考研数学高等数学讲义（通用6篇）
篇1：考研数学高等数学讲义
高等数学讲义--
无穷级数(数学一和数学三)
第八章
无穷级数（数学一和数学三）
引言：所谓无穷级数就是无穷多项相加，它与有限项相加有本质不同，历史上曾经对一个无穷级数问题引起争论。例如：
ΛΛ+-++-+-+1)1(1111n
历史上曾有三种不同看法，得出三种不同的“和”
第一种
0)11()11()11(=+-++-+-ΛΛ
第二种
1)11()11()11(1=-------ΛΛ
第三种
设S
n
=+-++-+-+ΛΛ1)1(1111
则[]S
=+-+--Λ11111,1S
S
=-,12=S
1=
S
这种争论说明对无穷多项相加，缺乏一种正确的认识。
1)
什么是无穷多项相加？如何考虑？
2)
无穷多项相加，是否一定有“和”？
3)
无穷多项相加，什么情形有结合律，什么情形有交换律等性质。因此对无穷级数的基本概
念和性质需要作详细的讨论。
§
8.1
常数项级数
（甲）
内容要点
一、基本概念与性质
1.基本概念
无穷多个数ΛΛ，，,321n
u
u
u
u
依次相加所得到的表达式ΛΛ+++++=∑∞
=n
n
n
u
u
u
u
u
3211
称
为数项级数（简称级数）。
∑===n
k
k
n
u
S
123n
u
u
u
u
++++L
（Λ,3,2,1=n）称为级数的前n
项的部分和，{}),3,2,1(Λ=n
S
n
称为部分和数列。
S
u
S，u
S，S
n
n
n
n
n
n
==∑∑∞=∞
=∞
→1
1)(lim
记以且其和为是收敛的则称级数存在若
n
n
S
∞
→lim
若不存在，则称级数∑∞
=1
n
n
u
是发散的，发散级数没有和的概念。
（注：在某些特殊含义下可以考虑发散级数的和，但在基础课和考研的考试大纲中不作这种要求。）
2．基本性质
（1）
如果
∑∑∑∑∑∞=∞
=∞=∞
=∞=++1
1)(,n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
v
b
u
a，bv
au，b，a
v
u
且等于收敛则为常数皆收敛和
（2）
在级数中增加或减少或变更有限项则级数的收敛性不变。
（3）
收敛级数具有结合律，也即对级数的项任意加括号所得到的新级数仍收敛，而且其和不
变。发散级数不具有结合律，引言中的级数可见是发散的，所以不同加括号后得到级数的情形就不同。
（4）
级数
∑∞
=1
n
n
u
收敛的必要条件是
0lim
=∞
→n
n
u
（注：引言中提到的级数
∑∞
=+-1
1,)
1(n
n
具有∞→n
lim
()不存在1
1+-n，因此收敛级数的必要条件不满
足，∑∞
=1
n
()
1+-n
发散。调和级数
∑
∞
=1
n
n
1满足∞→n
lim
但,01=n
∑∞
=1n
n
1却是发散的，所以满足收敛级数的必要条件∞
→n
lim
0=n
u，而
∑
∞
=1
n
n
u
收敛性尚不能确定。）
3．两类重要的级数
（1）等比级数（几何级数）
∑∞
=0n
n
ar
()0≠a
当1∑∞
=0n
n
ar
r
a
-=
1收敛
当1≥r
时，∑∞
=0
n
n
ar
发散
（2）p
一级数
∑∞
=11n
p
n
当p>1时，∑∞
=11n
p
n
收敛，当p
≤1时∑∞
=11
n
p
n
发散
（注：p>1时，∑∞=11
n
p
n的和一般不作要求，但后面用特殊的方法可知∑∞
=1n
6122
π=n）
二、正项级数敛散性的判别法
()Λ,3,2,10=≥n
u
n
若则∑∞
=1
n
n
u
称为正项级数，这时(){}n
n
n
S
n
S
S
所以Λ,3,2,11=≥+是单调
加数列，它是否收敛就只取决于n
S
是否有上界，因此
∑
∞
=1
n
n
n
S
u
?收敛有上界，这是正项级数
比较判别法的基础，从而也是正项级数其它判别法的基础。
1.比较判别法
如果皆成立时当设，u，cv
N
n
c
n
n
0,0>≥≥>∑∞=1
n
n
v
收敛，则∑∞=1
n
n
u
收敛；如果∑∞
=1
n
n
u
发散，则
∑∞
=1
n
n
v
发散。
2.比较判别法的极限形式
设),3,2,1(,0,0Λ=≥≥n
v
u
n
n
若∞
→n
lim
A
v
u
n
n
=
1)
当0∑∞
=1n
n
u
与
∑∞
=1
n
n
v
同时收敛或同时发散。
2)
当A=0时，若
∑∞
=1
n
n
v
收敛，则
∑∞
=1
n
n
u
收敛。
3)
当A=+∞时，若
∑∞
=1
n
n
u
收敛，则
∑∞
=1
n
n
v
收敛。
3．比值判别法（达朗倍尔）
设n
u
>0，而∞
→n
lim
ρ=+n
n
u
u
1）
当ρ∑∞
=1
n
n
u
收敛
2）
当ρ>1时(包括ρ=+∞)，则
∑∞
=1
n
n
u
发散
3）
当ρ=1时，此判别法无效（注：如果∞
→n
lim
n
n
u
u
+不存在时，此判别法也无法用）
4．根值判别法（柯西）
设n
u
≥0，而∞
→n
lim
ρ=n
n
u
1）
当ρ∑∞
=1
n
n
u
收敛
2）
当ρ>1时(包括ρ=+∞)，则∑∞
=1
n
n
u
发散
3）
当ρ=1时，此判别法无效
事实上，比值判别法和根值判别法都是与等比级数比较得出相应的结论，应用时，根据所给级数的形状有不同的选择，但它们在ρ=1情形下都无能为力。数学上有更精细一些的判别法，但较复杂，对考研来说不作要求。
三、交错级数及其莱布尼兹判别法
1．交错级数概念
若n
u
>0,∑
∞
=1
n
n
n
u
1)1(+-称为交错级数。
2．莱布尼兹判别法
设交错级数
∑
∞
=1
n
n
n
u
1)1(+-满足：
1）≤+1n
u
n
u),3,2,1(Λ=n
2)
∞
→n
lim
n
u
=0，则
∑
∞
=1
n
n
n
u
1)
1(+-收敛，且0=1
n
n
n
u
1)1(+-四、绝对收敛与条件收敛
1．定理
若
∑
∞
=1
n
n
u
收敛，则∑∞
=1
n
n
u
一定收敛；反之不然。
2．定义
若
∑
∞
=1n
n
u
收敛，则称∑∞
=1
n
n
u
为绝对收敛；
若
∑
∞
=1
n
n
u
收敛，而∑∞=1
n
n
u
发散，则称∑∞
=1
n
n
u
为条件收敛。
3．有关性质
1）绝对收敛级数具有交换律，也即级数中无穷多项任意交换顺序，得到级数仍是绝对收敛，且其和不变。
2）条件收敛级数的正项或负项构成的级数，即∑
∞
=1
n
21（n
u
+n
u）或∑∞
=1
n
21（n
u
—n
u）一定是发散的。
4．一类重要的级数
设
∑
∞
=1
n
ρ
n
n
1)1(+-
1）
当ρ>1时，∑
∞
=1
n
ρ
n
n
1)1(+-是绝对收敛的2）
当0∑
∞
=1
n
ρ
n
n
1)1(+-是条件收敛的3）
当ρ≤0时，∑
∞
=1
n
ρ
n
n
1)1(+-是发散的（乙）
典型例题
一、主要用部分和数列的极限讨论级数的敛散性
例1．
判定下列级数敛散性，若收敛并求级数的和。
1）
∑
∞
=1
n)
1()1(1
+++n
n
n
n
2）
∑
∞
=1
n
n
n
1）解：
∑
∞
=1
n)
1()1(1
+++n
n
n
n的=
n
S
∑
=n
k
1)
1()1(1
+++k
k
k
k
=
n
S
∑
=n
k
()()
??
