《正弦定理》教学案例设计分析

《正弦定理》教学案例设计分析（精选6篇）

篇1：《正弦定理》教学案例设计分析

教学过程：(一)创设问题情景

课前放映一些有关军事题材的图片，并在课首给出引例：一天，我核潜艇A正在某海域执行巡逻任务，突然发现其正东处有一敌艇B正以30海里/小时的速度朝北偏西40°方向航行。经研究，决定向其发射鱼雷给以威慑性打击。已知鱼雷的速度为60海里/小时，问怎样确定发射角度可击中敌舰?

[设计一个学生比较感兴趣的实际问题，吸引学生注意力，使其立刻进入到研究者的角色中来!]

(二)启发引导学生数学地观察问题，构建数学模型。

用几何画板模拟演示鱼雷及敌舰行踪,在探讨鱼雷发射角度的过程中，抽象出一个解三角形问题：

1、考察角A的范围，回忆“大边对大角”的性质

2、让学生猜测角A的准确角度，由AC=2BC,从而B=2A

从而抽象出一个雏形:

3、测量角A的实际角度,与猜测有误差,从而产生矛盾:

定性研究如何转化为定量研究?

4、进一步修正雏形中的公式,启发学生大胆想象:以及等

[直觉先行,思辨引路,在矛盾冲突中引发学生积极的思维!]

(三)引导学生用“特例到一般”的研究方法，猜想数学规律。

提出问题:

1、如何对以上等式进行检验呢?激发学生思维，从自身熟悉的特例(直角三角形)入手进行研究，筛选出能成立的等式。

2、那这一结论对任意三角形都适用吗?指导学生用刻度尺、圆规、计算器等工具对一般三角形进行验证。

3、让学生总结实验结果，得出猜想：

在三角形中，角与所对的边满足关系

[“特例→类比→猜想”是一种常用的科学的研究思路!]

(四)让学生进行各种尝试，探寻理论证明的方法。

提出问题:

1、如何把猜想变成定理呢?使学生注意到猜想和定理的区别，强化学生思维的严密性。

2、怎样进行理论证明呢?培养学生的转化思想，通过作高转化为熟悉的直角三角形进行证明。

3、你能找出它们的比值吗?借以检验学生是否掌握了以上的研究思路。用几何画板动画演示，找到比值，突破难点。

4、将猜想变为定理，并用以解决课首提出的问题，并进行适当的思想教育。

[学生成为发现者，成为创造者!让学生享受成功的喜悦!]

(五)反思总结，布置作业

1、正弦定理具有对称和谐美

2、“类比→实验→猜想→证明”是一种常用的研究问题的思路和方法

课下思考：三角形中还有其它的边角定量关系吗?

六、板书设计：

正弦定理

问题：大边对大角→边角准确的量化关系?

研究思路：特例→类比→实验→猜想→证明

结论：在△ABC中，边与所对角满足关系：

七、课后反思

本节课授课对象为实验班的学生，学习基础较好。同时，考虑到这是一节探究课，授课前并没有告诉学生授课内容。学生在未经预习不知正弦定理内容和证明方法的前提下，在教师预设的思路中，一步步发现了定理并证明了定理，感受到了创造的快乐，激发了学习数学的兴趣。

(一)、通过创设教学情境，激活了学生思维。从认知的角度看，情境可视为一种信息载体，一种知识产生的背景。本节课数学情境的创设突出了以下两点：

1.从有利于学生主动探索设计数学情境。新课标指出：学生的数学学习内容应当是现实的、有趣的和富有挑战性的。从心理学的角度看，青少年有一种好奇的心态、探究的心理。因此，本教案紧紧地抓住高二学生的这一特征，利用“正弦定理的发现和证明”这一富有挑战性和探索性的材料，精心设计教学情境，使学生在观察、实验、猜想、验证、推理等活动中，逐步形成创新意识。

2.以问题为导向设计教学情境。“问题是数学的心脏”，本节课数学情境的设计处处以问题为导向：“怎样调整发射角度呢?”、“我们的工作该怎样进行呢?”、“我们的‘根据地’是什么?”、“对任意三角形都成立吗?”……促使学生去思考问题，去发现问题。

(二)、创造性地使用了教材。数学教学的核心是学生的“再创造”，新课标提倡教师创造性地使用教材。本节课从问题情境的创造到数学实验的操作，再到证明方法的发现，都对教材作了一定的调整和拓展，使其更符合学生的思维习惯和认知水平，使学生在知识的形成过程、发展过程中展开思维，发展了学生的能力。

(三)数学实验走进了课堂，这一朴实无华而又意义重大的科学研究的思路和方法给了学生成功的快乐;这一思维模式的养成也为学生的终身发展提供了有利的武器。

一些遗憾：由于这种探究课型在平时的教学中还不够深入，有些学生往往以一种观赏者的身份参与其中，主动探究意识不强，思维水平没有达到足够的提升。但相信随着课改实验的深入，这种状况会逐步改善。

一些感悟：轻松愉快的课堂是学生思维发展的天地，是合作交流、探索创新的主阵地，是思想教育的好场所。新课标下的课堂是学生和教师共同成长的舞台!

