深圳大学线性代数期末

深圳大学线性代数期末（精选8篇）

篇1：深圳大学线性代数期末

总结：

一．掌握主要计算方法

1．矩阵的基本运算

加、减、数乘、乘、幂、转置

2．矩阵的初等行变换化阶梯形矩阵

3．矩阵的秩

4．可逆矩阵

可逆性与逆矩阵

5．特殊矩阵

对角矩阵、三角矩阵、对称矩阵

6．线性表出

7．线性相关性

线性无关与线性相关

8．向量组的秩与极大无关组

9．线性方程组

解的判别、求解、消元法、基础解系

10．向量空间，子空间

判别、零空间、列空间

11．基、维数与坐标

判断、过渡矩阵、坐标变换公式

12．欧氏空间

正交化、单位化、正交矩阵

13．行列式

方阵的行列式

14．特征值与特征向量

15．对角化

一般矩阵的对角化与实对称矩阵的对角化

16．化简二次型

17．判别定性

二．理解基本概念

1．矩阵

矩阵的相抵，矩阵的秩，可逆矩阵，初等矩阵

2．向量

线性组合，线性表出，线性相关与线性无关，向量组的秩，极大无关组，向量组的等价

3．线性方程组

一般解，特解，非零解，基础解系

4．向量空间

向量空间，子空间，基，维数，坐标，过渡矩

阵，内积，正交向量，单位向量，标准正交基，正交矩阵

5．行列式

余子式与代数余子式，按一行(列)展开，伴随矩阵，子式(主子式，顺序主子式)

6．特征值与特征向量

特征值与特征向量，特征值的代数重数与几何

重数，矩阵的相似，可对角化

7．二次型

二次型的矩阵，二次型的秩，可逆线性替换，矩阵的合同，二次型的标准形、规范形，实二次型与实对称矩阵的定性

三．掌握重要结论

定理1.2.3，定理1.3.2，定理1.3.5，定理1.3.7，定理1.3.8，定理1.4.1，定理1.4.2，定理1.5.2

定理2.1.1，定理2.1.2，定理2.1.3推论，定理2.2.2，定理2.2.3，定理2.2.4，定理2.2.5，定理2.3.1，定理2.3.2，定理2.4.1，定理2.4.2

定理3.2.2，定理3.2.3，定理3.3.6，定理3.4.2

定理4.4.1，定理4.4.2，例4.4.7，定理4.5.1，定理4.5.4，定理4.5.5，定理4.5.7

式5.1.1，定理5.2.1，定理5.2.2，定理5.2.5，定理5.3.2，定理5.3.4

定理6.2.3，定理6.4.2，定理6.4.4

篇2：深圳大学线性代数期末

（2学时）

本试卷共七大题

一、填空题(本大题共7个小题，满分25分)：

1.(4分)设阶实对称矩阵的特征值为 , , , 的属于 的特征向量是 , 则 的属于 的两个线性无关的特征向量是（）；

2.(4分)设阶矩阵矩阵, 则 的特征值为，， 其中 是 的伴随的行列式（）；

3.(4分)设 , , 则

（）；

4.(4分)已知维列向量组的向量空间为,则的维数dim

（）；

所生成

5.(3分)二次型经过正交变换可化为

标准型 ,则（）； 6.(3分)行列式中 的系数是（）；

7.(3分)元非齐次线性方程组的系数矩阵的秩为, 已知

解向量 , 其中 , , 则该方程组的通解是（）。

二、计算行列式：

(满分10分)

三、设 , , 求。

(满分10分)

四、取何值时, 线性方程组

有解时求出所有解（用向量形式表示）。

是它的个

无解或有解？(满分15分)

五、设向量组, ，线性无关 , 问: 常数

也线性无关。

满足什么条件时, 向量组

(满分10分)

六、已知二次型，(1)写出二次型 的矩阵表达式；

(2)求一个正交变换，把 化为标准形, 并写该标准型；

(3)是什么类型的二次曲面?

(满分15分)

七、证明题（本大题共 2个小题，满分15分）： 1．(7分)设向量组

线性无关 , 向量

能由

线性表示 , 向量

不能由线性表示.证明: 向量组 也线性无关。

2.(8分)设是 矩阵, 是 矩阵, 证明: 时, 齐次线性方程组

必有非零解。

《线性代数》期终试卷2

（2学时）

本试卷共八大题

一、是非题（判别下列命题是否正确，正确的在括号内打√，错误的在括号内打×；每小题2 分，满分20 分）：

1.若 阶方阵 的秩，则其伴随阵。

（）

2.若 矩阵 和 矩阵 满足，则。

（）

3.实对称阵 与对角阵 相似：，这里 必须是正交阵。

（）

4.初等矩阵都是可逆阵，并且其逆阵都是它们本身。

（）

5.若 阶方阵 满足，则对任意 维列向量，均有。

（）6.若矩阵 和 等价，则 的行向量组与 的行向量组等价。

（）

7.若向量 线性无关，向量 线性无关，则 也线性无关。

（）

8.是 矩阵，则。

（）

9.非齐次线性方程组 有唯一解，则。

10.正交阵的特征值一定是实数。

（）

二、设阶行列式：）

（试建立递推关系，并求(满分10分)。

三、设(满分10分)，并且，求

四、设 阵，求。，矩阵 满足，其中 是 的伴随(满分10分)

五、讨论线性方程组(满分12分)的解的情况，在有解时求出通解。

六、求一个正交变换 化为标准形。(满分14分)，将二次型

七、已知

3维列向量构成的向量空间，问：，由它们生成的向量空间记为，为所有

1． 取何值时，但，为什么？

2． 取何值时，为什么？(满分 12 分)

