CH5 大数定律及中心极限定理--练习题

CH5 大数定律及中心极限定理--练习题（精选9篇）

篇1：CH5 大数定律及中心极限定理--练习题

CH5 大数定律及中心极限定理

1.设Ф(x)为标准正态分布函数，Xi=

1001,事件A发生；0,事件A不发生，i=1，2，…，100，且P(A)=0.8,X1,X2,…,X100

相互独立。令Y=

i1Xi，则由中心极限定理知Y的分布函数F(y)近似于（）

y80

4A.Ф(y)

2.从一大批发芽率为0.9的种子中随机抽取100粒,则这100粒种子的发芽率不低于88%的概率约为.(已知φ(0.67)=0.7486)

3.设随机变量X1，X2，…，Xn，…独立同分布，且i=1，2…，0

nB.Ф()C.Ф(16y+80)D.Ф(4y+80)

Yn

i1Xi,n1，2，.Φ（x）为标准正态分布函数，则limPn1（）np(1p)Ynnp

A．0B．Φ（1）C．1－Φ（1）D．1

4.设

5.设X服从(-1,1)上的均匀分布，试用切比雪夫不等式估计

6.设

7.报童沿街向行人兜售报纸，设每位行人买报纸的概率为0.2，且他们买报纸与否是相互独立的。试求报童在想100为行人兜售之后，卖掉报纸15到30份的概率

8.一个复杂系统由n个相互独立的工作部件组成，每个部件的可靠性（即部件在一定时间内无故障的概率）为0.9，且必须至少有80%的部件工作才能使得整个系统工作。问n至少为多少才能使系统的可靠性为0.95

9.某人有100个灯泡，每个灯泡的寿命为指数分布，其平均寿命为5小时。他每次用一个灯泡，灯泡灭了之后立即换上一个新的灯泡。求525小时之后他仍有灯泡可用的概率近似值相互独立的随机变量，且都服从参数为10的指数分布，求 的下界 是独立同分布的随机变量，设, 求

篇2：CH5 大数定律及中心极限定理--练习题

0,事件A不发生

1.设Xi(i1,2,10000),且P(A)=0.8,X1,X2,,X10000相互独立,令

1,事件A发生

10000

Y=

X,则由中心极限定理知Y近似服从的分布是（D）

ii

1A.N(0,1)

C.N(1600,8000)B.N(8000,40)D.N(8000,1600)

2．设X1，X2，……，Xn是来自总体N（μ,σ2）的样本，对任意的ε>0，样本均值X所满足的切比雪夫不等式为（B）

Xn≥

n

C．PX≤1-

A．P

2n

X≥1-n

n

D．PXn≤



B．P

2

3.设随机变量X的E（X）=,D(X)=2，用切比雪夫不等式估计P(|XE(X)|3)（C）A.C.1 98 91912

1B.3D.1

4．设随机变量X服从参数为0.5的指数分布，用切比雪夫不等式估计P(|X-2|≥3)≤(C)A.C.1B.3

D.1

二、填空题

1．将一枚均匀硬币连掷100次，则利用中心极限定理可知，正面出现的次数大于60的概率

近似为___0.0228________.（附：Φ（2）=0.9772）

2．设随机变量序列X1，X2，…，Xn，…独立同分布，且E(Xi)=μ,D(Xi)=σ2>0,i=1,2,…, 则n

Xni

i1

x_对任意实数x，limP

nn





___________.3.设随机变量X的E(X)=,D(X)2,用切比雪夫不等式估计P(|XE(X)|32) ___8/9________。

4．设随机变量X～U（0，1），用切比雪夫不等式估计P（|X－_____1/4___________．

5．设随机变量X~B(100,0.8)，由中心极限定量可知，11

|≥）≤2

P74X86_0.8664______.(Φ(1.5)=0.9332)

0,6.设Xi=1,事件A不发生事件A发生(i=1,2,…,100)，且P(A)=0.8, X1，X2，…，X100相互独立，令Y=X

i1100i，则由中心极限定理知Y近似服从于正态分布，其方差为___16________。

7．设随机变量X ~ B（100，0.2），应用中心极限定理计算P{16X24}=___0.6826_______.（附：Φ（1）=0.8413）

8.设n为n次独立重复试验中事件A发生的次数，p是事件A在每次试验中发生的概率，则对任意的0,limP{|nnp|}=__1________.n

9．设随机变量X～B(100，0.5)，应用中心极限定理可算得P{40

10.设X1,X2,,Xn是独立同分布随机变量序列，具有相同的数学期望和方差E(Xi)=0，D(Xi)=1，则当n充分大的时候，随机变量Zn

篇3：CH5 大数定律及中心极限定理--练习题

关键词：大数定律,中心极限定理,教学

大数定律及中心极限定理这部分内容理论性较强, 在教学过程中学生对教学内容的理解相对比较困难, 基于这种现象, 为了提高课程的教学质量, 我们在教学中进行了如下探索。

