函数奇偶性和周期性

函数奇偶性和周期性（通用8篇）

篇1：函数奇偶性和周期性

函数的单调性和奇偶性

一、目标认知 学习目标：

1.理解函数的单调性、奇偶性定义；

2.会判断函数的单调区间、证明函数在给定区间上的单调性； 3.会利用图象和定义判断函数的奇偶性；

4.掌握利用函数性质在解决有关综合问题方面的应用.重点、难点：

1.对于函数单调性的理解；

2.函数性质的应用.二、知识要点梳理 1.函数的单调性

(1)增函数、减函数的概念

一般地，设函数f(x)的定义域为A，区间

如果对于M内的任意两个自变量的值x1、x2，当x1＜x2时，都有f(x1)＜f(x2)，那么就说f(x)在区间M上是增函数；

如果对于M内的任意两个自变量的值x1、x2，当x1＜x2时，都有f(x1)＞f(x2)，那么就说f(x)在区间M上是减函数.如果函数f(x)在区间M上是增函数或减函数，那么就说函数f(x)在区间M上具有单调性，M称为函数f(x)的单调区间.要点诠释：

[1]“任意”和“都”；

[2]单调区间与定义域的关系----局部性质；

[3]单调性是通过函数值变化与自变量的变化方向是否一致来描述函数性质的；

[4]不能随意合并两个单调区间.(2)已知解析式，如何判断一个函数在所给区间上的单调性？

基本方法：观察图形或依据定义.2.函数的奇偶性

偶函数：若对于定义域内的任意一个x，都有f(-x)=f(x)，那么f(x)称为偶函数.奇函数：若对于定义域内的任意一个x，都有f(-x)=-f(x)，那么f(x)称为奇函数.要点诠释：

[1]奇偶性是整体性质；

[2]x在定义域中，那么-x在定义域中吗？----具有奇偶性的函数，其定义域必定是关于原点对称的；

[3]f(-x)=f(x)的等价形式为：，f(-x)=-f(x)的等价形式为：；

[4]由定义不难得出若一个函数是奇函数且在原点有定义，则必有f(0)=0；

[5]若f(x)既是奇函数又是偶函数，则必有f(x)=0；

[6]，.三、规律方法指导

1.证明函数单调性的步骤：

(1)取值.设是

定义域内一个区间上的任意两个量，且

；

(2)变形.作差变形（变形方法：因式分解、配方、有理化等）或作商变形；

(3)定号.判断差的正负或商与1的大小关系；

(4)得出结论.2.函数单调性的判断方法：

(1)定义法；

(2)图象法；

(3)对于复合函数在区间

或者，若

在区间上是单调函数；若

为增函数；若

上是单调函数，则

与与单调性相同（同时为增或同时为减），则单调性相反，则

为减函数.3.常见结论:

(1)若

(2)若是增函数，则和

为减函数；若

和

是减函数，则

为增函数；

均为增（或减）函数，则在的公共定义域上为增（或减)函数；

(3)若且为增函数，则函数为增函数，为减函数；

若

(4)若奇函数数，且有最小值 且在为减函数，则函数为减函数，则

在为增函数.在是增函是增函数.上是增函数，且有最大值

在；若偶函数是减函数，则 经典例题透析

类型

一、函数的单调性的证明

1.证明函数上的单调性.证明：

总结升华：

[1]证明函数单调性要求使用定义；

[2]如何比较两个量的大小？(作差)

[3]如何判断一个式子的符号？(对差适当变形)

举一反三：

【变式1】用定义证明函数

总结升华：可以用同样的方法证明此函数在上是减函数.上是增函数；在今后的学习中经常会碰到这个函数，在此可以尝试利用函数的单调性大致给出函数的图象.类型

二、求函数的单调区间

2.判断下列函数的单调区间；

(1)y=x2-3|x|+2；(2)

举一反三：

【变式1】求下列函数的单调区间：

(1)y=|x+1|；(2)

总结升华：

[1]数形结合利用图象判断函数单调区间；

[2]关于二次函数单调区间问题，单调性变化的点与对称轴相关.[3]复合函数的单调性分析：先求函数的定义域；再将复合函数分解为内、外层函数；利用已知函数的单调性解决.关注：内外层函数同向变化复合函数为增函数；内外层函数反向变化复合函数为减函数.类型

三、单调性的应用(比较函数值的大小，求函数值域，求函数的最大值或最小值)

3.已知函数f(x)在(0，+∞)上是减函数，比较f(a2-a+1)与 的大小.4.求下列函数值域：

(1)； 1)x∈[5，10]； 2)x∈(-3，-2)∪(-2，1)；

(2)y=x2-2x+3；

1)x∈[-1，1]； 2)x∈[-2，2].举一反三：

【变式1】已知函数.(1)判断函数f(x)的单调区间；

(2)当x∈[1，3]时，求函数f(x)的值域.思路点拨：这个函数直接观察恐怕不容易看出它的单调区间，但对解析式稍作处理，即可得到我们相对熟悉的形式.域.，第二问即是利用单调性求函数值

5.已知二次函数f(x)=x2-(a-1)x+5在区间

上是增函数，求：(1)实数a的取值范围；(2)f(2)的取值范围.类型

四、判断函数的奇偶性

6.判断下列函数的奇偶性：

(1)

(2)

(3)f(x)=x2-4|x|+3

(4)f(x)=|x+3|-|x-3|

(5)

(6)

(7)

