高等数学课件定积分

高等数学课件定积分（通用6篇）

篇1：高等数学课件定积分

高等数学教案

第五章 定积分

第五章

定积分

教学目的：

1、理解定积分的概念。

2、掌握定积分的性质及定积分中值定理，掌握定积分的换元积分法与分部积分法。

3、理解变上限定积分定义的函数，及其求导数定理，掌握牛顿—莱布尼茨公式。

4、了解广义积分的概念并会计算广义积分。

教学重点：

1、定积分的性质及定积分中值定理

2、定积分的换元积分法与分部积分法。

3、牛顿—莱布尼茨公式。

教学难点：

1、定积分的概念

2、积分中值定理

3、定积分的换元积分法分部积分法。

4、变上限函数的导数。§5 1 定积分概念与性质

一、定积分问题举例

1 曲边梯形的面积

曲边梯形 设函数yf(x)在区间[a b]上非负、连续 由直线xa、xb、y0及曲线yf(x)所围成的图形称为曲边梯形 其中曲线弧称为曲边

求曲边梯形的面积的近似值

将曲边梯形分割成一些小的曲边梯形 每个小曲边梯形都用一个等宽的小矩形代替 每个小曲边梯形的面积都近似地等于小矩形的面积 则所有小矩形面积的和就是曲边梯形面积的近似值 具体方法是 在区间[a b]中任意插入若干个分点

ax0 x1 x2    xn1 xn b

把[a b]分成n个小区间

[x0 x1] [x1 x2] [x2 x3]     [xn1 xn ]

它们的长度依次为x1 x1x0  x2 x2x1      xn  xn xn1 

经过每一个分点作平行于y 轴的直线段 把曲边梯形分成n个窄曲边梯形 在每个小区间 [xi1 xi ]上任取一点i  以[xi1 xi ]为底、f(i)为高的窄矩形近似替代第i个窄曲边梯形(i1 2     n) 把这样得到的n个窄矩阵形面积之和作为所求曲边梯形面积A的近似值 即

Af(1)x1 f(2)x2   f(n)xnf(i)xi

i1n

求曲边梯形的面积的精确值

显然 分点越多、每个小曲边梯形越窄 所求得的曲边梯形面积A的近似值就越接近曲边梯天津工业大学理学院基础数学系高等数学、经济数学教研室 高等数学教案

第五章 定积分

形面积A的精确值 因此 要求曲边梯形面积A的精确值 只需无限地增加分点 使每个小曲边梯形的宽度趋于零 记

max{x1 x2   xn } 于是 上述增加分点 使每个小曲边梯形的宽度趋于零 相当于令0 所以曲边梯形的面积为

Alimf(i)xi

0i1n

2 变速直线运动的路程

设物体作直线运动 已知速度vv(t)是时间间隔[T 1 T 2]上t的连续函数 且v(t)0 计算在这段时间内物体所经过的路程S 

求近似路程

我们把时间间隔[T 1 T 2]分成n 个小的时间间隔ti  在每个小的时间间隔ti内 物体运动看成是均速的 其速度近似为物体在时间间隔ti内某点i的速度v(i) 物体在时间间隔ti内 运动的距离近似为Si v(i)ti  把物体在每一小的时间间隔ti内 运动的距离加起来作为物体在时间间隔[T 1  T 2]内所经过的路程S 的近似值 具体做法是

在时间间隔[T 1  T 2]内任意插入若干个分点

T 1t 0 t 1 t 2   t n1 t nT 2

把[T 1  T 2]分成n个小段

[t 0 t 1] [t 1 t 2]    [t n1 t n] 

各小段时间的长依次为

t 1t 1t 0 t 2t 2t 1   t n t n t n1

相应地 在各段时间内物体经过的路程依次为

S 1 S 2    S n

在时间间隔[t i1 t i]上任取一个时刻 i(t i1 i t i) 以 i时刻的速度v( i)来代替[t i1 t i]上各个时刻的速度 得到部分路程S i的近似值 即

S i v( i)t i

(i1 2     n)

于是这n段部分路程的近似值之和就是所求变速直线运动路程S 的近似值 即

Sv(i)ti

i1n

求精确值

记  max{t 1 t 2   t n} 当0时 取上述和式的极限 即得变速直线运动的路程

Slimv(i)ti

0i1n

设函数yf(x)在区间[a b]上非负、连续 求直线xa、xb、y0 及曲线yf(x)所围成的曲边梯形的面积

(1)用分点ax0x1x2   xn1xn b把区间[a b]分成n个小区间

[x0 x1] [x1 x2] [x2 x3]     [xn1 xn ] 记xixixi1(i1 2     n)

(2)任取i[xi1 xi] 以[xi1 xi]为底的小曲边梯形的面积可近似为

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第五章 定积分

f(i)xi(i1 2     n) 所求曲边梯形面积A的近似值为

Af()x iii1nn

(3)记max{x1 x2   xn } 所以曲边梯形面积的精确值为

Alim0f()x iii1

设物体作直线运动 已知速度vv(t)是时间间隔[T 1 T 2]上t的连续函数

且v(t)0 计算在这段时间内物体所经过的路程S 

(1)用分点T1t0t1t2  t n1tnT2把时间间隔[T 1  T 2]分成n个小时间 段 [t0 t1] [t1 t2]    [tn1 tn]  记ti titi1(i1 2     n)

(2)任取i[ti1 ti] 在时间段[ti1 ti]内物体所经过的路程可近似为v(i)ti

(i1 2     n) 所求路程S 的近似值为

Sv()tii1nni

(3)记max{t1 t2   tn} 所求路程的精确值为

Slim0v()t iii

1二、定积分定义

抛开上述问题的具体意义 抓住它们在数量关系上共同的本质与特性加以概括 就抽象出下述定积分的定义

定义

设函数f(x)在[a b]上有界 在[a b]中任意插入若干个分点

a x0 x1 x2    xn1 xnb

把区间[a b]分成n个小区间

[x0 x1] [x1 x2]    [xn1 xn] 

各小段区间的长依次为

x1x1x0 x2x2x1   xn xn xn1

在每个小区间[xi1 xi]上任取一个点 i(xi1  i  xi) 作函数值f( i)与小区间长度xi的乘积

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第五章 定积分

f( i)xi(i1 2   n) 并作出和

Sf(i)xi

i1n记  max{x1 x2   xn} 如果不论对[a b]怎样分法 也不论在小区间[xi1 xi]上点 i 怎样取法 只要当0时 和S 总趋于确定的极限I 这时我们称这个极限I为函数f(x)在区间[a b]上的定积分 记作af(x)dx

