函数的零点的教学反思(精选9篇)
篇1:函数的零点的教学反思
一、教学设计反思
课题从学生熟悉的小引例入手,难度不大,思路不唯一。问题1与问题2进一步澄清概念,为下边的立体做好基础准备。例1是基础题目,运算简单;例2是数形结合,借助图象研究函数的交点,利用函数方程思想解方程;对于例3的设计,转化为熟悉的问题来解决,为此设置了一系列的问题串,层层深入,步步引导,使学生不知不觉中提升解决问题的能力。
教学过程中有学生的板书,有提问,有交流,有小组讨论,有个人成果展示,充分调动了学生的主动性,主动思考;课堂气氛很活跃,课堂效果很好。
二、存在问题反思
在例2的处理过程中,学生板演,应该找更普通的同学,而不是一下把问题解决了或者不具有一般性的解题思路。例题3的变式中,实际可以把问题的难度增加,提升学生思维的深度,但限于时间与学情的问题,没有做进一步的难度提升。
三、改进措施反思
1、应该更加充分的体现学生的主体地位,再多给学生思考的时间。
2、板演的同学应该更具有一般性,不能直接做对,或者做错。
3、在今后的教学中多加反思,能够对教学内容有深刻的把握和合理的设计。
4、对不同程度的学生要具有良好的课堂驾驭能力和现代化的教育方式
篇2:函数的零点的教学反思
函数的零点的教学反思
在课堂教学中,我发现当将常识问题类推函数图象与x轴交点存在所需条件时,学生有些茫然。反思除了学生对这种抽象方式不太习惯以外,我感到其中的过渡有问题。教学中,将小溪类比成x轴,将前后的位置类比成函数中的两个点。课后我觉得将前后的位置类比成函数中的两个点不确切,而且不能引起学生的思考,因为两者最相似之处是行程路线与函数图象,应该将行程路线类比成函数图象更佳。要清楚学生的认知状况。在课堂中,学生在分析定理其中一个条件“不连续”时,举了反比例函数的例子。我只是在黑板上比划了一下,没有画出来。主要的考虑是认为反比例函数在[a,b]上并不都有意义与定理中的条件违背,我想回避掉,然后用自己的分段函数来代替。课后,我重新反思这个细节,学生头脑中的.不连续最深刻的就是反比例函数应该将它画出来,不应该只因定理中这个细节去“较真”,然后让学生再思考是否还有其它的不连续函数,相信学生能从高中阶段的函数模型找到分段函数的不连续的图象,从而对不连续有更深刻的认识。从学生的认知实际出发,通过学习学生才能同化新的知识,形成新的知识结构。学生注意力的控制。在课堂中学生的注意力是不可能长时间的集中。如何控制和分配学生的注意力,我认为很重要。存在性定理的研究是本节课的重点。当展示这个推理的实例时,学生的注意力开始调动起来,而我得到需要的两个结果后,马上转移了学生的注意力,使得这个“趁热打铁”的机会失去。学生正出于活跃的思维之中,如果能进一步激发他们的思维,那么对定理的分析将会更深入。
篇3:函数的零点的教学反思
一、关于教学目标的分层定位
课堂教学目标应该以该节教学内容为载体,扎根于具体教学内容之中,对教学目标进一步细化,以突出教学目标对教学的导向作用.而本节课的教学重点是方程的根与函数零点的等价关系以及函数零点存在性定理,教学难点是探究函数零点存在的条件.
基于以上认识,本节课的教学目标定位如下:
(1)从一些具体方程(如一次、二次方程)根的求解以及相应函数图像,理解函数零点的概念以及探索出方程的实根与其相应函数零点之间的关系;(2)会将一个方程求解问题转化为一个函数零点问题,并会用定理判断存在零点的区间;(3)通过观察一些特殊函数在区间端点上函数值之积的特点,探索发现函数零点存在性定理;(4)在学习过程中感悟化归与转化、数形结合、函数与方程的数学思想.
对于不同层次的学生,教学目标要求是不一样的:A组学生达到(1)—(2);B组学生达到(1)—(3);C组学生达到(1)—(4).
二、创设问题情境,分层定标,引入零点概念
一个好的引入可以帮助学生更好地理解所学习的内容,激发各个层次学生自己提出数学问题.所以本人在课本的基础上设计了以下问题来引入新课.
教学设计如下:
问题1:判断下列方程是否有解?
