二次函数最值问题专题

二次函数最值问题专题（共14篇）

篇1：二次函数最值问题专题

专题强化训练

专题六

二次函数的最值问题

初高中衔接教材

专题六 二次函数的最值问题 【要点回顾】

1．二次函数yaxbxc(a0)的最值．

二次函数在自变量x取任意实数时的最值情况 24acb2b当a0时，函数在x处取得最小值，无最大值；

4a2a4acb2b当a0时，函数在x处取得最大值，无最小值．

4a2a2．二次函数最大值或最小值的求法．

第一步确定a的符号，a＞0有最小值，a＜0有最大值；

第二步配方求顶点，顶点的纵坐标即为对应的最大值或最小值． 3．求二次函数在某一范围内的最值．

如：yaxbxc在mxn（其中mn）的最值． 第一步：先通过配方，求出函数图象的对称轴：xx0； 第二步：讨论：

[1]若a0时求最小值或a0时求最大值，需分三种情况讨论：

①对称轴小于m即x0m，即对称轴在mxn的左侧；

②对称轴mx0n，即对称轴在mxn的内部；

③对称轴大于n即x0n，即对称轴在mxn的右侧。[2] 若a0时求最大值或a0时求最小值，需分两种情况讨论： 2mn，即对称轴在mxn的中点的左侧； 2mn②对称轴x0，即对称轴在mxn的中点的右侧；

2①对称轴x0说明：求二次函数在某一范围内的最值，要注意对称轴与自变量的取值范围相应位置，具体情况，【例题选讲】

例1求下列函数的最大值或最小值．

（1）y2x3x5；（2）yx3x4．22

专题强化训练

专题六

二次函数的最值问题

初高中衔接教材

例2当1x2时，求函数yxx1的最大值和最小值．

例3当x0时，求函数yx(2x)的取值范围．

2125xx的最小值(其中t为常数)． 22分析：由于x所给的范围随着t的变化而变化，所以需要比较对称轴与其范围的相对位置．

125解：函数yxx的对称轴为x1．画出其草图．

22125(1)当对称轴在所给范围左侧．即t1时：当xt时，ymintt；

22125(2)当对称轴在所给范围之间．即t1t10t1时： 当x1时，ymin113；

22(3)当对称轴在所给范围右侧．即t11t0时：当xt1

151ymin(t1)2(t1)t23．

222例4当txt1时，求函数y

122t3,t0综上所述：y3,0t1

15t2t,t122例5某商场以每件30元的价格购进一种商品，试销中发现这种商品每天的销售量m(件)与每件的销售价x(元)满足一次函数m1623x,30x54．

(1)写出商场卖这种商品每天的销售利润y与每件销售价x之间的函数关系式；

(2)若商场要想每天获得最大销售利润，每件商品的售价定为多少最合适？最大销售利润为多少？

【巩固练习】

1．抛物线yx(m4)x2m3，当m= _____ 时，图象的顶点在y轴上；当m= _____ 时，图象的顶点在x轴上；当m= _____ 时，图象过原点． 2

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专题六

二次函数的最值问题

初高中衔接教材

2．用一长度为l米的铁丝围成一个长方形或正方形，则其所围成的最大面积为 ________ ． 3．设a0，当1x1时，函数yxaxb1的最小值是4，最大值是0，求a,b的值．

4．已知函数yx2ax1在1x2上的最大值为4，求a的值．

5．求关于x的二次函数yx2tx1在1x1上的最大值(t为常数)．

222专题六 二次函数的最值问题 参考答案

22例1分析：由于函数y2x3x5和yx3x4的自变量x的取值范围是全体实数，所以只要确定它们的图象有最高点或最低点，就可以确定函数有最大值或最小值． 解：（1）因为二次函数y2x23x5中的二次项系数2＞0，所以抛物线y2x23x5有最低点，即函数有最小值．

334949 因为y2x23x5=2(x)2，所以当x时，函数y2x23x5有最小值是．

48482（2）因为二次函数yx3x4中的二次项系数-1＜0，所以抛物线yx23x4有最高点，即函数有最大值．

因为yx23x4=(x2532253，所以当x时，函数yx23x4有最大值．)4242例2解：作出函数的图象．当x1时，ymin1，当x2时，ymax5．

说明：二次函数在自变量x的给定范围内，对应的图象是抛物线上的一段．那么最高点的纵坐标即为函数的最大值，最低点的纵坐标即为函数的最小值．

根据二次函数对称轴的位置，函数在所给自变量x的范围的图象形状各异．下面给出一些常见情况：

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专题六

二次函数的最值问题

初高中衔接教材

例3解：作出函数yx(2x)x2x在x0内的图象．

可以看出：当x1时，ymin1，无最大值．所以，当x0时，函数的取值范围是y1． 例5解：(1)由已知得每件商品的销售利润为(x30)元，那么m件的销售利润为ym(x30)，又m1623x． y(x30)(1623x)3x2252x4860,30x54

(2)由(1)知对称轴为x42，位于x的范围内，另抛物线开口向下

当x42时，ymax3422252424860432

当每件商品的售价定为42元时每天有最大销售利润，最大销售利润为432元．

【巩固练习】

l22311．4 14或2，2．m 3．a2,b2． 4．a或a1．

16245．当t0时，ymax22t，此时x1；当t0时，ymax22t，此时x1．

篇2：二次函数最值问题专题

如图①,过△ABC的三个顶点分别作出与水平线垂直的三条直线,外侧两条直线之间的距离叫△ABC的“水平宽”(),中间的这条直线在内部的部分的长度叫△ABC的“铅垂高”().我们可得出一种计算三角形面积的新方法:,即三角形面积等于水平宽与铅垂高乘积的一半.【例题1】如图②,已知抛物线经过A(-4,0),B(0,-4),C(2,0)三点.(1)

