二次函数增减性和最值

二次函数增减性和最值（精选5篇）

篇1：二次函数增减性和最值

《二次函数的增减性及最值问题》是一节复习课。它是人教版九年级上册《二次函数》的章节复习课第三课时。下面我将从教材的地位与作用、教学任务，教学重难点，学生起点状况，教法学法，教学思想，教学过程设计6个方面来具体说明我对这节课的理解。一教材的地位与作用

《二次函数的增减性及最值问题》是人教版九年级上册《二次函数》的章节复习课第三课时。二次函数函数的增减性及最值问题是初中数学的重要知识点，在学习有关性质的基础上深入理解函数值与自变量的一对多的问题；同时，二次函数的增减性与最值问题是高中重要的衔接内容。二 教学任务分析 我根据《新课标》，结合学生认知水平，将本节课目标制定如下：

教学目标

： 知识目标：理解并掌握以代数为主干的综合题中有关二次函数的增减性及最值问题。

能力目标： 培养学生对于含字母的式子的计算能力及用数形结合分析解决函数问题的能力。提高学生将复杂问题基本化，陌生问题熟悉化的能力。

三 教学重难点分析

重点：二次函数增减性及最值问题；带字母的计算

难点：带字母的计算；二次函数中函数值与自变量之间一对多的问题

四 学生起点状况分析

在此之前，学生已经掌握二次函数图像的性质，并会利用二次函数性质求最值；而且，对于抛物线中的动点问题学生已经掌握较好；同时，对于抛物线中的含动点的三角形面积问题也已经作为专题讲解过。在此基础上，对于典例中以代数为主的综合题，就可以将重点放在二次函数的性质的综合运用上，不会因为动态三角形面积的计算花过多时间与精力，才能突出本节课重点，同时便于突破难点。

五 教法与学法分析 教法分析：在学生探究，讨论的基础上，教师充分利用多媒体进行动画演示，适时讲解点拨，学法分析：探究，交流，动画感知，数形结合，知识升华 六 数学思想方法分析

本节课在教学中向学生渗透的数学思想主要有：转化思想、函数思想、数形结合思想等 七 教学过程设计

基于以上对教材特点和学生情况的分析，为能更好的达成教学目标，我在本节课主要安排以下四个环节。第一环节：铺垫导入，动画感知；第二环节：自主探究，典例剖析；第三环节：合作交流，动画演示；第四环节： 知识小结，知识升华。

第一环节 铺垫导入，动画感知（用ppt）

在这里我设计了两类知识铺垫：一类题一，已知自变量取值范围求函数值的取值范围，自变量的取值范围包括自变量在对称轴一侧及把对称轴包含进去，在学生回答题目的基础上，让学生归纳求最值方法：开口，对称轴，增减性，数形结合，最后动画演示，进一步感知随着自变量的变化二次函数值得变化规律；第二类，看题二，在题一中，给定一个函数值求自变量的值，学生在代数计算的基础上初步明白虽然一个函数值可能有两个自变量对应，但是由于自变量的范围的不同，也就会影响自变量的取值。在此基础上，教师利用动画从图形上感知平行于y轴的直线与抛物线的交点个数进一步明白题二中解的个数。从数到形，以 及从形到数的灵活转换。

第二个题正是为了突破难点而设置，动画的演示就是让学生明白点的个数与不同解的个数的关系，从而将几何问题转化为代数问题。这才能很好运用二次函数的增减性解决最值问题。

第二环节：自主探究，典例剖析 出示典例

这是一个综合性题，求抛物线的解析式时字母较多，二次函数中动点三角形面积的计算。

开始我在想直接把二次函数解析式给出来，直接切入主题。但是我发现二次函数问题必须是一个综合问题，必须培养学生克服望而生畏的情绪，让他们逐渐有成就感。而且计算能力的培养是数学教学中的首要目标。

实际教学中学生在计算中并不顺利，教师可以在学生计算中通过学生交流适时点拨强化平时强调的原则：逐渐减少式子中的字母个数。若有必要教师可以引导计算，从中发现技巧。让学生明白教师是在一定原则下再尝试，结果自然而然就出来了。

当然重点是第三问

二次函数中动点三角形面积的计算。

学生很容易将第三问理解成一个纯粹的几何问题，但是往往计算量大，思维不严密的，结果不正确；但是若想到面积可以得到一个二次函数就可以运用二次函数的增减性及最值解决这个问题，但是学生一般不这样想。

