《求比值》教学反思

《求比值》教学反思（精选8篇）

篇1：《求比值》教学反思

比的意义求比值教案

教学目标

1.理解比的意义，会读、写比；认识比的各部分名称；掌握求比值的方法、能准确地求出比值。

2.理解比、分数、除法之间的关系，通过观察，让学生懂得事物之间是相互联系的。教学重点和难点

掌握比的意义，建立比的概念，能准确地求出比值。教学过程

老师：在日常生活中，我们常常把两个数量进行比较，通常怎么比较？（比较两个数量之间相差关系用减法，比较两个数量之间的倍数关系用除法。）

导入：今天我们借助于除法来学习两个数量进行比较的另一种表示方法。

（一）准备题

（事先板书）口头列式解答。

1.一面红旗，长3分米，宽2分米，长是宽的几倍？宽是长的几分之几？

2.一辆汽车，2小时行驶100千米，每小时行驶多少千米？ 板书：100÷2=50（千米）

师：观察上面的两道题，它们有什么共同特点？（都用除法）

（二）讲授新课：比的意义 1.观察练习1。

问： 3÷2表示什么？（3是2的几倍。）谁和谁比？（长和宽比。）

2÷3表示什么？（2是3的几分之几）谁和谁比？（宽和长比。）

师：无论是长除以宽，还是宽除以长，比较结果都表示长和宽之间的倍数关系，这时也可以把两个数量之间的关系说成是两个数量的比。板书：长和宽的比是3比2。宽和长的比是2比3。也就是说，3÷2可以说成3比2，2÷3也可以说成2比3。提问：3分米、2分米都表示什么？（长度）

师小结：3分米、2分米都表示长度，它们是同一种量，我们就说这两个数量的比是同类量的比。2.观察练习2。

提问：求的是什么？（速度）谁和谁进行比较？（路程和时间）谁除以谁？

师：我们也可以用比来表示路程和时间的关系。（放手让学生讨论）路程除以时间可以说成什么？（可以说成路程和时间的比，即100∶2可以说成100比2。）

路程和时间是同一类量吗？（不是）不同类量比的结果是什么？（产生一个新的量：速度。）3.归纳总结。

师：从上面例子可以看出，表示两个数之间的关系可以用什么方法？（用红笔画线，标上除法。）当用除法表示两个数量关系时，我们又可以说成什么？（用红笔画线，标上“比”。）什么叫做比？（学生讨论后，老师归纳并板书。）板书：两个数相除又叫做这两个数的比。4.练一练。（投影）

（1）书法小组有男生6人，女生5人，男女生人数的比是（）比（），女生人数和男生人数的比是（）比（）。

（2）小红3小时走11千米，小红所行路程和时间的比是（）比（），这个比表示（）。提问：写比时要注意什么？（要看清谁比谁，按顺序写。）不按顺序写会出现什么结果？（改变比的意义。）

（三）比的写法和各部分名称

师：两个数相除又叫做两个数的比，说法变了，各部分名称和表现形式都应发生变化。（可让学生看书自学，老师根据学生的回答板书。）3比2 记作3∶2 2比3 记作2∶3 100比5 记作100∶5

“∶”叫做比号，读做比。比号前面的数叫做比的前项，比号后面的数叫做比的后项。用比的前项除以比的后项，所得的商叫做比值。

提问：比的前后两项能随便交换位置吗？为什么？（交换了位置，比的意义就变了。）比值可以是哪些数？（分数、小数、整数）练习：你会求比值吗？（板书）

100∶2＝100÷2＝50（老师说明：求比值和解答应用题不同，不写单位名称。）

（四）比、除法、分数之间的关系

师：两个数相除又叫做两个数的比，比和除法到底有什么关系？

学生讨论，老师出示投影。

生：比的前项相当于除法中的被除数，比号相当于除号，比的后项相当于除数，比值相当于商。

师：为什么要用“相当于”这个词？因为它们之间有联系还有区别，除法是一种运算，比则表示两个数之间相除的关系，所以比同除法的关系只能是相当于的关系。

提问：在除法中，为了使除法有意义，提出了什么要求？（除数不能是0。）那比的后项可以是零吗？（不可以）

师：比还有一种表示方法，就是写成分数形式。（板书）

提问：比和分数有什么关系？

生：比的前项相当于分子，比号相当于分数线，比的后项相当于分母，比值相当于分数值。（老师按学生回答，填写投影片）

师：分数是一个数，所以比同分数也是“相当于”的关系。

（五）反馈练习

1.“做一做”，学生动笔在本上做。2.（投影）把下面的比写成分数形式。

3.选择答案。

航空模型小组8个人共做了27个航空模型，这个小组所做的模型总数和人数的比是（）。

4.判断正误：（举反馈牌）（1）大卡车载重量是

5吨，小卡车载重量是

（2）机床上有一个齿轮，20秒转49周，这个齿轮转动的周数和时间的比是20∶49。（）

2吨，大小卡

（）

师：写比要注意比的顺序，前、后项不能颠倒。

（六）课堂总结 今天我们学习。（让学生打开书看）你都学会了哪些知识？

（七）布置作业（略）

课堂教学设计说明

本节课是在学生学过分数与除法的关系、分数乘除法的意义和计算方法以及分数乘除法应用题的基础上进行的，因此本课从除法应用题入手，通过复习同类量相除，不同类量相除的内容，引出“比”的概念，培养了知识迁移能力。在理解比的意义过程中，让学生通过观察、分析归纳出比的意义，体现了概念教学的特点，使学生不仅获取了新知识，也培养了学生自学能力和分析归纳能力。课后练习，重在加强学生对概念的理解，及时反馈了学生掌握概念的情况。板书设计 比的意义

两个数相除又叫做两个数的比

例：一面红旗，长3分米，宽2分米，长是宽的几倍？宽是长的几分之几？

例：一辆汽车2小时行驶100千米，每小时行驶多少千米？ 100÷2＝50（千米）

篇2：《求比值》教学反思

我告诉学生:学数学很重要的一点是要舍得思考, 舍得动笔.大家能否构造出满足题目条件的图形, 看看是否为平行四边形, 如果能想出尽可能多的方法, 那就完美了.接着, 我将此题作为了一道课后思考题, 布置给每个学习小组, 让学生先思考, 再小组交流自己的想法, 然后将本组的结论写在各组的小黑板上进行全班交流.最后, 经过全班学生的交流、讨论, 大家发现有以下方法可以作出符合条件的四边形.