(设计意图:问题1中方程123学生都可以利用初中知识解决,但方程4用现有方法解决不了,以此引起认知冲突)
问题2:求出表中方程的实数根,画出相应的函数图像的简图,并写出函数图像与x轴交点的坐标.(由A层次学生回答)
(设计意图:利用函数的图像与性质去探究方程的根,给出函数零点的概念)
问题3:结合函数零点的定义,你能说说函数y=f(x)的零点、方程f(x)=0的实数根、函数y=f(x)的图像与x轴交点的横坐标,三者有什么关系?(由B或C层次学生解决)
(设计意图:引导学生发现方程的实数根和相应函数图像与x轴交点的横坐标的关系,建构函数的零点与方程的实数根的关系)
三、关于零点存在性定理的辨析处理
1. 对零点存在性定理的辨析主要有两个方面:第一,对于定理条件的“充分不必要性”的认识,这可以通过举反例(如画y=x2函数图像)理解.第二,对于定理中零点个数问题,首先要明确“零点的个数”不是这节课的重点,只要让学生在直观上认识到,在定理的条件下,一定能保证零点存在,“有多少个”定理无法确定.课本中的例1,求函数f(x)=lnx+2x-6的零点个数,意在用信息技术做函数值对应表和函数图像,通过直观判断得出结论.本人觉得这节课的重点是方程的根与函数零点的等价关系以及函数零点存在性定理,所以本人把例题改为:
例题设x0是方程lnx+2x-6=0的解,则x0属于区间().
A.(-1,0)B.(1,2)
C.(2,3)D.(3,4)
解决完本题后可以利用几何画板画出函数f(x)=lnx+2x-6图像,再次验证结论.
2.在什么时候进行定理辨析?刚学定理,在对定理不熟练的情况下,马上进行定理的辨析,对部分学生(尤其是A层次学生)来说是有一定难度的,这样的辨析只会弱化对定理的掌握和理解.所以,本人的处理方法是把定理的辨析放在课后练习中处理(详见课堂练习第(6)题),由B和C层次的学生来解决.
四、关于课堂练习的设置———分层作业
根据因材施教的理论,这节课的课堂训练设计为分层练习,分为A、B、C三组练习,以满足不同层次学生的需要.
A组:(由A层次学生展示)
(1)求下列函数的零点:
(2)下列图像表示的函数中没有零点的是().
(小结求函数零点的方法:(1)代数法,即求方程___的实根;(2)几何法,即利用函数y=f(x)的图像和性质找出零点)
(3)函数f(x)=4-4x-ex的零点所在区间为().
A.(1,2)B.(0,1)
C.(-1,0)D.(-2,-1)
B组:(B层次学生展示)
(4)设x0是方程x2-4x=0的解,则x0属于区间().
A.(-1,0)B.(1,2)
C.(2,3)D.(3,4)
(5)若函数f(x)在[a,b]上连续,且有f(a)f(b)>0.则函数f(x)在[a,b]上().
A.一定没有零点B.至少有一个零点
C.只有一个零点D.零点情况不确定
概念辨析:
(1)将零点存在性定理的条件和结论交换,所得命题成立吗?即命题“函数y=f(x)在区间[a,b]上的图像是连续不断的一条曲线,并且函数y=f(x)在区间(a,b)内有零点,那么f(a)·f(b)<0.”成立吗?若不成立请举反例.
2你能在下面横线上填一个条件使结论成立吗?
如果函数y=f(x)在区间[a,b]上的图像是连续不断的一条曲线,并有f(a)·f(b)<0且___,那么函数y=f(x)在区间(a,b)内有且只有一个零点.
C组:(由C层次学生展示或留作课后C层次学生解决)
(6)已知函数f(x)=ax2+x-1+3a(a∈R)在区间[-1,1]上有一个零点,求a的取值范围.
五、教学反思
(一)本节课的成功之处
1.引入自然.为了激发学生的求知欲,使学生感受到学习本内容的必要性,本人先给出四个方程,其中三个是学生能通过已有的知识解决的,但第四个就不行了,这样激发学生学习的兴趣,又让学生产生疑惑,为引入新课做铺垫.然后通过一个表格引导学生观察三个方程的解与相应函数图像的关系,顺势提出了函数零点的定义,此时学生很容易得到三个等价关系,并明确要转换角度来研究方程的根:利用函数的性质和图像.