八、证明题（本大题共2个小题，满分12分）： 1．若2阶方阵满足，证明

可与对角阵相似。

2.若

是正定阵，则其伴随阵 也是正定阵。

《线性代数》期终试卷

3（3学时）

一、填空题(15’)： ．设向量组（），一个最大线性无关组是（）., 它的秩是2 ．已知矩阵和（）.3 ．设是秩为 的

矩阵 ，是

相似 , 则x =

矩阵 , 且, 则 的秩的取值范围是

（）.二、计算题： 1 ．(7’)计算行列式.2 ．(8’)设, 求.3 ．(10’)已知 维向量空间 的两个基分别为;, 向量 的过渡矩阵

;并求向量

.求由基 在这两个基下的坐标.到基 ．(15’)讨论下述线性方程组有无穷多解，则必须求出通解.的解的情况；若5．(15’)已知为对角阵.有一个特征值为, 求正交阵, 使得6 ．(10’)在次数不超过 3的实系数多项式所成的线性空间 线性变换?为?= , 求线性变换?在基

中定义

下的矩阵.三、证明题：

1．(10’)已知矩阵与合同, 矩阵与合同, 证明: 分块对角矩阵与也合同.．(10’)设特征值与

是正交矩阵 , , 是的特征值 , 是相应于, 的特征向量 , 问 : 与是否线性相关 , 为什么 ? 是否正交 , 为什么 ?

《线性代数》期终试卷

4（3学时）

本试卷共九大题

一、选择题（本大题共 4个小题，每小题2分，满分8分）：

1．若阶方阵均可逆，则

(A)

(B)

(C)

(D)

答()

2．设是元齐次线性方程组的解空间，其中，则的维数为(A)

(B)

(C)

答()

3．设是维列向量，则=

(A)

(B)

(C)

(D)

答()

(D)4．

若向量组则(A)

可由另一向量组线性表示，；

(B)

；

(C)答（）的秩的秩；(D)的秩的秩.二、填空题（本大题共 4个小题，每小题3分，满分12分）：

1.若，则。

2.设，，则

3.设4 阶方阵的秩为2，则其伴随阵的秩为。

4.设是方阵的一个特征值，则矩阵的一个特征值是。

三、计算行列式，（）（满分8分）

四、设，，求，使得。

（满分12分）

五、在中有两组基：

和

写出到的变换公式以及

到的变换公式。

（满分8分）

取何值时，线性方程组

六、当

有唯一解、无解或有无穷多解？并在有无穷多解时求出通解。（满分14分）

七、已知，为3阶单位矩阵，为对角阵，并写出该对角阵.（满分16分），求一个正交矩阵，使得

八、设为已知的矩阵，集合

下的线性空间； 1．验证对通常矩阵的加法和数乘构成实数域2．当时，求该线性空间的一组基。

（满分10分）

九、证明题（本大题共 2个小题，每小题6分，满分12分）：

1．设由为一向量组，其中线性表示。

线性相关，线性无关，证明能2．若

篇3：深圳大学线性代数期末

一、教材选择方面

多数高校工科各专业广泛使用的同济大学数学教研室编《线性代数》 (第四版) , 经过多年教学实践的检验及四次认真修订, 在内容、结构、应用等各方面都更加成熟和完善, 形成自己独特的系统和风格。其特点是:以工科类本科线性代数课程的教学基本要求为本, 在重要概念引进时尽量做到简明、自然和浅显。教材淡化了定理的推导, 强调了方法的训练, 简明扼要, 赢得了多数教师和学生的喜爱, 使用范围比较广泛。科学出版社出版的陈维新编著的《线性代数简明教程》可以说是目前内容最多的一本线性代数教材。除了通常国内教材中的行列式、线性方程组、矩阵、向量空间、矩阵相似与特征值特征向量、二次型等外, 还以附录形式介绍了一元多项式的一些概念、线性方程组理论在几何中的一些应用、分块矩阵的初等变换、最小二乘法、线性空间和欧氏空间简介等内容。另外还有一些高校根据自身的实际情况适当选择教材, 不管怎样, 从反馈的信息来看, 所讲授的内容大体一致, 出入不是很大。

就目前而言, 不论选择何种教材, 案例都很少。线性代数课程主要讨论线性问题, 主要是线性方程组的解法。虽然许多问题的求解都可归结为线性方程组求解, 但以具体实例作为授课内容的案例组织课堂教学并非易事。究其原因, 由线性方程组研究解的情况容易, 而借助特定的方程组难以还原生活中的具体实例。教学过程缺乏实际案例, 课堂教学容易陷入基本概念、性质、定理的教学模式, 难以从建模角度培养学生分析问题和解决问题的数学能力, 课堂氛围易显枯燥和乏味, 难以调动学员线性代数课程学习的积极性。

二、课时安排

课时一般分配为30~40学时, 在这一时间内完成线性代数课程的详细讲解几乎是不可能的。为提高教学效率, 即使教学实施期间严格区分了重点内容和难点内容, 仍因教学时间的严重不足, 导致线性代数课程的讲授无法深入进行, 教学测试结果普遍反映出学员对线性空间的理解较为肤浅, 知识掌握仅停留应用简单的方法进行相关计算, 缺少完整的理论体系和求解线性问题的实际能力。

(一) 讲授方式

有些选用多媒体教学, 而有些仍使用黑板书写。随着计算机逐步进入课堂, 线性代数课程的某些基本概念, 同样可以借助多媒体教学深入讲解。多媒体教学改善线性代数以及其他数学课程的教学效果是有目共睹的, 但是绝不能完全代替板书推导, 尤其是线性代数这类以计算为基础的数学学科。

(二) 考核方式

为了提高《线性代数》课程教学质量, 加强学生的数学应用能力及计算机使用能力, 多数学校在《线性代数》课程的教学内容和考核方式上进行改革试点。在教学内容上, 除基本教学内容外, 在考核方式上, 分为传统型考试和改革试点型考试。选择传统型考试以卷面分 (满分100分) 为笔试成绩与平时成绩按7:3得总评成绩, 选试点型考试以卷面分 (满分100分) 为笔试成绩与平时成绩按6:4得总评成绩, 更多注重平时学习的积累和掌握。在教学运行过程中, 各位主讲教师都制定好了各自的教学进程表, 并严格按进程表执行, 所有主讲线性代数课程的教师都能以身作则, 为人师表, 教书育人;并做到认真备课, 讲究授课方法, 注重启发式教学, 调动学生的积极性, 培养学生能力, 增强学生自我学习解题的能力, 培养提高学生的素质。

