小学数学典型应用题归纳汇总30种题型

小学数学典型应用题归纳汇总30种题型（共3篇）

篇1：小学数学典型应用题归纳汇总30种题型

小学数学典型应用题归纳汇总30种题型 归一问题

【含义】在解题时，先求出一份是多少（即单一量），然后以单一量为标准，求出所要求的数量。这类应用题叫做归一问题。

【数量关系】总量÷份数＝1份数量

1份数量×所占份数＝所求几份的数量 另一总量÷（总量÷份数）＝所求份数

【解题思路和方法】先求出单一量，以单一量为标准，求出所要求的数量。

例1

买5支铅笔要0.6元钱，买同样的铅笔16支，需要多少钱？ 解（1）买1支铅笔多少钱？

0.6÷5＝0.12（元）（2）买16支铅笔需要多少钱？0.12×16＝1.92（元）列成综合算式

0.6÷5×16＝0.12×16＝1.92（元）答：需要1.92元。归总问题

【含义】解题时，常常先找出“总数量”，然后再根据其它条件算出所求的问题，叫归总问题。所谓“总数量”是指货物的总价、几小时（几天）的总工作量、几公亩地上的总产量、几小时行的总路程等。

【数量关系】

1份数量×份数＝总量 总量÷1份数量＝份数

总量÷另一份数＝另一每份数量

【解题思路和方法】先求出总数量，再根据题意得出所求的数量。

例1

服装厂原来做一套衣服用布3.2米，改进裁剪方法后，每套衣服用布2.8米。原来做791套衣服的布，现在可以做多少套？

解（1）这批布总共有多少米？

3.2×791＝2531.2（米）（2）现在可以做多少套？

2531.2÷2.8＝904（套）列成综合算式

3.2×791÷2.8＝904（套）答：现在可以做904套。和差问题

【含义】已知两个数量的和与差，求这两个数量各是多少，这类应用题叫和差问题。

【数量关系】大数＝（和＋差）÷ 2

小数＝（和－差）÷ 2

【解题思路和方法】简单的题目可以直接套用公式；复杂的题目变通后再用公式。例1

甲乙两班共有学生98人，甲班比乙班多6人，求两班各有多少人？ 解甲班人数＝（98＋6）÷2＝52（人）乙班人数＝（98－6）÷2＝46（人）答：甲班有52人，乙班有46人。4 和倍问题

【含义】已知两个数的和及大数是小数的几倍（或小数是大数的几分之几），要求这两个数各是多少，这类应用题叫做和倍问题。

【数量关系】总和÷（几倍＋1）＝较小的数 总和－较小的数＝较大的数 较小的数×几倍＝较大的数

【解题思路和方法】简单的题目直接利用公式，复杂的题目变通后利用公式。

例1

果园里有杏树和桃树共248棵，桃树的棵数是杏树的3倍，求杏树、桃树各多少棵？ 解（1）杏树有多少棵？

248÷（3＋1）＝62（棵）（2）桃树有多少棵？

62×3＝186（棵）答：杏树有62棵，桃树有186棵。5 差倍问题

【含义】已知两个数的差及大数是小数的几倍（或小数是大数的几分之几），要求这两个数各是多少，这类应用题叫做差倍问题。

【数量关系】两个数的差÷（几倍－1）＝较小的数 较小的数×几倍＝较大的数

【解题思路和方法】简单的题目直接利用公式，复杂的题目变通后利用公式。

例1

果园里桃树的棵数是杏树的3倍，而且桃树比杏树多124棵。求杏树、桃树各多少棵？

解（1）杏树有多少棵？

124÷（3－1）＝62（棵）（2）桃树有多少棵？

62×3＝186（棵）答：果园里杏树是62棵，桃树是186棵。6 倍比问题

【含义】有两个已知的同类量，其中一个量是另一个量的若干倍，解题时先求出这个倍数，再用倍比的方法算出要求的数，这类应用题叫做倍比问题。

【数量关系】总量÷一个数量＝倍数 另一个数量×倍数＝另一总量

【解题思路和方法】先求出倍数，再用倍比关系求出要求的数。

例1

100千克油菜籽可以榨油40千克，现在有油菜籽3700千克，可以榨油多少？ 解（1）3700千克是100千克的多少倍？

3700÷100＝37（倍）（2）可以榨油多少千克？

40×37＝1480（千克）列成综合算式

40×（3700÷100）＝1480（千克）答：可以榨油1480千克。7 相遇问题 【含义】两个运动的物体同时由两地出发相向而行，在途中相遇。这类应用题叫做相遇问题。

【数量关系】相遇时间＝总路程÷（甲速＋乙速）总路程＝（甲速＋乙速）×相遇时间

【解题思路和方法】简单的题目可直接利用公式，复杂的题目变通后再利用公式。

例1

南京到上海的水路长392千米，同时从两港各开出一艘轮船相对而行，从南京开出的船每小时行28千米，从上海开出的船每小时行21千米，经过几小时两船相遇？ 解

392÷（28＋21）＝8（小时）答：经过8小时两船相遇。8 追及问题

【含义】两个运动物体在不同地点同时出发（或者在同一地点而不是同时出发，或者在不同地点又不是同时出发）作同向运动，在后面的，行进速度要快些，在前面的，行进速度较慢些，在一定时间之内，后面的追上前面的物体。这类应用题就叫做追及问题。

【数量关系】追及时间＝追及路程÷（快速－慢速）追及路程＝（快速－慢速）×追及时间

【解题思路和方法】简单的题目直接利用公式，复杂的题目变通后利用公式。

例1

好马每天走120千米，劣马每天走75千米，劣马先走12天，好马几天能追上劣马？ 解（1）劣马先走12天能走多少千米？

75×12＝900（千米）（2）好马几天追上劣马？

900÷（120－75）＝20（天）列成综合算式

75×12÷（120－75）＝900÷45＝20（天）答：好马20天能追上劣马。植树问题

【含义】按相等的距离植树，在距离、棵距、棵数这三个量之间，已知其中的两个量，要求第三个量，这类应用题叫做植树问题。

【数量关系】线形植树棵数＝距离÷棵距＋1 环形植树棵数＝距离÷棵距 方形植树棵数＝距离÷棵距－4 三角形植树棵数＝距离÷棵距－3 面积植树棵数＝面积÷（棵距×行距）

【解题思路和方法】先弄清楚植树问题的类型，然后可以利用公式。

例1

一条河堤136米，每隔2米栽一棵垂柳，头尾都栽，一共要栽多少棵垂柳？ 解

136÷2＋1＝68＋1＝69（棵）答：一共要栽69棵垂柳。10 年龄问题

【含义】这类问题是根据题目的内容而得名，它的主要特点是两人的年龄差不变，但是，两人年龄之间的倍数关系随着年龄的增长在发生变化。

【数量关系】年龄问题往往与和差、和倍、差倍问题有着密切联系，尤其与差倍问题的解题思路是一致的，要紧紧抓住“年龄差不变”这个特点。

【解题思路和方法】可以利用“差倍问题”的解题思路和方法。

例1

爸爸今年35岁，亮亮今年5岁，今年爸爸的年龄是亮亮的几倍？明年呢？ 解

35÷5＝7（倍）（35+1）÷（5+1）＝6（倍）

答：今年爸爸的年龄是亮亮的7倍，明年爸爸的年龄是亮亮的6倍。11 行船问题

【含义】行船问题也就是与航行有关的问题。解答这类问题要弄清船速与水速，船速是船只本身航行的速度，也就是船只在静水中航行的速度；水速是水流的速度，船只顺水航行的速度是船速与水速之和；船只逆水航行的速度是船速与水速之差。

【数量关系】（顺水速度＋逆水速度）÷2＝船速（顺水速度－逆水速度）÷2＝水速

顺水速＝船速×2－逆水速＝逆水速＋水速×2 逆水速＝船速×2－顺水速＝顺水速－水速×2

【解题思路和方法】大多数情况可以直接利用数量关系的公式。

例1

一只船顺水行320千米需用8小时，水流速度为每小时15千米，这只船逆水行这段路程需用几小时？

解由条件知，顺水速＝船速＋水速＝320÷8，而水速为每小时15千米，所以，船速为每小时

320÷8－15＝25（千米）

船的逆水速为

25－15＝10（千米）

船逆水行这段路程的时间为

320÷10＝32（小时）答：这只船逆水行这段路程需用32小时。列车问题

【含义】这是与列车行驶有关的一些问题，解答时要注意列车车身的长度。

【数量关系】火车过桥：过桥时间＝（车长＋桥长）÷车速 火车追及：追及时间＝（甲车长＋乙车长＋距离）÷（甲车速－乙车速）

火车相遇：相遇时间＝（甲车长＋乙车长＋距离）÷（甲车速＋乙车速）【解题思路和方法】大多数情况可以直接利用数量关系的公式。

例1

一座大桥长2400米，一列火车以每分钟900米的速度通过大桥，从车头开上桥到车尾离开桥共需要3分钟。这列火车长多少米？

解火车3分钟所行的路程，就是桥长与火车车身长度的和。（1）火车3分钟行多少米？

900×3＝2700（米）（2）这列火车长多少米？

2700－2400＝300（米）列成综合算式

900×3－2400＝300（米）答：这列火车长300米。时钟问题

【含义】就是研究钟面上时针与分针关系的问题，如两针重合、两针垂直、两针成一线、两针夹角为60度等。时钟问题可与追及问题相类比。

【数量关系】分针的速度是时针的12倍，二者的速度差为11/12。

通常按追及问题来对待，也可以按差倍问题来计算。

【解题思路和方法】变通为“追及问题”后可以直接利用公式。

例1

从时针指向4点开始，再经过多少分钟时针正好与分针重合？

解钟面的一周分为60格，分针每分钟走一格，每小时走60格；时针每小时走5格，每分钟走5/60＝1/12格。每分钟分针比时针多走（1－1/12）＝11/12格。4点整，时针在前，分针在后，两针相距20格。所以

分针追上时针的时间为

20÷（1－1/12）≈ 22（分）答：再经过22分钟时针正好与分针重合。14 盈亏问题 【含义】根据一定的人数，分配一定的物品，在两次分配中，一次有余（盈），一次不足（亏），或两次都有余，或两次都不足，求人数或物品数，这类应用题叫做盈亏问题。

【数量关系】一般地说，在两次分配中，如果一次盈，一次亏，则有： 参加分配总人数＝（盈＋亏）÷分配差 如果两次都盈或都亏，则有：

参加分配总人数＝（大盈－小盈）÷分配差 参加分配总人数＝（大亏－小亏）÷分配差

【解题思路和方法】大多数情况可以直接利用数量关系的公式。

例1

给幼儿园小朋友分苹果，若每人分3个就余11个；若每人分4个就少1个。问有多少小朋友？有多少个苹果？

解按照“参加分配的总人数＝（盈＋亏）÷分配差”的数量关系：（1）有小朋友多少人？（11＋1）÷（4－3）＝12（人）（2）有多少个苹果？

3×12＋11＝47（个）答：有小朋友12人，有47个苹果。工程问题

【含义】工程问题主要研究工作量、工作效率和工作时间三者之间的关系。这类问题在已知条件中，常常不给出工作量的具体数量，只提出“一项工程”、“一块土地”、“一条水渠”、“一件工作”等，在解题时，常常用单位“1”表示工作总量。

【数量关系】解答工程问题的关键是把工作总量看作“1”，这样，工作效率就是工作时间的倒数（它表示单位时间内完成工作总量的几分之几），进而就可以根据工作量、工作效率、工作时间三者之间的关系列出算式。工作量＝工作效率×工作时间 工作时间＝工作量÷工作效率

工作时间＝总工作量÷（甲工作效率＋乙工作效率）

【解题思路和方法】变通后可以利用上述数量关系的公式。

例1

一项工程，甲队单独做需要10天完成，乙队单独做需要15天完成，现在两队合作，需要几天完成？

解题中的“一项工程”是工作总量，由于没有给出这项工程的具体数量，因此，把此项工程看作单位“1”。由于甲队独做需10天完成，那么每天完成这项工程的1/10；乙队单独做需15天完成，每天完成这项工程的1/15；两队合做，每天可以完成这项工程的（1/10＋1/15）。由此可以列出算式：

1÷（1/10＋1/15）＝1÷1/6＝6（天）答：两队合做需要6天完成。正反比例问题

【含义】两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的比的比值一定（即商一定），那么这两种量就叫做成正比例的量，它们的关系叫做正比例关系。正比例应用题是正比例意义和解比例等知识的综合运用。

两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的积一定，这两种量就叫做成反比例的量，它们的关系叫做反比例关系。反比例应用题是反比例的意义和解比例等知识的综合运用。

【数量关系】判断正比例或反比例关系是解这类应用题的关键。许多典型应用题都可以转化为正反比例问题去解决，而且比较简捷。

【解题思路和方法】解决这类问题的重要方法是：把分率（倍数）转化为比，应用比和比例的性质去解应用题。

正反比例问题与前面讲过的倍比问题基本类似。

例1

修一条公路，已修的是未修的1/3，再修300米后，已修的变成未修的1/2，求这条公路总长是多少米？

解由条件知，公路总长不变。

原已修长度∶总长度＝1∶（1＋3）＝1∶4＝3∶12 现已修长度∶总长度＝1∶（1＋2）＝1∶3＝4∶12 比较以上两式可知，把总长度当作12份，则300米相当于（4－3）份，从而知公路总长为

