函数与方程的解题方法及总结

函数与方程的解题方法及总结（共9篇）

篇1：函数与方程的解题方法及总结

关于函数与方程的解题方法及总结

关于函数与方程的解题方法及总结

纵观近几年的高考试题，函数的主干知识、知识的综合应用以及函数与方程思想等数学思想方法的考查，一直是高考的重点内容之一。在高考试卷上，与函数相关的试题所占比例始终在20%左右，且试题中既有灵活多变的客观性试题，又有一定能力要求的主观性试题。函数与方程思想是最重要的一种数学思想，高考中所占比重比较大，综合知识多、题型多、应用技巧多。在高中新课标数学中，还安排了函数与方程这一节内容，可见其重要所在。

在近几年的高考中，函数思想主要用于求变量的取值范围、解不等式等，方程观点的应用可分为逐步提高的四个层次：

(1)解方程;

(2)含参数方程讨论;

(3)转化为对方程的研究，如直线与圆、圆锥曲线的位置关系，函数的性质，集合关系;

(4)构造方程求解。

高考函数与方程思想的命题主要体现在三个方面：

①是建立函数关系式，构造函数模型或通过方程、方程组解决实际问题;

②是运用函数、方程、不等式相互转化的观点处理函数、方程、不等式问题;

③是利用函数与方程思想研究数列、解析几何、立体几何等问题.在构建函数模型时仍然十分注重“三个二次”的.考查.特别注意客观形题目，大题一般难度略大。

类型一、函数思想在方程中应用

类型二、函数思想在不等式中的应用

类型三、函数思想在数列中的应用

类型四、函数思想在立体几何中的应用

【点评】对于函数图象的识别问题，若函数y=f(x)的图象对应的解析式不好求时，作为选择题，没必要去求解具体的解析式，不但方法繁琐，而且计算复杂，很容易出现某一步的计算错误而造成前功尽弃;再次，作为选择题也没有太多的时间去给学生解答;因此，使用定性法，不但求解快速，而且准确节约时间。

[函数与方程的解题方法及总结]

篇2：函数与方程的解题方法及总结

引

言 ········································································································· 1

一、基本概念与基本理论 ············································································ 2(一)函数极限 ··························································································· 2(二)重要极限 ··························································································· 9(三)函数的上极限与下极限 ·································································· 10(四)Stolz定理的推广定理 ···································································· 11

二、习题类型与其解题方法归纳 ······························································ 11(一)根据定义证明函数正常极限与非正常极限的方法。················· 12(二)根据定义与极限性质证题的方法 ·················································· 14(三)求函数极限方法 ············································································· 15(四)判断函数极限存在与不存在的方法 ·············································· 20 参考文献： ································································································· 24

函数极限理论的归纳与解题方法的总结

薛昌涛

(渤海大学数学系 辽宁 锦州 121000 中国)摘要：宇宙中的任何事物都是不断运动变化、相互联系、相互制约的。“函数”的产生正是为了满足刻划这种关系的需要，函数极限理论可谓函数理论重中之重。极限定义24个，性质60个，习题更是千变万化，看上去似乎很繁杂，但经过深入浅出的分析就会很明了。本文旨在化繁为简、总结规律，启示方法。关键词：函数、极限、方法

The Conclusion of Theory of Function Limit and Methods

Summary（Department of math bohai university liaoning jinzhou 121000）

Xue Changtao Abstract: Everything in the universe is always moving, varying, intergrating or restricting each other.Function emerged for the need of describing this relation.The thory of function limit plays a key role in function theory.There are Twenty – four definitions to limit, sixty qualties, and the exercises are ever changing.It seems complex very much, but it will be clear after delicate analysis.This text aim at changing complex to simple, suming up the regulars, enlightening the methods.Key words: Function Limit

Method

引

言

“函数”一词是微积分的创始人之一莱布尼兹(Leibniz)最先使用的，并且把x的函数记为f(x),(x)等，但是，直到19世纪初，人们还是把函数理解为“变量和常数组成的解析表达式”。直到1834年，狄里克莱(Dirichlet)指出，函数y与变量x的关系不但不必用统一的法则在全区间上给出，而且不必用解析式给出。至此，函数才被赋予了单值对应的意义。在整个宇宙中，我们找不出不在运动变化的事物，但各个事物的变化，又绝非彼此孤立隔绝，而是相互联的，相互制约的。“函数”无论在理论研究还是现实的科学探索，都发挥着举足轻重的作用，而极限问题可谓函数问题之重点，所以搞清函数极限的相关问题是尤为重要的。

一、基本概念与基本理论

（一）函数极限

1．函数正常极限与非正常极限定义共4624个，它们的形式是：

xx0xx0xx0xxxlimA(A为有限数)可见函数正常极数定义共6个，非正常极数定义共18个，比数列正常极限定义1个、非正常极限定义3个(两者总共4个)多了20个定义，而此24个定义是整部数学分析的基础。对它们的理解与记忆按下述程序进行：先理解与记忆4个基本定义，再推及其它而总观24个定义。

(1)四个基本定义

定义1(M定义)设f是定义在[a,)上的函数，A是一个确定的数，若0，M0，当xM时，有f(x)A，则称函数f当x时以A为极限，记作limf(x)A，或f(x)A(x)，或

xf()A。

此时也称A为f在正无穷远处的极限。

注1 此M定义，是数列极限limxna之N定义的推广，只

n需将N定义中之n换为x，N换为M即可，这是由于，数列是以自然数集为定义域的函数，故n,N均为自然数集的成员，而函数f(x)的定义 域为实数集，因而改为R中之x，m来描述。

注2 定义1是在正无穷远点处函数的极限，现将正无穷远点改为有限点x0处，其函数极限即为下述定义2，即只要将正无穷远邻域的描述xM改为x0的空心邻域的描述0xx0即可，因变量刻划相同。

定义2(双侧极限定义)设函数f在点x0的某个空心邻域U0(x0,)内有定义，A是一个确定的数。若0,0,()，当0xx0时，有f(x)A，则称f当x趋于x0时以A为极限，记作limf(x)A，或f(x)A(xx0)。

xx0问题1 在limf(x)A的定义中，为什么限定xx00(即xx0)？xx0如果把此条件去掉，写作“当xx0时，有f(x)A”是否可以？［3］

答：不可以，极限limf(x)A的意义是：当自变量x趋于x0时，对

xx0应的函数值f(x)无限接近常数A。f(x)在x0的情况，包括f(x)在x0是否有定义，有定义时，f(x0)等于什么都不影响xx0时，f(x)的变化趋势，故应把xx0这一点排除在外。如果把此条件去掉，把limf(x)A的定义

xx0写作“0，0，当xx0时，有f(x)A”，则当xx0时，也有f(x)A，由的任意性，要使此不等式成立，必定有f(x)A，这个条件显然与xx0时，f(x)的变化趋势是不相干的。

