2024高中数学选修1-2推理与证明(文科班)

2024高中数学选修1-2推理与证明(文科班)（通用8篇）

篇1：2024高中数学选修1-2推理与证明(文科班)

C5高二文科数学周末训练卷------选修1-2《推理与证明》

一、选择题

1.下列表述正确的是（）.①归纳推理是由部分到整体的推理；②归纳推理是由一般到一般的推理；③演绎推理是由一般到特殊的推理；④类比推理是由特殊到一般的推理；⑤类比推理是由特殊到特殊的推理.A．①②③； B．②③④； C．②④⑤； D．①③⑤.2.有一段演绎推理是这样的：“直线平行于平面,则平行于平面内所有直线；已知直线

b平面，直线a平面，直线b∥平面，则直线b∥直线a”的结论显然是错误的，这是因为

A.大前提错误B.小前提错误C.推理形式错误D.非以上错误 3.下列推理是归纳推理的是()

A.A、B为定点，动点P满足|PA|＋|PB|＝2a＞|AB|，得P的轨迹为椭圆

B.由a1＝1，an＝3n－1，求出S1，S2，S3，猜想出数列的前n项和Sn的表达式

22xy222

2C.由圆x＋y＝r的面积πr，猜出椭圆22＝1的面积S＝πab

ab

D.科学家利用鱼的沉浮原理制造潜艇

4.为研究变量x和y的线性相关性，甲、乙二人分别作了研究，利用线性回归方法得到回归直线方程l1和l2，两人计算知相同，也相同，下列正确的是：

A． l1与l2重合B． l1与l2一定平行C ．l1与l2相交于点(,)D． 无法判断l1和l2是否相交 5.设x1,yx

10、把正整数按下图所示的规律排序，则从2003到2005 的箭头方向依次为

二、填空题

11．如图（1）有面积关系

SPA1B1SPABVPA1B1C1PA1PB

1，则图（2）有体积关系_______________

PAPBVPABC

4的最小值是（）A2B3C4D5 x1

6.已知{bn}为等比数列，b52，则b1b2b929。若an为等差数列，a52，则an的类似结论为

A a1a2a929B a1a2a929C a1a2a929D a1a2a929

7.已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x+2)=－f(x),则f(6)的值为(A)－1(B)0(C)1(D)

2PA1A

图1图2 12、若f(ab)f(a)f(b)(a,bN),且f(1)2，则

13、已知数列an的通项公式an

C

A

f(2)f(4)f(2012)

f(1)f(3)f(2011)

(nN)，记f(n)(1a1)(1a2)(1an)，试

2(n1)

______.通过计算f(1),f(2),f(3)的值，推测出f(n)__________观察下列等式:

(11)2

1(21)(22)2213(31)(32)(33)2313

5x(xy)31

8.定义运算xy,例如344,则()(cos2sin)的最大值是（）

24y(xy)

A4B3C2D19、对于直线m，n和平面、β，⊥β的一个充分条件是()A.m⊥n，m∥，n∥βB.m⊥n，∩β＝m，n C.m∥n，n⊥β，mD.m∥n，m⊥，n⊥β

照此规律, 第n个等式可为________.15、若直线y=kx与曲线y=lnx相切，则k=.三、解答题

16、数列an的前n项和记为Sn，已知a11，an1证明：⑴数列

17、设f(x)

n

2sn(n1,2,3).n

18．已知函数f(x)x2xsinxcosx.(Ⅰ)若曲线yf(x)在点(a,f(a)))处与直线yb相切,求a与b的值.(Ⅱ)若曲线yf(x)与直线yb 有两个不同的交点,求b的取值范围.2x132

f(x)xeaxbx19、设函数，已知x2和x1为f(x)的极值点．

sn

是等比数列；⑵sn14an.n

122

x，先分别求得可求得f(0)f(1),f(1)f(2)，f(2)f(3)，然后归

（Ⅰ）求a和b的值；（Ⅱ）讨论f(x)的单调性；（Ⅲ）设大小.g(x)

xx23，试比较f(x)与g(x)的纳出一般性的结论，并给出证明.

篇2：2024高中数学选修1-2推理与证明(文科班)

2.1合情推理与演绎推理

2.1.1合情推理

学案编制张永国

目标定位：

了解合情推理的含义（易混点）

理解归纳推理和类比推理的含义，并能运用它进行简单的推理（重点、难点）

了解合情推理在数学发展中的作用（难点）

一、自主学习：

归纳推理:

1.归纳推理:由某类事物的_______对象具有某些特征,推出该类事物的________对象________这些特征的推理,或者由_________概括出_______的推理,称为归纳推理.简言之,归纳推理是由________到_______、由_______到_______的推理.2.归纳推理的一般步骤:

第一步,通过观察个别情况发现____________;

第二步,从已知的相同性质中推出一个能_______________.思考探究:

1.归纳推理的结论一定正确吗?

2.统计学中,从总体中抽取样本,然后用样本估计总体,是否属归纳推理?

类比推理

1.类比推理:由两类对象具有某些类似特征和其中___________对象的某些已知特征,推出另一类对象_________这些特征的推理.简言之,类比推理是由_________到________的推理.2.类比推理的一般步骤:

第一步:找出两类事物之间的________________;

第二步:用一类事物的性质去推理另一类事物的性质,得出__________________.思考探究:

1.类比推理的结论能作为定理应用吗?

2.(1)圆有切线,切线与圆只交于一点,切点到圆心的距离等于半径.由此结论如何类比到球体?

(2)平面内不共线的三点确定一个圆.由此结论如何类比得到空间的结论?

