初三数学圆知识点总结和初中数学圆解题技巧

初三数学圆知识点总结和初中数学圆解题技巧（精选7篇）

篇1：初三数学圆知识点总结和初中数学圆解题技巧

初三数学圆知识点总结和初中数学圆解题技巧

初三数学圆知识点总结

一、圆的相关概念

1、圆的定义

在一个个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A随之旋转所形成的图形叫做圆，固定的端点O叫做圆心，线段OA叫做半径。

2、直线圆的与置位关系

1.线直与圆有唯公一共时,点做直叫与圆线切

2.三角的外形圆接的圆叫做三心形角外心

3.弦切角于所等夹弧所对的的圆心角

4.三角的内形圆切的圆叫做三心形角内心

5.垂于直径半直线必为圆的的切线

6.过径半外的点并且垂直端于半的径直线是圆切线

7.垂于直径半直线是圆的的切线

8.圆切线垂的直过切于点半径

3、圆的几何表示

以点O为圆心的圆记作“⊙O”，读作“圆O”

二、垂径定理及其推论

垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧。

推论1：(1)平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧。

(2)弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧。

(3)平分弦所对的一条弧的直径垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧。

推论2：圆的两条平行弦所夹的弧相等。

垂径定理及其推论可概括为：

过圆心

垂直于弦

直径平分弦 知二推三

平分弦所对的优弧

平分弦所对的劣弧

三、弦、弧等与圆有关的定义

1、弦

连接圆上任意两点的线段叫做弦。(如图中的AB)

2、直径

经过圆心的弦叫做直径。(如途中的CD)

直径等于半径的2倍。

3、半圆

圆的任意一条直径的两个端点分圆成两条弧，每一条弧都叫做半圆。

4、弧、优弧、劣弧

圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧。

弧用符号“⌒”表示，以A，B为端点的弧记作“ ”，读作“圆弧AB”或“弧AB”。

大于半圆的弧叫做优弧(多用三个字母表示);小于半圆的弧叫做劣弧(多用两个字母表示)

四、圆的对称性

1、圆的轴对称性

圆是轴对称图形，经过圆心的每一条直线都是它的对称轴。

2、圆的中心对称性

圆是以圆心为对称中心的中心对称图形。

五、弧、弦、弦心距、圆心角之间的关系定理

1、圆心角

顶点在圆心的角叫做圆心角。

2、弦心距

从圆心到弦的距离叫做弦心距。

3、弧、弦、弦心距、圆心角之间的关系定理

在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦想等，所对的弦的弦心距相等。

推论：在同圆或等圆中，如果两个圆的圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等。

六、圆周角定理及其推论

1、圆周角

顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角叫做圆周角。

2、圆周角定理

一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。

推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等;同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也相等。

推论2：半圆(或直径)所对的圆周角是直角;90°的圆周角所对的弦是直径。

推论3：如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形。

七、点和圆的位置关系

设⊙O的半径是r，点P到圆心O的距离为d，则有：

d＜r点P在圆内

d=r 点P在⊙O上;

d>r 点P在⊙O外。

八、过三点的圆

1、过三点的圆

不在同一直线上的三个点确定一个圆。

2、三角形的外接圆

经过三角形的三个顶点的圆叫做三角形的外接圆。

3、三角形的外心

三角形的外接圆的圆心是三角形三条边的垂直平分线的交点，它叫做这个三角形的外心。

4、圆内接四边形性质(四点共圆的判定条件)

圆内接四边形对角互补。

九、反证法

先假设命题中的结论不成立，然后由此经过推理，引出矛盾，判定所做的假设不正确，从而得到原命题成立，这种证明方法叫做反证法。

十、直线与圆的位置关系

直线和圆有三种位置关系，具体如下：

(1)相交：直线和圆有两个公共点时，叫做直线和圆相交，这时直线叫做圆的割线，公共点叫做交点;

(2)相切：直线和圆有唯一公共点时，叫做直线和圆相切，这时直线叫做圆的切线，(3)相离：直线和圆没有公共点时，叫做直线和圆相离。

如果⊙O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d,那么：

直线l与⊙O相交 d

直线l与⊙O相切 d=r;

直线l与⊙O相离 d>r;

