高数8多元函数的极限与连续

高数8多元函数的极限与连续（精选11篇）

篇1：高数8多元函数的极限与连续

二元函数的极限

二元极限存在常用夹逼准则证明

例1 lim(3x2y)14

x2y1211xsinysin，xy0，例2 函数f(x,y)在原点（0,0）的极限是0.yx

xy0.0二元极限不存在常取路径

x2y例3

证明：函数f(x，y)4在原点（0，0)不存在极限.((x，y)（0，0））4xy与一元函数极限类似，二元函数极限也有局部有限性、极限保序性、四则运算、柯西收敛准则等.证明方法与一元函数极限证法相同，从略.上述二元函数极限limf(x，y)是两个自变量x与y分别独立以任意方式无限趋近于xx0yy0x0与y0.这是个二重极限.二元函数还有一种极限：

累次极限

定义

若当xa时（y看做常数），函数f(x，y)存在极限，设当yb时，(y)也存在极限，设

lim(y)limlimf(x，y)B，ybybxa则称B是函数f(x，y)在点P(a，b)的累次极限.同样，可定义另一个不同次序的累次极限，即

limlimf(x，y)C.xayb那么二重极限与累次极限之间有什么关系呢？一般来说，它们之间没有蕴含关系.例如： 1)两个累次极限都存在，且相等，但是二重极限可能不存在.如上述例3.2)二重极限存在，但是两个累次极限可能都不存在.如上述的例2.多重极限与累次极限之间的关系

定理

若函数f(x，y)在点P0(x0，y0）的二重极限与累次极限（首先y0，其次x0）都存在，则

limlimf(x，y).limf(x，y）xx0yy0xx0yy0

二元函数的连续性

定理

若二元函数f(P)与gP在点P0连续，则函数f(P)g(P)，f(P)g(P)，（g(P0)0）都在点P0连续

f(P)

g(P)

定理

若二元函数u(x，y)，v(x，y)在点P0(x0，y0)连续，并且二元函数f(u，v)在点(u0，v0)(x0，y0)，(x0，y0)连续，则复合函数f(x0，y0)，(x0，y0) 在点P0(x0，y0)连续.1.用极限定义证明下列极限：

1)lim(4x3y)19；

2）lim(xy)sinx2y12x0y011sin0； xyx2y2xy03）lim2.(提示：应用1.）22x0xy2xyy02.证明：若f(x，y)xy，(xy0)，则 xyy0x0

limlimf(x，y)1

与

limlimf(x，y)1.x0y0x4y43.设函数f(x，y)4，证明：当点(x，y)沿通过原点的任意直线(ymx)趋23(xy)于（0,0）时，函数f(x，y)存在极限，且极限相等.但是，此函数在原点不存在极限.（提示：在抛物线yx上讨论.)2x2y22D(x，y)yx4.若将函数f(x，y)2限制在区域，则函数f(x，y)在原点2xy（0，0）存在极限（关于D).5.求下列极限： 1）limxysinxy；

2）； limx1x2xyy2x0xy2y422x0y03）lim(xy)In(xy)；

（提示：设xrcos，yrsin）

4）limx0y0(14x2)(16y2)12x23y2.

篇2：高数8多元函数的极限与连续

考研高数第一章 函数、极限与连续知识点

考研数学备战在即，基础阶段广大学子应该对考研数学的`基本概念、基本理论、基本方法进行重点把握，为了方便大家更好的复习，考研教育网编辑团队现将20考研数学第一章重要知识点整理如下，为大家考研数学的复习助力!

篇3：浅谈高数中求解函数极限的方法

关键词：高等数学,函数极限,求解

1 函数极限的相关概念及性质

函数的极限与数列的极限比较类似,可以考虑自变量x→+∞时,f(x)所呈现出的变化趋势;也可以考虑当自变量x→a时,f(x)所呈现出的变化趋势。不过与数列的极限相比而言,函数的极限复杂程度比较高,其根本原因就是由于自变量性质的变化呈现出多样性。不过通过分析可以发现,这种复杂性很多时候体现在对极限期定义叙述有所不同等方面,而在其它方面,例如极限的性质、运算以及相关的证明方法等都与数列的极限极为相似。在理解函数的极限概念时,主要有以下两个定义:

第一,设f是定义在[a,+∞)的函数,其中A为实数,在任给的ε>0的条件下,有正数M(≥a)存在,如果x>M,则有|f(x)A|<ε,此时就可以认为在x→+∞A就是函数f的极限,其表达式为:f(x)→A(x→+∞)。第二,假设f(x)函数是在点x0的某个空心邻域U0(x0;δ′)中有定义,此时A为定数,如果对于任给的ε>0,δ(<δ′)>0,使得当0<|x-x0|<δ时则|f(x)-A|<ε,则当x趋于x0时,可以称函数f以A为极限,或者也可以称作A是x→x0时f(x)的极限,其可以记为f(x)→A(x→x0)。由上述两个概念的分析过程就可以体会出函数极限的思想及性质。如果要利用函数极限进行解题,就要对函数极限各种性质进行熟练的掌握。而函数极限的性质可以总结为以下几点:第一,函数极限有局部有界性,即如果f(x)→A(x→x0),则在x0的某个去心邻域内f(x)有界;第二,函数极限表现出显著的唯一性,即当x→x0时,存在f(x)极限,则这个极限是独一无二的;第三,函数极限表现出局部保号性,即如果f(x)→A(x→x0),并且A>0或者<0,则对于任何正数r<A或者r<-A,则在x0某个去心邻域中有f(x)>r>0或者f(x)<-r<0;第四,函数极限表现出相应的迫敛性,即当函数g(x)≤f(x)≤h(x)以及limg(x)=A,limh(x)=A两个条件同时具备时,则imf(x)存在并且等于A。

2 求解函数极限的方法

在求极限的过程中,利用一些运算方法与技巧,以相关的概念、定理和公式为依据进行快速求解。下面我们来看几种求解函数极限的方法。

2.1 利用极限的描述性定义

我们可以将极限的描述性进行如下定义:如果自变量的绝对值|x|无限增大,则函数值f(x)也会相应与常数A无限的接近,此时就可以称当x趋向无穷时函数f(x)以A为极限;或者f(x)收敛至A,可以记为A或f(x)→A(x→∞)。通过上述描述性说明就可以进行函数极限的估算,而且方法非常简单。六种基本初等函数的极限都可以按照描述性定义,与图像相结合后方便的得出。不过对于六类基本的初等函数极限需要牢固的掌握,这也是求解复杂函数极限的基础理论。但是一些极限的定义容易被混淆,在实际应用的过程中要特别注意。

2.2 运用两个重要极限求函数极限

(1)重要极限一。中,sinx和x是两个类型完全不同的函数,但是却可以通过该极限促使三角函数和一次函数之间建立起关系,二者之间的比值得以实现。而且该极限的应用范围非常广泛,在解决一些实际问题时非常有效。例如下题:

某些三角函数相关的极限可以利用该极限方便的求出。比如:

在该重要极限中,x趋近无穷,而x1趋近于0,该条件与上个重要极限一样,要同时满足上述条件才能使用。不过如果使得,因为x→∞,因此y→0,则该重要极限可以进行如下代换:

3 结语

此外,还有四则运算法则等方法,不过因为四则运算方法是最基础的方法之一,它与结构良性知识比较接近,在实际的应用过程中,只需掌握相关四则运算法则就能够将法则直接套用进去最终求解,因此此处不做赘述。总之,高等数学中极限的地位非常突出,而在数列极限与函数极限中,函数极限的作用尤其突出。

参考文献

[1]罗伟.探讨求函数极限的三种常用方法[J].数学学习与研究,2011(1).

[2]扶炜,刘松.常见的函数极限求法分析[J].教育时空,2010(4).

