定义是用比较简单具体的概念来描述比较复杂抽象的概念

定义是用比较简单具体的概念来描述比较复杂抽象的概念（精选3篇）

篇1：定义是用比较简单具体的概念来描述比较复杂抽象的概念

定义是用比较简单具体的概念来描述比较复杂抽象的概念。比如速度可以如下定义：运动物体的位移和产生此位移所用时间的比叫物体运动的速度。可以看出速度是用位移和时间两个简单的概念来描述的。如果用“力是物体之间的相互作用”作为力的定义，那么首先就要了解，什么叫“作用”。但是什么叫“作用”呢？比如我生病了，吃了药对我的病毫无作用。这是力吗？再如：老师批评学生说：“我已经说过你多少次了，怎么对你毫无作用？”这也是力吗？当然不是。因此，我们现在只能就一些实例来引入力的概念。不能称为力的定义。

篇2：定义是用比较简单具体的概念来描述比较复杂抽象的概念

1.问题的产生

在一次练习中,学生碰到了如下问题:

已知函数f(x)的定义域为(-1,0),则函数f(2x-1)的定义域为_______

这是一道典型的复合函数定义域的求解问题,也是学生最头疼,理解上最易混淆的题型.常见的错误解法为:

f (x ) 的定义域 为 (-1 ,0 ) , 所以x∈ (-1 ,0 ) , 于是2x -1∈(-3,-1),即f(2x-1)的定义域为 (-3,-1).

经过老师的耐心讲解,学生认识到,函数f(2x-1)的定义域应该是求x的取值范围,而2x-1应该满足f(x)的定义域 为(-1,0).所以正确的解法是2x-1∈(-1,0),解出x∈(0,1/2),即f(2x-1)的定义域为 (0,1/2).

尽管学生听懂了老师的解法, 但是似乎理解上依然存在困惑.随后,为了了解学生是否真正掌握了该类问题,笔者又给出了该题的变形:

已知函数f(2x-1)的定义域为(-1,0),则函数f(x)的定义域为______

两道类型相似的题放在一起, 学生的思维一下子就混乱了,实在搞不清哪种解法对应哪种题.经过反复练习后,还是有很多学生会出错,停留在似懂非懂的阶段,而即便能给出正确解答的同学,也说不个所以然来,只是机械地记忆解题套路罢了.

通过对学生的调研,了解学生对该问题的思考发现,学生在以下方面不理解:

1.f (x) 的定义域指的是的取值范围 ,f (2x-1) 的定义域也是指x的取值范围, 那这两个函数的定义域到底哪个是x的取值范围?

2. 一会儿是x∈(-1,0), 一会儿又是2x-1∈(-1,0), 变形题中只是将f(x)换成了f(2x-1),条件的数值都没有变,怎么整个解答过程就不一样了?

3. 在这类题中 , 函数没有 具体的表 达式 , 只是抽象 的表示,这些抽象函数的实际意义到底是什么?

2.对问题的研究

学生的这些困惑中,我们不难发现一些问题,一是不少学生解题都是靠记忆解题方法而不是理解其实质, 解题时重形式而忽略理解.二是不少学生不理解函数的定义域是什么,函数的定义域就是求x的取值范围这种观念根深蒂固.

因此, 造成学生困惑的根本原因就是对函数概念本身的理解不到位, 对函数片面不深入的理解导致了学生认识上的偏差,在解题时就只能凭借形式化的解题过程,对于其中出现的各种变量不能理解其意义.

学生在初中所学习的函数定义为: 设在某变化过程中有两个变量x和y,如果对于x在某一范围内的每一个值,y都有唯一确定的值和它对应,那么,y叫x的函数,x叫自变量.

这一定义很直观,学生容易理解,因为它适合初中生的生理和心理特点, 但是它对函数的本质———对应关系缺乏充分刻画,未能强调函数是x,y双方变化的总体,而把变量y定义为x的函数 ,以至形成一个学生中具有普遍性的错误 ,认为y就是函数.

