《离散数学》期末复习

《离散数学》期末复习（精选10篇）

篇1：《离散数学》期末复习

《离散数学》期末复习

内容：第一章~第七章 题型：

一、选择题（20%，每题2分）二．填空题（20%，每题2分）

三、计算题（20%，每题5分）

四、证明题（20%，每题5分）

五、判断题（20%，每题2分）

第1章 数学语言与证明方法

1.1 常用的数学符号

1.计算常用的数学符号式子 1.2 集合及其表示法

1.用列举法和描述法表示集合

2.判断元素与集合的关系(属于和不属于)3.判断集合之间的包含与相等关系，空集(E)，全集()4.计算集合的幂集

5.求集合的运算：并、交、相对补、对称差、绝对补

6.用文氏图表示集合的运算 7.证明集合包含或相等

方法一： 根据定义, 通过逻辑等值演算证明

方法二： 利用已知集合等式或包含式, 通过集合演算证明

1.3 证明方法概述

1、用如下各式方法对命题进行证明。 直接证明法：AB为真

 间接证明法：“AB为真”  “ ¬B ¬A为真”  归谬法(反证法)： A¬B0为真

 穷举法： A1B, A2B,…, AkB 均为真

 构造证明法：在A为真的条件下, 构造出具有这种性质的客体B  空证明法：“A恒为假”  “AB为真” 平凡证明法：“B恒为真”  “AB为真”  数学归纳法： 第2章 命题逻辑

2.1 命题逻辑基本概念

1、判断句子是否为命题、将命题符号化、求命题的真值（0或1）。

命题的定义和联结词(¬, , , , )

2、判断命题公式的类型

赋值或解释.成真赋值,成假赋值；重言式(永真式)、矛盾式(永假式)、可满足式:。2.2 命题逻辑等值演算

1、用真值表判断两个命题公式是否等值

2、用等值演算证明两个命题公式是否等值

3、证明联结词集合是否为联结词完备集 2.3 范式

1、求命题公式的析取范式与合取范式

2、求命题公式的主析取范式与主合取范式（两种主范式的转换）

3、应用主析取范式分析和解决实际问题 2.4 命题逻辑推理理论

1、用直接法、附加前提、归谬法、归结证明法等推理规则证明推理有效 第3章 一阶逻辑

3.1 一阶逻辑基本概念

1、用谓词公式符号命题（正确使用量词）

2、求谓词公式的真值、判断谓词公式的类型 3.2 一阶逻辑等值演算

1、证明谓词公式的等值式

2、求谓词公式的前束范式 第4章 关系

4.1 关系的定义及其表示

1、计算有序对、笛卡儿积

2、计算给定关系的集合

3、用关系图和关系矩阵表示关系 4.2 关系的运算

1、计算关系的定义域、关系的值域

2、计算关系的逆关系、复合关系和幂关系

3、证明关系运算满足的式子 4.3 关系的性质

1、判断关系是否为自反、反自反、对称、反对称、传递的2、判断关系运算与性质的关系

3、计算关系自反闭包、对称闭包和传递闭包 4.4 等价关系与偏序关系

1、判断关系是否为等价关系

2、计算等价关系的等价类和商集

3、计算集合的划分

4、判断关系是否为偏序关系

5、画出偏序集的哈期图

6、求偏序集的最大元、最小元、极小元、极大元、上界、下界、上确界、下确界

7、求偏序集的拓扑排序 第5章 函数

1.判断关系是否为函数 2.求函数的像和完全原像

3.判断函数是否为满射、单射、双射 4.构建集合之间的双射函数 5.求复合函数

6.判断函数的满射、单射、双射的性质与函数复合运算之间的关系 7.判断函数的反函数是否存在，若存在求反函数 第6章 图

1.指出无向图的阶数、边数、各顶点的度数、最大度、最小度

2.指出有向图的阶数、边数、各顶点的出度和入度、最大出度、最大入度、最小出度最小入出度

3.根据握手定理顶点数、边数等

4.指出图的平行边、环、弧立点、悬挂顶点和悬挂边 5.判断给定的度数列能否构成无向图

6.判断图是否为简单图、完全图、正则图、圈图、轮图、方体图 7.求给定图的补图、生成子图、导出子图 8.判断两个图是否同构 6.2 图的连通性

1.求图中给定顶点通路、回路的距离

2.计算无向图的连通度、点割集、割点、边割集、割边 3.判断有向图的类型：强连通图、单向连通图、弱连通图 6.3 图的矩阵表示

1.计算无向图的关联矩阵 2.计算有向无环图的关联矩阵 3.计算有向图的邻接矩阵 4.计算有向图的可达矩阵

5.计算图的给定长度的通路数、回路数 6.4 几种特殊的图

1、判断无向图是否为二部图、欧拉图、哈密顿图 第7章 树及其应用 7.1 无向树

1.判断一个无向图是否为树

2.计算无向树的树叶、树枝、顶点数、顶点度数之间的关系 3.给定无向树的度数列，画出非同构的无向树 4.求生成树对应的基本回路系统和基本割集系统 5.求最小生成树 7.2 根树及其应用

1.判断一个有向图是否为根树

2.求根树的树根、树叶、内点、树高 3.求最优树

4.判断一个符号串集合是否为前缀码 5.求最佳前缀码

6.用三种方法遍历根树

篇2：《离散数学》期末复习

期末考试仅限于期中考试以后的内容：Chapter 7 Trees;Chapter 8 Topics in

graph theory.考试题型：计算题；简答题；证明题；构造图形（构造满足一定条件的图，如：

6个顶点，11条边且无Hamiltonian circuit）。题目共计6题，无选择题和填空题。

考试难度：基本与期中考试相同，有一定数量的题直接来自于习题，最后一题较

难（构造图形）。

复习要点：基本概念及定义：

rooted tree;binary tree;labeled tree;positional tree;tree

searching;undirected tree;weighted graph;minimal spanning tree;(undirected)graph;degree;Euler path and Euler circuit;Hamiltonian path and Hamiltonian circuit;matching function;coloring graph;chromatic number;chromatic polynomial;planar graph;

