海南省文昌中学高中数学《几何证明选讲》同步练习 新人教A版选修

海南省文昌中学高中数学《几何证明选讲》同步练习 新人教A版选修（精选4篇）

篇1：海南省文昌中学高中数学《几何证明选讲》同步练习 新人教A版选修

海南省文昌中学高中数学选修4-1《几何证明选讲》同步练习

1.(本小题满分20分)

如图:EB,EC是O的两条切线,B,C是切点,A,D是

O上两点,如果E46,DCF32,试求A的度数.第1题图

2、(本小题满分20分)如图,△ABC中,AB=AC,AD是中线,P为AD上一点,CF∥AB，BP延长线

交AC、CF于E、F,求证: PB2=PE•PF．

3.(本小题满分20分)

已知:如右图,在等腰梯形ABCD中,AD∥BC,AB＝DC,过点D作AC的平行线DE,交BA的延长线于点E． E 求证：(1)△ABC≌△DCB

(2)DE·DC＝AE·BD．

C 第2题图

第3题图

4.(本小题满分20分)

如图,⊙O的直径AB的延长线与弦CD的延长线相交于点P,E为⊙O上一

AEAC,DE交AB于点F,且AB2BP4,求PF的长度.点,

E F B 第4题图

5.(本小题满分20分)

如图,A是以BC为直径的O上一点,ADBC于点D,过点B作O的切线,与CA的延长线相交于点E，G是AD的中点,连结CG并延长与BE相交于点F,延长AF与CB的延长线相交于点P.(1)求证:BFEF；

(2)求证:PA是O的切线；

(3)若FGBF,且

O的半径长为求BD和FG的长度.高中数学第十五单元测试题 答案

选修4-1 几何证明选讲

1．【解析】连结OB,OC,AC,根据弦切角定理,可得ABACCAD

C

第5题图

(180E)DCF673299

22、【解析】连结PC,易证PCPB,ABPACP

∵CF//AB ∴FABP,从而FACP 又EPC为CPE与FPC的公共角,CPPE

∴PC2PEPF 

FPPC

又PCPB, ∴PB2PEPF,命题得证.从而CPEFPC,∴

3．【解析】证明：(1)∵四边形ABCD是等腰梯形，∴AC＝DB ∵AB＝DC，BC＝CB，∴△ABC≌△BCD

(2)∵△ABC≌△BCD，∴∠ACB＝∠DBC，∠ABC＝∠DCB ∵AD∥BC，∴∠DAC＝∠ACB，∠EAD＝∠ABC

∵ED∥AC，∴∠EDA＝∠DAC∴∠EDA＝∠DBC，∠EAD＝∠DCB ∴△ADE∽△CBD∴DE:BD＝AE:CD，∴DE·DC＝AE·BD.4【解析】连结OC,OD,OE,由同弧对应的圆周角与圆心角之间的关系

AEAC可得 结合题中条件

CDEAOC,又CDEPPFD, AOCPC,从而PFDPCO, PFPD

故PFDPCO,∴, 

PCPO

由割线定理知PCPDPAPB12,故PF

E F B PCPD12

3.PO4

5．【解析】(1)证明：∵BC是O的直径，BE是O的切线，∴EBBC．又∵ADBC，∴易证△BFC∽△DGC，△FECBFCFEFCF

． ∴DGCGAGCGBFEF

． ∴

C DGAG∵G是AD的中点，∴DGAG． ∴BFEF．

(2)证明：连结AO，AB．∵BC是在Rt△BAE中，由（1），知F是斜边BE的中点，∴AFFBEF．∴FBAFAB．又∵OAOB，∴ABOBAO． ∵BE是O的切线，∴EBO90°．

∵EBOFBAABOFABBAOFAO90°，∴PA是O的切线．

(3)解：过点F作FHAD于点H．∵BDAD，FHAD，∴FH∥BC． 由(1)，知FBABAF，∴BFAF．

由已知，有BFFG，∴AFFG，即△AFG是等腰三角形．

HG1

． ∵FHAD，∴AHGH．∵DGAG，∴DG2HG，即

DG2

∵FH∥BD，BF∥AD，FBD90°，∴四边形BDHF是矩形，BDFH．

FHFGHG，即∵FH∥BC，易证△HF∽△GD．∴

CDCGDG

BDFG1HG

．

CDCG2DG

∵

O的半径长为

∴

BC∴

解

得

BD

．

BDBD1

． CDBCBD2

FGHG1

．∵，∴BDFH

CGDG2

∴FGCG．∴CF3FG．

222

在Rt△FBC中，∵CF3FG，BFFG，由勾股定理，得CFBFBC．

∴(3FG)2FG22．解得FG3（负值舍去）．∴FG3．

篇2：海南省文昌中学高中数学《几何证明选讲》同步练习 新人教A版选修

一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.如图4所示,圆O的直径AB=6,C为圆周上一点,BC=3过C作

