成功定理

成功定理（共9篇）

篇1：成功定理

成功定理

定律十：成功的机会总是属于那些拥有“永远的正向思维”的人。

杯子里有半杯水。有人说：“还剩半杯水。”有人说：“只剩半杯水了。”一个是负向思维，一个是正向思维。沙子里混着金子。有人说：“金子里有沙子。”有人说：“沙子里有金子。” 一个是负向思维，一个是正向思维。

有些行业竞争无序。有人说：“竞争太混乱、太激烈，简直没法做。”有人说：“竞争无序说明大家的水平都不高，正是一统江山的大好时机。” 一个是负向思维，一个是正向思维。

所谓正向思维，就是当大家看到困难的时候，你一定要看到机会。抓住了机会，困难可能就消失了。因此，成功的机会总是属于那些拥有“永远的正向思维”的人。

成功者也有问题，但是他们的成功掩盖了问题。我曾经问很多人：“好市场问题多还是差市场问题多？”有些人回答：“好市场销量大，当然问题多。”我的回答是：“差市场的问题经常被拿来小题大做，以证明市场差是有原因。所以差市场不是问题本身多，而是提出的问题多。当你去做市场时，你是从抓机会入手还是从解决问题入手？”

定律十一：如果你是个幸运的“倒霉蛋”，那么你可能“被迫成功”。

生物学家的研究已经证明：动物在遇到危险时，才会做出超出极限的发挥。生物学家的结论是：成功属于“倒霉蛋”。如果你总是遭遇“不幸”，比如总是分到最差的市场，享受的政策总是最差，那么，你在危急时刻超出正常能力的表现，可能使得你不得不成功。因此，面对不幸，不要总是抱怨，而要说：“让我遇到不幸，真是太幸运了。”

定律十二：有效工作比勤奋工作更重要。

普通人说：“我尽力了，我没闲着，我对得起这份薪水。”聪明的业务员每天这样问自己：“我今天的工作对销量持续增长有贡献吗？”如果一名业务员的工作对销量持续增长没贡献，他的勤奋又有何用？很多人的勤奋只是因为做了太多无效的事。

我把人分为两类：一类创造价值，另一类制造成本。勤奋工作也许只会制造成本，有效工作才会创造价值。对那些在市场风尘仆仆地跑市场的业务员，我经常评价他们只是“对中国交通事业做出了最伟大的贡献”，对企业却在是制造成本。

定律十三：拥有“常识”或许能让你成为普罗大众中的一员，拥有“常理”才能让你脱颖而出。

常识就是“公共知识”，“1＋1＝2”就是常识。常识只是让你成为正常人，不会产生竞争力。

产品卖不动怎么办？降价、做广告。只要是一个健全的正常人都会这么想，因为这是常识。如果营销就是这么简单，营销还是一门学问吗？

常识会让你进入一个叫做“合成谬误”的陷阱。下面这个故事就是“合成谬误”：十个老翁相约喝酒，约定每人带一壶酒，兑在一起喝。一个老翁想，如果其他人带酒，我带水，不就占便宜了吗？那知大家把“酒”兑在一起时，他才知道其他老翁也是如法炮制。

最经典的合成谬误就是“丰收悖论”：一个农民丰收了，收入会增加。当所有农民都丰收时，价格会下降，收入可能反而下降。合成谬误反映在营销上就是：率先做铺货的人成功了，大家都跟进时只是找齐了。率先做终端的人成功了，大家跟风时只是增加了成本而已……。你要成功，总得知道一点别人不知道的东西吧。有效的营销办法往往是“出乎意料之外，又在情理之中”，这要靠“常理”的推导。比如，一般人认为“消费者要买便宜的东西”，这是常识。而常理却是“消费者要买占便宜的东西”。

定律十四：如果你不能独立完成任务，一定要学会搬救兵。

搬救兵不丢人，完不成任务才丢人。我仔细琢磨《西游记》，发现一个惊人的现象：《西游记》中的妖怪，没几个是孙悟空打死的。每当孙悟空打不过妖怪时，他就腾云驾雾去搬救兵去了。现在，我不断在各种场所传播《西游记》告诉我们的一个道理：当员工，要学孙悟空会搬救兵。当领导，要学观音在关键时刻出手当救兵。

谁是你的救兵？可以是你的上司、同事，也可以是你的朋友、恩师。

什么时候搬救兵？一定要到最关键的时候。救兵一出手，问题就解决了。

定律十五：如果你受过很多培训仍然进步缓慢，不妨试试培训别人。

接受培训固然能让你“站在巨人的肩膀上”，但培训别人才能让你成为巨人。接受培训是效率最低的学习方式之一，而培训别人才是效率最高的学习方式。

要让别人听明白，你必须比别人更明白。给听众一瓢，自己必须有一桶。为了在讲台上不出丑，你必须拼命查资料。还没开讲，你已经超越听众了。

顺便提醒你一句：如果你想当领导的话，一定要先学会培训别人。对于领导来说，培训无处不在。开会是培训，安排工作是培训，检查工作是培训，总结是培训……

定律十六：每隔三年，你就要全面一遍自己的知识系统。如果你觉得自己经验越来越丰富，你就快完蛋了。在这样一个快速变化的时代，当一种做法被总结成经验时，就已经或正在过时。看一看几年前营销界的风云人物，还有几个在风头浪尖上？