十一、切线的判定和性质

1、切线的判定定理

经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。

2、切线的性质定理

圆的切线垂直于经过切点的半径。

十二、切线长定理

1、切线长

在经过圆外一点的圆的切线上，这点和切点之间的线段的长叫做这点到圆的切线长。

2、切线长定理

从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角。

十三、圆和圆的位置关系

1、圆和圆的位置关系

如果两个圆没有公共点，那么就说这两个圆相离，相离分为外离和内含两种。

如果两个圆只有一个公共点，那么就说这两个圆相切，相切分为外切和内切两种。

如果两个圆有两个公共点，那么就说这两个圆相交。

2、圆心距

两圆圆心的距离叫做两圆的圆心距。

3、圆和圆位置关系的性质与判定

设两圆的半径分别为R和r，圆心距为d，那么

两圆外离 d>R+r

两圆外切 d=R+r

两圆相交 R-r

两圆内切 d=R-r(R>r)

两圆内含 dr)

4、两圆相切、相交的重要性质

如果两圆相切，那么切点一定在连心线上，它们是轴对称图形，对称轴是两圆的连心线;相交的两个圆的连心线垂直平分两圆的公共弦。十四、三角形的内切圆

1、三角形的内切圆

与三角形的各边都相切的圆叫做三角形的内切圆。

2、三角形的内心

三角形的内切圆的圆心是三角形的三条内角平分线的交点，它叫做三角形的内心。

十五、与正多边形有关的概念

1、正多边形的中心

正多边形的外接圆的圆心叫做这个正多边形的中心。

2、正多边形的半径

正多边形的外接圆的半径叫做这个正多边形的半径。

3、正多边形的边心距

正多边形的中心到正多边形一边的距离叫做这个正多边形的边心距。

4、中心角

正多边形的每一边所对的外接圆的圆心角叫做这个正多边形的中心角。

十六、正多边形和圆

1、正多边形的定义

各边相等，各角也相等的多边形叫做正多边形。

2、正多边形和圆的关系

只要把一个圆分成相等的一些弧，就可以做出这个圆的内接正多边形，这个圆就是这个正多边形的外接圆。

十七、正多边形的对称性

1、正多边形的轴对称性

正多边形都是轴对称图形。一个正n边形共有n条对称轴，每条对称轴都通过正n边形的中心。

2、正多边形的中心对称性

边数为偶数的正多边形是中心对称图形，它的对称中心是正多边形的中心。

3、正多边形的画法

先用量角器或尺规等分圆，再做正多边形。

十八、弧长和扇形面积

1、弧长公式

n°的圆心角所对的弧长l的计算公式为

2、扇形面积公式

其中n是扇形的圆心角度数，R是扇形的半径，l是扇形的弧长。

3、圆锥的侧面积

其中l是圆锥的母线长，r是圆锥的地面半径。

初中数学圆解题技巧

半径与弦长计算，弦心距来中间站。圆上若有一切线，切点圆心半径连。

切线长度的计算，勾股定理最方便。要想证明是切线，半径垂线仔细辨。

是直径，成半圆，想成直角径连弦。弧有中点圆心连，垂径定理要记全。

圆周角边两条弦，直径和弦端点连。弦切角边切线弦，同弧对角等找完。

要想作个外接圆，各边作出中垂线。还要作个内接圆，内角平分线梦圆。

如果遇到相交圆，不要忘作公共弦。内外相切的两圆，经过切点公切线。

若是添上连心线，切点肯定在上面。要作等角添个圆，证明题目少困难。

辅助线，是虚线，画图注意勿改变。假如图形较分散，对称旋转去实验。

基本作图很关键，平时掌握要熟练。解题还要多心眼，经常总结方法显。

切勿盲目乱添线，方法灵活应多变。分析综合方法选，困难再多也会减。

虚心勤学加苦练，成绩上升成直线。

篇2：初三数学圆知识点总结和初中数学圆解题技巧

圆知识点总结

一、本章知识框架

二、本章重点

1．圆的定义：

(1)线段OA绕着它的一个端点O旋转一周，另一个端点A所形成的封闭曲线，叫做圆．

(2)圆是到定点的距离等于定长的点的集合．

2．判定一个点P是否在⊙O上．

设⊙O的半径为R，OP＝d，则有

d>r点P在⊙O

外；

d＝r点P在⊙O

上；

d

内．

3．与圆有关的角

(1)圆心角：顶点在圆心的角叫圆心角．

圆心角的性质：圆心角的度数等于它所对的弧的度数．

(2)圆周角：顶点在圆上，两边都和圆相交的角叫做圆周角．

圆周角的性质：

①圆周角等于它所对的弧所对的圆心角的一半．

②同弧或等弧所对的圆周角相等；在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等．

③90°的圆周角所对的弦为直径；半圆或直径所对的圆周角为直角．

④如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形．

⑤圆内接四边形的对角互补；外角等于它的内对角．

(3)弦切角：顶点在圆上，一边和圆相交，另一边和圆相切的角叫弦切角．

弦切角的性质：弦切角等于它夹的弧所对的圆周角．

弦切角的度数等于它夹的弧的度数的一半．

4．圆的性质：

(1)旋转不变性：圆是旋转对称图形，绕圆心旋转任一角度都和原来图形重合；圆是中心对称图形，对称中心是圆心．

在同圆或等圆中，两个圆心角，两条弧，两条弦，两条弦心距，这四组量中的任意一组相等，那么它所对应的其他各组分别相等．

(2)轴对称：圆是轴对称图形，经过圆心的任一直线都是它的对称轴．

垂径定理及推论：

(1)垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．

(2)平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧．

(3)弦的垂直平分线过圆心，且平分弦对的两条弧．

(4)平分一条弦所对的两条弧的直线过圆心，且垂直平分此弦．

(5)平行弦夹的弧相等．

5．三角形的内心、外心、重心、垂心

(1)三角形的内心：是三角形三个角平分线的交点，它是三角形内切圆的圆心，在三角形内部，它到三角形三边的距离相等，通常用“I”表示．

(2)三角形的外心：是三角形三边中垂线的交点，它是三角形外接圆的圆心，锐角三角形外心在三角形内部，直角三角形的外心是斜边中点，钝角三角形外心在三角形外部，三角形外心到三角形三个顶点的距离相等，通常用O表示．