求抛物线对应的函数解析式;

(2)

若点M为第三象限内抛物线上一动点,其横坐标为,的面积为,求关于的函数解析式,并求出的最大值.【变式训练1-1】如图，抛物线与轴交于、两点，与轴交于点．

（1）求点，点和点的坐标；

（2）在抛物线的对称轴上有一动点，求的值最小时的点的坐标；

（3）若点是直线下方抛物线上一动点，求四边形面积的最大值．

【拓展总结】若抛物线上y1＝ax2+bx+c，它与y轴交于C（0，4），与x轴交于A（﹣1，0）、B（k，0），P是抛物线上B、C之间的一点．

（1）当k＝4时，求抛物线的方程，并求出当△BPC面积最大时的P的横坐标；

（2）当a＝1时，求抛物线的方程及B的坐标，并求当△BPC面积最大时P的横坐标；

（3）根据（1）、（2）推断P的横坐标与B的横坐标有何关系？

【练习】如图，已知抛物线y＝ax2+bx+5经过A（﹣5，0），B（﹣4，﹣3）两点，与x轴的另一个交点为C，顶点为D，连接CD．

（1）求该抛物线的解析式；

（2）点P为该抛物线上一动点（与点B，C不重合），设点P的横坐标为t．当点P在直线BC的下方运动时，求△PBC的面积的最大值．

【练习】如图,二次函数的图象与x轴交于点A.B两点,且A点坐标为(−2,0),与y轴交于点C(0,3).(1)求出这个二次函数的解析式；

(2)直接写出点B的坐标为___；

(3)在x轴是否存在一点P，使△ACP是等腰三角形?若存在，求出满足条件的P点坐标；若不存在，请说明理由；

(4)在第一象限中的抛物线上是否存在一点Q，使得四边形ABQC的面积最大?若存在，请求出Q点坐标及面积的最大值；若不存在，请说明理由。

【练习】已知一次函数y＝kx+3与二次函数y＝﹣x2+bx+c的图象的一个交点坐标为A（3，0），另一个交点B在y轴上，点P为y轴右侧抛物线上的一动点．

（1）求此二次函数的解析式；

（2）当点P位于直线AB上方的抛物线上时，求△ABP面积的最大值；

（3）当此抛物线在点B与点P之间的部分（含点B和点P）的最高点与最低点的纵坐标之差为9时，请直接写出点P的坐标和△ABP的面积．

1．如图，抛物线W的图象与x轴交于A、O两点，顶点为点B（﹣1，﹣1）．

（1）求抛物线W的表达式；

（2）将抛物线W绕点A旋转180°得到抛物线V，使抛物线V的顶点为E，试通过计算判断抛物线V是否过点B；

（3）在抛物线W或V的图象上是否存在点D，使S△EBD＝S△EBO？若存在，请求出点D的坐标．

1．如图抛物线y＝ax2+bx+6的开口向下与x轴交于点A（﹣6，0）和点B（2，0），与y轴交于点C，点P是抛物线上一个动点（不与点C重合）

（1）求抛物线的解析式；

篇3：二次函数最值问题例谈

一、销售利润问题

例1 (2007年 贵州贵阳) 某水果批发商销售每箱进价为40元的苹果, 物价部门规定每箱售价不得高于55元, 市场调查发现, 若每箱以50元的价格调查, 平均每天销售90箱, 价值每提高1元, 平均每天少销售3箱。

(1) 求平均每天销售量y (箱) 与销售价x (元/箱) 之间的函数关系式;

(2) 求该批发商平均每天的销售利润w (元) 与销售价x (元/箱) 之间的函数关系式;

(3) 当每箱苹果的销售价为多少元时, 可以获得最大利润?最大利润是多少?

解: (1) y=90-3 (x-50) 化简得:y=-3x+240.

(2) w= (x-40) (-3x+240) =-3x2+360x-9600.

(3) w=-3x2+360x-9600.

∵a<0, ∴其图像抛物线开口向下.

当undefined时, w有最大值。

又∵x<60, w随x的增大而增大,

∴当x=55元时, w的最大值为1125.

∴当每箱苹果的销售价为55元时, 可以获得1125元的最大利润。

二、几何面积问题

例2 (2007年 福建龙岩) 如图1所示, 在△ABC中, ∠A=90°, AB=4, AC=3.M是边AB上的动点 (M不与A, B重合) , MN//BC交AC于点N, △AMN关于MN的对称图形是△PMN, 设AM=x.

(1) 用含x的式子表示△AMN的面积 (不必写出过程) ;

(2) 当x为何值时, 点P恰好落在BC上;

(3) 在动点M的运动过程中, 记△PMN与梯形MBCN重叠部分的面积为y, 试求y关于x的函数关系式;并求x为何值时, 重叠部分的面积最大, 最大面积是多少?

解:undefined;

(2) 如图4所示, 由轴对称性质知:

AM=PM, ∠1=∠2.

又∵MN//BC,

∴∠2=∠3, ∠1=∠B.

∴∠B=∠3.

∴AM=PM=BM.

∴点M是AB中点,

即当undefined时, 点P恰好落在边BC上。

(3) 以下分两种情况讨论:

第一种情况:

当0

当2

由 (2) 知ME=MB=4-x.

∴PE=PM-ME.

=x- (4-x) =2x-4.

undefined

第二种情况:

∵当0

∴易知undefined

又∵当2

undefined

∴当undefined时 (符合2

综上所述, 当undefined时, 重叠部分的面积最大, 其值为2.

