中考数学知识点总结

2024-05-18

中考数学知识点总结（共8篇）

篇1：中考数学知识点总结

中考数学知识点

1、二次函数的概念

一般地，如果，那么y叫做x 的二次函数。

叫做二次函数的一般式。

2、二次函数的图像

二次函数的图像是一条关于对称的曲线，这条曲线叫抛物线。

抛物线的主要特征：

①有开口方向;②有对称轴;③有顶点。

3、二次函数图像的画法

五点法：

(1)先根据函数解析式，求出顶点坐标，在平面直角坐标系中描出顶点M，并用虚线画出对称轴

(2)求抛物线与坐标轴的交点：

当抛物线与x轴有两个交点时，描出这两个交点A,B及抛物线与y轴的交点C，再找到点C的对称点D。将这五个点按从左到右的顺序连接起来，并向上或向下延伸，就得到二次函数的图像。

当抛物线与x轴只有一个交点或无交点时，描出抛物线与y轴的交点C及对称点D。由C、M、D三点可粗略地画出二次函数的草图。如果需要画出比较精确的图像，可再描出一对对称点A、B，然后顺次连接五点，画出二次函数的图像。

中考数学难点

二次函数的解析式有三种形式：

(1)一般式：

(2)顶点式：

(3)当抛物线与x轴有交点时，即对应二次好方程有实根和存在时，根据二次三项式的分解因式，二次函数可转化为两根式。如果没有交点，则不能这样表示。

注意：抛物线位置由决定.

(1)决定抛物线的开口方向

①开口向上.

②开口向下.

(2)决定抛物线与y轴交点的位置.

①图象与y轴交点在x轴上方.

②图象过原点.

③图象与y轴交点在x轴下方.

(3)决定抛物线对称轴的位置(对称轴：)

①同号对称轴在y轴左侧.

②对称轴是y轴.

③异号对称轴在y轴右侧.

(4)顶点坐标.

(5)决定抛物线与x轴的交点情况.、

①△>0抛物线与x轴有两个不同交点.

②△=0抛物线与x轴有的公共点(相切).

③△<0抛物线与x轴无公共点.

(6)二次函数是否具有、最小值由a判断.

①当a>0时，抛物线有最低点，函数有最小值.

②当a<0时，抛物线有点，函数有值.

(7)的符号的判定：

表达式，请代值，对应y值定正负;

对称轴，用处多，三种式子相约;

轴两侧判，左同右异中为0;

1的两侧判，左同右异中为0;

-1两侧判，左异右同中为0.

(8)函数图象的平移：左右平移变x，左+右-;上下平移变常数项，上+下-;平移结果先知道，反向平移是诀窍;平移方式不知道，通过顶点来寻找。

(9)对称：关于x轴对称的解析式为，关于y轴对称的解析式为，关于原点轴对称的解析式为，在顶点处翻折后的解析式为(a相反，定点坐标不变)。

(10)结论：①二次函数(与x轴只有一个交点二次函数的顶点在x轴上Δ=0;

②二次函数(的顶点在y轴上二次函数的图象关于y轴对称;

③二次函数(经过原点，则。

(11)二次函数的解析式：

①一般式：(，用于已知三点。

②顶点式：，用于已知顶点坐标或最值或对称轴。

(3)交点式：，其中、是二次函数与x轴的两个交点的横坐标。若已知对称轴和在x轴上的截距，也可用此式。

中考数学考点

1、反比例函数的概念

一般地，函数(k是常数，k0)叫做反比例函数。反比例函数的解析式也可以写成的形式。自变量x的取值范围是x0的一切实数，函数的取值范围也是一切非零实数。

2、反比例函数的图像

反比例函数的图像是双曲线，它有两个分支，这两个分支分别位于第一、三象限，或第二、四象限，它们关于原点对称。由于反比例函数中自变量x0，函数y0，所以，它的图像与x轴、y轴都没有交点，即双曲线的两个分支无限接近坐标轴，但永远达不到坐标轴。

3、反比例函数的性质

反比例函数k的符号k>0k<0图像yO xyO x性质①x的取值范围是x0，

y的取值范围是y0;

②当k>0时，函数图像的两个分支分别

在第一、三象限。在每个象限内，y

随x 的增大而减小。

①x的取值范围是x0，

y的取值范围是y0;

②当k<0时，函数图像的两个分支分别

在第二、四象限。在每个象限内，y

随x 的增大而增大。

4、反比例函数解析式的确定

确定及诶是的方法仍是待定系数法。由于在反比例函数中，只有一个待定系数，因此只需要一对对应值或图像上的一个点的坐标，即可求出k的值，从而确定其解析式。

5、反比例函数的几何意义

设是反比例函数图象上任一点，过点P作轴、轴的垂线，垂足为A，则

(1)△OPA的面积.

(2)矩形OAPB的面积。这就是系数的几何意义.并且无论P怎样移动，△OPA的面积和矩形OAPB的面积都保持不变。

矩形PCEF面积=，平行四边形PDEA面积=

中考数学知要点

1、cos30°=。

2、sin260°+cos260°=1。

3、2sin30°+tan45°=2。

4、tan45°=1。

5、cos60°+sin30°=1。

中考数学重点

1、半圆或直径所对的圆周角是直角。

2、任意一个三角形一定有一个外接圆。

3、在同一平面内，到定点的距离等于定长的点的轨迹，是以定点为圆心，定长为半径的圆。

4、在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等。

5、同弧所对的圆周角等于圆心角的一半。

6、同圆或等圆的半径相等。

7、过三个点一定可以作一个圆。

8、长度相等的两条弧是等弧。

9、在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等。

10、经过圆心平分弦的`直径垂直于弦。

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篇2：中考数学知识点总结

错题主要涉及错题收集和存档、错题改正、错题分享、错题应用四个环节。

一、错题收集和存档：

这里的错题，不仅指各级各类数学考试中的错题，还包括平时数学作业中做错的题目。最好把错题都摘录到一个固定的本子上面(错题本)，便于自己以后查阅。即使是曾经错了而现在理解了的题目也最好登记在册，它们形成独具个性的学习轨迹，有利于知识的理解、识记、储存和提取。

在进行错题收集的时候，一定要注意分类。分类的方法很多，可以按照错题原因分类、按照错题中所隐含知识的章节进行分类，甚至还可以按照题型进行分类。这样整理好的错题是系统的，到最后复习时就有比较强的针对性。

二、错题改正：

收集错题以后，接下来就是改错了，这是错题管理的目的。学生要争取自己独立对错题进行分析，然后找出正确的解答，并订正。在自己独立思考的基础上，如果还是得不到答案，这时候就需要积极地求助他人了，可以是学得比较好的同学，也可以是老师。让他们帮自己分析原因，在他们的启发引导下进行改正。找到出错的症结所在，最好能在错题后面附上自己的心得体会，可以依次回答以下问题：

这道题目错在什么地方?

