二次函数最值探究

二次函数最值探究（精选8篇）

篇1：二次函数最值探究

《二次函数最值问题》的教学反思

大河镇 件，设所获利润为y元，则y＝（x-2.5）［500+200(13.5-x)］，这样，一个二元二次方程就列出，这也为后面学习二次函数与一元二次方程的关系奠定了基础，针对上述分析，把所列方程整理后，并得到y＝－200x2＋3700x-8000，这里再利用二次函数y＝ax2+bx+c(a≠0)的解析式中a、b、c的大小来确定问题的最值。把问题转化怎样求这个函数的最值问题。

b4acbb4acb根据a>0时，当x=－，y最小＝；a<0时，当x＝－,y最大＝

2a4a2a4a的公式求出最大利润。

例2是面积的最值问题（下节课讲解）

教学反馈：讲得丝丝入扣，大部分学生能听懂，但课后的练习却“不会做”。反思一：本节课在讲解的过程中，不敢花过多的时间让学生争辩交流，生怕时间不够，完成了不教学内容，只能按照自己首先设计好的意图引领学生去完成就行了。实际上，这节课以牺牲学生学习的主动性为代价，让学生被动地接受，去听讲，体现不了学生是学习的主人这一关键环节。

反思二：数学教学的目标不仅是让学生学到一些知识，更重要的是让学生学会运用知识去解决现实问题，让学生“从问题的背景出发，建立数学模型”的基本流程，如例题中，可让学生从“列方程→转化为二次函数解析式→

b4acb当x＝－时，y最大（小）＝→解决问题”，让学生在实践中发现数2a4a学，掌握数学。

反思三：教学应当促进学生成为学习的主人，离开了学生积极主动学习，老师讲得再好，学生也难以接受，或者是听懂了，但不会做题的现象。传统的教学“五环节”模式已成为过去，新的课程标准需要我们用新的理念对传统的教学模式、教学方法等进行改革，让学生成为课堂的主角。

篇2：二次函数最值探究

一、教学目标

（一）知识与技能

1、会通过配方或公式求出二次函数的最大或最小值；

2、在实际应用中体会二次函数作为一种数学模型的作用，会利用二次函数的性质求实际问题中的最大或最小值；

（二）过程与方法

通过实例的学习，培养学生尝试解决实际问题，逐步提高分析问题、解决问题的能力，培养学生用数学的意识。

（三）情感态度价值观

1、使学生经历克服困难的活动，在数学学习活动中获得成功的体验，建立学好数学的信心；

2、通过对解决问题过程的反思，获得解决问题的经验和获得新的思想知识的方法，从而体会熟悉活动中多动脑筋、独立思考、合作交流的重要性。

四、教学重点与难点

1、教学重点：实际问题中的二次函数最值问题。

2、教学难点：自变量有范围限制的最值问题。

二、课堂教学设计过程

（一）复习导入 以旧带新

1、二次函数的一般形式是什么？并说出它的开口方向、对称轴、顶点坐标。

2、二次函数y=－x²+4x－3的图象顶点坐标是（）

当x

时，y有最

值，是______。

3、二次函数y=x²+2x-4的图象顶点坐标是（）当x

时，y有最

值，是______。

分析：由于函数的自变量的取值范围是全体实数，所以只要确定他们的图像有最高点或最低点，就可以确定函数有最大值或最小值。

设计意图：复习与本节课有关的知识，可充分调动学生思维的积极性，又为新课做好准备。

（二）创设情境，导入新课

1、试一试：

1.有长为30米得篱笆，利用一面墙（墙的长度不超过10米），围成中间隔有一道篱笆（平行于BC）的矩形花圃。设花圃的一边BC为x米，面积为y平方米。

（1）求y与x的函数关系式；

（2）能否使所围矩形花圃的面积最大？如果能，求出最大的面积；如果不能，请说明理由。设计意图：让学生从已学的用配方法或公式法求二次函数的最值，在教学时，可让学生充分讨论、发言，培养学生的合作探究精神，可让学生感受到成功的喜悦。

2。直击中考：

例2.某商店购进一批单价为20元的日用品,如果以单价30元销售,那么一个月内可以售出400件.根据销售经验,提高单价会导致销售量的减少,即销售单价每提高1元,销售量相应减少20件.售价提高多少元时,才能在一个月内获得最大利润? 分析：解决实际问题时，应先分析问题中的数量关系，列出函数关系式，求出自变量的取值范围，结合图像和二次函数的性质求w的最大值。