随时准备“清零”，快速更新自己的知识系统，是在营销界混下去的不二法门。

定律十七：所谓职业生涯战略，就是要做未来不后悔的事。

战略不是不关心现在，而是让现实的事具有未来意义。如果你不知道现在应该做什么，不妨采用倒推法，按照你对未来的期望，倒推现在应该做什么。

职场定律

定律十八：永远不要说自己老东家和老上司的坏话，哪怕他们真的一无是处。

人们没有心思关心你与老东家和老上司的恩怨，但会关心你对待老东家和老上司的态度。如果你不断诉说着老东家和老上司的坏话，人们可能会在心里说：“他们怎么会瞎了眼找上你。”如果你对所有服务过的企业和上司都不满意，人们可能还会想：“你怎么这么有眼无珠，总是找不到好企业？”

人性的弱点就是“高估自己，低估别人”，这是烦恼的根源。同时，人们还容易“低估自己服务的企业”，这是因为你更容易看到企业的阴暗面，而只看到其它企业的光明面。

定律十九：永远不要给上司提问答题，要给上司提供选择题。

上司之所以需要你，不是为了让你给他出难题，而是为了让你帮助解决难题。所以，千万不要给上司提“怎么办”之类的问答题，即使要征询上司的意见，也要多提选择题，表明你已经有选择方案而不是不无所知。

定律二十：最好不要发牢骚，即使提意见也要保持“建设性心态”。

很多企业的销售会都变成了业务员的牢骚会，常见的牢骚不外乎：“对手人质量比我们好，对手人价钱比我们低，对手的政策比我们优惠，对手的广告力度比我们大。”遇到这种牢骚，如果上司回你一句“业务员的职责就是通过你的努力弥补产品的缺陷”，那已经够宽容的了。把上司惹恼了，可能会这样回答你：“如果我的产品、价格、广告、政策都比对手好，还要你们干什么？”

老实说，牢骚是一种不健康心态，或者叫消极心态。上司通常喜欢建设性心态面对问题的人，建设性心态就是“正视现实，立足解决问题”。所以，遇到问题要多提建议，少发牢骚。

定律二十一：老板和上司是业务员最重要的资源。业务员要学会管理上司和总部职能部门。

没有老板和上司的支持，你将一无所成。每个人的权限都是有限的，只有老板的权限是无限的。

很多业务员觉得老板最“抠门”，其实老板最大的困惑是钱花不出去。老板不怕花钱，就怕花出去的钱收不回来，投入没有产出。所以，笨蛋的业务员向老板和上司申请政策时总是爱“哭穷”：“如果再不支持，市场就完了。”老板想的却是：“支持？也许这是个无底洞。”聪明的业务员向老板和上司申请政策时总是说“该做的都做了，只要政策到位，市场立即启动。”老板一看“万事具备，只欠东风”，大笔一挥，政策立即就给了。

每次召开销售会议，职能部门总是众矢之的。业务员的批评似乎情有可原：“老子在前方打仗，你们在后方享福也就罢了，还不断使绊子。”其实，越是这样，职能部门越是不会支持。

定律二十二：要综合评价自己的收入，并不断创造收入增长空间。

GE前总裁曾经说过这样的话：一个人的工作有两项收入：一项是现在的收入，另一项是未来的收入。现在的收入是薪水，未来的收入是挣钱的本事。未来的收入比现实的收入更重要。

在基层岗位，收入的增长有极限。但当职务不断提升时，收入的增长没有极限。从这个意义上讲，收入的增长比收入本身更重要。

业绩定律

定律二十三：普通业务员把客户视为上帝，优秀业务员让客户把他当财神供起来。

客户之所以经销或购买你的产品，是因为你能让他的利益最大化。无论你如何小心饲候客户，可能离客户利益最大化的需求都相去甚远。

你要让客户明白：让你经销我的产品，是给你赚钱的机会——我不是给你一个产品，而是送给你一个光明的未来。

你还要让客户明白：我们要么成为一个战壕的战友，要么成为同行对手——你愿意让我成为你强劲的对手吗？——如果你不经销我的产品，你就去后悔吧。

如果你卖的是一枚鸡蛋，那么鸡蛋不值多少钱。但是，如果你卖的是一个“蛋生鸡，鸡生蛋”的养殖事业，一枚鸡蛋就值钱了——值钱的不是那枚鸡蛋，而是你对鸡蛋的独特认知。

定律二十四：只要帮助客户把产品卖出去了，你的产品也随之卖出去了。

业务员的任务不是解决你自己的问题，而是解决你的客户的问题——因为客户需要你，企业才需要你。如果不举例说明，这句话好像没说一样，似乎有点绕舌。一名酒店老板正为生意不好发愁，一名酒店业务员恰好登门推销，老板决定狠狠“宰一刀”，多收点进店费。哪知业务员根本不谈推销酒的事，话题一直围绕着酒店的生意。老板听后大受启发，立即摆酒席请教业务员。当然，白酒进酒店的事不仅解决了，还因为酒店生意红火扩大了白酒的销量。

当业务员问我怎样把产品卖给客户时，我告诉他：“只要你帮助客户把产品转卖出去并赚了钱，你的产品就卖出去了。”当有人问我怎样才能解决赊销问题时，我同样告诉他：“只要你帮助你的客户解决了赊销问题，客户就会拿现金进你的货。”