合情推理

1.定义:归纳推理和类比推理都有是根据已有的事实,经过观察、分析、比较、联想,再进行归纳、类比,然后提出猜想的推理,我们把它们统称为合情推理.简言之,合情推理就是合乎情理的推理.2.推理的过程:

→

→

思考探究:

1.归纳推理与类比推理有何区别与联系?

2.(1)由直角三角形、等腰三角形、等边三角形内角和是180°,得出所有三角形内角和都是180°;

(2)某次考试张军成绩是100分,得出全班同学成绩都是100分.以上是否属于合情推理?

二、典例剖析：

例1.根据下列条件,写出数列的前4项,并归纳猜想它的通项公式.(1)a1= 0, an1=an+(2n-1)(n∈N*);

(2)a1= 1, an1=1 a(n∈N*).2n

自主解答:

方法技巧:

例2.已知椭圆具有性质:若M、N是椭圆C上关于原点对称的两个点,点P是椭圆上任意一点,当直线PM、PN的斜率kPM、kPN都存在时,那么kPM与kPN之积是与点P的位置无关的定

x2y

2值,试写出双曲线221具有类似的性质,并加以证明.ab

自主解答:

方法技巧:

三、学后总结反思.1.2演绎推理

学案编制张永国

目标定位：

理解演绎推理的含义（重点）

掌握演绎推理的模式，会利用三段论进行简单推理（重点、难点）

合情推理与演绎推理之间的区别与联系

一、自主学习：

演绎推理的含义:

1.演绎推理是从一般性的原理出发,推出_________的结论.演绎推理又叫_______推理.2.演绎推理的特点是_____________的推理.思考探究:

演绎推理的结论一定正确吗?

演绎推理的模式

1.演绎推理的模式采用“三段论”:

(1)大前提——已知的___________(M是P);

(2)小前提——所研究的__________(S是M);

(3)结论——根据一般原理,对特殊情况做出的判断(S是P).2.从集合的角度看演绎推理:

(1)大前提:x∈M且x具有性质P;

(2)小前提：y∈S且SM

(3)结论__________.思考探究:

1.把“函数y=x+2x-3的图象是一条抛物线”作为结论,用三段论表示为:大前提:_________,小前提:______,结论___________.2.指出下面推理的大前提小前提及结论并判断是否有错误.无限小数是无理数，22=0.6666666…是无限小数，32是无理数.3

演绎推理与合情推理

合情推理与演绎推理的关系:

(1)从推理形式上看,归纳是由________到_______个别到一般的推理,类比是由_________到______的推理;演绎推理是由________到________的推理.(2)从推理所得的结论来看,合情推理的结论_____________,有待进一步证明;演绎推理在_______和___________都正确的前提下,得到的结论一定正确.思考探究:

1.合情推理与演绎推理有什么联系.2.指出下列推理的形式是什么?

(1)《论语》云:“名不正,则言不顺;言不顺,则事不成;事不成,则礼乐不兴;礼乐不兴,则刑罚不中;刑罚不中,则民不无所措手足;所以名不正,则民无所措手足.”

(2)金、银、铜、铁都能导电,金、银、铜、铁都是金属,所以金属都能导电.二、典例剖析：

例1.把下列演绎推理写成三段论的形式.①所有导体通电时发热,铁是导体,所以铁通电时发热;

②平行四边形的对角线互相平分,菱形是平行四边形,所以菱形的对角线互相平分； ③一次函数是单调函数,函数y=3x-2是一次函数,所以函数y=3x-2是单调函数.自主解答:

方法技巧:

例2.如图所示,D、E、F分别是BC、CA、AB边上的点,∠BFD=∠A,DE∥BA,求证:DE=AF.自主解答:

方法技巧:

例3.求证:函数ƒ(x)=-x+2x在(-∞,1)上为增函数.自主解答:

方法技巧:

篇3：2024高中数学选修1-2推理与证明(文科班)

自主整理

1.合情推理的结论有时不正确,对于数学命题,需要通过___________严格证明.2.___________是最常见的一种演绎推理形式.第一段讲的是一般性道理,称为___________;第二段讲的是研究对象的特殊情况,称为_____________;第三段是由大前提和小前提作出的判断,称为_____________.高手笔记

1.三段论是演绎推理的一般模式,可表示为: 大前提:M是P, 小前提:S是M, 结论:S是P.2.在应用三段论证明的过程中,因为作为一般性道理的大前提被人们熟知了,所以书写时往往省略大前提.3.合情推理是认识世界、发现问题的基础.结论不一定正确.演绎推理是证明命题、建立理论体系的基础,二者相辅相成,在数学中证明一个命题,就是根据命题的条件和已知的定义、公理、定理,利用演绎推理的法则将命题推导出来,只要在大前提、小前提和推理形式都正确的前提下,得到的结论就正确.名师解惑 三段论推理

剖析:三段论法的论断基础是这样一个公理：“凡肯定(或否定)了某一类对象的全部,也就肯定(或否定)了这一类对象的各部分或个体.”简言之:“全体概括个体.”

