线性代数期末试题详解

2024-07-04

线性代数期末试题详解（精选5篇）

篇1：线性代数期末试题详解

线性代数B复习资料（2014）

(一)单项选择题

1．设A，B为n阶方阵，且ABE，则下列各式中可能不成立的是（A）

2(A)AB

(B)ABAB

(C)BABA

(D)(BA)2E 2．若由AB=AC必能推出B=C（A，B，C均为n阶矩阵）则A必须满足（C）(A)A≠O

(B)A=O

(C)A0

(D)AB0 3．A为n阶方阵，若存在n阶方阵B，使AB=BA=A，则（D）(A)B为单位矩阵

(B)B为零方阵

(C)B1111A

(D)不一定

4．设A为n×n阶矩阵，如果r(A)

(C)A的行（列）向量组中必有一个行（列）向量是其余各行（列）向量的线性组合(D)A的行（列）向量组中必有两个行（列）向量对应元素成比例 5．71．已知向量组1,2,3,4线性无关则向量组(C)(A)(B)(C)(D)12,23,34,41线性无关 12,23,34,41线性无关

12,23,34,41线性无关 12,23,34,41线性无关

6．下列说法不正确的是(A)(A)如果r个向量1,仍然线性无关(B)如果r个向量1,组仍然线性无关(C)如果r个向量1,(D)如果r个向量1,2,,r线性无关，则加入k个向量1,2,,k后，2,,r线性无关，则在每个向量中增加k个分量后所得向量2,,r线性相关，则加入k个向量后，仍然线性相关

则在每个向量中去掉k个分量后所得向量组2,,r线性相关，仍然线性相关

7．设n阶方阵A的秩r

(B)任意r个行向量均可构成极大无关组(C)任意r个行向量均线性无关

(D)任一行向量均可由其他r个行向量线性表示 8．设方阵A的行列式A0，则A中 C(A)必有一行（列）元素为零(B)必有两行（列）成比例

(C)必有一行向量是其余行（列）向量的线性组合(D)任一行向量是其余行（列）向量的线性组合

9．设A是m×n矩阵，齐次线性方程组AX=0仅有零解的充分必要条件是(A)(A)A的列向量线性无关(B)A的列向量线性相关(C)A的行向量线性无关(D)A的行向量线性相关

11．n元线性方程组AX=b，r（A，b）

(B)有唯一解

(C)无解

(D)不确定 10．设A，B均为n阶非零矩阵，且AB＝0，则A和B的秩（D）(A)必有一个等于零

(B)一个等于n，一个小于n

(C)都等于n

(D)都小于n 12．设向量组1,2,,s(s>1，10)线性相关，则（C）由1,2,,i1线性表出。

(A)每个i(i1)都能

(B)每个i(i1)都不能

(C)有一个i(i1)能

(D)某一个i(i1)不能

A的第二行加到第一行得到B，再将B的第一列的(1)倍加13.设A为3阶矩阵，将到第2列得到C，记B

110P010

001（A）CP1AP则：

（C）CPTAP(B)CPAP1

(D)CPAPT

14.若向量组,,线性无关;,,线性相关,则(C)(A)必可由,,线性表示.(B)必不可由,,线性表示(C)必可由,,线性表示.(D)必不可由,,线性表示.15．下列命题正确的是(D)(A)若向量组线性相关, 则其任意一部分向量也线性相关(B)线性相关的向量组中必有零向量

(C)向量组中部分向量线性无关, 则整个向量组必线性无关(D)向量组中部分向量线性相关, 则整个向量组必线性相关 16．设向量组1,2,,s的秩为r，则 D(A)必定r

17．A是m×n矩阵, r(A)=r 则A中必(B)(A)没有等于零的r-1阶子式至少有一个r阶子式不为零(B)有不等于零的r阶子式所有r+1阶子式全为零(C)有等于零的r阶子式没有不等于零的r+1阶子式(D)任何r阶子式都不等于零任何r+1阶子式都等于零 18．能表成向量10,的向量是（B）(A)0,0,0,1,20,1,1,1,31,1,1,1的线性组合0,1,1(B)2,1,1,0

(C)2,3,1,0,1(D)0,0,0,0,0

19．已知11,2,3, 23,1,2,32,3,x 则x=（D）时1,2,3线性相关。

(A)1

(B)2

(D)5

20．向量组11,1,2,4,20,3,1,2,330,7,14

41,1,2,0的秩为 C（A）1

（B）2

（C）3

（D）4

21．设A为n阶方阵,且A0，则C(A)A中任一行（列）向量是其余各行（列）向量的线性组合(B)A必有两行（列）对应元素乘比例

(C)A中必存在一行（列）向量是其余各行（列）向量的线性组合(D)A中至少有一行（列）向量为零向量

22．向量组1,2,,s线性相关的充要条件是(C)3

(A)(B)(C)(D)1,2,,s中有一零向量

1,2,,s中任意两个向量的分量成比例 1,2,,s中有一向量是其余向量的线性组合 1,2,,s中任意一个向量均是其余向量的线性组合

23．若向量可由向量组1,2,,s线性表出,则(C)(A)存在一组不全为零的数k1,k2,,ks,使等式k11k22kss成立(B)存在一组全为零的数k1,k2,,ks,使等式k11k22kss成立(C)向量,1,2,,s线性相关(D)对的线性表示不唯一

24．对于n元方程组，正确的命题是（D）(A)如AX=0只有零解, 则AX=b有唯一解(B)AX=0有非零解, 则AX=b有无穷解(C)AX=B有唯一解的充要条件是A0

(D)如AX=b有两个不同的解, 则AX=b有无穷多解

25．设矩阵Amn的秩为r(A)=m

(C)A通过初等变换, 必可化为(Im,0)的形式

(D)若矩阵B满足BA0,则B0.26．非齐次线性方程组AX=b中未知数的个数为n，方程个数为m，系数矩阵A的秩为r，则（A）

(A)r=m时, 方程组AX=b有解(B)r=n时, 方程组AX=b有唯一解(C)m=n时, 方程组AX=b有唯一解(D)r

27．已知1,2,3是齐次线性方程组AX=0的基础解系，那么基础解系还可以是（B）(A)k11k22k33(B)(C)12,23,31 12,23，(D)1,123,32，28．向量组1,2,,r线性无关，且可由向量组1,2,,s线性表示，则 D r(1,2,,r)必（）r(1,2,,s)(A)大于等于

(B)大于

(C)小于

(D)小于等于

T 29．设n元齐次线性方程组AX=0的通解为k（1，2，…，n），那么矩阵A的秩为（B）(A)r(A)=1

(B)r(A)=n-1

(C)r(A)=n

(D)以上都不是

1111的秩为2，则=（D）30．设矩阵A=12233A.2

B.1

C.0

D.-1 31．设n维向量组1,2,,r(Ⅰ)中每一个向量都可由向量组1,2,,s(Ⅱ)线性表出,且有r>s, 则(D)

