垂直关系的教学设计

垂直关系的教学设计（精选9篇）

篇1：垂直关系的教学设计

《垂直关系》

例

1、如图1，在正方体ABCDA1B1C1D1中，M为CC1 的中点，AC交BD于点O，求证：AO

平面MBD．

1例

2、如图2，P是△ABC所在平面外的一点，且PA⊥平面ABC，平面PAC⊥平面PBC．

求证：BC⊥平面PAC．

SA⊥平面ABCD，例

3、如图１所示，ABCD为正方形，过A且垂直于SC的平面分别交SB，SC，SD于E，F，G．

求证：AESB，AGSD．

例

4、如图２，在三棱锥Ａ－BCD中，BC＝AC，AD＝BD，作BE⊥CD，Ｅ为垂足，作AH⊥BE于Ｈ．求证：AH⊥平面BCD．

例

5、如图３，AB是圆Ｏ的直径，Ｃ是圆周上一点，PA平面ABC．若AE⊥PC，Ｅ为垂足，Ｆ是PB上任意一点，求证：平面AEF⊥平面PBC．

例

6、如图9—40，在三棱锥S—ABC中，SA⊥平面ABC，平面SAB⊥平面SBC．求证：AB⊥BC

图9—40

例

7、如图9—41，PA⊥平面ABCD，四边形ABCD是矩形，PA=AD=a，M、N分别是AB、PC的中点．求证：平面MND⊥平面PCD

例

8、如图9—42，正方体ABCD—A1B1C1D1中，E、F、M、N分别是A1B1、BC、C1D1、B1C1的中点．求证：平面MNF⊥平面ENF．

图9—

42《垂直关系》专题练习

1、如图所示,三棱锥V-ABC中,AH⊥侧面VBC,且H是△VBC的垂心，BE是VC边上的高.求证:VC⊥AB;

2、如图所示，PA⊥矩形ABCD所在平面，M、N分别是AB、PC的中点.(1)求证：MN∥平面PAD.(2)求证：MN⊥CD.(3)若∠PDA＝45°，求证：MN⊥平面PCD.3、已知直三棱柱ABC-A1B1C1中，∠ACB=90°,∠BAC=30°,BC=1，AA1=6，M是CC1的中点，求证：AB1⊥A1M．

4、如图所示，正方体ABCD—A′B′C′D′的棱长为a，M是AD的中点，N是BD′上一点，且D′N∶NB＝1∶2，MC与BD交于P.求证：NP⊥平面ABCD.5、如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1 中.求证：平面ACD1 ⊥平面BB1D1D

DA

1DA

C1

C6、如图9—45，四棱锥P—ABCD的底面是边长为a的正方形，PA⊥底面ABCD，E为AB的中点，且PA=AB．求证：平面PCE⊥平面PCD

图9—457、如图，三棱锥PABC中，PA⊥平面ABC，平面PAC⊥平面PBC．问△ABC是否为直角三角形，若是，请给出证明；若不是，请举出反例．BA

C

篇2：垂直关系的教学设计

命题预测

从近几年的高考试题来看，线面垂直的判定与性质、面面垂直的判定与性质等是高考的热点,题型既有选择题、填空题，又有解答题，难度中等偏高．客观题突出“小而巧”，主要考查垂直的判定及性质；主观题考查较全面，在考查上述知识的同时，还注重考查空间想象、逻辑推理以及分析问题、解决问题的能力．

预测2013年高考仍将以线面垂直、面面垂直为主要考查点，重点考查学生的空间想象以及逻辑推理能力．

考点1 直线与平面垂直的判定与性质

例

1、（08天津）如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是矩形． 已知AB3,AD2,PA2,PD22,PAB60．（Ⅰ）证明AD平面PAB；

（Ⅱ）求异面直线PC与AD所成的角的大小；（Ⅲ）求二面角PBDA的大小．

变式1：如图，已知三棱锥A－BPC中,AP⊥PC,AC⊥BC，M为AB中点，D为PB中点，且△PMB为正三角形．求证：(1)MD∥平面APC；(2)BC⊥平面APC.变式2：（12全国理）如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为菱形，PA⊥底面ABCD，AC=2PA=2，E是PC上的一点，PE=2EC.（Ⅰ）证明：PC⊥平面BED；

（Ⅱ）设二面角A-PB-C为90°，求PD与平面PBC所成角的大小.变式3：（06福建）如图，四面体ABCD中，O、E分别是BD、BC的中点，CACBCDBD2,ABAD

（I）求证：AO平面BCD；（II）求异面直线AB与CD所成角的大小；（III）求点E到平面ACD的距离。

B

E

变式4：（11大纲理）如图，四棱锥SABCD中，ABCD,BCCD，侧面SAB为等边三角形，ABBC2,CDSD1．

（Ⅰ）证明：SD平面SAB;（Ⅱ）求AB与平面SBC所成角的大小．

例

2、（08二）如图，正四棱柱ABCDA1B1C1D1中，AA12AB4，点E在CC1上

AC

1且C1E3EC．（Ⅰ）证明：A1C平面BED；（Ⅱ）求二面角A1DEB的大小．EC

例

3、（04湖北）在棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1中，E 是棱BC的中点，点F是棱CD上的动点。（1）试确定点F的位置，使得D1E⊥平面AB1F；

（2）当D1E⊥平面AB1F时，求二面角C1―EF―A的大小。

例

4、（12北京理）如图1，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=3，AC=6，D，E分别是AC，AB上的点，且DE∥BC，DE=2，将△ADE沿DE折起到△A1DE的位置，使A1C⊥CD,如图2.(I)求证：A1C⊥平面BCDE；

