奥数基础问题和差问题

奥数基础问题和差问题（精选6篇）

篇1：奥数基础问题和差问题

和差问题奥数练习题解析

1。和差问题

和差问题奥数练习题：甲、乙两人同时打字，2分钟共打了240个字，已知甲每分钟比乙多打10个字。问甲、乙两人每分钟各打多少个?

解答：甲(240÷2+10)÷2=65(个)

乙65—10=55(个)

【小结】首先要理解2分钟共打了240个字，那么甲、乙两人一分钟就打了240÷2=120(个)。这样就转换成典型和差问题了。

方法一：甲(240÷2+10)÷2=65(个)乙65—10=55(个)

方法二：乙(240÷2—10)÷2=55(个)甲55+10=65(个)

2。还原问题

猪八戒化斋讨来一些馒头。第一次吃了一半，觉得不够，第二次又吃了剩下的一半，还是觉得不够，第三次又吃了一半，最后还是有点馋又偷偷吃了3个馒头，觉得饱了。把剩下的给师傅们吃，孙悟空一看发现篮子里只剩下5个馒头了。猪八戒一共讨回来多少个馒头?

解答：(3+5)×2=16(个)

16×2=32(个)

32×2=64(个)

【小结】倒推法：(1)第三次没吃之前还剩：(3+5)×2=16(个);(2)第二次没吃之前还剩：16×2=32(个);(3)第一次没吃之前还剩：32×2=64(个)，猪八戒一共讨回了64个馒头。

篇2：奥数基础问题和差问题

戴氏精品堂学校白马寺校区

数学

小学三年级

第11讲

刘老师

和差问题

已知大小两个数的和及它们的差，求这两个数各是多少，这类问题我们称为“和差问题”。解答和差问题通常用假设法，同时结合线段图进行分析。可以假设小数增加到与大数同样多，先求大数，再求小数；也可以假设大数减少到与小数同样多，先求小数，再求大数。它的数量关系式可以这样表示：

（和+差）÷2=大数（和－差）÷2=小数

例题

1、期中考试王平和李杨语文成绩的总和是188分，李杨比王平少4分，两人各考了多少分？

例题

2、哥弟俩共有邮票70张，如果哥哥给弟弟4张邮票后还比弟弟多2张，哥哥和弟弟原来各有画片多少张？

1、两筐水果共重124千克，第一筐比第二筐多8千克，两筐水果各重多少千克？

2、小宁与小慧的身高总和是264厘米，又已知小宁比小慧矮8厘米，两人身高分别是多少厘米？

戴氏教育集团

戴氏精品堂学校白马寺校区

数学

小学三年级

第11讲

刘老师

3、三（1）班和三（2）班共有学生124人，如果从三（2）班调2人到三（1）班，两班学生同样多，三（1）班、三（2）班原来各有学生多少人？

4、一只两层书架共放书72本，若从上层中拿出9本给下层，上层还比下层多4本，上、下层各放书多少本？

5、姐姐和妹妹共有糖果39块，如果姐姐给妹妹7块后就比妹妹少3块，那么姐姐和妹妹原来各有糖果多少快？

篇3：奥数基础问题和差问题

当前多数奥数班强调“做题”训练, 为学生提供大量学习资料, 帮助他们准备考试, 也许还帮助他们通过了考试, 目的不是让学生进行系统学习, 而是教给学生解决某些偏题的技巧, 试图通过大量的训练来锻炼孩子的思维.其实做题获得的仅是“呆滞的知识”, 仅仅做题的数学教育很难超越知识教育, 有时甚至连知识教育都不是, 更谈不上数学思维能力的提升, 由于过于超前和繁难, 结果不仅是学生数学学习能力无法提高, 原有的一些兴趣、好奇心和创造力也可能被扼杀.在培训内容上, 奥数一般要超前于所学内容三、四个年级的水平, 难度太大, 违反了学生的认知规律.由此, 无论从培训方式还是培训内容上讲, 当前奥数教育都是对学生数学智力的掠夺性开发.

一、什么是“奥数”

数学奥林匹克活动, 即解决数学难题的竞赛.最初可以追溯到16世纪初.当时, 很多著名的数学家喜欢提出问题 (包括自己知道和不知道答案的) 向其他的数学家挑战.这些挑战构成了最初的数学竞赛.1959年举行了第一届国际数学奥林匹克 (IMO) .

奥数是高等数学与初等数学的交叉, 所涉及的内容有着高等数学、甚至前沿数学的背景, 有相当一部分内容是不能在中学讲授的, 它由国际数学教育专家命题, 经过命题专家们的特殊化、初等化的处理, 变成了只需要具备初等的基础数学知识就能够认识、理解和解决的奥数问题.它与常规数学有着本质的区别, 它是在对称、极限、连续等基本数学思想下, 激发和训练孩子的求异思维, 难度、深度都大大超出中小学的教材, 仅有运算能力和应试经验是远远不够的, 所以奥数也是“高难度数学题”的代名词, 是专为对数学有特殊兴趣的学生而设的竞赛活动.最初被引入我国时, 是作为一种选拔智力超常、能成为数学家潜质儿童的工具.

奥数最主要的功能应该是培养学生思维和数学兴趣.奥数的本质是数学, 所以不离开学习数学的意义, 即数学思维和数学精神.

而目前社会上的奥数班, 不是严格意义上的奥数教育, 很多是打着“奥数”的幌子搞应试教育, 其课堂多半是对同一题型的反复练习, 以达到解决奥数难题为目的.训练是技能层面的, 不管如何训练最多只是熟练技能, 很难转化为能力.能力的提升必须以思维为导向, 过早地让学生学习奥数技巧, 而不是体验和掌握思考的方法, 会逐渐泯灭孩子独立思考的能力, 阻碍其创造性思维的发挥.

丘成桐曾说, 获得奥赛只能证明考试能力而不能代表数学能力.