这道题目为什么做错了?(错在计算、化简?错在概念理解?错在理解题意?错在逻辑关系?错在以偏概全?错在粗心大意?错在思维品质?错在类比?等等。)

这道题目正确的做法是什么?

这道题目有没有其它解法?哪种方法更好?

错题改正这个过程其实就是学生再学习、再认识、再提高的过程，它使学生对易出错的知识的理解更全面透彻，掌握更加牢固，同时也提高了学生自主学习的能力。一般意义上，任何学习都需要反思，错题改正是反思的具体途径之一。

整理错题并不是为了做得好看，是为了实用，对自己的学习有帮助。因而没有固定的标准，关键要符合学生自己的习惯。但是学生一定要抽时间翻阅自己辛勤劳动的结晶，对其中的错题进行温习，这样做有时候可以收到意想不到的效果，会有新的体会。其实整理好的错题集就相当于是以前做过的大量习题中的精华荟萃(这要建立在学生认真整理的基础上)，是最适合学生个人的学习资料，比任何一本参考书、习题集都有用，有价值。

三、错题分享：

在现行的学习体制下，学生之间的竞争意识很强，但是主动交流分享意识非常薄弱。其实同学就是一个巨大的学习资源库，只要每个学生都愿意敞开心扉，真诚地交流，相互扶持，相互帮助和鼓励，学生就可以从同学身上学到很多东西。正所谓“你有一种思想，我有一种思想，交流之后我们就同时拥有了两种思想”，学生之间的错题集也可以相互交流。这是因为每个学生出错的原因各不相同，所以每个人建立的错题集也不同，通过相互交流可以从别人的错误中汲取教训，拓展自己的视野，得到启发，以警示自己不犯同样错误。不同的人从相同的题目中得到的是不同的体会，通过交流大家就可以领略到知识的不同侧面，从而对知识掌握得更加牢固。在交流的氛围中，学生改变了学习方式，增强了学习数学的积极性。

四、错题应用：

将错题收集在一起并改正，还不能完全说明学生对这一知识点的漏洞就补好了。最好的状况是对于每一个错题，学生自己还必须查找资料，找出与之相同或相关的题型，进行练习解答。如果没有困难，则说明学生对这一知识点可能已经掌握。此时，学生可以尝试着进行更高难度的事情：错题改编。将题目中的条件和结论换一下，还成立吗?把条件减弱或者把结论加强，命题还成立吗?或者尝试着编一道类似的题目，还能做吗?经历了这么一个思维洗礼，学生对知识的理解会更深刻，对方法的把握会更透彻，不管条件怎么变，他们基本上都可以应付自如了。一般情况下，学生在学校可能没有这么充裕的时间来做这样的事情，但是学生之间相互协助，每人找一个类型的题目，或者每人提出一个想法，全班合起来就基本找全了所有的题型，改编了很多道类似的题目。

篇3：中考数学知识点总结

初中数学课程改革向纵深发展催生了中考数学命题的历史性革命,两者相辅相成,相得益彰。从初中数学新课程改革我们触摸到了中考数学命题改革的脉动,探索到了中考数学命题的焦点,突出了考察学生能力的发展轨迹。

一、初中数学新改革给初中数学教学带来的新信息与新变化集中体现在这样三个方面:

一是注重科学引入新课,既重视解题结论又关注解题过程。初中数学新教材有一个显著的变化,就是在每一章节导入新知识的时候,突出了对新知识的来源的重视。之所以这样做,是因为要使学生充分明白要解决新的数学问题就必须要学习新的数学知识。比如教学有理数引入时,教材从温度、海拔高度以及表示相反方向等多个方面和角度,对引入负数的必要性进行了多层次、立体化的引导和说明。这样学生对有理数的求知欲和学习兴趣就会有效地激发出来,同时学生在数学学习中的方法也既重视解题的结论又重视解题的过程。

二是要求学生动手操作,提高学生实践和解决问题的能力。注重提高学生的思维能力、实践能力和解决问题的能力是初中数学新课程的一个显著特点。几何教材就是一个很好的说明,教材中的实验课就是要求学生自己动手操作,在几何图形的实际操作实践中归纳出其初步的概念。学生自己动手既使他们对学习几何图形兴趣盎然,更重要的是培养与提升了他们解决问题的能力。中考试卷中类似这样的题目也屡见不鲜,例如:用相同的两个等腰直角三角形,可以拼出不同的平行四边形多少个?对于这样的题目学生只要用笔在纸上或用手指在桌面上比划一下,结论就会很快得出。

三是强化对语言理解、正确书写和流畅表达能力的培养。培养和提高学生的语言理解能力和表达能力是学好数学的重要前提,语言理解与语言表达能力是促进学生在数学学科有效发展的关键。当前,初中学生由于语言理解能力和表达能力较弱,严重影响和制约了他们的数学学习。例如要想证明:两组对应角相等的两个三角形是相似三角形。这样的结论几乎对于所有的同学都没有什么难度。然而如果要求学生把完整的证明过程用语言或文字表达出来,他们就感到力不从心,困难重重。无法正确地表达,也不知如何书写,直接导致学生在中考中拿不到分。初中数学新课程明显加大了培养和提高学生语言理解能力和表达能力的力度,主要是要求学生更清晰、流畅、正确地复述定义和概念等,强化了对这方面的要求。

二、最近几年来中考数学命题出现的新变化透视

1.命题的重点聚焦在学生运用数学知识解决实际问题的能力上。全面审视分析最近几年的中考数学试题,从中我们可以明显感觉到其发生的变化。中考是中等学校招收学生最具权威的选拔性考试,因此,考题既注重考查学生掌握“双基”的能力,又重视考查学生的数学分析、思维、应用、运算等能力,试题的一个鲜明亮点是试题带有很强的开放性,强调学生在解题过程中的应用性,培养学生的创新意识,而且试题新颖,时代感很强。

例如:(1)中国移动通信集团江苏有限公司移动通信公司新近推出了两种通信业务,使用“全球通”需缴20元月基础费,之后每一分钟通话费需0.10元;使用“神州行”免基础费,每一分钟通话费为0.2元。如果一个月的通话时间为X分钟,这两种通信业务的费用分别为X和Y元。①分别写出两种通信业务的函数关系式;②如果两种通信业务费用相同,那么一个月中的通话时间是多少分钟?③一客户计划一个月中使用话费100元,哪种业务对其比较合算?

