二次函数与平行四边形

二次函数与平行四边形（共9篇）

篇1：二次函数与平行四边形

专题：二次函数

与平行四边形的存在性

一、复习

1、在同一平面内，过不在同一直线的A、B、C三点能画出几个平行四边形？试一试。

2、在上题中如果在平面直角坐标系上，若三点的坐标分别为（1,2）(3,0)，(-3,4),请写出第四个顶点的坐标。

3、概括：已知三个顶点坐标，如何来表示第四个顶点的坐标，使四个点为顶点的四边形为平行四边形？

二、新授

例 如图，抛物线 与x轴交于A（-1,0）、B（3,0）两点，与y轴交于点C（0，-3）.（1）求该抛物线的表达式.（2）在平面内能否存在点D，使以A、B、C、D为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出点D的坐标；若不存在，请说明理由.（三定一动）

（3）若P是对称轴上的一点，在抛物线上是否存在点Q，使以A、C、P、Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由.（两定两动）

三、变式

（4）若P是x轴上的一点，在抛物线上是否存在点Q，使以A、C、P、Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由.四、练习

（5）若P是y轴上的一点，在抛物线上是否存在点Q，使以A、C、P、Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由.（6）若P是直线y=-x的一点，在抛物线上是否存在点Q，使以A、C、P、Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由.五、小结;本节课有什么收获？

篇2：二次函数与平行四边形

以二次函数为载体的平行四边形存在性问题是近年来中考的热点，其图形复杂，知识覆盖面广，综合性较强，对学生分析问题和解决问题的能力要求高．对这类题，常规解法是先画出平行四边形，再依据“平行四边形的一组对边平行且相等”或“平行四边形的对角线互相平分”来解决．由于先要画出草图，若考虑不周，很容易漏解．为此，笔者另辟蹊径，借助探究平行四边形顶点坐标公式来解决这一类题． 1 两个结论，解题的切入点

数学课标，现行初中数学教材中没有线段的中点坐标公式，也没有平行四边形的顶点坐标公式，我们可帮助学生来探究，这可作为解题的切入点。1.1 线段中点坐标公式

平面直角坐标系中，点A坐标为(x1,y1)，点B坐标为(x2,y2)，则线段AB的中点坐标为(x1x2y1y2,).22证明 ： 如图1，设AB中点P的坐标为(xP,yP).由xP-x1=x2-xP，得xP=yP=y1y2xx2y1y2，所以线段AB的中点坐标为(1,).222x1x2，同理2

1.2 平行四边形顶点坐标公式 图1 □ABCD的顶点坐标分别为A(xA,yA)、B(xB,yB)、C(xC,yC)、D(xD,yD)，则：xA+xC=xB+xD；yA+yC=yB+yD.证明： 如图2，连接AC、BD，相交于点E． ∵点E为AC的中点，∴E点坐标为(xAxCyAyC,).22xBxDyByD,).22图2 又∵点E为BD的中点，∴E点坐标为(∴xA+xC=xB+xD；yA+yC=yB+yD.即平行四边形对角线两端点的横坐标、纵坐标之和分别相等．

图3 2 一个基本事实，解题的预备知识

如图3，已知不在同一直线上的三点A、B、C，在平面内另找一个点D，使以A、B、C、D为顶点的四边形是平行四边形．答案有三种：以AB为对角线的□ACBD1，以AC为对角线的□ABCD2，以BC为对角线的□ABD3C． 3 两类存在性问题解题策略例析与反思

3.1 三个定点、一个动点，探究平行四边形的存在性问题

例1 已知抛物线y=x2-2x+a(a＜0）与y轴相交于点A，顶点为M.直线y=

1x-a分别2与x轴、y轴相交于B、C两点，并且与直线AM相交于点N.(1)填空：试用含a的代数式分别表示点M与N的坐标，则M(), N()；

1(2)如图4，将△NAC沿y轴翻折，若点N的对应点N′恰好落在抛物线上，AN′与x轴交于点D，连接CD，求a的值和四边形ADCN的面积；

(3)在抛物线y=x2-2x+a(a＜0）上是否存在一点P，使得以P、A、C、N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，试说明理由.941189解：(1)M(1,a-1)，N(a,-a)；(2)a=-；S四边形ADCN=；

4331641(3)由已知条件易得A(0,a)、C(0,-a)、N(a,-a).设P(m,m2-2m+a).33①当以AC为对角线时，由平行四边形顶点坐标公式（解题时熟练推导出），得： 4500amm32.,∴aa1am22maa1583∴P1(55,-)； 28②当以AN为对角线时，得: 450a0mm32(不合题意，舍去).,∴a1aam22maa1583图4 ③当以CN为对角线时，得: 410a0mm32.,∴a1aam22maa383∴P2(-17,).281755,-)和P2(-,)，使得以P、A、C、N为顶点的四边形

2828∴在抛物线上存在点P1(是平行四边形.反思：已知三个定点的坐标，可设出抛物线上第四个顶点的坐标，运用平行四边形顶点坐标公式列方程（组）求解.这种题型由于三个定点构成的三条线段中哪条为对角线不清楚，往往要以这三条线段分别为对角线分类，分三种情况讨论.3.2 两个定点、两个动点，探究平行四边形存在性问题

例2 如图5，在平面直角坐标系中，抛物线A(-1,0),B(3,0),C(0,-1)三点.（1）求该抛物线的表达式；

（2）点Q在y轴上，点P在抛物线上，要使以点Q、P、A、B为 顶点的四边形是平行四边形，求所有满足条件点P的坐标.12解 ：（1）易求抛物线的表达式为y=x2x1；

