等比数列等差数列前n项和习题

等比数列等差数列前n项和习题（精选11篇）

篇1：等比数列等差数列前n项和习题

一.选择题

1.若等比数列an的前n项和Sn3na则a等于（）A.3B.1C.0D.1

2.等比数列an的首项为1，公比为q，前n项和为S，则数列（）

A.1S

1的前n项之和为na

B.SC.Sq

n1

D.1q

n1

S

3.等比数列an中，S27，S691，则S4等于（）A.28B.28或21C.21D.49 4.已知an是公比为

12的等比数列，若a1a4a7a97100，则

a3a6a9a99的值是（）

A.25B.50C.75D.125

二.填空题

1.等比数列an中，a1a310，a4a6

则a4，S5。

2.等比数列an中，S42，S86，则a17a18a19a20。3.等比数列an中，a11，S10S5

3132

则公比q。

n

4.一个数列的通项为an22n1，那么它的前9项的和S9。

三.解答题

n

1.已知等比数列an和等差数列bn，且an2，bn3n2，设数列an、bn中

共同项由小到大排列组成数列cn。

（1）求cn的通项公式（2）求出cn的前2001项的和S2001 2.数列an满足a11，an

an11（n2）

（1）若bnan2，求证：bn为等比数列（2）求an的通项公式

篇2：等比数列等差数列前n项和习题

《等比数列前n项和》选自北师大版高中数学必修5第一章第3节的内容。等比数列的前n项和是“等差数列及其前n项和”与“等比数列”内容的延续，也是函数的延续，它实质上是一种特殊的函数;公式推导中蕴涵的数学思想方法如分类讨论等在各种数学问题中有着广泛的应用，如在“分期付款”等实际问题中也经常涉及到.具有一定的探究性。

二、学情分析

在认知结构上已经掌握等差数列和等比数列的有关知识。在能力方面已经初步具备运

用等差数列和等比数列解决问题的能力;但学生从特殊到一般、分类讨论的数学思想还需要进一步培养和提高。在情感态度上学习兴趣比较浓,表现欲较强,但合作交流的意识等方面尚有待加强。并且让学生在探究等比数列前n项和的过程中体会合作交流的重要性。

三、教学目标分析：

知识与技能目标：

(1)能够推导出等比数列的前n项和公式;

(2)能够运用等比数列的前n项和公式解决一些简单问题。

过程与方法目标：提高学生的建模意识及探究问题、分析与解决问题的能力。体会公式探求

过程中从特殊到一般的思维方法、错位相减法和分类讨论思想。

情感与态度目标：培养学生勇于探索、敢于创新的精神，磨练思维品质，从中获得成功的体验。

四、重难点的确立

《等比数列的前n项和》是这一章的重点，其中公式推导所使用的“错位相减法”是高中数学数列求和方法中最常用的方法之一，它蕴含了多种重要的数学思想，因此，本节课的教学重点为等比数列的前n项和公式的推导及其简单应用.而等比数列的前n项和公式的推导过程中用到的方法学生难以想到，因此本节课的难点为等比数列的前n项和公式的推导。

五、教学方法

为突出重点和突破难点，我将采用的教学策略为启发式和探究式相结合的教学方法，教学手段采用计算机进行辅助教学。

六、教学过程

为达到本节课的教学目标，我把教学过程分为如下6个阶段：

1、创设情境：

创设一个西游记后传的情景，即高老庄集团，由于资金短缺，决定向猴哥进行贷款，猴哥每天给八戒投资1万元，以后每天比前一天多1万，连续30天，但有一个条件：第一天返还1分，第二天返还2分，第三天返还4分后一天返还数为前一天的2倍.假如你是高老庄集团企划部的高参，请你帮八戒决策.这是一个悬念式的实例，后面的“假如”又把学生带入了实例创设的情境，营造了积极、和谐的学习气氛，使学生产生学习心理倾向，并进一步了解数学来源于生活.

2、探究问题，讲授新课：

根据创设的情景，在教师的诱导下，学生根据自己掌握的知识和经验，很快建立起两个等比数列的数学模型。提出如何求等比数列前n项和的问题，从而引出课题。通过回顾等差数列前n项和公式的推导过程，类比观察等比数列的特点，引导学生思考，如果我们把每一项都乘以2，则每一项就变成了它的后一项，引导学生比较这两个式子有许多相同的项的特点，学生自然就会想到把两式相减，进而突破了用错位相减法推到公式的难点。教师再由特殊到一般、具体到抽象的启示，正式引入本节课的重点等比数列的前n项和，请学生用错位相减法推导出等比数列前n项和公式。得出公式后，学生一起探讨两个问题，一是当q=1时Sn又等于什么，引导学生对q进行分类讨论，得出完整的等比数列前n项和公式，二是结合等比数列的通项公式,引导学生得出公式的另一形式。

3、例题讲解：

我们在讲解例题时，不仅在于怎样解，更在于为什么这样解，而及时对解题方法和规律进行概括，有利于发展学生的思维能力。本节课设置如下两种类型的例题：

1)例1是公式的直接应用，目的是让学生熟悉公式会合理的选用公式

2)等比数列中知三求二的填空题，通过公式的正用和逆用进一步提高学生运用等比数列前n项和的能力.

4.形成性练习：

练习基本上是直接运用公式求和，三个练习是按由易到难、由简单到复杂的认识规律和心理特征设计的，有利于提高学生的积极性。学生练习时，教师巡查，观察学情，及时从中获取反馈信息。对学生练习中出现的独到解法提出表扬和鼓励，对其中偶发性错误进行辨析、指正。通过形成性练习，培养学生的应变和举一反三的能力，逐步形成技能。

5.课堂小结

本节课的小结从以下几个方面进行：(1)等比数列的前n项和公式

(2)推导公式的所用方法——从特殊到一般的思维方法、错位相减法和分类讨论思想。通过师生的共同小结，发挥学生的主体作用，有利于学生巩固所学知识，也能培养学生的归纳和概括能力。进一步完成认知目标和素质目标。

6.作业布置

篇3：“等差数列前n项和”教学设计

随着新课程改革的深入,课堂教学有效性的研究不断发展,对数学课堂有效教学的追求已成为大家的共识,但要寻求一个“放之四海而皆准”的数学课堂教学有效性评价标准,非轻而易举之事.不管标准有多少,都离不开学生是否得到了发展.普通高中数学课程标准《实验》指出:评价既要关注学生的数学学习的结果,也要发关注他们数学学习的过程;既要关注学生数学学习的水平,也要关注他们在数学活动中所表现出来的情感态度的变化.

数学教育在学校教育中占有特殊地位,它使学生掌握数学的基础知识、基本技能、基本思想,使学生表达清晰、思考有条理,使学生具有实事求是的态度、锲而不舍的精神,使学生学会用数学的思考方式解决问题、认识世界.教师要提高课堂教学的有效性,应该不断地学习先进教育教学理论,接受教改信息,认真学习教学大纲,钻研教材,努力设计出优秀的教学设计.

二、基于课堂教学有效性探究的教学设计分析

要提高课堂教学的有效性,首先需要明确一堂好课的标准.有了标准,才能对教学活动的绩效进行科学的评估.比如,教学目标明确具体;教学重点、难点确定科学合理;教学方法灵活多样;教学内容与时俱进;教学资源优化整合;学生学习积极性高;教学效率高、效果好;教学评价富于创新;教学反思及时深刻等.下面就以“等差数列前n项和”教学设计为例,从课程理论和教材分析角度谈谈自己的几点思考.

1.等差数列前n项和问题引入

加涅的累积学习理论告诉我们学习任何一种新的知识技能,都是以已经习得的从属于较简单、具体的知识为基础的.也就是说较复杂、较高级的学习,是建立在基础性学习的基础上,每一类学习都是以前一类学习为前提的.另外,布卢姆认为影响学生的学习效果主要有三方面:学生对新的学习任务的认知准备状态(学习新课必须具备的旧知识和技能掌握程度)、教学质量(对于学习任务要素的表达、解释与顺序安排趋向于最适合既定学习者的程度)、情感准备状态(学生对待学习任务的兴趣、态度以及完成学习任务的自信心等).所以教师在教学设计前,可通过分析前一层学习的结果,确定学生的内部条件,尽力使学生在每一项学习任务中获得成功的体验,让学生在学习中寻求快乐,从而形成好的学习动机.

环节一复习旧知

(1)等差数列的通项公式

(2)等差数列的性质,若m+n=p+q,则am+an=ap+aq(学生回答,教师板书)

设计意图:承上启下的复习提问,既是巩固上节课的探究成果,激起学生对上节课成功体验的美好回忆,又为接下来的合作探究作了知识性的铺垫.

环节二引入新课

提起数列求和,我们自然会想到德国伟大的数学家高斯“神速求和”的故事.小高斯上小学四年级时,一次教师布置了一道数学题:“把从1到100的自然数加起来,和是多少?”年仅10岁的小高斯略一思索就得出了答案5050,这使教师非常吃惊,那么高斯是采用了什么方法来巧妙计算出来的呢?1+2+3+…100.

鼓励学生如果也懂得那样巧妙计算,那你们就是新世纪的新高斯.学生回答

设计意图:引出数学家高斯的故事,引起数学注意,激发学生学习兴趣,增强学生的数学情感.一方面引发学生对等差数列求和问题的兴趣,另一方面,使学生发现等差数列任意的第k项与倒数第k项的和等于首项与末项和的这个规律,也为接下来求前n个正整数1+2+3+…n的和,求一般等差数列前n项和做好铺垫.