思路点拨：根据函数的奇偶性的定义进行判断.举一反三：

【变式1】判断下列函数的奇偶性：

(1)；

(2)f(x)=|x+1|-|x-1|；

(3)f(x)=x2+x+1；

(4).思路点拨：利用函数奇偶性的定义进行判断.举一反三：

【变式2】已知f(x)，g(x)均为奇函数，且定义域相同，求证：f(x)+g(x)为奇函数，f(x)·g(x)为偶函数.类型

五、函数奇偶性的应用(求值，求解析式，与单调性结合)

7.已知f(x)=x5+ax3-bx-8，且f(-2)=10，求f(2).8.f(x)是定义在R上的奇函数，且当x＜0时，f(x)=x2-x，求当x≥0时，f(x)的解析式，并画出函数图象.6 9.设定义在[-3，3]上的偶函数f(x)在[0，3]上是单调递增，当f(a-1)＜f(a)时，求a的取值范围.类型

六、综合问题

10.定义在R上的奇函数f(x)为增函数，偶函数g(x)在区间的图象重合，设a＞b＞0，给出下列不等式，其中成立的是_________.①f(b)-f(-a)＞g(a)-g(-b)；

②f(b)-f(-a)＜g(a)-g(-b)；

③f(a)-f(-b)＞g(b)-g(-a)；

④f(a)-f(-b)＜g(b)-g(-a).(1)11.求下列函数的值域：

(2)

(3)的图象与f(x)

思路点拨：(1)中函数为二次函数开方，可先求出二次函数值域；(2)由单调性求值域，此题也可换元解决；(3)单调性无法确定，经换元后将之转化为熟悉二次函数情形，问题得到解决，需注意此时t范围.解：

12.已知函数f(x)=x2-2ax+a2-1.(1)若函数f(x)在区间[0，2]上是单调的，求实数a的取值范围；

(2)当x∈[-1，1]时，求函数f(x)的最小值g(a)，并画出最小值函数y=g(a)的图象.7 13.已知函数f(x)在定义域(0，+∞)上为增函数，f(2)=1，且定义域上任意x、y都满足f(xy)=f(x)+f(y)，解不等式：f(x)+f(x-2)≤3.证明：

14.判断函数上的单调性，并证明.15.设a为实数，函数f(x)=x2+|x-a|+1，x∈R，试讨论f(x)的奇偶性，并求f(x)的最小值.解：

学习成果测评 基础达标

一、选择题

1．下面说法正确的选项()

A．函数的单调区间就是函数的定义域

B．函数的多个单调增区间的并集也是其单调增区间

C．具有奇偶性的函数的定义域定关于原点对称

D．关于原点对称的图象一定是奇函数的图象

2．在区间上为增函数的是()

A．

C．

B．

D．

3．已知函数

A.B.4．若偶函数在上是增函数，则下列关系式中成立的是()

C.D.为偶函数，则的值是()

A．

B．

C． 5．如果奇函数是()

A．增函数且最小值是

C．减函数且最大值是

6．设是定义在在区间

D．

上是增函数且最大值为，那么

在区间

上

B．增函数且最大值是

D．减函数且最小值是

上的一个函数，则函数，在上一定是()

A．奇函数

B．偶函数

C．既是奇函数又是偶函数

D．非奇非偶函数.7．下列函数中，在区间

上是增函数的是()

A．

B．

C．

D．

8．函数f(x)是定义在[-6，6]上的偶函数，且在[-6，0]上是减函数，则()

A.f(3)+f(4)＞0

B.f(-3)-f(2)＜0

C.f(-2)+f(-5)＜0

D.f(4)-f(-1)＞0

二、填空题

1．设奇函数的定义域为，若当的解是____________.时，的图象

如右图，则不等式

2．函数

3．已知

4．若函数____________.5．函数____________.三、解答题 的值域是____________.，则函数的值域是____________.是偶函数，则的递减区间是在R上为奇函数，且，则当，1．判断一次函数

2．已知函数(2)在定义域上

反比例函数，二次函数的单调性.的定义域为，且同时满足下列条件：(1)是奇函数；

单调递减；(3)

3．利用函数的单调性求函数

4．已知函数

① 当

求的取值范围.的值域；

.时，求函数的最大值和最小值；

在区间

上是单调函数.② 求实数的取值范围，使能力提升

一、选择题

1．下列判断正确的是()

A．函数数

C．函数函数

2．若函数

A．

C．

3．函数

A．

C．

4．已知函数围是()

A．

B．

是奇函数

B．函数是偶函

是非奇非偶函数

D．函数既是奇函数又是偶

在上是单调函数，则的取值范围是()

B．

D．的值域为()

B．

D．

在区间上是减函数，则实数的取值范

C．

D．

5．下列四个命题：(1)函数增函数；(2)若 函数的递增区间为正确命题的个数是()

在时是增函数，与；(4)

也是增函数，所以

且

是；(3)

轴没有交点，则

和

表示相等函数.其中

A．

B．

C．

D．

6．定义在R上的偶函数则()

A．

C．

二、填空题

1．函数

2．已知定义在______.上的奇函数，满足，且在区间上为递增，B．

D．的单调递减区间是____________________.，当时，那么时，3．若函数

4．奇函数

则

5．若函数

三、解答题

1．判断下列函数的奇偶性 在区间

在上是奇函数，则的解析式为________.上是增函数，在区间__________.上的最大值为8，最小值为-1，在上是减函数，则的取值范围为__________.(1)

(2)

2．已知函数且当时，的定义域为，且对任意

是，都有

上的减函数；(2)函数，恒成立，证明：(1)函数是奇函数.3．设函数与的定义域是

且，是偶函数，是奇函数，且

4．设为实数，函数

(1)讨论

，求和的解析式.，的最小值..的奇偶性；(2)求综合探究

1．已知函数，的奇偶性依次为()