圆的切线l,过A作l的垂线AD,垂足为D,则∠DAC =()

A.15B.30C.45D.60

【解析】由弦切角定理得DCAB60,又ADl,故DAC30,FGHG11，∴FGCG．∴CF3FG． CGDG22

在Rt△FBC中，∵CF3FG，BFFG，由勾股定理，得CF2BF2BC2．

．∴FG3． ∴(3FG)2FG22．解得FG3（负值舍去）

［或取CG的中点H，连结DH，则CG2HG．易证△AFC≌△DHC，∴FGHG，CDCG2FG2CF3FG．D∥FB∴．故CG2FG，由G，易知△CDG∽△CBF，CBCF3FG3

2，解得BDRt△CFB中，由勾股定理，得

3解得BD

∴BDFH∵．］(3FG)2FG22，∴FG3（舍去负值）

22.(本小题满分14分)

ACBC如图1,点C将线段AB分成两部分,如果,那么称点C为线段AB的黄金分．ABAC

割点.某研究小组在进行课题学习时，由黄金分割点联想到“黄金分割线”，类似地给出“黄金分割线”的定义:直线l将一个面积为S的图形分成两部分,这两部分的面积分别为S1,S2,SS如果12,那么称直线l为该图形的黄金分割线.SS1

(1)研究小组猜想：在△ABC中，若点D为AB边上的黄金分割点(如图2),则直线CD是△ABC的黄金分割线．你认为对吗?为什么?

(2)请你说明:三角形的中线是否也是该三角形的黄金分割线？

(3)研究小组在进一步探究中发现：过点C任作一条直线交AB于点E,再过点D作直线DF∥CE,交AC于点F,连接EF(如图3),则直线EF也是△ABC的黄金分割线．请你说明理由．

(4)如图4，点E是ABCD的边AB的黄金分割点，过点E作EF∥AD，交DC于点F，显然直线EF是ABCD的黄金分割线.请你画一条ABCD的黄金分割线,使它不经过ABCD各边黄金分割点.5

篇3：海南省文昌中学高中数学《几何证明选讲》同步练习 新人教A版选修

(理科专用)

1.在Rt△ABC中，CD、CE分别是斜边AB上的高和中线，该图中共有几个三角形与

△ABC相似？

解：△ACD、△CBD与△ABC相似，共2个．

ABBCAC52.如图，在△ABC和△DBE

中，＝＝＝，若△ABC与△DBE的周长之差为DBBEDE310 cm，求△ABC的周长．

解：利用相似三角形的相似比等于周长比可得△ABC的周长为25 cm.3.在△ABC中，D、E分别为AB、AC上的点，且DE∥BC，△ADE的面积是2 cm2，梯形DBCE的面积为6 cm2，求DE∶BC的值．

解：△ADE∽△ABC，利用面积比等于相似比的平方可得DE∶BC＝1∶2.4.如图，在△ABC中，∠A＝90°，正方形DEFG的边长是6 cm，且四个顶点都在△ABC的各边上，CE＝3 cm，求BC的长．

解：∵ 四边形DEFG是正方形，∴ ∠GDB＝∠FEC＝90°，GD＝DE＝EF＝6 cm.∵ ∠

BDGDB＋∠C＝90°，∠B＋∠BGD＝90°，∴ ∠C＝∠BGD，∴ △BGD∽△FCE，∴ ＝，EFEC

EF·GD即BD＝＝12 cm，∴ BC＝BD＋DE＋EC＝21 cm.EC

EFFG5.如图，在四边形ABCD中，EF∥BC，FG∥AD，求＋的值． BCAD

EFAFFGCFEFFGAFCFAF＋CF解：由EF∥BC得＝，由FG∥AD得＝，所以＋＝＋＝BCACADCABCADACCACA

＝1.16.如图，在△ABC中，D为BC边上中点，延长BA到E，使AE＝EB，连结DE，3交AC于F.求AF∶FC值．

1解：过D点作DP∥AC(如图)，因为D是BC的中点，所以P为AB的中点，且DP＝

2AC.1

1又AE

＝EB，所以AE＝AP，所以AF＝DP＝AC，所以AF∶FC＝1∶3.32

4°

7.如图，∠B＝∠D，AE⊥BC，∠ACD＝90，且AB＝6，AC＝4，AD＝12.求BE的长．

解：因为AE⊥BC，所以∠AEB＝∠ACD＝90°.因为∠B＝∠D，所以△AEB∽△ACD，ACADAB·AC6×4所以＝，所以AE＝＝2.在Rt△AEB中，BE＝AB－AE＝6－2＝