即

limf(i)xi af(x)dx0i1bnb其中f(x)叫做被积函数 f(x)dx叫做被积表达式 x叫做积分变量 a 叫做积分下限 b 叫做积分上限 [a b]叫做积分区间

定义

设函数f(x)在[a b]上有界 用分点ax0x1x2   xn1xnb把[a b]分成n个小区间 [x0 x1] [x1 x2]    [xn1 xn]  记xixixi1(i1 2   n)

任 i[xi1 xi](i1 2   n) 作和

Sf()xii1ni

记max{x1 x2   xn} 如果当0时 上述和式的极限存在 且极限值与区间[a b]的分法和 i的取法无关 则称这个极限为函数f(x)在区间[a b]上的定积分 记作即

根据定积分的定义 曲边梯形的面积为Aaf(x)dx

变速直线运动的路程为ST2v(t)dt

1baf(x)dx

baf(x)dxlimf(i)xi

0i1nbT

说明

(1)定积分的值只与被积函数及积分区间有关 而与积分变量的记法无关 即

af(x)dxaf(t)dtaf(u)du

(2)和f(i)xi通常称为f(x)的积分和

i1nbbb

(3)如果函数f(x)在[a b]上的定积分存在 我们就说f(x)在区间[a b]上可积

函数f(x)在[a b]上满足什么条件时 f(x)在[a b]上可积呢？

定理

1设f(x)在区间[a b]上连续 则f(x)在[a b]上可积

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第五章 定积分

定理2 设f(x)在区间[a b]上有界 且只有有限个间断点 则f(x)在[a b]上可积

定积分的几何意义

在区间[a b]上 当f(x)0时 积分af(x)dx在几何上表示由曲线yf(x)、两条直线xa、xb 与x轴所围成的曲边梯形的面积 当f(x)0时 由曲线y f(x)、两条直线xa、xb 与x轴所围成的曲边梯形位于x轴的下方 定义分在几何上表示上述曲边梯形面积的负值

babf(x)dxlimf(i)xilim[f(i)]xia[f(x)]dx

0i10i1nnb

当f(x)既取得正值又取得负值时 函数f(x)的图形某些部分在x轴的上方 而其它部分在x轴的下方 如果我们对面积赋以正负号 在x轴上方的图形面积赋以正号 在x轴下方的图形面积赋以负号 则在一般情形下 定积分af(x)dx的几何意义为 它是介于x轴、函数f(x)的图形及两条直线xa、xb之间的各部分面积的代数和

b用定积分的定义计算定积分

例1.利用定义计算定积分0x2dx

解

把区间[0 1]分成n等份分点为和小区间长度为

xii(i1 2   n1) xi1(i1 2   n)

nn

取ii(i1 2   n)作积分和 n

1f(i)xii1i1nni2xi(i)21

ni1nnn1i2131n(n1)(2n1)1(11)(21)

3ni1n66nn

因为1 当0时 n 所以n

n12xdxlim00i11(11)(21)1f(i)xinlim6nn

3利定积分的几何意义求积分:

例2用定积分的几何意义求0(1x)dx 解: 函数y1x在区间[0 1]上的定积分是以y1x为曲边以区间[0 1]为底的曲边梯形的面积 因为以y1x为曲边以区间[0 1]为底的曲边梯形是一直角三角形 其底边长及高均为1 所以 1天津工业大学理学院基础数学系高等数学、经济数学教研室 高等数学教案

第五章 定积分

0(1x)dx211211

1三、定积分的性质

两点规定

(1)当ab时

(2)当ab时 af(x)dx0

af(x)dxbf(x)dx

bbbab

性质

1函数的和(差)的定积分等于它们的定积分的和(差)即

a[f(x)g(x)]dxaf(x)dxag(x)dx

bb 证明:a[f(x)g(x)]dxlim[f(i)g(i)]xi

0i1nnn

limf(i)xilimg(i)xi

0i1b0i1

af(x)dxag(x)dx

性质2 被积函数的常数因子可以提到积分号外面 即

bakf(x)dxkaf(x)dxbnnbbb

这是因为akf(x)dxlimkf(i)xiklimf(i)xikaf(x)dx

0i10i1性质如果将积分区间分成两部分则在整个区间上的定积分等于这两部分区间上定积分之和即

af(x)dxaf(x)dxcbcbf(x)dx

这个性质表明定积分对于积分区间具有可加性

值得注意的是不论a b c的相对位置如何总有等式

af(x)dxaf(x)dxcf(x)dx af(x)dxaf(x)dxbf(x)dx

天津工业大学理学院基础数学系高等数学、经济数学教研室 cbcbcb成立 例如 当a

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第五章 定积分

于是有

af(x)dxaf(x)dxbf(x)dxaf(x)dxca1dxadxba

af(x)dx0(ab)

af(x)dxag(x)dx(ab)

ag(x)dxaf(x)dxa[g(x)f(x)]dx0

af(x)dxag(x)dx

bbbbbbbbbbbbbcccbf(x)dx

性质

4如果在区间[a b]上f(x)1 则

性质

5如果在区间[ab]上 f(x)0 则

推论

1如果在区间[ab]上 f(x) g(x)则

这是因为g(x)f(x)0 从而

所以

推论2 |af(x)dx|a|f(x)|dx(ab)

这是因为|f(x)|  f(x) |f(x)|所以

a|f(x)|dxaf(x)dxa|f(x)|dx

即 |af(x)dx|a|f(x)|dx|

性质6 设M 及m 分别是函数f(x)在区间[ab]上的最大值及最小值 则

m(ba)af(x)dxM(ba)(ab)

证明

因为 m f(x) M  所以

从而

m(ba)af(x)dxM(ba)

性质7(定积分中值定理)