备注:在求函数关系式时要分情况讨论。

三、动点题

例3 (2007年 山东济南) 已知:如图6直角梯形ABCD中 , undefined

(1) 求梯形ABCD的面积;

(2) 点E, F分别是BC, CD上的动点, 点E从点B出发向点C运动, 点F从点C出发点D运动, 若两点均以每秒1个单位的速度同时出发, 连接EF, 求△EFC面积的最大值, 并说明此时E, F的位置。

解: (1) 如图7, 过点D作DM⊥BC, 垂足为M,

在Rt△DMC中,

undefined

undefined

(2) 设运动时间为 x秒,

则有 BE=CF=x, EC=10-x,

过点F作FN⊥BC, 垂点为N,

undefined

当undefined时,

undefined

即△EFC面积的最大值为10, 此时点E, F分别在BC、CD的中点处。

篇4：二次函数的最值问题研究

一、 定轴动区间

点评：通过以上两个例题发现：区间的长度不变，但由于区间位置的移动，影响二次函数的最值.那为什么求最值有时分三种情况讨论，有时候分两种情况讨论呢？通过观察发现：二次函数的最值总是在区间的端点或二次函数的顶点取到.在例1中，二次函数开口向上，最值在两个端点或函数顶点都可能取到，所以分三种情况讨论；而在例2中，最大值不可能在函数顶点时取得，只有可能在两个端点处取得，所以通过端点与区间中点距离的远近分两种情况来讨论.

点评：在例4中，是二次函数的开口方向和对称轴都在变化，区间不变的最值问题；在例5中，先转化为分段函数，两题都是再根据对称轴与区间的位置关系进行分类讨论即可.在求最值时，分类是关键，结合图形去确定最值比较直观，但对学生的画图能力要求较高.在求二次函数动轴定区间的最值问题时，本质还是研究对称轴与区间的位置关系.

三、 动轴动区间

反思：本题是变轴变区间的类型，仍然从轴与区间的位置关系入手展开讨论.

通过以上几个例题，对于可化为二次函数在某区间上的最值问题，基本分为动轴定区间、定轴动区间以及动轴动区间，三种题型解题思路都可以从二次函数的开口方向，对称轴与区间的位置关系来进行讨论.讨论时要理清思路，必要时画出草图，借助数形结合，可以清晰地进行分类并解决问题.

篇5：二次函数的最值问题

初三：年级 数学：学科 出核人：杨守德 审核人：高阳 时间：12月26日 1．若二次函数y=x－3x＋c图象的顶点在x轴上，则c=（）24411A． B．－ C． D．－

9999222．抛物线y=ax＋bx＋c的对称轴的位置（）

A．与a、b、c有关 B．只与a、b有关 C．只与a有关 D．只与b有关 3．关于二次函数y=x＋4x－7的最大(小)值，下列叙述正确的是（）A．当x＝2时，函数有最大值 B．当x＝2时，函数有最小值 C．当x＝－2时，函数有最大值 D．当x＝－2时，函数有最小值 4．二次函数的图象如图所示，则下列判断错误的是（）

A．a＞0 B．c＜0 C．函数有最小值 D．y随x的增大而减小

5．若所求的二次函数的图象与抛物线y=2x－4x－1有相同的顶点，并且在对称左侧，y随x的增大而增大；在对称轴的右侧，y随x的增大而减小，则所求二次函数的关系式为（）A．y=－x＋2x－4 B．y=ax－ax＋a－3 C．y=－2x－4x－5 D．y=ax－2ax＋a－3（a＜0）6．抛物线y=－222222125x＋3x－的顶点坐标是（）22A．（2，3）B．（3，2）C．（－2，3）D．（－3，2）

7．某商品进货单价为90元，按100元一个出售，能售出500个，如果这种商品涨价1元，其销售额就减少10个，为了获得最大利润，其单价应定为（）A．130元 B．120元 C．110元 D．100元 8．将抛物线y=x＋2x＋1向左平移2个单位，再向上平移2个单位得到的抛物线的最小值是（）A．－3 B．1 C．2 D．3 9．根据二次函数y=（x－1）（x＋2）的图象可知，当x的取值范围是 时，y≤0 10．二次函数y=2x＋x－n的最小值是2，那么n＝

11．抛物线y=2x－4x＋1的开口向，最低点的坐标为

12．抛物线y=ax＋bx＋c在点（3，1）处达到最高点，抛物线与y轴交点的纵坐标为－8，则它的解析式为

13．把二次函数y=2x－4x＋5化成y=a（x－h）＋k的形式是，其图象开口方向，顶点坐标是，当x＝ 时，函数y有最 值，当x 时，y随x的增大而减小。22222214．已知二次函数y=x－6x＋m的最小值为1，那么m的值是

15．已知一个二次函数的顶点为（1，2），且有最大值，请写出满足条件的一个二次函数的关系式

16．心理学家发现学生对概念的接受能力y与提出概念所用时间x（单位：分）之间满足函数关系：y=－0.1x＋2.6x＋43（0≤x≤30），y值越大，表示接受能力越强，当x＝ 时，y有最大值是

17．已知二次函数y有最大值4，且图象与x轴两交点间的距离是8，对称轴为x=3，求此二次函数的表达式。

18．某产品每件的成本是120元，试销阶段每件产品的销售价x（元）与产品的日销售量y（件）之间的关系式y=－x＋200，为获得最大利润，每件产品的销售价应定为多少元？此时每日的销售利润是多少？

19．在一场足球比赛中，一球员从球门正前方10米处将球踢起射向球门，当球飞行的水平距离是6米时，球到达最高点，此时球高3米，已知球门高2.44米，问能否射中球门？

20．如图，在体育测试时，一位初三同学掷铅球，已知铅球所经过的路线是二次函数的一部分，如果这个同学出手点A的坐标为（0，2），铅球路线最高处B的坐标为（6，5）（1）求这条二次函数的解析式；