1 介绍大数定律及中心极限定理的客观背景

事件发生的频率具有稳定性, 即随着试验次数的增加, 事件发生的频率逐渐稳定于某个常数, 大量测量值的算术平均值也具有稳定性, 这种稳定性是大数定律存在的客观背景。在客观实际中的许多随机变量他们是由大量的相互独立的随机因素的综合影响所形成, 而其中每一个因素在总的影响中所起的作用都是微小的, 这种随机变量往往近似地服从正态分布。这种现象就是中心极限定理的客观背景。

2 通过案例使学生深刻理解客观背景

对于频率具有稳定性和大量测量值的的算术平均值也具有稳定性, 我们可以举一些具体的例子, 例如:可以举抛硬币的试验说明频率具有稳定性, 随着试验次数的增加, 抛硬币出现正面的频率逐渐稳定于0.5, 可以列举测量讲台的宽度来说明大量测量值的算术平均值也具有稳定性, 随着试验次数的增加, 讲台宽度测量值的算术平均值也稳定于某个常数, 可以用某时刻全国的用电量X来说明X近似服从正态分布。某时刻全国的用电量是由大量用户的用电量的综合影响所形成, 而其中每一个用户在对总的用电量的影响中所起的作用都是微小的。

3 对定理内容进行概括阐述

在讲大数定律及中心极限定理之前, 可以对大数定律及中心极限定理的主要内容进行概括总结, 使学生能够始终抓住定理的关键, 明白定理所要表达的主要内容。例如:大数定律主要讨论随机变量序列X1, X2, L, Xn, □前n个随机变量的算术平均的收敛情况, 中心极限定理研究的是随机变量序列X1, X2, L, XnL, 前n项的和, 当n充分大时是否近似于正态分布。.通过这种概括总结, 能帮助学生更好地抓住定理的关键, 学生自然就会明白大数定律讨论的是收敛情况, 中心极限定理讨论的是随机变量的分布问题。

4 让学生深刻理解依概率收敛的含义

契比雪夫大数定理说的是概率n收敛于的期望, 伯努利大数定理阐述的是频率依概率收敛于事件A发生的概率, 依概率收敛这个概念是理解大数定律的基础, 所以依概率收敛这个概念就显得尤其重要。依概率收敛的定义为:设Y1, Y 2, L, Y n, L是随机变量序列, a是一个常数, 若对∀ε>0, 有1, 则称序列Y1, Y 2, L, Y n, L依概率收敛于, 在这个定义中我们要说明依概率收敛与通常所说的收敛的区别和联系, 通过具体的案例让学生体会依概率收敛的具体过程。

5 对具体定理进行证明和说明

通过契比雪夫不等式证明契比雪夫大数定理, 用契比雪夫大数定理证明伯努利大数定理, 在讲解的过程中对定理的条件和结论进行详细说明, 把理论和实际相结合, 通过实例帮助学生理解定理。对独立同分布的中心极限定理进行解释说明, 独立同分布的中心极限定理阐述了随机变量之和的标准化变量的极限分布是标准正态分布, 通过独立同分布的中心极限定理对棣莫弗——拉普拉斯定理进行证明, 中心极限定理可以解释正态分布的普遍性, 棣莫弗——拉普拉斯定理简化了二项分布的计算问题。

6 从例题入手, 引导学生深刻理解所学内容

我们在教学过程中, 我们先把学习重点放在了对概念、定理等直观理解和数学表达上。但是, 数学学科离不开例题, 通过例题, 可以开拓学生的思路和视野, 满足学生的求知欲, 也可以检验学生对所学知识的掌握程度。所以, 为了更好地理解这些定理, 我们在讲解理论知识的同时, 通过一些例题让学生进一步理解定理所需要满足的条件和定理的结论。通过例题, 能够让学生从多方面考虑、分析问题, 加深学生对知识点的理解掌握。

参考文献

[1]盛骤, 谢式千, 潘承毅.概率论与数理统计[M].北京:高等教育出社, 2001.

篇4：第五章 大数定律及中心极限定理

大数定律及中心极限定理

概率统计是研究随机变量统计规律性的数学学科，而随机现象的规律只有在对大量随机现象的考察中才能显现出来。研究大量随机现象的统计规律，常常采用极限定理的形式去刻画，由此导致对极限定理进行研究。极限定理的内容非常广泛，本章中主要介绍大数定律与中心极限定理。

5.1 切比雪夫Chebyshev不等式

一个随机变量离差平方的数学期望就是它的方差，而方差又是用来描述随机变量取值的分散程度的。下面我们研究随机变量的离差与方差之间的关系式。

定理5－1（切比雪夫不等式）设随机变量X的期望E（X）及方差D（X）存在，则对任意小正数ε>0，有:

或：

［例5-1］设X是抛掷一枚骰子所出现的点数，若给定ε=2,2.5，实际计算P{|X-E（X）|≥ε}，并验证切比雪夫不等式成立。

解 X的分布律为

所以

当ε=2时，当ε=2.5时，可见，切比雪夫不等式成立。

[例5-2]设电站供电网有10 000盏灯，夜晚每一盏灯开灯的概率都是0.7，而假定所有电灯开或关是彼此独立的。试用切比雪夫不等式估计夜晚同时开着的灯数在6 800～7 200的概率。