篇4：多元函数的极限与连续

第16章

多元函数的极限与连续

计划课时：

0 时

第16章

多元函数的极限与连续(1 0 时)

§ 1

平面点集与多元函数

一.平面点集:平面点集的表示: E{(x,y)|(x,y)满足的条件}.余集Ec.1.常见平面点集:

⑴

全平面和半平面 : {(x,y)|x0}, {(x,y)|x0}, {(x,y)|xa}，{(x,y)|yaxb}等.⑵ 矩形域: [a,b][c,d], {(x,y)|x||y|1}.⑶ 圆域: 开圆 , 闭圆 , 圆环，圆的一部分.极坐标表示, 特别是 {(r,)|r2acos}和{(r,)|r2asin}.⑷ 角域: {(r,)|}.⑸ 简单域: X型域和Y型域.2.邻域: 圆邻域和方邻域，圆邻域内有方邻域，方邻域内有圆邻域.空心邻域和实心邻域 , 空心方邻域与集

{(x,y)|0|xx0| , 0|yy0|}的区别.3． 点与点集的关系（集拓扑的基本概念）:

（1）内点、外点和界点：

内点：存在U(A)使U(A)E

集合E的全体内点集表示为intE,.外点：存在U(A)使U(A)E

界点：A的任何邻域内既有E的点也有不属于E的点。E的边界表示为E

集合的内点E, 外点E , 界点不定.例1 确定集E{(x,y)|0(x1)(y2)1 }的内点、外点集和边界.例2 E{(x,y)|0yD(x), x[ 0 , 1 ] } , D(x)为Dirichlet函数.确定集E的内点、外点和界点集.（2）(以凝聚程度分为)聚点和孤立点:

聚点：A的任何邻域内必有属于E的点。

孤立点：AE但不是聚点。孤立点必为界点.例3 E{(x,y)|ysin }.确定集E的聚点集.解

E的聚点集E[ 1 , 1 ].221x 2 4．区域：

（1）(以包含不包含边界分为)开集和闭集: intE E时称E为开集 , E的聚点集E时称E为闭集.intE 存在非开非闭集.（3）有界集与无界集:

（4）

点集的直径d(E)： 两点的距离(P1 , P2).（5）

三角不等式：

|x1x2|（或|y1y2|）或(P1,P2)R2和空集为既开又闭集.（2）(以连通性分为)开区域、闭区域、区域：以上常见平面点集均为区域.(x1x2)2(y1y2)2 |x1x2||y1y2|.(P1,P3)(P2,P3)

二.R2中的完备性定理:

1． 点列的极限:

设Pn(xn , yn)R2, P0(x0 , y0)R2.PnP0的定义(用邻域语言)

定义1。

limn0,N,nNPnU(P0,)或(P0,Pn)

例4(xn , yn)(x0 , y0)xnx0, yny0,(n).例5 设P0为点集E的一个聚点.则存在E中的点列{ Pn }, 使limPnP0.n

2．R2中的完备性定理：

（1）Cauchy收敛准则:

.（2）.闭域套定理:（3）.聚点原理: 列紧性 ，Weierstrass聚点原理.（4）有限复盖定理:

三．二元函数:

1.二元函数的定义、记法、图象：

2.定义域： 例6 求定义域：

ⅰ> f(x,y)3.二元函数求值: 例7 例8 9x2y2x2y21;ⅱ> f(x,y)lny.2ln(yx1)yf(x,y)2x3y2, 求 f(1 , 1), f(1 ,).xf(x,y)ln(1x2y2), 求f(cos , sin).4.三种特殊函数: ⑴ 变量对称函数: f(x,y)f(y,x),例8中的函数变量对称.⑵ 变量分离型函数: f(x,y)(x)(y).例如

zxye2x3y, zxy2xy2, f(x,y)(xyy)(xyx)等.(xy)2 4 但函数zxy不是变量分离型函数.⑶ 具有奇、偶性的函数

四．n元函数

二元函数 推广维空间 记作R n

作业 P9—8.§ 2 二元函数的极限

一.二重极限

二重极限亦称为全面极限

1.二重极限

定义1 设f为定义在DR上的二元函数，P0为D的一个聚点，A是确定数 若 0,0,或

2PU0(P0,)D,f(P)A则limf(P)A

PP0(x,y)(x0,y0)limf(x,y)A

例1 用“”定义验证极限

(x,y)(2,1)lim(x2xyy2)7.xy20.例2 用“”定义验证极限 lim2x0xy2y0例3 x2y2,(x,y)(0,0),xyf(x,y)x2y2

0 ,(x,y)(0,0).f(x,y)0.(用极坐标变换)

P94 E2.证明

(x,y)(0,0)lim2.归结原则：

定理 1

limf(P)A, 

对D的每一个子集E , 只要点P0是E的聚点 , PP0PD就有limf(P)A.PP0PE

推论1

设E1D, P0是E1的聚点.若极限limf(P)不存在 , 则极限limf(P)也不存在.PP0PE1PP0PD

推论2

设E1,E2D, P0是E1和E2的聚点.若存在极限limf(P)A1，PP0PE1PP0PE2limf(P)A2, 但A1A2, 则极限limf(P)不存在.PP0PDPP0PD

推论3

极限limf(P)存在,  对D内任一点列{ Pn }, PnP0但PnP0, 数列{f(Pn)}收敛.通常为证明极限limf(P)不存在, 可证明沿某个方向的极限不存在 , 或证明沿某两个方向的极限PP0不相等, 或证明极限与方向有关.但应注意 , 沿任何方向的极限存在且相等  全面极限存在

例4 xy ,(x,y)(0,0), 证明极限limf(x,y)不存在.f(x,y)x2y2(x,y)(0,0)0 ,(x,y)(0,0).6 例二重极限具有与一元函数极限类似的运算性质.例6 求下列极限: ⅰ>

(x,y)(0,0)limsinxyx2ylim;ⅱ>;(x,y)(3,0)yx2y2 ⅲ>

3．极限(x,y)(0,0)limxy11ln(1x2y2);ⅳ> lim.22(x,y)(0,0)xyxy(x,y)(x0,y0)limf(x,y)的定义:

2定义2．设f为定义在DR上的二元函数，P0为D的一个聚点，若 M0,0,或

PU0(P0,)D,f(P)M则limf(P)

PP0(x,y)(x0,y0)limf(x,y)

其他类型的非正常极限，(x,y)无穷远点的情况.例7 验证(x,y)(0,0)lim1.222x3y二.累次极限

二次极限

1.累次极限的定义:

定义3．设Ex,EyR,x0,y0分别是Ex,Ey的聚点，二元函数f在集合ExEy上有定义。若对每一个yEyyy0存在极限limf(x,y)

记作(y)limf(x,y)

xx0xExx0xE若Llim(y)存在，则称此极限为二元函数f先对x后对y的累次极限

yy0yEy记作Llimlim(y)

简记Llimlim(y)

yy0xx0yEyxExyy0xx0例8 f(x,y)xy, 求在点(0 , 0)的两个累次极限.x2y2 7 例9 x2y2, 求在点(0 , 0)的两个累次极限.f(x,y)22xy11ysin, 求在点(0 , 0)的两个累次极限.yx例10 f(x,y)xsin2.二重极限与累次极限的关系:

⑴ 两个累次极限存在时, 可以不相等.(例9)⑵ 两个累次极限中的一个存在时, 另一个可以不存在.例如函数f(x,y)xsin1在点(0 , 0)的情况.y

⑶ 二重极限存在时, 两个累次极限可以不存在.例如例10中的函数, 由 , y)(0,0).可见全面极限存在 , 但两个累次极限均不存在.|f(x,y)|  |x||y|0 ,(x

⑷ 两个累次极限存在(甚至相等)

二重极限存在.(参阅例4和例8).综上 , 二重极限、两个累次极限三者的存在性彼此没有关系.但有以下确定关系.定理2 若二重极限

推论1 二重极限和两个累次极限三者都存在时 , 三者相等.推论1给出了累次极限次序可换的一个充分条件.推论2 两个累次极限存在但不相等时 , 二重极限不存在.但两个累次极限中一个存在 , 另一个不存在 

二重极限不存在.参阅⑵的例.(x,y)(x0,y0)limf(x,y)和累次极限limlimf(x,y)(或另一次序)都存在 , 则必相等.xx0yy0

作业提示: P99 1、2、4

§ 3 二元函数的连续性(4 时)