A．偶函数，奇函数

B．奇函数，偶函数

C．偶函数，偶函数

D．奇函数，奇函数

2．若是偶函数，其定义域为，且在，则

上是减函数，则的大小关系是()

A．＞

B．＜

C．

D．

3．已知_____.，那么＝

4．若

在区间上是增函数，则的取值范围是________.5．已知函数果对于

6．当

7．已知

的定义域是，且满足，(1)求

；(2)解不等式，如

.，都有时，求函数的最小值.在区间内有一最大值，求的值.8．已知函数的值..的最大值不大于，又当，求 14

篇2：函数奇偶性和周期性

二、内容分析1.在研究函数的性质时,单调性是一个重要内容,实际上,在初中学习函数时,已经重点研究了一些函数的增减性,只是当时的研究较为粗略,既未明确给出有关函数增减性的定义,对于函数增减性的判断也主要根据观察图象得出,而本小节内容,正是初中有关内容的深化、提高:给出了函数在某个区间上是增函数或减函数的定义,明确指出函数的增减性是相对于某个区间(实际上可推广到一个有序实数的集合来说的,还说明判断函数的增减性既有从图象上进行观察的较为粗略的方法,又有根据其定义进行证明的较为严格的方法,最后根据观察图象得出猜想,用推理证明猜想的思想,将以上两种方法统一起来。2.例1是根据图象来说明一个函数的单调区间,以及在每个单调区间上是增函数还是减函数,由于例1中的函数是一个闭区间上的连续函数,可以采用观察图象的方法进行判断,应注意如果遇到某些点上不连续的函数,单调区间可能不包括不连续点。3.例2是用推理证明一个一次函数是增函数。由于学生在初中学习代数时,其结论一般是通过对具体事例的不完全归纳、观察图象等方式得出,应该说这里的例2是学生第一次接触“代数证明”,因而可能会感到不习惯。应该指出,对于某些较复杂的函数,其是否具有单调性是很难从对图象的观察得出的,由此说明采用推理证明方法的重要性,本例中所采用的推理,是数学中最基本的、从定义出发进行证明的方法。即为了证明函数f(x=3x+2在R上是增函数,根据函数在R上是增函数的定义,就是要证明对于以上的任意两点,均有,由于所取两点的任意性,这种“局部”的性质就成为“全局”的性质。对于例2之后的“想一想”,可安排学生练习,在这之后,不妨让学生进一步“想一想”,一次函数f(x=kx+b在R上的增减性与一次项系数k有什么关系? 4.例3是用来进一步练习从定义出发进行证明的方法。这里应该注意,x=0不属于函数的定义域,因此不能将区间(0,+∞误写成〔0,+∞,也不能说[!--empirenews.page--]上在区间(-∞,+∞上是减函数。

三、教学过程1.复习提问在初中,有没有学过函数的增减性?(学过一次函数和二次函数在R上是增函数还是减函数?(一次函数f(x=kx+b 在R上,当k>0时是增函数,当k<0时是减函数一些函数的增减性是怎样知道的?(观察图象得出2.新课讲解讲函数在一个区间上是增函数或减函数的定义,在讲这个定义时注意:(1始终结合函数的图象来进行,以增强直观性,便于理解。(2强调区间上所

篇3：巧用函数的单调性和奇偶性

函数的单调性和奇偶性是函数非常重要的两个性质, 但是由于高一学生刚步入高中阶段, 还没有很好地领悟到高中数学和初中数学的区别, 所以对于函数单调性和奇偶性的学习具有片面性, 在解题时不注意将它们综合利用, 本篇文章将给大家说明如何巧用单调性和奇偶性来解题.

一、定义

(1) 单调性增函数:

也可表示为:

增函数:对于

减函数:对于

(2) 奇偶性:具有奇偶性的函数, 其定义域一定是关于原点对称的, 所以判断函数的奇偶性之前, 先看函数的定义域是否关于原点对称, 这一点大家一定要注意.

奇函数:图像关于原点对称的函数, 即对于定义域内任意的x, 都有f (-x) =-f (x) ;

偶函数:图像关于y轴对称的函数, 即对于定义域内任意的x, 都有f (-x) =f (x) .

对于奇函数如果在原点有定义, 则一定有f (0) =0.

二、综合应用

例1已知f (x) 是定义在R上的偶函数, 若对任意的x1, x2∈[0, +∞) (x1≠x2) , 有则f (-2) , f (1) , f (3) 的大小关系.

解由题意可知, f (x) 是[0, +∞) 上的减函数, 是定义在R上的偶函数, 所以有

例2设f (x) 是定义在[-1, 1]上的函数, 且对任意a, b∈[-1, 1], 当a≠b时, 都有

(1) 当a>b时, 比较f (a) 与f (b) 的大小;

(2) 解关于x的不等式:

解 (1) 由题可知, f (x) 是定义在[-1, 1]上的增函数, 所以, 当a>b且a, b∈[-1, 1]时, 有f (a) >f (b) .

(2) 要比较函数值的大小, 我们知道函数的单调性就是反应自变量取值变化对函数值的影响, 所以我们有如下的解题过程:

例3若函数f (x) 为定义在R上的奇函数, 且x∈ (0, +∞) 时, f (x) =2x, 求f (x) 的表达式.

解因为f (x) 为定义在R上的奇函数, 所以有f (0) =0.

当x∈ (-∞, 0) 时, -x∈ (0, +∞) , 则f (-x) =2-x.

又f (x) 为定义在R上的奇函数,

从上面的三个例题可以看出, 如果我们能掌握和应用好函数的单调性和奇偶性和它们的变形表示形式, 在解题时就能利用它们来简化运算.