解：设X表示在夜晚同时开着的电灯的数目，它服从参数n=10 000,p=0.7的二项分布。于是有

E（X）=np=10 000×0.7=7 000，D（X）=npq=10 000×0.7×0.3=2100，P{6 800

可见，虽然有10 000盏灯，但是只要有供应7 000盏灯的电力就能够以相当大的概率保证够用。

[例5-3补充] 用切比雪夫不等式估计

解： 的三倍的可能性极

可见，随机变量X取值与期望EX的差的绝对值大于其均方差小。

5.2 大数定律

在第一章中曾经提到过，事件发生的频率具有稳定性，即随着试验次数增多，事件发生的频率将逐渐稳定于一个确定的常数值附近。另外，人们在实践中还认识到大量测量值的算术平均值也具有稳定性，即平均结果的稳定性。大数定律以严格的数学形式表示证明了在一定的条件下，大量重复出现的随机现象呈现的统计规律性，即频率的稳定性与平均结果的稳定性。

5.2.1 贝努利大数定律

定理5-2 设m是n次独立重复试验中事件A发生的次数，p是事件A的概率，则对任意正数ε，有

贝努利大数定律说明，在大量试验同一事件A时，事件A的概率是A的频率的稳定值。

5.2.2 独立同分布随机变量序列的切比雪夫大数定律

先介绍独立同分布随机变量序列的概念。

称随机变量序列X1,X2,…Xn,…是相互独立的，若对任意的n>1,X1,X2,…Xn是相互独立的。此时，若所有的Xi又具有相同的分布，则称X1,X2,…Xn,…是独立同分布随机变量序列。

定理5-3 设X1,X2,…Xn,…是独立同分布随机变量序列E（Xi）=μ,D（Xi）=σ2（i=1,2…）均存在，则对于任意ε>0有

这一定理说明：经过算术平均后得到的随机变量在统计上具有一种稳定性，它的取值将比较紧密聚集在它的期望附近。这正是大数定律的含义。在概率论中，大数定律是随机现象的统计稳定性的深刻描述；同时，也是数理统计的重要理论基础。

5.3 中心极限定理

5.3.1独立同分布序列的中心极限定理

定理5-4 设X1,X2,…Xn,…是独立同分布的随机变量序列，且具有相同数学期望和方差E（Xi）=μ，D（Xi）=σ2（i=1,2,…）。记随机变量 的分布函数为Fn（x），则对于任意实数x，有

（不证）

其中φ（x）为标准正态分布函数。

由这一定理知道下列结论：

（1）当n充分大时，独立同分布的随机变量之和的分布近似于正态分布N2（nμ，nσ）。我们知道，n个独立同分布的正态随机变量之和服从正态分布。中心极限定理进一步告诉我们。

不论X1,X2,…Xn,…独立同服从什么分布，当n充分大时，其和Zn近似服从正态分布。

（2）考虑X1,X2,…Xn,…的平均值，有

它的标准化随机变量为，即为上述Yn。因此的分布函数即是上述的F（，nx）因而有

由此可见，当n充分大时，独立同分布随机变量的平均值 的分布近似于正态分布

[例5-3]对敌人的防御地段进行100次射击，每次射击时命中目标的炮弹数是一个随机变量，其数学期望为2，均方差为1.5，求在100次射击中有180颗到220颗炮弹命中目标的概率。解 设Xi为第i次射击时命中目标的炮弹数（i=1,2,…,100），则中命中目标的炮弹总数，而且X1，X2，…X100同分布且相互独立。

为100次射击

由定理5-4可知，随机变量近似服从标准正态分布，故有

[例5-4]某种电器元件的寿命服从均值为100（单位：小时）的指数分布。现随机抽出16只，设它们的寿命是相互独立的，求这16只元件的寿命的总和大于1 920小时的概率。

解 设第i只电器元件的寿命为Xi=（i=1,2,…16），E（Xi）=100，D（Xi）=1002=10 000，则是这16只元件的寿命的总和。

E（Y）=100×16=1 600，D（Y）= 160 000，则所求概率为：

5.3.2 棣莫弗（De Moivre）-拉普拉斯（Laplace）中心极限定理

下面介绍另一个中心极限定理，它是定理5-4的特殊情况。

定理5-5（棣莫弗－拉普拉斯中心极限定理）设随机变量Zn是n次独立重复试验中事件A发生的次数，p是事件A发生的概率，则对于任意实数x

其中q=1-p,φ（x）为标准正态分布函数。由棣莫弗-拉普拉斯中心极限定理得到下列结论：

（1）在贝努利试验中，若事件A发生的概率为p。又设Zn为n次独立重复试验中事件A发生的频数，则当n充分大时，Zn近似服从正态分布N（np,npq）。

（2）在贝努利试验中，若事件中A发生的概率为p，发生的频率，则当n充分大时，近似服从正态分布

【例5-5】用中心极限定理得到求解5.1例5-2的概率。

解 设同时开着的灯数为X，则

X-B（1000，0.7），np=1000×0.7=7000，为n次独立重复试验中事件A

【例5-6】设某单位内部有1000台电话分机，每台分机有5%的时间使用外线通话，假定各个分机是否使用外线是相互独立的，该单位总机至少需要安装多少条外线，才能以95%以上的概率保证每台分机需要使用外线时不被占用？