一． 二元函数的连续（相对连续）概念：由一元函数连续概念引入.1.连续的定义:

定义

用邻域语言定义相对连续.全面连续.函数f(x,y)有定义的孤立点必为连续点.例1 xy22 , xy0 ,22xy

f(x,y)m , x2y20.1m2证明函数f(x,y)在点(0 , 0)沿方向ymx连续.1 , 0yx2, x ,例2

f(x,y)

([1]P124 E4)0 , 其他.证明函数f(x,y)在点(0 , 0)沿任何方向都连续 , 但并不全面连续.函数的增量: 全增量、偏增量.用增量定义连续性.函数在区域上的连续性.2.二元连续(即全面连续)和单元连续 :

定义

(单元连续)

二元连续与单元连续的关系: 参阅[1]P132 图16—9.3.连续函数的性质: 运算性质、局部有界性、局部保号性、复合函数连续性.仅证复合函数连续性.二.二元初等函数及其连续性:

二元初等函数 , 二元初等函数的连续性.三.一致连续性: 定义.四.有界闭区域上连续函数的性质:

1.有界性与最值性.(证)

2.一致连续性.(证)

3.介值性与零点定理.(证)

Ex

[1]P136—137 1 ⑴—⑸，2，4，5；

P137—138

篇5：高数8多元函数的极限与连续

1.f(x),g(x)C[a,b]，在(a,b)内二阶可导且存在相等的最大值，又f(a)g(a),f(b)g(b),证明：(1)(a,b),使f()g()

(2)(a,b),使f()g()证明：设f(x),g(x)分别在xc,xd处取得最大值M，不妨设cd(此时acdb)，作辅助函数F(x)f(x)g(x),往证(a,b),使F()0

令F(x)f(x)g(x),则F(x)在[a,b]上连续，在(a,b)二阶可导，且F(a)F(b)0，① 当cd，由于 F(c)f(c)g(c)Mg(c)0F(d)f(d)g(d)f(d)M0由“闭.连.”零点定理，[c,d](a,b),使f()g()② 当cd，由于F(c)f(c)g(c)f(c)g(d)MM0即(a,b),使f()g()

对F(x)分别在[a,],[,b]上用罗尔定理，1(a,),2(,b)，使

在[1,2]上对F(x)在用罗尔定理，F(1)F(2)0，(1,2)(a,b)，使F()0，(a,b),使f()g().2.设数列{xn}满足0x1,xn1sinxn,n1,2,

xn存在，并求该极限(1)证明limn

xn1x1n(2)计算lim()nxn

分析：(1)确定{xn}为单调减少有下界即可

1xn，用洛必达法则.(2)利用(1)确定的limn

解：易得0xn1(n2,3,)，所以xn1sinxnxn,n(2,3,)，即{xn}为

xn存在，并记为limxna,则a[0,1]，单调减少有下界的数列，所以 lim nn

对等式xn1sinxnxn,两边令n取极限，得asina,a[0,1]，所以

a0,即limxn0.n

lim((2)n



xn1sinxn)lim()

nxnxn

2xn

2xn

令txn

lim（t0

sint)et0t

tlim

ln()t

t

2由于

lim

t0

t

ln(sin)ttsint

ln[1(sin1)]1-1t2sintt洛cost11tt2

limlimlimlimlim t0t0t0t0t03t2t2t2t33t26

xn1xn1

所以lim()e.nxn

3.已知f(x)在[0,1]连续，在(0,1)可导，且f(0)0,f(1)1，证明：(1)(0,1),使f()1，(2)存在两个不同点,(0,1),使f()f()1

证：(1)令F(x)f(x)x1，则F(x)在[0,1]上连续，且

F(0)10,F(1)10，由“闭.连.”零点定理，(0,1),使F()0,即f()1

(2)f(x)在[0,],[,1]上都满足拉格朗日中值定理，所以

(0,),(,1)，使

f()f(0)f()(0),f(1)f()f()(1)，即

f()f()

f()





1



1f()1(1)

111

f()f()

1







1

1

4.设方程xnnx10，其中n为正整数，证明此方程存在唯一的正



实根xn，并证明当1时，级数xn收敛.n1

证：令f(x)xnnx1,则f(x)在(0,)上连续，且

f(0)10,f()()n0

nn

所以由连续函数的零点定理，所给方程在(0,)内有根，又由f(x)n(xn11)0,即f(x)在(0,)内单调递增，所以所给方程(0,)内只有唯一的根，在(，)上无根，即所给方程存在唯一的正实根xn.

由上述知，对n1,2,，有0xn,有0xn



1n

1n1n

1n

1n1，n

此外，由1知，级数

收敛，所以由正项级数比较审敛法，知

n1n

x收敛.nn1



5.求lim(cosx)

x0

1ln(1x)

x0ln(1x)

解：lim(cosx)

x0

1ln(1x)

=e

lim

lncosx，其中limln(1x

x0

lncosx)

lim

x0

ln[1(cosx1)]ln(1x)

lim

x0

x22x



(cosx)所以，limx0

ln(1x)

e



6.f(x)在x0的某邻域内具有一阶连续导数，且f(0)0,f(0)0,若

af(h)bf(2h)f(0)在h0时是比h高阶的无穷小，试确定a,b的值.解1：（利用导数定义）

0lim

af(h)bf(2h)f(0)af(h)af(0)af(0)bf(2h)bf(0)bf(0)f(0)

lim

h0h0hhaf(h)af(0)bf(2h)bf(0)[(ab)1]f(0)[(ab)1]f(0)limlimlim(ab)f(0)limh0h0h0h0hhhh

ab1

由f(0)0,f(0)0,得,即a2,b1

a2b0

解2：按解1，只要假定f(x)在x0处可导即可，但在题中“f(x)在x0的某邻域内具有一阶连续导数”的假定下，有以下解法：由lim

h0

h0

af(h)bf(2h)f(0)

0得 limaf(h)bf(2h)f(0)=0

h0h

即0limaf(h)bf(2h)f(0)(ab1)f(0)，由f(0)0,得ab1（1）

af(h)bf(2h)f(0)洛

limaf(h)2bf(2h)(a2b)f(0)且f(0)0,又由0lim

h0h0h

所以 a2b0（2）

由（1）、（2）得a2,b1.2esinx

.7.求lim4x0x1e

解：

2eesinx2esinx

1 limlim44x0x0xx1ee12esinx2esinx

1 limlim44x0xx01ex1e

所以 原式 = 1

8.求lim

x0

143

xx2

.2

x

解1：（泰勒公式）因

xx2[1

1111

xx2o(x2)][1xx2o(x2)]22828(x0)

x2o(x2)~x2

所以

1x2

xx21limlimx0x0x2x24

解2：（洛必达法则）



xx2洛必达limlimx0x0x22x1xx1

limlim x0xx4x0x

篇6：高数8多元函数的极限与连续

第5讲二元函数的极限（续）与连续性

讲授内容一、二元函数的极限性质

1,当0yx2,例1 二元函数f(x,y)x时，如图16－7所示，当(x,y)沿任何直线

0,其余部分.