方法一 利用作全等三角形的方法, 构造出符合条件的四边形.步骤如下:

1.作△ABC.

2.以A为圆心, BC为半径作弧.

3.以C为圆心, AB为半径作弧, 与前一弧交于点D, 连接AD, DC, 得四边形ABCD.

如图, 易得∠B=∠D, AD=BC, 四边形ABCD是平行四边形.

方法二 利用平行四边形的性质, 运用切割和图形旋转的方法, 构造符合条件的四边形.步骤如下:

1.作▱ABCD.

2.连接AC.

3.将△ACD绕点A顺时针旋转使点C落在BC边上 (异于点C) 的C1处, 这时点D旋转到D1处, 由旋转的性质可知:在四边形ABC1D1中, ∠B=∠D1=∠D, AB=D1C1=DC.

即所作四边形ABC1D1符合题目条件, 显然, 此四边形不是平行四边形.

方法三 利用等腰三角形的性质, 运用切割法和构造全等三角形的方法构造出符合条件的四边形.步骤如下:

1.作△ABC使AB=AC.

2.在BC上取任意点D, 以点D圆心, AC为半径作弧.

3.以A为圆心, DC为半径作弧, 两弧交于点E, 连接DE, AD, 即作出△ABD≌△DEA.那么在四边形ABDE中, 易证∠B=∠E, AB=DE.即此四边形符合题目条件.此时, 若点D是BC的中点, 那么四边形ABDE是平行四边形;若点D不是BC的中点, 四边形ABDE不是平行四边形.

方法四 利用平行四边形和圆周角的性质, 移动相应的角与线段, 构造出符合条件的四边形.步骤如下:

1.作▱ABCD.

2.作△ACD的外接圆⊙O.

3.以A为圆心, AD为半径作弧与⊙O交点于D1, 连接AD1, CD1, 在四边形ABCD1中, ∠B=∠D=∠D1, BC=AD1=AD, 显然, 此四边形ABCD1不是平行四边形.

我认为, 学生对此问题的讨论具有以下意义:

1.对于一组对边相等, 一组对角相等的四边形, 有了确切的认识即它不一定是平行四边形.

2.通过举反例的方法, 转变为如何作出符合条件的四边形, 在对问题进行多角度的思考、观察中获得对于问题准确、真实的认识.寻根问底求真知, 这是数学学习常用的方法.

3.问题思考的过程使学生的发散思维获得了必要的训练.

篇3：化简比和求比值教学建议

一、从概念上对比

比值是比的前项除以后项所得的商，要使学生弄清楚“比值”是一个数，可以用整数、分数、小数任意一种形式表示（通常为了减少计算量多用分数表示，一般不用小数表示），突出强调比值是一个数；而化简比是化成最简单的整数比（前、后项为互质的整数），就是把比的前项和后项化成是互质的整数（要引导学生深刻理解互质的定义），重点强调最简比仍然是一个比，由前项、后项、比号构成。在理解了求比值和化简比的基础上启发学生总结比值是一个数，而最简比仍然是一个比。

二、从方法上对比

求比值，一般用比的前项除以后项；化简比，一般是把比的前項和后项都乘以或除以同一个数（零除外），直到前后项互质为止。按照循序渐进的原则，在学生掌握了基本方法后，再进行大量的对同一比求比值和化简比的对比练习，最后再让学生回忆求分数值、最简分数的方法，从而使他们明白求比值与求分数值的方法相同，化简比与化简分数的方法相同。对学有余力的学生教师要引导他们自己研究化简比和求比值的方法可以互用的问题，比如对0.5∶7化简比和求比值时都可以用前后项乘以2这个方法，所不同的是化简比的结果是1∶14，而比值是1/14。

三、从结果上对比

求比值，结果是一个数，可以是整数、小数、分数任意一种形式，而化简比结果是一个前后项互质的整数比，突出强调求比值结果是一个数，而化简比的结果必须是一个比（最简比）。当化简比最后结果用假分数形式表示时，不能化成带分数。要使学生明白求比值与化简比，是两种不同的运算关系，它们之间既有区别又有联系，一个最简分数如3/7，当它表示比值时读作七分之三，当它表示化简比的结果时读作三比七。

四、用列表对比

在学生熟练掌握求比值和化简比后，教师引导学生从概念、方法、结果、与分数联系等方面进行列表对比：

化简比和求比值的对比

总之，在这部分知识教学中教师要从概念、方法、结果上加强对比，使学生明白化简比和求比值的区别与联系，同时要紧密联系分数等有关知识明确化简比和求比值的联系，为学生学好比和比例应用题打好基础，从而把所学知识有机联系起来，达到融会贯通的目的。

篇4：《求比值》教学反思

课题:《日常文本信息的加工与表达》。

涉及课标:能够根据任务需求, 熟练使用文字处理、图表处理等工具软件加工信息, 表达意图。

●课例一

1.教学目标

知识与技能目标:能够根据任务需求, 熟练使用文字处理软件加工日常文本信息, 表达意图。

过程与方法目标:采用提问、拓展的方式, 使学生初步掌握使用文字处理软件进行信息处理的基本方法。

情感态度与价值观目标:愿意利用现代信息技术工具为学习和生活服务。

2.教学过程

(1) 常见文本类型。采用问答的方式, 引起学生对学习过的文字处理方法的回忆。教师介绍常见文本类型。

(2) 日常文本信息的加工与表达。

(1) 教师出示用Word编排的唐诗文稿、邀请函、论文报告范例。

(2) 学生依据教师提供的文稿、插图素材, 模仿制作邀请函, 编排论文报告、唐诗文稿。

(3) 学生展示成果, 同时讲述排版要点 (学生只展示了与范例一样的排版文稿, 没能按要求讲述排版要点) 。

(4) 教师提问:“任务一的唐诗、邀请函的排版和任务二的研究论文的排版有什么不同的地方?” (学生没有回答) 教师自答:“两者表达的主题不同, 排版风格不同, 不同的文本形式, 需要不同的排版式样。根据文本阅读对象的特征及应用的场合、目的, 文本本身的性质等的不同, 选择合适的表达形式, 这才是排版的关键所在。”