解：把观察每一台分机是否使用外线作为一次试验，则各次试验相互独立，设X为1000台分机中同时使用外线的分机数，则

X～B（1000，0.05），np=1000×0.05=50，根据题意，设N为满足条件的最小正整数

由于φ（-7.255）≈0，故有

查标准正态分布表得φ（1.65）=0.9505，故有

由此

N≥61.37

即该单位总机至少需要62条外线，才能以95%以上的概率保证每台分机在使用外线时不被占用。

小结 本章考核要求

（一）知道切比雪夫不等式

或

并且会用切比雪夫不等式估计事件|X-EX|≥ε或|X-EX|<ε的概率。

（二）知道贝努利大数定律

其中n是试验次数，m是A发生次数，p是A的概率，它说明试验次数很多时，频率近似于概率。

（三）知道切比雪夫不等式大数定律

取值稳定在期望附近。

它说明在大量试验中，随机变量

（四）知道独立同分布中心极限定理

若

记Yn～Fn（x），则有

它说明当n很大时，独立同分布的随机变量之和近似服从正态N（nμ,nσ2）所以，无论n个独立同分布的X1,X2,…Xn服从何种分布，n很大时，X1+X2+…Xn却近似正态N（nμ,nσ2）.（五）知道棣莫弗—拉普拉斯中心极限定理

若Zn表示n次独立重复事件发生次数，即

Zn～B（n,p）,则有

篇5：第五章、大数定律与中心极限定理

一、选择题：

1．若随机变量X的数学期望与方差分别为EX =1，DX = 0.1，根据切比雪夫不等式，一定有（）

A．P{1X1}0.9B．P{0x2}0.9

C．P{1X1}0.9D．P{0x2}0.9

2．设X1,X2,X9相互独立，EXi1,DXi1(i1,2,9)，根据切比雪夫不等式，1有（）

A．P{xi1}1B．P{xi1}12 9i1i129

C．P{2D． x9}1P{x9}19ii

2i1i199

3．若X1、X2、21000即都X1000为独立同分布的随机变量，且Xi~B(1,p)i

1、服从参数为p的0-1分布，则（）不正确

100011000

A．XiPB．Xi~B(1000、P)1000i1i

11000

C．P{aX

i1ib}(b)(a)

1000

D

．P{aXib}i1 1，根据切比雪夫不等式，164．设随机变量X的数学期望EX = 1，且满足P{X12}

X的方差必满足（）

11B．DX 16

41C．DXD．DX1 2A．DX

5．设随机变量X的数学期望EX = 1，方差DX = 1，且满足P{X1}1，根据切16

比雪夫不等式，则应满足（）

A．4B．4

C．

11D． 44

二、填空题：

1.若随机变量X的数学期望与方差分别为EX = 1，DX = 1，且 P{X1}

切比雪夫不等式，应满足。

2.若随机变量X的数学期望与方差均存在，且EX = 1，P{X11}

夫不等式，DX应满足。

3.设X1,X2,,X9相互独立，且EXi1,DXi1,i1、2、9，根据切比雪夫不等式，则0有P{1，根据41，根据切比雪4X

i19i9}。

4.设X1,X2,,X9相互独立，且EXi1,DXi1,i1、2、9，根据切比雪夫不等式，19

则0有PXi1} 9i

1三、计算题：

1．计算机进行加法计算时，把每个加数取为最接近它的整数来计算。设所有的取整误差是

相互独立的随机变量，并且都在[-0.5,0.5]上服从均匀分布，求：300个数相加时误差总和的绝对值小于10的概率。

（附：(1)0.8413,(2)0.9772,(3)0.99865,(4)0.99968）

2． 一颗螺丝钉的重量是一个随机变量,期望值是1两,标准差是0.1两.求一盒

(100个)同型号螺丝钉的重量超过10.2斤的概率.（附：(1)0.8413,(2)0.9772,(3)0.99865,(4)0.99968）

3．已知一本1000页的书中每页印刷错误的个数服从泊松分布P（0.1），求这本书的印刷错

误总数大于120的概率。

（附：(1)0.8413,(2)0.9772,(3)0.99865,(4)0.99968）

4．据以往经验，某种电器元件的寿命服从均值为100小时的指数分布，现随机地取25只，设他们的寿命是互相独立的，求这25只元件的寿命总和大于3000小时的概率。

篇6：CH5 大数定律及中心极限定理--练习题

limPxx;

nn

21nnXXniii1i

1C)limPxx;D)limPxx;

nnn

2

其中x为标准正态分布函数.解由李雅普诺夫中心极限定理:

E(Xi)

,D(Xi)



2i1,2,,n,111

Sn22

2



nn11

XinXiXin

i1i1N(0,1)