趋于原点时，相应的f

(x,y)都趋于零，但这并不表明此函数在(x,y)(0,0)时极限存

在．因为当点(x,y)沿抛物线ykx(0k1)趋于点(0,0)时，f(x,y)将趋于1。所

以lim

(x,y)(0,0)2f(x,y).不存在。

2x3y

22例2 设f(x,y)22.证明(x,y)(0,0)limf(x,y) 证：因为2x3y4(xy)，对任给正数M，取2

212M,就有

xy



12M

.由此推得2x3y



1M,即

12x3y

M.这就证得结果（该函数在原点附近的图象参见图16－8）.二元函数极限的四则运算法则与一元函数极限四则运算法相仿，特别把f(x,y)看作点函数fP时，相应定理的证法也完全相同，这里就不再一一列出．

二、累次极限

在上一段所研究的极限

lim

(x,y)(x0,y0)

两个自变量x,y同时以任何方式趋于x0,y0。这种极限也称f(x,y)中，为重极限。在这一段里，我们要考察x与y依一定的先后顺序相继趋于x0与y0时f的极限，这种极限称为累次极限．我们先通过以下例题来认识累次极限问题.例3设f(x,y)

xyxy

.由例1已经知道(x,y)(0,0)时f的重极限不存在.但当y0时，有lim

x0

xyxy

0.从而有limlim

xyxy

y0x0

0.同理可得limlim

x0y0

xyxy

0.即f的两个累次极限都存在而且相等，但是f的重极限不存在．

定义 若对每一个yy0，存在极限limf(x,y),由于此极限一般与y有关，因此记作

xx0

ylimf(x,y),而且进一步存在极限Alimy.则称此极限为二元函数f先对xx0后对

xx0

xEx

yy0

yy0的累次极限，并记作Alimlimf(x,y).yy0xx0

类似地可以定义先对y后对x的累次极限：Blimlimf(x,y).xx0yy0

注：累次极限与重极限是两个不同的概念，它们的存在性没有必然的蕴含关系．举例子来说明这一点．例4 设f(x,y)

xyxy

xy

2，它关于原点的两个累次极限分别为

limlim

y0x0

xyxy

xyxyxy

xy

lim

yyyxxx

y0

lim(y1)1.y0

limlim

x0y0

lim

x0

lim(1x)1.x0

当沿斜率不同的直线ymx,x,y0,0时，容易验证所得极限也不同。因此该函数的重极限不存在.例5 设fx,yxsin

1y

1x

ysin这是因为对任何y0，当x0,它关于原点的两个累次都不存在。

时f的第二项不存在极限。同理，对任何x0，当y0时f的第一项也不存在极限。但是由于

1y

1x

xsin故f的重极限存在，且

lim

ysinxy,x,y0,0

fx,y0.fx,y与累次极限limlimfx,y都存在，则它们一定相等。

yx0xy0



定理16.6 若重极限证：设

lim

x,yx0,yo

lim

x,yx0,yo

fx,yA,则对任给的正数，总存在正数，使得当Px,yU

P0;时，有fx,yA.(2)

另由存在累次极限之假设，对任一满足不等式0xx0 的x，存在极限limfx,yx.yy0

回到不等式（2），让其中yy0，可得xA.故得limxA，即

xx0

xx0yy0

limlimfx,y

x,yx0,yo

lim

fx,yA.lim

推论1 若累次极限limlimfx,y,limlimfx,y 和重极限

xx0yy0

yy0xx0

x,yx0,yo

fx,y都存在，则三者相等。

lim

fx,y必不

推论2 若累次极限limlimfx,y,与limlimfx,y存在但不相等，则重极限

xx0yy0

yy0xx0

x,yx0,yo

存在。

三、二元函数的连续性

定义 设f为定义在点集DR2上的二元函数．P0D，若limfPfP0.则称f点P0连续。

PP0

xy,(x,y)(0,0),

例8设f(x,y)x2y2，函数f(x,y)在原点不连续。（因为极限不存在）

m,(x,y)(0,0),x2y2,(x,y)(0,0),例9设f(x,y)x2y2 讨论函数f(x,y)的连续性.m,(x,y)(0,0),（x0,y0)(0,0)时，由于解：当

lim

f(x,y)

x0y0

0

2220

(x,y)(x0,y0)

xy

fx0,y0,因此f连续.而lim

(x,y)(0,0)

f(x,y)

(x,y)(0,0)

limxy

xyxy

0,故当f(0,0)m0时，f在原点连续.若二元函数在某一点连续，则与一元函数一样，可以证明它在这一点近旁具有局部有界性、局部保号性以及相应的有理运算的各个法则．下面证明二元复合函数的连续性定理，其余留给读者自己去证明．

定理16.7(复合函数的连续性)设函数ux,y和vx,y在xy平面上点P0x0,y0的某邻域内

有定义，并在点P0连续；函数fu,v在uv平面上点Q0u0,v0的某邻域内有定义，并在点Q0连续，其中

u0x0,y0，v0x0,y0.则复合函数gx,yf(x,y),(x,y)在点P0也连续．

四、有界闭域上连续函数的性质

定理16.8(有界性与最大、最小值定理)若函数f在有界闭域DR2上连续，则f在D上有界，且能取得最大值与最小值．

证先证明f在D上有界．倘若不然，则对每个正整数n，必存在点PnD，使得fPnn,n1,2,.于是得到一个有界点列PnD，且总能使Pn中有无穷多个不同的点．由§1定理16．3(聚点定理)的推论，Pn存在收敛子列Pn

k

，设lim

k

PnkP0.且因D是闭域，从而P0D．

由于f在D上连续，当然在点P0也连续，因此有limfPn

k

k

fP.这与不等式(3)相矛盾．所以f

是D

上的有界函数．

定理16.9（一致连续性定理）若函数f在有界闭域DR2上连续，则f在D上一致连续。即对任何0，总存在只依赖于的正数，使得对一切点P,Q，只要P,Q，就有fPfQ.定理16.10（介值性定理）设函数f在区域DR2连续，若P1,P2为D中任意两点，且fP1fP2，则对任何满足不等式fP1fP2的实数，必存在点P0D，使得fP0。

证：作辅助函数FPfP,PD.易见F仍在D上连续，且

FP10,FP20。这里不妨假设P1,P2是D的内点.下面证明必存在P0D，使FP00。

由于D为区域，我们可以用有限段都在D中的折线连结P1和P2（图16-10）。若有某一个连结点所对应的函数值为0, 则定理已得证。否则从一端开始逐个检查直线段，必定存在某直线段，F在它两端的函数值xx1tx2x1，0t1.异号,不失一般性，设连结P1x1,y1,P2x2,y2的直线段含于D,其方程为

yytyy121

在此直线段上,F表示为关于t的复合函数GtFx1tx2x1,y1ty2y1,0t1.它是[0,1]上的一元连续函数,且FP1G00G1FP2.由一元函数根的存在定理，在(0,1)内存在一点,使得

Gt00

。记

x0x1t0x2x1,y0y1t0y2y1,则有

P0x0,y0D，使得

FP0Gt00即

篇7：第十三章多元函数的极限和连续性

第十三章 多元函数的极限和连续性

§

1、平面点集

一 邻域、点列的极限

定义1 在平面上固定一点M0x0,y0，凡是与M0的距离小于的那些点M组成的平面点集，叫做M0的邻域，记为OM0,。

定义2 设Mnxn,yn，M0x0,y0。如果对M0的任何一个邻域OM0,，总存在正整数N，当nN时，有MnOM0,。就称点列Mn收敛，并且收敛于

M0，记为limMnnM0或xn,ynx0,y0n。

性质：（1）xn,ynx0,y0xnx0,yny0。（2）若Mn收敛，则它只有一个极限，即极限是唯一的。二 开集、闭集、区域

设E是一个平面点集。

1． 内点：设M0E，如果存在M0的一个邻域OM0,，使得OM0,E，就称M0是E的内点。2． 外点：设M1E，如果存在M1的一个邻域OM1,，使得OM1,E，就称M1是E的外点。

3． 边界点：设M*是平面上的一点，它可以属于E，也可以不属于E，如果对M*的任何邻域OM*,，其中既有E的点，又有非E中的点，就称M*是E的边界点。E的边界点全体叫做E的边界。4． 开集：如果E的点都是E的内点，就称E是开集。

5． 聚点：设M*是平面上的一点，它可以属于E，也可以不属于E，如果对M*的任何邻域OM*,，至少含有E中一个（不等于M*的）点，就称M*是E的聚点。性质：设M0是E的聚点，则在E中存在一个点列Mn以M0为极限。6． 闭集：设E的所有聚点都在E内，就称E是闭集。

7． 区域：设E是一个开集，并且E中任何两点M1和M2之间都可以用有限条直线段所组成的折线连接起来，而这条折线全部含在E中，就称E是区域。一个区域加上它的边界就是一个闭区域。三平面点集的几个基本定理