篇2：《正弦定理》教学案例设计分析

教学目标：

1、理解并掌握正弦定理，总结归纳用正弦定理解三角形问题的步骤。

2、探究证明定理的方法，理解正弦定理是对任意三角形中“大边对大角、小边对小角”的量化研究，从中体会知识的发生发展过程。

3、在探究及其证明的过程中，培养学生发现问题、解决问题的能力，初步感知数学中由定性到定量的思维方法。

教学任务分析：

正余弦定理作为解三角形的基础，重要性不言而喻。一方面它们可以合力解决数学中的大量问题；另一方面，它们在实践中也发挥着重大作用，比如距离、高度、速度等的测量。这节课是正弦定理的第一节课，需要先证明正弦定理和明确正弦定理可以解决哪些三角形问题。正弦定理的证明方法有很多，比如平面几何法和向量法，也是简单的方法，可是它们都无法轻易得出比值是2R这一结论，因而我在教学中采用外接圆的方法，将三角形内角转化成直角三角形中的锐角，再利用锐角三角函数得出定理，过程稍稍复杂，可对于提高学生分析问题、解决问题的能力还是有帮助的。这节课还会通过练习让学生总结归纳正弦定理解三角形的类型和方法。综上，我将本节课的教学重点定为：正弦定理的证明及其使用。学生情况分析：

一方面，正弦定理和余弦定理作为解三角形的理论基础，它们形式简洁漂亮，学生易于接受。在探究证明方法时，学生也具备一定的分析问题的能力，也储备了一些知识，比如初中时平面几何中的知识和已经学习过的三角函数的知识，他们也知道也将问题做类比和转化，这些无疑都是有利的。可是，另一方面，高一的学生在综合应用所学知识上还有欠缺，思维也不够缜密，比如这节课从直角三角形中得到边角关系后，接下来要证明在任意三角形中也成立，学生可能束手无策，不知道将问题引向何处，这时就需要教师的引导。另外，现在很多学生运算能力相对薄弱，也会导致用正弦定理解三角形时漏解或多解情况的出现。总之，我认为学好正余弦定理也是将学生的思维水平和运算能力提高的一个好机会。综上，我将本节课的教学难点定为：

1、探究定理证明的方法，比值等于2R的由来。

2、由正弦函数在区间上的单调性分析正弦

3、应用正弦定理解决第二类问题时，可能教学工具：多媒体课件。教学过程：

一、创设问题情境，引入新课 问题1：初 问题2：对对小角”仅是的知识得到这

中时你学过哪些关于三角形边角关系的结论？ 于任意三角形中的边角关系“大边对大角、小边一种感性认识，或者说定性分析，能否利用所学个边角关系准确的量化表示？如右图。

定理是一种定量的研究。碰见多解的情况。

设计意图： 对于问题1，学生可以提供多种答案，教师可以往任意三角形这个方向引导，问题2则开门见山奔向这节课的主题。

二、正弦定理的证明及其应用

（一）定理的证明

对于边角关系，首先想到的是特殊三角形，即直角三角形中的边角关系，我们先得到直角三角形中的结论，然后看能否推广到一般三角形中。

如右图，因而，由于C=900，sinC=1 所以可得

问题3：这是一个连比的式子，三者的比值相等，那么这个比值具体应该是多少呢？

分析：比值等于,联想到直角三角形外接圆的圆心在斜边的中点上，即斜边是外接圆的直径，用2R表示。

由此得到 设计意图：这个问题的解答很关键，起到承上启下的作用。接下来，只需探讨该结论是否适合一般三角形，而2R是三角形外接圆的直径，就会自然而然将学生引向利用外接圆研究一般三角形中的边角关系。

以下是锐角三角形和钝角三角形中该结论的证明：

若△ABC是锐角三角形，则外接圆圆心在该三角形内部。连外接圆的一条直径BD,则

所以

因而

所以

在与学生共同探究的过程中，可以设置下面的问题：

（1）受直角三角形的启发，应该会用到锐角三角函数，所以一定要构造直角三角形，在外接圆已经做出的情况下，如何去构造直角三角形？

（2）如何转化角？即为什么若△ABC是钝角三角形，则外接圆圆心在三角形外部。连直径BD,则可得

（想一想，为什么？）

？

在Rt△BCD中，又A=1800-D

所以sinA=sin(1800-D)=

即

得出与锐角三角形中相同

因而在钝角△ABC中，仍然成立。

综上，在任意△ABC中，都成立，即各边与其所对角的正弦的比值相等，且都等于三角形外接圆的直径，由于该式涉及角的正弦，即称作正弦定理。问题3：如何说明正弦定理是对任意三角形中边角关系的一种量化表示？ 分析：我们不妨反过来解释为什么“大角对大边，小角对小边”，即弦定理可知，只需说明

即可。

。由正（1）若A、B都是锐角，则。

（2）若A是钝角，B是锐角，由A+B<而sinB

-A，又因设计意图：此问题是本节课的难点之一，很多同学会使用正弦定理，但是对于定理是刻画任意三角形边角关系这一意义含糊不清。在这会用到析，尤其是对于第二种情况，值得同学思考。定理的变式：（1）

(边化角)

在上的单调性进行分（2）（3）

（角化边）

（4）

（二）正弦定理的应用 解三角形：

称为三角形的元素，已知某些元素求其他元素的过程。

例1：△ABC中，已知=20，A=300，C=450，解此三角形。分析：这属于已知两边一角，求其余的一角两边的问题。例2：△ABC中，已知，=1，B=450，解此三角形。