Snn

故选(B)

4.设随机变量X与Y的数学期望分别为-2和2,方差分别为1和4,而相关系数为0.5,则根据切贝谢夫不等式估计PXY6（）.A)



1111

B)C)D)461216

解|EXY220

(Y,)XY DXYDXDY2covX,Y,covX

1420.5123.由切贝谢夫不等式得 PXYEXY6故选(C)

5.若随机变量XB1000,0.01, 则P4X16（）.A)0.925B)0.825C)0.9D)0.725 解|因为 EX10000.0110,DXnpq100.999.9



DXY31

.623612

由切贝谢夫不等式得

P4X16PX106

1PX1061

故选(D)

DX9.9

110.2750.725.3662

二、填空题（每空2分，共10分）

1.已知离散型随机变量X服从参数为3的泊松分布，则利用切贝谢夫不等式估计概率

PX35解因为XPm

所以EXDX

3由切贝谢夫不等式PXEX5



DX3

.522

52.已知随机变量X存在数学期望EX和方差DX，且数学期望EX10，EX109，利用



切贝谢夫不等式估计概率PX106解因为 EX10,DXEX



EX

1091009

由切贝谢夫不等式PX106



DX9

1.2636

43.已知随机变量X的方差为4，则由切贝谢夫不等式估计概率PXEX3解由切贝谢夫不等式PXEX3





4.9

4.若随机变量XBn,p,则当n充分大时,X近似服从正态分布N 解因为 EXnp,DXnp1p.三、计算或证明题题（每题10分，共80分）

1.如果随机变量X存在数学期望EX和方差DX，则对于任意常数0，都有切贝谢夫不等式：

PXEX

DX

2

（证明当X为连续型随机变量时的情况）

证明 设连续性随机变量X的概率密度函数为x,则

PXEX

XEX



xdx

XEX



XEX

2

xdx

DX



2







XEXxdx

2

.2.投掷一枚均匀硬币1000次，试利用切贝谢夫不等式估计出现正面次数在450次~550次之间的概率.解设随机变量X表示1000次试验中出现正面朝上的次数, 由于

XB1000,0.5,所以EX500,DX250;

由切贝谢夫不等式

P450X550PX500501

DX250

10.9.2

250050

3.已知连续型随机变量X服从区间1,3的均匀分布，试利用切贝谢夫不等式估计事件X4发生的概率.133(1)4;

1,DX解由于XU1,3, 所以EX2123

由切贝谢夫不等式

D(X)11

PX141210.9167.41216

4.对敌人的防御工事进行80次轰炸，每次轰炸命中目标炸弹数目的数学期望为2，方差为0.8，且各次轰炸相互独立，求在80次轰炸中有150颗~170颗炸弹命中目标的概率.解设随机变量X表示80次轰炸中炸弹命中目标的次数, Xi表示第i次轰炸命中目标的次数, 则EXi2，DXi0.8;由于X

X

i1

i

所以EX160，DX800.864;由中心极限定理得

P150X170

170160150160



88

1.251.2521.25120.894410.7888.5.袋装食糖用机器装袋，每袋食糖净重的数学期望为100克，方差为4克，一盒内装100袋，求一盒食糖

净重大于10,060克的概率.解 设每袋食糖的净重为Xii1,2,,100,则Xii1,2,,100服从独立同分布,且

E(Xi)100,D(Xi)4;设一盒食糖为X,则

XXi,E(X)10000,D(X)400,i1100

由中心极限定理得

PX10060 1PX

10060

11310.998650.00135.6.某人寿保险公司为某地区100,000人保险，规定投保人在年初向人寿保险公司交纳保险金30元，若投保人死亡，则人寿保险公司向家属一次性赔偿6,000元，由历史资料估计该地区投保人死亡率为0.0037，求人寿保险公司一年从投保人得到净收入不少于600,000元的概率.解设随机变量X表示一年内投保人中死亡人数, 则XBn,p,其中n100000,p0.0037;

EXnp370,DXnpq3700.9963368.31;由100000306000X600,000,得X400

由拉普拉斯中心极限定理,所求概率为



PX400

P

30

1.560.9406.19.1940

7.某车间有同型号机床200部，每部开动的概率为0.7，假定各机床开与关是独立的，开动时每部机床要消耗电能15个单位.问电厂最少要供应这个车间多少电能，才能以95%的概率，保证不致因供电不足而影响生产？

解设随机变量X表示200部机床中同时开动机床台数, 则

XB200,0.7,EXnp140,DX426.482

用K表示最少开动的机床台数,则

PXKPXK



K1400.95

6.5

查表1.650.95, 故

K140

1.65 6.5

由此得K151

这说明, 这个车间同时开动的机床数不大于151部的概率为0.95.所以电厂最少要供应这个车间151152265个单位电能,才能以95%的概率, 保证不致因供电不足而影响生产.8.设某妇产医院生男婴的概率为0.515,求新生的10000个婴儿中,女婴不少于男婴的概率? 解设X表示10000个婴儿中男婴的个数, 则XBn,p其中n10000,p0.515.由拉普拉斯中心极限定理,所求概率为



PX5000

P

313

10.998650.00135.附表：

篇7：CH5 大数定律及中心极限定理--练习题

大数定律与中心极限定理在整个概率统计理论体系中起着承上启下的作用.它是概率论中进行近似计算的理论基础, 对解决现实问题意义重大.学好这部分内容, 会使学生的后续学习变得轻松自如, 也会使教师的后续教学变得游刃有余.否则, 学生在使用统计方法时只能生搬硬套, 教师也难以在短时间内向学生讲清道理.所以, 采取有效的教学措施, 让学生真正掌握这两个定理, 是非常重要的.