基本内容：

tree searching;the prefix(Polish form)and infix form of the

algebraic expression;minimal spanning tree;the sufficient-necessary condition for a graph G to have Euler circuit(or path);coloring graph;chromatic number;chromatic polynomial;construct a graph(directed or undirected)subject to some given conditions.不要求的内容：

Computer representation of binary positional tree;searching general tree;algorithms.复习中如遇困难请联系：钱建国***，jgqian@jingxian.xmu.edu.cn徐伟***

陈美润***

篇3：谈一谈数学期末复习

一、理解复习对期末考试的意义

所谓复习, 并不是单纯地做大量的数学题, 也不是将所学的知识简单地回顾, 而是在复习阶段, 老师要对学过的重点知识进行梳理, 使之条理化, 形成知识网.对某些疑难问题进行分析点拨, 对知识间的联系进行沟通, 对易混易错的问题进行强调.通过知识的系统复习, 掌握解决数学问题常用的数学思想和数学方法.

二、重视基础知识的复习

要想在考试中取得优异的成绩, 就必须熟练地掌握教材中的基础知识.课本是学习的最基本的工具, 课本中的概念、法则、性质、公式等是解决数学问题的工具, 因此对于这些基础知识要熟记, 并且要在理解的基础上能灵活应用.近年来数学试题的新颖性、灵活性越来越强.教师要引导学生正确对待复习, 不要把主要精力放在难度较大的题目上, 而相对忽略了基础知识的复习.许多问题都是利用基础知识来解决的.如果对基础知识理解不深刻或者对一些易混淆的概念模糊不清, 就很难在考试中顺利过关.复习时, 教师不可能对每一名学生的情况全面照顾到, 因此要引导学生根据自己的实际情况有针对性地阅读课本.这样更有利于基础知识的掌握, 更有利于查缺补漏.

三、科学梳理知识, 提高复习效率

一册书, 由于内容比较多, 每一章节又包括许多知识点, 看起来各章的内容比较孤立, 学生感到所学的知识杂乱无章, 其实不然.我们可以教会学生把有联系的内容像珠子一样用一根线串起来, 提起线头就可以带动一大串通过认真的分析与思考, 找到各章节知识点之间的联系, 进行科学的梳理, 使所学的知识系统化, 这样就不显得知识的零碎, 还有利于在解决实际问题时能灵活运用, 大大提高了复习的效率.

四、注重数学思想和数学方法, 提高综合运用能力

近年的中考数学试题不仅紧扣教材, 而且十分讲究数学思想和数学方法的运用.常用的数学思想有六大类: (一) 分类思想; (二) 方程思想; (三) 转化思想; (四) 整体思想; (五) 数形结合思想; (六) 类比思想.常用的数学方法有四大类: (一) 配方法; (二) 换元法; (三) 待定系数法; (四) 定义法.数学思想和数学方法与数学基础知识相比较, 它有较高的地位和层次, 数学基础知识是数学内容, 可以用文字和符号来记录和描写, 随着时间的推移, 记忆力的减退, 将来可能会忘记.而数学思想和数学方法则是一种数学意识, 能够领会和运用, 可以用于对数学问题的认识、处理和解决.在复习时, 教师要有意识地对数学思想和数学方法进行归纳和总结, 同时结合例题、练习题对学生加强训练, 使学生能灵活运用和综合运用所学的知识.

五、找出薄弱环节, 消灭知识上的盲点

俗话说:“尺有所短, 寸有所长.”每一名学生在学习的过程中, 对知识的掌握和理解是不一样的.这就要求学生在复习过程中, 一定要针对自己在知识和能力方面存在的薄弱环节加强训练, 补差补漏.例如, 有的学生计算能力差, 计算准确率不高, 但逻辑思维好, 几何说理题得心应手而有的学生恰好相反.因此, 要求每名学生在复习时, 都应实事求是地分析自己的不足, 找出自己知识和能力上的薄弱点, 有计划、有针对性地采取措施逐个解决自己存在的问题, 消灭知识上的盲点.

除了以上几点外, 我还要求学生学会合作, 对有关的问题通过思考确实解决不了时, 可以和其他同学一起讨论共同解决.同学之间的相互讨论、相互探究、相互合作, 有利于相互促进, 定会收到事半功倍的效果.

篇4：浅谈初中数学期末复习

一、正确认识期末复习对整个学年的意义

期末复习的作用有两点:一是对本学期的知识进行总结;二是为下学期新知识的学习做准备。由此看出,期末复习对整个学年来说具有承上启下的意义。因此,数学课的期末复习不应偏离这个主旨。

二、不要过早结课

有的教师为了挤出更多的时间去组织期末复习,便不顾教学计划,过早地结课。这样做的后果是,一方面,教师对一些知识讲不透;另一方面,学生对所学的知识因缺少“消化”的时间而一知半解,更不要说灵活掌握和运用知识了。由此可见,这样的复习效果只能是“欲速则不达”。

三、复习前认真研究教学参考书

教学参考书明确地规定了各章节的学习内容和要求,同时还对知识的深度和广度提出了明确的要求。研究教参,可以使我们在组织复习时做到心中有数,避免出现“南辕北辙”的现象。

四、要狠抓重点知识的复习

数学期末复习在强调加强基础知识复习的同时,要狠抓重点知识的复习。要确保学生对重点知识的复习有足够的时间和精力。否则,期末复习就会“眉毛胡子一把抓”,其效果必定是事倍功半。

五、期末复习要讲究系统性

乌申思基曾经说:“知识只有形成了系统,当然是从事物本质出发而形成的合理的系统,才能被我们充分掌握。脑子里装满了片段的、毫无联系的知识,那就像放得杂乱无章的仓库一样,连主人也无法从中找到他所要找的东西”。这段话生动形象地说明了系统性对知识的掌握起着至关重要的作用。而要使知识系统化,那就必须保证期末复习要讲究系统性。只有这样,学生才能在应用知识解决问题时,思路开阔,举一反三。