分析：这属于已知两边及其一边的对角，求其余两角一边的问题。

问题4：对于例2，思考，为什么例1只有一解而例2有可能多解？，可能出现两解，如何取舍？进一步设计意图：用正弦定理的时候很容易出错的就是多解的情形，通过此例让学生探索取舍的办法。已知两角一边实质上该三角形就是确定的，而两边及其一边的对角时这样的三角形并不唯一。如果在课堂上可以顺利得出这样的结论，那学生会有茅塞顿开的感觉，势必会加强学习数学的兴趣和自信。

练习：已知在△ABC中，A=450，=2，解此三角形。

问题5：通过以上例题和练习，总结归纳正弦定理可以解决怎样的三角形问题，归纳出步骤。设计意图：这是本节课的收尾问题，由学生自己总结归纳。正弦定理应该是知三求三的过程，需要知道三个独立的条件，这点需要学生明白。

三、课堂小结

1、本节课的重要内容——正弦定理，是任意三角形中边角关系的准确量化。

2、本节课的思想方法：证明正弦定理时，先从直角三角形中得到结论，然后推广到一般三角形中，这种从特殊到一般的研究方法是数学中常用的思想方法。另外，还有类比、转化、归纳等方法。

四、教后心得

本节课是我刚上完的课，感触很深。证明正弦定理的方法很多，有比这种外接圆的方法简单的证明方法，比如向量法和课本上通过高的方法，但是唯有这种方法能够比较简单的得到比值是2R这样的结论，当然中间的过程也不算简单，要构造直角三角形，要将角转化，可是这些对于学生思维水平的提高还是很有帮助的，也能使得学生更加清楚数学知识发生发展的过程，将未知问题转化为自己可以动手操作的问题，我认为这一点意义还是很大。还有对于多解的情况，我希望学生可以借助内角和和大边对大角来判断，并没有加大这一点的难度。当然对于这节课的教法也希望得到更多老师、专家的指导。

板书设计： 1.正弦定理的证明

直角三角形

锐角三角形

篇3：《正弦定理》教学案例设计分析

1972年在英国爱塞特 (Exeter) 举办的第二届国际数学教育会议中美国数学史家P·S·jonse和英国的Leorogers联合组织了一个数学史与数学教学关系的国际研究小组, 这个小组简称为HPM (History and Pedagogy of Mathematics) , 它标志着数学史与数学教育关系已作为一个学术研究领域而出现.从HPM诞生以来, 数学教育取向的数学史研究一直是HPM学者们的研究目标之一, 也是数学史融入数学教学的重要研究课题.它必须达到两个目的:①为数学课堂教学提供相关材料;②获取相关知识点 (概念、公式、定理等) 的教学启示.所以, 美国著名数学家和数学史家M·克莱因说:“数学史是教学的指南.”通过数学史我们能把冰冷的美丽变成火热的思考.从概念、公式、定理的历史演变过程, 获取教学设计的启示, 从而重视知识产生发展过程的教学.通过数学思想方法的考察, 把学科的基本思想提到教与学的指导地位, 帮助学生更好地理解数学、掌握数学、欣赏数学, 形成正确的数学观.使用数学原始文献, 达到数学史古为今用, 洋为中用, 培养学生的创造性思维能力.更为重要的是数学史视域下的数学教学可以帮助学生了解数学的应用价值和文化价值, 明确学习数学的目的, 增强学习数学的动力, 帮助学生树立科学品质, 培养良好的科学精神[1].

下面就从“正弦定理”的教学设计谈起.

1 “正弦定理”的发现与提出——研究是本质

1.1 回归历史, 使数学返璞归真

考察三角学的历史, 我们发现天文观测、历法推算和航海的发展要求人们对球面进行研究, 从而产生了球面三角学, 正弦定理、余弦定理是人们以球面三角进行研究而得出的“副产品”.后来, 由于间接测量, 测绘工作的需要才出现了平面三角.

阿拉伯数学家阿尔·巴塔尼在进行球面三角研究过程中, 利用平面三角的知识来证明球面余弦定理, 方法就是做出斜面三角形某一边上的高之后, 将问题转化为求直角三角形来求解, 当时他并不知道平面三角形的正弦定理, 同时只是把它作为一个习题, 没有认识到它的普遍意义.在15世纪前叶, 阿拉伯数学家阿尔·卡西才给出了平面三角的余弦定理的下述形式:

a2= (b+ccosA) 2+c2sin2A.

韦达在1593年给出了平面三角的余弦定理的下述形式:

$\frac{2ab}{a{}^2+b{}^2-c{}^2}=\frac{1}{\sin (90°-c)}.$

这是现在普遍采用的余弦定理的公式形式.

斯内尔 (W.snell) 在1627年给出了平面三角的余弦定理的下述形式:

$\frac{2ab}{c{}^2-(a-b){}^2}=\frac{1}{1-\cos C}.$

正弦定理发展历程为:阿拉伯的阿尔·威发 (约940—997) 在他的著作《天文学大全》中给出了平面三角的正弦定理, 阿尔·毕鲁尼 (973—1048) 在1030年发表的《马苏德天文学和占星原理》著作的第7章中首次明确地加以证明, 后来, 法国人莱维 (levi, 1283—1344) 也给出了证明, 最后, 由德国数学家雷格蒙塔努斯 (J.Regiomontanus, 1436—1476) 在1464年出版的《论各种三角形》著作中十分清晰地加以表达.这部著作标志着三角学从天文学中独立出来, 也为三角学在平面与球面几何中的应用奠定了牢固的基础.