摘要：单调性和奇偶性是函数非常重要的两个性质, 在解题时如果可以灵活地运用, 就可以简化运算, 本篇文章将通过三个例题来说明函数的单调性和奇偶性在解题时是如何应用的.

篇4：谈高中函数中的奇偶性和对称性

在苏教版的教材中，关于函数对称性的介绍是通过函数的奇偶性来引入的.这也是在研究这类问题时，要有机地将两者结合起来的原因.因此诸如函数y=f（x）的图像关于点A（a，b）对称的充要条件是f（x）+f（2a-x）=2b等类似的结论都不能直接使用.所以在教学及解题中，就应当引导学生从函数的奇偶性出发，去判断一个函数是否能关于某个点或是某条直线对称，帮助学生正确面对问题，找到解决问题的有效途径.

【例题】（2013年上海市春季高考数学试题）已知真命题：“函数y=f（x）的图像关于点P（a、b）成中心对称图形”的充要条件为“函数y=f（x+a）-b是奇函数”.

（1）将函数g（x）=x3-3x2的图像向左平移1个单位，再向上平移2个单位，求此时图像对应的函数解析式，并利用题设中的真命题求函数g（x）图像对称中心的坐标；

（2）求函数h（x）=log22x14-x图像对称中心的坐标；

（3）已知命题：“函数y=f（x）的图像关于某直线成轴对称图像”的充要条件为“存在实数a和b，使得函数y=f（x+a）-b是偶函数”.判断该命题的真假.如果是真命题，请给予证明；如果是假命题，请说明理由，并类比题设的真命题对它进行修改，使之成为真命题（不必证明）.

分析：函数图像的平移，对于学生来说是从初中认识二次函数的图像就已经掌握的一个重要知识点.结合奇函数关于原点对称的特点，学生应该很容易理解题设的正确性.

解析：（1）通过平移容易得到所求函数的解析式为y=（x+1）3-3（x+1）2+2.

由题设可知，对称中心的研究可以归结为研究原来函数是否为奇函数或者是如何将原函数看做某个奇函数通过适当的平移变换得到的.这就要求学生对于一些常见的奇函数的例子必须清楚，如仅含奇数次的多项式函数、正弦函数、正切函数等.由题发现，研究的对象是一个多项式函数，要使其成为奇函数，就必须只留下奇数次的项.

因此，假设g（x）=x3-3x2经过适当平移后得：g1（x）=（x+a）3-3（x+a）2-b=x3+（3a-3）x2+（3a2-6a）x-3a2-b.

由以上讨论可知：3a-3=0

a3-3a2-b=0，即a=1

b=-2.从而g（x）=x3-3x2关于点（1，-2）对称.

由上面的证明方法，我们可以得到一个关于三次函数的重要结论：

三次函数f（x）=ax3+bx2+cx+d（a≠0）是关于点对称，且对称中心为点（-b13a，f（-b13a））.

（2）同（1），假定经过适当平移后得：h1（x）=log22（x+a）14-（x+a）-b，此时要求该函数为一奇函数.由不等式2x+2a14-a-x>0的解集关于原点对称，得a=2.此时f（x）=log22（x+2）12-x-b，x∈（-2，2）.任取x∈（-2，2），由f（-x）+f（x）=0，得b=1，

所以函数h（x）=log22x14-x图像对称中心的坐标是（2，1）.

（3）此命题是假命题.

举反例说明.因为函数f（x）=x的图像关于直线y=-x成轴对称图像，但是对任意实数a和b，函数y=f（x+a）-b，即y=x+a-b总不是偶函数.

修改后的真命题“函数y=f（x）的图像关于直线x=a成轴对称图像”的充要条件是“函数y=（x+a）是偶函数”.

接着，我们回到一开始给出的常用结论，函数y=f（x）的图像关于点A（a，b）对称的充要条件是f（x）+f（2a-x）=2b，这个结论可以用上面的方法加以证明.

分析：只需构造函数y=f（x+a）-b，说明它是一个奇函数.

证明：由条件可知，f（x+a）+f（2a-x-a）=2b，即（f（x+a）-b）+（f（a-x）-b）=0，由奇函数的定义可知，函数f（x+a）-b为奇函数.于是函数y=f（x）关于点A（a，b）对称.

关于函数对称性问题的考查，在2013年的各省市高考试题中出现很多，应该引起大家重视.

【例1】（2013年高考新课标1（理））若函数f（x）=（1-x2）（x2+ax+b）的图像关于直线x=-2对称，则f（x）的最大值是.

解析：因为函数的图像关于直线对称，所以函数为偶函数为偶函数，因为函数，

所以为偶函数，所以，所以，从而，所以.令，得或或，根据单调性可得当时，取到最大值为.

【例2】（2013年普通高等学校招生统一考试大纲版数学（理））已知函数，下列结论中错误的是：

A.的图像关于中心对称

B.的图像关于直线对称

C.的最大值为

D.既奇函数，又是周期函数.

解析：对于选项（A）：，显然是个奇函数，所以的图像关于中心对称；对于选项（B）：是偶函数，所以的图像关于直线对称.

（责任编辑黄桂坚）endprint

函数是中学数学教学的主线，是中学数学的核心内容，也是高中数学的基础.函数的性质是高考的重点与热点，函数的性质中奇偶性、对称性则是函数的两个基本性质，也是学生学习的重点.大家知道，函数的奇偶性具有对称关系，而对称关系不仅广泛存在于数学问题之中，而且利用对称性往往能更简捷地使问题得到解决，对称关系还充分体现了数学之美.