如果函数f(x)在闭区间[ab]上连续 则在积分区间[ab]上至少存在一个点 使下式成立 bbbbbbb

amdxaf(x)dxaMdxbbb天津工业大学理学院基础数学系高等数学、经济数学教研室 高等数学教案

第五章 定积分

af(x)dxf()(ba) b这个公式叫做积分中值公式

证明

由性质6

m(ba)af(x)dxM(ba) 各项除以ba

得

b

m1af(x)dxM

bab再由连续函数的介值定理 在[ab]上至少存在一点  使

b

f()1af(x)dx

ba于是两端乘以ba得中值公式

af(x)dxf()(ba) b

积分中值公式的几何解释

应注意 不论ab 积分中值公式都成立

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第五章 定积分

§5 2 微积分基本公式

一、变速直线运动中位置函数与速度函数之间的联系

设物体从某定点开始作直线运动 在t时刻所经过的路程为S(t) 速度为vv(t)S(t)(v(t)0) 则在时间间隔[T1 T2]内物体所经过的路程S可表示为

S(T2)S(T1)及T2v(t)dt

1T即 T2v(t)dtS(T2)S(T1)

1T

上式表明 速度函数v(t)在区间[T1 T2]上的定积分等于v(t)的原函数S(t)在区间[T1 T2]上的增量

这个特殊问题中得出的关系是否具有普遍意义呢？

二、积分上限函数及其导数

设函数f(x)在区间[a b]上连续 并且设x为[a b]上的一点我们把函数f(x)在部分区间[a x]上的定积分

af(x)dx

xx称为积分上限的函数 它是区间[a b]上的函数 记为 (x)af(x)dx 或(x)af(t)dt

定理1 如果函数f(x)在区间[a b]上连续 则函数

(x)af(x)dx

在[a b]上具有导数 并且它的导数为

x

(x)daf(t)dtf(x)(ax

dxxx

简要证明

若x(a b) 取x使xx(a b)

(xx)(x)a

af(t)dtxxxxxxf(t)dtaf(t)dt

xf(t)dtaf(t)dt x天津工业大学理学院基础数学系高等数学、经济数学教研室 高等数学教案

第五章 定积分

xxxf(t)dtf()x

应用积分中值定理 有f()x

其中在x 与xx之间 x0时 x  于是

(x)limlimf()limf()f(x)

x0xx0x

若xa  取x>0 则同理可证(x) f(a) 若xb  取x<0 则同理可证(x) f(b)

定理

2如果函数f(x)在区间[a b]上连续 则函数

(x)af(x)dx

就是f(x)在[a b]上的一个原函数

定理的重要意义 一方面肯定了连续函数的原函数是存在的 另一方面初步地揭示了积分学中的定积分与原函数之间的联系

三、牛顿莱布尼茨公式

定理

3如果函数F(x)是连续函数f(x)在区间[a b]上的一个原函数 则

xaf(x)dxF(b)F(a)

xb此公式称为牛顿莱布尼茨公式 也称为微积分基本公式

这是因为F(x)和(x)af(t)dt都是f(x)的原函数 所以存在常数C 使

F(x)(x)C(C为某一常数)

由F(a)(a)C及(a)0 得CF(a) F(x)(x)F(a) 由F(b)(b)F(a) 得(b)F(b)F(a) 即

af(x)dxF(b)F(a)

xb

证明 已知函数F(x)是连续函数f(x)的一个原函数 又根据定理2 积分上限函数

(x)af(t)dt

也是f(x)的一个原函数 于是有一常数C 使

F(x)(x)C(axb)

当xa时 有F(a)(a)C 而(a)0 所以CF(a) 当xb 时 F(b)(b)F(a)

所以(b)F(b)F(a) 即

af(x)dxF(b)F(a) b 为了方便起见 可把F(b)F(a)记成[F(x)]ba 于是天津工业大学理学院基础数学系高等数学、经济数学教研室 高等数学教案

第五章 定积分

aF(b)F(a)

af(x)dx[F(x)]bb

进一步揭示了定积分与被积函数的原函数或不定积分之间的联系

例1.计算0x2dx

解 由于1x3是x2的一个原函数 所以 11213131xdx[1x3]1010 03333

3例2 计算1dx2

1x

解 由于arctan x是12的一个原函数 所以

1x

13 ( )7

dx[arctanx]3arctan3arctan(1)134121x2

1例3.计算21dx

x

解 12ln 1ln 2ln 22xdx[ln|x|]11

例4.计算正弦曲线ysin x在[0 ]上与x轴所围成的平面图形的面积

解 这图形是曲边梯形的一个特例 它的面积

A0sinxdx[cosx]0(1)(1)2

例5.汽车以每小时36km速度行驶 到某处需要减速停车设汽车以等加速度a5m/s2刹车 问从开始刹车到停车 汽车走了多少距离？

解

从开始刹车到停车所需的时间

当t0时 汽车速度

v036km/h361000m/s10m/s

3600刹车后t时刻汽车的速度为

v(t)v0at 105t 

当汽车停止时 速度v(t)0 从

v(t)105t 0 得 t2(s)

于是从开始刹车到停车汽车所走过的距离为

210(m)

s0v(t)dt0(105t)dt[10t51t2]0222天津工业大学理学院基础数学系高等数学、经济数学教研室 高等数学教案

第五章 定积分

即在刹车后 汽车需走过10m才能停住

例6.设f(x)在[0, )内连续且f(x)>0 证明函数F(x)在(0 )内为单调增加函数

xx 证明 d0 tf(t)dtxf(x) d0f(t)dtf(x) 故

dxdx0tf(t)dt

x0f(t)dtxF(x)xf(x)0f(t)dtf(x)0tf(t)dt(0f(t)dt)xx2xxf(x)0(xt)f(t)dt(0f(t)dt)x2x

按假设 当0tx时f(t)>0(xt)f(t) 0  所以

0f(t)dt0 x0(xt)f(t)dt0

cosxetdtx212从而F (x)>0(x>0) 这就证明了F(x)在(0 )内为单调增加函数

例7.求limx0

解 这是一个零比零型未定式 由罗必达法则

limx0cosxetdtx2x212limx01cosxt2edtx2cosxlimsinxe1

x02x2e2提示 设(x)1etdt 则(cosx)1cosxt2edt

dcosxet2dtd(cosx)d(u)dueu2(sinx)sinxecos2x

dx1dxdudx

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第五章 定积分

§5 3 定积分的换元法和分部积分法

一、换元积分法

定理

假设函数f(x)在区间[a b]上连续 函数x(t)满足条件

(1)()a  ()b

(2)(t)在[ ](或[ ])上具有连续导数 且其值域不越出[a b] 则有

af(x)dxf[(t)](t)dt

这个公式叫做定积分的换元公式

证明

由假设知 f(x)在区间[a b]上是连续 因而是可积的 f [(t)](t)在区间[ ](或[ ])上也是连续的 因而是可积的

假设F(x)是f(x)的一个原函数 则

baf(x)dxF(b)F(a)