(3)三角形重心：是三角形三边中线的交点，在三角形内部；它到顶点的距离是到对边中点距离的2倍，通常用G表示．

(4)垂心：是三角形三边高线的交点．

6．切线的判定、性质：

(1)切线的判定：

①经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线．

②到圆心的距离d等于圆的半径的直线是圆的切线．

(2)切线的性质：

①圆的切线垂直于过切点的半径．

②经过圆心作圆的切线的垂线经过切点．

③经过切点作切线的垂线经过圆心．

(3)切线长：从圆外一点作圆的切线，这一点和切点之间的线段的长度叫做切线长．

(4)切线长定理：从圆外一点作圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角．

7．圆内接四边形和外切四边形

(1)四个点都在圆上的四边形叫圆的内接四边形，圆内接四边形对角互补，外角等于内对角．

(2)各边都和圆相切的四边形叫圆外切四边形，圆外切四边形对边之和相等．

8．直线和圆的位置关系：

设⊙O

半径为R，点O到直线l的距离为d．

(1)直线和圆没有公共点直线和圆相离d>R．

(2)直线和⊙O有唯一公共点直线l和⊙O相切d＝R．

(3)直线l和⊙O

有两个公共点直线l和⊙O

相交d

9．圆和圆的位置关系：

设的半径为R、r(R>r)，圆心距．

(1)没有公共点，且每一个圆上的所有点在另一个圆的外部外离d>R＋r．

(2)没有公共点，且的每一个点都在外部内含d

(3)有唯一公共点，除这个点外，每个圆上的点都在另一个圆外部外切d＝R＋r．

(4)有唯一公共点，除这个点外，的每个点都在内部内切d＝R－r．

(5)有两个公共点相交R－r

10．两圆的性质：

(1)两个圆是一个轴对称图形，对称轴是两圆连心线．

(2)相交两圆的连心线垂直平分公共弦，相切两圆的连心线经过切点．

11．圆中有关计算：

圆的面积公式：，周长C＝2πR．

圆心角为n°、半径为R的弧长．

圆心角为n°，半径为R，弧长为l的扇形的面积．

弓形的面积要转化为扇形和三角形的面积和、差来计算．

圆柱的侧面图是一个矩形，底面半径为R，母线长为l的圆柱的体积为，侧面积为2πRl，全面积为．

圆锥的侧面展开图为扇形，底面半径为R，母线长为l，高为h的圆锥的侧面积为πRl，全面积为，母线长、圆锥高、底面圆的半径之间有．

【经典例题精讲】

例1

如图23-2，已知AB为⊙O直径，C为上一点，CD⊥AB于D，∠OCD的平分线CP交⊙O于P，试判断P点位置是否随C点位置改变而改变？

分析：要确定P点位置，我们可采用尝试的办法，在上再取几个符合条件的点试一试，观察P点位置的变化，然后从中观察规律．

解：

连结OP，P点为中点．

小结：此题运用垂径定理进行推断．

例2

下列命题正确的是（）

A．相等的圆周角对的弧相等

B．等弧所对的弦相等

C．三点确定一个圆

D．平分弦的直径垂直于弦．

解：

A．在同圆或等圆中相等的圆周角所对的劣弧相等，所以A不正确．

B．等弧就是在同圆或等圆中能重合的弧，因此B正确．

C．三个点只有不在同一直线上才能确定一个圆．

D．平分弦(不是直径)的直径垂直于此弦．

故选B．

例3

四边形ABCD内接于⊙O，∠A︰∠B︰∠C＝1︰2︰3，求∠D．