从这个算法中受到的启发,怎么计算1+2+3+…n.

问:设数列{an}是等差数列,求a1+a2+…+an.

设计意图:层层设问,步步加难,由浅入深,由易到难,把学生的思维一步一个台阶引向求知的高度,达到掌握知识,培养能力的目的.

教学启示:高斯的算法比较巧妙,蕴涵有求等差数列前n项和一般的规律性,教学时,应给学生提供充裕的时间和空间,让学生自己观察、探索发现这种数列内在的规律.从高斯的算法到一般求和公式,体现了人们在认识事物时,从特殊到一般的研究方法,这也是我们解决问题常用的思考方法和研究方法.

二、公式的教学

波利亚教育思想中的学习原则与过程中提到过学习东西的最好的途径是亲自去发现它,这就是说最富有成效的学习是学生自己去探索、去发现.以此相呼应,在教学原则与方法中,反复说道:教师尽量让学生在现有条件下亲自去发现尽可能多的东西.对于公式的推导,有了此前的铺垫,可以引导学生自己去推导出求和公式.

环节三公式的推导

教学活动:分组证明,合作探究,展示成果,教师引导学生结合前面的实例推导出公式并告之这种推导方法叫倒序相加.

设计意图:有前面的实例作为铺垫,学生能较容易地完成公式的证明,学生会有一种成就感,会有继续探索的欲望,亲自参与推导的公式,印象会非常深刻,进而突出了重点,突破了难点,体现了由特殊到一般的认知过程.

问:公式(*)是基本的,我们可以发现,它可与梯形面积公式(上底+下底)×高÷2相类比,这里的上底是等差数列的首项a1,下底是第n项an,高是项数n,引导学生总结:这些公式中出现了几个量?

说明:在公式中有下列五个量

(1)首项a1,末项an,公差d,项数n,前n项和Sn

(2)五个量知三求二

教学启示:对于这个前n项和公式的推导,也可以有其他推导途径,如:

此外,还有教材中的另一种推导方法.三种推导方法可以根据教学设计灵活选择,而此例的推导方法与环节一相呼应,学生更容易接受.对于这两个公式,初学的学生在解决一些问题时,往往不知如何选取.教师可以引导学生对这两个公式的结构特征进行分析,帮助学生恰当地选择合适的公式.如,两个公式的共同点是需知a1和n,不同点是一个还需知an,另一个需知d.教学时,可以用熟知的梯形面积公式帮助学生理解记忆.

三、对课堂教学有效性教学设计的几点体会

1.需要以先进的学习理论为指导,符合教学规律进行教学设计

教学设计的理论依据主要有现代的学习理论和新课程的教学理念.当我们把这些理论依据吃透后,心中就有了一个明确具体的指导方向,进行教学设计也更顺手,更有效.比如,学习了加涅的累积学习理论(也即学习的层次理论),我们知道较复杂、较高级的学习是建立在基础性学习的基础上,故教学设计时,教师可以由易到难,由特殊到一般,由浅到难等进行安排教学的过程;学习了奥苏贝尔的有意义接受学习,我们知道新旧知识之间存在着潜在距离,把握好“适度”,就可以帮助学生有效地学习;学习了课程标准,在基本理念的指导下,更有利于培养出会用数学的思考方式去分析问题,解决问题的学生.

2.离不开学生的实际情况,深入了解学生

普通高中数学课程标准《实验》在教学建议中提到:数学教学要体现课程改革的基本理念,在教学设计中充分考虑高中学生的心理特点,不同水平、不同兴趣学生的学习需要,运用多种教学方法和手段,引导学生积极主动地学习,掌握数学的基础知识和基本技能以及它们所体现的数学思想方法,发展应用意识和创新意识,对数学有较为全面的认识,提高数学素养,形成积极的情感态度,为未来发展和进一步学习打下基础.可见,课堂教学要有效,离不开学生的实际情况,需要我们深入了解学生,毕竟在我们教学生涯中,经常会碰到不一样的学生群体.深入了解学生的真实情况,也就是说,教学过程应以学生为中心,做好课前“备学生”的准备工作.关于这一原则,美国认知教育心理学家奥苏贝尔曾有论述,他认为:“影响学习的最重要因素是学生已经知道了什么,我们应当根据学生原有的知识状况去进行教学.”显然,奥苏贝尔是把对学生的了解,看成一切教学工作的出发点.而对学生的了解,主要包括学生的知识基础和经验,思维状况,态度和价值认识.比如,当我们选择某一课题引导学生探究学习时,首先要了解学生对所学内容的了解程度和兴趣,爱好和需求,并寻求其原因.其次,要了解学生对数学的一些初步的价值认识.

3.重视学生的成功体验,提高他们的自信心,让学生爱学、乐学、主动学

波利亚的教育思想中提到中学数学课的目的有两方面,一个是教会年轻人思考,有目的思考,教会他们证明问题,甚至教他们猜想问题;另一个是培养他们的兴趣、好奇心、毅力、意志、情感体验等非智力品质.学习动机的形成有各种各样的原因,其中最为重要的是学生“在学习中寻求快乐”,也就是充分关注学生成功的体验,对数学知识本身的内在兴趣.在《等差数列前n项和》教学过程中,通过创设一系列的问题情境,边展示、边提问、让学生边观察、边思考、边讨论,鼓励学生积极参与教学活动,不断经历直观感知、观察发现、归纳类比、抽象概括、演绎证明等思维过程,体验等差数列前n项和“再创造”的过程.鼓励学生发现数学的规律和问题解决的途径,使他们经历知识形成的过程,在难点处适当放慢节奏,给学生充分的时间进行思考与讨论,充分发表自己的意思,体验成功的体验,激发了学生学习数学的兴趣,并鼓励学生在学习过程中,养成独立思考、积极探索的习惯,提高解决问题的能力.

课堂教学有效性的探究是永远没有句号的,但重要标准之一就是在有限的时间内学生获得了多少知识,提高了多少能力,在情感方面有了什么样的改变.教学设计若能让学生快乐地学习,主动去学习,终究会让学生得到更全面的发展.

摘要：本文谈了对课堂教学有效性的认识,基于课堂教学有效性探究的教学设计分析,以等差数列前n项和问题引入和公式推导为例,对课堂教学的有效性进行了探究,最后得出了对课堂教学有效性教学设计的几点体会:需要以先进的学习理论为指导,符合教学规律进行教学设计;离不开学生的实际情况,深入了解学生;重视学生的成功体验,提高他们的自信心,让学生爱学、乐学、主动学.最后以课堂教学有效性的探究是永远没有句号的,但重要标准之一就是在有限的时间内学生获得了多少知识,提高了多少能力,在情感方面有了什么样的改变,教学设计若能让学生快乐地学习,主动去学习,终究会让学生得到更全面的发展.

关键词：教学,有效性,探究

参考文献

[1]中华人民共和国教育部.普通高中数学课程标准(实验)[M].北京:人民教育出版社,2003.

[2]徐光考.数学课堂教学设计[M].北京:国家行政学院出版社,2013.

篇4：等比数列等差数列前n项和习题

【关键词】 等差数列；前n项和公式；倒序相加；驾驭课堂

最近笔者有幸担任我市招聘教师评委，聆听了十七位应聘者关于《等差数列前n项和》的讲课比赛，听后感慨颇多，特别是在许多教学环节的呈现上，怎样才能自然和谐地推进而不生搬硬套，怎样才能突出数学的逻辑美，并且利于学生数学思维能力的培养，利于学生数学学习兴趣的激发等.因此本文欲从等差数列求和的教学中如何更好地驾驭课堂，如何根据课堂教学的实际情景灵活应对，谈一点个人的思考与体会.

1 以高斯故事引入

大多教师在教学等差数列求和公式时都用高斯求和的故事引入.高斯故事在全世界广为流传，版本较多，最值得信赖的说法有两种：一是高斯10岁时算出他的老师布特纳给学生们出的将1到100的所有整数加起来的算术题，布特纳刚叙述完题目，高斯就算出了正确答案.二是据对高斯素有研究的著名数学史家E·T·贝尔（E.T.Bell）考证，布特纳当时给孩子们出的是一道更难的加法题：81297+81495+81693+…+100899.当然，这也是一个等差数列的求和问题（公差为198，项数为100）.E·T·贝尔写道，高斯晚年经常喜欢向人们谈论这件事，说当时只有他在老师刚写完题时就在小石板上写出了正确答案，而其他的孩子们都错了.可是高斯没有明确地讲过，他是用什么方法那么快就解决了这个问题.数学史家们推测，高斯当时用的方法可能是：首尾配对法或倒序相加法.虽然两种方法本质都是配对凑成相同的数，变多步求和为一步相乘，但在方法的应用上是有区别的.作为时间宝贵的课堂教学当然宜采用第一种说法.

