中考二次函数的最值

中考二次函数的最值（精选11篇）

篇1：中考二次函数的最值

丰林中学 任志库

一、教学目标

（一）知识与技能

1、会通过配方或公式求出二次函数的最大或最小值；

2、在实际应用中体会二次函数作为一种数学模型的作用，会利用二次函数的性质求实际问题中的最大或最小值；

（二）过程与方法

通过实例的学习，培养学生尝试解决实际问题，逐步提高分析问题、解决问题的能力，培养学生用数学的意识。

（三）情感态度价值观

1、使学生经历克服困难的活动，在数学学习活动中获得成功的体验，建立学好数学的信心；

2、通过对解决问题过程的反思，获得解决问题的经验和获得新的思想知识的方法，从而体会熟悉活动中多动脑筋、独立思考、合作交流的重要性。

四、教学重点与难点

1、教学重点：实际问题中的二次函数最值问题。

2、教学难点：自变量有范围限制的最值问题。

二、课堂教学设计过程

（一）复习导入 以旧带新

1、二次函数的一般形式是什么？并说出它的开口方向、对称轴、顶点坐标。

2、二次函数y=－x²+4x－3的图象顶点坐标是（）

当x

时，y有最

值，是______。

3、二次函数y=x²+2x-4的图象顶点坐标是（）当x

时，y有最

值，是______。

分析：由于函数的自变量的取值范围是全体实数，所以只要确定他们的图像有最高点或最低点，就可以确定函数有最大值或最小值。

设计意图：复习与本节课有关的知识，可充分调动学生思维的积极性，又为新课做好准备。

（二）创设情境，导入新课

1、试一试：

1.有长为30米得篱笆，利用一面墙（墙的长度不超过10米），围成中间隔有一道篱笆（平行于BC）的矩形花圃。设花圃的一边BC为x米，面积为y平方米。

（1）求y与x的函数关系式；

（2）能否使所围矩形花圃的面积最大？如果能，求出最大的面积；如果不能，请说明理由。设计意图：让学生从已学的用配方法或公式法求二次函数的最值，在教学时，可让学生充分讨论、发言，培养学生的合作探究精神，可让学生感受到成功的喜悦。

2。直击中考：

例2.某商店购进一批单价为20元的日用品,如果以单价30元销售,那么一个月内可以售出400件.根据销售经验,提高单价会导致销售量的减少,即销售单价每提高1元,销售量相应减少20件.售价提高多少元时,才能在一个月内获得最大利润? 分析：解决实际问题时，应先分析问题中的数量关系，列出函数关系式，求出自变量的取值范围，结合图像和二次函数的性质求w的最大值。

（四）课堂练习，见导学案

（五）课堂小结，回顾提升

本节课我们研究了二次函数的最值问题，主要分两种类型：

（1）如果自变量的取值范围是全体实数，那么函数在顶点处取最值；

（2）如果自变量的取值范围不是全体实数，要根据具体范围加以分析，结合函数图像的同时利用函数的增减性分析题意，求出函数的最大值或最小值。

另：当给出了函数的一般形式时，不管自变量是否受限制，常常要配方化为顶点式来求最值问题。

（六）布置作业，

篇2：中考二次函数的最值

雷州市第一中学 徐晓冬

一、知识要点

对于函数fxax2bxca0，当a0时，fx在区间R上有最 值，值域为。当a0时，fx在区间R上有最 值，值域为。

二、典例讲解

例

1、已知函数fxx2x2，（1）、若x2,0，求函数fx的最大值和最小值。（2）、若x1,1，求函数fx的最大值和最小值。（3）、若x0,1，求函数fx的最大值和最小值。

例

2、已知函数fxx2x2，xt,t1，求函数fx的最小值。

变式

1、已知函数fxx2x2，xt,t1，求函数fx的最大值。

点评：本题属于二次函数在动区间上的最值问题，由于二次函数的对称轴是固定的，区间是变动的，属于“轴定区间动”，由于图象开口向上，所以求最小值1要根据对称轴x与区间t,t1的位置关系，分三种情况讨论；最大值在端2点取得时，只须比较ft与ft1的大小，按两种情况讨论即可，实质上是讨论对称轴位于区间中点的左、右两种情况.例

3、已知函数fxx22mx2，x1,2，求函数fx的最小值和最大值。

例

4、已知函数fxmx2x2，x1,2，求函数fx的最小值和最大值。点评：二次函数最值与抛物线开口方向，对称轴位置，闭区间三个要素有关。求最值常结合二次函数在该区间上的单调性或图象求解，在区间的端点或二次函数图象的顶点处取得最值。

三、练习

1、已知函数fxx26x8，x∈[1，a]的最小值为f(a)，则实数a的取值范围是______________。

2、已知二次函数fxx22ax1a在区间[0,1]上有最大值为2，求实数a的值．

3、已知函数y4x24axa22a在区间0,2上有最小值3，求a的值。

4、若fx12a2acosx2sin2x的最小值为ga。（1）、求ga的表达表；（2）、求能使ga

5、已知fx43ax22xaaR，求f(x)在[0,1]上的最大值．

篇3：二次函数在闭区间上的最值问题

一、定轴定区间

例1.已知函数f (x) =2x2+x-3, 求f (x) 在[-1, 2]上的最值。

解析:这里f (x) 图象 (抛物线) 开口向上, 对称轴, 且, 故

评注:例1中函数的对称轴确定, 区间也确定, 因而最值也是确定的。求解的关键是判断图象的开口方向及对称轴的位置 (即对称轴在不在给定的区间内) 。

一般的, 二次函数f (x) =ax2+bx+c (a>0) 在闭区间[p, q]上的最值可能出现以下三种情况:

(1) 若则f (x) 在区间[p, q]上是增函数, 则

(3) 若则f (x) 在区间[p, q]上是减函数, 则

二、定轴动区间

例2.设函数f (x) =x2-2x-1在区间[t, t+1]上的最小值是g (t) , 求g (t) 的解析式。

解析:由题意, f (x) = (x-1) 2-2, 则:

(1) 当t>1时, f (x) 在[t, t+1]上是增函数, 故g (t) =f (x) min=f (t) =t2-2t-1。

(2) 当1∈[t, t+1], 即0≤t≤1时, g (t) =f (x) min=f (1) =-2。

(3) 当t+1<1, 即t<0时, f (x) 在[t, t+1]上是减函数, 故

评注:例2中函数的对称轴给定, 定义区间因含参数而位置不定, 故求解方法是依对称轴与区间的位置分三种情形讨论。

三、动轴定区间

例3.已知函数f (x) =x2+ax+3-a, 若x∈[-2, 2]时, f (x) ≥0恒成立, 求实数a的取值范围。

解析:本题即求在[-2, 2]上, f (x) 的最小值非负时实数a的取值范围。

由, 则讨论如下:

(1) 当, 即a>4时, f (x) 在[-2, 2]上是增函数, 则f (x) min=f (-2) =7-3a≥0, 得, 这与a>4矛盾, 舍去。

(2) 当-2≤-2a≤2, 即-4≤a≤4时, , 得-6≤a≤2, 从而可得-4≤a≤2。

(3) 当, 即a<-4时, f (x) 在[-2, 2]上是减函数, 则f (x) min=f (2) =7+a≥0, 得a≥-7, 又a<-4, 从而-7≤a<-4。

综上, 实数a的取值范围是[-7, 2]。

评注:例3中的函数区间确定, 而对称轴含参数不确定, 从而仍按对称轴与区间的三种位置关系讨论。

四、动轴动区间

例4.已知y2=4a (x-a) (a>0) , 求f (x) = (x-3) 2+y2的最小值。

解析:将y2=4a (x-a) 代入f (x) 中,

得f (x) = (x-3) 2+4a (x-a) =[x- (3-2a) ]2+12a-8a2, x∈[a, +∞)

(1) 当3-2a≥a, 即0<a≤1时, f (x) min=f (3-2a) =12a-8a2。

(2) 当3-2a<a, 即a>1时, f (x) min=f (a) = (a-3) 2。

评注:例4中的函数不定, 区间亦不定, 同样是按对称轴关于区间位置分情况讨论。

总之, 二次函数在闭区间上的最值, 受限于对称轴与区间的相对位置关系, 特别是其中的含参数最值问题, 注意“定”“动”结合, 合理突破, 所以, 分类讨论常常成为解决此类问题的通法。

摘要：二次函数 (fx) =ax2+bx+c (a≠0) 在闭区间[p, q]上的最值问题实质是利用函数的单调性, 就对称轴与区间的“定”“动”关系, 分类解析

篇4：二次函数的最值问题研究

一、 定轴动区间

点评：通过以上两个例题发现：区间的长度不变，但由于区间位置的移动，影响二次函数的最值.那为什么求最值有时分三种情况讨论，有时候分两种情况讨论呢？通过观察发现：二次函数的最值总是在区间的端点或二次函数的顶点取到.在例1中，二次函数开口向上，最值在两个端点或函数顶点都可能取到，所以分三种情况讨论；而在例2中，最大值不可能在函数顶点时取得，只有可能在两个端点处取得，所以通过端点与区间中点距离的远近分两种情况来讨论.

点评：在例4中，是二次函数的开口方向和对称轴都在变化，区间不变的最值问题；在例5中，先转化为分段函数，两题都是再根据对称轴与区间的位置关系进行分类讨论即可.在求最值时，分类是关键，结合图形去确定最值比较直观，但对学生的画图能力要求较高.在求二次函数动轴定区间的最值问题时，本质还是研究对称轴与区间的位置关系.

三、 动轴动区间

反思：本题是变轴变区间的类型，仍然从轴与区间的位置关系入手展开讨论.

通过以上几个例题，对于可化为二次函数在某区间上的最值问题，基本分为动轴定区间、定轴动区间以及动轴动区间，三种题型解题思路都可以从二次函数的开口方向，对称轴与区间的位置关系来进行讨论.讨论时要理清思路，必要时画出草图，借助数形结合，可以清晰地进行分类并解决问题.

篇5：二次函数的最值问题教案

班级：莘庄职校03级（4）班

2003/12/4 [教学目标]1、2、3、4、使学生掌握二次函数在给定区间上最值的理论和方法。引入数形结合和分类讨论的思想。

培养学生敏锐的观察能力，运算准确性，思维的灵活性，培养学生发现问题的创新意识，探索问题的创新精神以及多层次，多角度思考问题的创新思维。[教学重点、难点] 重点：当区间端点不定时，讨论二次函数最值问题。难点：分类讨论思想的正确运用。[教学过程]

一、知识回顾

1、二次函数概念：形如yax2bxc(a0)的函数叫一元二次

函数。

bb4acb2)

其中对称轴为x，顶点坐标为(,2a2a2a2、图象性质

（动画演示）

（1）单调性（2）最值

二、问题探究

例题：求函数f(x)x22x1在下列区间最大值和最小值。（动画演示）

（1）R

f(x)minf(1)

（2）[-2，2]

f(x)minf(1)

f(x)maxf(2)

（3）[1，3]

f(x)minf(1)

f(x)maxf(3)

5（4）[-2，]

45f(x)minf()

f(x)maxf(2)

41f(2)

[-2，]

f(x)minf(1)

f(x)max31[-2，]

3f(x)minf(1)

f(x)ma1f()x3（5）[-2，a]