(II)若M是A1D的中点，求CM与平面A1BE所成角的大小；

(III)线段BC上是否存在点P，使平面A1DP与平面A1BE垂直？说明理由

（Ⅰ）证明：面PAD⊥面PCD；

考点2平面与平面垂直的判定与性质

例

1、(2011〃高考江苏卷)如图，在四棱锥P－ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，AB＝AD，∠BAD＝60°，E，F分别是AP，AD的中点．求证：(1)直线EF∥平面PCD；(2)平面BEF⊥平面PAD

变式1：如图，在直三棱柱:ABC－A1B1C1中,AA1＝AB＝BC＝3，AC＝2，D是AC的中点．(1)求证：B1C∥平面A1BD；

(2)求证：平面A1BD⊥平面ACC1A1；(3)求三棱锥A－A1BD的体积．

变式2：（08湖南）如图，四棱锥P-ABCD的底面ABCD是边长为1的菱形，∠BCD＝60°，E是CD的中点，PA⊥底面ABCD，PA＝2.（Ⅰ）证明：平面PBE⊥平面PAB;

（Ⅱ）求平面PAD和平面PBE所成二面角（锐角）的大小.变式3：（09北京）如图，四棱锥PABCD的底面是正方形，PD底面ABCD，点E在棱PB上.（Ⅰ）求证：平面AEC平面PDB；

（Ⅱ）当PD

且E为PB的中点时，求AE与平面PDB所成的角的大小.变式4：（05）已知四棱锥P-ABCD的底面为直角梯形，AB∥DC，DAB90,PA底面ABCD，且PA=AD=DC=

2AB=1，M是PB的中点。

（Ⅱ）求AC与PB所成的角；

（Ⅲ）求面AMC与面BMC所成二面角的大小。

例

2、（12高考江苏）如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，A1B1A1C1，D，E分别是棱BC，CC1上的点（点D 不同于点C），且ADDE，F为B1C1的中点． 求证：（1）平面ADE平面BCC1B1；（2）直线A1F//平面ADE．

变式：（11辽宁理）如图，四边形ABCD为正方形，PD⊥平面ABCD，PD∥QA，QA=AB=2PD．（I）证明：平面PQC⊥平面DCQ；（II）求二面角Q—BP—C的余弦值．

例

篇3：垂直关系的教学设计

1 材料和方法

1.1 研究对象

选择我科近4 年收治的正畸患者300 例,男131 例,女169 例。纳入标准:①年龄14～18 岁;②全身健康状况良好,无严重全身疾病;③恒牙列;④无唇腭裂;⑤无前颌骨外伤史,无颌骨手术史;⑥无正畸治疗史;⑦无M3拔除史;⑧X线片图像清晰者。每位患者治疗初始均拍摄了全景曲面断层片及头颅定位侧位片。

1.2 研究方法

经全景曲面断层片判断M3牙胚的存、失,同时经头颅定位侧位片测量SN- MP角、FH- MP角,确定垂直面型。均角:SN- MP角为34.3°(±5°),FH- MP角为27.2°(±4.7°);高角:SN- MP角大于40°,或FH- MP角大于32°;低角:SN- MP角小于29°或FH- MP角小于22°。本研究资料按上述标准所统计的3 种垂直骨面型病例的构成比:高角为42%,均角为41%,低角为17%。 统计3 种垂直骨面型患者上下左右4 个象限M3存、失情况;以人数和牙胚数分别统计M3的缺失情况。对上下颌M3的缺失、左右侧M3的缺失、 3 种垂直骨面型M3的缺失进行统计学分析。统计方法为χ2检验,检验水平为0.05。

2 结果

2.1 M3总缺失率

300 例患者中, 4 颗M3全在的共228 人, 4 颗M3全缺的有11 人、缺失率为3.67%; M3缺失1 颗及以上的72 人(男36 人,女36 人),共缺失M3的总数为150 颗。

2.2 M3缺失与上下颌及左右侧的关系

表 1显示了不同部位M3牙胚缺失情况,以及缺失率数(即缺失的牙胚占应有牙胚数的百分比)。上颌与下颌(左右侧合计)M3牙胚缺失的差别有统计学意义(χ2=17.55, P<0.05),其余的M3牙胚缺失差别无统计学意义。

2.3 M3缺失与性别的关系

从表 2来看M3缺失男性患者(27.48%)高于女性患者(21.30%),但性别间M3缺失差别无统计学意义(χ2=1.54, P>0.05)。

2.4 M3缺失与垂直骨面型的关系

表 3～4显示了各种垂直骨面型M3牙胚的缺失的数目(颗)及缺失率,以及具体的χ2检验值。低角与高角在上颌M3牙胚缺失差别有统计学意义,在下颌M3牙胚缺失差别无统计学意义;低角与高角、均角与高角在M3(上下颌合计) 牙胚缺失差别有统计学意义。均角与高角在上颌M3牙胚缺失差别有统计学意义、在下颌M3牙胚缺失差别无统计学意义。

3 讨论

3.1 关于对象的选择

正畸患者M3牙胚缺失情况虽然不能直接代表普通人群,但因为青少年中错畸形的患病率极高,傅民魁[4]的调查结果显示恒牙初期错畸形的患病率为72.92%,同时毛燮均在1955 年以理想正常为标准调查系统资料发现普通人群患病率为91.2%。因此笔者认为正畸患者M3牙胚缺失情 况能 从一个侧面反映普通人群M3牙胚缺失。

