高一数学函数精讲

高一数学函数精讲（共6篇）

篇1：高一数学函数精讲

高一数学幂函数、分式函数人教实验版（A）

【本讲教育信息】

一.教学内容：

幂函数、分式函数

二.重点、难点：

1.幂函数yx为常数

（1）在（0,）上有意义

（2）0在（0，）

0在（0，）

（3）过定点（1，1）

（4）若定义域关于原点对称，具有奇偶性

2.分式函数

axbkq（c0）cxdxp

（1）以（p,q）为对称中心

（2）以xp，yq为渐近线，双曲形图象

（3）定义域：xR且xp

（4）值域：yR且yqy

（5）k0时，(,p),(p,)

k0时，(,p),(p,)

【典型例题】

[例1] 研究yx，yx

图象。

解：

① yx定义域：(,0)(0,)值域：{1}单调性：无奇偶性：偶 ② yx2002，yx，yx的定义域、值域、单调性、奇偶性、函数2313定义域：(,0)(0,)值域：（0，+）单调性：（，0）（0，+）奇偶性：偶

③ yx定义域：R值域：[0,)单调性：(,0)（0，+）奇偶性：偶

④ yx定义域：R值域：R单调性：R奇偶性：奇 1

323

用心爱心专心

[例2] 画出函数y

2x3的图象并指出其对称中心。x1

2x31

2解：y对称中心（1,2）x1x1

kccxd

(a0)一般地：y

baaxb

x

a

bc

对称中心为（,）

aakbc

反比例函数y向左平移个单位，向上平移个单位

aax

kccxd

得y

baaxbx

a

[例3] 研究函数yx

x的图象性质。解：yx

x

x(,0)(0,)y(,2][2,)(,1),(1,)(1,0),(0,1) 奇函数

[例4]

（1）yf(x)与yf(x)的图象关于对称；

（2）yf(x)与yf(x)的图象关于对称；（3）yf(x)与yf(x)的图象关于对称；

（4）yf(x)向左平移a个单位向上平移b个单位得。解：

（1）y轴（2）x轴（3）原点（4）yf(xa)b

[例5] yf(x)，xR满足

（1）f(x)f(x)，则yf(x)的图象关于对称；（2）f(x)f(x)，则yf(x)的图象关于对称；（3）f(ax)f(ax)，则yf(x)的图象关于对称。解：

（1）y轴（2）原点（3）xa

[例6] 任取xf(x1)f(x2)f(x1x2

1x2(0,)，使

22)成立的函数是（A.yxB.yx2C.y2x

D.ylog1x

答案：A

解析：上凸函数）

[例7] a,b(0,)，ab，使命题：若f(a)k，f(b)k，则x[a,b]，f(x)k恒成立为真命题的函数是（）

A.yxB.yx2C.y2xD.ylog1x

答案：A

[例8] 已知函数yloga(axbx)（a1b0）

（1）求定义域（2）单调性

（3）a,b满足何种关系时，f(x)0的解为（1，+）解：

a0b

xxxx

（2）yayb∴ yabylogax

x

xxxx

（1）ab0ab()1()∴ 定义域为(0,)

ab

∴ yloga(axbx)（3）f(x)0解为（1，+）

∵ yf(x)在（0，）上∴ f(1)0∴ loga(ab)0loga1 ∴ ab1

[例9] 方程2

x

x22的实数解有个。

解：()x

x

2∴ 两解

[例10] yf(x),x(0,)，任意x1,x2均有f(x1x2)f(x1)f(x2)，f(2)1，解不等式f(x)f(x3)2。

解：f(4)f(2)f(2)2f(x)f(x3)2 即：f[x(x3)]f(4)

x0

∴ x30解为3x4

x23x4

【模拟试题】

1.函数f(x)ln(e1)

x

x

为（）2

A.奇函数B.偶函数C.既奇又偶D.非奇非偶

2.a,b,c依次为方程2x0,log2x0,log1x=x的实根，则a,b,c之间大小关系是

x

（）

A.bacB.cbaC.abcD.bca 3.函数f(x)xx2x为（）A.偶函数且在（1,1）上 B.奇函数且在（1,1）上 C.偶函数且在（1,1）上 D.奇函数且在（1,1）上

ax1

在区间(2,)上，则a的取值范围是。x22x

5.函数ylg的图象关于（）对称。

2x

A.原点B.x轴C.y轴D.x2

13x12x2

x22x5

6.yf(x)()，yg(x)3，若f(x)g(x)，则x的取值范围为

4.f(x)。

7.x1,x2为方程x(k2)xk3k50的两实根（kR）求x1x2的最值。

参考答案1

1.B2.D3.D4.(,)5.A

2213x12x2

32x3x13x2x5∴ 2x23x1x22x5 6.()

x5x60∴ x(,2)(3,)

7.(k2)24(k23k5)3k216k16(3k4)(k4)0

∴ k[4,]

x12x2(x1x2)22x1x2(k2)22(k23k5)k210k6(k5)219

k[4,]∴ k4(x12x2)max18

34502

k(x12x2)min

篇2：高一数学函数精讲

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高一数学集合与简易逻辑综合

【本讲主要内容】

集合与简易逻辑综合

集合、子集、交集、并集、补集等概念，绝对值不等式、一元二次不等式的解法，简易逻辑。

【知识掌握】 【知识点精析】

1.集合：一般地，某些指定的对象集在一起就成为一个集合； 2.子集：一般地，对于两个集合A与B，如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素，．．我们就说集合A包含于集合B，或集合B包含集合；