(5) 拓展活动:针对不同的作品要求, 分析并讨论归纳出日常文本信息的加工要点及制作方法填入表格中 (表格略, 大部分学生没有完成拓展活动) 。

(6) 教师依据表格内容归纳加工要点和制作方法。

●课例二

1.教学目标

知识与技能目标:了解信息加工的流程, 了解信函、研究报告等常用文本形式及特点。

过程与方法目标:通过对日常文本信息的加工要点的了解, 编辑排版艺术节邀请函和校运会宣传标语等文本内容, 表达内容主题。

情感态度与价值观目标:认识用计算机处理信息的优势;在小组学习活动中积极与同伴合作交流。

2.教学过程

(1) 常见文本类型。

(1) 呈现教材中的“文本信息加工”流程图, 教师讲解信息加工前需明确的问题。

(2) 教师采用问答的方式呈现教材P40“交流”内容。

(3) 教师要求学生完成教材P41的“任务”:上网搜索常见文本特点, 填写P41表3-1和表3-2 (大部分学生没有完成表3-2的填写) 。

(2) 日常文本信息的加工与表达。

(1) 教师要求学生以小组为单位, 完成教材P41的“观摩”:打开教材光盘的“教学案例”, 观察其中存放的多种常见文本的排版及其表达效果, 分析其加工形式, 并进行评价, 说明理由。评价之前请参考教材P42的评价要素。

(2) 小组反馈案例评价结果 (学生浏览光盘“教学案例”以及评价的时间不足, 各小组没有形成评价结果, 无法反馈。教师采取自己逐条讲解教材P42的评价要素的方式来替代学生反馈活动, 呈现本环节内容) 。

(3) 讲授教材P42的日常文本信息加工的要点。

(4) 学生用教师提供的原文件, 排版邀请函。

课题《日常文本信息的加工与表达》是必修《信息技术基础》模块“信息的加工与表达”的一节课。通过对以上课例教学目标的分析, 可以发现目前信息技术课程教学在目标制定方面普遍存在两个问题:其一, 课堂教学目标机械地套用三个维度的陈述, 缺乏从整体上思考三者之间的相互联系和相互渗透;其二, 教师研读课标不到位, 没有将课程标准分解成可分步实施的各学期、各单元目标和课时目标。

●问题一:目标缺乏梯次细化, 机械套用三个维度, 课标难以落实

问题分析与改进建议

课程标准对该课题的要求是“能够根据任务需求, 熟练使用文字处理、图表处理等工具软件加工信息, 表达意图。选择恰当的工具软件处理多媒体信息, 呈现主题, 表达创意”。其中, “熟练使用文字处理、图表处理等工具软件加工信息”是知识与技能维度的要求;“能够根据任务需求选择恰当的工具软件处理……”是过程与方法维度的目标;形成良好的表达行为和素养是情感态度与价值观维度的追求。“能使用文字处理软件加工信息”的技能目标和“形成良好的表达行为和素养”的情感态度与价值观的目标是在多项解决实际文本信息处理实例的实践过程中形成的。课例一和课例二都将教学目标的三个维度作为一个平面的三类目标来描述, 缺乏从整体上思考如何让学生在用文字处理软件处理信息的实践过程中体验、感知“文字的加工方法”以及“技术的恰当应用”。从教学目标的指向看, 教师将学生掌握“信息加工”的一般方法停留在知识性记忆层面, 导致所选择的教学策略侧重于模仿学习。课标的三个维度难以落实。

课堂教学目标是课程标准的下位目标。课例所对应的能力目标, 其培养不可能一蹴而就, 需要教师根据教材、学生和教学资源等具体情况, 将其梯次细化成各课时目标, 形成具体、可操作、可评价的课堂教学目标。课例一的目标设计生搬课程标准要求, 使其选择的教学行为、设计的学习活动侧重于“使用文字处理软件加工信息”, 导致学生在经历“信息加工与表达”主题学习时缺失“如何选择恰当的技术表达意图”的体验。课堂教学目标是课堂教学效益的基石, 教师在教学活动中如果忽视课程目标的细化, 教学就可能走向“无目的”或“偏离课程主旨”的无效教学。

本课例“信息的加工与表达”主题的重点目标是“能根据任务选择恰当的信息表达方式”, “信息表达方式的选择”是信息表达过程中相关技术操作的前提, 其实现是对有关技术操作素养的提升;而信息加工工具的熟练操作则是落实信息表达方式的实践, 也是对信息表达的技术深化。据此, 细化后的教学目标可以具体描述为: (1) 通过制作邀请函、论文报告, 了解信函、研究报告等常用文本的形式及特点; (2) 在编辑、排版艺术节邀请函、研究报告等常用文本过程中, 学会根据信息接受方的特点选择效果形式、表达主题内容; (3) 灵活运用文字处理软件中的编排技术, 总结、归纳出常用文本信息加工的基本方法; (4) 通过制作、展示活动, 初步形成良好的表达行为。

●问题二:依据学情处理教材、组织教学研究不足, 教学效果难显

课例一和课例二的教学过程中, 课例一的教师用以往的软件操作教法经验为基础处理新课程教学, 致使学生在模仿学习的过程中, 虽能熟练操作文字处理软件, 但无法达到“如何选择恰当的技术表达意图”的程序性知识目标;课例二的教师“照本宣科”, 完完整整地依据教材的内容及其呈现序列来实施教学, 没有依据学生实际的学习情况对教材进行相应处理。

