强化缓冲算子的性质与若干强化算子的构造

2024-07-21

强化缓冲算子的性质与若干强化算子的构造（精选3篇）

篇1：强化缓冲算子的性质与若干强化算子的构造

强化缓冲算子的性质与若干实用强化算子的构造在科学预测过程中,常常由于扰动项干扰使得预测模型失去应有的功效,问题不在于模型本身的好坏,而是系统的行为数据受到扰动项的`干扰而失真.冲击扰动项的存在,一直是预测人员感到十分棘手的问题,为了能够提高预测精度,必须通过对原始数据的整理来寻求其变化规律,通过某种生成弱化其随机性,消除冲击扰动项的干扰,使失真的数据恢复其本来面目,呈现其应有的规律性. 作者：谢乃明刘思峰作者单位：南京航空航天大学刊名：统计与决策 PKU CSSCI英文刊名：STATISTICS AND DECISION年，卷(期)：“”(7)分类号：C8关键词：

篇2：强化缓冲算子的性质与若干强化算子的构造

缓冲算子是灰色系统理论中克服冲击扰动对系统行为数据序列影响的核心工具。它能克服冲击扰动影响, 减少白噪声影响, 挖掘数据规律, 并能有效地解决冲击扰动数据序列在建模预测过程中出现的定量预测与定性分析结论不符的问题。刘思峰提出了冲击扰动系统和缓冲算子概念, 给出了缓冲算子构造的公理体系, 并构造若干实用的缓冲算子[1,2]。近年来, 许多学者对缓冲算子的构造、缓冲算子的性质、缓冲算子之间的内在联系、缓冲算子的应用等问题进行了深入的研究。党耀国构造了若干实用的弱化和强化缓冲算子, 并研究了其性质及各缓冲算子之间的内在联系[3,4,5]。关叶青在现有研究的基础上, 对已有的缓冲算子的缓冲作用进行了比较研究[6]。吴正朋、米传民等基于单调函数构造了若干实用缓冲算子, 并构建了基于反向累积法的弱化与强化缓冲算子[7,8]。崔杰利用新信息优先原理构造了一种新型的弱化缓冲算子, 并对其特性进行了研究[9]。魏勇对几类强、弱化缓冲算子的构造方法进行了研究, 并揭示了这几类缓冲算子之间的内在联系, 以及强化缓冲算子与弱化缓冲算子的对应关系[10]。王正新提出了变权缓冲算子的概念, 并构造弱化与强化变权缓冲算子, 并对构造的变权缓冲算子的作用强度进行了研究[11,12]。张庆构造了几何变权缓冲算子, 并研究了其作用强度[13]。刘以安将弱化缓冲算子引入到多雷达目标跟踪领域, 把缓冲算子和数据融合相结合, 仿真结果表明该方法能够改善和提高雷达系统的跟踪精度[14]。尹春华利用二阶弱化缓冲算子对我国能源消费进行了短期预测[15]。以上研究极大地推动了缓冲算子理论的发展, 丰富了灰色数据变换技术。本文将在现有研究的基础上, 利用数据平均增长率信息, 构造一种新型弱化变权缓冲算子, 讨论所构造的弱化变权缓冲算子的作用强度、光滑性等性质, 并基于灰色关联思想给出变权系数的确定方法, 通过应用检验所构造的弱化变权缓冲算子的有效性和实用性。 2 基本概念[16] 定义1 设X= (x (1) , x (2) , …, x (n) ) 为系统行为数据序列。 ① 若任意k=2, 3, …, n, x (k) -x (k-1) >0, 则称X为单调增长序列; ② 若①中不等号反过来成立, 则称X为单调衰减序列; ③ 若存在k, k′∈{2, 3, …, n}, 且x (k) -x (k-1) >0, x (k′) -x (k′-1) <0, 则称X为随机振荡序列。设M=max{x (k) |k=1, 2, …, n}, m=min{x (k) |k=1, 2, …, n}, 称M-m为序列X的振幅。定义2 设X为系统行为数据序列, D为作用于X的算子, X经算子D作用后所得序列记为XD= (x (1) d, x (2) d, …, x (n) d) , 称D为序列算子, 称XD为一阶算子作用序列。公理1 (不动点公理) 设X为系统行为数据序列, D为作用于X的算子, 则D满足x (n) d=x (n) 。不动点公理限定在序列算子作用下, 系统行为数据序列中的数据x (n) 保持不变, 即运用序列算子对系统行为数据进行调整时, 不会改变x (n) 。公理2 (信息充分利用公理) 系统行为数据序列X中的每一个数据x (k) (k=1, 2, …, n) 都应充分参与算子作用的全过程。信息充分利用公理限定任何序列算子都应以现有序列中的信息为基础进行定义, 不允许抛开原始数据另搞一套。公理3 (解析化、规范化公理) 任意的x (k) (k=1, 2, …, n) 皆可由一个统一的x (1) , x (2) , …, x (n) 的初等解析式表达。公理3要求由系统行为数据系列得到算子作用序列的程序应清晰、规范、统一且尽可能简化, 以便于计算出算子作用序列并易于在计算机上实现。定义3 称上述3个公理为缓冲算子三公理, 满足缓冲算子三公理的序列算子称为缓冲算子, XD称为缓冲序列。定义4 设X为原始数据序列, D为缓冲算子, 当X分别为增长序列、衰减序列或振荡序列时: ① 若缓冲序列XD比原始序列X的增长速度 (或衰减速度) 减缓或振幅减小, 则称缓冲算子D为弱化算子; ② 若缓冲序列XD比原始序列X的增长速度 (或衰减速度) 加快或振幅增大, 则称缓冲算子D为强化算子。定理1 ① 设X为单调增长序列, XD缓冲序列, 则D为弱化缓冲算子⇔x (k) ≤x (k) d (k=1, 2, …, n) ; ②设 X为单调衰减序列, XD缓冲序列, 则D为弱化缓冲算子⇔x (k) ≥x (k) d (k=1, 2, …, n) ; ③ 设X为振荡序列, XD缓冲序列, 则D为弱化缓冲算子