通过学生讨论，逐渐感受

篇2：二次函数增减性和最值

大河镇 件，设所获利润为y元，则y＝（x-2.5）［500+200(13.5-x)］，这样，一个二元二次方程就列出，这也为后面学习二次函数与一元二次方程的关系奠定了基础，针对上述分析，把所列方程整理后，并得到y＝－200x2＋3700x-8000，这里再利用二次函数y＝ax2+bx+c(a≠0)的解析式中a、b、c的大小来确定问题的最值。把问题转化怎样求这个函数的最值问题。

b4acbb4acb根据a>0时，当x=－，y最小＝；a<0时，当x＝－,y最大＝

2a4a2a4a的公式求出最大利润。

例2是面积的最值问题（下节课讲解）

教学反馈：讲得丝丝入扣，大部分学生能听懂，但课后的练习却“不会做”。反思一：本节课在讲解的过程中，不敢花过多的时间让学生争辩交流，生怕时间不够，完成了不教学内容，只能按照自己首先设计好的意图引领学生去完成就行了。实际上，这节课以牺牲学生学习的主动性为代价，让学生被动地接受，去听讲，体现不了学生是学习的主人这一关键环节。

反思二：数学教学的目标不仅是让学生学到一些知识，更重要的是让学生学会运用知识去解决现实问题，让学生“从问题的背景出发，建立数学模型”的基本流程，如例题中，可让学生从“列方程→转化为二次函数解析式→

b4acb当x＝－时，y最大（小）＝→解决问题”，让学生在实践中发现数2a4a学，掌握数学。

篇3：二次函数增减性和最值

关键词：数形结合,值域,最值,应用

在新的教学大纲中, 数形结合的思想方法被作为一种基础的数学思想.历年高考中不乏考查数形结合的试题, 在教材中也十分突出数形结合的内容, 如平面向量、空间向量、线性规划、解析几何等.数形结合思想的应用主要体现在以形释数、以数补形、数形互助上, 并广泛用于解方程、解不等式、求函数值域及最值、解复数和三角问题中.其中, 解有关函数值域和最值的问题最为常见.

例1求函数f (x) =2x+2-3·4x在[-1, 0]上的最大、最小值.

分析观察这个函数我们可以发现, 函数可以化为f (x) =4·2x-3·22x的形式.如果把2x看作一个未知数, 则这个函数就成了一个一元二次函数.

解原函数即:f (x) =4·2x-3·22x.

设t=2x, ∵x∈[-1, 0], ∴, 则原函数即:f (t) =4t-3t2.

如图可知, 当时, y取得最大值, ;当x=1 时, ymin=1.

这一题通过数形结合的方法把求函数最值的代数问题转化成了函数图像, 从而把解题过程大大简化.

例2设P (x, y) 是椭圆4x2+9y2=36上的一个动点, 求2x+3y的最大值.

分析如果把2x+3y看作一个数z, 即z=2x+3y, 这个形式和线性规划的形式比较相像, 再看题设条件, P点在椭圆上移动, 故可以用线性规划的方法求解.

解设z=2x+3y, 则本题可以看作是在椭圆4 x2+9y2=36所限定的区域内求目标函数的最大值.如图, 直线沿着箭头方向平移目标函数值就会增大, 到达与椭圆相切时函数值最大.此时, 设直线方程为2x+3y+c=0, 和椭圆方程联立, 得:

由 (1) 得:, 代入 (2) , 整理, 得:18y2+6cy+c2-36=0.∵直线与椭圆相切, ∴Δ=0.即:c2-4×18× (c2-36) =0, 解得:或 (舍) .代入原方程组, 解得:把, 代入目标函数, 解得最大值为:.

*本例通过把函数式设为目标函数, 把题设条件看作限制条件的方法, 根据具体的几何图形, 解决了求最值的问题.

注:凡是形如ax+by形式或是可以化为这种形式的题都可以考虑运用线性规划的方法加以解决.

对于线性规划的题型, 往往形式不容易看出来, 下面再举个例子加以说明.

例3求函数的最值.

分析在这一题中, 两个根号使我们无法进行下一步思考, 因此考虑把两个根号用其他字母替代, 不妨设, 则原题就变形为求函数u=x+y的最值问题.

消去t可得:, 则原题可看作在椭圆所限制的范围内求目标函数u=x+y的最值.

当然, 数形结合的思想方法的应用还有许许多多的题型, 也应用在许许多多的方面, 由于本人水平有限, 不能一一详细总结, 在此仅仅就求值域和最值的题型阐述一下自己的一得之愚, 恳请各位方家指正.

参考文献

[1]吕兆勇.数形结合快速解答填空题[J].中学生数学, 2008 (21) .

[2]陈圣文.关注二次函数学好二次函数[J].福建中学数学, 2011 (7) .

篇4：二次函数的最值问题研究

一、 定轴动区间

点评：通过以上两个例题发现：区间的长度不变，但由于区间位置的移动，影响二次函数的最值.那为什么求最值有时分三种情况讨论，有时候分两种情况讨论呢？通过观察发现：二次函数的最值总是在区间的端点或二次函数的顶点取到.在例1中，二次函数开口向上，最值在两个端点或函数顶点都可能取到，所以分三种情况讨论；而在例2中，最大值不可能在函数顶点时取得，只有可能在两个端点处取得，所以通过端点与区间中点距离的远近分两种情况来讨论.