(2)2007年中国女子足球队展现了“铿锵玫瑰”的靓丽风采,在2008年北京奥运会女子足球亚洲区预选赛中,她们昂首挺进决赛。预选赛的6场比赛中她们表现勇猛,取胜的场次是平局场次与负局场次之和的4 倍,而且平局与负局的场次一样。已知胜、平、负一场各得3 分、1分、0分,求中国女子足球队的总积分为多少?这样的试题所涉及的内容就出现在学生们的生活中,学生们对此不感陌生,而且考查的都是学生灵活运用数学知识解决实际问题的能力。

篇4：浅议中考数学的知识与能力准备

【关键词】中考数学压轴题知识方面的准备能力方面的准备

中考数学既是检测性考试又是选拔性考试，而中考数学压轴题是中考选拔功能的集中体现。中考数学压轴题是对学生所学知识的灵活运用及分析问题解决问题能力的全面考查；由于压轴题的结构新颖灵活、知识覆盖面广、综合性强，难度系数大，既考查基础知识和基本技能，又考查数学思想方法和数学能力，要求同学们具有很强的分析推理能力，有较大的区分度，是中考数学得高分的关键。

纵观近几年的中考数学压轴题，从知识结构分析可分为三大类型：一是以几何图形为主干的综合题，二是以函数图象为主干的综合题，三是前二者复合的综合题。它们均跨越代数、几何、三角等多个知识点，囊括了整个初中数学的重要思想和方法，对学生能力的要求相当高。笔者就自己的教学谈一谈对中考数学压轴题分析的知识方面与能力方面的准备

例28．(本小题满分12分) （2011成都中考数学压轴题）

如图，在平面直角坐标系xOy中，△ABC的A、B两个顶点分别在x轴上原点的左右两侧，顶点C在y轴的负半轴上．已知│OA│∶│OB│=1∶5，│OB│=│OC│,△ABC的面积S△ABC=15，抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)

经过A、B、C三点。

(1)求此抛物线的函数表达式；

(2)设E是y轴右侧抛物线上异于点B的一个动点，过点E作x轴的平行线交抛物线于另一点F，过点F作FG垂直于x轴于点G，再过点E作EH垂直于x轴于点H，得到矩形EFGH．则在点E的运动过程中，当矩形EFGH为正方形时，求出该正方形的边长；

(3)在抛物线上是否存在异于B、C的点M，使△MBC中BC边上的高为？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由。

这是一道以函数和几何图形的综合作为的压轴题形式，用到三角形、正方形、比例、距求點、求抛物线的表达式的有关知识、还重点用到了动态几何问题与存在性问题的分析法。这种题是近年来中考命题的热点，且几乎都是压轴题。由于这种把函数与方程、函数与几何、函数与解直角三角形的联系集于一身的题型灵活性强，难度较大，解这类题目要求考生必须具备扎实的数学基本功、较强的观察力、丰富的想象力及综合分析问题的能力。那么对中考数学我们应该做怎么样的知识方面与能力方面的准备呢？

一、知识方面的准备

（一）对基础知识、基本技能、基本数学思想方法要全方面的落实理解到位

1.在中考数学复习中，必须扎扎实实地夯实基础。

在复习中，要把课本中所涉及的概念、公式、公理、定理、法则等重要知识点进行必要的梳理和归纳，理解各知识点之间的内在联系，在大脑中形成完整的知识网络；另一方面要认真钻研课本中典型的例题和习题，努力做到懂一题，知一类。

2.重视基本题型、基本方法、基本技能的理解

中考数学命题除了着重考查基础知识外，还十分重视对数学方法的考查，如配方法，换元法，判别式法，又如坐标系中点求距与距求点的转化方法等操作性较强的数学方法。在复习时应对每一种方法的实质，它所适应的题型，包括解题步骤应熟练掌握。

3.重视初中数学常用的数学思想和方法，如转化思想、方程思想、函数思想、数形结合思想、分类讨论思想和配方法等。

数学思想方法揭示了概念、原理、规律的本质，是沟通基础与能力的桥梁。熟练掌握和有意识地运用这些思想和方法，可以克服我们在解题时就题论题，使我们在解题时，能够站的更高，提高分析问题、解决问题的能力，进一步提升我们的思维品质。

（二）对初高中知识的衔接点要补充到位

应补充的内容有：平行线等分线段定理、平行线分线段成比例定理、三角形的角平分线定理、射影定理、等差数列计算公式、两点间距离公式等。

二、能力方面的准备解题能力的培养

（一）审题要慢

这是解题的开始，也是解题的基础。一定要全面审视题目的所有条件和答题要求，以求正确、全面理解题意，在整体上把握试题的特点、结构，以利于解题方法的选择和解题步骤的设计。只有细致地审题，才能从题目本身获得尽可能多的信息。这一步，不要怕慢，其实“慢”中有“快”，解题方向明确，解题手段合理得当，这是“快”的前提和保证。否则,欲速则不达。

（二）确定合理的解题思路和方法

基础题与典型题按平时训练可以很快解题思路和方法，而对于不熟悉的新题型及实际应用的题型切忌套用机械的模式寻求解题思路和方法，而应从各个不同的侧面、不同的角度，识别题目的条件和结论，认识条件和结论之间的关系、图形的几何特征与数、式的数量、结构特征的关系，谨慎地确定解题的思路和方法。当思维受阻时，要及时调整思路和方法，并重新审视题意，注意挖掘隐蔽的条件和内在联系，既要防止钻牛角尖，又要防止轻易放弃。

（三）压轴题要重分析

中考要取得高分，攻克最后压轴题是关键。很多年来，中考都是以函数和几何图形的综合作为压轴题的主要形式，用到三角形、四边形、和圆的有关知识。

1.解压轴题首先注意分析它各个小题之间逻辑结构

搞清楚它的各个小题之间的关系是“并列”的还是“递进”的，这一点非常重要。

2.解压轴题其次注意分析它的知识结构与方法结构

篇5：中考数学知识点总结

1.了解一元二次方程及有关概念，一般式ax2+bx+c=0(a≠0)及其派生的概念，应用一元二次方程概念解决一些简单题目。

2.掌握通过配方法、公式法、因式分解法降次──解一元二次方程，掌握依据实际问题建立一元二次方程的数学模型的方法，应用熟练掌握以上知识解决问题。

二、重点

1.一元二次方程及其它有关的概念及其一般形式和一元二次方程的有关概念并用这些概念解决问题。

2.判定一个数是否是方程的根;

3.用配方法、公式法、因式分解法降次──解一元二次方程。

4.运用开平方法解形如(x+m)2=n(n≥0)的方程，领会降次──转化的数学思想。

5.利用实际问题建立一元二次方程的数学模型，并解决这个问题.