（2）该生能把铅球掷多远？（精确到0.01米，15≈3.873）

21．某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元，为了扩大销售，增加盈利，尽快减少库存，商场判定采取适当的降价措施，经调查发现，如果每件衬衫每降价1元，商场平均每天可多售出2件

篇6：二次函数的最值问题教案

班级：莘庄职校03级（4）班

2003/12/4 [教学目标]1、2、3、4、使学生掌握二次函数在给定区间上最值的理论和方法。引入数形结合和分类讨论的思想。

培养学生敏锐的观察能力，运算准确性，思维的灵活性，培养学生发现问题的创新意识，探索问题的创新精神以及多层次，多角度思考问题的创新思维。[教学重点、难点] 重点：当区间端点不定时，讨论二次函数最值问题。难点：分类讨论思想的正确运用。[教学过程]

一、知识回顾

1、二次函数概念：形如yax2bxc(a0)的函数叫一元二次

函数。

bb4acb2)

其中对称轴为x，顶点坐标为(,2a2a2a2、图象性质

（动画演示）

（1）单调性（2）最值

二、问题探究

例题：求函数f(x)x22x1在下列区间最大值和最小值。（动画演示）

（1）R

f(x)minf(1)

（2）[-2，2]

f(x)minf(1)

f(x)maxf(2)

（3）[1，3]

f(x)minf(1)

f(x)maxf(3)

5（4）[-2，]

45f(x)minf()

f(x)maxf(2)

41f(2)

[-2，]

f(x)minf(1)

f(x)max31[-2，]

3f(x)minf(1)

f(x)ma1f()x3（5）[-2，a]

（学生观察，讨论）

f(2)f(a)

f(x)max①当-2≤a＜-1时

f(x)minf(2)f(1)

f(x)max②当-1≤a＜0 时

f(x)minf(a)③当a≥0时

f(x)minf(1)

f(x)max

三、问题引申

求函数f(x)x22x1在区间[m，m+2]上的最大值和最小值。

（动画演示）

f(m)解：当m＜-3时

f(x)minf(m3)

f(x)maxf(m)f(1)

f(x)max当-3＜m＜-2时

f(x)minf(m2)f(1)

f(x)max当-2＜m＜-1时

f(x)minf(m2)当m＞-1时

f(x)minf(m)

f(x)max

四、总结归纳

五、开拓思维

当二次函数对称轴变化时，在指定区间内求最值

篇7：二次函数的最值问题修改版

上的最值问题

数学组：王勇

一、教学目标：

1． 理解二次函数的最值概念，掌握二次函数的最值求法； 2． 培养学生数形结合的能力和将数学问题转化的能力。

二、教学重点：二次函数最值求法

教学难点：二次函数在闭区间上的最值

三、教学过程：

二次函数是函数中重要的函数，二次函数在闭区间上的最值问题一直是函数中的一个难点。今天我们用数形结合的方法来突破这个问题。请看下面例题

问题1 求函数f(x)x22x3，x2,4的最大值与最小值

练习：将题中条件x2,4改为（1）x3,0，（2）x3,4

小结：求二次函数在固定区间上的最大值与最小值：考虑对称轴与区间的位置关系。

如果我们将x3,4改为xa,4，怎样求最值呢？

问题2 求函数f(x)x22x3，xa,4的最值

小结：注意分类讨论

以上问题是函数的图像不变，要研究的区间含字母，如果我们将区间固定，函数的解析式中含字母，又怎样求最值呢？

问题3 求函数f(x)x2ax3，x1,3的最大值与最小值

小结：对称轴的讨论是关键

练习4 已知fxx-2ax3在区间1,2上最大值为4，求a的值 2

f(x)a(xh)2k(a0)x[m,n]小结：二次函数在闭区间[m,n]上的最值

（三）作业：

篇8：二次函数最值问题及其解决方法

一、分类举例

1.轴定区间定问题

【例1】求二次函数f (x) =x2-2x-3在以下区间上的最值.

(1) x∈[-2, 0]; (2) x∈[0, 3]; (3) x∈[2, 4].

分析:f (x) = (x-1) 2-4.

1若对称轴在给定区间的右侧或左侧, 此时函数在该区间上是单调函数, 最大值和最小值分别在区间端点处取得, 比如本题的 (1) (3) 小题;

2若对称轴穿过区间, 此时函数在该区间上先减后增, 最小值在对称轴处取得.而最大值在端点处取得.此时只需计算哪个端点处的函数值较大即可, 或比较哪个端点距离对称轴较远 (端点离对称轴越远, 函数值越大) 即可, 比如本题的 (2) 小题;

3函数的最大、最小值只在区间的端点或对称轴处取得.

2.轴定区间变问题

【例2】求二次函数f (x) =x2-2x-3在区间[t, t+2]上的值域.

分析:随着区间位置的改变, 对称轴和 区间的相 对位置对函数值域的影响便一目了然了.

1当对称轴位于区间的左侧, 即t≥1时, 函数f (x) 在区间[t, t+2]上为增函 数, 此时f (x) 的取值范 围是f (t) ≤f (x) ≤f (t+2) ;

2当对称轴位于左半区间, 即t≤1≤t+1时, 函数f (x) 在区间[t, t+2]上是先减后增, 右端点t+2距离对称轴较远, 此时f (x) 的取值范围是f (1) ≤f (x) ≤f (t+2) ;

3当对称轴位于右半区间, 即t+1≤1≤t+2时, 函数f (x) 在区间[t, t+2]上也是先减后增, 此时是左端点t距离对称轴较远, 所以f (x) 的取值范围是f (1) ≤f (x) ≤f (t) ;

4当对称轴位于区间的右侧, 即t+2≤1时, 函数f (x) 在区间[t, t+2]上为减函数, 此时f (x) 的取值范围是f (t+2) ≤f (x) ≤f (t) .

