2010年高考数学试题分类集合与逻辑

2024-07-21

2010年高考数学试题分类集合与逻辑（共8篇）

篇1：2010年高考数学试题分类集合与逻辑

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2010年高考数学试题分类汇编集合与逻辑

2010年高考数学试题分类汇编--集合与逻辑

（2010上海文数）16.“"是”“成立的[答]（）（A）充分不必要条件.（B）必要不充分条件.（C）充分条件.（D）既不充分也不必要条件.解析：，所以充分；但反之不成立，如

（2010湖南文数）2.下列命题中的假命题是

A.B.C.D.【答案】C 【解析】对于C选项x＝1时，故选C

（2010浙江理数）（1）设P=｛x︱x<4｝,Q=｛x︱<4｝，则（A）

（B）

（C）

（D）解析：，可知B正确，本题主要考察了集合的基本运算，属容易题

（2010陕西文数）6.”a＞0“是”＞0“的(A)充分不必要条件（C）充要条件

[A]

（B）必要不充分条件

（D）既不充分也不必要条件

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解析：本题考查充要条件的判断，a＞0”是“＞0”的充分不必要条件

（2010陕西文数）1.集合A={x－1≤x≤2}，B＝｛xx＜1｝,则A∩B=

[D]

（B）{x－1≤x≤2}

(D){x－1≤x＜1}(A){xx＜1}(C){x－1≤x≤1}

解析：本题考查集合的基本运算

由交集定义得{x－1≤x≤2}∩｛xx＜1｝={x－1≤x＜1}

（2010辽宁文数）（1）已知集合，则

（A）

（B）

（C）

（D）

解析：选D.在集合中，去掉，剩下的元素构成

（2010辽宁理数）(11)已知a>0，则x0满足关于x的方程ax=6的充要条件是

(A)

(B)

(C)

(D)

【答案】C

【命题立意】本题考查了二次函数的性质、全称量词与充要条件知识，考查了学生构造二次函数解决问题的能力。

【解析】由于a>0,令函数，此时函数对应的开口向上，当x=时，精心收集

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取得最小值，而x0满足关于x的方程ax=b,那么x0==,ymin=，那么对于任意的x∈R,都有≥=

（2010辽宁理数）1.已知A，B均为集合U={1,3,5,7,9}的子集，且A∩B={3},B∩A={9},则A=（A）{1,3}

(B){3,7,9}

(C){3,5,9}

(D){3,9} 【答案】D 【命题立意】本题考查了集合之间的关系、集合的交集、补集的运算，考查了同学们借助于Venn图解决集合问题的能力。【解析】因为A∩B={3}，所以3∈A，又因为

B∩A={9}，所以9∈A，所以选D。本题也可以用Venn图的方法帮助理解。

（2010全国卷2文数）

（A）

（B）

（C）

（D）

【解析】 C ：本题考查了集合的基本运算.属于基础知识、基本运算的考查.∵

A={1,3}。B={3,5}，∴，∴故选 C.（2010江西理数）2.若集合，则=（）

A.B.精心收集

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C.D.【答案】 C 【解析】考查集合的性质与交集以及绝对值不等式运算。常见的解法为计算出集合A、B；，,解得。在应试中可采用特值检验完成。

（2010安徽文数）(1)若A=，B=，则=

(A)(-1，+∞)(B)(-∞，3)

(C)(-1，3)

(D)(1，3)C 【解析】，故选C.【方法总结】先求集合A、B，然后求交集，可以直接得结论，也可以借助数轴得交集.（2010浙江文数）（6）设0＜x＜，则“x sin2x＜1”是“x sinx＜1”的（A）充分而不必要条件

（B）必要而不充分条件（C）充分必要条件

（D）既不充分也不必要条件

解析：因为0＜x＜，所以sinx＜1，故xsin2x＜xsinx，结合xsin2x与xsinx的取值范围相同，可知答案选B，本题主要考察了必要条件、充分条件与充要条件的意义，以及转化思想和处理不等关系的能力，属中档题

（2010浙江文数）（1）设则

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(A)

(C)(B)(D)解析：,故答案选D，本题主要考察了集合的基本运算，属容易题

（2010山东文数）(7)设是首项大于零的等比数列，则“"是”数列是递增数列“的

（A）充分而不必要条件

(B)必要而不充分条件

(C)充分必要条件

(D)既不充分也不必要条件

答案：C

（2010山东文数）（1）已知全集，集合，则= A.B.C． D.答案：C

（2010北京文数）⑴ 集合，则=

(A){1,2}

(B){0,1,2}

(C){1,2,3}

(D){0,1,2,3} 答案：B

（2010北京理数）（6）a、b为非零向量。”“是”函数为一次函数“的

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（A）充分而不必要条件

（B）必要不充分条件

（C）充分必要条件

（D）既不充分也不必要条件

答案：B

（2010北京理数）（1）集合，则=

(A){1,2}

(B){0,1,2}

(C){x|0≤x<3}

(D){x|0≤x≤3} 答案：B

（2010天津文数）(7)设集合则实数a的取值范围是(A)

(B)

(C)

(D)【答案】C 【解析】本题主要考查绝对值不等式的基本解法与集合交集的运算，属于中等题。

由|x-a|<1得-1（2010天津理数）(9)设集合A=若AB,则实数a,b必满足

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（A）

（B）

（C）

（D）【答案】D 【解析】本题主要考查绝对值不等式的解法与几何与结合之间的关系，属于中等题。

A=｛x|a-1

（2010广东理数）5.”“是”一元二次方程“有实数解的 A．充分非必要条件

B.充分必要条件

C．必要非充分条件

D.非充分必要条件 5．A．由知，．[来

（2010广东理数）1.若集合A={-2＜＜1}，B={0＜＜2}则集合A ∩

B=（）

A.{-1＜＜1}

B.{-2＜＜1}

C.{-2＜＜2}

D.{0＜＜1} 1.D.．

（2010广东文数）10.在集合上定义两种运算○+和○*如下

○+

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那么○*○+ A.B.C.D.解：由上表可知：○+,故○*○+○*，选A

（2010广东文数）

（2010广东文数）1.若集合，则集合 A.B.C.D.解：并集，选A.（2010福建文数）12．设非空集合满足：当时，有。给出如下三个命题工：①若，则；②若，则；③若，则。其中正确命题的个数是 A．0

D．3

B．1

C．2

【答案】D

（2010福建文数）1．若集合，则等于（）A．

B．

C．

D．

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【答案】A 【解析】==,故选A．

【命题意图】本题考查集合的交运算,属容易题．

（2010全国卷1文数）(2)设全集，集合，则 A.B.C.D.2.C【命题意图】本小题主要考查集合的概念、集合运算等集合有关知识

【解析】，则=

（2010四川文数）（5）函数的图像关于直线对称的充要条件是

（A）

（B）

（C）

（D）

解析：函数f(x)＝x2＋mx＋1的对称轴为x＝－w_w w.k#s5_u.c o*m

于是－＝1 ==> m＝－2

答案：A

（2010四川文数）(1)设集合A={3，5，6，8}，集合B={4，5，7，8}，则A∩B等于

(A){3，4，5，6，7，8}

(B){3，6}

(C){4，7}

(D){5，8}

解析：集合A与集合B中的公共元素为5,8

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答案：D

（2010湖北文数）10.记实数...中的最大数为{...}，最小数为min{...}.已知的三边边长为、、（）,定义它的倾斜度为

则”t=1“是”为等边三解形“的 A,充分布不必要的条件

B.必要而不充分的条件

C.充要条件 D.既不充分也不必要的条件【答案】B 【解析】若△ABC为等边三角形时，即a=b=c，则则l=1；若△ABC为等腰三角形，如a=2,b=2,c=3时，则，此时l=1仍成立但△ABC不为等边三角形,所以B正确.（2010湖北文数）1.设集合M={1,2,4,8},N={x|x是2的倍数}，则M∩N= A.{2,4} B.{1,2,4}

C.{2,4,8}

D{1,2,8} 1．【答案】C 【解析】因为N={x|x是2的倍数}={...，0，2，4，6，8，...}，故所以C正确.（2010山东理数）1.已知全集U=R，集合M={x||x-1|2},则

（A）{x|-1

(B){x|-1x3}(C){x|x<-1或x>3}(D){x|x-1或x3}

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【答案】C 【解析】因为集合,全集，所以

【命题意图】本题考查集合的补集运算,属容易题.1.（2010安徽理数）

2、若集合，则

A、B、C、D、2.A

2.（2010湖北理数）10.记实数，......中的最大数为max，最小数为min。已知ABC的三边长位a,b,c（），定义它的亲倾斜度为

则”=1“是”ABC为等边三角形“的 A.必要而不充分的条件 B.充分而不必要的条件 C.充要条件

D.既不充分也不必要条件 10.【答案】A 【解析】若△ABC为等边三角形时，即a=b=c，则则l=1；若△ABC为等腰三角形，如a=2,b=2,c=3时，则，此时l=1仍成立但△ABC不为等边三角形,所以A正确.（2010湖南理数）1.已知集合M={1,2,3}，N={2,3,4}，则 A．

B.精心收集

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C．D.（2010湖南理数）2.下列命题中的假命题是 A．,2x-1>0