三、难点

1.一元二次方程配方法解题。

2.通过提出问题，建立一元二次方程的数学模型，再由一元一次方程的概念迁移到一元二次方程的概念。

3.用公式法解一元二次方程时的讨论。

4.通过根据平方根的意义解形如x2=n，知识迁移到根据平方根的意义解形如(x+m)2=n(n≥0)的方程。

5.建立一元二次方程实际问题的数学模型，方程解与实际问题解的区别。

6.由实际问题列出的一元二次方程解出根后还要考虑这些根是否确定是实际问题的根。

7.知识框架

四、知识点、概念总结

1.一元二次方程：方程两边都是整式，只含有一个未知数(一元)，并且未知数的最高次数是2(二次)的方程，叫做一元二次方程。

2.一元二次方程有四个特点：

(1)含有一个未知数;

(2)且未知数次数最高次数是2;

(3)是整式方程。要判断一个方程是否为一元二次方程，先看它是否为整式方程，若是，再对它进行整理。如果能整理为 ax2+bx+c=0(a≠0)的形式，则这个方程就为一元二次方程。

(4)将方程化为一般形式：ax2+bx+c=0时，应满足(a≠0)

3. 一元二次方程的一般形式：一般地，任何一个关于x的一元二次方程，经过整理，都能化成如下形式ax2+bx+c=0(a≠0)。

篇6：中考数学圆知识点总结

了解不在同一条直线上的三个点确定一个圆，以及过不在同一条直线上的三个点作圆的方法，了解三角形的外接圆、三角形的外心等概念.

(二)能力训练要求

1.经历不在同一条直线上的三个点确定一个圆的探索过程，培养学生的探索能力.

2.通过探索不在同一条直线上的三个点确定一个圆的问题，进一步体会解决数学问题的策略.

(三)情感与价值观要求

1.形成解决问题的一些基本策略，体验解决问题策略的多样性，发展实践能力与创新精神.

2.学会与人合作，并能与他人交流思维的过程和结果.

教学重点

1.经历不在同一条直线上的三个点确定一个圆的探索过程，并能掌握这个结论.

2.掌握过不在同一条直线上的三个点作圆的方法.

3.了解三角形的外接圆、三角形的外心等概念.

教学难点

经历不在同一条直线上的三个点确定一个圆的探索过程，并能过不在同一条直线上的三个点作圆.

教学方法

教师指导学生自主探索交流法.

教具准备

投影片三张

第一张：(记作§3.4A)

第二张：(记作§3.4B)

第三张：(记作 §3.4C)

教学过程

Ⅰ.创设问题情境，引入新课

[师]我们知道经过一点可以作无数条直线，经过两点只能作一条直线.那么，经过一点能作几个圆?经过两点、三点……呢?本节课我们将进行有关探索.

Ⅱ.新课讲解

1.回忆及思考

投影片(§3.4A)

1.线段垂直平分线的性质及作法.

2.作圆的关键是什么?

[生]1.线段垂直平分线的性质是：线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等.

作法：如下图，分别以A、B为圆心，以大于 AB长为半径画弧，在AB的两侧找出两交点C、D，作直线CD，则直线CD就是线段A B的垂直平分线，直线CD上的任一点到A与B的距离相等.

[师]我们知道圆的定义是：平面上到定点的距离等于定长的所有点组成的图形叫做圆.定点即为圆心，定长即为半径.根据定义大家觉得作圆的关键是什么?

[生]由定义可知，作圆的问题实质上就是圆心和半径的问题.因此作圆的关键是确定圆心和半径的大小.确定了圆心和半径，圆就随之确定.

2.做一做(投影片§3.4B)

(1)作圆，使它经过已知点A，你能作出几个这样的圆?

(2)作圆，使它经过已知点A、B.你是如何作的?你能作出几个这样的圆?其圆心的分布有什么特点?与线段AB有什么关系?为什么?

(3)作圆，使它经过已知点A、B、C(A、B、C三点不在同一条直线上).你是如何作的?你能作出几个这样的圆?

[师]根据刚才我们的分析已知，作圆的关键是确定圆心和半径，下面请大家互相交换意见并作出解答.

[生](1)因为作圆实质上是确定圆心和半径，要经过已知点A作圆，只要圆心确定下来，半径就随之确定了下来.所以以点A以外的任意一点为圆心，以这一点与点A所连的线段为半径就可以作一个圆. 由于圆心是任意的.因此这样的圆有无数个.如图(1).

(2)已知点A、B都在圆上，它们到圆心的距离都等于半径.因此圆心到A、B的距离相等.根据前面提到过的线段的垂直平分线的性质可知，线段的垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等，则圆心应在线段AB的垂直平分线上.在AB的垂直平分线上任意取一点，都能满足到A、B两点的距离相等，所以在AB的垂直平分线上任取一点都可以作为圆心，这点到A的距离即为半径.圆就确定下来了.由于线段AB的垂直平分线上有无数点，因此有无数个圆心，作出的圆有无数个.如图(2).

(3)要作一个圆经过A、B、C三点，就是要确定一个点作为圆心，使它到三点的距离相等.因为到A、B两点距离相等的点的集合是线段AB的垂直平分线，到B、C两点距离相等的点的集合是线段BC的垂直平分线，这两条垂直平分线的交点满足到A、B、C三点的距离相等，就是所作圆的圆心.

因为两条直线的交点只有一个，所以只有一个圆心，即只能作出一个满足条件的圆.

[师]大家的分析很有道理，究竟应该怎样找圆心呢?

3.过不在同一条直线上的三点作圆.

投影片(§3.4C)

作法图示

1.连结AB、BC

2.分别作AB、BC的垂直

平分线DE和FG，DE和

FG相交于点O

3.以O为圆心，OA为半径作圆

⊙O就是所要求作的圆

他作的圆符合要求吗?与同伴交流.

[生]符合要求.

因为连结AB，作AB的垂直平分线ED，则ED上任意一点到A、B的距离相等;连结BC，作BC的垂直平分线FG，则FG上的任一点到B、C的距离相等.ED与FG的满足条件.

[师]由上可知，过已知一点可作无数个圆.过已知两点也可作无数个圆，过不在同一条直线上的三点可以作一个圆，并且只能作一个圆.

不在同一直线上的三个点确定一个圆.

4.有关定义

由上可知，经过三角形的三个顶点可以作一个圆，这个圆叫做三角形的外接圆(circumcircle of triangle)，这个三角形叫这个圆的内接三角形.

外接圆的圆心是三角形三边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心(circumcenter).

Ⅲ.课堂练习

已知锐角三角形、直角三角形、钝角三角形，分别作出它们的外接圆，它们外心的位置有怎样的特点?

解：如下图.

O为外接圆的圆心，即外心.

锐角三角形的外心在三角形的内部，直角三角形的外心在斜边上，钝角三角形的外心在三角形的外部.

Ⅳ.课时小结

本节课所学内容如下：

1.经历不在同一条直线上的三个点确定一个圆的探索过程.

