数学北师大版必修二圆

数学北师大版必修二圆（通用8篇）

篇1：数学北师大版必修二圆

4.1.1圆的标准方程

教学目标：

(1)掌握圆的标准方程，会由标准方程得出圆心与半径，能根据圆 心、半径写出圆的标准方程．

(2)会用待定系数法与数形结合法求圆的标准方程．

(3)培养学生用解析法研究几何问题的能力，渗透数形结合思想，(4)在探索圆的知识与特点时感受数学中的对称美与和谐美．

教学重点：圆的标准方程的得出与应用．

教学难点：根据不同的已知条件，求圆的标准方程 教学方法: 启发、引导、讨论．

教学过程：

一、新课引入

1.引入语：

通过上一章的学习，我们知道直线这一平面图形可以由一个代数中的二元一次方程来表示，称此方程为直线的方程。从而，通过方程利用代数的方法研究了直线的性质与特点。事实上，这种方法是解析几何解决问题的基本方法，我们还可以采用它研究其他的一些平面图形，比如：圆。

在直角坐标系中，两点确定一条直线，或者一点和倾斜角也能确定一条直线。圆作为平面几何中的基本图形，确定它的要素又是什么呢？

（圆心，半径。圆心决定位置，半径决定大小）

那么我们能否在圆心与半径确定的条件下，找到一个方程与圆对应呢？这就是我们这节课的主要任务。（书写标题）

回顾直线方程得出的过程：在直线l上任取一点P(x,y),找到该点的横纵坐标满足的一个关系式，通过验证，称此方程为直线的方程。

类似的，我们用得出直线方程方法来探求圆的方程。

二、讲授新课

确定圆的基本条件为圆心和半径，设圆的圆心坐标为A(a,b)，半径为r（其中a、b、r都是常数，r0）．设M(x,y)为这个圆上任意一点，那么点M满足的条件是（引导学生自己列出）P{MMAr},由两点间的距离公式让学生写出点M适合的条件(xa)2(yb)2r①

引导学生自己证明(xa)2(yb)2r为圆的方程，得出结论．

1.若点M(x0,y0)在圆上，由上述讨论可知，点M的坐标适用方程①． 2.若(x0,y0)是方程①的一组解，则以这组解为坐标的点M(x0,y0)

到圆心A的距离为r，即点M在圆心为A的圆上．

故方程(xa)2(yb)2r为圆的一个方程。

方程①可等价变为：(xa)2(yb)2r2 ② 方程②形式较①式更为和谐美观。

方程②也是圆心为A(a,b),半径为r的圆的方程，我们把它叫做圆的标准方程．

特别地,若圆心为O（0，0），则圆的标准方程为：x2y2r2 练习1(口答)、求圆的圆心及半径

(1)、x2y2(2)、(x1)2y21 练习

2、写出下列圆的方程

（1）、圆心在原点，半径为3；

x2y29

（2）、圆心在(-

3、4),半径为

5(x3)2(y4)25

三、例题解析

例1 已知两点A(4,9)、B(6,3)，求以AB为直径的圆的方程

M1(8,7),M2(3,5)是否在这个圆上？并判断点分析：可以从计算圆心与半径．

解：解:圆心C（5，6）半径r=10

所求的圆的标准方程是(x5)2(y6)210

把点M1(8,7)的坐标代入方程(x5)2(y6)210，左右两边相等，点M1的坐标适合圆的方程，所以点M1在这个圆上；把点M2(3,5)的坐标代入方程(x5)2(y6)210，左右两边不相等，点M2的坐标不适合圆的方程，所以点M2不在这个圆上．

2探究：点M(x0,y0)在圆(xa)2(yb)r2的内部的条件是什么？在圆的外部呢？

2点M(x0,y0)与圆(xa)2(yb)r2的位置关系的判断方法：

（1）(x0a)2(y0b)2r2，点在圆外

（2）(x0a)2(y0b)2r2，点在圆上

（3）(x0a)2(y0b)2r2，点在圆内

练习3.已知圆O的标准方程为(x1)2(y2)24判断A(0,3);B(-3,2);C(2,1)与圆O的位置关系。

(A点在圆内，B点在圆上，C点在圆外)例2：ABC的三个顶点的坐标是A(5,1),B(7,3),C(2,8),求它的外接圆的方程．

2分析：外接圆过三角形的三个顶点，从圆的方程(xa)2(yb)r2可知，要确定圆的标准方程，可用待定系数法确定a、b、r三个参数．

解：设所求圆的方程是(xa)2(yb)2r2． ①

因为A(5,1),B(7,3),C(2,都在8圆上，所以它们的坐标都满足方程①．于是

解此方程组，得a=2, b=-3, r=5

所以ABC的外接圆的方程是(x2)2(y3)225．

解法二：分析：圆心为弦AB的中垂线与弦AC的中垂线的交点。半径为圆心到A,B,C三点中任一点的距离

设外接圆圆心为O,半径为r 弦AB的中点为（6,1），所在直线的斜率为：-2 则，弦AB的中垂线方程为：y1弦AB的中点为（1(x6)即x2y80 277,），所在直线的斜率为：3 22