B., C．，D.，（2010湖北理数）2．设集合，则的子集的个数是 A．4

B．3

C ．2

D．1 2．【答案】A 【解析】画出椭圆和指数函数图象，可知其有两个不同交点，记为A1、A2，则的子集应为共四种，故选A.2010年高考数学试题分类汇编--集合与逻辑（2010上海文数）1.已知集合，则

。解析：考查并集的概念，显然m=2

（2010湖南文数）15.若规定E=的子集为E的第k个子集，其中k=，则

（1）是E的第___5_个子集；（2）E的第211个子集是_______

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（2010湖南文数）9.已知集合A={1,2,3，}，B={2，m，4}，A∩B={2,3}，则m=

（2010安徽文数）(11)命题”存在，使得“的否定是

11.对任意，都有.【解析】特称命题的否定时全称命题，”存在“对应”任意“.【误区警示】这类问题的常见错误是没有把全称量词改为存在量词，或者对于”>“的否定用”<“了.这里就有注意量词的否定形式.如”都是“的否定是”不都是“，而不是”都不是".（2010重庆文数）（11）设，则=____________.解析：

（2010重庆理数）(12)设U=，A=，若，则实数m=_________.解析：，A={0,3},故m=-3

（2010四川理数）（16）设S为复数集C的非空子集.若对任意，都有，则称S为封闭集。下列命题：

①集合S＝{a＋bi|（为整数，为虚数单位）}为封闭集；w_w_w.k*s 5*u.c o*m ②若S为封闭集，则一定有； ③封闭集一定是无限集；

④若S为封闭集，则满足的任意集合也是封闭集.w_w w.k#s5_u.c o*m

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其中真命题是

（写出所有真命题的序号）解析：直接验证可知①正确.当S为封闭集时，因为x－y∈S，取x＝y，得0∈S，②正确

对于集合S＝{0}，显然满足素有条件，但S是有限集,③错误

取S＝{0}，T＝{0,1}，满足,但由于0－1＝－1?T，故T不是封闭集，④错误答案：①②

（2010福建文数）15．对于平面上的点集，如果连接中任意两点的线段必定包含于，则称为平面上的凸集，给出平面上4个点集的图形如下（阴影区域及其边界）：

其中为凸集的是

（写出所有凸集相应图形的序号）。【答案】②③

（2010四川文数）（16）设S为复数集C的非空子集.若对任意，都有，则称S为封闭集。下列命题：w_w w.k#s5_u.c o*m

①集合S＝{a＋bi|（为整数，为虚数单位）}为封闭集； ②若S为封闭集，则一定有； ③封闭集一定是无限集；

④若S为封闭集，则满足的任意集合也是封闭集.精心收集

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其中真命题是

（写出所有真命题的序号）解析：直接验证可知①正确.当S为封闭集时，因为x－y∈S，取x＝y，得0∈S，②正确

对于集合S＝{0}，显然满足素有条件，但S是有限集,③错误

取S＝{0}，T＝{0,1}，满足,但由于0－1＝－1?T，故T不是封闭集，④错误

答案：①②w_w w.k#s5_u.c o*m

（2010江苏卷）

1、设集合A={-1,1,3}，B={a+2,a2+4},A∩B={3}，则实数a=______▲_____.[解析] 考查集合的运算推理。3B, a+2=3, a=1.精心收集

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篇2：2010年高考数学试题分类集合与逻辑

2014年高考数学（文）真题分类汇编：集合与常用逻辑用语 A1集合及其运算

1．[2014·北京卷] 若集合A＝{0，1，2，4}，B＝{1，2，3}，则A∩B＝()

A．{0，1，2，3，4}B．{0，4}

C．{1，2}D．{3}

1．C

1．[2014·福建卷] 若集合P＝{x|2≤x<4}，Q＝{x|x≥3}，则P∩Q等于()

A．{x|3≤x<4}B．{x|3

C．{x|2≤x<3}D．{x|2≤x≤3}

1．.A

16．[2014·福建卷] 已知集合{a，b，c}＝{0，1，2}，且下列三个关系：①a≠2；②b＝2；③c≠0有且只有一个正确，则100a＋10b＋c等于________．

16．201

1．[2014·广东卷] 已知集合M＝{2，3，4}，N＝{0，2，3，5}，则M∩N＝()

A．{0，2}B．{2，3}

C．{3，4}D．{3，5}

1．B

1．[2014·湖北卷] 已知全集U＝{1，2，3，4，5，6，7}，集合A＝{1，3，5，6}，则∁UA＝()

A．{1，3，5，6}B．{2，3，7}

C．{2，4，7}D．{2，5，7}

1．C

2．[2014·湖南卷] 已知集合A＝{x|x＞2}，B＝{x|1＜x＜3}，则A∩B＝()

A．{x|x＞2}B．{x|x＞1}

C．{x|2＜x＜3}D．{x|1＜x＜3}

2．C

11．[2014·重庆卷] 已知集合A＝{3，4，5，12，13}，B＝{2，3，5，8，13}，则A∩B＝________．

11．{3，5，13}

1．[2014·江苏卷] 已知集合A＝{－2，－1，3，4}，B＝{－1，2，3}，则A∩B＝________．

1．{－1，3}

2．[2014·江西卷] 设全集为R，集合A＝{x|x2－9<0}，B＝{x|－1

A．(－3，0)B．(－3，－1)

C．(－3，－1]D．(－3，3)

2．C

1．[2014·辽宁卷] 已知全集U＝R，A＝{x|x≤0}，B＝{x|x≥1}，则集合∁U(A∪B)＝()

A．{x|x≥0}B．{x|x≤1}

C．{x|0≤x≤1}D．{x|0＜x＜1}

1．D

1．[2014·全国卷] 设集合M＝{1，2，4，6，8}，N＝{1，2，3，5，6，7}，则M∩N中元素的个数为()

A．2B．3

C．5D．7

1．B

1．[2014·新课标全国卷Ⅱ] 已知集合A＝{－2，0，2}，B＝{x|x2－x－2＝0}，则A∩B＝()

A．∅B．{2}

C．{0}D．{－2}

1．B

1．[2014·全国新课标卷Ⅰ] 已知集合M＝{x|－1＜x＜3}，N＝{－2＜x＜1}，则M∩N＝

()

A．(－2，1)B．(－1，1)

C．(1，3)D．(－2，3)

1．B

2．[2014·山东卷] 设集合A＝{x|x2－2x<0}，B＝{x|1≤x≤4}，则A∩B＝()

A．(0，2]B．(1，2)

C．[1，2)D．(1，4)

2．C

1．[2014·陕西卷] 设集合M＝{x|x≥0，x∈R}，N＝{x|x2＜1，x∈R}，则M∩N＝()

A．[0，1]B．(0，1)C．(0，1]D．[0，1)

1．D

1．[2014·四川卷] 已知集合A＝{x|(x＋1)(x－2)≤0}，集合B为整数集，则A∩B＝()

A．{－1，0}B．{0，1}

C．{－2，－1，0，1}D．{－1，0，1，2}

1．D

20．[2014·天津卷] 已知q和n均为给定的大于1的自然数，设集合M＝{0，1，2，„，－q－1}，集合A＝{x|x＝x1＋x2q＋„＋xnqn1，xi∈M，i＝1，2，„，n}．

(1)当q＝2，n＝3时，用列举法表示集合A.－－(2)设s，t∈A，s＝a1＋a2q＋„＋anqn1，t＝b1＋b2q＋„＋bnqn1，其中ai，bi∈M，i＝1，2，„，n.证明：若an＜bn，则s＜t.20．解：(1)当q＝2，n＝3时，M＝{0，1}，A＝{x|x＝x1＋x2·2＋x3·22，xi∈M，i＝1，2，3}，可得A＝{0，1，2，3，4，5，6，7}．

－－(2)证明：由s，t∈A，s＝a1＋a2q＋„＋anqn1，t＝b1＋b2q＋„＋bnqn1，ai，bi∈M，i

＝1，2，„，n及an

－－s－t＝(a1－b1)＋(a2－b2)q＋„＋(an－1－bn－1)qn2＋(an－bn)qn1

－≤(q－1)＋(q－1)q＋„＋(q－1)q n－2－qn1

（q－1）（1－qn1）n－1＝－q 1－q

＝－1<0，所以s

A．(－∞，5]B．[2，＋∞)

C．(2，5)D．[2，5]

1．D [解析] 依题意，易得S∩T＝[2，5]，故选D.A2命题及其关系充分条件必要条件

5．[2014·北京卷] 设a，b是实数，则“a＞b”是“a2＞b2”的()

A．充分而不必要条件

B．必要而不充分条件

C．充分必要条件

D．既不充分也不必要条件

5．D

7．[2014·广东卷] 在△ABC中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，则“a≤b”是“sin A≤sin B”的()

A．充分必要条件

B．充分非必要条件

C．必要非充分条件

D．非充分非必要条件

7．A

6．[2014·江西卷] 下列叙述中正确的是()

A．若a，b，c∈R，则“ax2＋bx＋c≥0”的充分条件是“b2－4ac≤0”

B．若a，b，c∈R，则“ab2>cb2”的充要条件是“a>c”

C．命题“对任意x∈R，有x2≥0”的否定是“存在x∈R，有x2≥0”