六、采取有效的措施,巩固复习内容

期末复习所涉及知识内容较多,而且时间跨度大,容易形成边复习,边遗忘的局面。为了巩固学习内容,我们可以采取对比的方法,对既有联系又有区别的知识进行综合分析、比较,找出其中的异同,这样可避免“张冠李戴”;也可以采用横向综合的方法,将内容相近的知识进行适当的融合,以便达到“触类旁通”的效果。不要抱有以重复复习来达到巩固知识的目的,一则时间不允许,二则容易陷入复习的误区,即知识缺乏系统性,内容不分主次。

七、引导学生培养自己复习的能力

自己复习的能力的培养是提高学习质量的关键。自习能力的培养首先应从阅读开始,阅读能力较差的学生,没有良好的阅读和复习习惯,在平时教师必须从示范做起,对课文内容逐词逐句地范读,对重要的数学名词、术语、关键的语句,重要的字眼要反复读,并指出记忆的方法,同时还要标上自己约定的符号。对于例题,让学生读题,引导学生审题,确定最佳解题方法。在初步形成良好习惯之后,根据学生的接受程度,再从难点、易错处阅读提纲,设置思考题,让学生带着问题纵向深入和横向拓展地阅读数学课外材料,还可利用课外活动小组,组织交流、相互交流、相互启发,促进学生再次阅读寻找答案。平时,在培养学生的复习能力时,采取提前布置作业的形式,然后在学生交来的作业中寻找出普遍存在的问题和普遍有疑难的地方,这样复习就有针对性,并且能收到很好的教学效果。

八、期末复习要面对全体学生

期末复习不是为选拔性的考试做准备的,而是为下学期新知识的学习做准备。因此,数学课的期末复习要面对全体学生,那种只抓少数尖子生而置大多数学生予不顾的做法,虽然也会产生一些效果,但它所造成的学生知识方面的缺陷,很难在短时间内弥补,这种急功近利的复习方法是不可取的。

篇5：离散数学复习题(期末测试卷)

一、填空题（请将每空的正确答案写在答题纸相应位置处，答在试卷上不得分。每小题2分，共16分。）

1．谓词公式xy(P(x,y)Q(y,z))xR(x,y)中x的辖域是。

2．命题公式(pq)的成真赋值为。

3．在1和1000之间（包括1和1000在内）不能被4和5整除的数有个。

4．设R是定义在集合A{1,2,3,4}上的二元关系R{1,1,1,2,2,3,1,4}，则R的对称闭包s(R)。

5．A{1,2,3,4},xymin{x,y},则代数系统A,中的零元是。

6．具有10个结点的无向完全图的边数=。

7．一次同余方程3x1(mod5)的最小正整数解是。

8．84与198的最大公约数是。

二、单项选择题（从下列各题四个备选答案中选出一个正确答案，并将其代号写在答题纸相应位置处。答案错选或未选者，该题不得分。每小题2分，共16分。）

1.设F(x): x是有理数，G(x)：x能表示成分数。在一阶逻辑中，命题“没有不能表示成分数的有理数”可符号化为()。

A.x(F(x)G(x))B.x(F(x)G(x))

C.x(F(x)G(x))D.x(F(x)G(x))

2.设个体域是整数集，则下列命题的真值为真的是()。

A．yx(xy1)B．xy(xy0)

C．xy(xyy2)D．yx(xyx2)

3.集合A{1,2,,10}上的关系R{x,y|xy10,x,yA}，则R的性质为()。

A、自反的B、传递的、对称的C、对称的D、反自反的、传递的4．对自然数集合N，下列定义的运算中()是不可结合的。

A.abab3B.aba2b

C.abab(mod 3)D.abmin{a,b}

5．下列各图中既是欧拉图，又是汉密尔顿图的是()。

A．B．C．D．

6．对于下列度数序列，可画成简单无向图的是()。

A．(1，1，1，2，3)B．(1，2，2，3，4，5)

C．(1，2，3，4，5，5)D．(2，3，3，4，5，6)

7.含有5个结点、3条边的不同构的简单图有()个。A.2B.3C.4D.5【】

8．5的模6逆等于()。

A．1B．

3C．4D．5

三、计算题（第1、2、3、4小题各7分，第5、6小题各8分共44分。）1．求命题公式(pq)(pr)的主析取范式和主合取范式。

2．设A,R为偏序集，其中A{1,2,3,4,6,9,24,54}，R是A上的整除关系。（1）画出A,R的哈斯图；（2）求A中的极大元；（3）令B{4,6,9}，求B的上确界和下确界。3．求下图1中带权无向图的最小生成树，并求出该最小生成树的权值。4．求解递推方程：an7an112an20,a04,a16。5．有向图D如图2所示，求：（1）D中v1到v3长度为3的通路有几条？（2）D中v1到v1长度为3的回路有几条？（3）D是哪类连通图？

v

4图1图

2v

36．在通讯中要传输字母a,b,c,d,e,f,g，它们出现的频率为：

a:30%,b:20%,c:15%,d:10%,e:10%,f:9%,g:6%，设计传输上述字母的最佳二元前缀码，画出最优树，并求传输100个按上述频率出现的字母所需二进制字个数。

四、证明题（每小题8分，共16分。）1．设R为自然数集N上的关系，定义N上的关系R如下：x,yRxy是偶数。（1）证明R为等价关系；（2）求商集N/R。2．设Z为整数集合，在Z上定义二元运算如下：证明：x,yZ,xyxy2，Z,是群。