\Leftrightarrow \max_{1 \leq k \leq n} {x (k)} \geq \max_{1 \leq k \leq n} {x (k) d} ‚ \min_{1 \leq k \leq n} {x (k)} \leq \min_{1 \leq k \leq n} {x (k) d}

。

3 基于平均增长率的弱化变权缓冲算子的构造及其性质

3.1 基于平均增长率的弱化变权缓冲算子构造

定理2 设X= (x (1) , x (2) , …, x (n) ) 为非负的系统行为序列, 令XD1= (x (1) d1, x (2) d1, …, x (n) d1) , 其中 $x (k) d_{1} = λ x (k) [1 + \frac{x (n) - x (k)}{(n - k + 1) \cdot x (k)}] + (1 - λ) x (n) ‚ λ$ 为可变权重, 0≤λ≤1, k=1, 2, …, n, 则当X为单调增长序列、单调衰减序列或振荡序列时, D1皆为弱化缓冲算子。

证明容易验证, D1满足缓冲算子三公理, 因而D1为缓冲算子。

① 当X为单调增长序列时, 由于

$\begin{array}{l} x (k) d_{1} \\ = λ x (k) [1 + \frac{x (n) - x (k)}{(n - k + 1) \cdot x (k)}] + (1 - λ) x (n) \\ \geq λ x (k) + (1 - λ) x (k) \\ = x (k) \end{array}$

则有x (k) d1≥x (k) , 即当X为单调增长序列时, D1为弱化缓冲算子。

② 同理可证, 当X为单调衰减序列时, D1为弱化缓冲算子。

③ 当X为振荡序列时, 设x (l) =max{x (k) |k=1, 2, …, n}, x (h) =min{x (k) |k=1, 2, …, n}, 由于

$\begin{array}{l} x (l) d_{1} \\ = λ x (l) [1 + \frac{x (n) - x (l)}{(n - k + 1) \cdot x (l)}] + (1 - λ) x (l) \\ \leq λ x (l) + (1 - λ) x (l) \\ = x (l) \end{array}$

则有x (l) d1≤x (l) 。同理可证, x (h) d1≥x (h) 。

所以, 当X为振荡序列时, D1为弱化缓冲算子。

3.2 基于平均增长率的弱化变权缓冲算子的性质

变权缓冲算子与传统缓冲算子的最本质区别是变权缓冲算子可以通过变权系数调节变权缓冲算子的作用强度, 下面讨论弱化变权缓冲算子D1的作用强度与变权系数之间的关系, 缓冲算子对序列的作用强度可以用调节度进行刻画, 因此, 要讨论缓冲算子D1的作用强度与变权系数之间的关系, 只需要讨论D1在各点的调节度与变权系数之间的关系。

定义5[11] 设系统行为数据序列为X= (x (1) , x (2) , …, x (n) ) , r (k) 为数据序列X中x (k) 到x (n) 的平均增长率;D为作用于X的缓冲算子, X经缓冲算子D作用后所得数据序列为XD= (x (1) d, x (2) d, …, x (n) d) , 则称