定律二十五：业绩产生于机会，要做业绩，先找机会。

在众所周知的领域拼个你死我活，固然也有业绩，但代价太大，不值得。我做业绩，先要有足够的洞察力发现别人没有发现的机会，这就是所谓的蓝海。

做业绩就像打仗攻城一样，打开一个缺口，整座城池都是你的了。而机会就是整座城池的缺口。

定律二十六：如果你的工作既能产生销量，也能产生未来销量，你的业绩才会让人追不上。

如果你的脑子里每天想的是如何完成当月的销量任务，那么你的工作可能是透支未来销量，你只会走下坡路。

如果你所做的是对销量持续增长有贡献的工作，每一项工作都能产生“增量”。每个月的销量都会在上月基础销量基础上不断递增。

最后的忠告：作为一名业务员，如果你不够专业，你应该足够聪明；如果你不够聪明，应该足够谦虚；如果你不够谦虚，应该足够勤奋；如果连勤奋也不够，就不要干营销。

篇2：成功定理

一、选择题

1、已知ABC中，a4,b43,A300,则B=（）

A.300B.300或1500 C.600D.600或12002、已知ABC中，AB6,A300,B1200,则SABC()

A.9B.18C.93D.1833、已知ABC中，a:b:c1:3:2，则A:B:C（）

A.1:2:3B.2:3:1C.1:3:2D.3:1:24、已知ABC中，sinA:sinB:sinCk:(k1):2k(k0)，则k的取值范围是（）

A.2,B.,0C.二、填空题

1、已知ABC中，B300,AB23,AC2,则SABC

2、已知ABC中，b2csinB,则角

3、设ABC的外接圆的半径为R，且AB4,C450,则R=

4、已知SABC32,b2,c3,则角1,02D.1,2 A=

5、已知ABC中，B450,C600,a2(31)，则SABC

三、简答题

01、在ABC中，若B30,AB23,AC2,求SABC.2、已知ABC中，C60,BCa,ACb,ab6.(1)写出ABC的面积S与a的函数关系式；(2)当a等于多少时，Smax？并求出Smax.23、已知ABC中，aa2(bc),a2b2c3,若sinC:sinA4:，求a,b,c.04、a,b,c是ABC的三内角A,B,C的对边，4sin

篇3：发现定理体验成功提高兴趣

一、“发现定理”教学法的理论依据

发现学习在西方最早可追溯到苏格拉底的产婆术, 杜威、皮亚杰也都大力提倡过, 美国心理学家布鲁纳对发现学习进行了明确的规定。发现学习是由学生自主的进行探索, 获得知识, 注重学习的过程, 让学生亲身尝试科学家发现原理原则所经历的过程, 学会发现的方法。这种方法可以发展学生的智慧潜力, 使外来动机向内在动机转移, 还有助于所学材料的保持记忆。

二、举例说明“发现定理”及其应用

定理, 是用逻辑的方法判断为正确并作为推理的根据的真命题。

在立体几何的直线和平面这一部分, 我在教学中引导学生发现了以下几个定理, 并相应地进行了运用。

定理1:如果一个平面内两相交直线与另一平面内两相交直线分别平行, 则两平面平行。

下面给出证明。

已知:如图1, 平面α内两相交直线α、b, 平面β内两相交直线α′、b′, 且α∥α′, b∥b′。

求证:平面α∥平面β。

证明:因为α∥α′, α′⊆b,

由线面平行的判定定理,

所以直线α∥平面β,

同理, 直线b∥平面β。

因为α、b为平面α内两条相交直线,

根据两平面平行的判定定理,

所以平面α∥平面β。证毕。

下面举例来看此定理的应用。

例1如图2, 已知三条线段AA′、BB′、CC′平行且相等, 并且不共面。C

求证:平面ABC∥平面A′B′C′。证明:因为AA′平行且等于BB′, 所以ABB′A′为平行四边形,

所以AB∥A′B′, C′

同理, BC∥B′C′。A′B′因为AB, BC⊆平面ABC, A′B′, B′C′⊆平面, 图2

根据上述定理1, 所以, 平面ABC∥平面A′B′C′。证毕。

定理2:如果一直线垂直于一平面内两相交直线, 则过该直线的平面垂直于已知平面。

证明如下。

已知:b, c为平面β内两相交直线, α是平面α内一直线, α⊥b, α⊥c。证明:平面α⊥平面β。

证明:因为直线α⊥b, α⊥c, b、c为平面β内两相交直线, 所以直线α⊥平面β。

因为直线α⊆平面α, 所以平面α⊥平面β。

定理2应用举例如下。

例2已知:AB是圆O的直径, PA垂直于圆O所在的平面, C是圆周上任意一点。P

求证:平面PAC⊥平面PBC。

证明:因为PO⊥圆O, BC⊆圆O, 所以PA⊥BC;

因为AB是圆O的直径, 点C在圆O上,

所以BC⊥AC;AB因为PA、AC⊆平面PAC, BC⊆平面PBC,

由上述定理2, 所以, 平面PAC⊥平面PBC。证毕。

定理3:两平行平面外的一条直线如果平行于两平行平面中的一个, 也平行于另一个。

定理证明如下。

已知:平面α∥平面β, 直线α∥平面α, α不在平面β内。求证:直线α∥平面β。

证明:过直线α与平面β内任一点做一平面γ, 分别与平面α、β交于直线b、c。

因为直线α∥平面α, α⊆γ, γ∩α=b, 所以直线α∥b;,

因为平面α∥平面β, γ∩α=b, γ∩β=c, 所以直线b∥c;

所以直线α∥c, 因为直线c⊆β, 所以直线α∥平面β。

证毕。

定理应用举例如下。

例3证明:如果一直线和两平行平面, 中的一个相交, 则它和另一个也相交。

已知:直线α交平面α于点A, 平面α∥平面β。求证:直线α和平面β也相交。α

证明:反证法。假设直线α和平面β不相交, 则有α∥β。

又因为平面α∥平面β, 直线α不在平面β内, 根据定理3, 所以直线α∥平面α, 这与已知直线α交平面α于点A矛盾, 所以假设不成立, 原命题成立, 即直线α和平面β相交。