2 公式推导方法探究

4 教学难点的确定

本课难点常见的说法有三种：第一种，获得等差数列前n项和公式推导的思路；第二种，等差数列前n项和公式的推导及从函数角度理解该公式；第三种，①对公式推导过程中归纳出一般规律的理解与领会，②灵活应用公式解决一些简单的有关问题.不同学生的认知水平不同，不同教师的教学风格不同，理解角度不同，对难点的确定和教学安排多少都会有些许差别，属于正常现象.其实结合课标要求和课程内容特点，概括地讲难点就是：获得公式的推导方法及公式的理解应用.对于理解应用公式，值得参考的题目，如：

题1 求正整数中前500个偶数的和.

评注 可以用两个公式求和，也可以用公式推导过程中使用的方法，倒序相加或首尾配对等多种方法求解.此题难度不大，但接地气，能有效的回顾复习当堂所学的知识.

题2 计算：1-2+3-4+…+（2n-1）-2n.

评注：本题可使学生进一步理解求和的意义，及对等差数列求和公式中基本量的理解和刻画.其次，公式推导中的配对，实质是一种并项法，宏观上也可以看作是分组求和，那么本题你是采用并项法，还是分组运用公式求和，是又一仁者见仁，智者见智的好题.题3 等差数列{an}的首项为a1，公差为d，项数为n，第n项为an，前n项和为Sn，请填写下表：

5 结束语

等差数列求和的两个公式，体现了数学知识的多样性和简洁性.公式Sn=n（a1+an）2的结构呈现对称美及与项的关系，同时也方便了记忆，如类比梯形的面积公式增强记忆.公式Sn=na1+n（n-1）2d=d2n2+（a1-d2）n，当d≠0时，Sn可看作是n的二次函数式，方便了从函数的角度进一步认识和理解等差数列的前n项和，特别是为求Sn的最值提供了新思路.普通高中《数学课程标准》指出：“高中数学课程应该返璞归真，努力揭示数学概念、法则、结论的发展过程和本质”，等差数列求和公式的教学便是体现这一思想的良好素材，教学中应注重公式推导的来龙去脉，切莫囫囵吞枣，直接给出公式，然后布置大量习题，把学生赶进题海，将学生变成做题的机器，从而白白浪费了一次培养思维和提升数学文化价值的良机.另外，随着“以学生为主体，教师为主导”的教学理念逐步深入，学生自主探索、合作交流、观察发现的能力在不断加强，课堂教学情境千变万化，随机生成的问题将会越来越多，教师“以本论教，经验定教”是远远不能迎接新挑战的，正如时下流行的说法那样：过去的教师，要给学生一碗水，教师应有一桶水，现在的教师，要给学生一滴水，自己必须是长流水.因此，教师只有不断学习，不断钻研，教学相长，才能更好的活跃在课堂舞台上.作者简介

篇5：2等差数列及其前n项和

答案：第23项与第24项

：

1.等差数列的定义

如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，通常用字母d表示，义的表达式为.2.等差数列的通项公式

如果等差数列{an}的首项是a1，公差是d，那么通项公式为an＝.[思考探究1]

已知等差数列{an}的第m项为am，公差为d，则其第n项an能否用am与d表示？

提示：可以.an＝am＋(n－m)d.3.等差中项

如果三个数a，A，b成等差数列，则三数的关系是A＝.思考探究2]

三数成等差数列时，一般设为a－d，a，a＋d；四数成等差数列呢？ 提示：可设为a－3d，a－d，a＋d，a＋3d.考点一：等差数列的判定与证明

1.证明一个数列{an}为等差数列的基本方法有两种：(1)利用等差数列的定义证明，即证明an＋1－and(n∈N*)(2)利用等差中项证明，即证明an＋2＋an＝2an＋1(n∈N*).2.解选择题、填空题时，可用通项或前n项和直接判断：

(1)通项法：若数列{an}的通项公式为n的一次函数，即an ＝An＋B，则{an}是等差数列；

(2)前n项和法：若数列{an}的前n项和Sn是Sn＝An2＋Bn的形式(A，B是常数)，则{an}为等差数列.[特别警示] 若说明一个数列不是等差数列，则只需找到其中连续三项不是等差数列即可.[例1]已知数列{an}中，a1＝

5，an＝2－

1an

1(n≥2，n∈N*)，数列{bn}满足bn＝

1an1

(n∈N*).(1)求证：数列{bn}是等差数列；

(2)求数列{an}中的最大项和最小项，并说明理由.[思路点拨]

1.已知{an}是等差数列，a10＝10，其前10项和S10＝70，则其公差d＝()A.－

3B.

C.13

D.23

[课堂笔记](1)证明：∵an＝2－

1an1

1an1

1an11

答案：D

2.已知{an}为等差数列，a2＋a8＝12，则a5等于()

A.4B.5C.6D.7 答案：C

3.设{an}是等差数列，若a2＝3，a7＝13，则数列 {an}前8 项的和为()A.128B.80C.64D.56 答案：C

4.已知等差数列共10项，其中奇数项之和为15，偶数项之和为30，则其公差为答案：3

5.数列{an}中，a1＝15,3an＋1＝3an－2(n∈N*)，则该数列中乘积是负值的相邻两项为.(n≥2，n∈N*)，bn＝

1an1

.∴n≥2时，bn－b

n－1＝

－＝

＝

∴数列{bn}是以－

2＝1.又b1＝，为首项，以1为公差的等差数列.(2)由(1)知，bn＝n－

72，则an＝1＋

1bn

＝1＋，设函数f(x)＝1＋，(2)＝

－6，因为t是奇数，.令2m－3＝t，∈N，所以t可取的值为±1.易知f(x)在区间(－∞，)和（72，＋∞)内为减函数，∴当n＝3时，an取得最小值－1；当n＝4时，an取得最大值3.考点二：等差数列的基本运算

1.等差数列的通项公式an＝a1＋(n－1)d及前n项和公式Sn＝

n(a1an)

当t＝1，m＝2时，t＋ －6＝3，2×5－7＝3是数列{an}中的项；

t＝－1，m＝1 时，t＋ －6＝－15，2数列{an}中的最小项是－5不符合.n(n1)

所以满足条件的正整数m＝2.＝na1＋d，共涉及五个量a1，an，d，n，Sn，知其中三个就能求另外两

22222

[变式]若将“a2a3a4a5，S7＝7”改为“S10＝30，S20＝50”，求通项an和

个，体现了用方程的思想解决问题.S30的值.2.数列的通项公式和前n项和公式在解题中起到变量代换作用，而a1和d是等差

数列的两个基本量，用它们表示已知和未知是常用方法.[特别警示] 因为

snn

＝

d2

n＋a1－

d2，故数列{

snn

}是等差数列.解：由题意得 ∴an＝a1＋(n－1)d＝－

解之得n＋

7120

[例2](2009·江苏高考)设{an}是公差不为零的等差数列，Sn为其前n项和，满足

a2a3a4a5，S7＝7.amam1am2

(1)求数列{an}的通项公式及前n项和Sn；(2)试求所有的正整数m，使得[思路点拨]

为数列{an}中的项.[课堂笔记](1)设{an}通项公式an＝a1＋(n－1)d，d≠0，则 由性质得，－3d(a4＋a3)＝d(a4＋a3)，因为d≠0，所以a4＋a3＝0，即2a1＋5d＝0.① 又由S7＝7得7a1＋

d＝7.②

S30＝30a1＋d＝60.考点三：等差数列的性质 1.等差数列的单调性：

等差数列公差为d，若d＞0，则数列递增.若d<0，则数列递减.若d＝0，则数列为常数列.2.等差数列的简单性质：

已知数列{an}是等差数列，Sn是其前n项和..(1)若m＋n＝p＋q，则am＋an＝ap＋aq.特别：若m＋n＝2p，则am＋an＝2ap.(2)am，am＋k，am＋2k，am＋3k，…仍是等差数列，公差为kd.(3)数列Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…也是等差数列.(4)S2n－1＝(2n－1)an.(5)若n为偶数，则S偶－S奇＝

n2

联立①②解得a1＝－5，d＝2.所以{an}的通项公式为an＝2n－7，前n项和Sn＝n2－6n.d.若n为奇数，则S奇－S偶＝a中(中间项).(6)数列{c·an}，{c＋an}，{pan＋qbn}也是等差数列(其中c、p、q均为常数，{an}，{bn}是等差数列).[例3](2009·宁夏、海南高考改编)等差数列{an}的前n项和为Sn.已知am－1＋am

＋

1－am＝0，S2m－1＝38，求m的值.[思路点拨]

[课堂笔记] 由条件得2am＝am－1＋am＋1＝a，从而有am＝0或2.又由S2m－1＝

×(2m－1)＝38且2am＝a1＋a2m－1得(2m－1)am＝38，故am≠0，[自主体验]

已知数列{an}满足2an＋1＝an＋an＋2(n∈N*)，它的前n项和为Sn，且a3＝10，S6＝72.若bn＝

2an－30，求数列{bn}的前n项和的最小值.解：∵2an＋1＝an＋an＋2，∴{an}为等差数列，设{an}的首项为a1，公差为d，{bn}前n项和为Tn.由a3＝10，S6＝72，得则bn＝

则有2m－1＝19，m＝10.[变式]若将“am－1＋am＋1－am＝0，S2m－1＝38”改为“S6＝72”，如何求a3＋a4.解：∵数列{an}为等差数列，∴S6＝∴a3＋a4＝