方法.

3.了解三角形的外接圆，三角形的外心等概念.

Ⅴ.课后作业

习题3.6

Ⅵ.活动与探究

如下图，CD所在的直线垂直平分线段AB.怎样使用这样的工具找到圆形工件的圆心?

解：因为A、B两点在圆上，所以圆心必与A、B两点的距离相等，又因为和一条线段的两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上，所以圆心在CD所在的直线上.因此使用这样的工具可以作出圆形工件的任意两条直径.它们的交点就是圆心.

1.中考数学知识点考点汇总

2.中考数学函数公式总结

3.中考数学统计公式总结

4.2017中考数学答题技巧总结

5.中考数学答题技巧总结

6.2017初中数学知识点总结

7.2017安徽中考数学试题及答案

8.2017南京中考数学试题及答案

9.2017无锡中考数学试题及答案

篇7：中考数学知识点总结

2016深圳中考数学考点、知识点总结

一、初中数学常考知识点 Ⅰ.代数部分:(一)数与式：

1、实数：（1）实数的有关概念；常考点：倒数、相反数、绝对值(选择第1题)（2）科学记数法表示一个数(选择题前第5题)（3）实数的运算法则：混合运算（计算题）

（4）实数非负性应用：代数式求值（选择、填空）

2、代数式：代数式化简求值（解答题）

3、整式：（1）整式的概念和简单运算、化简求值（解答题）

（2）利用提公因式法、公式法进行因式分解（选择填空必考题）

4、分式：化简求值、计算（解答题）、分式取值范围（一般为填空题）（易错点：分母不为0）

5、二次根式：求取值范围、化简运算（填空、解答题）

(二)方程与不等式：

1、解分式方程（易错点：注意验根）、一元二次方程（常考解答题）

2、解不等式、解集的数轴表示、解不等式组解集（常考解答题）

3、解方程组、列方程（组）解应用题（若为分式方程仍勿忘检验）（必考解答题）

4、一元二次方程根的判别式

(三)函数及其图像

1、平面直角坐标系与函数

（1）函数自变量取值范围，并会求函数值；

（2）坐标系内点的特征；

（3）能结合图像对简单实际问题中的函数关系进行分析（选择8题）

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2、一次函数（解答题）

（1）理解正比例函数、一次函数的意义、会画图像（2）理解一次函数的性质

（3）会求解析式、与坐标轴交点、求与其他函数交点（4）解决实际问题

3、反比例函数（解答题）

（1）反比例函数的图像、意义、性质（两支，中心对称性、分类讨论）

（2）求解析式，与其他函数的交点、解决有关问题（如取值范围、面积问题）

4、二次函数（必考解答题）

（1）图像、性质（开口、对称性、顶点坐标、对称轴、与坐标轴交点等）

（2）解析式的求解、与一元二次方程综合（根与交点、判别式）

（3）解决实际问题

（4）与其他函数综合应用、求交点

（5）与特殊几何图形综合、动点问题（解答题）

Ⅱ.空间与图形

（一）图形的认识

1、立体图形、视图和展开图（选择题）

（1）几何体的三视图，几何体原型相互推倒

（2）几何体的展开图，立体模型相互推倒

2、线段、射线、直线（解答题）

（1）垂直平分线、线段中点性质及应用

（2）结合图形判断、证明线段之间的等量、和差、大小关系

（3）线段长度的求解

（4）两点间线段最短（解决路径最短问题）

3、角与角分线（解答题）

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（1）角与角之间的数量关系

（2）角分线的性质与判定（辅助线添加）

4、相交线与平行线

（1）余角、补角

（2）垂直平分线性质应用

（3）平分线性质与判定

5、三角形

（1）三角形内角和、外角、三边关系（选择题）

（2）三角形角分线、高线、中线、中位线性质应用（辅助线）

（3）三角形全等性质、判定、融入四边形证明（必考解答题）

（4）三角形运动、折叠、旋转、平移（全等变换）、拼接（探究问题）

6、等腰三角形与直角三角形

（1）等腰三角形的性质与判定、直角三角形的性质、勾股定理及逆定理

（2）等腰三角形、直角三角形与四边形或圆的综合

（3）锐角三角函数、特殊角三角函数、解直角三角形（解答题）

（4）等腰、直角、等腰直角三角形与函数综合形成的代几综合题（压轴题必考）

7、多边形：内角和公式、外角和定理（选择题）

8、四边形（解答题）

（1）平行四边形的性质、判定、结合相似、全等证明

（2）特殊的平行四边形：性质、判定、以及与轴对称、旋转、平移和函数等结合应用（动点问题、面积问题及相关函数解析式问题）

（3）梯形：一般及等腰、直角梯形的性质、与平行四边形知识结合，计算、加辅助线

8、圆（必考解答题）

（1）圆的有关概念、性质

（2）圆周角、圆心角之间的相互联系

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（3）掌握并会利用垂径定理、弧长公式、扇形面积公式，圆锥侧面面积、全面积公式