三段论中大前提是一个一般性结论,都具有的结论是共性,小前提是指其中的一个,结论为这一个也具有大前提中的结论,要得到一个正确的结论,大前提和小前提都必须正确,二者中一个有错误,结论就不正确,如所有的动物都用肺呼吸,鱼是动物,所以鱼用肺呼吸,此推理显然错误,错误的原因是大前提错了.再如所有的能被2整除的数是偶数.合数是偶数所以合数能被2整除.错误的原因是小前提错了.讲练互动

【例1】梯形的两腰和一底如果相等,它的对角线必平分另一底上的两个角.已知在如图所示的梯形ABCD中,AD∥BC,AD=DC=AD,AC和BD是它的对角线.求证:AC平分∠BCD,BD平分∠CBA.分析：本题可由三段论逐步推理论证.证明：(1)等腰三角形两底角相等,(大前提)△DAC是等腰三角形,DA、DC为两腰,(小前提)∴∠1=∠2.(结论)(2)两条平行线被第三条直线截出的内错角相等,(大前提)∠1和∠3是平行线AD、BC被AC截出的内错角,(小前提)∴∠1=∠3.(结论)(3)等于同一个量的两个量相等,(大前提)∠2和∠3都等于∠1,(小前提)∴∠2=∠3,(结论)即AC平分∠BCD.(4)同理DB平分∠CBA.绿色通道

命题的推理证明为多个三段论,称为复合三段论.事实上,每一次三段论的大前提可不写出,某一次三段论的小前提如果是它前面某次三段论的结论,也可不再写出,即过程可简写.变式训练

1.如图所示,D、E、F分别是BC、CA、AB边上的点,∠BFD=∠A,DE∥BA.求证:ED=AF.证明:(1)同位角相等,两条直线平行,(大前提)∠BFD与∠A是同位角,且∠BFD=∠A,(小前提)∴DF∥EA.(结论)(2)两组对边分别平行的四边形是平行四边形,(大前提)DE∥BA,且DF∥EA,(小前提)∴四边形AFDE为平行四边形.(结论)(3)平行四边形的对边相等,(大前提)ED和AF为平行四边形的对边,(小前提)∴ED=AF.(结论)【例2】在四边形ABCD中,AB=CD,BC=AD(如图).求证:ABCD为平行四边形.写出三段论形式的演绎推理.分析：原题可用符号表示为(AB=CD)且(BC=AD)ABCD.用演绎推理来证明论题的方法,也就是从包含在论据中的一般原理推出包含在此题中的个别特殊事实.为了证明这个命题为真,我们只需在假设前提(AB=CD且BC=AD)为真的情况下,以已知公理、已知定义、已知定理为依据,根据推理规则,导出结论ABCD为真.证明：(1)连结AC,(公理)(2)(AB=CD)且(BC=AD),(已知)AC=AC,(公理)(AB=CD)且(BC=DA)且(CA=AC).(3)平面几何中的边边边定理是:有三边对应相等的两个三角形全等.这一定理相当于: 对于任意两个三角形,如果它们的三边对应相等,则这两个三角形全等.(大前提)如果△ABC和△CDA的三边对应相等.(小前提)则这两个三角形全等.(结论)符号表示:(AB=CD)且(BC=DA)且(CA=AC)△ABC≌△CDA.(4)由全等形的定义,可知全等三角形的对应角相等.这一性质相当于: 对于任意两个三角形,如果它们全等,则它们对应角相等.(大前提)如果△ABC和△CDA全等,(小前提)则它们的对应角相等.(结论)用符号表示,就是

△ABC≌△CDA(∠1=∠2)且(∠3=∠4)且(∠B=∠D).(5)两条直线被第三条直线所截,如果内错角相等,那么这两条直线平行.(平行线判定定理)(大前提)直线AB、DC被直线AC所截,若内错角∠1=∠2, ∠1=∠2.(小前提)(已证)AB∥DC,BC∥AD.(AB∥DC)且(BC∥AD).(结论)(同理)(6)如果四边形的两组对边分别平行,那么这个四边形是平行四边形.(平行四边形定义)(大前提)在四边形ABCD中,两组对边分别平行,(小前提)四边形ABCD为平行四边形.(结论)符号表示为AB∥DC,且AD∥BC四边形ABCD为平行四边形.绿色通道

像上面这样详细地分析一个证明的步骤,对于养成严谨的推理习惯,发展抽象思维能力,是有一定的积极作用,但书写起来非常烦琐,一般可以从实际出发省略大前提或小前提,采用简略的符号化写法,比如,本例题的证明,通常可以这样给出: 证明:连结AC.ABCD12AB//DCBCDA△ABC≌△CDA四边形ABCD为平行四边形.34BC//ADCAAC变式训练

2.如图所示为三个拼在一起的正方形,求证:α+β=

.4

,0<β<, 2211∴0<α+β<π.又tanα=,tanβ=，2311tantan23=1.∴tan(α+β)=111tantan123证明:根据题意0<α<∵0<α+β<π, ∴在(0,π)内正切值等于1的角只有一个∴α+β=

.4.4【例3】如图所示,A、B、C、D四点不共面,M、N分别是△ABD和△BCD的重心.求证:MN∥平面ACD.分析：证明线面平行,关键是在面内找到一条直线与已知直线平行即可,本题是三段论证明的应用.证明：连结BM、BN并延长分别交AD、DC于P、Q两点,连结PQ.∵M、N分别是△ABD和△BCD的重心, ∴P、Q分别为AD、DC的中点.又∵BMBN=2=,∴MN∥PQ.MPNQ又∵MN平面ADC,PQ平面ADC, ∴MN∥平面ACD.绿色通道

本题为一个三段论推理的问题,可以简写,遵循的原则是:如果ab,bc,则ac.变式训练

3.如图所示,P是ABCD所在平面外一点,Q是PA的中点,求证:PC∥平面BDQ.证明:连结AC交BD于O, ∵四边形ABCD是平行四边形, ∴AO=OC.连结OQ, 又OQ是△APC的中位线,∴PC∥OQ.∵PC在平面BDQ外,OQ平面BDQ, ∴PC∥平面BDQ.632【例4】证明函数f(x)=x-x+x-x+1的值恒为正数.分析：可对x的所有不同取值逐一给出证明,即完全归纳推理.证明：当x<0时,f(x)各项都是正数, ∴当x<0时,f(x)为正数;62当0≤x≤1时,f(x)=x+x(1-x)+(1-x)>0;33当x>1时,f(x)=x(x-1)+x(x-1)+1>0.综上所述,f(x)的值恒为正数.绿色通道

