高二数学直线的方程

高二数学直线的方程（共8篇）

篇1：高二数学直线的方程

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直线的方程（1）

【教学目标】1.掌握由一点和斜率导出直线方程的方法，掌握直线的点斜式方程，了解直线方程的斜截式是点斜式的特例；

2.能通过待定系数（直线上的一个点的坐标(x1,y1)及斜率k，或者直线的斜率k及在y轴上的截距b）求直线方程； 3.掌握斜率不存在时的直线方程，即xx1．

【教学重点】直线的点斜式、斜截式方程的推导及运用.【教学难点】直线的点斜式的推导。【教学过程】

（一）复习：（1）直线的倾斜角和斜率的概念；

（2）直线上两个不同点(x1,y1),(x2,y2)，x1x2，求此直线的斜率k．

（二）新课讲解： 1．点斜式

问题引入：已知直线l经过点P1(x1,y1)，且斜率为k，求直线l的方程.设点P(x,y)是直线l不同于点P1(x1,y1)的任意一点，根据直线的斜率公式，得：kyy1xx1，可化为yy1k(xx1)．

可以验证：直线l上每一个点的坐标都是方程的解，以方程的解为坐标的点都在直线l上.这个方程就是过点P1，斜率为k的直线l的方程，叫做直线方程的点斜式．

2．两种特殊的直线方程

（1）直线l经过点P1(x1,y1)的倾斜角为0，则ktan00，直线l的方程是yy1；（2）直线l经过点P1(x1,y1)的倾斜角为90，则斜率不存在，因为直线l上每一点的横坐标都等于x1，直线l的方程是xx1．

此时不能使用直线方程的点斜式求它的方程，这时直线l的方程是xx1。3．问：kyy1xx1与yy1k(xx1)表示同一直线吗？．

（三）例题分析：

例1．一条直线经过点P1(2,3)，倾斜角为45，求这条直线方程，并画出图形。

解：∵直线经过点P1(2,3)，且斜率ktan451，代入点斜式，得：y3x2，即xy50．

xy50

y

5 O x

例2．直线l斜率为k，与y轴的交点是P(0,b)，求直线l的方程。

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解：代入直线的点斜式，得：ybk(x0)，即ykxb．

说明：（1）直线l与x轴交点(a,0)，与y轴交点(0,b)，称a为直线l在x轴上的截距，称b为直线l在y轴上的截距；

（2）这个方程由直线l斜率k和它在y轴上的截距b确定，叫做直线方程的斜截式；

（3）初中学习的一次函数ykxb中，常数k是直线的斜率，常数b为直线在y轴上的截距（b可以大于0，也可以等于或小于0）．

例3．已知直线l经过点P(2,1)，且倾斜角等于直线y2x1的倾斜角的2倍，求直线l的方程．

解：设已知直线的倾斜角为，则直线l的倾斜角为2，2tan4 ∵tan2，∴ktan2，21tan3又∵直线l经过点P(2,1)，∴直线l的方程为y1(x2)，3即所求的直线方程为4x3y110． 4例4．求直线y3(x2)绕点(2,0)按顺时针方向旋转30所得的直线方程。

解：设直线y3(x2)的倾斜角为，则tan3，又∵[0,180)，∴120，∴所求的直线的倾斜角为1203090，所以，所求的直线方程为x2．

例5：已知直线过点P（-2，3），且与两坐标轴围成的三角形面积为4，求直线的方程。

分析：关键是求斜率k.解：因为直线与x轴不垂直，所以可设直线的方程为y-3=k(x+2)令x=0得y=2k+3;令y=0得x=12（|2k3）(3k3k3k2 由题意得：

2)|4，2)8,无解；若（2k3）(3k2)8,解得：k12,k92若（2k3）(

所求直线的方程为y312(x2)和y392(x2)

即x2y40和9x2y120规律：已知直线过一个点常选用直线方程的点斜式。

（四）．课堂练习：1．课本第39页练习1，2，3；

 2．求直线yxcot1,(,)的倾斜角； 3．求过点(2,1)且倾斜角满足sin

45的直线方程.3eud教育网 http://www.3edu.net 教学资源集散地。可能是最大的免费教育资源网！3eud教育网

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（五）．小结：要求直线方程，通过待定系数：直线上的一个点的坐标(x1,y1)及斜率k，或者直线的斜

率k及在y轴上的截距b，代入点斜式或斜截式求出直线方程.（六）．作业：课本第44页第1题（1）（3）（5）

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篇2：高二数学直线的方程

一、教学目标

（1）掌握由一点和斜率导出直线方程的方法，掌握直线方程的点斜式、两点式和直线方程的一般式，并能根据条件熟练地求出直线的方程.（2）理解直线方程几种形式之间的内在联系，能在整体上把握直线的方程.（3）掌握直线方程各种形式之间的互化.（4）通过直线方程一般式的教学培养学生全面、系统、周密地分析、讨论问题的能力.（5）通过直线方程特殊式与一般式转化的教学，培养学生灵活的思维品质和辩证唯物主义观点.（6）进一步理解直线方程的概念，理解直线斜率的意义和解析几何的思想方法.教学建议