五、符号化下列命题，并在自然推理系统P中论证结论的有效性（8分。）

若小张喜欢数学，则小李或小赵也喜欢数学。若小李喜欢数学，则他也喜欢物理。小张确实喜欢数学，可小李不喜欢物理。所以，小赵喜欢数学。

参考答案

一、填空题（请将每空的正确答案写在答题纸相应位置处，答在试卷上不得分。每小题2分，共16分。）

1．P(x,y)Q(y,z)2．10，11，003．600

4．{1,1,1,2,2,3,1,4,2,1,3,2,4,1}5．1 6．457．38．6

二、单项选择题（从下列各题四个备选答案中选出一个正确答案，并将其代号写在答题纸相应位置处。答案错选或未选者，该题不得分。每小题2分，共16分。）

1．C2．C3．C4．B5．C6．A7．C8．D

三、计算题（第1、2、3、4小题各7分，第5、6小题各8分共44分。）

1．解：主合取范式为：（5分）

(pq)(pr)(pq)(pr)

((pq)(rr))((pr)(qq))(pqr)(pqr)(pqr)(pqr)(pqr)(pqr)(pqr)M4M5M6

主析取范式为：（2分）

(pq)(pr)m0m1m2m3m7

(pqr)(pqr)(pqr)(pqr)(pqr)2．解：（1）A,R的哈斯图如下图所示。（3分）

429（2）A中的极大元是：24，54；(2分)

（3）B的上确界：无；B的下确界：1。(2分)3．解：所求该图的最小生成树如下图所示。（5分）

该最小生成树的权值之和

W（t）=2+1+1+2+3+4=13（2分）

4．解：其特征方程为：x27x120，其特征根是：x13,x24（2分）

通解为：anc13nc24n（2分）

代入初值得到：c1c24,3c14c26

解得：c110,c26（2分）

所以，原方程的解为：

an103n64n。（1分）

5．解：先求图D的邻接矩阵A及A2、A3。

11A

0

1110

220112，（1分）A1001



0001

122

541113,（2分）A1000

1102

233

232（2分）110



122

(1)D中v1到v3长度为3的通路有3条。（1分）(2)D中v1到v1长度为3的回路有5条。（1分）(3)D是强连通图。（1分）

6．解：按字母顺序，令pi为传输第i个字母的频率，i1,2,,7，则传输100个字母，各字母出现的频数为wi100pi，得

w130,w220,w315,w410,w510,w69,w76。将它们按照从小到大顺序排列，得691010152030。（2分）以wi为权求最优2叉树如下图所示。

6（4分）

传输的前缀码分别为：a01,b11,c001,d100,e101,f0001,g0000。传100个所需二进制数字个数为：

W(t)=15+30+60+100+40+20=265。（2分）

四、证明题（每小题8分，共16分。）1．（1）证明：

xN,因为xx2x，2xN且是偶数，于是x,xR,因此R在N上是自反的；（1分）

x,yN,若x,yR,则xy是偶数，即yx是偶数，于是y,xR, 因此R在N上是对称的；（1分）

x,y,zN,若x,yR且y,zR,则xy2k1yz2k2,k1,k2Z，于是xz(xy)(yz)2y2(k1k2y)，进而x,zR,因此R在N上是传递的；（2分）

综上所述，R是N上的等价关系。（1分）

（2）N关于等价关系R的所有等价类为[0]R{0,2,4,6,}和[1]R{1,3,5,7,}，则N/R{[0]R,[1]R}。（3分）

2．证明：显然，Z关于是封闭的。（1分）

对于任意x,y,zZ，由于

(xy)z(xy2)z(xy2)z2xyz4，而 x(yz)x(yz2)x(yz2)2xyz4，于是

(xy)zx(yz)，即满足结合律。（2分）

（2分）xZ，因为x2x22x2x，因此2是Z关于的单位元。

xZ，由于4xZ且x(4x)x(4x)22(4x)x，于是

x关于存在逆元4x。（2分）所以，Z,是群。（1分）

五、符号化下列命题，并在自然推理系统P中论证结论的有效性（8分。）解：设简单命题

p：小张喜欢数学。q：小李喜欢数学。

r：小赵喜欢数学。s：小李喜欢物理。（2分）前提：p(qr),qs,p,s 结论：r

（或写为：推理形式为p(qr),qs,p,sr）（1分）证明：

(1)qs前提引入(2)s前提引入

（2）拒取式（2分）(3)q（1）

(4)p(qr)前提引入(5)p前提引入

（5）假言推理（2分）(6)qr（4）

篇6：离散数学期末试卷

《离散数学》（A）

学号姓名：成绩

一、单项选择题（每题2分，共18分）

1．令P：今天下雪了，Q：路滑，则命题“虽然今天下雪了，但是路不滑”可符号化为（D）．

A．P→Q

C．P∧Q B．P∨Q D．P∧Q

p→q，蕴涵式，表示假设、条件、“如果，就”。

“→”与此题无关

2.关于命题变元P和Q的极大项M1表示(C)。书P15-P20，此题换作p、q更容易理解

A.┐P∧QB.┐P∨Qp∨┐q----01----1-----M

1C.P∨┐QD.P∧┐Q

3.设R（x）：x是实数；S（x,y）：x小于y。用谓词表达下述命题：不存在最小的实数。其中错误的表达式是：（D）

4.在论域D={a,b}中与公式（x）A（x）等价的不含存在量词的公式是（B）

A.A(a)A(b)

C.A(a)A(b)

5．下列命题公式为重言式的是（C）

A．Q→（P∧Q）

C．（P∧Q）→PB．P→（P∧Q）D．（P∨Q）→QB.A(a)A(b)D.A(b)A(a)

牢记→真假条件，作为选择题可直接代入0、1，使选项出现1→0，排除。熟练的可直接看出C不存在1→0的情况

6.设A=｛1，2，3｝，B=｛a,b｝，下列二元关系R为A到B的函数的是(A)

