高中数学选修教案

高中数学选修教案（通用8篇）

篇1：高中数学选修教案

高中数学选修《合情推理与演绎推理》教案

学习目标

1。 能利用归纳推理与类比推理进行一些简单的推理;

2。 掌握演绎推理的基本方法，并能运用它们进行一些简单的推理;

3。 体会合情推理和演绎推理的区别与联系。

学习过程

一、课前准备

复习1：归纳推理是由 到 的推理。

类比推理是由 到 的推理。

合情推理的结论 。

复习2：演绎推理是由 到 的推理。

演绎推理的结论 。

复习3：归纳推理是由 到 的推理。

类比推理是由 到 的推理。

合情推理的结论 。

复习4：演绎推理是由 到 的推理。

演绎推理的结论 。

二、新课导学

※ 典型例题

例1 观察(1)(2)

由以上两式成立，推广到一般结论，写出你的推论。

变式：已知：

通过观察上述两等式的规律，请你写出一般性的命题，并给出的`证明。

例2 在 中，若 ，则 ，则在立体几何中，给出四面体性质的猜想。

变式：命题“正三角形内任一点到三边的距离等于常数，”对正四面体是否有类似的结论?

例3：已知等差数列 的公差为d ，前n项和为 ，有如下性质：

(1) ，

(2)若 ，

则 ，

类比上述性质，在等比数列 中，写出类似的性质。

例4 判断下面的推理是否正确，并用符号表示其中蕴含的推理规则：已知 是5的倍数，可知或者m+1是5的倍数，或者5m+1是5的倍数;因为5m+1不是5的倍数，所以m+1是5的倍数。

※ 动手试试

练1。若数列 的通项公式 ，记 ，试通过计算 的值，推测出

练2。代数中有乘法公式。：

再以乘法运算继续求：

…………

观察上述结果，你能做出什么猜想?

练3。 若三角形内切圆半径为r，三边长为a，b，c，则三角形的面积 ，根据类比思想，若四面体内切球半径为R，四个面的面积为 ，则四面体的体积V= 。

三、总结提升

※ 学习小结

1。 合情推理 ;结论不一定正确。

2。 演绎推理：由一般到特殊。前提和推理形式正确结论一定正确。

※ 当堂检测(时量：5分钟 满分：10分)计分：

1。 由数列 ，猜想该数列的第n项可能是( )。

A。 B。 C。 D。

2。下面四个在平面内成立的结论

①平行于同一直线的两直线平行

②一条直线如果与两条平行线中的一条垂直，则必与另一条相交

③垂直于同一直线的两直线平行

④一条直线如果与两条平行线中的一条相交，则必与另一条相交

在空间中也成立的为( )。

A。①② B。 ③④ C。 ②④ D。①③

3。在数列 中，已知 ，试归纳推理出 。

4。 用演绎推理证明函数 是增函数时的大前提是( )。

A。增函数的定义 B。函数 满足增函数的定义

C。若 ，则 D。若 ， 则

5。 设平面内有n条直线 ，其中有且仅有两条直线互相平行，任意三条直线不过同一点。若用 表示这n条直线交点的个数，则 = ;当n>4时，=(用含n的数学表达式表示)。

课后作业

1。判别下列推理是否正确：

(1)如果不买彩票，那么就不能中奖。因为你买了彩票，所以你一定中奖、

(2)因为正方形的对角线互相平分且相等，所以一个四边形的对角线互相平分且相等，则此四边形是正方形。

(3)因为 ，所以

2 证明函数 在 上是减函数。

3。 数列 满足 ，先计算数列的前4项，再归纳猜想 。

4。 求证：如果一条直线垂直于两条相交直线，那么此直线垂直于这两条相交直线所在的平面。

篇2：高中数学选修教案

教学目的与要求：

1． 解变上限定积分定义的函数，及其求导数定理，掌握牛顿—莱布尼茨公式。

2． 解广义积分的概念并会计算广义积分。

3．掌握用定积分表达和计算一些几何量与物理量（平面图形的面积、平面曲线的弧长、旋转体的体积及侧面积、平行截面面积为已知的立体体积、变力做功、引力、压力和函数的平均值等）。

5.1定积分概念 一． 定积分的定义

不考虑上述二例的几何意义，下面从数学的角度来定义定积分 定义 设函数f(x)在[a,b]上有界，在[a,b]中任意插入若干个分点，把区间[a,b]分成n个小区间，记xixixi1,i1,2,......n,max{x1,x2,......,xn}在[xi1,xi]上任意取一点i，作和式：

1)f()x.......(iii1n如果无论[a,b]作怎样分割，也无论i在[xi1,xi]怎样选取，只要0有f(i)xiI（I为一个确定的常数），则称极限I是i1nf(x)在[a,b]上的定积分，简称积分，记做

baf(x)dx即I=f(x)dx其

ab

第-35 –页 精品教学网 .net 中f(x)为被积函数，f(x)dx为积分表达式，a为积分下限，b为积分上限，x称为积分变量，[a,b]称为积分区间。注

1． 定积分还可以用语言定义 2由此定义，以上二例的结果可以表示为A=

baf(x)dx和S=v(t)dt

T1T23有定义知道ba与函数f(x)以及区间[a,b]f(x)dx表示一个具体的书，有关，而与积分变量x无关，即

baf(x)dx=f(u)du=f(t)dt

aabb4定义中的0不能用n代替

n5如果Lim0f()x存在，则它就是f(x)在[a,b]上的定积分，那iii1么f(x)必须在[a,b]上满足什么条件f(x)在[a,b]上才可积分呢？

经典反例：f(x)1]中的有理点1,x为[0，在[0，1]上不可积。

1]中的无理点0，x为[0，可见函数f(x)在什么情况下可积分并不是一件容易的事情。以下给出两个充分条件。

定理1 设f(x)在区间[a,b]上连续，则f(x)在[a,b]上可积。定理2 设f(x)在区间[a,b]上有界，且只有有限个间断点，则f(x)在[a,b]上可积。