3∴

得

∴an＝4n－2，≤n≤

.an－30＝2n－31.由

＝3(a1＋a6)＝3(a3＋a4)，S6＝

∵n∈N*，∴n＝15.∴{bn}前15项为负值，∴T15最小，可知b1＝－29，d＝2，∴T15＝

＝－225.×72＝2

4高考对等差数列的常规考法为：（1）在解答题中考查等差数列的判断或证明；（2）

在选择题、填空题或解答题中考查等差数列的基本性质以及an，a1,d,n,Sn中的“知三求二”问题.09年安徽高考以选择题的形式考查了等差数列前n项和的最值问题，是高考命题的一个新方向.[考题印证](2009·安徽高考)已知{an}为等差数列，a1＋a3＋a5＝105，a2＋a4＋a6＝99.又Sn表示{an}的前n项和，则使得Sn达到最大值的n是()A.21B.20C.19D.18 【解析】 ∵{an}为等差数列，∴a1＋a3＋a5＝105，a3＝35，a2＋a4＋a6＝99⇒a4＝33，d＝a4－a3＝33－35＝－2，∴{an}是递减数列.an＝a3＋(n－3)d＝35＋(n－3)×(－2)＝－2n＋41，an≥0，－2n＋41≥0，n≤，∴当n≤20时，an>0，n≥21时，an<0，∴n＝20时，Sn最大.【答案】 B

1.(2009·辽宁高考){an}为等差数列，且a7－2a4＝－1，a3 ＝0，则公差d＝()A.－2B.－

C.12

D.2

答案：B

2.设Sn是等差数列{an}的前n项和.已知a2＝3，a6＝11，则S7等于()A.13B.35C.49D.63 答案：C

3.已知等差数列{an}中，|a3|＝|a9|，公差d＜0，则使前n项和Sn取得最大值的正整数n的值是()

A.4或5B.5或6C.6或7D.8或9 答案：B 4.(2009·山东高考)在等差数列{an}中，a3＝7，a5＝a2＋6，则a6＝.答案：13

5.已知Sn为等差数列{an}的前n项和，若a2∶a4＝7∶6，则S7∶S3等于.答案：2∶1

6.(文)(2010·惠州模拟)等差数列{an}前n项和为Sn，已知对任意n∈N*，点(n，Sn)在二次函数f(x)＝x2＋c的图象上.(1)求c，an；

(2)若kn＝

an2

n，求数列{kn}的前n项和Tn.∵

是与n无关的常数，则

故存在实数λ＝－1.使得数列＝0，得λ＝－1.要使

解：(1)点(n，Sn)在二次函数f(x)＝x2＋c的图象上，∴Sn＝n2＋c

a＝S＝1＋c，a＝S－S＝(4＋c)－(1＋c)＝3，为等差数列.11221a3＝S3－S2＝5，又∵{an}为等差数列，∴6＋c＝6，c＝0，d＝3－1＝2，an＝1＋2(n－1)＝2n－1.(2)kn＝，Tn＝

①

②

①－②得Tn＝

(理)已知数列{an}满足an＝2an－1＋2n－1(n≥2)，且a1＝5.(1)若存在一个实数λ，使得数

an

2列为等差数列，请求出λ的值；n



(2)在(1)的条件下，求出数列{an}的前n项和Sn.解：(1)假设存在实数λ符合题意，则

必为与n无关的常数，(2)由(1)可得＝1，∴d＝1，且首项为 ＝2，∴

＝2＋(n－1)＝n＋1，∴an＝(n＋1)2n＋1(n∈N*).令b n ＝(n ＋1)2n且前n

项和为Tn，∴Tn＝2×2＋3×22＋4×23＋…＋(n＋1)2n，2Tn＝2×22＋3×23＋…＋n×2n＋(n＋1)2n＋1，①－②得－Tn＝4＋22＋23＋…＋2n－(n＋1)2n＋1

＝2＋(2＋…＋2n)－(n＋1)2n＋1

＝2n＋1－(n＋1)2n＋1 ＝－n·2n＋1，∴Tn＝n·2n＋1，∴Sn＝n·2n＋1＋n.①

篇6：等差数列前n项和(教学实录)

——“等差数列前n项和”教学实录

《普通高中数学课程标准(实验)》中指出:“高中数学课程应力求通过各种不同形式的自主学习、探究活动,让学生体验数学发现和创造的历程,发展他们的创新意识”.数学公式教学应包含三部分:公式的发现、公式的证明和公式的应用.但当前,由于受应试教育的影响,前两部分往往是“蜻蜓点水”“一带而过”,而第三部分却弄得“脚踏实地”“反复操练”,这显然与“既要重结论,又要重过程”的现代教育理念不相符.其实,在数学公式教学中,所谓“重过程”就是要把当初数学家发现和证明数学公式的经历,通过教师创造性的设计,让学生类似的经历数学公式的发现和证明这一再创造的过程;“重过程”就是让学生在不断地发现问题、提出问题、解决问题的过程中,潜移默化地学会研究数学的方法,提高数学素养,学会数学地思考,发展创新意识.下面叙述的是按照“自主学习与创新意识培养数学课堂教学模式”设计的“等差数列前n项和”研究课的全过程.不妥之处,敬请专家、同行赐教.1 设计问题 创设情境

教师:德国著名数学家高斯被人们称为“数学王子”,因他小时候就非常聪明,他是历史上不多见的以“神童”著称的一位数学家,一则广为流传的故事是高斯10岁的时候,有一天,老师为了让班里的孩子们有事干,便出了一道题,即

问题1 求1+2+3+„+100=?

然而老师刚把题写在黑板上一会,小高斯就求出了它的结果,你知道应如何计算吗? 学生1:因为1+100=101,2+99=101,„,50+51=101,于是所求的和是101×100/2=5050.学生2:设s=1+2+3+„+100,①

则s=100+99+98+„+1,②

①+②得,2S=101×100,所以S=101×1002=5050.(此故事及学生1的算法早已为学生所熟知,这里重提此故事,主要是希望学生由此能提出更一般地问题,发现新的算法(如学生2的算法,已见等差数列前n项和推导方法—倒序相加法的雏形).问题2 如图1,是一垛钢管,最下面一层放了102根,最上面一层放了3根,往上每一层都比它下面一层少放一根.这垛钢管共放了多少根钢管

?

不一会儿,就有学生举手回答.学生3:由等差数列的通项公式易知,这垛钢管共100层,由图1联想到梯形的面积公式的推导方法,用类似的方法去想.如图2所示,可以看出图2每层均有3+102根,又知共100层,故共有(3+102)×100根.从而得这垛(图1中)钢管的根数为(3+102)×100/2=5250.学生4:我和学生3想的差不多,由图1联想到梯形的面积公式:梯形的面积=(上底+下底)×高2,于是,图1中的钢管数为:(3+102)×1002=5250.(众生羡慕不已,教师也为该生的创造性解法所折服,这个解法出乎意料!但该解法缺乏依据,为了保护学生的积极性,教师未否定)提出问题 解决问题

教师:由问题1及问题2,同学们能想到些什么问题吗?

学生5:由问题1想到能否求:从1一直加到n呢?即

问题3:求1+2+3+„+n=?,(n∈N+).教师:学生5提出了一个较问题1更为一般的问题,谁能说说所谓求1+2+3+„+n=?,(n∈N+),是什么意思?即题中的“?”应当是一个什么样的表达式?

学生6:所谓求1+2+3+„+n=?(n∈N+),就是要想办法消除左式中的“„”号,而将式子中的“?”用n表示出来.(这一环节不容忽视!这样才能弄清题意、弄清解题目标.)

教师:很好!谁能求出其结果?

学生7:仿问题1中学生2的解法,有因为1+2+3+„+n=?③

所以n+(n-1)+(n-2)+„+1=?④

③+④得,(1+n)n=2?,所以?=n(n+1)/2.即1+2+3+„+n=n(n+1)/2.(※)

教师:上述方法是解决这类问题较方便的方法,大家给这种方法起个恰当的名称好吗?(经讨论大家一致同意叫“倒序相加法”.将起名字的任务交给学生,一是为了激发学生的学习热情,促进学生的概括能力和交流能力的提高;二是能加深对这种方法的认识,并为后续内容的学习做准备.)

学生8:问题1和问题2都是求等差数列前n项和问题,最终都是首项与末项的和乘以项数再除以2,因此,我认为等差数列{an}的前n项和Sn的计算公式应为:

Sn=(a1+an)n/2.教师:这只是一个猜想,其正确性有待于证明.学生探索 证明猜想

教师:设等差数列{an}的前n项和为Sn,即Sn=a1+a2+a3+„+an.证明或否定:Sn=n(a1+an)/2.学生9:联想到等差数列{an}通项公式的推导方法,设公差为d,因为S1=1×a1+1×(1-1)/2d,S2=a1+a2=2a1+d=2a1+2(2-1)/2d,S3=a1+a2+a3=3a1+3d=3a1+3(3-1)/2d,S4=a1+a2+a3+a4=4a1+6d=4a1+4(4-1)/2d,„,由此得到Sn=n(a1+an)/2.(由于学生还没有学习数学归纳法,因此,虽不能作为一个完整的证明,但也算是一个好思路.)