?
??
?-++-+2
1)1()
1(k
k
k
k
k
k
=
∑
=n
k
1)111（+-=+-n
k
k
Θ∞→n
lim
=n
S
∴∑
∞
=1
n
1)
1()1(1
=+++n
n
n
n，收敛
2）解：=
n
S
n
n
225232132-++++Λ
①
21=n
S
14322
12232252321+-+-++++n
n
n
n
Λ
②
①-②得21=n
S
1322
2)212121(221+--++++n
n
n
Λ
=1112
223212)211(21++-+-=---+n
n
n
n
n
Θ∞
→n
lim
=n
S
∴∑
∞
=1
n
n
n
2-=3，收敛
例2
设数列{}
∑∞
=--1
1)(n
n
n
n，a
a
n，na
证明收敛级数收敛∑∞
=0
n
n
a
收敛
证：由题意可知∞
→n
lim
存在A
na
n
=
∞
→n
lim
=n
S
∞
→n
lim
∑=-=-n
k
k
k
S
a
a
k
1)(存在而=n
S)()(3)(2)(1231201--++-+-+-n
n
a
a
n
a
a
a
a
a
a
Λ
=∑-=-
n
k
k
n
a
na
因此，=∑-=1
0n
k
k
a
n
n
S
na
∞
→n
lim
=∑-=1
n
k
k
a
∞
→n
lim
-n
na
∞
→n
lim
=n
S
S
A
于是级数
∑∞
=0
n
n
a
=S
A
-是收敛的二、主要用判别法讨论级数的敛散性
例1．
设级数
∑
∞
=1
n)0(≥n
n
a
a
收敛，则∑
∞
=1
n
n
a
n
收敛
解：
n
a
n)1(212
2n
a
n
a
n
n
+≤=（几何平均值≤算术平均值）
已知
∑
∞
=1
n
收敛故收敛收敛)1
(2112
12n
a，n，a
n
n
n
n
+∑∑∞
=∞
=
再用比较判别法，可知
∑
∞
=1
n
n
a
n
收敛
例2．
正项数列{}n
a
单调减少，且
∑
∞
=1
n
n
n
a)1(-发散，问∑∞
=1
n
n
n
a)1
1（+是否收敛？并说明理由。
解：知根据莱布尼兹判别法可如果存在又单调减少,0lim,0==∴≥∞
→a，a
a，a
n
n
n
Θ
∑
∞
=1
n
(1)0,n
n
a
a
-∴>收敛,与假设矛盾,这样，n
n
n
n
a
a
a
a)1
1()11(,11111+≤+∑
∞
=1
n
n
a)11(+收敛和比较判别法可知∑∞
=1
n
n
n
a)11（+收敛。
例3．
设?
=4
tan
π
xdx
a
n
n
（1）求
∑
∞
=1
n
n
a
a
n
n
2++的值。
（2）证明：对任意正常数,0>λ∑∞
=1
n
λ
n
a
n
收敛。
证明：（1）n
a
a
n
n
2++n
=
?
+40
2)tan
1(tan
π
dx
x
x
n
n
1=?
tan
tan
π
x
xd
n)
1(1
+=
n
n
∑
∞
=1
n
n
a
a
n
n
2++=∑∞
=1n)
1(1+n
n
=1
（2）?=40tan
π
xdx
a
n
n
1n
t
dt
t
=+?