$δ (k) = | \frac{r (k) - r (k) d}{r (k)} | ‚ k = 1, 2, \dots, n$

为缓冲算子D在k点的调节度。

定理3 弱化变权缓冲算子D1在各点的作用强度 $δ_{1} (k) = | \frac{r (k) - r (k) d_{1}}{r (k)} |$ 与变权系数λ的取值反方向增长, 且有 $δ_{1} (k) = 1 - λ + \frac{λ}{n - k + 1}$ 。

证明由

$\begin{array}{l} \begin{array}{l} δ_{1} (k) = | \frac{r (k) - r (k) d_{1}}{r (k)} | \\ = | \frac{\frac{x (n) - x (k)}{n - k + 1} - (\frac{x (n) - x (k)}{n - k + 1}) d_{1}}{\frac{x (n) - x (k)}{n - k + 1}} | \end{array} \\ \begin{array}{l} = | \frac{[x (n) - x (k)] - [x (n) - x (k)] d_{1}}{x (n) - x (k)} | \\ = | \frac{x (k) d_{1} - x (k)}{x (n) - x (k)} | \end{array} \end{array}$

再将 $x (k) d_{1} = λ x (k) [1 + \frac{x (n) - x (k)}{(n - k + 1) \cdot x (k)}] + (1 - λ) x (n)$ 代入上式得

$\begin{array}{l} δ_{1} (k) \\ = | 1 + \frac{λ [x (k) (1 + r (k)) - x (n)]}{x (n) - x (k)} | \\ = | 1 - λ + \frac{λ}{n - k + 1} | \\ = 1 - λ + \frac{λ}{n - k + 1} \end{array}$

其中, 0≤λ≤1, k=1, 2, …, n-1。

可以进一步计算

$\frac{d δ_{1} (k)}{d λ} = \frac{k - n}{n - k + 1} \leq 0$

由此可见, 变权缓冲算子D1对序列作用的调节度与变权系数反方向增长。

由构造新型变权缓冲算子的作用强度与变权系数之间的关系可知, 可以通过一定的方法选取适当λ值来调节缓冲算子对序列的作用强度, 实现缓冲算子的作用强度的微调, 因此, 可通过控制变权系数的有效地控制缓冲算子的作用强度。

序列的光滑性是影响序列预测与拟合精度的重要因素之一, 缓冲算子能否提高序列的光滑性, 是缓冲算子作用的重要体现。下面讨论弱化变权缓冲算子D1对其作用序列的光滑性的影响。

定义6 设X= (x (1) , x (2) , …, x (n) ) 为非负的系统行为数据序列, 称

$ρ (k) = \frac{x (k)}{\sum_{i = 1}^{k - 1} x (i)} ‚ k = 2, 3, \dots, n$

为序列X的光滑比。

光滑比反映了序列的光滑性, 即用序列中第k个数据x (k) 与其前k-1个数据之和 $\sum_{i = 1}^{k - 1} x (i)$ 的比值ρ (k) 来考察序列X中数据增长是否平稳。显然, 单调递增序列的光滑比越小, 其光滑性越强;而单调递减序列的光滑比越大, 其光滑性越强。

定义7 设X= (x (1) , x (2) , …, x (n) ) 为非负的系统行为数据序列, D为缓冲算子, XD= (x (1) d, x (2) d, …, x (n) d) 为缓冲序列, 若∀k=2, 3, …, n, 均有

① 若非负序列X单调递增

$\frac{x (k) d}{\sum_{i = 1}^{k - 1} x (i) d} < \frac{x (k)}{\sum_{i = 1}^{k - 1} x (i)}$

② 若非负序列X单调递减

$\frac{x (k) d}{\sum_{i = 1}^{k - 1} x (i) d} > \frac{x (k)}{\sum_{i = 1}^{k - 1} x (i)}$

成立, 则称缓冲算子D提高序列的光滑性;反之, 则称缓冲算子D降低序列的光滑性。

定义8 设D1、D2为缓冲算子, 且满足对任意k=2, 3, …, n, 均有

① 若非负序列X单调递增

$\frac{x (k) d_{1}}{\sum_{i = 1}^{k - 1} x (i) d_{1}} < \frac{x (k) d_{2}}{\sum_{i = 1}^{k - 1} x (i) d_{2}}$

② 若非负序列X单调递减

$\frac{x (k) d_{1}}{\sum_{i = 1}^{k - 1} x (i) d_{1}} > \frac{x (k) d_{2}}{\sum_{i = 1}^{k - 1} x (i) d_{2}}$

成立, 则称缓冲算子D1的光滑性优于缓冲算子D2.