D．l是一条直线，α，β是两个不同的平面，若l⊥α，l⊥β，则α∥β

6．D

5．[2014·辽宁卷] 设a，b，c是非零向量，已知命题p：若a·b＝0，b·c＝0，则＝0；命题q：若a∥b，b∥c，则a∥c.则下列命题中真命题是()

A．p∨qB．p∧q

C．(綈p)∧(綈q)D．p∨(綈q)

5．A

3．[2014·新课标全国卷Ⅱ] 函数f(x)在x＝x0处导数存在．若p：f′(x0)＝0，q：x＝x0是f(x)的极值点，则()

A．p是q的充分必要条件

B．p是q的充分条件，但不是q的必要条件

C．p是q的必要条件，但不是q的充分条件

D．p既不是q的充分条件，也不是q的必要条件

3．C

－

4．[2014·山东卷] 用反证法证明命题“设a，b为实数，则方程x2＋ax＋b＝0至少有一个实根”时，要做的假设是()

A．方程x2＋ax＋b＝0没有实根

B．方程x2＋ax＋b＝0至多有一个实根

C．方程x2＋ax＋b＝0至多有两个实根

D．方程x2＋ax＋b＝0恰好有两个实根

4．A

an＋an＋18．[2014·陕西卷] 原命题为“若an，n∈N＋，则{an}为递减数列”，关于其逆2

命题，否命题，逆否命题真假性的判断依次如下，正确的是()

A．真，真，真B．假，假，真

C．真，真，假D．假，假，假

8．A

15．[2014·四川卷] 以A表示值域为R的函数组成的集合，B表示具有如下性质的函数φ(x)组成的集合：对于函数φ(x)，存在一个正数M，使得函数φ(x)的值域包含于区间[－M，M]．例如，当φ1(x)＝x3，φ2(x)＝sin x时，φ1(x)∈A，φ2(x)∈B.现有如下命题：

①设函数f(x)的定义域为D，则“f(x)∈A”的充要条件是“∀b∈R，∃a∈D，f(a)＝b”； ②若函数f(x)∈B，则f(x)有最大值和最小值；

③若函数f(x)，g(x)的定义域相同，且f(x)∈A，g(x)∈B，则f(x)＋g(x)∈/B；

x④若函数f(x)＝aln(x＋2)＋(x＞－2，a∈R)有最大值，则f(x)∈B.x＋1

其中的真命题有________．(写出所有真命题的序号)

15．①③④

2．[2014·浙江卷] 设四边形ABCD的两条对角线为AC，BD，则“四边形ABCD为菱形”是“AC⊥BD”的()

A．充分不必要条件

B．必要不充分条件

C．充分必要条件

D．既不充分也不必要条件

2．A

6．[2014·重庆卷] 已知命题p：对任意x∈R，总有|x|≥0，q：x＝1是方程x＋2＝0的根．则下列命题为真命题的是()

A．p∧綈qB．綈p∧q

C．綈p∧綈qD．p∧q

6．A

A3基本逻辑联结词及量词

2．[2014·安徽卷] 命题“∀x∈R，|x|＋x2≥0”的否定是()．

A．∀x∈R，|x|＋x2<0

B．∀x∈R，|x|＋x2≤0

C．∃x0∈R，|x0|＋x20<0

D．∃x0∈R，|x0|＋x20≥0

2．C

5．[2014·福建卷] 命题“∀x∈[0，＋∞)，x3＋x≥0”的否定是()

A．∀x∈(－∞，0)，x3＋x<0

B．∀x∈(－∞，0)，x3＋x≥0

C．∃x0∈[0，＋∞)，x30＋x0<0

D．∃x0∈[0，＋∞)，x30＋x0≥0

5．C

3．[2014·湖北卷] 命题“∀x∈R，x2≠x”的否定是()

A．∀x∈/R，x2≠xB．∀x∈R，x2＝x

C．∃x0∈/R，x20≠x0D．∃x0∈R，x20＝x0

3．D

1．[2014·湖南卷] 设命题p：∀x∈R，x2＋1＞0，则綈p为()

A．∃x0∈R，x20＋1＞0B．∃x0∈R，x20＋1≤0

C．∃x0∈R，x20＋1＜0D．∀x∈R，x2＋1≤0

1．B

3．[2014·天津卷] 已知命题p：∀x>0，总有(x＋1)ex>1，则綈p为（A．∃x0≤0，使得(x0＋1)ex0≤1

B.∃x0＞0，使得(x0＋1)ex0≤1

C.∀x＞0，总有(x＋1)ex≤1

D.∀x≤0，总有(x＋1)ex≤1

3．B

篇3：2010年高考数学试题分类集合与逻辑

题型一集合基本概念

例1 (辽宁卷)已知A、B均为集合U={1,3,5,7,9}的子集,且A∩B={3},(CUB)∩A={9},则A=()

(A){1,3}(B){3,7,9}

(C){3,5,9}(D){3,9}

解析:因为A∩B={3},(CUB) n A={9},且B U (CUB)=U,所以A={3,9},故选(D).

例2 (湖南卷)已知集合M={1,2,3},N={2,3,4},则()

(A) M⊆N (B)N⊆M

解析:选项A、B显然不对.又M∪N={1,2,3,4},所以选项(D)错误.又M∩N={2,3},故选(C).

例3 (江苏卷)设集合A={-1,1,3},B={a+2,a2+4},A∩B={3},则实数

解析:因为A∩B={3},所以a+2=3或a2+4=3.由a为实数可解之得a=1.

解法归纳:此类试题应紧抓集合中元素的三要素:确定性、互异性、无序性,一方面利用集合中元素特点,列方程组求解,但仍要检验,看最后结果是否符合题意;另一方面可由集合中所有元素的和或积相等,整体考虑,列出方程组求解.

题型二子集或元素个数问题

例4 (湖北卷)设集合,B={(x,y)丨y=3x},则A∩B的子

集的个数是()

(A)4 (B)3 (C)2 (D) 1

解析:画出椭圆和指数函数y=3x图象,可知其有两个不同交点,记为A1、A2,则A∩B的子集应为ø、{A1},{A2},{A1,A2}共四种,故选(A).

例5 (上海卷)以集合U={a,b,c,d}的子集中选出2个不同的子集,需同时满足以下两个条件:(1)a、b都要选出;(2)对选出的任意两个子集A和B,必有A⊆B或B⊆A,那么共有______种不同的选法.

解析:由题意知,其中两个子集为ø和U,只需考虑另外两个子集的选法.(1)其中一个集合(如A)含1个元素时,有4种选法,相应地,另一个集合(如B)有6种选法,共24种;(2)其中一个集合(如A)含2个元素时,有6种选法,相应地,另一个集合有2种选法,共12种.综上总共有36种选法.

解法归纳:本题型以集合为背景,求子集个数、集合中元素个数等,常用的解法是:(1)图示法(即列举法)即符合集合元素特征的所有情况一一举例.(2)子集个数公式:由n个元素所组成的集合,其子集个数为2n个.

题型三集合间的包含关系及运算

例6 (浙江卷)(1)设P={x|x<4},Q={x|x2<4},则()

(A) p⊆Q (B) Q⊆P

解析:Q={x|-2

例7 (天津卷)设集合A={x||x-a|<1,x∈R},B={x||x-b|>2,x∈R},若A⊆B,则实数a,b必满足()

(A)|a+b|≤3 (B)|a+b|≥3

(C)|a-b|≤3 (D)|a-b|≥3

解析:A={x|a-1b+2或x

解法归纳:(1)借助数轴处理此类题型是一个最有效方法,主要是分清谁是谁的子集.(2)不可忽视空集这一特殊集合,不要将空集忘了考察.(3)关注集合的端点的取舍.

题型四交、并、补的运算

例8 (全国卷I)设全集U={1,2,3,4,5},集合M={1,4},N={1,3,5},则M∩(C UM)=()

(A){1,3}(B){1,5}

(C){3,5}(D)}4,5}

解析:CUM={2,3,5},所以N∩(CUM)={1,3,5}∩{2,3,5}={3,5}.故选(C).

例9 (全国新课标卷)已知集合A=}||x|≤2,x∈R|},,则A∩B=

(A)(0,2)(B)[0,2]

(C){0,2}(D){0,1,2}

解析:由已知得A={x|-2≤x≤2},B={0,1,…,16},所以AB={0,1,2}.故选(D).

解法归纳:此类试题首先要求考生对交集、并集、补集的定义及相关性质非常熟悉;其次解题之后要注意检验,看所得答案是否符合题中条件;再次,在运算方法选择上可适时选用数轴、Venn图等,可提高思维起点,简化运算过程,提高运用数形结合解题的能力.

题型五与集合有关的新定义

例10 (广东卷)在集合}a,b,c,d}上定义两种运算⊕和⊗如下:

那么d⊗(a⊗c)=()

(A) a (B) b (C) c (D) d

解析:由所给运算知a⊗c=c,因此d⊗c=a.故选(A).

例11 (四川卷)设S为复数集C的非空子集.若对任意x,y∈S,都有x+y,x-y,xy∈S,则称S为封闭集.下列命题:①集合S={a+bi|(a,b为整数,i为虚数单位)}为封闭集;②若S为封闭集,则一定有0∈S;③封闭集一定是无限集;④若S为封闭集,则满足S⊆T⊆C的任意集合T也是封闭集.其中真命题是(写出所有真命题的序号)

解析:对于整数a1,b1,a2,b2,有所以①正确.