(A)(Ⅱ)线性无关

(B)(Ⅱ)线性相关

(C)(Ⅰ)线性无关

(D)(Ⅰ)线性相关 32．设1,2,,n是n个m维向量，且n>m, 则此向量组1,2,,n必定(A)(A)线性相关

(B)线性无关

(C)含有零向量

(D)有两个向量相等 33．矩阵A 适合条件（D）时，它的秩为r(A)A中任何r+1列线性相关

(B)A中任何r列线性相关

(C)A中有r列线性无关

(D)A中线性无关的列向量最多有r个 34．若m×n阶矩阵A中的n个列线性无关

则A的秩（C）(A)大于m

(B)大于n

(C)等于n

(D)等于m 35．若矩阵A中有一个r阶子式D≠0，且A中有一个含D的r+1阶子式等于零，则一定有R（A）（A）

(A)≥r

(B)＜r

(C)=r

(D)=r+1 36．要断言矩阵A的秩为r，只须条件（D）满足即可(A)A中有r阶子式不等于零(B)A中任何r+1阶子式等于零

(C)A中不等于零的子式的阶数小于等于r(D)A中不等于零的子式的最高阶数等于r 37.设m×n阶矩阵A，B的秩分别为r1,r2，则分块矩阵（A，B）的秩适合关系式（A）(A)rr1r2

(B)rr1r2

(C)rr1r2

(D)rr1r2 38．R(A)=n是n元线性方程组AX=b有唯一解（C)(A)充分必要条件

(B)充分条件

(C)必要条件

(D)无关的条件 39．矩阵A=11的特征值为0,2, 则3A的特征值为（B)115

(A)2,2;

(B)0,6;

(D)2,6;40．A=1122I2AA，则的特征值为（B）111(A)2,2;

(B)–2,-2;

(D)–4,-4;41．BPAP,0是A,B的一个特征值, 特征向量是(C)(A)

是A的关于0的特征向量, 则B的关于0的

(B)P

(C)P1

(D)P

242．A满足关系式A2AEO，则A的特征值是 C(A)=2

(B)= －1

(C)= 1

(D)= －2是

022x2的特征值，其中b≠0的任意常数，则x=（D）43．已知－2是A=222b(A)2

(B)4

(C)－2

(D)－4

41771有特征值123,312，则x=（D）44．已知矩阵A=444x(A)2

(B)－ 4

(C)－2

(D)4（提示：用特征值的和等于迹的结论来做较简单，迹的向定义见计算题与填空题17）45．设A为三阶矩阵，已知AE0，A2E0，A3E0，则A4E A(A)6

(B)－ 4

(C)－2

(D)4

46.设A为三阶矩阵，有特征值为1，-1，2，则下列矩阵中可逆矩阵是（D）(A)E-A

(B)E+A

(D)2E+A

（二）计算题与填空题

1．A5A6I0，则A31（）

（12A5I）621012,则RBA_____2___ 2．设A是34矩阵,RA2,B11113.设A为3阶矩阵，且|A|2, 则行列式|TTTA3A1|____

（-1/2）

4.11t3,20t5,310t, 当t0,2时, 向量组1,2,3 线性无关.6

5．设1kTTT5,1132,2211,k（）时可被向量组1,2线性表出。

（-8）

6.1001111000113120110010110013 答案：110 349012 7.设122T,1111T,2111T,3111T.则是否为向量组1,2,3的线性组合？

（是）

8．确定a,b为何值时，使下列非齐次线性方程组有解，并求其所有解.x1x22x33x40x3x5x2x11234.x1x2ax34x41x17x210x37x4b答：当a1,b4时，解为

1172131，其中

c1c1,c2为任意非零常数;c22020020

当a1,b4时，解为

17211

k0，其中k为任意常数;2020

方程组不存在唯一解.1111，矩阵X满足A*XA12X，其中A*是A的伴随矩阵，求9．已知A11111矩阵X.1101答：X0114101

10．求下列矩阵的特征值与特征向量.102（1）010(2)201

312202.211答案：(1)11,21,33，对应于11的全部特征向量是k10,1,0，k10；

对应于21的全部特征向量是k21,0,1，k20；

对应于33的全部特征向量是k31,0,1，k30.(2)10,231，1

对应于10的全部特征向量是k11，k1为非零常数；

1TTT

对应于231的全部特征向量为

10k22k32，k2,k3是不同时为零的常数； 0111.三阶矩阵A的特征值为11,22,33,则A为（）.(6;1,;A1,A*,A1A2的特征值

1111,;6,3,2;2,4,9.)2323 8

1k1012.设矩阵A121有一个特征向量为2，求k及A的三个特征值.101k答案：k3，A的三个特征值为1,3,4.13．已知向量组

12,1,2,1T,21,1,5,7T,31,2,3,8T,41,1,a,6T,53,0,4,7T 的秩为3，求a及该向量组的一个极大无关组，并用该极大无关组表示其余向量。答案：a2,1,2,4 为一个极大无关组，31204，51024，14．设向量组11,k,1,2k1,2,1,31,1,k，(1)k为何值时，1,2线性相关？线性无关？

(2)k为何值时，1,2,3线性相关？线性无关？

(3)当1,2,3线性相关时，将3表示为1,2的线性组合.答案：(1)k2时线性相关，k2时线性无关；

(2)k1,2或2时线性相关；k1且k2且k2时线性无关；

(3)当k1时，3102；当k2时，3534142.15设A123012,使得方程组AXb总有解的b是（211(k12310k21k322)1121116.已知向量(1,k,1)T是矩阵A121的逆矩阵A1的特征向量，求常数k

112答案：k1,2

17．矩阵A321315的迹为

。（7）323).定义：对于n阶方阵A(aij)，矩对角线元素之和称为方阵A的迹，记为trA，即

trAa11a22ann，定义2.15 如果矩阵A经过有限次初等变换变成矩阵B，则称矩阵A与B等价，记作AB

（三）证明题：

1.设A为mn矩阵，B为ns矩阵，且AB0，证明rArBn.证设B(1,2，s)，则AB(A1,A2，As)，由AB0得

Ai0,i1,2，s，所以矩阵B的列向量都是方程组Ax0的解.设rAr，如r0，则结论显然成立.如rn，则方程组Ax0仅有零解，故B0，从而有rArBn.如0rn，则方程组Ax0的基础解系中有nr个线性无关解向量.由于B的列都能由基础解系线性表示，由定理3.12知，rBnr，所以rArBrnrn.T2.证明：对任意矩阵A，有rAArA.

证

设A为mn矩阵，x为n维列向量，如果x满足Ax0，则有

AAx0，即AAx0，反之，如果AAx0，则xTTAAx0，即AxAx0，从而Ax0.TTTT这说明方程组Ax0与AAx0同解，所以rAArA.