问题分析与改进建议

教师对教材的处理及教学方法的选择是影响教学效益的直接因素, 而教师对二者的选择是基于教师对学情的了解和分析。因此, 教师对学情的把握是影响课堂教学效益的根本因素。本课例的学情:高一学生在初中阶段已经学习过Word软件, 他们具有使用Word软件进行文字编排操作的基础, 基本掌握页面设置、正文格式设置、图文混排等操作, 能够对文本进行简单的排版。但是, 学生对如何根据任务的要求, 围绕主题选择合适的文本呈现方式、有效地表达自己的意图缺乏足够的经验。即对根据任务需求解决实际问题缺乏分析、整体规划和设计制作等能力。而且, 学生必须通过变式练习才可能获得“解决问题”这一类型的程序性知识。另外, 有部分学生对Word软件的操作不熟练。依据学情, 该课题教学要突破的难点即“如何根据任务的要求, 围绕主题, 选择合适的文本呈现方式, 有效地表达自己的意图”。该难点属于程序性知识, 程序性知识体现在实践活动中, 因此, 学生是否掌握了程序性知识也只有通过学生的实践活动过程才能判断。课例一虽然以作品制作的操作实践活动为主线, 但在“范例展示”的环节, 教师没有对范例作表达方式特点分析, 学生无法从范例观摩中理解如何根据表达主题的需要选择恰当的表达形式, 因此学生在制作的过程中, 或照着范例呈现方式进行编辑排版, 或盲目选择表达形式, 教学效果不到位。所以当作品展示时, 学生也没能按照教师的要求说出版面设计的理由及表达效果的优势。随后教师的总结也无法落实根据具体需求恰如其分地表达信息的目标。课例二课堂效益低下的原因是没有依据学情提供足够的变式练习。教材内容的呈现序列是为了让学生先理解和掌握有关常见文本加工的流程, 使有关程序性知识首先以陈述性知识的形式进入学习者的原有命题网络, 再通过日后的变式练习, 使命题转化为产生式系统。而课例二的变式练习并不足以让学生获得程序性知识的产生。

教学设计理论强调任何教学活动都要以满足学习者的学习需要为出发点和落脚点, 因此, 我们的教学应当根据学生的实际需要, 分析教学内容、选择教学策略、设计有效的教学程序, 力求使有效学习发生在每个学生身上。依据学情, 课例一的教学过程可作以下修改。

(1) 实例示范:学生观摩他人艺术节邀请函、研究论文作品;解析其中的信息表达方式, 分析成熟作品中是如何根据表达主题的需要选择恰当的表达形式。

(2) 创设任务情境:学校要举办艺术节, 现要向兄弟学校的同学、老师发艺术节邀请函, 还要向家长、社区养老院的老人发艺术节邀请函。请一、二组负责设计制作邀请兄弟学校同学的邀请函, 三、四组负责设计制作邀请兄弟学校老师的邀请函, 五、六组负责设计制作邀请家长的邀请函, 七、八组负责设计制作邀请社区养老院的老人的邀请函。

(3) 小组作品展示:展示过程讲述小组如何根据表达主题的需要、分析接受方的特点、选择信息表达的方式, 并阐述技术上是如何实现的。

(4) 师生归纳小结:归纳信息表达的相关原则以及信息加工方法。

(5) 创设任务二情境 (知识巩固应用) :学校计划举办研究性学习成果展, 现将你们研究性学习的论文报告文本根据需要重新进行编辑排版, 符合阅读对象特征及应用场合。

(6) 评价 (可利用网络平台) :评价标准可包含文本表达的主题、意图鲜明, 版面样式符合阅读对象特征及应用场合, 版面布局合理、内容层次结构清晰, 恰当使用图片、表格, 排版符合同类文本的一般规范, 样式美观等。

篇5：“求轨迹方程”教学实录与反思

2. 引导学生针对具体情况探究合适求轨迹方程的方法.

3． 培养学生的观察能力和自主学习的能力.

【教学重点】掌握求轨迹方程的三种基本方法

【教学难点】引导学生针对具体情况探究合适的方法

【教学过程】

一、 引入

师：前面我们学习了曲线与方程，那么如何来求曲线的方程，即寻找曲线上任意一点P（x，y）的横坐标x和纵坐标y所满足的关系式呢？这就是我们今天要学习的内容：求轨迹方程.（引入简洁明了，迅速将学生的思维引入学习的主要内容.）

二、 讲授新课

师：我们先看这样一个例子（投影）：

例1已知动点P到A（-1，0），B（1，0）的距离之比为1∶2，求动点P的轨迹方程，并说明它是什么曲线.

师：我们大家一起来分析一下这道题.要求动点P的轨迹方程，就是要求……

众生回答：求P的横坐标和纵坐标所满足的关系式.

师：对了！因此，如果大家遇到要求某个动点P的轨迹方程的问题时，第一步是将动点P设为P（x，y），接下来的我们的任务是探究x、y之间所满足的关系式.就本题而言，我们只要把题目转化成数学语言，根据条件直接寻求动点坐标所满足的关系式.（板书）设动点P（x，y），由题意：PAPB=12，即（x+1）2+y2(x-1)2+y2=12

下面请大家把这个式子化简一下，并告诉我动点P的轨迹是什么曲线

生1：3x2+3y2+10x+3=0，是一个圆.

师：对，它是一个圆.圆是怎样定义的？

生2：到定点的距离等于定长的点的轨迹.

师：对，那么根据这道题，大家能不能归纳出新的定义圆的方法呢？（学生思考片刻）

生3：是不是“到两个定点的距离之比为定值的点的轨迹”？

师：如何证明？

众生迷惑：怎么证明啊？坐标都没有啊……

师：对啊，那就自己建立坐标系.这边又有一个需要大家注意的地方，就是如何建立合适的直角坐标系求动点的轨迹方程.如果我们只是简单的设动点P（x，y），定点A（a，b），B（c，d），势必会导致运算繁杂，给求解造成很大困难.那么本题中，我们该如何来设两个定点的坐标呢？

生4：把它们放到x轴上，即A（a，0），B（b，0）.

师：能否更简单？

生5：那就让点A是原点好了.

师：很好！这样在运算时就又少一个字母了！

（板书）由题意，建议如图所示坐标系：设动点P（x，y），A（0，0），B（b，0），PAPB=λ（λ＞0），即x2+y2(x-b)2+y2=λ.

师：下面请大家把这个式子化简一下.

