函数的零点的教学反思

函数的零点的教学反思（精选9篇）

篇1：函数的零点的教学反思

一、教学设计反思

课题从学生熟悉的小引例入手，难度不大，思路不唯一。问题1与问题2进一步澄清概念，为下边的立体做好基础准备。例1是基础题目，运算简单；例2是数形结合，借助图象研究函数的交点，利用函数方程思想解方程；对于例3的设计，转化为熟悉的问题来解决，为此设置了一系列的问题串，层层深入，步步引导，使学生不知不觉中提升解决问题的能力。

教学过程中有学生的板书，有提问，有交流，有小组讨论，有个人成果展示，充分调动了学生的主动性，主动思考；课堂气氛很活跃，课堂效果很好。

二、存在问题反思

在例2的处理过程中，学生板演，应该找更普通的同学，而不是一下把问题解决了或者不具有一般性的解题思路。例题3的变式中，实际可以把问题的难度增加，提升学生思维的深度，但限于时间与学情的问题，没有做进一步的难度提升。

三、改进措施反思

1、应该更加充分的体现学生的主体地位，再多给学生思考的时间。

2、板演的同学应该更具有一般性，不能直接做对，或者做错。

3、在今后的教学中多加反思，能够对教学内容有深刻的把握和合理的设计。

4、对不同程度的学生要具有良好的课堂驾驭能力和现代化的教育方式

篇2：函数的零点的教学反思

函数的零点的教学反思

在课堂教学中，我发现当将常识问题类推函数图象与x轴交点存在所需条件时，学生有些茫然。反思除了学生对这种抽象方式不太习惯以外，我感到其中的过渡有问题。教学中，将小溪类比成x轴，将前后的位置类比成函数中的两个点。课后我觉得将前后的位置类比成函数中的两个点不确切，而且不能引起学生的思考，因为两者最相似之处是行程路线与函数图象，应该将行程路线类比成函数图象更佳。要清楚学生的认知状况。在课堂中，学生在分析定理其中一个条件“不连续”时，举了反比例函数的例子。我只是在黑板上比划了一下，没有画出来。主要的考虑是认为反比例函数在[a，b]上并不都有意义与定理中的条件违背，我想回避掉，然后用自己的分段函数来代替。课后，我重新反思这个细节，学生头脑中的.不连续最深刻的就是反比例函数应该将它画出来，不应该只因定理中这个细节去“较真”，然后让学生再思考是否还有其它的不连续函数，相信学生能从高中阶段的函数模型找到分段函数的不连续的图象，从而对不连续有更深刻的认识。从学生的认知实际出发，通过学习学生才能同化新的知识，形成新的知识结构。学生注意力的控制。在课堂中学生的注意力是不可能长时间的集中。如何控制和分配学生的注意力，我认为很重要。存在性定理的研究是本节课的重点。当展示这个推理的实例时，学生的注意力开始调动起来，而我得到需要的两个结果后，马上转移了学生的注意力，使得这个“趁热打铁”的机会失去。学生正出于活跃的思维之中，如果能进一步激发他们的思维，那么对定理的分析将会更深入。

篇3：函数的零点的教学反思

一、关于教学目标的分层定位

课堂教学目标应该以该节教学内容为载体,扎根于具体教学内容之中,对教学目标进一步细化,以突出教学目标对教学的导向作用.而本节课的教学重点是方程的根与函数零点的等价关系以及函数零点存在性定理,教学难点是探究函数零点存在的条件.

基于以上认识,本节课的教学目标定位如下:

(1)从一些具体方程(如一次、二次方程)根的求解以及相应函数图像,理解函数零点的概念以及探索出方程的实根与其相应函数零点之间的关系;(2)会将一个方程求解问题转化为一个函数零点问题,并会用定理判断存在零点的区间;(3)通过观察一些特殊函数在区间端点上函数值之积的特点,探索发现函数零点存在性定理;(4)在学习过程中感悟化归与转化、数形结合、函数与方程的数学思想.

对于不同层次的学生,教学目标要求是不一样的:A组学生达到(1)—(2);B组学生达到(1)—(3);C组学生达到(1)—(4).

二、创设问题情境,分层定标,引入零点概念

一个好的引入可以帮助学生更好地理解所学习的内容,激发各个层次学生自己提出数学问题.所以本人在课本的基础上设计了以下问题来引入新课.

教学设计如下:

问题1:判断下列方程是否有解?

(设计意图:问题1中方程123学生都可以利用初中知识解决,但方程4用现有方法解决不了,以此引起认知冲突)

问题2:求出表中方程的实数根,画出相应的函数图像的简图,并写出函数图像与x轴交点的坐标.(由A层次学生回答)

(设计意图:利用函数的图像与性质去探究方程的根,给出函数零点的概念)

问题3:结合函数零点的定义,你能说说函数y=f(x)的零点、方程f(x)=0的实数根、函数y=f(x)的图像与x轴交点的横坐标,三者有什么关系?(由B或C层次学生解决)

(设计意图:引导学生发现方程的实数根和相应函数图像与x轴交点的横坐标的关系,建构函数的零点与方程的实数根的关系)

三、关于零点存在性定理的辨析处理

1. 对零点存在性定理的辨析主要有两个方面:第一,对于定理条件的“充分不必要性”的认识,这可以通过举反例(如画y=x2函数图像)理解.第二,对于定理中零点个数问题,首先要明确“零点的个数”不是这节课的重点,只要让学生在直观上认识到,在定理的条件下,一定能保证零点存在,“有多少个”定理无法确定.课本中的例1,求函数f(x)=lnx+2x-6的零点个数,意在用信息技术做函数值对应表和函数图像,通过直观判断得出结论.本人觉得这节课的重点是方程的根与函数零点的等价关系以及函数零点存在性定理,所以本人把例题改为:

例题设x0是方程lnx+2x-6=0的解,则x0属于区间().

A.(-1,0)B.(1,2)

C.(2,3)D.(3,4)

解决完本题后可以利用几何画板画出函数f(x)=lnx+2x-6图像,再次验证结论.

2.在什么时候进行定理辨析?刚学定理,在对定理不熟练的情况下,马上进行定理的辨析,对部分学生(尤其是A层次学生)来说是有一定难度的,这样的辨析只会弱化对定理的掌握和理解.所以,本人的处理方法是把定理的辨析放在课后练习中处理(详见课堂练习第(6)题),由B和C层次的学生来解决.