3.交集：一般地，由所有属于A且属于B的元素所组成的集合，叫做A，B的交集； 4.并集：一般地，由所有属于集合A或属于集合B的元素所组成的集合，叫做A，B的并集；

5.补集：一般地，设S是一个集合，A是S的一个子集（即AS），由S中所有不属于A的元素组成的集合，叫做S中子集A的补集（或余集）；

6.xa(a0)的解集是。x|xxa；|x|a(a0)的解集是x|xa或xa； 7.一元二次不等式的解法； 8.简易逻辑：

命题：可以判断真假的语句叫做命题。逻辑联结词：“或”、“且”、“非”这些词叫做逻辑联结词。简单命题和复合命题

不含逻辑联结词的命题叫做简单命题。简单命题是不含其他命题作为其组成部分（在结构上不能再分解成其他命题）的命题。

由简单命题和逻辑联结词构成的命题叫做复合命题。四种命题及它们的关系

【解题方法指导】

不大于20的质数，A，B是U的两个子集，且满足ACUB3,5，例1.已知全集UBCUA7,19，（CUA）(CUB)＝ 2,17。求集合A和B。

解法一：（直接解法）依题意，ACUB3,5，则3,5A，且3,5CUB。从而知3，5A，且B。

同理，由CUAB7,19，知7，19，且7，19A

由（CUA）（CUB）2,17，知2，17A，且2，17 B

因为U2,3,5,7,11,13,17,19，观察11和13这两个元素，不外乎下面几种情况：

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①若11，11，则

CUA，且

CUB，这与（CUA）（CUB）＝2,17矛盾；

②若11A，11B，则

③若11 A，11B，则

CUB，这与ACUB＝3,5矛盾； CUA，这与BCUA＝ 7,19矛盾；

④若11 A，11 B，则11（AB）。

同理，13（AB）。

于是我们可以把这些数字填入集合A，B，得

A3,5,11,13 B7,19,11,13。

解法二：（利用图）由图，知U2,3,5,7,11,13,17,19，ACUB＝3,5，BCUA＝7,19，（CUA）（CUB）＝ 2,17。可直接将U中元素一一填入图中各自的集合。

所以，A3,5,11,13，B7,19,11,13。

解法一充分利用已知条件，将肯定属于或肯定不属于集合A，B的元素确定下来，再逐一验证其他的元素分别属于哪个集合。这种方法比较抽象。

解法二数形结合，一目了然。

二种方法能培养我们不同的思维品质，都是学好数学不可缺少的。

例2.用反证法证明：如果ab0，那么ab。剖析：运用反证法证明这道题时，怎样进行反设？ 证明：假设 当 在

在

ab的反面是否仅有 ab？

a不小于 b，则或者 ab，或者 abab，因为 a0,b0，所以 a0,b0

ab的两边都乘以 a得aaab，aab ab的两边都乘以

b得babb，abb

所以ab

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http:// 这与假设 ab矛盾，所以 当

ab不成立，这与假设ab矛盾 ab时可得到

ab 综上所述，所以

例3.设关于 范围。设计意图：通过对例题的剖析，使学生掌握如何在反证法中反设和归谬。的一元二次不等式，对一切实数均成立，求 的取值解：一元二次不等式，对一切 恒成立 二次函数 的图像全在

注：这里“

轴上方

”就是“二次不等式。

对一切的取值范围：

实数。都成立”的充要条件。

【考点突破】

【考点指要】

近年来，高考中关于集合和简易逻辑的试题可分为两大类，一类是集合、条件、命题本身的基本题，这类题多为选择、填空题；另一类是集合、条件、命题与其它知识的综合题。03年全国卷在最后一题中出现了集合。高考所占比重约15—20分。

【典型例题分析】

例4.（2000上海春，17）已知R为全集，A＝{x|log1（3－x）≥－2}，B＝{x|

25≥x21}，求CRAB。

解：由已知log1（3－x）≥log14，因为y＝log1x为减函数，所以3－x≤4 2223x4由，解得－1≤x<3.所以A＝{x|－1≤x<3} 3x0由55(x2)3x≥1可化为02

x2x2x2(x3)(x2)0解得－2

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http:// 评述：本题主要考查集合、对数性质、不等式等知识，以及综合运用知识能力和运算能力。

例5.（’04潍坊市统考）已知函数f（x）＝ x2+（a+1）x+lg︱a+2︱（A∈R，且a≠-2）

（1）设f（x）能表示成一个奇函数g（x）和一个偶函数h（x）的和，求g（x）和h（x）的解析式；

（2）命题P：函数f（x）在区间[（a+1）2，+∞]上是增函数；命题Q：函数g（x）是减函数。如果命题P、Q有且仅有一个是真命题，求a的取值范围。

解：（1）因为f（x）＝ x2+（a+1）x+lg︱a+2︱＝ g（x）+ h（x）而g（x）是奇函数，满足g（-x）＝-g（x）h（x）是偶函数，满足h（-x）＝ h（x）