定义3(单侧极限定义)设函数f在x0,x0［或x0,x0］内有定义，A是一个确定的数，若0,0()，使当0xx0(或0x0x)时，有f(x)A，则称f在x趋于x0(x0)时以A为右(左)极限，记作limf(x)A，或f(x00)A(limf(x)A或

xx0xx0 3 f(x00)A)。

注3 定义3中右极限(左极限)，则xx0xx0；f定义在x0的右侧，对于左极限，f定义在x0的左侧，则xx0x0x，于是定义2是关键，只要考虑到“单侧”这一特点。

定义4(无穷大量G定义)函数f定义在x0的某个空心临域U0(x0,)内，若G0，使当0xx0时，有f(x)G，0()，则称f当x趋于x0时有非正常极限，或称f当x趋于x0时为无穷大量(或发散到无穷大)，记作limf(x)或f(x)(xx0)。

xx0(2)由自变量变化趋势刻划六种与因变量变化趋势刻划四种搭配成正常极限与非正常极限共24个定义的方法。

自变量变化趋势及其刻划六种 ：

xx0xx0xx0xxx0xx00xx0(0)0x0x xMxM(M0)xM因变量变化趋势及其刻划四种：

f(x)Af(x)f(x)f(x)f(x)A(0)f(x)G f(x)G(G0)f(x)G将自变量与因变量的变化趋势刻划互相搭配，而构成24种，每一种均按前述四个基本定义的标准叙述法叙述，即得24个定义。

2、正常极限性质(共48个或60个)按华东师大教材，每一种类型极限有8个性质来计算，六种类型极限总共有48个性质。再加上重要的“绝对值性”与“单调有界定理”，则共计60个性质。

前面是按照极限类型而言；若按照性质类型而言，对照数列极限性质，函数极限性质总共8种(或10种)：存在性、唯一性、局部保号性、局部有界性等等，每一种，按六类极限形式又有六类形式，总计仍是48个或60个性质。无论是48个还是60个性质，看似很多，实际上只要扣住前述自变量变化趋势刻划六种，再将数列极限相应性质移过来，这些性质均不难掌握了。

教材中是就极限类型limf(x)A而给出8个性质，这里，再就极限

xx0xlimf(x)A而给出。

极限limf(x)A的性质：

x(1)存在性——三个存在定理

I两边夹定理 设xa,，均有y(x)f(x)z(x)，且xlimz(x)limy(x)A，则limf(x)A

xxII柯西准则

设函数f在[a,)内有定义，则limf(x)存在x0,M0，当x,xM时，有f(x)f(x)。

III单调有界函数定理

设函数f在[a,)内单调且有界，则limf(x)x存在。

注4 单调有界函数定理在有限点x0处为：若函数f(x)在包含x0的某一区间单调有界，则f(x)在x0的左、右极限必存在。

这里是左、右极限存在，但在x0的极限不一定存在，这是与数列单 调有界必收敛定理之区别。

(2)唯一性

若limf(x)存在，则它只有一个极限。

x(3)局部有界性

若limf(x)存在，则M0，在M,内，f有界。

x(4)局部保号性 若limf(x)A0(0)，则对任何

x当xM时，有f(x)A0［或f(x)A0］。AA0(AA0),M0，(5)不等式性

若limf(x),limg(x)均存在，且M0，当xM时，xx有f(x)g(x)，则limf(x)limg(x)。

xx(6)四则运算法则

若limf(x),limg(x)均存在，则fg,fg,xxf［仅g除法还要求limg(x)0］在x时极限也存在，且有

xxxlim(f(x)g(x))limf(x)limg(x),xxlimf(x)g(x)limf(x)limg(x),xx

f(x)f(x)xlimlimxg(x)limg(x)x(7)归结原则

设函数f在[a,)上有定义，则limf(x)A对任何

xxn[a,),xn，都有limf(xn)A，其中A为有限数。

n推论 设f在[a,)上有定义，则limf(x)存在对任何xn[a,)，xxn，limf(xn)均存在。

n注5 归结原则与数列情形之“数列极限与其子列极限关系定理”类似，均是在揭示整体与部分的关系这一意义上而言的。

(8)绝对值性

若limf(x)A，则limf(x)A，且

xxxlimf(x)0limf(x)0

x

3、无穷小量与无穷大量

6(1)无穷小量

若limf(x)0，则称当xx0时f为无穷小量。

xx0无穷小量的四则运算性质：

(i)两个无穷小量之和、差、积仍为无穷小量。(ii)无穷小量与有界变量之积为无穷小量。

(iii)两个无穷小量之商的极限为下述四种情形之一：有限实数a0,0,,不存在，此即无穷小量的阶的比较。

无穷小的阶的比较，是考察它们收敛于零的速度的快慢。设xx0时，f,g均为无穷小量，则

a0,称f与g为同阶无穷小（当xx0时)f(x)0,称f为比g的高阶无穷小（当xx0时)limxx0g(x),称f为比g的低阶无穷小（当xx0时)不存在其中，当a1时，又称f与g为等价无穷小(当xx0时)，记作f(x)~g(x)(xx0)。

若limxx0f(x)l0，l为有限数，n0，则称 f为关于基本无穷小gng(x)的n阶无穷小，n通常为正有理数。

注6 在应用极限运算的四则运算法则时，初学者会写出“0,1”等式子。这是不对的。出现这类“错误”的主要原因是将符号“”误认为一个常数，对它施行了数的运算法则。事实上，“”不是一个常数，而是表示绝对值无限增大的变量，记号“”表示两个绝对值无限增大的变量之差，仍是一个变量。同样地，记号“示两个绝对值无限增大的变量之商，仍是一个变量。

”表问题2 下面的极限运算对吗？［3］

limx2sinx011limx2limsin0

x0xx0x1x答：结果正确，表达错误，这是因为limsin不存在，不能利用积的x0极限运算法则，则可以这样表达：因为limx20，sinx011，所以x1limx2sin0。x0x问题3 如果数列an收敛，数列bn发散，那么数列anbn是否一定收敛？如果数列an和bn都发散，那么数列anbn的收敛性又怎样？［3］

答：在两种题设情形下，数列anbn的收敛性都不能肯定，现分析如下：

情形

1、数列an收敛，数列bn发散。

若liman0，则数列anbn必定发散，这是因为若数anbn收敛，且nliman0，则由等式bnxanbn及商的极限运算法则立即可知数列bn收an敛，与假设矛盾。