在苏教版的教材中，关于函数对称性的介绍是通过函数的奇偶性来引入的.这也是在研究这类问题时，要有机地将两者结合起来的原因.因此诸如函数y=f（x）的图像关于点A（a，b）对称的充要条件是f（x）+f（2a-x）=2b等类似的结论都不能直接使用.所以在教学及解题中，就应当引导学生从函数的奇偶性出发，去判断一个函数是否能关于某个点或是某条直线对称，帮助学生正确面对问题，找到解决问题的有效途径.

【例题】（2013年上海市春季高考数学试题）已知真命题：“函数y=f（x）的图像关于点P（a、b）成中心对称图形”的充要条件为“函数y=f（x+a）-b是奇函数”.

（1）将函数g（x）=x3-3x2的图像向左平移1个单位，再向上平移2个单位，求此时图像对应的函数解析式，并利用题设中的真命题求函数g（x）图像对称中心的坐标；

（2）求函数h（x）=log22x14-x图像对称中心的坐标；

（3）已知命题：“函数y=f（x）的图像关于某直线成轴对称图像”的充要条件为“存在实数a和b，使得函数y=f（x+a）-b是偶函数”.判断该命题的真假.如果是真命题，请给予证明；如果是假命题，请说明理由，并类比题设的真命题对它进行修改，使之成为真命题（不必证明）.

分析：函数图像的平移，对于学生来说是从初中认识二次函数的图像就已经掌握的一个重要知识点.结合奇函数关于原点对称的特点，学生应该很容易理解题设的正确性.

解析：（1）通过平移容易得到所求函数的解析式为y=（x+1）3-3（x+1）2+2.

由题设可知，对称中心的研究可以归结为研究原来函数是否为奇函数或者是如何将原函数看做某个奇函数通过适当的平移变换得到的.这就要求学生对于一些常见的奇函数的例子必须清楚，如仅含奇数次的多项式函数、正弦函数、正切函数等.由题发现，研究的对象是一个多项式函数，要使其成为奇函数，就必须只留下奇数次的项.

因此，假设g（x）=x3-3x2经过适当平移后得：g1（x）=（x+a）3-3（x+a）2-b=x3+（3a-3）x2+（3a2-6a）x-3a2-b.

由以上讨论可知：3a-3=0

a3-3a2-b=0，即a=1

b=-2.从而g（x）=x3-3x2关于点（1，-2）对称.

由上面的证明方法，我们可以得到一个关于三次函数的重要结论：

三次函数f（x）=ax3+bx2+cx+d（a≠0）是关于点对称，且对称中心为点（-b13a，f（-b13a））.

（2）同（1），假定经过适当平移后得：h1（x）=log22（x+a）14-（x+a）-b，此时要求该函数为一奇函数.由不等式2x+2a14-a-x>0的解集关于原点对称，得a=2.此时f（x）=log22（x+2）12-x-b，x∈（-2，2）.任取x∈（-2，2），由f（-x）+f（x）=0，得b=1，

所以函数h（x）=log22x14-x图像对称中心的坐标是（2，1）.

（3）此命题是假命题.

举反例说明.因为函数f（x）=x的图像关于直线y=-x成轴对称图像，但是对任意实数a和b，函数y=f（x+a）-b，即y=x+a-b总不是偶函数.

修改后的真命题“函数y=f（x）的图像关于直线x=a成轴对称图像”的充要条件是“函数y=（x+a）是偶函数”.

接着，我们回到一开始给出的常用结论，函数y=f（x）的图像关于点A（a，b）对称的充要条件是f（x）+f（2a-x）=2b，这个结论可以用上面的方法加以证明.

分析：只需构造函数y=f（x+a）-b，说明它是一个奇函数.

证明：由条件可知，f（x+a）+f（2a-x-a）=2b，即（f（x+a）-b）+（f（a-x）-b）=0，由奇函数的定义可知，函数f（x+a）-b为奇函数.于是函数y=f（x）关于点A（a，b）对称.

关于函数对称性问题的考查，在2013年的各省市高考试题中出现很多，应该引起大家重视.

【例1】（2013年高考新课标1（理））若函数f（x）=（1-x2）（x2+ax+b）的图像关于直线x=-2对称，则f（x）的最大值是.

解析：因为函数的图像关于直线对称，所以函数为偶函数为偶函数，因为函数，

所以为偶函数，所以，所以，从而，所以.令，得或或，根据单调性可得当时，取到最大值为.

【例2】（2013年普通高等学校招生统一考试大纲版数学（理））已知函数，下列结论中错误的是：

A.的图像关于中心对称

B.的图像关于直线对称

C.的最大值为

D.既奇函数，又是周期函数.

解析：对于选项（A）：，显然是个奇函数，所以的图像关于中心对称；对于选项（B）：是偶函数，所以的图像关于直线对称.

（责任编辑黄桂坚）endprint

函数是中学数学教学的主线，是中学数学的核心内容，也是高中数学的基础.函数的性质是高考的重点与热点，函数的性质中奇偶性、对称性则是函数的两个基本性质，也是学生学习的重点.大家知道，函数的奇偶性具有对称关系，而对称关系不仅广泛存在于数学问题之中，而且利用对称性往往能更简捷地使问题得到解决，对称关系还充分体现了数学之美.

在苏教版的教材中，关于函数对称性的介绍是通过函数的奇偶性来引入的.这也是在研究这类问题时，要有机地将两者结合起来的原因.因此诸如函数y=f（x）的图像关于点A（a，b）对称的充要条件是f（x）+f（2a-x）=2b等类似的结论都不能直接使用.所以在教学及解题中，就应当引导学生从函数的奇偶性出发，去判断一个函数是否能关于某个点或是某条直线对称，帮助学生正确面对问题，找到解决问题的有效途径.