牙的发育主要分为生长期、钙化期、萌出期三个阶段。Schour和McCall[5]提出M3牙胚发生在5 岁以前;上颌硬组织开始形成的时间为7～9 岁,下颌为8～10 岁;萌出年龄上下颌均为17～21 岁。有学者[6]报道,M3牙胚在14 岁时其钙化已基本达到了稳定的情况,这就意味着14 岁以后,M3牙胚的存失情况就可以确定了;而M3的萌出多在18 岁以后,因此18 岁以前M3拔除的可能性很小。以上就是本研究将样本年龄选择在14～18 岁之间的原因。

3.2 M3缺失与上下颌的关系

M3牙胚的缺失在左右侧之间没有明显差异,这与国内外大多学者[3,6,7]研究结果一致,从而进一步说明了牙胚发生对称性的特点。同时本研究发现M3牙胚的缺失在上下颌之间存在明显差别,这与国内外大多学者[6,8]研究结果一致,即上颌M3缺失率要高于下颌M3缺失率。

3.3 M3缺失与性别的关系

M3牙胚的缺失在性别间没有明显差异,这与国内外部分学者[2,6,8]研究的一致,然而也有不少学者[7]研究发现M3牙胚缺失与性别有关。得出不同的结果,其差异来自于种族因素还是饮食习惯,还是M3牙胚的发生与遗传因素有关,这还需进一步的研究。

3.4 M3缺失与垂直骨面型的关系

人面部在垂直方向的发育主要有3 种情况:高角型,均角型,低角型。下颌平面的陡度最能代表面型垂直向的关系,本研究选取临床[9]上常用指标SN- MP、FH- MP角来确定下颌平面的陡度,即确定垂直骨面型。SN- MP角平均为34.3°(±5°),FH- MP角平均为27.2°(±4.7°)。当SN- MP角大于40°,或FH- MP角大于32°,为垂直发育过度,称“高角”病例。SN- MP角小于29°或FH- MP角小于22°,反映垂直发育不足,为“低角”病例。

从表 4 的统计结果可以看出,低角、均角患者无论在上颌、下颌还是全颌,M3牙胚缺失率的差异均无显著性。而高角患者M3的缺失率要明显低于低角与均角患者,均低5%左右;而M3牙胚缺失的差别不在下颌,却在上颌。Gravely研究[10]显示下颌后下旋转可引起颌骨前后关系的异常,下颌后下旋转可由I类关系旋转到II类,或由III类关系旋转到I类,可使下颌发育不足表现得更为严重,但也可使下颌前突改善[11],严重高角病例是潜在III类错,严重低角有潜在II类错倾向。如果照此理论,本实验中高角患者(即潜在III类错)上颌M3牙胚缺失率要低于均角与低角病例,刘新强[3]研究的结果却显示III类骨型患者M3牙胚缺失率要高于Ⅰ类和Ⅱ类,两者的结果刚好相反,原因有可能是本实验样本量选择太小,存在抽样误差;也可能高角病例上颌M3的牙胚缺失率本身就要小于低角和均角病例。是否M3牙胚形成的多基因遗传因素与控制颌骨垂直向的发育的遗传因素之间存在某种特殊的关系,还有待于进一步研究。但是,由于牙齿的生长发育是颌骨的生长因素之一,上、下颌M3的先天缺失在一定程度上可使上、下颌骨的生长更加不足,所以,对于高角患者,正畸医师要考虑是否在患者发育早期补偿性地拔除下颌牙齿;在某种程度上协调上下颌骨的关系。

从本研究对正畸临床的统计可以得出,M3牙胚缺失的人数比例约为25%,而缺失的牙胚数比例为12.5%,与张彬[8]的研究结论差不多,其中300 名患者中有11 人4 颗M3全部缺失,以人数计算缺失率为3.67%,这为正畸临床提供了M3缺失的总体评价。

参考文献

[1]Ailing CC,Helfrick JF,Ailing RD.Impacted teeth[M].Philadelphia:WB Saunders,1993:246.

[2]Kirkham J,Kaur R,Stillman EC,et al.The patterning ofhypodontia in a group of young adults in Sheffield,UK[J].Arch Oral Biol,2005,50(2):287-291.

[3]刘新强,孙雪玉,陈杰,等.第三磨牙牙胚缺失与矢状面型关系的初步研究[J].口腔正畸学,2004,11(6):16-18.

[4]傅民魁.口腔正畸学[M].4版.北京:人民卫生出版社,2003:31-32.

[5]石四箴.儿童口腔病学[M].北京:人民卫生出版社,2000:46,14-16.

[6]王光耀,王生,许志勇,等.538例青少年第三磨牙发育程度观察研究[J].口腔正畸学,1998,5(2):67-70.

[7]李霞,邵金陵,韩迎星,等.6000年前成人第三磨牙的研究[J].实用口腔医学杂志,2006,22(1):101-103.

[8]张彬,杨丽华,果利,等.大庆市错颌畸形青少年第三磨牙牙胚发生发育情况调查[J].齐齐哈尔医学院学报,2009,30(15):1889-1890.

[9]傅民魁.口腔正畸学[M].4版.北京:人民卫生出版社,2003:203-204.

[10]Gravely JF.A radiographic survey of third molar develop-ment[J].Br Dent J,1965,119(9):397-401.