（4）圆中的位置关系：要会判断：点与圆、直线与圆、圆与圆

（5）重点：圆的证明计算题（圆的相关性质与几何图形综合）

（二）图形与变换

1、轴对称：会判断轴对称图形、能用轴对称的知识解决简单问题

2、平移：会运用平移的性质、会画出平移后的图形、能用平移的知识解决简单问题

3、旋转：理解旋转的性质（全等变换），会应用旋转的性质解决问题，会判断中心对称图形

4、相似：会用比例的基本性质、三角形相似的性质证明角相等、相似比求线段长度（解答题）

Ⅲ.统计与概率

（一）相关概念的理解与应用：平均数、中位数、众数、方差等（选择题）

（二）能利用各种统计图解决实际问题（必考，解答题）

（三）会用列举法（包括图表、树状图法）计算简单事件发生的概率（解答题，填空题）

二、初中数学各部分知识框架

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第一部分《数与式》

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定义：有理数和无理数统称实数.分类有理数：整数与分数无理数：常见类型(开方开不尽的数、与有关的数、无限不循环小数）实数实数运算法则：加、减、乘、除、乘方、开方运算定律：交换律、结合律、分配律数轴（比较大小）、相反数、倒数（负倒数）科学记数法相关概念:有效数字、平方根与算术平方根、立方根、非负式子（a2，a,a)单项式：系数与次数分类多项式：次数与项数加减法则：加减法、去括号（添括号）法则、合并同类项mnmnmnmnmnmnam01mmmamp幂的运算:aaa;aaa;(a)a,(ab)ab;();a1;ambbap整式单项式单项式；单项式多项式；多项式多项式乘法运算:单项式单项式；多项式单项式混合运算：先乘方开方，再乘除，最后算加减；同级运算自左至右顺序计算；括号优先平方差公式：(ab)(ab)a2b2乘法公式完全平方公式：(ab)2a22abb2分式的定义：分母中含可变字母分式分式有意义的条件：分母不为零分式值为零的条件：分子为零，分母不为零数与式aamaam分式;(通分与约分的根据）分式的性质：bbmbbm通分、约分，加、减、乘、除分式的运算先化简再求值（整式与分式的通分、符号变化）化简求值整体代换求值定义：式子a(a≥0)叫二次根式二次根式的意义即被开方数大于等于.0.a(a0)22二次根式的性质：(a)a;aa(a0)最简二次根式（分解质因数法化简）二次根式二次根式的相关概念同类二次根式及合并同类二次根式分母有理化（“单项式与多项式”型）加减法：先化最简，再合并同类二次根式二次根式的运算aa乘除法：abab;；（结果化简）bb定义：（与整式乘法过程相反，分解要彻底）提取公因式法：（注意系数与相同字母，要提彻底）22公式法平方差公式：ab(ab)(ab)分解因式222完全平方公式：a2abb(ab)方法2十字相乘法：x(ab)xab(xa)(xb) 分组分解法：（对称分组与不对称分组）

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第二部分《方程与不等式》

定义与解：一元一次方程解法步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1.应用：确定类型、找出关键量、数量关系定义与解：解法：代入消元法、加减消元法二元一次方程（组）方程简单的三元一次方程组：简单的二元二次方程组：定义与判别式(△=b2-4ac)一元二次方程解法：直接开平方法、配方法、求根公式法、因式分解法.分式方程定义与根（增根）：解法：去分母化为整式方程，解整式方程，验根.1.行程问题：2.工程（效）问题：3.增长率问题：（增长率与负增长率）4.数字问题：（数位变化）类型5.图形问题：（周长与面积（等积变换））方程与不等式6.销售问题：（利润与利率）方程的应用7.储蓄问题：（利息、本息和、利息税）8.分配与方案问题：1.线段图示法：常用方法2.列表法：3.直观模型法：一般不等式解法一元一次不等式条件不等式解法解法：（借助数轴）1.不等式与不等式不等式（组）2.不等式与方程一元一次不等式组应用3.不等式与函数4.最佳方案问题 5.最后一个分配问题

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第三部分《函数与图象》

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①各象限内点的特点：②坐标轴上点的特点x轴：纵坐标y=0；y轴：横坐标x=0.③平行于x轴，y轴的线段长度的求法（大坐标减小坐标）直角坐标系④不共线的几点围成的多边形的面积求法（割补法）关于x轴对称(x相同，y相反）⑤对称点的坐标关于y轴对称(x相反，y相同）关于原点O对称(x，y都相反）一、三象限角平分线：y=x正比例函数：y=kx(k≠0)（一点求解析式）二、四象限角平分线:y=-x函数表达式一次函数：y=kx+b(k≠0)（两点求解析式）增减性：y=kx与y=kx+b增减性一样，k＞0时，x增大y增大；k＜0,x增大y减小.一次函数平移性：y=kx+b可由y=kx上下平移而来；若y=k1x+b1与y=k2x+b2平行，则k1k2,b1≠b2.垂直性：若y=kx+b与y=kx+b垂直，则kk1.112212求交点：（联立函数表达式解方程组）正负性：观察图像y＞0与y＜0时，x的取值范围（图像在x轴上方或下方时，x的取值范围）k表达式：y(k≠0)(一点求解析式）x①区域性：k＞0时，图像在一、三象限；k＜0时，图像在二、四象限.k＞0在每个象限内，y随x的增大而减小；②增减性k＜0在每个象限内，y随x的增大而减小.反比例函数性质③恒值性：（图形面积与k值有关）④对称性：既是轴对称图形，又是中心对称图形.函数求交点：（联立函数表达式解方程组求交点坐标，还可由图像比较函数的大小）①一般式：y=ax2bxc,其中(a0),2（k,h)为抛物线顶点坐标；表达式②顶点式：y=a(xk)h,其中(a0),③交点式：y=a(xx)(xx),其中(a0)，x、x是函数图象与x轴交点的横坐标；1212①开口方向与大小：a＞0向上，a＜0向下；a越大，开口越小；a越小，开口越小.②对称性：对称轴直线x=-b2aa＞0，在对称轴左侧，x增大y减小；在对称轴右侧，x增大y增大；③增减性性质a＜0，在对称轴左侧，x增大y增大；在对称轴右侧，x增大y减小；2④顶点坐标：（-b,4acb）二次函数2a4a22b4acbb4acb⑤最值：当a＞0时,x=-，y最小值=；a＜0时，x=-，y最大值=.2a4a2a4a示意图：画示意图五要素（开口方向、顶点、对称轴、与x、y交点坐标）a与c：开口方向确定a的符号，抛物线与y轴交点纵坐标确定c的值；b的符号：b的符号由a与对称轴位置有关：左同右异.符号判断Δ=b24ac：Δ＞0与x轴有两个交点；Δ＝0与x轴有两个交点；Δ＜0与x轴无交点.abc：当x=1时，y=a+b+c的值.abc：当x=-1时，y=a-b+c的值. ①求函数表达式：函数应用②求交点坐标：③求围成的图形的面积(巧设坐标）：④比较函数的大小

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第四部分《图形与几何》

直线：两点确定一条直线线射线：线段：两点之间线段最短，（点到直线的距离，平行线间的距离）角的分类:锐角、直角、钝角、平角、周角.角的度量与比较：1060”，1’60”；角余角与补角的性质：同角的余角（补角）相等，等角的余角（补角）相等，角的位置关系：同位角、内错角、同旁内角、对顶角、邻补角对顶角：对顶角相等.几何初步相交线垂线：定义，垂直的判定，垂线段最短.定义：在同一平面内，不相交的两条直线叫平行线平行线性质：两直线平行，同位角相等、内错角相等、同旁内角互补；同位角相等或内错角相等或同旁内角互补，两直线平行判定：平行于同一条直线的两条直线平行 平面内，垂直于同一条直线的两直线平行的对边的邻边的对边定义：在RtABC中，sin=斜边，cos=斜边，tan=的邻边1330cos300,tan300；sin30，223三角函数2200特殊三角函数值sin45，cos45,tan4501；22310，cos600,tan3003.sin6022应用：要构造Rt△，才能使用三角函数.共 16 页