篇2：线性代数期末试题详解

（一）自我解析

1、自我兴趣爱好盘点

（1）业余爱好：电影，音乐，小说（2）喜欢的歌曲：《启程》，《最初的梦想》

（3）心中的偶像：威尔史密斯，科比布莱恩特

2、自我优势优点盘点

（1）具有冒险精神，积极主动。勤奋向上，只要我认为应该做的事，不管有多难都要去做。

（2）务实、实事求是，有目标有想法，追求具体和明确的事情，喜欢做实际的考虑。喜欢单独思考、收集和考察丰富的外在信息。不喜欢逻辑的思考和理论的应用，对细节很强的记忆力。

(3)与人交往时大方，比较谦逊、有同情心，对朋友忠实友好，有奉献精神，充满一腔热血喜欢关心他人并提供实际的帮助。

（4）做事有很强的原则性，学习生活比较有条理，愿意承担责任，依据明晰的评估和收集的信息来做决定，充分发挥自己客观的判断和敏锐的洞察力。

3、自我劣势缺点盘点

信心不足，不敢去尝试一些新事物；对失败和没有把握的事感到紧张和压力；对于别人对自己的异议不服输；在公众场合不敢展现自己，有些害羞。

4、个人分析（结合职业测评）：

职业理想：有份稳定工作就业方向：造价师

总体目标：完成学业，好好完成实习，提高自己的实践能力和实际工作能力，进入一个正式企业工作。

已进行情况：正在大学学习中。

我的职业兴趣：企业性工作。

我的气质：多血质。活泼好动，反应灵敏，乐于交往，注意力易转移，兴趣和情绪多变，缺乏持久力，具有外倾型。

（二）短期目标规划——大学四年目标

大一：主要是加深对本专业的培养目标和就业方向的认识，增强自己学习专业的自学性，培养自己的专业学习目标并初步了解将来所从事的职业，为将来制定的职业目标打下基础。由于用人单位对毕业生的需求，一般首先选择的是大学生某专业方面的特长，大学生迈入社会后的贡献，主要靠运用所学的专业知识来实现。如果职业生涯设计离开了所学专业，无形当中增加了许多“补课”负担，个人的价值就难以实现。因此，大学生对所学的专业知识要精深、广博，除了要掌握宽厚的基础知识和精深的专业知识外，还要拓宽专业知识面，掌握或了解与本专业相关、相近的若干专业知识和技术。所以要丰富自己各方面的知识，让自己了解的领域尽可能的多，以增强自身在今后就业中的竞争力。

大二：要了解应具备的各种素质，通过参加各项活动，锻炼自己的各种能力，如参加兼职工作、社会实践活动，并要具有坚持性，最好能在课余时间后长时间从事与自己未来职业或本专业有关的工作，如参与学生科研工作，提高自己的责任感、主动性和受挫能力；同时增强英语口语能力和计算机应用能力，通过英语和计算机的相关证书考试，并开始有选择地辅修其他专业的知识充实自己；同时检验自己的知识技能，并要根据个人兴趣与能力修订个人的职业生涯规划设计。大三：由于临近毕业，在指导学生加强专业学习，准备考研的同时，要指导学生开始把目标锁定在提高求职技能上，培养独立创业能力。如可以通过大学生素质拓展活动来锻炼学生的独立解决问题的能力和创造性；鼓励学生参加和专业有关的暑期实践工作；加强和已毕业的校友联系，交流求职工作心得体会，学习写简历、求职信，加大了解搜集工作信息的渠道等。

大四：是一个分化期，大部分学生对自己的出路应该都有了规划，这时可指导学生对前三年的准备做一个总结：首先检验已确立的职业目标是否明确，前三年的准备是否已充分；然后，有针对性的对学生进行专项指导，除了常规的就业指导课，比如可以聘请人力资源方面的专业人士为学生介绍各行业人才要求，让学生接受择业技巧培训、组织参加招聘活动，让学生在实践中校验自己的积累和准备等。最后，指导学生充分利用学校提供的条件，了解就业指导中心提供的用人公司资料信息、强化求职技巧、进行模拟面试等训练，尽可能地让学生在做出较为充分准备的情况下进行施展演练。

（三）中长期目标

中期目标：如果没有读研毕业，先进入事业探索期和事业发展期，希望进入任意公司从事造价工作积累工作经验，并且要一边工作一边深入学习，在努力工作的同时，还要争取扩大发展人际关系，并且要养成好的生活习惯，抓紧时间参加体育锻炼。

长期问题：事业成熟期，奋斗目标——造价师，争取进入外资企业，以成熟职业的姿态去处理遇到的事件

（四）我对于职业生涯规划的看法：

1、虽然可能没有成型的职业规划，但是我觉得每个阶段的前进方向和短期目标要有，比如这段时间我要练好英语听力，提高英语水平。

2、职业规划肯定要有，但是我觉得职业规划不可能现在就定下来，周围的环境随时在变，而且自己随着不断的成熟和接触不同的东西，也会变。作为一个学生，我们还没有任何社会阅历，谈这个就似乎有点纸上谈兵。但是我觉得这次的职业规划是必要的，这不仅仅是一份作业，对大一新生来说，通过这次的思考，可以在短期内找到奋斗的目标。

篇3：线性代数期末试题详解

2011年综合性大学自主选拔录取联合考试

数学试题

请注意:文科考生做1至5题, 理科考生做3至7题, 每题20分, 共100分.

1.已知平行四边形的两条边长分别为3和5, 一条对角线长为6, 求另一条对角线长.

2.求过抛物线y=2x2-2x-1与y=-5x2+2x+3的交点的直线方程.

3.在等差数列 ${a_{n}}$ 中, a3=-13, a7=3, 数列 ${a_{n}}$ 的前n项和为Sn.求数列 ${S_{n}}$ 的最小项, 并指出其值为何.

4.在△ABC中, a+b≥2c, 求证:C≤60°.

5.是否存在四个正实数, 使得他们的两两之积分别为2, 3, 5, 6, 10, 16

6.C1和C2是平面上两个不重合的固定圆, C是平面上的一个动圆, C与C1, C2都相切, 则C的圆心的轨迹是何种曲线?说明理由.

7.求f (x) =|x-1|+|2x-1|+|3x-1|+…+|2011x-1|的最小值.

二、参考答案

1.【解析】如图1, 已知AB=5, BC=3, 对角线AC=6, 试求另一条对角线BD, 记∠BOC=θ, 则∠AOB=π-θ, 于是分别对△BOC及△AOB用余弦定理得

AB2=OA2+OB2-2OA·OBcos (π-θ) ,

BC2=OC2+OB2-2OC·OBcosθ.

注意到 $Ο A = Ο C = \frac{1}{2} A C ‚ Ο B = \frac{1}{2} B D,$

两式相加, 得

即 $B D = \sqrt{2 (A B^{2} + B C^{2}) - A C^{2}} . (*)$

将已知条件代入得

$B D = \sqrt{2 (5^{2} + 3^{2}) - 6^{2}} = 4 \sqrt[]{2} .$

【点评】这道题的命题背景是三角函数 (解三角形及余弦定理) 和解析几何, 难度不大.实际上, 最后得到的 (*) 式就是三角形中线公式的一种等价形式. (*) 式也可以通过向量的形式推导出来, 本文从略.但无论如何, 最后必须要得到 (*) 式或类似结果方可解决问题.

2.【解析】联立y=2x2-2x-1与y=-5x2+2x+3, 得7x2-4x-4=0, 解得两根分别为 $x_{1} = \frac{2 - 4 \sqrt[]{2}}{7} ‚ x_{2} = \frac{2 + 4 \sqrt[]{2}}{7}$ .为方便记f (x) =2x2-2x-1, g (x) =-5x2+2x+3.