则，弦AB的中垂线方程为：y717(x)即2x6y140 232x2y80x2联立 解得

2x6y140y3则，外接圆圆心坐标为（2，-3）半径r=|OA|=5 所以ABC的外接圆圆O的方程是(x2)2(y3)225．

练习

4、已知△ABO的顶点坐标分别为A(8,0);B(0,6);O(0,0),求△ABO外接圆的方程.(x4)2(y3)225

总结归纳：（教师启发，学生自己比较、归纳）比较例2的两种解法，可得出圆的标准方程的两种求法：

①待定系数法：根据题设条件，列出关于a、b、r的方程组，解方程组得到a、b、r得值，写出圆的标准方程．

②数形结合法：确定圆的要素，圆心坐标和半径大小，然后再写出圆的标准方程．

四、课堂小结

(1)、牢记: 圆的标准方程：(xa)2(yb)2r2。(2)、明确：三个条件a、b、r确定一个圆。(3)、方法：①待定系数法

②数形结合法

五、课后作业

P120,练习1,2,3,4

P124习题1，2，3

篇2：数学北师大版必修二圆

《数学1(必修)》

第一章 集合

§1 集合的含义与表示

§2 集合的基本关系

§3 集合的基本运算

阅读材料 康托与集合论

第二章 函数

§1 生活中的变量关系

§2 对函数的进一步认识

§3 函数的单调性

§4 二次函数性质的再研究

§5 简单的幂函数

阅读材料 函数概念的发展

课题学习个人所得税的计算

第三章 指数函数和对数函数

§1 正整数指数函数

§2 指数概念的扩充

§3 指数函数

§4 对数

§5 对数函数

§6 指数函数、幂函数、对数函数增长的比较

阅读材料 历史上数学计算方面的三大发明

第四章 函数应用

§1 函数与方程

§2 实际问题的函数建模

阅读材料 函数与中学数学

探究活动 同种商品不同型号的价格问题

《数学2(必修)》

第一章 立体几何初步

§1 简单几何体

§2 三视图

§3 直观图

§4 空间图形的基本关系与公理

§5平行关系

§6 垂直关系

§7 简单几何体的面积和体积

§8 面积公式和体积公式的简单应用

阅读材料 蜜蜂是对的

课题学习正方体截面的形状

第二章 解析几何初步

§1 直线与直线的方程

§2 圆与圆的方程

§3 空间直角坐标系

阅读材料 笛卡儿与解析几何

探究活动1 打包问题

探究活动2 追及问题

《数学3(必修)》

第一章 统计

§1 统计活动：随机选取数字

§2 从普查到抽样

§3 抽样方法

§4 统计图表

§5 数据的数字特征

§6 用样本估计总体

§7 统计活动：结婚年龄的变化

§8 相关性

§9 最小二乘法

阅读材料 统计小史

课题学习调查通俗歌曲的流行趋势

第二章

算法初步

§1 算法的基本思想

§2 算法的基本结构及设计

§3 排序问题

§4 几种基本语句

课题学习确定线段n等分点的算法

第三章 概率

§1 随机事件的概率

§2 古典概型

§3模拟方法――概率的应用

探究活动 用模拟方法估计圆周率∏的值

《数学4(必修)》

第一章 三角函数

§1 周期现象与周期函数

§2 角的概念的推广

§3 弧度制

§4 正弦函数

§5 余弦函数

§6 正切函数

§7 函数的图像

§8 同角三角函数的基本关系

阅读材料 数学与音乐

课题学习利用现代信息技术探究的图像

第二章平面向量

§1 从位移、速度、力到向量

§2 从位移的合成到向量的加法

§3 从速度的倍数到数乘向量

§4平面向量的坐标

§5 从力做的功到向量的数量积

§6平面向量数量积的坐标表示

§7 向量应用举例

阅读材料 向量与中学数学

第三章 三角恒等变形

§1 两角和与差的三角函数

§2 二倍角的正弦、余弦和正切

§3 半角的三角函数

§4 三角函数的和差化积与积化和差

§5 三角函数的简单应用

课题学习摩天轮中的数学问题

探究活动 升旗中的数学问题

《数学5(必修)》

第一章 数列 §1 数列

1.1 数列的概念

1.2 数列的函数特性 §2 等差数列

2.1 等差数列

2.2 等差数列的前ｎ项和 §3 等比数列

3.1 等比数列

3.2 等比数列的前ｎ项和 §4 数列在日常经济生活中的应用

本章小节建议

复习题一

课题学习教育储蓄 第二章 解三角形

§1 正弦定理与余弦定理

1.1 正弦定理

1.2 余弦定理

§2 三角形中的几何计算 §3 解三角形的实际应用举例

本章小结建议

复习题二 第三章 不等式 §1 不等关系

1.1 不等关系

1.2 比较大小 §2 一元二次不等式

2.1 一元二次不等式的解法

2.2 一元二次不等式的应用 §3 基本不等式

3.1 基本不等式

3.2 基本不等式与最大（小）值 §4 简单线性规划

4.1 二元一次不等式（组）与平面区域

4.2 简单线性规划

4.3 简单线性规划的应用

阅读材料 人的潜能

本章小结建议

复习题三

探究活动 三角测量 北师大版高中数学选修目录

《数学选修1-1》

第一章 常用逻辑用语 §1 命题

§2 充分条件与必要条件

2.1充分条件 2.2必要条件 2.3充要条件

§3 全称量词与存在量词

3.1全称量词与全称命题 3.2存在量词与特称命题.3.3全称命题与特称命题的否定§4 逻辑联结词“且”“或”“非”

4.1逻辑联结词“且”

4.2逻辑联结词“或”