1．矩形套定理：设anxbn,cnydn是矩形序列，其中每一个矩形都含在前一个矩形中，并且

13-1

《数学分析（1，2，3）》教案

bnan0，dncn0，那么存在唯一的点属于所有的矩形。

2.致密性定理：如果序列Mnxn,yn有界，那么从其中必能选取收敛的子列。

3.有限覆盖定理：若一开矩形集合x,y覆盖一有界闭区域。那么从里，必可选出有限个开矩形，他们也能覆盖这个区域。

N4．收敛原理：平面点列Mn有极限的充分必要条件是：对任何给定的0，总存在正整数N，当n,m时，有rMn,Mm。

§2 多元函数的极限和连续

一 多元函数的概念

不论在数学的理论问题中还是在实际问题中，许多量的变化，不只由一个因素决定，而是由多个因素决定。例如平行四边行的面积A由它的相邻两边的长x和宽y以及夹角所确定,即Axysin;圆柱体体积V由底半径r和高h所决定,即Vrh。这些都是多元函数的例子。

2一般地，有下面定义：

定义1 设E是R的一个子集，R是实数集，f是一个规律，如果对E中的每一点(x,y)，通过规律f，在R中有唯一的一个u与此对应，则称f是定义在E上的一个二元函数，它在点(x,y)的函数值是u，并记此值为f(x,y)，即uf(x,y)。

有时，二元函数可以用空间的一块曲面表示出来，这为研究问题提供了直观想象。例如，二元函数xR22x2y2就是一个上半球面，球心在原点，半径为R，此函数定义域为满足关系式xyR222222的x，y全体，即D{(x,y)|xyR}。又如，Zxy是马鞍面。二 多元函数的极限

2定义2

设E是R的一个开集，A是一个常数，二元函数fMf(x,y)在点M0x0,y0E附近有定义．如果0，0，当0rM,M0时，有f(M)A，就称A是二元函数在M0点的极限。记为limfMA或fMAMM0。

MM02定义的等价叙述1 设E是R的一个开集，A是一个常数，二元函数fMf(x,y)在点M0x0,y0E附近有定义．如果0，0，当0xx0yy0时，有f(x,y)A，就称A是13-2

《数学分析（1，2，3）》教案

二元函数在M0点的极限。记为limfMA或fMAMM0。

MM02定义的等价叙述2 设E是R的一个开集，A是一个常数，二元函数fMf(x,y)在点M0x0,y0E附近有定义．如果0，0，当0xx0,0yy0且x,yx0,y0时，有

f0f(x,y)A，就称A是二元函数在M0点的极限。记为limMMMA或fMAMM0 。注：（1）和一元函数的情形一样，如果limf(M)A，则当M以任何点列及任何方式趋于M0时，f(M)MM0的极限是A；反之，M以任何方式及任何点列趋于M0时，f(M)的极限是A。但若M在某一点列或沿某一曲线M0时，f(M)的极限为A，还不能肯定f(M)在M0的极限是A。所以说，这里的“”或“”要比一元函数的情形复杂得多，下面举例说明。例：设二元函数f(x,y)xyx2y22，讨论在点(0,0)的的二重极限。

例：设二元函数f(x,y)2xyx2y或2，讨论在点(0,0)的二重极限是否存在。

0,例：f(x,y)1,xy其它y0，讨论该函数的二重极限是否存在。

二元函数的极限较之一元函数的极限而言，要复杂得多，特别是自变量的变化趋势，较之一元函数要复杂。例：limxyxyx2xyysinxyx2。

例：① limx0y0② lim(xy)ln(xy)③ lim(xy)ex0y0xy2222222(xy)

例：求f(x,y)xy3223xy在（０，０）点的极限，若用极坐标替换则为limrr0coscos32sin23sin0?（注意：cos3sin在374时为０，此时无界）。

xyx22例：（极坐标法再举例）：设二元函数f(x,y)y2，讨论在点(0,0)的二重极限．

证明二元极限不存在的方法．

基本思想：根据重极限定义，若重极限存在，则它沿任何路径的极限都应存在且相等，故若１）某个特殊路径的极限不存在；或２）某两个特殊路径的极限不等；３）或用极坐标法，说明极限与辐角有关． 例：f(x,y)xyx2y2在(0,0)的二重极限不存在．

13-3

《数学分析（1，2，3）》教案

三

二元函数的连续性

定义3

设fM在M0点有定义，如果limf(M)f(M0)，则称fM在M0点连续．

MM0“语言”描述：0,0,当0

四 有界闭区域上连续函数的性质

有界性定理

若fx,y再有界闭区域D上连续，则它在D上有界。一致连续性定理

若fx,y再有界闭区域D上连续，则它在D上一致连续。

最大值最小值定理

若fx,y再有界闭区域D上连续，则它在D上必有最大值和最小值。

nP0和P1是D内任意两点，f是D内的连续函数，零点存在定理

设D是R中的一个区域，如果f(P0)0，f(P1)0，则在D内任何一条连结P0,P1的折线上，至少存在一点Ps，使f(Ps)0。

五

二重极限和二次极限

在极限limf(x,y)中，两个自变量同时以任何方式趋于x0,y0，这种极限也叫做重极限（二重极限）．此xx0yy0外，我们还要讨论当x,y先后相继地趋于x0与y0时f(x,y)的极限．这种极限称为累次极限（二次极限），其定义如下：

若对任一固定的y，当xx0时，f(x,y)的极限存在：limf(x,y)(y),而(y)在yy0时的xx0极限也存在并等于A，亦即lim(y)A，那么称A为f(x,y)先对x，再对y的二次极限，记为yy0limlimf(x,y)A．

yy0xx0同样可定义先y后x的二次极限：limlimf(x,y)．

xx0yy0上述两类极限统称为累次极限。

注意：二次极限（累次极限）与二重极限（重极限）没有什么必然的联系。例：（二重极限存在，但两个二次极限不存在）．设

11xsinysinyxf(x,y)0x0,y0x0ory0

由f(x,y)xy 得limf(x,y)0（两边夹）;由limsinx0y0y01y不存在知f(x,y)的累次极限不存在。

例：（两个二次极限存在且相等，但二重极限不存在）。设

13-4

《数学分析（1，2，3）》教案

f(x,y)xyx2y2，(x,y)(0,0)

由limlimf(x,y)limlimf(x,y)0知两个二次极限存在且相等。但由前面知limf(x,y)不存在。

x0y0y0x0x0y0例：（两个二次极限存在，但不相等）。设

f(x,y)xx22yy22，(x,y)(0,0)

则 limlimf(x,y)1，limlimf(x,y)1;limlimf(x,y)limlimf(x,y)（不可交换）

x0y0y0x0x0y0y0x0上面诸例说明：二次极限存在与否和二重极限存在与否，二者之间没有一定的关系。但在某些条件下，它们之间会有一些联系。

定理1 设（1）二重极限limf(x,y)A；（2）y,yy0，limf(x,y)(y)。则

xx0yy0xx0yy0lim(y)limlimf(x,y)A。

yy0xx0（定理1说明：在重极限与一个累次极限都存在时，它们必相等。但并不意味着另一累次极限存在）。推论1

设（1）limf(x,y)A；（2）y,yy0，limf(x,y)存在；（3）x,xx0，limf(x,y)xx0yy0xx0yy0存在；则limlimf(x,y)，limlimf(x,y)都存在，并且等于二重极限limf(x,y)。

yy0xx0xx0yy0xx0yy0推论2 若累次极限limlimf(x,y)与limlimf(x,y)存在但不相等，则重极限limf(x,y)必不存在（可xx0yy0yy0xx0xx0yy0用于否定重极限的存在性）。例：求函数fx,yxy22222xyxy在0,0的二次极限和二重极限。

篇8：高数8多元函数的极限与连续

零点存在定理 设 f  x , y 在区域 D（不一定是有界闭 区域）内连续，并且在 D 内两点 M  a , b , N  ,  异 号，也就是 f  a , b  f  ,    0，那么用完全位于 D 内 的任意的折线 l 联结 M 和 N 时，在 l 上必有一点 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 M  x , y 满足 f  x , y   0 【数学分析课件】 五、二重极限和二次极限 前面所考虑的 f  x , y  的极限也称为二重极限。此外，我们还要讨论 x , y 先后相继地趋于各自的极限时 f  x , y 的极限，称为 二次极限。定理 若 f  x , y 在点

 a , b 的二重极限为 lim f  x , y   A 有限或无限 x a y b  f 且对任一靠近b 的 y，当 x  a 时， x , y 存在 有限极   y   lim f  x , y 限 x  a 则二次极限 lim lim f  x , y   lim   y  y b x a y存在且等于二重极限 b A.【数学分析课件】