有关代数运算推理,也可用三段论表述,注意大前提和小前提必须明确.变式训练 4.证明函数f(x)=-x2+2x在(-∞,1］上是增函数.证明:任取x1、x2∈(-∞,1］,且x10.∵x1、x2≤1,x1≠x2, ∴x2+x1-2<0.∴f(x1)-f(x2)<0,即f(x1)

2+2x在(-∞,1］上是增函数.教材链接

篇4：2024高中数学选修1-2推理与证明(文科班)

lzh 第 2 页 2013-5-311、下面是按照一定规律画出的一列“树型”图：经观察可以发现：

图（2）比图（1）多出2个“树枝”；图（3）比图（2）多出5个“树枝”；

图（4）比图（3）多出10个“树枝”；

(1)(2)(3)(4)(5)…照此规律，图（7）比图（6）多出_______个“树枝”.1用火柴棒摆“金鱼”，如图所示：

„

③ ② ①

13、按照上面的规律，第n个“金鱼”图需要火柴棒的根数为．

x2y

2若P则过Po作椭圆的两条切线的切点为P1、P2，则直线P1P2（称0(x0,y0)在椭圆221外，ab

为切点弦P1P2）的方程是x0xy0y21．那么对于双曲线则有如下命题：若P0(x0,y0)在双曲线a2b

x2y

21（a＞0,b＞0）外，则过Po作双曲线的两条切线的切点为P1、P2，则切点弦P1P2的a2b

2直线方程是．

14、下列是关于复数的类比推理：

①复数的加减法运算可以类比多项式的加减法运算法则；

②由实数绝对值的性质|x|2x2类比得到复数z的性质|z|2z2；

③已知a,bR，若ab0，则ab类比得已知z1,z2C，若z1z20，则z1z2;④由向量加法的几何意义可以类比得到复数加法的几何意义.其中推理结论正确的是．．

二、解答题：

15.用三段论证明函数f(x)x2x在,1上是增函数.2

lzh

222第 3 页 2013-5-3 16．已知：sin30sin90sin1503 2

sin25sin265sin2125

17．已知a,b,c均为实数，且ax2y

求证：a,b,c中至少有一个大于0.18．已知abc, 求证：2通过观察上述两等式的规律，请你写出一般性的命题，并给出的证明.2,by22z3,cz22x6，114.abbcac

lzh 第 4 页 2013-5-3

219．设a,b,c为任意三角形三边长Iabc,sabbcac.试证：I4s.20．通过计算可得下列等式：

2212211

3222221

4232231

┅┅

(n1)2n22n1

将以上各式分别相加得：(n1)2122(123n)n.即：123nn(n1)2

篇5：2024高中数学选修1-2推理与证明(文科班)

知识梳理

1.不是直接从命题的条件逐步推得命题成立，这种不是直接证明的方法称为______________（indirect proof).______________就是一种常用的间接证明方法.2.反证法：一般地，假设原命题不成立.经过正确的推理，最后得出矛盾，因此说明假设错误，从而证明了原命题成立，这样的证明方法叫做______________（reducation to absurdity).3.反证法的证明过程为“否定——______________——______________”.4.反证法的一般步骤：

（1）反设——________________________________________________________.（2）归谬——________________________________________________________.（3）存真——________________________________________________________.知识导学

通过本节课的学习，认识反证法在证明问题中的重要作用，学会用反证法，证明有关命题，并且要注意根据题目的类型，合理选择运用证明问题的方法，学会寻找问题中的矛盾，正确推理.疑难突破

1.对反证法的理解：

从假设结论不成立入手，推出与“已知条件、假设、公理或显然成立的事实”等相矛盾的结果，从而判定假设错误，结论成立，这种方法叫做反证法.反证法证题的特征：是通过导出矛盾、归结为谬误，而使命题得证.反证法的原理是“否定之否定等于肯定”.反证法解题的实质就是否定结论导出矛盾，从而说明原结论正确.即证明命题的逆否命题成立否定结论：对结论的反面要一一否定，不能遗漏；否定一个反面之反证法称为归谬法，否定两个或两个以上反面之反证法称为穷举法，要注意用反证法解题，“否定结论”在推理论证中作为已知使用，导出矛盾是指在假设的前提下，逻辑推理结果与“已知条件、假设、公理、定理或显然成立的事实”等相矛盾.反证法适宜证明存在性、惟一性、带有“至少有一个”或“至多有一个”等字样的一些数学问题.用反证法证明不等式，常用的否定形式有：“≥”的反面为“＜”；“≤”的反面为“＞”；“＞”的反面为“≤”；“＜”的反面为“≥”；“≠”的反面为“＝”；“＝”的反面为“≠”或“＞”及“＜”.反证法属逻辑方法范畴，它的严谨体现在它的原理上，即“否定之否定等于肯定”.其中：第一个否定是指“否定结论（假设）”；第二个否定是指“逻辑推理结果否定了假设”.反证法属“间接解题方法”，书写格式易错之处是“假设”易错写成“设”.反证法不是去直接证明结论，而是先否定结论，在否定结论的基础上运用演绎推理，导出矛盾，从而肯定结论的真实性.2.应用反证法证明数学命题的一般步骤：