另一方面 因为{F[(t)]}F [(t)](t) f [(t)](t) 所以F[(t)]是f [(t)](t)的一个原函数 从而

bf[(t)](t)dtF[()]F[()]F(b)F(a)

因此 af(x)dxf[(t)](t)dt

例1 计算0a2x2dx(a>0)

解 ab0aa2x2dx 令xasint 02acostacostdt 

2a2222(a0costdt1cos2t)dt

20天津工业大学理学院基础数学系高等数学、经济数学教研室 高等数学教案

第五章 定积分

221a2

a[t1sin2t]0224提示 a2x2a2a2sin2tacost dxa cos t  当x0时t0 当xa时t 例2 计算02cos5xsinxdx

解 令tcos x 则

20cosxsinxdx02cos5xdcosx

011 1t5dt0t5dt[1t6]01

令cosxt提示 当x0时t1 当x时t0

2或

20cosxsinxdx02cos5xdcosx 521cos61cos601

[1cos6x]066266

例3 计算0sin3xsin5xdx

解 0sin3xsin5xdx0sin2x|cosx|dx

3 2sin2xcosxdxsin2xcosxdx

023

32sin20xdsinx32sin2xdsinx

55222 [sinx]0[sin2x]2(2)4

555525提示 sinxsinxsinx(1sin35323x)sin2x|cosx|

在[0, ]上|cos x|cos x 在[, ]上|cos x|cos x

4例4 计算x2dx

02x

1解 04x2dx 令2x1t21232x1t32 1tdt11(t23)dt

t2312711122

[t33t]1[(9)(3)]232333天津工业大学理学院基础数学系高等数学、经济数学教研室 高等数学教案

第五章 定积分

2t提示 x1 dxtdt 当x0时t1 当x4时t3

2例5 证明 若f(x)在[a a]上连续且为偶函数 则

af(x)dx20aaaf(x)dx

0a

证明 因为af(x)dxaf(x)dx0f(x)dx 而

所以

af(x)dx a0令xt af(t)dt0f(t)dt0f(x)dx

a0aaaf(x)dx0aaf(x)dx0f(x)dx

aa

0[f(x)f(x)]dxa2f(x)dx20f(x)dx

讨论

若f(x)在[a a]上连续且为奇函数 问af(x)dx？

提示

若f(x)为奇函数 则f(x)f(x)0 从而

aaf(x)dx0[f(x)f(x)]dx0

aa

例6 若f(x)在[0 1]上连续 证明

(1)02f(sinx)dx02f(cosx)dx(2)0xf(sinx)dx 20f(sinx)dx

证明(1)令xt 则 02f(sinx)dx20f[sin(t)]dt

2

2f[sin(t)]dt2f(cosx)dx

002(2)令xt 则

00xf(sinx)dx(t)f[sin(t)]dt

t)]dt0(t)f(sint)dt

0(t)f[sin（0f(sint)dt0tf(sint)dt

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第五章 定积分

0f(sinx)dx0xf(sinx)dx

所以

0xf(sinx)dx20 f(sinx)dx

x24xe x0

例7 设函数f(x)1 计算1f(x2)dx 1x01cosx

解 设x2t 则

14f(x2)dx1f(t)dt1201dt2tet2dt

01cost220

[tant]1[1et]0tan11e41

22222提示 设x2t 则dxdt 当x1时t1 当x4时t2

二、分部积分法

设函数u(x)、v(x)在区间[a b]上具有连续导数u(x)、v(x) 由

(uv)uv u v得u vu vuv  式两端在区间[a b]上积分得

baauvdx 或audv[uv]aavdu auvdx[uv]bbbbb这就是定积分的分部积分公式

分部积分过程

baavdu[uv]aauvdx    

auvdxaudv[uv]bbbbb 例1 计算 解 12arcsinxdx 0

12arcsinxdx0112[xarcsinx]012xdarcsinx0

102xdx

261x21 021221d(1x2)