生6：（λ2-1）x2+（λ2-1）y2-2bλ2x+λ2b2=0.

师：是一个圆吗？

生6：当λ2≠1，即λ≠1时是的.λ=1时是一条直线.

师：怎样的一条直线?

生6：线段AB的中垂线.

台下同学不断点头，众生恍然大悟.

师：λ2≠1时也不一定是圆啊.我们在圆的一般方程x2+y2+Dx+Ey+F=0中知道，需有D2+E2-4F＞0，我们来检查一下：D2+E2-4F=4b2λ2(λ2-1)＞0，确实是一个圆.因此，圆的定义可以是……

众生齐答：到两个定点的距离之比为定值λ（λ≠1）的点的轨迹.

师：很好.同时，我们要注意建立合适的直角坐标系可以使运算简单.这样一种求动点P的轨迹的方法我们叫直接法.

（板书）直接法：根据条件直接寻求动点坐标所满足的关系式.

（利用“由特殊到一般”的手法创设情境，激起学生的求知欲望.针对教学内容的特点，结合学生的实际，选择问题切入点，通过从具体到抽象，从感性到理性的认知活动，不仅加深对定义的理解，更有利于提高学生的发散性思维能力.）

师：下面大家来看这样一道例题（投影）：

例2已知动点P到点A（0，1）比到直线y=-2少1，求点P的轨迹.

生7：设动点P（x，y），则x2+(y-1)2=|y+2|-1.接下来化简比较麻烦……

师：你们可以自己画张草图，再想想如何化简比较简单.

（学生画草图）

生7：由题意，点P在直线y=-2上方，所以绝对值可以去掉.化简为：x2=4y.

师：请注意，要求的是点P的轨迹，“轨迹”是一个几何概念.

生7：x2=4y是轨迹方程，故点P的轨迹是以（0,1）为焦点，开口向上的抛物线.

师：对.大家要注意到,轨迹方程是一个代数概念，就是动点的横纵坐标所满足的关系式；而轨迹是一个几何概念，是指动点运动所形成的曲线类型.本题中，点P的轨迹是一条抛物线，轨迹方程为x2=4y.抛物线的定义是什么？

众生回答：到定点的距离与到定直线的距离相等的点的轨迹.

师：那么大家能否从抛物线的定义入手，对本题进行解答？

生8：由题意，动点P到点A(0，1)与到直线y=-1相等，故点P的轨迹是以（0,1）为焦点，开口向上的抛物线.轨迹方程为x2=4y.

师：很好！在求轨迹的过程中，我们可以根据已知的曲线类型来归纳出动点生成的轨迹，这种求动点轨迹方程的方法叫做定义法.本题中，我们用定义法直接求出点P的轨迹方程及轨迹，避免了用直接法需运算及去绝对值的技巧.在高中阶段，我们涉及到的曲线定义有圆的定义，前面已经涉及；有椭圆、双曲线的第一定义；有圆锥曲线的统一定义等，大家在做题时要观察题设条件，注意能否运用定义法来求轨迹方程，往往可以避免运算和讨论.

（先让学生用已知的“直接法”来求轨迹方程，求解过程引导学生通过画草图，数形结合可以巧妙避免繁杂运算，体现了解析几何中数形结合思想的重要性.同时本题依旧引新，用学过的知识来探究新问题，激发学生学习的积极性，驱动学生思维的自觉性和主动性.同时在探究过程中，注重以学生为主体，教师适当引导，使问题层层深入，最终得到解决.）

下面我们来练习一道题目（投影）：

练习1：已知动圆M与G1∶x2+y2+4x=0外切，且与C2∶x2+y2-4x-60=0内切，求动圆圆心M的轨迹方程.

师：这道题用直接法很难求，但是通过化简圆方程，我们发现，⊙C1和⊙C2的圆心正好是（-2，0）和（2，0），这让我们联想到什么？

生9：椭圆或双曲线的两个焦点.

师：对！很有可能是椭圆或双曲线，那么我们的目标就是MC1+MC2=定值或|MC1-MC2|=定值，如何来表示MC1和MC2？

生9：两圆外切，连心线等于半径之和；两圆内切，连心线等于半径之差.故MC1=r+2，MC2=8-r.

师：相加还是相减？

众生答：相加！

师：请生9把解题过程说一下，我来板演.

生9：⊙C1∶（x+2）2+y2=4；⊙C1∶（x-2）2+y2=64，设动圆M的半径为r，根据图形可知，MC1=r+2，MC2=8-r，故MC1+MC2=10，故点M的轨迹是以（±2，0）为焦点，长半轴长为5的椭圆，方程为：x225+y221=1.

师：若出现MC1-MC2=定值，轨迹是什么？

众生答：双曲线！

师：再想想，双曲线的定义是什么？是双曲线的两支吗？

生10：是双曲线的一支，因为MC1-MC2没有加绝对值.

师：很好，以后我们在解题中要注意思维严密性，不要粗心大意.但是一定是双曲线的一支吗？

众生：……

师：回想一下双曲线的完整定义！

生10：我知道了！双曲线的定义是到两个定点的距离之差的绝对值为定值（小于两点间距离）的点的轨迹，因此MC1-MC2=定值，若定值小于C1C2，则M点的轨迹是双曲线的一支，若定值等于C1C2，则M点的轨迹是一条射线，若定值大于C1C2，则M点的轨迹是空集.

师：很好，我们在用椭圆或双曲线的第一定义做题时，一定要注意定值和两点间距离的大小关系，注意定义的完整性，这体现我们思维的完备性.

（补充“若出现MC1-MC2=定值，求M点的轨迹”需要分三种情况讨论时十分必要的，此例考查基础知识，易为学生所接受，而且有利于防止学生在解题过程中思考的片面性，加强学生对概念的理解，提升学生思维的完备性.）

师：下面我们介绍求轨迹方程的第三种方法：相关点法.

（投影）

例3已知⊙C∶（x-1）2+y2=1，过原点O做圆的任意弦，求所作弦的中点的轨迹方程.

