平面与平面平行教案

2024-07-09

平面与平面平行教案（共10篇）

篇1：平面与平面平行教案

新课程有效课堂教学设计简案

主题：§1.2.2空间中的平行关系——平面与平面平行

____课时课型：发现生成课和问题解决课主备人：

一、教学目标知识与技能：

（1）理解并掌握平面与平面平行的判定和性质定理。(2)能把平面与平面平行的关系转化为线面或线线平行关系进行问题解决，进一步体会数学化归的思想方法。

过程与方法：

培养学生观察、发现的能力和空间想象能力。

情感、态度与价值观：

（1）让学生在发现中学习，增强学习的积极性；

（2）了解空间与平面互相转化的数学思想，培养学生主动探究知识、合作交流的意识；（3）在体验数学美的过程中激发学生的学习兴趣，使学生的学习不断由感性认识上升到理性认识；

（4）体会获得知识的愉悦，提高了学习数学的信心。

教学重点：平面与平面平行的判定定理和性质定理。

教学难点：平面与平面平行的判定定理和性质定理的应用。

二、教学过程

第二课时

1创设情境，回顾知识：

回顾上节内容，导入下一环节。2自主学习，解决问题：教师：⑴发放《问题生成单》。⑵关注学生情况。⑶指导解决问题。学生：⑴浏览《问题生成单》。⑵走进文本读、划、写、记、练、思。⑶组织语言，准备交流。3合作交流，解决问题：

教师：⑴走进小组倾听交流。⑵有效指导，解决问题。⑶组织全班交流。⑷科学引导，使问题条理化。

4展示疑难，合作交流：

教师：指导学生分组交流并加以总结提炼，并提出新问题加以解决。学生：⑴展示问题。⑵讲解交流问题。5问题训练，提升能力：教师：⑴发《问题训练单》。⑵巡视，批阅，搜集做题信息。⑷纠正共性问题。学生：⑴自主完成《问题训练单》。⑵全班展示交流。⑶针对问题反思。6全面总结，反思提高。

教师：⑴引导学生从知识、方法、情感等方面总结、反思。⑵总结规律提炼数学思想。⑶巡视、获取信息。

学生;⑴结合自身体会反思。⑵展示反思，全班交流。

拓展设计

教学反思

本节课的成功之处：

本节课最遗憾的地方：

本节课存在的问题：

我对本节课持有的看法：

篇2：平面与平面平行教案

文昌中学数学组曾叶

教学目标

1.使学生理解和掌握两个平面平行的判定定理及应用； 2.加深学生对转化的思想方法的理解及应用.教学重点和难点

重点:两个平面平行的判定定理；难点:两个平面平行的判定定理的证明.教学设计过程

一、复习提问

师:上节课我们研究了两个平面的位置关系，请同学们回忆一下，两个平面平行的意义是什么？

生:两个平面没有公共点.师:对，如果两个平面平行，那么在其中一个平面内的直线与另一个平面具有怎样的位置关系呢? 生:平行.师:为什么? 生:用反证法，假设不平行，则这些线中至少有一条和另一个平面有公共点或在另一个面内，而此两种情况都说明这两个平面有公共点，与两个面平行矛盾.师:证得很好.反过来，如果一个平面内的所有直线都和另一个平面平行，那么这两个平面平行.由以上结论，就可以把两个平面平行的问题转化为一个平面内的直线和另一个平面平行的问题.但要注意:两个平面平行，虽然一个平面内的所有直线都平行于另一个平面，但

这两个平面内的所有直线并不一定互相平行，它们可能是平行直线也可能是异面直线，但不可能是相交直线.〔对旧知识复习，又有深入，同时又点出了“转化”的思想方法，为引入新课作铺垫〕

二、新课

师:接下来，我们共同对两个平面平行作定性研究，先来研究两个平面平行的判定——具有什么条件的两个平面是平行的呢? 生:根据两个平面平行的定义，只要能证明一个平面内的任意一条直线与另一个平面平行，就可得出两个平面平行.师:很好，实质就是由线面平行来得到面面平行.而实际上，判定两个平面平行，并不需要一个平面内的所有直线都平行于另一个平面.下面我们共同研究判定两个平面平行的其它方法，请大家思考以下几个命题.(1)平面α内有一条直线与平面β平行，则α∥β，对吗?(2)平面α内有两条直线与平面β平行，则α∥β，对吗? 〔学生讨论回答，并举出反例，得(1)，(2)不对，教师接着问〕(3)平面α内有无数条直线与平面β平行，则α∥β，对吗? 〔教师对学生的回答，作出适当评述〕

师:以上三个命题均为假命题，那么，怎样修改一下命题的条件，就可得出正确结论? 〔学生讨论后，教师请一名同学回答〕

生:把条件改为:一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面.师:说说你的想法.生:我想，两条相交直线确定一个平面，若它们分别与另一个平面平行，则所确定的平面也一定与这个平面平行.［此是学生的猜想，教师给予肯定，并引导学生进行严格论证］师:下面我们来证明.先把命题完整的表述出来.生:如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行.［教师板书，画图，并请一位学生写出已知，求证］已知:在平面β内，有两条相交直线a,b和平面α平行.求证:α∥β.师:欲证α∥β，而我们只知两个平面平行的定义，显然，若直接用定义证明，不很方便，大家看怎么办? 生:用反证法.〔学生并未证明，只提出方法.教师先复习反证法的步骤:(1)否定结论，(2)推出矛盾，(3)得出结论.然后提出问题，让学生讨论，以引导学生用反证法得出结论〕师:问，(1)如果平面α与平面β不平行，那么它们的位置关系怎样.(2)如果平面α与平面β相交，那么交线与平行于平面α的直线a和b有什么关系?(3)相交直线a和b都与交线平行合理吗?错误结论是如何产生的? ［教师根据学生回答，依次提出问题，同时板书该命题的证明过程］证明:假设α∩β=c.因为a∥α，aβ，所以a∥c,同理b∥c,所以a∥b.这与题设a与b是相交直线矛盾.故α∥β.师:以上我们用反证法证明了命题的正确性.我们就把这一命题作为两个平面平行的判定定理之一.该定理是用来判定两个平面平行的，应用时关键是在一个平面内寻找两条相交直线，并证明与另外一个平面平行.也就是说:欲证面面平行，要先转化为线面平行.而转化的思想方法是数学思维的重要方法之一，也是立体几何中，解决问题常用的方法.［教师在该命题前写上:两个平面平行的判定定理，以强调本节课的重点］