+≤
n
dt
t
n
λn
a
n
1)1(1+∴>+,11λΘ∑
∞
=1
n
1+λn
收敛，由比较判别法可知
∑
∞
=1
n
λ
n
a
n
收敛。
例4．
设有方程并证明证明方程有唯一正实根正整数其中，01n
n
x，n
nx
x
=-+
当α>1时，级数
∑
∞
=1
n
αn
x
收敛。
:()1n
n
f
x
x
nx
=+-证记
10()0n
x
f
x
nx
n
α-＇>=+>当时,[)()0,.n
f
x
+∞故在上单调增加
(0)10,(1)0,n
n
f
f
n
=-100n
n
n
n
x
nx
x
+-=>由与知
0,n
n
n
x
x
n
n
()n
n
α∞
=∑而正项级数收敛,所以当α>1时，级数
∑
∞
=1
n
αn
x
收敛。
§
8.2
幂级数
（甲）内容要点
一、函数项级数及其收敛域与和函数（数学一）
1．函数项级数的概念
设)(x
u
n),3,2,1(Λ=n
皆定义在区间I
上，则∑
∞
=1
n)(x
u
n
称为区间I
上的函数项级数。
2．收敛域
设I
∈0x，如果常数项级数
∑
∞
=1n)(0x
u
n
收敛，则称0x
是函数项级数∑∞
=1
n)(x
u
n的收敛点，如果
∑
∞
=1
n)(0x
u
n
发散，则称0x
是∑∞
=1
n)(x
u
n的发散点。函数项级数∑∞
=1
n)(x
u
n的所有收敛点构成的集
合就称为收敛域。所有发散点构成的集合你为发散域。
3．和函数
在∑
∞
=1
n)(x
u
n的收敛域的每一点都有和，它与x
有关，因此=)(x
S
∑∞
=1
n)(x
u
n，∈x
收敛域
称)(x
S
为函数项级数
∑
∞
=1
n)(x
u
n的和函数，它的定义域就是函数项级数的收敛域。
二、幂级数及其收敛域
1．幂级数概念
∑∞
=0
n
n
a
n
x
x)(0-称为)(0x
x
-的幂级数，),2,1,0(Λ=n
a
n
称为幂级数的系数，是常数，当0
0=x
时，∑∞
=0
n
n
a
n
x
称为x的幂级数。一般讨论∑∞
=0
n
n
a
n
x
有关问题，作平移替换就可以得出有关
∑∞
=0
n
n
a
n
x
x)(0-的有关结论。
2．幂级数的收敛域
幂级数
∑∞
=0
n
n
a
n
x的收敛域分三种情形：
（1）
收敛域为),(+∞-∞，亦即
∑∞
=0
n
n
a
n
x
对每一个x
皆收敛，我们称它的收敛半径+∞=R
（2）
收敛域仅为原点，除原点外幂级数∑∞
=0
n
n
a
n
x
皆发散，我们称它的收敛半径0=R。
（3）
收敛域为
(][)[]R，R
R
R
R
R
R
R
R
我们称它的收敛半径为中的一种或或或，,),(----)0(+∞所以求幂级数的收敛半径R
非常重要，（1）（2）两种情形的收敛域就确定的。而（3）的情形，还需讨论R
±两点上的敛散性。
lim
()(),(,n
n
n
n
n
n
a
l
a
l
R
l
a
l
+→∞
=+∞=+∞==+∞如果包括或包括则收敛半径若
0,0),R
l
R
===+∞则若则如果上述两极限不成立,那么就要用其它方法求收敛
.半径,后面有所讨论
三、幂级数的性质
1．四则运算
设
∑∞
=0
n
n
a
n
x
∑∞
=21),(;),(n
n
n
R
x
x
g
x
b
R
x
x
f),min()
()()())((),min(),()()(210
000
210R
R
x
x
g
x
f
x
b
a
b
a
b
a
x
b
x
a
R
R
x
x
g
x
f
x
b
a
n
n
n
k
n
k
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
=-∞
=∞
=∞
=ΛΛ则2.分析性质
设幂级数
∑∞
=0
n
n
a
n
x的收敛半径R
0，S(x)
=
∑∞
=0
n
n
a
n
x
为和函数，则有下列重要性质。
（1）且有逐项求导公式内可导在，R
R
x
S),()(-
=＇)(x
S
∑∑∑∞=∞
=-∞==＇=＇0
10)()(n
n
n
n
n
n
n
n
n
x
na
x
a
x
a
求导后幂级数的收敛半径不变，因此得出
公式为内有任意阶导数在，R
R
x
S),()(-),3,2,1(,)1()1()()
(ΛΛ==-k
R
x
x
a
k
n
n
n
x
S
k
n
k
n
n
k
（2）内有逐项积分公式在),()(R
R
x
S
∑?∑
?∞=∞
=++==00
01
1)(n
x
n
n
n
n
n
x
x
n
a
dt
t
a
dt
t
S
且这个幂级数的收敛半径也不变。
（3）若
∑∞
=0
n
n
a
n
x
:)()(则有下列性质成立在，R
R
x
x
S
-==
(i)
()
lim
()(lim
()())n
n
n
n
x
R
x
R
n
n
S
x
a
R
S
x
a
R
-+∞
∞
→→-====-∑∑成立成立
(ii)))(1)((1)(0
01001?∑?∑-∞
=+∞
=+-+-=+=R
n
n
n
R
n
n
n
R
n
a
dx
x
S
R
n
a
dx
x
S
成立成立
(iii)
∑∞
=--=11)(n
n
n
R
R
x
x
na
不一定收敛在11
().(())n
n
n
na
x
S
R
S
R
∞
--
+
=＇＇=-∑也即不一定成立
()n
n
n
a
x
x
R
R
∞
==-∑如果在发散,那么逐项求导后的级数
1()n
n
n
na
x
x
R
R
∞
-==-∑在一定发散,而逐项积分后的级数
().1n
n
n
a
x
x
R
R
n
∞
+==-+∑在有可能收敛
四、幂级数求和函数的基本方法
1．把已知函数的幂级数展开式（§
8.3将讨论）反过来用。
下列基本公式应熟背：
01(1)
11n
n
x
x
x
∞
==
0(2)!
n
x
n
x
e
x
n
∞
==21
0(3)(1)sin,(21)!n
n
n
x
x
x
n
+∞
=-=20
(4)(1)cos,(2)!n
n
n
x
x
x
n
∞
=-=1
(5)(1)ln(1),(11)1n
n
n
x
x
x
n
+∞
=-=+-1
(1)(1)
(6)1(1),11()!
n
n
n
x
x
x
n
ααααα∞
=--++=+-L
为实常数
2、用逐项求导和逐项积分方法以及等比级数求和公式
3、用逐项求导和逐项积分方法化为和函数的微分方程从而求出微分方程的解。
五、利用幂级数求和函数得出有关常数项级数的和
（乙）典型例题
例1
求下列幂级数的和函数。
（1）
∑∞
=+0)12(n
n
n
x
（2）∑∞
=+-0
21)1(n
n
n
n
x
解：（1）可求出收敛半径R=1,收敛域为（-1，1）
()(21)2n
n
n
n
n
n
S
x
n
x
nx
x
∞∞∞
====+=+∑∑∑
1101
21x
n
n
x
nt
dt
x
∞-=＇
??=+??-??
∑?
11122111n
n
x
x
x
x
x
x
x
∞=＇＇
?