分析：圆内接四边形对角之和相等，圆外切四边形对边之和相等．

解：

设∠A＝x，∠B＝2x，∠C＝3x，则∠D＝∠A＋∠C－∠B＝2x．

x＋2x＋3x＋2x＝360°，x＝45°．

∴∠D＝90°．

小结：此题可变形为：四边形ABCD外切于⊙O，周长为20，且AB︰BC︰CD＝1︰2︰3，求AD的长．

例4

为了测量一个圆柱形铁环的半径，某同学采用如下方法：将铁环平放在水平桌面上，用一个锐角为30°的三角板和一个刻度尺，用如图23-4所示方法得到相关数据，进而可以求得铁环半径．若测得PA＝5cm，则铁环的半径是__________cm．

分析：测量铁环半径的方法很多，本题主要考查切线长性质定理、切线性质、解直角三角形的知识进行合作解决，即过

P点作直线OP⊥PA，再用三角板画一个顶点为A、一边为AP、大小为60°的角，这个角的另一边与OP的交点即为圆心O，再用三角函数知识求解．

解：

．

小结：应用圆的知识解决实际问题，应将实际问题变成数学问题，建立数学模型．

例5

已知相交于A、B两点，的半径是10，的半径是17，公共弦AB＝16，求两圆的圆心距．

解：分两种情况讨论：

(1)若位于AB的两侧(如图23-8)，设与AB交于C，连结，则垂直平分AB，∴．

又∵AB＝16

∴AC＝8．

在中，．

在中，．

故．

(2)若位于AB的同侧(如图23-9)，设的延长线与AB交于C，连结．

∵垂直平分AB，∴．

又∵AB＝16，∴AC＝8．

在中，．

在中，．

故．

注意：在圆中若要解两不等平行弦的距离、两圆相切、两圆相离、一个点到圆上各点的最大距离和最小距离、相交两圆圆心距等问题时，要注意双解或多解问题．

三、相关定理：

1.相交弦定理

圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等。（经过圆内一点引两条线，各弦被这点所分成的两段的积相等）

说明：几何语言：　　若弦AB、CD交于点P，则PA·PB=PC·PD（相交弦定理）

例1．

已知P为⊙O内一点，⊙O半径为，过P任作一弦AB，设，则关于的函数关系式为。

解：由相交弦定理得，即，其中

2.切割线定理

推论：如果弦与直径垂直相交，那么弦的一半是它分直径所成的两条线段的比例中项

说明：几何语言：若AB是直径，CD垂直AB于点P，则PC^2=PA·PB

例2．

已知PT切⊙O于T，PBA为割线，交OC于D，CT为直径，若OC=BD=4cm，AD=3cm，求PB长。

解：设TD=，BP=，由相交弦定理得：

即，（舍）

由切割线定理，由勾股定理，∴

∴

∴

四、辅助线总结

1.圆中常见的辅助线

1）．作半径，利用同圆或等圆的半径相等．

2）．作弦心距，利用垂径定理进行证明或计算，或利用“圆心、弧、弦、弦心距”间的关系进行证明．

3）．作半径和弦心距，构造由“半径、半弦和弦心距”组成的直角三角形进行计算．

4）．作弦构造同弧或等弧所对的圆周角．

5)．作弦、直径等构造直径所对的圆周角——直角．

6)．遇到切线，作过切点的弦，构造弦切角．

7)．遇到切线，作过切点的半径，构造直角．

8)．欲证直线为圆的切线时，分两种情况：(1)若知道直线和圆有公共点时，常连结公共点和圆心证明直线垂直；(2)不知道直线和圆有公共点时，常过圆心向直线作垂线，证明垂线段的长等于圆的半径．