所以g（x）＝（a+1）x，h（x）＝ x2+lg︱a+2︱ 若命题P为真，则命题Q假，有

a1(a1)2

解得a1 2a10若命题Q为真，则命题P假，有

a1(a1)23

解得a1 22a10

综上得：a3 2评述：任何一个非奇非偶函数都能表示成一个奇函数和一个偶函数的和。

【综合测试】

一、选择题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）

1.（2002北京，1）满足条件M∪{1}＝{1，2，3}的集合M的个数是（）A.4

B.3

C.2

D.1 2.（1999全国，1）如图1，I是全集，M、P、S是I的3个子集，则阴影部分所表示的集合是（）

图1 A.（M∩P）∩S

B.（M∩P）∪S C.（M∩P）∩CIS

D.（M∩P）∪CIS 3.（1996上海，1）已知集合M＝｛（x，ｙ）｜x＋ｙ＝2｝，N＝｛（x，ｙ）｜x－ｙ＝4｝，那么集合M∩N为（）

A.x＝3，y＝－1

B.（3，－1）

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http:// C.{3，－1}

D.{（3，－1）} 4.一个命题与它的逆命题、否命题、逆否命题这四个命题中（）

A.真命题的个数一定是奇数

B.真命题的个数一定是偶数 C.真命题的个数可能是奇数也可能是偶数

D.上述判断都不正确

5.（1996上海文，6）若y＝f（x）是定义在R上的函数，则y＝f（x）为奇函数的一个充要条件为（）

A.f（x）＝0 B.对任意x∈R，f（x）＝0都成立

C.存在某点x0∈R，使得f（x0）+f（－x0）＝0 D.对任意的x∈R，f（x）+f（－x）＝0都成立 6.（1995上海，9）“ab<0”是“方程ax2+by2＝c表示双曲线”的（）A.必要条件但不是充分条件

B.充分条件但不是必要条件 C.充分必要条件

D.既不是充分条件又不是必要条件

二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）

7.设T＝{（x，y）|ax+y-3＝0}，S＝{（x，y）|x-y-b＝0}。若S∩T＝{（2，1）}，则a＝_______，b＝_______。

8.（2002上海春，3）若全集I＝R，f（x）、g（x）均为x的二次函数，P＝{x|f（x）＜0

f(x)0＝，Q＝{x|g（x）≥0}，则不等式组的解集可用P、Q表示为_____。

g(x)09.（2000上海春，12）设I是全集，非空集合P、Q满足PQI。若含P、Q的一个集合运算表达式，使运算结果为空集，则这个运算表达式可以是

（只要写出一个表达式）。

图2 10.（1999全国，18）α、β是两个不同的平面，m、n是平面α及β之外的两条不同直线，给出四个论断：

①m⊥n ②α⊥β

③n⊥β

④m⊥α 以其中三个论断作为条件，余下一个论断作为结论，写出你认为正确的一个命题：_____。．．

三、解答题（本大题共4题，共50分）

11.已知A＝{x|x2-ax+a2-19＝0}，B＝{x|x2-5x+8＝2}，C＝{x|x2+2x-8＝0}。若A∩B，且

A∩C＝，求a的值。（13分）12.解不等式13.解关于 的不等式

。（12分）

（

）。（12分）

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http:// 14.已知（，且），求实数p的取值范围。（13分），综合测试答案

一、选择题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）

1.C 提示：M＝{2，3}或M＝{1，2，3} 2.Ｃ

提示：由图知阴影部分表示的集合是M∩P的子集且是CIS 的子集，故答案为Ｃ。3.D

xy2,x3提示：方法一：解方程组得故M∩N＝｛（3，－1）｝，所以选D。

xy4,y1方法二：因所求M∩N为两个点集的交集，故结果仍为点集，显然只有D正确。

4.B 提示：一个命题与它的逆否命题同真同假。5.D 提示：由奇函数定义可知：若f（x）为奇函数，则对定义域内任意一个x，都有f（－x）＝－f（x），即f（－x）+f（x）＝0，反之，若有f（x）+f（－x）＝0，即f（－x）＝－f（x），由奇函数的定义可知f（x）为奇函数。6.A

x2y2cc提示：如果方程ax+by＝c表示双曲线，即1表示双曲线，因此有0，ccabab即ab<0。这就是说“ab<0”是必要条件；若ab<0，c可以为0，此时，方程不表示双曲线，即ab<0不是充分条件。

二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）7.答案：1，1。

22axy30a1，x2解析：由S∩T＝{（2，1）}，可知为方程组的解，解得

xyb0b1。y18.答案：P∩CIQ

f(x)0解析：∵g（x）≥0的解集为Q，所以g（x）<0的解集为CIQ，因此的解集

g(x)0为P∩CIQ。

9.答案：P∩CIQ 解析：阴影部分为CIQ（如下图）

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显然，所求表达式为CIQ∩P＝，或CIQ∩（Q∩P）或CIQ∩（Q∪P）＝。10.答案：②③④①

三、解答题（本大题共4题，共50分）11.解：∵B＝{x|（x-3）（x-2）＝0}＝{3，2}，C＝{x|（x+4）（x-2）＝0}＝{-4，2}，又∵A∩B，∴A∩B≠

又∵A∩C＝，∴可知-4A，2A，3∈A ∴由9-3a+a2-19＝0，解得a＝5或a＝-2

①当a＝5时，A＝{2，3}，此时A∩C＝{2}≠，矛盾，∴a≠5；

②当a＝-2时，A＝{-5，3}，此时A∩C＝，A∩B＝{3}≠，符合条件 综上①②知a＝-2。

12.解：解法一 原不等式等价于

（Ⅰ）

或（Ⅱ）

解（Ⅰ），得

，或。

解（Ⅱ），得解集为空集。

所以，原不等式的解集为

13.解：若 若，即m，即m。

1，则 2恒不成立，此时原不等式无解；，所以 1mxm

1，则 2亿库教育网

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http:// 综上，当 m1时，原不等式的解集为 2；当 m1时，原不等式解集为 2。