33(2)由题意知点Q在y轴上，设点Q坐标为(0,t)；点P在抛物线上，12设点P坐标为(m,m2m1).33图5 尽管点Q在y轴上，也是个动点，但可理解成一个定点，这样就转化为三定一动了．

①当以AQ为对角线时，由四个顶点的横坐标公式得：-1+0=3+m，∴m=-4，∴P1(-4,7)；

5②当以BQ为对角线时，得：-1+m=3+0，∴m=4，∴P2(4,)；

3③当以AB为对角线时，得：-1+3=m+0，∴m=2，∴P3(2,-1).5综上，满足条件的点P为P1(-4,7)、P2(4,)、P3(2,-1).3反思：这种题型往往特殊，一个动点在抛物线上，另一个动点在x轴（y轴）或对称轴或某一定直线上．设出抛物线上的动点坐标，另一个动点若在x轴上，纵坐标为0，则用平行四边形顶点纵坐标公式；若在y轴上，横坐标为0，则用平行四边形顶点横坐标公式．该动点哪个坐标已知就用与该坐标有关的公式．本例中点Q的纵坐标t没有用上，可以不设．另外，把在定直线上的动点看成一个定点，这样就转化为三定一动了，分别以三个定点构成的三条线段为对角线分类，分三种情况讨论.例3 如图6，在平面直角坐标系中，已知抛物线经过A(-4,0),B(0,-4),C(2,0)三点．（1）求抛物线的解析式；（2）若点M为第三象限内抛物线上一动点，点M的横坐标为m，△AMB的面积为S．求S关于m的函数关系式，并求出S的最大值；

（3）若点P是抛物线上的动点，点Q是直线y=-x上的动点，判断有几个位置能使以点P、Q、B、O为顶点的四边形为平行四边形，直接写出相应的点Q的坐标．

解：（1）易求抛物线的解析式为y=

2x+x-4； 2（2）s=-m2-4m(-4

（3）尽管是直接写出点Q的坐标，这里也写出过程．由题意知O(0,0)、B(0,-4).由于点Q是直线y=-x上的动点，设Q(s,-s)，把Q看做定点；设P(m,①当以OQ为对角线时，0s0m 120s4mm421

2m+m-4).2∴s=-225.∴Q1(-2+25,2-25)，Q2(-2-25,2+25)； ②当以BQ为对角线时，0m0s 120mm44s2图6 ∴s1=-4，s2=0(舍).∴Q3(-4,4)；

③当以OB为对角线时，00sm 1204smm42∴s1=4，s2=0(舍).∴Q4(4,-4).综上，满足条件的点Q为Q1(-2+25,2-25)、Q2(-2-25,2+25)、Q3(-4,4)、Q4(4,-4).反思：该题中的点Q是直线y=-x上的动点，设动点Q的坐标为(s,-s)，把Q看做定点，就可根据平行四边形顶点坐标公式列方程组了.4

问题总结

篇3：二次函数与平行四边形

本案例源于浙教版九 (上) 《二次函数图象 (3) 》。本节课的目标是:会根据二次函数的一般形式y=ax2+bx+c确定二次函数的开口方向、对称轴、顶点坐标;能用配方法将一般形式y=ax2+bx+c化成顶点式;会用顶点式求二次函数的解析式。

学生根据预习提纲课前完成预习。课堂上, 在完成学生预习问题交流并进行一定量的变式练习后, 我们重点交流了预习提纲中的如下问题 (课本“课内练习”3改编) :

你能求如图所示的二次函数图象吗? (如果可以, 请尝试用不同方法)

[教学片段]

问题一展出, 学生纷纷举手。

我请一位成绩偏下的小A同学回答:

“老师, 我觉得这个二次函数可设成y=a (x-2) 2+4, 再把 (0, 1) 代进去, 就可以求出a的值。”

“你是怎么想到设成y=a (x-2) 2+4的呢?”我紧跟着问。

“从图形中, 我注意到 (2, 4) 是抛物线的顶点坐标, 知道了顶点坐标就可以写出二次函数的解析式。”

“非常好, 你能把你的解题过程给大家展示一下吗?”

“好。”小A同学在实物投影上展示了他非常清晰的解题过程。

“肯定没错, 我旁边几个同学答案跟我一样的。”临下讲台之前, 小A自信地说。

“老师, 我觉得还可以设成y=ax2+bx+c。”小B同学马上抢着站起来说。

“我觉得图形中虽然没有三个点, 但y=ax2+bx+c的顶点坐标是再把 (0, 1) 代入, 就得到三个方程, 可求出a, b, c的值。”

很多同学频频点头表示赞同。少部分只想到一种解法的组的同学在专注地整理自己的思路, 教室里很安静。大部分同学在准备进入下一个练习的交流。

“老师, 我还有不同的解法。”突然小C的声音打破了沉静。

“还有?好, 请讲。”我有些意外, 但更多的是惊喜。全班同学不由自主地将目光齐刷刷盯向了小C。

“我们还是设成y=ax2+bx+c, 我是这样想的:顶点坐标是 (2, 4) , 对称轴就是直线x=2, 在图象中可以写出点 (0, 1) 关于对称轴的对称点是 (4, 2) , 把这三个点分别代入y=ax2+bx+c, 就可以求出a, b, c。”

“是的, 我怎么就没想到。”教室里不由得掌声响起。这确实是一种非常有价值的发现, 对后续的学习意义非同一般。何况, 我一直认为学生不会有第三种解法了。

“简直太了不起了。你刚才用了‘我们’, 看来是小组讨论完成的。你能给大家讲讲你们是怎么想到的吗?”