证毕。

可以看出, 上述所发现的几个定理都很具理论价值, 概括精练, 应用也较广泛。在教师给出相关的材料以及适当的引导下, 学生通过自已的钻研探索得到了上述结论, 并在解决问题中进行了相应的运用, 此过程挖掘出了学生的潜力, 让学生学会了发现的方法, 培养了学生主动学习的精神和勤于思考的习惯。

三、“发现定理”教学法的教育价值

(一) 发展了学生的智慧潜能, 锻炼了学生的意志品质

学生在“发现定理”的过程中, 深入钻研, 独立思考, 运用已有知识、方法和能力, 经历了猜想、验证、失败、再猜想、验证……直到成功, 因此, 学生的智慧潜能得到了充分的挖掘, 学生的毅力、耐心等良好的意志品质也得到了锻炼。

(二) 培养学生的推理论证能力, 提高学生的学习兴趣

学生在“发现定理”的过程中, 开拓了思路, 训练了思维, 提高了推理论证的能力, 因此, 逻辑思维和创造性思维得到了发展, 探索创新意识有所提高。学生尝试了科研的过程和乐趣, 从而大大提高了学生的学习兴趣。

(三) 让学生感受到成功的喜悦, 使得记忆更加牢固持久

教师在引导学生发现并论证了某一定理后, 可以以最先发现这一结论的学生的名字来命名结论, 比如“王强定理”, 学生都会感到有趣, 尤其是“王强”同学, 会有成为数学家一样的成功感, 学习数学的信心会陡然大增。全班所有的学生也都会受到鼓舞, 都会努力争取去做下一个“王强”。同时, 学生对于自己发现的结论以及对它的应用, 也会有一种成就感, 对此知识的记忆也会保持的更牢固、更持久。

(四) 发现的“定理”具有一定的理论价值, 并能为解决一些实际问题带来方便

教师引导学生所发现的这些定理, 可以说都是有一定的理论高度的, 有一定的代表性, 上述这些结论在应用时, 如果对其现证, 费时、费力, 而如果让学生将它们作为定理掌握, 并直接应用时实际问题中, 则论证过程简捷而明了, 可大大提高解题效率, 为解决问题带来很大的方便。

需要注意的是, 这一方法的运用是建立在学生一定的知识基础之上, 和教师的所给予适当的材料与恰当的引导, 这样才能达到预期的效果, 这几方面不可或缺。

摘要：在几何学的学习过程中, 我们会发现除了教材上给出的一些定理和结论, 还有一些正确真实的结论, 如果我们发现了这些结论, 并且将它们作为定理来应用, 这对于解决很多几何问题都大有裨益。因此, 教师在教学中可以引导学生发现这样的结论。这不仅是出于使用方便的目的, 更重要的是如果发现的过程让学生来完成, 那么不仅可以训练学生的分析问题、解决问题能力, 发展学生的逻辑思维, 更能够增强学生的自信心, 提高学生的学习兴趣, 让学生感受到成功的体验, 使其在成功的喜悦中更加热爱数学学习。

关键词：几何学,发现定理,补充定理,学习兴趣,成功体验

参考文献

[1]周国韬主编.教育心理学专论.中国审计出版社.

[2]张德主编.心理学.东北师范大学出版社.

篇4：正弦定理和余弦定理

正、余弦定理是高考的必考内容，主要涉及解三角形中的求角、求边的问题和判断三角形的形状.

（1）解三角形就是已知三角形中的三个独立元素（至少一边）求出其他元素的过程. 三角形中的基本元素（边和角）与非基本元素（如中线、高、角平分线、外接圆半径、内切圆半径）之间的联系要通过有关的概念与公式（周长、面积、射影定理、勾股定理、内角和定理、全等关系、正余弦定理等）的掌握来实现.

（2）解斜三角形分以下四种类型：

①已知三角形的两角和任一边，求三角形的其他边与角；

②已知三角形的两边和其中一边的对角，求三角形的其他边与角；

③已知三边，求三个角；

④已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两个角；

（3）理解已知两边和其中一边的对角解斜三角形时，有一解、二解或无解三种情况，并会判断哪些条件使得三角形有一解、二解或无解.

（4）关于三角形的已学过的一些结论：如边角不等关系；全等关系；三角形的面积公式等等，在解三角形过程中可能要用到.

（5）要注意归纳总结学习过程中的一些共性和结论. 如常见的三角形边角关系恒等式、三角形面积的公式等.

（6）注意三角公式的灵活运用，主要是利用两角和与差的三角函数、二倍角的三角函数，诱导公式等进行三角函数变换.

篇5：正弦定理和余弦定理2

第一章

解三角形

§1.1.2正弦定理和余弦定理

班级

姓名

学号

得分

一、选择题

1．在△ABC中，已知b＝43，c＝23，∠A＝120°，则a等于……………….（）

A．221 B．6

C．221或6

D．21563

2．在△ABC中，已知三边a、b、c满足(a＋b＋c)(a＋b-c)＝3ab，则∠C等于…..()

A．15° B．30°

C．45°

D．60°

3．已知在△ABC中，sinA∶sinB∶sinC＝3∶5∶7，那么这个三角形的最大角是…（）

A．135° B．90°

C．120°

D．150°

4．在△ABC中，若c4-2(a2＋b2)c2＋a4＋a2b2＋b4＝0，则∠C等于………………….()

A．90° B．120°

C．60°

D．120°或60°

5．已知A、B、C是△ABC的三个内角，则在下列各结论中，不正确的为………...()

A．sinA＝sinB＋sinC＋2sinBsinCcos(B＋C)