14.解：由

知，关于 的二次方程

无正根。

（1）若方程无实根：，得

（2）若方程有实根 韦达定理，；，但无正根；此时由，得

或，而由，由

因此p0

由上述的（1），（2）得 的取值范围是p4。知两根均为正或均为负，由条件显然须，于是∴p2

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篇3：高一数学“集合与函数”导入探究

一、“集合”——举例导入法

与初中相比, 高中的学习有一些新的特点, 本节内容属于抽象、概括性强的学科知识, 而且又是高中数学的起始课, “良好的开端是成功的一半”, 如何引入, 将是我们这节课及以后的数学教学成功、顺利的关键。

本节开篇的引入, 可以学生已从小学和初中课本中接触过的“集合”实例入手。例如:代数方面, 自然数的“集合”, 有理数的“集合”, 正数的“集合”, 负数的“集合”, 一元一次不等式2x-3>1解的“集合”等。几何方面, 从圆的概念、角平分线的概念等方向引入。从代数、几何两个方向简明扼要地复习旧知识, 既巩固了旧知识, 又起到承前启后的作用, “温故而知新”, 进而引出“集合”概念, 接着举出两个实例。如:

班上所有的男生;班上所有个子较高的女生。

通过举例, 使学生加深对“集合”概念的理解, 进而更加牢固的掌握”集合”的概念。这种“旧知识导入法”是我们教学中常见的方法。

二、“集合”的基本关系——类比导入法

通过上节对“集合”的学习, 学生对”集合”有了初步了解后, 对于”集合”的基本关系的导入相对来说就较容易了。教学本节内容, 我们可以采用“类比导入法”, 通过实数之间的相等关系、大小关系 (如:1=1, 2>0, 5<7) 、类比实数之间的关系, 对学生提出问题:

“集合”与“集合”之间有什么关系?集合是否和实数一样也有相等、大小关系?如果存在这种关系, 我们如何用数学化的语言把它表达出来?通过这样的问题, 向学生设置悬念, 让其思考后, 再举两例:

例1:A={1, 2, 3, 4, 5, 6}, B={1, 2, 3}

例2:A={我们班上的所有男同学},

B={我们班上的所有同学}

让学生观察这两个例子有什么特征, 从而引出“集合”间的基本关系。

三、“集合”的基本运算——悬念导入法

根据中学生追根求源的心理特点, 巧妙设疑激趣, 能诱导他们自己发现问题, 分析问题, 解决问题。

我们知道, 实数有加法、减法等运算, 类比实数的运算, 那么, 集合与集合之间是否也存在一种运算关系?且看下面这个问题:

学校先举办了一次田径运动会, 某班有8名同学参赛。又举办了一次球类运动会, 该班有12名同学参赛。问:两次运动会, 这个班共有多少名同学参赛?

学生往往会回答20名:对吗?

由此分析, 引出交集与并集的概念, 再通过分析参赛同学数量, 画出维恩图, 既引起学生注意, 也容易令学生掌握交集、并集的区别与联系。这样做, 突出了“数学知识来源于生活, 有服务于生活”的教学目标。

四、“函数”的概念——旧知识导入法

学生在初中已学了正比例函数、反比例函数、一次函数、二次函数等具体的函数, 因此我们可以采取旧知识导入法, 让学生回忆初中对函数的定义:设在一个变化过程中有两个变量与, 如果对于的每一个值, 都有唯一的值与他对应, 那么说是的函数, 叫着自变量, 叫因变量。基于此, 向学生提出两个思考题:

问题一:y=1 (xεR) 是函数吗?

问题二:y=x与y=是同一函数吗?

通过这两个问题, 让学生思考, 产生求知欲。显然, 仅用我们初中学习的函数的定义, 是很难解决这样的问题的。为此, 我们借助前面所学的“集合”知识, 设两个非空有限集合A与B的元素之间存在一种对应关系, 引出”集合”的概念。

另外, 我们还可以借助初中物理中自由落体运动y=21gx2的知识, 介绍伽利略在研究自由落体运动时的思想及方法, 从而引出数学建模的思想, 使学生能够对数学建模方法有一个直观、具体的认识, 进而培养他们的发散思维能力与数学建模思想。

五、“函数”的基本性质——直观导入法

本节的导入, 主要从生活实例中的函数图形入手, 如以前所学习的二次函数图象、气候变化图像等。通过数形结合的教学方式, 达到以下目的:引导学生通过观察、归纳、概括, 自主建构基本性质相关概念, 并运用函数的基本性质解决简单的问题;让学生领会数形结合的数学思想方法, 培养学生发现问题、分析问题、解决问题的能力。在函数的基本性质学习中, 使学生体验数学的科学价值和应用价值, 培养学生善于观察、勇于探索的良好习惯和严谨的科学态度。

总之, 新课标的广泛运用, 在促进教育事业发展的同时, 也对教育者形成巨大的挑战。从传统的教学方式转变到现在的创新性教育。根据不同的知识, 利用不同的导入方法, 可以为教师对一堂课的设计增添色彩。

摘要：“集合与函数”是高中数学的入门课, 也是一个基础问题。上好它, 对于引导学生顺利步入高中数学学习, 激起学生学习数学兴趣, 起着至关重要的作用。教师必须高度重视。本文主要针对人教版A版教材, 结合学生的心理特点, 以及新课标的的教育思想, 对“集合与函数”进行系统的导入分析。

关键词：集合与函数,导入技能

参考文献

[1]洪丽敏, 福建省南安一中数学组, 数学通报, 2006年第45卷第7期.