当a1=a2,b1=b2时所以②正确.

当S={0}时,S为封闭集,所以③错误.

取S={0},T={0,1,2,3}时,显然2×3=6T,所以④错误.

答案:①②.

解法归纳:此类试题主要考查阅读与理解、信息迁移以及学生的学习潜力,考查学生分析问题和解决问题的能力.属于创新题型,情景新,知识点活,有很强的发散性.处理此类问题的关键是准确理解题中的新概念、新运算、新关系,再通过合理的逻辑推理,抓住共性来进行探索,从而发现不变的规律,化解难点.

链接练习:

1.设集合,B={x|x 2≤}1,则A∪B=()

(C){x|x<2}

(D){x|1≤x<2}

2.(集合A={0,2,a},B={1,a2},若A∪B={0,1,2,4,16},则a的值为()

(A) 0 (B) 1 (C) 2 (D)4

3.设A是整数集的一个非空子集,对于k∈A,如果k-1A且k+1A,那么k是A的一个“孤立元”,给定S={1,2,3,4,5,6,7,8},由S的3个元素构成的所有集合中,不含“孤立元”的集合共有一个.

3.解析:什么是“孤立元”?依题意可知,必须是没有与k相邻的元素,因而无“孤立元”是指在集合中有与k相邻的元素.故所求的集合可分为如下两类:因此,符合题意的集合是:{1,2,3},{2,3,4},{3,4,5},{4,5,6},{5,6,7},{6,7,8}共6个.

故应填6.

4.已知全集U={1,2,3,4,5,6,7,8},M={1,3,5,7},N={5,6,7},则CU(A∪N)=()

(A){5,7}(B){2,4}

(C){2.4.8}(D){1,3,5,6,7}

5.已知全集U=R,集合M={x|-2≤x-1≤2}和N={x|x=2k-1,k=1,2,…}的关系的韦恩(Venn)图如图1所示,则阴影部分所示的集合的元素共有()

(A)3个(B)2个

参考答案:

1.(A)解析:因为2},B={x|x2≤1}={x|-1≤x≤1},所.以A∪B={x|-1≤x<2},故选(A).

2.(D)解析:因为A={0,2,a}B={1,a2},A∪B={0,1,2,4,16}.所以所以a=4,故选(D).

4.(C)

篇4：2010年高考数学试题分类集合与逻辑

1凸显新课程理念，融考查历史思维能力和历史情感、价值观于一体。

整个试卷通过选取大量原始文献、图片、图表、漫画等，强调运用新的视角考查考生的历史思维能力、历史情感与历史价值观。如第2题，通过提供一幅上面刻有符号的陶尊图片和几种世界古老文字的原始材料，要求考生推断出土地区。这道题目难度不大，但注重考查考生对材料的处理与推断能力，同时激发考生对人类古老文明的热爱之情。再如，第35题“私人生活与社会变迁的联系”这道题，通过对改革开放30年来中国一个叫下岬村的村庄的调查，以小见大，通过下岬村家庭结构、生活水平、居住格局与设施的变迁，考查发生这样变化的体制原因、政策因素等，同时考查了考生对于改革开放30年来我国尤其是农村地区取得巨大成就的强烈感受。此外，类似的题目还有第24、30、32、33题等。

2强调考查基础知识和重要历史事实、历史概念，考查考生逻辑判断和推理的能力。

在今年的试题中，有近20题直接或间接考查了考生的基础知识。如第1题考查考生对我国古代传统史书体裁的理解与区别；第5题考查我国宋代的选官制度。尤其值得注意的是，第16题通过提供一段历史表述考查考生判断史实真伪的能力，应该是今年试题的一大亮点。逻辑推断能力也是历史思维能力的一个重要方面。逻辑推断一般有从史实到史实的过程，如第11题从路易十六的一篇日记到当天所发生的事情，第20题从陈独秀在某杂志创刊号上发表的文章到发表该文章的杂志名称等；有从历史结论到历史事实的过程，如第19题，从中产阶级概念会不断变化到中产阶级的主要成分；还有从史实到史论的过程，如第4题，由题干所述古希腊“民主政治”包括“人民”和“统治”两部分组成，到推断雅典民主政治的特点——除了A项，其他三项实际上不是由史实所推断出的正确结论，即史实与结论之间没有必然的逻辑联系。最为突出的是第36题。左侧是历史事实，右侧是历史结论。判断能否从史实直接推断出历史结论，要求考生不仅注意史论结合，更要注意历史事实与历史结论之间是否存在必然的、正确的逻辑联系。

3关注上海地方特色。

上海在近现代中国历史上占据了重要的地位。近年来，上海高考试题注重考查与上海有关的历史，今年也不例外。如第20题介绍陈独秀在上海创办《新青年》，拉开了新文化运动的序幕，体现了上海在近代思想文化解放中引领潮流的作用；第29题列出郑观应主张在上海举办“赛会”(世博会)的有利条件，更是关注了上海在2010年举办世博会这一重大事件，显示了上海作为国际大都市的重要地位。第37题关于上海会审公廨，则说明近代上海见证了西方列强攫取我国司法主权的屈辱历史，同时也告诉国人当时中国与西方在司法制度上存在的差异。

4不回避热点。

2008年至2009年是我国不寻常的一年。今年的上海试题予以了一定程度上的关注与重视。如第8题第五届美洲国家首脑会议，第33题法国佳士得拍卖行拍卖被掠走的中国圆明园珍藏品，第35题改革开放30周年等。

5注重文明史观的渗透。

文明史观是一种全新的史学范式，反映了史学研究的新趋势和新进展。文明史通过不同文明类型的演进过程探讨人类社会的进步。运用文明史观考查的题目，如第4题的古希腊政治文明，第6题的地域文明，第9题彼得大帝主动到西方学习先进文明，第10题近代西方的资产阶级政治文明，第13题我国古代印刷术文明成就和近代西方工业文明成就，第15题晚清顽固派抵制西方先进文明，第17题日本明治维新西方文明与日本传统文化的多元并存，第18题新式交通工具(即西方传人的先进文明)对传统观念的冲击，第26、34题大国的崛起与兴衰等。其中第34题，围绕“英国世纪”向“美国世纪”的转换，考查世界范围内霸权地位的变迁，引导考生用全球化视角考察一个国家的兴衰。

另外。今年上海历史卷的评分方法也做了改进，强调分层评分，凸显人文关怀。答案完整的、体现核心知识点的得高分，答案不完整、未能运用核心知识或仅运用边缘知识回答的得分不会高。整个试卷主观题部分答案采用分层评分的办法，体现了评分标准趋于合理化，同时也引领中学历史教学更加注重知识的分层和对重点知识、核心知识的高度重视。

今年上海历史试题的这些特征是新课程理念的重要体现，必将对即将进行的2010年高考带来一些深刻的启迪。为此，笔者提出一些备考建议，希望对同学们有所帮助。

1重视对历史基础知识的复习，突出历史主干知识，重视历史知识结构的重组。

虽然当前高考命题的指导思想是以能力测试为主导，但没有基础知识作支撑，能力的考查和培养就会成为无本之木、无源之水。所以，在复习中尤其是第一轮复习时，一定要强化对基础知识的掌握。

2坚持贯穿思维能力培养为主线。渗透文明史观、整体史观和唯物史观等史学观念。

上海卷是全国较早体现能力立意为主线的试卷，今年的试卷又较多地体现了对同学们理解、分析、评价、判断、推理等能力的考查。在平时的复习中，我们不应仅满足于“是什么”，更应通过设问、讨论、创设新情境、设计习题等手段挖掘“为什么”、“怎么样”。尤其要注意对历史判断与历史推理问题的强化训练。高中历史新课程比较突出地体现了三种史观——唯物史观、文明史观和全球化史观。对这三种史观的把握，既是我们学习新课程的前提，也是我们备战新课程高考的基础。

3要加强对近年来高考试卷尤其是命题特点、趋势的研究，注重复习方法与解题方法的科学探究。

每年的高考试题不断推陈出新，新材料、新图片层出不穷，考查角度也日趋多样化。在今后的复习过程中，我们要对这些试题进行认真的研究，探索一般命题规律，并举一反三、强化训练。譬如，今年上海历史卷中主观题的评分标准采用分层评分的方法，对于我们今后规范答题、增强适应高考的能力就具有重要的指导意义。

篇5：2010年高考数学试题分类集合与逻辑

第1部分:集合一、选择题：

2．（天津市武清区2009～2010学年高三下学期第一次模拟理）若全集U=R，集合A=｛x||x2|1｝，B=｛x|x1

x2，则CU(A∩B)为（B）0｝

A．｛x|x1或x2｝B．｛x|x1或x2｝

C．｛x|x1或x2｝D．｛x|x1或x2｝

1．（天津市武清区2009～2010学年高三下学期第一次模拟文）已知全集U={0，2，4，6，8，10}，集合A={2，4，6}，B＝{1}，则UA∪B为（A）

A．{0，1，8，10}B．{1，2，4，6}

C．{0，8，10}D．Φ

8．（天津市六校2010届高三第三次联考理科）已知集合22A{(x,y)||xa||y1|1},B{(x,y)|(x1)(y1)1}，若集合AB，则实数a的取值范围是

