山东理工大学复变试题

山东理工大学复变试题（精选5篇）

篇1：山东理工大学复变试题

第二章

复变函数

第一节

解析函数的概念及C.-R.方程

1、导数、解析函数

定义2.1：设是在区域内确定的单值函数，并且。如果极限

存在，为复数，则称在处可导或可微，极限称为在处的导数，记作，或。

定义2.2：如果在及的某个邻域内处处可导，则称在处解析；如果在区域内处处解析，则我们称在内解析，也称是的解析函数。解析函数的导（函）数一般记为或。

注解1、语言，如果任给，可以找到一个与有关的正数，使得当，并且时，则称在处可导。

注解2、解析性与连续性：在一个点的可导的函数必然是这个点的连续函数；反之不一定成立；

注解3、解析性与可导性：在一个点的可导性是一个局部概念，而解析性是一个整体概念；

注解4、函数在一个点解析，是指在这个点的某个邻域内解析，因此在此点可导；反之，在一个点的可导性不能得到在这个点解析。

解析函数的四则运算：

和在区域内解析，那么，（分母不为零）也在区域内解析，并且有下面的导数的四则运算法则：。

复合求导法则：设在平面上的区域内解析，在平面上的区域内解析，而且当时，那么复合函数在内解析，并且有

求导的例子：

（1）、如果（常数），那么；

（2）、，；

（3）、的任何多项式

在整个复平面解析，并且有

（4）、在复平面上，任何有理函数，除去使分母为零的点外是解析的，它的导数的求法与是实变量时相同。

2、柯西-黎曼条件

可微复变函数的实部与虚部满足下面的定理：

定理2.1

设函数在区域内确定，那么在点可微的充要条件是：

1、实部和虚部在处可微；

2、和满足柯西-黎曼条件（简称方程）

证明：（必要性）设在有导数，根据导数的定义，当时

其中。比较上式的实部与虚部，得

因此，由实变二元函数的可微性定义知，在点可微，并且有

因此，柯西-黎曼方程成立。

（充分性）设，在点可微，并且有柯西-黎曼方程成立：

设则由可微性的定义，有：

令，当（）时，有

令，则有

所以，在点可微的。

定理2.2

设函数在区域内确定，那么在区域内解析的充要条件是：

1、实部和虚部在内可微；

2、)和在内满足柯西-黎曼条件（简称方程）

关于柯西-黎曼条件，有下面的注解：

注解1、解析函数的实部与虚部不是完全独立的，它们是方程的一组解，它们是在研究流体力学时得到的；

注解2、解析函数的导数形式更简洁：

公式可避免利用定义计算带来的困难。

注解3、利用两个定理，可以判断一个复变函数是否在一点可微或在一个区域内解析。

3、例题

例1

证明在任何点都不可微。

解，四个偏导数在复平面内连续，但任何点都不满足方程，故在任何点都不可微。

例2

试讨论定义于复平面内的函数的可导性。

解：

四个偏导数在复平面内连续，且在复平面内满足方程，故在复平面内处处可导。

例3

设函数在复平面可导，试确定常数之值。

解

由方程

得

（1）

（2）

由（1）

得

（3）

由（2）

得

（4）

（5）

解（3），（4），（5）得。

第二节

初等解析函数

1、幂函数

利用对数函数，可以定义幂函数：设是任何复数，则定义的次幂函数为

当为正实数，且时，还规定。

由于

因此，对同一个的不同数值的个数等于不同数值的因子

个数。

2、幂函数的基本性质：

1、由于对数函数的多值性，幂函数一般是一个多值函数；

2、当是正整数时，幂函数是一个单值函数；

3、当（当是正整数）时，幂函数是一个值函数；

4、当是有理数时，幂函数是一个值函数；

5、当是无理数或虚数时，幂函数是一个无穷值多值函数。

设在区域内，我们可以把分成无穷个解析分支。对于的一个解析分支，相应地有一个单值连续分支。根据复合函数求导法则，的这个单值连续分支在内解析，并且,其中应当理解为对它求导数的那个分支，应当理解为对数函数相应的分支。

对应于在内任一解析分支：当是整数时，在内是同一解析函数；当时，在G内有个解析分支；当是无理数或虚数时，幂函数在内有无穷多个解析分支，是一个无穷值多值函数。

例如当是大于1的整数时，称为根式函数，它是的反函数。当时，有

这是一个值函数。在复平面上以负实轴（包括0）为割线而得得区域内，它有个不同的解析分支：

它们也可以记作，这些分支在负实轴的上沿与下沿所取的值，与相应的连续分支在该处所取的值一致。

当不是整数时，原点及无穷远点是的支点。但按照a是有理数或者不是有理数，这两个支点具有完全不同的性质。

为了理解这些结论，我们在0或无穷远点的充分小的邻域内，任作一条简单闭曲线围绕0或无穷远点。在上任取一点，确定在的一个值；相应地确定,在的一个值。现在考虑下列两种情况：

(1)

是有理数，当一点从出发按反时针或顺时针方向连续变动周时，从连续变动到，而则从相应地连续变动到,也即第一次回到了它从出发时的值。这时，我们称原点和无穷远点是的阶支点，也称为阶代数支点。

（2）不是有理数时，容易验证原点和无穷远点是的无穷阶支点。

当不是整数时，由于原点和无穷远点是的支点，所以任取连接这两个支点的一条简单连续曲线作为割线，得一个区域。在内，可以把分解成解析分支。

关于幂函数当为正实数时的映射性质，有下面的结论：

设是一个实数，并且。在平面上取正实数轴（包括原点）作为割线，得到一个区域。考虑内的角形，并取在内的一个解析分支

当描出内的一条射线时（不包括0），在平面描出一条射线。让从0增加到（不包括0及），那么射线扫过角形，而相应的射线扫过角形，因此把夹角为的角形双射成一个夹角为的角形，同时，这个函数把中以原点为心的圆弧映射成中以原点为心的圆弧。

类似地，我们有，当是正整数时，的个分支

分别把区域双射成平面的个角形

.3、例题

例1、作出一个含的区域，使得函数

在这个区域内可以分解成解析分支；求一个分支在点的值。

解：由于

我们先求函数的支点。因为的支点是0及无穷远点，所以函数可能的支点是0、1、2及无穷远点。任作一条简单连续闭曲线，使其不经过0、1、2，并使其内区域含0，但不包含1及2。设是上一点，我们确定、及在这点的值分别为