AEABAD1242.8.如图，在△ABC中，D是AC中点，E是BD三等分点，AE的延长线交BC于F.求S△BEF

S四边形DEFC

BFBE1

解：过D点作DM∥AF交BC于M.因为DM∥AF，所以因为EF∥DM，BMBD3

S△1S△22

所以，即S△BDM＝9S△BEF.又＝，即S△DMC＝△BDM＝6S△BEF，所以S四边形DEFC

3S△BDM9S△BDM3

S△BEF1

＝14S△BEF，因此.S四边形

DEFC14

9.如图，若AD是△ABC中∠A的平分线，EF是AD的中垂线且交BC的延长线与F点．求证：FD2＝FC·FB.解：如图，连结FA.∵ EF是AD的中垂线，∴ AF＝DF，∴ ∠2＋∠3＝∠4＝∠1＋∠B.而∠1＝∠2，∴ ∠3＝∠B.又∠AFB共用，∴ △FAC∽△FBA.∴ ∴ AF 2＝BF·CF，即DF 2＝BF·

CF.AFBF

FCAF

10.如图，在△ABC中，AB＝AC，延长BC到D，使CD＝BC，CE⊥BD，交AD于E，连结BE，交AC于点F.求证：AF＝FC.证明：取BC的中点H，连结AH.∵ AB＝AC，∴ AH⊥BC.∵ CE⊥BD，∴ AH∥EC.∵ CD＝BC，∴ CD＝2CH.则DE＝2AE.取ED的中点M，连结CM.则ME＝AE.∵ C为BD的中点，∴ CM∥BE.则F为AC的中点，即AF＝

FC.11.如图，在△ABC中，D是AC的中点，E是BD的中点，AE的延长线交BC于F.BF

(1)求

FC

(2)若△BEF的面积为S1，四边形CDEF的面积为S2，求S1∶S2的值．

解：(1)过D点作DG∥BC，交AF于G点，∵ E是BD的中点，∴ BE＝DE.又∠EBF＝∠EDG，∠BEF＝∠DEG，∴ △BEF≌△DEG，则BF＝DG，∴ BF∶FC＝DG∶FC.∵ D是AC的中点，则DG∶FC＝1∶2，则BF∶FC＝1∶2.(2)若△BEF以BF为底，△BDC以BC为底，由(1)知BF∶BC＝1∶3，又由BE∶BD

S△BEF111

＝1∶2可知h1∶h2＝1∶2，其中h1、h2分别为△BEF和△BDC的高，则×，S△BDC326

篇4：海南省文昌中学高中数学《几何证明选讲》同步练习 新人教A版选修

1.3.3

函数的最值与导数

一、选择题

1．函数y＝f(x)在区间[a，b]上的最大值是M，最小值是m，若M＝m，则f′(x)()

A．等于0

B．大于0

C．小于0

D．以上都有可能

[答案]　A

[解析]　∵M＝m，∴y＝f(x)是常数函数

∴f′(x)＝0，故应选A.2．设f(x)＝x4＋x3＋x2在[－1,1]上的最小值为()

A．0

B．－2

C．－1

D.[答案]　A

[解析]　y′＝x3＋x2＋x＝x(x2＋x＋1)

令y′＝0，解得x＝0.∴f(－1)＝，f(0)＝0，f(1)＝

∴f(x)在[－1,1]上最小值为0.故应选A.3．函数y＝x3＋x2－x＋1在区间[－2,1]上的最小值为()

A.B．2

C．－1

D．－4

[答案]　C

[解析]　y′＝3x2＋2x－1＝(3x－1)(x＋1)

令y′＝0解得x＝或x＝－1

当x＝－2时，y＝－1；当x＝－1时，y＝2；

当x＝时，y＝；当x＝1时，y＝2.所以函数的最小值为－1，故应选C.4．函数f(x)＝x2－x＋1在区间[－3,0]上的最值为()