A.R=｛<1,a>,<2,a>,<3,a>｝

B.R=｛<1,a>,<2,b>｝

C.R=｛<1,a>,<1,b>,<2,a>,<3,a>｝

D.R=｛<1,b>,<2,a>,<3,b>,<1,a>｝

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7.偏序关系具有性质（D）背

A.自反、对称、传递

B.自反、反对称

C.反自反、对称、传递

D.自反、反对称、传递

8.设R为实数集合，映射:RR,(x)x22x1,则 是(D).(A)单射而非满射(C)双射(B)满射而非单射(D)既不是单射也不是满射.书P96.设函数f：A→B

（1）若ranf=B，则f是满射的【即值域为B的全集，在本题中为R，该二次函数有最高点，不满足】

（2）若对于任何的x1,x2∈A , x1≠x2,都有f(x1)≠f(x2)，则称f是单射的【即x,y真正一一对应，甚至不存在一个y对应多个x。显然，本题为二次函数，不满足】

（3）若f既是满射的，又是单射的，则称f是双射的【本题中两个都不满足，既不是单射也不是满射】

二、填空题（每空2分，共22分）

１.设Q为有理数集，笛卡尔集S=Q×Q，*是S上的二元运算，,∈S,*=, 则*运算的幺元是_____<1,0>_____。∈S, 若a≠0，则的逆元是______<1/a,-b>______。书P123定义

２.在个体域D中，公式xG(x)的真值为假当且仅当__某个G(x)的真值为假__，公式xG(x)的真值为假，当且仅当__所有G(x)的真值都为假__。

３.给定个体域为整数域，若F（x）：表示x是偶数，G（x）：表示x是奇数；那么，(x)F(x)(x)G(x)是一个(x)(F(x)G(x))是一个

４.设Aa,b,c　,A上的二元关系Ra,b,b,c,则r(R)

{,,,,,} 。

书P89、P85.自反闭包：r(R)= R U R0

={,} U {,,,} ={,,,,,}对称闭包：s(R)= R U R-1 = {,} U {,} = {,,,}-第 2页

传递闭包：t(R)= RUR2 UR3U……

５.设X={1,2,3},Y={a,b}，则从X到Y的不同的函数共有___8___个.书P96，B上A的概念：

设Ａ、Ｂ为集合，所有从Ａ到Ｂ的函数构成集合ＢA，读作“B上A”

如果|A| = m，|B| = n，m、n不全是0，则|BA| = nm

即，若题中给出集合A有m个元素，B有n个元素，可直接用nm 计算出A到B的函数个数。本题中为23 = 8

６.设，a,bG，则（a-1）-1，（ab）-1b-1 * a-1。

书P139公式

7.设X={1，2，3}，f：X→X，g：X→X，f={<1, 2>,<2,3>,<3,1>},g={<1,2>,<2,3>,<3,3>}，则fg=__{<1,3>,<2,1>,<3,1>}___，gf=__{<1,3>,<2,3>,<3,2>}__。书P82-8

3合成：FG = {|xGz∧zFy}

需要说明的是，这里的合成FG是左复合，即G先作用，然后将F复合到G上。之前的答案“有误”，因为采用了右复合。这两种合成定义所计算的合成结果是不相等的，但两个定义都是合理的，只要在体系内部采用同样的定义就可以了。总之，在咱们的离散里牢记左复合。

三、计算题（每题9分，共36分）

1.设集合A＝{1, 2, 3,4,5}，A上的关系R＝{<1, 1>,<1, 2>,<2, 2>,<3, 2>,<3,3>,<3,5>,<4,4>,<5,5>}

(1)画出R的关系图；

(2)问R具有关系的哪几种性质(自反、对称、传递、反对称).自反性、传递性

书P87表格，根据关系图可直接判断性质……

(3)给出R的传递闭包。

R={<1, 1>,<1, 2>,<2, 2>,<3, 2>,<3, 3>,<3,5>,<4,4>,<5,5>}

-第 3页

R2 = RR = {<1, 1>,<1,2>,<2,2>,<3,2>,<3,3>,<3,5>,<4,4>,<5,5>}R3 = R2R = {<1, 1>,<1,2>,<2,2>,<3,2>,<3,3>,<3,5>,<4,4>,<5,5>}……

所以，t(R)= {<1, 1>,<1,2>,<2,2>,<3,2>,<3,3>,<3,5>,<4,4>,<5,5>}

2.集合S={a,b,c,d,e}上的二元运算*的运算表如下，求出它的幺元，零元，及逆

元。*abcde

abaccc

babcde

cccccc

dedcba

edecdb

幺元：b

零元：c

逆元：a-1 =a,b-1 =b, d-1 =d,e-1 =e

书P123定义

3．求合式公式A=P→((P→Q)∧┐(┐Q∨┐P))的主析取范式及成真赋值。

A = P→((┐P∨Q)∧(Q∧P))

= P→((┐P∨Q)∧(Q∧P))

= P→((┐P ∧Q∧P)∨(Q∧Q∧P))

= P→(Q∧P)

= ┐P∨(Q∧P)

=(┐P∧(Q∨┐Q))∨(Q∧P)

=(cP∧Q)∨(┐P∧┐Q)∨(P∧Q)

=(┐P∧┐Q)∨(┐P∧Q)∨(P∧Q)

= m0∨m1∨m

3成真赋值为00，01，1

14．求在1到1000000之间有多少个整数既不是完全立方数，也不是完全平方数？-第 4页

完全平方数的个数：1000=1000000，所以有1000个（即1到1000）

完全立方数的个数：1003 =1000000，所以有100个（即1到100）

既是完全平方数又是完全立方数的重复部分：106 =1000000，所以有10个（即16到106）所以既不是完全立方数，也不是完全平方数的整数有：1000000-(1000+100-10)= 998910

2四、证明题（每题8分，共24分）

1．若公司拒绝增加工资，则罢工不会停止，除非罢工超过三个月且公司经理辞职。公司拒绝增加工资，罢工又刚刚开始。罢工是否能停止？（给出相应推理的证明过程）

2．给出关系不满足对称性的条件并证明。

∃∈R∧∉R

⇔∃∈R∧∉R

⇔┐∀(∈R∧∈R)