在上述实际的基础上, 我们可得到如下启示:应该学习现代数学观和现代数学教育观, 变静态的数学观为现代动态的数学观, 也就是应把数学看成是人类的一种创造性活动;同时, 应当坚持数学教育主要是教会学生“数学的思维”的数学教育观。教材建设不仅应当考虑数学的知识性、科学性和应用性, 还应考虑对学生的启发性, 以及如何引起学生的“好奇心”, 也即教材应具有的趣味性和探索性。对现有的线性代数教材, 我们不仅要看到其理论的严谨和知识的完整以及教材的规范性, 还应看到其缺少“启发性成分”“数学建模”的训练功能及人文教育功能等等, 注意发挥教材的优点, 扬长补短。线性代数课程的基本概念是理解线性空间理论的基础, 忽视基本概念教学法的研究和使用, 将直接影响学生对基本概念的深入理解, 无法从更深层面理解线性代数课程作为工具课的特性。引导学生从“学数学”到“做数学”的转变, 当然老师是起到“指引”的作用, 学生要想真正掌握这门知识, 并促使其素质的提高, 需要学生在课后做大量的练习才可能掌握这门课程。

摘要：《线性代数》是理工专业开设的一门数学基础课, 是研究线性空间的重要基础, 为解决线性问题提供了重要工具。对于培养学生线性问题的求解能力和线性空间的思维能力具有重要意义。本文从当今各高校《线性代数》课程选择、课时安排、讲授方式和考核方法入手, 得到本门课程对大学生素质教育的作用。

关键词：素质,教学,大学生

参考文献

[1]张纪.大学生素质教育课程教学的探索[J].高教论坛, 2007, (3) .

[2]袁功林, 董红伟.浅谈中国经济发展与教育改革[J].中国科教创新导刊, 2007 (452) .

[3]李宁.高校科学教育和人文教育的困境及策略[J].理工高教探究, 2005, (3) .

[4]袁功林, 王中兴.微积分教学对大学生素质教育的作用[J].教育教学实践, 2010, (4) .

篇4：大学数学线性代数教学核心点探讨

【关键词】大学数学 线性代数 教学核心

【中图分类号】O151.2【文献标识码】A 【文章编号】2095-3089（2015）06-0135-02

学习线性代数可以对有限维空间理论知识进行深度分析，线性代数涵盖了抽象性数学内容和逻辑性数学内容以及实用性内容等。线性代数是数学教学中的基础教学内容之一，线性代数内容和线性代数特点等均已确定，线性代数的不可替代性不言而喻。因为线性问题会出现在社会各行各业之中，一些非线性问题可以在条件合理情况下进行线性问题转化，大型线性方程组问题和矩阵特征问题均应通过线性代数计算取得。

一、线性代数教学目标要点分析

公共数学课程基础性培养目标应以学生能力培养为主，各个学学科都应围绕具体目标进行教学手段实施，并正确充当主体教育成分。数学应用能力培养是线性代数课程教学过程中的重要组成部分和重点操作环节。数学应用能力培养内容包括对数学概念直观背影内容和数学结论直观背影内容的了解，第二点则是锻炼学生基本数学计算能力，同时也要锻炼学生对简单问题运用数学方法进行解题的能力，最后则是培养学生应用数学方法进行实际问题计算的能力。高校线性代数课程教学逻辑性十足，其是进行学生数学能力培养的第二教学层次，学生以此来进行线性代数课程逻辑性内容的理解，助于提高线性代数教学质量和教学效率，之后在此基础上可以不对不同类型的实际问题运用相同数学描述方式予以解决。

二、高校线性代数教学核心点分析

1.适时加强基本数学背景信息引入

线性代数课程教学中会涉及到多种数学理论及数学定义，线性代数初学者学习起来尤为艰难且理解能力相对较差。学生对线性代数课程的恐惧感油然而生，在一定程度上会给最终学习效果造成恶劣影响。数学教师在讲解线性代数课程时应对课程重难点知识进行背景信息引入。运用此种方式进行线性代数教学可以增强学生学习线性代数课程的基本兴趣，教师应辅助学生进行概念知识理解和理论知识记忆，激发学生自身深层求知欲。

范德蒙德行列式例题和范德蒙德行列式习题等是学生所面临的常见问题，当高校学生进行范德蒙德行列式学习时对此公式背景丝毫不了解，也不知出自何处。此时教师就可以发问：单体实系数的 n 次代数方程在实数范围内至多只有 n 个不同的零点，此结论如何进行细则证明和阐释。我们通过对单体n 次代数方程至多只有n 个不同的零点相关内容分析，就会很容易的进行范德蒙德行列式内容导出。莱姆法则讲解时会根据自然解读形式来证明上述观点的成立，运用此种方式进行教学会给学生留下深刻印象。

2.科学合理的进行数学教学软件引入和建模案例引入

Matlab 增强线性代数方案进行深入教学，使学生真正做到运用线性代数知识去解决实际难题，教会学生运行数学软件去进行具体问题计算，之后在此基础上协助高校学生进行抽象代数概念理解，并帮助其对代数理论知识内容等进行深层认知。还有一点即为进行数学建模案例内容的合理导入，旨在培养学生创新兴趣和培养学生自主动手能力。除此之外，其涵盖了循环比赛名次内容、交通流量预测内容、图像压缩内容、药品制配内容和商品市场占有率内容以及相应动物繁殖规律内容等，向高校学生进行数学软件实际问题解决效率事件展示，使学生真正爱上线性代数这门学科，在加入建模案例信息的基础上增强教学质量和提高教学效率。