若liman0，则数列anbn可能收敛，也可能发散。例如，x(1)an,bnn(nN),anbn1(nN)，于是数列anbn收敛。

(2)an,bn(1)nn(nN),anbn(1)n(nN)，于是数列anbn发散。

情形2 数列an和bn都发散。1n1n若数列an和bn中至少有一个是无穷大，则数列anbn必定发散。这是因为若数列anbn收敛，而数列an为无穷大，从等式bn得limbnlimanbnlimnnanbn便推an10，与假设矛盾。nan若数列an和bn都不是无穷大，则数列anbn可能收敛，例如，(3)anbn(1)n(nN),anbn1(nN)，于是数列anbn收敛。

(4)an(1)n,bn1(1)n,(nN),anbn(1)n1(nN)，于是数列anbn发散。

4、几个关系

(1)函数极限与数列极限的关系——归结原则(2)单侧极限与极限的关系

xx0limf(x)Alimf(x)与limf(x)均存在相等，均为A。

xx0xx0(3)无穷大量与无穷小量的关系(倒数)(二)重要极限

1sinx1lim1,lim1e,lim1xxe。x0xx0xxx前者为型的未定式的极限，后两式为1型的未定式的极限。问题4 讨论函数极限时，在什么情况下要考虑左、右极限？［3］ 答：一般说来，讨论函数f(x)在x0点的极限，都应先看一看单侧极限的情形。如果当xx0时，f(x)在x0两侧的变化趋势一致，那么就不必分开研究；如果f(x)在x0两侧的变化趋势可能有差别就应分别讨论记左、右极限。例如，求分段函数在分段点处的极限时，必须研究左、右00 9 极限；有些三角函数在特殊点的左、右极限不一样。例如，tanx在x2的左右极限不一样；有些反三角函数、指数函数也有类似情形，例如，1arctan,ex在x0处的左、右极限都不一样。

x1(三)函数的上极限与下极限

1、概念

设函数f在x0的某个空心临域U0(x0,)内有定义，则定义xx0limf(x)limsupf(x)M，limf(x)liminff(x)m

0xU0(x0,)xx00xU0(x0,)其中M,m为有限数或或，特别当f在U0(x0,)内有界时，［1］ M,m均为有限数。

2、性质(1)上极限性质

设limf(x)M,M为有限数，则(I)0,0,当0xx0时，xx0有f(x)M；(II)0，在x0的每一个空心临域内，必有x，使得f(x)M

(2)下极限性质

设limf(x)m,m为有限数，则(I)0,0，使当0xx0时，xx0有f(x)m；(II)0，在x0的每一空心临域内，必有x，使得f(x)m。

3、函数上(下)极限与函数值数列上(下)极限的关系。

xn为此邻域内的任意定理

设函数f在x0的某空心临域内有定义，点列，xnx0(n)，则对应于一切这种点列xn，limf(xn)所成数

n集必有最大值(包括或)，limf(xn)所成数集必有最小值

n 10(包括或)，f在x0的上(下)极限即为这最大(小)值。

4、上(下)极限与极限的关系。

xx0limf(x)llimf(x)limf(x)l，l为有限数或或。

xx0xx0(四)Stolz定理的推广定理

定理

设(i)函数f，g定义于[a,)，且均在[a,)的任意子区间有界。

(ii)对一切x[a,),g(xT)g(x)，其中T为一正常数，(iii)limg(x)，x(iv)limxf(xT)f(x)f(x)l(有限数或或)，则liml。［5］

xg(xT)g(x)g(x)可见，(ii)、(iii)两条是stolz第二定理之“bn”的推广，(iv)是“limanan1l”之推广。

nbbnn1而此stolz定理的推广定理与罗比达法则不同点是：后者为lim型及xf(x)存在，而在这里，f只要定义于[a,)，且在[a,)上的任意子g(x)f(xT)f(x)l即可。

g(xT)g(x)区间上有界，g(x)(x)，及limx

二、习题类型与其解题方法归纳

关于函数极限的习题类型大致有：

(一)根据定义证明函数正常极限与非正常极限。(二)根据极限定义与极限性质证题。(三)求函数极限。

(四)判断函数极限存在与不存在。此外，还有诸如无穷小(无穷大)的阶的比较等，本文将不涉及。关于上述四种类型习题的解题方法在下文给出。(一)根据定义证明函数正常极限与非正常极限的方法。

这里是指根据24个定义证明函数的正常极限与非正常极限的方法，属根据定义证题术——扣住定义而证，解题思路均是：0(或G0)，找0(或M0)，使当满足自变量的变化趋势刻划时，有因变量变化趋势之刻划，解题关键是找或M，找法如下。

1、当f以具体形式给出时，扣住 因变量变化趋势之刻划f(x)Gf(x)Gf(x)f(x)f(x)A,f(x)G，分析并对f(x)A,f(x)进行恒等变形或加强不等式，使之变成f(x)Ay(x)，f(x)z(x)f(x)zx，其中y为正无穷小量，z为正无穷大量，令y(x)，f(x)zx0xx0,xM或z(x)G；再扣住 自变量变化趋势之刻划。0xx0,xM对不

0x0x,xMxx0()等式g(x)或不等式z(x)G，关于xx0解之，解得xx0()，取

x0x()xx(G)()或关于x，解之，解得x(G)，取M(G)。

xx(G)2．抽象论证找或找M法

f(x)当f是以抽象形式给出时，与1类似，对f(x)A,f(x)进行恒等变

f(x)

f(x)z(x)形或加强不等式，使之变成f(x)Ay(x)，f(x)z(x)，其中y为已知

f(x)z(x)正无穷小量，z为已知正无穷大量，利用此y或z确定抽象的或M。确定或M的具体方法与技巧是：(I)根据已知极限或无穷大量确定或M。(II)根据已知极限的性质或无穷大量确定或M。(III)三角不等式及其它。

可见，与数列的此部分方法完全类似，只是比之更复杂些，下面举一些例子。

例

1、设f在任一有限区间上Riemann可积，且limf(x)A，证明

x1xlimf(t)dtA，(上海交大1987)。xx0x分析

要证：0,M0，当xM时，有If(t)dtA，x01x1x1x1x而If(t)dtAdt(f(t)A)dtf(t)Adt；由f(x)A不x0x0x0x0难联想到已知limf(t)A，于是10,M00当tM0时，有tf(t)A1，而，由于I10(x)，则20,M1M0，当xM1时，1x有I12；又由于I11dt1，再考虑要证I，则取12及