。当从按反时针方向沿连续变动一周时，通过连续变动可以看到，增加了，而

没有变化，于是在的值就从

连续变动到

因此0是函数的一个支点；

同时，任作一条简单连续闭曲线，使其不经过0、1、2，并使其内区域含1，但不包含0及2。设是上一点，我们确定、及在这点的值分别为

。当从按反时针方向沿连续变动一周时，通过连续变动可以看到，增加了，而没有变化，于是在的值就从

连续变动到

因此1也是函数的一个支点；

同理，2和无穷远点也是它的支点。

支点确定后，我们作区域，把函数分解成单值解析分支。

首先，在复平面内作一条连接0、1、2及无穷远点的任意无界简单连续曲线作为割线，在所得区域内，可以把分解成连续分支。例如可取作为复平面上这样的割线，得区域。

其次，任作作一条简单连续闭曲线，使其不经过0、1、2，并使其内区域包含这三个点中的两个，但不包含另外一点。设是上一点，确定在的一个值，同样的讨论，有当从沿连续变化一周回到时，连续变化而得的值没有变化。

所以，我们可以作为割线如下，取线段及从2出发且不与

相交的射线为割线，也可以把分解成连续分支。例如取在所得区域内，可以把w分解成连续分支。例如可取及作为复平面上的割线，得区域。

求在上述区域中的一个解析分支

在的值。

在，取

于是在或内，可以分解成两个解析分支

由于所求的分支在的值为，可见这个分支是

由下图可以得到，在或内处，因此的所求分支在的值是

.例2、验证函数在区域内可以分解成解析分支；求出这个函数在上沿取正实值的一个分支在处的值及函数在下沿的值。

证明：我们有

则0及1是的三阶支点，而无穷远点不是它的支点。

事实上，任作一条简单连续闭曲线，使其内区域包含0、1，设是上一点，确定在的一个值，当从沿连续变化一周回到时，连续变化而得的值没有变化。

因此，在区域内，可以把分解成解析分支。现在选取在上沿取正实值的那一支，即在上沿，其中，根号表示算术根。求这一支在的值。

在上沿，取。于是所求的一支为

其中，根号表示算术根。求这一支在的在内处

于是的指定的一支在处的值是

.最后，考虑上述单值分支在下沿取值的情况。在区域内，当沿右边的曲线，从上沿变动到下沿时，没有变化，而减少了，于是在的下沿，有

当沿左边的曲线，从上沿变动到下沿时，增加了，而

没有变化，于是在的下沿，有

因此，无论怎样，当在的下沿时，上述单值分支的值是

.注解1：

对具有多个有限支点的多值函数，不便采取限制辐角范围的办法，而是首先求出该函数的一切支点，然后适当联结支点以割破复平面，于是，在复平面上以此割线为边界的区域内就能分出该函数的单值解析分支。因为在内变点不能穿过支割线，也就不能单独绕任一支点转一整周，函数就不可能在内同一点取不同的值了。

注解2：

解例1，例2这类题的要点，就是作图观察，当动点z沿路线（在内，且不穿过支割线）从起点到终点时，各因子辐角的连续改变量：，即观察向量的辐角的连续改变量。由此可计算。

篇2：山东理工大学复变试题

复数与复变函数

第一节

复数

1．复数域

每个复数具有的形状，其中和，是虚数单位；和分别称为的实部和虚部，分别记作。

复数和相等是指它们的实部与虚部分别相等。

如果，则可以看成一个实数；如果，那么称为一个虚数；如果，而，则称为一个纯虚数。

复数的四则运算定义为：

复数在四则运算这个代数结构下，构成一个复数域，记为C。

2．复平面

C也可以看成平面，我们称为复平面。

作映射：，则在复数集与平面之建立了一个1-1对应。

横坐标轴称为实轴，纵坐标轴称为虚轴；复平面一般称为-平面，w-平面等。

3．复数的模与辐角

复数可以等同于平面中的向量。向量的长度称为复数的模，定义为：；

向量与正实轴之间的夹角称为复数的辐角，定义为：

（）。

复数的共轭定义为：；

复数的三角表示定义为：；

复数加法的几何表示：

设、是两个复数，它们的加法、减法几何意义是向量相加减，几何意义如下图：

关于两个复数的和与差的模，有以下不等式：

（1）、；（2）、；

（3）、；（4）、；

（5）、；（6）、；

例1．1试用复数表示圆的方程：

（）

其中a,b,c,d是实常数。

解：方程为，其中。

例1.2、设、是两个复数，证明

利用复数的三角表示，我们可以更简单的表示复数的乘法与除法：设、是两个非零复数，则有,则有

即，其中后一个式子应理解为集合相等。

同理，对除法，有

即，其后一个式子也应理解为集合相等。

例1.3、设、是两个复数，求证：

例1.4、作出过复平面C上不同两点a,b的直线及过不共线三点

a,b,c的圆的表示式。

解：直线：；

圆：

4．复数的乘幂与方根

利用复数的三角表示，我们也可以考虑复数的乘幂：

令，则

进一步，有

共有-个值。

例1.5、求的所有值。

解：由于，所以有

其中。

第二节

复平面上的点集

1．初步概念：

设，的-邻域定义为

称集合为以为中心，为半径的闭圆盘，记为。

设，若中有无穷个点，则称为的极限点；

若，使得，则称为的内点；

若中既有属于的点，由有不属于的点，则称为的边界点；

集的全部边界点所组成的集合称为的边界，记为；

称为的闭包，记为；

若，使得，则称为的孤立点（是边界点但不是聚点）；

开集：所有点为内点的集合；

闭集：或者没有聚点，或者所有聚点都属于；则任何集合的闭包一定是闭集；

如果，使得，则称是有界集，否则称是无界集；

复平面上的有界闭集称为紧集。

例1.6、圆盘是有界开集；闭圆盘是有界闭集；

例1.7、集合是以为心，半径为的圆周，它是圆盘

和闭圆盘的边界。

例1.8、复平面、实轴、虚轴是无界集，复平面是无界开集。

例1.9、集合是去掉圆心的圆盘。圆心，它是的孤立点，是集合的聚点。

无穷远点的邻域：，集合称为无穷远点的一个邻域。类似地有，聚点、内点、边界点与孤立点，开集、闭集等概念。

我们也称为的一点紧化。

2．区域、曲线

复平面C上的集合，如果满足：

（1）、是开集；

（2）、中任意两点可以用有限条相衔接的线段所构成的折线连起来，而使这条折线上的点完全属于。

则称是一个区域。

结合前面的定义，有有界区域、无界区域。

性质（2）我们称为连通性，即区域是连通的开集。

区域内及其边界上全部点所组成的集称为闭区域。

扩充复平面上不含无穷远点的区域的定义同上；含无穷远点的区域是C上的一个区域与无穷远点的一个邻域的并集。

设已给

如果和都在闭区间上连续，则称集合为一条连续曲线。

如果对上任意不同两点及，但不同时是的端点，我们有，那么上述集合称为一条简单连续曲线，或若尔当曲线。若还有，则称为一条简单连续闭曲线，或若尔当闭曲线。

若尔当定理:

任意一条若尔当闭曲线把整个复平面分成两个没有公共点的区域：一个有界的称为内区域，一个无界的称为外区域。

光滑曲线：

如果和都在闭区间上连续，且有连续的导函数，在上，则称集合为一条光滑曲线；类似地，可以定义分段光滑曲线。

设是一个区域，在复平面C上，如果内任何简单闭曲线的内区域中每一点都属于，则称是单连通区域，否则称是多连通区域。

中区域的连通性：如果内任何简单闭曲线的内区域或外区域中每一点都属于，则称是单连通区域，否则称是多连通区域。

例1.10集合为半平面，它是一个单连通无界区域，其边界为直线

即。

例1.11集合为一个垂直带形，它是一个单连通无界区域，其边界为直线及。

例1.12集合为一角形，它是一个单连通无界区域，其边界为半射线

及。

例1.13集合为一个圆环，它是一个多连通有界区域，其边界为圆及。

例1.14在上，集合与分别为单连通及多连通的无界区域，其边界分别为及。

第三节

复变函数

1．复变函数的概念

设在复平面C上以给点集。如果有一个法则，使得，同它对应，则称为在上定义了一个复变数函数，简称为复变函数，记为。

注解1、同样可以定义函数的定义域与值域；

注解2、此定义与传统的定义不同，没有明确指出是否只有一个和对应；

注解3、复变函数等价于两个实变量的实值函数：若，则等价于两个二元实变函数和。

函数也称为从到C上的一个映射或映照。把集合表示在一个复平面上，称为-平面；把相应的函数值表示在另一个复平面上，称为-平面。

从集合论的观点，令，记作，我们称映射把任意的映射成为，把集映射成集。

称及分别为和的象，而称和分别为及的原象。

若把中不同的点映射成中不同的点，则称它是一个从到的双射。

例1.15考虑映射。

解：设，，则有，这是一个平面到平面的双射，我们称为一个平移。

例1.16考虑映射，其中。

解：令，则它可以分解为以下两个映射的复合：，第一个映射是一个旋转（旋转角为），第二个映射是一个以原点为中心的相似映射。

例1.17考虑映射。

解：它可以分解为以下两个映射的复合：，映射是一个关于实数轴的对称映射；

映射把映射成，其辐角与相同：

而模，满足。我们称为关于单位圆的对称映射，与称为关于单位圆的互相对称点。

若规定把映射成，则它是一个扩充平面到扩充平面的一个双射。

例1.18、考虑映射。

解：等价于。

2．复变函数的极限

设函数在集合上确定，是的一个聚点，是一个复常数。如果任给，可以找到一个与有关的正数，使得当，并且时，则称为函数当趋于时的极限，记作：

注解：1、复变函数的极限等价于两个实变二元函数的重极限。

2、关于极限的和、差、积、商等性质可以不加改变的推广到复变函数。

3．复变函数连续性的定义

设函数在集合上确定，是的一个聚点，如果

成立，则称在处连续；如果在中每一点连续，则称在上连续。

注解1

如果，则在处连续的充要条件为：

即一个复变函数的连续性等价于两个实变二元函数的连续性；

注解2

连续函数的四则运算结论成立：两个复变函数连续的加、减、乘、除（分母不等于零）是复变函数连续；

注解3

如果函数在集上连续，并且函数值属于集，而在集上，函数连续，那么复合函数在上连续。

4．一致连续性

设函数在集合上确定，如果任给，可以找到一个仅与有关的正数，使得当，并且时，则称函数在上一致连续。

定理1.1、设函数在简单曲线或有界闭区域上连续，那么它在上一致连续。

定理1.2、设函数在简单曲线或有界闭区域上连续，那么它在上有界，即在集上有界。

定理1.3、设函数在简单曲线或有界闭区域上连续，那么在上达到它的最大模和最小模。

5．无穷大极限

设函数在复平面上的区域或闭区域上确定，是的一个聚点，不属于。如果任给，可以找到一个与有关的正数，使得当，并且时，则称当趋于时，函数趋于无穷大，记作：

设函数在复平面上的无界区域或闭区域上确定。是一个有限复常数。如果任给，可以找到一个与有关的正数，使得当，并且时，则称当趋于时，函数趋于极限，记作：

第四节

复球面与无穷远点

在点坐标是的三维空间中，把

xOy面看作就是面。考虑球面：

取定球面上一点称为球极。

我们可以建立一个复平面C到之间的一个1-1对应：。

我们称上面的映射为球极射影。

对应于球极射影为，我们引入一个新的非正常复数无穷远点，称为扩充复平面，记为。

关于，其实部、虚部、辐角无意义，模等于；基本运算为（为有限复数）：；

篇3：山东理工大学复变试题

复变函数是数学学习的基础和重点课程, 如果将matlab的操作简单、代码少、效率高和具有强大数值计算、分析和图形处理功能这些优点应用到复变函数知识的学习研究中, 对复变函数中的一些运算汇编出相应的计算程序和作图程序, 则会让繁杂的复变函数简单易掌握, 借助图像能让抽象的复变函数更加直观易理解。

2. 复变函数学习的调查研究

鉴于复变函数在西藏大学的授课情况, 本问卷调查群体只面向西藏大学理学院数学专业和工学院的通信专业大三学生。共计发放问卷140 份, 收回问卷136 份, 有效问卷126 份。通过对有效问卷的可靠性检测, 科隆巴赫系数为0.755, 大于0.7, 故可以认为问卷通过检验, 问卷数据可以用于分析。

3. 数据的统计与分析

3.1 相关性检验

相关性分析是考察两个变量之间线性关系的一种统计分析方法。P值是针对原假设H0:假设两变量无线性相关而言的。一般假设检验的显著性水平为0.05, 你只需要拿P值和0.05 进行比较:如果P值小于0.05, 就拒绝原假设H0, 说明两变量有线性相关的关系, 他们无线性相关的可能性小于0.05;如果大于0.05, 则一般认为无线性相关关系, 至于相关的程度则要看相关系数r值, r越大, 说明越相关, r越小, 则相关程度越低。