篇9：高数复习方案(函数和极限)

函数与极限

1.集合：具有某种特性定性质的事物的总体成为集合组成集合的事物叫做元素设元素为a集合为M那么aM

交集，子集，属于，不属于 包含于，并集，空集

2.设X，y是两个变量，D是数集，按照一定的对应关系，总有唯一的y和x相对应，则说

y是x的函数，记做y=f（x），y是因变量，x是自变量。（简单一点说：x在一个对应法则的机器搅和搅和就出来一个y）

F（D）为值域xD是定义域

函数的三要素：定义域 值域 对应法则

注意： 强烈建议只要写函数就写定义域

eg：求下列函数的自然定义域

(1)yarcsin(2)ytan

(3)y（x3）（x+1）

3.函数的特性

（1）单调性：增函数和 减函数

如果对于arctan1 xI 上任意两点x1及x2，当

x1x2时，恒有f（x1）f（x2）成立，则称在I上f（x）是增函数，反之则是减函数注意：增减性在解间断点时候有重要性（下文解释）

eg：设f（x）为定义在（-a，a）内的奇函数，若f（x）在（o，a）上单点增加，证明f（x）在（-a，0）上也单点增加

（2）有界性： xD, M0,f(x)M,则称f（x）为有界函数

f(x)M, xD, M0,则函数在D上面有界

注意：上界大于等上界下界小于等于最小值千万不要搞错了

（3）奇偶性：奇函数特性

注意：奇偶性的定义与一定是对称的不对称就没有这个性质而言

（4）周期性：正弦余弦就是明显的特点f（x+T）=f（x）

注意：如果一个函数关于两个直线对称，那么两个直线之间的距离是函

数周期大小的一半。

4.反函数和复合函数：反函数的定义域和值域和原函数相反但是奇和

偶函数的反函数奇偶性质不变。复合函数的定于与要明确，增减为减增增 减减为增

5.数列的极限：如果给定的数列{}，当变量n趋近于无穷大时，数列

趋近于一个常数a，则称a是数列的极限当然如果a不存在，说明这个函数是发散的注意：课本P34 例题5 有证明函数极限，这个很重要

Eg

：证明：当x00时，limxx06.极限的性质：（1）唯一性，如果这个a存在，那么一定是唯一的假设不存在，那么不就和定义说函数是发散的吗

（2）有界性：若limf（x）a存在，则函数f（x）有界x

（3）保号性：若limxna（a0或a0），则N，当nN时，xn（00），n

反之，若xn（00），则limxn（00）n

7.n数列的存在准则：（1）夹逼准则（2）单调有界函数必有界 eg：证明limn（8.（1）（2）111.......)=1n2n22n2n我主要讲讲极限的一些重要求的方法： 1xsinx）eli（有兴趣可以证明）1 xx0xx7个重要的等价无穷小且都x0（1两个重要极限lim

（1x1（1）1

n1x（2）tanxx（3）arctanxx n

1-cosx（4）arcsinxx（5）

（3）

（4）12（1x）x x（6）ex1x（7）ln2两个准则：夹逼 还有单调有界

（5）

（6）

（7）

（8）

（9）有限个无穷小的乘积也是无穷小有限个无穷小量的代数和仍是无穷小 有界函数与无穷小的乘积也是无穷小常数与无穷小的乘积仍是无穷小利用极限的四则运算和指数预算 利用泰勒公式 洛比达法则 利用导数极限求极限 函数的性质求因为数列是特殊的函数

注意：这里就有一些小方法了，有换元等价代换拆项求和三角的和差化积 数列求和的公式…

（10）间断点和连续性

间断点：除去不成立的点，一般都是间断点

连续性：区间上每一点都连续的函数，就是在该区间连续，一定是不间断的注意：可导的函数一定连续连续的函数不一定可导

闭区间上连续函数一定有界

第一类间断点：可去和跳跃间断点

eg：yx（x1）且x=1 y=0.5可去间断点

第二类间断点：无穷间断点和震荡间断点

y=tanxx=1为无穷间断点y=sinx=0为振荡间断点 2x

（11）渐近线：当变量无穷大时利用函数求极限一般都有a值（水平渐近线）

还有一些点怎么看这些点呢，一般都是间断点的地方有渐近（铅直渐近线）0这点很重要

还有一个斜渐近线说明图像到达一个点变化的斜率很小这样的话 一般是图像上面有部分是直线

eg求e的渐近线



xo1xcos)x课后练习求下列极限（1）limx（2）lim(sinx2x1x

3x)（3）lim(1x02sin(x)

篇10：函数极限与连续习题(含答案)

（2）若

（3）若

（4）若f(x)在x0点连续，则f(x)在xx0点必有极限 f(x)在xx0点有极限，则f(x)在x0点必连续 f(x)在xx0点无极限，则f(x)在xx0点一定不连续f(x)在xx0点不连续，则f(x)在xx0点一定无极限。其中正确的命题个数是（B、2）

2、若limf(x)a，则下列说法正确的是（C、xx0f(x)在xx0处可以无意义）

3、下列命题错误的是（D、对于函数f(x)有limf(x)f(x0)）

xx04、已知f(x)1

x，则limf(xx)f(x)的值是（C、1）

x0xx2

x125、下列式子中，正确的是（B、limx11）2(x1)

26、limxaxb5，则a、x11xb的值分别为（A、7和6）

7、已知f(3)2,f(3)2,则lim2x3f(x)的值是（C、8）

x3x38、limxa

xxaa（D、3a2）

29、当定义f(1)f(x)1x

2在x1处是连续的。1x10、lim16x12。

x27x31111、lim12、x21xxx12x31

limx2x112 3x1113、lim(x2xx21)1

x

214、lim(x2xx21)1

x2

x,0x1115、设(1)求xf(x),x1

2

1,1x2

1时，f(x)的左极限和右极限；(2)求f(x)在x1的函数值，它在这点连续吗？(3)求出的连续区间。

篇11：高数8多元函数的极限与连续

高等数学

教学备课系统

与《高等数学多媒体教学系统（经济类）》配套使用

教师姓名：________________________

教学班级：________________________

2004年9月1至2005年1月10

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第一章

函数、极限与连续

第一节 函数概念

1、内容分布图示

★ 集合的概念

★ 集合的运算

★ 区间

★ 例

1★ 邻域

★ 例2

★ 常量与变量

★ 函数概念

★ 例

3★ 例

4★ 例★ 例6

★ 例7

★ 例8

★ 分段函数举例

★ 例9

★ 例 10

★ 例 11

★ 函数关系的建立

★ 例 12

★ 例 13

★ 例 14

★ 函数特性

★ 内容小结

★ 课堂练习

★习题1-1

★ 返回

2、讲解注意：

3、重点难点：

4、例题选讲：

例1解下列不等式,并将其解用区间表示.(1)|2x1|3;(2)|3x2|3;(3)0(x1)29.讲解注意：

例2将点12的邻域表示为不带绝对值的不等式.33

讲解注意：

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例3函数y2.讲解注意：

例4绝对值函数y|x|x,x0x,x0

讲解注意：

例5下面是几个常见的表格.(1)2002年2月21日国务院公布的利率表.如表1.1.1.表1.1.1时间年利率(%)3个月6个月1年1.711.891.982年2.253年2.525年2.79(2)国民生产总值统计表《中国统计年鉴((2001)》).如表1.1.2.表1.1.2年份生产总值(亿元)******.966850.573142.776967.280579.488189.6

讲解注意：

例6下面是几个常见的图形.(1)两位患者的心电图.见图1.1.1.图1.1.1(2)19952000年天津市人才市场状况图《天津年鉴((2001)》).见图1.1.2.高等数学教学备课系统