4.3逻辑联结词“非”习题1—4

本章小结建议

复习题一

第二章 圆锥曲线与方程

§1椭圆

1.1椭圆及其标准方程 1.2椭圆的简单性质 §2抛物线

2.1抛物线及其标准方程 2.2抛物线的简单性质 §3双曲线

3.1双曲线及其标准方程 3.2双曲线的简单性质

阅读材料1 圆锥曲线的光学性质

阅读材料2 曲线与方程

本章小结建议

复习题二

第三章 变化率与导数

§1 变化的快慢与变化率

§2 导数的概念及其几何意义

2.1导数的概念 2.2导数的几何意义 §3 计算导数

§4 导数的四则运算法则

4.1 导数的加法与减法法则 4.2 导数的乘法与除法法则 本章小结建议

复习题三 第四章 导数应用

§1 函数的单调性与极值

1.1导数与函数的单调性 1.2函数的极值

§2 导数在实际问题中的应用

2.1实际问题中导数的意义 2.2最大、最小值问题

阅读材料 数学史上丰碑——微积分

本章小结建议 复习题四

附录1 部分数学专业词汇中英文对照表

附录2 信息检索网址导引

《数学选修1-2》

第一章 统计案例 §1 回归分析 1.1回归分析 1.2相关系数

1.3可线性化的回归分析 阅读材料 高尔顿与回归 §2 独立性检验

2.1条件概率与独立事件 阅读材料 概率与法庭 2.2独立性检验

2.3独立性检验的基本思想 2.4独立性检验的应用

统计活动 学习成绩与视力之间的关系

本章小结建议 复习题一 第二章 框图 §1 流程图 §2 结构图 本章小结建议 复习题二

第三章 推理与证明 §1 归纳与类比 1.1归纳推理 2.2类比推理 §2 数学证明

§3 综合法与分析法 3.1综合法 3.2分析法 §4 反证法 本章小结建议 复习题三

第四章 数系的扩充与复数的引入

§1 数系的扩充与复数的引入 1.1数系概念的扩展

1.2复数的有关概念 §2 复数的四则运算 2.1复数的加法与减法 2.2复数的乘法与除法 阅读材料 数的扩充 本章小结建议 复习题四

附录1 部分数学专业词汇中英文对照表

附录2 信息检索网址导引

《数学选修2-1》

第一章 常用逻辑用语 §1 命题

§2 充分条件与必要条件 2．1充分条件 2．2必要条件 2．3充要条件

§3 全称量词与存在量词 3．1全称量词与全称命题 3．2存在量词与特称命题

3．3全称命题与特称命题的否定 §4逻辑联结词且”“或”“非” 4．1逻辑联结词“且” 4．2逻辑联结词“或” 4．3逻辑联结词“非” 本章小结建议 复习题一

第二章 空间向量与立体几何 §1 从平面向量到空间向量 §2 空间向量的运算

§3 向量的坐标表示和空间向量基本定理

3．1 空间向量的标准正交分解与坐标表示

3．2 空间向量基本定理

3．3 空间向量运算的坐标表示 §4 用向量讨论垂直与平行 §5 夹角的计算

5．1 直线间的夹角 5．2平面间的夹角 5．3 直线与平面的夹角 §6 距离的计算

课题学习空间向量在力学中的应用

本章小结建议 复习题二

第三章 圆锥曲线与方程

§1 椭圆

1．1 椭圆及其标准方程 1．2 椭圆的简单性质 §2 抛物线

2．1 抛物线及其标准方程 2．2 抛物线的简单性质 §3 双曲线

3．1 双曲线及其标准方程 3．2 双曲线的简单性质 §4 曲线与方程 4．1 曲线与方程

4．2 圆锥曲线的共同特征 4．3 直线与圆锥曲线的交点 阅读材料1 圆锥曲线的光学性质 阅读材料2 圆与椭圆 本章小结建议 复习题三

附录1 部分数学专业词汇中英文对照表

附录2 信息检索网址导引

《数学选修2-2》

第一章 推理与证明 §1 归纳与类比 1.1归纳推理 2.2类比推理

§2 综合法与分析法 2.1综合法 2.2分析法 §3 反证法

§4 数学归纳法 本章小结建议 复习题一

第二章 变化率与导数

§1 变化率的快慢与变化率 §2 导数的概念及其几何意义 2.1导数的概念 2.2导数的几何意义 §3 计算导数

§4 导数的四则运算法则 4.1导数的加法与减法法则 4.2导数的乘法与除法法则 §5 复合函数的求导法则 本章小结建议 复习题二

第三章 导数的应用

§1 函数的单调性与极值 1.1导数与函数的单调性 1.2函数的极值

§2 导数在实际问题中的应用 2.1实际问题中导数的意义 2.2最大值、最小值问题 本章小结建议 复习题三

第四章 定积分

§1 定积分的概念

1.1定积分的背景——面积和路程问题

1.2定积分

§2 微积分基本定理 §3 定积分的简单应用 3.1平面图形的面积 3.2简单几何体的体积

阅读材料 数学史上的丰碑——微积分

本章小结建议 复习题四

第五章 数系的扩充与复数的引入

§1 数系的扩充与复数的引入 1.1数系概念的扩展 1.2复数的有关概念 §2 复数的四则运算 2.1复数的加法与减法 2.2复数的乘法与除法 阅读材料 数的扩充 本章小结建议 复习题五

《数学选修2-3》

第一章 计数原理

§1 分类加法计数原理与分步乘法计数原理

1.1分类加法计数原理 2.2分步乘法计数原理 §2 排列 §3 组合

§4 简单计数问题 §5 二项式定理 5.1二项式定理

5.2二项式系数的性质 本章小结建议 复习题一 第二章 概率

§1 离散型随机变量及其分布列

§2 超几何分布

阅读材料 彩票中的概率 §3 条件概率与独立事件 阅读材料 概率与法庭 §4 二项分布

阅读材料 需要多少条外线 §5 离散型随机变量的均值与方差

§6 正态分布

6.1连续型随机变量 6.2正态分布

阅读材料 正态分布小史及其他

本章小结建议 复习题二

第三章 统计案例 §1 回归分析 1.1回归分析 1.2相关系数

1.3可线性化的回归分析

阅读材料 高尔顿与回归 §2 独立性检验

2.1条件概率与独立事件 阅读材料 概率与法庭 2.2独立性检验

2.3独立性检验的基本思想 2.4独立性检验的应用

统计活动 学习成绩与视力之

本章小结建议 复习题三

间的关系

《数学选修4-1 几何证明选讲》 第一章 直线、多边形、圆 §1 全等与相似 §2 圆与直线 §3 圆与四边形

阅读材料 定长闭曲线最大面积问题 本章小结建议 复习题一

第二章 圆锥曲线 §1 截面欣赏 §2 直线与球、平面与球的位置关系 §3 柱面与平面的截面 §4平面截圆锥面

§5 圆锥曲线的几何性质 研究性学习本章小结建议 复习题二

《数学选修4-2 矩阵与变换》

引 言

第一章平面向量与二阶方阵

§1平面向量及向量的运算

§2向量的坐标表示及直线的向量方程

§3二阶方阵与平面向量的乘法 第二章 几何变换与矩阵

§1 几种特殊的矩阵变换

§2 矩阵变换的性质

第三章 变换的合成与矩阵乘法

§1 变换的合成与矩阵乘法

§2 矩阵乘法的性质 第四章 逆变换与逆矩阵

§1 逆变换与逆矩阵

§2 初等变换与逆矩阵

§3 二阶行列式与逆矩阵

§4 可逆矩阵与线性方程组 第五章 矩阵的特征值与特征向量

§1 矩阵变换的特征值与特征向量

§2 特征向量在生态模型中的简单应用

阅读材料

复习小结建议

《数学选修4-4坐标系与参数方程 》 第一章 坐标系

§1平面直角坐标系 §2 极坐标系

§3 柱坐标系和球坐标系 阅读材料 笛卡尔与坐标系 本章小结建议 复习题一

第二章 参数方程

§1 参数方程的概念

§2 直线和圆锥曲线的参数方程 §3 参数方程化成普通方程 §4平摆线和渐开线 §5 圆锥曲线的几何性质 阅读材料1 其他摆线

阅读材料2 摆线的应用研究 本章小结建议 复习题二

《数学选修4-5不等式选讲》 第一章 不等关系与基本不等式 §1 不等式的性质

§2 含有绝对值的不等式 §3平均值不等式 §4 不等式的证明 §5 不等式的应用 本章小结建议 复习题一

第二章 几个重要不等式 §1 柯西不等式 §2 排序不等式

§3 数学归纳法与贝努利不等式 本章小结建议 复习题二

文科学1-1,1-2,4-1,4-4 理科学

2-1,2-2

篇3：数学北师大版必修二圆

一、教材内容的比较

新课标理念下，教材的编写需要呈现出多样性和丰富性的特点，不同版本的教材可以具备不同的风格．虽然人教A版和北师大版都是根据新课标的要求编写的，但在内容上却存在很大的区别，主要体现在以下几个方面:

1．知识内容的选取与编写

具有现实性、意义性和挑战性是新课标理念下对高中数学学习内容提出的要求，这样一来，便能够激发学生对数学学习的积极性和主动性，在教学活动中主动开展各类学习活动．就人教A版和北师大版两版教材来看，虽然在知识内容的选取和编写上都能够满足新课标的需求，但体现在具体章节中却有所不同．例如，在三角函数部分，人教A版选取的知识点有10个，北师大版则选取了20个;在平面向量部分，人教A版选取的知识点有38个，北师大版则选取了50个．总的来说，人教A版选取的知识点共48个，北师大版选取的知识点共70个．

2．知识内容所占比例

表1给出的是两版教材知识内容的所在比例，从表1中我们可以看出，虽然两版教材各项内容在整个教材中所占据的比例各不相同，但在侧重点上都是相同的，例如，三角恒等变化所占比例都相对较少，函数概念所占比例则相对较多．

二、教材体系结构的比较

发现问题、提出问题、解决问题是新课标对教材体系结构的根本要求，这一理念在人教A版和北师大版都得到了充分体现，但同样也存在着区别．其中，人教A版的教材体系结构主要是从学生已有知识的角度出发，建立新、旧知识之间的联系，强调知识的内部开展．教材中除正文之外，还加入了一些标注内容，涉及了对相关知识的解释和方法的提示等，整体上具有极强的理论性和系统性，学生可以通过对新知识的学习，达到巩固旧知识的目的，进而培养学生学习数学、应用数学的能力．而北师大版的数学教材，则沿袭了传统的“发现问题———提出问题———解决问题”的思路，将理论知识与生活实践有效结合起来，结合学生的认知特点，注重知识发生、发展的过程，将“认知———发现”和“建构主义”等学习理论与教材体例的编写有效结合起来，使得整个教材体系结构更具时代感和现实感．

三、知识呈现方式的比较

在知识的呈现方式上，人教A版与北师大版高中数学教材也有一定的区别．主要体现在以下几个方面:

1．目录的比较

目录是教材内容的缩印，是全书的骨架．通过目录可以对全书的内容、结构等信息有一个简要的了解，通过对人教A版与北师大版高中数学教材的目录分析我们发现，两版教材在目录的编写上存在很大差异，一方面，两版教材的目录都能够将每章的整体框架充分显示，但北师大的目录相对来说更加详细一些，章中小节、知识点和习题页次都逐一表明，读者可以通过目录更加方便的查找自己所需的内容，相对来说，人教A版则相对比较简单．另一方面，两版教材在拓宽学生视野方面都给予了高度重视，但北师大版的形式为“阅读材料”，人教A版的形式则是“探究与发现”和“阅读与思考”．

2．章头引言的比较

章头引言的目的是为了让学生对本章所介绍的内容进行简要了解，形成一个整体的印象．章头引言直接关系着是否能够提高学生的学习兴趣，因此，语言的选择极为重要．人教A版的章头引言几乎都是采用的生活照片，而且与本章的内容具有十分密切的联系，北师大版的章头引言则相对来说比较抽象，学生理解起来比较困难．此外，人教A版注重思想方法和过程联系的突出，引言部分直接包含了本章目录，而北师大版则注重强调本章的地位和作用，目录往往在引言的背面，而且引言中有时还会附上名家名言．

结语

综上所述，随着新课程改革的不断深入，高中数学教材也在不断进行更改与完善．为了使数学教材适应多个地区的教学要求，我国现有的高中数学教材共有5个版本，这些不同版本的数学教材在全国不同省市得到了广泛应用，并取得了良好的效果．在未来的时间里，教育部门应加大对高中数学教材改革的重视程度，完善教材内容和结构，进而为教学质量的有效提升奠定坚实的基础．

摘要：随着新课标理念的不断深入,各学科教材的有效改革成为了一种必然趋势.数学作为高中教学体系的一个重要组成部分,当前可供各省使用的教材共有五种版本,这不仅可以使各个省份根据本地区的实际情况选择合适的教材,而且可以有效拓宽教学工作的视野,使教学目标能够更好的实现.本文主要以人教A版和北师大版为例,探讨两种不同版本的高中数学教材,对其内容和体系结构进行全面了解,以此来帮助教师更好的使用新教材.

关键词：人教A版,北师大版,高中数学,教材比较

参考文献

[1]彭上观,邓康日.高中数学不同版本新教材习题的比较研究——以人教A版、北师大版、苏教版高中新教材数学1为例[J].中学数学杂志,2011(09).

篇4：数学北师大版必修二圆

一、 数学史料的内容分类及其数量分布

教材中数学史料的内容主要分为数学家解决问题的故事（如金冠之谜）、相关数学知识史料（如小数的历史）、数学思想方法（如“筛法”史料的介绍）、经典数学问题（如鸡兔同笼问题）、数学名题（如哥德巴赫猜想）和其他文化等六大类。其中“其他文化”主要是指音乐、绘画、建筑、天文、计算机、商业等生活领域，侧重介绍数学发展与社会生活各方面的关系。比如，黄金分割比：教材中简单介绍了黄金比在建筑、绘画和优选法等方面的应用。