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按边分类：不等边三角形、等腰三角形、等边三角形分类按角分类：锐角三角形、直角三角形、钝角三角形三边关系：两边之和大于第三边，两边之差小于第三边；边面积与周长：C=a+b=c，S=1底高.2三角形的内角和等于180度，外角和等于360度；角三角形的一个外角等于不相邻的两内角之和；三角形的一个外角大于任何一个不相邻的内角.一般三角形中线：一条中线平分三角形的面积性质：角平分线上的点到角两边的距离相等；角平分线判定：到角两边的距离相等的点在角的平分线上.内心：三角形三条角平分线的交点，到三边距离相等.线段高：高的作法及高的位置（可以在三角形的内部、边上、外部）中位线：三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半.性质：线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等；中垂线判定：到线段两端点的距离相等的点在线段的垂直平分线上.外心：三角形三边垂直平分线的交点，到三个顶点的距离相等三角形等腰三角形的两腰相等、两底角相等，具有三线合一性质，是轴对称图形.性质等边三角形的三边上均有三线合一，三边相等，三角形等都为60度.有两边相等的三角形是等腰三角形；等腰三角形有两角相等的三角形是等腰三角形；判定有一个角为60度的等腰三角形是等边三角形；有两个角是60度的三角形是等边三角形.一个角是直角或两个锐角互余；直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半；性质直角三角形中，300的锐角所对的直角边等于斜边的一半；直角三角形勾股定理：两直角边的平方和等于斜边的平方.证一个角是直角或两个角互余；判定有一边上的中线等于这边的一半的三角形是直角三角形；勾股定理的逆定理：若a2+b2=c2，则∠C900. 全等三角形的对应边相等，对应角相等，周长、面积也相等；性质全等三角形对应线段（角平分线、中线、高、中位线等）相等.全等三角形判定：ASA，SAS，AAS，SSS，HL.

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多边形：多边形的内角和为（n-2）1800，外角和为3600.定义：一组对边平行而另一组对边不平行的四边形叫做梯形.直角梯形性质：两腰相等、对角线相等，同一底上的两角相等.梯形特殊梯形两腰相等的梯形是等腰梯形；等腰梯形判定对角线相等的梯形是等腰梯形；同一底上的两角相等的梯形是等腰梯形；两组对边分别平行且相等性质：平行四边形的两组对角分别相等两条对角线互相平分两组对边分别平行平行四边形一组对边平行且相等判定：两组对边分别相等的四边形是平行四边形.两组对角分别相等对角线互相平分共性：具有平行四边形的所有性质.性质个性：对角线相等，四个角都是直角.四边形矩形先证平行四边形，再证有一个直角；判定先证平行四边形，再证对角线相等；三个角是直角的四边形是矩形.共性：具有平行四边形的所有性质.性质个性：对角线互相垂直且每条对角线平分一组对角，四条边相等.菱形先证平行四边形，再证对角线互相垂直；判定先证平行四边形，再证一组邻边相等；四条边都相等的四边形是菱形.性质：具有平行四边形、矩形、菱形的所有性质.正方形证平行四边形矩形正方形判定证平行四边形菱形正方形1梯形：S=（上底下底）高=中位线高 2平行四边形：S=底高面积求法矩形：S长宽菱形：S=底高=对角线乘积的一半正方形：S边长边长=对角线乘积的一半

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点在圆外：d＞r点与圆的三种位置关系点在圆上：d＝r点在圆内：d＜r弓形计算：（弦、弦心距、半径、拱高）之间的关系圆的轴对称性垂径定理定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分线所对的弧在同圆或等圆中，两条弧、两条弦、两个圆心角、两个圆周角、五组量的关系：两条弦心距中有一组量相等，则其余的各组两也分别相等.同弧所对的圆周角是它所对圆心角的一半；圆的中心对称性圆周角与圆心角半圆（或直径）所对的圆周角是900；900的圆周角所对的弦是直径，所对的弧是半圆.相交线定理：圆中两弦AB、CD相交于P点，则PAPAPCPD.圆中两条平行弦所夹的弧相等.相离：d＞r直线和圆的三种位置关系相切：d＝r(距离法）相交：d＜r圆性质：圆的切线垂直于过切点的直径（或半径）圆的切线直线和圆的位置关系判定：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线.弦切角：弦切角等于它所夹的弧对的圆周角切线长定理：如图，PA=PB，PO平分∠APB2切割线定理：如图，PAPCPD.外心与内心：相离：外离（d＞R+r），内含（d＜R-r）圆和圆的位置关系相切：外切（d=R+r），内切（d=R-r）相交：R-r＜d＜R+r）nn弧长公式：l2rr弧长360180扇形面积公式：Snr21lr3602弧长圆的有关计算 1圆锥的侧面积：S侧2rlrl(r为底面圆的半径，l为母线）22圆锥的全面积：S全rrl

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第五部分《图形的变化》

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①轴对称指两个图形之间的关系，它们全等②对应点的连线段被对称轴垂直平分轴对称（折叠）③对应线段所在的直线相交于对称轴上一点（或平行）轴对称④图形折叠后常用勾股定理求线段长①指一个图形轴对称图形②轴对称图形被对称轴分成的两部分全等①平移前后两个图形全等②平移前后对应点的连线段相等且平行（或共线）平移③平移前后的对应角相等，对应线段相等且平行（或共线）④平移的两个要素：平移方向、平移距离①旋转前后的两个图形全等②旋转前后对应点与旋转中心的连线段相等，且它们的夹角等于旋转角旋转③旋转前后对应角相等，对应线段相等④旋转的三要素：旋转中心、旋转方向、旋转角①大小、比例要适中视图的画法②实线、虚线要画清平行投影：平行光线下的投影，物体平行影子平行或共线视图与投影投影中心投影：点光源射出的光线下的投影，影子不平行视点、视线、盲区投影的计算：画好图形，相似三角形性质的应用ac基本性质：adbc图形的变化bdacabcd比例的性质合比性质：bdbdacmab...m等比性质：...kk，（条件bd...n≠0)bdnbd...n2黄金分割：线段AB被点C分成AC、BC两线段（AC＞BC），满足AC=BCAB， 则点C为AB的一个黄金分割点性质：相似多边形的对应边成比例、对应角相等相似多边形判定：全部的对应边成比例、对应角相等①对应角相等、对应边成比例性质②对应线段（中线、高、角平分线、周长）的比等于相似比相似形③面积的比等于相似比的平方①有两个角相等的两个三角形相似相似图形②两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似相似三角形判定③三边对应成比例的两个三角形相似④有一条直角边与斜边对应成比例的两个直角三角形相似射影定理：在Rt△ABC中，∠C900，CD⊥AB，则AC2=ADAB，22 BC=BDAB，CD=ADBD（如图）①位似图形是一种特殊的相似图形，具有相似图形的一切性质位似图形②位似图形对应点所确定的直线过位似中心 ③通过位似可以将图形放大或缩小