A．最大值为13，最小值为

B．最大值为1，最小值为4

C．最大值为13，最小值为1

D．最大值为－1，最小值为－7

[答案]　A

[解析]　∵y＝x2－x＋1，∴y′＝2x－1，令y′＝0，∴x＝，f(－3)＝13，f＝，f(0)＝1.5．函数y＝＋在(0,1)上的最大值为()

A.B．1

C．0

D．不存在[答案]　A

[解析]　y′＝－＝·

由y′＝0得x＝，在上y′>0，在上

y′<0.∴x＝时y极大＝，又x∈(0,1)，∴ymax＝.6．函数f(x)＝x4－4x

(|x|<1)()

A．有最大值，无最小值

B．有最大值，也有最小值

C．无最大值，有最小值

D．既无最大值，也无最小值

[答案]　D

[解析]　f′(x)＝4x3－4＝4(x－1)(x2＋x＋1)．

令f′(x)＝0，得x＝1.又x∈(－1,1)

∴该方程无解，故函数f(x)在(－1,1)上既无极值也无最值．故选D.7．函数y＝2x3－3x2－12x＋5在[0,3]上的最大值和最小值分别是()

A．5，－15

B．5,4

C．－4，－15

D．5，－16

[答案]　A

[解析]　y′＝6x2－6x－12＝6(x－2)(x＋1)，令y′＝0，得x＝2或x＝－1(舍)．

∵f(0)＝5，f(2)＝－15，f(3)＝－4，∴ymax＝5，ymin＝－15，故选A.8．已知函数y＝－x2－2x＋3在[a,2]上的最大值为，则a等于()

A．－

B.C．－

D.或－

[答案]　C

[解析]　y′＝－2x－2，令y′＝0得x＝－1.当a≤－1时，最大值为f(－1)＝4，不合题意．

当－1

9．若函数f(x)＝x3－12x在区间(k－1，k＋1)上不是单调函数，则实数k的取值范围是

()

A．k≤－3或－1≤k≤1或k≥3

B．－3

C．－2

D．不存在这样的实数

[答案]　B

[解析]　因为y′＝3x2－12，由y′>0得函数的增区间是(－∞，－2)和(2，＋∞)，由y′<0，得函数的减区间是(－2,2)，由于函数在(k－1，k＋1)上不是单调函数，所以有k－1<－2

A．[3，＋∞)

B．[－3，＋∞)

C．(－3，＋∞)

D．(－∞，－3)

[答案]　B

[解析]　∵f(x)＝x3＋ax－2在[1，＋∞)上是增函数，∴f′(x)＝3x2＋a≥0在[1，＋∞)上恒成立

即a≥－3x2在[1，＋∞)上恒成立

又∵在[1，＋∞)上(－3x2)max＝－3

∴a≥－3，故应选B.二、填空题

11．函数y＝x＋(1－x)，0≤x≤1的最小值为______．

[答案]

由y′>0得x>，由y′<0得x<.此函数在上为减函数，在上为增函数，∴最小值在x＝时取得，ymin＝.12．函数f(x)＝5－36x＋3x2＋4x3在区间[－2，＋∞)上的最大值________，最小值为________．

[答案]　不存在；－28

[解析]　f′(x)＝－36＋6x＋12x2，令f′(x)＝0得x1＝－2，x2＝；当x>时，函数为增函数，当－2≤x≤时，函数为减函数，所以无最大值，又因为f(－2)＝57，f＝－28，所以最小值为－28.13．若函数f(x)＝(a>0)在[1，＋∞)上的最大值为，则a的值为________．

[答案]　－1

[解析]　f′(x)＝＝

令f′(x)＝0，解得x＝或x＝－(舍去)

当x>时，f′(x)<0；当00；

当x＝时，f(x)＝＝，＝<1，不合题意．

∴f(x)max＝f(1)＝＝，解得a＝－1.14．f(x)＝x3－12x＋8在[－3,3]上的最大值为M，最小值为m，则M－m＝________.[答案]　32