部分学生可能只讨论了三种情况, 将2 3合并, 这是出错的主要原因.

3.轴变区间定问题

【例3】求函数f (x) =x2-2mx+2在区间[-1, 1]上的值域.

分析:对称轴x=m可改变, 对称轴与区间[-1, 1]的相对位置也是变化的, 仿照例2可以求出函数的值域.

1当对称轴 位于区间 的左侧, 即m≤ -1时, 有f (-1) ≤f (x) ≤f (1) ;

2当对称轴 位于左半 区间, 即 -1≤m≤0时, 有f (m) ≤f (x) ≤f (1) ;

3当对称轴位于右半区间, 即0≤m≤1时, 有f (m) ≤f (x) ≤f (-1) ;

4当对称轴位于区间的右侧, 即m≥1时, 有f (1) ≤f (x) ≤f (-1) .

4.轴变区间变问题

【例4】求函数f (x) =x2-2mx+2在区间[a, b]上的值域.

分析:还是同前面的例子相同的讨论.

1当对称轴 位于区间 的左侧, 即当m<a时, 有f (a) ≤f (x) ≤f (b) ;

2当对称轴位于 左半区间, 即a≤m≤a+b/2时, 有f (m) ≤f (x) ≤f (b) ;

3当对称轴位于 右半区间, 即a+b/2≤m≤b时, 有f (m) ≤f (x) ≤f (a) ;

4当对称轴位于区间的右侧, 即m>b时, 有f (b) ≤f (x) ≤f (a) .

二、求二次函数值域的方法和技巧

要求二次函数f (x) =ax2+bx+c (a≠0) 在指定区间[m, n]上的值域, 归根结底是要求出函数在这个区域上的最大值和最小值, 而求函数在这个区间上的最值关键是看函数的对称轴x=-b/2a是否落在指定区间[m, n]内.

1当对称轴落在区间内, 即m≤-b/2a≤n时, 函数的值域为[min (f (-b/2a) , f (m) , f (n) ) , max (f (-b/2a) , f (m) , f (n) ) ].

2当对称轴落在区间外, 即-b/2a<n或-b/2a>m时函数的值域为[min (f (m) , f (n) ) , max (f (m) , f (n) ) ].

篇9：二次函数最值问题分类剖析

二次函数在某区间上的最值问题是高考命题中经久不衰的“热点”，二次函数的最值与它的图象的对称轴密切相关，这类问题的求解，其关键是运用二次函数的图象，研究函数图象的对称轴与区间的相对位置关系，当含有参数时，在不同的情况下，函数的单调性不一，要依据对称轴与区间的关系进行分类讨论，本文就二次函数图象的对称轴与所给区间的“定”和“动”，将此类常见的问题分为四种类型，并分别举例加以深度剖析。endprint

二次函数在某区间上的最值问题是高考命题中经久不衰的“热点”，二次函数的最值与它的图象的对称轴密切相关，这类问题的求解，其关键是运用二次函数的图象，研究函数图象的对称轴与区间的相对位置关系，当含有参数时，在不同的情况下，函数的单调性不一，要依据对称轴与区间的关系进行分类讨论，本文就二次函数图象的对称轴与所给区间的“定”和“动”，将此类常见的问题分为四种类型，并分别举例加以深度剖析。endprint

二次函数在某区间上的最值问题是高考命题中经久不衰的“热点”，二次函数的最值与它的图象的对称轴密切相关，这类问题的求解，其关键是运用二次函数的图象，研究函数图象的对称轴与区间的相对位置关系，当含有参数时，在不同的情况下，函数的单调性不一，要依据对称轴与区间的关系进行分类讨论，本文就二次函数图象的对称轴与所给区间的“定”和“动”，将此类常见的问题分为四种类型，并分别举例加以深度剖析。endprint

篇10：二次函数闭区间上的最值问题

一元二次函数的区间最值问题，核心是对函数对称轴与给定区间的相对位置关系的讨论。一般分为：对称轴在区间的左边，中间，右边三种情况.2 设f(，求x)axbxc(a0)f(x)在x[m，n]上的最大值与最小值。b2a 分析：将f(x)配方，得对称轴方程x

当a0时，抛物线开口向上

若 若b2ab2a[m，n]必在顶点取得最小值，离对称轴较远端点处取得最大值； [m，n]

b2a 当a0时，抛物线开口向上，此时函数在[m，n]上具有单调性，故在离对称轴x较远端点处取得最大值，较近端点处取得最小值。当a0时，如上，作图可得结论，对二次函数的区间最值结合函数图象总结如下：

当a0时

f(x)maxb1f(m)，(mn)(如图1)2a2 b1f(n)，(mn)(如图2)2a2 f(x)minbf(n)，n(如图3)2abbf()，mn(如图4)2a2abf(m)，m(如图5)2a

当a0时

f(x)maxbf(n)，n(如图6)2abbf()，mn(如图7)2a2abf(m)，m(如图8)2a

f(x)minb1f(m)，(mn)(如图9)2a2 b1f(n)，(mn)(如图10)2a21.定二次函数在定区间上的最值

二次函数是给定的，给出的定义域区间也是固定的，我们称这种情况是“定二次函数在定区间上的最值”。

x4x2 例1.函数y在区间0，3上的最大值是_________，最小值是_______。2 1

例1： 解：函数y是定义在区间0，3上的二次函数，其x4x2(x2)2对称轴方程是x2，顶点坐标为（2，2），且其图象开口向下，显然其顶点横坐标在［0，3］上，如图1所示。函数的最大值为f(2)2，最小值为f(0)2。