（学生观察，讨论）

f(2)f(a)

f(x)max①当-2≤a＜-1时

f(x)minf(2)f(1)

f(x)max②当-1≤a＜0 时

f(x)minf(a)③当a≥0时

f(x)minf(1)

f(x)max

三、问题引申

求函数f(x)x22x1在区间[m，m+2]上的最大值和最小值。

（动画演示）

f(m)解：当m＜-3时

f(x)minf(m3)

f(x)maxf(m)f(1)

f(x)max当-3＜m＜-2时

f(x)minf(m2)f(1)

f(x)max当-2＜m＜-1时

f(x)minf(m2)当m＞-1时

f(x)minf(m)

f(x)max

四、总结归纳

五、开拓思维

当二次函数对称轴变化时，在指定区间内求最值

篇6：二次函数的最值问题的研究

（文献综述）

（内江师范学院数学与应用数学，四川 641100 王强）

摘 要函数的最值问题是高中阶段研究函数性质的一个重要指标，除了知道什么是函数最值如何求解最值这类高中生必须达到的基本要求外，能够精通求解函数最值的各种解法以及巧妙解答各类题型是对高中教师乃至高中学生的进一步要求。近年来，随着新课程的改革，教材中需要掌握的内容越加繁杂，对于知识的领悟程度也越发要求的高，高考中考查最值的题目难度增大，这不管是对于教师还是学生来说都是一个大的挑战，适应这一系列的变化，已经成为一种趋势，教师需要大量的学习、更精深的知识以及更多的方法来帮助学生度过难关，以达到一个高中生该具有的基本数学素养。

关键词 函数最值 解法 解题

前 言 最值问题是是高中数学乃至高考的热点以及重点，也是考察其他知识点的载体，它不但可以训练学生的逻辑思维，而且可以掌握很多的解题技巧，提高解决问题的能力，是解决函数问题的基准．如二次函数的最值问题可以更确切的认识图象，能够形象地判断所求闭区间内函数的最值．在实际生活中在具体问题中建立数学模型，解决高中数学建模中简单的最优化问题，以明确在生产生活中何时利润最大，成本最低，用料最省等等，它对其他学科也有辅助作用，如物理中的最短路线问题，经济学中的投资收益，航天发射计算最佳时间等．学习最值问题主要还是为了在高考中解决涉及最值问题的题型，如线性规划、三角函数、数列、圆锥曲线、导数等都会适当考查运用，是决战高考的基础知识。

1.高中生学习函数最值问题的困难

现在有很多学生遇到题目不会灵活应用，只会一味模仿以前做题的方式，用学到的很浅显的最值概念去解题，而没有作融会贯通，举一反三，计算能力以及解题技巧都还处在很基础的水平，在解题的时候很多学生搞不清已知条件所要传达的信息，无法正确的得出结论，更无法自如的应对结合诸多知识点的难题，亦或是高考．在平时的生活中，更是照本宣科，无法将学习到的最值问题，数学模型应用到实际生活中，当今时代，经济、金融已经是毕业生们想要争先步入的龙头行业，众所周知，学好经济学要很扎实的数学基础，由此看来，从长远考虑，最值问题是高中生在高中的一堂必修课。

2.先前研究成果

由于函数最值在高考以及日常生活的重要性，所以，对于函数的最值的研究也一直没有间断．如陈克胜于2005年在高等函授学报（自然科学版）发表的《求函数最值的方法举例》中为求解函数最值提供思路，重点是为了拓宽学生解决函数最值有关问题的视野，倡导应该通过解题，在解答过程中培育创新思维能力；游波平在《函数最值解法技巧探究》（《重庆文理学院》（自然科学版）2007.4）给出了一些求解函数最值的技巧，如数形结合思想这一类比较惯用的思想，并致力解决生产、生活和科学研究中的常见问题；王贵军2010年3月发表一篇题为《几何法在求解函数最值问题中的应用》的文章，旨在运用几何图形以及题目的几何意义来解决函数的最值问题，给我们以新的启迪．颜世序2012年3月在解题技巧与方法发表《浅谈导数在求函数最值中的应用》，将求函数最值的问题融入到求导的问题当中，导数也是高考的一个比较重要且相对较难的考点，笔者把函数最值与高考结合起来，更加说明函数最值的应用广泛性．2013年，张永红发表《新课标下高中数学应用题中的最值问题研究》，他在这项研究中紧密结合我国现阶段高中数学教学状况，精心挑选了部分高考题进行方法总结，并通过问卷调查得出实证，为读者分享了自己应对此问题的教学策略．陈荣灿在2010年发表毕业论文《高中数学最值问题的教学研究》，他主要指出了高中最值问题在教学过程中本身存在的一些不足，并且为了提高教学质量从例题的讲解、课时的安排、激发学生的学习兴趣、运用数学观点数学思想等方面给出建筑性的意见．

以上这些文献期刊都没有做到全面系统的给出有关最值的解题方面行之有效并且实用的方法。

3.二次函数最值问题的研究点

求解函数的最值是高考的重点以及难点，必须从根本上解决高中生面对最值问题所遇到的困难，前面的文献很多都是有解法的缺乏思想，有教学的缺乏实践支撑，这样学生依然会陷入自己原有的思维定势，不懂得理论与实践的结合，在今后的做题中依然会遇到同样的问题．本文就是让学生将解题的技巧与求解函数的最值结合起来，主要针对做题，也给教师一些习题课的建议，让学生不再害怕最值问题，不再高考的大部分涉及函数最值的题目中失分。函数最值的问题包括求解某初等函数在闭区间内的最值，复合函数的最值，经济生活中的最大收益、最小成本、最大期望等的最值，而求解函数最值的主要核心是解法，俗话说，凡题有法而可解，高中生在做题的时候往往照抄书本模式，禁锢于思维定势，用解法解题便成了盲区，对于解法，教材中只提到了二次函数配方法求最值，利用函数的单调性、奇偶性求最值，这些方法可以应对一些简单的题目，如果题目加大难度，学生就束手无策，这样一来，学生多学习课外知识就显得尤为重要．眼观六路，容易充实人的大脑，耳听八方，可以丰富人的思维，高中生需要这样的实践来提升自己．文章对函数最值问题的解法进行研究，目的就是为了扩大学生之视野，扩张学生之思维，以解学生学习最值问题。