[解析]　f′(x)＝3x2－12

由f′(x)>0得x>2或x<－2，由f′(x)<0得－2

又f(－3)＝17，f(－2)＝24，f(2)＝－8，f(3)＝－1，∴最大值M＝24，最小值m＝－8，∴M－m＝32.三、解答题

15．求下列函数的最值：

(1)f(x)＝sin2x－x；

(2)f(x)＝x＋.[解析](1)f′(x)＝2cos2x－1.令f′(x)＝0，得cos2x＝.又x∈，∴2x∈[－π，π]，∴2x＝±，∴x＝±.∴函数f(x)在上的两个极值分别为

f＝－，f＝－＋.又f(x)在区间端点的取值为

f＝－，f＝.比较以上函数值可得f(x)max＝，f(x)min＝－.(2)∵函数f(x)有意义，∴必须满足1－x2≥0，即－1≤x≤1，∴函数f(x)的定义域为[－1,1]．

f′(x)＝1＋(1－x2)－·(1－x2)′＝1－

.令f′(x)＝0，得x＝

.∴f(x)在[－1,1]上的极值为

f＝＋＝.又f(x)在区间端点的函数值为f(1)＝1，f(－1)＝－1，比较以上函数值可得f(x)max＝，f(x)min＝－1.16．设函数f(x)＝ln(2x＋3)＋x2.求f(x)在区间上的最大值和最小值．

[解析]　f(x)的定义域为.f′(x)＝2x＋＝

＝.当－0；

当－1

当x>－时，f′(x)>0，所以f(x)在上的最小值为

f＝ln2＋.又f－f＝ln＋－ln－＝ln＋＝<0，所以f(x)在区间上的最大值为

f＝ln＋.17．(2010·安徽理，17)设a为实数，函数f(x)＝ex－2x＋2a，x∈R.(1)求f(x)的单调区间及极值；

(2)求证：当a>ln2－1且x>0时，ex>x2－2ax＋1.[分析]　本题考查导数的运算，利用导数研究函数的单调区间，求函数的极值和证明函数不等式，考查运算能力、综合分析和解决问题的能力．

解题思路是：(1)利用导数的符号判定函数的单调性，进而求出函数的极值．(2)将不等式转化构造函数，再利用函数的单调性证明．

[解析](1)解：由f(x)＝ex－2x＋2a，x∈R知f′(x)＝ex－2，x∈R.令f′(x)＝0，得x＝ln2.于是当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：

x

(－∞，ln2)

ln2

(ln2，＋∞)

f′(x)

－

0

＋

f(x)

单调递减

2(1－ln2＋a)

单调递增

故f(x)的单调递减区间是(－∞，ln2)，单调递增区间是(ln2，＋∞)，f(x)在x＝ln2处取得极小值，极小值为f(ln2)＝eln2－2ln2＋2a＝2(1－ln2＋a)．

(2)证明：设g(x)＝ex－x2＋2ax－1，x∈R，于是g′(x)＝ex－2x＋2a，x∈R.由(1)知当a>ln2－1时，g′(x)最小值为g′(ln2)＝2(1－ln2＋a)>0.于是对任意x∈R，都有g′(x)>0，所以g(x)在R内单调递增．

于是当a>ln2－1时，对任意x∈(0，＋∞)，都有g(x)>g(0)．

而g(0)＝0，从而对任意x∈(0，＋∞)，g(x)>0.即ex－x2＋2ax－1>0，故ex>x2－2ax＋1.18．已知函数f(x)＝，x∈[0,1]．

(1)求f(x)的单调区间和值域；

(2)设a≥1，函数g(x)＝x3－3a2x－2a，x∈[0,1]．若对于任意x1∈[0,1]，总存在x0∈[0,1]，使得g(x0)＝f(x1)成立，求a的取值范围．

[解析](1)对函数f(x)求导，得

f′(x)＝＝－

令f′(x)＝0解得x＝或x＝.当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：

x

0

(0，)

(，1)

f′(x)

－

0

＋

f(x)

－



－4



－3

所以，当x∈(0，)时，f(x)是减函数；

当x∈时，f(x)是增函数．

当x∈[0,1]时，f(x)的值域为[－4，－3]．

(2)g′(x)＝3(x2－a2)．

因为a≥1，当x∈(0,1)时，g′(x)<0.因此当x∈(0,1)时，g(x)为减函数，从而当x∈[0,1]时有g(x)∈[g(1)，g(0)]．

又g(1)＝1－2a－3a2，g(0)＝－2a，即x∈[0,1]时有g(x)∈[1－2a－3a2，－2a]．

任给x1∈[0,1]，f(x1)∈[－4，－3]，存在x0∈[0,1]使得g(x0)＝f(x1)成立，则[1－2a－3a2，－2a]⊇[－4，－3]．

即