复原证明:如图1,

由d=acos C, 得

$\cos C=\frac{d}{a}=\frac{a{}^2+b{}^2-c{}^2}{2ab}.$

又$p=c\sin A‚\sin C=\frac{p}{a}$, 即p=asin C.

从而 csin A=asin C, 即$\frac{\sin A}{a}=\frac{\sin C}{c}.$

正、余弦定理的确立不是一经推导出来, 就得到人们广泛的承认和运用, 这也有一段相当长的历史发展过程.[2]

正如美国数学家洛维特 (E·O·Lovett, 1871—1957) 说:“数学的学习者不应相信中间人的话, 而应自己去寻找原始文献, 寻找大师们自己的东西, 二手的思想就像二手的书本和二手的衣服一样充满细菌.”[3]了解了这段历史就可以帮助我们更好地认识数学的应用价值, 掌握数学、理解数学知识的本质, 学会数学的思维方式, 培养数学研究的能力.达到在历史的脉络中比较数学家所提供的不同方法, 拓宽学生的视野, 培养全方位的认知能力与思考弹性.从历史的角度注入数学知识活动的文化意义, 在数学教育过程中实践多元文化关怀的理想.[4]

1.2 数学史视域下正弦定理的教学启示

1.2.1 测量产生不了正弦定理

从多篇正弦定理的教学设计, 我们发现一些教学案例中都有“用量角器、刻度尺、计算器, 测量任意三角形的三边与三角, 然后计算比值猜想结论”[5].这是受新课程理念, 培养学生动手实践能力的影响而设计的, 但这不是数学思考, 正如张奠宙先生所言, 正弦定理绝对不是量出来的, 花费大量时间去“量”, 去“计算”, 乃是败笔.复旦大学李大潜教授说:“老是量, 就倒退到尼罗河时代去了.”

1.2.2 假情景问题也产生不了正弦定理

有些教学设计也用情景问题引出正弦定理, 如文[6]就是用下面的实例:如图 (图略) , 上海市政建设公司为了建造崇海过江隧道, 需要测量长江两岸的两个出口处A与B点的距离, 测量人员在B点所在一侧选择C点, 测得BC长为0.15 km, 测得∠ACB=103.4°, ∠ABC=78.85°, 能由此确定AB间的距离吗?

此问题抽象为两角及其夹边, 求另一边, 从而引入正弦定理, 我们从问题解决的角度来说, 它不需要正弦定理, 我们也能解决此问题.情景问题只是数学来源于生活, 来源于实际的一个铺垫.

1.2.3 正弦定理的发现与提出的教学设计

教学设计1 从直角三角形的边角关系出发得出正弦定理的一般形式.

如图2, 由

$\begin{array}{l}\sin A=\frac{a}{c}‚\sin B=\frac{b}{c}‚\\ \sin C=1‚\end{array}$

$\begin{array}{l}\text{即}c=\frac{a}{\sin A}‚c=\frac{b}{\sin B}‚\\ c=\frac{c}{\sin C}‚\end{array}$

得$\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C}.$

从而猜想对一般三角形是否成立, 这样从特殊到一般.

正如杨世明先生所说:“简单化、严格化和优美化的追求, 贯穿了整个数学的历史, 这是数学的三项追求.”

数学美有内在美和形式美, 数学的严格性、统一性、奇巧性属于内在美, 而简单、对称、整齐等则属于形式美, 对公式对称性与和谐性的追求正是数学对形式美的追求.

教学设计2 由一些特殊问题的解决提炼出正弦定理.

1) 已知c=12, A=45°, C=30°, 求b.

2) 已知$a=4‚b=4\sqrt{2}‚B=45°$, 求A.

由这些问题的解决, 我们发现都要转化为直角三角形中的边角关系.机械重复的劳动需要高效、简洁的工具, 需要模式化, 数学的特点就是要拿出一套办法, 设计一个程序, 一步步地执行下去, 就可得到欲知的结果, 在特殊问题的解决中, 已注意到一般的解题方法的运用、研究.

这两种教学设计有质的区别:设计1需要逻辑化、有序化, 整理需要数学美的标准;设计2需要推广数学结果, 需要一般化、模式化.所以基于数学史视域下的教学设计可以帮助学生认识数学与人类生活的密切联系及对人类历史发展的作用, 体验数学活动中的探索与创造, 感受数学的严谨性及数学结论的确定性, 形成实事求是的科学态度以及进行质疑和独立思考的习惯, 培养对数学的好奇心与求知欲.

2 正弦定理的多种证明方法——凸现证明的教育价值

正弦定理的证明方法有外接圆法、向量平移法、等积法 (传统证明) 、点乘法 (课本证法) , 点乘法的难点是为什么要点乘垂直的单位向量?为此, 教师就要做好以下两个铺垫工作:①由向量式向数量式转化想到数量积;②从传统证明中斜三角形高一分为两个直角三角形, 或余弦化正弦.为了简单, 需要点乘垂直的单位向量.所以, 垂直是本质, 与j向量的模是否为1, 是否在某顶点没有本质关系.但我们从向量式$\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{CB}=\overrightarrow{AB}$出发自乘可以得到余弦定理, 点乘可以得到射影定理、正弦定理.而且我们可以证明这3个定理是等价的.这样通过多种证明方法在3个层面上凸现数学证明的教育价值:①从文化上, 让学生体会数学的理性精神, 懂得理性地思考问题;②从知识上, 加深对概念和定理的理解, 并能导致发现;③从思维上, 训练和培养学生逻辑和非逻辑的思维能力.