3.注重线性代数课程考核形式改进

单就考核制度而言，应以学生自主学习能力培养和学生学习意识培养为主，摒弃传统考核方式，消除闭卷考试形式所带来的束缚，对学生基本知识掌握情况和学生基本理论掌握情况以及学生基本学习方法掌握情况等进行深度考察和分析，有效避免一步错步步错状况产生，及时借用数学软件进行辅助教学，采取开卷闭卷相互结合的基本考核模式，旨在检查学生对线性代数的理解能力和运用能力，并达到深度挖掘学生创新理念和创新思维的目的。在线性代数开卷考察中应以解决实际问题为主，在特定时间段内让学生利用数学软件进行对应数学模型建立，成绩记录时按照比例进行总体期末考试成绩录入，而在闭卷考试中，应适当减少计算量度，将考察学生对基本知识的掌握程度工作放在教学首位。

综上所述，进行线性代数讲解时，教师应适时进行知识背景信息的合理引入以及借助数学软件进行线性代数教学，同时也要及时更新课程考核模式，并使学生喜欢上线性代数课程，锻炼和培养学生动手能力和综合素质，旨在为社会提供实用性人才。

参考文献：

[1]钱国英，白非.注重创新性人才的能力培养 探索合作性学习的教学方式[J]. 浙江万里学院学报. 2007（04）

篇5：线性代数期末复习题详解

(一)单项选择题

1．设A，B为n阶方阵，且ABE，则下列各式中可能不成立的是（A）

2(A)AB

(B)ABAB

(C)BABA

(D)(BA)2E 2．若由AB=AC必能推出B=C（A，B，C均为n阶矩阵）则A必须满足（C）(A)A≠O

(B)A=O

(C)A0

(D)AB0 3．A为n阶方阵，若存在n阶方阵B，使AB=BA=A，则（D）(A)B为单位矩阵

(B)B为零方阵

(C)B1111A

(D)不一定

4．设A为n×n阶矩阵，如果r(A)

(C)A的行（列）向量组中必有一个行（列）向量是其余各行（列）向量的线性组合(D)A的行（列）向量组中必有两个行（列）向量对应元素成比例 5．71．已知向量组1,2,3,4线性无关则向量组(C)(A)(B)(C)(D)12,23,34,41线性无关 12,23,34,41线性无关

12,23,34,41线性无关 12,23,34,41线性无关

6．下列说法不正确的是(A)(A)如果r个向量1,仍然线性无关(B)如果r个向量1,组仍然线性无关(C)如果r个向量1,(D)如果r个向量1,2,,r线性无关，则加入k个向量1,2,,k后，2,,r线性无关，则在每个向量中增加k个分量后所得向量2,,r线性相关，则加入k个向量后，仍然线性相关

则在每个向量中去掉k个分量后所得向量组2,,r线性相关，仍然线性相关

7．设n阶方阵A的秩r

(B)任意r个行向量均可构成极大无关组(C)任意r个行向量均线性无关

(D)任一行向量均可由其他r个行向量线性表示 8．设方阵A的行列式A0，则A中 C(A)必有一行（列）元素为零(B)必有两行（列）成比例

(C)必有一行向量是其余行（列）向量的线性组合(D)任一行向量是其余行（列）向量的线性组合

9．设A是m×n矩阵，齐次线性方程组AX=0仅有零解的充分必要条件是(A)(A)A的列向量线性无关(B)A的列向量线性相关(C)A的行向量线性无关(D)A的行向量线性相关

11．n元线性方程组AX=b，r（A，b）

(B)有唯一解

(C)无解

(D)不确定 10．设A，B均为n阶非零矩阵，且AB＝0，则A和B的秩（D）(A)必有一个等于零

(B)一个等于n，一个小于n

(C)都等于n

(D)都小于n 12．设向量组1,2,,s(s>1，10)线性相关，则（C）由1,2,,i1线性表出。

(A)每个i(i1)都能

(B)每个i(i1)都不能

(C)有一个i(i1)能

(D)某一个i(i1)不能

A的第二行加到第一行得到B，再将B的第一列的(1)倍加13.设A为3阶矩阵，将到第2列得到C，记B

110P010

001（A）CP1AP则：

（C）CPTAP(B)CPAP1

(D)CPAPT

14.若向量组,,线性无关;,,线性相关,则(C)(A)必可由,,线性表示.(B)必不可由,,线性表示(C)必可由,,线性表示.(D)必不可由,,线性表示.15．下列命题正确的是(D)(A)若向量组线性相关, 则其任意一部分向量也线性相关(B)线性相关的向量组中必有零向量

(C)向量组中部分向量线性无关, 则整个向量组必线性无关(D)向量组中部分向量线性相关, 则整个向量组必线性相关 16．设向量组1,2,,s的秩为r，则 D(A)必定r

17．A是m×n矩阵, r(A)=r 则A中必(B)(A)没有等于零的r-1阶子式至少有一个r阶子式不为零(B)有不等于零的r阶子式所有r+1阶子式全为零(C)有等于零的r阶子式没有不等于零的r+1阶子式(D)任何r阶子式都不等于零任何r+1阶子式都等于零 18．能表成向量10,的向量是（B）(A)0,0,0,1,20,1,1,1,31,1,1,1的线性组合0,1,1(B)2,1,1,0