B．sin2B＝sin2A＋sin2C＋2sinAsinCcos(A＋C)

C．sin2C＝sin2A＋sin2B-2sinAsinBcosC

D．sin(A＋B)＝sinA＋sinB-2sinBsinCcos(A＋B)6*．在△ABC中，AB＝5，BC＝7，AC＝8，则ABBC的值为……………………()

A．79

二、填空题

7．已知△ABC中，A＝60°，最大边和最小边是方程x2-9x＋8＝0的两个正实数根，那么BC边长是________．

13222222 B．69

C．5

D．-5 8．在△ABC中，已知a＝7，b＝8，cosC＝14，则最大角的余弦值是________．

abac＝________． 9．在△ABC中，∠C＝60°，a、b、c分别为∠A、∠B、∠C的对边，则bc9 10*．在△ABC中，若AB＝5，AC＝5，且cosC＝10，则BC＝________．

三、解答题

11．已知a＝33，c＝2，B＝150°，求边b的长及S△．

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A12．在△ABC中，cos2 bc2c910，c＝5，求△ABC的内切圆半径．

13．已知△ABC的三边长a、b、c和面积S满足S＝a2-(b-c)2，且b＋c＝8，求S的最大值．

14*．已知a、b、c为△ABC的三边，且a-a-2b-2c＝0，a＋2b-2c＋3＝0，求这个三角形的最大内角．

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§1.1.2正弦定理和余弦定理参考答案

一、选择题

A D C D D D

二、填空题

17．57

8．-7

9．1 10．4或

5三、解答题

11．解：b2＝a2＋c2-2accosB＝(33)2＋22-2·23·2·(-2)＝49．

∴ b＝7，1113

S△＝2acsinB＝2×33×2×2＝2bc93．

12．解：∵ c＝5，2cA210，∴ b＝4

b1cosA22 又cos222bc2cbca2bc222 ∴ cosA＝c 又cosA＝

bca

∴ 2bcb2222222c∴ b＋c-a＝2b∴ a＋b＝c

∴ △ABC是以角C为直角的三角形．a＝cb＝3

∴ △ABC的内切圆半径r＝2(b＋a-c)＝1．

112222

13．解：∵ S＝a-(b-c)又S＝2bcsinA∴ 2bcsinA＝a-(b-c)

bca222

∴ 2bc114(4-sinA)∴ cosA＝4(4-sinA)∴ sinA＝4(1-cosA)

2tanAcosA28sin2A22AA ∴ 2sin22∴ tan214∴ sinA＝

1tanA24812171()4

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SS41712bCsinA(bc)424176417bc64∴ c＝b＝4时，S最大为17

14．解：∵ a2-a-2b-2c＝0，a＋2b-2c＋3＝0

由上述两式相加，相减可得

c＝4(a2＋3)，b＝4(a-3)(a＋1)1

∴ c-b＝2(a＋3)

∵ a＋3＞0，∴ c＞b

c-a＝4(a2＋3)-a＝4(a2-4a＋3)＝4(a-3)(a-1)1

∵ b＝4(a-3)(a＋1)＞0，∴ a＞3 1

∴ 4(a-3)(a-1)＞0

∴ c＞a

∴ c边最大，C为最大角

abc222

∴ cosC＝a22ab2

2116(a3)(a1)2a14116(a3)2212(a3)(a1)

∴ △ABC的最大角C为120°

篇6：正弦定理与余弦定理习题总结

ab

1.正弦定理：sinA=sinBc=sinC

=2R，其中R是三角形外接圆半径.b2c2a

22bc.2.余弦定理：a=b+c-2bccosA,b=a+c-2accosB,cosA=

3.S△ABC

=21absinC=21bcsinA=2

acsinB,S△=

p(pa)(pb)(pc)=pr(p=

abc

2,r为内切圆半

abc

径)=4R(R为外接圆半径).4.在三角形中大边对大角，反之亦然.5.射影定理：a=bcosC+ccosB,b=acosC+ccosA,c=acosB+bcosA.6.三角形内角的诱导公式

(1)sin(A+B)=sinC,cos(A+B)=-cosC,tanC=-tan(A+B),cos

C2

CABAB

2=sin,sin2=cos2

在△ABC中，熟记并会证明tanA+tanB+tanC=tanA·tanB·tanC;7.解三角形常见的四种类型

ab

(1)已知两角A、B与一边a,由A+B+C=180°及sinA=sinB

c=sinC，可求出角C再求b、c.(2)已知两边b、c与其夹角A，由a=b+c-2bccosA，求出a，再由余弦定理，求出角B、C.(3)已知三边a、b、c，由余弦定理可求出角A、B、C.ab

(4)已知两边a、b及其中一边的对角A，由正弦定理sinA=sinBac求出c，再由sinA=sinC

判断方法，如下表：，求出另一边b的对角B，由C=π-(A+B)，ab

求出C，而通过sinA=sinB

求B时，可能出一解，两解或无解的情况，其

8.9.三角形的分类或形状判断的思路，主要从边或角两方面入手.专题一：正、余弦定理的应用

例1．在ABC

中，已知a

针对练习：

1．（2010上海文数）18.若△，c，B600，求b及A；

ABC的三个内角满足 sinA:sinB:sinC5:11:13，则△ABC

（A）一定是锐角三角形.（B）一定是直角三角形.（C）一定是钝角三角形.(D)可能是锐角三角形，也可能是钝角三角形.2．（2010湖南文数）7.在△ABC中，角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，若∠C=120°，A.a＞bB.a＜bC.a＝bD.a与b的大小关系不能确定例2．（2009北京理）.在ABC中，角

a，则

A,B,C的对边分别为a,b,c,B



cos，A,b

5（Ⅰ）求sinC的值；（Ⅱ）求ABC的面积.针对练习：

3．设△ABC的内角A、B、C所对的边长分别为a、b、c，且acosB＝3，bsinA＝4.(1)求边长a；(2)若△ABC的面积S＝10，求△ABC的周长l.4．（2010天津理数）（7）在△ABC中，内角A,B,C的对边分别是a,b,c，若ab