通过SPSS的交叉分析, 根据假设性原理筛选, 初步得到如下11 个影响因子。这11 个通过交叉分析得到的影响因子是与“你认为自己的复变函数学的怎么样”交叉分析得来的, 意在把“你认为自己的复变函数学的怎么样”作为数据分析讨论的核心, 将各个问题与之进行相关性检验, 然后通过比对卡方检验值 (0.05) , 以此从众多的影响因子中找出具有相关性的因子。

3.2 主成份分析

主成分分析是利用降维的方法, 把多指标转化为少数几个综合指标。在用统计方法研究多变量问题时, 变量太多会增加计算量和增加分析问题的复杂性。主成份分析可以在进行定量分析的过程中, 涉及较少的变量, 得到较多的信息量。

通过SPSS软件的因子分析 (主成份分析) , 得到解释总方差。

在解释的总方差表的初始特征根中, 给出按顺序排列的主成分得分的方差, 在数值上等于相关系数矩阵的各个特征根 λ, 因此可以直接根据特征根计算每一个主成分的方差百分比。

3.3 确定主成份

进行主成份分析的主要目的是减少变量的个数, 一般会在n个变量中取m<n个主成份, 以此来评价总体。在分析中通常以所取m使得贡献率达到80% 以上, 即

通过SPSS的主成份分析, 可得到如下的主成份矩阵。它给出了主成份载荷矩阵, 每一列载荷值都显示了各个变量与有关主成分的相关系数。以第一列为例, -0.193 实际上是性别与第一个主成份的相关系数, 依此类推。每列都会产生一个最大的相关系数, 如此就可以得到8 个主成份。

提取方法: 主成份。

从成分矩阵即主成分载荷表中可以看出:“你以前是否接触过Matlab、您在建模比赛中常用的处理软件有哪些、你喜欢上复变函数课吗、在复变函数课上你的老师会不会用有关的软件来教学、你认为复变函数中的难点是、复变函数学习时候遇到难题如何处理、你认为泰勒展示容易求吗、你的老师是否尝试过用Matlab来教学”这8 个问题在各自的主成份系数中得分最高, 故为所需要的主成份。

4. 讨论

通过以上两种分析, 结合11 个影响因子和8 个主成份, 我们就得出了影响学生在学习复变函数过程中, 应用MATLAB的重要因素。分别有以下几点:

4.1 你喜欢上复变函数课吗

在数据分析中发现, 学生感觉自己学习复变函数的好坏与是否喜欢复变函数有直接的关系。

4.2 在复变函数课上你的老师会不会用有关的软件来教学

分析发现, 教师在授课时经常使用matlab软件的班级, 较之其他班级, 普遍复变函数较好。主要原因是复变函数中的许多抽象的计算如:复积分、留数、taylor展式等, 老师通过软件演示, 既增强了学生对理论知识的理解, 又培养了学生运用matlab的能力。

4.3 你认为复变函数中的难点

在所统计的14.7% 感觉自己复变函数学的很糟糕的学生中, 超过40% 的学生感觉概念、定理证明最难。而复变函数学习偏好的学生中, 大部分学生的难点是其他, 就是说这个群体能较好的把握定理概念, 从本质上了解复变函数的原理。

摘要：通过对西藏大学学习复变函数的学生进行问卷调查, 将调查数据通过SPSS进行主成份分析、相关性检验和交叉分析, 统计分析出影响学生学习复变函数的重要因素, 并提出可行策略。

关键词：复变函数,主成份分析,交叉分析

参考文献

[1]何晓群.现代统计分析方法与应用[M].北京中国人民大学出版社, 2007.

[2]李艳双, 曾珍香, 张闽.主成分分析法在多指标综合评价方法中的应用[J].河北工业大学学报, 1999, 1.

[3]洪楠.SPSS FOR Windows统计分析教程[M].北京电子工业出版社, 2000.

篇4：山东理工大学复变试题

1814年,法国数学家柯西(A.L.Cauchy)的一篇文章系统地阐述了复变函数的积分理论,首次将复变函数看作是复变量的整体进行研究,并给出了著名的柯西积分定理和柯西积分公式[1],为复变函数论的发展奠定了扎实的理论基础.后又经过德国数学家黎曼(G.F.B.Riemann)和魏尔斯特拉斯(K.Weierstrass)等人的巨大努力,复变函数论已经形成了非常系统的理论,并渗入到代数学、微分方程、拓扑学等数学分支,在热力学、流体力学和电学等方面得到了很好的应用.

复变函数论的主要研究对象是解析函数,而解析函数的一个重要性质是区域内部的值可以由边界上的值表示,这就为复变函数论在固体力学中的应用奠定了理论基础.在1909年,俄国数学力学家哥洛索夫(G.V.Kolosov)首先将复应力函数法应用于解决二维弹性静力学问题[2],从此揭开了弹性力学复变方法研究的序幕.2009年恰逢弹性力学复变方法提出100周年,本文试图总结100年来这一方法的研究进展,特别是在断裂力学方面的应用与发展,作为对已有综述文献的补充与完善,以作纪念.

1 弹性力学复变方法的产生与发展

1909年,哥洛索夫在研究带有椭圆形孔口的无限大薄板在无穷远处沿孔的长轴方向受一均匀外力作用下的应力分布问题时,首次将应力分量和位移分量用两个复变函数表示出来,用于解决二维弹性静力学问题,并获得了成功.这一开创性的工作开启了平面弹性复变方法研究的大门,标志弹性力学复变方法的诞生.

在弹性力学发展的初期,寻求满足全部弹性力学方程和边界条件的解析解是弹性力学的主要任务.先驱们为此竭尽所能,在应用数学领域积极探索.而解析函数恰好具有将区域内部的值与边界上的值有机地联系起来的重要性质,因此,哥洛索夫弹性力学复变方法的创立犹如一把开山利斧,为解决平面弹性问题提供了一种强有力的工具,很快得到了广大研究者的响应,哥洛索夫的学生穆斯海里什维利(N.I.Muskhelishvili)就是众多研究者中的一位杰出代表.1933年,穆斯海里什维利的专著《数学弹性力学的几个基本问题》[3]问世,全书共分为4章,对弹性力学平面问题的复变函数法进行了全面系统的论述,阐述了用复变函数法求解弹性平面问题的基本理论,并概括了当时许多新的研究成果,成功地给出了许多用其理论解决实际工程中静力学模型的例子,这些例子的结论至今仍然被很好地运用着.他的老师哥洛索夫在给《数学弹性力学的几个基本问题》一书的序言中对每一章的内容进行了详细点评,指出该专著中给出了许多著名工程力学问题的解析求解和若干创新之处.如,对第3章“保角映射与复积分对于平面问题的应用”的点评是“第3章整个是属于著者的,这不论是就其独创性及已解决问题的普遍性或者就著者所使用方法的普遍性而言,都是如此.”穆斯海里什维利的工作由于其理论的严谨和应用的有效与便捷,为数学力学界乃至工程领域普遍接受,吸引了许多研究者从事此领域的工作.该专著堪称弹性力学和数学力学书海中的瑰宝,让人们真正领略到了弹性力学复变方法的强大效力.由于该书在力学领域的极大影响和广受欢迎,分别于1935年、1948年、1953年出版了第2版、第3版和第4版,进行了必要的补充与修订,并被翻译成英文和中文等多种非俄文版本出版,足以说明该专著得到了国际同行认可.