参考文献

【1】谭永基，俞红．现实世界的数学视角与思维［M］．上海：复旦大学出版社．2010：41-45．

【2】梁红．高考三年真题研究（文数）［G］．陕西科学技术出版社．2014． 【3】梁红.高考真题超详解（理数）［G］．陕西科学技术出版社．2014． 【4】陆军．三角函数最值问题的八种求解策略［J］．延边教育学院学报．2012，26（1）：46-53．

【5】游波平．函数最值解法技巧探讨［J］．重庆文理学院学报．2007，26(2)：108-110．

篇7：二次函数闭区间上的最值问题

一元二次函数的区间最值问题，核心是对函数对称轴与给定区间的相对位置关系的讨论。一般分为：对称轴在区间的左边，中间，右边三种情况.2 设f(，求x)axbxc(a0)f(x)在x[m，n]上的最大值与最小值。b2a 分析：将f(x)配方，得对称轴方程x

当a0时，抛物线开口向上

若 若b2ab2a[m，n]必在顶点取得最小值，离对称轴较远端点处取得最大值； [m，n]

b2a 当a0时，抛物线开口向上，此时函数在[m，n]上具有单调性，故在离对称轴x较远端点处取得最大值，较近端点处取得最小值。当a0时，如上，作图可得结论，对二次函数的区间最值结合函数图象总结如下：

当a0时

f(x)maxb1f(m)，(mn)(如图1)2a2 b1f(n)，(mn)(如图2)2a2 f(x)minbf(n)，n(如图3)2abbf()，mn(如图4)2a2abf(m)，m(如图5)2a

当a0时

f(x)maxbf(n)，n(如图6)2abbf()，mn(如图7)2a2abf(m)，m(如图8)2a

f(x)minb1f(m)，(mn)(如图9)2a2 b1f(n)，(mn)(如图10)2a21.定二次函数在定区间上的最值

二次函数是给定的，给出的定义域区间也是固定的，我们称这种情况是“定二次函数在定区间上的最值”。

x4x2 例1.函数y在区间0，3上的最大值是_________，最小值是_______。2 1

例1： 解：函数y是定义在区间0，3上的二次函数，其x4x2(x2)2对称轴方程是x2，顶点坐标为（2，2），且其图象开口向下，显然其顶点横坐标在［0，3］上，如图1所示。函数的最大值为f(2)2，最小值为f(0)2。

例2.已知2x3的最值。)xx1x，求函数f(x2222 例2： 解：由已知2x3x，可得0x232，即函数f(x)是定义在区间0，3上的二2113次函数。将二次函数配方得f(x)x，其对称轴方程x，顶点坐标224331且图象开口向上。显然其顶点横坐标不在区间0，内，如图2所示。函数f(x)，，242193。242的最小值为f(0)1，最大值为f2b4acb 解后反思：已知二次函数f(（不妨设a0），它的图象是顶点为x)axbxc，、对称轴为

4a2a2xb2a、开口向上的抛物线。由数形结合可得在m，n上f(x)的最大值或最小值：

acbb4（1）当m，n时，f(x)的最小值是f)、f(n)中的较大者。，f(x)的最大值是f(m2a4a2ab2（2）当 若b2am，n时 b2am，由f(x)在m，n上是增函数  则f(x)的最小值是f(m)，最大值是f(n)

若nb2a，由f(x)在m，n上是减函数  则f(x)的最大值是f(m)，最小值是f(n)2.动二次函数在定区间上的最值

二次函数随着参数a的变化而变化，即其图象是运动的，但定义域区间是固定的，我们称这种情况是“动二次函数在定区间上的最值”。

例3.已知x1，且a，求函数f(的最值。x)xax320221x1，a2 例3：解：由已知有，于是函数f(x)是定义在区间1，1上的二次函数，将f(x)配方得： aa f(x)x324 22

二次函数f(x)的对称轴方程是xa2

2aa 顶点坐标为，3，图象开口向上

42 由a2可得xa21，显然其顶点横坐标在区间1，1的左侧或左端点上。

 函数的最小值是f(1)4a，最大值是f(1)4a。

例4.已知二次函数f(在区间4，1上的最大值为5，求实数a的值。x)ax4axa1 例4： 解：将二次函数配方得f，其对称轴方程为x，顶点坐标为(()xa(x2)a4a12，a4a1)，2图象开口方向由a决定。很明显，其顶点横坐标在区间4，1上。

若a0，函数图象开口向下，如图4所示，当x时，函数取得最大值5 2 即f(2)a4a152222220

解得a21 故a 210(a210舍去)若a0时，函数图象开口向上，如图5所示，当x1时，函数取得最大值5 即f()15aa152或a6 解得a1

故a1(a6舍去)

210或a1 综上讨论，函数f(x)在区间4，1上取得最大值5时，a

解后反思：例3中，二次函数的对称轴是随参数a变化的，但图象开口方向是固定的；例4中，二次函数的对称轴是固定的，但图象开口方向是随参数a变化的。3.定二次函数在动区间上的最值

二次函数是确定的，但它的定义域区间是随参数t而变化的，我们称这种情况是“定函数在动区间上的最值”。

例5.如果函数f(定义在区间t，x)(x1)1t1上，求f(x)的最小值。2x)(x1)1 例5： 解：函数f(，其对称轴方程为x1，顶点坐标为（1，1），图象开口向上。