小C很干脆地说:“好的。我们想把函数设成y=ax2+bx+c, 但题目中只有两个点, 肯定不够, 于是我们试着找第三个点, 刚开始也不知道找什么点, 后来小D提到了图形中的对称轴, 小E马上想起抛物线上的点关于对称轴对称, 于是我们就找到了 (4, 2) 这个点。”

“我们再次把掌声送给这组了不起的同学。”教室里的掌声更响了。

……

[教学反思]

1. 创造性地使用教材, 引领学生多角度思考

创造性地开发和利用教材资源是新教育理念和新课程目标的体现。教科书作为重要的课程资源, 在备课过程中, 教师要充分挖掘教材的内在教育因素, 结合学生实际, 精心设计, 组织引导学生富有个性地开展学习, 充分调动学生的学习兴趣。更可通过适当的变式而把问题的解决延伸到课堂以外, 拓展学生探究的空间, 引领学生触类旁通、举一反三, 培养学生的发散性思维。

2. 恰当的课前预习, 提供学生充足的思考时间

现在的教学采用多媒体教学, 课堂的知识密度比较大, 节奏快, 而且数学的逻辑性强, 再加上九年级时间紧任务重, 若一个环节出了问题, 将直接会导致整节课都无法理解, 甚至会影响到下一节的学习, 从而严重伤害学生学习数学的积极性。“凡事预则立, 不预则废”, 恰当的课前预习是非常必要的。

在具体的预习过程中, 教师应淡化学生的最终学习结果, 要重点关注学生学习的过程。因此, 教师可根据教材和学生实际, 预测学生可能存在的预习障碍, 设置一定量的预习问题, 引导学生通过阅读、独立思考、查资料、询问探讨等方式, 在有较充足时间保证的前提下, 先进行一系列的热身, 还有不能解决的或不够完善的问题留到课堂上集体讨论解决。这样, 不仅使学生的思维能力得到锻炼, 同时还把课本知识当工具去启迪学生的心智和“发现”的能力, 对培养学生创新精神、创造能力尤为重要。这是授人以渔, 将使学生终身受益。

3. 良好的课外合作学习, 能让学生碰撞出独特的思维火花

我们平时讲的合作学习, 一般都是在课内开展的, 但很多时候因局限于课堂的时间、任务, 往往草草了事, 不能深入地开展, 甚至有些时候纯粹是一种作秀, 起不到应有的作用。其实, 学习小组的课外作用更应引起教师的高度关注, 课外的合作学习较课堂环境更为宽松的, 时间相对更充足, 更适合同伴之间的深入交流探讨, 更易碰撞出思维的火花。

篇4：二次函数与平行四边形

1 与平行四边形形状相结合的存在性问题

如图1，要使四边形ABCD成为平行四边形，根据平行四边形的判定定理，需满足的条件：(1)AD∥BC 且AD=BC ； (2)AD=BC且AB=CD； (3)OA=OC且OB=OD；对于(1)这种需满足两个不同条件的判定方法，我们常常让其中一个条件先满足，再根据所需满足的第二个条件求解.

例1 (2007浙江省)如图2，抛物线y=x2-2x-3与x轴交A、B两点(A点在B点左侧)，直线l与抛物线交于A、C两点，其中C点的横坐标为2. (1)求A、B 两点的坐标及直线AC的函数表达式；(2)P是线段AC上的一个动点，过P点作y轴的平行线交抛物线于E点，求线段PE长度的最大值；(3)点G是抛物线上的动点，在x轴上是否存在点F，使A、C、F、G这样的四个点为顶点的四边形是平行四边形?如果存在，求出所有满足条件的F点坐标；如果不存在，请说明理由.

解 (1)令y=0，解得x₁=-1或x₂=3，所以A(-1，0)、B(3，0)；将C点的横坐标x=2代入y=x2-2x-3得y=-3，所以C(2，-3)，所以直线AC的函数解析式是y=-x-1.

(2)设P点的横坐标为x(-1≤x≤2)则P、E的坐标分别为：P(x，-x-1)，E(x， x2-2x-3)，因为P点在E点的上方，PE=(-x-1)-(x2-2x-3)=- x2+x+2，所以当x=12时，PE的最大值是94.

(3)若AF为边，则CG∥AF∥x轴，所以G(0，-3)，AF=CG=2，以A为圆心2为半径画弧交x轴于F1、F2，则F1(1，0)，F2(-3，0)；若AF为对角线，AF、CG交于点D，作CM⊥x轴，GN⊥x轴，垂足分别为M、N，所以△ACM≌△FGN，△CMD≌△FND，所以G点的纵坐标为3，FN=AM=3，所以G1(1+7，3)、G2(1-7，3)，因为FN=AM=3，所以F3(4+7，0)，F4(4-7，0)，存在4个这样的点F，分别是F1(1，0)，F2(-3，0)，F3(4+，0)，F4(4-7，0).

点评 第(3)小题中，因为四个点能组成平行四边形的情况有多种，需分类讨论，把四个点全部找出来有一定的困难.

2 与矩形形状相结合的存在性问题

如图3，要使平行四边形ABCD成为矩形，根据矩形的判定定理，需满足的条件是(1)有一个角(如∠BAD)等于90°. 由勾股定理的逆定理，需满足的数量关系是AB2+AD2=BD2；(2)AC=BD；解题的常见思路是：根据所需的数量关系建立方程模型求解.

例2 (2006年山西)如图4，已知抛物线C1与坐标轴的交点依次是A(-4，0)，B(-2，0)，E(0，8). (1)求抛物线C1关于原点对称的抛物线C2的解析式；(2)设抛物线C1的顶点为M，抛物线C2与x轴分别交于C，D两点(点C在点D的左侧)，顶点为N，四边形MDNA的面积为S，若点A、点D同时以每秒一个单位的速度沿水平方向分别向右、向左运动，与此同时，点M、点N同时以每秒两个单位的速度沿竖直方向分别向下、向上运动，直到点A点D重合为止，求出四边形MDNA的面积S与运动时间t之间的关系式，并写出自变量t的取值范围；(3)当t为何值时，四边形MDNA的面积S有最大值；(4)在运动过程中，四边形MDNA能否形成矩形?若能，求出此时t的值；若不能，请说明理由.