2x0取MM1。

证明：0，因limf(t)A，则M00，当tM0时，有

tf(t)A2。

M0因f 任一有限区间上Riemann可积，则

0f(t)Adt为定数，于是1limxx M00f(t)Adt0，因而MM0，当xM时有 1I1xI1M00xf(t)Adt2,x11xM0f(t)AdtdtxM0xM022x2

由此有：当xM时，1x1x1xf(t)dtAf(t)dtAdtx0x0x01x1x(f(t)A)dtf(t)Adt x0x0I1I2221x即limf(t)dtA xx0——抽象法证找M法(利用已知极限分段处理)。(二)根据定义与极限性质证题的方法

这里是指根据24个定义和48个性质等证题，其方法为：遇到正常极限与非正常极限符号，就用,G等语言表达出来；深入分析题目，联想相关性质；再将之有机结合起来而找到证题方法。

例2 设f在0,内满足f(x)f(x2)，且有x0limf(x)limf(x)f(1)。

x证明：f(x)f(1),0x。

分析

证明恒等问题，首选反证法，如何找矛盾？扣住已恬f(x)f(x2)，不难得到：当x1是，x2(n)，当0x1时，x20(n)而找矛盾。nn证明

反正法

假设f(x)f(1)，则至少存在一点x00,，使f(x0)f(1)，则 f(x0)f(1)或f(x0)f(1)，且显然x01，下面只证f(x0)f(1)的情形，f(x)f(1)的情形同理可证。

(I)当x01时，因limf(x)f(1)，则对f(1)f(x0)0,10，x0当0x时，有f(x0)f(1)f(x)f(1)

(1)，因

ln2nx0(n)，则对0，Nlog2lnx0，当nN时，有0x0；2n022，于是由(1)知不妨取n0N1及取xx0，则显然0xx0n0n0f(x0)f(x)f(x2n00)f(x0)矛盾。

x(II)当x01时，因limf(x)f(1)，则对f(1)f(x0),M10，当xM时，有f(x0)f(x)f(1)

(2)因xlnMM0，Nlog2lnx02n0(n)，则对

，当2n0nN时，有xx0M，不妨取n0N1及取xx盾。2n002n02M，于是由(2)知f(x0)f(x)f(x0)f(x0)，矛，则xx0n0综上即得证f(x)f(1),0x。(三)求函数极限方法

1、根据定义证明函数以A为极限，即已求得了函数的极限。

2、用函数极限的四则运算法则、不等式性、绝对值性及无穷大量的四则运算等性质，根据已知极限求极。

3、根据公式与不等式求极限。

4、用两边夹定理求极限。

5、用stolz定理的推广定理求极限。

6、用罗比达法则求极限。

7、用罗比达法则与微积分学基本定理、含参量积分求极限，用牛顿——莱布尼兹公式求极限。

8、用函数的连续性求极限。

9、用泰勒公式、导数定义等求极限。

10、用函数的上、下极限求极限。

11、用左极限与右极限求极限。

12、用归结原则求极限。

13、用函数项级数理论，如函数项级数收敛的必要条件或函数项级数的和函数求极限。

14、其它，诸如反证法、变量代换等等。

下面在罗比达法则和泰勒公式的选用上，微积分学基本定理与罗比达法则的运用上，两边夹定理，stolz定理的推广定理的运用上重点举几例。

f(x0h4)f(x0)例3 设f在x0可导，求Ilim。2h01coshf(x0h4)f(x0)h4解 Ilim 42h0h1cosh4h3f(x0)limh0sinh22h

2f(x0)——用导数定义、罗比达法则、已知极限、极限四则运算法则求极限。

例4 求Ilimxaaanx1x2xn,(ai0,i1,2,n)。1x 16 分析 本题为0型未定式，用罗比达法则试解之。不难发现，用罗比达法则两次之后，所得函数表达式已变得更为复杂，因而用罗比达法则解决不了，需改用它法。考虑到a1,,an为有限个正数，因而必有最大值与最小值，于是联想到用与不等式有关的两边夹定理。

解 令kmaxa1,a2,,an，则

k1nnxkxaaan1x1xxlim1xx1x2xnnknk，1xx1x由于limnnxn01。

因而limkn1xxk，1xxa1xan由两边夹定理知：Ilimxnkmaxa1,,an 例5 设f在A,B上连续，AabB。

b证明：Ilimh0abf(xh)f(x)dxf(b)f(a)

hf(xh)f(x)dxf(b)f(a)，只要求出极限值为

h分析 要证limh0af(b)f(a)，即已证得，于是归结到求极限问题。显然积分号下不能取极

bb限；而已知f连续，则显然f(x)dx与f(xh)dx均可由其原函数在两端

aa点a,b处的函数值所给出，于是极限问题不难解决。

解 因为f在a,b上连续，则f在a,b上有原函数F,F(x)f(x)，由牛顿——莱布尼兹公式知：

bIlimh0af(xh)f(x)dx

hb1blimf(xh)dxf(x)dxh0haa1bF(xh)|baF(x)|ah0hlim[F(bh)F(ah)F(b)F(a)]limh0

F(bh)F(b)F(ah)F(a)limh0h0hhF(b)F(a)f(b)f(a)lim——用原函数存在定理、牛顿——莱布尼兹公式、导数定义等求极限。

1例6 求Ilimex1(中国科技大学)xx2x1分析 令f(x)ex1，分析f(x)之结构，xx2易知当x时，ex0,1,f(x)为0型未定式；

1当x时，ex,10,f(x)为0型未定式，按通常方

x110x法，将其化为型或型去解决，于是有f(x)x0ex2x21xx2，其为

型。(当0x11，x时)或型(当x时)分子之导数为12xln10xx1x比1复杂得多，且求导不易，因而此法不可取；另想别法，只得将11按幂指函数法处理如下。xx21xx2 18 f(x)e1x2ln1xx，只求出limx2ln1x即可，易见

x1x0Lx2ln1x为型未定式，需化为型或型，于是可用罗比达

0x法则解之，当然将ln1展成泰勒公式，也可解之。

解法一 由罗比达法则知

11limx2ln1xlimxxln11xxxx1xln11xlimxx1 11ln1x1xlimx(1)x2x1121xx1(1x)2limx22x31x则Ie1limx2ln1xxxe

12——用幂指数函数处理法与罗比达法则求极限。

y21解法二 令y，由泰勒公式知ln(1y)y(y2)，2x则111112ln(1y)0(y)(y0)，22y2y2y1limx2ln1xxx因而Iee

12——用幂指数函数处理法与泰勒公式求极限。例6解题方法小结：

1°某些问题，看似用罗比达法则解之，但较麻烦；用泰勒公式解之，甚是方便。

2°幂指数函数处理法：形如f(x)g(x)的函数称为幂指数函数，其中f(x)0。遇见这类问题，一般是将其恒等变形如下形式来处理：f(x)g(x)eg(x)lnf(x)，这就是幂指数函数处理法。本例的每种解法中，均用到此法。