（A）A．[1,3] B．[12, 2] C．[-3，1] D．[0，2]

1.（天津市天津一中2010届高三第四次月考理科）若集合2x1Ax|2x1|3,Bx0,则A∩B是（D）3x

1 A.x1x或2x3B.x2x32C.x

11x2D.x1x22

二、填空题：

15.（天津市河西区2010届高三第一次模拟文科）设全集U＝{1,3，5，7 }，集合M＝{1,｜a-5｜}，= {5，7 },则a 的值为_____________。2或8 16．（天津市六校2010届高三第三次联考文科）若不等式xax(a0)的解集为

{x|mxn}，且|mn|2a，则a的取值集合为.{2}

篇6：2010年高考数学试题分类集合与逻辑

二、常用逻辑用语

一、单选题

1．（2021·浙江）已知非零向量，则“”是“”的（）

A．充分不必要条件

B．必要不充分条件

C．充分必要条件

D．既不充分又不必要条件

2．（2021·全国（理））等比数列的公比为q，前n项和为，设甲：，乙：是递增数列，则（）

A．甲是乙的充分条件但不是必要条件

B．甲是乙的必要条件但不是充分条件

C．甲是乙的充要条件

D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件

3．（2021·全国（理））已知命题﹔命题﹐，则下列命题中为真命题的是（）

A．

B．

C．

D．

4．（2020·天津）设，则“”是“”的（）

A．充分不必要条件

B．必要不充分条件

C．充要条件

D．既不充分也不必要条件

5．（2020·北京）已知，则“存在使得”是“”的（）．

A．充分而不必要条件

B．必要而不充分条件

C．充分必要条件

D．既不充分也不必要条件

6．（2020·浙江）已知空间中不过同一点的三条直线m，n，l，则“m，n，l在同一平面”是“m，n，l两两相交”的（）

A．充分不必要条件

B．必要不充分条件

C．充分必要条件

D．既不充分也不必要条件

7．（2019·北京（文））设函数f（x）=cosx+bsinx（b为常数），则“b=0”是“f（x）为偶函数”的A．充分而不必要条件

B．必要而不充分条件

C．充分必要条件

D．既不充分也不必要条件

8．（2019·全国（文））记不等式组表示的平面区域为，命题；命题.给出了四个命题：①；②；③；④，这四个命题中，所有真命题的编号是

A．①③

B．①②

C．②③

D．③④

9．（2019·浙江）若，则“”是

“”的A．充分不必要条件

B．必要不充分条件

C．充分必要条件

D．既不充分也不必要条件

10．（2019·天津（理））设，则“”是“”的A．充分而不必要条件

B．必要而不充分条件

C．充要条件

D．既不充分也不必要条件

11．（2019·北京（理））设点A，B，C不共线，则“与的夹角为锐角”是“”的A．充分而不必要条件

B．必要而不充分条件

C．充分必要条件

D．既不充分也不必要条件

12．（2019·天津（文））设，则“”是“”的A．充分而不必要条件

B．必要而不充分条件

C．充要条件

D．既不充分也不必要条件

13．（2019·上海）已知，则“”是“”的A．充分非必要条件

B．必要非充分条件

C．充要条件

D．既非充分又非必要条件

14．（2018·浙江）已知直线和平面，则“”是“”的（）

A．充分不必要条件

B．必要不充分条件

C．充要条件

D．既不充分也不必要条件

15．（2018·北京（理））设向量均为单位向量，则“”是“”的A．充分不必要条件

B．必要不充分条件

C．充要条件

D．既不充分又不必要条件

16．（2018·北京（理））设集合则

A．对任意实数a，B．对任意实数a，（2,1）

C．当且仅当a<0时,（2,1）

D．当且仅当

时,（2,1）

17．（2018·北京（文））

设a,b,c,d是非零实数，则“ad=bc”是“a,b,c,d成等比数列”的A．充分而不必要条件

B．必要而不充分条件

C．充分必要条件

D．既不充分也不必要条件

18．（2018·天津（理））设，则“”是“”的A．充分而不必要条件

B．必要而不充分条件

C．充要条件

D．既不充分也不必要条件

19．（2018·天津（文））

设，则“”是“”的A．充分而不必要条件

B．必要而不充分条件

C．充要条件

D．既不充分也不必要条件

20．（2017·山东（文））已知命题；命题若，则.下列命题为真命题的是（）

A．

B．

C．

D．

21．（2017·天津（文））设，则“”是“”的（）

A．充分不必要条件

B．必要不充分条件

C．充要条件

D．既不充分也不必要条件

22．（2017·天津（文））设，则“”是“”的（）

A．充要条件

B．充分而不必要条件

C．必要而不充分条件

D．既不充分也不必要条件

23．（2017·上海）已知、、为实常数，数列的通项，则“存在，使得、、成等差数列”的一个必要条件是（）

A．

B．

C．

D．

24．（2017·天津（理））设，则“”是“”的（）．

A．充分不必要条件

B．必要不充分条件

C．充要条件

D．既不充分也不必要条件

25．（2017·山东（理））已知命题p:

；命题q：若a＞b，则a2>b2，下列命题为真命题的是

A．

B．

C．

D．

26．（2017·浙江）

已知等差数列的公差为d,前n项和为,则“d>0”是

A．充分不必要条件

B．必要不充分条件

C．充分必要条件

D．既不充分也不必要条件

27．（2017·北京（文））设m,n为非零向量，则“存在负数，使得”是“”的A．充分而不必要条件

B．必要而不充分条件

C．充分必要条件

D．既不充分也不必要条件

二、填空题

28．（2020·全国（理））设有下列四个命题：

p1：两两相交且不过同一点的三条直线必在同一平面内.p2：过空间中任意三点有且仅有一个平面.p3：若空间两条直线不相交，则这两条直线平行.p4：若直线l平面α，直线m⊥平面α，则m⊥l.则下述命题中所有真命题的序号是__________.①②③④

29．（2018·北京（理））能说明“若f（x）>f（0）对任意的x∈（0，2］都成立，则f（x）在［0，2］上是增函数”为假命题的一个函数是__________．

30．（2018·北京（文））能说明“若a﹥b，则”为假命题的一组a，b的值依次为_________.31．（2017·北京（文））能够说明“设是任意实数,若,则”是假命题的一组整数的值依次为__________.近五年（2017-2021）高考数学真题分类汇编

二、常用逻辑用语（答案解析）

1．B

【解析】

若，则，推不出；若，则必成立，故“”是“”的必要不充分条件

2．B

【解析】

由题，当数列为时，满足，但是不是递增数列，所以甲不是乙的充分条件．

若是递增数列，则必有成立，若不成立，则会出现一正一负的情况，是矛盾的，则成立，所以甲是乙的必要条件．故选：B．

3．A

【解析】

由于，所以命题为真命题；

由于，所以，所以命题为真命题；

所以为真命题，、、为假命题.故选：A．

4．A

【解析】

求解二次不等式可得：或，据此可知：是的充分不必要条件.故选：A.5．C

【解析】

(1)当存在使得时，若为偶数，则；

若为奇数，则；

(2)当时，或，即或，亦即存在使得．

所以，“存在使得”是“”的充要条件.故选：C.6．B

【解析】

依题意是空间不过同一点的三条直线，当在同一平面时，可能，故不能得出两两相交.当两两相交时，设，根据公理可知确定一个平面，而，根据公理可知，直线即，所以在同一平面.综上所述，“在同一平面”是“两两相交”的必要不充分条件.故选：B

7．C

【解析】

时，,为偶函数；

为偶函数时，对任意的恒成立，得对任意的恒成立，从而.从而“”是“为偶函数”的充分必要条件，故选C.8．A

【解析】

如图，平面区域D为阴影部分，由得

即A（2，4），直线与直线均过区域D，则p真q假，有假真，所以①③真②④假．故选A．

9．A

【解析】

当时，则当时，有，解得，充分性成立；当时，满足，但此时，必要性不成立，综上所述，“”是“”的充分不必要条件.10．B

【解析】

化简不等式，可知

推不出；

由能推出，故“”是“”的必要不充分条件，故选B．

11．C

【解析】

∵A､B､C三点不共线,∴

|+|>|||+|>|-|

|+|2>|-|2•>0与的夹角为锐角.故“与的夹角为锐角”是“|+|>||”的充分必要条件,故选C.12．B

【解析】

等价于，故推不出；

由能推出．故“”是“”的必要不充分条件．故选B．

13．C

【解析】

设，可知函数对称轴为

由函数对称性可知，自变量离对称轴越远，函数值越大；反之亦成立

由此可知：当，即时，当时，可得，即

可知“”是“”的充要条件，本题正确选项：

14．D

【解析】

直线和平面，若，当时，显然不成立，故充分性不成立；

当时，如图所示，显然不成立，故必要性也不成立．

所以“”是“”的既不充分又不必要条件.故选：D

15．C

【解析】

因为向量均为单位向量

所以

所以“”是“”的充要条件

故选：C

16．D

【解析】

若，则且，即若，则，此命题的逆否命题为：若，则有，故选D.点睛：此题主要结合充分与必要条件考查线性规划的应用，集合法是判断充分条件与必要条件的一种非常有效的方法，根据成立时对应的集合之间的包含关系进行判断.设，若，则；若，则，当一个问题从正面思考很难入手时，可以考虑其逆否命题形式.17．B