300÷（4－3）×12＝3600（米）答：这条公路总长3600米。17 按比例分配问题

【含义】所谓按比例分配，就是把一个数按照一定的比分成若干份。这类题的已知条件一般有两种形式：一是用比或连比的形式反映各部分占总数量的份数，另一种是直接给出份数。

【数量关系】从条件看，已知总量和几个部分量的比；从问题看，求几个部分量各是多少。总份数＝比的前后项之和

【解题思路和方法】先把各部分量的比转化为各占总量的几分之几，把比的前后项相加求出总份数，再求各部分占总量的几分之几（以总份数作分母，比的前后项分别作分子），再按照求一个数的几分之几是多少的计算方法，分别求出各部分量的值。

例1

学校把植树560棵的任务按人数分配给五年级三个班，已知一班有47人，二班有48人，三班有45人，三个班各植树多少棵？ 解总份数为

47＋48＋45＝140 一班植树

560×47/140＝188（棵）二班植树

560×48/140＝192（棵）三班植树

560×45/140＝180（棵）

答：一、二、三班分别植树188棵、192棵、180棵。18 百分数问题

【含义】百分数是表示一个数是另一个数的百分之几的数。百分数是一种特殊的分数。分数常常可以通分、约分，而百分数则无需；分数既可以表示“率”，也可以表示“量”，而百分数只能表示“率”；分数的分子、分母必须是自然数，而百分数的分子可以是小数；百分数有一个专门的记号“%”。

在实际中和常用到“百分点”这个概念，一个百分点就是1%，两个百分点就是2%。

【数量关系】掌握“百分数”、“标准量”“比较量”三者之间的数量关系： 百分数＝比较量÷标准量 标准量＝比较量÷百分数

【解题思路和方法】一般有三种基本类型：（1）求一个数是另一个数的百分之几；（2）已知一个数，求它的百分之几是多少；（3）已知一个数的百分之几是多少，求这个数。

例1

仓库里有一批化肥，用去720千克，剩下6480千克，用去的与剩下的各占原重量的百分之几？

解（1）用去的占

720÷（720＋6480）＝10%（2）剩下的占

6480÷（720＋6480）＝90% 答：用去了10%，剩下90%。19 “牛吃草”问题 【含义】“牛吃草”问题是大科学家牛顿提出的问题，也叫“牛顿问题”。这类问题的特点在于要考虑草边吃边长这个因素。

【数量关系】草总量＝原有草量＋草每天生长量×天数

【解题思路和方法】解这类题的关键是求出草每天的生长量。

例1

一块草地，10头牛20天可以把草吃完，15头牛10天可以把草吃完。问多少头牛5天可以把草吃完？

解草是均匀生长的，所以，草总量＝原有草量＋草每天生长量×天数。求“多少头牛5天可以把草吃完”，就是说5 天内的草总量要5 天吃完的话，得有多少头牛？设每头牛每天吃草量为1，按以下步骤解答：（1）求草每天的生长量

因为，一方面20天内的草总量就是10头牛20天所吃的草，即（1×10×20）；另一方面，20天内的草总量又等于原有草量加上20天内的生长量，所以

1×10×20＝原有草量＋20天内生长量 同理

1×15×10＝原有草量＋10天内生长量 由此可知（20－10）天内草的生长量为

1×10×20－1×15×10＝50 因此，草每天的生长量为

50÷（20－10）＝5 20 鸡兔同笼问题

【含义】这是古典的算术问题。已知笼子里鸡、兔共有多少只和多少只脚，求鸡、兔各有多少只的问题，叫做第一鸡兔同笼问题。已知鸡兔的总数和鸡脚与兔脚的差，求鸡、兔各是多少的问题叫做第二鸡兔同笼问题。

【数量关系】第一鸡兔同笼问题： 假设全都是鸡，则有

兔数＝（实际脚数－2×鸡兔总数）÷（4－2）假设全都是兔，则有

鸡数＝（4×鸡兔总数－实际脚数）÷（4－2）第二鸡兔同笼问题： 假设全都是鸡，则有

兔数＝（2×鸡兔总数－鸡与兔脚之差）÷（4＋2）假设全都是兔，则有

鸡数＝（4×鸡兔总数＋鸡与兔脚之差）÷（4＋2）

【解题思路和方法】解答此类题目一般都用假设法，可以先假设都是鸡，也可以假设都是兔。如果先假设都是鸡，然后以兔换鸡；如果先假设都是兔，然后以鸡换兔。这类问题也叫置换问题。通过先假设，再置换，使问题得到解决。

例1

长毛兔子芦花鸡，鸡兔圈在一笼里。数数头有三十五，脚数共有九十四。请你仔细算一算，多少兔子多少鸡？ 解假设35只全为兔，则

鸡数＝（4×35－94）÷（4－2）＝23（只）兔数＝35－23＝12（只）

也可以先假设35只全为鸡，则 兔数＝（94－2×35）÷（4－2）＝12（只）鸡数＝35－12＝23（只）答：有鸡23只，有兔12只。21 方阵问题

【含义】将若干人或物依一定条件排成正方形（简称方阵），根据已知条件求总人数或总物数，这类问题就叫做方阵问题。

【数量关系】（1）方阵每边人数与四周人数的关系： 四周人数＝（每边人数－1）×4 每边人数＝四周人数÷4＋1（2）方阵总人数的求法：

实心方阵：总人数＝每边人数×每边人数

空心方阵：总人数＝（外边人数）－（内边人数） 内边人数＝外边人数－层数×2（3）若将空心方阵分成四个相等的矩形计算，则： 总人数＝（每边人数－层数）×层数×4

【解题思路和方法】方阵问题有实心与空心两种。实心方阵的求法是以每边的数自乘；空心方阵的变化较多，其解答方法应根据具体情况确定。

例1

在育才小学的运动会上，进行体操表演的同学排成方阵，每行22人，参加体操表演的同学一共有多少人？

解

22×22＝484（人）

答：参加体操表演的同学一共有484人。商品利润问题

【含义】这是一种在生产经营中经常遇到的问题，包括成本、利润、利润率和亏损、亏损率等方面的问题。

【数量关系】利润＝售价－进货价

利润率＝（售价－进货价）÷进货价×100% 售价＝进货价×（1＋利润率）亏损＝进货价－售价

亏损率＝（进货价－售价）÷进货价×100%

【解题思路和方法】简单的题目可以直接利用公式，复杂的题目变通后利用公式。

例1

某商品的平均价格在一月份上调了10%，到二月份又下调了10%，这种商品从原价到二月份的价格变动情况如何？

解设这种商品的原价为1，则一月份售价为（1＋10%），二月份的售价为（1＋10%）×（1－10%），所以二月份售价比原价下降了

1－（1＋10%）×（1－10%）＝1% 答：二月份比原价下降了1%。23 存款利率问题 【含义】把钱存入银行是有一定利息的，利息的多少，与本金、利率、存期这三个因素有关。利率一般有年利率和月利率两种。年利率是指存期一年本金所生利息占本金的百分数；月利率是指存期一月所生利息占本金的百分数。

【数量关系】年（月）利率＝利息÷本金÷存款年（月）数×100% 利息＝本金×存款年（月）数×年（月）利率 本利和＝本金＋利息

＝本金×［1＋年（月）利率×存款年（月）数］

【解题思路和方法】简单的题目可直接利用公式，复杂的题目变通后再利用公式。

例1

李大强存入银行1200元，月利率0.8%，到期后连本带利共取出1488元，求存款期多长。

解因为存款期内的总利息是（1488－1200）元，所以总利率为（1488－1200）÷1200

又因为已知月利率，所以存款月数为（1488－1200）÷1200÷0.8%＝30（月）答：李大强的存款期是30月即两年半。24 溶液浓度问题

【含义】在生产和生活中，我们经常会遇到溶液浓度问题。这类问题研究的主要是溶剂（水或其它液体）、溶质、溶液、浓度这几个量的关系。例如，水是一种溶剂，被溶解的东西叫溶质，溶解后的混合物叫溶液。溶质的量在溶液的量中所占的百分数叫浓度，也叫百分比浓度。

【数量关系】溶液＝溶剂＋溶质 浓度＝溶质÷溶液×100%

【解题思路和方法】简单的题目可直接利用公式，复杂的题目变通后再利用公式。

例1

爷爷有16%的糖水50克，（1）要把它稀释成10%的糖水，需加水多少克？（2）若要把它变成30%的糖水，需加糖多少克？

解（1）需要加水多少克？

50×16%÷10%－50＝30（克）（2）需要加糖多少克？

50×（1－16%）÷（1－30%）－50 ＝10（克）答：（1）需要加水30克，（2）需要加糖10克。25 构图布数问题

【含义】这是一种数学游戏，也是现实生活中常用的数学问题。所谓“构图”，就是设计出一种图形；所谓“布数”，就是把一定的数字填入图中。“构图布数”问题的关键是要符合所给的条件。

【数量关系】根据不同题目的要求而定。

【解题思路和方法】通常多从三角形、正方形、圆形和五角星等图形方面考虑。按照题意来构图布数，符合题目所给的条件。例1

十棵树苗子，要栽五行子，每行四棵子，请你想法子。解符合题目要求的图形应是一个五角星。

4×5÷2＝10 因为五角星的5条边交叉重复，应减去一半。幻方问题

【含义】把n×n个自然数排在正方形的格子中，使各行、各列以及对角线上的各数之和都相等，这样的图叫做幻方。最简单的幻方是三级幻方。

【数量关系】每行、每列、每条对角线上各数的和都相等，这个“和”叫做“幻和”。三级幻方的幻和＝45÷3＝15

五级幻方的幻和＝325÷5＝65

【解题思路和方法】首先要确定每行、每列以及每条对角线上各数的和（即幻和），其次是确定正中间方格的数，然后再确定其它方格中的数。

例1

把1，2，3，4，5，6，7，8，9这九个数填入九个方格中，使每行、每列、每条对角线上三个数的和相等。

解幻和的3倍正好等于这九个数的和，所以幻和为（1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＋8＋9）÷3＝45÷3＝15 九个数在这八条线上反复出现构成幻和时，每个数用到的次数不全相同，最中心的那个数要用到四次（即出现在中行、中列、和两条对角线这四条线上），四角的四个数各用到三次，其余的四个数各用到两次。看来，用到四次的“中心数”地位重要，宜优先考虑。

设“中心数”为Χ，因为Χ出现在四条线上，而每条线上三个数之和等于15，所以（1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＋8＋9）＋（4－1）Χ＝15×4 2 7 6 9 5 1 4 3 8 即

45＋3Χ＝60

所以Χ＝5 接着用奇偶分析法寻找其余四个偶数的位置，它们 分别在四个角，再确定其余四个奇数的位置，它们分别 在中行、中列，进一步尝试，容易得到正确的结果。27 抽屉原则问题

【含义】把3只苹果放进两个抽屉中，会出现哪些结果呢？要么把2只苹果放进一个抽屉，剩下的一个放进另一个抽屉；要么把3只苹果都放进同一个抽屉中。这两种情况可用一句话表示：一定有一个抽屉中放了2只或2只以上的苹果。这就是数学中的抽屉原则问题。

【数量关系】基本的抽屉原则是：如果把n＋1个物体（也叫元素）放到n个抽屉中，那么至少有一个抽屉中放着2个或更多的物体（元素）。

抽屉原则可以推广为：如果有m个抽屉，有k×m＋r（0＜r≤m）个元素那么至少有一个抽屉中要放（k＋1）个或更多的元素。

通俗地说，如果元素的个数是抽屉个数的k倍多一些，那么至少有一个抽屉要放（k＋1）个或更多的元素。【解题思路和方法】（1）改造抽屉，指出元素；（2）把元素放入（或取出）抽屉；（3）说明理由，得出结论。

例1 育才小学有367个1999年出生的学生，那么其中至少有几个学生的生日是同 一天的？

解由于1999年是润年，全年共有366天，可以看作366个“抽屉”，把367个1999年出生的学生看作367个“元素”。367个“元素”放进366个“抽屉”中，至少有一个“抽屉”中放有2个或更多的“元素”。