师:在现实生活中，该定理应用比较广泛，比如:木工师傅为了检查一个平面是否水平时，往往用水准器在这个平面上交叉放两次，水准器的气泡如果两次都是居中的，就可以判定这个平面是水平的，否则就不是水平的.其理论根据就是这一判定定理.［通过实例，证明定理在现实生活中的具体应用，贴近学生生活，更激发了学生探求知识的积极性，活跃思］

师:大家还能发现哪些判定两个平面平行的定理呢?(教师巡视，找一名学生回答)生:我想，如果两个平面都垂直同一条直线，那么这两个平面一定是平行的.师:想法很好，能否谈一谈如何得出的? 生:在学习习近平面几何时，曾有一个定理:垂直于同一条直线的两条直线平行.我就想，若把其中的两条直线改为两个平面，那么这两个平面会不会是平行的.师:这位同学用到了一个重要的研究数学问题的方法——类比.就是从已经学过的定理出发，对其中的某些条件作修改，得出一个新的命题.当然，这只是一种猜想，正确与否，还要大家

进一步证明.这位同学的猜想简单的说就是:垂直于同一条直线的两个平面平行.下面我们就来证明这一命题.已知:AA′⊥平面α于A，AA′⊥平面β于A′.求α∥β.师:本题要证的是两个平面平行，有哪些工具呢? 生:两个面平行的判定定理.师:应用该定理的条件是什么?

生:是其中一面中心须有两条相交直线与另一面平行.师:显然，题目中并不具备这一条件，我们是否改用其它方法?

［学生激烈讨论］

生甲:直接在平面β内作直线a∩b=O，如图2(教师画图，使O与A′不重合，突出矛盾)生乙:这样做不好，没有充分利用题目的已知条件，不妨直接在平面α内作直线a∩b=A.而直线a与AA′确定一平面γ，设γ∩β=a′.能证:a′∥a,则a∥β，得出线面平行.同理

也可证b∥β.所以α∥β.师:不错.能够充分的利用题目中的条件，为解决问题带来大的方便.下面我们把作辅助线的方法，稍作改进，写出证明.证明:设经过直线AA′的两个平面γ，δ分别与平面α，β交于直线a,a′和b，b′.因为 AA′⊥α，AA′⊥β，所以 AA′⊥a，AA′⊥a′, 故 a∥a′.则a′∥α.5

同理 b′∥α，又因为a′∩b′=A，所以α∥β.师:通过类比的方法，证明得到了两平面平行的又一个判定定理，它是在上一个判定定理的基础上得到的.要注意的是，为了得到两条相交直线，并未直接在一个面内作，而是过AA′作两

个相交平面δ，γ，它们分别与α，β相交，得到相交直线.由线线平行，得线面平行，最后证明面面平行.这一证明方法是转化的思想方法的又一体现.生:在上题的证明过程中，我发现:“如果一个平面内两条相交直线分别平行于另一个平面内的两条相交直线，那么这两个平面平行.”这样就可直接由线线平行证面面平行，不知对不对? 师与生:对.［在授课过程中，学生往往能根据所研究问题，思考得到自己的想法，这是学生深入课堂，积极思维的一种体现，也是课堂上的一种反馈，教师应抓住机会，热情鼓励，同时给出肯定或否定的答复］

师:想法很好，大家能证明吗?(学生议论)对，用第一个判定定理很快就能证明.但此命题不易作为判定定理直接应用.不过这一命题为我们今后判定两个平面平行提供了一条思路.三、例题分析

［通过例题分析，复习巩固本节课的主要内容］

师:前面我们得到了两个平面平行的判定定理，为方便，把前者叫判定定理，后者叫判定定理二.下面通过例题来分析如何使用判定定理.例已知正方体ABCD-A1B1C1D1.求证:平面AB1D1∥平面C1BD.师:欲证面面平行，由两个判定定理，必须有线面平行或是线面垂直.而题目所给的是正方体及体内的截面，隐含较多的线面平行的位置关系.我们先来考虑应用判定定理一.6

生:因为ABCD-A1B1C1D1为正方体，所以 D1C1∥=A1B1，AB∥=A1B1，所以 D1C1∥=AB，所以 D1C1BA为平行四边形，所以 D1A∥C1B，因为 C1B平面C1BD，故 D1A∥平面C1BD.同理 D1B1∥平面C1BD.又 D1A∩D1B1=D1, 所以平面AB1D1∥平面C1BD.师:大家再思考，能否用判定定理二来证明呢? ［学生有的思考，有的议论］

师:若要用判定定理二，遇到的问题是什么? 生:条件中没有直接与面AB1D1和面BC1D垂直的直线.师:能解决吗? 生:作辅助线.连结A1C，证明它与两个面都平行.师:要证线面垂直，要先转化为线线垂直.证明线线垂直的一个重要方法是什么? 生:三垂线定理及其逆定理.连结AC.可证A1C⊥BD.7

［至此，在教师的启发引导下，已基本解决问题，把证明过程规范化］

证明:连结A1C，AC，因为 ABCD-A1B1C1D1为正方体，所以 A1A⊥平面ABCD.所以 AC为A1C在面ABCD上的射影.又因为 BD⊥AC，且BD面ABCD，所以 A1C⊥BD.同理: A1C⊥BC1.又因为 BD∩BC1=B，所以 A1C⊥面C1BD.同理:A1C⊥平面AB1D1，所以平面AB1D1∥平面C1BD.［通过一题多解，训练学生思维的灵活性］小结

1.由学生用文字语言和符号语言两种形式表述面面平行的两个判定定理.教师指出，两个判定定理是判定面面平行的两个基本的理论工具.2.空间两条直线平行，直线与平面平行，以及两个平面平行，三类平行关系的联系十分密切，它们相互依赖，相互转化.在实际运用中，我们可以通过线线平行，或线面平行来推论平面与平面平行.3.转化的思想方法，是数学思维的重要方法.解决数学问题的过程实质就是一个转化的过程，同学们要认真掌握.布置作业