1x212231

[1x]012122 例2 计算0exdx

解 令xt 则

10e1xdx20ettdt

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第五章 定积分

20tdet

2[tet] 0 20etdt

2e2[et] 0 2

例3 设In02sinnxdx 证明

(1)当n为正偶数时 Inn1n331

nn242

2(2)当n为大于1的正奇数时 Inn1n342

nn2

53证明 In2sinnxdx0111102sinn1xdcosx

n1 2x] 0

[cosxsin02cosxdsinn1x



(n1)02cos2xsinn2xdx(n1)02(sinn2xsinnx)dx

(n1)02sinn2xdx(n1)02sinnxdx

(n1)I n 2(n1)I n 

由此得

Inn1In2

n

I2m2m12m32m531I0

2m2m22m442

I2m12m2m22m442I1

2m12m12m353而I002dx I102sinxdx1

2因此

I2m2m12m32m531

2m2m22m4422

I2m12m2m22m4422m12m12m353 例3 设In02sinnxdx(n为正整数) 证明

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第五章 定积分

I2m2m12m32m531 2m2m22m442 I2m12m2m22m442 2m12m12m353 证明 In02sinnxdx02sinn1xdcosx

[cosxsinn1 2x] 0(n1)02cos2xsinn2xdx



(n1)02(sinn2xsinnx)dx

(n1)02sinn2xdx(n1)02sinnxdx

(n1)I n 2(n1)I n 

由此得 Inn1In2 n

I2m2m12m32m531I0 2m2m22m442

I2m12m2m22m442I1 2m12m12m353特别地 I02dx02 I102sinxdx1 因此

I2m2m12m32m531 2m2m22m4422

I2m12m2m22m442 2m12m12m3

53天津工业大学理学院基础数学系高等数学、经济数学教研室 高等数学教案

第五章 定积分

§5 4 反常积分

一、无穷限的反常积分

定义1 设函数f(x)在区间[a )上连续 取b>a  如果极限

blimaf(x)dx

b存在 则称此极限为函数f(x)在无穷区间[a )上的反常积分 记作af(x)dx 即

a这时也称反常积分af(x)dx收敛f(x)dxlimaf(x)dx

bb

如果上述极限不存在 函数f(x)在无穷区间[a )上的反常积分af(x)dx就没有意义 此时称反常积分af(x)dx发散

类似地 设函数f(x)在区间( b ]上连续 如果极限

alimaf(x)dx(a

bb存在 则称此极限为函数f(x)在无穷区间( b ]上的反常积分 记作f(x)dx 即

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第五章 定积分

f(x)dxalimf(x)dx

a这时也称反常积分f(x)dx收敛如果上述极限不存在 则称反常积分f(x)dx发散

设函数f(x)在区间( )上连续 如果反常积分 bbbbf(x)dx和0f(x)dx

都收敛 则称上述两个反常积分的和为函数f(x)在无穷区间( )上的反常积分 记作

0f(x)dx 即

f(x)dxf(x)dx00a0f(x)dx

b

limaf(x)dxlim0f(x)dx

b这时也称反常积分f(x)dx收敛

如果上式右端有一个反常积分发散 则称反常积分f(x)dx发散

定义1

连续函数f(x)在区间[a )上的反常积分定义为

af(x)dxlimaf(x)dx

bb

在反常积分的定义式中 如果极限存在 则称此反常积分收敛否则称此反常积分发散

类似地 连续函数f(x)在区间( b]上和在区间( )上的反常积分定义为

f(x)dxlimaf(x)dx

abbf(x)dxlimaf(x)dxlim0f(x)dx

ab0b

反常积分的计算 如果F(x)是f(x)的原函数 则

af(x)dxlimaf(x)dxlim[F(x)]ba

bbb

limF(b)F(a)limF(x)F(a)

bx可采用如下简记形式

类似地 af(x)dx[F(x)]alimF(x)F(a)

xF(b)limF(x)

f(x)dx[F(x)]bxb天津工业大学理学院基础数学系高等数学、经济数学教研室 高等数学教案

第五章 定积分

limF(x)limF(x)

f(x)dx[F(x)]xx 例1 计算反常积分12dx

1x

解 

11x2dx[arctanx]

limarctanxlimarctanx

xx

 ( ) 例2 计算反常积分0teptdt(p是常数 且p>0)

解 0teptdt[teptdt]0[1tdept]0

p

[1tept1eptdt]0pp

[1tept12ept]0pp

lim[1tept12ept]1212

tpppp提示 limteptlimtptlim1pt0

ttetpe 例3 讨论反常积分a 解 当p1时

当p<1时

当p>1时 1dx(a>0)的敛散性

xpa1dx1dx[lnx] 

aaxxpa1dx[1x1p] 

a1pxpa1dx[1x1p] a1p

a1pp1xp1p 因此 当p>1时 此反常积分收敛 其值为a 当p1时 此反常积分发散

p

1二、无界函数的反常积分

定义

2设函数f(x)在区间(a b]上连续 而在点a的右邻域内无界 取>0 如果极限

talimf(x)dx tbb存在 则称此极限为函数f(x)在(a b]上的反常积分 仍然记作af(x)dx 即

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第五章 定积分

af(x)dxtlimatbbf(x)dx

这时也称反常积分af(x)dx收敛

如果上述极限不存在 就称反常积分af(x)dx发散

类似地 设函数f(x)在区间[a b)上连续 而在点b 的左邻域内无界 取>0 如果极限

tbbblimf(x)dx abt存在 则称此极限为函数f(x)在[a b)上的反常积分 仍然记作af(x)dx 即

f(x)dx

af(x)dxlimatbbt这时也称反常积分af(x)dx收敛 如果上述极限不存在 就称反常积分af(x)dx发散

设函数f(x)在区间[a b]上除点c(a

都收敛 则定义

cbaf(x)dxaf(x)dxcf(x)dx

否则 就称反常积分af(x)dx发散

瑕点 如果函数f(x)在点a的任一邻域内都无界 那么点a称为函数f(x)的瑕点 也称为无界

定义2

设函数f(x)在区间(a b]上连续 点a为f(x)的瑕点 函数f(x)在(a b]上的反常积分定义为 bbcbaf(x)dxtlimatbbf(x)dx

在反常积分的定义式中 如果极限存在 则称此反常积分收敛否则称此反常积分发散

类似地函数f(x)在[a b)(b为瑕点)上的反常积分定义为

f(x)dx

af(x)dxlimatbbt

函数f(x)在[a c)(c b](c为瑕点)上的反常积分定义为

af(x)dxtlimcabtf(x)dxlimf(x)dx

ttcb反常积分的计算

如果F(x)为f(x)的原函数 则有

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第五章 定积分

af(x)dxtlimatbbf(x)dxlim[F(x)]bt

ta

F(b)limF(t)F(b)limF(x) taxa可采用如下简记形式

aF(b)limF(x)

af(x)dx[F(x)]bxab类似地 有

alimF(x)F(a)

af(x)dx[F(x)]bxbb当a为瑕点时af(x)dx[F(x)]bF(x)

aF(b)limxab当b为瑕点时af(x)dx[F(x)]bF(x)F(a)

alimxbb当c(acb)为瑕点时

F(x)F(a)][F(b)limF(x)]

af(x)dxaf(x)dxcf(x)dx[xlimcxcbcb 例4 计算反常积分 解 因为limxaa01dx

2ax21 所以点a为被积函数的瑕点

a2x 0a1alimarcsinx0 dx[arcsinx] 0a2xaaa2x2

1例5 讨论反常积分112dx的收敛性

x

解 函数12在区间[1 1]上除x0外连续 且lim12

x0xx0 0 由于112dx[1]lim(1)1

1xxx0x01即反常积分112dx发散 所以反常积分112dx发散

xx

例6 讨论反常积分a

解 当q1时

当q1时 bbbdx的敛散性

(xa)qdxbdx[ln(xa)] b

aa(xa)qaxadx[1(xa)1q] b

aa(xa)q1q天津工业大学理学院基础数学系高等数学、经济数学教研室 高等数学教案

第五章 定积分

当q1时 dx[1(xa)1q] b1(ba)1q

aa(x1qa)q1qb 因此 当q<1时 此反常积分收敛 其值为1(ba)1q 当q1时 此反常积分发散

1q

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第五章 定积分

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第五章 定积分

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篇2：高等数学课件定积分

定积分及其应用这部分内容在历年真题的考察中形式多样，是考试的重点内容。启航考研龙腾网校老师希望同学们要加以重视！

定积分的证明是指证明题目中出现积分符号的一类题目，一般的解题思路和常见的证明题大同小异，但是由于积分符号的出现，往往使得同学们有这样那样的不适应，在这里呢，和同学们一起总结下关于这类题目的一般解题思路。常见的关于定积分的证明，主要包括以下几