定理3 设f(x)在区间[a,b]上单调，则f(x)在[a,b]上可积。

6几何意义

第-36 –页 精品教学网 .net 当f(x)0时，baf(x)dx表示曲边梯形的面积；当f(x) 0时，baf(x)dx表示曲边梯形的面积的负值；一般地，若f(x)在[a,b]上有正有负，则0baf(x)dx表示曲边梯形面积的代数和。

[例1]计算1exdx

解：显然f(x)在[a,b]上连续，则f(x)在[a,b]上可积，现将[0，1]分成n个等分，分点为xi取ixi作和式：

ni,i0,1,2,.....n，xi1/n，1/nnLim0i1111e[(e)n1]f(i)xiLimeLimeLime1100n0nni1i1en1nninin1n1n所以：10exdx=e-1 7．按照定义

5．2定积分的性质积分中值定理 有定积分的定义知，baf(x)dx是当ab时无意义，但为了计算及应用的方便，特作两个规定： 1． a=b时，2． a>b时，babf(x)dx=0 f(x)dx=-f(x)dx

baa 性质1：和差的定积分等于它的定积分的和差，即

ba[f(x)g(x)]dxf(x)dxg(x)dx

aabb

性质2：常数因子可以外提（可以推广到n个）

第-37 –页 精品教学网 .net bakf(x)dxkf(x)dx

ab性质3：无论a,b,c的位置如何，有

baf(x)dxf(x)dxf(x)dx

accb性质4：f(x)1则baf(x)dxba

性质5：若f(x)g(x)则性质6：baf(x)dxg(x)dx,ab

abbaf(x)dxf(x)dx

ab性质7：设在a,b，mfxM，则

bmbaafxdxMba

性质8：（积分中值定理）若f(x)在[a,b]上连续，则[a,b]上至少存 一点，使下式成立，例1．利用定积分几何意义，求定积分值上式表示介于x面积

例

2、（估计积分值）证明 2103 证： baf(x)dx(ba)f()

011x2dx

4之间0, x1, y0, y1x2dx2xx21 29912xxx在0,1 上最大值为，最小值为2

44222∴ 212xx231 第-38 –页 精品教学网 .net ∴ 230112xx21 25．3定积分的计算方法 一．变上限积分函数的导数

设函数f(x)在[a,b]上连续，x为[a,b]上任一点，显然，f(x)在[a,b]上连续，从而可积，定积分为

xaf(x)dx由于积分变量与积分上限相同，为防止混淆，修改为(x)变上限积分的函数。

xaf(t)dt（ab）称(x)是定理1：设f(x)在[a,b]上连续，则(x)导，且导数为(x)证明省略

xaf(t)dt在[a,b]上可

dx(f(t)dt)f(x)dxa定理2：如果函数f(x)在[a,b]上连续，则积分上限的函数(x)f(t)dt是f(x)在[a,b]上的一个原函数。

ax注意：

1定理说明了连续函数的原函数一定存在 2此定理指出了定积分与原函数的关系

二、基本定理 牛顿—莱伯尼兹公式

定理 如果函数F(x)是连续函数f(x)在区间[a,b]上的一个原函数，则

。(1)证 已知函数F(x)是连续函数f(x)的一个原函数，又根据前面的定理知道，积分上限的函数

第-39 –页 精品教学网 .net

也是f(x)的一个原函数。于是这两个原函数之差为某个常数，即

。(2)在上式中令x = a，得。又由的定义式及上节定积分的补充规定知，因此，C = F(a)。以F(a)代入(2)式中的C，以代入(2)式中的，可得，在上式中令x = b，就得到所要证明的公式(1)。由积分性质知，(1)式对a>b的情形同样成立。为方便起见，以后把F(b)– F(a)记成。