特别值得一提的是专著[3]在引入复变表示时的方法与文献[2]不同.根据1862年艾瑞(G.B.Airy)引入的应力函数U(x,y),经典弹性平面问题的控制方程在不考虑体力作用的情况下可表示为一个双调和方程

其中,为调和算子.而调和函数、

双调和函数与复变函数理论中的解析函数之间又有着非常紧密的联系.穆斯海里什维利首先将应力函数用复变函数φ(z)和X(z)表示为

进而给出了应力分量、位移分量和边界条件的复变表示,这一方法通俗易懂,推导详尽,为之后弹性力学复变方法的推广和应用起到了示范作用.此前,古萨(E.Goursat)曾用不同的方法给出过双调和函数的复变表示,且形式也与此略有不同.

用穆斯海里什维利方法(即弹性力学复变方法)求解弹性平面问题,虽然在其著作中给出了许多成功的范例,但受方法的限制,作用并不能充分发挥出来.正如穆斯海里什维利自己指出的一样,这种方法存在很大的局限性,要求保角映射必须有理化,如在其专著中作者建议了如下的保角映射

由于当时所用的方法多是直接应用柯西积分及解析函数的性质,有时也借助于一些简单的保角映射,因此该方法对一些形状特殊的模型求解非常有效,当边界形状复杂时则会导致难以处理的Fredhom积分方程.

继穆斯海里什维利的著作后,英国A.H England1971年出版的著作《弹性理论中的复变函数法》[4]是另一部较完整地对复变函数法应用于弹性力学进行论述的著作.但该著作在国内尚不多见,且未见到中文翻译的版本.弹性力学的复变函数法是在20世纪50年代末期引入我国的.在后来的几十年中,我国数学家路见可教授对这一方法的发展做出了很大的贡献.1986年,他所著的专著《平面弹性复变方法》[5]代表了自60年代后我国学者的研究成果.在其专著中简明扼要地说明了平面弹性理论中的复变函数方法,给出了多种弹性平衡基本问题求解过程,特别是对断裂力学中的一些基本缺陷问题和一些具有复杂边界条件的不同材料焊接的第一、二基本问题进行了论述.专著《平面弹性复变方法》自出版以来,深受广大研究者欢迎,分别于2002年和2005年出版了第2版、第3版.

2 复变方法的成功应用

自平面弹性复变方法创立以来,许多研究者就致力于这一方法的应用研究,并且在许多领域中获得了成功.

2.1 经典断裂力学中的应用与发展

断裂力学创立于20世纪初.1920年,英国科学家格里菲斯(A.A.Griffith)尝试解释玻璃的实际强度远低于理论强度的原因,他以材料内部存在缺陷的观点为基础,提出在一定条件下,微小缺陷的失稳扩展将导致材料或结构的破坏,揭开了断裂力学研究的序幕.之后的许多大型事故都验证了这一观点的正确性.如:1943～1947年,美国近500艘全焊接船中发生了1000多起脆性破坏,为了分析原因,从100多个损坏处割下试件进行实验,发现事故总是在有焊接缺陷处发生;1947年,前苏联4500 m3的大型储油罐底部的壳体连接处,在气温降到-43℃时,形成大量裂纹,造成储罐的破坏;1969年,美国F-111飞机在执行飞行训练中,左翼脱落,导致飞机坠毁,最后发现是由于机翼枢轴存在缺陷而导致的疲劳断裂;1982年,我国长江葛洲坝2号船闸人字门拉杆断裂,造成长江航运断航9天,分析原因发现在断口处存在初始缺陷,等等.

20世纪四五十年代,奥罗万(E.Orowan)与欧文(G.R.Irwin)发展和完善了格里菲斯理论,引入了裂纹尖端应力强度因子的概念,对断裂判据的建立和断裂力学的应用奠定了坚实的基础,20世纪70年代,断裂力学得到了蓬勃发展.有限裂纹的引入使问题的研究从单连通区域扩大到具有复杂边界的多连通区域上,这为复变方法的应用提供了新的用武之地,也使得复变方法展现出新的活力.这主要是因为用复变函数方法求解可以充分地利用解析函数在边界上的已知解,借助于柯西积分公式确定出弹性区域内部的值,而保角映射法的使用可以把不规则的单连通区域划为简单的规则区域——单位圆盘或者上半平面,不仅使得积分的曲线变得十分简单,而且为进一步的解析延拓奠定了基础,解析延拓又为用刘维尔定理确定函数的具体形式(即变隐函数为显函数)提供了前提.可以说保角映射的引入,使得复变函数中的柯西积分、解析延拓、刘维尔定理有机连接成为一个整体,为充分发挥复变函数这一极为有效的工具求解具体问题发挥了不可估量的作用.

继哥洛索夫1909年的开创性工作之后,英格立斯[6]于1913年利用椭圆坐标计算了包含一个穿透性椭圆孔洞的平板受拉伸作用的问题,给出了裂纹和尖角处的应力分布.1919年,穆斯海里什维利利用柯西积分和保角映射等典型的复变函数方法系统地求解了受斜拉伸作用的椭圆孔口问题,得到了复势函数的解析解,给出了取得最大最小应力的精确位置.1921年,普厄希尔也发表了关于椭圆孔洞的同类型的文章.文献[2,3,6]的工作被认为是断裂力学复变方法的早期创立阶段.