如图6所示，若顶点横坐标在区间t，t1左侧时，有1t。当xt时，函数取得最小值 2()xf(t)(t1)1 f。min21t1t1 如图7所示，若顶点横坐标在区间t，即0。当x1时，t1上时，有t函数取得最小值 

f()。xf()11min 如图8所示，若顶点横坐标在区间t，即t0。当x时，11t1t1右侧时，有t函数取得最小值

f()xf(t1)t1min2 综上讨论，f(x)min(t1)21,t11,0t1 2t0t12 例6.设函数f(的定义域为t2x)x4x4R，求函数f(x)的最小值(t)的解析式。，t1，对任意t 例6： 解：将二次函数配方得：

f()xx4x4(x2)8 其对称轴方程为x2，顶点坐标为(2，8)，图象开口向上

若顶点横坐标在区间t2，即t4。当x时，函数取得最小值 t2t2，t1左侧，则2 ft(2)(t4)8t8t8 若顶点横坐标在区间t2，即3。当x2时，函数取得最小值 22t1t4，t1上，则t f(2)8

若顶点横坐标在区间t2，即t3。当x时，函数取得最小值 12t1，t1右侧，则t ft(1)(t3)8t6t1222222t28t8(t4) 综上讨论，得(t)8(3t4)

2t6t1(t3)4.动二次函数在动区间上的最值

二次函数是含参数的函数，而定义域区间也是变化的，我们称这种情况是“动二次函数在动区间上的最值”。

4ax(a)(a0)(x3)y的最小值为4，求参数a的值。

例7.已知y，且当xa时，Sa(xa)代入S中，得

例7： 解：将y42222S(x3)4a(xa)2x2(32a)x94a222

2x(32a)12a8a32a，12a8a)，图象开口32a 则S是x的二次函数，其定义域为xa，顶点坐标为(，，对称轴方程为x向上。

若3，即0 2aaa1

2

则当x时，S 12a8a432a最小 此时，a1，或a212 若3，即a1 2aaa(32a)12a8a4 则当x时，S a最小22，a1 此时，a5，或a1（因a1舍去）

综上讨论，参变数a的取值为a1，或a12，或a5

另外，若函数图象的开口方向、对称轴均不确定，且动区间所含参数与确定函数的参数一致，可采用先斩后奏的方法。二次函数在闭区间上的最值只可能在区间端点、顶点处取得，不妨令之为最值，验证参数的资格，进行取舍。课后练习：

篇8：函数的最值问题

一、观察法

对于简单的函数, 可由已知解析式将其适当变形后, 直接求出它的最值.

例1:求函数上的最小值.

分析:观察表达式, 属于非常规题, 如何使之规范化?这里可以把进行转换, 设想转换的目标为:二次方程, 利用判别式法, 抑或转化为二次函数型.若按前一种想法, 只要将函数表达式去分母化为有理式y2x2-7x+2=0, 其判别式为 (-7) 2-8y2≥0, 这样一来只能求出最大值, 事与愿违.继而考虑后一种想法, 启发学生把x移到根号内并配为

至此, 注意到, 问题就明朗化了.

二、判别式法

函数经过适当变形后, 可整理为关于x的二次型:a (y) x2+b (y) x+c (y) =0, 由于x为实数, 因此这类函数可以用判别式法求最值.

例2:求函数的最值.

解:∵分母 (x-1) 2+1≠0

∴定义域为R, 原式化为

(y-1) x2- (2y-1) x+ (2y-1) =0

当y≠1时, 此二次方程有实根

∴△= (2y-1) 2-4 (y-1) (2y-1) = (2y-1) (-2y+3) ≥0

三、利用单调函数法

如果函数在定义域内的各单调区间上是有界的 (可能只有上界无下界或只有下界而无上界) , 则可求出各区间的最大值, 再由它们的并集确定原函数的值域, 从而求得函数的最值.

例3:求函数f (x) =|2x-1|-|x-1|的最值.

当1

四、均值不等式法

若x, y∈R+, x+y=s, xy=p, 当p为定值, 则当且仅当x=y时, s有最小值;当S为定值, 则当且仅当x=y时, p有最大值.

解:定义域为x≠-1

注:若任意x等号都不成立, 则此法无效, 应改为其他方法

五、换元法

例5:x, y都是正数, 且3x2+2y2=6x, 求x2+y2的最值.

篇9：二次函数在某区间上的最值问题

1. 所给区间确定,对称轴位置也确定

若所给区间是确定的,其对称轴位置也是确定的,则只要先考虑其对称轴横坐标是否在所给定区间内,当对称轴横坐标在所给定区间内时,其一个最值在顶点取得,另一个在与顶点横坐标距离较远的端点取得;当对称轴横坐标不在所给定区间内时,用函数的单调性确定其最值.

例1 已知函数f(x)=x2+2x+ax,对任意x∈［1,+∞),f(x)>0恒成立,求实数a的取值范围.

解:在区间［1,+∞)上,f(x)=x2+2x+ax>0恒成立，即x2+2x+a>0恒成立.设y=x2+2x+a,x∈［1,+∞),其对称轴x=-1［1,+∞).因为函数f(x)=x2+2x+a在［1,+∞)上单调递增,故ymin=f(1)=3+a,当且仅当ymin=3+a>0时,f(x)>0恒成立,从而a的取值范围(-3,+∞).

2. 所给区间变化,对称轴位置确定

若所给区间是变化的,而对称轴位置是确定的,则对于区间变化是否包含对称轴的横坐标必须进行分类讨论.其分类标准为:变化区间中包含对称轴横坐标;变化区间中不包含对称轴横坐标.

例2 设a为实数,函数f(x)=x2+∣x-a∣+1,x∈R,求f(x)的最小值.

解:① 当x≤a时,函数f(x)=x2-x+a+1=x-122+a+34

若a≤12,则函数f(x)在(-∞,a］上单调递减,从而函数f(x)在(-∞,a］上的最小值为f(a)=a2+1;若a>12,则函数f(x)在(-∞,a］上的最小值为f12=34+a,且f12≤f(a);② 当x≥a时,函数f(x)=x2+x-a+1=x+122-a+34

若a≤-12,则函数f(x)在［a,+∞)上的单调递增,从而函数f(x)在［a,+∞)上的最小值为f-12=34-a,且f-12≤f(a);若a>-12,则f(x)在［a,+∞)上单调递增,从而函数f(x)在［a,+∞)上的最小值为f(a)=a2+1.