总之, 数学史进入数学课堂任重而道远, 这不仅需要教师有丰富的数学史素养, 更要有使用数学史知识的自觉意识.数学史的引入, 也绝非简单的移植和嫁接, 在新一轮的数学课程改革中, 教材的编写并没有达到数学史料与课程内容的无缝对接.如:在北师大版的初中教材配方法一节里, 课后“读一读”中引入的历史资料是中国古代数学家赵爽与阿拉伯数学家阿尔·花拉子米用图形构造分别解两个不同的一元二次方程实例.实际上阿尔·花拉子米的构图比赵爽的构图更能突出配方法的实质, 即配方是配一次项系数一半的平方[7].因此, 在配方法这节课的开始就应该用阿拉伯数学家阿尔·花拉子米的方法而引入配方, 这样, 不仅加深学生对数学思想、方法的理解, 而且在教学中实践了数学史多元文化关怀的理想, 激发学生学习数学的兴趣.因此, 教科书的编写也需要从数学史学的角度出发, 有机融入合适的数学史料, 不应放在从属的阅读材料位置.我们需要数学史从幕后到前台.

参考文献

[1]李兆华.汉字文化圈数学传统与数学教育[M].北京:科学出版社, 2004, 179-190.

[2]陈克胜.“余弦定理和正弦定理”的数学思想史略[J].数学通讯, 2004, (21) .

[3]张维忠, 汪晓勤.文化传统与数学教育现代化[M].北京:北京大学出版社, 2006.

[4]洪万生.HPM随笔 (一) [J].HPM通讯, 1998, (1) .

[5]张守江.正弦定理教学设计案例一则[J].数学通报, 2006, (2) .

[6]吴新建.把“数学发现”的权力还给学生——正弦定理的教学设计[J].数学通讯, 2004, (11) .

篇4：《正弦定理》教学设计

【教学对象】高二学生

【教材分析】正弦定理是高中《数学》必修五的第一章第一节，是高中生学习解三角形的第一个重要工具。同时为学习余弦定理做准备，起到十分重要的作用。

【学情分析】本课的教学对象设定为中等水平的高二学生。学习本课前，学生需要掌握前面已学过的三角函数知识。

【教学目标】

知识与技能：（1）理解正弦定理概念和公式的本质；（2）会正弦定理解决两个基本的解三角形问题。

过程与方法：（1）通过提出对以前知识的疑问，培养学生严谨的逻辑思维能力；（2）通过猜想——探究——证明的过程学习正弦定理，提高学生的探究意识。

情感态度价值观：（1）体会到数学的普适性的美；（2）体会数学公式的结构不变性与字母可变性。

【教学重点】证明正弦定理的过程以及如何应用正弦定理解三角形。

【教学难点、关键】正弦定理的本质。

【教学方法】引导探究、实例运用。

【教学过程设计】

一、回顾旧知

1、三角形中“大边对大角”的描述是真的吗？

提问让学生思考，产生认知疑惑。教师引导学生回答问题，发现根据现已掌握的知识似乎只有在直角三角形中，才可以通过理论证明“大边对大角”。

2、老师继续引导学生严谨证明在直角三角形中大边对大角

老师引导学生，证明不能似乎好像，必须有严谨的证明才可以，并板书证明过程：

斜边>任一直角边（由勾股定理可得）设直角边分别为a，b，且分别对应角A，B，斜边为c，那么a=c*sinA，b=c*sinB，又A，B是锐角，所以角越大时边越大，边越大时角越大，故“大边对大角”。

设计意图：先造成学生认知上的疑惑，通过老师不断地引导培养学生严谨的数学思维能力。

二、在一般三角形中猜想并证明正弦定理

利用已知在直角三角形中的证明可以得到：a/sinA=c=b/sinB，其中c可以写作c/sinC猜测在一般三角形中也有这样的等式成立

先让学生自己任意画一个三角形，任意标出三角形的三个顶点A，B，C，其中角A，B，C，分别对应边a，b，c，再根据教师的引导共同证明猜想。黑板上演示证明的全过程，让学生清楚地看到正弦定理对任意三角形都成立的全过程。

板书演示：（略）

老师让同学之间相互交流看看对方画的三角形是否一样，可以发现这样的猜想对任意的三角形都是成立的，老师继续提示在证明过程中也没有任何限制三角形形状的地方，所这样的猜想对三角形有普适性。老师揭示刚刚所证明的猜想就是今天要学习的正弦定理。

设计意图：通过证明向学生们揭示正弦定理的普适性，让学生们感受到数学定理的伟大。

三、正弦定理的本质

例题：已知三角形三边为分别为m，n，l其对应角分别是O，P，Q，请写出该三角形的正弦定理表达式。

由刚刚学习的正弦定理可知m/sinO=n/sinP=l/sinQ。老师让同学间相互出题，随意变换三角形的三边字母及其对应角的字母解决问题。在解决这些问题时学生对正弦定理的认识有进一步了解。可以发现运用正弦定理公式时不是简单的套用字母的运算，而要分析公式的真正含义再结合题意进行运用。学生总结或通过老师揭示正弦定理的实质。