四、关于课堂练习的设置———分层作业

根据因材施教的理论,这节课的课堂训练设计为分层练习,分为A、B、C三组练习,以满足不同层次学生的需要.

A组:(由A层次学生展示)

(1)求下列函数的零点:

(2)下列图像表示的函数中没有零点的是().

(小结求函数零点的方法:(1)代数法,即求方程___的实根;(2)几何法,即利用函数y=f(x)的图像和性质找出零点)

(3)函数f(x)=4-4x-ex的零点所在区间为().

A.(1,2)B.(0,1)

C.(-1,0)D.(-2,-1)

B组:(B层次学生展示)

(4)设x0是方程x2-4x=0的解,则x0属于区间().

A.(-1,0)B.(1,2)

C.(2,3)D.(3,4)

(5)若函数f(x)在[a,b]上连续,且有f(a)f(b)>0.则函数f(x)在[a,b]上().

A.一定没有零点B.至少有一个零点

C.只有一个零点D.零点情况不确定

概念辨析:

(1)将零点存在性定理的条件和结论交换,所得命题成立吗?即命题“函数y=f(x)在区间[a,b]上的图像是连续不断的一条曲线,并且函数y=f(x)在区间(a,b)内有零点,那么f(a)·f(b)<0.”成立吗?若不成立请举反例.

2你能在下面横线上填一个条件使结论成立吗?

如果函数y=f(x)在区间[a,b]上的图像是连续不断的一条曲线,并有f(a)·f(b)<0且___,那么函数y=f(x)在区间(a,b)内有且只有一个零点.

C组:(由C层次学生展示或留作课后C层次学生解决)

(6)已知函数f(x)=ax2+x-1+3a(a∈R)在区间[-1,1]上有一个零点,求a的取值范围.

五、教学反思

(一)本节课的成功之处

1.引入自然.为了激发学生的求知欲,使学生感受到学习本内容的必要性,本人先给出四个方程,其中三个是学生能通过已有的知识解决的,但第四个就不行了,这样激发学生学习的兴趣,又让学生产生疑惑,为引入新课做铺垫.然后通过一个表格引导学生观察三个方程的解与相应函数图像的关系,顺势提出了函数零点的定义,此时学生很容易得到三个等价关系,并明确要转换角度来研究方程的根:利用函数的性质和图像.

2. 突破难点.对于函数零点存在性定理,高中阶段不可能给以证明,只需要让学生通过函数图像,直观感知零点存在的条件.基于此,本人精心设计了几个问题:问题4中的两个探究活动是学生熟悉的一次函数和二次函数,探究函数值在零点附近的变化规律,通过问题4很多学生能得到:函数f(x)在区间(a,b)内一定有零点的条件是f(a)·f(b)<0,问题5和问题6进一步引导学生正确得到一般情况下,函数f(x)在区间(a,b)内一定有零点的条件.这三个问题层层递进,引导学生一边画草图,一边积极思考,举反例,从几何直观上感知零点存在的条件.这样设计符合学生的认知规律:从简单到复杂,从具体到抽象,让学生在具体的例题中概括出共同的本质特征,得出一般性的结论,使学生思维发生碰撞,弄懂了定理.

3. 采用分层教学设计,满足各层次学生学习需要,充分调动各层次学生学习的积极性.让不同层次学生都有碰撞思维的火花,课堂气氛活跃,学生的参与意识明显.学生在“成功的体验”中,不知不觉中掌握概念,突破难点.最后辅以分层作业,进行巩固提高.这节课基本能保证C层在听课时不等待,A层基本听懂,得到及时辅导,即A层“吃得了”,B层“吃得好”,C层“吃得饱”.

(二)本节课的不足之处

1.本节课的新知识都具有“形”与“数”两方面的含义,而几何直观是理性认识的基础,教学时应充分利用好函数图像,努力体现数形结合思想.在教学过程中,对现代教育手段的使用未能充分体现,对如何展现函数图像上的动点经过x轴这一最为关键的过程,没有突出和强调,从而没能更充分利用媒体强化对学生思维刺激的辅助作用.

2.在教学过程中没有注意学生思维的连贯性.不应该在学完函数零点的概念和三个等价关系时马上进行了课堂练习(1)—(4)题的训练,然后再学习零点存在性定理.这样操作学生的思维被打断,不连贯,不利于下一个问题的学习.所以应该把所有问题讲完才进行课堂训练,这样效果更好.实践证明,只要学生真正理解概念和定理,是不需要急着解太多的题.概念的理解和定理的形成过程才是这节课的关键.

摘要：方程的根与函数零点的分层教学内容包含一个概念、三个等价关系、一个定理.为达成教学目标,本节课先通过四个方程是否有实根,根据学生的思维特点分层设计,让不同层次学生都碰撞思维的火花,激发求知欲,从而引入课题;再利用函数的图像与性质去探究方程的根,给出“函数零点”的定义以及等价关系;最后探究零点存在的条件,引出“零点存在性定理”,并利用该定理解决具体问题,再辅以分层作业,进行巩固提高.

关键词：方程的根,函数零点,分层设计,教学反思

参考文献

[1]中华人民共和国教育部.普通高中数学课程标准(实验)[M].北京:人民教育出版社,2003.

篇4：函数的零点与函数的不动点的关系

A. 3B. 4C. 5D. 6

解析 由1与2的平均数为32,不妨设零点x0在1,32内;由1与32的平均数为54,不妨设零点在1,54内;由1与54的平均数为98,不妨设零点在1,98内;由1与98的平均数为1716,不妨设零点在1,1716内.而1716-1<0.1,所以需要将区间(1,2)对分的次数为4,选B.

评注 通过每次把f(x)的零点所在的区间收缩一半的方法,使区间的两个端点逐步逼近f(x)的零点,以求得零点的近似值,这种方法叫做二分法.

例2 对于函数f(x),若存在x0∈R,使f(x0)=x0成立,则称x0为函数f(x)的不动点.已知函数f(x)=ax2+(b+1)x+b-1(a≠0).

(1) 当a=1,b=-2时,求函数f(x)的不动点;

(2) 若对任意实数b,函数f(x)恒有两个相异的不动点,求实数a的取值范围.

解析 (1) 根据函数不动点的定义,当a=1,b=-2时,令f(x)=x,有x2-x-3=x,得x2-2x-3=0,解得f(x)的不动点为-1和3.