（1）反设：假设命题的结论不成立，即假定原结论的反面为真；

（2）归谬：从反设和已知条件出发，应用正确的推理方法，经过一系列正确的逻辑推理，得出矛盾结果.（3）存真：由矛盾结果、断定反设不真，从而肯定原结论成立.常见的主要矛盾有：①与数学公理、定理、公式、定义或已证明了的结论相矛盾； ②与临时假设矛盾；

③与公认的事实或自相矛盾等.典题精讲

【例1】 如图2-2-4所示，AB、CD为圆的两条相交弦、且不全为直径.求证：AB、CD不能互相平分.思路分析：要证AB与CD不能互相平分，从正面来证明难度很大，所以正难则反，采用反证法，假设AB与CD相互平分，可以找出存在的矛盾.图2-2-4

证明：假设AB、CD互相平分，连结AC、CB、AD、BD则ACBD为平行四边形.所以：∠ACB=∠ADB,∠CAD=∠CBD.因为四边形ACBD为圆内接四边形，所以∠ACB+∠ADB=180°，∠CAD+∠CBD=180°.因此，∠ACB=90°，∠CAD=90°.所以，对角线AB、CD均为直径，与已知矛盾.因此，AB、CD不能互相平分.绿色通道：反证法的关键是，在正确的推理下得出矛盾，这个矛盾可以是与已知条件矛盾；或与假设矛盾；或与定义、定理、公理、事实矛盾等.反证法常常是解决某些“疑难”问题的有力工具，英国近代数学家哈代曾经这样称赞它：“„„归谬法（反证法）是数学家最有力的一件武器，比起象棋开局时牺牲一子以取得优势的让棋法，它还要高明.象棋对弈者不外乎牺牲一卒或顶多一子，数学家索性把全局拱手让予对方！”.黑色陷阱：在利用反证法证明问题时，一定要分清命题的条件和结论，假设时要对结论进行否定.【变式训练】 如图2-2-5所示，在△ABC中，AB＞AC，AD为BC边上的高线，AM是BC边上的中线，求证：点M不在线段CD上.图2-2-5 证明（反证法）

假设M在线段CD上，则BD＜BM=CM＜DC, 222222且AB=BD+AD,AC=AD+CD, 22222222所以AB=BD+AD＜BM+AD＜CD+AD=AC, 22即AB＜AC,AB＜AC.这与AB＞AC矛盾，所以点M不在线段CD上.【例2】 若a、b、c均为实数，且a=x-2y+

22

2,b=y-2x+,c=z-2x+, 2362 求证：a、b、c中至少有一个大于0.思路分析：命题以否定形式出现（如不存在，不相交等），并伴有“至少„„”，“不都„„”，“都不„„”，“没有„„”，“至多„„”等指示性语句，在直接方法很难证明时，可以采用反证法.证明：假设a、b、c都不大于0，即a≤0，b≤0，c≤0，则a+b+c≤0, 而a+b+c=x-2y+222222+y-2x++z-2x+=(x-1)+(y-1)+(z-1)+π-3 236

222∵π-3＞0，且(x-1)+(y-1)+(z-1)≥0，∴a+b+c＞0 这与a+b+c≤0矛盾，因此，a、b、c中至少有一个大于0.绿色通道：在利用反证法证明时的实质是证明它的逆否命题成立，反证法的主要依据是逻辑中的排中律，排中律的一般表现形式是：或者是A，或者非A，即在同一讨论过程中，A和非A有一个且仅有一个是对的，不能有第三种情形出现.222【变式训练】 已知：a、b、c是一组勾股数，即a+b=c 求证：a、b、c不可能都是奇数.证明：假设a、b、c都是奇数.∵a、b、c是一组勾股数, 222∴a+b=c ①

∵a、b、c都是奇数, 222∴a、b、c也都是奇数, 22∴a+b是偶数，这样①式的左边是偶数，右边是奇数，产生矛盾.∴a、b、c不可能都是奇数.【例3】(2006年北京高考卷，理20)在数列{an}中，若a1,a2是正整数，且an=｜an-1-an-2｜,n=3,4,5, „,则称{an}为“绝对差数列”.（1）举出一个前五项不为零的“绝对差数列”（只要求写出前十项）；

（2）若“绝对差数列”{an}中，a20=3,a21=0.数列{bn}满足bn=an+an+1+an+2,n=1,2,3„,分别判断当n→∞时，an与bn的极限是否存在，如果存在，求出其极限值；（3）任何“绝对差数列”中总含有无穷多个为零的项.思路分析：本题以提出一个新概念的方式来考查数列的概念及极限的问题，背景新颖.解：（1）a1=3,a2=1,a3=2,a4=1,a5=1,a6=0,a7=1,a8=1,a9=0,a10=1（答案不惟一）；

（2）解：因为在绝对差数列{an}中，a20=3，a21=0，所以自第20项开始，该数列是a20=3，a21=0,a22=3,a23=3,a24=0,a25=3,a26=3,a27=0, „，即自第20项开始，每三个相邻的项周期地取值3，0，3.所以当n→∞时，an的极值不存在.当n≥20时，bn=an+an+1+an+2=6.所以limn→∞bn=6.（1）证明：根据定义，数列{an}必在有限项后出现零项，证明如下（用反证法）： 假设{an}中没有零项，由于an=｜an-1-an-2｜,所以对于任意的n都有an≥1,从而 当an-1＞an-2时，an=an-1-an-2≤an-1-1(n≥3);当an-1＜an-2时，an=an-2-an-1≤an-2-1(n≥3).即an的值要么比an-1至少小1，要么比an-2至少小1.3 令Cn=a2n1(a2n1a2n)n=1,2,3„, a2n(a2n1a2n)则0＜Cn≤Cn-1-1(n=2,3,4, „)由于a是确定的正整数，这样减少下去，必然存在某项Ck＜0，这与Cn＞0（n=1,2,3, „)矛盾，从而{an}必有零项.若第一次出现的零项为第n项，记an-1=A(A≠0)，则自第n项开始，每三个相邻的项同期地取值0，A、A，即