二、奥数“热”的主要原因

1.“名校热”导致“奥数热”

以前奥数并没有现在这样“热”.奥数升温是由于民办学校招生, 而学校又拿不出衡量、选择学生水平的标准造成的.一些重点中学对学生进行成绩测试选拔, 由于报名的学生人数较多, 一些学校为了能够优中选优, 在出题时就会选择一些“奥数”题目以拉开距离.如今奥数已经渗透到了中小学的每一个角落, 优秀的奥数成绩就成了很多孩子叩响名校的敲门砖.而实际上, 庞大的奥数学生队伍中, 只有1%—2%的学生能考取相应奖项被名校录取.也就是说, 98%—99%的学生学奥数, 只是起到陪练的作用.好学校数量有限, 而让孩子上好学校的期望值却在不断攀升, 不可调和之下, 本来用于培养选拔少数人的奥数被彻底异化, 成为活跃于学校教育体制之外, 却又对学校教育产生着巨大制衡作用的选拔利器.家长之所以舍得花钱给孩子报各种名目的班, 其目的并不在于孩子本身素质的提高, 而在于以此作为工具获取优质教育资源.因此, 奥数热的本质在于优质教育资源的稀缺, 最终演变的结果是上“兴趣班”并不是孩子有兴趣, 上“特长班”并不需要孩子有特长.我国的奥数早已偏离了发现人才、开拓数学未来的初衷了, 各类“奥数”总体上已经丧失了培养人的目的, 沦落为竞争的工具.也难怪我国奥数热了十多年并没有真正选拔出数学人才.

2. 奥数背后的经济锁链

有些民办学校为了标榜自己的办学特色, 列出一批奥数获奖名单, 以吸引生源.也有一些出版社为了经济效益把一些竞赛试题汇集, 包上奥数封皮实现商品化.奥数热的升温还有一些学校教师方面的原因, 一些教师将学生在竞赛中获奖作为评优、晋级的砝码, 无形中为奥数热推波助澜.

中央电视台的《经济半小时》在评论奥数时说:“在奥数背后是一场成年人的利益之争, 成年人靠奥数班敛财, 研究机构靠炮制奥数教材赚钱, 他们利用了当前的择校机制, 一手扮演了裁判, 一手扮演了运动员, 把孩子和家长往奥数培训机构里驱赶.”“要致富, 教奥数”.“奥数热”的直接结果就是导致了包括教育培训、教材出版、房屋租的巨大“奥数经济”的蓬勃发展.

3. 家长望子成龙的心理

家长多是抱着三种心态带孩子学奥数的:

⑴考名校.绝大部分学生是被家长哄或者被老师推荐到奥数班里去的, 尽管不少家长明明知道自己的孩子并不喜欢数学, 学费也不便宜, 但他们依然硬着头皮千方百计要让孩子挤进奥数班, 甚至有家长为了让孩子被公办学校“智优班”录取, 逼孩子请假几个月在家专攻奥数.

(2) 从众.还有一些家长是由于攀比心理作祟, 看到左邻右舍甚至整个小区里的小孩都参加奥数学习, 自己的小孩如果不去, 就是做家长的不称职, 不能让小孩输在第一步.

(3) 多学没坏处.许多家长透露, “大部分奥数题自己也不会做.”所以, 很多家长担心孩子不进奥数班会吃亏, 从小就把孩子交给奥数老师, 让他们学会运算技能, 即使得不了奖, 学学也没坏处.

这样一来, 使本就课业负担重的中小学生, 身上又“加负”了, 也导致很多中小学生的学习积极性大大降低.

三、奥数热对中小学生产生的不良影响

奥数热在某种意义上讲, 正在扼杀我们的天才.

1. 奥数热不利于学生数学智力的可持续开发

作为一种数学竞技, 奥数不是所有年龄阶段的孩子都可以参与的.当前奥数教育有两个不良的倾向, 低龄化与泛化.调查表明, 64%的学生参加过两年或两年以上的奥数学习, 大部分小学生是从一年级开始学习奥数的, 过分低龄化.除此之外, 小学奥数教育泛化现象也极为严重, 很多学校80%～90%的学生都在学习奥数.

2. 奥数热加剧了教育不公平

奥数热出现的直接原因是择校热, 但是奥数热出现之后又进一步强化了当前的择校机制, 加剧了教育不公平.奥数教育是有偿教育, 其背后意味着沉重的经济负担.奥数热加剧了教育过程的不公平.

3. 奥数热加重了学生的负担

中国青少年研究中心副主任孙云晓曾说过:“对于绝大多数孩子来说, 学习奥数的过程, 就是让大多数孩子证明自己是傻瓜的过程.”被送去学习奥数的孩子千千万, 但对奥数感兴趣的, 真正能听懂的孩子又有几个呢?中央电视台的《经济半小时》中采访的几个孩子大都说自己听不懂奥数课, 但是班上90%以上的同学都在听.可想而知, 对于不感兴趣听不懂的课程, 却又必须要听, 对中小学生来说真是一种折磨.

在奥数班火爆的今天, 奥数课却成了一些中小学生的噩梦.本应学习最基础数学知识的二、三年级小学生, 竟要掌握初中甚至高中、大学的内容.另一方面, 奥数学习占了大量业余时间.有调查表明, “61%的学生利用双休日参加奥数学习, 10%的学生寒暑假里也参加过奥数学习.利用课余时间学奥数的学生, 课时安排为每天1-2小时, 利用双休日学习的学生中, 有81%在双休日中的一天上奥数班, 另有19%的学生双休日的两天都要上奥数班”.

学生对奥数学习是很无奈的.一边是家长们无比期盼获得好成绩能进名校的心情, 一边是像天书一样的课程.孩子们也有很多苦恼, “奥数”变“懊数”.有些学生本来是喜欢数学的, 但奥数题太难, 经常是一看到数学题, 大脑就一片空白, 奥数题老是让人体验失败的感觉.从事青少年心理健康研究的陈宇红老师说, 奥数对学生是一种拔苗助长式的教育方式, 会给学生心理造成极大伤害.将奥数等竞赛教育扩大化会让大多数中小学生心理上无所适从.

四、奥数教学的改进策略

奥数本意是培养学生的数学思维能力, 培养数学方面的优秀人才, 是解决“大众数学”与“前20%学生数学发展”关系的一种途径.在目前的班级授课制度中, 一个班几十个学生, 他们的数学能力上、中、下, 参差不齐, 这样势必在不同程度上影响和束缚数学天才学生的发展, 为了充分发挥有智能潜力学生的学习积极性, 利用第二课堂开展奥数活动, 给数学优秀生提供良好的发展空间.