综上,当a≤-12时,函数f(x)的最小值为34-a;当-12

3. 所给区间确定,对称轴位置变化

若所给区间是确定的,但对称轴位置是变化的,则对于对称轴位置变化情况必须进行分类讨论;对称轴横坐标在给区间内变化;对称轴横坐标在给区间外变化.若对称轴横坐标只能在给定区间内变化,则只需考虑其与端点的距离.

例3 若对任何实数x,sin2x+2kcosx-2k-2<0恒成立，求实数k的取值范围.

解：原不等式化为cos2x-2kcosx+2k+1>0令t=cosx,则-1≤a≤1

令f(t)=t2-2kt+2k+1=(t-k)2-k2+2k+1按对称轴t=k∈［-1,1］和k［-1,1］分类

(1) 若k<-1,欲使f(t)>0在［-1,1］上恒成立，只需f(-1)>0，即k>-12,故k不存在.

(2) 若-1≤k≤1，欲使f(t)>0［-1,1］上恒成立，只需Δ=4k2-4(2k+1)<0,求得1-2

(3) 若k>1,欲使f(t)>0［-1,1］上恒成立，只需f(1)>0,求得k>1.

综上所述，k的取值范围是k>1-2

4． 所给区间变化,对称轴位置也变化

若所给区间是变化的，而且对称轴位置也在变化，但由于它们的变化是相互制约的，故必须且只须对它们的制约关系（含参量）进行讨论：对称轴横坐标在所给区间内；对称轴横坐标不在所给区间内.

例5 已知函数f(x)=lg［-x2+（a-1）x+a］(1≤x

解：令u(x)=-x2+（a-1）x+a(1≤x

由于u(x)=-x2+（a-1）x+a(1≤x

当a-12≤1，即1

当13时,umax=ua-12=-a-122+(a-1)a-12+a=a2+2a+14

令a2+2a+14=100，得a=19或a=-21（舍）；

当a-12≥a时，此时a≤-1与a>1矛盾，对称轴不可能在x=a的右侧.

篇10：二次函数在闭区间上的最值说课稿

各位评委老师，大家好！

我是高一年级的数学老师史红红，今天我要进行说课的课题是《二次函数在闭区间上的最值问题》。下面我将从教材分析；教学目标分析；教法、学法；教学过程；教学评价五个方面来陈述我对本节课的设计方案。恳请在座的评委老师批评指正。

一、教材分析

本节课是在学习了二次函数的图像和性质的基础上进一步研究二次函数在闭区间上的最值问题，因为最值是函数非常重要的一个性质，尤其是含参二次函数的最值问题在历年陕西高考中出现，而这个知识既是学生学习的一个重点又是一个难点，所以上好这节课显得尤为重要。

二、教学目标

1.知识目标：初步掌握解决二次函数在闭区间上最值问题的一般解法，总结归纳出二次函数在闭区间上最值的一般规律，学会运用二次函数在闭区间上的图像研究和理解相关问题.2.能力目标：通过图像，观察影响二次函数在闭区间上的最值的因素，在此基础上讨论探究出解决二次函数在闭区间上最值问题的一般解法和规律.3.情感目标：通过探究，让学生体会分类讨论思想与数形结合思想在解决数学问题中的重要作用,培养学生分析问题、解决问题的能力，同时培养学生合作与交流的能力

三、教学重难点

含参二次函数在闭区间上的最值.。

四、教法分析

“教无定法”，这是一节探究课，首先我给自己定位的角色是教学的组织者、引导者、合作者，在教学过程要充分调动学生的积极性、主动性，让学生成为课堂的主人。在教学过程中我主要采用以下教学方法：开放式探究法、启发式引导法、小组合作讨论法、学生展示、反馈式评价法。

2、学法分析

“授人以鱼，不如授人以渔”，在学习过程中的参与状态和参与度是影响教学效果最重要的因素。在学法选择上，我主要采用：自主探究法、观察发现法、合作交流法、归纳总结法。让学生真正成为课堂的主人。

五、教学过程

六、教学评价

篇11：改中考中的二次函数最值问题

中考中的二次函数最值问题

【教学目标】二次函数的最值问题是二次函数性质的一个重要应用，也是每年中考的重点考查题型之一，现结合几道2011年的中考试题说明这类题的求解方法

【知识要点】如何求抛物线的顶点、对称轴和最值？

1、配方法：将二次函数关系式化为yaxhk的形式，则顶点坐标为h,k，2对称轴为直线xh。若a0，则y有最小值，当xh时，y最小k；若a0，则y有最小值，当xh时，y最大k。

b4acb2bx

2、公式法：直接利用顶点坐标公式求其项点，利用求,2a2a4ab4acb2其对称轴。若a0，则y有最小值，当x时，y最小；若a0，则

2a4ab4acb2y有最大值，当x时，y最大。

2a4a【经典例题】

一、求最大利润

例1 某食品零售店为仪器厂代销一种面包，未售出的面包可退回厂家，统计销售情况发现，当这种面包的单价定为7角时，每天卖出160个。在此基础上，这种面包的单价每提高1角时，该零售店每个面包的成本是5角。

设这种面包的单价为x角，零售店每天销售这种面包所获得的利润为y角。（1）用含x的代数式分别表示出每个面包的利润与卖出的面包个数；

（2）求y与x之间的函数关系式；（3）当面包单价定为多少时，该零售店每天销售这种面包获得的利润最大？最大利润为多少？

2012初三数学寒假

二、确定图形的周长最值。

例2 已知△ABC是边长为4的等边三角形，BC在x轴上，点D为BC的中点，点A在第一象限内，AB与y轴的正半轴相交于点E，点B1,0，P是AC上的一个动点（P与点A，C不重合）。