[2]赵食团, 陕西生态校园网, 如何进行新课程理念下的中学数学教http://shengtai.snedu.com/newsshow.php?id=56852.

[3]张红欣, 龙源期刊网, 高中数学课堂教学导入方法的研究.http://www.qikan.com.cn/Article/jxsh/jxsh201005/jxsh201005128.html.

[4]三年级上 (北师大第五册书籍) 数学教学反思.http://yujuan.71901.blog.163.com/blog/static/69417832010928111936807/.

篇4：高一下册高考热点精讲（下）

【原句】Keep asking questions until you know who it is.

【精讲】本句为含有until引导的时间状语从句的复合句。Until既可作介词“直到……”，后接名词，例如：

I slept until midnight.

It was cold from November until April.

也可作连词引导时间状语从句。例如：

I lived with my grandparents until I went to college.

注意：

1) 在含有until时间状语从句的复合句中，主句动词若为延续性的，一般用肯定句；若为非延续的，则用否定句。例如：He didn't leave until she came.

2) 若not和until连接的时间状语从句置于句首，后面的句子，即主句，要使用倒装语序, 例如：Not until she came did he leave. 若对该状语从句进行强调，则构成“It was/is not until...that ＋ 主句”结构的强调句，例如：It was not until she came that he left.

【精练】

It was _____ back home after the experiment. (2004湖北)

A. not until midnight did he go

B. until midnight that he didn't go

C. not until midnight that he went

D. until midnight when he didn't go

【解析】

这是not...until句型的强调句说法。倒装句的说法是：Not until midnight did he go back home after the experiment. 故选C。

考点6倍数表达方式

【原句】It's about the same size as Japan. 它的面积大约和日本相当。

【精讲】句中涉及到大小(倍数)的比较，通常倍数表达有以下几种方式：

1) A is three(four, etc) times the size (height, length, etc) of B. 例如：

The new building is four times the size (height) of the old one. 这座新楼比那座旧楼大(高)三倍。

2) A is three(four，etc)times as big(high，long，etc) as B. 例如：

Asia is four times as large as Europe. 亚洲比欧洲大三倍。

3) A is three (four, etc) times bigger (higher, longer, etc) than B. 例如：

Your school is three times bigger than ours. 你们学校比我们学校大三倍。

【精练】

1. At a rough estimate, Nigeria is _____ Great Britain. (2005上海)

A. three times the size as

B. the size three times of

C. three times as the size of

D. three times the size of

2. What a table! I've never seen such a thing before. It is _____ it is long. (2005湖北)

A. half not as wide as

B. wide not as half as

C. not half as wide as

D. as wide as not half

【解析】

1、选D。A is...times the size of B. A是B的几倍大。试比较：This table is three times the size of that one. 这张桌子是那张的三倍。/ This table is three times bigger than that one. 这张桌子比那张大三倍。

2、选C。此题考查的是not as...as用法(也可用not so...as)，第一个as为副词，第二个as为连词，故排除B、D。而从题意可知这个桌子的长度不到宽度的一半，用not half。

考点7pick up的用法

【原句】Then I picked up my bicycle and rode on.

【精讲】Pick up常可表达：

1) 拾起；拿起。例如：

The children picked up many seashells at the seashore.

She picked up a stone and threw it into the river.

2) (无意中)学会，偶然发现。例如：

In that way, I'll be able to pick up some theoretical knowledge too.

He picked up the information in a most unlikely place.

3) 用车接某人。例如：

Don't worry. I'll pick you up at 7 o'clock at the school gate.

【精练】

Kathy _____ a lot of Spanish by playing with the native boys and girls. (2005安徽)

A. picked upB. took up

C. made upD. turned up

【解析】

此题考查词组辨析，pick up“(通过实践而)学会(某种语言或技能等)”；take up“占据时间或空间”；make up“编造”；turn up“出现”。本题指Kathy学会西班牙语，故选A。

考点8动词的ing形式作状语

【原句】Many people come to theme parks looking for thrills and entertainment.

【精讲】Looking for thrills and entertainment在句中作状语，表示伴随主句谓语动作正在进行的另一动作，起修饰或陪衬作用。例如：They stood there for an hour watching the game.

【精练】

While watching television, _____. (2005全国)

A. the doorbell rang

B. the doorbell rings

C. we heard the doorbell ring

D. we heard the doorbell rings

【解析】

篇5：高一数学函数学不会

高一马上就要结束啦，许多高一学生都反映石家庄高一数学学不会怎么办，高一数学学习起来怎么这么难。不知道您的孩子是不是有着同样的困惑呢。

其实，高一数学确实在高中阶段所有的学科中是最难的，也是最为重要的一个学科。为什么呢？这是因为在物理、化学以及其他的学科学习中，都会或多或少的用到数学的知识，尤其是一些基本的数学计算能力。在一个，高一年级数学学习内容多，且初高中数学学科知识跨度比较大，所以不少学生在高一阶段就已经落下了。等到了高二年级，想在跟上来已经为时已晚，这时再要想跟上来就需要付出2倍乃至更多的努力啦。