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第六部分《统计与概率》

普查：总体与个体（研究对象中心词）两查抽样调查：样本与容量（无单位的数量）折线图（发展趋势与波动性横纵轴坐标单位长度要统一）三图条形图（纵坐标起点为零高度之比等于频数或频率之比）扇形图（知道各量的百分比可用加权平均数求平均值）算术平均数平均数参照平均数加权平均数三数众数(可能不止一个）中位数（排序、定位）1222方差：s2(xx)(xx)(xx)12n统计与概率n(一组数据整体被扩大n倍，平均数扩大n倍，方差扩大n2倍）；三差（一组数据整体被增加m，平均数增加m，方差不变）标准差：方差的算术平方根s极差：最大数与最小数之差（方差与标准差均衡量数据的波动性，方差越小波动越小） 必然事件：（概率为1）确定事件事件不可能事件：（概率为0）不确定事件：（概率在0与1之间）频率：（试验值，多次试验后频率会接近理论概率）比例法（数量之比、面积之比等）两率概率：求法列表法（返回与不返回的两步实验求概率）树状图（返回与不返回的两步或两步以上的试验求概率）

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篇8：中考浮力知识点及解析

1.称量法:F浮 =G-F

例:一个重10N的物体浸没在水中,弹簧秤的示数为4N,则物体受到的浮力为6N。

2.压差法:F浮=F上-F下(浮力等于物体浸在液体中受到液体对它上下表面的压力差)

例:一个立方体物体沉没在水中,上表面受到水向下的压力是20N,下表面受到水向上的压力是35N,则物体受到的浮力是15N。

3.公式法 :F浮=G排 =m排g=ρ液g V排

( 从此公式可以看出 , 浸在液体中的物体受到液体竖直向上的浮力 ,其浮力只与液体的密度和排开液体的体积有关,与浸没在液体中的深度无关。 )

例:一个物体浸没在水中,已知物体的体积是200cm3, 则物体在水中受到的浮力是2N。

4.平衡法:(1)F浮=G(漂浮和悬浮 );

(2)分析物体受力情况 , 画出受力情况图 , 根据受力分析图列出平衡方程。

用到的知识点有:二力平衡知识、合力知识、阿基米德原理(F浮 =ρ液g V排)。

例:(1)一个重30N的木块,漂浮在水面上,则物体受到的浮力是30N。

(2)一个重为120N,体积为20dm3的木块,在受到容器底部绳子的拉力的作用下在水中处于静止状态, 则绳子对木块的拉力是多大?

受力分析:木块竖直向上受到水的浮力F浮,竖直向下受到绳子的拉力F和重力G,物体处于静止状态,所以:

二、物体浮沉条件

如果物体浸没在液体中:

(1)F浮<G物体下沉ρ物>ρ液

(2)F浮=G物体悬浮ρ物=ρ液

(3)F浮>G物体上浮,最终成为漂浮,此时,F浮=Gρ物<ρ液

三、有关漂浮的计算(只对漂浮有效)

因为物体漂浮在液面上

例:一块木块漂浮在水面上,有2/5的体积露出水面,求木块的密度。

解:∴木块漂浮在水面上

四、有关密度计的问题

密度计是用来测量液体密度的仪器, 密度计在任何液体中都处于漂浮状态,所以所受浮力不变。由F浮=G可知,,因为密度计的质量m不变 ,当V排较大时,ρ液较小(即密度计浸入液中的体积越大,液体的密度越小);V排较小时,ρ液较大。 (密度计浸入液体的体积越小, 液体的密度就越大。 )所以密度计刻度是从上到下越来越大。

例:如图所示,把两支完全相同的密度计分别放在甲、乙两种液体中,所受到的浮力为F甲和F乙,则F甲____F乙;若它们的液面相平,则两液体对容器底部的压强关系是P甲____P乙。

分析:两只完全相同的密度计,重力相等。因为漂浮在液面上 ,所以所受浮力等于重力 ,而重力相等 ,故所受浮力相等。因为在甲中浸入的深度大,所以ρ甲小于ρ乙,由液体压强P=ρgh可知,在深度相同时,液体的密度越大,压强越大。所以P甲<P乙。

五、有关液面变化问题

关键就是分析物体前后所受浮力的变化, 然后根据阿基米德原理FF浮=ρ液g V排比较物体排开液体的体积的变化,就可以得出结论。

例1:一块冰漂浮在水面上,当冰完全融化后,水面是上升、下降还是不变?

分析:只要比较冰漂浮在水面上时排开水的体积与冰融化成水的体积就可得出结论。当冰漂浮在水面上时,

因为冰融化成水时,质量不变,冰熔化成水时的体积为:

所以V排=V化,所以水面不变。

例2:一池塘内有一艘装有石头的小船,当把小船内的石头全部投入到水中时, 问池塘内的水面是上升、下降还是不变?

分析:只要比较小船在装有石头时和把石头投入到水中时整个系统(船和石头)所受浮力的变化就可得出结论。

当小船装有石头在小面上漂浮时有:F浮=G总,F浮=G船+G石,当把石头投入到水中时,此时有:F′浮=F船浮+F石浮, 小船仍处于漂浮状态,小船所受浮力等于重力,所以F′浮=G船+F石浮,而石块却下沉,所以F石浮<G石,所以F′浮<F浮,由阿基米德原理F浮=ρ液g V排可知,V′排<V排,所以水面下降。

六、利用浮力测密度

1.测量密度大于水的物体的密度 (下沉)(形状不能改变 )

用弹簧测力计测出重力和物体全部浸在水中时的拉力,就可以计算出物体所受的浮力,(F浮 =G-F), 然后根据阿基米德原理(F浮 =ρ液Gv排) 计算出物体的体积 , 最后由计算出物体的密度。

物体的体积为:然后代入到ρ=m/V=G/Vg,可得物体密度的最终表达式 :

例:弹簧秤下挂一个物体,在空气中读数是1.65N,当物体全部浸入水中时,弹簧秤示数是0.9N.求:物体的密度.(g=10N/kg)

可直接代入公式进行计算,得3×103kg/m3.

2.测量密度小于水的物体的密度 ( 漂浮 ) ( 或者能改变物体的形状,使之能成为空心)

充分利用漂浮时,物体的重力等于浮力。然后利用量筒测出物体的体积就可以了。

具体操作方法:首先在量筒内装适量的水,体积记为V1,然后把物体放入到量筒中,等物体稳定后读出此时的示数为V2,最后用细针把物体全部按入水中 ,读出此时的示数为V3。

因为物体漂浮在水面上,所以),物体的体积为 :1由ρ=m/V=G/Vg可得

如果物体的密度大于水的密度, 则可以先把它做成空心的,然后再做成实心的。

如测量一块金属皮的密度,可以先把它做成一个小船,使它能漂浮在水面上,用量筒测出它的浮力(重力),然后把它捏成团,在量筒中下沉,测出它的体积。方法同上。