数学必修一函数奇偶性

数学必修一函数奇偶性（共10篇）

篇1：数学必修一函数奇偶性

辅导讲义5-------函数的奇偶性

一、课前回顾

1、（1）增函数定义：一般地，设函数y=f(x)的定义域为I，如果对于定义域I内的某个区间D内的任意两个自变量x1，x2，当x1

（2）减函数定义：一般地，设函数y=f(x)的定义域为I，如果对于定义域I内的某个区间D内的任意两个自变量x1，x2，当x1f(x2)，那么就说f(x)在区间D上是减函数。

注意：○1函数的单调性是在定义域内的某个区间上的性质，是函数的局部性质； 必须是对于区间D内的任意两个自变量x1，x2；当x1

2、函数的单调性定义：如果函数y=f(x)在某个区间上是增函数或是减函数，那么就说函数y=f(x)在这一区间具有（严格的）单调性，区间D叫做y=f(x)的单调区间。

3、判断函数单调性的方法步骤：

利用定义证明函数f(x)在给定的区间D上的单调性的一般步骤：

○1 任取x1，x2∈D，且x1

○2 作差f(x1)－f(x2)； 变形（通常是因式分解和配方）； ○4 定号（即判断差f(x1)－f(x2)的正负）； ○5 下结论（即指出函数f(x)在给定的区间D上的单调性）。○

二、知识要点

1、函数的奇偶性定义：

（1）偶函数：一般地，对于函数f(x)的定义域内的任意一个x，都有f(－x)=f(x)，那么f(x)就叫做偶函数．

（2）奇函数：一般地，对于函数f(x)的定义域内的任意一个x，都有f(－x)=f(x)，那么f(x)就叫做奇函数．

注意： 函数是奇函数或是偶函数称为函数的奇偶性，函数的奇偶性是函数的整○体性质； 由函数的奇偶性定义可知，函数具有奇偶性的一个必要条件是，对于定○义域内的任意一个x，则－x也一定是定义域内的一个自变量（即定义域关于原点对称）．

2、具有奇偶性的函数的图象的特征：

偶函数的图象关于y轴对称；奇函数的图象关于原点对称。

三、典型例题

1．判断函数的奇偶性 方法一：定义法

利用定义判断函数奇偶性的格式步骤： 首先确定函数的定义域，并判断其定义域是否关于原点对称； ○2 确定f(－x)与f(x)的关系； ○3 作出相应结论： ○若f(－x)= f(x)或 f(－x)－f(x)= 0，则f(x)是偶函数； 若f(－x)=－f(x)或 f(－x)＋f(x)= 0，则f(x)是奇函数．

方法二：图像法

偶函数的图象关于y轴对称；奇函数的图象关于原点对称 说明：函数具有奇偶性的一个必要条件是，定义域关于原点对称，所以判断函数的奇偶性应应首先判断函数的定义域是否关于原点对称，若不是即可断定函数是非奇非偶函数．

例

1、函数f（x）=x(-1﹤x≦1)的奇偶性是

（）

A．奇函数非偶函数

C．奇函数且偶函数

例

2、下列四个命题：（1）f（x）=1是偶函数；

（2）g（x）=x3，x∈（－1，1]是奇函数；

（3）若f（x）是奇函数，g（x）是偶函数，则H（x）=f（x）·g（x）一定是奇函数；（4）函数y=f（|x|）的图象关于y轴对称，其中正确的命题个数是（）A．1

2、（1）利用函数的奇偶性补全函数的图象：偶函数的图象关于y轴对称；奇函数的图象关于原点对称

（2）利用函数的奇偶性补全函数的解析式：转移代入法

例

3、（2013年山东高考理科）已知函数f(x)为奇函数,且当x>0时, f(x)=x2+错误！未找到引用源。,则f(-1)=()（A）-2

例

4、(2006春上海)已知函数f(x)是定义在(－∞,+∞)上的偶函数.当x∈(－∞,0)时，f(x)=x-x4，则 当x∈(0.+∞)时，f(x)=.3．函数的奇偶性与单调性的关系

规律：偶函数在关于原点对称的区间上单调性相反；奇函数在关于原点对称的区间上单调性一致．（B）0

（C）1

（D）2 B．2

C．3

D．4

B．偶函数非奇函数 D．非奇非偶函数

例

5、（1）已知f(x)是奇函数，在(0，＋∞)上是增函数，证明：f(x)在(－∞，0)上也是增函数。

（2）若f(x)是偶函数，在(0，＋∞)上是增函数，则f(x)在(－∞，0)上也是增函数还是减函数？

例

6、f（x）是定义在（－∞，－5］［5，＋∞）上的奇函数，且f（x）在［5，＋∞）上单调递减，试判断f（x）在（－∞，－5］上的单调性，并用定义给予证明．

四、课堂练习

1.已知函数f（x）＝ax2＋bx＋c（a≠0）是偶函数，那么g（x）＝ax3＋bx2＋cx（）

A．奇函数

B．偶函数

C．既奇又偶函数

D．非奇非偶函数

2．已知函数f（x）＝ax2＋bx＋3a＋b是偶函数，且其定义域为［a－1，2a］，则（）

1，b＝0

B．a＝－1，b＝0 C．a＝1，b＝0

D．a3＝3，b＝0

A．a3．已知f（x）是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f（x）＝x2－2x，则f（x）在R上的表达式是（）