9)．遇到三角形的外心常连结外心和三角形的各顶点．

10)．遇到三角形的内心，常作：(1)内心到三边的垂线；(2)连结内心和三角形的顶点．

11)．遇相交两圆，常作：(1)公共弦；(2)连心线．

12)．遇两圆相切，常过切点作两圆的公切线．

13)．求公切线时常过小圆圆心向大圆半径作垂线，将公切线平移成直角三角形的一条直角边．

2、圆中较特殊的辅助线

1)．过圆外一点或圆上一点作圆的切线．

2)．将割线、相交弦补充完整．

3)．作辅助圆．

例1如图23-10，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为E，如果AB＝10，CD＝8，那么AE的长为（）

A．2

B．3

C．4

D．5

分析：连结OC，由AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB知CD＝DE．设AE＝x，则在Rt△CEO中，即，则，(舍去)．

答案：A．

例2如图23-11，CA为⊙O的切线，切点为A，点B在⊙O上，如果∠CAB＝55°，那么∠AOB等于（）

A．35°

B．90°

C．110°

D．120°

分析：由弦切角与所夹弧所对的圆心角的关系可以知道∠AOB＝2∠BAC＝2×55°＝110°．答案：C．

例3

如果圆柱的底面半径为4cm，母线长为5cm，那么侧面积等于（）

A．

B．

C．

D．

分析：圆柱的侧面展开图是矩形，这个矩形的一边长等于圆柱的高，即圆柱的母线长；另一边长是底面圆的周长，所以圆柱的侧面积等于底面圆的周长乘以圆柱的高，即．答案：B．

例4

如图23-12，在半径为4的⊙O中，AB、CD是两条直径，M为OB的中点，延长CM交⊙O于E，且EM>MC，连结OE、DE，．

求：EM的长．

简析：(1)由DC是⊙O的直径，知DE⊥EC，于是．设EM＝x，则AM·MB＝x(7－x)，即．所以．而EM>MC，即EM＝4．

例5如图23-13，AB是⊙O的直径，PB切⊙O于点B，PA交⊙O于点C，PF分别交AB、BC于E、D，交⊙O于F、G，且BE、BD恰好是关于x的方程(其中m为实数)的两根．

(1)求证：BE＝BD；

(2)若，求∠A的度数．

简析：(1)由BE、BD是关于x的方程的两根，得，则m＝－2．所以，原方程为．得．故BE＝BD．

篇3：初中数学圆知识点总结

n°的圆心角所对的弧长l的计算公式为L=nπr／180

2、扇形面积公式,其中n是扇形的圆心角度数,R是扇形的半径,l是扇形的弧长.

S=﹙n／360﹚πR2=1／2×lR

3、圆锥的侧面积,其中l是圆锥的母线长,r是圆锥的地面半径.

S=1／2×l×2πr=πrl

4.圆是轴对称图形，直径所在的直线是它的对称轴，圆有无数条对称轴。

5.垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧。

推论：平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧。

说明：根据垂径定理与推论可知对于一个圆和一条直线来说，如果具备：

①过圆心;②垂直于弦;③平分弦;④平分弦所对的优弧;⑤平分弦所对的劣弧。

上述五个条件中的任何两个条件都可推出其他三个结论。

6.定理：在同圆或等圆中,相等的圆心角所对弧相等、所对的弦相等、所对的弦心距相等。

推论:在同圆或等圆中,如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等,那么它们所对应的其余各组量都分别相等.

4、弦切角定理

弦切角：圆的切线与经过切点的弦所夹的角,叫做弦切角.

弦切角定理：弦切角等于弦与切线夹的弧所对的圆周角.

二.圆周角和圆心角的关系:

1.圆周角的定义:顶点在圆上,并且两边都与圆相交的角,叫做圆周角.

2.圆周角定理;一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半.

推论1:同弧或等弧所对圆周角相等;反之，在同圆或等圆中，相等圆周角所对弧也相等;

篇4：初三数学圆的总结

圆的基础知识(1)圆的有关概念：

弦，弧，半圆，弓形，弓形高，等弧(隐含同圆等圆)，弦心距，直径等。

(2)圆的确定

圆心决定位置，半径决定大小，不共线的三点确定一个圆。注意：作图(两边中垂线找交点)，外心的位置，外心到三角形各顶点距离等

圆的对称性：轴对称，中心对称，旋转不变性

2.圆与其它图形

(1)点与圆三种

(2)直线与圆

相离dr

①一条直线与圆三种相切dr

相交d

r②两条直线与圆有关的角：圆周角，弦切角，圆外角等比例线段：圆幂定理等

③三条直线与圆即三角形与圆

三角形“四心”的区别：垂心意义三条高的交点性质等式积：位置锐角三角形：内部直角三角形：直角顶点钝角三角形：外部必在三角形内部ahabhbchc重心三条中线的交点同一中线上重心到顶点的距离是它到该顶点的对边距离的2倍外心