设计意图：通过简单例题引发同学们的思考，使同学掌握正弦定理的本质，体会公式的字母可变性与结构不变性，并感受到数学以不变应万变的魅力。

四、正弦定理的应用

老师引导学生利用正弦定理证明“大边对大角”：直角三角形的情况在课堂一开始就已经证明过；在锐角三角形中，所有的角均为锐角，故角度越大其正弦值越大，那么由正弦定理的实质（任意三角形中每一边与其对应角的正弦值之比为定值）可以得到其对应边的值也越大，反之亦然，故而锐角三角形中有“大边对大角”；类似地，在钝角三角形中的两个锐角及其对应边，自然是有“大边对大角”的，那么钝角的正弦值是不是大于其中任一锐角的正弦值呢？给学生一定的思考空间后，老师提示三角形的内角和为180o，所以钝角的正弦值等于其余两个锐角和的正弦值，那么钝角的正弦值肯定大于其中任一锐角的正弦值，同理“大边对大角”在钝角三角中也成立。

正弦定理除了可以证明“大边对大角”，还有什么应用呢？

例题：已知△ABC的三角形∠A=60°，∠B=45°，AB=3，求△ABC的周长L

先让学生们独立做题，最后由老师板书提示：

周长L=AC+BC+AB

=sinA（AB/sinC）+sinB*（AB/sinC）+AB

=（sinA+sinB+sinC）AB/sinC.

总结，任意三角形只要是任意给出两角和一边都可以计算出其余的值。

例题：1.已知△ABC的三角形∠A=60°，CB=5，AB=3，求△ABC的周长L

例题：2.已知△ABC的三角形∠A=60°，AC=4，AB=3，求△ABC的周长L

学生自行做题，发现例2无法解出。总结，任意三角形中任给两边和其中一边的对应角才可以利用正弦定理计算出其余的量。

篇5：《正弦定理》教学设计

2010级数学课程与教学论专业华娜学号201002101146

一、教材分析

《正弦定理》是人教版教材必修五第一章《解三角形》的第一节内容，也是三角形理论中的一个重要内容，与初中学习的三角形的边和角的基本关系有密切的联系。在此之前，学生已经学习过了正弦函数和余弦函数，知识储备已足够。它是后续课程中解三角形的理论依据，也是解决实际生活中许多测量问题的工具。因此熟练掌握正弦定理能为接下来学习解三角形打下坚实基础，并能在实际应用中灵活变通。

二、教学目标

根据上述教材内容分析，考虑到学生已有的认知结构心理特征及原有知识水平，制定如下教学目标：

知识目标：理解并掌握正弦定理的证明，运用正弦定理解三角形。

能力目标：探索正弦定理的证明过程，用归纳法得出结论，并能掌握多种证明方

法。

情感目标：通过推导得出正弦定理，让学生感受数学公式的整洁对称美和数学的实际应用价值。

三、教学重难点

教学重点：正弦定理的内容，正弦定理的证明及基本应用。

教学难点：正弦定理的探索及证明，已知两边和其中一边的对角解三角形时判断

解的个数。

四、教法分析

依据本节课内容的特点，学生的认识规律，本节知识遵循以教师为主导，以学生为主体的指导思想，采用与学生共同探索的教学方法，命题教学的发生型模式，以问题实际为参照对象，激发学生学习数学的好奇心和求知欲，让学生的思维由问题开始，到猜想的得出，猜想的探究，定理的推导，并逐步得到深化，并且运用例题和习题来强化内容的掌握，突破重难点。即指导学生掌握“观察——猜想——证明——应用”这一思维方法。学生采用自主式、合作式、探讨式的学习方法，这样能使学生积极参与数学学习活动，培养学生的合作意识和探究精神。

五、教学过程

本节知识教学采用发生型模式：

1、问题情境

有一个旅游景点，为了吸引更多的游客，想在风景区两座相邻的山之间搭建一条观光索道。已知一座山A到山脚C的上面斜距离是1500米，在山脚测得两座山顶之间的夹角是450，在另一座山顶B

300。求需要建多长的索道？

可将问题数学符号化，抽象成数学图形。即已知AC=1500m，∠C=450，∠B=300。求AB=？

此题可运用做辅助线BC边上的高来间接求解得出。

提问：有没有根据已提供的数据，直接一步就能解出来的方法？

思考：我们知道，在任意三角形中有大边对大角，小边对小角的边角关系。那我们能不能得到关于边、角关系准确量化的表示呢？

2、归纳命题

我们从特殊的三角形

在如图Rt三角形ABC

a



sinA, c

bc

sin

B

.c.所以，asinA



bsinB

又sinC1,所以

csinC

asinA



bsinB



.在直角三角形中，得出这一关系。那么，对于一般的三角形，以上关系式是否仍然成立呢？

3、命题证明

首先考虑锐角三角形，要找到边与角正弦之间的关系，就要找到桥梁，那就是构造出直角三角形——作高线。

A

作AB上的高CD,根据三角函数的定义，CDasinB,CDbsinA ,所以，asinBbsinA.同理，在ABC中，bsinB



csinC

.于是在锐角三角形中，asinA



bsinB



csinC

也成立。

当ABC是钝角三角形时，以上等式仍然成立吗？

C

DAcB

由学生类比锐角三角形的证明方法，同样可以得出。于是，从以上的讨论和探究，得出定理：

正弦定理（laws of sines）在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即

asinA





siBnb

csCin

分析此关系式的形式和结构，一方面便于学生理解和识记，另一方面，让学生去

感受数学的间接美和对称美。

正弦定理描述了任意三角形中边与角的一种数量关系。我们把三角形的三边和三个角叫做三角形的元素，已知几个元素求其他元素的过程叫解三角形。

分析正弦定理的应用范围，定理形式可知，如果已知三角形的两角和一边，或者已知两边和其中一边所对的角，都可以解出这个三角形。

4、命题应用

讲解书本上两个例题：

例1 在△ABC中，已知A=32°，B=81.8°，a=42.9cm.解三角形。例2 在△ABC中，已知a=20cm，b=28cm，A=40°，解三角形（角精确到10，边长精确到1cm）。