还奥数以本来面目的前提是:奥数教育不与择校捆绑在一起, 废止大规模和低龄化的奥数培训.涉及以下几个方面:

1. 奥数学习对象

不管学习多么高难的内容, 总有孩子能达到较高的水平, 对数学兴趣浓、学有余力的学生来说, 学习奥数有利于他们思维品质的提升, 有利于培养不怕困难的精神.但奥数肯定不是对每个孩子都适合的.奥数班和奥数教材大部分是为参与竞赛的学生服务的, 对大部分学生来说是吃不透的, 那么这部分学生就不适合学奥数.所以是否学习奥数以及学奥数的深度和难度, 要根据每个学生的特点来选择.

2. 奥数教学方式

(1) 改变填鸭式教法

很多奥数班的教学以“题型分类”、“套路应对”为理念, 结果学生很快掌握了“见什么题, 列什么式”的奥数套路, 这对培养学生的学习兴趣、数学思维毫无意义.貌似孩子学会了很多知识, 实际不然.当给学生一道数学题时, 孩子连题目都没仔细读, 就说:“我知道如何做了, 这是‘鸡兔同笼’问题, 我们奥数老师讲过了.”如果碰到障碍, 教师就说:“这个题你难道都忘了吗?我不是告诉过你要那样处理吗?”“填鸭式”、“满堂灌”的教学方式无益于学生思维发展.思维的提升必然需要学生的体验和经历, 奥数教育要给学生创造条件、提供自由探索的空间.

奥数培训属于第二课堂的范畴, 学生已经掌握了所需要的基本数学知识, 因此教师的讲授可以采用更加灵活的方式.为了激发学生的学习积极性, 同时检验学生的学习结果, 可采用学生讨论与探讨、自学相结合的方式进行, 鼓励学生自己写小论文, 总结自己学习的体会或者自己发现, 归纳学习的内容.

(2) 注重引导启发

由于奥数本身的创新性及综合性, 学生在解题难点处, 常百思不得其解.但这种困难与一般课堂教学相比, 学生已掌握相关的方法, 不需要教师对基础知识细讲, 而只需要适当地启发和引导, 就可以使学生豁然开朗.尤其重要的是, 在学生成功地解决了问题以后能帮助学生做出必要的总结, 从而使之上升为自觉的行为, 使得学生在思维上有所收获.因此, 从根本上来讲, 奥数教学的本质在于引导, 表现为一种启迪, 教师不轻易告诉方向, 而是引导学生怎么辩明方向;引导还可以表现为一种激励, 当学生遇到困难的时候, 唤起其内在的精神动力, 克服困难.

3. 奥数教学内容

(1) 选题宗旨

奥数培养尖子生对数学的兴趣, 选题是关键.现在各种奥数辅导题技巧性强, 推理繁难, 会严重打击他们对数学的兴趣.选题的原则是:思维简捷, 充满变化, 富含数学思想的习题, 它的解答出乎意料, 又在情理之中, 充分体验思维的快感.难度安排要合理, 先从学生常规习题的变式入手, 逐步加大难度, 并依据学生的接受程度及时调整难度.选题与难度安排的宗旨是:激发和保护学生的数学兴趣.

(2) 题目背景

(1) 奥数通过千姿百态的问题和机智巧妙的解法, 横跨传统数学与现代数学的各个领域.它可以随时吸收有趣味的、富有灵活性和创造性的问题, 而不受研究对象的限制.

(2) 数学历史上的著名问题, 学校的课堂教学没能提供机会让青少年学生接触这笔丰富的遗产, 而奥数继承和发扬了这笔丰富的遗产.

(3) 奥数问题的背景往往来源于某些高等数学领域, 但它用初等语言表达, 并能用初等方法解决.

4. 奥数培训重点

(1) 培养数学思维能力

学生思维能力的培养提高不是一朝一夕的事情, 一般来说都要经过长时间的系统培训, 才可以达到一定水平.首先在知识上做到系统, 然后让学生经历构造数学模型的过程, 从而有效地培养学生用数学方法处理实际问题的能力, 提高学生揭示实际问题中隐含的数学概念及其关系的能力等.使学生能够在这一创造性思维过程中, 感受到数学的魅力.

可以采用着眼于对学生思维能力培养的策略: (1) 创设问题情境, 以调动学生思维的积极性; (2) 进行专题教学, 注意思想方法的深入探究, 进而使学生做到融会贯通; (3) 开放教学过程, 让学生参与探索, 表达解题思路, 养成良好思维习惯.

(2) 培养数学思想

离开学校后, 能让学生受益终生的是数学思想.最常用的数学思想是化归和整体的思想.化归是将求解问题转化到已解的问题链中.整体思想能帮助人从纷繁杂乱的局面中跳出, 把握全局, 不被纷乱的事物迷惑, 迅速抓住问题的本质.

5. 奥数教学特点

超前学习并不是奥数的目的, 数学竞赛活动作为第二课堂, 要服从和依赖于学生课堂数学知识的学习, 因此奥数培训和数学课程学习同步进行.但课堂教学要从学生基础知识着手, 立足于知识点的掌握, 奥数则以已掌握课堂数学知识为基本假定, 立足于思维的提高及能力的发展.

参考文献

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[4]辛自强.教育的“误”与“悟”:从“奥数教育”说开去[J].基础教育研究 (教育论坛) , 2009 (9) .

[5]李叶峰, 梁蓉.小学奥数热的冷思考[J].教育探索, 2009 (11) .

[6]陈华.关于学习奥数的一些思考[J].科技资讯 (科教平台) , 2007 (10) .

[7]国家教委.全日制中学数学教学大纲.初中数学网站 (Http://sunwu.nease.net) , 2005.8.

[8]黄群.中学奥林匹克数学的教学设计研究[D].广州大学硕士学位论文, 2006 (5) :19.