(C)2,3,1,0,1(D)0,0,0,0,0

19．已知11,2,3, 23,1,2,32,3,x 则x=（D）时1,2,3线性相关。

(A)1

(B)2

(C)4

(D)5

20．向量组11,1,2,4,20,3,1,2,330,7,14

41,1,2,0的秩为 C（A）1

（B）2

（C）3

（D）4

21．设A为n阶方阵,且A0，则C(A)A中任一行（列）向量是其余各行（列）向量的线性组合(B)A必有两行（列）对应元素乘比例

(C)A中必存在一行（列）向量是其余各行（列）向量的线性组合(D)A中至少有一行（列）向量为零向量

22．向量组1,2,,s线性相关的充要条件是(C)3

(A)(B)(C)(D)1,2,,s中有一零向量

1,2,,s中任意两个向量的分量成比例 1,2,,s中有一向量是其余向量的线性组合 1,2,,s中任意一个向量均是其余向量的线性组合

23．若向量可由向量组1,2,,s线性表出,则(C)(A)存在一组不全为零的数k1,k2,,ks,使等式k11k22kss成立(B)存在一组全为零的数k1,k2,,ks,使等式k11k22kss成立(C)向量,1,2,,s线性相关(D)对的线性表示不唯一

24．对于n元方程组，正确的命题是（D）(A)如AX=0只有零解, 则AX=b有唯一解(B)AX=0有非零解, 则AX=b有无穷解(C)AX=B有唯一解的充要条件是A0

(D)如AX=b有两个不同的解, 则AX=b有无穷多解

25．设矩阵Amn的秩为r(A)=m

(C)A通过初等变换, 必可化为(Im,0)的形式

(D)若矩阵B满足BA0,则B0.26．非齐次线性方程组AX=b中未知数的个数为n，方程个数为m，系数矩阵A的秩为r，则（A）

(A)r=m时, 方程组AX=b有解(B)r=n时, 方程组AX=b有唯一解(C)m=n时, 方程组AX=b有唯一解(D)r

27．已知1,2,3是齐次线性方程组AX=0的基础解系，那么基础解系还可以是（B）(A)k11k22k33(B)(C)12,23,31 12,23，(D)1,123,32，28．向量组1,2,,r线性无关，且可由向量组1,2,,s线性表示，则 D r(1,2,,r)必（）r(1,2,,s)(A)大于等于

(B)大于

(C)小于

(D)小于等于

T 29．设n元齐次线性方程组AX=0的通解为k（1，2，…，n），那么矩阵A的秩为（B）(A)r(A)=1

(B)r(A)=n-1

(C)r(A)=n

(D)以上都不是

1111的秩为2，则=（D）30．设矩阵A=12233A.2

B.1

C.0

D.-1 31．设n维向量组1,2,,r(Ⅰ)中每一个向量都可由向量组1,2,,s(Ⅱ)线性表出,且有r>s, 则(D)

(A)(Ⅱ)线性无关

(B)(Ⅱ)线性相关

(C)(Ⅰ)线性无关

(D)(Ⅰ)线性相关 32．设1,2,,n是n个m维向量，且n>m, 则此向量组1,2,,n必定(A)(A)线性相关

(B)线性无关

(C)含有零向量

(D)有两个向量相等 33．矩阵A 适合条件（D）时，它的秩为r(A)A中任何r+1列线性相关

(B)A中任何r列线性相关

(C)A中有r列线性无关

(D)A中线性无关的列向量最多有r个 34．若m×n阶矩阵A中的n个列线性无关

则A的秩（C）(A)大于m

(B)大于n

(C)等于n

(D)等于m 35．若矩阵A中有一个r阶子式D≠0，且A中有一个含D的r+1阶子式等于零，则一定有R（A）（A）

(A)≥r

(B)＜r

(C)=r

(D)=r+1 36．要断言矩阵A的秩为r，只须条件（D）满足即可(A)A中有r阶子式不等于零(B)A中任何r+1阶子式等于零

(C)A中不等于零的子式的阶数小于等于r(D)A中不等于零的子式的最高阶数等于r 37.设m×n阶矩阵A，B的秩分别为r1,r2，则分块矩阵（A，B）的秩适合关系式（A）(A)rr1r2

(B)rr1r2

(C)rr1r2

(D)rr1r2 38．R(A)=n是n元线性方程组AX=b有唯一解（C)(A)充分必要条件

(B)充分条件

(C)必要条件

(D)无关的条件 39．矩阵A=11的特征值为0,2, 则3A的特征值为（B)115

(A)2,2;

(B)0,6;

(C)0,0;

(D)2,6;40．A=1122I2AA，则的特征值为（B）111(A)2,2;

(B)–2,-2;

(C)0,0;

(D)–4,-4;41．BPAP,0是A,B的一个特征值, 特征向量是(C)(A)

是A的关于0的特征向量, 则B的关于0的

(B)P

(C)P1

(D)P

242．A满足关系式A2AEO，则A的特征值是 C(A)=2

(B)= －1

(C)= 1

(D)= －2是

022x2的特征值，其中b≠0的任意常数，则x=（D）43．已知－2是A=222b(A)2

(B)4

(C)－2

(D)－4

41771有特征值123,312，则x=（D）44．已知矩阵A=444x(A)2

(B)－ 4

(C)－2

(D)4（提示：用特征值的和等于迹的结论来做较简单，迹的向定义见计算题与填空题17）45．设A为三阶矩阵，已知AE0，A2E0，A3E0，则A4E A(A)6

(B)－ 4

(C)－2

(D)4

46.设A为三阶矩阵，有特征值为1，-1，2，则下列矩阵中可逆矩阵是（D）(A)E-A

(B)E+A

(C)2E-A

(D)2E+A

（二）计算题与填空题

1．A5A6I0，则A31（）

（12A5I）621012,则RBA_____2___ 2．设A是34矩阵,RA2,B11113.设A为3阶矩阵，且|A|2, 则行列式|TTTA3A1|____

（-1/2）

4.11t3,20t5,310t, 当t0,2时, 向量组1,2,3 线性无关.6

5．设1kTTT5,1132,2211,k（）时可被向量组1,2线性表出。

（-8）

6.1001111000113120110010110013 答案：110 349012 7.设122T,1111T,2111T,3111T.则是否为向量组1,2,3的线性组合？

（是）

8． 确定a,b为何值时，使下列非齐次线性方程组有解，并求其所有解.x1x22x33x40x3x5x2x11234.x1x2ax34x41x17x210x37x4b答： 当a1,b4时，解为