课本p.38习题五1，3.课堂教学设计说明 1.指导思想

这节课本着“教师为主导，学生为主体，课本为主线”的原则进行设计.教师的主导作用，在于激发学生的求知欲，通过教师在课堂上的精心设计，以启发式教学为主，引导学生步入问题情境，同时发挥学生的主观能动性，师生共同推进课堂教学活动，使学生有一个积极的态度接受新知识.学生是课堂教学的主体.教师就是要引导学生讨论、学生发言，使得学生参加到数学教学活动中，使得学生兴趣盎然，思维活跃，这样有利于培养学生独立思考问题的习惯，发展学生的创造性思维能力，教师要注重学生的活动，同时给于肯定及鼓励.2.教学实施

(1)复习提问，不仅是旧知识的复习，而是有所深入、提高，同时在思维方法明确转化的思想方法.(2)在讲解两个平面平行的判定定理一时，教师不要急于得出结论，而是设计三个问题，逐步深入，引导学生自己发现结论，提高了学生解决问题的兴趣.又考虑到:反证法是高一立体几何中的一个重要而又难掌握的方法，虽然前几节课有所接触，然而对于同学而言仍属难点，为了分解难点，在学生提出用反证法之后，仍根据反证法的步骤，依次提出三个问题，引导学生证明，使证明方法容易接受.对于定理二，突出类比方法在解决问题中的应用及证明过程中的转化思想.(3)在选择例题时，讲求不要多，而要精，精心选择例题，使它确实能够起到复习、巩固本节课所学知识的作用.本节课所选的例题，比较简单.特别是两种证明方法中，第一种容易

篇3：直线与平面平行的判定

教学重点难点

教学重点在于判定定理的引入与理解, 难点在于判定定理的应用及立几空间感、空间观念的形成与逻辑思维能力的培养。

教学过程设计

一、知识准备, 新课引入

提问1:根据公共点的情况, 空间中直线a和平面有哪几种位置关系?并完成下表:

我们把直线与平面相交或平行的位置关系统称为直线在平面外, 用符号表示为a

二、判定定理的探求过程

1.直观感知。提问:根据日常生活的观察, 同学们能感知到直线与平面平行的具体事例吗?

生1:例举日光灯与天花板, 树立的电线杆与墙面。

生2:门转动到离开门框的任何位置时, 门的边缘线始终与门框所在的平面平行 (由学生到教室门前作演示) , 然后教师用多媒体动画演示。

2.动手实践。取出预先准备好的直角梯形泡沫板演示:把互相平行的一边放在讲台桌面上并转动, 观察另一边与桌面位置给人的平行感觉, 把直角腰放在桌面并转动时, 观察另一边与桌面给人的印象就不平行。

3.探究思考。 (1) 上述演示的直线与平面位置关系为何如此不同?其关键因素是什么?通过观察, 感知发现直线与平面平行的三个要素: (1) 平面外一条线 (2) 平面内一条直线 (3) 该两直线平行。 (2) 如果平面外的直线a与平面内的直线b平行, 那么直线a与平面平行吗?

4.归纳确认。直线和平面平行的判定定理:平面外的一条直线与平面内的一条直线平行, 则该直线和这个平面平行。

简单概括: (内外) 线线平行线面平行

符号表示:略

三、定理运用, 问题探究

1.想一想: (1) 判断下列命题的真假?说明理由: (1) 如果一条直线不在平面内, 则该直线就与平面平行 () 。 (2) 过直线外一点可以作无数个平面与这条直线平行 () 。 (3) 一直线上有二个点到平面的距离相等, 则这条直线与平面平行 () 。 (2) 若直线a与平面b内无数条直线平行, 则a与b的位置关系是 ()

A.a||b B.a⊥b C.a||b或a⊥b D.无法确定

2.做一做:

设a、b是二异面直线, 则过a、b外一点p且与a、b都平行的平面存在吗?若存在请画出平面, 不存在则说明理由?

先由学生讨论交流, 教师提问, 然后教师总结, 并用准备好的羊毛针、铁线、泡沫板等演示平面的形成过程, 最后借多媒体展示作图的动画过程。

3.证一证:

例:如图, 在正方体ABCD—A1B1C1D1中, E、F分别是棱BC与C1D1中点, 求证:EF||平面BDD1B1

图:略。

分析:根据判定定理, 必须在平面BDD1B1内找 (作) 一条线与EF平行, 联想到中点问题找中点解决的方法, 可以取BD或B1D1中点而证之。

思路一:取BD中点G连D1G、EG, 可证D1GEF为平行四边形。

思路二:取D1B1中点H连HB、HF, 可证HFEB为平行四边形。

4.练一练:

练习1:见课本6页练习1、2

变式:若将练习2中M、N改为AC、BF分点且AM=FN, 试问结论仍成立吗?试证之。

四、总结

先由学生口头总结, 然后教师归纳总结 (由多媒体幻灯片展示) :

1.线面平行的判定定理:平面外的一条直线与平面内的一条直线平行, 则该直线与这个平面平行。

2.定理的符号表示:简述: (内外) 线线平行则线面平行

3.定理运用的关键是找 (作) 面内的线与面外的线平行, 途径有:取中点利用平行四边形或三角形中位线性质等。

教学思考

本课的设计遵循“直观感知——操作确认——思辩论证”的认识过程, 注重引导学生通过观察、操作交流、讨论、有条理的思考和推理等活动, 从多角度认识直线和平面平行的判定方法, 让学生通过自主探索、合作交流, 进一步认识和掌握空间图形的性质, 积累数学活动的经验, 发展合情推理、发展空间观念与推理能力。同时注重训练学生准确表达数学符号语言、文字语言及图形语言, 加强各种语言的互译。比如课前的复习, 让学生用三种语言的表达, 动手实践、定理探求过程以及定理描述也注重三种语言的表达, 对例题的讲解与分析也注意指导学生三种语言的表达。

篇4：平面与平面平行教案

今天我出了小组内的公开课《平面与平面平行的判定》，课堂上的一些细节的东西真的很值得让我去思考，也让我明白了怎样才是真正的发挥学生的主体作用，上出以学生为主体，老师引导学生的探究课。