2. 突破难点.对于函数零点存在性定理,高中阶段不可能给以证明,只需要让学生通过函数图像,直观感知零点存在的条件.基于此,本人精心设计了几个问题:问题4中的两个探究活动是学生熟悉的一次函数和二次函数,探究函数值在零点附近的变化规律,通过问题4很多学生能得到:函数f(x)在区间(a,b)内一定有零点的条件是f(a)·f(b)<0,问题5和问题6进一步引导学生正确得到一般情况下,函数f(x)在区间(a,b)内一定有零点的条件.这三个问题层层递进,引导学生一边画草图,一边积极思考,举反例,从几何直观上感知零点存在的条件.这样设计符合学生的认知规律:从简单到复杂,从具体到抽象,让学生在具体的例题中概括出共同的本质特征,得出一般性的结论,使学生思维发生碰撞,弄懂了定理.
3. 采用分层教学设计,满足各层次学生学习需要,充分调动各层次学生学习的积极性.让不同层次学生都有碰撞思维的火花,课堂气氛活跃,学生的参与意识明显.学生在“成功的体验”中,不知不觉中掌握概念,突破难点.最后辅以分层作业,进行巩固提高.这节课基本能保证C层在听课时不等待,A层基本听懂,得到及时辅导,即A层“吃得了”,B层“吃得好”,C层“吃得饱”.
(二)本节课的不足之处
1.本节课的新知识都具有“形”与“数”两方面的含义,而几何直观是理性认识的基础,教学时应充分利用好函数图像,努力体现数形结合思想.在教学过程中,对现代教育手段的使用未能充分体现,对如何展现函数图像上的动点经过x轴这一最为关键的过程,没有突出和强调,从而没能更充分利用媒体强化对学生思维刺激的辅助作用.
2.在教学过程中没有注意学生思维的连贯性.不应该在学完函数零点的概念和三个等价关系时马上进行了课堂练习(1)—(4)题的训练,然后再学习零点存在性定理.这样操作学生的思维被打断,不连贯,不利于下一个问题的学习.所以应该把所有问题讲完才进行课堂训练,这样效果更好.实践证明,只要学生真正理解概念和定理,是不需要急着解太多的题.概念的理解和定理的形成过程才是这节课的关键.
摘要:方程的根与函数零点的分层教学内容包含一个概念、三个等价关系、一个定理.为达成教学目标,本节课先通过四个方程是否有实根,根据学生的思维特点分层设计,让不同层次学生都碰撞思维的火花,激发求知欲,从而引入课题;再利用函数的图像与性质去探究方程的根,给出“函数零点”的定义以及等价关系;最后探究零点存在的条件,引出“零点存在性定理”,并利用该定理解决具体问题,再辅以分层作业,进行巩固提高.
关键词:方程的根,函数零点,分层设计,教学反思
参考文献
[1]中华人民共和国教育部.普通高中数学课程标准(实验)[M].北京:人民教育出版社,2003.
篇4:函数的零点与函数的不动点的关系
A. 3B. 4C. 5D. 6
解析 由1与2的平均数为32,不妨设零点x0在1,32内;由1与32的平均数为54,不妨设零点在1,54内;由1与54的平均数为98,不妨设零点在1,98内;由1与98的平均数为1716,不妨设零点在1,1716内.而1716-1<0.1,所以需要将区间(1,2)对分的次数为4,选B.
评注 通过每次把f(x)的零点所在的区间收缩一半的方法,使区间的两个端点逐步逼近f(x)的零点,以求得零点的近似值,这种方法叫做二分法.
例2 对于函数f(x),若存在x0∈R,使f(x0)=x0成立,则称x0为函数f(x)的不动点.已知函数f(x)=ax2+(b+1)x+b-1(a≠0).
(1) 当a=1,b=-2时,求函数f(x)的不动点;
(2) 若对任意实数b,函数f(x)恒有两个相异的不动点,求实数a的取值范围.
解析 (1) 根据函数不动点的定义,当a=1,b=-2时,令f(x)=x,有x2-x-3=x,得x2-2x-3=0,解得f(x)的不动点为-1和3.
(2) 令g(x)=f(x)-x,则由题设知对任意实数b,方程g(x)=0恒有两个不等的实根,
即ax2+(b+1)x+b-1-x=0,即ax2+bx+(b-1)=0恒有两个不等的实根.