由于7x2-4x-4=0, 则 $x^{2} = \frac{4 x + 4}{7}$ , 则

$f (x) = \frac{8 x + 8}{7} - 2 x - 1 = \frac{1 - 6 x}{7} . (1)$

$\begin{array}{l} 代入化简 ‚ 得 f (x_{1}) = \frac{- 5 + 24 \sqrt[]{2}}{49} ‚ \\ f (x_{2}) = \frac{- 5 - 24 \sqrt[]{2}}{49} . \end{array}$

同理 $g (x) = - 5 \times \frac{4 x + 4}{7} + 2 x + 3 = \frac{1 - 6 x}{7} . (2)$

$\begin{array}{l} 于是 g (x_{1}) = f (x_{1}) = \frac{- 5 + 24 \sqrt[]{2}}{49} ‚ \\ g (x_{2}) = f (x_{2}) = \frac{- 5 - 24 \sqrt[]{2}}{49} \end{array}$

, 即两交点的坐标分别为 $A (\frac{2 - 4 \sqrt[]{2}}{7}, \frac{- 5 + 24 \sqrt[]{2}}{49}) ‚ B (\frac{2 + 4 \sqrt[]{2}}{7}, \frac{- 5 - 24 \sqrt[]{2}}{49})$ , 过这两点的直线斜率为 $k_{A B} = \frac{f (x_{2}) - f (x_{1})}{x_{2} - x_{1}} = - \frac{6}{7}$ , 于是所求的直线方程为 $y - \frac{- 5 + 24 \sqrt[]{2}}{49} = - \frac{6}{7} (x - \frac{2 - 4 \sqrt[]{2}}{7})$ , 化简得6x+7y-1=0.

【点评】这道题的命题背景是解析几何与方程.这道题也可这样求解:题中的抛物线与直线有两个交点, 则该直线的斜率必存在, 可令直线方程为y=kx+b, 分别与抛物线方程联立, 由于二者有共同交点, 则分别联立之后的两根之和与两根之积必须相等, 这样利用韦达定理, 就很容易求出k, b (此法比上面的解题过程要简洁得多, 本文从略) .其实联立两个方程, 进而得到 (1) 式和 (2) 式, 它们的结构相同, 题意可知, 令 $y = f (x) = \frac{1 - 6 x}{7} = g (x)$ , 即直线方程为7y+6x-1=0.这样可以更快捷地得到答案.本题最简洁的方法是消元法, 令y=f (x) =2x2-2x-1, y=g (x) =-5x2+2x+3, 5f (x) +2g (x) =7y=4x+6-10x-5=1-6x, ∴7y+6x-1=0即为所求.但是, 恐怕更多的考生容易想到我们上面详细讨论的直接法, 可是不少同学不能化简到底, 其实这里最重要的是如何化简的问题, 以上的书写方式及变换手法能很好地简化处理过程, 值得注意.同时要看到, 尽管过程所得结果很不好看, 但结论却非常简洁, 因此, 在这道题的求解过程中, 耐心、仔细显得尤其重要.

3.【解析】在等差数列 ${a_{n}}$ 中, 已知a3=-13, a7=3, 则a1+2d=-13, a1+6d=3, 解之, 得a1=-21, d=4, 于是an=-21+4 (n-1) ,

则 $S_{n} = - 21 n + \frac{n (n - 1) 4}{2} = 2 n^{2} - 23 n$ , 即

$S_{n} = 2 (n - \frac{23}{4})^{2} - 2 (\frac{23}{4})^{2}$ , 由于n∈N*, 所以当n=6时, Sn取最小值为2×62-23×6=-66.

【点评】这道题的命题背景是数列及二次函数的最值问题, 是一道常规题.由条件可直接求出首项及公差, 进而表示出通项an及前n项和Sn, 最后利用二次函数的性质求解 (注意:n∈N*) , 也可利用Sn最小⇔an≤0且an+1≥0确定n (此法从略) .

4.【解析】对任意实数a, b有2ab≤a2+b2成立, 当a>0, b>0时, 也有 $1 \leq \frac{a^{2} + b^{2}}{2 a b}$ , 于是 $\cos C = \frac{a^{2} + b^{2} - c^{2}}{2 a b} \geq 1 - \frac{c^{2}}{2 a b} \geq \frac{1}{2}$ , (最后一步用 $\frac{1}{2 a b} \leq \frac{2}{(a + b)^{2}} \leq \frac{2}{4 c^{2}})$ 于是C≤60°. (容易验证, 当a=b时, 不等式取等号, 此时对应等边三角形)

【点评】这道题考查的是三角函数、余弦定理、基本不等式等知识.

5.【解析】设存在正实数x, y, z, w, 且x≤y≤z≤w, 满足题意要求, 则xy=2, xz=3, yw=10, zw=16, xw=5, yz=6或者xw=6, yz=5要分别讨论, 即便如此, 前面的四个等式也是互相矛盾的, 因为, 一方面xyzw=xy·zw=2×16=32, 另一方面, xyzw=xz·yw=3×10=30, 二者矛盾!故不存在符合题意要求的四个正实数x, y, z, w.

【点评】这道题考查的是反证法和数据的观察分析及处理能力.

6.【解析】为简单起见, 两固定圆的半径分别为r1和r2的圆半径为r, 不妨假设半径r2≥r1.根据两固定圆的位置关系:相离, 外切, 内切, 相交和内含, 分类讨论可以得出如下结论:

(Ⅰ) 两固定圆外离

(1) 若圆C与C1, C2都外切 (如图2) , |OO1|=r+r1, |OO2|=r+r2, 则|OO2|-|OO1|=|r2-r1|, 此时, |O1O2|>r1+r2>r2-r1.

①若r2=r1, 则|OO2|=|OO1|, 所求轨迹为O1O2的垂直平分线;

②若r2≠r1, 则r2>r1, 所求轨迹为双曲线一支 (离O2较远的一支) .

(2) 若圆C与C1, C2都内切 (如图3) , |OO1|=r-r1, |OO2|=r-r2, 则|OO1|-|OO2|=|r2-r1|, |OO1|-|OO2|=r2-r1, 此时, |O1O2| >r1+r2>r2-r1.

①若r2=r1, 则|OO2|=|OO1|, 所求轨迹为O1O2的垂直平分线;

②若r2≠r1, 则r2>r1, 所求轨迹为双曲线一支 (离O1较远的一支) .

(3) 若圆C与C1, C2一个内切, 一个外切, 具体地, 若C与圆C1内切, 与圆C2外切, 则|OO1|=r-r1, |OO2|=r+r2, 则|OO2|-|OO1|=r2+r1>0, 此时, |O1O2|>r1+r2, 所求轨迹为双曲线一支 (离O2较远的一支) ;反之, C与圆C1外切, 圆C2内切, 则所求轨迹是双曲线的另一支 (离O1较远的一支) .

综合可知, C与C1, C2一个内切, 一个外切时, 所求轨迹为双曲线.

为简单起见, 以下不再详细画出图形, 仅给出部分结论, 供读者参考.