篇4：奥数基础问题和差问题

评注例l涉及直线上一动点与两定点距离之和（差）的最值问题，此类问题的求解通常分为两步：（1）求其中一定点关于定直线的对称点；（2）再求这个对称点与另一定点的距离即为所求最值；如果涉及求最值时动点位置，则联立对称点与另一定点所在直线方程和题中所给定直线求交点即为所求，

变式l看似涉及到两个根式函数和的最值问题，如果通过函数去求解，那会利用到导数，而且计算量较大；而通过转化为一动点到两定点的距离和的最值问题，再利用对称求解即可，

变式2看似是两个定圆上的动点与一个动点距离差的最大值问题，通过将与圆上的动点问题转化为与圆心的距离加减半径，可以将问题转化成一定直线上的动点与两个定点（即圆心）距离之差的最大值问题，再利用例l的方法求解即可得到所求最大值，

这类问题的通性通法是：利用对称将直线上的一动点与分布在其同侧（或异侧）距离最值问题转化为直线的一动点与分布在其异侧（或同侧）距离最值问题，在利用三角形的基本性质及通用模式求解最值，

评注例2涉及椭圆上一动点与两定点（其中一个为焦点）距离之和（差）的最值问题，此类问题的求解通常可分两种类型：（1）先利用定义，将动点到一个焦点的距离与其到另一个焦点的距离进行转化，然后利用几何最值法最终解决（如例2（1）中差的最小值和例2（2）中和的最大值和最小值）；（2）在求和的最小值或差的最值时，有时可不经定义转化，直接使用几何最值法（如例2（1）中差的最大值），具体属于哪一类型，应视定点在椭圆内、外的给定情况而定，

这类问题的通性通法是：利用定义将距离和（差）最值问题转化为距离差（和）间题，在利用三角形的基本性质及通用模式求解最值，

3.曲线为双曲线抛物线时，通过定义进行同侧异侧互化

评注例3涉及双曲线右支上一动点与两定点（其中一个为焦点）距离之和（差）的最值问题。此类问题的求解通常可分两步：（1）通过定义将分布在双曲线右支同侧的两定点的距离之和问题转化为分布在双曲线右支异侧的两定点的距离之和问题（2）再利用三角形的性质和通用模式求得最值，

这类问题的通性通法是：利用定义将双曲线一支上的动点与分布在其同侧（或异侧）的两点距离最值问题转化为双曲线一支上的动点与分布在其异侧（或同侧）的两点距离最值问题，再利用三角形的基本性质判断最值，评注例4涉及抛物线上一动点与其外一定点及y轴距离之和的最值问题，此类问题的求解通常可分三步：（1）通过定义将抛物线上的动点与y轴距离转化为抛物线上的动点与其焦点距离；（2）再将原题转化为抛物线上的动点与其焦点及其外一定点距离之和问题；（3）利用三角形的性质和通用模式求得最值，

变式3涉及抛物线上一动点与其内一定点及其焦点的距离之和的最值问题，此类问题的求解通常可分三步：（1）通过定义将抛物线上的动点与焦点的距离转化为抛物线上的动点与其准线的距离；（2）再将原题转化为抛物线上的动点到其准线及其内一定点的距离之和的问题；（3）利用三角形的性质和通用模式求得最值，

篇5：奥数基础问题和差问题

教学目标

1.行程的基本概念，会解一些简单的行程题.2.掌握单个变量的平均速度问题及其三种基本解题方法：“特殊值法”、“设而不求法”、“设单位1法”

3.利用对比分析法解终（中）点问题

知识精讲

一、、、探源

我们经常在解决行程问题的过程中用到、、三个字母，并用它们来分别代表路程、速度和时间。那么，为什么分别用这三个字母对应这三个行程问题的基本量呢？今天我们就一起了解一下。表示时间的，这个字母代表英文单词，翻译过来就是时间的意思。表示速度的字母，对应的单词同学们可能不太熟悉，这个单词是，而不是我们常用来表示速度的。表示物理学上的速度。与路程相对应的英文单词，一般来说应该是，但这个单词并不是以字母开头的。关于为什么会用来代表路程，有一个比较让人接受的说法，就是在行程问题的公式中，代表速度的和代表时间的在字母表中比较接近，所以就选取了跟这两个字母位置都比较接近的来表示速度。

二、关于s、v、t

三者的基本关系

速度×时间=路程

可简记为：

路程÷速度=时间

可简记为：

路程÷时间=速度

可简记为：

三、平均速度

平均速度的基本关系式为：

平均速度总路程总时间；

总时间总路程平均速度；

总路程平均速度总时间。

板块一、简单行程公式解题

【例

1】

韩雪的家距离学校480米，原计划7点40从家出发8点可到校，现在还是按原时间离开家，不过每分钟比原来多走16米，那么韩雪几点就可到校？

【考点】行程问题

【难度】2星

【题型】解答

【解析】

原来韩雪到校所用的时间为20分钟，速度为：(米/分)，现在每分钟比原来多走16米，即现在的速度为(米/分)，那么现在上学所用的时间为：(分钟)，7点40分从家出发，12分钟后，即7点52分可到学校．

【答案】7点52分

【巩固】

小白从家骑车去学校，每小时千米，用时小时，回来以每小时千米的速度行驶，需要多少时间？

【考点】行程问题

【难度】2星

【题型】解答

【解析】

从家到学校的路程：（千米），回来的时间

（小时）．

【答案】小时

【例

2】

甲、乙两地相距100千米。下午3点，一辆马车从甲地出发前往乙地，每小时走10千米；晚上9点，一辆汽车从甲地出发驶向乙地，为了使汽车不比马车晚到达乙地，汽车每小时最少要行驶多少千米？.【考点】行程问题

【难度】2星

【题型】解答

【解析】

马车从甲地到乙地需要100÷10=10小时，在汽车出发时，马车已经走了9-3=6(小时)。依题意，汽车必须在10-6=4小时内到达乙地，其每小时最少要行驶100÷4=25(千米)．