例2.已知2x3的最值。)xx1x，求函数f(x2222 例2： 解：由已知2x3x，可得0x232，即函数f(x)是定义在区间0，3上的二2113次函数。将二次函数配方得f(x)x，其对称轴方程x，顶点坐标224331且图象开口向上。显然其顶点横坐标不在区间0，内，如图2所示。函数f(x)，，242193。242的最小值为f(0)1，最大值为f2b4acb 解后反思：已知二次函数f(（不妨设a0），它的图象是顶点为x)axbxc，、对称轴为

4a2a2xb2a、开口向上的抛物线。由数形结合可得在m，n上f(x)的最大值或最小值：

acbb4（1）当m，n时，f(x)的最小值是f)、f(n)中的较大者。，f(x)的最大值是f(m2a4a2ab2（2）当 若b2am，n时 b2am，由f(x)在m，n上是增函数  则f(x)的最小值是f(m)，最大值是f(n)

若nb2a，由f(x)在m，n上是减函数  则f(x)的最大值是f(m)，最小值是f(n)2.动二次函数在定区间上的最值

二次函数随着参数a的变化而变化，即其图象是运动的，但定义域区间是固定的，我们称这种情况是“动二次函数在定区间上的最值”。

例3.已知x1，且a，求函数f(的最值。x)xax320221x1，a2 例3：解：由已知有，于是函数f(x)是定义在区间1，1上的二次函数，将f(x)配方得： aa f(x)x324 22

二次函数f(x)的对称轴方程是xa2

2aa 顶点坐标为，3，图象开口向上

42 由a2可得xa21，显然其顶点横坐标在区间1，1的左侧或左端点上。

 函数的最小值是f(1)4a，最大值是f(1)4a。

例4.已知二次函数f(在区间4，1上的最大值为5，求实数a的值。x)ax4axa1 例4： 解：将二次函数配方得f，其对称轴方程为x，顶点坐标为(()xa(x2)a4a12，a4a1)，2图象开口方向由a决定。很明显，其顶点横坐标在区间4，1上。

若a0，函数图象开口向下，如图4所示，当x时，函数取得最大值5 2 即f(2)a4a152222220

解得a21 故a 210(a210舍去)若a0时，函数图象开口向上，如图5所示，当x1时，函数取得最大值5 即f()15aa152或a6 解得a1

故a1(a6舍去)

210或a1 综上讨论，函数f(x)在区间4，1上取得最大值5时，a

解后反思：例3中，二次函数的对称轴是随参数a变化的，但图象开口方向是固定的；例4中，二次函数的对称轴是固定的，但图象开口方向是随参数a变化的。3.定二次函数在动区间上的最值

二次函数是确定的，但它的定义域区间是随参数t而变化的，我们称这种情况是“定函数在动区间上的最值”。

例5.如果函数f(定义在区间t，x)(x1)1t1上，求f(x)的最小值。2x)(x1)1 例5： 解：函数f(，其对称轴方程为x1，顶点坐标为（1，1），图象开口向上。

如图6所示，若顶点横坐标在区间t，t1左侧时，有1t。当xt时，函数取得最小值 2()xf(t)(t1)1 f。min21t1t1 如图7所示，若顶点横坐标在区间t，即0。当x1时，t1上时，有t函数取得最小值 

f()。xf()11min 如图8所示，若顶点横坐标在区间t，即t0。当x时，11t1t1右侧时，有t函数取得最小值

f()xf(t1)t1min2 综上讨论，f(x)min(t1)21,t11,0t1 2t0t12 例6.设函数f(的定义域为t2x)x4x4R，求函数f(x)的最小值(t)的解析式。，t1，对任意t 例6： 解：将二次函数配方得：

f()xx4x4(x2)8 其对称轴方程为x2，顶点坐标为(2，8)，图象开口向上

若顶点横坐标在区间t2，即t4。当x时，函数取得最小值 t2t2，t1左侧，则2 ft(2)(t4)8t8t8 若顶点横坐标在区间t2，即3。当x2时，函数取得最小值 22t1t4，t1上，则t f(2)8

若顶点横坐标在区间t2，即t3。当x时，函数取得最小值 12t1，t1右侧，则t ft(1)(t3)8t6t1222222t28t8(t4) 综上讨论，得(t)8(3t4)

2t6t1(t3)4.动二次函数在动区间上的最值

二次函数是含参数的函数，而定义域区间也是变化的，我们称这种情况是“动二次函数在动区间上的最值”。

4ax(a)(a0)(x3)y的最小值为4，求参数a的值。

例7.已知y，且当xa时，Sa(xa)代入S中，得

例7： 解：将y42222S(x3)4a(xa)2x2(32a)x94a222

2x(32a)12a8a32a，12a8a)，图象开口32a 则S是x的二次函数，其定义域为xa，顶点坐标为(，，对称轴方程为x向上。

若3，即0 2aaa1

2

则当x时，S 12a8a432a最小 此时，a1，或a212 若3，即a1 2aaa(32a)12a8a4 则当x时，S a最小22，a1 此时，a5，或a1（因a1舍去）

综上讨论，参变数a的取值为a1，或a12，或a5

另外，若函数图象的开口方向、对称轴均不确定，且动区间所含参数与确定函数的参数一致，可采用先斩后奏的方法。二次函数在闭区间上的最值只可能在区间端点、顶点处取得，不妨令之为最值，验证参数的资格，进行取舍。课后练习：