这说明至少有2个学生的生日是同一天的。28 公约公倍问题

【含义】需要用公约数、公倍数来解答的应用题叫做公约数、公倍数问题。

【数量关系】绝大多数要用最大公约数、最小公倍数来解答。

【解题思路和方法】先确定题目中要用最大公约数或者最小公倍数，再求出答案。最大公约数和最小公倍数的求法，最常用的是“短除法”。

例1

一张硬纸板长60厘米，宽56厘米，现在需要把它剪成若干个大小相同的最大的正方形，不许有剩余。问正方形的边长是多少？ 解硬纸板的长和宽的最大公约数就是所求的边长。

60和56的最大公约数是4。答：正方形的边长是4厘米。29 最值问题

【含义】科学的发展观认为，国民经济的发展既要讲求效率，又要节约能源，要少花钱多办事，办好事，以最小的代价取得最大的效益。这类应用题叫做最值问题。

【数量关系】一般是求最大值或最小值。

【解题思路和方法】按照题目的要求，求出最大值或最小值。

例1

在火炉上烤饼，饼的两面都要烤，每烤一面需要3分钟，炉上只能同时放两块饼，现在需要烤三块饼，最少需要多少分钟？

解先将两块饼同时放上烤，3分钟后都熟了一面，这时将第一块饼取出，放入第三块饼，翻过第二块饼。再过3分钟取出熟了的第二块饼，翻过第三块饼，又放入第一块饼烤另一面，再烤3分钟即可。这样做，用的时间最少，为9分钟。答：最少需要9分钟。30 列方程问题 【含义】把应用题中的未知数用字母Χ代替，根据等量关系列出含有未知数的等式——方程，通过解这个方程而得到应用题的答案，这个过程，就叫做列方程解应用题。

【数量关系】方程的等号两边数量相等。

【解题思路和方法】可以概括为“审、设、列、解、验、答”六字法。（1）审：认真审题，弄清应用题中的已知量和未知量各是什么，问题中的等量关系是什么。（2）设：把应用题中的未知数设为Χ。

（3）列；根据所设的未知数和题目中的已知条件，按照等量关系列出方程。（4）解；求出所列方程的解。

（5）验：检验方程的解是否正确，是否符合题意。（6）答：回答题目所问，也就是写出答问的话。

同学们在列方程解应用题时，一般只写出四项内容，即设未知数、列方程、解方程、答语。设未知数时要在Χ后面写上单位名称，在方程中已知数和未知数都不带单位名称，求出的Χ值也不带单位名称，在答语中要写出单位名称。检验的过程不必写出，但必须检验。

例1

甲乙两班共90人，甲班比乙班人数的2倍少30人，求两班各有多少人？ 解第一种方法：设乙班有Χ人，则甲班有（90－Χ）人。找等量关系：甲班人数＝乙班人数×2－30人。列方程：

90－Χ＝2Χ－30 解方程得Χ＝40

从而知

90－Χ＝50 第二种方法：设乙班有Χ人，则甲班有（2Χ－30）人。列方程（2Χ－30）＋Χ＝90 解方程得Χ＝40

从而得知

2Χ－30＝50 答：甲班有50

篇2：小学数学典型应用题归纳汇总30种题型

所谓数学思想,就是对数学知识的本质的认识,是建立数学和用数学解决问题的指导思想.如转化思想、数形结合思想、函数思想、可逆思想、归纳思想等.所谓数学方法,是指在数学中提出问题、解决问题过程中,所采用的各种方式、手段等.如参数法、构造法、特殊值法、配方法等.数学思想和数学方法是紧密联系的,强调指导思想时,称数学思想,强调操作过程时,称数学方法.

二、几种常用的数学思想方法介绍及在教学中的运用

1. 转化思想

转换思想是一种解决数学问题的重要策略,是由一种形式变换成另一种形式的思想方法.用转换思想来解决数学问题,转换仅是第一步,第二步要对转换后的问题进行求解,第三步要将转换后问题的解答反演成问题的解答.

例1求式2.5÷1.3÷0.6的值.

此题直接计算比较麻烦,而分数的乘除运算比小数方便,故可将原问题转换为:25/10×10/13×10/6,这样,利用约分就能很快获得本题的解.

2. 数形结合思想

我国著名数学家华罗庚曾说过:“数形结合百般好,割裂分家万事非.”“数”与“形”反映了事物两个方面的属性.笔者认为,数形结合主要指的是数与形之间的一一对应关系.它就是把抽象的数学语言、数量关系与直观的几何图形、位置关系结合起来,通过“以形助数”或“以数解形”使复杂问题简单化,抽象问题具体化.数形结合思想的渗透也为学生以后学习函数奠定了基础.

例2班上的学生每人至少参加一项兴趣小组,有35人参加了美术组,有26人参加了合唱组,有9人两个小组都参加了,求班上有多少名同学?

从图上可以很直观的看出9人是重复了的部分,那么全班的人数就是35+26-9=42(人).

3. 可逆思想

可逆思想是逻辑思维中的基本思想,当顺向思维难于解答时,可以从条件或问题思维寻求解题思路的方法,有时可以借线段图逆推.

例3一辆汽车从甲地开往乙地,第一小时行了全程的1/7,第二小时比第一小时多行了16千米,还有94千米,求甲乙之距.

此题如果直接计算第一天和第二天的行驶距离然后再加上剩余的距离求解,刚开始就遇到了困难,我们还是从已知条件的后边向前推,就会发现94+16所对应的是甲乙两地距离的5/7,故很容易求解.

4. 归纳思想

在研究一般性问题之前,先研究几个简单的、个别的、特殊的情况,从而归纳出一般的规律和性质,这种从特殊到一般的思维方式称为归纳思想.归纳是探索问题、发现数学定理或公式的重要思想方法,也是思维过程中的一次飞跃.

例在教学“三角形内角和”时,先由直角三角形、等边三角形算出其内角和度数,再用猜测、操作、验证等方法推导一般三角形的内角和,最后归纳得出所有三角形的内角和为180度.这就是运用归纳的思想方法.

5. 化归思想

化归思想是数学中最普遍使用的一种思想方法,其基本思想是:

把甲问题的求解化归为乙问题的求解,然后通过乙问题的解反向去获得甲问题的解.它的基本原则是:化难为易,化生为熟,化繁为简.

例4求式1/1×2+1/2×3+1/3×4+…+1/19×20的值.此题乍一看好像无处下手,若按部就班也非解题之道,所以采取化归的思想就能从难而易.原式可化简为1-1/2+1/2-1/3+1/3-1/4+…+1/19-1/20=19/20.

三、总结

篇3：小学数学典型应用题归纳汇总30种题型

一、选择题

1.已知集合A={x| x2+y2=1}, B={y| y=x}, 则

2.设集合A={-1, 2, 3}, B={a+2, a2+2}, A∩B={3}, 则实数a= ( ) .

(A) 1或-1 (B) 1 (C) -1 (D) 2

3.“x≥1”的一个充分不必要条件是 ( ) .

$\begin{array}{l}(\text{A})x>1(\text{B})x\ge 1\\ (\text{C})\left|x\right|>1(\text{D})\left|x\right|\ge 1\end{array}$

4.设集合$A=\{x|a-1\le x<a+1\}‚B=\left\{x|1<x\le 2,x\in \mathbf{R}\right\}$, 若A∩B=∅, 则实数a 的取值范围是 ( ) .

$\begin{array}{l}(\text{A})\{a|0\le a\le 3\}\\ (\text{B})\left\{a|0\le a<3\right\}\\ (\text{C})\left\{a|a\le 0\text{或}a>3\right\}\\ (\text{D})\left\{a|a<0\text{或}a>3\right\}\end{array}$

5.“若x, y∈R且x2+y2=0, 则x, y全为0”的否命题是 ( ) .

(A) 若x, y∈R且x2+y2≠0, 则x, y全不为0

(B) 若x, y∈R且x2+y2≠0, 则x, y不全为0

(C) 若x, y∈R且x, y全为0, 则x2+y2=0

(D) 若x, y∈R且x, y不全为0, 则x2+y2≠0

6.已知命题p:所有有理数都是实数, 命题q:正数的对数都是负数, 则下列命题中为真命题的是 ( ) .

(A) (¬p) ∨q (B) p∧q

(C) (¬p) ∧ (¬q) (D) (¬p) ∨ (¬q)

二、填空题

7.命题“若x>1, 则x2>1”的否定是.

8.若a, b为实数, 则“0<ab<1”是“$a<\frac{1}{b}$或$b>\frac{1}{a}$”的______ 条件.

9.已知集合$A=\{x|x{}^2-5x+6=0\}‚B=\{x|mx-1=0\}$, 且A∩B=B, 则实数m=______.

三、解答题

10.已知$A=\{x|-1<x<4\}‚B=\{x|2a\le x\le a+3\}.$

(Ⅰ) 若A∪B=A, 求实数a的取值范围.

(Ⅱ) 是否存在实数a满足A∩B=A?若存在, 求a的取值范围;若不存在, 请说明理由.

参考答案

1.【错解】集合A表示以原点为圆心的单位圆, 集合B表示过原点的直线, 它们有两个交点, 故选A.

【分析】集合A中的元素为x的取值范围, B中的元素为y的取值范围, 而非曲线上的点, 故A∩B为两个区间的公共部分而不是两曲线的交点.

【解】D.由题意可得$A=\{x|-1\le x\le 1\}‚B=\mathbf{R}$, 于是$A{\displaystyle \cap B}=\{x|-1\le x\le 1\}$, 故选D.

【点拨】正确理解集合所研究的对象 (元素) 是处理集合的起点与关键, 如将集合B换为$B=\{(x,y)|y=x\}$, 则A∩B=∅, 结果差异甚大.

2.【错解】由A∩B={3}, 得3∈B,

∴ (1) 当a+2=3时, a=1;

(2) 当a2+2=3时, 得a=-1或a=1.

∴a=1或-1.故选A.

【分析】事实上, 当a=1时, B={3, 3}出现重复元素, 不符合题意, 应舍去.

【解】C.由A∩B={3}, 可得3∈B,

∴ (1) 当a+2=3时, 即a=1, 这时B={3, 3}, 不符合题意, 应舍去;

(2) 当a2+2=3时, 解之, 得a=-1或a=1 (舍去) , 而当a=-1时, B={1, 3}满足题意.

∴a=-1.

【点拨】集合中不能出现重复元素, 这是集合的一个特征, 需引起注意.

3.【错解$】x\ge 1\Rightarrow \left|x\right|\ge 1$, 而$\left|x\right|\ge 1/\Rightarrow x\ge 1$, 故选D.

【分析】原题问的是“?”是“x≥1”的一个充分不必要条件, 也即“?”⇒“x≥1”, 且“x≥1” /⇒“?”, 而并非错解中的理解.

【解】A. x>1⇒x≥1, 而x≥1 /⇒x>1, 故选A.

【点拨】一般而言, 若A⊂B, 则说明x∈A是x∈B的一个充分不必要条件, 若A=B, 则说明x∈A是x∈B的充要条件.不要将关系搞反了.

4.【错解】由A∩B=∅, 在数轴上表示如图所示, 则有a+1<1或a-1>2, 即a<0或a>3, 故D.

【分析】本解由于所画的数轴过于粗糙, 没有细致标明区间端点值的空与实而出现了错解, 其实, 当a=0时, $A=\{x|-1\le x<1\}$, 也有A∩B=∅.

【解】C. 由题意可得$A=\{x|a-1<x<a+1\}$, 在数轴上表示如图所示, 则有a+1≤1或a-1>2, ∴a≤0或a>3.

【点拨】在用数轴处理集合问题时, 需特别注意端点值的考虑, 必要时可作特殊的检验.

5.【错解】原命题的否命题为“若x, y∈R且x2+y2≠0, 则x, y全不为0”, 故选A.

【分析】“x, y全为0”意义为“x=0且y=0”, 其否定为“x≠0或y≠0”, 也即“x, y不全为0”.上面的错误是对关键词的否定不准确所致.

【解】B.原命题的否命题为“若x, y∈R且x2+y2≠0, 则x, y不全为0”, 故选B.

【点拨】需掌握如下一些关键词的否定:都是 (不都是) , 至少一个 (一个也没有) , 至多一个 (至少两个) , 至少n个 (至多n-1个) , 至多n个 (至少n+1个) , 且 (或) , 或 (且) .

6.【错解1】由题意可得命题p, q均为真命题, 于是p∧q为真命题, 故选B.

【错解2】由题中条件可得命题p为真命题, 命题q为假命题, 则¬p为假命题, ¬q为真命题, 则命题 (¬p) ∧ (¬q) 为真命题, 故选C.

【分析】错解1由于错判了命题q的真假性而出错, 其实对于正数x, 其对数logax∈R (a>0且a≠1) 可以为任意数, 故q为假命题;错解2是对复合命题真假性的概念模糊所致.

【解】D.由题意可得命题p为真命题, 命题q为假命题, 则¬p为假命题, ¬q为真命题, 于是 (¬p) ∨q, p∧q, (¬p) ∧ (¬q) 均为假命题, 只有 (¬p) ∨ (¬q) 为真命题, 故选D.

【点拨】复合命题的真假性如下: (1) p∨q为真⇔p, q至少一个为真 (一真一假或两真) , p∨q为假⇔p, q均为假; (2) p∧q为真⇔p, q均为真 (两真) , p∧q为假⇔p, q至少一个为假 (一真一假或两假) ; (3) ¬p为真⇔p为假, ¬p与p必一真一假; (4) p∨q为真, p∧q为假⇔p, q一真一假 (p真q假或p假q真) .

7.【错解1】若x≤1, 则x2≤1.

【错解2】若x>1, 则x2≤1.