篇4：垂直关系的教学设计

【关键词】高中数学；立体几何；垂直；教学现状；教学策略

导语

纵观历年高考试题中立体几何的范围，我们不难发现，经常立足于考查“线线垂直、线面垂直和面面垂直”之间的相互转化关系。可是，当前在对这部分内容的教学中却存在许多不利于促进课堂教学的因素，导致课堂教学效果欠佳。比如：教学观念落后，教学方式和手段单一；教学中忽略了对学生作图和看图能力的培养；以及忽视了对学生进行规范数学语言的培养等。因此，基于高中学生的认知特点和思维方式，针对不同的教学现状，挖掘不同的教学应对策略来优化“立体几何中垂直关系”的课堂教学是至关重要的。

一、更新教育教学观念，采用多媒体和几何画板的整合教学手段优化课堂教学

多媒体技术和几何画板的应用给课堂教学注入了生机和活力，它以其容量大、资源共享、生动有趣等特点受到师生的普遍关注，这弥补了传统教学方式的不足。教师只有改变传统的教学观念，认真领悟多媒体技术和几何画板的优点，把新的教学手段带入课堂，使课堂教学更加具有高效性。

1.多媒体技术的应用具有直观性。可以把抽象的概念直观化，加深学生理解概念的过程。在立体几何垂直关系的教学中，学生常会遇到较难懂的问题，若只是教师做简单的描述和单一的讲解，学生很难接受和理解，更谈不上能够应用定理。如，教师可以利用多媒体辅助教学，展示从不同角度观察到的图形，有利于激发学生探索新知识的欲望，也能培养学生的创新思维能力，并将立体几何图形与现实生活中的物体进行对应，再把垂直关系也添加到几何图形中，并将立体几何图形与现实生活中的实物进行对应。可见，利用多媒体教学听觉和视觉相结合的教学方式，采用视频和音频的形式展示教学内容，帮助学生获取更多信息量，深刻地理解和掌握概念，进一步运用定理和公式。

篇5：垂直关系的教学设计

下面我想谈谈我在必修2立体几何部分关于垂直的教学及辅导中,指导学生操作的几个触手可及的几何直观对学生理解直线与平面垂直的定义和判定定理以及面面垂直所起的作用.

首先谈谈人教A版必修2第二章2.3.1直线和平面垂直的判定这一节内容的教学. 教参上关于这节所设定的教学重点是:直观感知,操作确认,概括出直线和平面垂直的定义及判定定理. 课本上关于直观感知和操作确认方面设计了两个实例,一是通过旗杆和它的影子的例子来概括定义,二是通过折纸来探究判定定理. 我觉得这两个实例, 学生不容易操作,理解起来比较困难. 于是,我自己设计了几个便于学生操作和理解的几何直观,简单易行,说出来和大家共享.

一、关于直线和平面垂直的定义的理解

建议学生每人拿出一个三角板(或一把格尺,只要带一个直角的尺子即可),把其中一个直角边贴在桌面上,另一个直角边竖直立在桌面上,感受到直线(即竖直的直角边)与平面(桌面所在的平面 ) 垂直 , 且平面内有一条与之垂直的直线(即桌面上的直角边 ). 将该贴在桌面的直角边绕竖直的直线旋转一周,就知道竖直的直线和桌面上所有过垂足的直线垂直. 桌面上其他位置的任何一条直线一定会与过垂足的某一条直线平行,于是,直线就与桌面上任一直线都垂直了. 经过这样的操作确认,学生们就真切地感受到如果直线和平面垂直,则该直线就和平面上任一直线都垂直,没有一条例外. 因此,可以这么定义:如果一条直线与平面内的任一直线垂直,则这条直线和这个平面垂直. 通过这样的直观感知和操作确认,学生对线面垂直的定义的理解就会较为深刻了.

二、对直线与平面垂直的判定定理的探究

如果用定义判定直线与平面垂直, 需要判定直线与平面内任一直线垂直,麻烦,使用起来很困难,于是,我们就希望被判定的直线的条数越少越好. 探究:1.如果直线与平面内的一条直线垂直,能判定这条直线和这个平面垂直吗? 学生容易回答说,不能. 要求举反例说明的时候,学生就容易举平面内的一条直线. 进而引导学生思考,如果直线和平面相交,但不垂直,平面内能找到与这条直线垂直的一条直线吗? 如果学生抽象地去想,那么他们得出正确的结论很困难. 这时,指导学生用带直角的尺去操作一下. 有的同学能找到, 按如下操作方式:其一直角边贴在桌面上当直线,另一直角边与桌面相交但不垂直,这样学生就理解了:在平面内能找到平面的斜线的垂线. 再让每名同学动手操作一下体会体会. 平面内存在平面的斜线的垂线,这是学生对垂直概念理解的一个难点. 通过这种操作,能加深学生的理解和认识. 2.如果直线与平面内的两条直线垂直,能判定这条直线和这个平面垂直吗? 如果是两条平行线,不行. 由探究1知,有一条,通过平行,就会有两条,进而有无穷多条. 这样,也理解了定义中不能把“任一条”换为“无穷多条”,因为有一条,通过平行,就会有无穷多条. 如果是两条相交直线, 行. 设计这样一个操作:请同学们随意拿一本书,从某页翻开,立在桌面上. 由于每页都是矩形, 书脊所在的直线垂直于桌面上的两条相交直线,书脊所在的直线就和桌面垂直. 学生能直观感知书脊所在的直线与桌面上的两条相交直线垂直, 就与桌面垂直. 如何理解呢? 如果把打开的两页书在桌面上绕书脊旋转一周,就会导出和任一条直线垂直了, 从而用定义可以解释了. 关于此定理的严格证明,课本不要求,以后可以用空间向量来证.