【解析】

当时，不成等比数列，所以不是充分条件；

当成等比数列时，则，所以是必要条件.综上所述，“”是“成等比数列”的必要不充分条件，故选B.18．A

【解析】绝对值不等式，由.据此可知是的充分而不必要条件.本题选择A选项.19．A

【解析】求解不等式可得，求解绝对值不等式可得或，据此可知：“”是“”的充分而不必要条件.本题选择A选项.20．B

【解析】命题；知：是真命题，是假命题；

命题若，则；知：是假命题，是真命题；∴是真命题.故选：B

21．B

【解析】，即，即，因为集合是集合的真子集，所以“”是“”的必要不充分条件.故选：B.22．C

【解析】由解得.由得.所以“”是“”的必要而不充分条件

故选：C

23．A

【解析】

存在，使得成等差数列，可得化简可得，所以使得成等差数列的必要条件是.24．A

【解析】，但，不满足，所以是充分不必要条件，选A.25．B

【解析】

由时有意义，知p是真命题，由可知q是假命题，即均是真命题，故选B.26．C

【解析】

由，可知当时，有，即，反之，若，则，所以“d>0”是“S4

S6>2S5”的充要条件，选C．

27．A

【解析】

试题分析：若，使，则两向量反向，夹角是，那么；若，那么两向量的夹角为，并不一定反向，即不一定存在负数，使得，所以是充分而不必要条件，故选A.28．①③④

【解析】

对于命题，可设与相交，这两条直线确定的平面为；

若与相交，则交点在平面内，同理，与的交点也在平面内，所以，即，命题为真命题；

对于命题，若三点共线，则过这三个点的平面有无数个，命题为假命题；

对于命题，空间中两条直线相交、平行或异面，命题为假命题；

对于命题，若直线平面，则垂直于平面内所有直线，直线平面，直线直线，命题为真命题.综上可知，为真命题，为假命题，为真命题，为假命题，为真命题，为真命题.故答案为：①③④.29．y=sinx（答案不唯一）

【解析】令，则f（x）>f（0）对任意的x∈（0，2］都成立，但f（x）在［0，2］上不是增函数.又如，令f（x）=sinx，则f（0）=0，f（x）>f（0）对任意的x∈（0，2］都成立，但f（x）在［0，2］上不是增函数.30．（答案不唯一）

【解析】当时，不成立，即可填．

篇7：2010年高考数学试题分类集合与逻辑

命

题

者

说

考

题

统

计

考

情

点

击

2018·全国卷Ⅰ·T2·集合的补集运算

2018·全国卷Ⅱ·T2·集合的元素个数

2018·全国卷Ⅲ·T1·集合的交集运算

2017·全国卷Ⅰ·T1·集合的交、并集运算

高考对本部分内容的考查主要是集合间的基本关系和运算，含有量词的命题的真假判断以及含有一个量词的命题的否定，多数与函数、不等式、复数等知识相结合，难度一般，属于送分题，故复习时不必做过多的探究，只要掌握以下知识点，就能保证不失分，得满分。

考向一

集合及运算

【例1】(1)(2018·全国卷Ⅰ)已知集合A＝{x|x2－x－2>0}，则∁RA＝()

A．{x|－1

B．{x|－1≤x≤2}

C．{x|x<－1}∪{x|x>2}

D．{x|x≤－1}∪{x|x≥2}

(2)(2018·辽宁五校联考)已知集合A＝{－2，－1,0,2,3}，B＝{y|y＝x2－1，x∈A}，则A∩B中元素的个数是()

A．2

B．3

C．4

D．5

(3)(2018·济南一模)已知集合A＝{x|ax－6＝0}，B＝{x|1≤log2x<2，x∈N}，且A∪B＝B，则实数a的所有值构成的集合是()

A．{2}

B．{3}

C．{2,3}

D．{0,2,3}

解析(1)解法一：解不等式x2－x－2>0得x<－1或x>2，所以A＝{x|x<－1或x>2}，所以∁RA＝{x|－1≤x≤2}。故选B。

解法二：因为A＝{x|x2－x－2>0}，所以∁RA＝{x|x2－x－2≤0}＝{x|－1≤x≤2}，故选B。

(2)因为A＝{－2，－1,0,2,3}，B＝{y|y＝x2－1，x∈A}＝{3,0，－1,8}，所以A∩B＝{0,3，－1}，所以A∩B中的元素有3个。故选B。

(3)因为A∪B＝B，所以A⊆B，又B＝{x|1≤log2x<2，x∈N}＝{2,3}。当a＝0时，集合A为空集，符合题意；集合A不是空集时，A＝{x|ax－6＝0}＝，由＝2或＝3，可得a＝3或a＝2，所以实数a的所有值构成的集合是{0,2,3}。故选D。

答案(1)B(2)B(3)D

(1)求解集合的运算中，要根据集合的表示把参与运算的各个集合求出，再根据交、并、补的定义进行运算。

(2)对于元素个数有限的集合一般可用列举的方法求解，若集合涉及不等式的解集，则常借助数轴处理。

变|式|训|练

1．设全集U＝R，集合A＝{y|y＝x2－2}，B＝{x|y＝log2(3－x)}，则(∁UA)∩B＝()

A．{x|－2≤x<3}

B．{x|x≤－2}

C．{x|x<－2}

D．{x|x<3}

解析　全集U＝R，集合A＝{y|y＝x2－2}＝{y|y≥－2}，所以∁UA＝{x|x<－2}。又B＝{x|y＝log2(3－x)}＝{x|3－x>0}＝{x|x<3}，所以(∁UA)∩B＝{x|x<－2}。故选C。

答案　C

2．已知集合A＝{x∈R|＝}，B＝{1，m}，若A⊆B，则m的值为()

A．2或

B．－1或2

C．2

D．－1

解析　由＝，得x≥0，x2－2≥0，x＝x2－2，得x＝2，因为A⊆B，所以m＝2。故选C。

答案　C

3．已知集合A＝{1,2,3,4,5}，B＝{(x，y)|x∈A，y∈A，x－y∈A}，则B中所含元素的个数为________。

解析　因为x∈A，y∈A，x－y∈A，所以当x＝5时，y可以是1,2,3,4；当x＝4时，y可以是1,2,3；当x＝3时，y可以是1,2；当x＝2时，y只能是1。综上所述，B中所含元素的个数为10。

答案　10

考向二

命题及其真假判断

【例2】(1)(2018·郑州预测)下列说法正确的是()

A．“若a>1，则a2>1”的否命题是“若a>1，则a2≤1”

B．“若am2

C．存在x0∈(0，＋∞)，使3x0>4

x0成立

D．“若sinα≠，则α≠”是真命题

(2)(2018·渭南质检)已知命题p：∃a，b∈R，a>b且>，命题q：∀x∈R，sinx＋cosx<。下列命题是真命题的是()

A．(綈p)∧q

B．p∧q

C．p∧(綈q)

D．(綈p)∧(綈q)

解析(1)对于A，“若a>1，则a2>1”的否命题是“若a≤1，则a2≤1”，故选项A错误；对于B，“若am23x，故选项C错误；对于D，“若sinα≠，则α≠”的逆否命题为“若α＝，则sinα＝”，且其逆否命题为真命题，所以原命题为真命题，故选D。

(2)命题p：当a>0，b<0时，表达式就成立；命题q：∀x∈R，sinx＋cosx＝sin≤，故表达式成立。故两个命题均为真命题。故选B。

答案(1)D(2)B

(1)命题真假的判定方法

①一般命题p的真假由涉及的相关知识辨别。

②四种命题真假的判断：一个命题和它的逆否命题同真假，而其他两个命题的真假无此规律，特别注意逆命题与否命题。

③形如p∨q，p∧q，綈p命题的真假根据p，q的真假与联结词的含义判定。

(2)全称命题与特称命题真假的判定

①全称命题：要判定一个全称命题是真命题，必须对限定集合M中的每一个元素x验证p(x)成立，要判定其为假命题时，只需举出一个反例即可。

②特称命题：要判定一个特称命题为真命题，只要在限定集合M中至少能找到一个元素x0，使得p(x0)成立即可；否则，这一特称命题就是假命题。

变|式|训|练

1．若命题p：对任意的x∈R，都有x3－x2＋1<0，则綈p为()

A．不存在x∈R，使得x3－x2＋1<0

B．存在x∈R，使得x3－x2＋1<0

C．对任意的x∈R，都有x3－x2＋1≥0

D．存在x∈R，使得x3－x2＋1≥0

解析　命题p：对任意的x∈R，都有x3－x2＋1<0的否定为綈p；存在x∈R，使得x3－x2＋1≥0。故选D。

答案　D

2．已知命题p：∀x>0，ln(x＋1)>0；命题q：若a>b，则a2>b2，下列命题为真命题的是()

A．p∧q

B．p∧(綈q)

C．(綈p)∧q

D．(綈p)∧(綈q)

解析　因为x>0，所以x＋1>1，所以ln(x＋1)>0，则命题p为真命题；因为1>－2，但12<(－2)2，所以命题q是假命题，则(綈q)是真命题，所以p∧(綈q)是真命题。故选B。