所以对任意实数b,判别式Δ1=b2-4a(b-1)>0恒成立,
即b2-4ab+4a>0恒成立,
函数的零点是沟通函数、方程、图像的一个重要媒介,渗透着等价转化、化归、数形结合、函数与方程等思想方法,是一个考察学生综合素质的很好知识点.近几年的数学高考中频频出现零点问题,其形式逐渐多样化,但都离不开这几种常用的等价关系:函数y=f(x)有零点?圳方程f(x)=0有实数根?圳函数y=f(x)的图像与x轴有交点.也可拓展为:函数y=F(x)=f(x)-g(x)有零点?圳方程组y■=f(x)y■=g(x)有实数根?圳函数y1=f(x)与函数y2=g(x)的图像有交点.
围绕它们之间的关系,就高考中的一些典型题型加以剖析:
类型一:函数零点的分布
解决零点的分布问题,主要依据零点的存在性定理:如果函数y=f(x)在区间[a,b]上的图像是连续不断的一条曲线,并且有f(a)·f(b)<0,那么函数y=f(x)在区间(a,b)内有零点.而零点的个数还需结合函数的图像和性质,尤其是函数的单调性才能确定.
例1:(2013高考数学重庆卷)若a
A.(a,b)和(b,c)内
B.(-∞,a)和(a,b)内
C.(b,c)和(c,+∞)内
D.(-∞,a)和(c,+∞)内
解析:由题意a0,f(b)=(b-c)(b-a)<0,f(c)=(c-a)(c-b)>0.显然f(a)·f(b)<0,f(b)·f(c)<0,所以该函数在(a,b)和(b,c)上均有零点,故选A.
变式:(高考广东卷、高考山东卷)若函数为f(x)为奇函数,当x<0时,f(x)=-lg(-x)+x+3,已知f(x)=0有一个根为x0,且x0∈(n,n+1),n∈N*,则n的值为________.
解析:由题意,设x>0,则-x<0,f(-x)=-lgx-x+3=-f(x),所以当x>0时,f(x)=lgx+x-3在(0,+∞)上是增函数,f(2)<0,f(3)>0,所以x0∈(2,3),则n=2.
类型二:函数零点的个数
判断函数零点个数可利用定义法,即令f(x)=0,则该方程的解即为函数的零点,方程解的个数就是函数零点的个数;也可根据几何法,将函数的零点问题转化为两个函数图像的交点问题来解决.
例2:(2012高考数学湖北卷)函数f(x)=xcosx2在区间[0,4]上的零点个数为( )
A. 4 B. 5 C. 6 D. 7
解析:定义法,令f(x)=0,可得x=0或cosx2=0,所以得x=0或x2=kπ+■,k∈Z,又注意到x∈[0,4]可得k=0,1,2,3,4,所以方程共有6个解,因此函数f(x)=xcosx2在区间[0,4]上有6个零点,故选C.
类型三:利用函数零点求参数
在高考中,除了要我们求函数的零点个数外,还常出现一种题型就是:先给出函数的零点个数,再来解决其他问题(如求参数).要解决此类问题常根据函数y=F(x)=f(x)-g(x)有零点?圳方程组y■=f(x)y■=g(x)有实数根?圳函数y1=f(x)与y2=g(x)函数的图像有交点.
例3:(2009高考数学山东卷)若函数 f(x)=ax-x-a(a>0且a≠1)有两个零点,则实数a的取值范围是 .
解析:我们可将上述函数的零点转换成两个函数的图像的交点个数问题,根据例3的几何法:
1.构造函数.设函数y=ax(a>0,且a≠1)和函数y=x+a,则函数f(x)=ax-x-a(a>0且a≠1)有两个零点, 就是函数y=ax(a>0且a≠1)与函数y=x+a有两个交点.
2.通过图像描绘题意——将数转化成形.
3.由图像得出结论——将形转化成数.
当时0
当时a>1(如图2),因为函数y=ax(a>1)的图像过点(0,1),而直线y=x+a所过的点(0,a)在点(0,1)的上方,此时两函数有两个交点.所以实数a的取值范围是{a|a>1}.
上述各例子剖析了近几年数学高考中函数零点问题的典型题型及解法,值得一提的是,各种类型各种方法并不是完全孤立的,利用数学的转化与化归、数形结合等思想,函数F(x)=f(x)-g(x)的零点问题看成方程根的个数或者函数图像y=f(x)、y=g(x)的交点个数问题,使得复杂的问题通过变换转化为简单的问题,难解的问题转化为易解的问题,未解决的问题转化为已解决的问题.