（四）课堂练习，见导学案

（五）课堂小结，回顾提升

本节课我们研究了二次函数的最值问题，主要分两种类型：

（1）如果自变量的取值范围是全体实数，那么函数在顶点处取最值；

（2）如果自变量的取值范围不是全体实数，要根据具体范围加以分析，结合函数图像的同时利用函数的增减性分析题意，求出函数的最大值或最小值。

另：当给出了函数的一般形式时，不管自变量是否受限制，常常要配方化为顶点式来求最值问题。

篇3：二次函数最值探究

如果学生的懂仅仅是停留在表面上对概念和原理记忆性的“假性理解”, 那么, 他们对数学知识的学习就很难达到深刻理解形成能力水平的状态.而造成这种状况的原因很可能与先前的数学学习体验有关, 尤其是在初中阶段学习二次函数的时候, 解决诸如对称轴、顶点坐标、最大 (小) 值等问题, 奏效的策略往往就是记公式, 代入计算即可, 以至于学生在学习含参数二次函数闭区间上最值问题时, 把这些学习“经验”机械地迁移过来, 记题型、套类型, 而忽视了对数学问题的本质理解.有鉴于此, 我们尝试了探究教学的模式, 以期加深学生对于含参数二次函数闭区间上最值问题的理解.先将教学过程简述如下, (以下用T表示教师, 用S表示学生) , 再谈几点认识.

1 课堂实录

1.1引例

问题1 画出二次函数f (x) =x2-2x+3的图像, 根据图像指出当x取何值时, 函数取最小值, 并求出最小值.

S1:当x=b/2a=1时, 函数取最小值:undefined

问题2 求出函数f (x) =x2-2x+3, x∈[2, 3]的最小值.

S2:还是2, 不对, 好像是x=2时取最小值3吧.

T:能说说理由吗?

S2:观察图像可知, 二次函数f (x) =x2-2x+3在区间[2, 3]上单调递增……

T:通过对问题1, 2的研究, 有何感受?

S3:闭区间上二次函数的最值不能简单的套用公式, 需要借助函数图像, 最高点处取最大值, 最低点处取最小值.

1.2 编题引出问题

问题3 求f (x) =x2-ax+3 (a<4) 在区间[2, 3]上的最小值.

S4:最小值是undefined

S5:不对, 因为a<4, 对称轴x=a/2<2在区间[2, 3]左边, 函数在[2, 3]上单调递增, 当x=2时取最小值f (2) =7-2a.

T:回答完全正确, 很多时候不能直接套用公式, 具体问题还要具体分析, 不过失败是成功之母, S4的解答为大家提了个醒, 千万不要生搬硬套哟, 数学是讲道理的.大家能改编问题了吗?下面是学生改编的问题:

问题4 求f (x) =x2-ax+3 (a<4) 在区间[2, 3]上的最大值.

问题5 求f (x) =x2-ax+3 (a>6) 在区间[2, 3]上的最小值.

问题6 求f (x) =x2-ax+3在区间[2, 3]上的最小值.

问题7 求f (x) =x2-ax+3在区间[2, 3]上的最大值.

问题8 求f (x) =-x2-ax+3在区间[2, 3]上的最大值.

问题9 求f (x) =-x2-ax+3在区间[2, 3]上的最小值.

……

T:大家编的问题这么多啊, 了不起!

1.3 解决问题, 体验过程, 提炼方法

S6:因为a<4所以对称轴x=a/2<2在区间[2, 3]左边, 函数是单调递增的, 最大值是f (3) =12-3a.

S7:对称轴x=a/2>3, 在区间的右边, 函数在[2, 3]上单调递减, 最小值为f (3) =12-3a.

T:大家在议论问题6吗?看来, 这个问题还真有些难呢, 能说说你的难处吗?

S8:不能判断对称轴在区间的哪边.

T:想想前面已经解决了的问题, 看看对你有什么启发.

2分钟过去了……

S9:当a<4时, 对称轴在区间的左边, 最小值为f (2) =7-2a, 当a>6时, 对称轴在区间的右边, 最小值为f (3) =12-3a.

T:还有问题吗?

S10:当4≤a≤6时, 对称轴在区间上, 当undefined时, 最小值为undefined

T:哦, 两个同学的解答合起来就天衣无缝, 还是集体力量大啊!分类一定要完整, 谁小结上题的解法?