公式(1)叫做牛顿(Newton)-莱步尼兹(Leibniz)公式，它给定积分提供了一种有效而简便的计算方法，也称为微积分基本公式。

例1 计算定积分。

解。

例2 计算。

解。

第-40 –页 精品教学网 .net 例3 计算。

解。

例4 计算正弦曲线y = sinx在[0, ]上与x轴所围成的平面图形的面积。

解。

例5 求

解 易知这是一个型的未定式，我们利用洛必达法则来计算。

因此。

第-41 –页 精品教学网 .net 例

6、limcosxx01tlntdtx4limcosxlncosxsinx 3x04x1sinxlncosx limcosxlimlim2x0x0x04xx

11sinx limx042xcosx85．4定积分的换元法

定理：设（1）f(x)在[a,b]上连续，（2）函数x(t)在[.]上严格单调，且有连续导数，（3）t时，a(t)b 且()a,()b则有换元公式：

baf(x)dxf((t))(t)dt…….(1)注

1． 用换元法时，当用x(t)将积分变量x换成t求出原函数后，t不用回代，只要积分上下限作相应的变化即可。2． x(t)必须严格单调 3． 可以大于

4． 从左往右看，是不定积分的第二换元法；从右往左看，可以认为是第一换元法。

例

1、02x22xx2dx02x21-(x1)2dx

法一

设 x-1sin t

第-42 –页 精品教学网 .net π2π2π(1sin t)2322cos t dt20(1sint)dtπ cost2 设 法二 x2sin2t

π20原式

8 例2．设fsin4 t dt83！π3π 4！22x在,Fxx0上连续，且

x2tftdt, 证明：若f(x)为偶函数，则F(x)也是偶函数。证：

Fxx0x2tftdttux2uftdtx0

x0x2tftdt

Fx

例3． 奇偶函数在对称区间积分性质，周期函数积分性质(1)fx在[-a,a]连续，a0 x为偶数，则-axaTa当f当f(2)af(x)dx20f(x)dxaa

为奇函数，则

T-af(x)dx0

f(x)dx0f(x)dx，fx以T为周期

说明在任何长度为T的区间上的积分值是相等的。

第-43 –页 精品教学网 .net 例

4、-11x(1x2001)(ex-e-x)dx4 e原式 2011x(ex-e-x)dx

x-x

2xd(e-e)

0

2x(exex)10

例

5、4 eπcos xcos x2dxdx π222cosx2sinx1sinx2π200π 1dsin x2arctansinx21sinxπ20π 2 例

6、设f解： 设x为连续函数，且f(x)sinxπ0π0f(x)dx 求fx

则fxsinxA f(x)dxA

两边积分

 π0f(x)dx(sinxA)dx

0πAcosx0Ax0

Aππ2 1π

第-44 –页 精品教学网 .net ∴ f(x)sinx2 1π5.5定积分的分部积分法

定理：若u(x),v(x)在[a,b]上有连续导数，则

bauvdxuv|bauvdx

ab证明：因为(uv)uvuv，则有uv(uv)uv，两边取定积分。有babuvdxuv|bauvdx也可以写成：udvuv|avdu

aaabbb例1．解：10xexdx

110010xxexdxxdexxex|10edxe(e1)1 e例2．解：sin(lnx)dx

1ee1esin(lnx)dxxsin(lnx)|xdsin(lnx)esin1xcos(lnx)dx1111xee1e=esin1cos(lnx)dxesin1xcos(lnx)|1xsin(lnx)dx

11xe=esin1ecos11esin(lnx)dx

1e1=[esin1ecos11] sin(lnx)dx12例

3、设 fx1xln tdt1tx0，1求fxf

x1x1ln tlnt解：fxfdt1xdt 11t1tx

第-45 –页 精品教学网 .net

1lnx1 x2 1x11xxln例4． 设f(x)在[a,b]连

(a,b)可导，且f(x)0，F(x)x1f(t)dt证明在(a,b)内，有F(x)0 axa证：F(x)(xa)f(x)af(t)dt(xa)2x

(xa)f(x)(xa)f()(xa)2xaaxb

f(x)f()

f(x)0f(x)在(a,b)单调减，x

f()f(x)故 F(x)0

5．6定积分的近似计算 5．7广义积分 一 无穷限的广义积分

定义1 设函数f(x)在区间[a , +)上连续，取b>a，若极限

存在，则称此极限为函数f(x)在无穷区间[a , +)上的广义积分，记作，即

(1)。

第-46 –页 精品教学网 .net 这时也称广义积分分发散。

收敛；若上述极限不存在，称为广义积类似地，若极限存在，则称广义积分收敛。

设函数f(x)在区间(- ,+)上连续，如果广义积分和都收敛，则称上述两广义积分之和为函数f(x)在无穷区间(-, +)上的广义积分，记作收敛；否则就称广义积分，也称广义积分发散。

上述广义积分统称为无穷限的广义积分。

例1：计算广义积分0arctgxdx 1x2解：0barctgxarctgx122bdx=limdxlim[arctgx]|0

b01x2b21x28例2．计算广义积分sinxdx以及0sinxdx

解： 0sinxdxcosx|0(1limcosa)显然发散

a同理sinxdxsinxdxsinxdx也发散

00例3： 证明广义积分证 当p = 1时，(a>0)当p>1时收敛，当p 1时发散。

第-47 –页 精品教学网 .net , 当p1时，因此，当p > 1时，这广义积分收敛，其值为广义积分发散。

二．无界函数的广义积分

；当p1时，这现在我们把定积分推广到被积函数为无界函数的情形。

定义2 设函数f(x)在(a,b]上连续，而在点a的右领域内无界，取，如果极限(a,b]上的广义积分，仍然记作收敛。

类似地，设函数f(x)在[a,b]上除点c(a

与

都收敛，则定义

存在，则称此极限为函数f(x)在，这时也称广义积分；

(2)否则，就称广义积分发散。

第-48 –页 精品教学网 .net 例1 证明广义积分证 当q = 1时，当q < 1时收敛，当q  1时发散。，当q 1时，因此，当q < 1时，这广义积分收敛，其值为这广义积分发散。

；当q 1时，例2．计算广义积分4dx4x0

解：4dx4x0lim4dx4x004lim(24x)|0lim[224]400例3：广义积分可以相互转化

sin1x201xdx1sintdt

篇3：高中数学选修教案

本专题共分为四章, 以平面图形的对称性为主, 引入等距变换的概念, 逐步渗透, 过渡到平面图形的对称变换群, 从具体到抽象, 符合学生的认知规律;再由具体的对称变换群引出置换群与抽象群, 明确提出群的概念, 让学生的理解力、抽象思维能力达到一个新的台阶。第四章群论的神奇应用, 从抽象概念回到实际生活中, 让学生充分体会到数学的应用价值。