【分析】错解1将命题的否定错误地理解为否命题致错, 错解2是不深入理解所给命题的意义所致.事实上, “若x>1, 则x2>1”的意思为“对于任意x>1, 则x2>1”, 属于全称命题, 其否定为“不是任意的x>1, 使得x2>1”, 即“存在x>1, 使得x2≤1”.

【解】存在x>1, 使得x2≤1.

【点拨】“否命题”与“命题的否定”的区别:

(1) 否命题:既否定条件, 也否定结论, 如“若p, 则q”的否命题是“若¬p, 则¬q”, 多用于考虑“若p, 则q”形式的否命题;

(2) 命题的否定:只否定结论, 简记为“非p” (即¬p) , 如“若p, 则q” 命题的否定是“若p, 则¬q”, 多用于考虑“∀x, 使p”或“∃x, 使p”形式的命题的否定.

8.【错解】由0<ab<1知, a, b同号, 若a>0, b>0, 则$a<\frac{1}{b}$且$b<\frac{1}{a}$;若a<0, b<0, 则$a>\frac{1}{b}$且$b>\frac{1}{a}$, 即“0<ab<1”⇒“$a<\frac{1}{b}$或$b>\frac{1}{a}$”.反之也行, 故“0<ab<1”是“$a<\frac{1}{b}$或$b>\frac{1}{a}$”的充要条件.

【分析】其实反之是不行的, “$a<\frac{1}{b}$或$b>\frac{1}{a}$”⇔“$\frac{ab-1}{b}<0$或$\frac{ab-1}{a}>0$”取a<0, b>0, 则$\frac{ab-1}{a}>0$, 这时ab<0, 得不到0<ab<1.

【解】充分不必要条件.结合上面的错解与分析知, 前者是后者的充分不必要条件.

【点拨】对于充要条件的推断, 需要严格实行双向的推导, 不能草率地下“反之也行”的结论, 除非确实可行.在直接论证有困难时, 可考虑给出反例, 给予否定.

9.【错解】由题意可得A={2, 3}, 而由A∩B=B可知, B⊆A, 于是B={2}或B={3}.

当B={2}时, 由m×2-1=0, 得$m=\frac{1}{2}$;

当B={3}时, 由m×3-1=0, 得$m=\frac{1}{3}.$

∴实数$m=\frac{1}{2}$或$\frac{1}{3}.$

【分析】以上解法只注意到B≠∅的情形, 事实上, B=∅时, 仍满足A∩B=B.

【解$】m=\frac{1}{2}$或$\frac{1}{3}$或0.

(1) 当B≠∅时, 由上述可知, $m=\frac{1}{2}$或$\frac{1}{3}$;

(2) 当B=∅时, 由mx-1=0无实数根, 得m=0.

故实数m的值为$m=\frac{1}{2}$或$\frac{1}{3}$或0.

【点拨】空集与全集是两个比较特殊的集合, 充分考虑这两个集合才不易出现漏解、错解.

10.【错解】 (Ⅰ) 由A∪B=A知, B⊆A, 有解之, 得$-\frac{1}{2}<a<1.$

∴a的取值范围是$(-\frac{1}{2},1).$

(Ⅱ) 由A∩B=A知, B⊆A, 同 (Ⅰ) 得a的取值范围是$(-\frac{1}{2},1).$

【分析】由于只注意到B≠∅的情形而致错;而 (Ⅱ) 由A∩B=A得B⊆A, 错判了A, B的关系而出错, 其实A∩B=A⇒A⊆B,

【解】 (Ⅰ) 由A∪B=A知, B⊆A.

(1) 当B≠∅时, 由上述解法, 得$-\frac{1}{2}<a<1.$

(2) 当B=∅时, 由2a>a+3, 得a>3,

∴a的取值范围是$(-\frac{1}{2},1){\displaystyle \cup (}3,+\infty ).$

(Ⅱ) 由A∩B=A知, A⊆B, 有

此不等式无解,

故不存在实数a满足A∩B=A.

【点拨】 (1) 在考虑集合之间的关系时, 需要特别关注空集的情形; (2) 由集合的运算判断集合之间的关系时, 可结合韦恩图予以直观表示, 不难得到如下一些结论:①A∪B=A⇒B⊆A;②A∩B=A⇒A⊆B;③A∪B=A∩B⇒A=B.

二、函数与微积分部分

一、选择题

1.函数y=f (x) 的图象与直线x=a的交点个数为 ( ) .

(A) 至少有一个 (B) 至多有一个

(C) 必有一个 (D) 有一个或两个

2.函数f (x) = (a-2) x2+2 (a-2) x-4的定义域为R, 值域为 (-∞, 0], 则实数a的取值范围是 ( ) .

(A) (-∞, 2) (B) (-∞, -2)

(C) {-2} (D) [-2, 2]

3.设函数f (x) =xsinx, 若$x{}_1,x{}_2\in [-\frac{\text{π}}{2},\frac{\text{π}}{2}]$, 且f (x1) > f (x2) , 则下列结论正确的是 ( ) .

(A) x1>x2 (B) x1+x2>0

(C) x1<x2 (D) x${}_1^2$>x${}_2^2$

4. (2011年娄底模拟卷) ∫${}_2^4$$\frac{1}{x}dx$等于 ( ) .

(A) -2ln2 (B) 2ln2 (C) -ln2 (D) ln2

5. (2011年枣庄月考卷) 由曲线y=x2, y=x3围成的封闭图形的面积为 ( ) .

$\begin{array}{l}(\text{A})\frac{1}{12}(\text{B})\frac{1}{4}\\ (\text{C})\frac{1}{3}(\text{D})\frac{7}{12}\end{array}$

6. (2010年全国卷) 设a=log32, b=In$2,c=5{}^{\frac{1}{2}}$, 则 ( ) .

(A) a<b<c (B) b<c<a

(C) c<a<b (D) c<b<a

7. (2010年全国文科卷) 已知函数f (x) =|lgx|.若a≠b, 且f (a) =f (b) , 则a+b的取值范围是 ( ) .

(A) (1, +∞) (B) [1, +∞)

(C) (2, +∞) (D) [2, +∞)

8. (2011年豫南四市一模卷) 设$F(x)=f(x)+f(-x),x\in \mathbf{R}‚[-\text{π},-\frac{\text{π}}{2}]$是函数 F (x) 的单调递增区间, 将F (x) 的图象按向量a= (π, 0) 平移得到一个新的函数 G (x) 的图象, 则下列区间必定是G (x) 的单调递减区间的是 ( ) .

$\begin{array}{l}(\text{A})[-\frac{\text{π}}{2},0](\text{B})[\frac{\text{π}}{2},\text{π}]\\ (\text{C})[\text{π},\frac{3\text{π}}{2}](\text{D})[\frac{3\text{π}}{2},2\text{π}]\end{array}$

二、填空题

9.函数$f(x)=(1-x)\sqrt{\frac{1+x}{1-x}}$是_______ (填“奇函数”或“偶函数”或“既是奇函数, 又是偶函数”或“非奇非偶函数”) .

10.若函数y=loga (2x+1) 恒为正值, 则x的取值范围是_______.

11.方程sinx=x的解的个数为_____.

12.函数f (x) =2x3-6x2-3的单调递增区间为_____.

13.已知y=f (x) 是偶函数, y=g (x) 是奇函数, x∈[0, π]上的图象如图所示, 则不等式$\frac{f(x)}{g(x)}<0$的解集是____.

三、解答题

14. (2011年襄阳模拟卷) 求∫${}_0^{2\text{π}}$$|\sin \theta |d\theta .$

15. 已知函数f (x) =x3+ax2+bx+a2在x=1处有极值10, 求a.b的值.

16.已知曲线$y=\frac{1}{3}x{}^3+\frac{4}{3}$, 求曲线过点P (2, 4) 的切线方程.

17.已知函数f (x) =ax3+3x2-x+2在R上是减函数, 求a的取值范围.

18.求曲线$f(x)=\sqrt[3]{x}$在原点处的切线方程.

19.已知函数f (x) 的定义域为R, 对任意x1, x2都满足 f (x1) +f (x2) =f (x1+ x2) .当x>0时, f (x) >0, 又f (cos2θ-3) + f (4m-2mcosθ) >0, 对所有$\theta \in [0,\frac{\text{π}}{2}]$均成立.求实数m的取值范围.

20.已知抛物线C1:y=x2+2x 和C2:y=-x2+a, 如果直线l同时是C1和C2的切线, 称l是C1和C2的公切线.问a取什么值时, C1和 C2有且仅有一条公切线?写出公切线的方程.

21.判断命题“当a>1时, 关于x的方程ax=logax没有实数解” 的真假.

22.求函数$f(x)=(x-1){}^{2}x{}^{\frac{2}{3}}$的极小值及取得极小值时相应的x值.

23.已知函数f (x) = (x+1) lnx-x+1.

(Ⅰ) 若xf′ (x) ≤x2+ax+1, 求a的取值范围;

(Ⅱ) 证明: (x-1) f (x) ≥0.

参考答案

1.【错解】A、C或D.

【分析】对函数的定义理解得不透彻.函数是从非空数集A到非空数集B的映射, 故定义域内的一个x值只能对应一个y值.

【解】B.

2.【错解】函数f (x) = (a-2) x2+2 (a-2) x-4的值域为 (-∞, 0) , 即f (x) ≤0恒成立,

解之, 得-2≤a≤2, 故选D.

【分析】值域为 (-∞, 0]与f (x) ≤0恒成立等价吗?事实上, 值域为 (-∞, 0]是指f (x) 的最大值为0, 从而a=2.

【解】C.

【评析】数学语言是非常简练而又多姿多彩的, 对数学语言的准确理解是解题的基础, 若发生词义上的错觉, 必会在解题之道上迷失方向.

3. 【错解】函数y=x与y=sinx在$[-\frac{\text{π}}{2},\frac{\text{π}}{2}]$上都是递增的, 从而f (x) =xsinx在$[-\frac{\text{π}}{2},\frac{\text{π}}{2}]$上也递增, 故由f (x1) > f (x2) , 可得x1>x2, 故选A.

【分析】受“增+增=增, 减+减=减”的影响, 错误地认为“增×增=增, 减×减=减”也成立, 导致错误.搞清复合函数及组合函数性质成立的前提条件, 才能避免错误的发生.

【解】D.由于f (x) =xsinx在$[-\frac{\text{π}}{2},\frac{\text{π}}{2}]$上是偶函数, 因此f (x1) > f (x2) 等价于f (|x1|) > f (|x2|) , 而y=xsinx在$[0,\frac{\text{π}}{2}]$上是单调递增函数, 故|x1|>|x2|.故选D.

4.【错解】, 故选C.

【分析】将定积分的上、下限搞错导致错误.这是对定理、公式的使用不当而出错.

【解】, 故选D.

5. 【错解】B、C或D.

【分析】不知道两曲线所围成的封闭图形是什么, 无法确定定积分的上限与下限, 导致失误.

【解】A.画图可知曲线y=x2, y=x3围成的封闭图形面积为, 故选A.

6. 【错解】A、B或D.

【分析】由于对指数函数与对数函数的性质、实数大小的比较、换底公式、不等式中的倒数法则等的综合应用出现失误导致错选.

【解$】\text{C}.\because a=\log {}_{3}2=\frac{1}{\log {}_{2}3},b=\ln 2=\frac{1}{\log {}_2\text{e}}$, 而log23>log2e>1, ∴a<b.而$c=5{}^{-\frac{1}{2}}=\frac{1}{\sqrt{5}},\sqrt{5}＞2=\log {}_{2}4＞\log {}_{2}3,\therefore c<a$, 综上c<a<b, 故选C.

7. 【错解】D.

【分析】忽视了a≠ b这一条件, 利用均值不等式直接推出了$a+b=a+\frac{1}{a}\ge 2$, 从而错选D, 忽视已知条件出错.

【解】C.∵ f (a) =f (b) , 即|lga|=|lgb|, ∴ a=b (舍) 或$b=\frac{1}{a}‚a+b=a+\frac{1}{a}$.又a >0, 令$f(a)=a+\frac{1}{a}$, 由“对号函数”的性质知, 函数f (a) 在a∈ (0, 1) 上为减函数, 在 (1, +∞) 上为增函数, ∴f (a) >f (1) =1+1=2, 即a+b的取值范围是 (2, +∞) . 当然, 我们也可以利用线性规划知识求解.

8. 【错解】D.由于$[-\text{π},-\frac{\text{π}}{2}]$是函数F (x) 的单调递增区间, 将F (x) 的图象按向量a= (π, 0) 平移后, 得$[0,\frac{\text{π}}{2}]$是新的函数G (x) 的单调递增区间, 由于原函数是偶函数, 因而$[-\frac{\text{π}}{2},0]$必定是G (x) 的单调递减区间 , 故选A.

【分析】受原函数强信息的影响, 不注意变换后的函数已发生了变化, 仍把原函数的奇偶性迁移到新函数中, 从而形成了错觉.搞清新旧函数之间的关系, 是正确求解的不二法门.