定理4 设X= (x (1) , x (2) , …, x (n) ) 为非负的系统行为数据序列, D1、D2为缓冲算子, 则

① 若非负序列X单调递增, 则缓冲算子D1的光滑性优于D2的充分必要条件是 $\frac{x (k) d_{1}}{x (k) d_{2}} < \frac{x (s) d_{1}}{x (s) d_{2}} ‚ k, s = 1, 2, \dots, n$ 且k>s;

② 若非负序列X单调递减, 则缓冲算子D1的光滑性优于D2的充分必要条件是 $\frac{x (k) d_{1}}{x (k) d_{2}} > \frac{x (s) d_{1}}{x (s) d_{2}} ‚ k, s = 1, 2, \dots, n$ 且k>s.

证明仅证序列X为单调递增序列的情形。

① 充分性: 若k>s, 则x (k) >x (s)

由于

$\frac{x (k) d_{1}}{x (k) d_{2}} < \frac{x (s) d_{1}}{x (s) d_{2}}$

于是有

$x (k) d_{1} \cdot x (s) d_{2} < x (s) d_{1} \cdot x (k) d_{2}$

上式两边同时对s求和得

$x (k) d_{1} \sum_{s = 1}^{k - 1} x (s) d_{2} < x (k) d_{2} \sum_{s = 1}^{k - 1} x (s) d_{1}$

故

$\frac{x (k) d_{1}}{\sum_{s = 1}^{k - 1} x (s) d_{1}} < \frac{x (k) d_{2}}{\sum_{s = 1}^{k - 1} x (s) d_{2}}$

从而由定义8知缓冲算子D1的光滑性优于缓冲算子D2.

必要性: 采用反证法, 若结论不真, 对于k=1, 2两个点, 满足

$\frac{x (1) d_{1}}{x (1) d_{2}} \leq \frac{x (2) d_{1}}{x (2) d_{2}}$

从而有

$\frac{x (2) d_{2}}{x (1) d_{2}} \leq \frac{x (2) d_{1}}{x (1) d_{1}}$

即

$\frac{x (2) d_{2}}{\sum_{s = 1}^{2 - 1} x (1) d_{2}} \leq \frac{x (2) d_{1}}{\sum_{s = 1}^{2 - 1} x (1) d_{1}}$

上式表明, 在k=2时, 缓冲算子D2的光滑性优于缓冲算子D1. 由定义8可知, 这一点与条件是矛盾的。

② 当序列X为单调递减序列, 同理可证。

推论1 设X= (x (1) , x (2) , …, x (n) ) 为非负的系统行为数据序列, D为缓冲算子, 则

① 若非负序列X单调递增, 则缓冲算子D能够提高序列X光滑性的充分必要条件是 $\frac{x (k) d}{x (k)} < \frac{x (s) d}{x (s)} ‚ k, s = 1, 2, \dots, n$ 且k>s;

② 若非负序列X单调递减, 则缓冲算子D能够提高序列X光滑性蹬充分必要条件是 $\frac{x (k) d}{x (k)} > \frac{x (s) d}{x (s)} ‚ k, s = 1, 2, \dots, n$ 且k>s.

证明取定理4中缓冲算子D1为D, D2X=X即可。

定理5 设X= (x (1) , x (2) , …, x (n) ) 为非负的系统行为数据序列, D为弱化缓冲算子, 则弱化缓冲算子D提高了序列的光滑性。

证明采用反证法。若强化缓冲算子D降低序列的光滑性,

① 当序列X为单调递增序列, 由推论1可知, ∀k, s=1, 2, …, n且k>s, 有

$\frac{x (k) d}{x (k)} \geq \frac{x (s) d}{x (s)}$

根据弱化缓冲算子的定义有x (s) d>x (s) , 故对于k=n有:

$\frac{x (n) d}{x (n)} \geq \frac{x (s) d}{x (s)} > 1$

即

$x (n) d \neq x (n)$

这就违背了缓冲算子的不动点公理, 与“D为弱化缓冲算子”矛盾。

② 当序列X为单调递减序列, 同理可证。

可见, 弱化缓冲算子在消除加快数据发展速度或增加数据振幅的冲击扰动项影响的同时, 还提高了序列的光滑性, 这两个方面都有利于提高建模精度。

定理6 弱化变权缓冲算子D1, XD1= (x (1) d1, x (2) d1, …, x (n) d1) , 其中 $x (k) d_{1} = λ x (k) [1 + \frac{x (n) - x (k)}{(n - k + 1) \cdot x (k)}] + (1 - λ) x (n)$ 能够提高序列的光滑性。