通过统计发现，首先，随着年级的升高，教材中安排的数学史料的数量在增加，而且在五、六年级已经开始涉及数学思想方法（6处）、经典数学问题（1处）、历史名题（1处）等。其次，教材中大部分数学史料属于相关数学知识史料（共28处），可见教材编写者比较注重以此形式促进学生对相关数学知识的发展过程进行初步的了解和认知。第三，教材中介绍了数学家解决问题的故事（2处），如古希腊数学家埃拉托塞尼（Eratosthenes）创造“筛法”，在自然数中寻找质数。在此版本的教材中并未选用数学家的生平和励志故事，比如数学家在创造数学成果的过程中所遇到的困惑、挫折、失败以及不屈不挠的精神等。

二、 数学史料的设计模式

小学数学教材中数学史料的设计模式反应了如何将其负载的深层的文化价值进行体现，以充分发挥其在小学数学课程中的教育教学功能。

通过对此版本教材包含的数学史料的分析，总结出两种设计模式：附加式包含和隐性融入。附加式包含模式的表现形式之一为由数学知识引出数学史料，即教材在阐述数学知识时联想到有关的数学史料，继而在教学内容完成之后对相关史料进行简单介绍或说明。例如四年级下册完成“认识方程”这章全部学习任务之后，在数学万花筒中介绍了方程的简短史料。附加式包含模式的另一种表现形式为阅读材料式数学史，即教材中某章节授课任务后介绍的数学史料和所讲内容稍有联系或无联系。比如四年级上册在“认识更大的数”这章最后给出数字的发展，从用石子或结绳记数到印度—阿拉伯数码的广泛使用。此时，数学史作为知识的注解或扩充，目的是让学生在学习知识时了解一些相关的数学史料，使他们的数学学习由课堂延伸到课外，开阔视野，丰富知识。而隐性融入模式，具体表现形式是由数学史料引出学习内容，此时数学史料已非边缘化于学习内容。如五年级上册82、83页，在“点阵的规律”一节中，教材中将古希腊毕达哥拉斯学派创造的形数理论巧妙地和学生们已有学习经验相结合，让他们在探索中发现正方形数、三角形数、长方形数的特点以及它们之间的关系。

三、 数学史料的呈现方式

教材中数学史料的呈现方式主要有两种：“文字”（共19处，占55.9%）和“图文并茂”（共15处，占44.1%）。“文字”形式主要是指仅用简短的文字来阐述相关的史料，如“神奇的质数”“数的扩充”等。“图文并茂”形式是指史料中包含文字和图片。此种形式又细分为“文字为主”（11处，占73.3%）“图片为主”（2处，占13.3%）“连环画”（2处，占13.3%）。比如寻找质数的筛法的介绍中，左侧是文字的说明，右侧附以图片，促进学生对此方法的直观理解。此类呈现方式学生主要是通过文字来了解相关的史料内容。另外，在“数字的演变过程”中，是以图片为主，辅以必要的文字说明，学生主要是通过图片来了解数字的演变过程。而“计算工具的演变”则是以一组图片来讲述一个完整的小故事，学生通过连环画来了解计算工具发展的每个阶段。这两种呈现形式主要考虑到了所选史料的题材和小学生的认知特点。

在版面设计上，此版本教材主要是在正文下方、练习题最后直接呈现，并用了蓝色的标框框出，且添加了“数学阅读”“你知道吗”“数学万花筒”等这样明显的字眼，使数学史料凸显出来，以引起读者的注意。只有极少数是在教材正文中阐述。

四、 数学史料所属国度

本研究将教材中所选用的数学史料所属国度分为：单个国家（即该史料中只涉及一个国家，如古埃及的分数表示法。）、多个国家（指数学史料中包含两个及以上国家，比如，计算工具的演变。）和不凸显国度（指数学史料中没有提及国度，比如数的扩充。）其中单个国家中又细分为中国、古希腊、古埃及、德国。

经过整理发现，除了5处不凸显国度外，其余均体现了一定的地域性，其中以我国古代的数学史料为编写重点。在34处数学史料中，我国占了16 处，而且“多个国家”项包含的8处史料中有7处涉及中国，在数量上大大超过了其他国家。编者的主要目的可能在于通过此形式来提高学生们的民族自豪感。数学多元文化则主要体现在数学概念的发展过程中，比如“圆周率的历史”从最原始的测量到用多边形逼近，从“布丰投针”到计算机的贡献，介绍了这个概念在不同时代、不同文化中的传承和发展。但在此版本中反应多元文化的数学史料还较少。

五、 反思与建议

从上面的分析我们可以看出， 数学教材中的数学史料从篇幅容量的增加、内容选择种类的丰富性、以及呈现方式的多样性和设计模式的创新上都进行了大胆的尝试，这较之以前的小学数学教材来说有了较大的进步。但也存在一些问题，例如，体现数学思想方法的数学史料较少、分布不均均衡、设计模式的合理选择等，为了解决上述存在的问题， 我们提出以下几点建议。

1.丰富数学史料的内容选择。本教材中所涉及的数学史料主要包括数学概念、数学符号的产生和发展、历史上的数学著作、数学家、数学工具演变等，但是从小学数学所涉及的知识内容来看，还有很多相对应的数学思想方法史料，如古埃及的倍乘法、试错法、中国古代的盈亏术等等，这些史料所凝结的智慧如果能采用恰当的形式进行展现必将促进他们对现代算法、算理的理解。另外，教材中还可以增加数学家的励志故事来激励孩子们努力学习，热爱数学。例如，欧拉在双目失明后凭借超人的记忆力和心算能力仍创造了丰富的数学成果等。

2.适当增加教材中数学史料的数量。《义务教育数学课程标准（2011年版）》在实验稿的基础上在教材编写建议中进一步提出“数学文化作为教材的组成部分，应渗透在整套教材中”，这是对“数学是人类的一种文化”理念的深化。而数学史是数学文化的载体，那么在教科书中体现数学文化教育的理念，一个重要的途径是增加数学史料。如何把这些史学形态的智慧结晶采用一种恰当的形式或手段展现或传递给学生，这是需要进一步深入研究和解决的问题。

3.数学史料设计模式的选择

当谈及数学史料与数学教材、数学课程时，相关研究总是会强调“要达到隐性融入”，这无可厚非。但我们必须认识到附加式包含或显性融入是数学史料进入数学教学的必经阶段。在此阶段，要根据小学教材中所选数学史料的内容或性质不同，而加以区别对待。比如数学家的生平和励志故事；数学在计算机、艺术、建筑等领域的广泛应用；数学知识、概念的简单注解等都比较适合采用直接融入，以使学生对所学数学知识的注解、扩充以及背景有所了解（比如方程简史；分数，小数的历史。）即可。如果所选择的数学史料中涉及深层的数学思想方法（比如圆周率的发展史料、形数理论等），这就需要一线教师、数学教育研究者、数学史研究者和教材编写者共同努力，将相应的思想、方法和小学数学知识进行整合，力求能够达到将数学史料间接融入教材或教学。因此，数学史料采取哪一种设计模式进入小学教材需根据材料的种类和性质来判断，而不是一味的强调隐性融入。

参考文献

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[2] 杨豫晖，魏佳，宋乃庆.小学数学教材中数学史的内容及呈现方式探析[J].数学教育学报，2007，16（4）.