(2) 令g(x)=f(x)-x,则由题设知对任意实数b,方程g(x)=0恒有两个不等的实根,

即ax2+(b+1)x+b-1-x=0,即ax2+bx+(b-1)=0恒有两个不等的实根.

所以对任意实数b,判别式Δ1=b2-4a(b-1)>0恒成立,

即b2-4ab+4a>0恒成立,

所以判别式Δ2=(-4a)2-4×4a<0,即16a2-16a<0,解得0

篇5：函数的零点的教学反思

王巧香

方程的根与函数的零点是高中课程标准新增的内容，表面上看，这一内容的教学并不困难，但要让学生能够真正理解，教学还需要妥善处理其中的一些问题。最近，在浙江绍兴听了这一内容的两堂新授课，使用教材都是人民教育出版社《普通高中课程标准试验教科书·数学1（必修）》，课后又与部分学生进行了交流。总的来说，教学效果都不甚理想，暴露出了一些共同的问题，看来具有一定的代表性。下面就两堂课共同存在的问题，谈一点看法。

一、首先要让学生认识到学习函数的零点的必要性

教材是利用一元二次方程的例子来引入函数的零点。这样处理，主要是想让学生在原有二次函数的认知基础上，使其知识得到自然的发生发展。理解了像二次函数这样简单的函数的零点，再来理解其他复杂的函数的零点就会容易一些。但在教学时，就不能照本宣科。

这两堂课的教学都和教材一样，也是利用一个一元二次方程来引入，围绕怎样判断所给方程是否有实根来提出问题。并且，两位教师都利用了教材中的方程提出了下列问题：

方程x2－2x－3＝0是否有实根？你是怎样判断的？

结果，学生的反应都很平淡，大多数人对这个问题都不感兴趣。课后学生认为，大家对如何解一元二次方程早就熟练了，老师没必要再问那么简单的问题了。由此看来，这堂课一开始就应该让学生认识到学习函数的零点的必要性。教师所选择的例子，最好是学生用已学方法不能求解的方程，这样才能激发学生的学习积极性，并让其认识到学习函数的零点的必要性。例如，可以把教材后面的例子先提出来，让学生思考：

方程lnx＋2x－6＝0是否有实根？为什么？

在学生对上述问题一筹莫展时，再回到一元二次方程上，引导学生利用函数的图象和性质来研究方程的根。这堂课的头开好了，整堂课就活了。二、一元二次方程根的存在是否由其判别式决定

当教师问到一元二次方程x2－2x－3＝0是否有实根时，两个班的学生很快就用根的判别式作出了判断，没有一位学生用方程相应的函数图象进行分析。于是，教师又引导学生作出一元二次方程相应的函数的图象，并建立方程的根与函数图象和x轴交点的联系。值得注意的是，在上述活动中，学生认为，因为一元二次方程根的判别式的大小有三种情况，所以一元二次方程相应的函数图象和x轴的交点就有三种情况。教师不仅对此默认，还在研究了一元二次方程与其函数图象的关系后总结到，虽然我们可以用判别式来判断一元二次方程根的存在，但对于没有判别式的其他方程就可以根据相应的函数图象来判断了。

看来，师生们对一元二次方程根存在的本质原因都不清楚，都误以为是其判别式的大小。如果通过建立一元二次方程与其相应函数图象的关系，没有揭露出方程根存在的本质原因是相应函数的零点的存在，那么就会导致学生对引入函数零点的必要性缺乏深刻的认识，以为结合函数图象并利用f(a)?f(b)的值与0的关系判断方程根的存在只是其中的一种方法或技巧，而认识不到其一般性和本质性。所以，教学在研究一元二次方程与其相应函数图象的关系时，关键要以函数图象为纽带，建立一元二次方程的根与相应函数零点之间的关系，让学生理解方程根存在的本质以及判断方程根存在的一般方法。这样，才能将所得到的判断方程根存在的方法推广到一般情况，并使学生对方程根存在的认识不仅仅停留在判别式或函数图象上。

三、根据图象能否判断函数是否有零点以及零点的个数 尽管两堂课教师都谈到，要判断函数f(x)在（a，b）内是否有零点（教材对于函数f(x)在（a，b）内有零点，只研究函数f(x)的图象穿过x轴的情况），应该先观察函数f(x)的图象在（a，b）内是否与x轴有交点，再证明是否有f(a)?f(b)<0。但是，教学却没有对证明的必要性展开讨论。结果，从课后了解到，学生都以为只要观察到图象与x轴是否有交点，就可以判断函数f(x)在（a，b）内是否有零点，至于证明只是数学上的严格要求而已。同样，两堂课在研究函数f(x)在（a，b）内有几个零点时，教师也是这样告诉学生，应该先观察函数f(x)的图象在（a，b）内有几个交点，再进行证明，依然没有说明证明的必要性。所以，在课后向学生提出如何判断函数f(x)在（a，b）内有几个零点时，就有学生认为，只需看函数f(x)的图象在（a，b）内有几个交点即可。

看来，教师有必要引导学生认识证明的必要性。例如，我们可以作出一些特殊函数在不同区间范围的图象，让学生通过观察对比得到认识。

如图1，是计算机所作的某个函数的图象。可以让学生根据图象思考，该函数是否有零点？

在学生作出判断后，再逐步将原点附近的图象放大，得到该函数在其他较小区间范围的多个图象（图2（1）、（2））。然后再问学生，该函数究竟有没有零点？

如图3，是计算机所作的又一个函数的图象。可以让学生根据图象思考，该函数有几个零点？

在学生作出判断后，再逐步将原点附近的图象放大，得到该函数在其他较小区间范围的多个图象（图4（1）、（2））。此时再问学生，该函数究竟有几个零点？

结合上述例子，要让学生知道，我们所作的函数图象只能反映函数一个局部的情况，如果根据一个图象就作出判断可能就会片面。这样，学生自然就会认识到证明的必要性了。

四、教学要把握内容结构，突出思想方法

教师首先要通过把握教材内容结构来设计教学框架，然后根据教学框架来考虑需要突出的思想方法。本节课可以按照下列主线来展开教学：

两位教师对教材内容结构的把握还不到位，课堂教学比较凌乱，对上述三块内容所蕴含的思想方法也没能抓住，主要表现在以下几个方面。

（一）如何引导学生将复杂的问题简单化，并学会从已有认知结构出发由特殊到一般地思考问题 教材设置函数的零点这一内容的目的，就是为了体现函数的应用，为用二分法求方程的近似解奠定基础。所以，教学一开始就应该从学生用已学方法不能求解的方程出发展开讨论，然后引导学生体会其中的思想方法。例如，可以像前面一样先提出：方程lnx＋2x－6＝0是否有实根？为什么？当学生陷入困境时，教师再逐步提出下面的问题进行引导：