2，sinCB，则A=（A）300（B）60（C）120（D）1500

5.(2010年天津)在△ABC中，内角A、B、C的对边分别是a、b、c，若a2－b2＝3bc，sinC＝2 B，则A＝()A．30°B．60°C．120°D．150°

专题二：正、余弦定理、三角函数与向量的综合应用

例3.在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若

（Ⅰ）判断△ABC的形状；（Ⅱ）若c针对练习：

k(kR).2,求k的值.1

56.（2009岳阳一中第四次月考）.已知△ABC中，ABa，ACb，ab0，SABC，

a3,b5，则BAC A.． 30B ．150C．1500D

． 30或1500

7．（2009浙江理）在ABC中，角

A,B,C所对的边分别为a,b,c，且满足cos



ABAC3．（I）求ABC的面积；（II）若bc6，求a的值．

A2，8.设△ABC的三个内角分别为A、B、C，向量m＝3sinA，sinB)，n＝(cosB3cosA)，若

m·n ＝1＋cos(A＋B)，则C＝()

ππ2π5πA.B.C.D.63369.(2010年辽宁)在△ABC中，a、b、c分别为内角A、B、C的对边，且2asinA＝(2a＋c)sinB＋(2c＋b)sinC.(1)求A的大小；(2)求sinB＋sinC的最大值． 专题三：三角形面积

例3．在ABC中，sinAcosA和ABC的面积。，2AC2，AB

3,求tanA的值

针对练习

10．(2010年安徽)△ABC的面积是30，内角A、B、C所对边长分别为a、b、c，cosA＝1

3→→求AB·AC；(2)若c－b＝1，求a的值． 11．（2009湖南卷文）在锐角ABC中，BC

1,B2A,则AC

cosA的值等于，AC的取值范围为.12.在锐角△ABC中，a、b、c分别为角A、B、C

2csinA,求a＋b的值。

(Ⅰ)确定角C的大小：（Ⅱ）若c＝

7,且△ABC的面积为

3专题三：解三角形的实际应用

例4：（2009辽宁卷理）如图，A,B,C,D都在同一个与水平面垂直的平面内，B，D为两岛上的两座灯塔的塔顶。测量船于水面A处测得B点和D点

30，的仰角分别为75，于水面C处测得B点和D点的仰角均为60，AC=0.1km。试探究图中B，D间距离与另外哪两点间距离相等，然后求B，D的距离（计算结果精确到0.01km

000

1.41

42.449）针对练习

13.如图3，位于A处的信息中心获悉：在其正东方向相距40海里的B处有一艘渔船遇险，在原地等待营救．信息中心立即把消息告知在其南偏西30°、相距20海里的C处的乙船，现乙船朝北偏东θ的方向沿直线CB前往B处救援，求cosθ的值．

篇7：《正弦定理和余弦定理》教学反思

《正弦定理、余弦定理》教学反思

我对教学所持的观念是：数学学习的主要目的是：“在掌握知识的同时，领悟由其内容反映出来的数学思想方法，要在思维能力、情感态度与价值观等多方面得到进步和发展。”数学学习的有效方式是“主动、探究、合作。”现代教育应是开放性教育，师生互动的教育，探索发现的教育，充满活力的教育。可是这些说起来容易，做起来却困难重重，平时我在教学过程中迫于升学的压力，课堂任务完不成的担心，总是顾虑重重，不敢大胆尝试，畏首畏尾，放不开，走不出以知识传授为主的课堂教学形式，教师讲的多，学生被动的听、记、练，教师唱独角戏，师生互动少，这种形式单一的教法大大削弱了学生主动学习的兴趣，压抑了学生的思维发展，从而成绩无法大幅提高。今后要改变这种状况，我想在课堂上多给学生发言机会、板演机会，创造条件，使得学生总想在老师面前同学面前表现自我，让学生在思维运动中训练思维，让学生到前面来讲，促进学生之间聪明才智的相互交流。

三角形中的几何计算的主要内容是利用正弦定理和余弦定理解斜三角形，是对正、余弦定理的拓展和强化，可看作前两节课的习题课。本节课的重点是运用正弦定理和余弦定理处理三角形中的计算问题，难点是如何在理解题意的基础上将实际问题数学化。在求解问题时，首先要确定与未知量之间相关联的量，把所求的问题转化为由已知条件可直接求解的量上来。为了突出重点，突破难点，结合学生的学习情况，我是从这几方面体现的：我在这节课里所选择的例题就考常出现的三种题型：解三形、判断三角形形状及三角形面积，题目都是很有代表性的，并在学生练习过程中将例题变形让学生能观察到此类题的考点及易错点。这节课我试图根据新课标的精神去设计，去进行教学，试图以“问题”贯穿我的整个教学过程，努力改进自己的教学方法，让学生的接受式学习中融入问题解决的成份，企图把讲授式与活动式教学有机整合，希望在学生巩固基础知识的同时，能够发展学生的创新精神和实践能力，但我觉得自己还有如下几点做得还不够：①课堂容量中体来说比较适中，但由于学生的整体能力比较差，没有给出一定的时间让同学们进行讨论，把老师自己认为难的，学生不易懂得直接让优等生进行展示，学生缺乏对这几个题目事先认识，没有引起学生的共同参与，效果上有一定的折扣；②没有充分挖掘学生探索解题思路，对学生的解题思维只给出了点评，而没有引起学生对这一问题的深入研究，例如对于运用正弦定理求三角形的角的时候，出了给学生们常规方法外，还应给出老教材中关于三角形个数的方法，致少应介绍一下；③没有很好对学生的解题过程和方法进行点评，没起到“画龙点睛”的作用。④ 00