(Ⅱ) 两固定圆外切

(1) 若圆C与C1, C2都外切, |OO1|=r+r1, |OO2|=r+r2, 则|OO2|-|OO1|=|r2-r1|.

①若r2=r1, 则|OO2|=|OO1|, 所求轨迹为O1O2的垂直平分线 (除去两圆的切点) ;

②若r2≠r1, 则r2>r1, |r2-r1|<r2+r1=O1O2, 所求轨迹为双曲线一支 (离O2较远的一支) .

(2) 若圆C与C1, C2都内切, |OO1|=r-r1, |OO2|=r-r2, 则|OO1|-|OO2|=|r2-r1|.

①若r2=r1, 则|OO2|=|OO1|, 所求轨迹为O1O2的垂直平分线 (除去两圆的切点) ;

②若r2≠r1, 则r2>r1, 则|OO1|-|OO2|=|r2-r1|, |r2-r1|<r2+r1=O1O2, 所求轨迹为双曲线一支 (离O1较远的一支) .

(3) 若圆C与C1, C2一个内切, 一个外切, 具体地, 若C与圆C1外切, 与圆C2内切, 则|OO1|=r+r1, |OO2|=|r-r2|.

①当|OO2|=r-r2>0时, 即圆C2内切于动圆C时, |OO2|-|OO1|=r2+r1=|O1O2|, 所求轨迹是从点O2处出发的一条射线;

②当|OO2|=r2-r>0时, 即圆C内切于圆C2时, |OO2|+|OO1|=r2+r1=|O1O2|, 所求轨迹是不含两端点的线段O1O2, 且除去两圆的切点.

反之, 若圆C与圆C1内切, 与圆C2外切, 则所求轨迹是从点O1处出发的一条射线和不含端点的两线段O1O2, 且除去两圆的切点.

综合可知, 若圆C与C1, C2一个内切, 一个外切时, 所求轨迹是不含两圆切点, O1和O2的直线O1O2.

(Ⅲ) 两固定圆内切 (r2≠r1)

(1) 若圆C与C1, C2都外切, |OO1|=r+r1, |OO2|=r+r2, 则|OO2|-|OO1|=|r2-r1|=|O1O2|, 所求轨迹是一条不含公共切点的射线.

(2) 若圆C与C1, C2都内切 (必须r2≠r1) , |OO1|=|r-r1|, |OO2|=|r-r2|, 则无论r<r1<r2, r1<r<r2, 还是r1<r2<r, 所求为轨迹为不含O1和O2的射线.

(3) 若圆C与C1, C2一个内切, 一个外切, 具体地, 若圆C与C1外切, 与C2内切, 则|OO1|=r+r1, |OO2|=r2-r, |OO2|+|OO1|=r2+r1>|O1O2|=r2-r1, 所求轨迹是椭圆 (在圆C1外, 且在圆C2内的部分) .若圆C与C1内切, 与圆外切, 这是不可能的, 此时, 轨迹不存在.

(Ⅳ) 两固定圆内含

(1) 若C1, C2同心, ①C与C2内切, 与C1外切, 所求轨迹为以同一圆心为圆心, $\frac{r_{1} + r_{2}}{2}$ 为半径的圆;②C与C1内切, 与C2内切, 即r1<r<r2时, |OO1|=r2-r1, |OO2|=r2-r, 则 $| Ο Ο_{1} | + | Ο Ο_{2} | = r_{2} - r_{1} = 2 | Ο Ο_{1} | ‚ ∴ r = \frac{r_{1} + r_{2}}{2}, | Ο Ο_{1} | = \frac{r_{2} - r_{1}}{2}$ , 所求轨迹为以同一圆心为圆心, $\frac{r_{2} - r_{1}}{2}$ 为半径的圆.

(2) 若C1, C2不同心, ①C与C2内切, 与C1外切, |OO2|=r2-r, |OO1|=r+r1, 则|OO2|+|OO1|=r2+r1>|r-r1|>|O1O2|, 则所求轨迹为椭圆 (在C2内, C1外的部分) ;

②与C2, C1均内切, 即C内切于C2, C1内切于C, |OO2|=r2-r, |OO1|=r-r1, |OO2|+|OO1|=r2-r1>|O1O2|, 则所求轨迹为椭圆 (在C2内, C1外的部分) .

(Ⅴ) 两圆相交

若r2=r1, 所求轨迹为O1O2的垂直平分线 (去掉两圆的交点) .下面讨论r1≠r2的情况:

(1) 圆C与C1和C2均外切, |OO1|=r+r1, |OO2|=r+r2, 则|OO2|-|OO1|=r2-r1<|O1O2|, 所求轨迹为双曲线的一支 (离O2较远的一支, 除去两圆内的部分) .

(2) 圆C与C1和C2均内切, 只可能有两种情况:①r1<r2<r时, 即C1和C2内切于C, |OO1|=r-r1, |OO2|=r-r2, 则|OO1|-|OO2|=r2-r1, 则所求轨迹为双曲线的一支 (离O1较远的一支) ;②r<r1<r2时, 即C内切于C1和C2, |OO1|=r1-r, |OO2|=r2-r1, 则|OO2|-|OO1|=r2-r1, 则所求轨迹为双曲线的一支 (离O2较远的一支, 且在两圆内的部分) .

(3) 圆C与C1和C2一个外切, 一个内切时, 分两种情况:①C与C1内切, 与C2外切时, |OO1|=r1-r2, |OO2|=r+r2, 则|OO1|+|OO2|=r1+r2>|O1O2|, 所求轨迹为椭圆 (在C1内, C2外的部分) ;②C与C1外切, 与C2内切时, |OO1|=r+r1, |OO2|=r2-r, 则|OO1|+|OO2|=r1+r2>|O1O2|, 所求轨迹为椭圆 (在C2内, C1外的部分) .

【点评】这道题的命题背景是解析几何的圆锥曲线, 但必须以平面几何的两圆相切 (内切、外切) 作为问题展开的切入点, 讨论的情形比较多, 须仔细考虑.

7.【解析】引理1 对任意的实数x, 有|x-a|+|x-b|≥|a-b|成立, 不等式取等号条件为a≤x≤b的任意实数.

引理2 对任意的实数x, 且a<c<b有|x-a|+|x-b|+|x-c|≥|a-b|成立, 不等式取等号条件为x=c.