在辅导答疑时,学生对有些问题想不明白的时候,我也时常设计一些触手可及的几何直观帮助他们来理解相关的问题. 比如学生问了这样一个问题: 一个二面角的两个半平面分别垂直于另一个二面角的两个半平面,则这两个二面角的大小关系是 ().

A. 相等B. 互补C. 相等或互补D. 不一定

此题抽象地思考不容易得到解答,我设计了这样一个几何直观:在教室内很容易找到三个互相垂直的墙面,其中一个墙面是窗户所在的平面,一个是地面,一个是黑板所在的平面. 取地面和黑板所在的平面形成一个二面角1, 打开窗户,窗户和它所在的墙面形成一个二面角2,这样两个二面角符合题目条件:一个二面角的两个半平面分别垂直于另一个二面角的两个半平面,二面角1的大小是90°,二面角2的大小随着窗户的开合,大小是不同的,可能互补,可能相等,也可能既不互补也不相等,因此选D.这个几何直观把窗户所在的平面换成门所在的平面也可以. 通过这个几何直观, 学生理解起来就容易多了.

几何直观是立体几何最本质的优势, 在教学和辅导中,教师要有意识地引导学生从他们的生活经验出发,把几何图形与所学内容联系起来,使他们充分利用触手可及的几何直观,有效地发展他们的空间观念,从而形成应用意识,加深对所学内容的理解. 学生手中的笔和尺,教室中的墙面、地面、桌面等都可以作为立体几何的几何直观.

摘要：立体几何的教学中,我们往往会忽视几何直观,而强调其他方面.几何直观是立体几何最本质的优势,我们要重视对学生进行几何直观的应用意识的培养.本文是针对直线与平面垂直、平面与平面垂直的几何直观方面的教学研究.

篇6：挖掘隐藏垂直速证垂直关系

一、正方形中隐藏的垂直

结论①：正方形ABCD中，E、F分别为AB、BC的中点，则DE⊥AF．

简证：易证△ABF≌△ADE，

得∠BAF=∠ADE，

则∠DAF+∠ADE=90°，即AF⊥DE．

例1：如图，四边形ABCD是边长为1的正方形，MD⊥平面ABCD，NB⊥平面ABCD，且MD=NB=1，E为BC的中点，在线段AN上是否存在点S，使得ES⊥平面AMN？若存在，求线段AS的长；若不存在，请说明理由.

故在AN上存在点S，满足AS=12AN=22时，有ES⊥平面AMN.

评注：在确定若有ES⊥平面AMN，则S必为AN中点后，由于E为正方形一边BC的中点，自然考虑作AB中点T，以达到将AE⊥DT这一隐藏的垂直条件用起来的目的．

二、边长比为1∶2的矩形中隐藏的垂直

结论②：矩形ABCD中，BC=2AB，E为BC的中点，则AC⊥DE．

简证：ABBC=CEDC=22，得△ABC∽△ECD，∴∠ACB=∠EDC，

所以∠EDC+∠ACD=90°，即AC⊥DE．

例2如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，AP=AB=2，BC=22，E,F分别是AD,PC的中点.求证：PC⊥平面BEF

解析：连接AC

∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥AB，PA⊥BE，∵PA=AB=2，∴PB=22，

∵BC=22，F为PC中点，∴BF⊥PC

由结论②知AC⊥BE，∴BE⊥平面PAC，∴PC⊥BE，

又BE∩BF=B，∴PC⊥平面BEF

评注：由于PC⊥BE易证，再抓住隐藏的AC⊥BE，简单转化后即得线面垂直．

三、边长比为1∶2的矩形中隐藏的垂直

结论③：矩形ABCD中BC=2AB，E为AD的中点，则BE⊥CE．

简证：BC=2AB，E为AD中点，则AB=AE，DE=DC，

∴∠AEB=∠DEC=45°，即BE⊥EC．

例3如图所示，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB=AD=1，AA1=2，M是棱CC1的中点.证明：平面ABM⊥平面A1B1M

解析：由ABCD－A1B1C1D1为长方体知A1B1⊥平面B1BCC1，

又BM平面B1BCC1，则BM⊥A1B1.由结论③知BM⊥B1M，

∴BM⊥平面A1B1M，∵BM平面ABM，∴平面ABM⊥平面A1B1M．

评注：要证平面ABM⊥平面A1B1M，由于隐藏BM⊥B1M，自然想到BM⊥平面A1B1M．当然，证明B1M⊥平面ABM也可．

四、上下底与直角腰比为1∶2∶1的直角梯形中隐藏的垂直

结论④：直角梯形ABCD中，AD∥BC且∠ABC=90°， 12BC=AD=AB，则BD⊥DC．

评注：上下底比为1:2的梯形是立几证明中常见的图形，若是直角梯形，常利用隐藏的垂直，若不是直角梯形，常取较长底的中点，构造平行四边形．

由上面的几个例题可以看出：掌握这些隐藏的垂直关系，可以让我们迅速理清证明思路，不需要再为探寻垂直关系而挖空心思，可起到事半功倍的效果．当然这些结论虽有助于我们快速解决问题，但不能作为定理运用，在具体的证明过程中应将这些结论证明过程写出来方可．