篇8：谈正弦定理与余弦定理的运用

例1在△ABC中，a,b,c分别为内角A、B、C的对边，根据下列条件，判断△ABC的形状(1)acos A=bcos B;(2)(a2+b2)sin(A-B)=(a2-b2)sin(A+B).

分析:对于上述例1中(1)和(2)分析以后可以发现，给出的条件中都是既有边长也有角度，所以一般都应该对于给出的这类条件进行整理，最终化简为仅有角度或者边长的形式，而在这个过程中一般采用正弦定理和余弦定理的变式效果会更好．

解:对于(1)的求解，可以考虑两种方法，

解法1:因为a=2Rsin A,b=2Rsin B，所以2Rsin Acos A=2Rsin Bcos B，即sin2A=sin2B，所以2A=2B或者2A+2B=π．

可以得到A=B或者，所以该三角形为等腰或者直角三角形．

解法2:因为，所以，即a2(b2+c2-a2)=b2(a2+c2-b2)将该表达式进行因式分解可得(a2-b2)(a2+b2-c2)=0，也就是a=b或者a2+b2=c2，同样得到该三角形为等腰或者直角三角形．

相比(1)而言，(2)的形式相对复杂，一般在解题过程中发现A+B这样的条件往往化为π-C，但本题等式两侧的次数相对对称，对于左侧的A-B需要展开，因此右侧保留A+B，得到

a2[sin(A-B)-sin(A+B)]=b2[-sin(A+B)-sin(A-B)]，即2a2cos Asin B=2b2cos Bsin A，此时可以将所有条件化角或者化边，可以得到sin Asin B(sin2A-sin2B)=0或者，也就是sin2A=sin2B或者(a2-b2)(a2+b2-c2)=0，同(1)类似，可以得到该三角形为等腰或者直角三角形．

二、观察结构，注重与定理的联系

例2在△ABC中，a,b,c分别为内角A、B、C的对边，

(2)若△ABC的面积为S，且2S=(a+b)2-c2，求tan C的值．

分析:上述两个问题给出的条件与问题之间存在较大距离，需要对给出的条件进行代数变形，而结构中都含有边长的平方关系，可以与正、余弦定理的公式联系在一起．

(2)由于条件右侧含有a2+b2-c2的形式且最终所求也与角C有关，容易想到左侧的面积，所以条件可以化为

三、利用图形，恰当选择变量和定理

正、余弦定理是三角形内边角关系的两个定理，因此还有一类问题需要在图形中解决长度和角度问题．

例3如图1，在边长为1的等边△ABC中，D、E分别为边AB、AC上的点，若A关于直线DE的对称点A1恰好在线段BC上，求AD长度的最小值．

分析:由于需要求解线段长度，则将线段放在三角形中进行计算．图中存在对称，不妨连结A1D，得A1D=AD，因此可以在△A1BD中进行求解，而对于图形问题的变量选择，可以选择边长也可以选择角度．

解法1:不妨设A1B=x,AD=y，则在△A1BD中，

例3给出一个图形，要解决某条线段长度的最值问题，需要将该线段放在三角形内利用正余弦定理进行计算，由于所选三角形的不一样以及求解所用定理的不同，选择了两种不同的变量设法，而这也是求解图形问题常见的解决方法．

篇9：正弦定理和余弦定理练习题

一.选择题：

1.在ABC中，a23，b22，B45，则A为（）

A.60或120B.60C.30或150D.30

sinAcosB

2.在C中，若，则B（）

abB.45C.60D.90

A.30

3.在ABC中，a2b2c2bc，则A等于（）B.45C.120D.30

A.60|AB|1，|BC|2，(ABBC)(ABBC)523，4.在ABC中，则边|AC|等于（）

A.5B.523C.523D.523

5.以4、5、6为边长的三角形一定是（）

A.锐角三角形

B.直角三角形

C.钝角三角形

D.锐角或钝角三角形

6.在ABC中，bcosAacosB，则三角形为（）

A.直角三角形

B.锐角三角形

C.等腰三角形

D.等边三角形

7.在ABC中，cosAcosBsinAsinB，则ABC是（）

A.锐角三角形

B.直角三角形

C.钝角三角形

D.正三角形

8.三角形的两边分别为5和3，它们夹角的余弦是方程5x27x60的根，则三角形的另一边长为（）

A.52 B.21

3C.16 D.4

二.填空题：

9.在ABC中，ab12，A60，B45，则a_______，b________

10.在ABC中，化简bcosCccosB___________

11.在ABC中，已知sinA:sinB:sinC654::，则cosA___________

12.在ABC中，A、B均为锐角，且cosAsinB，则ABC是_________

三.解答题：

13.已知在ABC中，A45，a2，c6，解此三角形。

14.在四边形ABCD中，BCa，DC2a，四个角A、B、C、D的度数的比为3:7:4:10，求AB的长。

15.已知ABC的外接圆半径是2，且满足条件22(sin2Asin2C)(ab)sinB。

（1）求角C。

（2）求ABC面积的最大值。

四大题

证明在△ABC中abc===2R，其中R是三角形外接圆半径 sinAsinBsinC

证略

见P159

注意：1．这是正弦定理的又一种证法(现在共用三种方法证明)2.正弦定理的三种表示方法(P159)例 二 在任一

△ABC中求证：a(sinBsinC)b(sinCsinA)c(sinAsinB)0

证=

：左边=2RsinA(sinBsinC)2RsinB(sinCsinA)2RsinC(sinAsinB)