20世纪80年代以来,范天佑和申大维等人引入了三角函数、指数函数、对数函数、根式函数以及它们的复合函数等一系列非有理函数形式的保角映射[7,8,9,10],求解了带单裂纹和共线双裂纹的狭长体、带裂纹的圆形与椭圆形孔口、星型裂纹、唇形裂纹等若干具有复杂裂纹边界的弹性问题,扩展了可用来作保角映射的函数类,使得穆斯海里什维利复变方法在断裂力学中得到进一步发展,在理论上为求解具体的断裂力学问题提供新的途径,为工程上的具体应用提供了若干有用的公式.如,基于地球的板块理论,共线双裂纹的狭长体模型可以较好地模拟地震后余震的传播.近年来,这一方法又被进一步推广到求解具有一般曲线边界裂纹的情形[11],均得到了问题的解析解.郝天护、张晓堤、黄克智等将复变方法应用于弹性损伤材料,求得了一种弹性损伤材料的Ⅲ型裂纹在小范围损伤条件下的全场解,给出了损伤区形状、损伤耗散能、裂纹表面剪开位移及损伤区前方应力分布等数值结果.这些工作极大地扩展了断裂力学复变方法的应用范围.

2.2 复合材料断裂力学的应用

复合材料作为一种先进功能材料具有比强度比刚度高,能按结构的使用要求设计材料等优点,广泛应用于各种工程结构中.随着复合材料的广泛应用,也给力学分析提出了许多的研究问题.复合材料的实验研究表明缺陷出现的部位可能在纤维上、基体内或在两者的界面上,材料内部任何一处的微缺陷都有可能导致整个材料的破坏.复合材料断裂力学的研究已成为一个国际前沿课题.

由于复合材料属于各向异性材料,所以经典的复变方法不能直接应用,需引入广义复变函数.文献[12,13]利用复变方法求解了含裂纹的各向异性体的周期基本问题、散射波与半圆形凹陷的相互作用问题等,同时还给出了一个类似Cauchy核的Hilbert核积分公式.专著[5]中都开辟了专门的章节讨论了复变方法在求解复合材料断裂力学问题中的应用.

杨维阳等人的《复合材料断裂复变方法》[14]是关于复合材料断裂力学复变方法的一本专著,将复合材料平面断裂问题化为广义双调和方程或偏微分方程边值问题,采用广义复变方法推导了复合材料板Ⅰ型、Ⅱ型、Ⅲ型和混合型受纯弯曲、受纯扭转和受弯扭作用下裂纹尖端应力、应变、位移、弯矩、扭矩的解析解.同时将J积分化为复变形式,即复变函数积分的实部或虚部,证明了复合材料板各型裂纹尖端J积分的路径无关性.该专著简明扼要地讨论了广义复变函数在求解各向异性材料断裂力学问题中的应用.

界面裂纹是复合材料断裂力学的重要研究对象.文献[15]运用复变函数方法,研究了基体、涂层和夹杂中复势函数的一般解答.给出了界面含有一条裂纹时,复势函数的精确级数形式解.基于已获得的复势函数和广义Peach-Koehler公式,计算了作用在位错上的象力.结果表明,界面裂纹对涂层夹杂附近的位错运动有很大的影响效应,含界面裂纹涂层夹杂对位错的捕获能力强于完整粘结情况,并发现界面裂纹长度和涂层材料常数达到某一个临界值时可以改变象力的方向.

2.3 在新型材料力学问题中的应用与发展

若干新型材料力学问题都表现出了多场耦合的特性,如磁电弹性材料存在多个力学量与电学量、磁学量间的相互耦合效应;准晶弹性问题的刻画不仅需要描写晶格振动的声子场,还需要刻画原子准周期排列的相位子场,而且二者是相互耦合的,等等.因此新型材料弹性与断裂力学问题的求解较经典弹性具有本质的难度,引起了广大研究者的关注,并已成为力学家和数学家研究的热门课题.多个势函数的引入、广义解析函数和广义保角映射的应用是解决新型材料弹性与断裂力学问题的新发展.

Horacio Sosa[16],高存法等[17]利用广义解析函数和广义保角映射并结合罗朗展开求解压电材料中的椭圆孔口与裂纹问题,戴隆超等[18]基于复变函数的方法,以PZT-4材料为例,采用精确电边界条件和非导通电边界条件对远场均匀载荷作用下的横观各向同性压电体椭圆孔进行了力学分析,均获得了弹性场与电场的解析解.

范天佑等创造性地引进位移势函数和应力势函数,求解准晶弹性与断裂力学问题,使数目巨大的基本方程组简化成一个或少数几个高阶偏微分方程(即控制方程),通过引入复变量或广义复变量,给出控制方程解的复变函数表示.通过构造适当的保角映射,求解了若干准晶断裂力学问题[19,20].专著[21]较系统地总结了一维与二维准晶平面弹性与断裂力学的复变方法,求得了若干裂纹与位错问题的解析解.如:一维六方准晶垂直于准周期方向的平面弹性问题,引入位移势函数F(x,y),则该构型平面弹性问题的控制方程为调和方程与双调和方程

势函数F(x,y)的复变表示与经典弹性完全一致,已由穆斯海里什维利给出.

二维十次对称准晶垂直于周期方向的平面弹性问题,引入应力势函数或位移势函数F(x,y),则该构型平面弹性问题的控制方程为4重调和方程

文献[20]首次将该势函数F(x,y)用4个解析函数表示为

成功求解了椭圆孔口问题.而垂直于准周期方向的平面弹性问题,引入位移势函数U(x1,x3),其控制方程为

其复变表示为

这是关于3个广义复变量z1,z2,z3的解析表示,需用广义复变方法进行运算.

三维二十面体准晶平面弹性问题,引入应力势函数或位移势函数F(x,y),则该构型平面弹性问题的控制方程为6重调和方程

其势函数F(x,y)的复变表示为

其中,z=x1+x2i为复变量.这是关于同一个普通复变量z的解析表示.

利用上述复变表示,通过构造非有理函数型的保角映射,刘官厅等开展了准晶复杂缺陷问题的研究,求解了一维六方准晶中具有不对称裂纹的圆形孔口问题、狭长体中非对称静态裂纹与快速传播裂纹问题、带裂纹的椭圆孔口问题、圆弧裂纹及抛物线裂纹的反平面剪切问题等等,均获得了应力场或应力强度因子的解析解,将复变方法较好地推广到了准晶弹性与断裂力学中[22].

文献[23]采用复变函数法探讨了十次对称二维准晶材料中接触问题.结果显示,对于具有有限摩擦的接触问题,接触应力在接触区边缘具有实指数奇异性;而对于粘结接触问题,接触应力在接触区边缘具有振荡型奇异性.将复变函数成功应用于准晶接触问题中.