巩固练习：

篇7：大豆垂直搜索引擎的研究与设计

随着互联网技术的迅速发展,网络信息资源呈现一种爆炸式的增长态势,搜索引擎逐渐成为人们获取网络信息的首选工具。搜索引擎是一种在Web上应用的软件系统,它以一定的策略在Web上搜集和发现信息,在对信息进行处理和组织后,为用户提供Web信息服务[1]。1994年出现的Yahoo,1998年出现的Google和国内的Baidu等综合性搜索引擎成为获取信息的主要入口,就能够检索出海量的信息,例如在百度上输入关键词“大豆病虫害”进行检索,就能够搜索出1 710 000条相关信息,在这上百万的数据中包含着很多重复信息和垃圾信息,用户很难快速、准确地定位到所需要的信息。为了解决这一问题,随着搜索引擎技术的发展与改进,专门用来查询某一学科领域或主题的搜索引擎即“垂直搜索引擎”也就应运而生。垂直搜索引擎(vertical search engine),即专业或主题搜索引擎,是搜索引擎的细分和延伸[2],是专门用来查询某一领域或主题信息的查询工具,主要收录某一主题的信息[3]。

目前,互联网上的大豆相关信息极为丰富和广泛,从事大豆生产加工、科研以及流通工作的人员大多通过搜索引擎在互联网上获取相关信息。用户通过综合性的搜索引擎进行信息检索时,反馈给用户海量的含有重复信息和垃圾信息的数据集,用户不能很快、准确地定位到需求信息。因此,需要设计一个由专业人员对大豆信息进行审核、维护和管理的大豆垂直搜索引擎工具,给用户提供高质量的数据集,减少用户检索信息所耗费的时间和精力,以使用户在互联网上能够快速、准确地定位信息,从而快速推进我国农业大豆领域的全面发展和促进大豆信息技术的与时俱进。

1 农业搜索引擎研究现状

我国农业信息网站发展迅速,各种农业搜索引擎应运而生,农业搜索引擎就是将垂直搜索技术应用于农业领域,服务于农民和农业工作者[4]。垂直搜索引擎对专业领域中的网页信息进行了更深入的信息采集、过滤筛选等,信息定位更加快速、准确,因而搜索引擎的垂直化和细分是其发展的必然趋势。

目前,基于垂直搜索理念和技术的农业搜索引擎得到了广泛的研究和应用。“中国搜农”是中国科学院合肥智能机械研究所研发的全面服务于三农的专业农业搜索引擎,该引擎采用了基于网页主体内容的索引,并通过学习推荐机制实时记录用户访问、完成数据预处理并生成推荐集合[5];“农搜”是中国农业科学院农业信息研究所开发的农业专业搜索引擎,它采用了高度优化的倒转索引引擎Lucene作为搜索模块开发基础[6]。这两个以农业为主题的垂直搜索引擎采集了数百万中文农业相关网页的信息[7]。笔者做了一个搜索“大豆病虫害”相关信息的测试,其检索结果和综合性的搜索引擎相比具有数量少、精确度高的优势,但对大豆相关用户来讲,这些农业搜索引擎仍存在着信息量多、信息更新速度慢、不够专业和死链接的问题。因此,为大豆相关用户建立大豆垂直搜索引擎系统显得更为重要。

2 大豆垂直搜索引擎体系结构

2.1 垂直搜索引擎工作原理

垂直搜索引擎的体系结构主要由网页信息采集、索引和检索3个子模块组成。其中,网页信息采集模块的核心是网络蜘蛛技术,网络蜘蛛需要有主题相关度识别的能力[8]。网络蜘蛛在目标网站上有礼貌地采集网页内容,然后,对其进行解析和主题过滤等预处理。同时,提取页面上与主题相关的超链接,等待网络蜘蛛对其进行深度地网页数据挖掘,以保证主题信息的全面性。索引模块对经过预处理的网页内容建立索引,并实时更新索引数据库。用户通过检索界面输入要查询的关键词,检索模块对用户的请求做出响应并查询索引项,最后将符合用户需求的结果列表按照一定的排序策略展现给用户。

2.2 大豆垂直搜索引擎体系结构

本文针对大豆主题用户的检索需求,对垂直搜索引擎体系结构和工作原理进行了研究,提出了大豆垂直搜索引擎的体系结构,如图1所示。大豆垂直搜索引擎由网页信息采集、索引、管理与审核和检索4个基本子模块组成,与现有的垂直搜索引擎相比,增加了管理与审核功能模块。管理与审核模块对目标网站等信息进行动态管理和维护,对索引数据进行分类、过滤,从而提高大豆垂直搜索引擎的准确性能和主题信息的质量。下面对大豆垂直搜索引擎的网页信息采集、索引和管理与审核功能模块进行介绍。

3 大豆垂直搜索引擎系统研究

3.1 网页信息采集模块

网页信息采集的任务是从指定的大豆网站上采集主题相关的内容信息,通过大豆主题网络蜘蛛(Spider)即网络爬虫(Crawler)在互联网上按照最佳优先搜索策略[9]、遵守机器人协议[10]的约束规则对目标网站进行有礼貌地信息采集。大豆主题网络蜘蛛采集网页信息的流程如图2所示。

大豆主题网络蜘蛛从初始URL库开始,指定的大豆网站作为参数传递给大豆主题网络蜘蛛,采用Socket方法与服务器建立通信连接,读取目标网站根目录下的robots.txt 文件,按照其约束规则对网页信息进行下载,并存储到初始网页库中;对初始网页库进行HTML解析、过滤,根据大豆主题词库对网页进行主题识别,将主题相关的文本内容存储到大豆主题页面库中,提取网页中与主题相关的超链接,等待网络蜘蛛对其进行抓取。通过设定爬取深度来控制网络蜘蛛,以免产生死循环。