解 (1)抛物线C2的解析式为y=-x2+6x-8，过程从略.

(2)易知M(-3，0)，N(3，1)，过N作NH⊥AD于H. 当运动到时刻t时，AD=2OD=8-2t，NH=1+2t. 由中心对称的性质有OA=OD，OM=ON，四边形MDNA为平行四边形，则S=2S△ AND =(8-2t)(1+2t)=-4t2+14t+8. 由题设知0≤t <4.

(3) 当t=-b2a=74(属于0≤t<4的范围)时，S有最大值，此时S的最大值为814.

(4)解法1：由(2)知四边形MDNA为平行四边形，若能形成矩形，则AD=MN，所以OD=ON，因此有OD2=ON2=OH2+NH2，即t2+4t-2=0. 解得t1=6-2，t2=-6-2(舍去).

解法2：因为四边形MDNA为平行四边形，若能形成矩形，则需∠AND=90°，由勾股定理的逆定理知，需满足的数量关系是AN2+ND2=AD2，即(AH2+NH2)+(NH2+HD2)=AD2，所以(7-t)2+(1+2t)2+(1+2t)2+(1-t)2=(8-2t)2，得t2+4t-2=0. (同上). 所以在运动过程中，四边形MDNA可以形成矩形，此时t=6-2.

点评 在第(2)小题中涉及动点问题，关键是弄清动点运动的路程是哪一段. 第(4)小题要判断矩形，既可以根据对角线相等的平行四边形是矩形来判断，也可以根据有一个角是90°的平行四边形是矩形来判断.

3 与菱形(正方形)形状相结合的存在性问题

如图5：要使平行四边形ABCD成为菱形，根据菱形的定义及判定定理，需满足的条件是(1)邻边相等，如AB=BC；(2)对角线互相垂直，如AC⊥BD；要使平行四边形ABCD成为正方形，根据菱形及矩形的判定定理，需满足的条件是：对角线相等且互相垂直.

例3 (2007河南)如图6，对称轴x=72的抛物线经过点A(6，0)和B(0，4).

(1) 求抛物线解析式及顶点坐标；

(2) 设点E(x，y)是抛物线上一动点，且位于第四象限，四边形OEAF是以OA为对角线的平行四边形，求平行四边形OEAF的面积S与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；

① 当平行四边形OEAF的面积为24时，请判断平行四边形OEAF是否为菱形?

② 是否存在点E，使平行四边形OEAF为正方形?若存在，求出点E的坐标；若不存在，请说明理由.

4 与等腰梯形形状相结合的存在性问题

图7 图8 如图7：四边形ABCD是梯形，AE⊥BC，DF⊥BC，要使梯形ABCD成为等腰梯形，根据等腰梯形的概念，需满足的条件是(1)AB=CD ；(2)BE=CF； (3)∠B=∠C；在表示AB、CD的长度时，常常需构造Rt△ABE、Rt△CDF，这样首先得表示出BE、CF的长，所以(1)、(2)两种判定方法，我们常常以(2)这种判定方法作为判定等腰梯形的首选方法.

例4 (2007重庆)如图8：已知，在Rt△OAB中，∠OAB=90°，∠BOA=30°，AB=2，若以O为坐标原点，OA所在直线为x轴，建立如图8所示的平面直角坐标洗，点B在第一象限内. 将Rt△OAB沿OB折叠后，点A落在第一象限内的点C处.

(1) 求点C的坐标；

(2) 若抛物线y=ax2+bx(a≠0)经过C、A两点，求此抛物线的解析式；

(3) 若抛物线的对称轴与OB交于点D，点P为线段DB上一点，过P作y的平行线，交抛物线于点M. 问：是否存在这样的点P，使得四边形CDPM为等腰梯形?若存在，请求出此时点P的坐标；若不存在，请说明理由.

点评 本题综合考查了求点的坐标、求抛物线的解析式、解直角三角形等知识，既是代数与几何的有机结合，又有运动与静止的辩证统一. 第(3)小题解法1，由一边上两个角相等的梯形是等腰梯形，得出等腰梯形CDPM的顶点M即为直线CB与抛物线的交点，需要学生有较强的观察能力及分析问题的能力，有一定的难度.

作者简介：郑耀文，1972年11生， 大学本科，中学一级教师. 主要从事于“如何开展课外合作学习”的研究，所参与的该课题获市二等奖，多次获"希望杯"优秀辅导员称号.

篇5：二次函数小结与复习

（二）1、填表

2、我国是最早发明火箭的国家，制作火箭模型、模拟火箭升空是青少年喜爱的一项科技活动，已知学校航模组设计制作的火箭的升空高度h（m）与飞行的时间t（s）的关系是h=-t2+26t+1，如果火箭在点火升空到最高点时打开降落伞，那么火箭点火后多少时间降落伞打开？这时该火箭的高度是多少？

3、美国圣路易斯市有一座巨大的拱门，这座拱门高和底宽都是192m的不锈钢拱门是美国开发西部的标志性建筑，如果把拱门看作一条抛物线，你能建立恰当的平面直角坐标系并写出这条抛物线对应的函数关系吗？试试看

4、一艘装有防汛器材的船，露出水面部分的宽为4m，高为0.75m，当水面距抛物线形拱桥的拱顶5m时，桥洞内水面宽为8m，要使该船顺利通过拱桥，水面距拱顶的高度至少多高？