3 复变方法在三维空间弹性与断裂问题方面的推广

1963年,我国力学家唐立民在《中国科学》上发表了“三维弹性问题的复变函数方法”的论文,提出了在x-y平面上用复变函数而z方向用积分方程逐次迭代,解决了一类特殊的空间弹性问题,首次将复变函数方法应用于三维空间弹性问题的研究.随后,樊大钧的专著[24]较为系统地简介了当时国内外复变方法在研究弹性力学三维问题的研究成果,主要包括三维旋转轴对称与非轴对称等问题,给出了大量的工程应用实例.

对于弹性力学一般的空间问题,应力和位移分量可用3个三维双调和伽辽金位移函数完全表示.文献[25,26]将三维双调和函数分解为一个实函数与一个复函数的乘积进行求解,均得到了问题的解析解.文献[27]利用复变方法研究了周期桶状垫圈全平面应变问题,将此三维弹性问题归结为求解3个复应力函数所满足的解析函数边值问题,对相同材料和不同材料两类问题分别进行了讨论,都获得了封闭形式的解析解.

板壳断裂问题是一类非常重要的三维断裂问题,在工程上具有非常广泛的应用.由于弹性体内不仅存在面内位移,还存在面外位移,其应力应变场沿厚度方向发生变化,因此,较一般平面弹性问题复杂.仿照穆斯海里什维利处理平面弹性问题的思路,Savin[28]首先给出了板的弯曲内力复变表示.Sih和Paris[29]利用复变函数方法研究了经典板壳(Kirchhoff板壳理论)弯曲断裂问题,建立了复应力强度因子与复势函数的解析关系式.柳春图等[30]将他们在平面断裂问题中所建立的复变-主部分析法成功推广于板弯曲断裂问题,获得了若干有意义的结果,阐明了不同裂纹间复势函数的虚常数跳跃的物理意义.1990年,吕品等[31]建立了Reissner板弯曲的复变函数分析方法,进一步完善了板壳断裂的复变方法.

4 展望与未来

近年来,由于向有限元法、有限差分法和边界元法等许多数值方法的蓬勃发展,加之计算机软件的使用,使得上述数值方法能够较好的实现,大批学者转向了弹性问题的数值研究.但是作为一种极为有效和独具特色的方法,复变函数法在多连通域、复杂几何形状等问题的解析求解中成功应用,使得利用复变函数法求解弹性平面问题时,无需预先估计位移和应力、应变场的特征,无需预先构造未知函数的形式,只需要按照解法中所包含的数学推导逐步进行下去,就可得到严格的解析解.而解析解有利于对变量变化的分析,因此,在宏观平面弹性理论和断裂力学中,复变方法发挥着不可替代的作用.探索复变方法的新发展,或许将解析研究与数值方法的有机结合,对于解决某些特定问题,可能是一种有效的求解途径.非常可喜的是已有一些学者开始致力于这方面的研究.如周勇等[32]基于复势理论和杂交变分原理建立了一种适用于力电耦合分析的杂交应力有限元模型,王其申[33]提出了由泛复函构造弹性力学平面问题特解的新的复变方法.

篇5：《复变函数与积分变换》教学探讨

《复变函数与积分变换》是全国高等教育自学考试机电一体化专业的一门基础理论课。复变函数是研究复自变量复值函数的分析课程, 在某些方面是微积分学的推广。解析函数是复变函数研究的中心内容, 留数的计算及其应用以及保角映射是复变函数特有的问题。积分变换是通过积分运算把一个函数转变为另一个更为简单的且易于处理的函数。通过本课程的学习, 为以后学习工程力学、电工学、电磁学、振动力学及无线电技术等课程奠定必要的基础。本课程与高等数学有密切的联系, 如导数、积分、级数等, 因此本课程的教学有一定的难度。

二、教学探讨

1、有选择与针对性地讲解教材内容。

讲课教材采用贺才兴主编, 辽宁大学出版社出版的《复变函数与积分变换》, 包括复变函数与积分变换两部分内容。对积分变换未作要求的专业, 考生可不学积分变换部分。机电一体化专业对积分变换没作具体要求, 通过研究分析历年全国高等教育自学考试真题, 我发现近几年考试第四大题综合题的26和27小题可任选一题来做, 第26题关于保角映射, 第27题是第二篇积分变换的内容。若选择26题保角映射来答题, 第27题积分变换的题可以不做。

我对《复变函数与积分变换》2008年4月到2010年7月考试情况进行统计, 分析后发现, 若选择第26题 (放弃第27题) , 则教材各章内容在考试中所占的分值分布情况如下:

从表中不难发现, 考试内容基本上是教材的前六章的内容。我们的教学时间是60学时, 时间很紧, 为了保证教学效果, 我们决定选择前六章为重点讲解内容。放弃第二篇积分变换的学习, 对于学习时间紧的学生, 不失为一种策略。

2、结合考试题型和考核内容, 有重点地讲解教材内容。

通过对历年真题的研究发现, 考试试题有四种考试形式:

第一大题为单项选择题 (2分×10) ;

第二大题为填空题 (2分×6) ;

第三大题为计算题 (6分×4+7分×4) ;

第四大题为综合题 (2分×8) 。

这四种题型在近几年中没有改变。我们就根据这四种考试形式认真组织教学与复习。考试的出题形式每年不变, 每章内容在考试中的出题题型也相对固定, 出题形式略有不同, 采用四种题型中的一种或两种。例如在第三章复变函数的积分中, 基本上有以下六个考试内容, 在讲解知识内容的基础上, 结合考试真题, 重点讲解。:

(1) 、用参数方程法求复变函数的积分。常见的是求复变函数在一段直线段或曲线段上的积分, 讲课中结合例题要重点讲解;

【知识点】复变函数积分的参数方程法:

若曲线C的方程为为z=z (t) =x (t) +iy (t) , α≤t≤β,

注:计算复变函数的积分, 首先判断被积函数是否解析, 若不解析可采用参数方程将复积分转变为一元微积分来计算。

例题 (2010.7计算题) 计算积分I=∫czRezdz, 其中C为连接由点0到点1+i的直线段. (6分)

【解析】该题被积函数zRe z不解析, 所以采用参数方程法。

从0到1+i的直线段的参数方程:

令z=x+iy=t+it= (1+i) t则:dz= (1+i) dt

(2) 、用牛顿-莱布尼兹公式求复变函数的积分。常见的形式是求这样的复变函数的积分, 积分路线只知道起点和终点, 而不知道具体的积分路径。

【知识点】若设函数f (z) 在区域D内解析, Φ (z) 是f (z) 在D内的一个原函数, z1、z2是D内的两点, 则

注:计算解析函数的积分问题归结为寻找其原函数的问题。

例题 (2008.7单选题) 复积分∫0ieizdz的值是 ()