类

问

题。

2、定积分中值定理命题的证明。一般利用连续函数的介值定理、微分中值定理、积分中值定理等来证明，其关键是构造辅助函数。

3、定积分不等式的证明。一般有三种方法。①利用被积函数的单调性、定积分的保序性和估值定理证明。

②将定积分的上(下)限改为变量，从而将定积分不等式化为函数不等式，再用微分学方法证明。

篇3：高等数学课件定积分

高等数学的教学需要激发学生学习主动性、积极性, 进而培养学生创新思维能力和提高综合素质.其中数学概念的教学显得尤为重要, 在数学概念的教学中, 进行合理的教学设计, 采用探究式教学效果会更好.探究式教学是在教师的启发引导下, 以问题为载体, 以培养思维能力为核心, 以学生自主学习和合作讨论为特点, 以学生周围世界和生活实际为参照对象, 让学生通过自己的直接发现或体验去主动获取数学知识, 并将自己所学数学知识应用于解决实际问题的一种教学形式.高等数学课程如何依据高等数学的学科特点, 密切结合教学内容, 实施探究式教学呢?其难点与关键是设计与高等数学有关的合适的问题情景.

下面以建筑工程专业高等数学课程中定积分的概念教学为例, 设计以下探究性问题, 具体实现了探究式教学.

2定积分概念的探究式教学设计

2.1前期调研

首先, 高职院校的生源结构在不断变化, 既有参加普通高考的普高生, 也有参加高考录取的中职生, 还有各个高职院校的自主考试录取的单招生和网专生, 因此在一些高职院校中, 师生在高等数学的教与学两方面都遇到了一些困难.一方面, 学生的数学基础参差不齐, 学生也感觉不到学习数学的用处, 对数学越来越不感兴趣, 甚至逃课;另一方面, 由于高职院校高等数学的课时进行了大幅度的压缩, 教师要在有限的学时内结合学生所学专业进行数学课程教学, 同时还要想方设法保证学生的及格率, 以保证大部分学生能按时毕业.

其次, 定积分在生活实际中有广泛的应用, 定积分的概念又是高等数学中最重要的概念之一.它来源于实际问题, 又是解决许多实际问题的基本方法-微元法的基础, 更重要的是, 定积分概念本身体现了微积分的基本思想方法-极限思想方法.因此, 如何讲好定积分的概念, 使学生深刻理解概念的内涵、掌握其思想方法, 同时借助定积分概念的教学过程来提高学生的思维能力, 就是一个值得研究的课题.

针对以上问题, 有些教师提出了模块式的教学方案, 对高等数学教学进行优化整合.我以为对有关高等数学概念的教学采用探究式的教学方法, 效果会更好.

下面以定积分的概念教学为例, 进行教学设计, 以培养学生的问题意识, 突出数学思想方法, 使学生更容易地掌握积分的实质, 学以致用.

2.2教学设计

在教学中, 对定积分概念的教学过程细化为“结合专业提出实际问题-分析实例, 注重方法-概括共性, 抽象定义-剖析概念, 领会本质-几何意义, 直观解释-巩固概念”几个环节.与以前的教学过程相比, 对每一环节, 在内容处理、方法和手段运用上都做了一些新的尝试, 取得了较好的效果.

首先结合建筑专业的实际提出一下问题:

要建造一座拱桥, 其横断面如图1所示, 假设截面的拱顶为抛物线型, 桥孔为一距形上加一半径为r的圆弓.试计算砌此桥的截面墙需要用多少块砖 (砖的截面长为a, 宽为b) ？

2.2.1教学目标分析

这看起来是一个简单的初等几何问题, 先计算出桥的横截面面积, 再除以砖的横截面面积, 就可以得到需要的砖的数量.

由图1可知:

桥的横截面面积

=抛物线AmF下的面积

-矩形BCDE的面积

-圆弓CnD的面积.

矩形面积和圆弓面积根据公式很容易求出, 而抛物线下的面积没有现成的计算公式, 这是初等几何解决不了的问题.

2.2.2创设情景

下面我们讨论抛物线下的面积的求法.根据图形的对称性, 只求右半部分即可.

建立坐标系如图2所示, 则抛物线的方程为:

$y=-\frac{{\rm H}}{L{}^2}x{}^2+{\rm H}.$

为了计算简便起见, 不妨设L=1, H=1.因此现在的问题是:求由抛物线y=-x2+1及x轴, y轴所围成平面图形的面积S.

2.2.3提示线索, 信息资源并将自我探索引向深入

由于平面图形面积具有“可加性” (即若把一个图形分成若干块, 其总面积等于各部分面积之和) , 所以将图形分成许多个小竖条, 把每个小竖条都近似看作小矩形, 如图3.这些小矩形组成一个台阶形, 我们用台阶面积逼近抛物线下的面积.可以看出, 小竖条分得越细, 台阶形面积就越接近抛物线下的面积.由此想象, 如果无限细分, 台阶形面积就无限逼近抛物线下的面积了.

2.2.4自主学习及协作学习, 教师给予必要的指导

下面同学们一起来计算面积A.

如果把区间[0, 1]三等分, 如图4.在每个小区间上以右端点的函数值作为小矩形的高, 则台阶形面积

A3是一个比较粗糙的近似值.

如果把区间[0, 1]四等分, 如图5.则台阶形面积

从图形上可以直观地看出, A4是比A3稍好的近似值.

继续这种作法:把区间[0, 1]n等分, 则台阶形面积为:

如果n相当大, 直觉告诉我们, 台阶形的面积An就相当接近抛物线下的面积了.当n无限增大时, An的极限就是抛物线下面积的精确值, 即

由此我们可以得到桥的横截面面积, 再除以砖的横截面面积, 就可以得到需要的砖的数量.注意到我们解决桥的横截面面积是通过求一和式结构的极限得到的.

教师引导学生总结解决此问题的基本思想是:化整为零-把整体量化为局部量;以“不变”代“变”或说“以直 (线) 代曲 (线) ”-在局部量中作近似代替;积零为整-把局部量的近似值累加起来;取极限精确化-整体量的近似值转化为精确值.同时指出很多实际问题中与某个区间有关并且具有可加性的量, 都归结为求同一结构的总和的极限.也就是用分割取近似、求和取极限的方法来解决.