5、把二次函数y=x2+bx+c的图象沿y轴向下平移1个单位长度，再沿x轴向左平移5个单位，所得的抛物线的顶点坐标是（-2,0），写出原抛物线所对应的函数关系式。

6、心理学家研究发现，某年龄段的学生，30min内对概念的接受能力y与提出概念 的时间x之间满足函数关系：y=-0.1x2+2.6x+43（0《x《30），试判断何时学生接受概念的能力最强？什么时段学生接受概念的能力逐步降低？

7、如图，在矩形ABCD中，AB=16cm，BC=6cm，动点P、Q分别从A、C出发，点P以3cm/s的速度向B移动，一直到点B为止，点Q以2cm/s的速度向点D移动

（1）试写出P、Q两点的距离y（cm）与P、Q两点的移动时间x（s）之间的函数关系式；

（2）经过多长时间P、Q两点之间的距离最小（注：算术平方根的值随着被开方数的增大而增大，随着被开方数的减小而减小）？

8、某地要建造一个圆形水池，在水池中央垂直于水面安装一个装饰柱OA，O恰在水面中心，柱子顶端A处的喷头向外喷水，水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下，形状如图①，在如图②的平面直角坐标系中，水流喷出的高度y（m）与水平距离x的关系式满足（1）求OA的高度；

篇6：二次函数与实际问题(复习)教案

二次函数与实际问题(复习)教案

《二次函数与实际问题》（复习）教案 单位：上饶县尊桥中学 年级：九 设计者：罗兴满 时间：2010年6月13日 课题 二次函数 课型 复习课 教学目标 知识技能 掌握二次函数的解析式求法，能灵活运用抛物线的解析式的求法和图象的性质知识解一些实际问题． 数学思考 通过观察、猜想、验证、推理、交流等数学活动进一步发展学生的演绎推理能力和发散思维能力． 解决问题 学生亲自经历巩固二次函数相关知识点的过程，体会解决问题策略的多样性． 情感态度 经历探索二次函数相关题目的过程，体会数形结合思想、化归思想在数学中的广泛应用，同时感受数学知识来源于实际生活，反之，又服务于实际生活． 教学重点 二次函数解析式的求法和图象及其性质，应用二次函数分析和解决简单的实际问题． 教学难点 二次函数解析式的求法性质的灵活运用，能把相关应用问题转化为数学问题． 课前准备（教具、活动准备等） 制作课件 教 学 过 程 教学步骤 师生活动 设计意图 基础知识之 自我构建   1、二次函数解析式的`三种表示方法： （1）顶点式：y=a(x-h)2+k （2）交点式：y=a(x-x1)(x-x2)（3）一般式： 2、求二次函数的解析式，在怎样的情况下，对应地设其解析式求解更方便。   通过二次函数，请学生说出结论，主要让学生回忆二次函数有关基础知识．同学们之间可以相互补充，体现团结协作精神．同时发展了学生的探究意识，培养了学生思维的广阔性． 基础知识之 基础演练 例1、已知二次函数的图象过点（1，4），且与x轴交点为（-1， 0）和（3，0），求此函数的解析式。   例2、已知二次函数为x＝4时有最小值-3且它的图象与x轴交点的横坐标为1，求此二次函数解析式．       第1题主要是学生复习用一般式求二次函数的解析式。 第2题主要复习二次函数的顶点式解析式的简捷求法。   基础知识之 灵活运用   例3、利用二次函数解决实际问题 一位运动员在距篮下4米处跳起投篮，球运行的路线是抛物线，当球运行的水平距离为2.5米时，达到的最大高度是3.5米，然后准确落入篮圈，已知篮球中心到地面的距离为3.05米， （1）根据题意建立直角坐标系，并求出抛物线的解析式。 （2）该运动员的身高是1.8米，在这次跳投中，球在头顶上方0.25米，问：球出手时，他跳离地面的高度是多少？         第3题涉及用一般式二次函数求实际问题的解析式，二次函数的平移性质，根据图象平移，就能正确写出该运动员应该跳多高。让学生经历和体验图形平移的变化过程，引导学生感悟知识的生成、发展和变化．数形结合思想是一种重要的数学思想。   难点突破之 思维激活 例4．如图，有一座抛物线形拱桥，在正常水位时水面AB的宽为20m，如果水位上升3m时，水面CD的宽是10m． （1）建立如图所示的直角坐标系，求此抛物线的解析式． （2）现有一辆载有救援物资的货车从甲地出发需经过此桥开往乙地，已知甲地距此桥220km（桥长忽略不计）．货车正以每小时40km的速度开往乙地，当行驶1h时，忽然接到紧急通知：前方连降暴雨，造成水位以每小0.25m的速度持续上涨（货车接到通知时水位在CD处，当水位达到桥拱最高点O时，禁止车辆通行）．试问：如果货车按原来速度行驶，能否安全通过此桥？若能，请说明理由．若不能，要使货车安全通过此桥，速度应超过每小时多少千米？                     本部分这道题目不能呆板地应用二次函数的基础知识，而要综合相关知识，以达到能力提升之目的．这种函数Y=ax2 学生都以为只要一个点的坐标就够了，但这里有两个未知数，就只有列方程组才可以求出所要的未知数的值。 另一方面，抛物线的问题，似乎与另外的一个问题无关，但实际上这种关联，需要思维的跨越，这里的时间，正是在第二问中所要用的路程与速度、时间相关联的。这一点如果联系不起来，那么就无法解题。     难点突破之 聚焦中考 例5：某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出20件，进价是每件80元，售价是每件120元，为了扩大销售，增加盈利，减少库存，商场决定采取适当的降价措施，经调查发现，如果每件衬衫降低1元，商场平均每天可多售出2件，但每件最低价不得低于108元． ⑴若每件衬衫降低x元（x取整数），商场平均每天盈利y元，试写出y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围． ⑵每件衬衫降低多少元时，商场每天（平均）盈利最多？ 本题首先读懂题意，正确求出二次函数解析式．二次函数的最值是体现二次函数实际应用价值的一种常见题型，它在优选方案、减小投入、增大收益中意义非凡．解题时通常借助顶点坐标来求，但有时由于实际问题实际意义的限制，需结合自变量的取值范围进行调整．本题由图象可知，抛物线顶点（15，1250）不在本题图象上，它不是最高点，最高点应该是（12，1232）或者这样理解：顶点横坐标是15，不满足，因此不能理解为：当时，y取最大值为1250元． 反思 与 提高 1、本节课你印象最深的是什么？ 2、通过本节课的函数学习，你认为自己 还有哪些地方是需要提高的？ 3、在下面的函数学习中，我们还需要注意 哪些问题？ 归纳本章知识网络图示   实际问题 二次函数 利用二次函数的图象和性质求解 实际问题的答案       让学生自己总结一节课的得失，教者进行适当的点评．真正体现出学生是学习的主体．为今后自主学习奠定基础，由此达到数学教学的新境界――提升思维品质，形成数学素养．                        