【解】D.函数G (x) 的图象由函数F (x) 平移得到, 它们的奇偶性并不一致.事实上, 由于$[-\text{π},-\frac{\text{π}}{2}]$是函数F (x) 的单调递增区间, 因此, $[\frac{\text{π}}{2},\text{π}]$是F (x) 的单调递减区间, 而它的图象通过向量a= (π, 0) 平移后, 相应地, $[\frac{3\text{π}}{2},2\text{π}]$必为函数G (x) 的单调递减区间, 故选D.

9. 【错解$】\because (1-x)\sqrt{\frac{1+x}{1-x}}=\sqrt{1-x{}^2},$

∴函数$f(x)=(1-x)\sqrt{\frac{1+x}{1-x}}$是偶函数.

【分析】判断函数奇偶性时, 首先要看函数的定义域是否关于原点对称, 上述解法恰恰忽略了这一点, 对函数奇偶性理解有误.

【解】由$\frac{1+x}{1-x}\ge 0$, 得函数的定义域为[-1, 1) , 不关于原点对称, 故f (x) 为非奇非偶函数.

10. 【错解】由y=loga (2x+1) >0, 得2x+1>1, 即x>0.

【分析】没有全面理解对数函数的性质, 缺乏分类讨论意识, 从而导致错误. 这是对对数函数的性质理解有误.

【解】当a>1时, 由y=loga (2x+1) >0, 得2x+1>1, 即x>0;当0<a<1时, 函数的值恒大于零, 则0<2x+1<1, 即$-\frac{1}{2}<x<0$.故x的取值范围:当a>1时, x>0;当0<a<1时, $-\frac{1}{2}<x<0.$

11. 【错解】在同一坐标系中画出y=sinx和y=x的草图, 观察图形可得y=sinx和y=x有两个解, 故方程sinx=x的解有3个.

【分析】学生画的草图不细致, 在画图过程中脱离了代数思考, 没有真正在思维上实现代数与图形的结合.

【解】由题意易知, 当$0<x<\frac{\text{π}}{2}$时, 0<sinx<x, 于是, 图象应如下图所示, 故方程只有一个解x=0.答案为1.

12. 【错解】f ′ (x) = 6x2-12x, 令f ′ (x) >0, 解之, 得x<0或x>2, 故f (x) 的单调增区间是 (-∞, 0) ∪ (2, +∞) .

【分析】上述解答错在单调增区间的结论表达上.首先, (-∞, 0) ∪ (2, +∞) 不是一个区间, 从而不是单调增区间;其次, 这两个区间没有公共点, 也不能合并;再就是, 由于f (x) 是连续函数, 且f (0) > f (2) , 故f (x) 在 (-∞, 0) ∪ (2, +∞) 上也不是单调递增.

【解】f (x) 的单调增区间是 (-∞, 0) , (2, +∞) 或 (-∞, 0], [2, +∞) .

【评析】一般地, ①如果函数f (x) 在区间 (a, b) 上是单调函数, 且函数图象在闭区间[a, b]上是连续不断的, 则函数f (x) 在闭区间[a, b]上也是单调函数, 此时的单调区间写成开区间和闭区间都正确.②函数单调区间能合并的充要条件是:相邻区间的单调性相同且在公共点处连续.如y=x3在 (-∞, 0) 和 (0, +∞) 上都是增函数且在x=0处连续, 故y=x3的增区间是 (-∞, +∞) .若相邻两区间在公共端点处不连续或无公共点, 则两区间不能合并, 只能用“逗号”或“和”字隔开.

13. 【错解】由题图可知, 不等式$\frac{f(x)}{g(x)}<0$的解集为$(\frac{\text{π}}{3}‚\text{π}).$

【分析】同学们没有真正关注“y=f (x) 是偶函数, y=g (x) 是奇函数”这一条件, 想当然认为函数的定义域就是[0, π].

【解】根据对称性, 只要画出两个函数在同一周期内的草图, 易得不等式的解集为$(-\frac{\text{π}}{3}‚0){\displaystyle \cup (}\frac{\text{π}}{3}‚\text{π}).$

14.【错解】原式

【分析】由于没有考虑绝对值符号, 直接使用积分公式导致出错. 对被积分函数中含有的绝对值处理有误.

【解】原式

$\begin{array}{l}15.【\text{错}\text{解}】f{}^{\prime }(x)=3x{}^2+2ax+b,\\ \because \{\begin{array}{l}f{}^{\prime }(1)=0,\\ f(1)=10,\end{array}\therefore \{\begin{array}{l}2a+b=-3,\\ 1+a+b+a{}^2=10.\end{array}\end{array}$

解之, 得或

【分析】上述解答错在没有弄清“f ′ (1) =0是可导函数 f (x) 在x=1处有极值的必要不充分条件, 忽视验证充分性.

【解】求出两组a, b值的过程同上.∵当a=-3, b=3时, f ′ (x) =3 (x-1) 2≥0, ∴f (x) 在x=1处不存在极值, 应舍去;而当a=4, b=-11时, f ′ (x) =3x2+8x-11= (x-1) (3x+11) , 易知在x=1处有极小值, 符合题意.故正确答案为a=4, b=-11.

16. 【错解】∵f ′ (x) =x2, ∴切线的斜率k= f ′ (2) =4, 所求切线方程为y-4=4 (x-2) , 即4x-y-4=0.

【分析】导致错误的原因是概念不清, 误把曲线在点P处的切线当成曲线过点P的切线求解.

【解】设曲线与过点P的切线与曲线相切于点$Q(x{}_0,\frac{1}{3}x{}_0^3+\frac{4}{3}).\because f{}^{\prime }(x)=x{}^2,\therefore$切线的斜率k=f ′ (x0) =x${}_0^2$, 切线方程为$y-(\frac{1}{3}x{}_0^3+\frac{4}{3})=x{}_0^2(x-x{}_0).①$又∵点P (2, 4) 在切线上, $\therefore 4-(\frac{1}{3}x{}_0^3+\frac{4}{3})=x{}_0^2(2-x{}_0)$, 即 (x0-2) 2 (x0+1) =0, 解之, 得x0=2或x0=-1.代入①化简后, 得到所求的切线方程为4x-y-4=0或x-y+2=0.

【评析】事实上, 曲线y=f (x) 在点P (x1, y1) 处的切线, 是指以点P为切点的切线, 若存在, 只有一条, 其方程为y- y1= f ′ (x1) (x- x1) ;而曲线y=f (x) 过点P的切线, 其切点不一定是点P, 其切线也不一定只有一条.此时无论点P是否在曲线y=f (x) 上, 一般解法是:先设切点为Q (x2, f (x2) ) , 切线方程为y- f (x2) = f ′ (x2) · (x- x2) .① 再把点P坐标代入方程①化简, 进而可得所求的切线方程.

17.【错解】f ′ (x) =3ax2+6x-1 .∵f (x) 在R上是减函数, ∴f ′ (x) <0对x∈R恒成立, ∴a<0, 且Δ=36+12a<0, 故a<-3即为所求.

【分析】f ′ (x) <0是f (x) 为减函数的充分不必要条件, 本题忽视了f ′ (x) =0的特殊情形.

【解】f ′ (x) =3ax2+6x-1.

① 当f ′ (x) <0 (x∈R) 时, f (x) 是减函数, 3ax2+6x-1<0 (x∈R) ⇔a<0, 且Δ=36+12a<0⇔a<-3, ∴当a<-3时, 由f ′ (x) <0知, f (x) (x∈R) 是减函数;

②当a=-3时, $f(x)=-3x{}^3+3x{}^2-x+2=-3(x-\frac{1}{3}){}^3+\frac{17}{9}$, 由函数y=x3在R上的单调性可知, 当a=-3时, f (x) (x∈R) 是减函数;

③当a>-3时, 在R上存在一个区间, 其上有 f ′ (x) >0, ∴当a>-3时, 函数 f (x) (x∈R) 不是减函数.

综上所述, a的取值范围是 (-∞, -3].

我们还可以采用下面更简捷的解法:

由题设易得f ′ (x) =3ax2+6x-1. ∵f (x) 在R上是减函数且 f ′ (x) 在R的任意子区间上不恒为0, ∴f ′ (x) ≤0 对x∈R恒成立, 即a<0, Δ=36+12a≤0, ∴a≤-3即为所求.

【评析】一般地, 可导函数f (x) 在区间 (a, b) 上是增 (减) 函数的充要条件:对任意的x∈ (a, b) 都有f ′ (x) ≥0 (f ′ (x) ≤0) , 且f ′ (x) 在 (a, b) 的任何子区间内都不恒等于0.特别是在已知函数的单调性求参数的取值范围时, 要注意等号是否成立.

18. 【错解$】f{}^{\prime }(x)=\frac{1}{3\sqrt[3]{x{}^2}}‚\because f{}^{\prime }(0)$不存在,

∴曲线在原点处切线不存在.

【分析】曲线在某点的导数不存在, 只能说明此处切线的斜率不存在, 而不能说切线不存在.

【解】由切线的定义——割线的极限位置可知, 所求的切线方程为x=0, 即y轴.

19. 【错解】由题意知, 对任意x1, x2都满足 f (x1) +f (x2) =f (x1+ x2) , ∴f (cos2θ-3) + f (4m-2mcosθ) = f (cos2θ-2mcosθ+4m -3) , 且当x>0时, f (x) >0.于是, 原不等式转化为$\cos 2\theta -2m\cos \theta +4m-3>0‚\therefore m>\frac{\cos {}^2\theta -2}{\cos \theta -2}=\cos \theta -2+\frac{2}{\cos \theta -2}+4$.由基本不等式可知, $\cos \theta -2+\frac{2}{\cos \theta -2}+4$在$\theta \in [0,\frac{\text{π}}{2}]$上的最大值为$4-2\sqrt[]{2}$, 故m的取值范围为$[4-2\sqrt[]{2}‚+\infty ).$

【分析】“f (cos2θ-3) + f (4m-2mcosθ) = f (cos2θ-2mcosθ+4m -3) ”这一步没有错, 但在“脱去” f时, 犯了转化不等价的错误.尽管已知条件中告诉我们“当x>0时, f (x) >0”, 但并没有说反之亦然, 即“当f (x) >0时, x>0”, 我们不能想当然地认为它是正确的, 这个结论需要证明.

【解】解题的关键是如何从f (cos2θ-3) + f (4m-2mcosθ) >0中合理地“剥离”出一个关于m的不等式.令x1=x2=0, 则f (0) =0.又令x1=-x2, 则f (-x2) =-f (x2) , ∴函数f (x) 是奇函数, 于是, 当x<0时, f (x) <0.从而得到结论:当f (x) >0时, x>0.以下解题过程同上.

20.【错解】如图, 当曲线 C1和曲线 C2有且仅有一个交点时, 只有一条公切线.于是联立方程组:y=x2+2x和y=-x2+a , 得到2x2+2x-a=0, 令Δ=4+8a=0, 求得$a=-\frac{1}{2}$.此时, $x=-\frac{1}{2},y=-\frac{3}{4}$, 故公切线方程为$y=x-\frac{1}{4}.$

【分析】当两直线只有一个交点 (即公共交点) 时, 存在公切线, 并且最多只有一条, 但并不说明“只有一个交点”等价于“只有一条公切线”, 上述错解犯了逻辑推理上的不等价转换方面的隐性错误.尽管a的值及切线方程没有错, 但解题过程是错误的.

【解】设l切 C1于P1 (x1, y1) , l切C2于 (x2, y2) , 则切线方程为y- ( x${}_1^2$+2 x1) = (2 x1+2) (x-x1) 和y- (-x${}_2^2$+a) =-2 x2 (x- x2) .因为l是一条公切线, 以上两切线的斜率相等, 即2 (x1+1) = -2 x2, 且-x${}_1^2$= x${}_2^2$+a, 于是, 2x${}_1^2$+2x1+1+a=0.由Δ=0推得$a=-\frac{1}{2}$, 以下解题过程略.

其实由两个曲线方程通过加减消元法得到两个曲线的公共弦方程$y=x+\frac{a}{2}$, 可以从公共弦的角度处理.读者可以试一下.

21. 【错解】当a>1时, 函数y=ax与函数y=logax关于直线y=x对称, 并且分布在直线的两侧, 所以关于x的方程ax=logax没有实数解.

【分析】由于学生受平时画草图的影响, 时常将函数y=ax与函数y=logax (a>1) 画在直线y=x的两侧, 犯了作草图不合格的毛病.

【解】命题为假.事实上, 当$a=\sqrt{2}$时, 函数y=ax与y=logax显然有一个公共点 (2, 2) .

22. 【错解$】f{}^{\prime }(x)=2(x-1)x{}^{\frac{2}{3}}+\frac{2}{3}(x-1){}^{2}x{}^{-\frac{1}{3}}=\frac{2}{3}x{}^{-\frac{1}{3}}(x-1)(4x-1).$

∵ f ′ (0) 不存在, ∴f (0) 不是f (x) 的极小值.

又当x∈ (1, +∞) 时, f ′ (x) >0, 当$x\in (\frac{1}{4},1)$时, f ′ (x) <0, 故当x=1时, f (x) 有极小值0.

【分析】由f ′ (0) 不存在直接判定f (0) 不是f (x) 的极小值, 从而导致错误.