[3] 陈碧芬，唐恒钧.北京师范大学版初中数学教材中数学史的研究[J].数学教育学报，2007，16（2）.

[4] 罗新兵，魏金英，刘阳，等. 高中数学教材中数学史分布的特征和模式研究[J].数学教育学报，21（1）.

[5] 张维忠.数学教育中的数学文化[M]. 上海：上海教育出版社，2011.

篇5：数学北师大版必修二圆

【三维目标】：

一、知识与技能

1.学会利用余弦定理解决有关平几问题及判断三角形的形状，掌握转化与化归的数学思想； 2.能熟练地运用余弦定理解斜三角形；

二、过程与方法

通过对余弦定理的运用，培养学生解三角形的能力及运算的灵活性

三、情感、态度与价值观

培养学生在方程思想指导下处理解三角形问题的运算能力； 【教学重点与难点】：

重点：利用余弦定理判断三角形的形状以及进行三角恒等变形； 难点：利用余弦定理判断三角形的形状以及进行三角恒等变形 【学法与教学用具】：

1.学法：

2.教学用具：多媒体、实物投影仪.【授课类型】：新授课 【课时安排】：1课时 【教学思路】：

一、创设情景，揭示课题

1.余弦定理的内容？

2.如何利用余弦定理判断锐角、直角、钝角？ 2.利用余弦定理可解决哪几类斜三角形的问题？

二、研探新知，质疑答辩，排难解惑，发展思维

例1（教材P在ABC中，AM是BC边上的中线，求证：AM16例6）

12(AB2AC2)BC2 2例2（教材P15例5）在ABC中，已知sinA2sinBcosC，试判断三角形的形状

a2b2sin(AB)例3 在ABC中，证明： sinCc2例4 已知三角形一个内角为60，周长为20，面积为103，求三角形的三边长。

例5三角形有一个角是60，夹这个角的两边之比是8：5，内切圆的面积是12，求这个三角形的面积。

四、巩固深化，反馈矫正

1．在ABC中，设CBa,ACb，且|a|2,|b|3,a•b3，则AB_____

ab02.在ABC中，已知C60，a、b、c分别为角A、B、C所对的边，则的值等于bcca00________

五、归纳整理，整体认识

让学生总结本节课所学的内容及方法（1）知识总结：（2）方法总结：

六、承上启下，留下悬念 1．书面作业

七、板书设计（略）

篇6：数学北师大版必修二圆

1.2数列的函数特性

教学目的：

1．了解数列的递推公式，明确递推公式与通项公式的异同； 2．会根据数列的递推公式写出数列的前几项； 3．理解数列的前n项和与 的关系； 4．会由数列的前n项和公式求出其通项公式.教学重点：根据数列的递推公式写出数列的前几项 教学难点：理解递推公式与通项公式的关系

内容分析：由于并非每一函数均有解析表达式一样，也并非每一数列均有通项公式(有通项公式的数列只是少数)，因而研究递推公式给出数列的方法可使我们研究数列的范围大大扩展 递推是数学里的一个非常重要的概念和方法 在数列的研究中，不仅很多重要的数列是用递推公式给出的，而且它也是获得一个数列的通项公式的途径：先得出较为容易写出的数列的递推公式，然后再根据它推得通项公式 但是，这项内容也是极易膨胀的，例如研究用递推公式给出的数列的性质，从数列的递推公式推导通项公式等，这样就会加重学生负担 考虑到学生是在高一学习，我们必须牢牢把握教学要求，只要能初步体会一下用递推方法给出数列的思想，能根据递推公式写出一个数列的前几项就行了 教学过程：

一、复习引入：上节学习知识点如下 ⒈ 数列的定义：按一定次序排列的一列数叫做数列.注意：⑴数列的数是按一定次序排列的，因此，如果组成两个数列的数相同而排列次序不同，那么它们就是不同的数列；

⑵定义中并没有规定数列中的数必须不同，因此，同一个数在数列中可以重复出现.⒉ 数列的项：数列中的每一个数都叫做这个数列的项.各项依次叫做这个数列的

知识改变命运，学习成就未来

6．数列有三种表示形式：列举法，通项公式法和图象法.7． 有穷数列：项数有限的数列.例如，数列①是有穷数列.8． 无穷数列：项数无限的数列.二、讲解新课：知识都来源于实践，最后还要应用于生活 用其来解决一些实际问题．

观察钢管堆放示意图，寻其规律，建立数学模型．

模型一：自上而下：

知识改变命运，学习成就未来

∴当n≥1时 才有意义；当n-1≥1即n≥2时 才有意义.3． 与 之间的关系：

由 的定义可知，当n=1时，； 当n≥2时，即

说明：数列的前n项和公式也是给出数列的一种方法.三、例题讲解

篇7：数学北师大版必修二圆

教学目的：

⑴使学生掌握正弦定理 教学重点：正弦定理

教学难点：正弦定理的正确理解和熟练运用

授课类型：新授课

课时安排：1课时

教具：多媒体、实物投影仪

教学过程：

一、引言：在直角三角形中，由三角形内角和定理、勾股定理、锐角三角函数，——提出课题：正弦定理、余弦定理

二、讲解新课：

正弦定理：在任一个三角形中，各边和它所对角的正弦比相等，即abc== =2R（R为△ABC外接圆半径）sinAsinBsinC

ab，sinB=，sinC=1cc 1．直角三角形中：sinA=

即c=abcabc，c=，c=． ∴== sinAsinBsinCsinAsinBsinC

2．斜三角形中

111证明一：（等积法）在任意斜△ABC当中S△ABC=absinCacsinBbcsinA 22

21abc 两边同除以abc即得：== 2sinAsinBsinC证明二：（外接圆法）如图所示，∠Ａ＝∠Ｄ∴

同理 aaCD2R sinAsinDbc=2R，＝2R sinBsinC证明三：（向量法）

过A作单位向量j垂直于AC由AC+CB=AB



两边同乘以单位向量j 得 j•(AC+CB)=j•AB

则•+•=•



∴|j|•|AC|cos90+|j|•|CB|cos(90C)=| j|•|AB|cos(90A)