通过对称与群这部分内容的学习, 笔者总结出, 在教学中需要注意的几点问题:

1.平面内的对称图形的定义与学生原有的几何直观定义相比有了本质的改变, 本专题从变换的角度重新对对称图形进行了定义:

定义1若一个平面图形F在一个等距变换σ作用下的图象仍与原来重合, 则称σ为F的一个对称变换或称图形F具有对称变换σ, 此时我们也说图形F在等距变换σ的作用下保持不变, 一个图形F如果具有非恒等的对称变换, 则称F为对称图形。

在学生的头脑中始终认为对称只有轴对称和中心对称两种类型。所以此处应加以强调, 对称图形有三种:旋转变换下的对称图形, 反射变换下的对称图形, 平移变换下的对称图形。

案例一;某些图形不是轴对称图形也不是中心对称图形, 但是它在旋转或者平移变换下和原图形重合, 因此是对称图形。例如, 五角星, 在旋转变换下和原图形重合, 它就是对称图形。

2.变换概念的理解:

变换:本质为一种映射, 一种自身到自身的一一映射。无论是本节中的点变换还是后面的置换都要满足这个特点, 特别注意:平面内的等距变换包括轴反射变换, 旋转变换, 平移变换, 其中旋转变换和平移变换也是刚体运动。

3.一个正n边形所有的对称变换的全体构成群, 所有的旋转变换构成群, 所有的反射变换不构成群。

案例2:以正五边形为例:正五边形的顶点分别记作1, 2, 3, 4, 5, 令T表示将五边形变为自身的一一变换的集合。

τ1, τ2, τ3, τ4, ε, 依次表示逆时针旋转72°, 144°, 216°, 288°, 360°的双变换, ρi表示关于过i处对称轴的轴反射变换。

(注:由于变换的合成不满足交换律, 变换的合成在顺序上习惯规定为先做列变换, 再做行变换。)

(2) 映射的合成满足结合律, 故T中元素乘法满足结合律。

(3) ε为单位元。

(4) ρ12=ε, ∴ρ1的逆元为其自身, τ1与τ14互为逆元, τ12与τ13互为逆元, τ12ρ1与τ13ρ1互为逆元, τ14ρ1与τ1ρ1互为逆元。T够成一个变换群, 即为正五变形的对称群。

由变换图表可以得出: (1) 所有的旋转变换τ1, τ2, τ3, τ4, ε, 构成群T={τ1, τ2, τ3, τ4, ε}。

(2) 旋转变换的合成满足交换律, 反射和旋转的合成满足交换律, 但是反射变换的和成不满足交换律。

4.n次对称群与对称变换群的区别与联系。

n次对称群是全体n次置换构成的群, 而对称变换群通常指明是哪个图形或者哪个多项式的对称变换的全体构成的群。例如一个正n边形或者是一个n元多项式, 它的对称变换对应的置换都在n次对称群中。换句话说, 它的对称变换群是n次对称群的子群。

篇4：高中数学选修课程的开发体会

关键词：高中数学；选修课程；开发体会

一、防止“数学化”现象

就数学这门学科而言，新课改更注重的是能否学以致

用，为国家发展提供智力支持，以及能否满足个人发展的实际应用。由于我校的新课改刚刚起步，所以对教师最大的考验就是手头可参考借鉴的资料很少。为此，省教研室组织专家，编写了介于教材与课标之间的各学科教学指导意见，包括教学中的每个章节、每个模块；同时，编写了新课程的同步使用作业本。为了更好地执行新课改的要求，省教育厅还会对数学教师进行更加专业的培训。为了保证质量，还会邀请很多专家甚至是教材编写专家一起交流。另外，数学教研室还准备在报纸、杂志上开设“课改之窗”，在网络上建立“课改博客群”，与一线教师一起互动，共同探讨新课程该怎么教。

二、系统化地学习选修课程

新课改无论怎么修改标准，最基本的功能都不能缺少。所以笔者建议系统中应该具备最基本的三个功能，一个供学生自主选课，一个供教师进行查询，最后一个是管理员对系统进行管理。选课系统的参与者是参加选课的学生，选课系统的功能主要有修改密码、第一次选课（初选）、第二次选课（复选）、查询课程信息等。开设选修课的老师有权利查询学生的选修课程，所以他们参与系统的功能也必须具备修改密码、查询相关的课程信息，包括自己选修课程的学生名单等等。教务管理员则负责选课管理，主要管理功能包括：添加课程、修改密码、浏览选课情况、关闭选课人数不足15的课程。通过对这三大功能的系统分析，我们能看出每一个系统功能都有着自己突出的特色和优点，在达到用户基本需求的同时还考虑到了用户的体验感。综合统一而成的选修系统才更加完美，便于管理。

三、激发学生学习兴趣，培养学生创新能力

为了激发学生学习的积极性，还要对课程内容进行形象化，特别是对数学这样比较抽象和概念的学科。数学书上的内容著述方式多为描述，概念比较抽象，对学生的形象思维要求比较高。然而，工科某些选修课所涉及的领域日常生活当中少有接触，学生缺乏感性认识，因而很难理解某些现象及其机理。而课堂授课也只是对学生更好地理解教材起到辅助的作用。