引理3 一般地, 对任意的实数x, 若有2n个实数xi (i=1, 2, 3, …, 2n) , 且x1<x2<…<x2n-1<x2n, 当x是[xn, xn+1]区间里的任意一点时, $\sum_{i = 1}^{2 n} | x - x_{i} |$ 取得最小值, 又若有2n+1个实数xi (i=1, 2, 3…, 2n, 2n+1) , 且x1<x2<…<x2n-1<x2n<x2n+1, 当x=xn+1时, $\sum_{i = 1}^{2 n + 1} | x - x_{i} |$ 取得最小值.

f (x) =|x-1|+|2x-1|+|3x-1|+…+|2011x-1|, 将其改写为

$f (x) = | x - 1 | + 2 | x - \frac{1}{2} | + 3 | x - \frac{1}{3} | + \dots + 2011 | x - \frac{1}{2011} | = \sum_{i = 1}^{2011} i | x - \frac{1}{i} |$ , 注意到

$g (x) = | x - \frac{1}{i} |$ 的零点为 $x = \frac{1}{i}$ , 则

$| x - 1 | + | x - \frac{1}{2011} | \geq | 1 - \frac{1}{2011} |$ , 当 $x \in [\frac{1}{2011}, 1]$ 时取最小值 (不等式取等号, 下略) ;

$2 (| x - \frac{1}{2} | + | x - \frac{1}{2011} |) \geq 2 | \frac{1}{2} - \frac{1}{2011} |$ , 当 $x \in [\frac{1}{2011}, \frac{1}{2}]$ 时取最小值;

$3 (| x - \frac{1}{3} | + | x - \frac{1}{2011} |) \geq 3 | \frac{1}{3} - \frac{1}{2011} |$ , 当 $x \in [\frac{1}{2011}, \frac{1}{3}]$ 时取最小值;

…

为了确定函数f (x) 取得最小值的公共区间, 需要试探寻找正整数j (或最接近的较小正整数) , 使得1+2+3+…+j= (j+1) + (j+2) +…+2010+2111, 即

即j (j+1) =2011×1006=2023066,

注意到 $\sqrt{2023066} \approx 1422$ (此工作及下面的试探计算最好有计算器!) , 记g (j) ≡j (j+1) , 发现g (1422) =2023506>2023066, g (1421) =2020662<2023066, 则 $\frac{g (1421)}{2} = 1010331$ , 而 $\frac{2023066}{2} = 1011533$ , 小于一半, 二者之差为1202, 即将原来函数表达式按照上面的思路两两配对后, 最后剩下的单独一项为 $1202 | x - \frac{1}{1422} | \geq 0$ , 显然, 若取 $x = \frac{1}{1422}$ , 则上面的所有不等式都能取等号, 将 $x = \frac{1}{1422}$ 代入原始函数式, 对应 $[f (x)]_{m i n} = [(1 - \frac{1}{1422}) + (1 - \frac{2}{1422}) + \dots + (1 - \frac{1422}{1422})] + [(\frac{1423}{1422} - 1) + (\frac{1424}{1422} - 1) + \dots + (\frac{2011}{1422} - 1)] = 1422 - \frac{\sum_{i = 1}^{1422} i}{1422} + \frac{\sum_{i = 1}^{589} i}{1422} = 1422 - \frac{\sum_{590}^{1422} i}{1422} = 1422 - \frac{2012 \times 833}{2 \times 1422} \approx 1422 - 589 = 833 .$

【点评】这道题的命题背景是绝对值不等式|x-a|+|x-b|≥|a-b|, 但必须深入分析问题的具体情况, 充分注意到不等式取等号的条件, 然而, 最后计算这个最小值时, 不宜采用函数变化以后的形式, 代回其原始形式计算反倒更简便.

篇4：2015年高考线性规划试题研究

1 线性规划问题的常规求解

常规的线性规划问题求最优解，要明确线性规划问题求解的基本步骤，即在作出可行域，理解目标函数z的意义的基础上，通过平移目标函数所在直线，最终寻求最优解.

例1 （2015年陕西）某企业生产甲、乙两种产品均需用A，B两种原料.已知生产1吨每种产品需原料及每天原料的可用限额如表所示，如果生产1吨甲、乙产品可获利润分别为3万元、4万元，则该企业每天可获得最大利润为（）.

A.12万元 B.16万元 C.17万元 D.18万元

甲乙原料限额A（吨）3212B（吨）128

解析设该企业每天生产甲、乙两种产品分别为x、y吨，则利润z=3x+4y，

由题意可列3x+2y≤12，

x+2y≤8，

x≥0，

y≥0，该不等式组表示的平面区域如图1所示阴影部分：

图1

易知目标函数z=3x+4y所在直线y=-34x+z4过点A（2，3），即x=2，y=3时，z取得最大值，zmax=3×2+4×3=18，故选D.

实际问题涉及的线性规划问题求解，不同于纯数学形式的线性规划问题，尤其最优解，要遵循实际问题所在的意义.类似教材中钢板张数，人力资源分配，车辆配备等问题要寻求最优整数解等，都不同于一般的数学求实数解问题，这在求解过程中尤其注意.

练习（2015年天津）设变量x，y满足约束条件x+2≥0，

x-y+3≥0，

2x+y-3≤0，则目标函数z=x+6y的最大值为（）.

A.3 B.4 C.18 D.40

（答案C.）

2 线性规划问题中的参数求解

在线性规划问题中，常常遇到借助于不等式组，或者目标函数设置一些参数，利用已知的目标函数z的最值，来求出参数值的题目.这类线性规划问题的求解，方法上仍要遵循线性规划问题的求解步骤，但在求解中涉及到分类讨论，数形结合等数学思想.

例2 （2015年山东）已知x，y满足约束条件x-y≥0，

x+y≤2，

y≥0. 若z=ax+y的最大值为4，则a=（）.

A.3 B.2 C.-2 D.-3

图2

解析由z=ax+y得y=-ax+z，借助图形2可知：

当-a≥1，即a≤-1时，在x=y=0时有最大值0，不符合题意;

当0≤-a<1，即-1<a≤0时，在x=y=1时有最大值a+1=4，a=3，不满足-1<a≤0;

当-1<-a≤0，即0<a≤1时，在x=y=1时有最大值a+1=4，a=3，不满足0<a≤1;当-a<-1，即a>1时在x=2，y=0时有最大值2a=4，a=2，满足a>1;故选B.

本例中参数a在目标函数所在直线方程中的意义与斜率有关，即直线的斜率k=-a，故如何利用条件中的函数最大值4求参数a成为解题关键，或者说目标函数所在直线经过不等式组所示区域的哪一点取到最大值成为参数a分类讨论的依据.

3 非线性目标函数的最值求解

在线性规划问题中，我们常常会遇到一些非线性目标函数的求解问题.

例3 （2015年四川）设实数x，y满足

2x+y≤10，

2+2y≤14，

x+y≥6，

则xy的最大值为（）.

A.252 B.492

C.12 D.14 图3

解析不等式所示平面区域如图3，

当动点（x，y）在线段AC上时，此时2x+y=10，据基本不等式知道，非线性目标函数z=xy=12（2x·y）≤12（2x+y2）2=252，当且仅当x=52，y=5时取等号，对应点落在线段AC上，故最大值为252，选A.

本例中，目标函数z=xy，借助于直线方程2x+y=10，通过变形xy=12（2x·y）联想到不等式2x·y≤（2x+y2）2，从而找到目标函数xy的最优解.类似非线性目标函数x2+y2，y-bx-a等形式都要在理解函数意义的基础上寻求最优解.

练习（2015年新课标卷）若x，y满足约束条件x-1≥0，

x-y≤0，

x+y-4≤0，则yx的最大值为 .

（答案3.）

4 线性规划问题的综合运用

有些数学问题如果转化为线性规划问题会得到简捷的解法，当然这要求对问题有着较深刻的理解，要善于利用转化和划归思想转化为线性规划问题.