学生10:要想确定Sn,首先a1和n是必需的,其次是d或an之一.即计算Sn的表达式中必有a1,n,d(或an).Sn=a1+a2+a3+„+an=a1+(a1+d)+(a1+2d)+„+[a1+(n-1)d]

=na1+[1+2+3+„+(n-1)]d

=na1+[1+(n-1)](n-1)/2d

由公式(*)=na1+n(n-1)/2d(公式一)

=na1+n(n-1)/2×(an-a1)/(n-1)=na1+n(an-a1)/2=n(a1+an)/2.(公式二)

学生11:受问题2,学生3和问题3的倒序相加法的启发,有

Sn=a1+a2+a3+„+an=a1+(a1+d)+(a1+2d)+„+[a1+(n-1)d],⑤

又Sn=an+an-1+an-2+„+a1=[a1+(n-1)d]+[a1+(n-2)d]+[a1+(n-3)d]+„+a1,⑥

⑤+⑥.得2Sn=[2a1+(n-1)d]+[2a1+(n-1)d]+„+[2a1+(n-1)d]=2na1+n(n-1)d.所以Sn=na1+n(n-1)/2d.稍作变形又得,Sn=n(a1+an)2.数形结合 继续探索

教师:由上节课我们知道:等差数列{an}的通项公式是an=a1+(n-1)d,也可以写成an=dn+(a1-d),且知,当d≠0时,它是关于n的一次函数, 因此,表示等差数列{an}的各点(n,an)均在一次函数y=dx+(a1-d)的图象上,是其图象上均匀排开的无穷多个孤立的点.比如图3,试问你能借助图象给出公式Sn=n(a1+an)/2的几何解释吗?

学生12:将图3画成图4所示的“楼梯状”(实线部分)图形,则等差数列{an}中的a1,a2,a3,„,an恰好依次为图4中各个实线小矩形的面积.因此,要求Sn=a1+a2+a3+„+an,相当于求图4中这些实线小矩形的面积之和.受问题2解法的启发,只需再倒置上一个同样的“楼梯状”(虚线部分)图形,如图4.则Sn=1/2S矩形=n(a1+an)/2.教师:不过上述证明仅适合an>0的情况.学生13:因为an=a1+d+d+„+d(看成能力),这样将a1,a2,a3,„,an按纵向排列,使ak排在第k行上,得到一个三角形数阵(如图

5),联想到三角形的面积公式(注意第1列单算)知,Sn=na1+(n-1)2/2d.(☆)

【(☆)式一出,下面立即炸了锅,有的自言自语,有的指着黑板相互交流,个别学生大声说不对吧?】

教师:同学们认为上述解法的问题在哪里?

学生14:(☆)式肯定错了,比如取n=2时,由(☆)式得,S2=2a1+1/2d,当d≠0时,与S2=a1+a2=2a1+d相矛盾.教师:很好!用一个特例否定一个结论是数学中的一种重要方法.学生15:(很激动的样子)我找到原因了!不应当类比三角形的面积公式,而应当类比梯形的面积公式,因为上底长为1(个d),而不是0.所以Sn=na1+[1+(n-1)]×(n-1)/2d=na1+n(n-1)/2d.(问题的症结找到了,问题解决了,师生都松了一口气.但该解法缺乏依据,为了保护学生的积极性,教师仍未否定)

学生16:受问题2的启发,将图5旋转180°所得数阵拼到图5的数阵上得图6,可以看出图6每行有(n-1)个d,又共有n行,所以2Sn=n×2a1+n(n-1)d,所以Sn=na1+n(n-1)/2d.裂项求和 锦上添花

教师:同学们在小学和初中时,曾经做过以下问题:求:1/(1×2)+1/(2×3)+1/(3×4)+„

+1/(99×100).还记得当时是如何计算的吗?

众生:用裂项法,即利用1/[k(k+1)]=1/k-1/(k+1).教师:请同学们思考:等差数列{an}的前n项和可否用裂项法求和呢?请同学们分组讨论.小组1:因为an=[(an+d)2-(an-d)2]/(4d)=1/(4d)(a2n+1-a2n-1)(n≥2),(以下略).(经追问说是受x=[(x+1)2-(x-1)2] /4启发而得.)

小组2:因为an=[(an+d)2-a2n]/(2d)-d/2=[a2n+1-a2n]/(2d)-d/2,(以下略).(经追问说是受(k+1)2-k2=2k+1,变形得k=[(k+1)2-k2)/2-1/2的启发而得.)

小组3:因为2d=an+1-an-1,所以2dan=an+1an-anan-1,所以an=(an+1an-anan-1)/（2d）(n≥2).(以下略).教师:棒极了!用裂项法求和就是将和式中的每一项都分解成两式之差,其关键是所分解成的两式之差,在求和的过程中能达到消项之目的.课堂小结 观点提炼

教师:我们这节课主要发现和证明了等差数列的前n项和公式,共有两个公式,它们之间可以相互转化.同学们能否说一说这两个公式有什么用途吗?

学生:这两个公式共涉及a1,n,d,an,Sn五个量,知道其中的任意3个,则可求另外的2个.教师:在发现和推导公式的过程中,都用到了哪些数学思想方法?

篇7：等比数列前n项和的性质

2.5等比数列前n项和的性质

【使用说明及方法指导】

1、结合问题导学，回归课本48-50页，用红笔勾画出疑惑点，独立完成探究题，总结方法.2、针对预习自学及合作探究找出疑惑点，课上小组讨论交流，答疑解惑.3、带（*）号的2,3,4班可以不做。【学习目标】

1.理解等比数列前n项和的性质，会运用性质解题。2.能用等比数列的知识解决一些综合性问题。【教学重难点】

重点：等比数列前n项和的性质。难点：等比数列的应用。【知识回顾】

等比数列的通项公式：或等比数列n项和公式：或【自学导引】

3、在等比数列an公比为q的前n项和的性质：

等比数列

an

nSnAqA 间隔相等、连续等长的片段和也成等比数列即：sn,s2nsn,s3ns2n,成等比

数列。

注：当 q-1且n为偶数时，sn,s2n

sn,s3ns2n,不是等比数列。

若等比数列的项数为2n，则s偶

s；若项数为2n+1，则奇

s奇-a1

s=。偶

【典型题一】等比数列n项和性质的应用

例

1、在等比数列

an中，s27,s691,求s4的值

变式1：设等比数列

as6n的前n项和为sn，若s3,则s

9s36

例

2、等比数列an共有2n项，其和为-240，且奇数项的和比偶数项的和大80，求公比q

【巩固训练】

1、一个等比数列的前7项和为48，前14项和为60，则前21项为（）

A180B108C75D632、设an是由正数组成的等比数列，sn为其前n项和，已知a2a41,s37,则s5

()

A152B314C33D17

*

3、在公比为整数的等比

42

an中，已知a1a418,a2a412,则a

5a6a7a8

()A480B493C495D498

*

4、已知数列ann的前n项和为sn21,则此数列奇数项的前n项和为()

A1n113(21)B 32n12）C 1322n1D 13

22n2 *

5、已知等比数列

篇8：等比数列等差数列前n项和习题

1高斯算法———千古佳话存局限

“高斯算法”的智慧在于把“不同数的求和问题”转化成了“相同数的求和问题”,策略是“首尾等距配对”.方法的局限性是当项数是奇数个时,无法实现“首尾等距配对”,这一关键问题往往被教学者忽略,事实上可能没有找到更好 的方法予 以突破,只好仁者 见仁[1].

2钢管算法———触及实质不自然

“钢管算法”的本质就是梯形的面积公式的推导过程.“钢管算法”是一个对学生提供感知等差数列前n项和公式的绝好的生活素材,体现了数学来自于生活,数学是自然的,数学是有用的等新课程的理念.“钢管算法”的缺点是“倒 放钢管”的 设计似乎 有些牵强[1].在生活中有谁会“倒放钢管”呢?钢管是堆放的,倒放的住吗?如何想到呢?只好由教师直接告诉学生,学生恍然大悟,佩服老师高明.这样的数学学生能学到手吗?

3棋子算法———文章天成偶得之

以上两种方法的不足,留下了缺憾.为此笔者受古希腊人玩三角形点阵的启发,设计了一种“棋子算法”,现介绍如下:

问题情境小聪和小明坐在桌子两边,模仿古希腊人玩三角形点阵.他们用围棋子替代石子,小聪用黑子,小明用白子,分别摆出了如图1的三角形点阵.

问题1如果小聪摆上100层,共需要多少颗黑棋子?如果小明也摆上100层,共需要多少颗白棋子?

设计意图引出高斯算法,增加知识的趣味性和文化性.本人教学证明学生很容易想到高斯算法,教学趣味盎然.

问题2如果小聪摆上101层,共需要多少颗黑棋子?

设计意图揭示高斯算法方法的 局限性,当项数是奇数个时,无法实现“首尾等距配对”.高斯算法失灵.本人教学中学生想出利用“1+2+3+ … +100”的结果,再加上101;或在“1+2+3+…+100+101”的前面加一个0,实现“首尾等距配对”等方法.可以引导发现“首尾等距配对”没有直接实现,留下了遗憾.能否弥补这一遗憾呢?此时如图2,已有学生自然的想到把小聪和小明的棋子放一块算,可以说是倒序相加法水到渠成了.如果学生还想不到.就给出问题3.

问题3如果小明也摆上101层,共需要多少颗白棋子?可以把小聪和小明的棋子放一块算吗?