点评：在例4中，是二次函数的开口方向和对称轴都在变化，区间不变的最值问题；在例5中，先转化为分段函数，两题都是再根据对称轴与区间的位置关系进行分类讨论即可.在求最值时，分类是关键，结合图形去确定最值比较直观，但对学生的画图能力要求较高.在求二次函数动轴定区间的最值问题时，本质还是研究对称轴与区间的位置关系.

三、 动轴动区间

反思：本题是变轴变区间的类型，仍然从轴与区间的位置关系入手展开讨论.

通过以上几个例题，对于可化为二次函数在某区间上的最值问题，基本分为动轴定区间、定轴动区间以及动轴动区间，三种题型解题思路都可以从二次函数的开口方向，对称轴与区间的位置关系来进行讨论.讨论时要理清思路，必要时画出草图，借助数形结合，可以清晰地进行分类并解决问题.

篇5：二次函数的最值问题

初三：年级 数学：学科 出核人：杨守德 审核人：高阳 时间：12月26日 1．若二次函数y=x－3x＋c图象的顶点在x轴上，则c=（）24411A． B．－ C． D．－

9999222．抛物线y=ax＋bx＋c的对称轴的位置（）

A．与a、b、c有关 B．只与a、b有关 C．只与a有关 D．只与b有关 3．关于二次函数y=x＋4x－7的最大(小)值，下列叙述正确的是（）A．当x＝2时，函数有最大值 B．当x＝2时，函数有最小值 C．当x＝－2时，函数有最大值 D．当x＝－2时，函数有最小值 4．二次函数的图象如图所示，则下列判断错误的是（）

A．a＞0 B．c＜0 C．函数有最小值 D．y随x的增大而减小

5．若所求的二次函数的图象与抛物线y=2x－4x－1有相同的顶点，并且在对称左侧，y随x的增大而增大；在对称轴的右侧，y随x的增大而减小，则所求二次函数的关系式为（）A．y=－x＋2x－4 B．y=ax－ax＋a－3 C．y=－2x－4x－5 D．y=ax－2ax＋a－3（a＜0）6．抛物线y=－222222125x＋3x－的顶点坐标是（）22A．（2，3）B．（3，2）C．（－2，3）D．（－3，2）

7．某商品进货单价为90元，按100元一个出售，能售出500个，如果这种商品涨价1元，其销售额就减少10个，为了获得最大利润，其单价应定为（）A．130元 B．120元 C．110元 D．100元 8．将抛物线y=x＋2x＋1向左平移2个单位，再向上平移2个单位得到的抛物线的最小值是（）A．－3 B．1 C．2 D．3 9．根据二次函数y=（x－1）（x＋2）的图象可知，当x的取值范围是 时，y≤0 10．二次函数y=2x＋x－n的最小值是2，那么n＝

11．抛物线y=2x－4x＋1的开口向，最低点的坐标为

12．抛物线y=ax＋bx＋c在点（3，1）处达到最高点，抛物线与y轴交点的纵坐标为－8，则它的解析式为

13．把二次函数y=2x－4x＋5化成y=a（x－h）＋k的形式是，其图象开口方向，顶点坐标是，当x＝ 时，函数y有最 值，当x 时，y随x的增大而减小。22222214．已知二次函数y=x－6x＋m的最小值为1，那么m的值是

15．已知一个二次函数的顶点为（1，2），且有最大值，请写出满足条件的一个二次函数的关系式

16．心理学家发现学生对概念的接受能力y与提出概念所用时间x（单位：分）之间满足函数关系：y=－0.1x＋2.6x＋43（0≤x≤30），y值越大，表示接受能力越强，当x＝ 时，y有最大值是

17．已知二次函数y有最大值4，且图象与x轴两交点间的距离是8，对称轴为x=3，求此二次函数的表达式。

18．某产品每件的成本是120元，试销阶段每件产品的销售价x（元）与产品的日销售量y（件）之间的关系式y=－x＋200，为获得最大利润，每件产品的销售价应定为多少元？此时每日的销售利润是多少？

19．在一场足球比赛中，一球员从球门正前方10米处将球踢起射向球门，当球飞行的水平距离是6米时，球到达最高点，此时球高3米，已知球门高2.44米，问能否射中球门？

20．如图，在体育测试时，一位初三同学掷铅球，已知铅球所经过的路线是二次函数的一部分，如果这个同学出手点A的坐标为（0，2），铅球路线最高处B的坐标为（6，5）（1）求这条二次函数的解析式；

（2）该生能把铅球掷多远？（精确到0.01米，15≈3.873）

21．某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元，为了扩大销售，增加盈利，尽快减少库存，商场判定采取适当的降价措施，经调查发现，如果每件衬衫每降价1元，商场平均每天可多售出2件