∴asinCcsinA∴

ac

= sinAsinC

sinC

sinB

sinA

sinB

sinC

cbabc

同理，若过C作j垂直于CB得： =∴==

正弦定理的应用 从理论上正弦定理可解决两类问题：1．两角和任意一边，求其它两边和一角；

2已知a, b和A, 用正弦定理求B时的各种情况: ⑴若A为锐角时:

无解absinA

一解(直角)absinA



bsinAab二解(一锐, 一钝)

ab一解(锐角)

已知边a,b和A

a

无解

a=CH=bsinA仅有一个解

CH=bsinA

ab无解

⑵若A为直角或钝角时:

ab一解(锐角)

三、讲解范例：

例1 已知在ABC中，c10,A45,C30,求a,b和B 解：c10,A45,C30∴B180(AC)10

5accsinA10sin450

2 由 得 a0

sinAsinCsinCsin30

由

bc

得 sinBsinC

csinB10sin1050620b20sin75205652 0

sinC4sin30

例2 在ABC中，b3,B600,c1,求a和A,C

bccsinB1sin6001解：∵,sinC

sinBsinCb2bc,B600,CB,C为锐角，C300,B900

∴ab2c2

2例3 ABC中，c6,A450,a2,求b和B,C

accsinA6sin450解： ,sinC

sinAsinCa22

csinAac,C600或1200

csinB6sin750

当C60时，B75,b31，sinCsin600

csinB6sin150

当C120时，B15,b1 0

sinCsin60

b1,B750,C600或b31,B150,C1200

（2010广东理数）11.已知a,b,c分别是△ABC的三个内角A,B,C所对的边，若

则sinC=

解：由A+C=2B及A+ B+ C=180°知，B =60°．

由正弦定理知，1，sinA

3即sinA

．由ab知，AB60，则A30，C180AB180306090，sinCsin90

1四、课堂练习：

asinAABC中，bsinBc

sinC

k,则k为() RRR(R为△ABC外接圆半径)

ABC中，sin2A=sin2B+sin

2C，则△ABC为()

ABCcos2A中，求证：

a2cos2Bb21

1a2b

参考答案：，

bsinBsinAasinBb(sinAa)2(sinBb)2

sin2Aa2sin2B

1cos2Ab

a21cos2Bb2 

cos2Acosa22Bb21a21

b2

五、小结正弦定理，两种应用

六、课后作业： sinAABC中，已知

sinCsin(AB)sin(BC)，求证：a2，b2，c

2证明：由已知得sin（B＋C）sin（B－C）＝sin（A＋B）·sin（A－B）

cos2B－cos2C＝cos2A－cos2B2cos2B＝cos2A＋cos2C

2

1cos2B1cos2A1cos2B2222

∴2sinB＝sin2A＋sin2

C由正弦定理可得2b2

＝a2

＋c2

即a2，b2，c2

七、板书设计（略）

八、课后记：

第二课时：教材P46页例

1、例

2、例3

篇8：数学北师大版必修二圆

1新课程教材反思

1.1新教材的优点

1.1.1定位准确

必修课程5个模块定位为:使所有学生掌握高中数学的基础知识和基本技能;注重提高学生在数学方面的各种能力, 发展学生的理性思维习惯, 提高学生对数学价值的认识, 培养他们的应用意识和创新意识.其中模块1是基础中的基础, 它包括了集合、基本初等函数及其应用, 我们采取了1→4→5→3→2的顺序开展教学.

1.1.2理念创新

新教材在总体上为学生构建共同基础, 提供发展平台, 又兼顾个性发展的选择, 强调师生互动, 学生在老师引导下, 主动积极地参与学习, 获取知识, 发展思维能力, 着眼学生的发展与未来, 注重数学应用意识, 突出体现数学的文化价值和教学手段的现代化.

1.1.3设计新颖

5个必修模块的设计与布局与旧教材不同, 对新知识的学习, 大部分都通过适当的问题情景, 引出需要学习的数学内容, 然后安排观察、探究、思考、提示等引导学生用正确的学习方式掌握知识;同时又插进了许多辅助资料, 如:探究与发现、阅读与思考、观察与发现、信息技术应用等到拓展性栏目, 为学生学习提供选学素材, 极大地开阔了学生的视野.同时, 教材留有许多空白空间, 让学生在学习过程中自由发挥, 充满个性.课本习题 的A (B) 类型设计, 满足不同学生的需求, 对发展不同学生的数学能力提供了舞台.特别是B中的某些问题, 既是课本知识的补充, 又为后续学习埋下伏笔, 课本中不乏有精彩习题出现, 非常值得钻研.

1.2需要改进的问题

1) 初高中知识衔接不上, 有些地方严重脱节 (如十字相乘法等) ;

2) 课时不足, 使用新教材总感觉上课总在赶进度, 对知识点很难进一步深入研究, 只能点到为止, 学生的实际参与时间并不多, 很难体现新的理念“独立思考, 自主探索, 动手实践, 相互交流”, 若要减轻学生的负担, 教材内容应减少一点, 否则反而增加了学生的负担, 教材编写者认为很多地方只要学生自己完成, 其实高中的很多内容还须老师传授知识为主, 决不能一讲自主学习, 就完全放手, 要具体内容具体分析.

3) 理想化色彩较浓, 新教材中部分教学目标不明确, 教师到底是教还是不教很难把握, 教学中容易出现超标拓展、内容提前、一步到位的现象.如复合函数的定义域、值域, 《标准》中只有指出不要特别设置一些繁难的问题, 但定义不明确, 再者如反函数, 按教材要求只要让学生知道反函数的概念为止, 难道就知道这一概念化吗, 课本后面的探究与理解又给反函数的例子探究, 而以新教材设置这一块内容应在学习的范围之内的, 这些内容的教学目标较不明确.