高中函数定义是在集合概念基础上给出的, 即当A、B为非空数集时,如果按照某种对应关系f,对于集合A中的任意一个数x,在集合B中都存在唯一确定的数y与之对应,那么就把对应关系f叫做定义在集合A上的函数.记作f:A→B,或y=f(x),x∈A.在学习了映射后 ,函数概念可以叙述为 :设A、B为非空数集,f是A到B的一个映射,那么映射f:A→B叫做A到B的函数.这种定义强调了函数是A、B、f三者的整体, 是一类特殊的映射.显然此定义接近以集合论为基础的现代函数定义. 此定义与初中定义相比,舍去了“变化”这一非本质的特征,突出了“对应”的思想,这有助于学生对函数本质的理解,促使学生的思维方式由直观向抽象转变,对学生的思维提出了更高的要求.

这种定义方式采取由传统定义逐步过渡到现代定义的编排方式,符合人类认识由低级到高级的规律.然而学生并不能够很好地适应这样的定义方式, 在理解上常常是片面的.比如,学生对函数的认识往往固化为f(x),先入为主地认为函数就应该是一个表达式,x代表定义域,f(x)代表值域.

因此我们不得不反思:学生在初中所学习的是片面的不完整的定义, 在教学时教师应当如何设计教学才能让学生转变以往根深蒂固的对函数概念的认识,更接近其本质?

3.函数概念教学的反思

在数学历史上,函数概念的定义也是不断发展的,函数概念来源于实际, 应用于实际, 并在应用中不断发现自身的缺陷,使其进一步完善,从而促进了数学的发展,同时,数学的发展又为函数概念的形式化与严密化提供了良好的条件. 将函数看成是一类映射,更接近函数的本质.

在函数的概念教学过程中,我们应当加强“映射”这一概念,让学生认识到函数不是一个或几个表达式,而是一种“映射”,是从一个数集到另一个数集的对应关系.在训练学生对函数的理解上时, 不应该只有表达式, 而是要强化学生对符号、图形的解读能力.

在函数的概念教学中,我们经常会借助下面的图形帮助学生理解函数概念:

这张图非常直观地表现了函数的形成过程, 各个符号的意义:f是建立在两个集合之间的函数,集合A中的每个元素都在函数f(x)的定义域中.而对于f(x)这个函数符号,我们更应该把它理解为函数f作用在元素上x.在真正理解了这张图的基础上,我们可以进一步加深函数的概念:

对于这张图的解读, 将检验学生对函数概念真正的理解程度,我们可以设置以下几个问题:

1.这里一共有几个函数 ?

2.每个函数所对应的定义域是哪个集合 ?

3.这几个集合中的元素是怎样形成的 ?

在这张图中,一共建立了从f:A→B,g:B→C,以及g。f:A→C三个映射,所以一共可以看成有三个函数,而A→C这个映射由两个映射f和g共同组成,这就是复合函数g[f(x)].而对于这三个映射,箭头“起始”集合便是所代表函数的定义域.

如果我们从映射的角度理解文章开头时提出的问题,或许更易于理解:

函数f (2x-1) 应该看成两个函数的复合:g (x)=2x-1与f(x),在这里g(x)与f(x)仅仅是代表两个函数的符号 ,我们不能认为写成f(x)就意味着映射f是作用在x上的.在这整个的变化中,x先由映射g作用变成2x-1,然后2x-1再由f作用变成f(2x1),函数f(2x-1)的定义域对应着集合A,而函数f(x) 的定义域则对应着集合B,而集合B中的元素是集合A中的元素x先由映射g作用变成了2x-1.

通过这张图表,我们就可以理顺各个概念间的关系,在实际解题中可以帮助学生快速找到解决问题的方向. 以文章开头的两道问题为例:

先画出整个问题中出现的对应关系图:

1. 若已知条件是f (x) 的定义域为 (-1,0), 则映射f的起始集合B为其定义域,所以B中的元素2x-1∈(-1,0),此时可以反解出集合A中的元素x的范围是(0,1/2),即为函数f(2x-1)的定义域.

2.若f(2x-1)的定义域为 (-1,0),函数f(2x-1)的起始集合为A,所以A中的元素x∈(-1,0),此时可以解出集合B中的元素2x-1的范围是(-3,-1),即为函数f(x)的定义域.