答案　B

考向三

充要条件

【例3】(1)(2018·天津高考)设x∈R，则“<”是“x3<1”的()

A．充分而不必要条件

B．必要而不充分条件

C．充要条件

D．既不充分也不必要条件

(2)(2018·北京高考)设a，b均为单位向量，则“|a－3b|＝|3a＋b|”是“a⊥b”的()

A．充分而不必要条件

B．必要而不充分条件

C．充分必要条件

D．既不充分也不必要条件

解析(1)解法一：由<，得0

解法二：由<，得0，3＝－<1，所以必要性不成立。故选A。

(2)因为|a－3b|＝|3a＋b|，所以(a－3b)2＝(3a＋b)2，所以a2－6a·b＋9b2＝9a2＋6a·b＋b2，又因为|a|＝|b|＝1，所以a·b＝0，所以a⊥b；反之也成立。故选C。

答案(1)A(2)C

充分条件与必要条件的三种判定方法

(1)定义法：正、反方向推理，若p⇒q，则p是q的充分条件(或q是p的必要条件)；若p⇒q，且qDp，则p是q的充分不必要条件(或q是p的必要不充分条件)。

(2)集合法：利用集合间的包含关系。例如，若A⊆B，则A是B的充分条件(B是A的必要条件)；若A＝B，则A是B的充要条件。

(3)转化法：若綈p是綈q的必要不充分条件，则p是q的充分不必要条件；若綈p是綈q的充要条件，则p是q的充要条件。

变|式|训|练

1．设a，b∈R，则“log2a>log2b”是“2a－b>1”的()

A．充分不必要条件

B．必要不充分条件

C．充要条件

D．既不充分也不必要条件

解析　因为log2a>log2b⇔a>b>0,2a－b>1⇔a>b，所以“log2a>log2b”是“2a－b>1”的充分不必要条件，故选A。

答案　A

2．(2018·福建联考)设命题p：x2－(2a＋1)x＋a2＋a<0，命题q：lg(2x－1)≤1，若p是q的充分不必要条件，则实数a的取值范围是()

A.B.C.D.解析　命题p：a答案　A

1．(考向一)(2018·济南联考)已知集合A＝{x|y＝}，A∩B＝∅，则集合B不可能是()

A．{x|4x<2x＋1}

B．{(x，y)|y＝x－1}

C．{y

D．{y|y＝log2(－x2＋2x＋1)}

解析　集合A＝{x|y＝}＝{x|x≥1}，对于A，{x|4x<2x＋1}＝{x|x<1}，满足A∩B＝∅；对于B，集合为点集，满足A∩B＝∅；对于C，{y＝{y，满足

A∩B＝∅；对于D，{y|y＝log2(－x2＋2x＋1)}＝{y|log2[－(x－1)2＋2]}＝{y|y≤1}，A∩B＝{1}≠∅。故选D。

答案　D

2．(考向一)(2018·西安联考)从集合{(x，y)|x2＋y2≤4，x∈R，y∈R}中任选一个元素(x，y)，则满足x＋y≥2的概率为________。

解析　如图，先画出圆x2＋y2＝4，再画出不等式组对应的可行域，即图中阴影部分，则所求概率P＝＝＝。

答案

3．(考向二)(2018·西安质检)已知命题p：∀x∈R，不等式ax2＋2x＋1<0解集为空集，命题q：f

(x)＝(2a－5)x在R上满足f

′(x)<0，若命题p∧(綈q)是真命题，则实数a的取值范围是()

A．

B．[3，＋∞)

C．[2,3]

D．∪[3，＋∞)

解析　由题意命题p：∀x∈R，不等式ax2＋2x＋1<0解集为空集。当a＝0时，不满足题意。当a≠0时，必须满足：解得a≥2；命题q：f

(x)＝(2a－5)x在R上满足f

′(x)<0可得函数f

(x)在R上单调递减，所以0<2a－5<1，解得

答案　D

4．(考向三)(2018·西安联考)在△ABC中，“·>0”是“△ABC是钝角三角形”的()

A．充分不必要条件

B．必要不充分条件

C．充要条件

D．既不充分也不必要条件

解析　解法一：设与的夹角为θ，因为·>0，即||·||cosθ>0，所以cosθ>0，θ<90°，又θ为△ABC内角B的补角，所以∠B>90°，△ABC是钝角三角形；当△ABC为钝角三角形时，∠B不一定是钝角。所以“·>0”是“△ABC是钝角三角形”的充分不必要条件。故选A。

解法二：由·>0，得·<0，即cosB<0，所以∠B>90°，△ABC是钝角三角形；当△ABC为钝角三角形时，∠B不一定是钝角。所以“·>0”是“△ABC是钝角三角形”的充分不必要条件。故选A。

答案　A

5．(考向三)(2018·辽师大附中模拟)“0

(x)＝满足：对任意的x1≠x2，都有f

(x1)≠f

(x2)”的()

A．充分不必要条件

B．必要不充分条件

C．充要条件

D．既不充分也不必要条件

解析　因为当0

(x)在(－∞，＋∞)上递减，所以任意x1≠x2都有f

(x1)≠f

(x2)，所以充分性成立；若m<0，g(x)在(1，＋∞)上递增，h(x)在(－∞，1)上递减，g(x)<0，h(x)≥0，满足对任意x1≠x2，都有f

(x1)≠f

(x2)，必要性不成立。故选A。

篇8：2010年高考数学试题分类集合与逻辑

集合与简易逻辑是高中数学的根基, 前者的概念与基本运算贯穿于函数、数列、三角、向量、概率等重要内容之中, 后者更是高中数学思维方式的原型.在学习中, 若能在扎实地弄懂基本概念的基础上, 再站在数学思想的高度上思考与分析问题, 则能更全面、透彻地理解问题的本质, 顺利、自然地解决问题.

1.原始实用的列举法

列举法是一种借助于某一具体事物的特定对象从逻辑上进行分析, 并将其本质内容一一罗列出来的手段.它是处理集合问题的一种常用的方法.

例1 若集合 $Μ = {0, 1, 2} ‚ Ν = {(x, y) | x - 2 y + 1 \geq 0$ 且x-2y-1≤0, x, y∈M}, 则N中元素的个数为 ( ) .

(A) 9 (B) 6 (C) 4 (D) 2

解: (1) 当x=0时, 由-2y+1≥0且-2y-1≤0, 得 $- \frac{1}{2} \leq y \leq \frac{1}{2}$ , 而y∈M, 则y=0;

(2) 当x=1时, 由-2y+2≥0且-2y≤0, 得0≤y≤1, 而y∈M, 则y=0或1;

(3) 当x=2时, 由-2y+3≥0且 $- 2 y + 1 \leq 0 ‚ \frac{1}{2} \leq y \leq \frac{3}{2}$ , 则

$\begin{array}{l} y = 1 . \\ ∴ Ν = {(0, 0), (1, 0), (1, 1), (2, 1)} ‚ 故选 C . \end{array}$

评注:本题抓住x, y∈M, 从x∈M入手, 分三类 (x=0, x=1, x=2) 实施列举, 直击问题的本质, 迅速地解决了问题.用列举法处理问题时, 有时不一定要将所有的情形一一列举出来, 在列举前作一番同类的处理, 可大大提高列举的效率.

2.好用实用的分类讨论法

分类讨论是处理一些情形多样、关系复杂的问题的实用方法.分类, 便于逐一击破.

例2 (2011年江苏卷) 设集合 $A = {(x, y) | \frac{m}{2} \leq (x - 2)^{2} + y^{2} \leq m^{2}, x, y \in R}, B = {(x, y) | 2 m \leq x + y \leq 2 m + 1, x, y \in R}$ , 若A∩B≠∅, 则实数m的取值范围是.

解:集合B表示两平行直线x+y=2m与x+y=2m+1之间的部分,

(1) 若m<0, 由A∩B≠∅知, 直线x+y=2m+1与圆 (x-2) 2+y2=m2有交点,

从而 $\frac{| 2 + 0 - (2 m + 1) |}{\sqrt{2}} \leq | m |$ ,

解之, 得 $\frac{2 - \sqrt{2}}{2} \leq m \leq \frac{2 + \sqrt{2}}{2}$ , 矛盾;

(2) 若 $m = 0, A = {(2, 0)}, B = {(x, y) | 0 \leq x + y \leq 1}$ , 它们没有公共点, 不符合题意;

(3) 若m>0, 由A∩B≠∅知, A≠∅, 有 $\frac{m}{2} \leq m^{2}$ , 解之, 得 $m \geq \frac{1}{2}$ , 这时集合A表示圆 $(x - 2)^{2} + y^{2} = \frac{m}{2}$ 与圆 (x-2) 2+y2=m2围成的环形, 从而直线x+y=2m与直线x+y=2m+1中至少有一条与圆 (x-2) 2+y2=m2有交点,

$∴ \frac{| 2 + 0 - 2 m |}{\sqrt{2}} \leq | m |$

或 $\frac{| 2 + 0 - (2 m + 1) |}{\sqrt{2}} \leq | m | .$

解之, 得 $\frac{2 - \sqrt{2}}{2} \leq m \leq 2 + \sqrt{2}$ ,

即 $\frac{1}{2} \leq m \leq 2 + \sqrt{2} .$

评注:分类, 就是更深入地挖掘题中所给的条件, 将隐含的东西一一暴露出来, 为解决问题提供更多的帮助.运用分类讨论思想解决问题时, 有时还需注意分层讨论.