大豆主题词库是用来存储大豆相关关键词的专业词库,直接影响着采集信息与大豆主题的相关度,决定着系统的精确性[11]。

本文将大豆主题词库结构按照类别设计成两层,第1层为大豆主题词所属的类别,本系统将大豆相关信息分为政策要览、农业领域、流通领域、大豆加工、现货价格、期货价格、相关品价格等类别;第2层为每个类别所包含的大豆主题词,其结构如图3所示。大豆主题网络蜘蛛对抓取的网页内容按照目标网站所属类别包含的主题词进行信息的过滤,提取主题相关的网页内容。

3.2 索引模块

索引是网页数据库和检索模块间的接口,是加快检索的一种有效途径[12]。本文索引的建立能够使管理与审核模块快速地从数据库中检索出数据,提高专业人员的管理效率。大豆垂直搜索引擎的索引形式采用倒排索引机制,倒排索引是面向词语的一种高效索引组织结构[13]。倒排索引由倒排列表构成,每个词对应一个倒排列表[14],对经过中文分词处理的文档集合中的每个关键词都建立一个包含文档编号、词频、类别的三元组倒排表。按照如下流程对文档集中所有关键词建立索引项,对一个关键词构建倒排表时,首先检查该词的倒排表是否已经存在,如果不存在,则为该关键词附加一个倒排表;如果存在,则需定位到该词的倒排表,检查该倒排表中三元组的文档编号是否与待处理词的文档编号一致,如果一致,则将倒排表中三元组的词频加1,如果不一致,则需要在倒排表的开始处新增一个三元组[15]。

3.3 管理与审核模块

管理与审核模块是一个应用管理平台,主要有管理和审核两个功能。管理功能对本系统进行动态维护,由专业人员对目标网站、大豆信息类别以及大豆主题词库进行管理,如增加、删除、更改等基本操作,还可以设置网络蜘蛛爬取的深度,从而提高系统的可维护性和可扩展性。审核功能是由专业人员对索引的大豆信息进行分类、过滤和审核,提供高质量的大豆相关信息。审核功能按照大豆信息类别加载索引数据,使用关键字描红技术对大豆信息数据中的大豆主题词进行描红,关键字描红是指将信息中的大豆主题词以特殊的颜色、字号、或字体进行标识,这样可以使专业人员快速地定位到主题词,从而易于判断、筛选和分类,减少工作量。

4 结论

篇8：垂直关系的教学设计

1教学内容解析

本节主要内容是直线和平面垂直的概念发现、直线和平面垂直的判定定理的探索过程，是在学习了空间的点、直线、平面之间的位置关系和直线、平面平行的判定及其性质之后进行的空间的另一种重要位置关系的学习．垂直是立体几何的核心概念之一．直线与平面垂直是直线与平面相交中的一种特殊情况，它既是直线与平面位置关系的深化，又是研究面面垂直、线面角、面面角的基础，在教材中起到了承上启下的作用，具有相当重要的地位．

新课标要求立体几何的学习采用直观感知、操作确认、思辨论证、度量计算等方法认识和探索几何图形及其性质．故对直线与平面垂直的定义的研究遵循“直观感知、抽象概括”的认知过程展开，而对直线与平面垂直的判定的研究则遵循“直观感知、操作确认、归纳总结、初步运用”的认知过程展开，通过该内容的学习，能进一步培养学生空间想象能力，发展学生的合情推理能力和一定的推理论证能力，体会“平面化”思想和“降维”思想．同时体验新课程倡导的自主探索、动手实践、合作交流等理念．

教学重点：直观感知、操作确认，概括出直线与平面垂直的定义和判定定理．

教学难点：操作确认并概括出直线与平面垂直的判定定理及初步运用．

2教学目标解析

2．1知识与技能

（1） 经历对实例、图片的观察，提炼直线与平面垂直的定义，并能正确理解直线与平面垂直的定义；

（2） 通过直观感知，操作确认，归纳直线与平面垂直的判定定理，并能运用判定定理证明一些空间位置关系的简单命题；

2．2过程与方法

（1） 通过类比空间的平行关系提高提出问题、分析问题的能力．

（2） 在探索直线与平面垂直判定定理的过程中发展合情推理能力，同时感悟和体验“空间问题转化为平面问题”、“线面垂直转化为线线垂直”、“无限转化为有限”等化归的数学思想．

（3） 尝试用数学语言(文字、符号、图形语言)对定义和定理进行准确表述和合理转换．

2．3情感、态度与价值观

经历线面垂直的定义和定理的探索过程，提高严谨与求实的学习作风，形成锲而不舍的钻研精神和科学态度．

3教学过程设计

3．1类比平行探索空间的垂直关系

问题1：第二章已学习了空间的哪些平行关系?体现了哪些重要的数学思想?其中线面平行的定义是什么?

问题2：对于空间的另一种重要的位置关系(垂直)已学习了什么?还打算学习什么?

