件和相互独立事件等基础知识,考查运用概率知识解决实际问题的能力.

3. 数列型解答题

数列问题中蕴含着丰富的思想方法,是考查考生数学素养的良好素材,数列解答题历来为高考命题者所青睐.解决这类试题除了灵活地使用基础知识外,更重要的是要灵活地使用数学的各种推理论证方法,用数学思想方法作指导灵活地解决问题.

例3 (2010年江苏19)设各项均为正数的数列{an}的前n项和为Sn,已知2a2=a1+a3,数列{}是公差为d的等差数列.

(1)求数列{an}的通项公式(用n,d表示);(2)设c为实数,对满足m+n=3k且m≠n的任意正整数m,n,k,不等式Sm+Sn>cSk都成立,求证:c的最大值为.

解析:(1)由题意知:d>0,.

所以,Sn=n2d2.

当n≥2时,适合n=1情形.

故所求

(2)(方法一)

Sm+Sn>cSk⇒m2d2+n2d2>ck2d2⇒m2+

又

故

(方法二)由及,得d>0,Sn=n2d2.

于是,对满足题设的m,n,k,m≠n,有

所以c的最大值

另一方面,任取实数设k为偶数,令

于是,只要9k2+4<2ak2,即当

所以满足条件的

因此c的最大值为

评注:本小题主要考查等差数列的通项、求和以及基本不等式等有关知识,考查探索、分析及论证的能力.

4. 立体几何型解答题

立体几何的考查,主要有两类新题型,一是将空间几何体的直观图、三视图引进解答题中,在考查对空间几何体结构认识的前提下,综合性地考查体积、表面积的计算,考查空间线面位置关系,角与距离的计算.这类试题以“图”引入,背景新颖,对考生的空间想象能力有较高要求.二是在考查立体几何基本问题的前提下,将试题设计为“探索性”的类型,对考生的数学素养有较高要求.要想解决好如上所述的立体几何新型试题,除了牢固掌握好立体几何的基础知识和基本方法外,还要在空间想象能力、数学思想方法等方面下一番工夫.只有这样,考生才能面对新题型得心应手,将新题型转化为所熟悉的常规题,以便顺利解决问题.

例4 (2010年江西理20)如图1,△BCD与△MCD都是边长为2的正三角形,平面MCD⊥平面BCD,AB⊥平面BCD,.

(1)求点A到平面MBC的距离;

(2)求平面ACM与平面BCD所成二面角的正弦值.

分析:本题以图形拼折为载体,主要考查了立体图形的空间感、点到直线的距离、二面角、空间向量、二面角平面角的判断有关知识,同时也考查了空间想象能力和推理能力.

解法1:(1)如图2,取CD的中点0,连结OB,OM,则OB⊥CD,OM⊥CD.又平面MCD⊥平面BCD,则MO⊥平面BCD.又AB⊥平面BCD,所以MO∥AB,A、B、O、M共面.延长AM、BO相交于E,则∠AEB就是AM与平面BCD所成的角..由MO∥AB,得MO∥面ABC,M、O到平面ABC的距离相等.作OH⊥BC于H,连MH,则MH⊥BC,求得.利用体积相等VA-MBC=VM-ABC⇒点A到平面MBC的距离.

(2) CE是平面ACM与平面BCD的交线.

由(1)知,0是BE的中点,则BCED是菱形.

作BF⊥EC于F,连AF,则AF⊥EC,∠AFB就是二面角A-EC-B的平面角,设为θ.

因为∠BCE=120°,所以∠BCF=60°.

.所以.,所求二面角的正弦值是.

评注:用传统方法求解时,要注意到辅助线的处理,一般采用射影、垂线、平行线等特殊位置的元素解决.

解法2:如图3,取CD中点0,连OB,OM,则OB⊥CD,OM⊥CD.又平面MCD⊥平面BCD,则MO⊥平面BCD.