(四)判断函数极限存在与不存在的方法

1、判断函数极限存在的方法

(1)求出函数极限，即已断定函数极限存在，因而(三)中各法适用。(2)用函数极限柯西准则。(3)用单调有界函数定理。(4)用归结原则的推论。

(5)证明函数的上极限与下极限相等。(6)反证法、变量代换及它法。

2、判定函数极限不存在的方法

(1)由极限定义而来——极限定义的否命题

对任何实数A，limf(x)A；即对任何实数A，存在某一00，对

xx0任何0，xU0(x0,)，使得f(x)A0，则limf(x)不存在。

xx0(2)由柯西准则而来——柯西准则的否命题。

xx0limf(x)不存在存在某一00，对任何0，x,xU0(x0,)，使得f(x)f(x)0。

(3)左、右极限关系定理的否命题

左极限与右极限均存在且不等；或左极限与右极限中至少有一个不 20 存在，则极限不存在。

(4)归结原则的否命题

,xna,xna,xna(n)，xna(n)，存在两个点列xn,xn)；或存在一个点列xn,xna,xna(n)，但但limf(xn)limf(xnnnnlimf(xn)不存在，则limf(x)不存在。

xa(5)上极限与下极限关系的充要定理的否命题。上极限与下极限不等，则极限不存在。

(6)运算：若limf(x)存在，limg(x)不存在，则lim[f(x)g(x)]不存在。

xx0xx0xx0(7)反证法，变理代换法及其它。

111例8 1)设f于[1,)连续可微，且f(x)2ln(1) xf(x)1x求证：limf(x)存在。(吉林大学)xx0分析

要证limf(x)存在，则f的表达式在题设中没有给出，但题设x中给出了f表达式。

由此表达式，立知f(x)0，则f为递增的，因而联想到单调有界定理去试之，这样只要探究出f的上有界性即可。为此，必须将f与已知的f联系上，由于已知f连续，则由牛顿——莱布尼兹公式知xxf(x)f(t)dtf(1)，于是只要证出f(t)dt有上界即可，这就需要对11f(t)加强不等式。

11x11ln1，1xx1x1x证明

因x1，则 21

111于是f(x)2ln10，f(x)1xx则f在[1,)上单调增加，又因

f(x)111111ln1xxx1xx1xx1x11xx1xx1xx11113x2x2x2f连续，由牛顿——莱布尼兹公式知

xx

f(x)f(1)f(t)dt1112t32dt111 x则f(x)1f(1),x[1,)。

因而f在[1,)上单调且有上界，由单调有界定理知limf(x)存在。

x例9 证明limsin不存在。

x01x解法一 点到xn12n2,xn1,n1,2,3,，且xn0，n)，由归结原是知limsin0(n)，但limf(xn)10limf(xnxnnnx01不存x在。

——用归结原则的否命题证明函数极限不存在。

解法二

分析 用柯西准则的否命题试解之。此时，要证存在某一00，对任何0,x,x,0x,0x，但f(x)f(x“)0。需要找0,x,x由于f(x)sin为三角函数，不妨取特殊的函数值，例如，1xf(x)1,f(x)0则f(x)f(x)111，取0。由于f(x)1,f(x)0，22解得x12n2,x11，则,n1,2,3，为简便起见，取x2nn10xx，令x”，解得n11，则x,x均以找到。，取n0 2211，因而 解法二 0，对任何0，取n0220x12n0211，，及0x2n02n0但f(x)f(x)sin1limsin不存在。x0x111sin10，由柯西准则的否命题知xx2证明函数极限存在或不存在的方法总结：

何种情况下选用何种方法？一般规1证明函数极限存在的方法很多，律是：当函数以抽象形式给出时，多用柯西准则，有时也用归结原则推论。当函数以具体形式给出时，多用单调有界定理或两边夹定理，有时也用柯西准则及其它方法，特别当函数为具体的分段函数时，用左、右有极限解之。当题设中函数关系是以不等式给出时，则用极限不等式性、两边夹定理、上极限与下极限相等诸法中之一试解之。

2证明函数极限不存在的方法也很多，当函数以抽象形式给出时，多用柯西准则的否命题；当函数以具体形式给出时，多用归结原则的否命题，上极限与下极限不等或者运算法则，固然也用柯西准则；特别当函数为具体的分段函数时，宜用左、右极限试解之。参考文献：

［1］黄玉民，李成章，数学分析。北京：科学出版社，1999。

54—76 ［2］数学分析，华东师范大学。北京：高等教育出版社，1987。

53—88 ［3］高等数学附册学习辅导与习题选解。同济大学应用数学系编，北京：高等教育出版社，2003.1。

10—23 ［4］数学分析习题集题解，吉米多维奇、费定晖编，济南：山东科学技术出版社，1999.9。

27—50 ［5］刘广云，数学分析选讲，哈尔滨：黑龙江教育出版社，2000。

篇3：函数与方程思想在解题中的运用

函数的思想主要表现在用运动变化的观点、集合与对应的观点去分析和研究数学问题中的数量关系, 建立函数关系和构造函数, 运用函数的图像与性质去考虑问题、研究问题、解决问题.方程的思想主要表现在研究数学问题中已知量和未知量之间的等量关系, 通过设未知数、列方程 (组) 、解方程 (组) 等步骤, 达到求解目的的解题思路和策略.

函数与方程联系密切, 如y=f (x) 也可以改写成二元方程y-f (x) =0, 函数有意义则方程有解, 方程有解则函数有意义;方程f (x) =0又可看成函数f (x) 的一个特定的值.因此函数思想与方程思想是紧密相连的.

函数与方程、不等式是通过函数值等于、大于或小于零而相互关联的, 它们之间既有区别又有联系, 因此函数与方程思想是研究变量与函数、相等与不等过程的基本数学思想.

例1 已知方程 (x2-2x+m) (x2-2x+n) =0的四个根组成一个首项为$\frac{1}{4}$的等差数列, 则|m-n|等于____.

分析 只要求出m, n即可, 要求m, n需要两个方程, 直接求方程有一定困难, 而题中已知的是方程的四个根的情况, 由韦达定理知, 方程的根与m, n有关系, 故必须设出四个根.