证明由定理5易得。

4 基于灰色关联分析与粒子群算法的变权系数寻优

在应用弱化变权缓冲算子D1时, 可以通过模拟精度的比较选取适当的变权系数λ来调节缓冲算子的作用强度, 以提高模拟与预测精度。但是, 这种方法的计算量较大, 而且只能找出基于实验性数据的局部最优解。本文将充分利用原始序列与弱化变权缓冲算子作用后的序列之间的内在关系, 利用灰色关联分析技术和粒子群算法 (PSO) 给出变权系数的寻优方法。

定义9 设X= (x (1) , x (2) , …, x (n) ) 为非负的系统行为数据序列, 弱化变权缓冲算子D1作用于序列X得XD1, 序列X与XD1的灰色关联度为 $γ (X, X D_{1}) = \frac{1}{n} \sum_{k = 1}^{n} γ (x (k), x (k) d_{1}) ‚$ 其中: $γ (x (k), x (k) d_{1}) = \frac{\min_{k} | x (k) - x (k) d_{1} | + ρ \max_{k} | x (k) - x (k) d_{1} |}{| x (k) - x (k) d_{1} | + ρ \max_{k} | x (k) - x (k) d_{1} |}$ 。

缓冲算子在克服系统冲击扰动影响的同时应尽可能保持原有数据的内在增长规律, 所以缓冲算子作用后的序列和原始序列的内在增长规律应保持一致, 也就是说缓冲算子作用后的序列和原始序列的关联度越大越好。因此, 可以根据缓冲算子作用后的序列和原始序列的关联度越大越好的原则利用智能算法给出变权系数的寻优方法。本文利用粒子群算法给出变权系数的优化方法。

粒子群算法 (PSO) 是1995年由美国社会心理学家Kennedy和电气工程师E-berhart提出来的一种仿生优化算法, 来源于对鸟群和鱼群运动行为的模拟[17]。

4.1 算法原理

粒子群优化算法兼有进化计算和群智能的特点。起初Kennedy和E-berhart只是设想模拟鸟群觅食的过程, 但后来发现PSO是一种很好的优化工具。PSO与其他进化算法相类似, 算法也是通过个体间的协作与竞争, 实现复杂空间中最优解的搜索。第一步生成初始种群, 即在可行解空间中随机初始化一群粒子, 每个粒子都为优化问题的一个可行解, 并由目标函数为之确定一个适应值 (Fitness Value) 。每个粒子将在解空间中运动, 并由一个速度决定其方向和距离。通常粒子追随当前的最优粒子, 并经逐代搜索最后得到最优解。在每一代中, 粒子将跟踪两个极值, 一个是粒子本身迄今找到的最优解pbest, 另一个是整个种群迄今找到的最优解gbest.

通常数学描述为:设在一个n维的空间中, 由m个粒子组成的种群X={X1, X2, …, Xm}, 其中第i个粒子的位置为Xi={xi1, xi2, …, xin}T, 速度为Vi={vi1, vi2, …, vin}T. 它的个体极值为pi={pi1, pi2, …, pin}T, 种群全局极值为pg={pg1, pg2, …, pgn}T, 按照追随当前最优粒子的原理, 粒子X1将按照下面两个式子改变速度和位置:

${\begin{cases} v_{i d} = ω v_{i d} + c_{1} r_{1} (p_{i d} - x_{i d}) + c_{2} r_{2} (p_{g d} - x_{i d}) \\ x_{i d} = x_{i d} + v_{i d} \end{cases}$

式中, i=1, 2, …, m, m为种群规模, ω为惯性权值, r1和r2为分布于[0, 1]之间的随机数, c1, c2为学习因子或加速常数, pid为个体极值, pgd为全局极值。

4.2 算法流程

利用PSO对变权缓冲算子的变权系数λ及灰色关联度的分辨系数ρ进行寻优, 建立由λ, ρ构成的一个二维微粒群, 以原始序列与缓冲算子作用序列的灰色关联度为适应度函数, 以其最大为目标, 寻找最优的λ, ρ, 具体算法如下:

① 设定参数值及初始化:设定群体规模为M, 惯性权值为ω, 加速系数为c1和c2, 最大允许迭代次数Gen, 按照群体规模M生成初始群体 (λ, ρ) 0, 设定微粒初始位置与速度。