4) 新教材在数学 知识应用 方面非常 重视, 每一模块都安排了大量实际情境的应用题, 这些应用题都与时倶进, 具有真实性、时尚性, 没有故意改变数据, 鼓励学生用计算器或电脑操作, 但是学生如果随意用计算机却有一种依赖, 容易造成运算能力低下, 出现如38÷2=16等许多低级错误.所以不能为了追求时尚而轻视了基本功的训练;应用题目一般很长, 有些学生没有相关的生活经历, 特别是农村学生, 无法理解题意, 如税收问题、货款问题等等.数学知识的应用固然重要, 但不能要求过高, 不能为了“应用”而应用, 教材中牵强的、要求过高的地方出现的比较多, 与学生的实际情况有距离.如:《必修1》第95页例7等题目, 脱离学生的实际水平, 题目失去了设置的意义.应用问题应基础、基本, 让学生感觉数学就在身边, 自己有能力解决许多问题, 以免造成看见应用问题就害怕的局面.

5) 不重视对概念下定义, 造成学生学完后没有形成概念知识, 缺乏知识的完整性、系统性, 结果是教师到了高三仍要补充相关的概念定义.有时教材为了减轻学生的负担, 简化概念的定义, 如:三角函数的定义:设单位圆与角α的终边交于点P, 则r=1, P (x, y) , 得到:sinα=y, cosα=x, tanα=y/x.学生在练习:已知角α的终边过点P (3, 4) , 求角α的三角函数值;结果出现:sinα=4, cosα=3错误.建议采纳旧教材的三角函数定义, 即:在角α的终边上任取点P (x, y) (异于原点) , 得到sinα=y/r, cosα=x/r, tanα=y/x.把利用单位圆作为求 解的特殊情况来处理.

6) 教材很多都以物理为背境引入数学知识, 但两个学科在时间上有时差, 如由“简谐运动”引出三角函数的曲线, 由物体做功引出向量的数量积等, 对学生学习新知识没有什么帮助.又如高一物理一开始 就讲“力的 分解”, 而作为基础的向量知识又在高一上学期结束才会讲授.

2教学过程与反思

2.1更新观念、活用教材

作为实施教学的教师, 从观念上首先要认识:教学过程既是学生掌握知识的过程又是发展学生智力的过程;教师要从“知识的传授者”转变为“学生学习的引导者”.在教学实践中, 要认真钻研课标和教材, 充分挖掘教材的优势和潜能, 大胆创新 教法, 灵活使用 教材, 使我们的新课程改革在前进中少走弯路, 努力实现“教与学”的和谐统一.案例:《必修5》中学习正弦定理知识, 有几种方法可以引入正弦定理, 哪个最优呢?纵观前后知识, 我采用了由三角形面积公式引入;先从复习三角形面积公式入手, 引起学生共鸣;然后给出问题:在三角形ABC中, 已知b、c边与角A, 怎样求三角形的面积?学生会主动地作高而求得三角形的面积, 进一步讨论得到:只要已知三角形的两边与夹角就能求出三角形的面积, 即

, 若上式各除以abc得到

又得到

把握教材的“度”, 活用教材, 能更好地提高课堂教学效果.

2.2改革教学方式

在教学中要真正体现学生的主体性, 就必须使认识教学过程是一个再创造的过程, 使学生在自觉、主动、深层次的参与过程中, 实现发现、理解、创造与应用, 在学习中学会学习.而恰当的问题情境, 能引发学生的认知冲突, 使学生产生明显的意识倾向和情感共鸣, 激发他们的求知欲和探索精神, 引导学生主动思考.因此, 在数学课堂教学中, 教师应设置富有挑战性的问题情境, 为学生更深入地、具体地进行数学思维活动提供动力和方向, 让学生自始至终保持较强的学习迫切性, 并产生积极思维的心理气氛.但在教学中还发现:有的教师为了实现短期效果, 仍然是使课堂教学变成以教师为中心的以“教”为主, 学生没有动脑思考及动手练习的时间, 更谈不上探究、自学、讨论.长此以往, 势必使学生养成眼高手低的习惯, 变成一听就懂, 只会模仿例题来做, 当时的效果看来不错, 但过了一段时间以后, 再检査学生, 却是连当时认为简单的都不会了, 个別会做的却是用当初他自己想出来的方法才能做.这种现象说明:教师讲得再好, 学生没有经历动脑思考探讨的过程、没有动手练习巩固, 就不可能变成学生自己的知识.因此, 要求老师们一定要牢固地树立“学为主体”的思想, 还思维于学生, 还时间于学生, 积极实施启发式、探究式、讨论式的教学模式, 课堂上一定要给学生足够的动脑思考及动手练习的时间, 要积极调动学生参与课堂讨论, 充分发挥学生的求异思维、发散思维、创造性思维, 使学生全员参入、全程参入.坚决废除“注入式”、“一言堂”, “满堂灌”.

2.3改进教学评价

改进教学评价的内容、方式、方法也是课程目标.新课程标准明确提出:教学评价的主要目的是为了全面了解学生的数 学学习历程, 激励学生的学习和调整教师的教学.在教学过程中对数学学习的评价既要关注学生学习的成缋, 更要关注他们学习的过程;要关注学生数学学习的能力以及在课堂活动中所表现出来的情感与态度.要根据不同的内容、不同的学习目标采取多种形式的评价, 除了常规的测验、考试等笔试外, 应把评价过程动态化, 使之贯穿于课堂、日常、活动过程, 可设立发现问题奖、发言奖、辩论奖;可进行研究学习成果汇报展览;可以让学生设计测验试卷, 同学之间互测互评.要经常了解学生对自己授课情况的反馈意见, 提倡定期召开学生座谈会, 及时反馈有关情况, 及时改进教法, 提高我们的课堂教学效率, 提高学生成绩.集思广益, 充分发挥备课组每个成员的优势与特点, 群策群力, 开展相互听课、评课, 也是教学评价的好方式.

3给学校的一些建议

1) 希望给每个数学老师配一个科学计算器, 省得备课时为了一个计算问题去向学生借, 同时也可以允许指导学生怎么用、什么时候可以用.

2) 组织老师 编写本校 特色的《三 案一课》, 以应对教辅资料与教材不配套的矛盾, 不仅可以让老师的教学和学生的学习变得高效, 还可以从根本上改变学校的教学质量, 提高学校的声誉, 当然也可以为老师创收, 我相信这个工作非常有意义, 也只有在学校的支持下才能取得成功.