【例题】（2013年上海市春季高考数学试题）已知真命题：“函数y=f（x）的图像关于点P（a、b）成中心对称图形”的充要条件为“函数y=f（x+a）-b是奇函数”.

（1）将函数g（x）=x3-3x2的图像向左平移1个单位，再向上平移2个单位，求此时图像对应的函数解析式，并利用题设中的真命题求函数g（x）图像对称中心的坐标；

（2）求函数h（x）=log22x14-x图像对称中心的坐标；

（3）已知命题：“函数y=f（x）的图像关于某直线成轴对称图像”的充要条件为“存在实数a和b，使得函数y=f（x+a）-b是偶函数”.判断该命题的真假.如果是真命题，请给予证明；如果是假命题，请说明理由，并类比题设的真命题对它进行修改，使之成为真命题（不必证明）.

分析：函数图像的平移，对于学生来说是从初中认识二次函数的图像就已经掌握的一个重要知识点.结合奇函数关于原点对称的特点，学生应该很容易理解题设的正确性.

解析：（1）通过平移容易得到所求函数的解析式为y=（x+1）3-3（x+1）2+2.

由题设可知，对称中心的研究可以归结为研究原来函数是否为奇函数或者是如何将原函数看做某个奇函数通过适当的平移变换得到的.这就要求学生对于一些常见的奇函数的例子必须清楚，如仅含奇数次的多项式函数、正弦函数、正切函数等.由题发现，研究的对象是一个多项式函数，要使其成为奇函数，就必须只留下奇数次的项.

因此，假设g（x）=x3-3x2经过适当平移后得：g1（x）=（x+a）3-3（x+a）2-b=x3+（3a-3）x2+（3a2-6a）x-3a2-b.

由以上讨论可知：3a-3=0

a3-3a2-b=0，即a=1

b=-2.从而g（x）=x3-3x2关于点（1，-2）对称.

由上面的证明方法，我们可以得到一个关于三次函数的重要结论：

三次函数f（x）=ax3+bx2+cx+d（a≠0）是关于点对称，且对称中心为点（-b13a，f（-b13a））.

（2）同（1），假定经过适当平移后得：h1（x）=log22（x+a）14-（x+a）-b，此时要求该函数为一奇函数.由不等式2x+2a14-a-x>0的解集关于原点对称，得a=2.此时f（x）=log22（x+2）12-x-b，x∈（-2，2）.任取x∈（-2，2），由f（-x）+f（x）=0，得b=1，

所以函数h（x）=log22x14-x图像对称中心的坐标是（2，1）.

（3）此命题是假命题.

举反例说明.因为函数f（x）=x的图像关于直线y=-x成轴对称图像，但是对任意实数a和b，函数y=f（x+a）-b，即y=x+a-b总不是偶函数.

修改后的真命题“函数y=f（x）的图像关于直线x=a成轴对称图像”的充要条件是“函数y=（x+a）是偶函数”.

接着，我们回到一开始给出的常用结论，函数y=f（x）的图像关于点A（a，b）对称的充要条件是f（x）+f（2a-x）=2b，这个结论可以用上面的方法加以证明.

分析：只需构造函数y=f（x+a）-b，说明它是一个奇函数.

证明：由条件可知，f（x+a）+f（2a-x-a）=2b，即（f（x+a）-b）+（f（a-x）-b）=0，由奇函数的定义可知，函数f（x+a）-b为奇函数.于是函数y=f（x）关于点A（a，b）对称.

关于函数对称性问题的考查，在2013年的各省市高考试题中出现很多，应该引起大家重视.

【例1】（2013年高考新课标1（理））若函数f（x）=（1-x2）（x2+ax+b）的图像关于直线x=-2对称，则f（x）的最大值是.

解析：因为函数的图像关于直线对称，所以函数为偶函数为偶函数，因为函数，

所以为偶函数，所以，所以，从而，所以.令，得或或，根据单调性可得当时，取到最大值为.

【例2】（2013年普通高等学校招生统一考试大纲版数学（理））已知函数，下列结论中错误的是：

A.的图像关于中心对称

B.的图像关于直线对称

C.的最大值为

D.既奇函数，又是周期函数.

解析：对于选项（A）：，显然是个奇函数，所以的图像关于中心对称；对于选项（B）：是偶函数，所以的图像关于直线对称.

篇5：函数奇偶性教案

教学目标

1．知识与技能：

理解函数的奇偶性及其几何意义；学会运用函数图象理解和研究函数的性质；学会判断函数的奇偶性；

2．过程与方法：

通过函数奇偶性概念的形成过程，培养学生观察、归纳、抽象的能力，渗透数形结合的数学思想．

3．情态与价值：

通过函数的奇偶性教学，培养学生从特殊到一般的概括归纳问题的能力．

教学重点和难点

教学重点：函数的奇偶性及其几何意义 教学难点：判断函数的奇偶性的方法

教学过程：

一：引入课题

观察并思考函数

以及y=|x|的图像有哪些共同特征？这些特征在函数值对应表是如何体现的？（学生自主讨论）根据学生讨论的结果推出偶函数的定义。

偶函数

一般地，对于函数f(x)的定义域内的任意一个x，都有f(x)f(x)，那么f(x)就叫做偶函数．

（学生活动）

依照偶函数的定义给出奇函数的定义．

奇函数

一般地，对于函数f(x)的定义域的任意一个x，都有f(x)f(x)，那么f(x)就叫做奇函数．

注意：

1．具有奇偶性的函数的图像的特征：

偶函数的图像关于y轴对称；奇函数的图像关于原点对称．

2．由函数的奇偶性定义可知，函数具有奇偶性的一个必要条件是，对于定义域内的任意一个x，则x也一定是定义域内的一个自变量（即定义域关于原点对称）． 二：例题讲解

例1．判断下列函数是不是具有奇偶性．（1）f(x)2x3x[1,2]