② 目标函数构造:以原始序列与缓冲算子作用序列的灰色关联度为适应度函数, 以其最大为目标进化, $\max f [(λ, ρ)_{i}] = \max \frac{1}{n} \sum_{k = 1}^{n} γ (x (k), x (k) d_{1})$ 。

③ 与当前搜索到的最优值比较:对每个微粒比较其当前适应值与其个体历史最好适应值, 如果f[ (λ, ρ) i]>pid, 则pid=f[ (λ, ρ) i];比较群体所有微粒的当前适应值和全局历史最好值, 如果f[ (λ, ρ) i]>pgd, 则pgd=f[ (λ, ρ) i]。

④ 根据公式粒子的速度与位置公式计算各微粒新的速度和位置。

⑤ 停止准则:适应值误差设定的适应值误差限或迭代次数超过最大允许迭代次数Gen, 停止搜索, 输出搜索结果, 否则返回继续搜索。

5 算例分析

随着我国经济的快速发展, 交通运输业也获得了长足的发展, 交通运输业的发展使得民用汽车数量在近十年中增长迅速, 对民用汽车数量进行科学的预测, 不但是分析未来交通运输业的发展情况的需要, 也是分析未来民用汽车需求的依据, 因此, 对民用汽车的数量进行预测分析具有重要的意义。

以江苏省1998～2005年的民用汽车数量为原始数据序列, 分别利用GM (1, 1) 模型直接建模和利用本文提出的弱化变权缓冲算子对数据进行处理后再建立GM (1, 1) 模型, 通过对比分析两种方法建立的预测模型的精度, 检验本文所提出的缓冲算子的有效性。

由表1可知, 1998～2005年江苏省民用汽车的增长速度分别为13.90%、16.58%、16.92%、26.10%、26.88%和38.23%, 由此可以看出1998～2001年的增长速度较2002～2005年增长较缓, 因此可以利用缓冲算子对其作用减少冲击扰动影响。

以1998～2005年江苏省民用汽车数量为原始数据序列, 直接建立GM (1, 1) 模型可得其白化方程为: $\frac{d x^{(1)}}{d t} - 0.2315 x^{(1)} = 34514.547$ 。再利用本文构造的弱化变权缓冲算子对1998～2005年江苏省民用汽车数量数据序列进行缓冲处理, 然后建立GM (1, 1) 模型。首先利用灰色关联和PSO算法确定最优变权系数λ=0.1026, 将λ代入弱化变权缓冲算子, 对原始序列进行缓冲, 利用缓冲后序列建立GM (1, 1) 模型可得其白化方程为: $\frac{d x^{(1)}}{d t} + 0.06482 x^{(1)} = 4060461.614$ 。

两种方法得到的拟合与预测误差见表2。

从表2可以看出, 采用本文提出的弱化变权缓冲算子作用后的序列建立GM (1, 1) 模型的拟合和预测精度与直接建立GM (1, 1) 模型的拟合和预测误差相比大大降低, 缓冲后建模的各项拟合误差均低于直接建模的拟合误差, 缓冲后平均拟合误差只有1.18%, 低于直接建模的平均拟合误差5.28%, 缓冲变换后建模的第一、第二、第三误差也均远远低于直接建模的误差, 缓冲后的三步平均预测误差只有1.25%, 低于直接建模的三步平均误差6.98%.

6 结语

本文基于平均增长率构造出一类新型弱化变权缓冲算子, 讨论了该算子的若干性质:①该弱化变权缓冲算子的作用强度与变权系数成反方向增长;②该弱化变权缓冲算子能够提高序列的光滑性。并基于灰色关联分析法和粒子群算法给出了确定变权系数的方法, 通过算例分析检验了该算子的有效性。本文的研究内容对丰富变权缓冲算子理论大有裨益, 但是, 关于变权缓冲算子的构造机理、变权系数优化、算子还原误差等若干基于问题仍需做进一步的研究。

篇3：强化缓冲算子的性质与若干强化算子的构造

关键词α因子缓冲算子；缓冲作用强度系数；冲击挠动系统

中图分类号N941.5文献标识码A

AbstractIn order to solve the problem of impact torsion series in grey model， based on the theory of grey system and technology of grey prediction， this article put forward a new kind of buffer operator with an adjustment coefficient of buffer effect， which has several characteristics such as intensity controllable， unity formality and excellent prediction results. To be more specific， the adjustable intensity can be modified by changing the adjustment coefficient of buffer effect， both the weakening buffer operator and the strengthening buffer operator are taken into account formality， and the predicting outcomes are more outstanding than others in some range. And the empirical results do show these properties.