（1）求点A，E的坐标；（2）若y632xbxc过点A，E，求抛物线的表达式； 7（3）连接PB，PD，设L为△PBD的周长，当L取最小值时，求点P的坐标及L的最小值，并判断此时点P是否在（2）中所求的抛物线上，请充分说明你的判断理由。

2、如图2所示,有一边长为5cm的正方形ABCD和等腰△PQR,PQ=PR=5cm,QR8cm,点BCQR在同一条直线l上,当CQ两点重合时,等腰△PQR以1cm/s的速度沿直线l向左开

2始匀速运动,t秒后正方形ABCD与等腰△PQR生命部分的面积为Scm.(1)当t3s时求S的值;(2)当t5s时求S的值;(3)当5t8时,求S与t的函数关系式,求S的最大值.2012初三数学寒假

三、求解图形的面积和某一代数式的最值问题。

例3 如图3所示，边长为1的正方形OABC的顶点O为坐标原点，点A在x轴的正半轴上，点C在y轴的正半轴上。动点D在线段BC上移动（不与B，C重合），连接OD，过点D作DEOD，交边AB于点E，连接OE。记CD的长为t。（1）当t1时，求直线DE的函数关系； 3（2）如果记梯形COEB的面积为S，那么是否存在S的最大值？若存在，请求出这个最大值及此时t的值；若不存在，请说明理由；

3）当OD2DE2的算术平方根取最小值时，求点E的坐标。

2012初三数学寒假

【大显身手】

一、你有经商头脑吗？——商业经营活动中有两大问题是必须面对和解决的：

(一）怎样销售利润最大

1、某产品每件成本10元，试销阶段每件产品的销售价x（元）与产品的日销售量y（件）之间的关系如下表：

x（元）

y（件）15 25 20

… …

若日销售量y是销售价x的一次函数：

（1）求日销售量y（件）与销售x（元）之间的函数关系式；

2）要使每日的销售利润最大，每件产品的销售价应定为多少元？此时每日的销售利润是多少元？

（二）何时能盈利

2、某企业投资100万元引进一条农产品加工生产线，若不计维修、保养费用，预计投产生每年可创利33万元，该生产线投产后，人第一年到第x年的维修、保养费用累计为y（万元），且yaxbx，若第一年的维修保养费为2万元，第二年的为4万元。

（1）求二次函数的表达式；（2）投产后，这个企业在第几年就能盈利？

22012初三数学寒假

二、何时面积最大

二次函数是反映现实世界中变量间的数量关系和变化规律的一个常见的数学模型。利用二次函数的图象与性质可以解决几何图形中面积的最值问题。

1、如图1所示，某房地产公司要在拆迁的长方形地ABCD上规划出一块长方形地面，用来建造住宅小区公园（公园的一边落在CD上，但不能超过文物保护区的斜线EF），问如何设计才能使公园的占地面积最大？求出最大面积

（已知ABCD200m,BCAD160m,AE60m,AF40m）。

三、生活中的二次函数最值问题

（一）二次函数帮你定价

小明的妈妈开了间海产品干货店,今年她从沿海地区进了一批墨鱼干,并将每市斤的单价定为40元,大家一致认为该墨鱼质量好,价格又便 宜,再加上该店地处旅游风景区的黄金地段,因而顾客云集,连续几天门庭若市,一时间销售了不少.看到这种红火的销售场面,小明的妈妈决定用调高单价来增加利润,于是她将单价调到每市斤50元,结果销售量虽然减少了,但每天的利润却有所增加.她干脆再把单价调 高到每市斤70元,此时过往游客大多数嫌贵,销售量明显再次下降,连利润也呈下降趋势.面对如此情况,她想到了这么一个问题:单价究竟定为多少才能使每天的利润最大? 小明知道后马上进行了调查,并从妈妈那里了解到如下数据: 单价(元)销售量(市斤)40 40

35

30

25 通过观察,小明发现原来每天的销售量与单价成一次函数关系,他将每天的销售量设为y市斤,单价设为x元,则ykxb.由x40,y40,得4040kb,①由x50,y35,得3550kb.②联立 5

2012初三数学寒假

①、②，解得k11,b60。所以yx60。2211x60，即wx260x。配方，得

22小明一想，要使每天的利润最大，只需每天的销售额最大即可。他把每天的销售量额设为w元，则wxyxw1x6021800。由二次函数的性质，得当x60时，w最大1800。因此，2当单价定为每市斤60元时，每天的销售额最大，从而利润也最大。

看来，在现实生活中，数学知识能帮上不少忙。同学们，你是否也能像小明那样用所学的知识来解决问题呢？

（二）、广告设计与二次函数

函数思想是一种重要的解题思想，在实际生活中应用广泛，函数思想解决广告设计问题就是函数实际应用的一种体现。

例1 某广告公司设计一幅周长为20米的矩形广告牌，设矩形的一边长为x米2x8，广告牌的面积为S平方米。（1）写出广告牌面积S与边长x的函数关系式；

（2）画出这个函数的大致图象（其中2x8）；

（3）根据图象观察当边长为何值时，广告牌的面积S最大？

2012初三数学寒假

二、确定图形的周长最值。

例2分析：本题求解的切入点是依据点B的坐标、△ABC的边长和边、高的关系结合三角形中位线定理求解出（1），再依据题意求解出（2），最后依据轴对称的知识求解出（3）

解：（1）如图1所示，连接AD，不难求得A1,23,OE1AD,得2E0,3；

（2）因为抛物线y632xbxc过点A，E，把点A，E的坐标代入，7得c3，b133，7632133xx3； 77所以抛物线的表达式为y（3）如图2所示，先作点D关于AC的对称点D，连接BD交AC于点P，则PB与PD的和取最小值，即△PBD的周长L取最小值。