课应该说准备得很充分，但是我忽略了学生的想法。开始引入时，一切都很顺利。在我提出了两个探究问题后，并引导学生从直线和平面平行去考虑，然后给了学生几分钟的时间去探究这两个问题。也许是自己对这堂课太在乎了，也许是前两次出课在学生那里都出了点小状况，我就似乎不太敢把更多的表现机会留给学生，总想在学生讨论完简单说一下就将自己准备的模型给学生演示，可这又与新课改的设计相矛盾，当时心里真的有些不知怎么办才好，不过，我想还是应该给学生机会，让他们自己去充分研究，最后得到结论，真正的体会探究的过程，这样也能更加激发学生们的兴趣。于是，我就改变了自己最初的想法，在学生结束探究时，我提问：“谁想好了，你能说出结论吗？并上前面来为大家演示一下！”我观察着学生们，1秒，2秒……怎么没有人举手呢？就这么不给班主任面子啊？这时，我们班级的闫喜丽把手举了起来，说：“老师，我来吧！说错了是不是没有关系呀？”这个小丫头，这时候还有心思开玩笑！不过也许是我前两次出课对他们太严厉了，让他们不敢站出来答题。于是我说：“那你来吧，不过一定不能说错哟！”这样，用点轻松的语气，她似乎也放松了一些，拿了一本書，还有两只笔当作模型为同学们做演示。清晰的语言表述，熟练的演示模型，真的让我有些意外。真的不像平时的表现啊！她的回答及展示博得了听课老师及同学们的掌声，而且也很轻松的让学生有直观感知加上实际操作得到了――平面与平面平行的判定定理。余下的时间，课堂上的气氛也就更加活跃了，大家的积极性也都高涨了起来，最后很顺利的结束了这节课。

实际上，我们的教学就是为了把发现创造的机会还给学生，把成功的体验让给学生；为了立足于学生思维发展，着力于知识建构，就必须让学生有观察、动手、表达、交流、表现的机会。采用引导发现探究法，可激发学生学习的积极性和创造性，分享到探索知识的方法和乐趣，使数学教学成为再发现再创造的过程。我们作为年轻教师，作为新课改的第一参与人，更应该按照课标的要求，给学生表现的机会，真正的发挥学生的主体作用！

篇5：平面与平面平行教案

一、教学目标：

1、知识与技能

理解并掌握两平面平行的判定定理。

2、过程与方法

让学生通过观察实物及模型，得出两平面平行的判定。

3、情感、态度与价值观

进一步培养学生空间问题平面化的思想。

二、教学重点、难点

重点：两个平面平行的判定。

难点：判定定理、例题的证明。

三、学法与教学用具

1、学法：学生借助实物，通过观察、类比、思考、探讨，教师予以启发，得出两平面平行的判定。

2、教学用具：投影仪、投影片、长方体模型

四、教学思想

（一）创设情景、引入课题

引导学生观察、思考教材第57页的观察题，导入本节课所学主题。

（二）研探新知

1、问题：

（1）平面β内有一条直线与平面α平行，α、β平行吗？

（2）平面β内有两条直线与平面α平行，α、β平行吗？

通过长方体模型，引导学生观察、思考、交流，得出结论。

两个平面平行的判定定理：一个平面内的两条交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行。

教师指出：判断两平面平行的方法有三种：

（1）用定义；

（2）判定定理；

（3）垂直于同一条直线的两个平面平行。

2、例2 引导学生思考后，教师讲授。

例子的给出，有利于学生掌握该定理的应用。

（三）自主学习、加深认识

练习：教材第59页1、2、3题。

学生先独立完成后，教师指导讲评。

（四）归纳整理、整体认识

1、判定定理中的线与线、线与面应具备什么条件？

2、在本节课的学习过程中，还有哪些不明白的地方，请向老师提出。

（五）作业布置

篇6：平面与平面平行教案

专题训练

E是AA1的中点，求证：AC1、、如图，在正方体ABCDA1BC11D1中，1//

平面BDE。

1D1

B2、如图:平行四边形 ABCD 和平行四边形 CDEF有一条公共边

CD ,M为FC的中点 , 证明: AF //平面MBD.C

PCA、C分别是PBC、3、如图6-9，A、B、面ABCPAB的重心.求证：

∥面ABC.4、在长方体ABCD—A1B1C1D1中.（1）作出过直线AC且与直线BD1平行的截面，并说明理由.（2）设E，F分别是A1B和B1C的中点，求证直线EF//平面ABCD.D1 C

1A1B1

A5、、已知E、F、G、H为空间四边形ABCD的边AB、BC、CD、DA上的点，且ＥＨ∥ＦＧ．

求证：EH∥BD.(12分)

6、P是平行四边形ABCD所在平面外一点，PC//平面BDQ．（自己作图）

Q是PA的中点，求证：AEHBDFC7、如图，a//，A是的另一侧的点，B,C,Da，线段AB，AC，AD交于E，F，G，若BD4，CF4，AF5，则EG=___________．

篇7：平面与平面平行的性质

¤知识要点：

1.面面平行的性质：如果两个平行平面同时与第三个平面相交，那么它们的交线平行.用符号语言表示为：//,a,ba//b.2.其它性质：①//,ll//； ②//,ll；③夹在平行平面间的平行线段相等.¤例题精讲：

【例1】如图，设平面α∥平面β，AB、CD是两异面直线，M、N分别是AB、CD的中点，且A、C∈α，B、D∈β.求证：MN∥α.【例2】如图，A，B，C，D四点都在平面，外，它们在内的射影A1，B1，C1，D1是平行四边形的四个顶点，在内的射影A2，B2，C2，D2在一条直线上，求证：ABCD是平行四边形．

C1C B1 A1F

E MNEC

D N MA

【例

3】如图，在正三棱柱ABC—A1B1C1中，E、F、G是侧面对角线上的点，且BECFAG，求证：平面EFG∥平面ABC.【例4】如图，已知正方体ABCDA1B1C1D1，面对角线AB1，BC1上分别有两点E、F，且B1EC1F.求证：EF∥平面ABCD.直线与平面垂直的判定

¤知识要点：

1.定义：如果直线l与平面内的任意一条直线都垂直，则直线l与平面互相垂直，记作l.l－平面的垂线，－直线l的垂面，它们的唯一公共点P叫做垂足.（线线垂直线面垂直）

2.判定定理：一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则这条直线与该平面垂直.符号语言表示为：若l⊥m，l⊥n，m∩n＝B，m，n，则l⊥