【解$】f{}^{\prime }(x)=2(x-1)x{}^{\frac{2}{3}}+\frac{2}{3}(x-1){}^{2}x{}^{-\frac{1}{3}}=\frac{2}{3}x{}^{-\frac{1}{3}}(x-1)(4x-1).\because f(x)$的定义域为R, 而当x∈ (-∞, 0) 时, f ′ (x) <0, f (x) 为减函数, 当$x\in (0,\frac{1}{4})$时, f ′ (x) >0, f (x) 为增函数.故f (x) 在x=0处有极小值f (0) =0;当x=1时, f (x) 也有极小值0.故当x=0或x=1时, 函数有极小值0.

【评析】许多人认为“f ′ (x0) =0是函数f (x) 在 x0处有极值的必要不充分条件”, 其实结论并不正确.必要不充分的例子:f (x) =x3在x=0处 f ′ (0) =0, 但 f (x) 在R上单调递增无极值;充分不必要的例子: f (x) =|x|在 x=0处有极小值0, 但因为当Δx无限趋近于0时, $\frac{\text{Δ}y}{\text{Δ}x}=\frac{f(0+\text{Δ}x)-f(0)}{\text{Δ}x}=\frac{|\text{Δ}x|}{\text{Δ}x}$不无限趋近于一个常数, 所以f ′ (0) 不存在.因此, f ′ (x0) =0是函数f (x) 在 x0处有极值的既不充分也不必要条件.由于教材中涉及的函数都是可导函数, 容易使人产生误解.事实上, f ′ (x0) =0是可导函数f (x) 在 x0处有极值的必要不充分条件.当函数在某点处不可导时, 不能直接判定在该点无极值, 此时要考察函数在该点附近的图象特征, 用极值定义来判断.

23. 【分析】 据对某市的抽样调查可知, 本题的得分率比较低.造成错解、失分的主要原因:一是对本题不理解或思维深度不够, 放弃不做, 或对求导公式不熟悉, 求导出错不能得分;二是解题步骤不规范, 叙述不严谨, 如, 在第 (Ⅰ) 问中对于构造函数g (x) =lnx-x, 由$g^{\prime }(x)=\frac{1}{x}-1=0$直接得出g (x) 在x=1处取最大值, 说理不充分;三是不善于从分析题意中选准突破口, 分类讨论意识不强, 不善于正确灵活地实现问题的转化.如, 第 (Ⅱ) 问, 不会结合f (1) =0这一隐含条件, 转化为研究函数f (x) 的单调性问题, 通过分类讨论使问题得以解决, 而是盲目地把 (x-1) f (x) 展开设为h (x) , 造成求导的复杂运算, 致使解答受阻, 无功而返, 2011年全国新课程卷的文、理第21题, 又一次考查了学生这方面的综合能力, 但得分还是不太理想, 这不能不引起我们的深思.

【解$】(\mathrm{Ⅰ})\because f{}^{\prime }(x)=\frac{x+1}{x}+\ln x-1=\ln x+\frac{1}{x}‚\therefore xf{}^{\prime }(x)=x\ln x+1‚xf{}^{\prime }(x)\le x{}^2+ax+1\iff \ln x-x\le a$.令g (x) =lnx-x, 则$g^{\prime }(x)=\frac{1}{x}-1$.当0<x<1时, g′ (x) >0;当x≥1时, g′ (x) ≤0.

∴x=1是g (x) 的最大值点, g (x) ≤g (1) =-1.

综上, a的取值范围是[-1, +∞) .

(Ⅱ) 由 (Ⅰ) 知, g (x) ≤g (1) =-1,

即lnx-x+1≤0.

当0<x<1时, f (x) = (x+1) lnx-x+1=xlnx+ (lnx-x+1) ≤0;

当x≥1时, $f(x)=\ln x+(x\ln x-x+1)=\ln x+x(\ln x+\frac{1}{x}-1)=\ln x-x(\ln \frac{1}{x}-\frac{1}{x}+1)\ge 0$,

故 (x-1) f (x) ≥0.

当然, 在 (Ⅱ) 中, 我们也可以借助于f ″ (x) 加以证明.

三、三角函数与解三角形部分

一、选择题

1.已知角α的正弦线是单位长度的有向线段, 那么角α的终边在 ( ) .

(A) x轴上 (B) y轴上

(C) 直线y=x上 (D) 直线y=-x上

2.已知$\sin (\text{π}+\alpha )=-\frac{1}{2}$, 则$\cos (\alpha -\frac{3\text{π}}{2})$等于 ( ) .

$\begin{array}{l}(\text{A})-\frac{1}{2}(\text{B})\frac{1}{2}\\ (\text{C})-\frac{\sqrt{3}}{2}(\text{D})\frac{\sqrt{3}}{2}\end{array}$

3.把函数y=sinx的图象 ( ) 可得到函数y=cosx的图象.

(A) 向右平移$\frac{\text{π}}{2}$个单位

(B) 向左平移$\frac{\text{π}}{2}$个单位

(C) 向右平移π个单位

(D) 向左平移π个单位

4.已知角θ的顶点为坐标原点, 始边为x轴的正半轴, 终边经过点P (a, a) (a≠0) , 则

5.若α∈ (0, π) , 且$\cos \alpha +\sin \alpha =\frac{1}{3}$, 则

6.已知a, b, c分别是△ABC的三个内角A, B, C所对的边, 若$a=1,b=\sqrt{3},A+C=2B$, 则角A等于 ( ) .

(A) 30° (B) 60°

(C) 30°或150° (D) 150°

二、填空题

7.

8.方程cos2x=x的实根的个数为.

9.已知函数f (x) =acosx+b的最大值为1, 最小值为-3, 则函数g (x) =bsinx+a的最大值为.

三、解答题

10.函数$f(x)=\cos (-\frac{x}{2})+\sin (\frac{x}{2}-\text{π}),x\in \mathbf{R}.$

(Ⅰ) 求f (x) 的最小正周期;

(Ⅱ) 求f (x) 在[0, 2π]上的最大值与最小值.

11.设函数f (x) =sin (2x+φ) (-π<φ<0) , y=f (x) 图象的一条对称轴是直线$\mathbf{x}=\frac{\mathit{\pi }}{8}.$

(Ⅰ) 求φ的值;

(Ⅱ) 画出函数y=f (x) 在区间[0, π]上的图象.

参考答案

1.【错解】由于对正弦线的概念没有了印象, 随意猜一个了事, 如选C.

【分析】正弦线是在正弦函数的定义的基础上结合单位圆给出的, 如图, 在单位圆中, 有$\mathit{s}\mathit{i}\mathit{n}\mathbf{\alpha }=\frac{\mathbf{y}}{\mathbf{r}}=\mathbf{A}\mathbf{{\rm P}}(\angle \mathbf{A}\mathbf{{\rm O}}\mathbf{{\rm P}}=\mathbf{\alpha })$, 则称有向线段AP为正弦线, 现在正弦线AP为单位长度的有向线段, 点P需置于y轴上.

【解】B.由上面的分析知, 角α的终边在y轴上, 故选B.

【点拨】同理可得余弦线cosα=OA, 正切线tanα=NT (NT与单位圆切于点N) , 于是可得如下与本题类似的问题:

(1) 角α的余弦线是单位长度的有向线段, 那么角α的终边在x轴上;

(2) 角α的正切线是单位长度的有向线段, 那么角α的终边在直线y=x轴上.

2.【错解】由已知得$-\mathit{s}\mathit{i}\mathit{n}\mathbf{\alpha }=-\frac{1}{2}$, 得

$\begin{array}{l}\mathit{s}\mathit{i}\mathit{n}\mathbf{\alpha }=\frac{1}{2}‚\\ \therefore \mathit{c}\mathit{o}\mathit{s}(\mathbf{\alpha }-\frac{3\mathit{\pi }}{2})=\mathit{c}\mathit{o}\mathit{s}(\frac{3\mathit{\pi }}{2}-\mathbf{\alpha })=\mathit{s}\mathit{i}\mathit{n}\mathbf{\alpha }=\frac{1}{2}.\text{故}\text{选}\mathit{B}.\end{array}$

【分析】上述错解由于对诱导公式的记忆模糊, 用错了公式而出错, 其实假设α为锐角, 则$\frac{3\mathit{\pi }}{2}-\mathbf{\alpha }$为第三象限角, 其余弦为负值, 即$\mathit{c}\mathit{o}\mathit{s}(\frac{3\mathit{\pi }}{2}-\mathbf{\alpha })=-\mathit{s}\mathit{i}\mathit{n}\mathbf{\alpha }.$

【解】A.由已知得$-\mathit{s}\mathit{i}\mathit{n}\mathbf{\alpha }=-\frac{1}{2}$, 得

$\begin{array}{l}\mathit{s}\mathit{i}\mathit{n}\mathbf{\alpha }=\frac{1}{2}‚\\ \therefore \mathit{c}\mathit{o}\mathit{s}(\mathbf{\alpha }-\frac{3\mathit{\pi }}{2})=\mathit{c}\mathit{o}\mathit{s}(\mathbf{\alpha }-\frac{3}{2}\mathit{\pi }+2\mathit{\pi })\\ =\mathit{c}\mathit{o}\mathit{s}(\frac{\mathit{\pi }}{2}+\mathbf{\alpha })=-\mathit{s}\mathit{i}\mathit{n}\mathbf{\alpha }=-\frac{1}{2}.\end{array}$

【点拨】诱导公式的记忆可用口诀“奇变偶不变, 符号看象限”来记忆, 即在$\mathbf{k}\cdot \frac{\mathit{\pi }}{2}+\mathbf{\alpha }$中, 若k为奇数, 要改变函数名称, 若k为偶数, 不改变函数名称, 符号由$\mathbf{k}\cdot \frac{\mathit{\pi }}{2}+\mathbf{\alpha }$所在的象限决定 (将α看作锐角) .如$\mathit{c}\mathit{o}\mathit{s}(1\cdot \frac{\mathit{\pi }}{2}+\mathbf{\alpha })=-\mathit{s}\mathit{i}\mathit{n}\mathbf{\alpha }‚\mathit{c}\mathit{o}\mathit{s}(2\cdot \frac{\mathit{\pi }}{2}+\mathbf{\alpha })=-\mathit{c}\mathit{o}\mathit{s}\mathbf{\alpha }‚\mathit{s}\mathit{i}\mathit{n}(1\cdot \frac{\mathit{\pi }}{2}-\mathbf{\alpha })=\mathit{s}\mathit{i}\mathit{n}[\frac{\mathit{\pi }}{2}+(-\mathbf{\alpha })]=\mathit{c}\mathit{o}\mathit{s}(-\mathbf{\alpha })=\mathit{c}\mathit{o}\mathit{s}\mathbf{\alpha }‚\mathit{s}\mathit{i}\mathit{n}(2\cdot \frac{\mathit{\pi }}{2}-\mathbf{\alpha })=\mathit{s}\mathit{i}\mathit{n}\mathbf{\alpha }$等.

3.【错解】把函数y=sinx的图象向右平移$\frac{\mathit{\pi }}{2}$个单位得$\mathbf{y}=\mathit{s}\mathit{i}\mathit{n}(\mathbf{x}-\frac{\mathit{\pi }}{2})=\mathit{c}\mathit{o}\mathit{s}\mathbf{x}$, 故选A.

【分析】本解存在两个错误点:一是在思路方法上不明确, 由于所给的两个函数不是同名函数, 所以将其化为同名函数才是根本, $\mathbf{y}=\mathit{s}\mathit{i}\mathit{n}\mathbf{x}=\mathit{c}\mathit{o}\mathit{s}(\frac{\mathit{\pi }}{2}-\mathbf{x})=\mathit{c}\mathit{o}\mathit{s}(\mathbf{x}-\frac{\mathit{\pi }}{2})$, 向左平移$\frac{\mathit{\pi }}{2}$个单位有$\mathbf{y}=\mathit{c}\mathit{o}\mathit{s}[(\mathbf{x}+\frac{\mathit{\pi }}{2})-\frac{\mathit{\pi }}{2}]=\mathit{c}\mathit{o}\mathit{s}\mathbf{x}$即可;二是诱导公式也用错了, 其实$\mathit{s}\mathit{i}\mathit{n}(\mathbf{x}-\frac{\mathit{\pi }}{2})=-\mathit{s}\mathit{i}\mathit{n}(\frac{\mathit{\pi }}{2}-\mathbf{x})=-\mathit{c}\mathit{o}\mathit{s}\mathbf{x}$才对.

【解$】\mathit{B}.\mathbf{y}=\mathit{s}\mathit{i}\mathit{n}\mathbf{x}=\mathit{c}\mathit{o}\mathit{s}(\frac{\mathit{\pi }}{2}-\mathbf{x})=\mathit{c}\mathit{o}\mathit{s}(\mathbf{x}-\frac{\mathit{\pi }}{2})$, 把y=sinx的图象向左平移$\frac{\mathit{\pi }}{2}$个单位得$\mathbf{y}=\mathit{c}\mathit{o}\mathit{s}[(\mathbf{x}+\frac{\mathit{\pi }}{2})-\frac{\mathit{\pi }}{2}]=\mathit{c}\mathit{o}\mathit{s}\mathbf{x}$.故把前者的图象向左平移$\frac{\mathit{\pi }}{2}$个单位即可得后者的图象.