4.对教学的启示

笔者采用改进后的讲解方法对该类问题向学生进行了解释,学生在函数概念的理解上有了明显的改进,对于该类抽象函数定义域的求解问题基本上能够从容应对了, 该问题似乎暂告一段落,但是通过对这类问题的研究,对于教师教学应当有更多的启示:学生在接受新知识时,都要经历一个从陌生到熟悉的过程,由于接触时间的不足,并不能像老师那样做到融会贯通,理解一个新知识是需要花时间的,教师应当从学生思维的疑惑点出发,分析学生在理解上出现的障碍,有针对性地设计教学方法.学生在解题时,往往采用形式化的记忆,即只是单纯地记忆解题步骤,而对于其来龙去脉缺少理解,当题型出现变化时, 解题就会出现混淆, 对于抽象程度较高的知识点, 教师可以设计一些有实际意义的图像帮助学生理解问题的本质.

摘要：本文从研究一类抽象函数定义域的求解问题出发,反思在函数概念教学过程中学生对函数概念的理解和掌握程度,思考函数概念的教学方法,在教学中应当设计有实际意义的图形或问题帮助学生理解抽象函数.

篇3：定义是用比较简单具体的概念来描述比较复杂抽象的概念

关键词 离散数学；关系；笛卡尔积

中图分类号：G642.4 文献标识码：B 文章编号：1671—489X（2012）30—0094—02

离散数学是信息学科尤其是计算机学科的一门重要的专业基础课程，它的主要研究对象是离散结构及其应用，为计算机理论和应用提供必不可少的数学基础及思维方法。其理论和方法大量地应用在数字电路、编译原理、数据结构、操作系统、数据库系统、算法的分析与设计、人工智能、计算机网络等专业课程中，同时也为计算机应用提供必要的数学工具。

然而，该学科的知识点分散、概念抽象，给学生学习和理解带来很大困难。如何学好这门课，对计算机学科的学生来说显得特别重要；如何教好离散数学，从而提高教学质量，是有关教师应该努力探讨和研究的。

本文主要探讨离散数学中关系的教学方法，期望对类似的问题能有参考意义。

1 关系的重要性

关系是离散数学中用来刻画事物之间联系的一个重要的概念，在计算机科学与技术领域中有着广泛的应用。关系数据库模型就是以关系及其运算作为理论基础的[1]。图论中的一个图，实际上也就是相关对象集合上的一个关系。正确理解关系的概念以及關系模型，对于利用关系模型来进行数学建模尤其重要。

2 关系的定义及集合表示

定义1：（二元关系）假设A和B是两个集合，A与B的笛卡尔积A×B的一个子集合，叫做一个A到B的二元关系[2]。

定义2：（多元关系）假设A1，A2，…An是n个集合，它们的笛卡尔积A1×A2×…×An的一个子集合，叫做一个A1，A2，…An间的一个n元关系[3]。

以上的两个定义分别是二元关系和多元关系的定义，但无论是哪个定义，都似乎跟实际中的关系有很大距离，学生很难想象如何将实际中的关系跟这些个抽象的定义联系起来，他们必然要问：为什么要这样定义关系？

现实中的关系一般指事物之间或者对象之间的某种或者某些联系，这些对象之间的关系，也同样可以说是集合的元素之间的关系，以下是一些实际关系的例子。

【例1】四支球队a、b、c及d队，他们之间进行了一些比赛，以下一张表格记录了他们之间的比赛结果——胜负关系：a胜b、b胜c、c胜a、d胜a、d胜b、d又胜了c。为了简单起见，用（a，b）来表示a胜b，于是可以将所有胜负重新记录表示成{（a，b），（b，c），（c，a），（d，a），（d，b），（d，c），（d，b）}。这就是一张胜负表，该表清楚地表现了这四个队a、b、c、d之间的胜负关系，它就是这四个队之间的一个关系——比赛胜负关系。

当用集合S表示4个队时，S={a，b，c，d}，那么胜负关系表{（a，b），（b，c），（c，a），（d，a），（d，b），（d，c），（d，b）}就是S与S的笛卡尔积S×S的一个子集。也就是说用这个子集合表示了这四个队之间的某轮比赛的胜负关系。