师：设弦OA的中点为P（x，y），我们发现，点P是随着点A在动，我们称点A是点P的相关点.而点A在已知曲线上，因此只要找到点p坐标P(x，y)和点A坐标A（x0，y0）之间的数量关系即可.哪位同学能告诉我它们之间所满足的关系式？（此处略作停顿，引导学生思考.）

生11：根据中点定义，有x=x02

y=y02.

师：x0，y0之间有什么关系？

生11：（x0-1）2+y20=1.

师：因此，x，y之间满足什么关系？

生11：由x=x02

y=y02，可得x0=2x

y0=2y，由于（x0-1）2+y20=1，故（2x-1）2+(2y)2=1.

师：这位同学求轨迹的方法就叫相关点法，即探求所求动点及其相关点的横纵坐标满足的关系式，然后代入该相关点满足的曲线方程，即得动点的轨迹方程.相关点架起了一座求动点轨迹的桥梁，我们也把这种方法称为“点参法”.归纳起来如下：（板书）

已知f(x0，y0)=0，而x0=f1（x，y）

y0=f2（x，y），故f［f1（x，y），f2（x,y）］=0.

（此处若采用讲述法进行教学，往往会陷入平铺直叙的状况，较难激起学生思考问题的积极性，不利于学生生动活泼的学习.在教师所创设的问题情境中，让学生成为探索的主体，引导学生自己找到所求点坐标与相关点坐标之间的关系，自己剖析问题，探索用“相关点法”求轨迹方程的思路和需要注意的地方.最后教师进行总结，有利于学生更好的掌握和消化新知识.）

师：既然有“点参法”，那也应该有“数参法”，这道题用“数参法”如何来解决？

众生迷惑.

师：如果我们设OA的斜率为k，联立直线和圆的方程，能否得到x，y分别用k来表示？大家试一试？

生12：设动弦OA的方程为y=kx，代入圆方程得：（x-1）2+（kx）2=1，即（1+k2）x2-2x=0，故x=x1+x22=11+k2，y=kx=k1+k2.

师：很好，其实大家已经得到了动点P（x，y）的参数方程：x=11+k2

y=k1+k2.要得到x，y之间的关系式.只需将k消掉.如何消去参数k？

生12：两式相除得k=yx，代入x=11+k2，化简即得（2x-1）2+(2y)2=1.

师：很好！下面我们也总结一下用“数参法”求轨迹方程的一般步骤.（板书）

设定参数k，探究出x=f1(k)

y=f2（k），消去k即可.

（和“点参法”教学一样，学生在教师的引导下自己层层剖析，探索用“数参法”求轨迹方程的思路和需要注意的地方.问题在浓厚的探究气氛中解决.）

师：以上我们用“点参法”和“数参法”分别求了弦OA的中点P的轨迹方程，它是一条什么曲线？

众生：圆！

师：请大家把它画出来.

师：点P的轨迹可以是整个圆吗？

生12：不行，要出去原点.因为弦的中点总是在圆内部.

师：因此刚刚得出的轨迹方程需做何修改？

生12：（2x-1）2+(2y)2=1（0＜x≤1）.

师：对！我们在求轨迹方程时需注意是否需要去除哪些不符合条件的点.实际上，本题还可以用定义法来解决.我们连接AB，PC，可得PC∥AB，∵ ∠A=90°，∴ ∠P=90°，∴ 点P的轨迹是什么？

众生回答：以OC为直径的圆！

师：对了！我们可以直接写出轨迹方程x-122+y2=14，在注意去除原点即可.这和前面的结果是一致的.

师：以上我讲了求轨迹方程的三种主要方法：直接法，定义法，参数法（点参法、数参法）.大家在遇到相关问题时，要善于抓住题设的特征，选择合适的方法来解决问题.方法的恰当选择，可以简化运算，达到事半功倍的效果.

（探索问题时，必须使学生能够从不同角度来考虑解决问题的途径，若只从单一角度，在同一个思维模式中展现其面貌就会造成思路固定、思域狭窄的毛病.因此在教学中利用一题多解来培养学生的多维性思维是非常重要的.）

课后反思：

1.本节课采用“探索法”设计教学.整节课“以学生为主体，教师为主导”，教师引导学生深入探究，得出求轨迹方程的三种基本方法.探索法以发展探究能力为目标，以学科的基本知识结构为内容，以知识结构为根据划分探索过程，把学生置于主体地位，在探索中建立自己特色的认知结构.教师在探索法教学中，要紧紧抓住“疑问”，把学生的思维引向深入.根据已知与未知、新知识与旧知识、现象与本质之间的联系来巧妙的存疑设问，激发学生情趣，促进思考.在探索中，教师要注重与学生的双边交流，力求把各种情景因素组织起来，达到最大限度发展思维的目的.本课的“疑问”环环相扣、步步深入，从而把用直接法、定义法、参数法等方法解决轨迹问题的思路逐步展开，使本节课的重点知识得到巩固.

2.例题的精选是本节课的一个亮点.例题的选取应做到“新”（新颖，以激发兴趣）；“广”（广思，以流通思维）；“诱”（诱错，可分析解剖）；“深”（深挖，可总结经验，加深理解）.本节课的例1，选题新颖，入手简单，但通过教师的推广挖掘，又总结出了一般规律，同时在求解过程中还需注意特殊情况做到了“新、广、诱、深”.例2及其练习起到了巩固已学知识和“诱错”的作用.例3和例4尝试用不同方法求解，不但让学生可以“趁热打铁”，练习刚学的方法，同时发散了学生的思维，加深了学生的理解，既“广”又“深”.这样，通过讨论分析，学生的思维积极活跃，教师的启发及时得法，时间不知不觉的流逝，数学的美感却长流心头，以致回味无穷.

3.本节课注重培养学生的能力.古人云，授之于鱼，不如授之于渔.本节课在数学教学中，着重分析范例，注重新旧知识的结合，不仅传授给学生求轨迹方程的方法，更重要的是通过诱导和剖析，引导学生正确思维，培养学生分析问题、解决问题的能力.

篇6：比值真不能带单位吗?