=+=+?---?∑
211(1,1)(1)1(1)x
x
x
x
x
x
+=
+=
∈----
（2）可以从求出和函数后，看出其收敛域
[]2
200
(1)2(1)()11n
n
n
n
n
n
S
x
x
x
n
n
∞
∞==+--==++∑∑
1(1)441n
n
n
n
n
n
n
x
x
x
n
∞∞
∞
====+-++∑∑∑
120
()(1),()41,1n
n
n
n
S
x
n
x
S
x
x
x
x
∞
∞
===+==
1()41n
n
S
x
x
n
∞
==+∑
()(1)11x
x
n
n
n
n
x
S
t
dt
n
t
dt
x
x
x
∞∞
+===+==12
()()11(1)x
S
x
x
x
x
＇∴==
11301
1(1)()()441n
n
n
n
n
x
xS
x
x
n
n
-∞
∞
+==--==-+∑∑
4ln(1)
(11)x
x
=---≤11
(1)ln(1)
(11)n
n
n
t
t
t
n
-∞
=-=+--l
l
dx
x
g
x
f
g
f，x
l
n
x
l
n
x
l
x
l
x
l
x
l
l
l
l
Λ
Λπππππ
π
1cos
1sin
0(1,2,)l
l
l
l
n
n
dx
xdx
n
l
l
ππ--?=?==??L
sin
cos
0,(,1,2,)l
l
m
n
x
xdx
m
n
l
l
ππ
-==?L
cos
cos
sin
sin
0(,1,2，)l
l
l
l
m
n
m
n
x
xdx
x
xdx
m
n
m
n
l
l
l
l
ππππ--===≠??L
且
.故称这个三角函数系是正交的二、傅里叶系数与傅里叶级数
[]()2(0)，f
x
l
l
l
l
>-设以为周期或只定义在上的可积函数
1()cos,0,1,2,l
n
l
n
a
f
x
xdx
n
l
l
π-==?L
令
1()sin,0,1,2,l
n
l
n
b
f
x
xdx
n
l
l
π-==?L,().n
n
a
b
f
x
则称为的傅里叶系数
01(cos
sin)2n
n
n
a
n
n
a
x
b
x
l
l
ππ
∞=++∑三角级数
[]()(2，)f
x
l
l
l
-称为的傅里叶级数关于周期为或只在01()~(cos
sin)2n
n
n
a
n
n
f
x
a
x
b
x
l
l
ππ
∞=++∑记以
(),f
x
值得注意在现在假设条件下有傅里叶系数和傅里叶级数的相关概念但并,()f
x
不知道傅里叶级数是否收敛更不知道傅里叶级数是否收敛于
三、狄利克雷收敛定理
[]()，f
x
l
l
-设在上定义且满足
[](1)(),f
x
l
l
-在上连续或只有有限个第一类间断点
[](2)(),f
x
l
l
-在上只有有限个极值点
[]01(),(cos
sin)(),2n
n
n
a
n
n
f
x
l
l
a
x
b
x
S
x
l
l
ππ
∞=-++=∑则在上的傅里叶级数收敛且
[][](),(,)()1
()(0)(0),(,)()21
(0)(0),2
f
x
x
l
l
f
x
S
x
f
x
f
x
x
l
l
f
x
f
l
f
l
x
l
?
?∈-??=++-∈-???-++-=±??当为的连续点
当为的第一类间断点当
我们把上述两个条件称为狄利克雷条件
四、正弦级数与余弦级数
[]1.()2，.f
x
l
l
l
-设以为周期或在上定义且满足狄利克雷条件
(1)(),0(0,1,2,)n
f
x
a
n
==L
如果是奇函数则
02()sin
(1,2,)l
n
n
b
f
x
xdx
n
l
l
π==?L
而
()f
x
这时的傅里叶级数为正弦级数
(2)(),0(1,2,3)n
f
x
b
n
==L
如果是偶函数则
02()cos
(0,1,2,)l
n
n
a
f
x
xdx
n
l
l
π==?L
而
().f
x
这时的傅里叶级数为余弦级数
[][]2.()0，0，,f
x
l
l
设在上定义且在上连续或只有有限个第一类间断点只有有限个极值点[]()0,f
x
l
那么在上可以有下列两个傅里叶展开式
01(1)
()~cos
2n
n
a
n
f
x
a
l
π∞=+∑
02()cos
(0,1,2,)l
n
n
a
f
x
xdx
n
l
l
π
==?L
其中
(2)
()~sin,(1,2,3)n
n
n
f
x
b
x
n
l
π
∞
==∑L
02()sin
l
n
n
b
f
x
xdx
l
l
π
=?其中
[][)[](1),()0，0;(2),()0,f
x
l
l
f
x
l
-因为在中相当于从按偶函数扩充定义到在中相当于从[)[],0,0，l
l
-按奇函数扩充定义到得出傅里叶级数只在上因此为余弦级数或正弦级数
..都可以至于这些级数收敛的和函数仍按狄利克雷收敛定理的结论
()乙典型例题
1.()10,51510f
x
x
x
=-≤≤例把展成以为周期的傅里叶级数
51:(10)cos
n
n
a
x
xdx
π
=-?解
512cos
cos
555n
n
xdx
x
xdx
ππ=-??
1055sin
sin
()cos
n
n
n
x
x
x
x
n
n
n
π
π
π
πππ=--?
0=
00,.n
a
n
a
=∴推演过程中没有意义要重新求
05
(10)05a
x
dx
=-=?
5110(10)sin
(1)(1,2,)55n
n
n
b
x
xdx
n
n
ππ
=-=-=?L
(1)()10sin
(515)5
n
n
n
f
x
x
x
x
n
π
π∞
=-=-=
2.()2(11)2,f
x
x
x
=+-≤≤例将函数展成以为周期的傅里叶级数并由此求级数
.n
n
∞
=∑的和
:()2，f
x
x
=+解为偶函数只能展成余弦级数即
00
0,2(2)5,n
b
a
x
dx
==+=?
(2)cos()2cos
1n
a
x
n
x
dx
x
n
xdx
ππ=+=??
2(cos
1)
(1,2,)n
n
n
ππ-=
=L
[]1,1,-因为所给函数在上满足狄氏收敛定理故
[]22
152(cos
1)
2cos(),1,12n
n
x
n
x
n
πππ∞=-+=+-∑
54cos(21)2(21)k
k
x
k
ππ
∞
=+=-+∑
0054
110,2,2(21)(21)8k
k
x
k
k
ππ
∞
∞
===?=-?=++∑∑当时上式又
222221010
1111111(21)(2)(21)4n
k
k
k
n
n
k
k
k
n
∞
∞∞∞
∞======+=+++∑∑∑∑∑
1014143(21)386n
k
n
k
ππ∞
∞====?=+∑∑故
[]3.()，,(),:n
n
f
x
a
b
f
x
ππ-例设在上可积为的傅里叶系数试证
222
011()()2N
n
n
n
a
a
b
f
x
dx
π
ππ
=++≤∑?
:N
证明只需证明对任意正整数都有
222
011()()2N
n
n
n
a
a
b
f
x
dx
π
ππ
=++≤∑?