1．当遇到一个复杂的问题，我们一般应该怎么办？

以此来引导学生将复杂的问题简单化，寻找类似的简单问题的解决方法。2．以前我们如何判断一个方程是否有实根，这对研究这个方程是否有帮助？ 以此来引导学生从已有认知结构出发，将解决简单方程的方法迁移到不能求解的方程中去，学会从特殊到一般的思维方法。

3．除了用判别式可以判断一元二次方程根的情况，还有其他的方法吗？

以此来引导学生建立方程与函数的联系，渗透函数与方程的思想方法，并培养其从不同角度思考问题的习惯。

遗憾的是，两位老师都是直接从一元二次方程出发展开讨论，学生就错过了上述这些思想方法的训练。

（二）怎样突出数形结合的思想方法

数形结合的思想方法几乎贯穿于“基本初等函数I”一章的始终，学生通过前面的学习，已基本形成数形结合的思想方法，所以本节教学应该以培养学生主动运用数形结合的思想方法去分析问题为目的。但是，在两堂课中，教师却没有留给学生主动运用数形结合思想方法的空间。

在建立方程的根与函数的零点的关系时，函数图象起到了关键的桥梁作用，充分体现了它与方程的根以及函数零点之间的数形结合的关系。但是，两位教师却没有留给学生足够的时间去主动搭建函数图象这一桥梁，而是由教师作出函数图象，让学生回答方程的根与函数图象和x轴的交点有何关系，然后老师再给出方程的根、函数图象和x轴的交点、函数的零点之间的关系。这样的教学，虽然一定程度上也能体现数形结合的思想方法，但体现的思想层次却很低。在这种能够体现思想方法的关键地方，教师要舍得花时间，要让学生由方程自觉地联想到相应的函数，主动地建立方程的根与函数图象间的关系，提升数形结合思想方法的层次，增强函数应用的意识。

（三）如何从直观到抽象

教材是通过由直观到抽象的过程，才得到判断函数f(x)在（a，b）内有零点的一种条件。如何让学生从直观自然地到抽象，有下面几个教学难点需要处理：

1．如何引导学生用f(a)?f(b)<0来说明函数f(x)在（a，b）内有零点

教材是先从函数图象出发，让学生通过观察函数f(x)的图象在（a，b）内是否与x轴有交点，来认识函数f(x)在（a，b）内是否有零点。这是一个直观认识的过程，对学生来说并不困难。然后再让学生认识，f(a)?f(b)<0则函数f(x)的图象在（a，b）内与x轴有交点。不过，这却是一个由直观到抽象的飞跃，对学生来说是有困难的。教学的关键在于，如何引导学生由函数f(x)的图象穿过x轴在（a，b）的部分，联想到f(a)?f(b)<0。为此，我们不妨可以通过下列问题来启发学生：

（1）我们看到，当函数f(x)的图象穿过x轴时，函数f(x)的图象就与x轴产生了交点。如果不作出函数f(x)的图象，你又如何判断函数f(x)的图象与x轴有交点？

（2）函数f(x)的图象穿过x轴这是几何现象，那么如何用代数形式来描述呢？

（3）函数f(x)的图象穿过x轴其实就是穿过与x轴的交点周围的部分，比如（a，b）。在区间（a，b）内，如何用代数形式来描述呢？

（4）如果函数f(x)的图象与x轴的交点为（c，0），那么函数f(x)分别在区间（a，c）和区间（c，b）上的值各有什么特点？这对我们用代数形式进行描述有何帮助？

2．如何引导学生判断函数f(x)在（a，b）内的零点个数

要判断函数f(x)在（a，b）内的零点个数，可先观察函数f(x)的图象在（a，b）内与x轴有几个交点，再进行证明。这同样是一个从直观到抽象的过程，教学需要处理好下列两个问题：

（1）如何引导学生说明函数在某个区间内只有一个零点 当观察到函数f(x)的图象在（a，b）内与x轴的交点个数后，可以在（a，b）内分别选取每个交点周围的一个区间，然后说明函数分别在各个区间只有一个零点。这样，就将判断函数f(x)在（a，b）内的零点个数转化为判断函数在各个区间内分别只有一个零点。由于f(a)?f(b)<0只能说明函数f(x)在（a，b）内有零点，而不能说明f(x)在（a，b）内有几个零点，这就要求函数在每个交点周围所选取的区间上的图象在直观上要单调，并且要证明函数f(x)在该区间上单调。但教学的难点正在于此，如何引导学生利用函数的单调性来说明函数在某个区间内只有一个零点？我们可以设计下列教学环节来帮助学生认识：

① 可以先给出一些只有一个零点的函数图象（图5）；

②让学生通过观察这些图象，归纳出这些函数具有的共同性质；

③当学生发现这些函数分别在交点周围的一个区间上都单调后，再让学生思考，为什么函数在某个区间上单调则函数在该区间内就只有一个零点？

经过上述从直观到抽象的过程，学生才会真正认识到，为什么可以利用函数的单调性来说明函数在某个区间内只有一个零点。

（2）要证明函数在某个区间内只有一个零点需要一个循序渐进的过程

证明函数在某个区间内只有一个零点，是一个从图象的直观到抽象的代数证明的理性思维过程。从学生现有的知识积累来看，目前教学应立足从图象直观来认识，对于易于用函数单调性定义证明函数单调性的函数，可要求学生进行代数证明。待学生学习了函数的导数之后，再统一要求学生对所有的函数都进行代数证明。所以，学生对这一问题的认识有一个循序渐进的过程，教师对这一问题的教学需要分阶段提出不同层次的要求，关键是把握好教学的度。

从两堂课的教学情况来看，两位教师都没能抓住上述内容所蕴含的思想方法来设计教学，而是直接将结论灌输给学生，让学生失去了合适的思维训练和思想方法提升的机会。

篇6：函数的零点的教学反思

穆棱市第一中学

靳春明

本节课是一节校内公开课，回顾这节课整个过程有成功之处也有遗憾，为了更好进行教学，总结过去展望未来，对本节进行如下的分析：

本节是第三单元的第一节，我先对这一章内容进行了分析：

从总体上把握住了教学的关键，认识到了本节课在本章的地位和作用，本节课是为了二分法的教学的一节预备课，是基础课，为此也就确定了本节课的重点：零点的存在性。为此我开始思考如何让学生对这个问题产生兴趣，如何理解零点的存在性，如何在问题情境下引导学生自主探求知识产生发展过程。为此我设计在引入时提出