3．如果关系R和S为X上的等价关系，证明：R∩S也是X上的等价关系。

(1)自反

设x∈X【推∈R∩S】

∵R和S为X上的等价关系

∴R和S均为X上的自反关系

∵x∈X

∴∈R, ∈S

∴∈R∩S

∴R∩S在X上是自反的(2)对称

设∈R∩S【推∈R∩S】

∵∈R∩S

∴∈R,∈S

∵R和S为X上的等价关系

∴R和S均为X上的对称关系

∴∈R,∈S

∴∈R∩S

-第 5页

∵此时∈R∩S

∴R∩S在X上是对称的【∈R∩S时，必有∈R∩S】

(3)传递

设∈R∩S，∈R∩S【推∈R∩S】

∵∈R∩S

∴∈R,∈S

∵∈R∩S

∴∈R,∈S

∵R和S为X上的等价关系

∴R和S均为X上的传递关系

∴∈R,∈S

∴∈R∩S

∵此时∈R∩S，∈R∩S

∴R∩S在X上是传递的【∈R∩S，∈R∩S时，必有∈R∩S】

综上所述，R∩S在X上是自反、对称、传递的∴R∩S为X上的等价关系

书P90

等价关系：自反、对称、传递

偏序关系：自反、反对称、传递

因此要证明某关系在非空集合上是等价关系或偏序关系，一般需分为三个性质分别证明，同时，题目条件中若给出等价关系或偏序关系，也可分为三部分选择使用。这类题条件较多（自己设的、题目推的），一定要思路清晰，否则容易写乱自己绕不出来„„

这道题三部分每个部分所设的条件都是该性质定义里的“若”，想要推出定义里的“则”，即用定义证明。这就是思路很重要的一部分。

篇7：苏州大学离散数学期末试卷

一、名词解释

1、等势：

2、阿贝尔群：

3、偏序关系：

4、命题：

5、平面图：

二、求(p∧r)∨(p←→q)的主析取和主合取范式。

三、符号化下面的命题并推证其结论。

任何人如果他喜欢音乐，他就不喜欢美术，每个人或者喜欢美术或者喜欢体育，有的人不喜欢体育。所以存在有人不喜欢音乐。

四、证明：

1）A∩（A∪B）＝A 2）若关系R是对称和传递的，试证明R°R=R。

五、已知映射f和g，f和g都是双射，试证明f°g也为双射。

六、证明：[0,1]是不可数的。

七、设是一个分配格，那么，对于任意的a，b，c∈A,如果有：

a∧b＝a∧c，a∨b＝a∨c 成立，则必有b＝c。

八、有关独异点的证明，证明某一代数系统是可交换的独异点。

九、简单无向图G，有N个结点，N+1条边，证明G中至少有一个结点的次数大于等于3。

十、简述欧拉定理，并证明该定理成立。

篇8：期末复习应该关注哪些数学思想

一、绝对值与分类讨论思想

在解答某些数学问题时,有时会遇到多种情况,需要对各种情况加以分类,并逐类求解,然后综合得解,这就是分类讨论法. 分类讨论体现了化整为零、积零为整的思想与归类整理的方法.

例1已知a、b、c都是有理数,且满足试判断a、b、c三个数中正数有几个.

【分析】要求出的值,我们需要去掉绝对值符号,因此我们需要分两种情况讨论:当a>0时,当a<0 时,

∴中必然两个等于1,一个等于 -1.

∴a、b、c三个数必然两正一负.

【方法总结】化简绝对值符号需要根据绝对值的定义,先判断绝对值符号内的数的正负性,如果不能确定绝对值符号内的数是正数还是负数,那么就需要我们分情况讨论.

二、数轴与数形结合思想

数形结合思想是指能将抽象的数学语言与直观的图形符号结合起来,把抽象思维与形象思维结合起来;会用代数的方法去研究几何问题,会根据图形的性质及几何知识去处理代数问题.

例2已知数a、b、c在数轴上的位置如图1所示,试化简︱a+c︱ - ︱a+b+c ︱-︱ b-a ︱+︱b+c︱ .

【分析】要化简含绝对值的式子,首先应结合数轴,利用数形结合思想,确定每个绝对值内整式的正、负性,再利用绝对值性质去掉绝对值,再去括号,合并同类项.

解:根据数轴知a+c<0,a+b+c<0,ba<0,b+c<0,

则︱a+c ︱- ︱a+b+c︱ - ︱b-a ︱+ ︱b+c︱

=-(a+c)+(a+b+c)+(b-a)-(b+c)

=-a-c+a+b+c+b-a-b-c

=-a+b-c.

【方法总结】数形结合是数学中一种非常重要的思想方法,它利用“数”与“形”各自的优点,互相补充,使数形相互依倚,为我们解决问题创造便利.

三、求代数式的值与整体思想

把一些看似彼此独立而实质是紧密相连的量看成一个整体去设元、列式、变形、求值,这样做,不仅可以摆脱固定模式的束缚,使复杂的问题变得简单,陌生的问题变得熟悉,还往往可以解决按常规方法解决不了的一些问题.

例3当x=-1时,代数式ax3+bx+3的值为7,则当x=1时,其值为 ______.

【分析】把x=-1代入代数式,得到 -a-b+3=7,即 -(a+b)=4. 虽无法求出a、b的值,但当x=1时,代数式ax3+bx+3就可表示为a+b+3,整体代入即可.

解:当x=-1时,原式 =-a-b+3=7,即-(a+b)=4,

当x=1时,原式 =a+b+3=-4+3=-1.

【方法总结】虽然x=-1时,只能得到-(a+b)=4,无法求出a、b的值,但当x=1时,代数式中出现了a+b的多项式,所以利用整体代入的思想即可解题.