设计意图一般来说,这一问题估计用不上.就算用的上,也是自然的,不会再有牵强之感.至此,倒序相加法就很自然的水到渠成了.

问题4求1+2+…+n=?

设计意图用倒序相加法求正整数数列的前n项和,强化对倒序相加法的理解.

问题5为了研究的方便,我们记等差数列{an}的前n项和为Sn,则Sn=a1+a2+a3+… +an-1+an.正整数数列是特殊的等差数列,以上方法对求一般的等差数列前n项和也适用吗?自己研究一下,看可以得出什么结论?

设计意图由特殊到一般,是本节课研究问题的一般方法,及时的把特殊问题中得到的方法应用到一般的问题,是提升学生能力的好时机.本问题一定要舍得花时间,让学生自己去探究,否则效果会大打折扣.

教学预设1用“倒序相加法”求等差数列的前n项和.由

教学预设3公式Sn=n(a1+an)/2的记忆:构造以a1为上底,以an为下底,n为高的梯形求面积.

公式Sn=na1+n(n-1)d/2的记忆:把以a1为上底,以an为下底,n为高的梯形划分成一个以a1为一边,n为一边的一个平行四边形,和一个以(n-1)d为一边,以n为高的等腰三角形,然后求面积和.

本人的教学效果证明以上设计确实弥补了高斯算法和钢管算法中的遗憾.

篇9：等比数列等差数列前n项和习题

教学是师生共同参与的活动过程，在这个过程中，教师是活动的主导，学生是活动的主体，教师的主导要为学生主体达到学习目标服务，也就是就教师在使用讲授法的同时，必须辅之以指导学生亲自探究、发现、应用等活动，为学生思维指路搭桥。通过学生自主的尝试活动，使他们在感知的基础上有效地揭示知识的内在联系，从而使学生获取知识，提高能力，本堂课的设计正是以这个原则为主旨的。

二、学生情况与教材分析

1.学生通过上一节的学习，大部分学生知识经验已较为丰富，他们的智力发展已到了形式运演阶段，具备了较强的抽象思维能力和演绎推理能力，但也有一部分学生的基础较弱，学习数学的兴趣还不是很浓，我在授课时注重从具体的生活实例出发，注重引导、启发、研究和探讨以符合这类学生的心理发展特点。

2.几何能直观地启迪思路，帮助理解，特别是对于职中类学生，他们对知识的理解还是处于模糊阶段，因此，借助几何直观学习来理解数学，是数学学习中的重要方面。

3.本课要求学生通过自主地观察、讨论、归纳、反思来参与学习，认识和理解数学知识，学会发现问题并尝试解决问题，在学习活动中进一步提升自己的能力。

三、教学目标

1.知识目标

（1）了解等差数列前n项和的定义，了解逆项相加的原理，理解等差数列前n项和公式推导的过程，记忆公式的两种形式。

（2）用方程思想认识等差数列前n项和的公式，利用公式求和；等差数列通项公式与前n项和的公式两套公式涉及五个字母，已知其中三个量求另两个值。

（3）会利用等差数列通项公式与前n项和的公式研究前n项和的最值。

2.能力目标

（1）通过公式的探索、发现，在知识发生、发展以及形成过程中培养学生观察、联想、归纳、分析、综合和逻辑推理的能力。

（2）利用以退求进的思维策略，遵循从特殊到一般的认知规律，让学生在实践中通过观察、尝试、分析、类比的方法导出等差数列的求和公式，培养学生类比的思维能力。

（3）通过对公式从不同角度、不同侧面的剖析，培养学生思维的灵活性，提高学生分析问题和解决问题的能力。

3.情感目标

（1）公式的发现反映了普遍性寓于特殊性之中，从而使学生受到辩证唯物主义思想的熏陶。

（2）通过公式的运用，树立学生“大众教学”的思想意识。

（3）通过生动具体的现实问题，令人着迷的数学史，激发学生探究的兴趣和欲望，树立学生求真的勇气和自信心，增强学生学好数学的心理体验，产生热爱数学的情感。

四、教学重点、难点

重点：等差数列前n项和公式。

难点：获得等差数列前n项和公式推导的思路。

五、教学方法

启发引导、交流讨论、合作探究。

六、教具准备

现代教育多媒体技术。

七、教学流程图

八、教学过程

1.引入新课

（1）复习

师：上一节课中，我们学习了等差数列的定义及通项公式，知道了“公差d=______，通项公式an=______”（见黑板）

生1：（回答黑板上的问题）

（2）故事引入

师：那等差数列的前n项和怎样求？今天，我们主要探讨等差数列的前n项和公式。说起数列求和，我由地想起德国伟大的数学家高斯“神述求和”的故事。高斯在上小学四年级时，老师出了这样一道题“1+2+3…+99+100”高斯稍微想了想就得出了答案。下面给同学们一点时间来挑战高斯。

生2：5050

师：看来我们班还是有不少高斯的。继续努力，说不定将来也成了数学家。下面请这位同学说一说是怎样算出来的。

生3：（说明如何进行首尾配对进行求和的。）

师：根据等差数列的特点，首尾配对求和的确是一种巧妙的方法。不过，对于以下的题，“例：求等差数列8、5、2…的前20项的和（见课件）”这种方法可就没那么方便了。因此我们非常迫切地需要推导出等差数列的前n项和公式。

2.合作学习，探求新知

师：下面我们从一个稍稍简单一点的等差数列来推导探讨等差数列的前n项和公式。

（学生观察幻灯片上以等差数列逐层排列的一堆钢管。）

师：如何求？

生4：利用刚才的方法.（略）

师：想一想，除了刚才的首尾配对求和的方法外，还有没有其他的方法呢？

（课件演示：引导学生设想，如果将钢管倒置，能得到什么启示）

生5：每一层都和上一层是一样多的。一共有8层，所以为8×（4+11），但一共有两堆，所以为S8=

师：那如果如下图所示共有n层，第一层为a1，第n层为an，请大家来猜想一下这个呈等差数列排列的钢管的总和Sn等于多少？

生6：Sn=

解:钢管的数量为:S8=

等差数列前n项求和公式:Sn=

师：这个猜想对不对呢？下面我们用所学过的知识一起来证明一下。

板书：Sn=a1+a2+a3+…+an

即Sn=a1+（a1+d）+（a1+2d）+…+［a1+（n-1）d］

把上式的次序反过来又可以写成：

Sn=an+（an-d）+（an-2d）+…+［an+（n-1）d］

两式相加：

2Sn=（a1+an）+（a1+an）+…（a1+an）=n（a1+an）

所以Sn=

看来，我们的猜想是正确的。下面我们做几道练习来熟悉一下公式。

3.合作学习，巩固并探求新知

学生练习一：（1）在等差数列｛an｝中，已知a1=1，a10=8，求S10.

（2）求正整数列是前1000个数的和;

学生小组合作练习，分组进行交流。

师：看来，大家对公式的掌握还是不错的。下面，我们再来看一道练习。

学生练习二：在等差数列｛an｝中，a1=1，d=-2已知a1=1，d=-2，求S10；

学生思考，并讨论解答。

学生讲解如何进行求解这题。

师：刚才那道题给出了a1，d和n=10，a10没有给出，但我们一样可以将S10求出，

那我们能不能直接由a1，d和n，得到an呢？

学生根据求和公式一和通项公式导出公式二：Sn=na1+d

学生练习三：求正整数中前500个偶数的和（用多种方法求解）。

学生讨论解答此题，并请学生上台讲解。

4.总结

师：今天，大家学得不错。下面我们再来回顾一下本堂课的内容。今天我们主要倒序相加的方法推导了等差数列前n项和公式一，并结合等差数列通项公式二推导出等差数列前n项和公式二，希望同学们在今后的解题要灵活运用这两个公式。

5.教学反思

篇10：等比数列前n项和练习一

1.数列111

2，4，8，…的前10项和等于()A.1B.5111023D.11024 512C.1024512

2.已知Sn是等比数列{an}的前n项和，a5＝－2，a8＝16，则S6等于()A.21B．－2117D．－1788C.88

3.在等比数列{an}中，公比q＝－2，S5＝44，则a1的值为()A．4B．－4C．2D．－2

4.在等比数列{a＝8，q＝11

n}中a12，an＝2，则Sn等于()

A．31B.31

2C．8D．15

5.设S}的前n项和，8a0，则Sn为等比数列{an2＋a5＝S2

＝()

A．11B．5C．－8D．－116.已知数列{an}为等比数列，Sn是它的前n项和，若a2·a3＝2a1，且a4与2a7 的等差中项为5

4S5＝()A．35B．33C．31D．29

7.在等比数列{a＝1

n}中，q2S5＝2，则a1等于________

8.等比数列{an}中，a2＝9，a5＝243，数列{an}的前4项之和为 9.设等比数列{an}的前n项和为Sn.若a1＝1，S6＝4S3，则a4＝__________ 10.在等比数列{an}中，a3＝－12，前3项和S3＝－9，求公比q.11.等比数列{an}的前n项和为Sn，已知S1，S3，S2成等差数列．