A．y＝x（x－2）

B．y ＝x（｜x｜－1）C．y ＝｜x｜（x－2）

D．y＝x（｜x｜－2）

4．已知f（x）＝x5＋ax3＋bx－8，且f（－2）＝10，那么f（2）等于（）

A．－26

B．－18

C．－10

D．10 5．函数f(x)x221x2的奇偶性为________（填奇函数或偶函数）

6.设函数y＝f（x）（xR且x≠0）对任意非零实数x1、x2满足f（x1·x2）＝f（x1）＋f（x2），求证f（x）是偶函数．

五、课后作业

1．函数f(x)x1是（）

21xx11x2

A．偶函数

B．奇函数

C．非奇非偶函数

D．既是奇函数又是偶函数

2．若(x)，g（x）都是奇函数，f(x)abg(x)2在（0，＋∞）上有最大值5，则f（x）在（－∞，0）上有（）

A．最小值－5

B．最大值－5

C．最小值－1

D．最大值－3

3．若y＝（m－1）x2＋2mx＋3是偶函数，则m＝_________． 4．已知f（x）是偶函数，g（x）是奇函数，若f(x)g(x)的解析式为_______．

5.（2005山东）下列函数既是奇函数，又在区间1,1上单调递减的是()

1A.f(x)sinx

B.f(x)x1C.f(x)axax

21x1，则f（x）D.f(x)ln 2x

2x6.已知函数f（x）是奇函数，且当x＞0时，f（x）＝x3＋2x2—1，求f（x）在R上的表达式．

ax21(a,b,cN)是奇函数,f(1)2,f(2)3,且7.已知函数f(x)bxcf(x)在[1,)上是增函数,(1)求a,b,c的值;(2)当x∈[-1,0)时,讨论函数的单调性.8.已知g(x)=－x2－3,f(x)是二次函数，当x∈[-1,2]时，f(x)的最小值是1，且f(x)+g(x)是奇函数，求f(x)的表达式。

篇2：数学必修一函数奇偶性

教学目标：理解函数的奇偶性

教学重点：函数奇偶性的概念和判定 教学过程： 1．概念形成： 通过对函数y1，yx2的分析，引出函数奇偶性的定义。x2．性质探究：

函数奇偶性的几个性质：

（1）奇偶函数的定义域关于原点对称；

（2）奇偶性是函数的整体性质，对定义域内任意一个x都必须成立；（3）f(x)f(x)f(x)是偶函数，f(x)f(x)f(x)是奇函数；（4）f(x)f(x)f(x)f(x)0, f(x)f(x)f(x)f(x)0；

（5）奇函数的图像关于原点对称，偶函数的图像关于y轴对称；

（6）根据奇偶性可将函数分为四类：奇函数、偶函数、既是奇函数又是偶函数、非奇非偶函数。

3．概念辨析：

判断下列命题是否正确

(1)函数的定义域关于原点对称，是函数为奇函数或偶函数的必要不充分条件。

此命题正确。如果函数的定义域不关于原点对称，那么函数一定是非奇非偶函数，这一点可以由奇偶性定义直接得出。

(2)两个奇函数的和或差仍是奇函数；两个偶函数的和或差仍是偶函数。此命题错误。一方面，如果这两个函数的定义域的交集是空集，那么它们的和或差没有定义；另一方面，两个奇函数的差或两个偶函数的差可能既是奇函数又是偶函数，如,与，可以看出函数都是定义域上的函数，它们的差只在区间[－1，1]上有定义且，而在此区间上函数

既是奇函数又是偶函数。都是偶函数。（3）是任意函数，那么与此命题错误。一方面，对于函数或

；另一方面，对于一个任意函数，不能保证

而言，不能保证它的定义域关于原点对称。如果所给函数的定义域关于原点对称，那么函数

是偶函数。

（4）函数

是偶函数，函数

是奇函数。

此命题正确。由函数奇偶性易证。（5）已知函数是奇函数，且

有定义，则。

此命题正确。由奇函数的定义易证。（6）已知是奇函数或偶函数，方程

有实根，那么方程的有奇数个所有实根之和为零；若实根。

此命题正确。方程偶性的定义可知：若来说，必有

是定义在实数集上的奇函数，则方程的实数根即为函数，则

。故原命题成立。

与轴的交点的横坐标，由奇

。对于定义在实数集上的奇函数4．例题讲解：

例

1、判断下列函数的奇偶性

（1）。f(x)x3x（2）。f(x)(x1)

例

2、已知f（x）xaxbx8且f(2)10，求f(x)。

参考答案：

例1.解：（1）、函数的定义域为R，f(x)(x)(x)xxf(x)

所以f(x)为奇函数

（2）、函数的定义域为{x|x1或x1}，定义域关于原点不对称，所以f(x)为非奇非偶函数

（3）、函数的定义域为{-2，2},f(x)0f(x)f(x),所以函数f(x)既是奇函数又是偶函数

评析：判断函数的奇偶性时先要判断的定义域是否关于原点对称，然后用定义来判断。

3323x1（3）。f(x)x242x2 x1

解:设g(x)x5ax3bx,则f(x)g(x)8,g(x)是奇函数例2.f(x)g(x)8,f(2)g(2)810,g(2)2，g(2)g(2)2,f(2)g(2)8286.评析：挖掘f(x)隐含条件，构造奇函数g(x)，从整体着手，利用奇函数的性质解决问题.课堂练习：教材第49页 练习A、第50页 练习B

小结：本节课学习了函数奇偶性的概念和判定 课后作业：第52页

篇3：分段函数的奇偶性证法一例

例1判断函数

的奇偶性．

传统解法为：

解当x>0时，-x<0,

f(x)=x2+3x-4,

f(-x)=-(-x)2+3(-x)+4

=-(x2+3x-4)=-f(x).

当x<0时，-x>0,

f(x)=-x2+3x+4.

f(-x)=(-x)2+3(-x)-4

=-(x2+3x+4)=-f(x).

综上，f(-x)=-f(x).

所以，f(x）为奇函数．

还可以这样来考虑：

众所周知，由函数f(x）记号的意义，可将对应法则f中的“x”理解为以下“括号”：

现将括号内统一填入-x得

所以f(-x)=-f(x).