四、转化思想

由于解题过程是不断有目的、有效地转化矛盾,最终解决矛盾的过程,所以解题实际上就是将数学问题进行转化,解决任何一个数学问题都或多或少地用到转化思想.

应用转化思想可以将陌生的数学问题转化为熟悉的数学问题,将复杂的数学问题转化为简单的数学问题,将抽象的问题转化为具体的数学问题,将无序的数学问题转化为有序的数学问题,这些都有待于各位同学在今后的学习过程中慢慢地体会.

例4已知方程4x+2m=3x+1和方程3x+2m=6x+1的解相同,求这个相同的解.

【分析】由于这两个方程的解相同,所以可以转化为关于m的方程,然后求出m,再代回原方程解出x的值.

解:4x+2m=3x+1的解为:x=1-2m.

3x+2m=6x+1的解为:x=2m-1/3.

∴1-2m=2m-1/3,

∴m=1/2,代入x=1-2m,得x=0.

【方法总结】本例中包含了“已知”与“未知”的转化思想,在第一次解关于x的方程时m是已知的,在解关于m的方程时,m是未知的.

两个方程同解问题解题思路有两种:如果两个方程中只有一个方程含有参数,那么我们先求出不含参数的方程的解,然后将方程的解代入另一个方程得到一个关于参数的方程,从而求出参数的值;如果两个方程都含有参数,那么我们将参数看作已知数,分别解出这两个方程,然后根据两个解相等,列出一个关于参数的方程,从而求出参数的值.

五、几何证明与方程思想

在解决数学问题时,有一种从未知转化为已知的手段就是通过设元,寻找已知与未知之间的等量关系,构造方程或方程组,然后求解方程完成未知向已知的转化,这种解决问题的思想称为方程思想.

例5如图2,在同一直线上有四点A、B、C、D,已知且CD=4 cm,求AB的长.

【分析】由于我们可借用这一关系,用一个未知数x设出这四个变量,又由于CD=4 cm,我们可以用含x的代数式表示出CD的长,即可得到一个关于x的一元一次方程,求出x的值,即可得到AB的长.

解:设DB=x cm,则

篇9：八年级数学期末复习检测题

1.若关于x的方程-=0有增根，则m的值是（）。

A.－2B.2C.5D.3

2.若+=，则+=的值为（）。

A.1B.-1C.0D.2

3.下列命题正确的是（）。

① 对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形

② 平行四边形、矩形、等边三角形、正方形既是中心对称图形，也是轴对称图形

③ 旋转和平移都不改变图形的形状和大小

④ 底角45°的等腰梯形，高是h，则腰长是h

A.全对B.①②④C.①②③D.①③④

4.小明家刚买了一套新房，准备用地板砖密铺新居厨房的地面，若只用一种正多边形的地砖密铺，则下列正多边形中不适用的是（）。

A.正三角形B.正方形C.正五边形D.正六边形

5.正比例函数y=x与反比例函数y=的图像相交于A、C两点。AB⊥x轴于B，CD⊥y轴于D，则四边形ABDC的面积为（）。

A.1B.C.2D.

6.若点（-2，y1）、（1，y2）、（3，y3）都在反比例函数y=-的图像上，则y1，y2，y3的大小关系是（）。

A.y1

7.已知一直角三角形的木板，三边的平方和为1800cm2,则斜边长为（）。

A.80cmB.30cmC.90cmD.120cm

8. 五根小木棒，其长度分别为7，15，20，24，25，现将它们摆成两个直角三角形（如图1），其中正确的是（）。

9. 某市为处理污水需要铺设一条长为4 000米的管道，为了尽量减少施工对交通所造成的影响，实际施工时每天比原计划多铺设10米，结果提前20天完成任务。设原计划每天铺设管道x米，则可得方程（）。

A.-=20B.-=20

C.+=20D.-=20

10.某品牌皮鞋店销售不同尺码的同种品牌男鞋，采购员再次进货时，对于男鞋的尺码，他最关注下列统计资料中的（）。

A.众数B.中位数C.加权平均数D.平均数

二、填空题

11.把命题“平行四边形的两条对角线互相平分”改写成“如果…，那么…”的形式是______________________。

12.若分式无意义，则x的值为____________。

13.已知=+（所有字母均不为零），则R=________。

14.将n个边长都为1cm的正方形按如图2所示的方法摆放，点A1、A2…An分别是各正方形的中心，则n个这样的正方形重叠部分（阴影部分）的面积的和为____________cm2。

15.如图3是某广告公司为某种商品设计的商标图案，若图中每个小正方形的面积都是1，则阴影部分的面积是______。

16.如图4，在平面直角坐标系中，网格中每一个小正方形的边长为1个单位长度，

（1）如在所给的网格内画出以线段AB、BC为边的菱形ABCD，则点D的坐标是_________。

（2）线段BC的长为_______，菱形ABCD的面积等于__________。

三、解答题

17.某校八年级学生开展踢毽子比赛活动，每班派5名学生参加。按团体总分多少排列名次，在规定时间内每人踢100个以上(含100个)为优秀，下表是成绩最好的甲班和乙班5名学生的比赛数据(单位：个)。经统计发现两班总分相等，此时有学生建议，可以将数据中的其他信息作为参考。

请你回答下列问题：

（1）根据上表提供的数据填写下表：

2）根据以上信息，你认为应该把冠军奖状发给哪一个班?简述理由。

18.已知：（1）＝， （2）+＝，

（3）++＝，

……

（1）请按以上规律写出第4个等式；

（2）请按以上规律写出第n个等式，并说明理由。

19.甲、乙两地相距300km，一辆货车与一辆轿车都从甲地开往乙地，货车比轿车早出发5小时，轿车比货车晚到30分钟，已知轿车与货车的速度比为5∶2。

（1）求两车的速度。

（2）由于石油资源紧缺，97＃汽油价由原来的3.15元/升涨到现在3.40元/升，若该辆货车行驶100公里耗油10升，每天在甲、乙之间往返一次，则该辆货车现在一个月（30天）用油款比原来多多少元？