3.斜线和平面所成的角，简称“线面角”，它是平面的斜线和它在平面内的射影的夹角.求直线和平面所成的角，几何法一般先定斜足，再作垂线找射影，然后通过解直角三角形求解，可以简述为“作（作出线面角）→证（证所作为所求）→求（解直角三角形）”.通常，通过斜线上某个特殊点作出平面的垂线段，垂足和斜足的连线是产生线面角的关键.¤例题精讲：

【例1】四面体ABCD中，ACBD,E,F分别为AD,BC的中点，且EF

BDC90，求证：BD平面ACD.AC，【例2】已知棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1，E是A1B1的中点，求直线AE与平面ABC1D1所成角的正弦值.【例3】三棱锥PABC中，PABC，PBAC，PO平面ABC，垂足为O，求证：O为底面△ABC垂心.【例4】已知RtABC，斜边BC//平面，A, AB，AC分别与平面成30°和45°的角，已知BC=6，求BC到平面的距离.平面与平面垂直的判定

¤知识要点： 1.定义：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫二面角（dihedral angle）.这条直线叫做二面角的棱，这两个半平面叫做二面角的面.记作二面角－AB－.（简记P－AB－Q）

2.二面角的平面角：在二面角－l－的棱l上任取一点O，以点O为垂足，在半平面,内分别作垂直于棱l的射线OA和OB，则射线OA和OB构成的AOB叫做二面角的平面角.范围：0180.3.定义：两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直.记作.4.判定：一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直.（线面垂直面面垂直）

¤例题精讲：

【例1】已知正方形ABCD的边长为1，分别取边BC、CD的中点E、F，连结AE、EF、AF，以AE、EF、FA为折痕，折叠使点B、C、D重合于一点P.（1）求证：AP⊥EF；（2）求证：平面APE⊥平面APF.ABC

【例2】如图, 在空间四边形ABCD中，ABBC,CDDA, E,F,G分别是

CD,DA,AC的中点，求证：平面BEF平面CBGD.【例3】如图，在正方体ABCDA1B1C1D1BC中，E是CC1的中点，求证：B1平面A1BD平面BED．

【例4】正三棱柱ABC—A1B1C1中，AA1=2AB，D、E分别是侧棱BB1、CC1上的点，且

EC=BC=2BD，过A、D、E作一截面，求：（1）截面与底面所成的角；（2）截面将三棱柱分成两部分的体积之比.线面、面面垂直的性质

¤知识要点：

1.线面垂直性质定理：垂直于同一个平面的两条直线平行.（线面垂直线线平行）

2.面面垂直性质定理：两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直.用符号语言表示为：若，l，a，al，则a.（面面垂直线面垂直）

¤例题精讲：

【例1】把直角三角板ABC的直角边BC放置于桌面，另一条直角边AC与桌面所在的平面垂直，a是内一条直线，若斜边AB与a垂直，则BC是否与a垂直？

【例2】如图，AB是圆O的直径，C是圆周上一点，PA⊥平面ABC.（1）求证：平面PAC⊥平面PBC；

（2）若D也是圆周上一点，且与C分居直径AB的两侧，试写出图中所有互相垂直的各对平面.【例3】三棱锥PABC中，PAPBPC,PO平面ABC，垂足为O，求证：O为底面△ABC的外心.【例4】三棱锥PABC中，三个侧面与底面的二面角相等，PO平面ABC，垂足为O，求证：O为底面△ABC的内心.小结：

1、证明两直线平行的主要方法是：

①三角形中位线定理：三角形中位线平行并等于底边的一半；

②平行四边形的性质：平行四边形两组对边分别平行；

③线面平行的性质：如果一条直线平行于一个平面，经过这条直线的平面与这个平面相交，那么这条直线和它们的交线平行；

④平行线的传递性：a//b,c//ba//c

⑤面面平行的性质：如果一个平面与两个平行平面相交，那么它们的交线平行；

⑥垂直于同一平面的两直线平行；

2、证明两直线垂直的主要方法：

①利用勾股定理证明两相交直线垂直；

②利用等腰三角形三线合一证明两相交直线垂直；

③利用线面垂直的定义证明（特别是证明异面直线垂直）；

④利用三垂线定理证明两直线垂直（“三垂”指的是“线面垂”“线影垂”，如图：POOA是PA在平面上的射影aPA又直线a,且aOA

即：线影垂直线斜垂直，反之也成立。

④利用圆中直径所对的圆周角是直角，此外还有正方形、菱形对角线互相垂直等结论。

3、空间角及空间距离的计算

（1）异面直线所成角：使异面直线平移后相交形成的夹角，通常在在两异面直线中的一条上取一点，过该点作另一条直线平行线，如图：直线a与b异面，b//b，直线a与直线b的夹角为两异面直线 a与b所成的角，异面直线所成角取值范围是（0，90]

（2）斜线与平面成成的角：斜线与它在平面上的射影成的角。如图：PA是平面的一条斜线，A为斜足，O为垂足，OA叫斜线PA在平面上射影，PAO为线面角。

（3）二面角：从一条直线出发的两个半平面形成的图形，如图为二面角l，二面角的大小指的是二面角的平面角的大小。二面角的平面角分别在两个半平面内且角的两边与二面角的棱垂直

如图：在二面角-l-中，O棱上一点，OA，OB，且OAl,OBl,则AOB为二面角-l-的平面角。

用二面角的平面角的定义求二面角的大小的关键点是：

①明确构成二面角两个半平面和棱； ②明确二面角的平面角是哪个？而要想明确二面角的平面角，关键是看该角的两边是否都和棱垂直。（求空间角的三个步骤是“一找”、“二证”、“三计算”）

4.异面直线间的距离：指夹在两异面直线之间的公垂线段的长度。如图PQ是两异面直线间的距离

（异面直线的公垂线是唯一的，指与两异面直线垂直且相交的直线）

5.点到平面的距离：指该点与它在平面上的射影的连线段的长度。如图：O为P在平面上的射影，线段OP的长度为点P到平面的距离

求法通常有：定义法和等体积法

篇8：平面镜与平行线

一、数学原理

要做出这些小玩具,我们首先要了解平面镜反射光线的原理与平行线的相关知识,平行线的相关知识相信同学们已经掌握得很好了,平面镜反射光线的原理其实也很简单(如图1).

点评在反射现象中,反射角等于入射角,利用等角的余角相等这个定理,我们可以进一步知道:射到平面镜上的光线和被反射出的光线与平面镜所夹的锐角相等.