1172131，其中

c1c1,c2为任意非零常数;c22020020

当a1,b4时，解为

17211

k0，其中k为任意常数;2020

方程组不存在唯一解.1111，矩阵X满足A*XA12X，其中A*是A的伴随矩阵，求9．已知A11111矩阵X.1101答 ：X0114101

10． 求下列矩阵的特征值与特征向量.102（1）010(2)201

312202.211答案：(1)11,21,33，对应于11的全部特征向量是k10,1,0，k10；

对应于21的全部特征向量是k21,0,1，k20；

对应于33的全部特征向量是k31,0,1，k30.(2)10,231，1

对应于10的全部特征向量是k11，k1为非零常数；

1TTT

对应于231的全部特征向量为

10k22k32，k2,k3是不同时为零的常数； 0111.三阶矩阵A的特征值为11,22,33,则A为（）.(6;1,;A1,A*,A1A2的特征值

1111,;6,3,2;2,4,9.)2323 8

1k1012.设矩阵A121有一个特征向量为2，求k及A的三个特征值.101k答案：k3，A的三个特征值为1,3,4.13．已知向量组

12,1,2,1T,21,1,5,7T,31,2,3,8T,41,1,a,6T,53,0,4,7T 的秩为3，求a及该向量组的一个极大无关组，并用该极大无关组表示其余向量。答案：a2,1,2,4 为一个极大无关组，31204，51024，14． 设向量组11,k,1,2k1,2,1,31,1,k，(1)k为何值时，1,2线性相关？线性无关？

(2)k为何值时，1,2,3线性相关？线性无关？

(3)当1,2,3线性相关时，将3表示为1,2的线性组合.答案：(1)k2时线性相关，k2时线性无关；

(2)k1,2或2时线性相关；k1且k2且k2时线性无关；

(3)当k1时，3102；当k2时，3534142.15设A123012,使得方程组AXb总有解的b是（211(k12310k21k322)1121116.已知向量(1,k,1)T是矩阵A121的逆矩阵A1的特征向量，求常数k

112答案：k1,2

17．矩阵A321315的迹为

。（7）323).定义：对于n阶方阵A(aij)，矩对角线元素之和称为方阵A的迹，记为trA，即

trAa11a22ann，定义2.15 如果矩阵A经过有限次初等变换变成矩阵B，则称矩阵A与B等价，记作AB

（三）证明题：

1.设A为mn矩阵，B为ns矩阵，且AB0，证明rArBn.证 设B(1,2，s)，则AB(A1,A2，As)，由AB0得

Ai0,i1,2，s，所以矩阵B的列向量都是方程组Ax0的解.设rAr，如r0，则结论显然成立.如rn，则方程组Ax0仅有零解，故B0，从而有rArBn.如0rn，则方程组Ax0的基础解系中有nr个线性无关解向量.由于B的列都能由基础解系线性表示，由定理3.12知，rBnr，所以rArBrnrn.T2.证明：对任意矩阵A，有rAArA.

证

设A为mn矩阵，x为n维列向量，如果x满足Ax0，则有

TT

篇6：近世代数期末考试试卷及答案

一、单项选择题(本大题共5小题，每小题3分，共15分)在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。1、6阶有限群的任何子群一定不是（）。A、2阶

B、3 阶 C、4 阶 D、6 阶

2、设G是群，G有（）个元素，则不能肯定G是交换群。A、4个 B、5个 C、6个 D、7个

3、有限布尔代数的元素的个数一定等于（）。

A、偶数 B、奇数 C、4的倍数 D、2的正整数次幂

4、下列哪个偏序集构成有界格（）

A、（N,）B、（Z,）C、（{2,3,4,6,12},|（整除关系））D、(P(A),)

5、设S3＝{(1)，(12)，(13)，(23)，(123)，(132)}，那么，在S3中可以与(123)交换的所有元素有（）

A、(1)，(123)，(132)B、12)，(13)，(23)C、(1)，(123)D、S3中的所有元素

二、填空题(本大题共10小题，每空3分，共30分)请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。

1、群的单位元是--------的，每个元素的逆元素是--------的。

2、如果f是A与A间的一一映射，a是A的一个元，则f1fa----------。

3、区间[1，2]上的运算ab{mina,b}的单位元是-------。

4、可换群G中|a|=6,|x|=8,则|ax|=——————————。

5、环Z8的零因子有-----------------------。

6、一个子群H的右、左陪集的个数----------。

7、从同构的观点，每个群只能同构于他/它自己的---------。

8、无零因子环R中所有非零元的共同的加法阶数称为R的-----------。

n9、设群G中元素a的阶为m，如果ae，那么m与n存在整除关系为--------。

三、解答题（本大题共3小题，每小题10分，共30分）

1、用2种颜色的珠子做成有5颗珠子项链，问可做出多少种不同的项链？

2、S1，S2是A的子环，则S1∩S2也是子环。S1+S2也是子环吗？

3、设有置换(1345)(1245)，(234)(456)S6。

1．求和1；

2．确定置换和1的奇偶性。

四、证明题（本大题共2小题，第1题10分，第2小题15分，共25分）

1、一个除环R只有两个理想就是零理想和单位理想。

2、M为含幺半群，证明b=a-1的充分必要条件是aba=a和ab2a=e。

近世代数模拟试题三

参考答案

一、单项选择题(本大题共5小题，每小题3分，共15分)在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。

1、C；

2、C；

3、D；

4、D；

5、A；

二、填空题(本大题共10小题，每空3分，共30分)请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。

1、唯

一、唯一；

2、a；

3、2；

4、24；

5、9、mn；

6、相等；

7、商群；

8、特征；；

三、解答题（本大题共3小题，每小题10分，共30分）

1、解 在学群论前我们没有一般的方法，只能用枚举法。用笔在纸上画一下，用黑白两种珠子，分类进行计算：例如，全白只1种，四白一黑1种，三白二黑2种，…等等，可得总共8种。