2三个方程（1）3x20；（2）x5x60；（3）lnx2x60让同学们解决，前两个方程学生很容易解决，但第三个超越方程学生不能够解决，从而激发学生的求知欲，根据由易到难，有已知得到未知的认知规律为前提，从具体的问题出发,揭示函数与代数式、方程之间的内在联系，并从学生所熟悉的具体二次函数，推广到一般的二次函数，再进一步推广到一般的函数。从而提出零点的概念，此时再回到求方程lnx2x60的根的问题，及时回应了导入时提出的问题又再次激发学生的探索欲望，这时学生已经能考虑到可以利用函数的图像，零点的知识解决但同时又有新的问题出现，怎么判断函数的零点位置，什么时候出现函数的零点，这时我有趁热打铁提出零点的存在性问题。

问题1：函数y＝f(x)在某个区间上是否一定有零点？ 怎样的条件下，函数y＝f(x)一定有零点？ 探究:（Ⅰ）观察二次函数f(x)x22x3的图象：

①.在区间(-2,1)上有零点______；f(2)_______，f(1)_______，． f(2)·f(1)_____0（＜或＞）②.在区间(2,4)上有零点______；f(2)·f(4)____0（＜或＞）．

（Ⅱ）观察函数的图象

①在区间(a,b)上______(有/无)零点；f(a).f(b)_____0（＜或＞）． ② 在区间(b,c)上______(有/无)零点；f(b).f(c)_____ 0（＜或＞）． ③ 在区间(c,d)上______(有/无)零点；f(c).f(d)_____ 0（＜或＞）． 通过上面问题学生已经能够得出零点的存在性定理，此时再次提出lnx2x60的根的问题，同学们已经可考虑到利用函数图像，零点的存在性定理判断它有根的问题但是还不能确定有几个，此时再将问题升华：在什么样的条件下，何时零点的个数是惟一的呢？这样使学生对零点的存在性及惟一性就有了既明确又深刻的认识。最后解决问题

求函数f(x)=㏑x＋2x －6的零点个数。设计问题：

（1）你可以想到什么方法来判断函数是否存在零点？（2）你是如何来确定零点所在的区间的？（3）零点是唯一的吗？为什么？

最后学生虽然找到零点的范围但是依然没确定方程的根，提出问题如何确定跟的具体值？为下节课埋下伏笔。本节课成功之处：

1.引入时提出方程lnx2x60它是教材中的例题，把它放到引入里让学生带着问 题进行学习，激发了学生的学习兴趣，调动了他们的学习积极性。有部分同学马上想到了可以利用图像法，我给与鼓励并提出方程的根与函数图像究竟是怎样的联系并引导学生先从简单的，我们熟悉的二次方程二次函数开始研究从而推动了教学的进行。

2.始终以lnx2x60中心，围绕这个问题不断设问引导学生解决问题，在关键环节，例如：当我们提出了零点概念，知道了方程的根与对应函数与x轴的交点的关系此时在提出lnx2x60这个方程的根的问题，学生能够马上联想到考虑对应函数的图像问题。又如当我们得到函数零点的存在性定理后在提出lnx2x60。这样环环相扣，步步为营为最中突破问题奠定了坚实的基础。

3.在过程中始终没有给灌输学生知识，而是引导学生步步接近答案让学生真正的体会到了学习的成就感，体现了以教师为主导，学生为主体，体现了问题下的情景教学，学生自主探究完成教学任务。

4.本节课遵循了这样一个规律，遇到问题—先解决相类似的问题— 总结一般规律—深入挖掘内在联系—得到新知识—利用新知识解决遇到问题。

教学机智 ：

当我引入给出方程lnx2x60有同学马上想到了可以利用图像法，我给与鼓励并提出方程的根与函数图像究竟是怎样的联系并引导学生先从简单的，我们熟悉的二次方程二次函数开始研究从而推动了教学的进行。又如当学生总结出零点存在性定理后我进行了补充，学生质疑[a,b]为什么不能写成（a,b）,我给学生画出图像，很好的解决了这个问题。不足之处：

二次方程二次函数图像的关系探讨时间过长导致巩固练习没有进行，函数零点概念不需要学生提出，学生只要发现方程的根与对应函数图像与x轴交点的关系教师就可以直接给出定义。数学语言有时还不规范，如开闭区间有时不说，板书设计还不能完美。

再教设计：

篇7：方程的根与函数的零点教学设计

学生已经学习了函数的图象及性质，会画基本的函数图象，能通过图象了解函数的性质，但学生对一些特殊的方程还不熟悉，解题可能会感到困难。教学重难点

教学重点：方程的根与函数零点之间的关系，连续函数在某区间上存在零点的判定方法 教学难点：函数的零点与方程的根的联系的理解,零点的判定 教学目标

知识与技能目标

（1）理解零点的定义

（2）方程的零点与函数的根的联系

（3）掌握连续函数在某区间上存在零点的判定方法 过程与方法目标

（1）在合作探究的过程中，体会从特殊到一般，数形结合，转化化归的数学思想（2）培养分析问题、解决问题的能力 情感态度与价值观目标

通过方程的根与函数零点的学习，产生数学学习兴趣 形成有序全面思考问题的意识 教学过程

问题引入，激发兴趣

师：提出问题1：求的实数根，画出函数的图象；并观察他们之间的联系？

【学情预设】学生能够解出方程的根，并从图象上能获得与方程的根的一些联系。【设计意图】通过学生熟悉的二次函数的图象和一元二次方程让学生观察方程和函数形式上的联系，从而得到方程实数根和函数图象之间的关系。组织探究，得出概念 1.方程的根与函数的零点

师：我们可以发现1，2既是的根，也是函数图象与x轴的交点横坐标。那现在我们来思考一下一般方程的情况。我们是如何去判断方程的个数的呢？是不是借助Δ，那大家通过小组合作一起来完成ppt上的这张表格。填表