二、生活应用

例1大家都知道潜水艇吧?它在军事上的作用可大了. 潜水艇下潜后,艇内人员可以用潜望镜来观察水面上的情况(如图2). 其实它的原理非常简单(如图3),潜望镜中的两个平面镜与水平方向的夹角都为45°,光线经过镜子反射时,∠1=∠2,∠3=∠4. 聪明的你一定能很快从数学角度解释进入潜望镜的光线和从潜望镜进入观察者眼睛的光线是平行的!

现在,是不是你也能利用手边材料做一个简易的潜望镜了呢?其实,潜望镜中的两个平面镜与水平方向的夹角不一定必须是45°,只要这两个平面镜是平行放置的就可以了(如图4). 另外这一应用在生活中还有很多,现在好多同学家都办了光纤上网,光在光纤中的传播也用到了这一原理哟(如图5),当然这个要复杂一些!

是不是挺有趣的?用两个平面镜在一起还可以玩出很多有趣的游戏. 下面我们再来看两个例子:

例2如图6,取一支激光笔将一束光线m射到平面镜a上,光线被平面镜a反射到平面镜b上,又被b反射.若被b反射出的光线为光线n,适当调节两平面镜a、b的夹角∠3,可以使任何经过平面镜a、b的两次反射后的反射光线n与原来的入射光线m平行. 是不是很神奇?请你想一想,这个∠3应该是多少度呢?

解析根据我们前面提到的平面镜反射光线的原理,我们可以知道∠1=∠2,∠4=∠5,如果m∥n,则∠α+∠β=180°,易得∠1+∠α+∠2+∠4+∠β+∠5=360°, 那么∠2+∠4=90°,再根据三角形内角和为180°可得∠3=90°. 即当∠3=90°时,可以使入射光线m与反射光线n平行.

有了上面的经验,我们就可以做这样一个游戏. 如图7,平面镜a、b的夹角为θ,入射光线AO平行于平面镜b入射到平面镜a上的点O处,经两次反射后,射出光线O′B平行于a,你是怎样调节∠θ的大小的?(答案在文后找)

例3如图8所示,平面镜OM与ON的夹角为θ,一条平行于平面镜ON的光线经过两个平面镜的多次反射后,能够沿着原来的光路返回,则平面镜之间的夹角不可能是().

A. 1° B. 2°

C. 3° D. 4°

解析还是根据平面镜反射光线的原理,我们可以画出光的反射光路图,根据光路图可以确定每次入射时入射角与两个平面镜夹角θ的关系,具体可以参考图9.

由图9可以看出第一次射到平面镜OM上的光线和被反射出的光线与平面镜OM所夹的锐角均为θ;第二次射到平面镜ON上的光线和被反射出的光线与平面镜ON所夹的锐角均为2θ;第三次射到平面镜OM上的光线和被反射出的光线与平面镜OM所夹的锐角均为3θ;……以此类推,第n次射到平面镜上的光线和被反射出的光线与平面镜所夹的角均为nθ. 光线要沿原路返回则必须是经过多次反射后,最后一次射到平面镜上的光线与平面镜的夹角应该是90°,即nθ=90°,可得θ=90°/n,由于n为自然数,所以θ不能等于4°,故选择D.

评注生活中其实蕴含着许多数学知识,当大家把自己学习到的知识与实际问题联系起来时往往会有一些既有趣又非常神奇的发现,让我们更多地关注生活与数学的联系,你会有更大收获!

篇9：平面与平面平行教案

【关键词】高中数学引导探究抽象概括培养能力

【中图分类号】G633.63 【文献标识码】B 【文章编号】2095-3089（2014）8 -0231-02

一、教学内容分析

本节课是在前面已学空间点、线、面位置关系的基础作为学习的出发点，结合有关的实物模型，通过直观感知、操作确认（合情推理，不要求证明）归纳出直线与平面平行的判定定理。本节课的学习对培养学生空间感与逻辑推理能力起到重要作用，特别是对线线平行、面面平行的判定的学习作用重大。

二、学生学习情况分析

任教的学生在年段属中上程度，学生学习兴趣较高，但学习立几所具备的语言表达及空间感与空间想象能力相对不足，学习方面有一定困难。

三、设计思想

遵循从具体到抽象的原则，适当运用多媒体辅助教学手段，借助实物模型，通过直观感知，操作确认，合情推理，归纳出直线与平面平行的判定定理，将合情推理与演绎推理有机结合，让学生在观察分析、自主探索、合作交流的过程中，揭示直线与平面平行的判定、理解数学的概念，领会数学的思想方法，养成积极主动、勇于探索、自主学习的学习方式，发展学生的空间观念和空间想象力，提高学生的数学逻辑思维能力。

四、教学目标

通过直观感知——观察——操作确认的认识方法理解并掌握直线与平面平行的判定定理，掌握直线与平面平行的画法并能准确使用数学符号语言、文字语言表述判定定理。培养学生观察、探究、发现的能力和空间想象能力、逻辑思维能力。让学生在观察、探究、发现中学习，在自主合作、交流中學习，体验学习的乐趣，增强自信心，树立积极的学习态度，提高学习的自我效能感。

五、教学重点与难点

重点是判定定理的引入与理解，难点是判定定理的应用及立几空间感、空间观念的形成与逻辑思维能力的培养。

六、教学过程设计

（一）知识准备、新课引入

提问1：根据公共点的情况，空间中直线a和平面有哪几种位置关系？

提问2：根据直线与平面平行的定义（没有公共点）来判定直线与平面平行你认为方便吗？谈谈你的看法，并指出是否有别的判定途径。

（二）判定定理的探求过程

1、直观感知

提问：根据同学们日常生活的观察，你们能感知到并举出直线与平面平行的具体事例吗？

生1：例举日光灯与天花板，树立的电线杆与墙面。

生2：门转动到离开门框的任何位置时，门的边缘线始终与门框所在的平面平行（由学生到教室门前作演示），然后教师用多媒体动画演示。

[学情预设：此处的预设与生成应当是很自然的，但老师要预见到可能出现的情况如电线杆与墙面可能共面的情形及门要离开门框的位置等情形。]