【点拨】对于函数图象的平移与伸缩问题, 我们可用如下的“代换法”处理:

(1) 平移:把函数y=f (x) 的图象向右平移a个单位, 向上平移b个单位得y-b=f (x-a) , 如把函数y=sin2x的图象向右平移1个单位得y=sin2 (x-1) , 即y=sin (2x-2) , 把函数y=sin2x的图象向左平移1个单位得y=sin2[x- (-1) ]=sin2 (x+1) , 即y=sin (2x+2) , 上、下平移的同理.

(2) 伸缩:把函数y=f (x) 的图象的横坐标伸长到原来的A倍, 纵坐标伸长到原来的B倍 (A, B>0) , 得$\frac{1}{\mathbf{B}}\mathbf{y}=\mathbf{f}(\frac{1}{\mathbf{A}}\mathbf{x})$, 如把函数y=sin2x的图象的横坐标伸长到原来的3倍, 得$\mathbf{y}=\mathit{s}\mathit{i}\mathit{n}2(\frac{1}{3}\mathbf{x})=\mathit{s}\mathit{i}\mathit{n}\frac{2}{3}\mathbf{x}$, 把函数y=sin2x的图象的横坐标缩短到原来的$\frac{1}{3}$倍, 得$\mathbf{y}=\mathit{s}\mathit{i}\mathit{n}2(\frac{1}{\frac{1}{3}\mathbf{x}})=\mathit{s}\mathit{i}\mathit{n}2(3\mathbf{x})=\mathit{s}\mathit{i}\mathit{n}6\mathbf{x}$, 纵坐标的伸长、缩短同理.

4.【错解$】\mathbf{r}=\sqrt{\mathbf{a}{}^2+\mathbf{a}{}^2}=\sqrt{2}\mathbf{a}$, 得$\mathit{s}\mathit{i}\mathit{n}\mathbf{\theta }=\frac{\mathbf{a}}{\sqrt{2}\mathbf{a}}=\frac{\sqrt{2}}{2},\therefore \mathit{c}\mathit{o}\mathit{s}2\mathbf{\theta }=1-2\mathit{s}\mathit{i}\mathit{n}{}^2\mathbf{\theta }=0$, 故选C.

【分析】本题的答案是对的, 但是过程不够完整, 若为解答题或求sinθ的值将会出现错误答案.其实题中只给出a≠0, 不一定有$\mathbf{r}=\sqrt{2}\mathbf{a}$, 当a>0时, $\mathbf{r}=\sqrt{2\mathbf{a}{}^2}=\sqrt{2}\left|\mathbf{a}\right|=\sqrt{2}\mathbf{a}$, 当a<0时, $\mathbf{r}=\sqrt{2}\left|\mathbf{a}\right|=-\sqrt{2}\mathbf{a}‚\mathit{s}\mathit{i}\mathit{n}\mathbf{\theta }$也就产生了两个不同的值.

【解】C角θ的终边经过点P (a, a) ,

(1) 当a>0时, $\mathbf{r}=\sqrt{\mathbf{a}{}^2+\mathbf{a}{}^2}=\sqrt{2}\mathbf{a}$, 得

$\mathit{s}\mathit{i}\mathit{n}\mathbf{\theta }=\frac{\mathbf{a}}{\sqrt{2}\mathbf{a}}=\frac{\sqrt{2}}{2}‚\therefore \mathit{c}\mathit{o}\mathit{s}2\mathbf{\theta }=1-2\mathit{s}\mathit{i}\mathit{n}{}^2\mathbf{\theta }=0$;

(2) 当a<0时, $\mathbf{r}=\sqrt{\mathbf{a}{}^2+\mathbf{a}{}^2}=-\sqrt{2}\mathbf{a}$, 得

$\mathit{s}\mathit{i}\mathit{n}\mathbf{\theta }=\frac{\mathbf{a}}{-\sqrt{2}\mathbf{a}}=-\frac{\sqrt{2}}{2}‚\therefore \mathit{c}\mathit{o}\mathit{s}2\mathbf{\theta }=1-2\mathit{s}\mathit{i}\mathit{n}{}^2\mathbf{\theta }=0.$

综上知, cos2θ=0.

【点拨】有些问题不要以为把答案做对了就匆匆而过, 而错过了认清问题本质, 提升自我的良机.

5.【错解】由$\mathit{c}\mathit{o}\mathit{s}\mathbf{\alpha }+\mathit{s}\mathit{i}\mathit{n}\mathbf{\alpha }=\frac{1}{3}$, 得$\mathit{c}\mathit{o}\mathit{s}\mathbf{\alpha }-\mathit{s}\mathit{i}\mathit{n}\mathbf{\alpha }=\pm \frac{\sqrt{17}}{3}$, 故选D.

【分析】本解忽略了α∈ (0, π) , 事实上, 由$2\mathit{c}\mathit{o}\mathit{s}\mathbf{\alpha }\cdot \mathit{s}\mathit{i}\mathit{n}\mathbf{\alpha }=-\frac{8}{9}$, 得cosα<0, sinα>0, 有$\mathbf{\alpha }\in (\frac{\mathit{\pi }}{2},\mathit{\pi })$, 这时cosα-sinα<0, 于是只有$\mathit{c}\mathit{o}\mathit{s}\mathbf{\alpha }-\mathit{s}\mathit{i}\mathit{n}\mathbf{\alpha }=-\frac{\sqrt{17}}{3}.$

【解】C.由已知得$2\mathit{c}\mathit{o}\mathit{s}\mathbf{\alpha }\cdot \mathit{s}\mathit{i}\mathit{n}\mathbf{\alpha }=-\frac{8}{9}$, 而α∈ (0, π) , 有cosα<0, sinα>0, 即cosα-sinα<0,

$\begin{array}{l}\text{而}(\mathit{c}\mathit{o}\mathit{s}\mathbf{\alpha }-\mathit{s}\mathit{i}\mathit{n}\mathbf{\alpha }){}^2=1-2\mathit{c}\mathit{o}\mathit{s}\mathbf{\alpha }\cdot \mathit{s}\mathit{i}\mathit{n}\mathbf{\alpha }=\frac{17}{9}‚\\ \therefore \mathit{c}\mathit{o}\mathit{s}\mathbf{\alpha }-\mathit{s}\mathit{i}\mathit{n}\mathbf{\alpha }=-\frac{\sqrt{17}}{3}‚\text{故}\text{选}\mathit{C}.\end{array}$

【点拨】在处理三角函数问题时, 需特别注意角的取值范围.熟悉一些常用结论, 对解题会带来直接的帮助, 如: (1) 若$\mathbf{\alpha }\in (0,\frac{\mathit{\pi }}{2})$, 则$\mathit{c}\mathit{o}\mathit{s}\mathbf{\alpha }+\mathit{s}\mathit{i}\mathit{n}\mathbf{\alpha }=\sqrt{2}\cdot \mathit{s}\mathit{i}\mathit{n}(\mathbf{\alpha }+\frac{\mathbf{\pi }}{4})\in (1,\sqrt{2}]‚(2)$若$\mathbf{\alpha }\in (0,\frac{\mathit{\pi }}{2})$, 则sinα<α<tanα.

6.【错解】由A+C=2B及A+ B+ C=180°知, B =60°.由正弦定理得$\frac{1}{\mathit{s}\mathit{i}\mathit{n}\mathbf{A}}=\frac{\sqrt{3}}{\mathit{s}\mathit{i}\mathit{n}60°}‚\therefore \mathit{s}\mathit{i}\mathit{n}\mathbf{A}=\frac{1}{2}.$

又0°<A<180°, ∴A=30°或150°.故选D.

【分析】本题给出了$\mathbf{a}=1,\mathbf{b}=\sqrt{3}$, 隐含着A<B, ∴A只能为锐角, 于是只有A=30°符合题意.

【解】A.结合上面的错解与分析知, A=30°, 故选A.

【点拨】在解答三角形的问题时, 需特别注意四个隐含条件: (1) A+B+C=π, (2) A, B, C∈ (0, π) , (3) 大边对大角 (大角对大边) , (4) 最多只有一个角不小于90°, 且为最大角.

7.【错解$】\frac{1}{\mathit{s}\mathit{i}\mathit{n}10°}-\frac{\sqrt{3}}{\mathit{c}\mathit{o}\mathit{s}10°}=\frac{\mathit{c}\mathit{o}\mathit{s}10°-\sqrt{3}\mathit{s}\mathit{i}\mathit{n}10°}{\mathit{s}\mathit{i}\mathit{n}10°\mathit{c}\mathit{o}\mathit{s}10°}=\frac{4\mathit{s}\mathit{i}\mathit{n}(10°-60°)}{\mathit{s}\mathit{i}\mathit{n}20°}=\cdots .$

【分析】本解错用了辅助角公式$\mathbf{a}\mathit{s}\mathit{i}\mathit{n}\mathbf{\theta }+\mathbf{b}\mathit{c}\mathit{o}\mathit{s}\mathbf{\theta }=\sqrt{\mathbf{a}{}^2+\mathbf{b}{}^2}\mathit{s}\mathit{i}\mathit{n}(\mathbf{\theta }+\mathbf{\phi })$, 其实$\mathit{c}\mathit{o}\mathit{s}10°-\sqrt{3}\mathit{s}\mathit{i}\mathit{n}10°=-\sqrt{3}\cdot \mathit{s}\mathit{i}\mathit{n}10°+\mathit{c}\mathit{o}\mathit{s}10°=2\mathit{s}\mathit{i}\mathit{n}(10°+150°)=2\mathit{s}\mathit{i}\mathit{n}160°=2\mathit{s}\mathit{i}\mathit{n}20°.$

【解$】4.\frac{1}{\mathit{s}\mathit{i}\mathit{n}10°}-\frac{\sqrt{3}}{\mathit{c}\mathit{o}\mathit{s}10°}=\frac{4\mathit{s}\mathit{i}\mathit{n}(10°+150°)}{\mathit{s}\mathit{i}\mathit{n}20°}=\frac{4\mathit{s}\mathit{i}\mathit{n}160°}{\mathit{s}\mathit{i}\mathit{n}20°}=\frac{4\mathit{s}\mathit{i}\mathit{n}20°}{\mathit{s}\mathit{i}\mathit{n}20°}=4.$

【点拨】辅助角公式$\mathbf{a}\mathit{s}\mathit{i}\mathit{n}\mathbf{\theta }+\mathbf{b}\mathit{c}\mathit{o}\mathit{s}\mathbf{\theta }=\sqrt{\mathbf{a}{}^2+\mathbf{b}{}^2}\cdot \mathit{s}\mathit{i}\mathit{n}(\mathbf{\theta }+\mathbf{\phi })$中的φ极易求错, 需认准sinθ在前cosθ在后, 且sinθ前面的系数为a, cosθ前面的系数为b, φ由比值$\mathit{t}\mathit{a}\mathit{n}\mathbf{\phi }=\frac{\mathbf{b}}{\mathbf{a}}$及点 (a, b) 所在的象限唯一确定.

8.【错解】画出函数y1=cos2x与y2=x的图象如图所示, 它们有3个交点, 故方程cos2x=x的实根的个数为3.

【分析】本解由于所描绘的函数的图象过于粗糙而致错, 其实, 当$\mathbf{x}=-\frac{\mathit{\pi }}{2}$时, $\mathbf{y}{}_1=\mathit{c}\mathit{o}\mathit{s}(-\mathit{\pi })=-1‚\mathbf{y}{}_2=-\frac{\mathit{\pi }}{2}<-1$, 这时y1=cos2x与y2=x的图象在y轴的左边不存在交点, 于是交点仅存在1个.

【解】1.画出函数y1=cos2x与y2=x的图象如图所示, 它们仅有1个交点, 故方程cos2x=x的实根的个数为1.

【点拨】数形结合是解决数学问题的常用方法, 但作函数的图象时, 对一些关键点则需刻画得非常细致, 如本题中的$\mathbf{x}=-\frac{\mathit{\pi }}{2}.$

9.【错解】由题意得解之, 得, 其最大值为3.

【分析】函数f (x) =acosx+b的最大值与最小值与a的正、负密切相关, 当a>0时, cosx=1, f (x) max=a+b, cosx=-1, f (x) min=-a+b;当a<0时, cosx=-1, f (x) max=-a+b, cosx=1, f (x) min=a+b.而上述解法只考虑了一种情况, 不够全面.

【解】-1或3.当a>0时, 由上面的解答知, g (x) 的最大值为3;

当a<0时, 解之, 得, 其最大值为-1;而a=0时不合题意.∴g (x) 的最大值为-1或3.

【点拨】由于思维定式的影响, 常会出现一些不全面的认识, 如误认为a为正数, -a为负数, $\sqrt{\mathbf{a}{}^2}=\mathbf{a}‚\mathbf{y}=\mathbf{a}\mathbf{x}{}^2+\mathbf{b}\mathbf{x}+\mathbf{c}$为二次函数等, 这些错误需及时纠正.