20.如图5，若反比例函数y=与一次函数y=mx-4的图像都经过点A（a，2）。

（1）求点A的坐标；

（2）求一次函数y=mx-4的解析式；

（3）设O为坐标原点，若两个函数图像的另一个交点为B，求△AOB的面积。

21. 如图6所示，在直角梯形ABCD中，AD//BC，∠A=90°，AB=12，BC=21，AD=16。动点P从点B出发，沿射线BC的方向以每秒2个单位长的速度运动，动点Q同时从点A出发，在线段AD上以每秒1个单位长的速度向点D运动，当其中一个动点到达端点时另一个动点也随之停止运动。设运动的时间为t（秒）。

（1）设△DPQ的面积为S，求S与t之间的函数关系式；

（2）当t为何值时，四边形PCDQ是平行四边形。

篇10：离散数学浙师大2008期末试卷

考试形式闭卷使用学生 计(非师范): 02班

考试时间120 分钟出卷时间 2008 年5月28日

说明：考生应将全部答案都写在答题纸上，否则作无效处理。

一。选择题（每题2分，共20分）：

1．命题公式p(qp)为（）。

A．重言式B．可满足式C．矛盾式D．等值式

2．设集合A = {1，a}，则P(A)=（）。

A．{{1}，{a}}B．{，{1}，{a}}

C．{，{1}，{a}，{1，a}}D．{{1}，{a}，{1，a}}

3．下列命题中正确的结论是：（）

A．集合上A的关系如果不是自反的，就一定是反自反的；

B．若关系R,S都是反自反的，那么RS必也为反自反的；

C．若关系R,S都是自反的，那么RS必也为自反的；

D．每一个全序集必为良序集.4．下列结论中不正确的结论是：（）

A．三个命题变元的布尔小项pqr的编码是m010；

B．三个命题变元的布尔大项pqr的编码是M101；

C．任意两个不同的布尔小项的合取式必为永假式；

D．任意两个不同的布尔大项的合取式必为永假式.5．设集合A和二元运算*，可交换的代数运算是（）。

A．设AP({x,y}),a,bA,abab

B．设A{1,1,2,3,4,5},a,bA,ab|b|

C．设AMn(R)，运算是矩阵的乘法

D．设AZ,a,bA,aba2b

6．以下命题中不正确的结论是（）

A．素数阶群必为循环群；B．Abel群必为循环群；

C．循环群必为Abel群D．4阶群必为Abel群.7．设代数系统(K1,)和(K2,)，存在映射f:K1K2，如果a,bK1，都有（），称K1与K2同态。

A．f(ab)f(a)f(b)B．f(ab)f(a)f(b)

C．f(ab)f(a)f(b)D．f(ab)f(a)f(b)

8．图G有21条边，3个4度结点，其余均为3度结点，则G有（）个结点。A．13B．15C．17D．19

9．以下命题中正确的结论是（）

A．n2k时，完全图Kn必为欧拉图

B．如果一个连通图的奇结点的个数大于2，那么它可能是一个Euler图；

C．一棵树必是连通图，且其中没有回路；

D．图的邻接矩阵必为对称阵.10．若连通图GV,E，其中|V|n,|E|m，则要删去G中（）条边，才能确定G的一棵生成树。

A．nm1B．nm1C．mn1D．mn

1二．填空题（每题2分，共20分）

11．在有界格中命题a00的对偶命题为

12．设G是有限群,H是G的子群，则H在G中的右陪集数为。

13．设集合A = {a,b,c,d}，A上的二元关系R = {,,,}，那么Dom(R)= Ran(R)=。

11014．设集合B = {a,b,c}上的二元关系R的关系矩阵MR001，则R具有的性质

000

是，且它的对称闭包S(R)＝。

15．设集合A = {a,b}，B = {1,2}，则从A到B的所有函数是，其中双射的函数

16．设无向图GV,E是哈密顿图，对于任意的V1V且V1均有 其中，p(GV1)为GV1的连通分支数。

17．公式(a(bc)def)(g(hi)j)的前缀符号法表示为。

18．已知下图，它的点连通度(G)为，边连通度(G)为

20．若二部图Km,n为完全二部图，则其边数为

三．计算题(一)（每小题5分，共30分）

21．符号化下述两个语句，并说明其区别：

（1）如果天不下雨，我们就去旅游；（2）只有不下雨，我们才去旅游。

22．将下命题化为主析取范式和主合取范式：(p(qr))(pqr).23．设R={<0,1>,<1,0>,<0,2>,<2,0>}，求：⑴ R*R；⑵ R*R-1； ⑶R[{0}]

24．设集合Ａ＝｛１，２，３，４｝，Ａ上的二元关系Ｒ，其中Ｒ＝｛<1,1>,<1,4>,<2,2>, <2,3>,<3,2>,<3,3>,<4,1>,<4,4>｝，说明Ｒ是否Ａ上的等价关系。

25．设A{1,2,,12}，为整除关系，B{2,3,4}，(1)画出偏序集A,的哈斯图；

（2）找出A的极大元、极小元、最大元、最小元；（3）在A,中求B的上界、下界、最小上界、最大下界.26．设代数系统(Z,),其中Z是整数集，二元运算定义为

a,bZ,abab2。aZ,求a的逆元.三．计算题(二)（每小题7分，共14分）

27．设Ga是15阶循环群.(1)求出G的所有生成元；（2）求出G的所有子群.28．求下图D的邻接矩阵A(D)，并算出其可达矩阵P(D)

五．证明题（每小题8分，共16分）

29．在自然推理系统F中，构造下面推理的证明：

每个喜欢步行的人都不喜欢骑自行车。每个人或者喜欢骑自行车或者喜欢乘汽车。有的人不喜欢乘汽车，所有的人不喜欢步行。（个体域为人类集合）