河北师大外院培训中心为了帮助更多的孩子学好数学，在高一阶段就把高中数学的基础夯实，2014年暑假继续举办石家庄高一数学物理化学先修班、石家庄高一数学物理化学巩固复习班，授课教师全部来自石家庄重点中学在职教师，开设有常规班、精品12人小班、名师一对一辅导等学习课程。

河北师大外院培训中心这个暑假为孩子们准备了丰盛的文化学习大餐。既有文化课的补习，也有多种外语学习兴趣爱好班。

具体课程如下：

石家庄高一各科暑假复习巩固班：石家庄高一数学巩固辅导班、石家庄高一物理巩固补习班、石家庄高一化学巩固班、石家庄高一英语词汇语法班。

石家庄高一复习班：数学必修1 4 2 5的内容（函数三角函数立体几何解三角函数）

物理必修1 2（曲线运动功和能机械振动）

化学必修1 2（物质结构化学能与电能有机物）

石家庄英语培训班：外教英语口语班、新概念英语培训班。

多语种学习大餐：石家庄日语培训班、石家庄法语培训班、石家庄韩语学习班、德语、西班牙语、俄语等十大语种学习课程。

新高一先修暑假班石家庄，我们信赖河北师大外院培训优仕程教育高一先修班

石家庄高一先修暑假班学校：紫金大厦11楼（槐安路与红旗大街交口西南角）

石家庄高一先修暑假班乘车路线：乘14、15、25、39、48、78、81、93、107、311、312、320、游2路到17中南区站下车即到

篇6：高一数学对数函数教案

(2)logab·logbc=logac；

(3)logab=1logba(b>0,b≠1)；

(4)loganbm=mnlogab.解析(1)设logaN=b得ab=N,两边取以c为底的对数求出b就可能得证.(2)中logbc能否也换成以a为底的对数.(3)应用(1)将logab换成以b为底的对数.(4)应用(1)将loganbm换成以a为底的对数.解答(1)设logaN=b，则ab=N,两边取以c为底的对数得：b·logca=logcN, ∴b=logcNlogca.∴logaN=logcNlogca.(2)由(1)logbc=logaclogab.所以 logab·logbc=logab·logaclogab=logac.(3)由(1)logab=logbblogba=1logba.解题规律

(1)中logaN=logcNlogca叫做对数换底公式，(2)(3)(4)是(1)的推论，它们在对数运算和含对数的等式证明中经常应用.对于对数的换底公式，既要善于正用，也要善于逆用.(4)由(1)loganbm=logabmlogaan=mlogabnlogaa= mnlogab.7

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高中数学辅导网 http:// 已知log67=a,3b=4,求log127.解析依题意a,b是常数，求log127就是要用a,b表示log127，又3b=4即log34=b，能否将log127转化为以6为底的对数，进而转化为以3为底呢? 解答已知log67=a,log34=b, ∴log127=log67log612=a1+log62.又log62=log32log36=log321+log32, 由log34=b,得2log32=b.∴log32=b2,∴log62=b21+b2=b2+b.∴log127=a1+b2+b=a(2+b)2+2b.解题技巧

利用已知条件求对数的值，一般运用换底公式和对数运算法则，把对数用已知条件表示出来，这是常用的方法技巧8 已知x,y,z∈R+，且3x=4y=6z.(1)求满足2x=py的p值；

(2)求与p最接近的整数值；

(3)求证：12y=1z-1x.解析已知条件中给出了指数幂的连等式，能否引进中间量m，再用m分别表示x,y,z?又想，对于指数式能否用对数的方法去解答?

解答（1）解法一3x=4ylog33x=log34yx=ylog342x=2ylog34=ylog316, ∴p=log316.解法二设3x=4y=m,取对数得：

x·lg3=lgm，ylg4=lgm，∴x=lgmlg3,y=lgmlg4,2x=2lgmlg3,py=plgmlg4.由2y=py, 得 2lgmlg3=plgmlg4, ∴p=2lg4lg3=lg42lg3=log316.(2)∵2=log39又3-p=log327-log316=log32716, p-2=log316-log39=log3169, 而2716<169，∴log327163-p.∴与p最接近的整数是3.解题思想

①提倡一题多解.不同的思路，不同的方法，应用了不同的知识或者是相同知识的灵活运用，既发散了思维，又提高了分析问题和解决问题的能力，何乐而不为呢?

②(2)中涉及比较两个对数的大小.这是同底的两个对数比大小.因为底3>1，所以真数大的对数就大，问题转化为比较两个真数的大小，这里超前应用了对数函数的单调性，以鼓励学生超前学习，自觉学习的学习积极性.(3)解法一令3x=4y=6z=m,由于x，y，z∈R+，∴k>1，则 x=lgmlg3,y=lgmlg4,z=lgmlg6，所以1z-1x=lg6lgm-lg3lgm=lg6-lg3lgm=lg2lgm，12y=12·lg4lgm=lg2lgm，京翰教育1对1家教 http:///

高中数学辅导网 http:// 故12y=1z-1x.解法二3x=4y=6z=m，则有3=m1x①,4=m1y②，6=m1z③，③÷①，得m1z-1x=63=2=m12y.∴1z-1x=12y.9

已知正数a,b满足a2+b2=7ab.求证：logma+b3=12(logma+logmb)(m>0且m≠1).解析已知a>0,b>0,a2+b2=7ab.求证式中真数都只含a,b的一次式，想：能否将真数中的一次式也转化为二次，进而应用a2+b2=7ab? 解答logma+b3=logm(a+b3)212=