Keywordsαbuffer operator；adjustment coefficient of buffer effect；impact torsion system

1引言

灰色预测技术作为灰色系统理论的重要组成部分，继承和发展了灰色系统理论的核心思想，致力于解决“小样本，贫信息”[1]的不确定系统的预测问题，已经在众多领域取得了巨大的成功.作为一种明显区别于基于传统统计学的预测方法，灰色预测技术不用考虑样本的分布类型，这一特点扩大了灰色预测的应用范围[2].

但是，和专家预测法、指数平滑法、BoxJenkins预测方法、回归分析方法、组合预测方法、人工神经网络预测方法一样，灰色预测技术也会面临一系列的问题.这些问题的关键就在，灰色预测技术的基本思想是从错综复杂的数据中发现蕴含在其中的积分规律，这种基于灰色生成序列的预测过程就导致了模型的预测分析结果和定性分析的结论不一致的结果.究其原因，是因为现实的中的数据往往会存在冲击挠动，所谓冲击挠动是指原本平稳运行的系统在发展过程中受到外来力量干预与冲击的现象，直接使用灰色建模会使模型不能真实反映系统的发展规律.刘思峰[3]（1997）发展的冲击挠动系统就是专门解决这一类问题的，并且构建了缓冲算子的公理体系，通过对所获得的观测数据作某种生成，弱化随机性，排除冲击挠动项ε，得到真实的的建模数据，提高预测精度和模型适用性.在其之后，大量文献都有关于缓冲算子的研究，党耀国等[4]（2004）通过对缓冲算子的研究，构造了GAWBO、WAWBO、WGAWBO等若干个具有普遍意义的实用弱化算子，使序列前一部分增长（衰减）速度过快、后一部分增长（衰减）速度过缓的冲击扰动系统数据序列在建模预测过程中常常出现的定量预测结果与定性分析结论不符的问题得到有效解决；关叶青等[5]（2008）构造了一类线性的弱化和强化缓冲算子，并定义这类缓冲算子的算子矩阵，研究了他们的特性，并且证明了m阶缓冲算子作用的计算公式；崔立志等[6]（2008）在时间序列的环比发展速度和中点发展速度的基础之上构造了两类弱化和强化的缓冲算子，并重点研究了他们之间的内在联系；苏先娜、谢富纪[7]（2015）研究了基于函数γ+δi的加权WGM（1，1）模型及其预测技术，提出了线性赋权技术的缓冲算子在灰色预测技术中的应用.

冲击挠动因素的存在对真实数据序列的影响是，既能够加快原始序列的发展趋势或者是增大原始序列数据的振幅，亦能够减缓原始序列的发展趋势或者减小原始序列的振幅，解决这个问题关键就是发展缓冲算子，对观测数据模型进行适当的矫正.基本思路是，对强冲击使用强化缓冲算子矫正，对弱冲击使用弱化缓冲算子矫正.使用缓冲算子的过程中应该注意缓冲算子的作用强度，切忌矫枉过正.

2冲击挠动序列与缓冲算子

当正常平稳的系统在运行的过程中，其蕴含的规律是比较容易显现的，即系统一系列的数据指标会呈现出明显而确定的规律.但是当系统受到外部力量的冲击或者干预的时候，系统的发展就会偏离其原有的发展轨迹，例如地震、经济危机等因素就是冲击挠动因素.存在冲击挠动因素的系统就被称之为冲击挠动系统.冲击挠动系统的预测历来是预测领域不能回避的问题，由于其广泛地存在于现实世界尤其是经济社会系统中，因此对它的研究就极其重要.冲击挠动系统是指受到外界干扰冲击的系统，其基本定义为：

不难证明，更一般的情形是E≤mαM-m，换言之推论1中缓冲算子的最大作用强度为mαM-m，并且可以看出，该缓冲算子的作用强度α密切相关，并且α越大则矫正数据的力度就越大，因此可以通过调整α的大小来调整缓冲算子的作用强度.有文献研究表明，在传统的缓冲算子的应用过程中，常常会出现一阶缓冲算子矫正原系统行为数据时强度不够、二阶或者高阶缓冲算子矫正原始序列又出现强度过大[12]，就出现了过度矫正的现象，即很难找到一个更灵活的缓冲算子来消除冲击挠动因素的影响.但如果使用本文构建的缓冲算子D3、D4来消除原始序列的冲击挠动项的话，就完全不会出现此类的问题，因为可以通过调整α的大小来控制调整强度，这就直接避免了高阶缓冲算子的使用，且操作更加简便，这是该缓冲算子的非常重要的特点.其次，推论1构建的缓冲算子还有一个更加重要的性质：

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还是以D3作用于单调增长序列为例来加以说明，仔细观察该缓冲算子的形式，推论1的中是先假设α>0，但是如果放开这一设定，不难证明：

推论2当α>0时，D3为弱化缓冲算子；

当α=0时，D3为不变缓冲算子；

当α<0时，D3为强化缓冲算子.