所以f(x）为奇函数．

篇4：函数的奇偶性

科目：数学

年级：高一年级

内容：普通高中课程标准实验教科书人教A版1.3.2节函数的性质——奇偶性

函数奇偶性的概念形成，以及性质的简单应用（1课时）

奇偶性是函数的重要性质之一，它是通过函数的图象来研究得出的一个概念，实际上反映的是函数图像的一种对称，而我们所研究的数学领域存在着大量的对称美，因此也可以借此培养学生对数学对称美的认识，提高他们对数学的理解能力。

二、教学目标分析

知识与技能：通过对图象的理解，充分经历函数奇偶性这个概念的形成过程；会判断一些简单函数的奇偶性；初步学会运用函数图象理解和研究函数的性质。

过程与方法：经历函数的奇偶性这个概念的形成过程，掌握判断函数奇偶性的方法。

情感·态度·价值观：通过本节内容的学习，认识数学中的对称美，陶冶他们热爱数学、欣赏数学的情操。并且让他们对数学的认识不只是停留在对图象的表面理解，让他们对数学有更进一步的认识，提高到理论层次的认识。

三、学生特征分析

通过平时的观察、了解以及测试，学生的基础处于一个理解和简单应用的水平，不能拔高要求。不过在这之前，学生已经学习了函数的单调性，掌握了单调性概念的形成过程，也会利用单调性求函数的最值，所以为利用化归的数学思想方法来理解函数的奇偶性打下了一个良好的基础。

四、教学策略选择与设计

本课题设计的基本理念：充分利用熟悉的函数的图象来形成概念，然后利用形成的数学概念来研究更多函数的奇偶性。

主要采用的教学与活动策略：

1.复习、总结数学里的一些简单对称，如中心对称、轴对称。

3.从对图象的理解来抽象出数学中奇函数和偶函数的定义。

4.利用函数的解析式来判定函数的奇偶性，并掌握基本的判定步骤。

5.奇偶性在其他方面的应用。

策略实施过程中的关键问题：

1.从图形的理解到抽象的数学概念形成，学生理解有点难度。

2.对奇函数和偶函数概念的理解应用。

五、教学资源与工具设计

多媒体教学，充分利用几何画板和电教平台。

教学参考：教材、《教师教学用书》、《新课程导学》、《新教材，新学案》、《学海导航》等等。

六、教学过程

（一）复习总结

1.点（1，2）关于y轴的对称点是 。点（1，2）关于x轴的对称点是 。点（1，2）关于原点的对称点是 。

2.一般地：点P（x，y）关于y轴的对称点是P1（-x，y），关于x轴的对称点是P2（-x，y），关于原点的对称点是 。

3.一般地：对于函数y=f（x），其图象上一点P（xf（x））关于y轴的对称点为P1 ，关于x轴的对称点为P2 ，关于原点的对称点为P3 。

八、帮助和总结

探究：已知函数f（x）满足：对任意的x、y都有f（x）+f（y）=f（x+y），试判断函数f（x）的奇偶性。

篇5：数学必修一函数奇偶性

函数是高中数学的核心概念，本章把函数作为描述客观世界变化规律的重要数学模型来学习，强调结合实际问题，使学生感受运用函数概念建立模型的过程与方法，从而发展学生对变量数学的认识.1.结合熟悉的具体函数，理解函数的单调性、最大（小）值及其几何意义，了解奇偶性和周期性的含义，通过具体函数的图象，初步了解中心对称图形和轴对称图形.2.学会运用函数的图象理解和研究函数的性质，体会数形结合的数学方法.3.通过实习作业，使学生初步了解对数学发展有过重大影响的重大历史事件和重要人物,了解生活中的函数实例.二.编写意图与教学建议

教材突出了函数概念的背景教学，强调从实例出发，让学生对函数概念有充分的感性基础，再用集合与对应语言抽象出函数概念，这样比较符合学生的认识规律，同时有利于培养学生的抽象概括的能力，增强学生应用数学的意识，教学中要高度重视数学概念的背景教学.1.函数的表示是本章的主要内容之一，教材重视采用不同的表示法（列表法、图象法、分析法），目的是丰富学生对函数的认识，帮助理解抽象的函数概念.在教学中，既要充分发挥图象的直观作用，又要适当地引导学生从代数的角度研究图象，使学生深刻体会数形结合这一重要数学方法.2.教材将映射作为函数的一种推广，进行了逻辑顺序上的调整，体现了特殊到一般的思维规律，有利于学生对函数概念学习的连续性.3.教材加强了函数与信息技术整合的要求，通过电脑绘制简单函数动态图象,使学生初步感受到信息技术在函数学习中的重要作用.4.为了体现教材的选择性,在练习题安排上加大了弹性,教师应根据学生实际,合理地取舍.三.教学内容及课时安排建议

本章教学时间约13课时。其中1.3 函数的性质 占3课时。本次集体备课着重分析第二课时《函数的奇偶性》。

一．教学目标

1．知识与技能：

理解函数的奇偶性及其几何意义；学会运用函数图象理解和研究函数的性质；学会判断函数的奇偶性； 2．过程与方法：

通过函数奇偶性概念的形成过程，培养学生观察、归纳、抽象的能力，渗透数形结合的数学思想． 3．情态与价值：

通过函数的奇偶性教学，培养学生从特殊到一般的概括归纳问题的能力． 二．教学重点和难点：

教学重点：函数的奇偶性及其几何意义

教学难点：判断函数的奇偶性的方法与格式 三．学法与教学用具

学法：学生通过自己动手计算，独立地去经历发现，猜想与证明的全过程，从而建立奇偶函数的概念． 教学用具：三角板 投影仪 四．教学思路

通过讨论归纳：函数f(x)x2是定义域为全体实数的抛物线；函数f(x)|x|1是定义域为全体实数的折线；函数f(x)1是定义域为非零实数的两支曲线，各函数之间的共性为图象关于y轴对称．观2x察一对关于y轴对称的点的坐标有什么关系？