那么, 如何帮助学生在规定的教学时限内掌握好相关的内容呢?笔者认为, 教师应重点做好以下几个方面工作.

1向学生介绍相关的历史背景, 以激发学生的学习兴趣

数学虽然是一门科学, 但其中也不乏人文素材.在教学过程中, 向学生揭示隐藏在科学原理之后的并且有教育意义的历史事实, 有助于学生深切感受概率统计本身的魅力, 激发学习兴趣, 进而改变他们的数学观念, 提升他们的人文素养.

例如, 在本部分内容的教学中, 教师可以向学生穿插介绍俄罗斯数学家帕夫努季·利沃维奇·切比雪夫的一些感人事迹——虽然左脚生来有残疾、生活十分简朴且终身未娶, 但他却在概率论、解析数论和函数逼近论领域做了许多开创性工作, 并给人类留下了一笔不可估价的遗产——彼得堡数学学派.通过介绍著名数学家的生平事迹, 让学生有机会领略大师们的勇于追求真理的科学精神、坚忍不拔的顽强意志, 有助于学生形成良好的情感态度和价值观.又如, 在教学中, 教师可简要地向学生介绍某个数学概念 (如依概率收敛等) 或定理 (如大数定理等) 的产生、发展历程, 揭示其与现实生产、生活的紧密联系.大数定律和中心极限定理从出现到逐步完善也是非常重要的一项内容, 它反映了思维逐步成熟的过程, 也反映了各学科之间协调发展的过程, 这部分知识的介绍限于其专业性较强的原因, 只能做适当的介绍.这样的教学处理可以使学生更好地理解数学知识之间的内在联系, 领略数学家的思考问题方式, 认识到数学的科学价值和应用价值.

但是, 需要注意的是, 在介绍这些内容时, 掌握好时机和分寸.既不能超前, 也不能滞后;既不能过于简略, 也不能面面俱到.也就是说, 要根据学生的实际情况来定夺, 力争使这些教学举措收到实效.

2以切比雪夫不等式为教学起点, 展开本章内容

切比雪夫不等式是本部分内容的重要基础.学生如果不能彻底掌握该不等式及其证明, 那么, 在学习包括大数定理在内的后续内容时就会遇到困难.为此, 教师可采取适当的教学措施, 让学生掌握切比雪夫不等式及其证明方法 (包括平均值随机变量所对应的切比雪夫不等式) .只有这样, 学生在学习完依概率收敛的相关知识之后, 理解统计学近似计算基本原理的知识条件才算具备.本章内容的顺序为:切比雪夫不等式→反向切比雪夫不等式→平均值随机变量的切比雪夫不等式及其反向不等式→依概率收敛→大数定律→主要的习题与例题→中心极限定理.这样的展开有助于重点和难点的把握, 也有助于学生所学知识的逐步积累和消化.

3立足于依概率收敛来学习大数定律与中心极限定理, 并瞄准参数估计和假设检验

在整个知识体系中, 依概率收敛起着承上启下的作用.所以, 教学中, 教师应该联系平均值随机变量的切比雪夫不等式给出依概率收敛的定义.之后, 还应详细讲解依概率收敛的两层含义:逼近性和不完全确定性.因为这两个概念已经涉及到了参数估计与假设检验的基本思想, 并且与大数定律也有联系.具体地说, 逼近性是说随着样本容量的增加样本的平均值会趋于样本的数学期望.而不完全确定性是说这样一个逼近过程不是对于任何一个样本平均值序列都是成立的, 在样本容量扩大的过程中, 样本随机变量平均值序列偏离样本的数学期望的机会始终存在, 但会随着样本容量的扩大而越来越小, 以至于当样本容量达到一定程度时我们就近似地将样本平均值看成是数学期望.这样的讲解会使学生在掌握本章内容的同时, 建立起了参数估计的理论基础, 实实在在做到了承上启下.

4通过典型例子, 向学生揭示主要原理的实际应用

学习完依概率收敛和大数定律之后, 教师就可以向学生解释在著名的抛硬币实验中, 为什么随着次数的增加出现正面的频率趋于0.5.另外, 教师也很容易说清楚为什么要利用频率定义概率, 揭示利用频率估计概率的原因所在.进一步可以让同学讨论, 如何确定一个混合均匀的盒子里两种不同颜色的小球所占的比例, 以及如何确定某个生态系统里两种不同种群之间的比例关系.这样, 引导学生从实际生活中提炼出具体问题, 然后运用所学知识分析并解决问题, 将会大大激发学生的学习热情, 培养学生数学应用意识和解决实际问题的能力.