an3k0an3k1A k=0,1,2,3„, an3k2A所以绝对数列{an}中有无穷多个为零的项.绿色通道：在用反证法证题时，常用的主要矛盾为：与假设矛盾、与数学公理、定理、公式、定义或已被证明了的结论相矛盾，与公认的事实相矛盾.2【变式训练】(2004年太原模拟，20)已知：f(x)=x+px+q(1)求证：f(1)+f(3)-2f(2)=2;(2)求证：|f(1)|、|f(2)|、|f(3)|中至少有一个不小于证明：（1）f(1)+f(3)-2f(2)=(1+p+q)+(9+3p+q)-2(4+2p+q)=2.(2)假设|f(1)|、|f(2)|、|f(3)|中至少有一个不小于|f(3)|都小于

1.21不成立，则假设|f(1)|、|f(2)|、21,则|f(1)|+2|f(2)|+|f(3)|＜2, 2而|f(1)|+2|f(2)|+|f(3)|＞f(1)+f(3)-2f(2)=(1+p+q)+(9+3p+q)-(8+4p+2q)=2,这与|f(1)|+2|f(2)|+|f(3)|＜2相矛盾.因此假设不成立，从而原命题成立，即|f(1)|、|f(2)|、|f(3)|中至少有一个不小于

1.2问题探究

问题：反证法与直接证法相比较，反证法具有哪些特点呢？

探究：反证法与直接证法相比较，就会发现反证法具有如下特点：

①从推理论证的前提看，反证法增加了“反设”这个新的条件，下述情况常采用反证法.在一门学科开始的阶段，对一些最基本的性质的证明，由于这些基本性质予以成立的条件简明扼要，同时可使用的定理甚少，所以直接证明很困难.另外，在题目中含有“至多„„”，或“至少„„”形式的命题，“惟一性”命运，“否定式命题”，要证明的结论是“无限的”等，均可采用反证法.②从推理论证的目标看，反证法无需专门去证某一特定的结论，只要设法推出一个逻辑矛盾就可以.③从推理论证的方法看，反证法属于演绎推理.反证法具有分析法的特点，它们都是从命题的结论出发.不同的是：一个是从结论开始，另一个是从否定结论开始；一个是得到正确的结果而结束，另一个则是得到不成立的

篇6：高二数学1-2推理与证明测试题

一.选择题：

1.如果数列an是等差数列，则（）

A.a1a8a4a5 B.a1a8a4a5 C.a1a8a4a5 D.a1a8a4a

52.下面使用类比推理正确的是（）

A.“若a3b3,则ab”类推出“若a0b0,则ab”

B.“若(ab)cacbc”类推出“(ab)cacbc”

abab” （c≠0）ccc

nnD.“（ab）anbn” 类推出“（ab）anbn” C.“若(ab)cacbc” 类推出“

3.有这样一段演绎推理是这样的“有些有理数是真分数，整数是有理数，则整数是真分数”

结论显然是错误的，是因为（）

A.大前提错误B.小前提错误C.推理形式错误D.非以上错误

4.有一段演绎推理是这样的：“直线平行于平面,则平行于平面内所有直线；已知直线b平面，直线a平面，直线b∥平面，则直线b∥直线a”的结论显然是错误的，这是因为（）

A.大前提错误B.小前提错误C.推理形式错误D.非以上错误

5．“所有9的倍数（M）都是3的倍数（P），某奇数（S）是9的倍数（M），故某奇数（S）是3的倍数（P）.”上述推理是（）

A．小前提错B．结论错C．正确的D．大前提错

6.函数yax1的图像与直线yx相切，则a=（）A.218B.14C.12D.17.一串白黑相间排列的珠子，按这种规律往下排起来，那么第36颗珠子应是什么颜色的（）

A．白色B．黑色C．白色可能性大D．黑色可能性大

8．有甲、乙、丙、丁四位歌手参加比赛，其中只有一位获奖，有人走访了四位歌手，甲说：“是乙或丙获奖”，乙说：“甲、丙都未获奖”，丙说：“我获奖了”，丁说：“是乙获奖”。四位歌手的话只有两名是对的，则奖的歌手是（）

A．甲B．乙C．丙D．丁

9.设 f(x)|x1||x|, 则f[f()] A.121

2 B.0 C.1 2D.110.已知向量a(x5,3), b(2,x),且ab, 则由x的值构成的集合是 

A.{2,3}

B.{-1, 6}C.{2}D.{6}

二．填空题.11.下列表述正确的是①归纳推理是由部分到整体的推理；②归纳推理是由一般到一般的推理；③演绎推理是由一般到特殊的推理；④类比推理是特殊由到一般的推理；⑤类比推理是特殊由到特殊的推理 12.已知f(x1)

2f(x)，猜想f(x）的表达式为,f(1)1（xN*）

f(x)2

13.类比平面几何中的勾股定理：若直角三角形ABC中的两边AB、AC互相垂直，则三角形三边长之间满足关系：ABACBC。若三棱锥A-BCD的三个侧面ABC、ACD、ADB两两互相垂直，则三棱锥的侧面积与底面积之间满足的关系为.14.从11，2343，3+4+5+6+7=5中，可得到一般规律为(用数学表达式)15.函数y＝f（x）在（0，2）上是增函数，函数y=f(x+2)是偶函数，则f(1),f(2.5),f(3.5)的大小关系是.三.解答题.11