S11:分对称轴在区间的左边、在区间上、在区间的右边3种情况讨论:对称轴在区间左侧, 左端点取最小值;在区间右侧, 右端点取最小值;对称轴在区间上时, 最小值在顶点处取得.

T:总结的真好, 我无话可说了, 尝试问题7吧, 不一样哦!

S12:也和S9, S10两个同学一样, 分3种情形, 当4≤a≤6时, 最大值不知道是在哪个端点取到.

T:有可能在两个端点同时取最大值吗?

S13:当a=5时, 在两个端点同时取最大值-3.

T:你怎么发现的?

S13:抛物线开口向上, 离对称轴越远, 函数值越大, 离对称轴越近函数值越小, 当a=5时, 对称轴为x=5/2, 两端点到对称轴的距离相等, 在两端点处同时取最大值.

T:有道理, 有想法吗?

S14:只需将对称轴undefined与undefined作比较即可.当undefined时, 在x=2时取最大值7-2a;当undefined时, 在x=3时取最大值12-3a.

T:说得好, 只要分两种情形讨论就好了, 为什么有时候分两类有时候分3类呢?

S15:最值能在抛物线顶点取到, 要分3类, 最值不能在顶点处取到分两类.

T:原来顶点还真重要, 影响到分类, 请左边的同学做问题8, 右边的做问题9.

投影仪投影解答过程, 师生共同探讨.

1.4 逆向探究

问题10 已知函数f (x) =ax2+ (2a-1) x+1在区间[-3/2, 2]有最大值3, 求a的值.

S16:分3种情形a>0, a=0和a<0讨论, 就是太复杂了……

T:有其他办法吗?

T:没有思路怎么办?前面解决问题的经验对你也许有所启发.

S17:最值只可能在端点和对称轴处取到, 可以采取先代入计算, 再检验的方法.

S18:当a=0时是线段, 要单独考虑.

S19:线段的最大值也是在端点取得, 不需要讨论了.

T:好的, 大家的讨论已经指明了解决问题的思路, 下面做做看, 请S17同学板演.

……

T:做得很好, 解题就像拉车, 不仅要埋头拉车, 还要抬头看路, 看看方向对不对, 当没有思路时要想想曾经解决过的类似问题, 过去的经验对你也许有所启发.

2 几点认识

2.1 关于教学设计

上海市教育科学研究院顾泠沅教授对大量案例进行研究, 提出数学学习大致可以分为3类:第1类, 记忆操作类学习;第2类, 理解性的学习;第3类是探索性学习.学生学习的层次与教师的教学法处理有关, 教师可能对教材作不同的处理, 学生学习数学完全可能存在不同的层次.这些层次不仅和学习材料、学习者的策略有关, 而且和教师的教学法密切相关.建构主义学习论认为:个体的学习不是在一片空白或完全相同的背景下进行的, 他已有的知识经验、信念、个性、情感等都不同程度的参与其中, 由于个体经验的不同, 学生对同一问题便会形成理解上的差异, 教学设计既要符合学生的认知, 还要有利于学生高水平的学习数学, 提升思维水平, 发展能力.

数学教学从本质上说, 是以知识为载体, 以问题为核心, 师生在课堂上的交互活动, 在这一活动中如何调动学生思维, 以达到在问题解决过程中发展能力, 实现由“知识学习”到“智慧生成”, 我们考虑了如下几个方面:

首先, 学生的学习是在已有经验基础之上对新知的建构, 当原有的经验不利于新知的学习时就会产生负迁移, 阻碍认知的发展, 初中二次函数的学习多半是偏重于记忆性的“静态知识”, 含参数二次函数闭区间上的最值问题需要动态的建构, 为解决这一矛盾, 在引例中编排了问题1、问题2, 这两个问题都是学生能力所及的, 放在起始阶段, 目的是通过对比使学生感受到过去的“经验”有时候会失灵, 再沿着“经验”惯性滑行是走不通的, 在问题解决过程中能自觉的挣脱经验的“枷锁”, 调整解题策略.