创新是我们一直在提倡的思维，但是如何引导学生的创新思维是我们一直在思考的问题，具体到数学教学中就是把创新的思维贯穿到每一个教学环节和内容中去。将培养创新能力作为一种教学理念贯穿于教学的全过程中需要教师了解本学科的前沿和热点问题，活跃于科研活动中，将更多更新的内容传授给学生，带领他们进行更多的亲身参与的创新性实验，使他们永葆创新思

维，拥有创新能力。

归根结底，在课程中，学生是教学的主体，教师只是起着主导作用，这一基本指导思想教师不能忘记。教师的职责除了传授知识外，还要激励学生的创造性思维，引导课堂氛围。同时教师还要不断地加强教学评价艺术的修养，使自己不仅仅是知识的传播者，而且是模范，真正成为学生心目中“科学的法官”“思索的哲人”和“爱的化身”。

参考文献：

[1]郝玉梅，孙长春.浅谈新课程下学生问题意识的培养[J].白城师范学院学报，2008（3）.

[2]曹立佐，李信梅.新教学计划与新教学大纲实施之观念种种[J].中等医学教育，1995（5）.

篇5：高中数学选修教案

1．理解数学归纳法的概念，掌握数学归纳法的证明步骤．

2．通过数学归纳法的学习，体会用不完全归纳法发现规律，用数学归纳法证明规律的途径． 教学重点：

1．能用数学归纳法证明一些简单的数学命题． 2．难点：归纳→猜想→证明． 教学过程：

一、预习

1．思考并证明：平面内有n(n≥2)条直线，其中任何两条不平行，任何三条不过同一点，证明交点的个数为f(n)＝

n(n－1)． 22．小结：数学归纳法是一种证明与正整数有关的数学命题的重要方法．

主要有两个步骤、一个结论：

（1）证明当n取第一个值n0（如n0＝1或2等）时结论正确．

（2）假设n＝k时，结论正确，证明n＝k＋1时结论也正确（用上假设，递推才真）．

（3）由（1），（2）得出结论（结论写明，才算完整）．

其中第一步是递推的基础，解决了特殊性；第二步是递推的依据，解决了从有限到无限的过渡．这两步缺一不可．只有第一步，属不完全归纳法；只有第二步，假设就失去了基础．

二、课堂训练

例1 设n∈N*，F(n)＝5n＋2×3n＿1＋1，（1）当n＝1，2，3，4时，计算f(n)的值．

（2）你对f(n)的值有何猜想？用数学归纳法证明你的猜想．

例2 在平面上画n条直线，且任何两条直线都相交，其中任何三条直线不共点．问：这n条直线将平面分成多少个部分？

三、巩固练习

1．用数学归纳法证明：1＋2＋22＋…＋2n＿1＝2n－1(n∈N*)． 2．下面是某同学用数学归纳法证明命题

111n的过程，＋＋＋＝1223n(n＋1)n＋1

综上，原命题成立．

3．求证：(n＋1)(n＋2)…(n＋n)＝2n·1·3·…·（2n－1）（n∈N*）．

四、课堂小结

①归纳法：由特殊到一般，是数学发现的重要方法； ②数学归纳法的科学性：基础正确；可传递；

③数学归纳法证题程序化步骤：两个步骤，一个结论；

④数学归纳法优点：克服了完全归纳法的繁杂、不可行的缺点，又克服了不完全归纳法结论不可靠的不足，是一种科学方法，使我们认识到事情由简到繁、由特殊到一般、由有限到无穷．

五、作业

篇6：高中数学选修教案

教学目标

1、掌握椭圆的几何性质，掌握用坐标法研究直线与椭圆的位置关系

2、熟练地求弦长、面积、对称等问题

3、培养对数学的理解能力及分析问题、解决问题的能力

教学过程

1、复习回顾

椭圆的定义、几何性质

判断直线与圆的位置关系的方法

2、探索研究

直线与椭圆的位置关系：坐标法(围绕直线与椭圆的公共点展开的)，将直线方程与椭圆方程组成方程组，消元后得到一个一元二次方程，当Δ＝0时，直线与椭圆相切；当Δ＞0时，直线与椭圆相交；当Δ＜0时，直线与椭圆相离。

3、反思应用

例1 当m为何值时，直线l：y＝x＋m与椭圆9x2＋16y2＝144相切、相交、相离？ 分析：将直线方程y＝x＋m代入椭圆9x＋16y＝144中，得9x＋16(x＋m)＝144，整理，得25x2＋32mx＋16m2－144＝0，∵Δ＝(32m)2―4·25(16m2―144)＝－576m2＋14400 当Δ＝0即m＝±5时，直线与椭圆相切； 当Δ＞0即－5＜m＜5时，直线与椭圆相交；

当Δ＜0即m＜－5或m＞5时，直线与椭圆相离。

例2 已知斜率为1的直线l经过椭圆x＋4y＝4的右焦点交椭圆于A、B两点，求弦长|AB|。分析：设A(x1,y1),B(x2,y2)，由椭圆方程知：a=4,b=1,∴c=3,∴右焦点F(3,0), ∴直线l的方程为yx8353，代入椭圆得5x83x80