316 已知△ABC中，角A、B、C成等差数列，求证： =

a+bb+ca+b+c

πππ22

217．若a、b、c均为实数，且a＝x－2x＋，b＝y－2y＋，c＝z－2z＋a、b、c中

236至少有一个大于0.18．用分析法证明：若a＞0

a2＋22≥a－2.aa

119.在各项为正的数列an中，数列的前n项和Sn满足Sn

11

a n2an

（1）求a1,a2,a3；（2）由（1）猜想数列an的通项公式；（3）求Sn

20.已知f(x)(xR)恒不为0，对于任意x1,x2R 等式fx1fx22f

21.已知ΔABC的三条边分别为a，b，c求证：

x1x2x1x2

f恒成立.求证：f(x)是偶函数.22

abc



1ab1c

高二数学选修1-2推理与证明测试题答案

13.SBCDSABCSACDSADB.14.n(n1)(n2)......(3n2)(2n1)15.f(2.5)>f(1)>f(3.5)

316.(分析法)要证+

a+bb+ca+b+c

a+b+ca+b+c需证: a+bb+c

即证:c(b+c)+a(a+b)=(a+b)(b+c)

即证:c+a=ac+b

因为△ABC中，角A、B、C成等差数列,所以B=60,由余弦定理b= c+a-2cacosB 即b= c+a-ca 所以c+a=ac+b

113因此+

a+bb+ca+b+c

17.(反证法).证明：设a、b、c都不大于0，a≤0，b≤0，c≤0，∴a＋b＋c≤0，πππ22

2而a＋b＋c＝（x－2y＋）＋（y－2zz－2x＋）

236

＝（x－2x）＋（y－2y）＋（z－2z）＋π＝（x－1）＋（y－1）＋（z－1）＋π－3，∴a＋b＋c＞0，这与a＋b＋c≤0矛盾，故a、b、c中至少有一个大于0.18.(分析法).证明：要证

a222≥a＋2aa

a2＋22≥a＋2.aa

∵a＞0，∴两边均大于零，因此只需证（12

只需证a＋＋4＋4

a22＋2）2≥（a＋＋2）2，aa

a

a2＋≥a2＋＋2＋22（a＋），aaa

只需证

a2＋a＋），只需证a＋a2），a2aa2a

即证a＋2≥2，它显然是成立，∴原不等式成立.a

19.（1）a11,a221,a32；（2）annn1；（3）Snn.20.简证：令x1x2，则有f01，再令x1x2x即可 21.证明：设f(x)

x,x(0,)设x1,x2是(0,)上的任意两个实数，且x2x10，1x

f(x1)f(x2)

x1xx1x2

2

1x11x2(1x1)(1x2)

x

在(0,)上是增函数。1xabc

由abc0知f(ab)f(c)即.

1ab1c

篇7：2024高中数学选修1-2推理与证明(文科班)

高二文科数学期末复习---推理与证明

一.1.二.1.观察下列数:1,3,2,6,5,15,14,x,y,z,122,„中x,y,z的值依次是()

(A)42,41,123;(B)13,39,123;(C)24,23,123;(D)28,27,123.2.类比平面内正三角形的“三边相等，三内角相等”的性质，可推出正四面体的下列哪些性

质，你认为比较恰当的是（）

①各棱长相等，同一顶点上的任两条棱的夹角都相等；②各个面都是全等的正三角形，相邻两个面所成的二面角都相等；③各个面都是全等的正三角形，同一顶点上的任两条棱的夹角都相等

A．①； B．①②； C．①②③； D．③。

3.由①正方形的对角线相等；②平行四边形的对角线相等；③正方形是平行四边形，根据

“三段论”推理出一个结论，则这个结论是（）

(A)正方形的对角线相等(B)平行四边形的对角线相等(C)正方形是平行四边形(D)其它

4.下列表述正确的是（）

①归纳推理是由部分到整体的推理；②归纳推理是由一般到一般的推理；③演绎推理是由一般到特殊的推理；④类比推理是由特殊到一般的推理；⑤类比推理是由特殊到特殊的推理.A．①②③； B．②③④； C．②④⑤； D．①③⑤

5.用反证法证明命题：“三角形的内角中至少有一个不大于60度”时，反设正确的是（）

(A)假设三内角都不大于60度；(B)假设三内角都大于60度；

(C)假设三内角至多有一个大于60度；(D)假设三内角至多有两个大于60度。

三.典型例题：

例1、在必修⑤里面我们曾经学习了基本不等式：当a0,b0时,有

且还知道此结论对三个正数、四个正数均成立，即 abab成立,并

2当a,b,c0时,有abcabcdabc成立当a,b,c,d0时,有abcd成立 3

4猜想，当a1,a2,,an0时，有怎样的不等式成立？

例

2、用适当方法证明：已知：a0,b0，求证：

例

3、求证：

(1)a2b23abab);(2)6+>22+5。

例

4、用反证法证明：2,3,5不能为同一等差数列的三项.例

5、已知数列{an}满足Sn＋an＝2n＋1,(1)求出a1, a2, a3的值；

(2)推测an的表达式并证明。

例

6、已知数列an的前n项和为Sn，且a11,Snn2an(nN)，（1）试计算S1,S2,S3,S4，并猜想Sn的表达式;