(1)求{an}的公比q；(2)若a1－a3＝3，求Sn.12.已知等比数列an中，a2=2,a5=128(1)求通项an

篇11：等差数列前n项和教案设计

设计人：杨峰烁

【背景分析】

本节课教学内容是高中课程标准实验教科书必修5（人教B版）中第二章的第二节第二课时的内容．本节课主要研究如何应用倒序相加法求等差数列的前n项和以及该求和公式的应用．等差数列在现实生活中比较常见，因此等差数列求和就成为我们在实际生活中经常遇到的一类问题．同时，求数列前n项和也是数列研究的基本问题，通过对公式推导，可以让学生进一步掌握从特殊到一般的研究问题方法．

【学情分析】

学生已经学习了等差数列的定义及通项公式，有了一定的准备知识，但对等差数列的求和的方法和公式还是一无所知。针对学生的认知规律，本节课采取了自主、合作、探究的教学方式，以问题解答的形式，通过分析、讨论、归纳、探索而获得知识，为学生积极思考、自主探究搭建了理想的平台，让学生去感悟倒序相加法的使用范围.【设计理念】

让学生在具体的问题情境中经历知识的形成和发展，让学生利用自己的原有认知结构中相关的知识与经验，自主地在教师的引导下促进对新知识的建构，因为建构主义学习理论认为，学习是学生积极主动地建构知识的过程．在教学过程中，根据教学内容，从介绍高斯的算法开始，探究这种方法如何推广到一般等差数列的前n项和的求

法．通过设计一些从简单到复杂，从特殊到一般的问题，层层铺垫，组织和启发学生获得公式的推导思路，并且充分引导学生展开自主、合作、探究学习，通过生生互动和师生互动等形式，让学生在问题解决中学会思考、学会学习．

【教学目标分析】

1.理解等差数列前n项和公式的推导过程；掌握并能熟练运用等差数列前n项和公式；了解倒序相加法的原理；

2.通过公式的推导过程，体验从特殊到一般的研究方法，渗透函数思想与方程（组）思想，培养观察、归纳、反思的能力；通过小组讨论学习，培养合作交流、独立思考等良好的个性品质.【教学重点和难点】

本节教学重点是探索并掌握等差数列前n项和公式，学会用公式解决一些实际问题；难点是等差数列前n项和公式推导思路的获得.【教学过程】

一、【古文共赏】

让学生们猜测问题与本节课的联系，此问题如果不能解决，学完本节后，看是否能解决。

[设计意图]：

引入一个中国古代的数列求和问题，通过悬疑的方式调动学生的好奇心，激发学生的学习兴趣。

[简要实录]：

学生思考这个问题与这节课学习内容的联系，教师简略介绍一下

北朝张丘建。引导同学们可先粗略发言发表自己的意见。

二、【温故知新】

学生准备好作业本，让两个学生在黑板上板演，教师说检测内容。①等差数列的通项公式②等差中项③等差数列的性质 [设计意图]：

检查学生上节知识的掌握情况，为新课的学习做好铺垫.[简要实录]：

2分钟后，一起批阅黑板同学的默写情况，下面的小组成员间互相检查、更正。老师视情况指正。

三、【高斯王子】

讲述数学王子高斯的故事，并自然提出高斯九岁时做出的题目。让同学们思考解决这个题目的方法有哪些？那个是最简便的呢？

[设计意图]：

用伟人的故事，让他们积极参与到课堂中来，同时培养他们的发散思维，培养他们一题多解的解题习惯。

[简要实录]：

学生们踊跃回答这个问题，并给出了两种解决这个问题的方法。老师再深入问学生哪种方法更简便呢？然后再引导学生，这个数列是不是我们刚学习的等差数列呢？学生经过观察发现，这是一个首项为1，公差为1，末项为100的等差数列。于是老师提出下一个问题。

四、【自主尝试】

求下面的这些钢管的数量总数，让同学们用刚才的计算方法来求

解。让学生先做好充足的准备，然后到黑板叙述板演计算过程。

[设计意图]：

进一步熟悉首尾相加的方法，慢慢为引入倒序相加作更进一步的准备。

[简要实录]：

学生先思考3分钟。然后让学生上黑板板演，然后和下面学生一起讲解自己的思考和计算思路。后一起评价，更正。鼓励学生，大胆面对成功和失败，大胆上台表现自己。

五、【知识迁移】

通过以上两个题目的解答，先让学生自己思考求等差数列前n项和的方法。并说明本节的一个重点学习内容倒序相加法。

[设计意图]：

独立推导等差数列的前n项和，加强对公式的记忆，熟练倒序相加的方法，让同学们在独立，讨论中提升自己。

[简要实录]如果有同学不能独立思考出，过3分钟后，可小组讨论。后让学生到黑板板演过程。并等同学们基本解决完毕，一起由学生解析讲解该问题。同学们提出自己的意见并对黑板学生作出更正。老师可视情况作出更精确的评价。

六、【公式记忆】

对比梯形公式，记忆等差数列的前n项和公式。通过联系的方法，用熟悉的旧知识快速记住新内容。

[设计意图]：

用新旧知识的联系来达到记忆公式的目的。通过图形的直观性来加强公式记忆。

[简要实录]：

同学们推导完等差数列的前n项和公式后，再仔细观察，引导他们察看公式的形式，引出梯形的面积公式与其所有的异曲同工之妙。并再书写公式，记住公式。老师作重点符号，强调两公式的重要性。

七、【始题释疑】

回头将最开始引入的问题再来解决。看看是否能用刚学习的知识来解答出来。并鼓励学生向古代的人学习，要善于观察生活，用数学解决生活中出现的问题。

[设计意图]：

这样做到首尾回应，整个课堂不偏离且围绕教学的主要内容，但又具有故事性和创造性。

[简要实录]：

先给学生3分钟时间考虑，然后由学生说出解答的思路，后学生在作业本上写出整个问题的步骤，后再师生一起更正修订。让学生思考，就得给学生时间，然后课下，再上交作业本，看学生在课上的习题完成情况。

八、【公式小结】

让学生自主完成等差数列前n项和sn的第二个公式的推导。观察这两个公式的相同点和不同点。找出相关量。弄明白这两公式之间的联系。并记住和能应用该公式。

[设计意图]：

通过联系的记忆方法，帮助同学们达到快速记忆的效果。找到相关量，面对不同的已知条件选择不同的公式。达到公式的熟练记忆和应用。

[简要实录]：

同学们已经学了等差数列的通项公式。可是，在通项中，我们的书已知条件是首项，公差或是其中的某一项。那么在这个公式中，只有末项，如何将其变形，然后直接运用公式求解呢？学生会想通项公式与些数列的联系，自然地将另一求和公式推导出来。并且看到了这两个公式的区别。

由同学们自己在作业本上推导，并找一同学黑板板演。在3分钟的时间内，仔细观察出现的四个量。对黑板的同学更正修订。老师再作小结，记忆公式。

九、【习题设计】

本课习题设计分了三等。是课本习题的精选。

一是基本知识。通过直接套用公式，来熟悉和使用公式。这里设计了两个题目，分别用了两个公式求和法。

二是自主尝试。这是对公式有个大致应用后的一个针对练习。这里加了与通项相联系的题目，达到对这三个公式间的互换和选择。

三是问题提升。这里综合考查学生对数列的整体把握情况。对求通项、项数、数列和的能力的训练。

[设计意图]：

1、通过不同梯度的习题，让学生有一个掌握问题的逐步适应过程，也能够从习题中更明白两个求和公式的应用。

2、通过解决问题，学会方程思想解决数列问题。

3、培养学生通过给出的问题，来观察问题中的已知条件并能快速判断选择哪个公式的能力。

[简要实录]：

先由学生在作业本上自行解出合作探究部分。做完后小给间讨论然后学生起来说出正确答案。老师给予指正和评价。并要注意具体的详解步骤。然后再由学生板演自主尝试部分的习题。下面的学生在作业本上一并做出。教师在教室内环转，以发现学生的不足和优点。并在给指正时，给予重点指出或是鼓励。然后学生下台，一起更正。最后的问题升华，给学生的时间要多一些，同学们先读题目，然后再自己思考3分钟，然后再讨论，再可以自行解决，在作业本上写上详细过程。后再将学生的作业投影，发现问题，解决问题。发现优点，放大优点。

教师小结这些题中存在的问题。并再由学生叙述解决这类问题的规律。帮他们确定知三求二的规律。

十、【课堂小结】

用框架的形式整理本节内容，重点突出，关系明确。[设计意图]：

将本节内容整理：将厚书读薄，将问题梳理，将知识联系。[简要实录]：

学生回忆本节内容作大致阐述。然后精抓问题实质，突出本节重

点。力求不累赘，不拖沓，力求明明白白，清清楚楚。

十一、【课后作业】

课后作业分选做和必做两种。针对学生的学习差异而设计。[设计意图]：

加上了趣味小故事，让学生在思考中学习，在学习中成长，在成长中，树立正确的学习观和对数学史的认识。思考题目，是为了下节课的学习而做的准备。让他们大致了解老师下节要讲的内容主向。

【教学反思】

“等差数列前n项和”的推导不只一种方法，本节课是通过介绍高斯的算法，探究这种方法如何推广到一般等差数列的求和．该方法反映了等差数列的本质，可以进一步促进学生对等差数列性质的理解，而且该推导过程体现了人类研究、解决问题的一般思路．本节课教学过程的难点在于如何获得推导公式的“倒序相加法”这一思路．为了突破这一难点，在教学中采用了以问题驱动的教学方法，设计的问题体现了分析、解决问题的一般思路，即从特殊问题的解决中提炼方法，再试图运用这一方法解决一般问题．在教学过程中，通过教师的层层引导、学生的合作学习与自主探究，尤其是借助图形的直观性，学生“倒序相加法”思路的获得就水到渠成了．