222

2x1x2,x1x285,|AB|2|x2x1|2(x1x2)8x1x2285

小结：弦长公式|AB|1k2|x2x1|

例3 过椭圆x2/16＋y2/4＝1内一点M(2,1)引一条弦AB，使AB被点M平分，求弦AB所在直线的方程。

解一：当弦AB的斜率不存在时，弦AB的方程为x=2，不合题意舍去

设弦AB所在直线的方程为：y－1＝k(x－2)，代入椭圆方程并整理得

(4k2＋1)x2―8(2k2―k)x＋4(k2―1)2―16＝0，又设A(x1,y1),B(x2,y2)，则x1、x2为方程的两个根，于是x1x24(2k4k22k)1，又M为AB的中点，x1x222(2k4k22k)12，解之得k＝－1/2，故所求弦AB的方程是x＋2y－4＝0 解二：设A(x1,y1),B(x2,y2)，∵M(2,1)为AB的中点，∴x1＋x2＝4,y1＋y2＝2 又∵A、B两点在椭圆上，∴x12＋4y12＝16，x,22＋4y22＝16，两式相减得x12－x22＋4(y12－y22)＝0，

283ktx1x2214k 22212kt4tx1x2214k∵OP⊥OQ，∴x1x2＋y1y2＝0，即x1x2k(x1整理得：(1k2)x1x2(1k)(12kt4t)14k222223t)k(x2223t)0

3kt(x1x2)3kt20

24kt14k4223kt220，整理得k＝4/11，2323txx1227此时

24tx1x29∵|PQ|＝20/9，1k411323t272|x2x1|2209

即(1)[()216t9]209,t1

所以所求椭圆方程为x2/4＋y2＝1

4、归纳总结

数学思想：数形结合、函数与方程

知识点：直线与椭圆的位置关系、弦长公式、中点弦问题、对称问题 作业：

1、直线l与椭圆方程为4x2＋9y2＝36交于A、B两点，并且AB的中点M(1,1)，求直线l的方程。

篇7：高中数学选修教案

乘法的运算律：（1）交换律

例1已知正方形ABCD，A（0，0），B（1，0），C（1，1），D（0，1）变换T1对应矩阵为M＝

01-1，0变换T2对应矩阵为N＝

解释。

1.510.50-1.5-1-0.50100对应的变换，计算MN，NM，比较它们是否相同，并从几何变换的角度0.50.511.5系列1-0.5-1系列2系列3

1.510.50-1.5-1-0.500.51系列31.5-0.5系列2系列1-1

（2）结合律（AB）C＝A（BC）

（3）消去律

例2 已知：A=

，B＝

篇8：高中数学选修教案

自2003年教育部颁布《高中数学新课程标准 (实验) 》以来, 从2004年至2007年相继有15个省 (区) 成为实验区, 分别为海南、广东、山东、宁夏、江苏、福建、辽宁、浙江、安徽、天津、北京、陕西、湖南、黑龙江、吉林。原则上2008年全部实施新课程, 也就是说2011年的高考考生全部使用的是新课程———模块课程。高中数学模块课程分必修课程和选修课程。必修课程由5个模块组成, 即数学1至数学5;选修课程由4个系列组成, 其中系列1、系列2是必修性质的选修课程, 分别由2个模块与3个模块组成, 系列3、系列4分别由6个专题与10个专题组成;每个模块2学分 (36学时) , 每个专题1学分 (18学时) , 每2个专题可组成1个模块。由于系列1与系列2实质上仍然是必修课程, 只有系列3与系列4可供选择, 本文欲调查系列3、系列4共计16个专题的实施现状, 即了解这16个专题在实际教学中的开设情况、实施者做了哪些调试、其影响因素是什么?并提出一些教学建议。

二、研究过程

1. 研究对象

本研究的调查对象是山西大同大学数计学院2011级数学4班的49名大一新生与农学院2011级生物科学3班的33名大一新生。涉及到的省及其市县分布情况如下:山西省的太原、大同、晋城、晋中、运城、忻州、朔州、吕梁、长治、阳泉、霍州、河津、临汾等市区;江西的上饶与吉安2个县区;青海的西宁市;新疆的石子河市;天津的蓟县;河北的唐山、衡水、仙桃等市;湖南的衡阳与郴州;吉林的洮南;河南的信阳;陕西的西安与潼林;四川的巴中;安徽的阜阳以及重庆直辖市等, 共计13个省 (包括直辖市) , 30个市县。

2. 研究方法

本研究采用问卷调查法与访谈法。在问卷中列出系列3的6个专题与系列4的10个专题, 让学生在所学的专题后面打个对勾, 并在旁边的空白处尽量回忆出本专题所学过的内容。共发放问卷82份, 除去5位复读生未使用新课程之外, 得到有效问卷77份, 有效率为94%。系列3的各个专题及内容如下:专题1:数学史选讲;专题2:信息安全与密码;专题3:球面上的几何;专题4:对称与群;专题5:欧拉公式与闭曲面分类;专题6:三等份角与数域扩充;系列4的各个专题及内容如下:专题1:几何证明选讲;专题2:矩阵与变换;专题3:数列与差分;专题4:坐标系与参数方程;专题5:不等式选讲;专题6:初等数论初步;专题7:优选法与试验设计初步;专题8:统筹法与图论初步;专题9:风险与决策;专题10:开关电路与布尔代数。

三、研究结果

下面两个表分别显示出系列3、4各个专题的实施现状:

表1结果显示, 30个地区选择系列1的数目很少, 均为个位数, 而且还有两个数为0;表2显示结果成两级分化状态, 要么接近全选, 要么几乎全不选。是什么因素导致这种状况出现呢?教材?高考考试大纲?教师?教委?抑或学校?于是访谈学生, 大多数学生的回答是这样的:“我们也不知道为什么选这个模块而不选那个?”“没人征求过我们的意见, 反正老师教什么我们就学什么。”然后, 通过电话询问普通高中的教师, 回答是“全市统一的, 学校没有选择课程的权利”, 但重点高中的老师却回答:“明确知道不考的不学, 只要有可能考的我们全学, 如系列4的模块1、模块4与模块5”, 看来在选择课程的时候, 首要因素还是考纲, 其次是学校, 学校在选择模块的时候, 是从学生的整体水平考虑的, 水平越高选择的模块数量越多。

四、讨论

高考作为一种选拔人才的机制, 对日常的高中数学教学起着强大的暗示与指引作用, 所以有必要简单地叙述一下2011年高考考试大纲对选修系列3与系列4的要求。2011年的全国高考数学统考内容分为两部分, 一部分是必考内容, 另一部分是选考内容, 从考纲来看, 无论是文科还是理科, 作为选考内容, 对系列3均没有要求。选考内容有三道题, 是分别针对系列4的专题1、专题4与专题5的, 考生在这三道题目中任意选做一道。考纲中对这三个专题的考试内容与要求分别做了详细的说明。

1. 选修系列3的开设与调试现状

从表1整体来看, 零零星星, 不受重视。从内容上来看, 专题1与专题2无人问津, 专题4只有仙桃、巴中、重庆与西宁四个市区选择, 占30个市区的13.3%;专题3、专题5与专题6只有山西的部分市区选择, 其中包括大同、朔州、吕梁、霍州与阳泉五个市区, 也只占30个市区的16.7%;从所涉及的省份来看, 本研究一共涉及13个省, 只有山西、河北、四川、重庆与青海五个省, 占总数的38.5%;从教学中所涉及的具体内容来看, 虽然系列1的数学史作为一个专题没有进行过专门的学习, 但几乎所有的学生都反映, 教师在课堂教学中均穿插过令人记忆犹新的数学史故事。至于专题2所涉及到的信息安全与密码部分, 没有被选的主要原因从学生那里无法看出, 经询问, 学生们反映从没听过。专题4所涉及的对称与群是现代数学分支之一的《抽象代数》或《近世代数》的基础内容, 高度抽象, 在各个领域应用广泛, 但只有河北、四川、重庆与青海四个省涉及, 约占总数的31%, 所学内容包含关于面对称, 关于线对称与关于点对称, 群并没有涉及, 后经过访谈发现, 对这些内容的学习并没有专门作为一个专题去学, 而是穿插在几何的教学当中提及过;至于专题3、5、6的情况同专题4一样, 虽然从问卷上反映出来是选择了, 但经过进一步的谈话发现其实并没有专门学习。至此, 得出调查的结论是系列3形同虚设。主要原因不作为是高考考试内容之内。

2. 选修系列4的开设与调试现状

从2011年高考考试大纲上看, 只涉及系列4的专题1、专题4与专题5。从问卷的统计结果表2中也明显地反映出来, 专题1、4、5的选择率最高, 分别为76.7%、93.3%、86.7%, 充分体现出高考考试大纲强大的引导性作用。于是进一步对这三个专题的选择情况进行了分析, 结果显示, 三个专题全部选择的有13个市区, 占总数30的43.3%;经过进一步的访谈发现, 所选的这些学校在当地均为一流的学校, 普通中学没有全选的。在三个专题中选择了其中的两个进行学习的市区有17个, 占总数30的56.7%, 说明多数的地方选择了三选二的方式, 尤其是普通中学。专题3的数列与差分选择情况, 从卷面上看, 有18个市区选择了, 但从问卷中反映出的所学的内容来看, 只包括等差数列与等比数列, 而且对数列的学习其实是在必修模块5中进行的, 并没有涉及到差分, 所以, 实质上并没有地区专门选择这个专题去学;专题2的矩阵与变换、专题6的初等数论初步、专题8的统筹法与图论初步以及专题9的风险与决策等, 没有一个市区涉猎, 形同虚设;其余的2个, 包括专题7与专题10只有1个或2个地区选择, 星星点点, 其中专题7的优选法与试验设计初步在湖南省郴州市的安仁县研究的主要内容是用数学方法解决实际生活中的问题。例如, 生产过程中原料的投放;用最小的投入得到最大的收益;试探性地用最快速度获得生产的最好方法以求最大效益等;在湖南省衡阳市主要介绍了0.618法与分数法等。关于专题10的开关电路与布尔代数的选择情况, 显示问卷中只有山西霍州市选择, 于是, 针对霍州的学生进行了访谈, 访谈结果是老师只是略略地提及到大学数学课程中有一门课程叫《离散数学》, 其中涉及到用数学的方法来研究开关电路, 比如用0与1来表示电路的开与关, 然后根据一些特定的代数运算而非物理方法来确定电路的开关情况, 但实际教学中并没有占用专门的教学时间去学习开关电路与布尔代数, 所以专题10的实际实施情况可以说是没有被选择, 仍然形同虚设。总之, 系列4的开设与调试现状可以概括为:专题4、专题5与专题1的被选率最高, 由高到低分别为93.3%、86.7%、76.7%, 而且56.7%的地区采用了三选二的方式;专题7与专题10只是部分地区的部分教师提及到或初步介绍了一点, 其余五个部分形同虚设。