篇7：二次函数的图像与性质教学反思

可能在教学过程中，有些教师会觉得作图象是上一节课的重点，这一节主要是学生观察、分析图象，从而不让学生画图象或者只是简单的画一两个。这种做法看上去好像更加突出了重点、难点，却没有给学生探索与发现的过程，造成学生对于二次函数性质的理解停留在表面，知识迁移相对薄弱，不利于培养学生自主研究二次函数的能力。

2. 相信学生并为学生提供充分展示自己的机会

在归纳二次函数性质的时候，也要充分的相信学生，鼓励学生大胆的用自己的语言进行归纳，因为学生自己的发现远远比老师直接讲解要深刻得多。在教学过程中，要注重为学生提供展示自己聪明才智的机会，这样也利于教师发现学生分析问题解决问题的独到见解，以及思维的误区，以便指导今后的教学。课堂上要把激发学生学习热情和获得学习能力放在教学首位，通过运用各种启发、激励的语言，以及组织小组合作学习，帮助学生形成积极主动的求知态度。

3．注意改进的方面

在让学生归纳二次函数性质的时候，学生可能会归纳得比较片面或者没有找出关键点，教师一定要注意引导学生从多个角度进行考虑，而且要组织学生展开充分的讨论，把大家的观点集中考虑，这样非常有利于训练学生的归纳能力。

篇8：二次函数与平行四边形

(课前,多媒体播放歌曲《隐形的翅膀》,不少学生跟着旋律哼唱)

师:李老师来自东台市实验中学,今天在时堰中学和大家一起交流、学习,我有一种特别亲切的感觉,为什么这么说呢?

(大屏幕上显示:东台市时堰中学、东台市实验中学)

师:大家一起将两个校名读一遍。

(生齐读)

师:哪位同学能发现其中的奥妙?

生1:“时堰”和“实验”读音相同。

师:对了!“时堰”和“实验”读音相同,用数学的眼光看,“时堰”和“实验”读音不仅相似,而且全等。难道这就是传说中的“缘分”?

(听课老师和学生均大笑,鼓掌)

师:我们刚刚学习了二次函数,请大家思考,在本学期所学的内容中,有哪个章节的内容和“二次函数”特别有“缘分”,联系较密切?

生(齐):一元二次方程!

师:下面和大家一起来学习第6章第3节“二次函数与一元二次方程”。

思考:通过两校校名的读音相同,引出课题“二次函数与一元二次方程”,不仅能拉近师生之间的距离,激发学生学习的兴趣,还渗透了类比的数学思想,暗示着本节课探究的这两个“二次”之间也有着很深的渊源。从教学反馈看,达到了教者预设的效果。

二、合作交流,探索问题

教学片段1:教师提出一个很具体的问题,请大家一起探究。

探究一:求二次函数y=x2-2x-3的图像与x轴的公共点坐标。

师:请同学们画出二次函数y=x2-2x-3的图像,仔细观察抛物线与x轴的公共点情况,它与一元二次方程x2-2x-3的两个实数根之间有什么联系呢?

经过各位学生在准备好的网格纸上的画图(如图1),得出结论:抛物线与x轴的公共点横坐标为-1、3,即为一元二次方程x2-2x-3=0的两个实数根。

思考:“探究一”从“函数值为0”着手,探索了二次函数与相应的一元二次方程之间的关系:①从函数关系式看,当二次函数y=x2-2x-3中的函数值y取特殊值0时即得到一元二次方程x2-2x-3=0;②从一元二次方程x2-2x-3=0的根的几何意义看,一元二次方程x2-2x-3=0的两实数根即为二次函数y=x2-2x-3的图像与x轴的公共点的横坐标,渗透了数形结合、从特殊到一般的数学思想方法,也体现了对立统一的辩证思想。

三、理性概括,构建新知

教学片段2:在教师指导下探究更一般的情形。

探究二:一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)有两个不相等的实数根x1、x2,那么二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图像与x轴有没有公共点?如果有,有几个公共点?说出公共点的坐标。

生3:有两个公共点,坐标为A(x1,0)、B(x2,0)。

(注:如图2,教师适时地把图1中的A、B两点的横坐标换成图2中的x1和x2,让学生结合图形进行归纳,既能体现数形结合的数学思想方法,又能体会到从特殊到一般的思维方式)

思考:学生经历过“探究一”的特殊问题的探索,已经积累了一定的经验,归纳出一般性的结论已经水到渠成。通过“探究二”,可将重点放在引导学生体验从具体到抽象、从特殊到一般的思维方法上。

师:反过来,如果二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图像与x轴有两个公共点A(x1,0)、B(x2,0),那么,一元二次方程ax2+bx+c(a≠0)的根的情况如何?