1.外接圆的圆心

2.三边中垂线的交点

3.内切圆的圆心

4.三条角平分线的交点到三角形三顶点距离相等锐角三角形：内部直角三角形：斜边中点钝角三角形：外部到三角形三边距离相等与顶点连线平分该内角必在三角形内部内心

④四条直线与圆为180内切四边形：对角之和的和相等外切四边形：两组对边

(3)两圆与直线

两圆外切时连心线过内公切线切点与该切线垂直。两圆内切时连心线过切点，垂直于过切点的切线。

两圆相交时，连心线垂直于公共弦，并且平分公共弦。

3.圆与圆的位置关系：

(1).掌握圆与圆的.五种位置关系，类比于点与圆，直线与圆的位置关系，能通过两圆半径r1，r2及圆心距d三者的数量关系，判断两圆位置关系，或通过位置关系，判断数量关系。

(2).在数轴上表示当d在不同位置时，两圆的位置关系。

(3).在证明两圆的或多圆的图形时，常加的辅助线：公共弦、公切线;圆心距，连心线。

(4).当两圆相交时，连心线垂直平分公共弦。当两圆内切时，连心线垂直于公切线。当两圆外切时，连心线垂直于内公切线。

(5).公切线是指两个圆公共的切线，如果两圆在公切线同旁则称外公切线，如果两圆在公切线两旁则称内切线。公切线上两切点间线段的长叫公切线长。(Rr)(外离时)

(6).如图内公切线长d(Rr)(外离、外切、相交时)外公切线长dd圆心距

R大圆半径

r小圆半径

R≥r

2222

内公切线Rr夹角一半sin

d的正弦值

外公切线Rr夹角一半sin

d的正弦值

(7).公切线条数①内含0条0dRr②内切1条dRr③相交2条RrdRr④外切3条dRr⑤外离4条dRr4,定理

(1)垂径定理及推论：过圆心;垂直弦;平分弦(非直径);平分优弧;平分劣弧;知2求3。

(2)圆心角，弦，弦心距，弧之间关系：同圆等圆中知1得3。

(3)与圆有关的角：圆心角，圆周角，弦切角，圆内角，圆外角，圆内接四边形外角，内对角，对角

1.一条弧所对圆周角等于它所对的圆心角的一它所对弧度数的一半半，圆周角的度数等于角相等;

2.同弧或等弧所对的圆周圆周角的性质相等的圆周角所对的弧也相等

3.直径所对的圆周角是直角，90的圆周角所对的弦是直角

(4)切线的判定、性质：

①判定：常见的证法连半径，证垂直，判断切线，“连垂切”或作垂直证d=r

②性质：若一条直线满足过圆心、过切点，垂直于切线中任意两条，可得另外一条。常见“切连垂”

(5)和圆有关的比例线段：

相交弦定理及推论，切割线定理及推论，圆幂定理

5.和圆有关的计算

(1)求线段

①直径、半径

②垂径定理：求弦长、弦心距、拱高

③切线长、公切线长(外公切线长，内公切线长)

④直角三角形内切圆半径

⑤任意三角形内切圆半径与面积、周长的关系

⑥等边三角形内切圆半径：外接圆半径=1：2

⑦与圆有关的比例线段、弦长、切线长等

(2)求角

圆心角，圆周角，弦切角，两切线夹角，公切线夹角

6.常见辅助线

半径、直径、弦心距、“切连垂”、连心线、公共弦、公切线

7.圆中常见图形

直角三角形等腰三角形圆内接四边形相似三角形

8.正多边形和圆

(n2)180正n边形的内角和为(n2)180有n个相等的内角，每个内角的度数为

n注意：正多边形的外交和始终为3609.弧长公式：lnR

篇5：中考数学圆知识点总结

了解不在同一条直线上的三个点确定一个圆，以及过不在同一条直线上的三个点作圆的方法，了解三角形的外接圆、三角形的外心等概念.

(二)能力训练要求

1.经历不在同一条直线上的三个点确定一个圆的探索过程，培养学生的探索能力.

2.通过探索不在同一条直线上的三个点确定一个圆的问题，进一步体会解决数学问题的策略.

(三)情感与价值观要求

1.形成解决问题的一些基本策略，体验解决问题策略的多样性，发展实践能力与创新精神.

2.学会与人合作，并能与他人交流思维的过程和结果.