再就是以问题驱动, 在解决问题的过程中提炼方法.教师预设的问题和课堂生成的问题相互呼应, 问题3不仅符合学生的“最近发展区”, 还为课堂生成问题搭建“支架”, 促进学生思考, 改变a的范围、开口方向等提出系列问题, 是学生从数学角度对问题3认识的深化, 既有利于学生问题意识的培养, 也改变了由教师提问, 学生解决问题的传统模式.为什么分类?如何确定分类标准?是学生的困惑所在, 问题3, 5为问题6为什么要分类作了铺垫, 也为分类标准的确定作了暗示.任何难点的突破都是深入思考后灵光的闪现, 与传统的讲授法相比较, 这种设计为思维的提升搭建了“脚手架”, 基于对问题3, 5的思考, 在解决问题6时, 学生已有明确的分类意识, 对前面问题解决过程的反思, 分类标准也浮出了水面.在一般性问题6, 7解决后引导学生对方法进行总结与提炼, 提升思维水平, 明确分类标准, 在分类标准的讨论中“可在顶点取最值分三类, 不在顶点处取最值分两类”、“最值只能在端点或顶点处取得”如点睛之笔, 击中要害, 让学生结合自身的体验、提升自己的思维、对知识进行创造性的应用.

最后是以“诱思”代答, 语言幽默.在问题解决的过程中, 学生的思维并非总是一帆风顺的, 在问题6, 7, 10的解决过程中, 学生思维出现“掉链子”, 通过对前面问题的回顾诱导学生思考, 在问题7的解决过程中, 学生惯性的迁移了前面的经验, 借助设问“能同时在两个端点取得最大值吗”诱导学生重新思考分类标准.面对问题10, 学生显得束手无策, 学生的解题思路源于对已有经验的反思和认知的重构, 启发学生回顾、探寻解题思路, 回顾以前解决过的相关问题、思考相关的知识、对已有思路再思考等无疑有益于学生反思意识的培养.整堂课下来语言幽默风趣, 像“低头拉车抬头看路”等, 一改数学的严肃面孔, 有利于学生学习兴趣的培养.

2.2 关于探究学习

高中数学课程倡导自主学习、探究学习等多种学习方式, 体验数学发现与创造的过程, 发展自主创新的精神, 但一些教师认为教科书中缺少探究的素材, 一说到探究就追求新、奇、大、难的问题, 其实教材中“阅读材料”、“探究与发现”、“实习作业”、教学中的某个专题、例题、习题、学习难点等都是可资利用的探究素材.

教师主动求变与创新是新课程改革成败的关键, 普通高中新课程标准强调学生创新意识的培养, 学生的创新意识不可能凭空而来, 文[5]中指出:“就本例而言, 我们可以看到一个很清晰的封闭认识传递链:学生的封闭认识主要来自于教师, 教师的封闭认识主要来自于印刷物或‘教师的教师’.”由于印刷物是教师编写的, 所以归根结底还是来源于教师.探究学习与接受学习是两种主要的学习方式, 没有优劣之分, 只是我们现在大部分教师是接受式学习培养出来的, 探究学习对很多教师而言在观念上已经接受了, 但还没有成为我们的一种教学常态, 这就需要我们教师去主动求变, 对那些接受式学习效果不好的内容不妨尝试探究式学习, 敢于求变、自觉求变是与时俱进的必然要求, 新一轮课程改革的序幕已经拉开, 但是我们还有部分教师因循守旧, 新课程旧理念, 总想用传统的理念处理新教材中的一些问题, 一味因袭传统的教师又怎么培养学生的创新意识呢?

参考文献

[1]王神华.新课程理念下开展“问题驱动”教学的思考[J].数学通报, 2007, (12) .

[2]章显联.探究之路在何方[J].数学通报, 2008, (7) .

[3]瞿国华.关于“判别式法”的探究学习[J].数学通报, 2007, (9) .

[4]丁国忠.数学课程改革中教师数学教学观念的转变[J].课程.教材.教法, 2006, 26 (5) .

[5]罗增儒.教育叙事——开放策略下的认识封闭[J].中学数学教学参考 (上半月) , 2008, (6) .

篇4：二次函数最值探究

首先我们要了解在不含参数的情况下二次函数y=a*x2+b*x+c是如何求最值的：

情况一：在整个定义域上求最值

方法：配方为y=a*（x-h）2+k再求最值直接利用二次函数的顶点坐标是（-b/2a，（4ac-b2）/4a）.