2、证 由上题子环的充分必要条件，要证对任意a,b∈S1∩S2 有a-b, ab∈S1∩S2：

因为S1，S2是A的子环，故a-b, ab∈S1和a-b, ab∈S2，因而a-b, ab∈S1∩S2，所以S1∩S2是子环。S1+S2不一定是子环。在矩阵环中很容易找到反例：

1(1243)(56)

3、解： 1．，(16524)；

2．两个都是偶置换。

四、证明题（本大题共2小题，第1题10分，第2小题15分，共25分）

1、证明：假定是R的一个理想而不是零理想，那么a0，由理想的定 3

1a义a1，因而R的任意元bb1

这就是说=R，证毕。

2、证 必要性：将b代入即可得。充分性：利用结合律作以下运算： ab=ab(ab2a)=(aba)b2a=ab2a=e，ba=(ab2a)ba=ab2(aba)=ab2a=e，所以b=a-1。

—————————————————————————————————————— 一．判断题(每小题2分,共20分)

1.实数集R关于数的乘法成群.（）2.若H是群G的一个非空有限子集，且a,bH都有abH成立，则H是G的一个子群.（）3.循环群一定是交换群.（）4.素数阶循环群是单群.（）

5.设G是有限群，aG，n是a的阶，若ake，则n|k.（）

6.设f是群G到群G的同态映射，H是G的子群，则fH是G的子群.（）7.交换群的子群是正规子群.（）8.设G是有限群，H是G的子群，则GH|G|.（）|H|9.有限域的特征是合数.（）10.整数环Z的全部理想为形如nZ的理想.（）二．选择题(每小题3分,共15分)11.下面的代数系统G,中，（）不是群.A.G为整数集合，为加法； B.G为偶数集合，为加法； C.G为有理数集合，为加法； D.G为整数集合，为乘法.12.设H是G的子群，且G有左陪集分类H,aH,bH,cH.如果H的阶为6，那么G 的阶G（）

A.6；

B.24；

C.10；

D.12.4

13.设S31,12,13,23,123,132,，则S B.2；

C.3；

3中与元123不能交换的元的个数是

A.1；

D.4.14.从同构的观点看，循环群有且只有两种，分别是（）

A.G=（a）与G的子群；

B.整数加法群与模n的剩余类的加法群； C.变换群与置换群；

D.有理数加法群与模n的剩余类的加法群.15.整数环Z中，可逆元的个数是()。

A.1个

B.2个

C.4个

D.无限个 三．填空题(每小题3分,共15分)

16.如果G是全体非零有理数的集合，对于普通乘法来说作成一个群，则这个群的单位元是.17.n次对称群Sn的阶是____________.18.整数加法群Z关于子群nZ的陪集为.19.设N是G的正规子群，商群GN中的单位元是。

20.若R是交换环, aR则主理想a____________.四．计算题(第21小题8分, 第22小题12分，共20分)21.令6123456123456，543212315641621354，计算,.123456

22.设H{(1),(123),(132)}是3次对称群S3的子群，求H的所有左陪集和右陪集，并说明H是否是S3的正规子群.五．证明题(每题10分,共30分)

23.设G是群，H是G的子群，证明：aG，则aHa1也是子群

24.设G是群，H是G的正规子群.G关于H的陪集的集合为

GH{gH|gG}，证明：G/H对于陪集的乘法成为一个群，称为G对H的商群.25.证明：域F上全体nn矩阵的集合MnF在矩阵的加法和乘法下成为环.一．判断题(每小题2分,共20分)

1-10 ××√√√ √√√×√ 二．选择题(每小题3分,共15分)11.D；12.B；13.C；14.B；15.B.三．填空题(每小题3分,共15分)16.1； 17.n!；18.nZ,nZ1,,nZn1；

19.N；20.aR.四．计算下列各题(第21小题8分, 第22小题12分，共20分)

21.解：123456546213，4分 6

1123456.8分

31264522.解：H的所有左陪集为

H{(1),(123),(132)}，(23)}4分

12H{(12),(13),；H的所有右陪集为

H{(1),(123),(132)}，H12{(12),(13),(23)}.对S3，有HH，即H是正规子群.12分 五．证明题(每题10分,共30分)

23.证明：因为H是G的子群，对任意x,yH，有xyH.4分 由题意，对任意

1,ax,yH，有ax11ay1aa，a从H而

axaay111aaxy11aaHa1，即aHa1也是子群.10分

24.证明：首先G3分 H对于上述乘法是封闭的，且乘法满足结合律.陪集HeH是它的单位元，eHgHegHgH,gH.7分 又任意gH，有gHgHeHgHgH，即gH是gH的逆元.10分

25.证明：MnF关于加法是封闭的，且满足结合律， 3分 零元是0nn，对任意AnnMnF，有AnnAnn0nn，即Ann的负元是Ann.111MnF关于乘法是封闭的，且满足结合律，单位元是Enn. 8分

篇7：深圳大学线性代数期末

1．（1）×；

（2）×；

（3）×；

（4）×。

篇8：深圳大学线性代数期末

在物理学领域中, 非线性科学得到了最为活跃的应用, 非线性科学中的非线性物理逐渐成为了物理学中的重要组成部分。但是, 我国在实际的物理教学当中, 非线性物理没有引起教师以及学生的高度重视, 导致非线性物理的内容在教学中被严重忽略, 对物理教学的质量和效果都造成了严重的影响。

1 非线性物理的概述

1.1 非线性物理的定义

学术界给非线性物理所下的定义是采用非线性的方程对物理系统的规律进行描述的一种物理系统就是非线性的物理, 非线性物理系统的一个必要特点是这个物理系统的输入与输出不成比例。