Δ>0 Δ<0 Δ=0

方程实数根

函数图象与x轴的交点

【设计意图】通过合作填表的过程，让学生体会方程的根与函数图象的x轴的坐标的关系，通过对比教学，揭示知识点的联系。

师：从表格中我们可以得出这样的等价关系：

方程f(x)=0有实数根<==>函数y=f(x)的图象与x轴有交点

那我们再来思考一下，假如我们求出函数y=f(x)的图象与x轴的交点坐标为（x0,0），这个x0 是不是就是令y=0的x的值啊？

这个x0在方程中我们定义它为方程的根，那在函数中我们也给它一个定义，叫做函数的零点。师：现在老师给出函数零点的定义。对于函数y=f(x),我们把使f(x)=0的实数x叫做函数y=f(x)的零点。

那函数的零点他是不是一个点呢？

大家一起来再将概念缩一下句，实数x叫做零点，那说明零点时一个数。【设计意图】通过对概念中的关键进行提炼，加深对概念的理解。师：那现在我们又可以得出另一个等价关系：

函数y=f(x)的图象与x轴有交点<==>函数y=f(x)有零点 又因为这两个等价关系两两等价，因而可以得出 方程f(x)=0有实数根

<==>函数y=f(x)的图象与x轴有交点 <==>函数y=f(x)有零点

【设计意图】通过上述过程，让学生领会求方程f(x)=0的实数根，就是确定函数y=f(x)的零点这一关键。

2.零点的存在性探究 师：探究

【设计意图】通过层层递进的问题链，教师引导学生探索，归纳总结函数的零点存在性定理，培养归纳总结的能力。师：一般的，如果函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f(a)*f(b)<0,那么，函数y=f(x)在区间(a,b)内有零点，即存在c?(a,b),使得f(c)=0,这个c也就是方程y=f(x)=0的根。

提问：仅满足f(a)·f(b)<0可以确定有零点吗？ 引导学生构造反例：

【设计意图】通过反例，强调判定条件——图像是连续不断的一条曲线，加深 对概念的认知。巩固练习，提升能力 例1：

【设计意图】通过例题，对所学知识进行及时巩固，归纳小结，布置作业

学生自主对本节课的内容进行归纳总结 函数零点的定义 三个等价关系 零点的存在性定理

【设计意图】建立自主的知识体系，形成知识网络，加深对知识的巩固，培养总结归纳的能力。

布置分层作业：基础题和提高题

篇8：《函数的零点》的教学设计

附中的学生大多数是学习艺术的, 数学基础相对比较薄弱, 数学学习能力差, 但学习欲望较强, 有积极向上的美好愿望.

二、教学过程设计

1.问题情境问题1 方程lgx+x-3=0是否有实数根?

设计意图 让学生了解本堂课面临的问题和学习要达到的高度, 充分激发学生学习兴趣.

2.学生活动

问题1 方程x2+6x+4=0是否有实数根?若有实数根是什么?

问题2 作函数y=x2-2x-3的图像, 根据图像指出函数与x轴交点坐标是什么.

设计意图 从学生最熟悉的二次函数和二次方程入手, 引出函数的零点的概念.体现低起点的特点.

3.建构数学

(1) 函数的零点:对于函数y=f (x) , 把使f (x) =0的实数x叫做函数y=f (x) 的零点.

思考 ①函数的零点与方程的根、函数图像之间有什么联系?

②函数的零点是点吗?

设计意图 通过思考可以进一步理解零点的含义, 并能正确地区分零点与点.

练习1 求下列函数的零点.

(1) y=x3-8; (2) y= (x-1) (x+1) (x-3) ; (3) y=x2+5x-6.

设计意图 加强并检验学生对零点的理解.

练习2 若函数y=f (x) 在区间[1, 10]上连续, 且f (1) =-4, f (10) =8, 尝试作出函数y=f (x) 的一个图像.

设计意图 通过开放性的题型, 不仅可以充分打开学生思维, 激发学习兴趣, 又可以生动自然地引入零点存在定理.

(2) 零点存在定理:如果函数y=f (x) 在区间[a, b]上的图像是连续不断的一条曲线, 并且有f (a) ·f (b) <0, 那么, 函数y=f (x) 在区间 (a, b) 内有零点, 即存在c∈ (a, b) , 使f (c) =0, 这个c就是方程f (c) =0的根, 也就是函数的零点, 一般还可将其表示为x0.

思考 ①若函数在所给的区间上不连续, 结论还成立吗?

②若函数y=f (x) 在区间 (a, b) 上有零点, 一定有f (a) f (b) <0吗?

③若函数y=f (x) 满足定理的条件, 那么它在区间 (a, b) 上零点的个数有多少?

练习 函数f (x) =x3+3x-1在区间 (0, 1) 上有零点吗?

设计意图 通过学生的讨论, 分析定理中各条件的作用, 加深对定理的理解, 使学生明确这个定理只是一个判定条件, 满足条件一定有零点, 不满足条件未必就没有零点.

4.数学运用例 判断函数y=lgx+x-3=0是否有零点.

变式 (1) 函数y=lgx+x-3=0有零点的区间是 (k, k+1) , 则整数k的值为.

(2) 函数y=lgx+x-3=0的零点的个数为.

(3) 方程lgx=x-3的根的个数是.

思考 除了代入数后逐个验证, 是否有其他方法?

设计意图 拓展学生思维, 引入图像法.

练习 (1) 判断函数f (x) =x5+3x-2是否有零点.

(2) f (x) =xlgx-1有零点的区间为 (k, k+1) , 则整数k的值为.

(3) 方程3x+log2x=0在[0.25, 1]内的实数根的个数为.

5.回顾小结

(1) 函数零点的概念;

(2) 函数零点和方程的根的关系;

(3) 函数零点存在定理.

设计意图 通过小结, 理清思路, 归纳总结, 更好地掌握知识技能, 理解数学思想方法, 丰富解决问题的经验, 提高学生的数学表达能力.

6.课外作业课本第81页题1, 2.

7.设计反思

通过低起点、小坡度, 由浅入深, 由特殊到一般的阶梯式问题, 有效地降解了本课的难点, 帮助学生实现了思维的腾飞.美中不足的是由于艺术生数学基础薄弱, 学习能力较弱, 一些思想方法不能过多展开, 例如数形结合与抽象思维.函数与方程相联系的观点的建立, 函数应用的意识的初步树立, 应该是本节课必须承载的重要任务.在这一任务的达成度方面, 本课还需更加浓墨重彩的予以突出.另外, 课堂上教师怎样引导艺术学生也是今后教学中努力的方向.