情况二：在指定区间上求最值

方法：step1判断二次函数的对称轴是否在该区间内；

step2如果二次函数的对称轴不在该区间内，则区间的端点值代入二次函数式即可求出最值；如果二次函数的对称轴在该区间内，则利用情况一中的方法求出最大（小）值；

step3再分别计算端点的函数值，进行比较后再确定最小（大）值，或比较出距离对称轴最远的端点值，其函数值就是最小（大）值。

二次函数中常数为参数时对二次函数最值的判断与计算都十分容易，在下文也不做讨论.含参数的二次函数求最值问题可分为三类：“动轴定区间”、“定轴动区间”以及“动轴动区间”.

第一类：“动轴定区间”类问题又可分为三种：

第1种：二次项系数为参数y=t*x2+b*x+c；第2种：二次项系数与一次项系数同为参数y=t*x2+t*x+c；第3种：一次项系数为参数y=a*x2+t*x+c.其中t是参数，a、b、c均为常数.

方法：对于第1第2种情况要先对二次项系数的正负进行分类再按照不含参的二次函数讨论在指定区间上求最值的方法进行讨论；第3种情况可以直接按照不含参的二次函数讨论在指定区间上求最值的方法进行讨论.

例1：求y=a*x2+2*x-3在区间[-1，3]上的最值.其中a是参数

解：先求出对称轴为x=-1/a，顶点坐标为（-1/a，-3-1/a），端点值-1，3的函数值分别为a-5，9*a+3.

（1）a>0，（i）二次函数的对称轴在该区间的左侧，-1/a<-1，即03，与a>0矛盾，这样的a不存在，故不讨论此类情况；（iii）二次函数的对称轴在该区间内，-1≤-1/a≤3，即a≥1，最小值为-3-1/a，端点函数值经过比较后，最大值为9*a+3.

（2）a<0，（i）二次函数的对称轴在该区间的左侧，-1/a<-1，与a<0矛盾，这样的a不存在，故不讨论此类情况；（ii）二次函数的对称轴在该区间的右侧，-1/a>3，即-1/3

综上所述，a≥1，最小值为-3-1/a，最大值为9*a+3；0

例1变式：求y=a*x2+2*a*x-3在区间[-3，3]上的最值.其中a是参数。

显然本题中的对称轴是定下来的，但是二次项系数为参数还是要进行分类讨论，函数图像开口向上时，最小值是x=-1代入所得的函数值，最大值可通过端点值比较得到；函数图像开口向下时，最大值是x=-1代入所得的函数值，最大值可通过端点值的比较得到.详细解答不在此赘述，请读者自行思考解答。

第二类：“定轴动区间”类问题：

方法：分两类讨论（a）区间在对称轴的左侧（右侧），即左端点的值大于-b/2a（右端点的值小于-b/2a），则直接代入端点值计算其函数值即可求得最值；（b）对称轴在区间内，则最大（小）值即为函数在定义域上所取得的最大（小）值，最小（大）值则可以通过直接代入两个端点值后所得的函数值比较得到。

例2：求y=x2+2*x-3在区间[a，a+3]上的最值.其中a是参数。

解：先求出对称轴为x=-1，顶点坐标为（-1，4），端点值a，a+3的函数值分别为a2+2*a-3，a2+8*a+12。

（i）二次函数的对称轴在该区间的左侧，-1

综上所述，-1

例2变式：求y=x2+2*x-3在区间[a，2*a]上的最值.其中a是参数。

要先确定区间是有意义的，就要使a<2*a，即a>0，再类似例题中的方法去讨论解答。在此不做详细解答，请读者自行思考解答.

第三类：“动轴动区间”类问题：

解决这类问题的总体思路就是综合前两类问题的解决方法。

方法：如果二次项系数含参数，先对二次项系数的正负进行讨论，再利用第二类“定轴动区间”问题的解决方法进行讨论；如果二次项系数不含参数，则直接利用第二类“定轴动区间”问题的解决方法进行讨论。

本类问题的解答则是综合上述两类问题的解答方法进行解答，故而在此只举出一道例题供读者思考。

篇5：二次函数在区间上的最值

教学目的：1.根据函数的概念和函数的单调性研究二次函数 在区间的最值；

2.进一步掌握数形结合相思和分类讨论思想.教学重点：二次函数在区间上的最值问题 教学难点：含参问题的讨论.教学过程：

一、复习引入

1.二次函数的概念和性质； 2.单调函数的概念.二、例题 例1.求函数y3x212x15当自变量x在下列范围内取值时的最值，并求此函数取最值时的x值.（1）xR;(2)0x3;(3)1x1.例2.求函数yx22x3在区间[0,a]上的最值，并求时x的值.例3关于x的方程x2(k2)xk23k50有两个实根α，β，求α2+β2的最值.例4.已知函数2x22ax3在区间[-1，1]上有最小值，记作g(a).(1)求g(a)的表达式；(2)求g(a)的最大值.三、作业