设计意图：回顾空间的平行(线线、线面、面面)关系，进一步体会转化的思想方法，类比平行发现研究空间的另两种垂直(线面垂直、面面垂直)的必要性．提高提出问题、分析问题的能力．

师生活动：引导学生从平行的相互关系中体会线面转化为线线，面面转化为线面、线线的思想方法．用文字语言概括线面平行定义的实质是平面外的一条直线与平面内的任一条直线平行或异面．指出线面垂直与面面乖直正是第三节所要研究的内容．

篇9：“垂直与平行”教学设计

1.通过观察、讨论, 感知生活中垂直与平行的现象。

2.初步理解垂直与平行是同一平面内两条直线的两种位置关系, 认识垂直与平行。

3.培养学生的空间观念及空间想象能力, 引导学生合作探究的意识。

【教学重点】

正确理解“相交”“互相平行”“互相垂直”等概念, 发展空间观念。

【教具学具】

课件、三角板、直尺、白纸、彩笔、小棒。

【教学过程】

1.画图感知, 研究两条直线的位置关系

(让学生想象在无限大的平面上两条直线的位置关系)

师 (导入) :我们已经学习过直线、射线和线段三种图形, 谁来说说直线有什么特征?

(生答)

师:老师特别喜欢直线, 因为它没有端点, 可以向两端无限延伸, 想长就长, 想短就短。今天我们继续学习直线的有关知识。

(让学生画出同一平面内两条直线的各种位置关系)

师:我们一块来玩一个有趣的想象游戏!大家拿出准备好的白纸, 把这张白纸当作一个平面, 摸摸这个平面, 然后想象一下, 这个平面变得越来越大, 闭上眼睛接着想象, 越来越大, 变得无限大, 在这个无限大的平面上, 出现了一条直线, 又出现了一条直线, 想象这两条直线的位置是怎样的?请睁开眼睛把两条直线用直尺、彩笔画在纸上。

(学生动手操作)

2.观察分类, 了解平行与垂直的特征

(展示学生画出的各种线条)

师:画完的同学举起来互相看看, 相同吗?

生:不相同。

师:谁愿意把你画的两条直线展示给大家看看?

(学生展示)

师:仔细观察, 你们画的跟他一样吗?如果不一样, 可以补充。

(教师进行分类)

师:同学们的想象可真丰富, 想出了这么多不同的画法, 老师也画了4组直线。

(课件出示4组直线)

师:能把这4组直线分分类吗?互相讨论一下, 可以按什么标准分类?分成几类?

(小组讨论、交流, 探索平行的概念)

师:谁来说说你们把这4组直线分成了几类?谁和谁分为了一类?为什么把它们分为一类?

(学生交流)

师:刚才老师听到一个词“交叉”, 两条直线“交叉”了, 用数学语言应表述为两条直线“相交”了, 请同学们记住“相交”这个词。还有不同的分法吗?

生:我们组有别的分法。

师:给大家说说你们的分法。

生:把①②④分为一组, ③为一组。我们认为的①②④两条直线都是相交的, ③的两条直线是不相交的。

师:同意这样分吗?

生:同意。

生:不同意。

师:为什么?

生:②的两条直线明明没有相交。

师:对啊!这两条直线看起来好像是没有相交, 谁来说明一下。

生:这两条直线现在看起来虽然没有相交, 但直线是可以无限延伸的, 当我们把这两条直线再画长一些, 就可以清楚地看出这两条直线是相交的。

师:把②的两条直线向两端延长一些, 发现什么?

生:看似不相交的直线, 延长后都相交了。

师:那这两条直线, 到底是属于相交还是属于不相交呢?

生:相交。

师:那③的两条直线就一定不会相交吗?现在把这两条直线的两端延长, 相交了吗?

生:没有。

师:那想象一下, 如果把这两条直线无限延长下去, 它们会相交吗?

生:不会。

师:像这种在同一平面内永不相交的两条直线叫做平行线, 也可以说这两条直线互相平行。

师:在这个长方体上画了两条直线?这两条直线互相平行吗?为什么?

生:这两条直线不是互相平行的, 因为它们没在同一平面内。

师:那两条直线互相平行必须具备哪些条件?

生:在同一平面内, 永不相交。

师:生活中有哪些平行的例子呢?能说说吗?

生:黑板的上下两条边互相平行, 地板砖的左右两条边互相平行。

师:同学们真是生活中的细心人, 看下面哪组图形中的两条线互相平行, 为什么?

师:④这两条直线为什么不平行呢?

生:相交了。

师:相交形成了什么?

生:锐角、钝角。

师:形成几个角?几个什么角?

(生探索垂直的概念)

师:两条直线相交还能形成什么角?

生:直角。

师:刚才有谁画的两条直线相交成了直角。

生:我的同桌画的是直角。

师:你怎么知道?

生:用三角板量。

师:同学们真不简单, 知道用科学的方法验证, 让我们一起来量一量, 这两条直线相交成了什么角?

(让学生用三角板的直角去量)

师:这两条直线相交成什么角?

生:相交成直角。

师:两条直线相交成直角, 应画上直角符号。这种在同一平面内相交成直角的两条直线叫做互相垂直, 其中一条直线叫另一条直线的垂线, 这两条直线的交点叫做垂足。

师:生活中有哪些垂直的例子呢?谁来说说?

(生讨论并交流)

师 (小结) :这堂课, 我们研究的就是在同一平面内两条直线的两种特殊的位置关系, 即垂直与平行。

(引出课题———垂直与平行)

3.深化理解, 应用拓展

(学生回到主题图运动场)

师:一起看看运动场上有哪些地方运用到垂直与平行的知识?

生:双杠的两条横杠互相平行。

生:双杠的横杠和支架互相垂直。

师:同学们通过观察, 找到了运动场上的垂直与平行的现象。

师:认识了垂直和平行, 能用小棒摆一摆吗?

师:拿出一根红色和一根蓝色的小棒, 摆一摆, 使他们互相平行;再摆一根黄色的小棒, 使它跟红色的小棒互相平行, 请仔细观察蓝色的小棒和黄色的小棒, 发现了什么?