10.【错解$】(\mathrm{Ⅰ})\mathbf{f}(\mathbf{x})=\mathit{c}\mathit{o}\mathit{s}\frac{\mathbf{x}}{2}-\mathit{s}\mathit{i}\mathit{n}(\mathit{\pi }-\frac{\mathbf{x}}{2})=\mathit{c}\mathit{o}\mathit{s}\frac{\mathbf{x}}{2}-\mathit{s}\mathit{i}\mathit{n}\frac{\mathbf{x}}{2}=\sqrt{2}\mathit{s}\mathit{i}\mathit{n}(\frac{\mathbf{x}}{2}-\frac{\mathit{\pi }}{4})‚$

∴f (x) 的最小正周期T=4π.

(Ⅱ) 由 (Ⅰ) 得, 当$\mathit{s}\mathit{i}\mathit{n}(\frac{\mathbf{x}}{2}-\frac{\mathit{\pi }}{4})=1$时, $\mathbf{f}(\mathbf{x}){}_{\mathit{m}\mathit{a}\mathit{x}}=\sqrt{2}$, 当$\mathit{s}\mathit{i}\mathit{n}(\frac{\mathbf{x}}{2}-\frac{\mathit{\pi }}{4})=-1$时, $\mathbf{f}(\mathbf{x}){}_{\mathit{m}\mathit{i}\mathit{n}}=-\sqrt{2}.$

【分析】本题出现了两个典型的易错点:一是$\mathit{c}\mathit{o}\mathit{s}\frac{\mathbf{x}}{2}-\mathit{s}\mathit{i}\mathit{n}\frac{\mathbf{x}}{2}=\sqrt{2}\mathit{s}\mathit{i}\mathit{n}(\frac{\mathbf{x}}{2}-\frac{\mathit{\pi }}{4})$, 其实$\mathit{c}\mathit{o}\mathit{s}\frac{\mathbf{x}}{2}-\mathit{s}\mathit{i}\mathit{n}\frac{\mathbf{x}}{2}=-\mathit{s}\mathit{i}\mathit{n}\frac{\mathbf{x}}{2}+\mathit{c}\mathit{o}\mathit{s}\frac{\mathbf{x}}{2}=\sqrt{2}\mathit{s}\mathit{i}\mathit{n}(\frac{\mathbf{x}}{2}+\mathbf{\phi })$, 其中φ由$\mathit{t}\mathit{a}\mathit{n}\mathbf{\phi }=\frac{1}{-1}=-1$及点 (-1, 1) 所在的象限 (第二象限) 确定, 于是$\mathbf{\phi }=\frac{3\mathit{\pi }}{4}$, 因而$\mathit{c}\mathit{o}\mathit{s}\frac{\mathbf{x}}{2}-\mathit{s}\mathit{i}\mathit{n}\frac{\mathbf{x}}{2}=\sqrt{2}\cdot \mathit{s}\mathit{i}\mathit{n}(\frac{\mathbf{x}}{2}+\frac{3\mathit{\pi }}{4})$才是正确的;二是忽略x∈[0, 2π]将x误认为是x∈R来求f (x) 的最值, 这显然是不对的, 求f (x) 在[0, 2π]上的最值的关键在于准确判断好其单调性.

【解$】(\mathrm{Ⅰ})f(x)=\cos \frac{x}{2}-\sin (\text{π}-\frac{x}{2})=\cos \frac{x}{2}-\sin \frac{x}{2}=\sqrt{2}\sin (\frac{x}{2}+\frac{3\pi }{4}).$

∴f (x) 的最小正周期T=4π.

(Ⅱ) 令$2k\text{π}-\frac{\text{π}}{2}\le \frac{x}{2}+\frac{3\text{π}}{4}\le 2k\text{π}+\frac{\text{π}}{2}$,

解之, 得$4k\text{π}-\frac{5\text{π}}{2}\le x\le 4k\text{π}-\frac{\text{π}}{2},k\in \mathbf{{\rm Z}}.$

令$2k\text{π}+\frac{\text{π}}{2}\le \frac{x}{2}+\frac{3\text{π}}{4}\le 2k\text{π}+\frac{3\text{π}}{2}$,

解之, 得$4k\text{π}-\frac{\text{π}}{2}\le x\le 4k\text{π}+\frac{3\text{π}}{2},k\in \mathbf{{\rm Z}}.$

∴f (x) 在$[4k\text{π}-\frac{5\text{π}}{2},4k\text{π}-\frac{\text{π}}{2}]$上递增, 在$[4k\text{π}-\frac{\text{π}}{2},4k\text{π}+\frac{3\text{π}}{2}]$上递减, k∈Z.

又x∈[0, 2π], 令k=0, 得f (x) 在$[-\frac{\text{π}}{2},\frac{3\text{π}}{2}]$上递减, 令k=1, 得f (x) 在$[\frac{3\text{π}}{2},\frac{7\text{π}}{2}]$上递增, 即f (x) 在$[0,\frac{3\text{π}}{2}]$上递减, 在$[\frac{3\text{π}}{2},2\text{π}]$上递增, 且$f(0)=1‚f(\frac{3\pi }{2})=-\sqrt{2}‚f(2\text{π})=-1‚$

∴f (x) 在[0, 2π]上的$f(x){}_{\max }=f(0)=1‚f(x){}_{\min }=f(\frac{3\text{π}}{2})=-\sqrt{2}.$

【点拨】在考虑函数y=Asin (ωx+φ) 的单调性时, 可用化归思想, 令t=ωx+φ, 通过观察基本函数y=sint的图象, 写出y=sint的单调区间, 再通过t=ωx+φ换算出对应的x的范围.考虑在闭区间上的单调性时, 还要注意取一些合适的k值, 回归到闭区间上去.

11.【错解$】(\mathrm{Ⅰ})\because x=\frac{\pi }{8}$是函数y=f (x) 的图象的对称轴, $\therefore \sin (2\times \frac{\text{π}}{8}+\phi )=\pm 1,\therefore \frac{\text{π}}{4}+\phi =k\text{π}+\frac{\text{π}}{2},k\in \mathbf{{\rm Z}}$.又$-\text{π}<\phi <0\Rightarrow \phi =-\frac{3\text{π}}{4}.$

(Ⅱ) 由 (Ⅰ) 得$y=\sin (2x-\frac{3\text{π}}{4})$,

∴函数y=f (x) 在区间[0, π]上的图象如图所示 (所画出图形不合要求) .

【分析】以上解法错在不会画y=f (x) 在区间[0, π]上的图象, 也即不会列举出需要画图的关键点, 这些点应考虑y=f (x) 在[0, π]上端点、顶点、与x轴的交点.应优先从$2x-\frac{3\text{π}}{4}$出发, 令$2x-\frac{3\text{π}}{4}=-\frac{3\text{π}}{4}$ (端点值, 由x=0得到) , $-\frac{\text{π}}{2}$ (顶点) , 0 (与x轴的交点) , $\frac{\text{π}}{2}$ (顶点) , π (与x轴的交点) , $\frac{5\text{π}}{4}$ (端点值, 由x=π得到) , 再计算出x的对应值及对应的y值, 列表、描点、连线即得所画的函数图象.

【解$】(\mathrm{Ⅰ})\because x=\frac{\text{π}}{8}$是函数y=f (x) 的图象的对称轴,

$\begin{array}{l}\therefore \sin (2\times \frac{\text{π}}{8}+\phi )=\pm 1,\\ \therefore \frac{\text{π}}{4}+\phi =k\text{π}+\frac{\text{π}}{2},k\in \mathbf{{\rm Z}},-\text{π}<\phi <0\Rightarrow \phi =-\frac{3\text{π}}{4}.\end{array}$

(Ⅱ) 由 (Ⅰ) 得$y=\sin (2x-\frac{3\text{π}}{4})$, 列表如下:

故函数y=f (x) 在区间[0, π]上的图象如图所示:

【点拨】列表时, 值得注意的是, 需以第二行优先, 从$2x-\frac{3\text{π}}{4}$的值计算出x的值.但两个端点值却要从x的值出发, 求得$2x-\frac{3\text{π}}{4}$的值, 若仅要求画出一个周期的函数图象, 则只需列出五个点 (顶点与x轴的交点) 而不必找出端点.

四、平面向量部分

一、选择题

1.给出下列命题:

①a与b均为单位向量, 其夹角为θ, 则$|\mathit{a}+\mathit{b}|＞1\iff \theta \in [0,\frac{2}{3}\text{π})$;②a与b均为单位向量, 夹角为θ, 则$|\mathit{a}-\mathit{b}|＞1\iff \theta \in (\frac{2}{3}‚\text{π}]$;③若两个单位向量互相平行, 则这两个单位向量相等;④若a=b, b=c, 则a=c.

其中正确命题的个数是 ( ) .

(A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 4

2.已知正△ABC的边长为1, 且$\overrightarrow{BC}=\mathit{a}‚\overrightarrow{CA}=\mathit{b}$, 则

$\begin{array}{l}\left|\mathit{a}-\mathit{b}\right|=().\\ (\text{A})\frac{1}{2}(\text{B})\frac{\sqrt{3}}{2}(\text{C})1(\text{D})\sqrt{3}\end{array}$

3.若向量a= (1, 2) 与b= (2, k) 的夹角为锐角, 则k的取值范围是 ( ) .

(A) (-1, +∞) (B) (-1, 4)

(C) (-1, 4) ∪ (4, +∞) (D) (4, +∞)

4.如图1, 在等腰△ABC中, AB=AC=1, ∠B=30°, 则向量$\overrightarrow{AB}$在向量$\overrightarrow{AC}$上的投影等于 ( ) .

$\begin{array}{l}(\text{A})1(\text{B})-1\\ (\text{C})\frac{1}{2}(\text{D})-\frac{1}{2}\end{array}$

5.如图2, 在正六边形ABCDEF中, 已知$\overrightarrow{AC}=\mathit{c}$,

6.如图3, 已知点G是△ABC的重心, 过G作直线与AB、AC两边分别交于M、N,

二、填空题

7.已知将向量a= (1, 2) 按向量b= (3, 4) 平移, 得到向量c, 若c⊥ (a+kb) , 则实数k=.

8.在△ABC中, $\overrightarrow{BC}=\mathit{a}‚\overrightarrow{CA}=\mathit{b}‚\overrightarrow{AB}=\mathit{c}$, 且a·b=b·c=c·a, 则△ABC的形状是.

9.如图4, 在边长为1的菱形ABCD中, AC2+BD2= .

10.已知向量a= (1, n) , b= (1, 2) , c= (k, -1) , 且a//b, b⊥c, 则$\left|\mathit{a}+\mathit{c}\right|=$.

三、解答题

11.如图5, 在矩形中ABCD, 点P, Q同时从A点出发, 分别沿A→C→B→A, A→B→C→A运动, 相遇时运动停止.已知AB=12, AD=5, Q运动的速度是P的两倍.求$\overrightarrow{A{\rm P}}\cdot \overrightarrow{AQ}$的最大值.

12.如图6所示, 在▱OABP中, 过点P的直线与线段OA、OB分别相交于点M, N, 若$\overrightarrow{{\rm O}{\rm M}}=\overrightarrow{x{\rm O}A}‚\overrightarrow{{\rm O}{\rm N}}=y\overrightarrow{{\rm O}B}.$

(Ⅰ) 求y=f (x) 的解析式.

(Ⅱ) 设函数$F(x)=\frac{1}{f(x)}-1(0<x\le 1)$, 点列Pi (xi, F (xi) ) (i=1, 2, …, n, n≥2) 在函数F (x) 的图象上, 且数列$\left\{x{}_n\right\}$是以首项为1, 公比为$\frac{1}{2}$的等比数列, O为原点, 令$\overrightarrow{{\rm O}{\rm P}}=\overrightarrow{{\rm O}{\rm P}{}_1}+\overrightarrow{{\rm O}{\rm P}{}_2}+\cdots +\overrightarrow{{\rm O}{\rm P}{}_n}$, 那么, 是否存在点 (1, m) , 使得$\overrightarrow{{\rm O}{\rm P}}\perp \overrightarrow{{\rm O}Q}$ 若存在, 请求出m的取值范围;若不存在, 请说明理由.

参考答案

1.【错解】①②③④均正确, 故选D.

【分析】∵a, b均为单位向量, $\therefore |\mathit{a}+\mathit{b}|{}^2=\mathit{a}{}^2+\mathit{b}{}^2+2\mathit{a}\mathit{b}＞1\iff \cos \theta ＞-\frac{1}{2}\iff \theta \in [0,\frac{2}{3}\text{π})‚\therefore ①$对;$|\mathit{a}-\mathit{b}|{}^2=\mathit{a}{}^2+\mathit{b}{}^2-2\mathit{a}\cdot \mathit{b}＞1\iff \cos \theta ＜\frac{1}{2}\iff \theta \in (\frac{\text{π}}{3},\text{π}]‚\therefore ②$对;两个单位向量互相平行, 方向可能相反, ∴③错;由两向量相等的概念知, ∴④对.