篇11：二次函数最值问题专题

二次数学的实际运用

——图形面积的最值问题

【知识与技能】：通过复习让学生系统性地掌握并认识如何用函数的思想解决几何问题中面积最值问题，培养其整体性思想。【过程与方法】：能通过设置的三个问题，概括出二次函数解决这类问题的基本思路和基本方法，并学会用数学问题的结论，分析是否是实际问题的解，掌握类比的数学思想方法。

【情感态度与价值观】：体会函数建模思想的同时，体会数学与现实生活的紧密联系，培养学生认真观察，不断反思，主动纠错的能力和乐于思考，认真严谨、细心的好习惯。感受多媒体的直观性和愉悦感。【重点】：如何利用二次函数的性质解决实际问题——图形面积的最值问题 【难点】：如何探究在自变量取值范围内求出实际问题的解 【教学过程】 【活动1】：导入引言：

二次函数在实际问题中的应用常见类型有抛物线形问题和最值问题。而最值问题考试类型有两类（1）利润最大问题；

（2）几何图形中的最值问题：面积的最值，用料的最佳方案等，本节课，我们学习如何用二次函数解决实际问题中图形面积的最值问题。

【活动2】：师生互动，合作学习

我们来看一道简单的例题

例1：李大爷要借助院墙围成一个矩形菜园ABCD，用篱笆围成的另外三边总长为24米，则矩形的长宽分别为多少时，围成的矩形面积最大？

师（让学生思考）：题目中已知量是什么？ 未知量是什么？如何理解“矩形面积最大”问题？是什么影响了矩形面积的变化呢？我们一起来看下面的动画演示（通过动画演示，让学生感受量的变化）师：在演示中你们看到了什么？想到了什么？你能列出函数解析式吗？

学生解决：若设矩形一边长为X，当X在变长时，另一边变短，当X变短时，另一边变长，则面积S也随之发生了变化；设宽AB为X米，则长为24-2X(m)所以 面积S=X(24-2X)=-2X2+24X=-2(X-12)2 +288 师：分析归纳解函数问题的一般步骤是什么？

（板书: 第一步，正确理解题意,分析问题中的常量和重量；

第二步，巧设未知数，用未知数表示已知量和未知量，列二次函数解析式表示它们的关系； 第三步，计算，将一般式转化为顶点式，求出数学问题的最值。）

师：请问这时解出的数学问题的解是不是实际问题的解，如何检验呢？（在师生共同研讨的过程中找出计算中学生容易犯的错误，分析解答是否符合实际问题）

小结：求解完答案后，我们要善于检查，分析，反思数学问题的解是否是实际问题的解。活动3：变式训练，巩固应用。

师：如果我们在图形中再加一个“竖道”，请问刚才的问题中，什么量在变化，什么量不变化？是否影响面积的变化？

师生共同总结得出：AB不变而BC在变，BC表示时要考虑竖道的个数。

师：请大家看下面的中考题，这个问题中涉及的是方程的思想还是函数的思想？ 一题多变1：

要利用一面墙（墙长为25米）建羊圈，用100米的围栏围成总面积为400平方米的三个大小相同的矩形羊圈，求羊圈的边长AB,BC各为多少米？

学生自主探究问题并解答（引导学生分析讨论如何舍去方程的根，获得实际问题的解）

师： 问题中面积是否由“400”可以改为“500”

“600”

“700”呢？面积是否可以取一个任意大的数值呢？

生：不可以，x受墙长的影响，围栏长度的影响，面积不能超过一个最大值。师：引导利用函数的思想解决下面的问题。活动4：深入探究，设疑激趣 一题多变2：

师：请大家仔细阅读下面的例题，分析问题中的已知条件又作了哪些变化？ 如图所示，有长为30m的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度为10m），围成中间隔有一道篱笆（平行于AB）的矩形花圃，设花圃的一边AB＝xm，面积为ym2.(1)求y与x的函数关系式；（2）y是否有最大值？若有，求出y的最大值。

学生互学，师生共同总结：师：利用函数的思想解决实际问题时，要考虑自变量的取值范围，要在自变量范围内 求出最大值，要学会检验数学问题的解是否是实际问题的解。利用函数解决实际问题，我们在后面的学习中还要继续探究。

【活动4】归纳小结:（1）

利用函数思想解决实际问题的一般步骤是什么？（2）

篇12：二次函数最值问题专题

二次函数yax2bxc(a0)是初中函数的主要内容，也是高中学习的重要基础。在初中阶段大家已经知道：二次函数在自变量x取任意实数时的最值情况(当a0时，函数在bb4acb2x处取得最小值，无最大值；当a0时，函数在x处取得最大值2a2a4a4acb2，无最小值。4a本节我们将在这个基础上继续学习当自变量x在某个范围内取值时，函数的最值问题。同时还将学习二次函数的最值问题在实际生活中的简单应用。

【例1】当2x2时，求函数yx22x3的最大值和最小值。

分析：作出函数在所给范围的及其对称轴的草图，观察图象的最高点和最低点，由此得到函数的最大值、最小值及函数取到最值时相应自变量x的值。

【例2】当1x2时，求函数yx2x1的最大值和最小值。

【例3】当x0时，求函数yx(2x)的取值范围。

【例4】当txt1时，求函数y125xx的最小值(其中t为常数)。22分析：由于x所给的范围随着t的变化而变化，所以需要比较对称轴与其范围的相对位置。

【例5】某商场以每件30元的价格购进一种商品，试销中发现这种商品每天的销售量m(件)与每件的销售价x(元)满足一次函数m1623x,30x54。

(1)写出商场卖这种商品每天的销售利润y与每件销售价x之间的函数关系式；(2)若商场要想每天获得最大销售利润，每件商品的售价定为多少最合适？最大销售利润为多少？

篇13：二次函数最值问题专题

我们以关于二次函数f (x) =ax2+bx+c (a≠0) 在[m, n]上的最值问题的研究为例, 作出如下定性分析:求二次函数在闭区间上的最值, 首先要确定开口方向, 关键是对称轴与定义域区间的相互位置关系的辨析, 对称轴的位置可分为如下四个部分:

一、当a>0时

二、当a<0时

仿上讨论 (略)

实际解题时, 定性分析与定量分析相辅相成, 常常交互使用。

点评:此题轴确定, 开口方向确定, 定义区间确定。

例2 (2002年全国高考题) 设a为实数, 函数f (x) =x2+x-a+1, 求f (x) 的最小值。

点评:此题轴确定, 开口方向确定, 定义区间不确定。

(1) 若f (0) ≥1, 求a的取值范围;

(2) 求f (x) 的最小值;

(3) 设函数h (x) =f (x) , x∈ (a, +∞) , 直接写出 (不需给出演算步骤) 不等式h (x) ≥1的解集.

解析:略

点评:此题开口方向确定, 对称轴不确定, 定义区间也不确定, 分析时关键看区间是否含对称轴。

定性分析虽然具有透视题型结构, 触摸解题规律的优势, 但也不宜过分夸大其作用, 它常带有模糊性、笼统性。定性分析与定量分析没有孰重孰轻, 只有相得益彰。

篇14：浅谈二次函数与线段最值问题

关键词：二次函数；线段最值；转化；数形结合；基本图形；数学模型

中图分类号：G633.6 文献标识码：A 文章编号：1992-7711（2016）24-109-1

初中二次函数的线段问题综合题中，涉及到的类型通常有：1.直接求线段的长或用含字母的式子表示线段的长；2.根据题中给出的线段关系求相应字母的值；3.求多边形周长、面积的最值。其中求三角形或四边形周长、面积的最值，一般要将其转化为求某线段长的最值或利用两点之间线段最短来求最值。

让学生理解并掌握在二次函数背景下借助基本图形研究線段最值问题的方法；在分析解决问题的过程中体会数形结合与转化等数学思想；在这过程中培养学生构建二次函数模型并借助基本图形解决最值问题的意识及能力是至关重要的。在此，笔者结合自身一些教学实践，就“二次函数与线段最值问题”方面，谈一谈自己的一些做法。

一、求竖直线段长的最值问题

这类问题通常是过抛物线上的一动点作x轴的垂线（或y轴的平行线），且与某直线相交于一点，以确定两点之间长度关系的形式出题。解决此类问题时，一般要将线段问题转化为点的坐标问题，根据抛物线和直线上点的横坐标相同，设这两点的横坐标，从而得到这两点的纵坐标，然后用含字母的式子表示两点间的线段长，特别是遇到线段最值问题时，一般要结合二次函数求最值的方法，将二次函数解析式配成顶点式或利用公式求最值。

具体图形如下图所示：“在题目中已知直线l：y=12x+1与x轴、y轴分别相交于点A和点C。抛物线y=-2x2-72x+1的图象交x轴于A、B两点（B在A右边），点P是直线AC上方的抛物线上一动点（不与A，C重合），设P点的横坐标为m，过点P作y轴平行线交直线AC于Q点，求线段PQ的最大值。”

如何求线段PQ的最大值呢？首先要分析：如果想要线段PQ的最大值，必须明确P、Q两点的坐标，可以用含有m的式子表示P、Q两点的坐标，通过观察，容易发现P、Q两点的横坐标相同，说明线段PQ是一条竖直线段，然后再利用竖直线段长=y上-y下求得PQ=-2m2-4m，接着可以结合二次函数求最值的方法，将二次函数解析式配成顶点式PQ=-2（m+1）2+2，然后求得最大值为2。

二、求水平线段长的最值问题

若将上题的问题改为：过点P作x轴平行线交直线AC于N点，求线段PN的最大值呢？通过观察，容易发现P、N两点的纵坐标相同，说明线段PN是一条水平线段，可以利用水平线段长=x右-x左将PN用二次函数求最值的方法求得最大值为4。

值得探究的是水平线段PN的长与竖直线段PQ长有内在联系吗？过点P作y轴平行线交直线AC于Q点，稍作思考就不难发现，tan∠PQN=tan∠OCA，所以PNPQ=OAOC=2；即PN=2PQ，从而容易求得线段PN的最大值为4。由此可知：求水平线段长的最值问题可转化为求竖直线段长的最值问题。

三、求斜线段长的最值问题

若将上题的问题改为：求P点到直线AC距离的最大值。同样的问题，斜线段PH的长与竖直线段PQ长有内在联系吗？过点P作y轴平行线交直线AC于Q点，再由sin∠PQH=sin∠ACO可知PH=255PQ。

进而求得线段PQ的最大值为455。由此可知：求斜线段长的最值问题可转化为求竖直线段长的最值问题。

四、求三角形周长的最值问题

若将上题的问题改为：作PD⊥x轴于D点，交AC于Q点，作PH⊥AC于H点，求△PQH周长的最大值。显然，求三角形周长的最值问题可转化为求竖直线段长的最值问题。

五、求三角形面积的最值问题

这类求多边形面积问题通常转化为函数关系问题。解题技巧一般是过特殊点作x轴或y轴的垂线，将所求面积进行分割，再将面积问题转化为线段问题，构建函数模型，通过二次函数的增减性求得相应的最值。

若将上题的问题改为：连接PA，PC。求△PAC面积的最大值。过点P作y轴平行线交直线AC于Q点，故S△APC=S△APQ+S△QPC=12PQ·（xP-xA）+12PQ·（xC-xP）=12PQ·（xC-xA）=12PQ·OA，显然，求三角形面积的最值问题也可转化为求竖直线段长的最值问题。