解 设方程x2-2x+m=0的根为x1, x2, 方程x2-2x+n=0的根为x3, x4, 则

$\{\begin{array}{l}x{}_1+x{}_2=2,\\ x{}_{1}x{}_2=m,\\ x{}_3+x{}_4=2,\\ x{}_{3}x{}_4=n,\end{array}$

不妨设$x{}_1=\frac{1}{4}$, 则有

$\begin{array}{l}x{}_3=\frac{3}{4}‚x{}_4=\frac{5}{4},x{}_2=\frac{7}{4}‚\\ \therefore m=\frac{7}{16}‚n=\frac{15}{16}‚\text{即}|m-n|=\frac{1}{2}.\end{array}$

回顾 本题的解法贯穿着方程思想.当直接求未知数出现困难时, 通过列方程或方程组, 甚至考虑引进新的未知量, 列方程或方程组来解决问题是极常用的思路和策略.

例2 等差数列{an}, 公差d≠0, a2是a1与a4等比中项, a1, a3, ak1, ak2, ak3, …, akn成等比数列, 求数列{kn}的通项kn.

分析 通常一个等差数列需要两个量才能确定, 以方程思想理解, 即要有两个独立的等量关系, 而题中只有“a2是a1与a4等比中项”一个等量关系, 因此, 数列{an}不确定.但从函数思想角度, 可以通过建立未知量与{an}的关系来解决问题.

解 由题意知a${}_2^2$=a1a4,

即 (a1+d) 2=a1 (a1+3d) .

又 d≠0, ∴a1=d.

又 a1, a3, ak1, ak2, ak3, …, akn成等比数列,

故该数列的公比为$q=\frac{a{}_3}{a{}_1}=3‚a{}_{k{}_n}=a{}_1\cdot 3{}^{n+1}.$

又 在等差数列中有akn=a1+ (kn-1) d,

∴a1·3n+1=a1+ (kn-1) d,

∴kn=3n+1.

回顾 本题解完后看起来不难, 但是一开始可能会对题意理解不清或产生错误.题意是从等差数列中抽取一部分项组成等比数列, 关键是搞清楚等比数列中的akn的双重身份, 即等差数列的第kn项.这样就可以准确地把握整个问题, 将其中变量的关系疏理清楚, 通过等差数列与等比数列之间的关系列出相关等式.

例3 在直角坐标平面中, 已知点P1 (1, 2) , P2 (2, 22) , …, Pn (n, 2n) , n为正整数, 平面上任意一点A0, 记A1为A0关于P1的对称点, A2为A1关于P2的对称点.

(1) 求向量$\overrightarrow{A{}_{0}A{}_2}$的坐标;

(2) 当点A0在曲线C上移动时, 点A2的轨迹是函数y=f (x) 的图像, 其中f (x) 是以3为周期的函数, 且x∈ (0, 3]时, f (x) =lgx, 求以曲线C为图像的函数在 (1, 4]上的解析式.

解 (1) 设A0 (x, y) , 则A1 (2-x, 4-y) ,

∴A1关于P2的对称点的坐标为A2 (2+x, 4+y) .

故$\overrightarrow{A{}_{0}A{}_2}=(2‚4).$

(2) 设曲线C是函数y=g (x) 的图像, 则

g (x) =g (x+3) .

由$\overrightarrow{A{}_{0}A{}_2}=(2‚4)$, 可知g (x) 的图像由f (x) 的图像向左平移2个单位, 再向下平移4个单位得到, 即当x∈ (-2, 1]时, g (x) =f (x+2) -4=lg (x+2) -4.

于是当x∈ (1, 4]时, x-3∈ (-2, 1],

g (x) =g (x-3) =lg (x-1) -4.

回顾 本题信息量大而杂, 合理地组合有关条件和目标是成功解题的关键.运动变化、集合与对应的观点等函数与方程的思想, 为理清问题、抽象数学模型、寻找解决问题的思路起到了关键的作用.

总之, 在数学的学习和复习中, 要做到熟练掌握基础知识, 充分理解各知识点间的内在联系, 要总结、归纳函数、方程的观点和方法解决常见数学问题的解题规律.在解题中, 充分、合理地运用函数与方程的思想方法, 会产生意想不到的效果.

篇4：函数与方程的解题方法及总结

【关键词】 函数 方程 思想方法 解题 应用

【中图分类号】 G633.6 【文献标识码】 A 【文章编号】 1992-7711（2016）03-079-01

函数的思想，是用运动和变化的观点、集合与对应的思想，去分析和研究数学问题中的数量关系，建立函数关系或构造函数，再利用函数的图像和性质去分析问题、转化问题，从而使问题获得解决。函数思想的精髓就是构造函数。

方程的思想，是分析数学问题中变量间的等量关系，从而建立方程或方程组，通过解方程或方程组，或者运用方程的性质去分析、转化问题，使问题获得解决。

方程的思想与函数的思想密切相关，函数与方程的思想方法，几乎渗透到中学数学的各个领域，在解题中有着广泛的运用。对于函数y=f（x），当y=0时，就转化为方程f（x）=0，也可以把函数式y=f（x）看做二元方程y-f（x）=0，函数与方程这种相互转化的关系十分重要。

函数与表达式也可以相互转化，对于函数y=f（x），当y>0时，就转化为不等式f（x）>0，借助与函数的图像与性质可以解决不等式的有关问题，而研究函数的性质，也离不开解不等式。

数列的通项或前n项和时自变量为自然数的函数，用函数观点去处理数列问题也是十分重要。

函数f（x）=（a+bx）n（n∈N*）与二项式定理密切相关，利用这个函数，用赋值法和比较系数法可以解决很多有关二项式定理的问题。

纵观中学数学，可谓是以函数为中心，以函数为纲，“纲举目张”，抓住了函数这个“纲”就带动起了中学数学的“目”。即使对函数极限、导数的研究，也完全是以函数为对象、为中心的。熟练掌握基本初等函数的图像和性质，是应用函数与方程思想解题的基础。善于根据题意构造、抽象出函数关系式是用函数思想解题的关键。

经典例题：

一、函数思想

1. 构造函数，运用函数的性质

点评：本解的巧妙之处是“反客为主”，求x反而以a为主变元对x进行讨论，这才是真正切中要害。若以x为主元对a进行讨论，则问题的解决就繁就难多了。

3.选取变元，确定函数关系（例略）

4. 用函数的思想方法解数列题（例略）

二、方程的思想

方程与函数密切相关，在解题中，方程的思想占有重要的地位，也是近年来高考所重点考查的数学思想方法之一。

1. 解方程或分析方程的解

例5.已知实数a，b，c成等差数列，a+1，b+1，c+4成等比数列，且a+b+c=15，求a，b，c.

分析：利用数列的有关公式，列出方程组求解。

由1、2两式，解得b=5，将c=10-a带入③式，整理得a2-13a+22=0，解得a=2或a=11.