在之后的聊课环节, 提到该教师的上述做法, 多数评委均持赞同意见。比值果真不能带单位吗?我看未必。

目前, 很多人对“比”的认识仍停留在“两个单位相同的量之间的相除关系”, 在《辞海》《现代汉语词典》等权威工具书中, 对“比”的释义也均是“数学名词, 表示两个同类量之间的倍数关系”等, 传统的数学教材也曾强调表示倍数关系的比值不能带单位。既然“比”表示两个量的比率, 学生自然也很容易理解。

然而, 自新课改以来, 在课程标准精神的指引下, 各种版本的小学数学教材都不约而同地把“比”的类型丰富为两种:一种是两个同类量之间的比, 另一种是两个不同类量之间的比。像北师大版、人教版和苏教版等教材在课程内容的编排上, 都是先介绍同类量之间的比, 再介绍“路程比时间”这种不同类量之间的比。并且三个版本的教师用书中也对两种类型进行了区分和强调。其中, 人教版教师用书还详细解释了变化原因。

如此看来, 传统教材规定比值不带单位, 具有特定的情境, 即比值只表示两个同类量之间的倍数关系;而现在, 新教材中增加了不同类量的比, 比值的意义有了变化, 它表示一种具有现实意义的新的量, 笔者认为, 在这种情况下就应该带单位。如本文开头提到的“36∶2=18”, “18”在这里表示的是“速度”, 可以带单位“千米/时”。

篇7：《求比值》教学反思

从教18年，笔者基本在小学高年段任教数学。在参加“国培计划——培训团队研修项目天津师范大学数学班”培训期间，关于“高效教学”的讨论使我想起来，有一种学生的解题错例一直想不出所以然：

在教学求圆的周长后无论在练习还是测试中总有个别学生在求半圆周长时“又快又错”，他们总能很快的套用圆的周长公式“C=2πr”，再除以2，也就是“πr”，而漏掉加上直径“d”。

碰到这种情况很多家长都会责备孩子怎么就这么粗心啦，就连很多老师都为那些成绩不错的学生如此“粗心”感到可惜。而“粗心”的同学往往在试卷发下来时就知道自己错在哪里，如何订正。基本不需要老师的讲解就懂了，但为什么总是在做题时就“一时粗心”呢？

这难道真的仅仅是一时粗心吗？为什么每一届都总有这么一些专门在这种题上粗心的学生呢？而且这其中还不缺是成绩不错的学生。直到笔者今年任教三年级讲授“长方形、正方形的周长计算”时似乎明白了这些学生的所谓“粗心”很大程度上是拜我们追求的“高效教学”所赐的。

在本册教材（新人教版三年级上册）中，对长方形、正方形的周长计算没有分别概括出相应的计算公式（长+宽）×2和边长×4。其目的是让学生在理解的基础上，对计算的方法有一个独立思考、不断感悟和比较的过程，避免死套公式的现象。

在教学交流中我发现没有概括出长方形周长计算公式的班级学生需要根据自己对“封闭图形一周的长度”理解来求周长速度往往较慢，大概有“长+宽+长+宽”、“长+长+宽+宽”、“长×2+宽×2”和“（长+宽）×2”这几种解题方法，尽管慢但问其解题思路时，就算个别平时成绩差一点的学生会支支吾吾，但大体上都能围绕“求长方形一周的长度”来说明自己的解题思路。

概括出长方形周长计算公式的班级总觉得教学非常高效，体现在学生解题速度快、正确率高，真正达到了“一见题就做，一做就对”的效果。而答案基本上是标准的“（长+宽）×2”，问其解题思路也是流畅标准的“根据长方形周长计算公式……”

通过对比我恍然大悟，那些学生用“πr”求半圆周长并不是一时粗心，更不是因为他们笨，而是因为很多老师、家长或校外辅导中心为了“高效”在学生初学求图形周长计算时过早地给概括出计算公式，学生自然就聪明“高效”地套用起来，我们却没想到这正剥夺了该学段学生最需要的对求“周长”就是求封闭图形“一周的长度”这种数学本质的感悟内化的思维训练机会！久而久之学生看到求图形的周长第一反应就想计算公式然后套用就可以了，直到六年级这种套用计算公式的本领就会得到更好的巩固，所以看到求圆的周长就想到“C=2πr”，半圆的周长自然就是它的一半也就是“πr”了，哪里还记得想想求够“一周”了没有？

像“提前给学生概括出长方形周长计算公式”式的短见的“高效教学”是我们应该追求的“高效教学”吗？或者说这种不负责任的教学行为以其说是“高效教学”，不如说是“高效扼杀”学生数学思维的“好心办坏事”的行为！

至此，笔者想起了几位数学成绩很一般的学生移民欧美后回来都自豪地跟笔者说“现在在班级里数学成绩是最好的，他们讲的我早就懂了，老师都差不多要夸我是数学神童了。”经了解中国基础教育阶段移民欧美的学生在数学学习上大体都会有以上的体会，这似乎说明了中国的数学教学是如此的“高效”，这甚至一直是我们不少同行的自豪！

同样的，今年7月份在跟一位台湾同行交流时，这位同行不无惋惜地跟笔者说：他儿子本来考上大陆的一所重点大学，准备9月份就去上学了，但最后儿子放弃了这所重点大学的学位，决定留在台湾读大学。我还以为他儿子自理能力不强或者是别的什么原因，在我追问下他道出个种原因竟然是：他儿子了解到台湾大学一年级的教学内容在大陆高中时已经学完了，怕到大陆读大学跟不上，所以放弃了。这似乎也证明我们的基础教育的确是很“高效”的。

纵观我们学生读大学、工作的后续发展以及获若贝尔奖的情况，笔者不得不怀疑这些我们引以为豪的“数学”以及 “义务教育”的“高效教学”是否跟“概括长方形周长计算公式”有异曲同工之妙呢？

所以我觉得只有改变“高效培养数学神童”、“高中学完大学一年级内容”这种“高效观”，狠下心来把基础教育的教学内容大幅删减下来，才能有学生真正的减负！才能有基础教育真实的“高效”！