比如变速直线运动的路程, 水利工程中拦水闸门所受的水压力等.但是这种和式的极限计算比较复杂, 不便于利用我们所学习的知识解决实际问题, 为解决更多的实际问题就必须简化计算, 于是我们根据很多实际问题解决的需要, 抽象出一个数学概念:定积分

${\displaystyle {\int }_a^{b}f}(x)\text{d}x={\rm I}=\underset{\lambda \to 0}{{\displaystyle \lim }}{\displaystyle \sum _{i=1}^{n}f}(\xi {}_i)\text{Δ}x{}_i.$

如此上面的实际问题就转化为定积分∫${}_0^1$ (-x2+1) dx的计算.我们研究定积分的计算后, 就可以用我们所学习的数学知识很方便地解决更多的实际问题.

3巩固概念练习

水利工程中要计算拦水闸门所受的水压力, 已知闸门上水的压强P (单位面积上的压力大小) 是水深h的函数, 且有p=9.8h (KN/m2) , 若闸门高H=3 m, 宽L=2 m, 求水面与闸门顶相齐时闸门所受的水压力P (图6, 图7) .

提示:从物理学知道, 如果有一面积为A的平板水平地放置在水深h处, 那么平板一侧所受的水压力P=pA.如果平板垂直地放置在水中, 由于水深不同的处压强p不相等, 所以平板一侧所受的水压力就不能用上式计算.

建立坐标系如图7所示.同样我们利用“分割取近似、求和取极限”的方法来解决.将h的变化区间[0, 3]无限细分, 设[h, h+dh]为[0, 3]上的任一小区间, 闸门上相应于[h, h+dh]的小窄条上各点处的压强近似于p=9.8h, 窄条的面积为2dh.则这窄条一侧所受水压力近似为

dp=9.8 h×2dh,

于是

$\begin{array}{l}{\rm P}=\underset{n\to \infty }{{\displaystyle \lim }}{\displaystyle \sum _{i=1}^{n}9}.8\times \frac{3i}{n}\times 2\times \frac{3}{n}\\ ={\displaystyle {\int }_0^{3}2}\times 9.8h\text{d}h\\ =9.8h{}^2|{}_0^3\end{array}$

=9.8×32.

以上是我们在定积分概念课教学中的一些具体做法.在对内容作上述设计的基础上, 运用合理的方法和手段实施教学.同时结合定积分的历史, 激发学生的兴趣;运用现代教学手段, 借助多媒体进行“分割-近似-求和-取极限”的动画演示, 使抽象过程直观化;从引入到计算, 时刻与应用相联系等.实践证明, 这些做法加深了学生对定积分概念的理解, 使他们对定积分的实际背景、本质内涵、思想方法都有了深刻的认识, 收到了很好的教学效果, 也为将来应用定积分解决实际问题打下了良好的基础.

综上所述, 在高职数学教学过程中, 要以与专业相联系的实际问题解决为手段, 采用探究式的教学方式, 强调师生互动, 注重改变学生学习方式, 注重学生对所学知识和技能的实际应用能力的获得, 重视培养学生的问题意识、批判性思维的习惯以及学生兴趣的满足和能力的提高, 关注学生的情感体验、意识态度、意志品质的培养, 就能够提高学生的实践能力和创造性思维能力.

参考文献

[1]余应龙.数学探究性学习导引[M].上海:上海教育出版社, 1999, 35-45.

[2]于坚.高等数学探究性学习模式的研究与实践[J].教育与职业, 2006, (4) :23-25.

[3]孙杰远.现代数学教育学[M].桂林:广西师范大学出版社, 2004, 139-141.

篇4：高等数学微积分教学策略探讨

关键词： 高等数学 微积分教学 策略研究

高等数学中的微积分知识广泛运用于当今的生物学、化学、经济学、工程学等众多领域，对科学技术的高速发展有着重要的意义。在当前的教育形势下，高等院校高等数学微积分教学中的问题仍然存在，因此相关的教学工作者必须不断优化教学策略，制订行之有效的教学方案。

一、高等数学微积分教学的概况

微积分的发展年数相对较长久，并且微积分的发展过程是人类发展的重要衡量标准之一。在17世纪，人民群众的认知体系相对薄弱，尤其是各种理论认识方面。运动物体的速度问题、曲线的切线问题、函数的极值问题，以及物体之间的相互作用力四大问题困扰着当时的学者们，由此为微积分的发展奠定了坚实的研究基础。

高等数学微积分是现实分析学版块中的重要组成部分，而且高等数学微积分教学工作涵盖微分教学和求导教学两部分内容。其中微分教学的作用在于精确地求出曲线的斜率数值，是解决函数问题和加速度求值问题的主要工具，同时积分的作用主要是计算面积和体积。

二、高等数学微积分教学的主要现状

（一）微积分教学内容在制定方面个性化水平较低

目前我国的高等院校在高等数学微积分课程设置方面，将其纳入专业课程，并且微积分教学内容相似性较强。然而，其个性化水平较低，不能够较好地符合专业学生的实际发展需要。举例来说，当前许多学校的专业的差别较大，尤其是理工科和文科专业的差距较大，如果不对其加以区分，那么就会大大降低微积分教学的有效性。

（二）高等数学微积分教学知识偏向于理论方面

许多高等数学微积分教学工作者在教学过程中主要是讲授相关的理论知识，并没有较好地开展微积分相关的实践教学工作。在此种形势下，高校学生在微积分课堂教学中兴趣较淡薄，主动学习的积极性相对较差。而且高等数学微积分教学内容对于大部分学生而言难度系数相对较大，不利于微积分有效教学工作的开展。

（三）微积分教学评价体系不健全

在目前的高等院校内部，大部分的学科考核工作均是利用考试的形式进行检验的，考核形式单一，评价体系不健全。试卷考核方式虽能检测学生的理论学习水平，但是并不能反映学生的实践学习情况。学习知识无非是为了应用，所以采取单一的试卷考查方式，违背了微积分教学的初衷，是不合理的。

三、提高微积分教学工作有效性的策略

（一）根据专业特性划分微积分教学内容

教学工作者必须联系专业发展方向设施课程内容，选取科学的教学模式，同时要根据目前学生微积分的掌握程度规划教学阶段。例如，对于理工科性质和实践性质较强的专业，特别是计算机专业、数学专业等，更需要提高高等数学微分教学难度性和延伸性，以此提高学生的能力和水平。对于文科性质或者艺术类学生，在微积分教学内容设置方面，难度系数偏低，让学生掌握基本的理论知识即可，这样更有利于提高微积分教材的应用价值。