3. 系列4被选专题内容的实施情况

2011年高考考试大纲对系列4的专题1的考试内容与要求有8条, 但主要学习内容集中于前3条, 即直角三角形射影定理与圆的相关内容, 包括圆周角定理、圆内接四边形的性质定理与判定定理、相交弦定理与切割线定理等考纲上要求的内容全部学习了, 并要求深刻掌握, 熟练应用, 高于考纲的要求;第5条与第8条的实施情况与考纲的要求基本符合, 即只达到了解的程度, 而且教学方法是采用了直观的演示法, 让学生感受并观察了平面与圆锥面的的交线随着该平面的倾斜程度不同, 从而得到的交线的图形不同这一变化过程, 但并不没有进行证明;第6条与第7条, 即涉及到丹迪林 (Dandelin) 双球的内容并没有学习。总之, 专题1的学习情况可以概括如下:传统教材有的内容教师比较熟悉, 挖掘的比较深, 新的内容尽量避开。

专题4是坐标系与参数方程。考纲对坐标系的要求是理解坐标系的作用、了解平面直角坐标系下图形的伸缩变化、能够进行直角坐标与极坐标的互化, 能利用极坐标建立合适的方程, 并理解用方程表示平面图形时选择适当坐标系的意义、而对于柱坐标系、球坐标系, 只要求了解各自表示空间一点位置的方法, 并能与其在空间直角坐标系的表示方法进行比较, 了解它们的区别。但从问卷的调查结果显示, 非重点学校并不介绍柱坐标系与球坐标系, 主要集中在极坐标及其应用之上。对于参数方程, 内容包括直线、圆、圆锥曲线、平摆线与渐开线, 其处理方式与坐标系相似, 一般学校只集中于直线、圆与圆锥曲线的参数方程, 并不介绍平摆线与渐开线的生成与参数方程, 而重点学校则全部学习。总之, 专题4的学习情况可以概括如下:普通学校求少求精, 重点学校既广又精。

专题5是不等式选讲。内容涉及绝对值不等式、均值不等式、柯西不等式 (包括其向量形式、坐标形式、一般形式等几种不同的表示形式) 、排序不等式、贝努利不等式。方法涉及比较法、综合法、分析法、反证法、放缩法、参数配方法、向量递归法与数学归纳法等。题型涉及解不等式、证明不等式、求函数的极值问题、数学归纳法的简单应用等。对这一专题的处理情况如下:所有学校集中于绝对值不等式与均值不等式, 近三分之一的学校学习了柯西不等式, 没有学校介绍过排序不等式与贝努利不等式。可见, 专题5的处理情况与专题4一样, 依据学校的层次与学生的接受能力而选择内容及其深度, 层次低的少而精, 层次高的广而精。

从以上3个专题的实施现状来看, 对于学生而言, 是没有选择课程的权利的, 对于学校, 选择课程的首要因素是上一级的市教研室, 其次是学校的层次, 着眼点是学生的实际学习水平。而最终的指挥棒是高考考试大纲, 《课程标准》此时不再是考虑的对象。

五、思考与教学建议

从课程实施的形态看, 正式课程 (即由教育行政部门规定的课程计划、课程标准与教材) 与运作课程 (即课堂上实际实施的课程) 之间的差距是比较大的。从定量的角度分析, 正式课程提出的16个专题, 只有3个被选的, 占19%, 而这3个也是高考考纲中提到的, 试想, 如果考纲不提及的话, 全国范围内会不会有学校主动开设这些选修课程呢?考纲与《课程标准》两者的关系是否值得研究?

1. 关于数学史的教学建议

虽然调查结果显示系列1的数学史作为一个专题没有进行过专门的学习, 但几乎所有的学生对相关的数学史并不陌生, 一方面源于教材中“阅读与欣赏”提供的相关材料, 如在人教版B版的必修5中, 第一章的解三角形中附有“亚历山大时期的三角测量”、在第二章的数列中附有“级数趣题”与“无穷与悖论”;另一方面, 从教师的言语中得到;第三, 学生通过网络查询。于是设想, 是否可以考虑数学史专题应该让教师作为一门必修课去学习, 然后结合实际教学将自己的所学渗透或穿插在课堂教学中, 并引导感兴趣的学生课下查阅、讲故事、撰写报告, 而不必要让高中生专门抽出本来就很紧张的教学时间进行专门学习。因为这一部分内容的教育价值主要体现在提升教师与学生的数学文化素养, “是为对数学有兴趣并希望进一步提高数学素养的学生而开设”, [2]这是一个潜移默化的可以由教师的言传身教去实施的。但首先要教师学习, 可以尝试在高中数学教师继续教育课程中去学习, 如“国培计划”项目, 或在教研活动中由各位教师分别承担, 然后共同分享, 或许这样做既不增加一线教师的负担, 又更具有实效性。

2. 关于师范院校数学系课程开设的教学建议

中学数学课程、高等师范院校的课程以及继续教育课程应该相互关照。系列3、4的部分专题, 如开关电路与布尔代数、信息安全与密码、欧拉公式与闭曲面的分类、初等数论等相关课程高中数学教师很少有人学过 (我作为大学数学教师也没有学过) , 更谈不上去教学了, 这给了我们一个启发, 就是大学数学课程尤其是师范院校的数学课程应该开设齐全 (比如以校本课程的形式实施) , 这也是繁荣高师《数学教学论》教学研究的一个挈机, 如果再没有举动的话, 势必会对《课程标准》的影响力大打折扣, 导致新课程改革仍然是换汤不换药的性质。事实上, 在一线教师的眼中, 那本厚厚的《课程标准解读》的价值远没有几页薄薄的高考考试大纲实实在在。

参考文献