解题技巧

①将a+b3向二次转化以利于应用a2+b2=7ab是技巧之一.②应用a2+b2=7ab将真数的和式转化为ab的乘积式，以便于应用对数运算性质是技巧之二.12logma+b32=12logma2+b2+2ab9.∵a2+b2=7ab，∴logma+b3=12logm7ab+2ab9=12logmab=12(logma+logmb), 即logma+b3=12(logma+logmb).思维拓展发散

数学兴趣小组专门研究了科学记数法与常用对数间的关系.设真数N=a×10n.其中N>0,1≤a<10,n∈Z.这就是用科学记数法表示真数N.其科学性体现在哪里?我们只要研究数N的常用对数，就能揭示其中的奥秘.解析由已知，对N=a×10n取常用对数得，lgN=n+lga.真数与对数有何联系? 解答lgN=lg(a×10n)=n+lga.n∈Z,1≤a<10，∴lga∈〔0,1).我们把整数n叫做N的常用对数的首数，把lga叫做N的常用对数的尾数，它是正的纯小数或0.小结：①lgN的首数就是N中10n的指数，尾数就是lga,0≤lga<1;②有效数字相同的不同正数它们的常用对数的尾数相同，只是首数不同；

③当N≥1时，lgN的首数n比它的整数位数少1，当N∈(0，1)时，lgN的首数n是负整数，|n|-1与N的小数点后第一个不是0的有效数字前的零的个数相同.师生互动

什么叫做科学记数法？

N>0,lgN的首数和尾数与a×10n有什么联系？

有效数字相同的不同正数其常用对数的什么相同？什么不同？

若lgx的首数比lg1x的首数大9，lgx的尾数比lg1x的尾数小0380 4，且lg0.203 4=1.308 3,求lgx,x,lg1x的值.京翰教育1对1家教 http:///

高中数学辅导网 http:// 解析①lg0.203 4=1308 3,即lg0.203 4=1+0.308 3，1是对数的首数，0.308 3是对数的尾数，是正的纯小数；②若设lgx=n+lga，则lg1x也可表出.解答设lgx=n+lga,依题意lg1x=(n-9)+(lga+0.380 4).又lg1x=-lgx=-(n+lga)，∴(n-9)+(lga+0380 4)=-n-lga，其中n-9是首数，lga+0380 4是尾数，-n-lga=-(n+1)+(1-lga),-(n+1)是首数1-lga是尾数，所以：

n-9=-(n+1)

lga+0.380 4=1-lgan=4, lga=0.308 3.∴lgx=4+0.308 3=4.308 3，∵lg0.203 4=1.308 3,∴x=2.034×104.∴lg1x=-(4+0.308 3)=5.691 7.解题规律

把lgx的首数和尾数，lg1x的首数和尾数都看成未知数，根据题目的等量关系列方程.再由同一对数的首数等于首数，尾数等于尾数，求出未知数的值，是解决这类问题的常用方法.3 计算：

(1)log2-3(2+3)+log6(2+3+2-3);(2)2lg(lga100)2+lg(lga).解析(1)中.2+3与2-3有何关系?2+3+2-3双重根号，如何化简?(2)中分母已无法化简，分子能化简吗?

解题方法

认真审题、理解题意、抓住特点、找出明确的解题思路和方法，不要被表面的繁、难所吓倒.解答(1)原式=log2-3(2-3）-1+12log6(2+3+2-3)2 =-1+12log6(4+22+3·2-3)=-1+12log66

=-12.(2)原式=2lg(100lga)2+lg(lga)=2〔lg100+lg(lga)〕2+lg(lga)=2〔2+lg(lga)〕2+lg(lga)=2.4

已知log2x=log3y=log5z<0,比较x,3y,5z的大小.解析已知是对数等式，要比较大小的是根式，根式能转化成指数幂，所以，对数等式应设法转化为指数式.解答设log2x=log3y=log5z=m<0.则

x=2m,y=3m,z=5m.x=(2)m,3y=(33)m,5z=(55)m.下面只需比较2与33,55的大小：

(2)6=23=8,(33)6=32=9，所以2<33.又(2)10=25=32,(55)10=52=25, ∴2>55.∴55<2<33.又m<0，图2-7-1考查指数函数y=(2)x,y=(33)x,y=(55)x在第二象限的图像，如图2-7-1

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解题规律

①转化的思想是一个重要的数学思想，对数与指数有着密切的关系，在解决有关问题时要充分注意这种关系及对数式与指数式的相互转化.②比较指数相同，底不同的指数幂(底大于0)的大小，要应用多个指数函数在同一坐标系中第一象限(指数大于0)或第二象限(指数小于0)的性质进行比较

①是y=(55)x,②是y=(2)x,③是y=(33)x.指数m<0时，图像在第二象限从下到上，底从大到小.所以(33)m<(2)m<(55)m,故3y

1(1)将下列指数式化为对数式: ①73=343;②14-2=16;③e-5=m.(2)将下列对数式化为指数式：

①log128=-3;②lg10000=4;③ln3.5=p.2计算：

(1)24+log23;(2)2723-log32;(3)2513log527+2log52.3(1)已知lg2=0.301 0，lg3=0.477 1，求lg45;(2)若lg3.127=a，求lg0.031 27.4已知a≠0,则下列各式中与log2a2总相等的是()A若logx+1(x+1)=1 ,则x的取值范围是()