2（2）f(x)xxx1

例2．判断下列函数的奇偶性

（1）f(x)x4

（2）f(x)x5

（3）f(x)x总结：利用定义判断函数奇偶性的格式步骤： 首先确定函数的定义域，并判断其定义域是否关于原点对称； ○2 确定f(－x)与f(x)的关系； ○3 作出相应结论： ○若f(－x)= f(x)或 f(－x)－f(x)= 0，则f(x)是偶函数；

若f(－x)=－f(x)或 f(－x)＋f(x)= 0，则f(x)是奇函数．

三：课堂练习

课本P36习题1

利用函数的奇偶性补全函数的图象（教材P41思考题）

规律：偶函数的图象关于y轴对称；

奇函数的图象关于原点对称．

1x

（4）f(x)1x2

四：归纳小结，强化思想

本节主要学习了函数的奇偶性，判断函数的奇偶性通常有两种方法，即定义法和图象法，用定义法判断函数的奇偶性时，必须注意首先判断函数的定义域是否关于原点对称．单调性与奇偶性的综合应用是本节的一个难点，需要学生结合函数的图象充分理解好单调性和奇偶性这两个性质．

五：作业布置

1．作业：判断下列函数的奇偶性： f(x)○2x2xx122f(x)；

○

x(1x)x0,x(1x)x0.f(x)x32x ；

○4 f(x)a

（xR）○

篇6：函数奇偶性应用教案

知识与技能：

(1)掌握函数奇偶性的定义以及奇偶函数图象特点，并能灵活应用;(2)会判断函数的奇偶性；会运用函数奇偶性求函数值和参数.过程与方法：通过具体例子，使学生对奇偶函数定义的进一步理解和应用，培养学生综合能力。

情感态度与价值观：通过实例，培养学生提出问题，分析问题的能力，培养学生严谨的思维。教学重点难点

重点：函数奇偶性的简单应用 难点：函数奇偶性的灵活应用

教学方法：自主学习与合作探究相结合，启发引导式教学 考点一：利用奇偶性比较大小

例1：已知偶函数f(x)在,0上为减函数，比较f(5)，f(1)，f(3)的大小。考点二：利用奇偶性求函数值

例2：已知f(x)x5ax3bx8且f(2)10，那么f(2) 练习题：

1、已知为奇函数，则

= ．

2、若(x)，g（x）都是奇函数，f(x)a(x)bg(x)2在（0，＋∞）上有最大值5，则f（x）在（－∞，0）上有（）

A．最小值－5 B．最大值－5 C．最小值－1 D．最大值－3

3、设函数yfx是奇函数，若f2f13f1f23,则f1f2

考点三：利用奇偶性求解析式

例3：已知f(x)为偶函数当0x1时,f(x)1x,当1x0时，求f(x)的解 析式 练习题:

1、已知y=f(x)为奇函数,当x>0时,f(x)=(1-x)x,则当x<0时，f(x)的解析式为__________.12、已知f（x）是偶函数，g（x）是奇函数，若f(x)g(x)，则f（x）

x1的解析式为_______； g（x）的解析式是_________．

3、已知函数f（x）是奇函数，且当x＞0时，f（x）＝x3＋2x2—1，求f（x）在R上的表达式．

.练习题1.f（x）是定义在（－∞，－5］［5，＋∞）上的奇函数，且f（x）在［5，＋∞）上单调递减，试判断f（x）在（－∞，－5］上的单调性，并用定义给予证明．

考点四：利用奇偶性求参数的值

例4：定义在R上的偶函数f(x)在(,0)是单调递减，若f(2a2a1)f(3a22a1)，则a的取值范围是如何？

练习题：

1、设定义在［－2，2］上的偶函数f（x）在区间［0，2］上单调递减，若f（1－m）＜f（m），求实数m的取值范围．

篇7：函数的奇偶性教案

伊滨一高

杨志刚

2012年11月15日

函数的奇偶性

教学目标

1、从形和数两个方面进行引导，使学生理解函数奇偶性的概念;

2、会利用定义判断简单函数的奇偶性.教学重点: 函数奇偶性概念的形成与函数奇偶性的判断.教学难点: 对函数奇偶性的概念的理解.教学过程

一、导入新课

先举现实生活中对称的例子,然后启发学生发现数学中存在对称的图形,试让学生举例.(学生可能会举出yx2和yx,y1等例子)其中哪些函数的图象关

x于y轴对称？

以函数yx2为例，画出图象,让学生说出判断其图象关于y轴对称的方法.在数学上将图象关于y轴对称的函数叫做偶函数.今天将从数值角度研究图象关于y轴对称函数的自变量与函数值之间的规律.二、讲解新课

引导学生先将规律具体化,再用数学符号表示.从而发现对定义域内任意一个x,都有 f(x)= f(x)成立.最后让学生用完整的语言给出偶函数定义,不准确的地方予以提示或调整.一般地,如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x,都有f(x)f(x),那么函数f(x)就叫做偶函数.注:强调“任意”两字.给出定义后可让学生举例检验他们对概念的初步认识