教学重点

1.经历不在同一条直线上的三个点确定一个圆的探索过程，并能掌握这个结论.

2.掌握过不在同一条直线上的三个点作圆的方法.

3.了解三角形的外接圆、三角形的外心等概念.

教学难点

经历不在同一条直线上的三个点确定一个圆的探索过程，并能过不在同一条直线上的三个点作圆.

教学方法

教师指导学生自主探索交流法.

教具准备

投影片三张

第一张：(记作§3.4A)

第二张：(记作§3.4B)

第三张：(记作 §3.4C)

教学过程

Ⅰ.创设问题情境，引入新课

[师]我们知道经过一点可以作无数条直线，经过两点只能作一条直线.那么，经过一点能作几个圆?经过两点、三点……呢?本节课我们将进行有关探索.

Ⅱ.新课讲解

1.回忆及思考

投影片(§3.4A)

1.线段垂直平分线的性质 及作法.

2.作圆的关键是什么?

[生]1.线段垂直平分线的性质是：线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等.

作法：如下图，分别以A、B为圆心，以大于 AB长为半径画弧，在AB的两侧找出两交点C、D，作直线CD，则直线CD就是线段A B的垂直平分线，直线CD上的任一点到A与B的距离相等.

[师]我们知道圆的定义是：平面上到定点的距离等于定长的所有点组成的图形叫做圆.定点即为圆心，定长即为半径.根据定义大家觉得作圆的关键是什么?

[生]由定义可知，作圆的问题实质上就是圆心和半径的问题.因此作圆的关键是确定圆心和半径的大小.确定了圆心和半径，圆就随之确定.

2.做一做(投影片§3.4B)

(1)作圆，使它经过已知点A，你能作出几个这样的圆?

(2)作圆，使它经过已知点A、B.你是如何作的?你能作出几个这样的圆?其圆心的分布有什么特点?与线段AB有什么关系?为什么?

(3)作圆，使它经过已知点A、B、C(A、B、C三点不在同一条直线上).你是如何作的?你能作出几个这样的圆?

[师]根据刚才我们的分析已知，作圆的关键是确定圆心和半径，下面请大家互相交换意见并作出解答.

[生](1)因为作圆实质上是确定圆心和半径，要经过已知点A作圆，只要圆心确定下来，半径就随之确定了下来.所以以点A以外的任意一点为圆心，以这一点与点A所连的线段为半径就可以作一个圆. 由于圆心是任意的.因此这样的圆有无数个.如图(1).

(2)已 知点A、B都在圆上，它们到圆心的距离都等于半径.因此 圆心到A、B的距离相等.根据前面提到过的线段的垂直平分线的性质可知，线段的垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等，则圆心应在线段AB的垂直平分线上.在AB的垂直平分线上任 意取一点，都能满足到A、B两点的距离相等，所以在AB的垂直平分线上任取一点都可以作为圆心，这点到A的距离即为半径.圆就确定下来了.由于线段AB的垂直平分线上有无数点，因此有无数个圆心，作出的圆有无数个.如图(2).

(3)要作一个圆经过A、B、C三点，就是要确定一个点作为圆心，使它到三点的距离相等.因为到A、B两点距离相等的点的集合是线段AB的垂直平分线，到B、C两点距离相等的点的集合是线段BC的垂直平分线，这两条垂直平分线的交点满足到A、B、C三 点的距离相等，就是所作圆的圆心.

因为两条直线的交点只有一个，所以只有一个圆心，即只能作出一个满足条件的圆.

[师]大家的分析很有道理，究竟应该怎样找圆心呢?

3.过不在同一条直线上的三点作圆.

投影 片(§3.4C)

作法图示

1.连结AB、BC

2.分别作AB、BC的垂直

平分线DE和FG，DE和

FG相交于点O

3.以O为圆心，OA为半径作圆

⊙O就是所要求作的圆

他作的圆符合要求吗?与同伴交流.

[生]符合要求.

因为连结AB，作AB的垂直平分线ED，则ED上任意一点到A、B的距离相等;连结BC，作BC的垂直平分线FG，则FG上的任一点到B、C的距离相等.ED与FG的满足条件.

[师]由上可 知，过已知一点可作无数个圆.过已知两点也可作无数个圆，过不在同一条直线上的三点可以作一个圆，并且只能作一个圆.

不在同一直线上的三个点确定一个圆.

4.有关定义

由上可知，经过三角形的三个顶点可以作一个 圆，这个圆叫做三角形的外接圆(circumcircle of triangle)，这个 三角形叫这个圆的内接三角形.