生4:有两个不相等的实数根x=x1、x=x2。

师:对,这就是说“如果二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图像与x轴有两个公共点A(x1,0)、B(x2,0),就等价于一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)有两个不相等的实数根x1、x2”。而一元二次方程ax2+bx+c(a≠0)的根的情况又可以根据什么式子进行判断呢?

生5:根的判别式。

师:一元二次方程ax2+bx+c(a≠0)有两个不相等的实数根x1、x2,则根的判别式的符号如何?

生6:大于0。

师:正确,我们可以把它们之间的关系归纳如下表:

思考:把二次函数的图像与x轴有两个公共点、一元二次方程有两个不相等的实数根以及b2-4ac>0三者关系由特殊到一般进行分析,最后归纳,大有瓜熟蒂落之感!并且三者之间关系紧密,用“等价于”符号相连接,体现了转化的数学思想方法。

四、实践应用,类比创新

师:经历了上述探究过程,我们已经基本学会了如何探索二次函数的图像与x轴公共点的情况、相应的一元二次方程根的情况以及这两者之间的关系。下面,请大家分组合作,完成探究,并把本小组讨论的最后结果归纳到数学探究报告单上.

数学探究报告单(一)

数学探究报告单(二)

思考:由于在“探究一”“探究二”中,学生已经学会了探究问题的方法,故后面的两个问题可以放手让学生分小组在合作过程中运用类比的方法继续进行探究,老师对有困难的小组适时进行引导、点拨,并以数学探究报告单的形式按“由特殊到一般”“类比”的数学思想方法进行归纳,然后以小组代表汇报的形式上台进行陈述,老师及时补充、小结、鼓励,使学生逐步获得技能。

五、归纳小结,提炼升华

教学片段3:师生共同总结涉及到的数学思想方法,并进行巩固练习。

师:同学们,经历了前面三组问题的探究,我们已经体会了哪些数学思想方法?

生7:数形结合。

生8:分类讨论。

生9:从特殊到一般。

生10:类比的思想。

师:这节课的课题是“二次函数与一元二次方程”,当然蕴含函数思想和方程思想。通过上面的探究,你能把我们刚刚得到的成果完整地归纳一下吗?

生11:抛物线与x轴的公共点个数和一元二次方程根的判别式Δ之间的关系(如图3):

(教师拿出一根粗电线做成的“抛物线”,配合生11,在黑板上进行抛物线的平移演示,主要目的是让学生进一步体会抛物线与x轴的公共点的个数,然后带着满脸的疑惑提问)

师:如果抛物线的开口方向向下呢?

生12:同样的只需要看其与x轴的公共点的个数,就能知道相应的一元二次方程的解的情况,也即知道根的判别式Δ与0的大小关系。

思考:让学生对照图形进行归纳,体现了数形结合的数学思想方法;平移“抛物线”,演示其与x轴的不同位置体现了分类讨论的数学思想方法;通过图3中的抛物线开口向上的情况进行归纳,然后提问开口向下时有何结论,体现了类比的数学思想方法。在这些方法的引领和渗透下,让学生把探究的过程、形成的结论进行归纳,学生的感受当然很“自然”。

师:同学们,课前大家欣赏的是什么歌曲?

生(齐):《隐形的翅膀》。

师:大家会唱这首歌吗?

生(齐):会唱。

师:今天这一节课我们运用了不少的数学思想方法来解决问题,这些数学思想方法就像“隐形的翅膀”,既能帮助我们解决问题,又能使我们的思维自由飞翔。老师将歌曲中的两句歌词改动了两个字。

(大屏幕上显示“我看见,每天的‘习题’也会有变化,我知道,我一直有双隐形的翅膀”,学生充满激情地齐唱)

师:大家唱得太好了!同学们,我们已经学得“本领”,应该到了大显身手的时刻了,让我们试试数学思想这个“隐形的翅膀”,怎样助你飞翔,请运用所学知识解决下列问题。

(1)不画图像,你能说出函数y=x2+x-6的图像与x轴的公共点坐标吗?

(2)判断下列函数的图像与x轴是否有公共点,并说明理由。

①y=x2-x;②y=x2+6x-9;③y=3x2+6x+11

(注:上面两道题是课本上的练习,目的是巩固二次函数与一元二次方程之间的关系,具体解法略)

(3)①已知抛物线y=x2+px-q与x轴的两个公共点为(-1,0)、(3,0),则p=____,q=_____;其对称轴为直线_________;②若x1和x2是一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两个实数根,则抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的对称轴是_____________。

(4)已知抛物线y=x2-6x+a,①若其顶点在x轴上,则a=_________;②若与x轴有两个公共点,则a的范围是_________;③若与x轴没有公共点,则a的范围是_________;④将题目中抛物线y=x2-6x+a改为y=ax2-6x+1,则上面3个小题的答案有没有变化呢?