3.应用广泛的数形结合法

对于一些具有较强几何意义的集合问题, 若能画出其对应的几何图形、韦恩图、数轴等, 可将抽象问题直观化, 一步到位地解决问题.

例3 (1) (2011年广东卷) 已知集合 $A = {(x, y) | x ‚ y$ 为实数, 且 $x^{2} + y^{2} = 1} ‚ B = {(x, y) | x ‚ y$ 为实数, 且 $x + y = 1}$ , 则A∩B的元素个数为 ( ) .

(A) 4 (B) 3 (C) 2 (D) 1

(2) (2011年辽宁卷) 已知M, N为集合I的非空真子集, 且M, N不相等, 若N∩ (∁IM) =∅, 则M∪N= ( ) .

(A) M (B) N (C) I (D) ∅

(3) (2011年天津理) 设集合 $A = {x | | x - a | < 1, x \in R} ‚ B = {x | | x - b | > 2, x \in R}$ .若A⊆B, 则实数a, b必满足 ( ) .

$\begin{array}{l} (A) | a + b | \leq 3 (B) | a + b | \geq 3 \\ (C) | a - b | \leq 3 (D) | a - b | \geq 3 \end{array}$

解: (1) A∩B的元素个数为圆x2+y2=1与直线x+y=1的交点个数, 故选C.

(2) 画出满足题意的韦恩图, 如图1所示, 故选A.

(3) 由题意可知,

$\begin{array}{l} A = {x | a - 1 < x < a + 1, x \in R} ‚ \\ B = {x | x < b - 2 或 x > b + 2, x \in R} . \end{array}$

若A⊆B, 在数轴上画出A, B,

则a+1≤b-2或a-1≥b+2,

∴a-b≤-3或a-b≥3,

即 $| a - b | \geq 3$ , 故选D.

评注:我们可以借助图形将抽象问题直观化, 更可以用数量关系精确地描述图形的特征, 实现数与形的完美融合, 如第 (3) 小题.图形便于指明解题方向, 数量利于强化解题细节.

4.随处可见的方程思想

根据题意建立等量关系 (方程或方程组) , 通过研究方程或方程组的解来解决问题的情况是普遍存在的, 其关键在于建立方程或方程组, 然后解之.

例4 (1) 设a, b∈R, 集合 ${1, a + b, a} = {0, \frac{b}{a}, b}$ , 则b-a= ( ) .

(A) 1 (B) -1 (C) 2 (D) -2

(2) (2011年湖北卷) 若实数a, b满足a≥0, b≥0, 且ab=0, 则称a与b互补, 记 $φ (a, b) = \sqrt{a^{2} + b^{2}} - a - b$ , 那么φ (a, b) =0是a与b互补的 ( ) .

(A) 必要而不充分条件

(B) 充分而不必要条件

(D) 既不充分也不必要条件

解析: (1) 方法一: $∵ {1, a + b, a} = {0, \frac{b}{a}, b} ‚$

∴必有a+b=0, 则 $\frac{b}{a} = - 1$ , 即a=-1,

有b=1, 从而b-a=2, 故选C.

方法二:由 ${1, a + b, a} = {0, \frac{b}{a}, b}$ ,

得

解之, 得, 故选C.

(2) 由 $φ (a, b) = \sqrt{a^{2} + b^{2}} - a - b = 0$ , 得

$\begin{array}{l} \sqrt{a^{2} + b^{2}} = a + b ‚ \\ ∴ {\begin{cases} a^{2} + b^{2} = a^{2} + b^{2} + 2 a b, \\ a + b \geq 0 \end{cases} \Rightarrow {\begin{cases} a b = 0 ‚ \\ a \geq 0, b \geq 0 . \end{cases} \end{array}$

反之也成立, 故选C.

评注:运用方程思想解决问题时, 依题意建立方程或方程组后, 需注意观察, 有时不一定需解出每个未知数才能得到结果, 如第 (1) 小题改为求a+b的值时, 可不解方程而得.

5.回归整体的函数思想

函数描述了自变量与因变量之间的对应关系, 体现了“联系和变化”的观点.函数思想即是构造函数从而利用函数的图象与性质 (单调性、奇偶性、周期性、最大值和最小值等) 解题的一种策略.有些问题若能回归到函数中去, 更便于整体地处理.

例5 (2010年辽宁卷) 已知a>0, 则x0满足关于x的方程ax=b的充要条件是 ( ) .

$\begin{array}{l} (A) \exists x \in R, \frac{1}{2} a x^{2} - b x \geq \frac{1}{2} a x_{0}^{2} - b x_{0} \\ (B) \exists x \in R, \frac{1}{2} a x^{2} - b x \leq \frac{1}{2} a x_{0}^{2} - b x_{0} \\ (C) \forall x \in R, \frac{1}{2} a x^{2} - b x \geq \frac{1}{2} a x_{0}^{2} - b x_{0} \\ (D) \forall x \in R, \frac{1}{2} a x^{2} - b x \leq \frac{1}{2} a x_{0}^{2} - b x_{0} \end{array}$

解:当a>0时, x0满足关于x的方程 $a x = b \Leftrightarrow x_{0} = \frac{b}{a}$ .令函数 $f (x) = \frac{1}{2} a x^{2} - b x$ , 此函数图象的开口方向向上, 对称轴为 $x = \frac{b}{a}$ , 则f (x) 在 $\frac{b}{a}$ 处取得最小值, 即 $\forall x \in R, f (x) \geq f (\frac{b}{a})$ , 也即C选项⇔f (x) 在 $x_{0} = \frac{b}{a}$ 处取得最小值, $∴ x_{0} = \frac{b}{a} \Rightarrow C$ 选项, 且C选项 $\Rightarrow x_{0} = \frac{b}{a} .$

故选C.

评注:本题通过构造函数 $f (x) = \frac{1}{2} a x^{2} - b x$ , 考察其最值解决了问题.若直接对各选项进行变形判断, 难于从整体的高度上看清问题的本质.

6.正难则反的补集思想

有些问题从正面考虑较为繁杂时, 我们不妨先考虑其反面, 从而达到化难为易的效果.

例6 (2011年安徽卷) 设集合 $A = {1, 2, 3, 4, 5, 6}, B = {4, 5, 6, 7}$ , 则满足S⊆A且S∩B≠∅的集合S的个数为 ( ) .

(A) 57 (B) 56 (C) 49 (D) 8

解法一:由S⊆A且S∩B≠∅知, S是A的非空子集, 且与B存在公共元素, 即S中必含4, 5, 6中至少一个元素, 因此可考虑S∩B=∅的情形:因为集合{1, 2, 3}的非空子集合有23-1=7个, A的非空子集有26-1=63个, 故满足题意的集合S的个数为63-7=56个.

解法二:由题意知, S的元素由两部分组成, 集合M={4, 5, 6}中的元素, 集合N={1, 2, 3}中的元素, 且必含M的元素, N的元素可有可无, 因此, 由分步计数原理知, (23-1) ×23=56, 故选B.

评注:本题若直接由S⊆A且S∩B≠∅展开列举, 需考虑S中含有“4 (5或6) , 4和5 (4和6或5和6) , 4, 5和6”三种情况, 计算量大, 且容易出错, 而从它的反面S∩B=∅入手, 可快速求解.

7.以退为进的特殊化思想

当遇到一些较为陌生、抽象的问题时, 可采用以退为进的策略, 将其特殊化, 退到最熟悉、特殊的地方, 理解好题意, 摸清规律, 再加以推广即可.

例7 (2011年广东卷) 设S是整数集Z的非空子集, 如果∀a, b∈S, 有ab∈S, 则称S关于数的乘法是封闭的.若T, V是Z的两个不相交的非空子集, T∪V=Z, 且∀a, b, c∈T, 有abc∈T;∀x, y, z∈V, 有xyz∈V, 则下列结论恒成立的是 ( ) .

(A) T, V中至少有一个关于乘法是封闭的

(B) T, V中至多有一个关于乘法是封闭的

(D) T, V中每一个关于乘法是封闭的

解:若取T=Z-, V=N, 满足T∩V=∅, T∪V=Z, 且∀a, b, c∈T, 有abc∈T;∀x, y, z∈V, 有xyz∈V, 此时T不封闭, V封闭, 排除D;若取T={奇数}, V={偶数}, 满足题设, 此时T, V都封闭, 排除B、C, 故选A.

评注:将整数集Z分成两个非空子集T, V, 使其满足题设, 较容易想到的两种特殊情况为T=Z-, V=N, 与T={奇数}, V={偶数}, 这也恰好击中了本题的要害.其实对A可作如下的证明:假设满足题设的T, V均不封闭, 则必存在a, b∈T, 使得ab∈V, 也存在x, y∈V, 使得xy∈T.不妨设ab=z, xy=c, 则abc=xyz, 有T∩V中含有元素abc (或xyz) , 与T∩V=∅矛盾, 故T, V中至少有一个关于乘法是封闭的.