1.教材分析

（1）知识结构

由直线方程的概念和直线斜率的概念导出直线方程的点斜式；由直线方程的点斜式分别导出直线方程的斜截式和两点式；再由两点式导出截距式；最后都可以转化归结为直线的一般式；同时一般式也可以转化成特殊式.（2）重点、难点分析

①本节的重点是直线方程的点斜式、两点式、一般式，以及根据具体条件求出直线的方程.解析几何有两项根本性的任务：一个是求曲线的方程；另一个就是用方程研究曲线.本节内容就是求直线的方程，因此是非常重要的内容，它对以后学习用方程讨论直线起着直接的作用，同时也对曲线方程的学习起着重要的作用.直线的点斜式方程是平面解析几何中所求出的第一个方程，是后面几种特殊形式的源头.学生对点斜式学习的效果将直接影响后继知识的学习.②本节的难点是直线方程特殊形式的限制条件，直线方程的整体结构，直线与二元一次方程的关系证明.2.教法建议

（1）教材中求直线方程采取先特殊后一般的思路，特殊形式的方程几何特征明显，但局限性强；一般形式的方程无任何限制，但几何特征不明显.教学中各部分知识之间过渡要自然流畅，不生硬.（2）直线方程的一般式反映了直线方程各种形式之间的统一性，教学中应充分揭示直线方程本质属性，建立二元一次方程与直线的对应关系，为继续学习“曲线方程”打下基础.直线一般式方程都是字母系数，在揭示这一概念深刻内涵时，还需要进行正反两方面的分析论证.教学中应重点分析思路，还应抓住这一有利时使学生学会严谨科学的分类讨论方法，从而培养学生全面、系统、辩证、周密地分析、讨论问题的能力，特别是培养学生逻辑思维能力，同时培养学生辩证唯物主义观点

（3）在强调几种形式互化时要向学生充分揭示各种形式的特点，它们的几何特征，参数的意义等，使学生明白为什么要转化，并加深对各种形式的理解.（4）教学中要使学生明白两个独立条件确定一条直线，如两个点、一个点和一个方向或其他两个独立条件.两点确定一条直线，这是学生很早就接触的几何公理，然而在解析几何，平面向量等理论中，直线或向量的方向是极其重要的要素，解析几何中刻画直线方向的量化形式就是斜率.因此，直线方程的两点式和点斜式在直线方程的几种形式中占有很重要的地位，而已知两点可以求得斜率，所以点斜式又可推出两点式（斜截式和截距式仅是它们的特例），因此点斜式最重要.教学中应突出点斜式、两点式和一般式三个教学高潮.求直线方程需要两个独立的条件，要依不同的几何条件选用不同形式的方程.根据两个条件运用待定系数法和方程思想求直线方程.（5）注意正确理解截距的概念，截距不是距离，截距是直线（也是曲线）与坐标轴交点的相应坐标，它是有向线段的数量，因而是一个实数；距离是线段的长度，是一个正实数（或非负实数）.（6）本节中有不少与函数、不等式、三角函数有关的问题，是函数、不等式、三角与直线的重要知识交汇点之一，教学中要适当选择一些有关的问题指导学生练习，培养学生的综合能力.（7）直线方程的理论在其他学科和生产生活实际中有大量的应用.教学中注意联系实际和其它学科，教师要注意引导，增强学生用数学的意识和能力.（8）本节不少内容可安排学生自学和讨论，还要适当增加练习，使学生能更好地掌握，而不是仅停留在观念上.二、教学设计示例

直线方程的一般形式

教学目标：

（1）掌握直线方程的一般形式，掌握直线方程几种形式之间的互化.（2）理解直线与二元一次方程的关系及其证明

（3）培养学生抽象概括能力、分类讨论能力、逆向思维的习惯和形成特殊与一般辩证统一的观点.教学重点、难点：直线方程的一般式.直线与二元一次方程

（、不同时为0）的对应关系及其证明.教学用具：计算机

教学方法：启发引导法，讨论法

教学过程：

下面给出教学实施过程设计的简要思路：

教学设计思路：

（一）引入的设计

前边学习了如何根据所给条件求出直线方程的方法，看下面问题：

问：说出过点

（2，1），斜率为2的直线的方程，并观察方程属于哪一类，为什么?

答：直线方程是，属于二元一次方程，因为未知数有两个，它们的次数为一次.肯定学生回答，并纠正学生中不规范的表述.再看一个问题：

问：求出过点，的直线的方程，并观察方程属于哪一类，为什么?