以0为原点,直线OC、BO、OM为x轴,y轴,z轴,建立空间直角坐标系如图.

,则各点坐标分别为O(0,0,0)、C(1,0,0)、M(0,0,)、B(0,,0)、A(0,).

z(1)设n=(x,y,)是平面MBC的法向量,又,.由得;由得.解得,z=-y,可取.又,则点A到平面MBC距离.

(2).

设平面ACM的法向量为n1=(x,y,z),由得解得

设所求二面角为θ,则

评注:向量方法作为沟通代数和几何的工具在考试中越来越常见.此类方法的要点在于建立恰当的坐标系,便于计算,将位置关系,以计算代替分析,起到简化的作用,但计算必须慎之又慎.

5. 解析几何型解答题

高考对平面解析几何的考查主要以圆锥曲线为载体,综合考查解析几何的基础知识和基本方法.该部分涉及的内容广泛,方法多,数学思想丰富,又容易和平面向量、函数、不等式等问题交汇,在高考中多出现新颖别致的试题.由于解析几何试题的运算量大,在解决解析几何试题时要注意分析题意,把握问题的实质,注意尽可能地使用数学思想方法(如设而不求,代入消元等)简化运算,同时要注意其他知识在解决问题中的综合应用,使解题过程尽可能地优化.

例5 (2010天津理数20)已知椭圆(a>b>0)的离心率,连结椭圆的四个顶点得到的菱形的面积为4.

(1)求椭圆的方程;(2)设直线l与椭圆相交于不同的两点A、B,已知点A的坐标为(-a,0),点Q(0,y0)在线段AB的垂直平分线上,且,求y0的值

解析:(1)由,得3a2=4c2,再由c2=a2-b2,得a=2b.(2)由(1)可知A(-2,0).设B点的坐标为(x1,y1),则直线l的方程为y=k(x+2),代入椭圆方程得(1+4k2)x2+16k2x+(16k2-4)=0.由得,从而.

由题意可知,,即ab=2.解方程组得a=2,b=1.

所以椭圆的方程为

设线段AB的中点为M,则M的坐标为.

以下分两种情况:①当k=0时,点B的坐标为(2,0).线段AB的垂直平分线为y轴,于是.由,得.

②当k≠0时,线段AB的垂直平分线方程为

令x=0,解得

解得

综上,

点评:本小题主要考查椭圆的标准方程和几何性质,直线的方程,平面向量等基础知识,考查用代数方法研究圆锥曲线的性质及数形结合的思想,考查运算和推理能力.

6. 函数、导数不等式型解答题

函数、导数与不等式型解答题一直是高考的压轴题型之一.这类解答题的命题方式灵活多变,其主要特点有两个:一是涉及的知识面广泛,函数类型多样;二是试题中蕴含着丰富的数学思想方法,考生必须对数学思想方法有较为深刻的领会,才能入手解答.这类试题中值得注意的题型是:函数、导数与不等式恒成立问题,利用函数、导数证明不等式型.解决这类试题时,一要注意基础知识的正确使用;二要学会对题目中的各种关系做出分析,实行转化,将新问题转化为我们所熟悉的问题解决,注意数学思想方法在解决问题中的作用.

例6 (2010年四川理22)设(a>0且a≠1),g(x)是f(x)的反函数.

(Ⅰ)设关于x的方程

在区间[2,6]上有实数解,求t的取值范围;

(Ⅱ)当a=e(e为自然对数的底数)时,

(Ⅲ)当与4的大小,并说明理由.

解:(Ⅰ)由题意,得,故,x∈(-∞,-1)∪(1,+∞).

由得t=(x-1)2(7-x),x∈[2,6],

则t'=-3x2+18x-15=-3(x-1)(x-5).

列表如下:

所以t最小值=5,t最大值=32,所以t的取值范围为[5,32].

令z>0,则.

所以u(z)在(0,+∞)上是增函数.