总之, 对于大数定律与中心极限定理这部分内容的教学, 应遵循的教学思路是, 瞄准现有教材中前后知识点之间的实质性联系展现不足的缺陷, 向学生充分揭示有关知识点的来龙去脉;在讲清数学原理的同时, 贴近现实, 追溯历史.这样, 学生的科学素养和人文素养才能得到全面提升.

参考文献

[1]盛骤, 谢式千, 潘承毅.概率论与数理统计 (第3版) [M].北京:高等教育出板社, 2006.

篇8：第五章 大数定律 中心极限定律

例1 设一批产品的废品率为P0.014，若要使一箱中至少有100个合格品的概率不低于0.9，求一箱中至少应装入多少个产品？试分别用中心极限定律和泊松定理求其近似值。例2 某车间有200台车床，由于各种原因每台车床只有60％的时间在开动，每台车床开动期间耗电量为E，问至少供应此车间多少电量才能以99.9％的概率保证此车间不因供电不足而影响生产？

例3 一保险公司有10000人投保，每人每年付12元保险费，已知一年内人口死亡率为0.006，如死亡，则公司付其家属1000元赔偿费，求1）保险公司年利润为零的概率

2）保险公司年利润不少于60000元的概率。

例4 设XPX11n为独立随机变量序列，n2n22n1,PXn0122n，n1,2,, 证明 Xn服从大数定律

例5 设随机变量X的数学期望E(X)，方差DX2，利用切比雪夫不等式估计 PX3

例6 试证当n时，ennnk1

k0k!2

习

题

一 填空题 设随机变量X的数学期望EX，方差DX2，则由切比雪夫不等式有： PX3________

设随机变量X1,,X100相互独立同分布，且PXik1k!e1i1,2,,100，则 P100Xi120________ i13 设随机变量X1,X2,,Xn相互独立同分布，EXi,DXi8,i1,2,,n

对于X1nnXi，写出所满足的切比雪夫不等式______并估计PX4_____

i14 10万粒种子有1万粒不发芽，今从中任取100粒，问至少有80粒发芽的概率是_____ 二 解答题

1.某单位有200台电话分机，每架分机有5%的时间要使用外线通话，假设每架分机是否使用外线是相互独立的，问该单位总机需要安装多少条外线，才能以90%以上的概率保证分机使用时不等候？

2.甲、乙两个电影院在竞争1000名观众，假定每个观众任选一个影院且观众间的选择是彼此独立的，问每个影院至少要设多少座位，才能保证因缺少座位而使观众离去的概率小于1%？

3.某教授根据以往的经验知道，他的一个学生在期末考试中的成绩是均值为75的随机变量，a）假设这教授知道该学生成绩的方差是25，试给出此学生的成绩将超过85的概率上限； b）你对这个学生取得65分到85分之间的概率能说些什么？ c)* 不用中心极限定理，求出应有多少如上的学生参加考试，才能保证他们的平均分数在70到80分之间的概率至少是0.9。d）用中心极限定理理解

4.设某种工艺需要某种合格产品100个，该产品的合格率为96%，问要采购多少个产品，才能有95%以上的把握，保证合格品数够用？

5.设随机变量的概率密度为f(x)12xx0

2xe0x0利用切比雪夫不等式估计概率P06

四 证明题 设随机变量X,Eex存在，这里0为常数，证明：PXt2lnEexet2

2 设随机变量X具有密度 f(x)xmxm!ex0, m为正整数。试证： 0x0P0X2m1mm1 设X11n为独立随机变量序列，PXnn2n,PXn01n。证明：Xn服 从大数定律

答

案

一

1.19

2.0.9772

3.PX81n2；12n

4.0.99956

二

1.14

2.537

3.a)0.02775；b)0.9545

c)n10；d)n1.642

4.107

篇9：CH5 大数定律及中心极限定理--练习题

研究随机变量序列的各种极限(或收敛性)的理论.我们知道,概率论是研究随机现象统计规律的学科,然而随机现象统计规律性只有在相同条件下进行大量重复的试验或观察才能显现出来,这就要用到极限去刻划.随机现象在大量重复试验中呈现明显的规律性,这只是一个信念,其确切含义和理论根据是什么？现在就来解决这些问题.极限定理是概率论中最重要的理论.它在概率论与数理统计的理论研究与应用中起着十分重要的作用.第一节 契比雪夫不等式

这里介绍一个重要的不等式--契比雪夫不等式,它是大数定律和中心极限定理的理论基础.定理 设随机变量X存在数学期望EX和方差DX,则对任意正数, 成立

P{|XEX|}DX2, 此式称为契比雪夫不等式.或等价地

P{|XEX|}1P{|XEX|}1DX.2证明(1)当X为离散型随机变量, 分布律为

P{Xx}p ,i1,2,

ii则有

P{|XEX|}

P{Xx}

i|xiEX||xiEX|(xEX)i222P{Xx}ii(xEX)iDX2P{Xx}

i2;(2)当X为连续型随机变量, 概率密度为f(x), 则有

P{|XEX|}

1|xEX|f(x)dx

2(xEX)|xEX|22f(x)dx

2(xEX)f(x)dxDX2.例

P{|XEX|aDX}

DX(aDX)21a2 ,(a0)