例1简单，结果为唯一解。

总结：如果已知三角形两角两角所夹的边，以及已知两角和其中一角的对边，都可利用正弦定理来解三角形。

例2较难，使学生明确，利用正弦定理求角有两种可能。

要求学生熟悉掌握已知两边和其中一边的对角时解三角形的各种情形。

接着回到课堂引入未解决的实际问题。

在△ABC中，已知AC=1500m，∠C=450，∠B=300。求AB=？

B

A

在已经学习过正弦定理和例1例2的运用之后，此题就显得非常简单。接着，课堂练习，让学习自己运用正弦定理解题。

1.在△ABC中，已知下列条件，解三角形（角度精确到10，边长精确到1cm）：（1）A=45°，C=30°，c=10cm（2）A=60°，B=45°，c=20cm

2.在△ABC中，已知下列条件，解三角形（角度精确到10，边长精确到1cm）：（1）a=20cm，b=11cm，B=30°（2）c=54cm，b=39cm，C=115°

学生板演，老师巡视，及时发现问题，并解答。

5、形成命题域、命题系

开始我们运用分类讨论平面几何三角形的情况证明了正弦定理。那么正弦定理的证明还有没有其他的证法？学生可以自主思考，也可以合作探究。

学生思考出来就更好，如果没有思考出来，提示两种方法（1）几何法，作三角形的外接圆；（2）向量法。

先让学生思考。结束后，重点和学生一起讨论几何法，作外接圆的证法。一方面是让学生体会到证明方法的多样，进行发散性思维，但更主要的是为了得出

asinA



bsinB



csinC

2R。即得正弦定理中这一比值等于外接圆半径的2C

倍的结

论，让学生能更深刻地理解到这一定理的，也方便以后的解题。而提到的向量法，则让学生课后自己思考，可以查阅资料证明。

六、课堂小结与反思

这节课我们学到了什么？（正弦定理的形式？正弦定理的适应范围？正弦定理的证明方法？）

1、我们从直角、锐角、钝角三类三角形出发，运用分类的方法通过猜想、证明得到了正弦定理

asinA



bsinB



csinC，它揭示了任意三角形边和其所对的角的正弦值的关系。

2、运用正弦定理解决了我们所要解决的实际问题。在解三角形中，若已知两角和一边，或者已知两边和其中一边所对的角可以用正弦定理来解决。但在第二种情况下，运用正弦定理需要考虑多解的情况。

3、正弦定理的证明还可以运用向量法和作三角形的外接圆来证明。其中通过作外接圆可以得到

asinA



bsinB



csinC

2R.这是对正弦定理的补充。

七、作业布置

篇6：正弦定理教学设计(杨士勇)

湖北大学附属中学 杨士勇

教材分析：正弦定理是必修5第一章第一节内容。在此之前学生已经学习了三角函数，向量等基础知识。学生将在已有知识的基础上，通过对任意三角形边角关系的探究，发现并掌握三角形中的边长与角度之间的数量关系，并认识到运用它们可以解决一些与测量和几何计算有关的实际问题。它实际上是三角函数、向量等知识的应用。

教学目标：

(一)知识教学点通过对任意三角形的边与其对角的关系的探索，掌握正弦定理的内容及其证明方法．

(二)能力训练点让学生从已有的知识出发，共同探究在任意三角形中，边与其对角的关系，引导学生通过观察、归纳、猜想、证明，由特殊到一般得到正弦定理等方法，体现数学发展和创造的历程．

(三)学科渗透点在平等的教学氛围中，通过学生之间、师生之间的交流、合作和评价，实现共同探究、教学相长的教学情境．

学情分析：对学生来说，已学习了解直角三角形、三角函数、向量等知识，有一定观察分析、解决问题的能力，但对前后知识间的联系、理解、应用有一定难度，因此，思维灵活性受到制约。根据以上特点，教师恰当引导，提高学生的学习主动性，多加以前后之间的联系，带领学生直接参与分析问题、解决问题并品尝劳动成果的喜悦。教学过程

创设问题情景

课前放映一些有关军事题材的图片，并在课首给出引例：一天，我军舰A正在某海域执行巡逻任务，突然发现其东偏北30度处有一敌艇B正以40海里/小时的速度朝北偏西40°方向航行。经研究，决定向其发射鱼雷给以威慑性打击。已知鱼雷的速度为60海里/小时，问怎样确定发射角度可击中敌舰？

媒体及设计意图：用图片展示形式设计一个学生比较感兴趣的实际问题，吸引学生注意力，使其立刻进入到研究者的角色中来！引入新课

老师：同学们，三角形是从小学开始我们就认识的图形，而直角三角形又是最简单的三角形，谁能说说直角三角形有哪些边角关系？ 学生：abc,AB90 , sinA2220basinB ,，cccosAba，cosB等 cc老师：同学们回答的很好！有哪些是边和角的关系？ 学生：sinAbbaacosB等 , sinB，cosA，cccc