2R[sinAsinBsinAsinCsinBsinCsinBsinAsinCsinAsinCsinB]=0=右边

例三 在△ABC中，已知a3，b2，B=45 求A、C及c

asinB3sin453解一：由正弦定理得：sinA b22∵B=45<90 即b

∴A=60或120

bsinC2sin7562当A=60时C=75 c sinB2sin45bsinC2sin1562当A=120时C=15 c sinB2sin45解二：设c=x由余弦定理 b2a2c22accosB 将已知条件代入，整理：x26x10 解之：x62 2222622)3bca13622 当c时cosA2bc2622(31)22222（从而A=60

C=75

当c62时同理可求得：A=120

C=15 2例四 试用坐标法证明余弦定理 证略见P161 例五 在△ABC中，BC=a, AC=b, a, b是方程x223x20的两个根，且 2cos(A+B)=1 求 1角C的度数 2AB的长度 3△ABC的面积 解：1cosC=cos[(A+B)]=cos(A+B)=ab232由题设：

ab2∴AB=AC+BC2AC•BC•osCab2abcos120 22∴C=120 222a2b2ab(ab)2ab(23)2210

即AB=10

111333S△ABC=absinCabsin1202 22222例六 如图，在四边形ABCD中，已知ADCD, AD=10, AB=14, BDA=60, BCD=135 求BC的长 解：在△ABD中，设BD=x 则BA2BD2AD22BDADcosBDA 即142x2102210xcos60 整理得：x210x960

A

B D

C 解之：x116 x26（舍去）由余弦定理：

BCBD16sin3082

∴BCsinCDBsinBCDsin135例七（备用）△ABC中，若已知三边为连续正整数，最大角为钝角，1求最大角 2求以此最大角为内角，夹此角两边之和为4的平行四边形的最大面积。

解：1设三边ak1,bk,ck1 kN且k1

a2b2c2k4∵C为钝角 ∴cosC0解得1k4

2ac2(k1)∵kN ∴k2或3 但k2时不能构成三角形应舍去

1当k3时 a2,b3,c4,cosC,C109

42设夹C角的两边为x,y xy4 SxysinCx(4x)当x2时S最大=15

三、作业：《教学与测试》76、77课中练习

a2b2b2c2c2a20 补充：1．在△ABC中，求证：

cosAcosBcosBcosCcosCcosAD

1515(x24x)442．如图ABBC CD=33 ACB=30 BCD=75 BDC=45 求AB的长(112)

A

B

C 3 【试题答案】

一.选择题：

1.A

提示：aba3，sinAsinB sinAsinBb

22.B

提示：由题意及正弦定理可得tanB3.C

1提示：由余弦定理及已知可得cosA

24.D 2

提示：ACABBC，AC(ABBC)(ABBC)

2AC52

32|AC|AC523

5.A

提示：长为6的边所对角最大，设它为

1625361

则cos0

2458

090

6.C

提示：由余弦定理可将原等式化为

b2c2a2a2c2b2a

b

2bc2ac

即2b22a2，ab

7.C

提示：原不等式可变形为cos(AB)0

0AB，B(0，)

从而C(AB)（8.B

2，)

3提示：由题意得cos或2（舍去）三角形的另一边长5232253cos52213 二.填空题：

9.36126，1262提示：absinAsin606，abbb sinAsinBsinBsin452

又ab12，a36126，b12624

10.a

a2b2c2a2c2b2ca

提示：利用余弦定理，得原式b2ab2ac1

11.8提示：由正弦定理得a:b:c654::

设1份为k，则a6k，b5k，c4k

b2c2a21

再由余弦定理得cosA2bc8

12.钝角三角形

提示：由cosAsinB得sin（A、B均为锐角，2A)sinB

A(0，)，B(0，)222

而ysinx在(0，)上是增函数 2AB

即AB2

C(AB)(，)

2三.解答题：

13.解：由正弦定理得：

sinCc623sinAa222

C60或120

当C60时，B180(AC)75 a262sinB31 sinA422

当C120时，B180(AC)15

b

ba2sinBsinA226231 b31，C60，B75

或b31，C120，B15

14.解：设四个角A、B、C、D的度数分别为3x、7x、4x、10x

则有3x7x4x10x360

解得x15

A45，B105，C60，D150

连BD，在BCD中，由余弦定理得：

BD2BC2DC22BCDCcosCa24a22a2a3a2

BD3a

此时，DC2BD2BC2

BCD是以DC为斜边的直角三角形

CDB30

BDA15030120

在BD中，由正弦定理有：

ABBDsinBDAsinA3a3232a

2225 32a 2

15.解：（1）R2且22(sin2Asin2C)(ab)sinB

AB的长为2

(22)2(si2nAsinC)(ab)22sinB

即(2R)2sin2A(2R)2sin2C(ab)2RsinB

由正弦定理知a2c2(ab)b

即a2b2c2ab

a2b2c2ab1

由余弦定理得cosC2ab2ab2

C60

（2）SabsinC

2RsinA2RsinBsin60

232sinAsinB3[cos(AB)cos(AB)]

3[cos(18060)cos(AB)]13[cos(AB)]2

133