不难求得DDC30，DF3，DD23，则可得点D的坐标为4,3 所以直线BD的表达式为y为y3x33。

求直线BD与AC的交点可得点P的坐标为此时BD33，直线AC的表达式x557233,3。BGDG52223227，所以△PBD的最小周长L为272。把点P的坐标代入y632133xx3成立，所以此时点P在抛物线上。77

三、求解图形的面积和某一代数式的最值问题。

2012初三数学寒假

例3分析：本题（1）、（2）的求解均抓住△CDO～△BED，所以

CDCO，即BEBD12731，得BE则点E的坐标为1,。设直线DE的函数关系式为ykxb。199BE13因为直线经过点D,1和E1,，所以把点D，E的坐标代入ykxb，得k故所求直线DE的函数关系式为y13791。3110x； 39CDCO，即BEBD（2）存在S的最大值。由已知易知△COD～△BDE，所以t111115,BEtt2。所以S11tt2t。故当t时，BE1t222282S有最大值5； 8(3)Rt△OED中,OD2DE2OE2,OD2DE2的算术平方根取最小值,也就是斜边OE取最小值.当斜边OE取最小值且另一边直角边OA为定值时,另一直角边AE达到最小值,于是△OEA的面积达到最小值,此时,梯形COEB的面积达到最大值.由(2)知,当t13地,梯形COEB的面积达到最大值,故所求点E的坐标是1,.24(一）怎样销售利润最大

解：（1）设此一次函数表达式为ykxb，则

15kb25k1,解得所以一次函数表达式为yx40.20kb20b40.(2)设每件产品的销售价定为x元,所获销售利润为W元,则

Wx1040xx25255.2当x25时,W最大225,即产品的销售价应定为25元,此时每日 获得最大销售利润为225元.（二）何时能盈利

2x1时，y2,x2时，y246。解：（1）由题意知，分别代入yaxbx，8

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得ab2a1，解得。yx2x。

4a2b6b1（2）设M33x100xx，则Mx232x100x16156。

22当1x16时，y随x的增大而增大，且当x1,2,3时，M的值均小于0，当x4时，M1221560，所以设产后企业在第4年就能盈利。

评注：求二次函数最值的实际问题，要确定好自变量的取值范围，以及二次项的系数与问题的实际意义来判定最值情况，不然会误入歧途。

二、何时面积最大

1解：要使公园的面积最大，必须有一顶点落在EF上，设此点为P。过点P作PHAB于H，交CD于M，作PGAD于G，设。

△FGP～△FAE，PGGFx40PH，即。AEAF60402PHx40。

3SBHPM200x160PH

2200x160x40

32x10272200。33所以当所设计的长方形公园以C点为顶点，一边落在CD上，且长为190m,宽为380722002m时,公园有最大面积,且最大面积为m.332

分析:本题是将动点设置于直线l上,让我们在变化的条件下,探求重合部分的图形面积,题型设 计新颖、灵活富有创意，第（3）问重点考查了运用二次函数解决面积最大问题，在解答这类综合性题目时可将动手操作与推理计算巧妙地结合，运用数形结合的思想、分类讨论的思想解决问题。

解：（1）如图3所示，作PEQR，E垂足，设PQ与CD交于G，则QERE4cm，PE52423cm。

所以当t3s时，重合部分的图形是RtQCG。

2012初三数学寒假

又易证△QCG～△QEP。所以

SSQEP3。42SQEP6cm2，272Scm。

8（2）当t5s时，如图4所示，此时QC5cm,CR3cm。设PR与CD相交于G。

由△RCG～△QEP，得SRCG故SSPRQSRCG27cm2，8692cm。8（3）当5t8时，如图5所示，此时QBt5,RC8t。设PQ交AB于H，PR交CD于G。

由△HPB～△PQE，得

SHQB3t52cm2。8由△RCG～△REP，得

38t2cm2。83322S12t58t，883239171t即St。

44813165cm2。当ts时，S的值最大，S最大216SRCG评注：当t在不同的范围内变化时，重合部分的图形有三种情形；（1）三角形；（2）四边形；（3）五边形。同学们可想一想，在每一种情形下对应的t的取值范围是什么。

（二）、广告设计与二次函数

分析：将矩形的另一边长用x的代数式表示，根据矩形的面积即可求出函数的关系式。

解：（1）矩形的另一边长为10x米，所以

2012初三数学寒假

Sx10xx210x2x8；

（2）Sx525，取一组点，利用描点法可画出函数的2图象如图所示；

（3）根据图象观察，当x5时，矩形的面积最大为25平方米。

例2 某广告公司设计一幅周长为12米的矩形广告牌，广告牌设计费为每平方米1000元，设矩形的一边长为x米，广告牌的面积为S平方米。

（1）写出广告牌面积S与连长x的函数关系式，并确定自变量的取值范围；（2）将矩形广告牌的连长设计为多少米时，公司获得的设计费最多？并求出此最大值；

（3）为使广告美观，客户要求把它做成矩形的长是宽与（长+宽）的比例中项，此时设计费是多少？（精确到1元）

分析：矩形的面积等于长乘以宽，所以只需把矩形的长和宽表示出来即可解决问题。解：（1）因为周长为12米，一边的长为x米，所以矩形的另一边的长为6x米。所以Sx6xx26x。

所以S与x的函数关系式为Sx6x0x6；

2（2）设广告设计费为y元，则y1000S1000x6000x。配方，得y1000(x3)29000。当x3时，y有最大值为9000。

即矩形广告牌设计为连长为3米的正方形时，面积最大，此时公司获得的设计费最多，最多为9000元；

（3）为使设计美观，设做成矩形长为x米，则宽为6x米，所以长加宽为

2x6x6(米)。

由x66x，整理，得x345。22解得x1353,x2353(舍去).所以

y1000x26000x1000353600035322249137518497(元)即当矩形的长设计为353米时,设计费用为8497元.学习数学,关注数学,解决非生活中的实际问题,是学习数学的根本目的,只有你关注2 11

2012初三数学寒假