归纳：若点(x,f(x))在函数图象上，则相应的点(x,f(x))也在函数图象上，即函数图象上横坐标互为相反数的点，它们的纵坐标一定相等．

（二）研探新知

函数的奇偶性定义： 1．偶函数

一般地，对于函数f(x)的定义域内的任意一个x，都有f(x)f(x)，那么f(x)就叫做偶函数．（学生活动）依照偶函数的定义给出奇函数的定义． 2．奇函数

一般地，对于函数f(x)的定义域的任意一个x，都有f(x)f(x)，那么f(x)就叫做奇函数． 注意：

①函数是奇函数或是偶函数称为函数的奇偶性，函数的奇偶性是函数的整体性质； ②由函数的奇偶性定义可知，函数具有奇偶性的一个必要条件是，对于定义域内的任意一个x，则x也一定是定义域内的一个自变量（即定义域关于原点对称）．

3．具有奇偶性的函数的图象的特征

偶函数的图象关于y轴对称；奇函数的图象关于原点对称．

（三）质疑答辩，排难解惑，发展思维．

例1．判断下列函数是否是偶函数．

（1）f(x)x2x[1,2]

x3x2（2）f(x)

x1解：函数f(x)x,x[1,2]不是偶函数，因为它的定义域关于原点不对称． 2x3x2函数f(x)也不是偶函数，因为它的定义域为x|xR且x1，并不关于原点对称．

x1例2．判断下列函数的奇偶性

（1）f(x)x4（2）f(x)x5（3）f(x)x11（4）f(x)2 xx解：（略）

小结：利用定义判断函数奇偶性的格式步骤：

①首先确定函数的定义域，并判断其定义域是否关于原点对称； ②确定f(x)与f(x)的关系； ③作出相应结论：

若f(x)f(x)或f(x)f(x)0,则f(x)是偶函数； 若f(x)f(x)或f(x)f(x)0,则f(x)是奇函数． 例3．判断下列函数的奇偶性： ①f(x)lg(4x)g(4x)

12x1(x0)2②g(x)

1x21(x0)2分析：先验证函数定义域的对称性，再考察f(x)是否等于f(x)或f(x)．

|4+x＞0且4x＞0=x|4＜x＜4，它具有对称性．因为解：（1）f(x)的定义域是xf(x)lg(4x)lg(4x)f(x，所以)f(x)是偶函数，不是奇函数．

（2）当x＞0时，－x＜0，于是

11g(x)(x)21(x21)g(x)

22当x＜0时，－x＞0，于是

111g(x)(x)21x21(x21)g(x)

222综上可知，在R∪R上，g(x)是奇函数． －+例4．利用函数的奇偶性补全函数的图象．

教材P41思考题：

规律：偶函数的图象关于y轴对称；奇函数的图象关于原点对称． 说明：这也可以作为判断函数奇偶性的依据．

例5．已知f(x)是奇函数，在（0，+∞）上是增函数． 证明：f(x)在（－∞，0）上也是增函数． 证明：（略）

小结：偶函数在关于原点对称的区间上单调性相反；奇函数在关于原点对称的区间上单调性一致．

（四）巩固深化，反馈矫正．

（1）课本P42 练习1．2 P46 B组题的1．2．3（2）判断下列函数的奇偶性，并说明理由．

篇6：函数的奇偶性数学课件

一、教学目标

(一)通过具体函数，让学生经历奇函数、偶函数定义的讨论，体验数学概念的建立过程，培养其抽象概括能力.

(二)理解、掌握函数奇偶性的定义，奇函数和偶函数图像的特征，并能初步应用定义判断一些简单函数的奇偶性.

(三)在经历概念形成的过程中，培养学生归纳、抽象概括能力，体验数学既是抽象的又是具体的.

二、任务分析

这节内容学生在初中虽没学过，但已经学习过具有奇偶性的具体的函数：正比例函数y=kx，反比例函数，(k≠0)，二次函数y=ax■，(a≠0)，故可在此基础上，引入奇、偶函数的概念，便于学生理解.在引入概念时始终结合具体函数的图像，增强直观性，这样更符合学生的认知规律，同时为阐述奇、偶函数的几何特征埋下了伏笔.对于概念可从代数特征与几何特征两个角度去分析，让学生理解：奇函数、偶函数的定义域是关于原点对称的非空数集;对于有定义域奇函数y=f(x)，一定有f(0)=0;既是奇函数，又是偶函数的函数有f(x)=0，x∈R.在此基础上，让学生了解：奇函数、偶函数的矛盾概念——非奇非偶函数.关于单调性与奇偶性关系，引导学生拓展延伸，可以取得理想的效果.

三、教学设计

(一)问题情景

1.观察如下两图(图略)，思考并讨论以下问题：

(1)这两个函数图像有什么共同特征?

(2)相应的两个函数值对应表是如何体现这些特征的?

可以看到两个函数的图像都关于y轴对称.从函数值对应表可以看到，当自变量x取一对相反数时，相应的两个函数值相同.

2.观察函数f(x)=x和f(x)=的.图像，并完成下面的两个函数值对应表，然后说出这两个函数有什么共同特征.

可以看到两个函数的图像都关于原点对称.函数图像的这个特征，反映在解析式上就是：当自变量x取一对相反数时，相应的函数值f(x)也是一对相反数，即对任一x∈R都有f(-x)=-f(x).此时，称函数y=f(x)为奇函数.

(二)建立模型

由上面的分析讨论引导学生建立奇函数、偶函数的定义.

1.奇、偶函数的定义.

如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(-x)=-f(x)，那么函数f(x)就叫做奇函数.如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(-x)=f(x)，那么函数f(x)就叫做偶函数.