故a=2，b=5，c=8或a=11，b=5，c=-11.经验算，上述两组数符合题意。

点评：本题的列方程组和求解的过程，体现出的就是方程的思想。

2. 通过换元构成新的方程（例略）

三、函数与方程相互转化的思想

篇5：函数与方程的解题方法及总结

(一)函数型综合题

是先给定直角坐标系和几何图形，求(已知)函数的解析式(即求解前已知函数的类型)，然后进行图形的研究，求点的坐标或研究图形的某些性质。

初中已知函数有①一次函数(包括正比例函数)和常值函数，它们所对应的图像是直线;②反比例函数，它所对应的图像是双曲线;③二次函数，它所对应的图像是抛物线。求已知函数的解析式主要方法是待定系数法，关键是求点的坐标，而求点的坐标基本方法是几何法(图形法)和代数法(解析法)。

(二)几何型综合题

是先给定几何图形，根据已知条件进行计算，然后有动点(或动线段)运动，对应产生线段、面积等的变化，求对应的(未知)函数的解析式(即在没有求出之前，不知道函数解析式的形式是什么)和求函数的定义域，最后根据所求的函数关系进行探索研究。

探索研究的一般类型有：①在什么条件下三角形是等腰三角形、直角三角形;②四边形是菱形、梯形等;③探索两个三角形满足什么条件相似;④探究线段之间的位置关系等;⑤探索面积之间满足一定关系求x的值等;⑥直线(圆)与圆的相切时求自变量的值等。

求未知函数解析式的关键是列出包含自变量和因变量之间的等量关系(即列出含有x、y的方程)，变形写成y=f(x)的形式。一般有直接法(直接列出含有x和y的方程)和复合法(列出含有x和y和第三个变量的方程，然后求出第三个变量和x之间的函数关系式，代入消去第三个变量，得到y=f(x)的形式)，当然还有参数法，这个已超出初中数学教学要求。

找等量关系的途径在初中主要有利用勾股定理、平行线截得比例线段、三角形相似、面积相等……求定义域主要是寻找图形的特殊位置(极限位置)和根据解析式求解。

而最后的探索问题千变万化，但少不了对图形的分析和研究，用几何和代数的方法求出x的值。

篇6：函数与方程的解题方法及总结

当x=6时，1=50+12×6=122(元)， 2=18×6=108(元).

(1)请分别求出表示轮船和快艇行驶过程的函数解析式(不要求写出自变量的取值范围);

(2)轮船和快艇在途中(不包括起点和终点)行驶的速度分别是多少?

(3)问快艇出发多长时间赶上轮船?

解 (1)设表示轮船行驶过程的函数解析式为=x(≠0),

由图象知：当x=8时，=160.

代入上式，得8=160,

可解得=20.

所以轮船行驶过程的`函数解析式为=20x.

设表示快艇行驶过程的函数解析式为=ax+b(a≠0),

由图象知：当x=2时，=0;当x=6时，=160.

代入上式，得

可解得

所以快艇行驶过程的函数解析式为=40x-80.

(2)由图象可知，轮船在8小时内行驶了160千米，快艇在4小时内行驶了160千米，所以轮船的速度是(千米/时)，快艇的速度是(千米/时).

(3)设轮船出发x小时快艇赶上轮船，

20x=40x-80

得x=4,x-2=2.

答 快艇出发了2小时赶上轮船.

交流反思

1.实际问题中数量之间的相互关系，用函数的思想去进行描述、研究其内在联系和变化规律;

2.使学生体会到二元一次方程组的解是两条直线的交点坐标，能通过图象法来求二元一次方程组的解.

检测反馈

1.利用图象解下列方程组：

(1) (2)

2.已知直线=2x+1和=3x+b的交点在第三象限，写出常数b可能的两个数值.

3.学校准备去白云山春游.甲、乙两家旅行社原价都是每人60元，且都表示对学生优惠.甲旅行社表示： 全部8折收费;乙旅行社表示： 若人数不超过30人则按9折收费，超过30人按7折收费.

(1)设学生人数为x，甲、乙两旅行社实际收取总费用为1、2(元)，试分别列出1、2与x的函数关系式(2应分别就人数是否超过30两种情况列出);

(2)讨论应选择哪家旅行社较优惠;

(3)试在同一直角坐标系内画出(1)题两个函数的图象，并根据图象解释题(2)题讨论的结果.

4.药品研究所开发一种抗菌新药.经多年动物实验，首次用于临床人体试验.测得成人服药后血液中药物浓度(微克/毫升)与服药后时间x(时)之间的函数关系如下图.请你根据图象：

(1)说出服药后多少时间血液中药物浓度最高?

篇7：一元二次方程配方法解题步骤

配方法除了可以用来解一元二次方程之外还可以应用于以下方面：

1、用于比较大小：通过作差法最后拆项或添项、配成完全平方，使此差大于零(或小于零)而比较出大小。

2、用于求待定字母的值：将原等式右边变为0，左边配成完全平方式后，再运用非负数的性质求出待定字母的取值。

3、用于求最值：将原式化成一个完全平方式后可求出最值。

篇8：函数与方程的解题方法及总结

一、函数思想的应用

1. 求值

例1.已知实数x、y满足(8x+7y)5+x5+9x+7y=0,求9x+7y的值。

分析:此方程为5次方程,不宜采用常规方法进行求解,观察已知式子的结构特点,可以尝试构造函数f(t)=t5+t进行解决。

解:已知等式可变形为(8x+7y)5+(8x+7y)=-(x5+x),构造函数f(t)=t5+t,易知f(t)为奇函数且单调递增,因而有f(8x+7y)=-f(x)=f(-x),进而得:8x+7y=-x,即9x+7y=0。