从上述证明方法中,还可以看出(类似可证),成立

P{|X|}(0,k1)P{|XEX|}E(|XEX|)kE|X|kk，;

k,(0,k1);等形式的不等式.(车贝谢夫,车贝晓夫,切比雪夫)例 设随机序列{Xn}和随机变量X，E|XnX如果limn|0，2则对任意有 limn0, P{|XnX|}0。

证明 因为 对任意0，成立P{|XnX|}E|XnX|22，2利用条件limE|XnX|0，nlimP{|XnX|}0。即得成立n

定理 设随机变量X的数学期望EX和方差DX均存在,且DX0, 则有 P{XEX}1.证明 由车比谢夫不等式

P{|XEX|}DX2，1n}DX()n12得0P{|XEX|0, n1,2,, P{|X又

EX|1n}0,n1,2,，1n}{|XEX|0}{|XEX|n1，1n})0P{|XEX|0}P({|XEX|n1

n1P{|XEX|1n}0, 于是P{|XEX|0}1, 即P{XEX}1.(P(A1A2)P(A1)P(A2)P(A1A2)

P(A1)P(A2), P(A1A2A3)P(A1)P(A2)P(A3)，P(Ai)i1P(Ai1i).第二节 大数定律

在第一章中我们指出,随机事件的频率f(A)nf(A)nnAn,当

n时, nAn具有某种稳定性和统计概 率的定义5.它们的真正含义,在当时无法说清楚,现在就来说清楚这个问题.对于这一点, 大数定理将给于理论上的依据.下面只介绍大数定理的最基本情形.定理一(契比雪夫大数定律)设X,X,,X,是相互独立的12n随机变量序列,每一个X都有有限

i的方差,且有公共的上界,即

D(X)C, i1,2,,n, 则对任意0,成立

ilimP{|n1n1nnXii11n1nEX|}1 ，ii1

nnlimP{|nXEX|}0.ii1nii1证明 令 Yn1nnX

ii1由数学期望的性质,有

EYE(n1nnX)ii11nnEX，ii1 6 因X,X,,X,相互独立, 由方差的性质,得到

12nDYD(n1nnnX)ii11n2nDX，ii1 1n2Ci1Cn , 利用契比雪夫不等式,可得

1P{|1nnXEX|}

ii11nnii1

P{|YEY|}1nnDYn21Cn2, 在上式中,令n,即得

limP{|n1nnXii11nnEX|}1.ii1

定义 依次序列出的随机变量：X,X,,X, 简记为{Xn},简称12n随机(变量)序列{X}.n 定义 对于随机(变量)序列{X}和随机变量X(或常数a),若对任意0,有

limP{|XX|}1

nnn(或limP{|Xa|}1)nn则称随机(变量)序列{X}依概率收

n敛于X(或常数a).(等价于limP{|XX|}0)

nnX,(n)简记为XPna,(n))(或XPn 推论(辛钦大数定律)若随机变量序列X,X,,X,独立同分布,且存在有限的数学期望和方差

12n EX,DX,(i1,2,)

2ii则对任意0,有

limP{|X|}1 , n其中 X1nnX.ii1 8 证明 由数学期望和方差的性质及条件,有

EXE(X)

nii11n1nnEXii11nn，i1DXD(1n21nnnX)

ii1DXii11n2n2i1n2, 对任意0,有

1P{|X|}

P{|XEX|}

1DX21n22, 于是成立

limP{|X|}1 , n即{X}依概率收敛于常数.这个结论将在第八章中用到,是用样本均值作为总体均值的点估计的理论依据.定理二(贝努里大数定律)设n是n次独立重复试验中事件A发A生的次数,p是事件A在每次试验中发生的概率, 则对任意0,成立

limP{|nnAnp|}1.证明 引人随机变量

1,第i次试验中A发生X , 0,第i次试验中A不发生i

则n次试验中事件A发生的次数

nXXX , A12n由于是独立试验,所以X,X,,X相互独立,且都服从相同的(0—1)分布,即

12nP{X1}p,P{X0}1p,i1,2,,nii于是

EXp, i 10 DXp(1p)pp2i14(12p)214利用契比雪夫大数定律的推论,得

limP{|nnAnp|}limP{|Xp|}1

n 贝努里大数定律表明:事件A发生的频率

nAn依概率收敛于事件A发生的概率.这正是用频率作为概率的估计值的理论依据.在实际应用中,通常做多次试验,获得某事件发生的频率,作为该事件发生的概率的估计值.辛钦大数定律

定理(辛钦大数定律)设随机变量序列X,X,,X,独立同分布,且存在有限的数学期望 12n EX i,(i1,2,)则对任意0,有