2.提出问题，组织学生讨论.

(1)如果定义在R上的函数f(x)满足f(-2)=f(2)，那么f(x)是偶函数吗?

(f(x)不一定是偶函数)

(2)奇、偶函数的图像有什么特征?

(奇、偶函数的图像分别关于原点、y轴对称)

(3)奇、偶函数的定义域有什么特征?

(奇、偶函数的定义域关于原点对称)

(三)解释应用

[例题]

1.判断下列函数的奇偶性.

注：①规范解题格式;②对于(5)要注意定义域x∈(-1，1].

2.已知：定义在R上的函数f(x)是奇函数，当x>0时，f(x)=x(1+x)，求f(x)的表达式.

解：(1)任取x<0，则-x>0，∴f(-x)=-x(1-x)，而f(x)是奇函数，∴f(-x)=-f(x)，∴f(x)=x(1-x).

(2)当x=0时，f(-0)=-f(0)，∴f(0)=-f(0)，故f(0)=0.

3.已知：函数f(x)是偶函数，且在(-∞，0)上是减函数，判断f(x)在(0，+∞)内是增函数，还是减函数，并证明你的结论.

解：先结合图像特征：偶函数的图像关于y轴对称，猜想f(x)在(0，+∞)内是增函数，证明如下：

∴f(x)在(0，+∞)上是增函数.

思考：奇函数或偶函数在关于原点对称的两个区间上的单调性有何关系?

[练习]

1.已知：函数f(x)是奇函数，在[a，b]上是增函数(b>a>0)，问f(x)在[-b，-a]上的单调性如何.

4.设f(x)，g(x)分别是R上的奇函数和偶函数，并且f(x)+g(x)=x(x+1)，求f(x)，g(x)的解析式.

(四)拓展延伸

1.有既是奇函数，又是偶函数的函数吗?若有，有多少个?

2.设f(x)，g(x)分别是R上的奇函数，偶函数，试研究：

(1)F(x)=f(x)·g(x)的奇偶性.

(2)G(x)=|f(x)|+g(x)的奇偶性.

3.已知a∈R，f(x)=a-，试确定a的值，使f(x)是奇函数.

篇7：数学必修一函数奇偶性

如图所示为a的不同大小影响函数图形的情况。

可以看到：

（1）指数函数的定义域为所有实数的集合，这里的前提是a大于0，对于a不大于0的情况，则必然使得函数的定义域不存在连续的区间，因此我们不予考虑。

（2）指数函数的值域为大于0的实数集合。

（3）函数图形都是下凹的。

（4）a大于1，则指数函数单调递增；a小于1大于0，则为单调递减的。

（5）可以看到一个显然的规律，就是当a从0趋向于无穷大的过程中（当然不能等于0），函数的曲线从分别接近于Y轴与X轴的正半轴的单调递减函数的位置，趋向分别接近于Y轴的正半轴与X轴的负半轴的单调递增函数的位置。其中水平直线y=1是从递减到递增的一个过渡位置。

（6）函数总是在某一个方向上无限趋向于X轴，永不相交。

（7）函数总是通过（0，1）这点。

（8）显然指数函数无界。

奇偶性

注图：（1）为奇函数（2）为偶函数

1．定义

一般地，对于函数f(x)

（1）如果对于函数定义域内的任意一个x，都有f(-x)=－f(x)，那么函数f(x)就叫做奇函数。

（2）如果对于函数定义域内的任意一个x，都有f(-x)=f(x)，那么函数f(x)就叫做偶函数。

（3）如果对于函数定义域内的任意一个x，f(-x)=-f(x)与f(-x)=f(x)同时成立，那么函数f(x)既是奇函数又是偶函数，称为既奇又偶函数。

（4）如果对于函数定义域内的任意一个x，f(-x)=-f(x)与f(-x)=f(x)都不能成立，那么函数f(x)既不是奇函数又不是偶函数，称为非奇非偶函数。

说明：①奇、偶性是函数的整体性质，对整个定义域而言

②奇、偶函数的定义域一定关于原点对称，如果一个函数的定义域不关于原点对称，则这个函数一定不是奇（或偶）函数。

（分析：判断函数的奇偶性，首先是检验其定义域是否关于原点对称，然后再严格按照奇、偶性的定义经过化简、整理、再与f(x)比较得出结论）

③判断或证明函数是否具有奇偶性的根据是定义

2．奇偶函数图像的特征：

定理奇函数的图像关于原点成中心对称图表，偶函数的图象关于y轴或轴对称图形。

f(x)为奇函数《＝＝》f(x)的图像关于原点对称

点（x，y）→（-x，-y）

奇函数在某一区间上单调递增，则在它的对称区间上也是单调递增。

偶函数在某一区间上单调递增，则在它的对称区间上单调递减。

3.奇偶函数运算

篇8：数学必修一函数奇偶性

一、利用函数的奇偶性求值, 培养学生构造的数学思想

构造, 就是按照人们某种期望的目标或需要去设计某个函数、方程或结构的工作, 也是数学中常用的一种创造性思维方法。

评析:解题过程中构造了奇函数g (x) , 再利用奇函数的定义解题就非常方便了。此题同时体现了构造的数学思想, 构造的数学思想很重要, 在实际生活中我们也会经常去构造一个我们所熟悉的模式, 同时达到把我们所不熟悉的转化成我们所熟悉的问题来思考的目的。在导数的问题中, 我们经常会去构造一个函数;在数列中我们经常会去构造我们所熟悉的等差数列和等比数列;在三角函数中我们会有意识地利用辅助角公式去构造一角一函数的既有模式, 总之构造法可以帮助我们多方位地思考问题, 特别是对于提高我们的广度和深度有很大的好处。