(5)已知:函数y=ax2+x+1的图像与x轴只有一个公共点,求这个函数关系式。(此题为盐城市2010年中考数学试卷最后一题的第1小题)

思考:上面两题主要考查学生对抛物线与x轴公共点的情况和一元二次方程根的判别式Δ之间的关系,渗透的是转化思想。值得一提的是第(4)题的第④小题,抛物线改为y=x2-6x+1后,需注意a≠0;尤其要注意的是第(5)题中的函数不一定是二次函数,它也可以是一次函数。两小题放在一起,让学生通过比较,加深印象。评讲第(4)(5)两小题时,还用了教者自编的防错“诀招”:“函数关于爱克斯(x),一次二次要三思!”此口诀通俗有趣,便于记忆,利于理解,深受听课师生的欢迎。

(6)二次函数y=x2-2x+m的图像与坐标轴有两个公共点,求m的值。

篇9：奥运与二次函数

一、 比赛项目与二次函数

在奥运会的赛场上，人、球或其他物体在空中运动的某一段过程形成的轨迹可以看成抛物线，我们以跳水和足球为例.

例1 如图1，2016年里约奥运会，某运动员在10米跳台跳水比赛时估测身体（看成一点）在空中的运动路线是抛物线y=-[256]x2+[103]x（如图建立直角坐标系，图中标出的数据为已知条件），运动员在空中运动的最大高度离水面为 米.

【分析】首先把抛物线解析式配成顶点式，从而得到抛物线的顶点坐标，进而得到运动员在空中运动的最大高度离水面为多少米.

【解答】∵y=-[256]x2+[103]x=-[256][x2-45x]

=-[256][x-25]2+[23]，

∴抛物线的顶点坐标是[25，23]，

∴运动员在空中运动的最大高度离水面为：10+[23]=10[23]（米）.

例2 如图2，在某场足球比赛中，球员甲从球门底部中心点O的正前方10m处起脚射门，足球沿抛物线飞向球门中心线；当足球飞离地面高度为3m时达到最高点，此时足球飞行的水平距离为6m.已知球门的横梁高OA为2.44m.

[图2]

（1）在如图所示的平面直角坐标系中，问此飞行中的足球能否进球门？（不计其他情况）

（2）守门员乙站在距离球门2m处，他跳起时手的最大摸高为2.52m，他能阻止球员甲的此次射门吗？如果不能，他至少后退多远才能阻止球员甲的射门？

【分析】（1）根据条件可以得到抛物线的顶点坐标是（4，3），利用待定系数法即可求得函数的解析式；

（2）求出当x=2时，抛物线的函数值，与2.52米进行比较即可判断，再利用y=2.52求出x的值即可得出答案.

【解答】（1）抛物线的顶点坐标是（4，3），

设抛物线的解析式是：y=a（x-4）2+3，

把（10，0）代入得36a+3=0，

解得a=-[112]，

则抛物线是y=-[112]（x-4）2+3，

当x=0时，y=-[112]×16+3=3-[43]=[53]<2.44，

故能射进球门；

（2）当x=2时，y=-[112]（2-4）2+3=[83]>2.52，

∴守门员乙不能阻止球员甲的此次射门，

当y=2.52时，y=-[112]（x-4）2+3=2.52，

解得：x1=1.6，x2=6.4（舍去），

∴2-1.6=0.4（米）.

答：他至少后退0.4米，才能阻止球员甲的射门.

二、 商品与二次函数

里约当地的商店有很多奥运纪念品，店家为了获得更多利润，要对纪念品做出合适的定价.

例3 奥运会某纪念品的进价为每件40美元，如果售价为每件50美元，每天可卖出210件；如果售价超过50美元但不超过80美元，每件纪念品的售价每上涨1美元，则每天少卖1件；如果售价超过80美元后，若再涨价，则每涨1美元每天少卖3件.设每件纪念品的售价为x美元，每天的销售量为y件.

（1）求y与x的函数关系式并直接写出自变量x的取值范围；

（2）设每天的销售利润为W，请直接写出W与x的函数关系式；

（3）每件纪念品的售价定为多少美元时，每天可获得最大利润？每天最大利润是多少美元？

【分析】（1）当售价超过50美元但不超过80美元时，每件纪念品的售价每上涨1美元，则每天少卖1件，y=260-x，50≤x≤80；当售价超过80美元后，若再涨价，则每涨1美元每天少卖3件，y=420-3x，80

（2）由利润=（售价-成本）×销售量，列出函数关系式.

（3）分别求出两段函数的最大值，然后作比较.

【解答】（1）略解，

[y=260-x（50≤x≤80），y=420-3x（80

（2）由利润=（售价-成本）×销售量，可以列出函数关系式：

w=-x2+300x-10400（50≤x≤80），

w=-3x2+540x-16800（80

（3）当50≤x≤80时，w=-x2+300x-10400，

当x=80时有最大值，最大值为7200，

当80

当x=90时，有最大值，最大值为7500，

故售价定为90美元，每天利润最大为7500美元.

三、赞助商与二次函数

在奥运会上有很多签约的赞助商，在奥运会期间他们的广告无处不在.

例4 如图3，在边长为24cm的正方形纸片ABCD上，剪去图中阴影部分的四个全等的等腰直角三角形，再沿图中的虚线折起，折成一个长方体形状的包装盒（A、B、C、D四个顶点正好重合于上底面上一点）.已知E、F在AB边上，是被剪去的一个等腰直角三角形斜边的两个端点，设AE=BF=xcm.[图3]

某广告商要求包装盒的表面（不含下底面）面积S最大，试问x应取何值？

【分析】利用已知条件表示出包装盒的表面面积，进而利用函数最值求出即可.

【解答】设包装盒的底面边长为acm，高为hcm，则a=[2]x，h=[24-2x2]=[2]（12-x），

∴S=4ah+a2=4[2]x·[2]（12-x）+（[2]x）2

=-6x2+96x=-6（x-8）2+384，

∵0

∴当x=8时，S取得最大值384cm2.

（作者单位：江苏省太仓市第一中学）