外接圆的圆心是三角形三边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心(circumcenter).

Ⅲ.课堂练习

已知锐角三角形、直角三角形、钝角三角形，分别作出它们的外接圆，它们外心的位置有怎样的特点?

解：如下图.

O为外接圆的圆心，即外心.

锐角三角形的外心在三角形的内部，直角三角形的外心在斜边上，钝角三角形的外心在三角形的外部.

Ⅳ.课时小结

本节课所学内容如下：

1.经历不在同一条直线上的 三个点确定一个圆的探索过程.

方法.

3.了解三角形的外接圆，三角形的外心等概念.

Ⅴ.课后作业

习题3.6

Ⅵ.活动与探究

如下图，CD所在的直线垂直平分线段AB.怎样使用这样的工具找到圆形工件的圆心?

解：因为A、B两点在圆上，所以圆心必与A、B两点的距离相等，又因为和一条线段的两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上，所以圆心在CD所在的直线上.因此使用这样的工具可以作出圆形工件的任意两条直径.它们的交点就是圆心.

1.中考数学知识点考点汇总

2.中考数学函数公式总结

3.中考数学统计公式总结

4.2017中考数学答题技巧总结

5.中考数学答题技巧总结

6.2017初中数学知识点总结

7.2017安徽中考数学试题及答案

8.2017南京中考数学试题及答案

9.2017无锡中考数学试题及答案

篇6：初三圆知识点总结

1.点的轨迹是符合某些条件的所有点组成的图形.

注：分析点的轨迹图形时，先描出几个符合条件的点，再猜想这些点会构成什么图形.

2.垂径定理：过圆心且垂直于弦的直线，平分这条弦，且平分弦所对的弧.

注：用于计算时，一般先连结过弦的一个端点的半径，

构造Rt△，再结合勾股定理求解.

3.推论：圆中两平行弦所夹的弧相等.

4.同圆或等圆中，以下四个条件中的一个成立，则它们所对应的其余条件都成立：

(1)弧相等;(2)弦相等;(3)圆心角相等;(4)弦心距相等.

5.圆周角定理：一条弧所对的圆周角=它所对的圆心角的一半.

或：一条弧所对的周角的度数=这条弧的度数的一半.

6.推论1：同弧(或等弧)所对的圆周角相等.

逆：同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等.

7.推论2：直径所对的圆周角是直角.

逆：90°的圆周角所对的弦是直径.

8.(1)圆内接四边形，对角互补;

(2)圆内接四边形，任一外角等于它的内对角.

9.圆中要确定圆周角与圆周角(或圆周角与圆心角)的关系通常先观察它们所对的弧.

10.(1)要经过两点作圆，圆心在两点连线段的垂直平分线上;

篇7：高二数学圆知识点

圆--⊙半径—r弧--⌒直径—d

扇形弧长/圆锥母线—l周长—C面积—S三、有关圆的基本性质与定理(27个)

1.点P与圆O的位置关系(设P是一点，则PO是点到圆心的距离)：

P在⊙O外，PO>r;P在⊙O上，PO=r;P在⊙O内，PO

2.圆是轴对称图形，其对称轴是任意一条过圆心的直线。圆也是中心对称图形，其对称中心是圆心。

3.垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧。逆定

理：平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧。

4.在同圆或等圆中，如果2个圆心角，2个圆周角，2条弧，2条弦中有一组量相等，那么他们所对应的其余各组量都分别相等。

5.一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。

6.直径所对的圆周角是直角。90度的圆周角所对的弦是直径。

7.不在同一直线上的3个点确定一个圆。

8.一个三角形有确定的外接圆和内性病M饨釉苍残氖侨切胃鞅叽怪逼椒窒叩慕坏悖饺切3个顶点距离相等;内切圆的圆心是三角形各内角平分线的交点，到三角形3边距离相等。

9.直线AB与圆O的位置关系(设OP⊥AB于P，则PO是AB到圆心的距

离)：

AB与⊙O相离，PO>r;AB与⊙O相切，PO=r;AB与⊙O相交，PO

10.圆的切线垂直于过切点的直径;经过直径的一端，并且垂直于这条直径的直线，是这个圆的切线。

11.圆与圆的位置关系(设两圆的半径分别为R和r，且R≥r，圆心距为P)：

外离P>R+r;外切P=R+r;相交R-r

有关圆的计算公式

1.圆的周长C=2πr=πd

2.圆的面积S=s=πr?

3.扇形弧长l=nπr/180

4.扇形面积S=nπr?/360=rl/2