人数(人)55 00044 00033 00022 00011 00001995达成意向人次进场人次***92000年份图1.1.2

讲解注意：

例7下面是几个常见的公式.(1)自由落体运动的距离公式:12gt,g为常数2(2)成本函数(costfunctiong):C(x)C0C1(x),其中C0为S固定成本;C1(x)为可变成本;x为生产量.讲解注意：

例8判断下面函数是否相同,并说明理由,画图表示.(1)yx2与y|x|;(2)y1与ysin2xcos2x(3)y2x1与x2y1.讲解注意：

例9求函数y 讲解注意：

121x x2的定义域.例10设f(x)讲解注意：

1,0x12,1x2,求函数f(x3)的定义域.高等数学教学备课系统

例11求函数f(x)讲解注意：

lg(3x)sinx54xx2的定义域.例12把一半径为R的圆形铁片,自中心处剪去圆心角为的扇形后,围成一无底圆锥,试将圆锥的体积V表为的函数.讲解注意：

例13某工厂生产某型号车床,年产量为a台,分若干批进行生产,每批生产准备费为b元,设产品均匀投入市场,且上一批用完后立即生产下一批,即平均库存量为批量的一半.设每年每台库存费为c元.显然,生产批量大则库存费高;生产批量少则批数增多,因而生产准备费高.为了选择最优批量,试求出一年中库存费与生产准备费的和与批量的函数关系.讲解注意：

例14某运输公司规定货物的吨公里运价为:在a公里以内,每公里k元,超过部分每公里为数关系.讲解注意：

例15证明(1)函数y(2)函数yxx21在(,)上是有界的;4k元.求运价m和里程s之间的函5

1在(0,1)上是无界的.x2

讲解注意：

例16证明函数y讲解注意：

x在(1,)内是单调增加的函数.1x

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例17判断下列函数的奇偶性.(1)f(x)ex1ex1ln1x1x1x1;(2)f(x)(23)x(23)x;(3)f(x)lg(x1x2);(4)f(x)(x2x)sinx.讲解注意：

例18设f(x)满足af(x)bf|a||b|,证明f(x)是奇函数.c,其中a,b,c为常数,且(1)xx

讲解注意：

1,xQ7,求D,D(1例19设D(x)50,xQ()2).并讨论D(D(x))的性质.讲解注意：

例20若f(x)对其定义域上的一切x,恒有f(x)f(2ax),则称f(x)对称于xa.证明:若f(x)对称于xa及xb(ab),则f(x)是以T2(ba)为周期的周期函数.讲解注意：

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第二节 初等函数

1、内容分布图示

★ 反函数

★ 例★ 例2 ★ 复合函数

★ 例★ 例4

★ 例★ 例6

★ 例7

★ 幂函数、指数函数与对数函数

★ 三角函数

★ 反三角函数

★ 初等函数

★ 函数图形的迭加与变换

★ 内容小结

★ 课堂练习

★习题1-2

★ 返回

2、讲解注意：

3、重点难点：

4、例题选讲：

例1求函数y1114x14x的反函数.讲解注意：

例2已知1,x0sgnx0,x0,sgnx为符号函数,1,x0求y(1x2)sgnx的反函数.讲解注意：

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例3将下列函数分解成基本初等函数的复合.(1)ylnsin2x;(2)yearctanx2;(3)ycos2ln(21x2).讲解注意：

例4设f(x)x1,(x)x2,求f[(x)]及[f(x)],并求它们的定义域.讲解注意：

例5设求f[(x)].f(x)exx,x1,x1,x2,(x)2x1,x0x0，讲解注意：

例6设fx讲解注意：

(11x22,求f(x).xx)

例7设f(x)ln(3x)的定义域(a0).149x2,求g(x)f(xa)f(xa)

讲解注意：

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第三节 经济学中的常用函数

1、内容分布图示

★ 单利与复利

★ 例1

★ 多次付息

★ 贴现

★ 例2 ★ 需求函数

★ 供给函数

★ 市场均衡

★ 例

3★ 例4 ★ 成本函数

★ 例5

★ 收入函数与利润函数

★ 例6

★ 例7

★ 例8

★ 例9

★ 内容小结

★ 课堂练习

★习题1-3

★ 返回

2、讲解注意：

3、重点难点：

4、例题选讲：

例1现有初始本金100元,若银行年储蓄利率为7%,问：(1)按单利计算,3年末的本利和为多少?(2)按复利计算,3年末的本利和为多少?(3)按复利计算,需多少年能使本利和超过初始本金的一倍?

讲解注意：

例2某人手中有三张票据,其中一年后到期的票据金额是500元,二年后到期的是800元,五年后到期的是2000元,已知银行的贴现率6%,现在将三张票据向银行做一次性转让,银行的贴现金额是多少?

讲解注意：

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例3某种商品的供给函数和需求函数分别为qd25P10,qs2005P求该商品的市场均衡价格和市场均衡数量.讲解注意：

例4某批发商每次以160元/台的价格将500台电扇批发给零售售商,在这个基础上零售商每次多进100台电扇,则批发价相应降低2元,批发商最大批发量为每次1000台,试将电扇批发价格表示为批发量的函数,并求出零售商每次进800台电扇时的批发价格.讲解注意：

例5某工厂生产某产品,每日最多生产200单位.它的日固定成本为150元,生产一个单位产品的可变成本为16元.求该厂日总成本函数及平均成本函数.讲解注意：

例6某工厂生产某产品年产量为q台,每台售价500元,当年产量超过800台时,超过部分只能按9折出售.这样可多售出200台,如果再多生产.本年就销售不出去了.试写出本年的收益(入)函数.讲解注意：

例7已知某厂生产单位产品时,可变成本为15元,每天的固定成本为2000元,如这种产品出厂价为20元,求(1)利润函数;(2)若不亏本,该厂每天至少生产多少单位这种产品.讲解注意：

例8某电器厂生产一种新产品,在定价时不单是根据生产成本而定,还要请各销售单位来出价,即他们愿意以什么价格来购买.根据调查得出需求函数为x900P45000.该厂生产该产品的固定成本是270000元,而单位产品的变动成本为10元.为获得最大利润,出厂价格应为多少?

讲解注意：

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例9已知某商品的成本函数与收入函数分别是C123xx2R11x试求该商品的盈亏平衡点,并说明盈亏情况.讲解注意：