01
()(cos
sin)2N
N
n
n
n
a
S
x
a
nx
b
nx
==++∑令
()2
0()()N
f
x
S
x
dx
f
x
dx
π
π
ππ--≤-=???
???
2()()()N
N
f
x
S
x
dx
S
x
dx
π
π
π
π
---+?
?
222
22220211()2()()22N
N
n
n
n
n
n
n
a
a
f
x
dx
a
b
a
b
π
π
ππ-==?=-+++++?∑∑?
2222021()()2N
n
n
n
a
a
b
f
x
dx
π
π
π
=∴++≤∑?
小桥流水人家，古道西风瘦马。夕阳西下，断肠人在天涯。
篇2：考研数学高等数学讲义
一、填空： 1.水受热后，（）会增大，（）不变。2.水受热时体积（），受冷时体积（），我们把水的体积的这种变化叫做（）。３.钢铁造的桥在温度变化时会（）。因此，铁桥都架在（）上。４.通过直接接触，将热从（）传递给（），或者从（）传递到（）的传热方法叫（）。
５.像金属这样导热性能好的物体称为热的（），像塑料、木头这样导热性能差的物体称为（）。
６.装冷水的小塑料袋放入热水中会（）；装热水的小塑料袋放入冷水中会（），这说明热水比冷水（）。水在变热过程中，如果水温发生了变化，它的沉浮也可能发生变化。
7.水、空气、铜和钢都有热胀冷缩的性质，所以我们可以得出（）的结论。8.热总会从温度较（）的一端传递到温度较（）的一端。从温度（）的物体向温度（）的物体传递，直到两者温度（）。9.在做（）实验时，我们发现试管口的气球皮（）了，我对这个现象的解释是（）。
二、判断：对的请在括号里打“√”，错的请在括号里打“×”。
（）1.物体由冷变热或由热变冷的过程中会发生体积的变化，这可以通过我们的感官感觉到或通过一定的装置和实验被观察到。
（）2.多穿衣服会使人感到暖和，这是因为衣服能给我们增加热量。
（）3.把一小袋加热了的水放在冷水里，它会浮起来。
（）4.所有的固体、液体、气体都有热胀冷缩的性质。
（）5.不同材料制成的物体，导热性能是不一样的。
（）6.空气是一种热的良导体。
（）７.两手相互摩擦不能产生热。
（）８.锅用铁制成，锅柄用塑料或木头制成，因为铁、塑料、木头都是热的良导体。
三、选择
1.热的不良导体，可以（）物体热量的散失。
① 加快
② 减慢
③ 不改变 2.下面物体是热的良导体的是（）① 塑料勺
② 木勺
③ 钢勺
3.下面物体有热缩冷胀性质的是（）① 空气
② 铁
③ 锑
4.把压瘪了的乒乓球，浸人开水里烫一下，让乒乓球重新鼓起来的原理是（）① 液体的热胀冷缩
② 气体的热胀冷缩
③固体的热胀冷缩
5.密封的小塑料袋中装一些冷水，密封水袋会慢慢地从热水底部浮到水面，是因为（）① 小塑料袋中的冷水受热体积膨胀增大了浮力
②小塑料袋中的冷水受热后重量变轻了
③热水受冷体积缩小增大了浮力
6.铜、铁、铝等都是金属，都是热的良导体，它们的导热性能（）① 都相同
② 存在差异
③ 没法确定 7.热的良导体吸热快散热（）① 快
②
慢
③ 一般
四、看图填空 请用以下材料设计实验证明 “空气具有热胀冷缩的性质”，列出实验计划。热水足量、常温水足量、冰水足量、1只小锥形瓶、3只烧杯、1个气球。
五、简答
1.为什铁路上的每根钢轨之间都留有一定间隙？
篇3：考研高等数学中的极限试题分析
关键词：极限,难度系数法,研究生考试,高等数学
极限概念在高等数学中占有重要的地位,它贯穿于整个高等数学的内容之中。因此,在每年的考研的高等数学试题中,必有求极限方面的试题。本文首先对极限试题的题型作一概括介绍,然后针对每种题型,根据夏天所提的“难度系数法”(见文献[1])来分析题型。所谓的“难度系数法”,就是根据解题时所用公式、概念的难度以及所用知识点的多少,将其难度划分为若干等级,进行综合打分。最后,根据这个综合打分,来解释极限试题常考的题型。
极限试题的类型可分为以下几大类(主要参考了文献[3]):
(1)已知一些常用的极限,利用极限的四则运算法则求极限。
(3)利用无穷小的性质求极限。比如:有界变量与无穷小的乘积仍是无穷小。
(4)利用等价无穷小求极限。比如:当x→0时,
(6)利用L’Hospital(罗必达)法则求极限。
解题常用的技巧是:将分子或分母中的某些因子,利用等价无穷小,化为x的幂的形式,
(7)利用Taylor公式求极限。主要用到带有佩亚诺型余项的麦克劳林公式。
(8)利用定积分的定义求极限。
(9)利用函数的连续性求极限
对于连续函数,求极限时,函数符号与极限符号可以交换。主要利用这个性质来求极限。
上面只是例举了一些常见的求极限的题型。当然,求极限的方法还有很多,比如:利用两边夹法则求极限,利用单调有界原理求极限等等,但由于研究生数学考试大纲没有提出要掌握这些内容。本文就不做分析了。
本文对于求极限的题型,根据所用的公式、概念和方法,将其难度分为三个等级,其难度系数分别赋予值1、1.5、2。比如,对于题型1,其计算公式很简单,难度系数定义为1;再比如,对于题型2,一般利用恒等式,将a(x)b(x)化为eb(x)lna(x),再根据极限的运算法则,求limeb(x)lna(x),其难度系数为1.5;至于题型4,用等价无穷小来求极限,由于无穷小的概念较难理解,且等价无穷小涉及的公式较多,故难度系数规定为2.
对于题型,根据其解题时所用到的知识点的多少,对其难度进行打分。所用的知识点多,难度系数就高,所用的知识点少,难度系数就低。比如:题型1,只用到简单的四则运算,故难度系数定义为1;再比如:题型2,一般利用恒等式,将a(x)b(x)化为eb(x)lna(x)后,主要求乘积项的极限limb(x)lna(x),这时可能用到等价无穷小的方法,也可能用到罗必达法则,等等,灵活性较大,故其难度系数规定为2。至于用罗必达法则求极限,可能要多次使用罗必达法则,运算量较大,且在求解的过程中,可能还需用等价无穷小来化简,因此难度系数规定≥2。
下面我们将求极限的主要题型,对其综合难度系数进行了如下分析:
近年来,考研高等数学的试题中,每年都有极限的试题,这些试题基本上是考察学生综合运用知识的能力,这类考题其综合难度系数一般≥3,下面针对近年来的试题作具体的分析。下面的习题1-9,见文献[3]。
(1)(2007年数学一、三(11),填空题,4分)
答案:0。
难度分析:题型3,利用无穷小的性质求极限,难度系数为3。
难度分析:题型2,幂指型极限。用到对数恒等式、罗必达法则、等价无穷小代换,综合难度系数≥3.