难道现在不是到了我们这代教育人好好审视我们的“高效教学”的时候吗？

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篇8：例谈高中物理比值定义法

关键词：高中物理,比值定义法

一、比值定义在高中物理教学中的重要地位

以高中物理知识体系为着眼点来看, 教师非常有必要在教学过程中引入比值定义法。高中物理有以下特点:涉及的知识点多, 涉及的知识面广。比值定义是各个知识点之间的桥梁, 将知识点串成知识线, 再将知识线形成知识面。

此外, 比值定义法经常被用于定义物理概念, 也可以通过它来将数学引入物理, 这对学生掌握基本研究方法和能力而言是不可缺少的。

二、比值定义法的特征

(一) 既变化又不变

被定义的物理量不受定义它的物理量的影响, 起决定作用的是其他物理量。也就是说形式上发生变化, 比值却是一定的, 这体现了不同点中的相同点。

(二) 在本质上具有差异

在比值定义中同一个物理量, 比值大小上的差异反映了本质属性上的区别, 这体现了相同点中的不同点。

(三) 变量之间是相互联系的

比值定义法定义的物理量是以已有的物理概念为基础, 将比值组合, 使反映事物本质的连接点得以建立, 并将不同物理量联系起来, 这样才能形成系统的知识结构, 才能利于学生学习并完全掌握知识。

三、两种比值定义法

(一) 反映效果的比值定义法

第一种比值法定义的物理量具有以下共同特征:找到某一物理量的变化量, 然后除以所用时间, 得出比值来表示物理量在变化上的快与慢。这种比值定义法主要反映的是效果。下面列举一些用这种方法定义的物理量:

1、速度。

速度是一个物体的移动距离与这个物体的移动时间的比值, 其公式为v=s/t。速度反映的是位移矢量和和时间之间的变化率, 它反映了物体位置变化的快慢。

2、加速度。

加速度是将速度的变化量除以物体发生这一变化所耗费的时间而得到的比值, 其公式为a=Δv/Δt。加速度反映的是速度矢量的变化状况, 其决定式是a=F/m, 加速度的产生是因为力的存在, 它是一个能够体现物体速度变化快慢的物理量。

3、角速度。

物体在一定时间内, 由A处运动至B处, 圆心为O, 半径OA在这段时间内所转过的角度与所耗费的时间的比值就是角速度, 其公式为ω=Ч/t (Ч为所走过弧度, t为时间) , ω的单位为弧度每秒。角速度反映了物体绕着圆心转动的快慢情况, 反映的是角度对时间的变化情况。

4、线速度。

取一段极短的时间, 物体在这段时间中所通过的弧长与这段时间之比就是线速度, 其公式为v=△L/△t (△L为通过的弧长) 。线速度反映了物体运动的快慢和弧长对时间的变化状况。

5、功率。

功与做完这些功所耗费的时间之比就是功率, 其公式为P=W/t (W是功, t是所耗时间) 。功率反映的是物体做功的快慢情况。

6、电流。

在单位时间内通过导体横截面的电荷量就是电流, 其公式为I=Q/t。

7、感应电动势。

在电磁感应现象中所产生的电动势就是感应电动势, 其公式为E=n (ΔΦ/Δt) 。

(二) 反映物质或物体属性的比值定义法

第二种比值定义法的物理量具有以下共同特征:两个甚至多个物理量的比值是固定的, 这种比值定义法反映了物质或物体属性, 其大小是取决于物体本身的, 和公式中的其他物理量没有任何关系。下面列举一些用这种方法定义的物理量:

1、电场强度。

试探电荷在电场中的处于某个位置时所受的力和试探电荷的电荷量的比值就是电场强度, 其公式为E=F/q。在理解的时候, 认为E与F成正比, 和q成反比是错误的。电场强度是用于描述电场力性质的, 电场本身性质和空间的位置是决定因素, 和试探电荷没有关系。

2、电势。

电荷在电场中某一点时的电势能除以其电荷量, 所得到的比值就是这一点的电势, 其公式为U=E/q (U表示电势, E表示电势能, q表示电荷量) 。电势可以表现电场能的性质, 其大小和试探电荷没有关系。

3、电容。

电容器所带的电荷量Q除以电容器两极间的电势差U, 所得出的比值就是电容器的电容, 其公式为C=Q/U。电容将电容器储存电荷的特性体现出来, 认为C与Q成正比, 与U成反比的想法是错误的。C与电容器是否带电以及带电量的多少没有关系。

4、磁感应强度。

磁感应强度可以表示磁场的强弱, 其公式是B=F/IL。认为B和F成正比, 和IL成反比的想法是错误的。磁场中某一位置的磁感应强度的大小和方向与放入导线的长短L以及流过导线的电流强度I还有电流受到的力F没有关系, 它是一个客观存在, 其决定因素是磁场本身的性质。

5、电动势。

电动势在数值上是非静电力把大小为1C的正电荷在电源内从负极的一方移动到正极的一方所产生的功, 其公式为E=W/q。电源中非静电力的特性是电动势的决定因素, 电源的体积和外电路对电动势没有影响。

6、熔化热。

在一种晶体的熔化过程中, 其所需要的热量和其质量的比值, 就是这种晶体的熔化热。不同的晶体, 其构成结构也必然不相同。要破坏不同物质的结构, 所耗费的能量也各不相同。

7、汽化热。

将某种液体汽化成同温度的气体时所耗费的能量除以质量, 得到的比值就是这种物质在这个温度下的汽化热, 其公式为L=Q/m。

8、折射率。

光从真空射入某种介质时会发生折射现象, 求出入射角的正弦以及折射角的正弦, 前者除以后者的比值就是这种介质的折射率。折射率和入射角以及折射角没有任何关系, 介质的性质是其决定因素。

四、结束语

比值定义法的本质就是以相同的标准为基础来进行比较。在运用比值定义法研究物理量的时候, 不仅要重视充分理解其本质, 而且要充分理解物理知识的内涵, 这样才能真正掌握物理知识。

参考文献

[1]殷作模.例谈高中物理比值定义法[J].中学物理 (高中版) , 2013 (4)

[2]张冲.基于高中物理比值定义法的本质研究[J].新课程学习 (学术教育) , 2012 (6)

[3]孙玲玲.注意比值定义法的物理量与数学比值之间的区别[J].读写算 (教研版) , 2012 (8)