二、利用函数的奇偶性求解析式, 培养学生转化的数学思想

转化是解数学题的一种重要的思维方法, 转化思想是分析问题和解决问题的一个重要的基本思想, 不少数学思想都是转化思想的体现。

评析:此题解决过程中把x<0转化为-x>0体现了转化的数学思想。转化与化归是一种最基本、最重要的数学思想方法, 它无处不在, 它可以帮助我们把不熟悉的问题进行转化, 转化成我们所熟悉的问题, 把我们没有掌握的问题转化成我们已经掌握的问题。比如处理立体几何问题时, 将空间问题转化到一个平面上解决;在解析几何中, 通过建立坐标系将几何问题化归为代数问题;复数问题化归为实数问题等。

三、利用函数的奇偶性解不等式, 培养学生分类讨论的数学思想

分类讨论是在题目部分条件缺失或不明确的情况下, 按照数学对象的相同点和差异点, 将数学对象区分为不同种类的思想方法。掌握分类的方法, 领会其实质, 对于加深基础知识的理解, 提高分析问题、解决问题的能力是十分重要的。

例3.f (x) 是定义在R上的偶函数, 且在 (-∞, 0) 上单调递增, 解不等式f (2a2+1) <f (a2+3) 。

评析:本题解法可以结合函数图像, 利用偶函数的图像关于y轴对称来解决, 也可以去讨论两个变量所在的区间, 体现了一种分类讨论的思想。分类讨论是一种重要的数学思想, 是将一个较复杂的数学问题分解成若干个基础性问题, 通过对基础性问题的解答来实现解决原问题的思想策略。对问题实行分类与整合, 分类标准等于增加一个已知条件, 实现了有效增设, 将大问题转化为小问题, 优化解题思路, 降低问题难度。它要求我们对事件发生的各种情况要讨论周全, 分别研究各种情况下的可能结果。分类讨论在导数和解不等式中都会重点考察, 对学生来说既是重点又是难点, 为了分散难点, 突出重点, 在平常的教学中就要注意对学生渗透。

四、利用函数的奇偶性求对称中心和对称轴, 培养学生数形结合的数学思想

数形结合思想方法是中学数学重要的思想方法之一, 利用数形结合来解决数学中的有关问题, 有着明显的优越性。“形”的直观与“数”的精确相辅相成, 能优化解题, 化解难点知识。

评析:这两个例题求函数的对称中心和对称轴, 利用的是函数奇偶性体现出来的图像特征, 奇函数的图像关于原点对称, 是一个中心对称图形, 偶函数的图像关于y轴对称, 是一个轴对称图形。本题体现了数形结合的数学思想, 数形结合是一种重要的数学思想, 包含“以形助数”和“以数辅形”两个方面。解析几何更是研究和体现数形结合的思想方法, 同时在求方程的解的个数及函数的零点问题时也会用到。数诉诸于形, 可以使问题变得形象生动、更直观, 形诉诸于数, 可以使问题变得严谨精确和规范严密。它可以让学生知道数学严谨的同时, 体会数学本身体现出来的对称美。

综上所述, 我们可以看到, 函数奇偶性作为函数的重要性质, 无论是求值, 求解析式, 还是解不等式和求对称性等, 函数奇偶性的性质都有着广泛的应用, 在学习过程中, 我们既要掌握它的代数定义, 也要熟练应用它的图像的对称性。特别要注意有意识地在教学中渗透数学思想和数学方法, 不仅仅是在函数奇偶性的教学中, 在其他的章节中也是这样。数学思想和数学方法是无处不在的, 只有让学生掌握了这一点, 才让学生掌握了一种数学思维的智慧, 不仅仅对于培养学生思维的广阔性、全面性、多角度地研究问题很有帮助, 而且会让他们在生活中体会这种智慧, 拥有这种智慧, 而受益终生。

摘要：数学思想蕴涵于数学知识中, 又相对超脱于我们所学的数学知识。数学思想方法是数学知识在更高层次上的抽象和概括, 蕴涵在数学知识发生、发展和应用的过程中, 能够迁移并广泛应用于相关学科和社会生活中。在教授数学知识的基础上强化数学思想、方法的教学是中学数学教育改革和实现素质教育的必由之路。本文主要针对函数奇偶性的应用及此过程中涉及到的数学思想进行阐述。

篇9：函数奇偶性教学

关键词：函数；单调性；纵观

中图分类号：G633.62文献标识码：A 文章编号：1002-7661（2011）05-135-01

函数的奇偶性是中学教学的一个重要内容，它在了解函数的图形分布，单调性等方面能产生以小决大的纵观全局作用。但是在实际教学中，通常把它定位于容易理解，容易掌握，然而不尽其然，看以下学生练习中两题求解过程。

例1：判断函数 的奇偶性。

解：因为 所以 是偶函数

例2：判断 奇偶性。

解：因为

=- =-

=- =-

所以 是偶函数

上述两题解法错误是不言而喻，主要是对函数奇偶性概念理解不到位，教材的定义是：一般地y=

（1）若对于函数定义域内任意一个x ，都有 那么函数 是偶函数

（2）若对于函数定义域内任意一个x ，都有 那么函数 是偶函数

由此可见，函数的奇偶性是在函数的整个定义域内来研究的，由于 ， 都要有意义，所以 和 都要在定义域内，而 和 互为相反数，则 和 在数抽上关于原点中心对称，从而得出函数的定义域应是关于原点对称，这样我们就从定义中挖掘出函数具有奇偶性的另一必要条件是定义域具有关于原点对称的性质，即研究函数的奇偶性，本身包括着函数的定义域要具备关于原点对称的这一起码的条件。基于这一点，例1，例2中错误就说明了，为此：要判断一个函数的奇偶性的步骤为：一是看函数定义域是否关于原点对称，若不对称，其判定为无奇偶性，若对称，进入第二个步骤，看是否满足 或 ，若满足 ，则函数是奇函数，若满足 则函数是偶函数，若都不满足，则函数是非奇非偶函数。