难度分析:题型2:幂指型极限,难度系数为3。
参考文献
[1]夏天.考研高等数学中概率统计试题分析[J].考试周刊,2013,19:3-5.
篇4：考研数学高等数学讲义
关键词：考研；高等数学；复习
硕士研究生入学数学考试历年是考生们感到很棘手的问题，很多考生由于数学没考好而痛失深造的机会。尤其对于文科改考理工科或经济类学科的考生来说，数学这门课的难度可称为所有科目中最大的，也是最让人担心的。自从1997年数学考试大纲进行了一次较大的调整以来，考生们普遍反映试题越来越难了。数学几乎成了相当部分考生难以逾越的"关口"。而在考研数学中，高等数学所占的比例是最高的，每年都超过百分之五十，比线性代数和概率论两门课的比例都要大。但是数学相对英语来说，只要方法得当，提高非常快。所以只要掌握了正确的复习方法，就能事半功倍。下面的备考经验也许能给考生以启发。
1 必须重视基础，重视和加深对基本概念、基本定理和基本方法的复习和理解。
考生要重视对基本概念、基本定理和基本方法的复习，打好基础。数学是一门演绎的科学，首先要对概念深入理解，要不然做题时难免会答非所问，甚至是南辕北辙。其次，要把定理和公式牢牢记住，每一道题都是由基本的定义、定理和公式构成，它们的不同组合就形成了不同的问题，多层次的组合形成不同复杂程度的问题。所以这些定义、定理和公式是解题的基础，而熟练掌握和深刻理解这些内容就成为解题成功的关键。可以说，掌握了定理和公式就等于找到了解题的突破口和切入点。对近几年数学答卷的分析表明，考生失分的一个重要原因就是对基本概念、定理记不全、记不牢，理解不准确，基本解题方法掌握不好，为了熟练掌握，牢固记忆和理解所有的定义，定理，公式，一定要先把所有的公式，定理，定义记牢，然后再做大量的练习基础题。做这些基础题时如能达到一看便知其过程，这样就说明真正掌握了基础习题的内容。这些题看起来简单，但它们能帮助我们熟悉和掌握定义、定理、公式，所以考生不能因为这些题简单而不去看它，不去重视它。高数的基础应该着重放在极限、导数、不定积分这三方面，后面当然还有定积分、一元微积分的应用，还有中值定理、多元函数、微分、线面积分等等内容。
基本训练要反复进行。学习数学，一定要多做题。提倡精练，即反复做一些典型的题，做到一题多样，一题多变，要训练自己的抽象思维能力。对一些基本定理的证明，基本公式的推导，以及一些基本练习题，要做到"熟能生巧"。通过基本训练巩固对基本概念、基本定理和基本方法的理解。
2 加强综合解题能力的训练，熟悉常见考题的类型和解题思路，力求在解题思路上有所突破。
考研试题与教科书上的习题的不同点在于，前者是在对基本概念、基本定理、基本方法充分理解的基础上的综合应用，有较大的灵活性，往往一个命题覆盖多个内容，涉及到概念、直观背景、推理和计算等多种角度。因此一定要力争在解题思路上有所突破，要在打好基础的同时做大量的综合性练习题，并对试题多分析多归纳多总结，力求对常见考题类型、特点、思路有一个系统的把握。许多考生在做完教科书上的习题后，往往对考研题难以适应，其突出感觉是没有思路，这正是考生考前准备应解决的突破口。考生要掌握住各种题型的解题方法和技巧。在做题时，不必每道题都要写出完整的解题步骤，类似的题一般只要看出思路，熟悉其运算过程就可以，这样可以节省时间，提高做题的效率。
在选择习题时，考生要注意，最好先不要做模拟题，应该把真题先做一遍。因为真题的错误率比较低，而且最接近实际的试题。有的模拟题出得刁钻古怪，没有可做性。如果先做模拟题，假如选的模拟题不好则白白浪费了时间，而且对自己的解题思路也有着负面影响。通过做真题，考生可以真切的体会到考研的重点，难点，重要的是掌握了各种常考的题型。在做完真题之后再做模拟题就会感觉自己的解题思路有了质的提高，对数学认识也有了新的变化。
考生在做题的同时还要注意各章节之间的内在联系，数学考试会出现一些应用到多个知识点的综合性试题和应用型试题。这类试题一般比较灵活，难度也要大一些。考生要注意对综合性的典型考题的分析，来提高自身解决综合性问题的能力。数学有其自身的规律，其表现的一个重要特征就是各知识点之间、各科目之间的联系非常密切，这种相互之间的联系给综合命题创造了条件，因而考生应进行综合性试题和应用题训练。通过这种训练，积累解题思路，同时将各个知识点有机的联系起来，将书本上的知识转化为自己的东西。对于那些具有很强的典型性、灵活性、啟发性和综合性的题，要特别注重解题思路和技巧的培养。数学试题千变万化，其知识结构却基本相同，题型也相对固定，往往存在明显的解题套路，熟练掌握后既能提高解题的针对性，又能提高解题速度和正确率。
3 注意归纳总结
在大量做题的基础上，一定要注意对知识进行归纳总结，这样在考试的时候，才能举一反三。 就各课的特点来说，高等数学是考研数学的重中之重，所占分值较大，需要复习的内容也比较多。另外高等数学还有跨章节乃至跨科目的综合考查题，近几年出现的有：级数与积分的综合题；微积分与微分方程的综合题；求极限的综合题；空间解析几何与多元函数微分的综合题；所以要求我们要注重归纳总结。
此外，数学要考的另一部分是简单的分析综合能力和解应用题的能力。近几年，高数中的一些考题很少有单纯考一个知识点的，一般都是多个知识点的综合。解应用题要求的知识面比较广，包括数学的知识比较要扎实，还有几何、物理、化学、力学等等这些好多知识。当然它主要考的就是数学在几何中的应用，在力学中的应用，在物理中的吸引力、电力做功等等这些方面。数学要考的第四个方面就是运算的熟练程度，换句话说就是解题的速度。如果能够围绕着这几个方面进行有针对性地复习，取得高分就不会是难事了。
参考文献：
[1]同济大学数学系.高等数学[M].北京：高等教育出版社，2007，4.