摘要：本教学设计根据最近发展区理论, 以低起点、小坡度为指导思想, 从一元二次方程入手, 逐层深入设计了《函数的零点》的教学过程.

篇9：高考中的函数零点问题

围绕它们之间的关系，就高考中的一些典型题型加以剖析：

类型一：函数零点的分布

解决零点的分布问题，主要依据零点的存在性定理：如果函数y=f（x）在区间[a，b]上的图像是连续不断的一条曲线，并且有f（a）·f（b）<0，那么函数y=f（x）在区间（a，b）内有零点.而零点的个数还需结合函数的图像和性质，尤其是函数的单调性才能确定.

例1：（2013高考数学重庆卷）若a

A.（a，b）和（b，c）内

B.（-∞，a）和（a，b）内

C.（b，c）和（c，+∞）内

D.（-∞，a）和（c，+∞）内

解析：由题意a0，f（b）=（b-c）（b-a）<0，f（c）=（c-a）（c-b）>0.显然f（a）·f（b）<0，f（b）·f（c）<0，所以该函数在（a，b）和（b，c）上均有零点，故选A.

变式：（高考广东卷、高考山东卷）若函数为f（x）为奇函数，当x<0时，f（x）=-lg（-x）+x+3，已知f（x）=0有一个根为x0，且x0∈（n，n+1），n∈N*，则n的值为________.

解析：由题意，设x>0，则-x<0，f（-x）=-lgx-x+3=-f（x），所以当x>0时，f（x）=lgx+x-3在（0，+∞）上是增函数，f（2）<0，f（3）>0，所以x0∈（2，3），则n=2.

类型二：函数零点的个数

判断函数零点个数可利用定义法，即令f（x）=0，则该方程的解即为函数的零点，方程解的个数就是函数零点的个数；也可根据几何法，将函数的零点问题转化为两个函数图像的交点问题来解决.

例2：（2012高考数学湖北卷）函数f（x）=xcosx2在区间[0，4]上的零点个数为（ ）

A. 4 B. 5 C. 6 D. 7

解析：定义法，令f（x）=0，可得x=0或cosx2=0，所以得x=0或x2=kπ+■，k∈Z，又注意到x∈[0，4]可得k=0，1，2，3，4，所以方程共有6个解，因此函数f（x）=xcosx2在区间[0，4]上有6个零点，故选C.

类型三：利用函数零点求参数

在高考中，除了要我们求函数的零点个数外，还常出现一种题型就是：先给出函数的零点个数，再来解决其他问题（如求参数）.要解决此类问题常根据函数y=F（x）=f（x）-g（x）有零点？圳方程组y■=f（x）y■=g（x）有实数根？圳函数y1=f（x）与y2=g（x）函数的图像有交点.

例3：（2009高考数学山东卷）若函数 f（x）=ax-x-a（a>0且a≠1）有两个零点，则实数a的取值范围是 .

解析：我们可将上述函数的零点转换成两个函数的图像的交点个数问题，根据例3的几何法：

1.构造函数.设函数y=ax（a>0，且a≠1）和函数y=x+a，则函数f（x）=ax-x-a（a>0且a≠1）有两个零点， 就是函数y=ax（a>0且a≠1）与函数y=x+a有两个交点.

2.通过图像描绘题意——将数转化成形.

3.由图像得出结论——将形转化成数.

当时0

当时a>1（如图2），因为函数y=ax（a>1）的图像过点（0，1），而直线y=x+a所过的点（0，a）在点（0，1）的上方，此时两函数有两个交点.所以实数a的取值范围是{a|a>1}.

上述各例子剖析了近几年数学高考中函数零点问题的典型题型及解法，值得一提的是，各种类型各种方法并不是完全孤立的，利用数学的转化与化归、数形结合等思想，函数F（x）=f（x）-g（x）的零点问题看成方程根的个数或者函数图像y=f（x）、y=g（x）的交点个数问题，使得复杂的问题通过变换转化为简单的问题，难解的问题转化为易解的问题，未解决的问题转化为已解决的问题.

责任编辑 罗 峰

函数的零点是沟通函数、方程、图像的一个重要媒介，渗透着等价转化、化归、数形结合、函数与方程等思想方法，是一个考察学生综合素质的很好知识点.近几年的数学高考中频频出现零点问题，其形式逐渐多样化，但都离不开这几种常用的等价关系：函数y=f（x）有零点？圳方程f（x）=0有实数根？圳函数y=f（x）的图像与x轴有交点.也可拓展为：函数y=F（x）=f（x）-g（x）有零点？圳方程组y■=f（x）y■=g（x）有实数根？圳函数y1=f（x）与函数y2=g（x）的图像有交点.

围绕它们之间的关系，就高考中的一些典型题型加以剖析：

类型一：函数零点的分布

解决零点的分布问题，主要依据零点的存在性定理：如果函数y=f（x）在区间[a，b]上的图像是连续不断的一条曲线，并且有f（a）·f（b）<0，那么函数y=f（x）在区间（a，b）内有零点.而零点的个数还需结合函数的图像和性质，尤其是函数的单调性才能确定.

例1：（2013高考数学重庆卷）若a

A.（a，b）和（b，c）内

B.（-∞，a）和（a，b）内

C.（b，c）和（c，+∞）内

D.（-∞，a）和（c，+∞）内

解析：由题意a0，f（b）=（b-c）（b-a）<0，f（c）=（c-a）（c-b）>0.显然f（a）·f（b）<0，f（b）·f（c）<0，所以该函数在（a，b）和（b，c）上均有零点，故选A.

变式：（高考广东卷、高考山东卷）若函数为f（x）为奇函数，当x<0时，f（x）=-lg（-x）+x+3，已知f（x）=0有一个根为x0，且x0∈（n，n+1），n∈N*，则n的值为________.

解析：由题意，设x>0，则-x<0，f（-x）=-lgx-x+3=-f（x），所以当x>0时，f（x）=lgx+x-3在（0，+∞）上是增函数，f（2）<0，f（3）>0，所以x0∈（2，3），则n=2.

类型二：函数零点的个数

判断函数零点个数可利用定义法，即令f（x）=0，则该方程的解即为函数的零点，方程解的个数就是函数零点的个数；也可根据几何法，将函数的零点问题转化为两个函数图像的交点问题来解决.