（二）关注学生学习微积分积极性的提高

教学工作者必须详细地了解微积分学习的重要性，同时要明确相关教学工作的目的。在微积分教学内容设定方面和教学方式设定方面，应当注重学生的理解能力。例如，在内容设定上，依据专业不同设定不同的难度，在教学方式设定方面，可以将重点和难点内容穿插讲解，难点和重点内容教师进行讲解，但是在简单易懂的微积分内容的教学中，可以采取学生讲解的模式。在讲授求导公式时，教师可以选取学生自主讲解的模式，以此提高其热情，原因是此版块学生已有基础。在讲授隐函数求导内容的时候，教师则要采取自我讲解和点拨的模式加以梳理和指导。

（三）完善课程考核体系

在微积分学习结果测评方面，学校不仅要对其开展理论考核，还应当对其实践能力进行考核。例如，设定专业试卷考核学生对基本理论知识的掌握情况，这样才能够较好地了解学生学习的质量和效率。在实践考核方面，可以利用计算机系统进行考核，检测学生在相关实践操作方面的掌握情况。以课外拓展的综合方式进行微积分课程的考核，让学生能够发现微积分学习的乐趣，强化教学效果。

四、结语

微积分属于高等数学中的必修内容，其相关知识与实际生活联系较密切。因此，相关教师应当不断优化微积分教学策略，提高微积分教学工作质量。这样才能够培养适合经济社会发展的复合型人才，提高高等数学微积分理论知识的应用价值。

参考文献：

[1]张志戎，鲁世平.一类具偏变元高阶p-Laplace微分方程的周期解[J].吉林大学学报（理学版），2011（01）：120-122.

篇5：高等数学课件 积分学

积分学

一、不定积分

1）原函数与不定积分的概念

2）不定积分计算方法：积分的基本公式及性质、分项积分法、两类换元法、分部积分法、几类特殊函数的积分法（有理函数、三角有理函数、简单无理函数）

例1：计算。

解：原式

注：不定积分是导数的逆运算，要充分利用导数计算找原函数。

例2：证明：若，则

其中为待定系数，是方程不相等的实根。

证明：因为

设

（1）

则有，当取

时，（1）式恒成立，因此有

二、定积分

1）定积分的概念和性质

2）微积分基本公式：，其中

3）定积分计算方法：利用定义计算、利用微积分基本公式、分项积分法、换元法、分部积分法、一些间接计算公式。1、2、3、如果关于直线对称，则有

4、如果关于点对称，则有5、6、7、例3：计算阿桑积分，其中。

解：因为，所以是连续函数，即

一定存在。

（1）当时，（2）当时。

注：这里利用了复数开方公式得：

4）反常积分（广义积分）

反常函数审敛法：（1）设在区间上连续，且，如果函数是在区间上的有界函数，则收敛；

（2）设在区间上连续，且，则有，收敛可得收敛；发散可得发散。

（3）设在区间上连续，则有

如果，则有和同敛散；

如果，则有收敛可得收敛；

如果，则有发散可得发散。

（4）如果收敛，则收敛（绝对收敛）。

例4：判别下列反常积分敛散性

（1）

（2）

解：（1）

因为收敛，所以。

（2）因为，发散，所以发散。

5）定积分的应用：计算平面图形面积、计算立体体积、计算弧长、计算连续函数平均值公式。

三、重积分（二重积分、三重积分）

1）重积分的概念和性质

2）重积分的计算方法：

二重积分：直角坐标系下计算法、极坐标计算法、换元法

注意对称性的运用；

三重积分：投影法、切片法、球面坐标计算法、柱面坐标计算法、换元法

注意对称性的运用。

3）重积分的应用

曲面的面积为、物体质心、转动惯量、引力。

四、两类曲线积分

1）曲线积分的概念和性质

2）曲线积分的计算法：注意对称性的运用。

3）格林公式：设在上有连续偏导数，则有

4）第二型曲线积分与路径无关

五、两类曲面积分

1）两类曲面积分的概念和性质

2）两类曲面积分计算法：注意曲面在对应坐标面的投影，及两类曲面的联系。

3）高斯公式和斯托克斯公式

例5：证明：若在区间上有连续二阶导数，则

证明：因为在区间上连续，由最大值最小值定理，存在是在区间上的最大值。利用泰勒公式有

其中在之间，因此我们有

又因为

所以有

由于

因此我们有

例6：证明：若函数在区间上单调，且存在，则有

证明：无妨设单调递增，取则有

因为存在，所以。

当时有

当时有

由夹逼准则可得。

例7：已知空间中的点，线段绕轴旋转为，求与平面所围成立体的体积。

解：线段的方程为，曲面的方程为。

例8：设函数在区域内有二阶连续偏导数，且，证明：

证明：利用极坐标可得

改变积分次序后可得

设是圆并取正方向，是围成的圆盘，由关于坐标的基本计算方法和格林公式可得

所以我们有

例9：计算，其中是上半球面与柱面的交线，的方向从轴正方向向负方向看是逆时针方向。

解：设上半球面在圆柱面内的部分，并区上侧，利用斯托克斯定理可得

因为对应的单位法向量为，所以。

例10：计算，其中为下半球面的上侧，为大于零的常数。

解：

取为圆盘的下侧，则有

六、练习题

1）计算

2）设是上的连续函数，证明：

3）设连续，且，其中为，求。

4）设函数具有二阶连续的导数，且，试确定函数，使，其中是任意一条不与相交的简单正向闭曲线。

5）计算，其中为曲面的外侧。

篇6：高等数学课件定积分

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2018考研数学必看重点：定积分证明三大解题思路

在考研数学中，定积分及其应用这部分知识点考察形式多样，是每年考察的重点，而定积分证明就是常见形式之一，大家需要加以重视，下面一起来看看这类题目的解题思路吧。

2、定积分中值定理命题的证明。一般利用连续函数的介值定理、微分中值定理、积分中值定理等来证明，其关键是构造辅助函数。

3、定积分不等式的证明。一般有三种方法。

①利用被积函数的单调性、定积分的保序性和估值定理证明。

②将定积分的上(下)限改为变量，从而将定积分不等式化为函数不等式，再用微分学方法证明。

③利用微分中值定理、积分中值定理(适用于已知条件中有连续性和一阶可导性)与泰勒公式(适用于题设中有二阶以上可导性)。

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