[2]陈文灯，黄先开.考研数学复习指南[M].北京：北京理工大学出版社，2012，12.
篇5：考研数学高等数学定理定义
2015年考研数学复习已经开始，考研高等数学基本定理定义需要在备考初期扎实掌握。下面为大家提供2015考研数学高等数学第一章到第八章定理定义汇总。
第一章 函数与极限
1、函数的有界性在定义域内有f(x)≥K1则函数f(x)在定义域上有下界，K1为下界;如果有f(x)≤K2，则有上界，K2称为上界。函数f(x)在定义域内有界的充分必要条件是在定义域内既有上界又有下界。
2、数列的极限定理(极限的唯一性)数列{xn}不能同时收敛于两个不同的极限。
定理(收敛数列的有界性)如果数列{xn}收敛，那么数列{xn}一定有界。
如果数列{xn}无界，那么数列{xn}一定发散;但如果数列{xn}有界，却不能断定数列{xn}一定收敛，例如数列1，-1，1，-1，(-1)n+1…该数列有界但是发散，所以数列有界是数列收敛的必要条件而不是充分条件。
定理(收敛数列与其子数列的关系)如果数列{xn}收敛于a，那么它的任一子数列也收敛于a.如果数列{xn}有两个子数列收敛于不同的极限，那么数列{xn}是发散的，如数列1，-1，1，-1，(-1)n+1…中子数列{x2k-1}收敛于1，{xnk}收敛于-1，{xn}却是发散的;同时一个发散的数列的子数列也有可能是收敛的。
3、函数的极限函数极限的定义中0
定理(极限的局部保号性)如果lim(x→x0)时f(x)=A，而且A>0(或A0(或f(x)>0)，反之也成立。
函数f(x)当x→x0时极限存在的充分必要条件是左极限右极限各自存在并且相等，即f(x0-0)=f(x0+0)，若不相等则limf(x)不存在。
一般的说，如果lim(x→∞)f(x)=c，则直线y=c是函数y=f(x)的图形水平渐近线。如果lim(x→x0)f(x)=∞，则直线x=x0是函数y=f(x)图形的铅直渐近线。
4、极限运算法则定理有限个无穷小之和也是无穷小;有界函数与无穷小的乘积是无穷小;常数与无穷小的乘积是无穷小;有限个无穷小的乘积也是无穷小;定理如果F1(x)≥F2(x)，而limF1(x)=a，limF2(x)=b，那么a≥b.
5、极限存在准则两个重要极限lim(x→0)(sinx/x)=1;lim(x→∞)(1+1/x)x=1.夹逼准则如果数列{xn}、{yn}、{zn}满足下列条件：yn≤xn≤zn且limyn=a，limzn=a，那么limxn=a，对于函数该准则也成立。
单调有界数列必有极限。
6、函数的连续性设函数y=f(x)在点x0的某一邻域内有定义，如果函数f(x)当x→x0时的极限存在，且等于它在点x0处的函数值f(x0)，即lim(x→x0)f(x)=f(x0)，那么就称函数f(x)在点x0处连续。
不连续情形：1、在点x=x0没有定义;2、虽在x=x0有定义但lim(x→x0)f(x)不存在;3、虽在x=x0有定义且lim(x→x0)f(x)存在，但lim(x→x0)f(x)≠f(x0)时则称函数在x0处不连续或间断。
如果x0是函数f(x)的间断点，但左极限及右极限都存在，则称x0为函数f(x)的第一类间断点(左右极限相等者称可去间断点，不相等者称为跳跃间断点)。非第一类间断点的任何间断点都称为第二类间断点(无穷间断点和震荡间断点)。
定理有限个在某点连续的函数的和、积、商(分母不为0)是个在该点连续的函数。
定理如果函数f(x)在区间Ix上单调增加或减少且连续，那么它的反函数x=f(y)在对应的区间Iy={y|y=f(x)，x∈Ix}上单调增加或减少且连续。反三角函数在他们的定义域内都是连续的。
定理(最大值最小值定理)在闭区间上连续的函数在该区间上一定有最大值和最小值。如果函数在开区间内连续或函数在闭区间上有间断点，那么函数在该区间上就不一定有最大值和最小值。
定理(有界性定理)在闭区间上连续的函数一定在该区间上有界，即m≤f(x)≤M.定理(零点定理)设函数f(x)在闭区间[a，b]上连续，且f(a)与f(b)异号(即f(a)×f(b)
推论在闭区间上连续的函数必取得介于最大值M与最小值m之间的任何值。
第二章 导数与微分
1、导数存在的充分必要条件函数f(x)在点x0处可导的充分必要条件是在点x0处的左极限lim(h→-0)[f(x0+h)-f(x0)]/h及右极限lim(h→+0)[f(x0+h)-f(x0)]/h都存在且相等，即左导数f-′(x0)右导数f+′(x0)存在相等。
2、函数f(x)在点x0处可导=>函数在该点处连续;函数f(x)在点x0处连续≠>在该点可导。即函数在某点连续是函数在该点可导的必要条件而不是充分条件。
3、原函数可导则反函数也可导，且反函数的导数是原函数导数的倒数。
4、函数f(x)在点x0处可微=>函数在该点处可导;函数f(x)在点x0处可微的充分必要条件是函数在该点处可导。
第三章 中值定理与导数的应用
1、定理(罗尔定理)如果函数f(x)在闭区间[a，b]上连续，在开区间(a，b)内可导，且在区间端点的函数值相等，即f(a)=f(b)，那么在开区间(a，b)内至少有一点ξ(a
2、定理(拉格朗日中值定理)如果函数f(x)在闭区间[a，b]上连续，在开区间(a，b)内可导，那么在开区间(a，b)内至少有一点ξ(a
3、定理(柯西中值定理)如果函数f(x)及F(x)在闭区间[a，b]上连续，在开区间(a，b)内可导，且F’(x)在(a，b)内的每一点处均不为零，那么在开区间(a，b)内至少有一点ξ，使的等式[f(b)-f(a)]/[F(b)-F(a)]=f’(ξ)/F’(ξ)成立。
4、洛必达法则应用条件只能用与未定型诸如0/0、∞/∞、0×∞、∞-∞、00、1∞、∞ 0等形式。
5、函数单调性的判定法设函数f(x)在闭区间[a，b]上连续，在开区间(a，b)内可导，那么：(1)如果在(a，b)内f’(x)>0，那么函数f(x)在[a，b]上单调增加;(2)如果在(a，b)内f’(x)