1.函数yt=x2-mx+4(m>0)在[-3,2]上有最大值4，求a值.112.关于x的不等式9x26axa22a60在[,]上恒成立，求实数a

33的取值范围.3.某蔬菜基地种植西红柿，由历年市场行情得知，从二月一日起的300天内，西红柿市场售价与上市时间的关系用图一的一条折线表示；西红柿的种植成本与上市时间的关系用图二的抛物线段表示。

（I）写出图一表示的市场售价与时间的函数关系P=f(t)；

写出图二表求援 种植成本与时间的函数关系式Q=g(t)；

（II）认定市场售价减去种植成本为纯收益，问何时上市的西红柿纯收益最大？

篇6：二次函数的最值问题教案

班级：莘庄职校03级（4）班

2003/12/4 [教学目标]1、2、3、4、使学生掌握二次函数在给定区间上最值的理论和方法。引入数形结合和分类讨论的思想。

培养学生敏锐的观察能力，运算准确性，思维的灵活性，培养学生发现问题的创新意识，探索问题的创新精神以及多层次，多角度思考问题的创新思维。[教学重点、难点] 重点：当区间端点不定时，讨论二次函数最值问题。难点：分类讨论思想的正确运用。[教学过程]

一、知识回顾

1、二次函数概念：形如yax2bxc(a0)的函数叫一元二次

函数。

bb4acb2)

其中对称轴为x，顶点坐标为(,2a2a2a2、图象性质

（动画演示）

（1）单调性（2）最值

二、问题探究

例题：求函数f(x)x22x1在下列区间最大值和最小值。（动画演示）

（1）R

f(x)minf(1)

（2）[-2，2]

f(x)minf(1)

f(x)maxf(2)

（3）[1，3]

f(x)minf(1)

f(x)maxf(3)

5（4）[-2，]

45f(x)minf()

f(x)maxf(2)

41f(2)

[-2，]

f(x)minf(1)

f(x)max31[-2，]

3f(x)minf(1)

f(x)ma1f()x3（5）[-2，a]

（学生观察，讨论）

f(2)f(a)

f(x)max①当-2≤a＜-1时

f(x)minf(2)f(1)

f(x)max②当-1≤a＜0 时

f(x)minf(a)③当a≥0时

f(x)minf(1)

f(x)max

三、问题引申

求函数f(x)x22x1在区间[m，m+2]上的最大值和最小值。

（动画演示）

f(m)解：当m＜-3时

f(x)minf(m3)

f(x)maxf(m)f(1)

f(x)max当-3＜m＜-2时

f(x)minf(m2)f(1)

f(x)max当-2＜m＜-1时

f(x)minf(m2)当m＞-1时

f(x)minf(m)

f(x)max

四、总结归纳

五、开拓思维

当二次函数对称轴变化时，在指定区间内求最值

篇7：二次函数最值问题的研究

（内江师范学院 内江 641100）

摘要：最值问题是中学数学的重要内容之一，中学数学最值问题遍及代数、三角函数、立体几何及解析几何各部分之一，最值问题为载体，利用数形结合的思想，考查分类讨论、数形结合、转化与化归等思想考查二次函数的最值问题，利用二次函数的图像和性质进行研究最值问题，遍及初高中数学代数和几何部分的几乎所有，利用数与形进行分类和分轴以及参数问题讨论出最值问题的变化，同时利用数学等优秀的数学思想，将观察、类比、实验、归纳、一般化、抽象化等方法解决生活中遇到的最值问题。

关键字：数学 最值 数形结合 图像

1、前言

数学是一种古老而又年轻得文化，人类从蛮荒时代的结绳计数，到如今用电子计算机指挥宇宙航行，无时无刻不在受到数形结合和空中二次函数的思想的恩惠和影响，进入21世纪，我国数学课程中有关数学学习的理念时刻在发生变化，数学教学的主要目的和任务早已经不是简单的知识和方法的传授，而是通过数学学习在传授知识分方法的同时培养学生的数学能力，咋促进学生数学学习的过程中，加强数与行的结合，能化简为繁，对于帮助学生开阔思路，突破思维定势有积极地作用，能加深学生对知识的理解和掌握，学习二次函数的知识不仅是高中教材的内容，而且更是解决生活的实际问题有很大的帮助，但是二次函数包括的知识点不仅多，难度比较大之外，更重要的是具有可行性的量化和质变的本质区别，二次函数的最值问题作为研究二次函数的图像和性质，以及二次函数的区间最值问题都是需要学生去总结和探讨的。