【答案】25千米

【巩固】

两辆汽车都从北京出发到某地，货车每小时行60千米，15小时可到达。客车每小时行50千米，如果客车想与货车同时到达某地，它要比货车提前开出几小时？

【考点】行程问题

【难度】2星

【题型】解答

【解析】

北京到某地的距离为：（千米），客车到达某地需要的时间为：（小时），（小时），所以客车要比货车提前开出3小时。

【答案】3小时

【例

3】

一天，梨和桃约好在天安门见面，梨每小时走千米，桃每小时走千米，他们同时出发小时后还相距千米，则梨和桃之间的距离是多少千米？

【考点】行程问题

【难度】2星

【题型】解答

【解析】

我们可以先求出小时梨和桃走的路程：(千米)，又因为还差千米，所以梨和桃之间的距离：(千米)．

【答案】千米

【巩固】

两列火车从相距千米的两城相向而行，甲列车每小时行千米，乙列车每小时行千米，小时后，甲、乙两车还相距多少千米？

【考点】行程问题

【难度】2星

【题型】解答

【解析】

两车的相距路程减去小时两车共行的路程，就得到了两车还相距的路程：

（千米）．

【答案】千米

【例

4】

甲、乙两辆汽车分别从

A、B

两地出发相向而行，甲车先行三小时后乙车从

B

地出发，乙车出发5

小时后两车还相距15千米．甲车每小时行

48千米，乙车每小时行

50千米．求

A、B

两地间相距多少千米？

【考点】行程问题

【难度】2星

【题型】解答

【解析】

在整个过程中，甲车行驶了

3＋5=

8=(小时)，行驶的路程为：48×

=384(千米)；乙车行驶了

小时，行驶的路程为：

×5

=250(千米)，此时两车还相距15

千米，所以

A、B

两地间相距：384＋250＋15

=649(千米)．

【答案】649千米

【例

5】

小燕上学时骑车，回家时步行，路上共用50分。如果往返都步行，则全程需要70分。求往返都骑车所需的时间。

【考点】行程问题

【难度】2星

【题型】解答

【解析】

往返都步行分钟，则单程步行要用

则单程骑车要分钟

所以往返都骑车要分钟

【答案】分钟

【例

6】

骑自行车从甲地到乙地，以10千米／时的速度行进，下午1时到；以

15千米／时的速度行进，上午11时到。如果希望中午12时到，那么应以怎样的速度行进？

【考点】行程问题

【难度】2星

【题型】解答

【解析】

13.12千米/时

【答案】13.12千米/时

【例

7】

从家里骑摩托车到火车站赶乘火车。若每时行30千米，则早到15分；若每时行20千米，则迟到5分。如果打算提前5分到，那么摩托车的速度应是多少？

【考点】行程问题

【难度】2星

【题型】解答

【解析】

24千米／时。解：设离火车开车时刻还有x分。根据从家到火车站的距离，可列方程

解得x=55（分）。所求速度应是30×[（55－15）÷（55－5）]＝24（千米／时）。

【答案】24千米／时

【巩固】

小红从家到火车站赶乘火车，如果每时行4千米，那么火车开时她还离车站1千米；如果每时行5千米，那么她就早到车站12分。小红家离火车站多少千米？

【考点】行程问题

【难度】2星

【题型】解答

【解析】

9千米。提示：与第142题类似。

【答案】9千米

【例

8】

一艘轮船在离港口

20海里处船底破损，每分进水1.4吨，这艘轮船进水70吨后就会沉没。问：这艘轮船要在沉没前返回港口，它的时速至少达到多少海里？

【考点】行程问题

【难度】2星

【题型】解答

【解析】

24海里。提示：先求进70吨水需要的时间。

【答案】24海里

【例

9】

解放军某部开往边境，原计划需要行军18天，实际平均每天比原计划多行12千米，结果提前3天到达，这次共行军多少千米？

【考点】行程问题

【难度】3星

【题型】解答

【解析】

“提前3天到达”可知实际需要天的时间，而“实际平均每天比原计划多行12千米”，则15天内总共比原来15天多行的路程为：(千米)，这180千米正好填补了原来3天的行程，因此原来每天行程为(千米)，问题就能很容易求解．原来的速度为：(千米/天)，因此总行程为：(千米)另外本题通过画矩形图将会更容易解决：

其中矩形的长表示时间，宽表示速度，由路程速度时间可知，矩形的面积表示的是路程，通过题意可以知道甲的面积等于乙的面积，乙的面积为，所以“？”处应为，而“？”表示的是原计划的速度，则这次行军的路程为：(千米)．

【答案】千米

【巩固】

某人要到

60千米外的农场去，开始他以

6千米/时的速度步行，后来有辆速度为18千米/时的拖拉机把他送到了农场，总共用了6小时．问：他步行了多远？

【考点】行程问题

【难度】3星

【题型】解答

【解析】

求步行路程，而且步行速度已知，需要求步行时间．如果6小时全部乘拖拉机，可以行进：(千米)，(千米)，其中，这48千米的距离是在某段时间内这个人在行走而没有乘拖拉机因此少走的距离，这样我们就可以求出行走的时间为：(小时)，即这个人走了4个小时，距离为：(千米)，即这个人步行了24千米．

另外本题通过画矩形图将会更容易解决：

其中矩形的长表示时间，宽表示速度，由路程=速度×时间可知，矩形的面积表示的是路程，通过题意可以知道阴影部分的面积等于60，大矩形的面积为，所以小矩形的面积为：，又因为小矩形的宽为，所以小矩形的长为：，所以“？”处矩形的面积为(千米)，“？”表示的是步行的路程，即步行的路程为24千米．

【答案】24千米

【巩固】

（第六届《小数报》数学竞赛初赛题第1题）小明每天早晨6：50从家出发，7：20到校，老师要求他明天提早6分钟到校。如果小明明天早晨还是6：50从家出发，那么，每分钟必须比往常多走25米才能按老师的要求准时到校。问：小明家到学校多远？

【考点】行程问题

【难度】3星

【题型】解答

【解析】

原来花时间是30分钟，后来提前6分钟，就是路上要花时间为24分钟。这时每分钟必须多走25米，所以总共多走了24×25=600米，而这和30分钟时间里，后6分钟走的路程是一样的，所以原来每分钟走600÷6=100米。总路程就是=100×30=3000米。

【答案】3000米

模块二、平均速度问题

【例

10】

甲、乙两地相距60千米，自行车队8点整从甲地出发到乙地去，前一半时间平均每分钟行1千米，后一半时间平均每分钟行0.8千米。自行车队到达乙地的时间是几点几分几秒？

【考点】行程问题

【难度】2星

【题型】解答

【解析】，共用分钟秒

自行车到达乙地的时间是点分秒

【答案】点分秒

【例

11】

如图，从A到B是12千米下坡路，从B到C是8千米平路，从C到D是4千米上坡路.小张步行，下坡的速度都是6千米/小时，平路速度都是4千米/小时，上坡速度都是2千米/小时.问小张从A到D的平均速度是多少?