点评:该问题解决的关键是函数的构造,并应用了函数的单调性与奇偶性,使问题得以解决。

2. 解方程

例2.解方程:log6(姨%x+姨4x)-log4姨%x=0。

分析:本题采用常规解法难以奏效,可以先换元再利用函数的单调性加以解决。

点评:本题运用函数的相关性质来求解方程,是一种突破常规的新颖解法,体现了函数思想解决问题的独到之处。

3. 求范围

例3.已知实数a、b、c、d、e、f满足a+b+c+d+e+f=14,a2+b2+c2+e2+f2=36,求a的取值范围。

分析:本题通过常规途径难以入手,但若巧妙地构造二次函数,则可以出奇制胜。

显然f(x)≥0,因而△≤0,即4(14-a)2-20(36-a2)≤0,解得32≤a≤4。

点评:本题巧妙地构造二次函数,再利用其性质进行解答,令人耳目一新。

4. 证不等式

分析:由结论的结构特点,可以想到函数再利用其单调性进行解决。

点评:本题通过构造函数并利用其单调性使问题便捷地得以解决。

二、方程思想的应用

1. 求值

分析:直接代入求解显然比较繁琐,观察α、β不难发现二者是x2-x-1=0的两个根,因而想到构造二次方程来解决问题,简化解题过程。

解:由于α+β=1,αβ=-1,因而可构造一个以α、β为根的一元二次方程x2-x-1=0,则α2-α-1=0,β2-β-1=0,所以有

点评:本题根据根与系数的关系,构造二次方程,利用根的意义,再整体代入求解,使求解运算变得简捷,达到化繁为简的目的。

2. 求范围

例6.已知实数x,y,z满足y+z-10=0,x2-yz-8x+37=0,求x的范围。

分析:通过已知等式容易求得y+z和yz,进而构造二次方程,利用判别式求得x的范围。

解:由已知得y+z=10,yz=x2-8x+37,因而y,z是关于t的一元二次方程t2-10t+x2-8x+37=0的两个实根,因此判别式△=(-10)2-4(x2-8x+37)=-4(x2-8x+12)≥0,解得2≤x≤6。

点评:本题首先将两数的和与积表示出来,而后运用根与系数的关系,通过构造二次方程进行求解,新颖独特。

3. 证明不等式

例7.已知(其中a、b、c均为实数),求证b2≥4ac。

点评:本题通过变形和转化,从数与式的特征出发,应用方程思想使结论得以证明。

4. 证明等式

例8.若实数满足求证:y2=xz。

分析:观察已知等式的结构可以发现其恰好符合一元二次方程判别式的形式,易于想到构造相应的二次方程加以证明。

证明:当x=y时,由题意可得x=z,此时x=y=z,显然有y2=xz。

点评:本题通过构造二次方程证明等式,充分体现了方程思想的独特性与优越性。

总之,函数与方程思想是数学中最基本的思想方法,在数学学习中应注重该思想方法的训练,熟练地予以掌握,强化应用函数与方程思想解决数学问题的意识,不断地提高思维的灵活性。

摘要：本文对数学中的函数与方程思想的内涵作了探讨,并结合一些具体实例说明了函数与方程思想在数学解题中的应用。

篇9：函数与方程思想在解题中的应用

我们都知道，对于任何一个数学初学者而言，可以把数学知识分为两部分，一部分是固定的公式、定理，这部分内容相对来讲是比较简单的，学生在平时的学习过程中只需要反复多练习，就能够提高应用的熟练程度和解题的准确程度；另一部分则是如何运用这些公式、定理，也就是对于数学学科的认识和理解深度。大部分学生在高中数学的学习过程中都能较为轻松地掌握第一部分内容，但对于第二部分内容的把握性就相对较低。换句话来说，学生在高考中之所以在函数部分失分情况较为严重，主要原因就是对于函数部分的本质内容和数学思想没有达到深刻的认识程度。那么，应该如何把握这部分内容反映的函数与方程思想呢·

一、什么是函数与方程思想

在高中数学课本上，是这样来分别定义函数和方程的概念的。函数关系是指自变量与因变量之间的一种特殊的映射关系；方程则是沟通了算术方法与代数方法的重要桥梁。由此可见，函数与方程在高中数学知识体系中都是起着重要的连接纽带的作用，因此，在高中数学思想中常常将二者合称为函数与方程思想。函数思想指的是在面对某一个或是某一类试题时，通过深入分析题目中所给的已知条件，结合自己学过的数学知识去构造出一个适合题意的函数模型，这个函数模型一定要是学生在日常学习中经常用到的、熟知其结构特点的函数模型，然后利用构造出来函数的性质去解决问题，找出答案。而方程思想則是从问题的数量关系入手，找出题目中所给条件和所求问题之间的等量关系，然后以方程或是不等式的形式反映出来，进行通过求解来找出问题的答案。但是，函数与方程的表达方式并不是一成不变的，很多情况下都可以进行转化。面对已知条件和未知问题等量关系比较清晰的情况，就可以将函数转化为方程，通过方程的求解或是不等式性质的变换来解决问题；面对函数特点明确（如奇偶性、单调性）的情况，就需要将方程问题转化为函数问题，利用函数性质来解决数学问题。在高中阶段，我们将函数思想、方程思想以及二者相互进行转化的思想统称为函数与方程思想，在具体的解题过程中，以下两个方面问题的求解需要经常应用到函数与方程思想。一方面是在求解一些试题时迅速建立函数关系式或是构造出中间函数，进行转化，将其他问题转化为函数问题；另一方面是充分发挥函数性质的特性，用以解决方式、不等式以及参数范围讨论的问题。总的来说，适当的应用函数方程思想，能够有效降低数学试题的难度。

二、函数与方程思想的具体应用

高中学习阶段，函数与方程的表达式是可以相互转化的。以方程为例，方程的左右两端各有一个表达式，这两个表达式可以看作是两个函数式，而方程的求解过程也就是对函数式进行变形解答的过程，方程的解就是两个函数式反馈到图形上的交集。同样的，多个函数式共同组成的求解范围也可以以方程的形式表达出来。在具体的解题过程中，要善于挖掘题目中给出的隐藏条件，有意识地运用函数与方程思想进行解题。具体到高中知识，在进行以下几个方面的试题解答时应用函数与方程思想有时候能够起到事半功倍的作用。

一是在不等式解题中的应用。不等式是等式的一种特殊形式，不等号两端各有一个函数式，但在实际解题时往往要通过等式进行解答，这就是方程。以函数f(x)为例，当讨论函数f(x)与某一定值的大小关系时，就可以转化为不等式问题。二是在集合问题中的应用。从学习层次上来看，集合可以看作是函数内容的基础知识，函数方程思想自然也适用于集合问题。在集合问题中，大部分是用变量去研究问题，通过不同的变形去建立函数关系或是构造函数，近而应用函数性质去解题。同时，高中阶段学习中遇到的变量大部分都是有一定的定义域的，从而构造出来的函数关系或是函数模型自然也有相对应的值域，这样一来，又转化成为方程问题。三是在数列问题中的应用。数列是高中数学中的一个重要知识点，从函数的角度来看，可以将数列看作是一类定义在正整数集定义域上的一类特殊函数，数列中的通项公式、等差数列求和公式以及等比数列求和公式，都可以看作是函数式。因此，在这些函数式的求解过程中可以引入函数性质，更有利于解题。四是在二项式问题中的应用。二项式问题由于较为抽象，许多学生在理解的时候都很难从本质上有所突破，但如果换个角度，把二项式通式看作是函数式来分析的话，可以大大降低学习难度。