作为初中和高中教材中的主要函数知识点的部分，学习二次函数起到一个承上启下的作用，同时二次函数也是中考和高考命题的重点，如何让初高中学生对二次函数了解的更加深刻和透彻，本文利用和数形结合的思想对初高中二次函数做了更深入的研究和讨论，主要运用数形结合的思想和分类讨论的思想以及根据二次函数的性质，从不同的角度进行分析二次函数的最值问题，利用二次函数的图像解决：定轴动区间、动轴动区间、动轴定区间的最值问题，以及根据开口方向、对称轴、所给区间确定；所给区间确定、对称轴位置变化；所给区间变化、对称轴位置确定；区间、对称轴位置都不确定，巧用二次函数的图像来进行讨论二次函数所遇到的最值问题，利用图像讨论含参数的问题，以及巧用二次函数图像讨论二次函数与一次函数交汇问题和运用数形结合求解问题误区的探讨这几个方面论述.2、国内外研究现状：

查阅相关文献，众多数学教育者和数学专家从不同角度和侧面探讨了二次函数的最值问题，同时结合教学、解题、以及函数的应用，王丰霞在文献[1]中浅谈了构造数形结合在二次函数中的培养创新思维，张冰、杨光在文献[2-3]中浅析二次函数最值问题的研究的概念以及培养学生数形结合的兴趣，孙雪梅、王雨来、朴林玉等文献[4-6]分析了二次函数的最值问题，周建涛、姚爱梅在文献[7]中二次函数在闭区间的最值问题的研究，陈晨在文献[8]闭区间上的二次函数的最值，张连友在文献[8]二次函数在最值求法例谈，陈林文在文献[9]巧解最值问题，黄小琴在文献[10]二次函数最值求法探索，张武在文献[11]中“数形结合”解题误区的认识与思考给出了自己独特的见解和分析，通过观看以上等教育工作者的研究和对二次函数最值问题的研究，让我受益匪浅，从他们的研究中看到了对二次函数最值问题的深入剖析。

2、国内外研究现状评价

在所查阅到的国内外参考文献中，教育者们对在二次函数中最值问题的研究，只是针对了二次函数的某一些问题或是某一些最值问题探究的比较清楚，其中关于二次函数的深层次或是大学知识的解决办法未能够涉及到里面去，相对高思想高研究高知识层面的探讨问题研究的不是很充分，其次对于二次函数利用思想方法和数形结合的思想方法的分析缺乏深入的研究和探讨，数形结合的思想在初高中二次函数中是比较重要的一个内容，对数形结合的思想在高中二次函数中的综合运用进行深入研究，使之形成完整的体系，对今后利用二次函数的图像和数形结合的思想去进行二次函数的教学、解题、以及二次函数最值问题的分析在初高考的应用具有重要的意义。

3、提出问题：

二次函数最值问题是结合初高考的代数和几何进行考试的内容，同时也是大部分学生遇到的问题最多的地方，所以探讨二次函数的最值问题的具有可行性的，同时也是对函数部分的知识进行深入的剖析，在具体探讨二次函数的最值问题的时候加入一些数学思想和数学方法以及高等数学的解题方法，根据定义域的问题和对称轴的问题进行深入分析和探讨是有必要的数学研究，4、结束语：

通过对国内外数学中二次函数的了解和研究以及专家和教育学者的文献的分析，二次函数是初高中数学的重点和难点，贯穿高中知识的始终，同时二次函数与其他知识的综合也是高考的重点和难点，是解决很多复杂的数学问题的一把利刃，利用二次函数的图像和性质进行研究最值问题，求解函数的最值是高考的重点以及难点，必须从根本上解决高中生面对最值问题所遇到的困难，很多文献都是有解法的缺乏思想，有教学的缺乏实践支撑,本文就是让学生将解题的技巧与求解函数的最值结合起来，让学生不再害怕最值问题，不再高考的大部分涉及函数最值的题目中失分。凡题有法而可解，高中生在做题的时候往往照抄书本模式，禁锢于思维定势，用解法解题便成了盲区，对于解法，教材中只提到了二次函数配方法求最值，利用函数的单调性、奇偶性求最值，这些方法可以应对一些简单的题目，如果题目加大难度，学生就束手无策，文章对函数最值问题的解法进行研究，目的就是为了扩大学生之视野，扩张学生之思维，以解学生学习最值问题的重点和难点。参考文献：