【考点】行程问题

【难度】2星

【题型】解答

【解析】

从A到B的时间为：12÷6=2（小时），从B到C的时间为：8÷4=2（小时），从C到D的时间为：4÷2=2（小时），从A到D的总时间为：2+2+2=6（小时），总路程为：12+8+4=24（千米），那么从A到D的平均速度为：24÷6=4（千米/时）．

【答案】4千米/时

【巩固】

如图，从A到B是6千米下坡路，从B到C是4千米平路，从C到D是4千米上坡路.小张步行，下坡的速度都是6千米/小时，平路速度都是4千米/小时，上坡速度都是2千米/小时.问从A到D的平均速度是多少？

【考点】行程问题

【难度】2星

【题型】解答

【解析】

从A到B的时间为：6÷6=1（小时），从B到C的时间为：4÷4=1（小时），从C到D的时间为：4÷2=2（小时），从A到D的总时间为：1+1+2=4（小时），总路程为：6+4+4=14（千米），那么从A到D的平均速度为：14÷4=3.5（千米/时）

【答案】3.5千米/时

【巩固】

一个运动员进行爬山训练．从地出发，上山路长30千米，每小时行3千米．爬到山顶后，沿原路下山，下山每小时行6千米．求这位运动员上山、下山的平均速度．

【考点】行程问题

【难度】2星

【题型】解答

【解析】

这道题目是行程问题中关于求上、下山平均速度的问题．解题时应区分平均速度和速度的平均数这两个不同的概念．速度的平均数(上山速度+下山速度)，而平均速度上、下山的总路程上、下山所用的时间和．所以上山时间：(小时)，下山时间：(小时)，上、下山平均速度：(千米/小时)．

【答案】千米/时

【例

12】

摩托车驾驶员以每小时30千米的速度行驶了90千米到达某地，返回时每小时行驶45千米，求摩托车驾驶员往返全程的平均速度.【考点】行程问题

【难度】2星

【题型】解答

【解析】

要求往返全程的平均速度是多少，必须知道摩托车“往”与“返”的总路程和“往”与“返”的总时间.摩托车“往”行了90千米，“返”也行了90千米，所以摩托车的总路程是：90×2=180（千米），摩托车“往”的速度是每小时30千米，所用时间是：90÷30=3（小时），摩托车“返”的速度是每小时45千米，所用时间是：90÷45=2（小时），往返共用时间是：3+2=5（小时），由此可求出往返的平均速度，列式为：90×2÷（90÷30+90÷45）=180÷5=36（千米/小时）

【答案】36千米/小时

【巩固】

甲乙两地相距200千米，小强去时的速度是10千米/小时，回来的速度是40千米/小时，求小强往返的平均速度．

【考点】行程问题

【难度】2星

【题型】解答

【解析】

去时的时间（小时），回来的时间（小时），平均速度总路程总时间（千米/小时）．

【答案】千米/小时

【例

13】

飞机以720千米／时的速度从甲地到乙地，到达后立即以480千米／时的速度返回甲地.求该车的平均速度.【考点】行程问题

【难度】2星

【题型】解答

【解析】

设两地距离为：（千米），从甲地到乙地的时间为：（小时），从乙地到甲地的时间为：（小时），所以该飞机的平均速度为：（千米/时）。

【答案】千米/时

【巩固】

一个人从甲地去乙地，骑自行车走完全程的一半时，自行车坏了，又无法修理，只好推车步行到乙地.骑车时每小时行12千米，步行时每小时4千米，这个人走完全程的平均速度是多少？

【考点】行程问题

【难度】2星

【题型】解答

【解析】

①

参数法：设全程的的一半为S千米，前一半时间为，后一半时间为，根据公式平均速度=总路程÷总时间，可得（千米）。

②题目中没有告诉我们总的路程，给计算带来不便，仔细想一想，前一段路程与后一段路程相等，总路程是不影响平均速度的，我们自己设一个路程好了，路程的一半既是12的倍数又是4的倍数，所以可以假设路程的一半为（千米），来回两段路，每段路程12千米，那么总路程是：

(千米),总时间是：（小时），所以平均速度是：（千米/小时）

注意：在这种特定的题目中，随便选一个方便的数字做总路程并不是不科学的，因为我们可以把总路程设为“单位1”，这样做无非是设了“单位24”，也就是把所有路程扩大了24倍变成整数，没有任何问题，不论总路程设成多少，结论都是一样的，大家可以验证一下.【答案】千米/小时

【巩固】

从前有座山，山上有座庙，庙里有个老和尚会讲故事，王先生开车去拜访这位老和尚，汽车上山以30千米／时的速度，到达山顶后以60千米／时的速度下山.求该车的平均速度.【考点】行程问题

【难度】2星

【题型】解答

【解析】

设两地距离为：（千米），上山时间为：（小时），下山时间为：（小时），所以该飞机的平均速度为：（千米）。

【答案】千米

【巩固】

某人上山速度为每小时8千米，下山的速度为每小时12千米，问此人上下山的平均速度是多少？

【考点】行程问题

【难度】2星

【题型】解答

【解析】

方法一：用设数代入法，设从山脚至山顶路程为48千米，下山用时为（小时），共用时（小时），路程为（千米），平均速度为（千米/小时）

方法二：设路程为单位1，上山用时为，下山用时为，共用时，距离为，平均速度为（千米/小时）.【答案】千米/小时

【例

14】

一辆汽车从甲地出发到300千米外的乙地去，前120千米的平均速度为40千米／时，要想使这辆汽车从甲地到乙地的平均速度为50千米／时，剩下的路程应以什么速度行驶？

【考点】行程问题

【难度】2星

【题型】解答

【解析】

求速度首先找相应的路程和时间，平均速度说明了总路程与总时间的关系，剩下的路程为：300-120=180（千米），计划总时间为：300÷50=6（小时），前120千米已用去120÷40=3（小时），所以剩下路程的速度为:

（300-120）÷（6-3）=60（千米/时）.【答案】60千米/时

【巩固】

汽车往返于A，B两地，去时速度为40千米／时，要想来回的平均速度为48千米／时，回来时的速度应为多少？

【考点】行程问题

【难度】2星

【题型】解答

【解析】

①

参数法：设A、B两地相距S千米，列式为S÷(2S÷48-S÷40)=60千米.②

最小公倍法：路程2倍既是48的倍数又是40的倍数，所以可以假设路程为〔48，40〕=240千米.根据公式变形可得

240÷2÷（240÷48-240÷2÷40）=60千米.【答案】60千米

【巩固】

王师傅驾车从甲地开往乙地交货.如果他往返都以每小时60千米的速度行驶,正好可以按时返回甲地.可是,当到达乙地时,他发现从甲地到乙地的速度只有每小时50千米.如果他想按时返回甲地,他应以多大的速度往回开?

【考点】行程问题

【难度】3星

【题型】解答

【解析】

假设甲地到乙地的路程为300,那么按时的往返一次需时间300÷60×2=10（小时）,现在从甲到乙花费了时间300÷50=6（小时）,所以从乙地返回到甲地时所需的时间只能是10-6=4（小时）.即如果他想按时返回甲地,他应以300÷4=75（千米/时）的速度往回开．

【答案】75千米/时

【巩固】

王师傅驾车从甲地开往乙地交货.如果他往返都以每小时60千米的速度行驶,正好可以按时返回甲地.可是,当到达乙地时,他发现从甲地到乙地的速度只有每小时55千米.如果他想按时返回甲地,他应以多大的速度往回开?

【考点】行程问题

【难度】2星

【题型】解答

【解析】

设甲地到乙地的路程为单位“1”,那么按时的往返一次需时间,现在从甲到乙花费了时间1÷55＝千米,所以从乙地返回到甲地时所需的时间只能是.即如果他想按时返回甲地,他应以每小时66千米的速度往回开．

【答案】每小时66千米

【例

15】

小明去爬山，上山时每时行2.5千米，下山时每时行4千米，往返共用3.9时。小明往返一趟共行了多少千米？

【考点】行程问题

【难度】2星

【题型】解答

【解析】

方法一：路程=总时间×平均速度，先求出平均速度，设上下山路程为10千米，10×2÷（10÷2.5+10÷4）=20÷6.5=40/13（千米/时）所以总路程：40/13×3.9=12（千米）。

方法二：设上山用小时，下山用小时，所以列方程为：，解得，所以小明往返共走：（千米）。

【答案】千米

【巩固】

小明上午九点上山，每小时3千米，在山顶休息1小时候开始下山，每小时4千米，下午一点半到达山下，问他共走了多少千米.【考点】行程问题

【难度】2星

【题型】解答

【解析】

上午九点上山下午1点半下山，用时4.5小时，除去休息的一个小时，上山和下山共用时3.5小时.上山速度3千米/小时，下山速度4千米/小时，若假设上下山距离为12千米的话，则上山用时4小时，下山用时3小时，总用时应为7小时，而实际用时3.5小时，则实际路程应为千米

【答案】千米

【巩固】

小明从甲地到乙地，去时每时走2千米，回来时每时走3千米，来回共用了5小时．小明去时用了多长时间？

【考点】行程问题

【难度】2星

【题型】解答

【解析】

方法一：路程=总时间×平均速度，先求出平均速度，设上下山路程为6千米，6×2÷（6÷2+6÷3）=12÷5=2.4（千米/时）所以总路程：2.4×5=12（千米），所以去时用时间为：（小时）

方法二：设上山用小时，下山用小时，所以列方程为：，解得，所以去时用时间为3小时。

方法三:因为路程速度时间，来回的路程是一样的，速度不同导致所用的时间不同，同时，速度与时间的乘积是不变的，因为去时的速度与回来时的速度之比为2：3，所以去时的时间与回来时的时间比为3：2，把去时用的时间看作3份，那么回来时所用时间为2份，它们的和为5，由和倍关系式，去时所用的时间为(小时)．

【答案】小时

【巩固】

小明从甲地到乙地，去时每时走2千米，回来时每时走3千米，来回共用了15小时．小明去时用了多长时间？

【考点】行程问题

【难度】2星

【题型】解答

【解析】

假设总路程为6千米，那么去时用（小时），回来用（小时），来回共用5小时，而题目中是15小时，是假设时间5小时的3倍，那么总路程就是（千米）。所以，去时用了（小时）。

【答案】小时

【例

16】

小王每天用每小时15千米的速度骑车去学校，这一天由于逆风，开始三分之一路程的速度是每小时10千米，那么剩下的路程应该以怎样的速度才能与平时到校所用的时间相同

【考点】行程问题

【难度】2星

【题型】解答

【解析】

由于要求大风天和平时到校时间所用时间相同，在距离不变的情况下，平时的15千米/小时相当于平均速度.若能再把总路程“任我意”出来，在已知总距离和平均速度的情况下，总时间是可求的，例如假设总路程是30千米，从而总时间为小时.开始的三分之一路程则为10千米，所用时间为小时，可见剩下的20千米应用时1小时，从而其速度应为20千米/小时.【答案】20千米/小时

【例

17】

有一座桥，过桥需要先上坡，再走一段平路，最后下坡，并且上坡、平路及下坡的路程相等。某人骑自行车过桥时，上坡、走平路和下坡的速度分别为4米/秒、6米/秒和8米/秒，求他过桥的平均速度。

【考点】行程问题

【难度】3星

【题型】解答

【解析】

假设上坡、走平路及下坡的路程均为24米，那么总时间为：24÷4+24÷6+24÷8=13（秒），过桥的平均速度为（米/秒）．

【答案】米/秒

【巩固】

有一座桥，过桥需要先上坡，再走一段平路，最后下坡，并且上坡、平路及下坡的路程相等.某人骑电动车过桥时，上坡、走平路和下坡的速度分别为11米／秒、22米／秒和33米／秒，求他过桥的平均速度.【考点】行程问题