在具体问题的解答中，某些题要求学生必须具备一定的能力要求，因为以函数的奇偶性为载体考察学生的观察和变化能力的一类题，变形难度比较大，所以学生不易理解，从

而将 改写为 或当 时改写为 ；将 改写为或当 时改写为 ，就转化为计算，这样降低了解题难度。

例3：判断函数的奇偶性

解法一因为

所以故 为偶函数

解法二，若将函数 进行化简，得 来进行判断，将更加简化解题的过程，在教学中可引为范例，对于培养成学生从渠道切入问题加以求解的能力很有启发。

对于复合函数类的函数的奇偶性作探讨，在变形计算中多离不开以函数固有性质作载体。

例4已知a>0 且a 是奇函数，判断 的奇偶性。

解：取ø（x）= +则ф(-x)+ф(x)=

( + )+( + )=( + )+1=-1+1=0

所以ф(x)是奇函数,而 是奇函数 g(-x)=(a-1)f(-x)ø(-x)=(a-1)f(x) ø(-x)=g(x)故 是偶函数

本例求解依据是以具有奇偶性的函数之和、差、积的奇偶性为核心来判断 是奇偶性。

综上所述，在教学中要培养学生具备对课本上的概念、定义进行深入细致的分析观察的能力，并逐步转化为自己的解题方法和技巧，这才是新课改目的和意义。

篇10：数学必修一函数奇偶性

（一）[任务分析]

“函数的奇偶性”是函数的一个重要性质，常伴随着函数的其他性质出现。函数奇偶性揭示的是函数自变量与函数值之间的一种特殊的数量规律，直观反映的是函数图象的对称性。利用数形结合的数学思想来研究此类函数的问题常为我们展示一个新的思考视角。函数的奇偶性也是今后研究三角函数、二次曲线等知识的重要铺垫，而且灵活地应用函数的奇偶性常使复杂的不等式问题、方程问题、作图问题等变得简单明了。[方法简述] 本节课有着丰富的内涵，是继函数单调性以后的又一个重要性质。教法上本着“以教师为主导，学生为主体，问题解决为主线，能力发展为目标”的指导思想，结合我校学生实际，主要采用“问题导引，分析、比较，自主探究，讲练结合”的教学方法。通过复习提问呈上其下的引入，通过观察图像，从具体到抽象的引入，通过与单调性研究方法的的类比的引入，使学生对函数的奇偶性先有了一定的感性认识；通过设置一条问题链，采用多角度的，启发式的，学生积极参与的，有思想交锋的方式，引导学生在自主学习与合作交流中经历知识的形成过程；通过层层深入的例题与习题的配置，引导学生积极思考，灵活掌握知识，使学生从“懂”到“会”到“悟”，提高思维品质，力求把传授知识与培养能力融为一体。[目标定位]

数学教学不仅仅是知识的教学、技能的训练，更应使学生的能力得到提高。本节课应使学生掌握函数奇偶性的定义，会用定义判断简单函数的奇偶性。在学生经历函数奇偶性的探究和应用过程中，体会数形结合、分类讨论等数学思想方法，进一步培养学生归纳、类比、迁移能力，增强学生的数学应用意识和创新意识。注重培养学生积极参与、大胆探索的精神以及合作意识；通过让学生体验成功，培养学生学习数学的信心。在教学中，重点应为理解函数奇偶性概念的本质特征；掌握函数奇偶性的判别方法。对高一学生来说，由于初中代数主要是具体运算，因而代数推理能力较弱，许多学生甚至弄不清代数形式证明的意义和必要性。因此教学难点是有关偶函数问题的证明，与培养驾驭知识、解决问题的能力。突出重点、突破难点的关键是设计有一定思维含量的问题与实例，引导学生思考、分析讨论，加深学生对函数奇偶性的认识与应用。结合直观的图形，充分发挥数形结合思想的功能，使学生的感性认识提高到理性认识。[课堂设计]

一、复习旧知、引入定义

基于学生前面已经学习过函数的单调性，先从复习函数单调性入手。问题1：回顾上一节课如何定义增函数、减函数？试举例说明。由学生回答，学生应该容易得出定义，单调增、减函数（定义略）

并能举出一些常见的单调函数，如一次函数，三次函数。

设计意图：从学生已学过的函数单调性复习引入，因为函数的单调性的定义是学生第一次接触用函数的对应关系的性质来刻画函数的性质，他不同于初中是通过图像看性质。学生在复习中体验用代数手段刻画函数性质的方法, 为后面用函数对应关系来刻画函数的奇偶性做好准备。为突破难点奠定基础。

问题2：判断下列两函数在其定义域内单调性如何？

反比例函数f(x)21 x二次函数f(x)x1 设计意图：让学生注意函数的单调性要分区间讨论。对于同一函数而言，不同的区间上可能会有不同的单调性，为后面研究函数的奇偶性要注意自变量的范围埋下伏笔。