例4 （2015年浙江理科）若实数满足x2+y2≤1，则|2x+y-2|+|6-x-3y|的最小值是 .

解析条件x2+y2≤1表示圆x2+y2=1及其内部，易得直线6-x-3y=0与该圆相离，故|6-x-3y|=6-x-3y，设函数z=|2x+y-2|+|6-x-3y|，

当2x+y-2≥0时，则x2+y2≤1，

2x+y-2≥0，所示平面区域如图4所示，可行域为小的弓形内部，易知目标函数z=|2x+y-2|+|6-x-3y|=x-2y+4，

故目标函数z=x-2y+4所在直线y=12x-z2+2过点A（35，45）时z最小，即x=35，y=45时，zmin=4;

图4

当x-2y+4<0时，z=|2x+y-2|+|6-x-3y|=8-3x-4y，可行域为大的弓形

内部，同理可知目标函数z=8-3x-4y所在直线y=-34x-z4+2过点A（35，45）时z最小，当x=35，y=45时，zmin=4.

综上，|2x+y-2|+|6-x-3y|的最小值为3.

本例中，利用直线与圆相离的位置关系，化简|6-x-3y|=6-x-3y，再利用分类讨论的思想将原来的问题化简|2x+y-2|+|6-x-3y|为目标函数z=x-2y+4或者z=8-3x-4y，就将较复杂的问题转化为线性规划问题从而求解.

篇5：线性代数期末试题详解

一．填充题

1456xx展开后，x2的系数为______.x321．行列式23A，则C____.BO3．设α,β,γ为3维列向量，已知3阶行列式|4γα,β2γ,2α|40，则行列式2．设A是m阶方阵，B是n阶方阵，且Aa, Bb, C=O|α,β,γ|______.12301bbbb2343211cccc2344126dddd2344．设|A|415a，则4A413A422A43A44______.5．行列式aaa234_______________________________________________.a0001a11aa0011aa0____________________________.6．五阶行列式det00011aa00011aa07．n阶行列式det0bb000ab00____________.00ab000aT8．设向量α(1,2)，β(2,1)，矩阵Aαβ，则An____________.19．设A2221222，则A2n1____________.1 10．设A322n1n，则A5A____________.31111．设矩阵A001100002200，则An____________________.02*112．设A，B均为n阶矩阵，A2,B3，则2AB2413．已知A6800______.0200，则A1____________________.420641101T1114．设矩阵A的逆矩阵A，则(A)_________，(A)_________.11115．设A2302400，则(A*)1________________.51aαα，T16．设n维向量α(a,0,,0,a)T,a0，若AEααT的逆矩阵为BE则a______.17．设矩阵A满足A2A4EO，则(AE)1____________.1218．设A000340005600，且B(EA)1(EA)，则(EB)1________.071*19．设矩阵A，B满足ABA2BA8E，其中A0002000，则B______.120．设A,B为可逆矩阵，X121．若矩阵01242OBA1为分块矩阵，则X____________.O34的秩为2，则a______.a 22．设ai0, bi0(i1,2,a1b1ab)n，矩阵A21abn1a1b2a2b2anb2a1bna2bn，则矩阵A的秩anbnr(A)______.123．已知43矩阵A的秩R(A)2，而B0403020，则R(AB)______.524．设A1111T，则行列式AA______.2325．若α1,α2,α3都是线性方程组Axb的解向量，则A(2α15α23α3)______.x13x22x3026．当a______时, 齐次方程组x12x23x30有非零解.2xxax0231127．设A432t123，B是3阶非零矩阵，且ABO，则t______.128．线性方程组x1x2x3x4x50的基础解系含有______个解向量.29．设n阶矩阵A的各行元素之和均为零，且A的秩为n1，则线性方程组Ax0的通解为____________________.a11x1a12x2a13x3a14x40T30．已知的基础解系为(bi1,bi2,bi3,bi4)(i1,2)，则a21x1a22x2a23x3a24x40b11x1b12x2b13x3b14x40的基础解系为________________________.b21x1b22x2b23x3b24x40131．已知矩阵A2323534745956，则秩RA______，齐次线性方程组Ax011的解空间的维数等于______.32．设向量组(1,1,1)，(1,2,3)，(2,3,a)线性相关，则a______.TTT33．已知三维线性空间的一组基底为α1(1,1,0)，α2(1,0,1)，α3(0,1,1)，向量β(2,0,0)在上述基底下的坐标是____________.34．从R2的基α1,α201111β,β到基12的过渡矩阵为__________.112 T35．设向量α(1,2,2)T，A为三阶正交矩阵，则长度||Aα||______.36．已知向量α(1,1,1)与β(1,2,a)正交，则a______.37．向量α(1,2,2,3)与β(3,1,5,1)的夹角______.38．设A(aij)33是实正交矩阵，且a111，b(1,0,0)T，则线性方程组Axb的解是____________________.39．设A是3阶矩阵，它的3个特征值互不相等，并且矩阵A的行列式A0，则矩阵A的秩R(A)______.40．若2阶方阵A满足A25A6EO，且A的两个特征值不相等, 则|A|____.41．设2阶方阵AO满足A23A，则A有一特征值____，且(AI)1____.42．设3阶方阵A的特征值为1，2，3，则|6EA|______.43．设3阶矩阵A的特征值为1，2，2，则行列式|4A1E|______.44．设A为n阶矩阵，A0，若A有特征值，则(A*)2E必有特征值______.45．设A为2阶矩阵，α1,α2为线性无关的2维列向量，Aα10，Aα22α1α2，则A的非零特征值为______.146．设矩阵A2321022，α(a,1,1)T。已知Aα与α线性相关，则a______.447．若三维向量α, β满足αTβ2，则矩阵βαT的非零特征值为______.248．设三维列向量α, β，若矩阵αβT相似于00149．已知方阵A26250．已知A1212201011y与对角矩阵00400001000，则βTα为______.000相似，则x____，y____.x5A2008220092的特征值为1,1,5，则A20106A1________.二．选择题

11.设A2021232112,B014,C(cij)AB，则c23().1230;(C)3;(D)2.(A)2;(B)62.设A,B为n阶方阵，则必有().(A)ABBA;(B)(AB)2A2B2;(C)A2B2(AB)(AB);(D)|AB||BA|.3.设n阶方阵A,B满足关系式ABO, 则必有().(A)AO或BO;(B)ABO;(C)|A|0或|B|0;(D)|A||B|0.4.设n阶方阵A,B满足关系式ABO, 且BO, 则必有().(A)AO;(B)|B|0;(C)(AB)2A2B2;(D)|A|0.5．设n阶方阵A中有n2n个以上元素为零，则|A|的值().(A)大于零;(B)等于零;(C)小于零;(D)不能确定.6．设三阶方阵A[α,α1,α2]，B[β,α1,α2]，其中α,α1,α2,β为3 维列向量, 且|A|5, |B|1, 则|AB|().(A)4;(B)6;(C)16;(D)24.281177．二次多项式5314x0x58161中x2项的系数是().(A)7；(B)7；(C)5(D)5.8．设A为可逆矩阵，则(A)1().(A)1|A||A|9．设A是3阶矩阵, 则必有().1(A)(2A)2A;(B)(2A)A;(C)(2A)4A;(D)(2A)8A.210．设A,B,C均为n阶方阵，且ABCE，则必有().A;(B)|A|A;(C)