2、动手实践

教师取出预先准备好的直角梯形泡沫板演示：当把互相平行的一边放在讲台桌面上并转动，观察另一边与桌面的位置给人以平行的感觉，而当把直角腰放在桌面上并转动，观察另一边与桌面给人的印象就不平行。又如老师直立讲台，则大家会感觉到老师（视为线）与四周墙面平行，如老师向前或后倾斜则感觉老师（视为线）与左、右墙面平行，如老师向左、右倾斜，则感觉老师（视为线）与前、后墙面平行（老师也可用事先准备的木条放在讲台桌上作上述情形的演示）。

[设计意图：设置这样动手实践的情境，是为了让学生更清楚地看到线面平行与否的关键因素是什么，使学生学在情境中，思在情理中，感悟在内心中，学自己身边的数学，领悟空间观念与空间图形性质。]

3、探究思考

（1）上述演示的直线与平面位置关系为何有如此的不同？关键是什么因素起了作用呢？通过观察感知发现直线与平面平行，关键是三个要素：①平面外一条线 ②平面内一条直线 ③这两条直线平行。

（2）如果平面外的直线a与平面内的一条直线b平行，那么直线a与平面平行吗？

4、归纳确认：（多媒体幻灯片演示）

直线和平面平行的判定定理：平面外的一条直线与平面内的一条直线平行，则该直线和这个平面平行。

简单概括：（内外）线线平行线面平行

作用：判定或证明线面平行。

关键：在平面内找（或作）出一条直线与面外的直线平行。

思想：空间问题转化为平面问题。

（三）定理运用，问题探究（多媒体幻灯片演示）

1、想一想：

（1）判断下列命题的真假？说明理由：

①如果一条直线不在平面内，则这条直线就与平面平行（）

②过直线外一点可以作无数个平面与这条直线平行（）

③一直线上有二个点到平面的距离相等，则这条直线与平面平行（）

2、作一作：

设a、b是二异面直线，则过a、b外一点p且与a、b都平行的平面存在吗？若存在请画出平面，不存在说明理由？

先由学生讨论交流，教师提问，然后教师总结，并用准备好的羊毛针、铁线、泡沫板等演示平面的形成过程，最后借多媒体展示作图的动画过程。

[设计意图：这是一道动手操作的问题，不仅是为了拓展加深对定理的认识，更重要的是培养学生空间感与思维的严谨性。]

3、证一证：

例1（见课本60页例1）：已知空间四边形ABCD中，E、F分别是AB、AD的中点，求证：EF || 平面BCD。

变式一：空间四边形ABCD中，E、F、G、H分别是边AB、BC、CD、DA中点，连结EF、FG、GH、HE、AC、BD请分别找出图中满足线面平行位置关系的所有情况。

变式二：在变式一的图中如作PQ EF，使P点在线段AE上、Q点在线段FC上，连结PH、QG，并继续探究图中所具有的线面平行位置关系？（在变式一的基础上增加了4组线面平行），并判断四边形EFGH、PQGH分别是怎样的四边形，说明理由。

[设计意图：设计二个变式训练，目的是通过问题探究、讨论，思辨，及时巩固定理，运用定理，培养学生的识图能力与逻辑推理能力。]

（四）总结

先由学生口头总结，然后教师归纳总结（由多媒体幻灯片展示）：

1、线面平行的判定定理：平面外的一条直线与平面内的一条直线平行，则该直线与这个平面平行。

2、定理的符号表示：简述：（内外）线线平行则线面平行

3、定理运用的关键是找（作）面内的线与面外的线平行，途径有：取中点利用平行四边形或三角形中位线性质等。

七、教学反思

本节课的设计遵循“直观感知——操作确认——思辩论证”的认识过程，注重引导学生通过观察、操作交流、讨论、有条理的思考和推理等活动，从多角度认识直线和平面平行的判定方法，让学生通过自主探索、合作交流，进一步认识和掌握空间图形的性质，积累数学活动的经验，发展合情推理、发展空间观念与推理能力。

篇10：平面与平面平行教案

2.2.4平面与平面平行的性质

整体设计

教学分析

空间中平面与平面之间的位置关系中，平行是一种非常重要的位置关系，它不仅应用较多，而且是空间问题平面化的典范.空间中平面与平面平行的判定定理给出了由线面平行转化为面面平行的方法；面面平行的性质定理又给出了由面面平行转化为线线平行的方法，所以本节在立体几何中占有重要地位.本节重点是平面与平面平行的判定定理及其性质定理的应用.三维目标

1.通过图形探究平面与平面平行的判定定理及其性质定理.2.熟练掌握平面与平面平行的判定定理和性质定理的应用.3.进一步培养学生的空间想象能力,以及逻辑思维能力.重点难点

教学重点:平面与平面平行的判定与性质.教学难点:平面与平面平行的判定.课时安排

1课时

教学过程

导入新课

思路1.(情境导入)

大家都见过蜻蜓和直升飞机在天空飞翔，蜻蜓的翅膀可以看作两条平行直线，当蜻蜓的翅膀与地面平行时，蜻蜓所在的平面是否与地面平行？直升飞机的所有螺旋桨与地面平行时，能否判定螺旋桨所在的平面与地面平行？由此请大家探究两平面平行的条件.思路2.(事例导入)

三角板的一条边所在直线与桌面平行，这个三角板所在的平面与桌面平行吗？三角板的两条边所在直线分别与桌面平行，情况又如何呢？下面讨论平面与平面平行的判定问题.提出问题

①回忆空间两平面的位置关系.②欲证线面平行可转化为线线平行，欲判定面面平行可如何转化？

③找出恰当空间模型加以说明.④用三种语言描述平面与平面平行的判定定理.⑤应用面面平行的判定定理应注意什么？

⑥利用空间模型探究：如果两个平面平行，那么一个平面内的直线与另一个平面内的直线具有什么位置关系？

⑦回忆线面平行的性质定理，结合模型探究面面平行的性质定理.⑧用三种语言描述平面与平面平行的性质定理.⑨应用面面平行的性质定理的难点在哪里？

⑩应用面面平行的性质定理口诀是什么？

活动：先让学生动手做题后再回答，经教师提示、点拨，对回答正确的学生及时表扬，对回答不准确的学生提示引导考虑问题的思路.问题①引导学生回忆两平面的位置关系.问题②面面平行可转化为线面平行.问题③借助模型锻炼学生的空间想象能力.问题④引导学生进行语言转换.问题⑤引导学生找出应用平面与平面平行的判定定理容易忽视哪个条件.问题⑥引导学生画图探究，注意考虑问题的全面性.问题⑦注意平行与异面的区别.问题⑧引导学生进行语言转换.问题⑨作辅助面.问题⑩引导学生自己总结，把握面面平行的性质.讨论结果：①如果两个平面没有公共点，则两平面平行若α∩β=,则α∥β.如果两个平面有一条公共直线，则两平面相交若α∩β=AB,则α与β相交.两平面平行与相交的图形表示如图