【例2】一个电话号码簿，它里面记录了很多单位或个人的一些电话号码。不难理解，一个号码本就是一个集合。这个号码本也就是这个集合表示了人和单位跟一些电话号码之间的一种关系，它是一个实实在在的关系。如果用A表示所有有关的单位和人的集合，用B表示所有相关的电话号码的集合，简单地用（a，b）表示a的电话号码是b，其中a∈A，b∈B分别表示A中的一个元素（单位或者人）和B中的一个号码。那么所有这些有关的序对（a，b）就构成电话号码本，就构成这个号码集合。可以看出这个集合正好是A与B的笛卡尔积A×B的一个子集。当有人或有单位的号码发生变化，这个号码本也相应地发生变化，变成另外一个号码本，也就是另外一个集合，另外一个子集合，但仍然是A×B的一个子集。

【例3】（学生、课程、成绩之间的关系）假设用集合A表示某大学计算机学院的所有学生，B集合表示计算机学院的所有课程，C集合表示不大于100的非负整数的集合，那么学生张三的离散数学考试成绩是95分，就可以表示成（张三，离散数学，95）。将计算机学院所有学生所有课程的这样的记录放在一起，就是一张成绩表，也就是教务管理中的成绩库。那么这个成绩库就是一个集合，这个集合表示的是计算机学院学生，课程和成绩三者之间的一个关系。而这个集合恰好是集合A、B、C的笛卡尔积A×B×C的一个子集。

以上三个例子都说明了同一个问题：无论是一个集合内部元素之间的关系，还是不同集合的元素之间的关系，还是多个集合元素之间的关系，都可以表示成相关集合的笛卡尔积的子集。把笛卡尔积的子集当成一个数学模型，那就可以用这个数学模型来表示关系，包括二元关系和多元关系[4]。

3 抽象关系的具体解释

设集合A={a，b，c，d}，S={（a，b），（c，d）}，显然，那么根据定义1，S是A集合到A集合自身的一个二元关系。这个关系看似是抽象的，但当给a、b、c、d赋予具体的含义，分别表示成张三、李四、王五和赵六4个人，而（x，y）表示为x与y是朋友，那么二元关系S就表示成4个人之间具有的一个朋友关系。其中，张三跟李四是朋友，王五跟赵六也是朋友，但其他人之间都不是朋友。即便是空集，即空关系，在这里可以理解为集合A的人之间没有人有朋友关系。

当然根据不同的情况，也可以给出另外的含义和解释。比如说a=5、b=10、c=3、d=9，那么上面的关系S可以解释为集合A={5，10，3，9}中元素间的整除关系。

这个例子说明，一些集合的笛卡尔积的任何一个子集，也即任一个关系，都可以在某些场合中解释对应为实际的关系。

4 结论

综合上面所述，任何一个现实中的具体的关系，都可以用一个笛卡尔积的子集这个数学模型表示出来；任一个抽象的关系，在给集合的元素赋予具体的含义后，都可以对应地解释为一个实际问题中的具体关系。这样就建立起来笛卡尔积子集跟关系之间的联系，学生再来理解关系的概念也就不再有难度了。通过这样讲解后，也能给学生如何利用数学模型、数学工具表示实际问题的体会。

5 教学中的几点建议

1）离散数学概念繁多，而且抽象。教学时，最好多讲一些相关的应用背景知识，提高学生的学习兴趣和积极性。然后多举一些实际的例子，讲解从具体实例抽象到数学模型、数学概念的演绎过程，对学生学习理解抽象的数学概念，提高抽象思维能力是很有帮助的，同时对于学生以后学习数学建模也是很有用的。

2）鼓励学生自己举例，能够加深对知识的理解，同时提高学生应用知识的能力。

参考文献

[1]屈婉玲，耿素云，张立昂.离散数学[M].2版.北京：清华大学出版社，2009.

[2]Rosen K H. Discrete mathematics and Its Applications[M].4版.北京：机械工业出版社，2007.

[3]洪凡.离散数学基础[M].3版.武汉：华中科技大学出版社，2008.