1A1;(D)|A|A1.(A)BCAE;(B)BACE;(C)CBAE;(D)ACBE.311．设n阶方阵A满足关系式AO，则必有().12*2(A)AO;(B)AO;(C)AO;(D)(IA)IAA.12．设A是3阶矩阵，A的 14．设A为3阶矩阵，将A的 x1x2a23．线性方程组x2x32a有解的充分必要条件是a().xx113(A)13;(B)13;(C)1;(D)1.24．设四元非齐次线性方程组Axb的系数矩阵的秩为3，且

TTη1(1,2,3,4)，η2(2,3,4,5)为其两个解，则Axb的通解为().(A)c(1,2,3,4)T(2,3,4,5)T;(B)c(1,1,1,1)T(1,2,3,4)T;(C)c(1,1,1,1)Tη1η2;(D)以上都不对.25．已知β1,β2是非齐次线性方程组Axb的两个不同的解，α1,α2是对应齐次线性方程组Ax0的基础解系，k1,k2为任意常数，则方程组Axb的通解必是().(A)k1α1k2(α1α2)(C)k1α1k2(β1β2)β1β22β1β22β1β22β1β22;(B)k1α1k2(α1α2);(D)k1α1k2(β1β2);.26．设A为n阶矩阵，则对于线性方程组(1)AX0，(2)ATAX0，必有().(A)(2)的解是(1)的解，(1)的解也是(2)的解;(B)(2)的解是(1)的解，但(1)的解不是(2)的解;(C)(1)的解不是(2)的解，(2)的解也不是(1)的解;(D)(1)的解是(2)的解，但(2)的解不是(1)的解.27．设A是n阶矩阵，α是n维列向量，若秩AαTα则线性方程组().秩(A)，0(A)AXα必有无穷多解;(B)AXα必有惟一解;(C)AαTαXA0仅有零解;(D)T0yααX0必有非零解.0y28．矩阵方程AXB有解的充分必要条件是().(A)R(A)R(A,B);(B)R(B)R(A,B);(C)R(A)R(A,B);(D)R(B)R(A,B).29．设A为mn矩阵，则非齐次线性方程组Axb有惟一解的充要条件是().(A)mn;(B)Ax0只有零解;(C)向量b可由A的列向量组线性表出;(D)A的列向量组线性无关，而增广矩阵(A,b)的列向量组线性相关.30．若向量组α1,,αm线性相关，且k1α1kmαm0，则().(A)k1,,km全为0;(B)k1,,km全不为0;(C)k1,,km不全为0;(D)前述情况都可能出现.31．若向量组α1,,αm线性无关，且k1α1kmαm0，则().(A)k1,,km全为0;(B)k1,,km全不为0;(C)k1,,km不全为0;(D)前述情况都可能出现.32．n维向量α1,α2,,αs线性相关的充分必要条件是().(A)α1,α2,,αs中有一个零向量;(B)α1,α2,,αs中至少有一个向量可由其余向量线性表示;(C)α1,α2,,αs中任意两个向量成比例;(D)sn.33．n维向量α1,α2,,αs线性无关的充要条件是().(A)存在一组不全为0的数k1,k2,,ks，使得k1α1k2α2ksαs0;(B)α1,α2,,αs中任意两个向量都线性无关;(C)α1,α2,,αs中存在一个向量，它不能用其余向量线性表示;(D)α1,α2,,αs中任意一个向量都不能用其余向量线性表示.34．设A为n阶方阵，且A的行列式A0，则A中().(A)必有一列元素全为零;(B)必有两列元素对应成比例;(C)必有一列向量是其余列向量的线性组合;(D)任一列向量是其余列向量的线性组合.35．若向量组α,β,γ线性无关，α,β,δ线性相关.则().(A)α必可由β,γ,δ线性表示;(B)β必不可由α,γ,δ线性表示;(C)δ必可由α,β,γ线性表示;(D)δ必不可由α,β,γ线性表示.36．设n维向量组α1, , αm和β1, , βm，若存在两组不全为零的数1,,m和k1,,km使得

(1k1)α1(mkm)αm(1k1)β1(mkm)βm0，则().(A)α1, , αm和β1, , βm都线性相关;(B)α1, , αm和β1, , βm都线性无关;(C)α1β1, , αmβm和α1β1, , αmβm线性无关;(D)α1β1, , αmβm和α1β1, , αmβm线性相关.37．设向量组α1, α2, α3线性无关，向量β1可由α1, α2, α3线性表示，而向量β2不可由α1, α2, α3线性表示，则对任常数k，必有().(A)α1, α2, α3，kβ1β2线性无关；(B)α1, α2, α3，kβ1β2线性相关；(C)α1, α2, α3，β1kβ2线性无关；(D)α1, α2, α3，β1kβ2线性相关.38．已知向量组α1,α2,α3,α4线性无关，则向量组().(A)α1α2,α2α3,α3α4,α4α1线性无关；(B)α1α2,α2α3,α3α4,α4α1线性无关；(C)α1α2,α2α3,α3α4,α4α1线性无关；(D)α1α2,α2α3,α3α4,α4α1线性无关.39．设向量组A0为有限向量组A的部分组，下列命题正确的是().(A)若向量组A线性相关，则向量组A0必线性相关;(B)若向量组A线性无关，则向量组A0必线性无关;(C)秩R(A0)R(A);(D)秩R(A0)R(A).40．设向量组α1,,αs的秩R(α1,,αs)r，则().(A)必定rs;(B)向量组中任意小于r个向量的部分组线性无关;(C)向量组中任意r个向量线性无关;(D)向量组中任意r1个向量必线性相关.41．设向量组A的秩为r1，向量组B的秩为r2，A组可由B组线性表示，则r1与r2的关系为().(A)r1r2;(B)r1r2;(C)r1r2;(D)不能确定.42．设向量组A:α1,α2,,αr可由向量组B:β1,β2,,βs线性表示，则().(A)当rs时，向量组A必线性相关;(B)当rs时，向量组A必线性相关;(C)当rs时，向量组B必线性相关;(D)当rs时，向量组B必线性相关.43．设n维列向量组(1):α1,,αm(mn)线性无关，则n维列向量组(2):β1,,βm线性无关的充分必要条件是().(A)(1)可由(2)线性表示；(B)(2)可由(1)线性表示；(C)(1)与(2)等价；

(D)矩阵(α1,,αm)与矩阵(β1,,βm)等价.44．设A为3阶矩阵，A的特征值为0，1，2，那么齐次线性方程组Ax0的基础解系所含解向量的个数为().(A)0;(B)1;(C)2;(D)3.45．设2是非奇异矩阵A的一个特征值，则矩阵((A)4313A)21有一个特征值为().;(B)34;(C)

12;(D)

14.46．若n阶矩阵A任意一行的n个元素之和都是a，则A的一个特征值为().(A)a;(B)a;(C)0;(D)a.

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