《等差数列前n项和》教学设计二

设计人：杨峰烁

教材分析

等差数列的前ｎ项和是数列的重要内容，也是数列研究的基本问题．在现实生活中，等差数列的求和是经常遇到的一类问题．等差数列的求和公式，为我们求等差数列的前ｎ项和提供了一种重要方法． 教材首先通过具体的事例，探索归纳出等差数列前ｎ项和的求法，接着推广到一般情况，推导出等差数列的前ｎ项和公式．为深化对公式的理解，通过对具体例子的研究，弄清等差数列的前ｎ项和与等差数列的项、项数、公差之间的关系，并能熟练地运用等差数列的前ｎ项和公式解决问题．这节内容重点是探索掌握等差数列的前ｎ项和公式，并能应用公式解决一些实际问题，难点是前ｎ项和公式推导思路的形成． 教学目标

1.通过等差数列前ｎ项和公式的推导，让学生体验数学公式产生、形成的过程，培养学生抽象概括能力．

2.理解和掌握等差数列的前ｎ项和公式，体会等差数列的前ｎ项和与二次函数之间的联系，并能用公式解决一些实际问题，培养学生对数学的理解能力和逻辑推理能力．

3.在研究公式的形成过程中，培养学生的探究能力、创新能力和科学的思维方法． 任务分析

这节内容主要涉及等差数列的前ｎ项公式及其应用．

对公式的推导，为便于学生理解，采取从特殊到一般的研究方法比较适宜，如从历史上有名的求和例子1＋2＋3＋……＋100的高斯算法出发，一方面引发学生对等差数列求和问题的兴趣，另一方面引导学生发现等差数列中任意的第ｋ项与倒数第ｋ项的和等于首项与末项的和这个规律，进而发现求等差数列前ｎ项和的一般方法，这样自然地过渡到一般等差数列的求和问题．对等差数列的求和公式，要引导学生认识公式本身的结构特征，弄清前ｎ项和与等差数列的项、项数、公差之间的关系．为加深对公式的理解和运用，要强化对实例的教学，并通过对具体实例的分析，引导学生学会解决问题的方法．特别是对实际问题，要引导学生从实际情境中发现等差数列的模型，恰当选择公式．对于等差数列前ｎ项和公式和二次函数之间的联系，可引导学生拓展延伸． 教学设计

一、问题情景

1.在200多年前，有个10岁的名叫高斯的孩子，在老师提出问题：“1＋2＋3＋…＋100＝？”时，很快地就算出了结果．他是怎么算出来的呢？他发现1＋100＝2＋99＝3＋97＝…＝50＋51＝101，于是1＋2＋…＋100＝101×50＝5050．

2.受高斯算法启发，你能否求出1＋2＋3＋…＋ｎ的和． 3.高斯的方法妙在哪里呢？这种方法能否推广到求一般等差数列的前ｎ项和？

二、建立模型

1.数列的前ｎ项和定义

对于数列｛ａn｝，我们称ａ1＋ａ2＋…＋ａn为数列｛ａn｝的前ｎ项和，用Sn表示，即Sn＝ａ1＋ａ2＋…＋ａn． 2.等差数列的求和公式

（1）如何用高斯算法来推导等差数列的前ｎ项和公式？ 对于公差为ｄ的等差数列｛ａn｝：

Sn＝ａ1＋（ａ1＋ｄ）＋（ａ1＋2ｄ）＋…＋［ａ1＋（ｎ—1）ｄ］，①

依据高斯算法，将Sn表示为Sn＝ａn＋（ａn—ｄ）＋（ａn—2ｄ）＋…＋［ａn—（ｎ—1）ｄ］．

②

由此得到等差数列的前ｎ项和公式

小结：这种方法称为反序相加法，是数列求和的一种常用方法．（2）结合通项公式ａn＝ａ1＋（ｎ—1）ｄ，又能得怎样的公式？

（３）两个公式有什么相同点和不同点，各反映了等差数列的什么性质？

学生讨论后，教师总结：相同点是利用二者求和都须知道首项ａ1和项数ｎ；不同点是前者还须要知道ａn，后者还须要知道ｄ．因此，在应用时要依据已知条件合适地选取公式．公式本身也反映了等差数列的性质：前者反映了等差数列的任意的第ｋ项与倒数第ｋ项的和都等于首、末两项之和，后者反映了等差数的前ｎ项和是关于ｎ的没有常数项的“二次函数”．

三、解释应用 ［例 题］

1.根据下列各题中的条件，求相应的等差数列｛ａn｝的前ｎ项和Sn．

（1）ａ1＝ —4，ａ8＝ —18，ｎ＝8．（2）ａ1＝14．5，ｄ＝0.7，ａn＝32． 注：恰当选用公式进行计算．

2.已知一个等差数列｛ａn｝前10项的和是310，前20项的和是1220．由这些条件能确定这个等差数列的前ｎ项和的公式吗？ 分析：将已知条件代入等差数列前ｎ项和的公式后，可得到两个关于ａ1与ｄ的关系式，它们都是关于ａ1与ｄ的二元一次方程，由此可以求得ａ1与ｄ，从而得到所求前ｎ项和的公式． 解：由题意知

注：（1）教师引导学生认识到等差数列前ｎ项和公式，就是一个关于ａn，ａ1，ｎ或者ａ1，ｎ，ｄ的方程，使学生能把方程思想和前ｎ项和公式相结合，再结合通项公式，对ａ1，ｄ，ｎ，ａn及Sn这五个量知其三便可求其二．

（2）本题的解法还有很多，教学时可鼓励学生探索其他的解法．例如，3.2000年11月14日教育部下发了《关于在中小学实施“校校通”工程的通知》．某市据此提出了实施“校校通”工程的总目标：从2001年起用10年的时间，在全市中小学建成不同标准的校园网．据测算，2001年该市用于“校校通”工程的经费500万元．为了保证工程的顺利实施，计划每年投入的资金都比上一年增加50万元．那么从2001年起的未来10年内，该市在“校校通”工程中的总投入是多少？ 教师引学生分析：每年“校校通”工程的经费数构成公差为５０的等差数列．问题实质是求该数列的前10项的和．

解：根据题意，从2001～2010年，该市每年投入“校校通”工程的经费都比上一年增加50万元．所以，可以建立一个等差数列｛ａn｝，表示从2001年起各年投入的资金，其中，ａ1＝500，ｄ＝50． 那么，到2010年（ｎ＝10），投入的资金总额为

答：从2001～2010年，该市在“校校通”工程中的总投入是7250万元．

注：教师引导学生规范应用题的解题步骤．

4.已知数列｛ａn｝的前ｎ项和Sn＝ｎ2＋ｎ，求这个数列的通项公式．这个数列是等差数列吗？如果是，它的首项与公差分别是什么？ 解：根据

由此可知，数列｛ａn｝是一个首项为，公差为2的等差数列．

思考：一般地，数列｛ａn｝前ｎ项和Sn＝Aｎ2＋Bｎ（A≠０），这时｛ａn｝是等差数列吗？为什么？ ［练习］

1.一名技术人员计划用下面的办法测试一种赛车：从时速10ｋｍ／ｈ开始，每隔2ｓ速度提高20ｋｍ／ｈ．如果测试时间是30ｓ，测试距离是多长？

ｎ2＋2.已知数列｛ａn｝的前ｎ项的和为Sn＝个数列的通项公式．

ｎ＋4，求这3.求集合M＝｛ｍ｜ｍ＝2ｎ—1，ｎ∈N*，且ｍ＜60｝的元素个数，并求这些元素的和．

四、拓展延伸

1.数列｛ａn｝前ｎ项和Sn为Sn＝pn2＋qn＋ｒ（ｐ，ｑ，ｒ为常数且ｐ≠０），则｛ａn｝成等差数列的条件是什么？

2.已知等差数列5，4，3，…的前ｎ项和为Sn，求使Sn最大的序号ｎ的值．

分析1：等差数列的前ｎ项和公式可以写成Sn＝ｎ2＋（ａ1－）ｎ，所以Sn可以看成函数ｙ＝x2＋（ａ1－）ｘ（ｘ∈N*）．当ｘ＝ｎ时的函数值．另一方面，容易知道Sn关于ｎ的图像是一条抛物线上的一些点．因此，我们可以利用二次函数来求ｎ的值．

解：由题意知，等差数列5，4，3，…的公差为－，所以

于是，当ｎ取与最接近的整数即7或8时，Sn取最大值． 分析2：因为公差ｄ＝ －＜０，所以此数列为递减数列，如果知道从哪一项开始它后边的项全为负的，而它之前的项是正的或者是零，那么就知道前多少项的和最大了．即使点 评

然后从中求出ｎ．

这篇案例从具体的实例出发，引出等差数列的求和问题，在设计上，设计者注意激发学生的学习兴趣和探究欲望，通过等差数列求和公式的探索过程，培养学生观察、探索、发现规律、解决问题的能力． 对例题、练习的安排，这篇案例注意由浅入深，完整，全面．拓展延伸的设计有新意，有深度，符合学生的认识规律，有利于学生理解、掌握这节内容．