【难度】3星

【题型】解答

【解析】

假设上坡、平路及下坡的路程均为66米，那么总时间=66÷11+66÷22+66÷33=6+3+2=11（秒），过桥的平均速度=66×3÷11=18（米/秒）

【答案】18米/秒

【巩固】

一只蚂蚁沿等边三角形的三条边由A点开始爬行一周.在三条边上它每分钟分别爬行50cm，20cm，40cm（如右图）.它爬行一周平均每分钟爬行多少厘米？

【考点】行程问题

【难度】3星

【题型】解答

【解析】

假设每条边长为200厘米，则总时间=200÷50+200÷20+200÷40=4+10+5=19（分钟），爬行一周的平均速度=200×3÷19=（厘米/分钟）.【答案】厘米/分钟

【例

18】

赵伯伯为了锻炼身体，每天步行3小时，他先走平路，然后上山，最后又沿原路返回．假设赵伯伯在平路上每小时行4千米，上山每小时行3千米，下山每小时行6千米，在每天锻炼中，他共行走多少千米？

【考点】行程问题

【难度】2星

【题型】解答

【关键词】希望杯，四年级，2试

【解析】

上山3千米/小时，平路4千米/小时，下山6千米/小时。假设平路与上下山距离相等，均为12千米，则首先赵伯伯每天共行走千米，平路用时小时，上山用时小时，下山用时小时，共用时小时，是实际3小时的4倍，则假设的48千米也应为实际路程的4倍，可见实际行走距离为千米。

方法二：设赵伯伯每天走平路用小时，上山用小时，下山用小时，因为上山和下山的路程相同，所以，即．由题意知，所以．因此，赵伯伯每天锻炼共行（千米），平均速度是（千米/时）．

【答案】千米/时

【例

19】

张师傅开汽车从A到B为平地（见下图），车速是36千米／时；从B到C为上山路，车速是28千米／时；从C到D为下山路，车速是42千米／时.已知下山路是上山路的2倍，从A到D全程为72千米，张师傅开车从A到D共需要多少时间？

【考点】行程问题

【难度】3星

【题型】解答

【解析】

方法一：设BC距离为：（千米），所以CD距离为（千米），那么B-C-D的平均速度为:(千米/小时)，和平路的速度恰好相等，说明A-B-C-D的平均速度为36千米/小时，所以从A-D共需要的时间为：（小时）

方法二：设上山路为千米，下山路为千米，则上下山的平均速度是：(千米/时)，正好是平地的速度，所以行总路程的平均速度就是36千米/时，与平地路程的长短无关．因此共需要(小时)．

【答案】小时

【巩固】

老王开汽车从A到B为平地（见右图），车速是30千米／时；从B到C为上山路，车速是22.5千米／时；从C到D为下山路，车速是36千米／时.已知下山路是上山路的2倍，从A到D全程为72千米，老王开车从A到D共需要多少时间？

【考点】行程问题

【难度】3星

【题型】解答

【解析】

设上山路为x千米，下山路为2x千米，则上下山的平均速度是：（x+2x）÷（x÷22.5＋2x÷36）=30（千米/时），正好是平地的速度，所以行AD总路程的平均速度就是30千米/时，与平地路程的长短无关.因此共需要72÷30＝2.4（时）．

【答案】2.4时

【例

20】

小明从家到学校有两条一样长的路，一条是平路，另一条是一半上坡路、一半下坡路．小明上学走两条路所用的时间一样多．已知下坡的速度是平路的2倍，那么平路的速度是上坡的多少倍？

【考点】行程问题

【难度】3星

【题型】解答

【解析】

方法一：设路程为80，则上坡和下坡均是40．设走平路的速度是2，则下坡速度是4．走下坡

用时间，走平路一共用时间，所以走上坡时间是，走与上坡同样距离的平路时用时间：．因为速度与时间成反比，所以平路速度是上坡速度的（倍）．

方法二：因为距离和时间都相同，所以平均速度也相同，又因为上坡和下坡路各一半也相同，设距离是1份，时间是1份，则下坡时间，上坡时间，上坡速度，则平路速度是上坡速度的（倍）．

方法三：因为距离和时间都相同，所以路程上坡速度路程路程，得上坡速度，则平路速度是上坡速度的（倍）．

篇6：和差倍问题

2.甲等奖学金是乙等奖学金的3倍，乙等奖学金是丙等的2倍，甲等比丙等多1800元，三种奖学金各是多少元？

3.校园内有一块长方形草地，它的周长是96米，长是宽的3倍，这块草地的面积是多少？

4.四年级一班和二班平均人数是39人，一班比二班多4人，两个班级各有多少人？

5.纺织厂有职工1350人，女职工比男职工的3倍多150人，男女职工各有多少人？

6.纺织厂女职工比男职工多750人，女职工比男职工的3倍多150人，男女职工各有多少人？

7.纺织厂有职工1350人，女职工比男职工多750人，男女职工各有多少人？

8.小巧和小胖两人共有图书56本，小胖送给小巧8本后两人的图书一样多，小巧，小胖原来各有图书多少本？

植树问题

1、从校门口到街口，一共插有30面红旗，相邻两面红旗相隔6米。从校门口到街口长多

少米？

2、在一条长150米的大路两旁各栽一行树，起点和终点都栽，一共栽了102棵。每相邻两

棵树之间的距离相等。相邻两棵树之间的距离有多少米？

3、在一个周长为600米的池塘周围植树，每隔10米栽一棵杨树，在相邻两棵杨树之间每隔2米栽1棵柳树。杨树和柳树各栽了多少棵？

4、在一个周长为600米的池塘周围植树，每隔10米栽一棵杨树，在相邻两棵杨树之间每隔2米栽1棵柳树。杨树和柳树各栽了多少棵？

5植树应用题有关栽树以及与栽树相似的一类应用题，叫做植树问题。植树问题通常有两种形式。一种是在不封闭的线路上植树，另一种是在封闭的线路上植树。

如果在一条不封闭的线路上可不可能，而且两端都植树，那么，植树的棵数比段数多。其数量关系如下：

棵数＝总长÷株距+1 总长＝株距×（棵数-1）株距＝总长÷（棵数-1）

2、在封闭的线路上植树，那么植树的棵数与段数相等。其数量关系如下：