推论2的重要意义在于，传统的缓冲算子通常只是构建了单一类型的算子形式，要么是强化的缓冲算子，要么就是弱化缓冲算子.本文的构建的缓冲算子由前文分析可以看出来，α的符号还决定着缓冲算子的类型，这意味着，这类对偶型缓冲算子在形式上同时统一了两类缓冲算子的形式，具有形式上的统一性.

4实证分析

本部分将以推论1中的弱化缓冲算子为例来说明该缓冲算子的适用效果.研究表明，当原始数据的前半部分增长（衰减）速度较快，后半部分的增长（衰减）速度较慢时，表明系统存在着弱的冲击挠动作用，这时使用弱化缓冲算子矫正原始系统行为数据可以很好的消除冲击挠动.并且保证了x（n）d=x（n），即满足不动点公理，其现实意义是保证了“新信息优先”原则，即最新的信息在缓冲算子的作用下保持不变.下面将以一个能源消费量作为样本来进行实证检验.

能源消费量是指一个经济体在报告期内实际消费的一次能源和二次能源的总量，该指标反应了经济发展景气程度.广州市2003～2013年能源消费量的数据

5结论

通过前文的理论分析和实证分析，结果表明：

1）具有可调整的缓冲作用强度调整系数α的新型对偶缓冲算子序列确实能够提高模型模拟预测的精度，并且序列的时间响应式对α的反应比较敏感.

2）文中提到的新型对偶缓冲算子具有内在的统一性，当缓冲作用调整系数α由正数变到零再到负数的过程中，缓冲算子的由弱化缓冲算子转化为不变缓冲算子再变为强化缓冲算子，揭示了这类缓冲算子的内在统一性.

3）由实证的研究结果表明，在事前设定的每一个α下，均可以生成一个GM（1，1）的模拟时间序列响应式，实际上有很多的α是能够满足模拟精度要求的，具体最优的α还要看后验检验条件.

本文可以继续在以下方面深入研究，其一是通过建立误差平方和最小为目标函数，应用遗传算法便可求解最优的α；其次是，本文中的模拟精度是对缓冲序列而言的，具体模型优劣还要看还原精度，同时，在由缓冲序列到原系统行为序列的还原过程中，要用到二分法来解幂指方程，庆幸的是，这类方程的解法完全可用计算机数值计算编程解得.参考文献

[1]邓聚龙.灰色系统综述[J].世界科学，1983，1（7）：1-5.

[2]邓聚龙.灰理论基础[M].武汉：华中科技大学出版社，2002.

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[4]党耀国，刘思峰，刘斌，等.关于弱化缓冲算子的研究[J].中国管理科学， 2004， 12（2）：109-112.

[5]关叶青，刘思峰.关于弱化缓冲算子序列的研究[J].中国管理科学，2007，15（4）： 89-92.

[6]崔立志.灰色预测技术及其应用研究[D].南京：南京航空航天大学经济与管理学院，2010.

[7]苏先娜，谢富纪.基于函数γ+δi的加权WGM（1，1）模型及其在技术创新中的应用[J].系统工程理论与实践，2015，35（11）： 2885-2889.

[8]党耀国，王正新，钱吴勇，等.灰色预测技术与方法[M].北京：科学出版社，2015.

[9]魏勇，孔新海.几类强弱缓冲算子的构造方法及其内在联系[J].控制与决策， 2010， 25（2）：196-202.

[10]崔杰，党耀国.基于一类新的强化缓冲算子的GM（1，1）预测精度研究[J].控制与决策，2009，24（1）：44-48+54.

[11]党耀国，刘思峰，米传民.强化缓冲算子性质的研究[J].控制与决策， 2007， 22（7）： 730-734.

[12]SifengLIU， YangLIN. Grey Systems Theory and Applications [M]Berlin Heidelberg： SpringerVerlag，2010，36（12）： 169-190.