(2)证明你的猜想，并求出an的表达式。

例

7、已知：空间四边形ABCD中，E，F分别为BC，CD的中点，判断直线EF与平面ABD的关系，并证明你的结论.aba ba

巩固练习：

1、设a,b,c大于0，则3个数：a111，b，c的值()bca

A、都大于2B、至少有一个不大于2C、都小于2D、至少有一个不小于

22、已知f(x1)2f(x)（xN*）,f(1)1，猜想f(x）的表达式为()f(x)

24212A.f(x)xB.f(x)C.f(x)D.f(x) 22x1x12x

13、下列推理正确的是()

(A)把a(bc)与 loga(xy)类比，则有：loga(xy)logaxlogay ．

(B)把a(bc)与 sin(xy)类比，则有：sin(xy)sinxsiny．

(C)把(ab)与(ab)类比，则有：(xy)xy．

(D)把(ab)c 与(xy)z 类比，则有：(xy)zx(yz)．

4、把下面在平面内成立的结论类比地推广到空间，结论还正确的是()

(A)如果一条直线与两条平行线中的一条相交，则比与另一条相交 ．

(B)如果一条直线与两条平行线中的一条垂直，则比与另一条垂直．

(C)如果两条直线同时与第三条直线相交，则这两条直线相交．

(D)如果两条直线同时与第三条直线垂直，则这两条直线平行． nnnnn

353,1 , ，„„归纳出通项公式an =____。28816、数列{an}中，a1，an13an0，则an的通项公式为。

25、由数列的前四项:

7、有这样一段演绎推理是这样的“有些有理数是真分数，整数是有理数，则整数是真分数” 结论显然是错误的，是因为_______________

8、在十进制中2004410010010210，那么在5进制中数码2004折合成十进制为_______________

9、图（1）、（2）、（3）、（4）分别包含1个、5个、13个、25个第二十九届北京奥运会吉祥

物“福娃迎迎”，按同样的方式构造图形，设第n个图形包含f(n)个“福娃迎迎”，则012

3f(5)f(n)f(n1)（答案用数字或n的解析式表示）

10、设f(x)

122x，利用课本中推导等差数列前n项和公式的方法，可求得

f(5)f(4)f(0)f(5)f(6)的值是________________

11、平面内的1条直线把平面分成两部分，2条直线把平面分成4部分，3条相交直线但不

共点的直线把平面分成7部分，n条彼此相交而无3条直线共点的直线把平面分成____部分。

12、若数列{an}，(n∈N)是等差数列,则有数列bn=

列，类比上述性质，相应地：若数列{C

dn=____________(n∈N)也是等比数列。

13、从1=1，1-4=-(1+2),1-4+9=1+2+3,1-4+9-16=-(1+2+3+4),„,推广到第n个等式为

_________________________.14、数列{an}的前n项和为Sn，已知a11,an1

证明：（Ⅰ）数列{

15、在数列{an}中，a11,16、观察（1）tan10tan20tan20tan60tan60tan101;

篇8：2024高中数学选修1-2推理与证明(文科班)

高考文科试题解析分类汇编：推理和证明

1.【高考全国文12】正方形ABCD的边长为1，点E在边AB上，点F在边BC上，1AEBF。动点P从E出发沿直线向F运动，每当碰到正方形的边时反弹，反弹时反3

射角等于入射角，当点P第一次碰到E时，P与正方形的边碰撞的次数为

（A）8（B）6（C）4（D）3

115123，233

11151222 2343……

照此规律，第五个不等式为.．．．

高中数学

【答案】1

1111111.22324252626

1，【解析】观察不等式的左边发现，第n个不等式的左边=111

2232n1

右边=

11111112n11，所以第五个不等式为122222．

234566n1



5.【高考湖南文16】对于nN，将n表示为nak2kak12k1a121a020,当ik时ai1，当0ik1时ai为0或1，定义bn如下：在n0,a1，a2，…，ak中等于1的个数为奇数时，bn=1；否则bn=0.（1）b2+b4+b6+b8=__；

（2）记cm为数列{bn}中第m个为0的项与第m+1个为0cm是___.【答案】（1）3；（2）2.【解析】（1）观察知1a020,a01,b11；212100,1b21； 一次类推3121120,b30；4120,5122021120,b50；221060，b71,b81，b2+b4+b6+b8=３；（2）由（1）知cm..6.【高考湖北文17】，…记为数列{an}，将可被5整除的三角形数按从小到大的顺序组成{an}中的第______项；（Ⅱ）b2k-1。（用k表示）【答案】（Ⅰ）5030；（Ⅱ）

5k5k1

n(n1)，写出其若2

【解析】由以上规律可知三角形数1,3,6,10,…,的一个通项公式为an

干项有：1,3,6,10,15,21,28,36,45,55,66,78,91,105,110,发现其中能被5整除的为10,15,45,55,105,110,故b1a4,b2a5,b3a9,b4a10,b5a14,b6a15.从而由上述规律可猜想：b2ka5k

5k(5k1)

（k为正整数），2

(5k1)(5k11)5k(5k1)

b2k1a5k1，22

故b2012a21006a51006a5030,即b2012是数列{an}中的第5030项.【点评】本题考查归纳推理，猜想的能力.归纳推理题型重在猜想，不一定要证明，但猜想

需要有一定的经验与能力，不能凭空猜想.来年需注意类比推理以及创新性问题的考查.质，并且，因此，不妨设112，由的定义，(A从)c而k(1A)r(1A),k(A)k3k1(A)r1(A2)c(A )c(A)a(b(abcdef)(abf)abf3

因此k(A)1，由（2）知，存在满足性质P的数表A，使k(A)1，故k(A)的最大值为知，1。

8.【高考福建文20】20.（本小题满分13分）