1.2 非线性物理的主要内容

非线性物理学主要研究的内容有四个方面, 分别是混沌理论、分形理论、孤立子理论以及复杂科学系统。其中混沌理论中的混沌现象是广泛存在于自然现象中的, 同时, 不管是在数学领域中、物理领域中还是社会领域当中, 混沌现象都具有相同的费根鲍姆常数, 其费根鲍姆常数如公式1所示。到目前为止, 混沌理论已经在保密、通讯以及复杂系统行为中的短期预报方面得到了广泛的应用。

分形理论主要是指其组成部分通过某种方式组成与整体相似的图形, 这种分形图形具有自相似性的特定, 主要研究领域是对那些不能用普通的长度、面积以及体积等来表示的不规则物体的性质。

孤立子理论是自用由两个不同速度的孤波在相互碰撞之后能够依然保持其各自的波形和行进的速度, 这种孤波具有很强的稳定性, 经研究发现, 处理在水波中存在着孤波现象, 等离子体物理和固体物理等物理学领域中也存在着孤立子。

1.3 非线性物理的特点

非线性物理有以下几个方面的特点, 这几个特点是针对线性物理而言的。首先从运动形式上来看, 非线性物理是一种从规则运动向不规则运动转变的一个过程;其次从非线性物理对外界的影响上来看, 非线性物理能够是系统的运动形式发生质的变化;然后从连续介质的波动上来看, 在非线性作用下, 能够形成和维持空间的规律性和整体性结构。

2 大学非线性物理教学的现状和问题

近几年来, 为了适应现代科技的不断发展和更新, 提高本科理工科学生的科学素质和创新能力, 把非线性物理的内容引入到大学物理的教学当中, 有关专家和学者为此积极研究和尝试, 但是, 在大学物理的教学当中, 非线性物理教学依然存在着多方面的问题。

首先, 从课程安排方面来看, 大学物理课的课时不断减少, 但是在大学物理学当中, 物理学内容较多, 课时的不断减少使得非线性物理学的教学受到了严重的影响。

其次, 从非线性物理教学的内容上来讲, “一多、三少”的现象十分严重, 目前我国大学非线性物理教学的内容当中存在的现象是多介绍非线性物理的现象, 而关于非线性物理控制方面的内容十分少, 非线性物理控制内容本身就比较深奥难懂, 而教学过程中关于这方面的内容有相对较少;同时, 内容不足的方面还包括非线性物理的应用知识和非线性物理现象的课堂教学。

第三, 在非线性物理的实验教学当中, 由于非线性物理实验对实验要求和条件十分苛刻, 非线性物理实验的设备和仪器也十分有限, 导致教学中普遍没有进行实际的实验操作, 有实验操作的学校采用的是建立在EDA软件的基础之上的仿真实验。

第四, 从非线性物理的教材方面来看, 经调查研究发现, 到目前为止我国本科学校中难以找到较为实用的专门性非线性物理教材, 非线性物理的教学仅仅作为大学物理教学中的一部分内容被编入到大学物理教材当中。

3 大学物理教学中引入非线性物理的必要性

在大学物理教学当中引入非线性物理的必要性有以下几点:

首先从非线性物理的特点上来看, 由于非线性物理现象广泛存在于自然界当中, 非线性物理作为物理学中一个重要的组成部分, 在非线性物理学飞速发展的阶段, 对于非线性物理理论的了解和掌握就显得十分重要。

其次, 在近现代物理学的学习和研究当中, 非线性物理是重要的组成部分, 科学技术的高速发展也决定了非线性物理在大学物理教学当中的重要性, 促使非线性物理有必要渗透到大学物理教学当中。

再次, 从我国大学教学的目的来看, 大学教学的主要目的是为社会培养适合社会发展需要的创新性人才, 提高大学生的创新能力, 适应社会发展和科技进步的需要。非线性物理的教学能够有效的促进学生的全面发展, 显著提高学生的创新能力。

4 非线性物理的引入

要在大学物理教学当中引入非线性物理, 进一步促进非线性物理的实践教学, 把非线性物理渗透到大学物理教学当中, 具有以下几个方面的措施。

第一, 非线性的物质世界要求我们必须要用非线性的眼光看待世界。因此, 作为教师, 要把非线性物理引入到大学物理教学当中, 教师要改变学生的观念, 作为教师, 首先需要通过各种方式改变自身的教学观点, 然后在积极有效的引导学生改变物理学观念。

第二, 从非线性物理的内容和教材方面来看, 需要根据非线性物理的成熟、稳定和基础性的非线性理论知识, 把具有共性的基本概念和非线性现象引入到非线性物理专门教材当中。在基本概念方面, 比如吸引子、极限环、费根鲍姆常数等;在非线性现象方面, 比如孤子波、混沌、自相似等。

第三, 从非线性物理的引入方式来看, 一方面, 引入非线性物理实验要与教学的实际内容结合起来, 做好教学接口;另一方面, 要根据大学生的专业特点合理的引入相关实例, 做到实例具有侧重性和选择性。

5 结语

总而言之, 在这个非线性科学迅猛发展的时代, 要进一步促进非线性物理的发展, 提高大学物理教学的质量和效果, 培养大学生的创新思维能力, 为社会培养适应社会发展需要的人才, 就需要积极有效的把非线性物理引入的大学物理教学当中, 不断提高学生对非线性物理现象的认识, 从而进一步推动非线性科学的发展。

摘要：社会是不断发展变化的, 教育的内容也是随着社会的发展而不断变化和更新的, 物理学这门课程包罗万象, 在不断研究和发展的过程中实现了从线性物理到非线性物理的飞跃。在大学物理教学当中, 非线性物理是其中一个重要的内容。为了促进大学物理教学中非线性物理的引入, 不断提高大学物理教学的质量, 文章以大学物理教学中的非线性物理为主要研究对象, 对大学物理教学中非线性物理的引入和实践应用进行深入的研究。

关键词：大学物理,非线性物理,实践

参考文献

[1]官邦贵;章毛连;秦炎福;何恩节.应用型本科大学物理课程教学改革的研究[J].安阳师范学院学报.2010.05.23-26