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第四节 数列的极限

1、内容分布图示

★ 极限概念的引入

★ 数列的意义 ★ 数列的极限

★ 例1

★ 例

2★ 例

3★ 例

4★ 例

5★ 例6 ★ 收敛数列的有界性

★ 极限的唯一性

★ 例7

★ 收敛数列的保号性

★ 子数列的收敛性

★ 内容小结

★习题1-4

★ 返回

2、讲解注意：

3、重点难点：

4、例题选讲：

例1证明limn(1)n1n1.n

讲解注意：

例2证明limqn0,其中q1.n

讲解注意：

例3用数列极限定义证明52n2.n13n3lim

讲解注意：

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n221.例4用数列极限定义证明lim2nnn1

讲解注意：

例5设xn0,且limxna0,求证limnnxna.讲解注意：

例6证明:若limxnA,则存在正整数N,当nN时,不等式n|xn||A|2成立.讲解注意：

例7证明数列xn(1)n1是发散的.讲解注意：

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第五节 函数的极限

1、内容分布图示

★ 自变量趋向无穷大时函数的极限

★ 例★ 例★ 例3 ★ 自变量趋向有限值时函数的极限

★ 例★ 例5

★ 左右极限

★ 例6

★ 例7 ★ 函数极限的性质

★ 子序列收敛性 ★ 函数极限与数列极限的关系

★ 内容小结

★ 课堂练习

★习题1-5

★ 返回

2、讲解注意：

3、重点难点：

4、例题选讲：

例1证明lim讲解注意：

sinx0.xx

例2用函数极限的X定义证明limxx21.x1

讲解注意：

例3(1)lim12xx0;(2)lim2x0.x

讲解注意：

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例4证明limx212.x1x1

讲解注意：

例5证明:当x00时,lim讲解注意：

xx0xx0.例6设f(x)讲解注意：

例7验证lim1x,x01,x0x2,求limf(x).x0

x0x不存在.x

讲解注意：

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第六节 无穷大与无穷小

1、内容分布图示

★ 无穷小

★ 无穷小与函数极限的关系

★ 例1 ★ 无穷小的运算性质

★ 例2 ★ 无穷大

★ 无穷大与无界变量

★ 无穷小与无穷大的关系

★ 例3

★ 内容小结

★习题1-6

★ 返回

2、讲解注意：

3、重点难点：

4、例题选讲：

1例1根据定义证明:yx2sinx当x0时为无穷小.讲解注意：

例2求lim讲解注意：

xsinx.x

x4.例3求lim3xx5讲解注意：

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第七节 极限运算法则

1、内容分布图示

★ 极限运算法则

★ 例1

★ 例2 –3

★ 例★ 例★ 例6

★ 例7

★ 例8

★ 例9

★ 例 10

★ 例 11 ★ 复合函数的极限运算法则

★ 例 12

★ 例 13

★ 内容小结

★ 课堂练习

★习题1-7

★ 返回

2、讲解注意：

3、重点难点：

4、例题选讲：

例1求x31xlim2x23x5.讲解注意：

例2求lim4x1x22x3.x1

讲解注意：

例3求limx21.x1x22x3

讲解注意：

★ 例 14

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例4求lim讲解注意：

2x33x257x34x21x.例5求lim讲解注意：

x12n222nnn

例6计算下列极限:x1lim(1x)(1x)(1x)(1x)334.讲解注意：

例7计算下列极限:12lim.x11x21x

讲解注意：

例8计算下列极限:3xlim8x36x25x1.3x2

讲解注意：

例9计算下列极限:xlim(sinx1sinx).讲解注意：

例10求lim(x2xx2x).x8

讲解注意：

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例11计算下列极限:3(1)limnn2sinn!;n1(2)x0limtanx12ex.讲解注意：

例12已知x1,f(x)x23x1,x31xx0x0求limf(x),limf(x),limf(x).x0x

讲解注意：

例13求极限limlnx1[x21.2(x1)]

讲解注意：

例14已知lim(5xax2bxc)2,求a,b之值.x

讲解注意：

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第八节 极限存在准则

两个重要极限

1、内容分布图示

★夹逼准则★例1★例2★单调有界准则★例4★limsinx1x0x★例6★例7★例9★例10 x★xlim(11x)e★例12 ★例13 ★例15 ★例16 ★例17 柯西极限存在准则★连续复制★内容小结★课堂练习★习题1-8★返回

2、讲解注意：

3、重点难点：

4、例题选讲：

例1求nlim1n211n221n2n

讲解注意：

例2计算下列极限:(1)lim(1nn23n1)n;(2)1nlimn21(n1)21(nn)2

讲解注意：

★例3★例5★例8★例11★例14★例18

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例3证明下列极限:n0(a1);nanan(2)lim0(a0);nn!n!(3)limn0.nn(1)lim

讲解注意：

例4证明数列xn333(n重根式)的极限存在.讲解注意：

例5设a0为常数,数列xn由下式定义:xn1axn1xn12n

(n1,2,)其中x0为大于零的常数,求limxn.讲解注意：

例6求lim讲解注意：

tan3x.x0sin5x

例7求lim讲解注意：

x01cosx.x2

例8下列运算过程是否正确:xlimxtanxtanxxtanxlimlimlim1.sinxxxsinxxxxsinx

讲解注意：

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例9计算lim讲解注意：

cosxcos3x.2x0x

例10计算lim讲解注意：

x21xsinxcosxx0.例11计算lim讲解注意：

x02tanx2sinx.x3

1例12求lim1xx讲解注意：

().x

例13计算下列极限:limx01x(12x);

讲解注意：

例14求lim1n(1n)n3.讲解注意：

例15求lim讲解注意：

x(x2x21)x.例16计算limxx0cosx.高等数学教学备课系统

讲解注意：

例17计算lim(ex0x1xx).讲解注意：

tan2x.例18求极限lim(tanx)x4

讲解注意：

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第九节 无穷小的比较

1、内容分布图示

★ 无穷小的比较

★ 例1-2

★ 例3 ★ 常用等价无穷小

★ 等价无穷小替换定理

★ 例★ 例★ 例6

★ 例7

★ 例8

★ 例9

★ 例 10

★ 例 11

★ 内容小结

★ 课堂练习

★习题1-9 ★ 返回

2、讲解注意：

3、重点难点：

4、例题选讲：

例1证明:当x0时,4xtan3x为x的四阶无穷小.讲解注意：

例2当x0时,求tanxsinx关于x的阶数.讲解注意：

例3当x1时,试将下列各量与无穷小量x1进行比较:(1)x33x2;(2)lgx;(3)(x1)sin1.x1

讲解注意：

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例4求limx0tan2x.sin5x

讲解注意：

例5求limtanxsinx.sin32xx0

讲解注意：

(1x2)1/31.例6求limx0cosx1

讲解注意：

例7计算lim1tanx1tanx12x1.x0

讲解注意：

exexcosx.例8计算limx0xln(1x2)讲解注意：

例9计算lim讲解注意：

x021cosx.sin2x

例10求lim讲解注意：

x0ln(1xx2)ln(1xx2).secxcosx

例11求limx0tan5xcosx1.sin3x

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讲解注意：

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第十节 函数的连续性与间断点

1、内容分布图示

★ 函数的连续性

★ 例

1★ 例2 ★ 左右连续

★ 例3

★ 例

4★ 例5 ★ 连续函数与连续区间

★ 例6

★ 函数的间断点

★ 例7

★ 例8

★ 例9

★ 例 10

★ 例 11

★ 例 12

★ 内容小结

★ 课堂练习

★习题1-10

★ 返回

2、讲解注意：

3、重点难点：

4、例题选讲：

xsin1,x0,x例1试证函数f(x)在x0处连续.x0,0，讲解注意：

例2f(x)是定义于[a,b]上的单调增加函数,x0(a,b),若xx0limf(x)存在,证明f(x)在x0连续.讲解注意：

x2,x0,()fx3例讨论在x0处的连续性.x2,x0，高等数学教学备课系统

讲解注意：

1x,x02x0在x0和x1处的连例4讨论函数f(x)0,1x2,0x1x14x,续性.讲解注意：

x4axb,x1,x2,例5设f(x)(x1)(x2)为使f(x)在x1x1,2,处连续,a与b应如何取值?

讲解注意：

例6证明函数ysinx在区间(,)内连续.讲解注意：

例7讨论函数f(x)x,x0,1x,x0,在x0处的连续性.讲解注意：

例8讨论函数2x,0x1f(x)1,x1x11x,在x1处的连续性.讲解注意：

1,x0,x例9讨论函数f(x)在x0处的连续性.,0,xx

讲解注意：

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例10求下列函数的间断点,并判断其类型.若为可去间断点,试补充或修改定义后使其为连续点.x2x|x|(x21),f(x)0,x1及0x1

讲解注意：

xsin1,x0,x例11研究f(x)在x0的连续性.ex,x0,

讲解注意：

xx2enx例12讨论f(x)lim的连续性.n1enx

讲解注意：

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第十一节 连续函数的运算与性质

1、内容分布图示

★ 连续函数的算术运算

★ 复合函数的连续性

★ 例1★ 初等函数的连续性

★ 例

3★ 例★ 例4

闭区间上连续函数的性质 ★ 最大最小值定理与有界性定理

★ 零点定理与介值定理

★ 例5

★ 例6

★ 例7

★ 内容小结

★ 课堂练习★习题1-11 ★ 返回

2、讲解注意：

3、重点难点：

4、例题选讲：

例1求nlimcos(x1x).讲解注意：

例2求limln(1x)x0x.讲解注意：

例3求limx1sinex1.讲解注意：

★ 例8

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例4求lim(x2ex01xx1).讲解注意：

例5证明方程x34x210在区间(0,1)内至少有一个根.讲解注意：

例6证明方程内的两个实根.1110有分别包含于(1,2),(2,3)x1x2x3

讲解注意：

例7设函数f(x)在区间[a,b]上连续,且f(a)a,f(b)b证明:(a,b),使得f().讲解注意：