【1】 王丰霞，构造数形结合思想在二次函数中培养创新思维[J]，胜利油田专科学校学报，2001，（04）

【2】 张冰、杨光，浅析二次函数最值问题的研究的概念以及培养学生数形结合的兴趣，山西财经职业技术学院，2011，（7）

【3】 孙雪梅、王雨来、朴林玉，二次函数的最值问题[J]，2010,(11)：45-46 【4】 周建涛、姚爱梅，二次函数在闭区间的最值问题的研究[J],数学教学学报，2005，（12）：24-25 【5】 陈晨，闭区间上的二次函数的最值[J]，中学数学杂志，2004（12）【6】 张连友，二次函数在最值求法例谈[J]，黑河教育，2008（4）【7】 陈林文，巧解最值问题[J],时代教育，2007（7）

篇8：二次函数最值问题例谈

一、销售利润问题

例1 (2007年 贵州贵阳) 某水果批发商销售每箱进价为40元的苹果, 物价部门规定每箱售价不得高于55元, 市场调查发现, 若每箱以50元的价格调查, 平均每天销售90箱, 价值每提高1元, 平均每天少销售3箱。

(1) 求平均每天销售量y (箱) 与销售价x (元/箱) 之间的函数关系式;

(2) 求该批发商平均每天的销售利润w (元) 与销售价x (元/箱) 之间的函数关系式;

(3) 当每箱苹果的销售价为多少元时, 可以获得最大利润?最大利润是多少?

解: (1) y=90-3 (x-50) 化简得:y=-3x+240.

(2) w= (x-40) (-3x+240) =-3x2+360x-9600.

(3) w=-3x2+360x-9600.

∵a<0, ∴其图像抛物线开口向下.

当undefined时, w有最大值。

又∵x<60, w随x的增大而增大,

∴当x=55元时, w的最大值为1125.

∴当每箱苹果的销售价为55元时, 可以获得1125元的最大利润。

二、几何面积问题

例2 (2007年 福建龙岩) 如图1所示, 在△ABC中, ∠A=90°, AB=4, AC=3.M是边AB上的动点 (M不与A, B重合) , MN//BC交AC于点N, △AMN关于MN的对称图形是△PMN, 设AM=x.

(1) 用含x的式子表示△AMN的面积 (不必写出过程) ;

(2) 当x为何值时, 点P恰好落在BC上;

(3) 在动点M的运动过程中, 记△PMN与梯形MBCN重叠部分的面积为y, 试求y关于x的函数关系式;并求x为何值时, 重叠部分的面积最大, 最大面积是多少?

解:undefined;

(2) 如图4所示, 由轴对称性质知:

AM=PM, ∠1=∠2.

又∵MN//BC,

∴∠2=∠3, ∠1=∠B.

∴∠B=∠3.

∴AM=PM=BM.

∴点M是AB中点,

即当undefined时, 点P恰好落在边BC上。

(3) 以下分两种情况讨论:

第一种情况:

当0

当2

由 (2) 知ME=MB=4-x.

∴PE=PM-ME.

=x- (4-x) =2x-4.

undefined

第二种情况:

∵当0

∴易知undefined

又∵当2

undefined

∴当undefined时 (符合2

综上所述, 当undefined时, 重叠部分的面积最大, 其值为2.

备注:在求函数关系式时要分情况讨论。

三、动点题

例3 (2007年 山东济南) 已知:如图6直角梯形ABCD中 , undefined

(1) 求梯形ABCD的面积;

(2) 点E, F分别是BC, CD上的动点, 点E从点B出发向点C运动, 点F从点C出发点D运动, 若两点均以每秒1个单位的速度同时出发, 连接EF, 求△EFC面积的最大值, 并说明此时E, F的位置。

解: (1) 如图7, 过点D作DM⊥BC, 垂足为M,

在Rt△DMC中,

undefined

undefined

(2) 设运动时间为 x秒,

则有 BE=CF=x, EC=10-x,

过点F作FN⊥BC, 垂点为N,

undefined

当undefined时,

undefined

即△EFC面积的最大值为10, 此时点E, F分别在BC、CD的中点处。