图示学生举出的例子和以上两个例题，（1）f(x)2x（2）f(x)x3（3）f(x)2x1（4）f(x)1（5）f(x)x21 x引导学生观察图像。

思考：除了显示了函数的单调性，是否还有其他特征？

引导学生发现初中就学过的优美的对称性——中心对称、轴对称。问题3：能否用函数的对应关系来刻划其对称性？

让学生先观察、思考、交流讨论，教师再引导。

启发：首先注意到自变量的对称性可以用x与-x来刻画，相应的考察f(x)与f(-x)的关系。

（请5个同学到黑板上板演计算f(x)与f(-x)的，并判断相应函数值的特点。板书课题，引出定义）。函数奇偶性定义：

（1）如果对于函数定义域内的任意一个x，都有f(-x)=-f(x)，那么函数f(x)叫奇函数。

（2）如果对于函数定义域内的任意一个x，都有f(-x)=f(x)，那么函数f(x)叫偶函数。

设计意图：引导学生通过函数值的特征来描述函数对应关系的性质，实现由形到数的转化，同时为归纳引出定义以及判断函数奇偶性做好准备。

二、定义理解、揭示本质

问题4：定义中那一句话对刻划函数的性质更实质？

学生阅读定义，回答问题。归纳：验证恒等式f(-x)=-f(x)或 f(-x)=f(x)的重要性。让学生根据定义判别以上5个函数的奇偶性，教师作出点评。

设计意图：让学生深刻理解定义，解释函数奇偶性的本质。把探求新知的权利交给学生,为学生提供宽松、广阔的思维空间，让学生主动参与到问题的发现、讨论和解决等活动上来．而且在探究交流过程中学生对函数奇偶性的认识逐步由感性上升到理性。

2x22x问题5：判断函数f(x) 的单调性如何？

x1引发学生思考讨论。学生可能会有两种结论，一是奇函数，二不是奇函数，让学生辨别，引起学生思维的交锋，教师给与宏观的指导，看准火候，及时点拨。引导学生注意定义中定义域的重要性，得出推论。

推论：奇偶函数的的定义域在轴上对应的点集关于原点对称。

设计意图：强调对定义域的考虑，既帮助学生准确理解定义，又对函数奇偶性的概念进行反面理解，同时使学生进一步熟悉判断奇偶性的方法，为引出推论做准备。问题6：有没有既是奇函数又是偶函数的函数？ 引导学生共同探究，得到f(x)=0,且定义域关于原点对称。共同归纳得到：函数按照奇偶性可分为四类：

A.是奇函数而不是偶函数 B.是偶函数而不是奇函数 C.既是奇函数而又是偶函数D.既不是奇函数又不是偶函数

设计意图：数学思维中最积极的的成分是问题，不断的提出问题，不断的解决问题，提出具有探究意义的问题，培养学生的探究意识，进一步完善函数奇偶性的概念。

三、手脑并用、概念应用

问题7：能否归纳函数奇偶性的判别方法及步骤：（1）求函数的定义域；（2）计算f(-x)（3）判断f(-x)与-f(x)或(x)是否相等；（4）下结论，指明是四类中的哪一类。在刚才归纳的基础上，学生练习例1:判断下列函数的奇偶性（１）f(x)xx31（２）f(x)2x43x2

（３）f(x)2x（４）f(x)1x2（５）f(x)f(x)a

x21

教师版书第一小题，学生口答第二小题，（3）、（4）（5）请三位学生板演。教师规范、订正版演。

设计意图：在归纳中掌握方法，巩固新知及时反馈，为灵活应用方法打下基础．

四、沟通联系、深化提高

例2 已知函数f(x)是奇函数，而且在(0,)上是增函数，f(x)在(,0)上是增函数还是减函数？并给出证明。

引导学生分析条件，探索思路，沟通已知与未知 的联系，实现单调性的转化。设计意图：沟通函数奇偶性与单调性的联系，揭示函数奇偶性对函数性质研究的作用。使学生进一步加深对知识的掌握，并体验数学在解决问题中的作用。

五、归纳小结、练习反馈 引导学生归纳小结（１）函数奇偶性的定义（２）判别函数奇偶性的方法（３）函数奇偶性的初步应用 设计意图：学生自己从所学到的数学知识、数学思想方法两方面进行总结，提高学生的概括、归纳能力．同时，学生在回顾、总结、反思的过程中，将所学知识条理化、系统化，使自己的认知结构更趋合理．注重数学思想方法的提炼，可使学生逐渐把经验内化为能力，从而走向一个新的制高点。反馈练习：课本P口答练习

在整个练习过程中，教师做好及时小结，加强对学生的个别指导，设计意图：巩固所学知识，进一步促进认知结构的内化，并且可使学生对自己的学习进行自我评价．也让教师及时了解学生的掌握情况，以便进一步调整自己的教学．

六、布置作业、引导复习

1．书面作业：P89 练习A2，练习B 1、2、3.2．研究与思考：

(1)若ｆ（ｘ）为奇函数，且ｘ＝０时与意义，则ｆ（０）＝？（2）判别函数的奇偶性

(3)在公共定义域上，函数的和、差、积、商的起偶性如何？

第一层次要求所有学生都要完成，第二层次则只要求学有余力的同学完成．研究思考的（1）（2）（３）不仅开阔了学生的思路，而且提高学生的探究热情。.设计意图：分层次作业既巩固所学，又为学有余力的同学留出自由发展的空间，培养学生的创新意识和探索精神。同时为下节课内容作好准备,将探究的空间由课堂延伸到课外.[教有所思] 这节课本着“课程标准为依据，教师为主导，学生为主体”的原则进行设计与教学，高中学生的思维水平已发展到辩证思维的形成阶段，从能力上讲，他们能通过观察、比较、归纳等方式来认识新知识。结合学生的特点及本节课的内容，在教学中采用了“问题导引，分析比较、自主探究、讲练结合”式的教学方法。通过问题激发学生求知欲，从学生已知问题已知的函数图形入手，使学生对函数的奇偶性有了一定的感性认识，并且形成各自对函数奇偶性概念的了解，再引导学生抓住实质，抛开个性的东西，抽取共性的内容，在相互交流、启发、补充、争论中，概括出定义，经历了知识的形成过程。使学生主动参与数学实践活动，在教师的有效指导下解决问题。应当说在知识的习得、能力的培养二个方面有收获，基本上达到了预期的教学目的。在概念－方法－应用当中，方法是本节课的重点。通过对问题3至问题6的分析、反思、深化，使学生的思维步步深入，在自我发现、自我解决问题的过程中，深刻理解了函数奇偶性的定义的实质。