例2：（2012高考数学湖北卷）函数f（x）=xcosx2在区间[0，4]上的零点个数为（ ）

A. 4 B. 5 C. 6 D. 7

解析：定义法，令f（x）=0，可得x=0或cosx2=0，所以得x=0或x2=kπ+■，k∈Z，又注意到x∈[0，4]可得k=0，1，2，3，4，所以方程共有6个解，因此函数f（x）=xcosx2在区间[0，4]上有6个零点，故选C.

类型三：利用函数零点求参数

在高考中，除了要我们求函数的零点个数外，还常出现一种题型就是：先给出函数的零点个数，再来解决其他问题（如求参数）.要解决此类问题常根据函数y=F（x）=f（x）-g（x）有零点？圳方程组y■=f（x）y■=g（x）有实数根？圳函数y1=f（x）与y2=g（x）函数的图像有交点.

例3：（2009高考数学山东卷）若函数 f（x）=ax-x-a（a>0且a≠1）有两个零点，则实数a的取值范围是 .

解析：我们可将上述函数的零点转换成两个函数的图像的交点个数问题，根据例3的几何法：

1.构造函数.设函数y=ax（a>0，且a≠1）和函数y=x+a，则函数f（x）=ax-x-a（a>0且a≠1）有两个零点， 就是函数y=ax（a>0且a≠1）与函数y=x+a有两个交点.

2.通过图像描绘题意——将数转化成形.

3.由图像得出结论——将形转化成数.

当时0

当时a>1（如图2），因为函数y=ax（a>1）的图像过点（0，1），而直线y=x+a所过的点（0，a）在点（0，1）的上方，此时两函数有两个交点.所以实数a的取值范围是{a|a>1}.

上述各例子剖析了近几年数学高考中函数零点问题的典型题型及解法，值得一提的是，各种类型各种方法并不是完全孤立的，利用数学的转化与化归、数形结合等思想，函数F（x）=f（x）-g（x）的零点问题看成方程根的个数或者函数图像y=f（x）、y=g（x）的交点个数问题，使得复杂的问题通过变换转化为简单的问题，难解的问题转化为易解的问题，未解决的问题转化为已解决的问题.

责任编辑 罗 峰

函数的零点是沟通函数、方程、图像的一个重要媒介，渗透着等价转化、化归、数形结合、函数与方程等思想方法，是一个考察学生综合素质的很好知识点.近几年的数学高考中频频出现零点问题，其形式逐渐多样化，但都离不开这几种常用的等价关系：函数y=f（x）有零点？圳方程f（x）=0有实数根？圳函数y=f（x）的图像与x轴有交点.也可拓展为：函数y=F（x）=f（x）-g（x）有零点？圳方程组y■=f（x）y■=g（x）有实数根？圳函数y1=f（x）与函数y2=g（x）的图像有交点.

围绕它们之间的关系，就高考中的一些典型题型加以剖析：

类型一：函数零点的分布

解决零点的分布问题，主要依据零点的存在性定理：如果函数y=f（x）在区间[a，b]上的图像是连续不断的一条曲线，并且有f（a）·f（b）<0，那么函数y=f（x）在区间（a，b）内有零点.而零点的个数还需结合函数的图像和性质，尤其是函数的单调性才能确定.

例1：（2013高考数学重庆卷）若a

A.（a，b）和（b，c）内

B.（-∞，a）和（a，b）内

C.（b，c）和（c，+∞）内

D.（-∞，a）和（c，+∞）内

解析：由题意a0，f（b）=（b-c）（b-a）<0，f（c）=（c-a）（c-b）>0.显然f（a）·f（b）<0，f（b）·f（c）<0，所以该函数在（a，b）和（b，c）上均有零点，故选A.

变式：（高考广东卷、高考山东卷）若函数为f（x）为奇函数，当x<0时，f（x）=-lg（-x）+x+3，已知f（x）=0有一个根为x0，且x0∈（n，n+1），n∈N*，则n的值为________.

解析：由题意，设x>0，则-x<0，f（-x）=-lgx-x+3=-f（x），所以当x>0时，f（x）=lgx+x-3在（0，+∞）上是增函数，f（2）<0，f（3）>0，所以x0∈（2，3），则n=2.

类型二：函数零点的个数

判断函数零点个数可利用定义法，即令f（x）=0，则该方程的解即为函数的零点，方程解的个数就是函数零点的个数；也可根据几何法，将函数的零点问题转化为两个函数图像的交点问题来解决.

例2：（2012高考数学湖北卷）函数f（x）=xcosx2在区间[0，4]上的零点个数为（ ）

A. 4 B. 5 C. 6 D. 7

解析：定义法，令f（x）=0，可得x=0或cosx2=0，所以得x=0或x2=kπ+■，k∈Z，又注意到x∈[0，4]可得k=0，1，2，3，4，所以方程共有6个解，因此函数f（x）=xcosx2在区间[0，4]上有6个零点，故选C.

类型三：利用函数零点求参数

在高考中，除了要我们求函数的零点个数外，还常出现一种题型就是：先给出函数的零点个数，再来解决其他问题（如求参数）.要解决此类问题常根据函数y=F（x）=f（x）-g（x）有零点？圳方程组y■=f（x）y■=g（x）有实数根？圳函数y1=f（x）与y2=g（x）函数的图像有交点.

例3：（2009高考数学山东卷）若函数 f（x）=ax-x-a（a>0且a≠1）有两个零点，则实数a的取值范围是 .

解析：我们可将上述函数的零点转换成两个函数的图像的交点个数问题，根据例3的几何法：

1.构造函数.设函数y=ax（a>0，且a≠1）和函数y=x+a，则函数f（x）=ax-x-a（a>0且a≠1）有两个零点， 就是函数y=ax（a>0且a≠1）与函数y=x+a有两个交点.

2.通过图像描绘题意——将数转化成形.

3.由图像得出结论——将形转化成数.

当时0

当时a>1（如图2），因为函数y=ax（a>1）的图像过点（0，1），而直线y=x+a所过的点（0，a）在点（0，1）的上方，此时两函数有两个交点.所以实数a的取值范围是{a|a>1}.

上述各例子剖析了近几年数学高考中函数零点问题的典型题型及解法，值得一提的是，各种类型各种方法并不是完全孤立的，利用数学的转化与化归、数形结合等思想，函数F（x）=f（x）-g（x）的零点问题看成方程根的个数或者函数图像y=f（x）、y=g（x）的交点个数问题，使得复杂的问题通过变换转化为简单的问题，难解的问题转化为易解的问题，未解决的问题转化为已解决的问题.