如果函数在定义区间上连续，除去有限个导数不存在的点外导数存在且连续，那么只要用方程f’(x)=0的根及f’(x)不存在的点来划分函数f(x)的定义区间，就能保证f’(x)在各个部分区间内保持固定符号，因而函数f(x)在每个部分区间上单调。
6、函数的极值如果函数f(x)在区间(a，b)内有定义，x0是(a，b)内的一个点，如果存在着点x0的一个去心邻域，对于这去心邻域内的任何点x，f(x)f(x0)均成立，就称f(x0)是函数f(x)的一个极小值。
在函数取得极值处，曲线上的切线是水平的，但曲线上有水平曲线的地方，函数不一定取得极值，即可导函数的极值点必定是它的驻点(导数为0的点)，但函数的.驻点却不一定是极值点。
定理(函数取得极值的必要条件)设函数f(x)在x0处可导，且在x0处取得极值，那么函数在x0的导数为零，即f’(x0)=0.定理(函数取得极值的第一种充分条件)设函数f(x)在x0一个邻域内可导，且f’(x0)=0，那么：(1)如果当x取x0左侧临近的值时，f’(x)恒为正;当x去x0右侧临近的值时，f’(x)恒为负，那么函数f(x)在x0处取得极大值;(2)如果当x取x0左侧临近的值时，f’(x)恒为负;当x去x0右侧临近的值时，f’(x)恒为正，那么函数f(x)在x0处取得极小值;(3)如果当x取x0左右两侧临近的值时，f’(x)恒为正或恒为负，那么函数f(x)在x0处没有极值。
定理(函数取得极值的第二种充分条件)设函数f(x)在x0处具有二阶导数且f’(x0)=0，f’’(x0)≠0那么：(1)当f’’(x0)0时，函数f(x)在x0处取得极小值;驻点有可能是极值点，不是驻点也有可能是极值点。
7、函数的凹凸性及其判定设f(x)在区间Ix上连续，如果对任意两点x1，x2恒有f[(x1+x2)/2][f(x1)+f(x1)]/2，那么称f(x)在区间Ix上图形是凸的。
定理设函数f(x)在闭区间[a，b]上连续，在开区间(a，b)内具有一阶和二阶导数，那么(1)若在(a，b)内f’’(x)>0，则f(x)在闭区间[a，b]上的图形是凹的;(2)若在(a，b)内f’’(x)
判断曲线拐点(凹凸分界点)的步骤(1)求出f’’(x);(2)令f’’(x)=0，解出这方程在区间(a，b)内的实根;(3)对于(2)中解出的每一个实根x0，检查f’’(x)在x0左右两侧邻近的符号，如果f’’(x)在x0左右两侧邻近分别保持一定的符号，那么当两侧的符号相反时，点(x0，f(x0))是拐点，当两侧的符号相同时，点(x0，f(x0))不是拐点。
在做函数图形的时候，如果函数有间断点或导数不存在的点，这些点也要作为分点。
第四章 不定积分
篇6：考研数学高等数学复习建议
新的考试大纲刚刚出炉，今年的大纲和去年的一摸一样，连标点符号都没有任何改动，所以同学们可继续按照计划进行学习。考研数学的考试综合性强、知识覆盖面广、难度大。把握数学高分的前提必须要熟知数学考查内容和具体考些什么。数学主要是考基础，包括基本概念、基本理论、基本运算，数学本来就是一门基础的学科，如果基本概念、基本运算不太清楚，运算不太熟练那你肯定是考不好的。高数的基础应着重放在极限、导数、不定积分这三方面，后面当然还有定积分、一元微积分的应用，还有中值定理、多元函数微分、积分等内容，这些内容可以看成那三部分内容的联系和应用。另一部分考查的是简单的分析综合能力。因为现在高数中的一些考题很少有单纯考一个知识点的，一般都是多个知识点的综合。最后就是数学的解应用题能力。解应用题要求的知识面比较广，包括数学的知识比较要扎实，复习的时候要多加注意。如果能够围绕着这几个方面进行有针对性地复习，取得高分也就不再是难事了。
与此同时，在具体的复习过程中如何规划复习才能取得事半功倍的效果也是考试普遍关注的问题。数学复习要保证熟练度，从现在开始一天至少保证三个小时。把一些基本概念、定理、公式复习好，牢牢地记住。同时数学还是一种基本技能的训练，要天天练习，熟悉，技能才会更熟能生巧，更能够灵活运用，如果长时间不练习，就会对解题思路生疏，所以经常练习是很重要的，天天做、天天看，一直坚持到最后。这样，基础和思路才会久久在大脑中成型，遇到题目不会生疏，解题速度也就相应越来越熟练，越来越快。
在复习的过程中首先要明确考试重点，充分把握重点。这个主要依据考试大纲了，认真研读并按照大纲的要求进行，比如高数第一章的不定式的极限，我们要充分掌握求不定式极限的各种方法，比如利用极限的四则运算、利用洛必达法则等等，另外两个重要的极限也是重点内容;对函数的连续性的探讨也是考试的重点，这要求我们需要充分理解函数连续的定义和掌握判断连续性的方法。
其次，对于导数和微分，其实重点不是给一个函数求导数，而重点是导数的定义，也就是抽象函数的`可导性。对于积分部分，定积分、分段函数的积分、带绝对值的函数的积分等各种积分的求法都是重要的题型，总而言之看上不好处理的函数的积分常常是考试的重点。而且求积分的过程中，一定要注意积分的对称性，我们要利用分段积分去掉绝对值把积分求出来。还有中值定理这个地方一般每年都要考一个题的，多看看以往考试题型，研究一下考试规律。对于微积分部分里，隐函数的求导，复合函数的偏导数等是考试的重点。二重积分的计算，当然数学一里面还包括了三重积分，另外还有曲线和曲面积分，这也是必考的重点内容。一阶微分方程，还有无穷级数，无穷级数的求和等。充分把握住这些重点，高数部分考试的内容比较多，数学一、二、三及农学数学要求的也不一样，所以同学们可以根据大纲复习，扎扎实实的打好基础，在以后的复习强化阶段就应该多研究历年真题，这样做也能更好地了解命题思路和难易度，从而使整个复习规划有条不紊。
扎实的基础知识复习，合理的自我规划和练习，逐步解决高数的重要知识点，同时也对出题者命题思路有了一定的了解，如此，考研学子们定能考出一个理想的成绩。
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