1.图

1②由两个平面平行的定义可知：其中一个平面内的所有直线一定都和另一个平面平行.这是因为在这些直线中，如果有一条直线和另一平面有公共点，这点也必是这两个平面的公共点，那么这两个平面就不可能平行了.另一方面，若一个平面内所有直线都和另一个平面平行，那么这两个平面平行，否则，这两个平面有公共点，那么在一个平面内通过这点的直线就不可能平行于另一个平面.由此将判定两个平面平行的问题转化为一个平面内的直线与另一个平面平行的问题，但事实上判定两个平面平行的条件不需要一个平面内的所有直线都平行于另一平面，到底要多少条直线（且直线与直线应具备什么位置关系）与另一面平行，才能判定两个平面平行呢？ ③如图2,如果一个平面内有一条直线与另一个平面平行，两个平面不一定平行

.图2 例如：AA′平面AA′D′D,AA′∥平面DCC′D′;但是,平面AA′D′D∩平面DCC′D′=DD′.如图3,如果一个平面内有两条直线与另一个平面平行，两个平面也不一定平行

.图

3例如：AA′平面AA′D′D,EF平面AA′D′D,AA′∥平面DCC′D′,EF∥平面DCC′D′;但是,平面AA′D′D∩平面DCC′D′=DD′.如图4,如果一个平面内有两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面一定平行

.图

4例如：A′C′平面A′B′C′D′,B′D′平面A′B′C′D′,A′C′∥平面ABCD,B′D′∥平面ABCD;直线A′C′与直线B′D′相交.可以判定,平面A′B′C′D′∥平面ABCD.④两个平面平行的判定定理：

如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行.以上是两个平面平行的文字语言，另外面面平行的判定定理的符号语言为：若aα，bα，a∩b=A,且a∥α,b∥β，则α∥β.图形语言为：如图

5,图

5⑤利用判定定理证明两个平面平行，必须具备：(Ⅰ)有两条直线平行于另一个平面;(Ⅱ)这两条直线必须相交.尤其是第二条学生容易忽视，应特别强调.⑥如图6,借助长方体模型，我们看到，B′D′所在的平面A′C′与平面AC平行，所以B′D′与平面AC没有公共点.也就是说，B′D′与平面AC内的所有直线没有公共点.因此，直线B′D′与平面AC内的所有直线要么是异面直线，要么是平行直线

.图6

⑦直线与平面平行的性质定理用文字语言表示为：如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行.因为，直线B′D′与平面AC内的所有直线要么是异面直线，要么是平行直线，只要过B′D′作平面BDD′B′与平面AC相交于直线BD，那么直线B′D′与直线BD平行.如图

7.图7

⑧两个平面平行的性质定理用文字语言表示为：

如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行.//



两个平面平行的性质定理用符号语言表示为：aa∥b.b

两个平面平行的性质定理用图形语言表示为：如图

8.图8

⑨应用面面平行的性质定理的难点是：过某些点或直线作一个平面.⑩应用线面平行性质定理的口诀：“见到面面平行，先过某些直线作两个平面的交线.” 应用示例

例1已知正方体ABCD—A1B1C1D1，如图9,求证：平面AB1D1∥平面BDC1

.图9

活动：学生自己思考或讨论，再写出正确的答案.教师在学生中巡视学生的解答，发现问题及时纠正,并及时评价.证明：∵ABCD—A1B1C1D1为正方体，∴D1C1∥A1B1,D1C1=A1B1.又∵AB∥A1B1,AB=A1B1, ∴D1C1∥AB,D1C1=AB.∴四边形ABC1D1为平行四边形.∴AD1∥BC1.又AD1平面AB1D1，BC1平面AB1D1，∴BC1∥平面AB1D1.同理，BD∥平面AB1D1.又BD∩BC1=B，∴平面AB1D1∥平面BDC1.变式训练

如图10,在正方体ABCD—EFGH中，M、N、P、Q、R分别是EH、EF、BC、CD、AD的中点，求证：平面MNA∥平面PQG

.图10 证明：∵M、N、P、Q、R分别是EH、EF、BC、CD、AD的中点，∴MN∥HF,PQ∥BD.∵BD∥HF, ∴MN∥PQ.∵PR∥GH,PR=GH;MH∥AR,MH=AR,∴四边形RPGH为平行四边形，四边形ARHM为平行

四边形.∴AM∥RH,RH∥PG.∴AM∥PG.∵MN∥PQ,MN平面PQG,PQ平面PQG,∴MN∥平面PQG.同理可证，AM∥平面PQG.又直线AM与直线MN相交，∴平面MNA∥平面PQG.点评：证面面平行，通常转化为证线面平行，而证线面平行又转化为证线线平行，所以关键是证线线平行.例2证明两个平面平行的性质定理.解：如图11,已知平面α、β、γ满足α∥β,α∩γ=a,β∩γ=b,求证:a∥

b.图1

1证明：∵平面α∥平面β, ∴平面α和平面β没有公共点.又aα，bβ, ∴直线a、b没有公共点.又∵α∩γ=a，β∩γ=b, ∴aγ，bγ.∴a∥b.变式训练

如果两个平面分别平行于第三个平面，那么这两个平面互相平行.解：已知α∥β，γ∥β，求证：α∥γ.证明：如图12，作两个相交平面分别与α、β、γ交于a、c、e和b、d、f,图1

2//

a//c

b//da//ea//

//.c//eb//fb//

//

d//f

点评：欲将面面平行转化为线线平行，先要作平面.知能训练

已知：a、b是异面直线，a平面α,b平面β，a∥β，b∥α.求证：α∥β.证明：如图13,在b上任取点P，显然Pa.于是a和点P确定平面γ，且γ与β有公共点P.图1

3设γ∩β=a′，∵a∥β，∴a′∥a.∴a′∥α.这样β内相交直线a′和b都平行于α，∴α∥β.拓展提升