提出新问题:图象关于原点对称的函数的自变量与函数值之间具有怎样的数值规律呢?(同时打出y1的图象让学生观察研

x究)引导学生用类比的方法,得出结论,让学生给出奇函数的定义.一般地,如果对于函数

f(x)的定义域内任意一个

x,都有,f(x)f(x)那么函数f(x)就叫做奇函数.三、例题讲解

例1 判断下列函数的奇偶性(1)f(x)x1;(2)f(x)x1x2;(3)f(x)2x;(4)f(x)|x|2;(5)f(x)(7)f(x)(9)1x2;(6)f(x)x2,x[3,1];4x2(x2)0;(8)f(x)2x1;1x22x22xf(x);(10)f(x).x22x1前三个题做完，进行一次小结,判断奇偶性,只需验证 f(x)与

f(x)之间的关系.此时提出问题如何判断一个函数不具有奇偶性呢？以第(1)为例,说明怎样解决它不是偶函数的问题呢?引导学生得出只需举一个反例就可说明.通过第(6)题引导学生得出定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的先决条件的结论.由学生小结判断奇偶性的步骤之后,提出新的问题:在刚才的几个函数中有是奇函数不是偶函数,有是偶函数不是奇函数,也有既不是奇函数也不是偶函数,那么有没有这样的函数,它既是奇函数也是偶函数呢?若有,举例说明.经学生思考,可找到函数 f(x)0.然后继续提问:是不是具备这样性质的函数的解析式都只能写成这样呢?能证明吗?

例2 已知函数 f(x)既是奇函数也是偶函数,求证: f(x)0.(由学生来完成)

证明: f(x)既是奇函数也是偶函数，f(x)= f(x),且 f(x)f(x),  f(x)= f(x). 2f(x)0,即 f(x)0.进一步提问：这样的函数应有多少个呢?（学生开始可能认为只有一个,经提示可发现, f(x)0只是解析式的特征,若改变函数的定义域,如 f(x)0, x[1,1], f(x)0，x{2,1,0,1,2},它们显然是不同的函数,但它们都是既是奇函数也是偶函数.）课后反思：

1、函数奇偶性的定义;

2、函数奇偶性的判定;

3、利用函数的奇偶性可将函数分为四类:奇函数、偶函数、非奇非偶函数、既奇又偶函数.作业

P361、2题；P39A组6题；P39B组3题。[板书设计]

函数的奇偶性

1、定义：

2、函数奇偶性的判断；（画图）

3、例题示范；

4、例题讲解；

篇8：函数奇偶性和周期性

设函数f ( x) =ax2+ 1/ (bx + c) 是奇函数 ( a, b, c∈Z) , 且f ( 1) =2, f ( 2) < 3.

( 1) 确定a, b, c的值;

( 2) 问当x > 1时, f ( x) 的单调性如何? 证明你的结论.

分析本题从奇函数入手, 先将条件转化, 得到a, b, c的关系, 进而确定a, b, c; 再由单调性的定义, 解决问题.

解答 ( 1) 由f ( 1) = 2, 得到 (a + 1) / (b + c) = 2, 由f ( 2) < 3, 得到 (4a + 1) /2b + c< 3. 因为f ( x) 是奇函数, 故f ( x) 的定义域关于原点对称, 又f ( x) 的定义域是{x| x∈R, 且x≠-c /b}, ∴-c/b= 0, 即c = 0. ∴ (a + 1) /b= 2, (4a + 1) /2b< 3. ∴ (8b - 3) /2b< 3. 即0 < b <32,

而 b∈Z, ∴ b = 1, ∴ a = 1.

综上所述: b = 1, a = 1, c = 0.

故f ( x) 在 ( 1, + ∞ ) 上是增函数.

归纳 ( 1) 利用函数奇偶性的定义域要求———关于原点对称, 求出c的值. 当然还可以用奇函数的等价条件:f ( - x) = - f ( x) , 得到对比等式的两边, 得c = 0; 又在f ( - x) = - f ( x) 基础上, 还可以用赋值的方法, 如f ( - 1) = - f ( 1) , 即, 同样得c = 0.但能否用f ( 0) = 0方式求出c值呢? 回答是不可以的, 原因是受定义域的制约. 0不在定义域内!

( 2) 用单调性定义证明和判定时的基本步骤: 1任取a < x1< x2< b; 2作差f ( x1) - f ( x2) 并将差式变形; 3判断f ( x1) - f ( x2) 的正负; 4结论. 在第2步作差变形时, 同学们往往会对差式不变形或化简不到恰当的形式, 而进行主观判断正负. 因而我们要学会因式分解、配方、通分等方法, 将差式化为仅含x1- x2, x1+ x2, x1x2等较为简单形式的综合, 这样便于正确判定f ( x1) - f ( x2) 的正负号.

( 3) 函数单调性和奇偶性的综合: 奇函数在对称于原点的两个区间上的单调性一致, 偶函数则在对称于原点的两个区间上的单调性相反.

拓展: 将问题 ( 2) 变为“在定义域内讨论该函数的单调性”.

方法1: 因为函数f ( x) = x +1/x是奇函数, 根据归纳 ( 3) , 先讨论该函数在 ( 0, + ∞ ) 内的单调性由中的因式中, 只有的正负难以判断, 故将区间 ( 0, + ∞ ) 分成 ( 0, 1) 和 ( 1, + ∞ ) 两个区间, 很快分别判断出x1x2- 1的正负. 结论为: 函数f ( x) = x +1/x在 ( 0, 1) 上是减函数, 在 ( 1, + ∞ ) 上是增函数. 再由对称性知函数f ( x ) = x +1/x在 ( - 1, 0) 上是减函数, 在 ( - ∞ , - 1) 上是增函数.

方法2: 利用多媒体工具画出函数f ( x) = x +1/x的图像, 观察图像得出该函数单调性的结论.