责任编辑 罗 峰
函数的零点是沟通函数、方程、图像的一个重要媒介,渗透着等价转化、化归、数形结合、函数与方程等思想方法,是一个考察学生综合素质的很好知识点.近几年的数学高考中频频出现零点问题,其形式逐渐多样化,但都离不开这几种常用的等价关系:函数y=f(x)有零点?圳方程f(x)=0有实数根?圳函数y=f(x)的图像与x轴有交点.也可拓展为:函数y=F(x)=f(x)-g(x)有零点?圳方程组y■=f(x)y■=g(x)有实数根?圳函数y1=f(x)与函数y2=g(x)的图像有交点.
围绕它们之间的关系,就高考中的一些典型题型加以剖析:
类型一:函数零点的分布
解决零点的分布问题,主要依据零点的存在性定理:如果函数y=f(x)在区间[a,b]上的图像是连续不断的一条曲线,并且有f(a)·f(b)<0,那么函数y=f(x)在区间(a,b)内有零点.而零点的个数还需结合函数的图像和性质,尤其是函数的单调性才能确定.
例1:(2013高考数学重庆卷)若a
A.(a,b)和(b,c)内
B.(-∞,a)和(a,b)内
C.(b,c)和(c,+∞)内
D.(-∞,a)和(c,+∞)内
解析:由题意a0,f(b)=(b-c)(b-a)<0,f(c)=(c-a)(c-b)>0.显然f(a)·f(b)<0,f(b)·f(c)<0,所以该函数在(a,b)和(b,c)上均有零点,故选A.
变式:(高考广东卷、高考山东卷)若函数为f(x)为奇函数,当x<0时,f(x)=-lg(-x)+x+3,已知f(x)=0有一个根为x0,且x0∈(n,n+1),n∈N*,则n的值为________.
解析:由题意,设x>0,则-x<0,f(-x)=-lgx-x+3=-f(x),所以当x>0时,f(x)=lgx+x-3在(0,+∞)上是增函数,f(2)<0,f(3)>0,所以x0∈(2,3),则n=2.
类型二:函数零点的个数
判断函数零点个数可利用定义法,即令f(x)=0,则该方程的解即为函数的零点,方程解的个数就是函数零点的个数;也可根据几何法,将函数的零点问题转化为两个函数图像的交点问题来解决.
例2:(2012高考数学湖北卷)函数f(x)=xcosx2在区间[0,4]上的零点个数为( )
A. 4 B. 5 C. 6 D. 7
解析:定义法,令f(x)=0,可得x=0或cosx2=0,所以得x=0或x2=kπ+■,k∈Z,又注意到x∈[0,4]可得k=0,1,2,3,4,所以方程共有6个解,因此函数f(x)=xcosx2在区间[0,4]上有6个零点,故选C.
类型三:利用函数零点求参数
在高考中,除了要我们求函数的零点个数外,还常出现一种题型就是:先给出函数的零点个数,再来解决其他问题(如求参数).要解决此类问题常根据函数y=F(x)=f(x)-g(x)有零点?圳方程组y■=f(x)y■=g(x)有实数根?圳函数y1=f(x)与y2=g(x)函数的图像有交点.
例3:(2009高考数学山东卷)若函数 f(x)=ax-x-a(a>0且a≠1)有两个零点,则实数a的取值范围是 .
解析:我们可将上述函数的零点转换成两个函数的图像的交点个数问题,根据例3的几何法:
1.构造函数.设函数y=ax(a>0,且a≠1)和函数y=x+a,则函数f(x)=ax-x-a(a>0且a≠1)有两个零点, 就是函数y=ax(a>0且a≠1)与函数y=x+a有两个交点.
2.通过图像描绘题意——将数转化成形.
3.由图像得出结论——将形转化成数.
当时0
当时a>1(如图2),因为函数y=ax(a>1)的图像过点(0,1),而直线y=x+a所过的点(0,a)在点(0,1)的上方,此时两函数有两个交点.所以实数a的取值范围是{a|a>1}.
上述各例子剖析了近几年数学高考中函数零点问题的典型题型及解法,值得一提的是,各种类型各种方法并不是完全孤立的,利用数学的转化与化归、数形结合等思想,函数F(x)=f(x)-g(x)的零点问题看成方程根的个数或者函数图像y=f(x)、y=g(x)的交点个数问题,使得复杂的问题通过变换转化为简单的问题,难解的问题转化为易解的问题,未解决的问题转化为已解决的问题.
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