【答案】C

【解析】该题考查牛顿-莱布尼兹公式的应用。该题被积函数是解析函数, 可求出其原函数为i1eiz。这样利用牛顿-莱布尼兹公式:

(3) 、利用柯西定理求积分。讲课中要把柯西定理的使用条件讲解清楚, 指出只要函数在积分路线C所围的区域中解析, 就可使用柯西定理。多讲几种形式的函数, 分析其解析情况, 使学生掌握该定理;

【知识点】柯西定理及两个推论

(1) 柯西定理:设函数f (z) 在单连通区域D内解析, C是D内任意一条闭曲线, 则

(2) 推论1:设函数f (z) 在单连通区域D内解析, 则积分只与曲线C的起点和终点有关, 而与曲线C无关。

(3) 推论2:设闭曲线C是单连通区域D的边界, 函数f (z) 在D内解析, 在C上连续, 则

【答案】A

【解析】该题考查柯西定理的应用。该题被积函数在整个复平面上有一个奇点z=3i, 但在|z|=2所包围的区域内是解析函数, 所以直接应用柯西定理, 积分值为0。因此, 正确答案为A。

(4) 利用柯西积分公式求积分。

【知识点】柯西积分公式:设闭曲线C是区域D的边界。若函数f (z) 在D内解析, 在C上连续, 则对于D内任意一点z, 有

利用柯西积分公式, 可求一些复变函数的积分。常写成如下形式:

【解析】该题考查柯西积分公式的应用。

由柯西积分公式:

(5) 、利用高阶导数公式求积分。用柯西积分公式和高阶导数公式计算复变函数的积分, 要求学生熟悉积分形式, 对被积函数的形式尤其要理解, 这样才能针对不同的积分采用不同的公式, 最后记住公式。

【知识点】高阶导数公式:f (z) 在闭曲线C所围成的区域D内解析, 在C上连续。则函数f (z) 在D内有各阶导数, 它们都是D内的解析函数, 且其n阶导数为:

利用高阶导数公式可以计算复变函数沿闭曲线的积分。常写成如下形式:

【解析】该题考查高阶导数公式的应用。

令 () zf z=ze, f (z) 在复平面上解析,

(6) 、利用复合闭路定理计算复变函数的积分。

【知识点】

(1) 复合闭路定理:设D是由边界曲线Γ=C+C1+C2+⋅⋅⋅+Cn所围成的多连通区域, f (z) 在D内解析, 在C上连续, 则:

(2) 闭路变形原理:若函数f (z) 在区域D内除点z0外都解析, 则它在D内沿任何一条围绕z0的正向闭曲线的积分值都相等。

(3) 若函数f (z) 在区域D内除去点z1, z2, ⋅⋅⋅, zn外都解析, Ck为D内任何一条把zk (k=1, 2, ⋅⋅⋅, n) 包围在内的正向闭曲线, 则:

例题 (2009.4计算题) 设C是正向圆周z=2, 计算

【解析】该题考查复合闭路定理的应用。

z=0和z=1为函数的奇点, 分别以z=0和z=1为圆心作两个圆周C1及C2, 1C和C2互不相交且互不包含。应用复合闭路定理:

3、设计例题将抽象的内容变具体。

在讲解第六章第一节复变函数导数的几何意义时, 我发现教材讲解方式比较抽象, 没有具体实例。我就设计了一道例题如下:

例:求函数把Z平面内的曲线C:x2+y2=4映射成W平面的曲线Γ, 并求C曲线上的点映射成W平面上的点0w。

首先让学生先做题, 通过解题, 学生能够复习第二章讲的内容。回顾将Z平面的曲线如何通过一个复变函数映射成 (变换成) W平面的另外一种曲线的过程, 即可通过参数方程的方法, 解题结果如下:

Z平面

这时给学生讲z' (t0) 是一个复数, 代表曲线C在点z0的切向量, w' (t0) 也是一个复数代表曲线Γ在点w0的切向量, 而切向量的幅角是切向量与正实轴的夹角。让学生们说出这两个复数的幅角分别为, 这时请学生们注意f' (z0) 的幅角为, 正好是z' (t0) 这个切向量到w' (t0) 切向量的旋转的角度。因此指出, 导数幅角arg f' (z0) 的几何意义是w=f (z) 在点z0的旋转角。

再次请学生们注意z' (t0) 、w' (t0) 、f' (z0) 的模2、的关系, 学生们很容易说出z' (t0) 的模乘以f' (z0) 的模得到w' (t0) 的模, 因此指出|f' (z0) |称为映射w=f (z) 在点z0的伸缩率。

通过这样的实例讲解, 使学生们有了一个感性的认识, 然后再进行理论说明, 学生们较易接受。

三、学习方法

(1) 阅读教材

(1) 考生要认真研读教材, 理解基本概念、基本原理。比如第一章第一节复数及其表示法, 要理解复数的代数形式中包括实部和虚部, 从复数的向量表示法中引出复数的模和幅角的概念, 并掌握它们和复数的实部与虚部的关系。再比如第三章第二节柯西定理, 要理解柯西定理应用的条件, 学会分析被积函数的特点以及积分曲线所围成的区域。

(2) 考生通过学习教材, 记住一些基本公式和基本解题方法。比如学习第四章级数, 要记住一些初等函数的幂级数展开式, 利用这些展开式可以采用间接法进行泰勒级数的展开。

(2) 熟悉各章重点题型, 多做练习

每一章都有考试题型, 通过历年考试题型的分析, 我们发现只要掌握各章的考试题型, 多做练习, 通过考试不是一件困难的事。比如第四章级数, 每次考试都会以单项选择题或填空题的形式出一道计算收敛半径的题, 在计算题中出一道泰勒级数的展开和一道罗朗级数的展开。这样考生就可以针对性地多做一些这种题型的题, 掌握解题方法。

(3) 考前模拟

临考前, 做几套历年考试真题。针对不会的考试题型, 重点练习。

四、结论

《复变函数与积分变换》这门课对许多学生来讲, 是一道难关。教师应结合考试的特点, 有针对性地制定教学计划。变抽象地说教为具体地讲解, 尽量采用询问式、互动式的教学方法, 让学生感兴趣。教师应认真钻研教材, 结合教学大纲, 制定切实可行的教学计划。本文就教学内容、教学方法做了一些有益的探索, 在实际教学过程中得到了很好的效果, 学生参加全国自学考试的通过率明显提高。

参考文献

[1]贺才兴:《复变函数与积分变换》, 辽宁大学出版社, 2000, 10。

[2]杨巧林:《复变函数与积分变换》, 机械工业出版社, 2007, 9。