A已知ab=M(a>0,b>0,M≠1),且logMb=x，则logMa的值为()A若log63=0.673 1，log6x=-0.326 9, 则x为()A若log5〔log3(log2x)〕=0，则x=.98log87·log76·log65=.10如果方程lg2x+(lg2+lg3)lgx+lg2·lg3=0的两根为x1、x2,那么x1·x2的值为.11生态学指出：生物系统中，每输入一个营养级的能量，大约只有10%的能量流到下一个营养级.H1→H2→H3→H4→H5→H6这条生物链中(Hn表示第n个营养级，n=1，2，3，4，5，6).已知对H1输入了106千焦的能量，问第几个营养级能获得100千焦的能量? 12已知x，y，z∈R+且3x=4y=6z，比较3x，4y，6z的大小.13已知a,b均为不等于1的正数，且axby=aybx=1，求证x2=y2.14已知2a·5b=2c·5d=10，证明(a-1)(d-1)=(b-1)(c-1).15设集合M=｛x|lg〔ax2-2(a+1)x-1〕>0｝，若M≠，M｛x|x<0｝，求实数a的取值范围.16在张江高科技园区的上海超级计算中心内，被称为“神威Ⅰ”的计算机运算速度为每秒钟384 000 000 000次.用科学记数法表示这个数为N=,若已知lg3.840=0.584 3,则lgN=.17某工厂引进新的生产设备，预计产品的生产成本比上一年降低10%，试问经过几年，生产成本降低为原来的40%?(lg2=0.3, lg3=0.48)

京翰教育1对1家教 http:///

高中数学辅导网 http:// 18某厂为适应改革开放，完善管理机制，满足市场需求，某种产品每季度平均比上一季度增长10.4%，那么经过y季度增长到原来的x倍，则函数y=f(x)的解析式f(x)=.名师助你成长

1.(1)①log7343=3.②log1416=-2.③lnm=-5.(2)①12-3=8.②104=10 000.③ep=3.5.2.(1)48点拨：先应用积的乘方，再用对数恒等式.(2)98点拨：应用商的乘方和对数恒等式.(3)144点拨：应用对数运算性质和积的乘方.3.(1)0.826 6点拨：lg45=12lg45=12lg902=12(lg32+lg10-lg2).(2)lg0.031 27=lg(3.127×10-2)=-2+lg3.127=-2+a

4.C点拨：a≠0,a可能是负数，应用对数运算性质要注意对数都有意义.5.B点拨：底x+1>0且x+1≠1;真数x+1>0.6.A点拨：对ab=M取以M为底的对数.7.C点拨：注意0.673 1+0.326 9=1,log61x=0.326 9，所以log63+log61x=log63x=1.∴3x=6, x=12.8.x=8点拨：由外向内.log3(log2x)=1, log2x=3, x=23.9.5点拨：log87·log76·log65=log85, 8log85=5.10.16点拨：关于lgx的一元二次方程的两根是lgx1,lgx2.由lgx1=-lg2,lgx2=-lg3，得x1=12,x2=13.11.设第n个营养级能获得100千焦的能量，依题意:106·10100n-1=100，化简得:107-n=102,利用同底幂相等，得7-n=2, 或者两边取常用对数也得7-n=2.∴n=5,即第5个营养级能获能量100千焦.12设3x=4y=6z=k,因为x，y，z∈R+，所以k>1.取以k为底的对数，得：

x=1logk3,y=1logk4,z=1logk6.∴3x=3logk3=113logk3=1logk33, 同理得：4y=1logk44,6z=1logk66.而33=1281,44=1264,66=1236, ∴logk33>logk44>logk66.又k>1,33>44>66>1，∴logk33>logk44>logk66>0,∴3x<4y<6z.13.∵axby=aybx=1,∴lg(axby)=lg(aybx)=0, 即xlga+ylgb=ylga+xlgb=0.(※)两式相加,得x(lga+lgb)+y(lga+lgb)=0.即(lga+lgb)(x+y)=0.∴lga+lgb=0 或x+y=0.当lga+lgb=0时,代入xlga+ylgb=0,得:(x-y)lga=0, a是不为1的正数lga≠0,∴x-y=0.∴x+y=0或x-y=0,∴x2=y2.14.∵2a5b=10,∴2a-1=51-b.两边取以2为底的对数,得：a-1=(1-b)log25.京翰教育1对1家教 http:///

高中数学辅导网 http:// ∴log25=a-11-b(b≠1).同理得log25=c-11-d(d≠1).即b≠1,d≠1时,a-11-b=c-11-d.∴(a-1)(1-d)=(c-1)(1-b), ∴(a-1)(d-1)=(b-1)(c-1).当b=1,c=1时显然成立.15.设lg〔ax2-2(a+1)x-1〕=t(t>0),则

ax2-2(a+1)x-1=10t(t>0).∴10t>1 ,ax2-2(a+1)x-1>1,∴ax2-2(a+1)x-2>0.①当a=0时,解集｛x|x<-1｝｛x|x<0｝;当a≠0时,M≠且M｛x|x<0｝.∴方程ax2-2(a+1)x-2=0 必有两不等实根，设为x1,x2且x1

②当a>0时,M=｛x|xx2｝,显然不是｛x|x<0｝的子集；

③当a<0时，M=｛x|x1

a<0，Δ=4(a+1)2+8a>0，x1+x2=2(a+1)a<0，x1·x2=-2a>0.解得3-2

(1-10%)x=40%,两边取常用对数，得：