老师：这些式子显得有些凌乱，同学们能不能把它们整合一下，让它们变得更优美？ 学生：

ababasinBbsinA,,acosAbcosB,cosBcosAsinAsinB多媒体设计：多展示一些和谐统一的数学式子，让学生感受到数学美。激发学生求知欲。老师：这些式有哪些特征让你觉得它很美？ 学生：前两个式子边角对称，后两个式子边角统一。

老师：回答的非常好！数学中的对称、统一、和谐、简洁都会让你感到美不胜收！但这些式子都只是两个角和对应边的关系，如果按照式子的规律把它扩充到第三个角和边岂不更加完美？同学们试一试。

[分析]：赞可夫说：“人具有一种欣赏美和创造美的深刻而强烈的需要”。这些美好的形态能激发学生兴趣，集中注意力，增强观察力，诱发丰富联想，提高思维能力。由美产生的愉悦心理体验，是学生追求真知的支柱和动力。教学中，老师要善于引导，让学生去发现体验美，激发美好的情感，产生对美的向往与追求。

asinC学生：CsinA,bsinCcsinB，acosAbcosBccosC

等 abcsinAsinBsinC老师：在直角三角形中它们都是正确的吗？

n学生：因为siCsin90, 1所以：

0abcsinAsinBsinC成立。acosAbcosBccosC不成立。

老师：“acosAbcosBccosC”是何等的“对称”、“和谐”、“美观”啊！但是它是错误的，就象“鲜艳的蘑菇”虽然美丽但是有“毒”。

[分析]：授人以鱼不如授人以渔，要让学生学会从已有的知识中通过变形、归纳、推广，自己去发现新的知识。

多媒体应用：用几何画板改变三角形形状，使其为锐角三角形，引导学生观察，再提问引入

abc老师： 对于锐角三角形，关系式：

sinAsinBsinC三角形中的边与角的正弦之间的关系？

学生：把锐角三角形转化直角三角形。

是否成立？怎样找到锐角

老师：如何转化？

cb学生：作高AD。则ADcsinB,ADbsinC 所以

sinCsinBab 同理可证：，sinAsinB所以在锐角三角形中也有：

abcsinAsinBsinC。

老师：从上面的探究我们发现，在直角和锐角三角形中都有：各边和它所对角的正弦的比相等。

abc我们能不能下结论：sinAsinBsinC学生：还有钝角三角形没有验证。

对于所有的三角形都成立？

老师：回答的很好！科学研究必须严谨！不能放过所有的可能性。请同学们相互讨论，共同探究，说明理由。

多媒体设计：用几何画板改变三角形形状，使其为钝角三角形

展示：作高AD。则ADcsinB,ADbsinACDbsinC 所以

AcbCDcbab，同理可证： sinCsinBsinAsinB多媒体设计：用几何画板动态演示正弦定理，Ba老师点评，共同归纳，正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等

abcsinAsinBsinC

A=2R

B媒体及设计意图：让学生从图形上感受：不论三角形如何变化，正弦定理都成立。而且和初中知识联系起来，使学生更易理解。

练习总结：三角形解的个数

CA1

多媒体演示：三角形解的个数

媒体及设计意图：让学生从图形上感受三角形解的个数，从而加深学生对三角形解的个数的理解。课后作业（略）[课后反思]：

一、强调过程。新课程倡导强调学生探索新知识的经历和获得新知的体验，不能再让学生脱离学生的内心感受，必须让学生

CabbsinAA追求过程的体验，把“数学发现的权利”还给学生。这节课里老师没有直接给出正弦定理，而是让学生从已有的知识出发，通过变形、归纳、扩充猜想最后到证明猜想，从直角三角形引入探究正弦定理，顺应学生的思维,符合学生的认知规律，学生学得自然，问题的每一步都符合学生的“最近发展区”，让学生够得着。学生亲自参与了新知识发现过程，不仅学到了新知识，而且体验到了研究问题的各种方法、技巧，感受到了“数学美”的无穷魅力。

二、加强指导。“课标”指出：“教师是学习活动的组织者，引导者和合作者。”教学活动中，并不是有了学生的自主探究，就不要教师的引导了。教师的引导是必要的。有了引导，学生就有明确的方向，正确的策略，就能取得事半功倍的效果。放弃必要的指导，学生的学就可能是盲目的，低效的，甚至是无效的。

本节课的设计体现了以教师为主导、学生为主体，以知识为载体、以培养学生的思维能力为重点的教学思想。教师以探究任务引导学生自学自悟的方式，提供了学生自主合作探究的舞台，营造了思维驰骋的空间，在经历知识的发现过程中，培养了学生分类、探究、合作、归纳的能力。

三、不断质疑。数学思维的特点是用概念思维，是逻辑思维．多问“为什么”，可以暴露学生的思维过程，而不是满足于获得答案；可以培养学生质疑的习惯；可以培养学生发现问题的能力．数学是思维科学，数学教学是思维教学，数学教师应把培养学生的思维能力作为主要任务． 在本节课设计中，尽量为学生提供“在问题中学习”的时空，不放过任何一个发展学生智力的契机，让学生在“不断质疑”的过程中，借助已有的知识和方法主动探索新知识，扩大认知结构，发展能力，完善人格，从而使课堂教学真正落实到学生的发展上。