答：直线方程是

（或其它形式），也属于二元一次方程，因为未知数有两个，它们的次数为一次.肯定学生回答后强调“也是二元一次方程，都是因为未知数有两个，它们的次数为一次”.启发：你在想什么（或你想到了什么）?谁来谈谈?各小组可以讨论讨论.学生纷纷谈出自己的想法，教师边评价边启发引导，使学生的认识统一到如下问题：

【问题1】“任意直线的方程都是二元一次方程吗?”

（二）本节主体内容教学的设计

这是本节课要解决的第一个问题，如何解决?自己先研究研究，也可以小组研究，确定解决问题的思路.学生或独立研究，或合作研究，教师巡视指导.经过一定时间的研究，教师组织开展集体讨论.首先让学生陈述解决思路或解决方案：

思路一：…

思路二：…

……

教师组织评价，确定方案（其它待课下研究）如下：

按斜率是否存在，任意直线的位置有两种可能，即斜率

存在或不存在.当

存在时，直线的截距

也一定存在，直线的方程可表示为，它是二元一次方程.当

不存在时，直线的方程可表示为

形式的方程，它是二元一次方程吗?

学生有的认为是有的认为不是，此时教师引导学生，逐步认识到把它看成二元一次方程的合理性：

平面直角坐标系中直线

上点的坐标形式，与其它直线上点的坐标形式没有任何区别，根据直线方程的概念，方程

解的形式也是二元方程的解的形式，因此把它看成形如的二元一次方程是合理的.综合两种情况，我们得出如下结论：

在平面直角坐标系中，对于任何一条直线，都有一条表示这条直线的关于、的二元一次方程.至此，我们的问题1就解决了.简单点说就是：直线方程都是二元一次方程.而且这个方程一定可以表示成或的形式，准确地说应该是“要么形如

这样，要么形如

这样的方程”.同学们注意：这样表达起来是不是很啰嗦，能不能有一个更好的表达?

学生们不难得出：二者可以概括为统一的形式.这样上边的结论可以表述如下：

在平面直角坐标系中，对于任何一条直线，都有一条表示这条直线的形如

（其中、不同时为0）的二元一次方程.启发：任何一条直线都有这种形式的方程.你是否觉得还有什么与之相关的问题呢?

【问题2】任何形如

（其中、不同时为0）的二元一次方程都表示一条直线吗?

不难看出上边的结论只是直线与方程相互关系的一个方面，这个问题是它的另一方面.这是显然的吗?不是，因此也需要像刚才一样认真地研究，得到明确的结论.那么如何研究呢?

师生共同讨论，评价不同思路，达成共识：

回顾上边解决问题的思路，发现原路返回就是非常好的思路，即方程

（其中、不同时为0）系数

是否为0恰好对应斜率

是否存在，即

（1）当

时，方程可化为

这是表示斜率为、在轴上的截距为的直线.（2）当

时，由于、不同时为0，必有，方程可化为

这表示一条与

轴垂直的直线.因此，得到结论：

在平面直角坐标系中，任何形如

（其中、不同时为0）的二元一次方程都表示一条直线.为方便，我们把

（其中、不同时为0）称作直线方程的一般式是合理的.【动画演示】

演示“直线各参数.gsp”文件，体会任何二元一次方程都表示一条直线.至此，我们的第二个问题也圆满解决，而且我们还发现上述两个问题其实是一个大问题的两个方面，这个大问题揭示了直线与二元一次方程的对应关系，同时，直线方程的一般形式是对直线特殊形式的抽象和概括，而且抽象的层次越高越简洁，我们还体会到了特殊与一般的转化关系.（三）练习巩固、总结提高、板书和作业等环节的设计在此从略

高二年级数学教案设计：曲线和方程

一、教学目标

（1）了解用坐标法研究几何问题的方法，了解解析几何的基本问题.（2）理解曲线的方程、方程的曲线的概念，能根据曲线的已知条件求出曲线的方程，了解两条曲线交点的概念.（3）通过曲线方程概念的教学，培养学生数与形相互联系、对立统一的辩证唯物主义观点.（4）通过求曲线方程的教学，培养学生的转化能力和全面分析问题的能力，帮助学生理解解析几何的思想方法.（5）进一步理解数形结合的思想方法.教学建议

教材分析

（1）知识结构

曲线与方程是在初中轨迹概念和本章直线方程概念之后的解析几何的基本概念，在充分讨论曲线方程概念后，介绍了坐标法和解析几何的思想，以及解析几何的基本问题，即由曲线的已知条件，求曲线方程；通过方程，研究曲线的性质.曲线方程的概念和求曲线方程的问题又有内在的逻辑顺序.前者回答什么是曲线方程，后者解决如何求出曲线方程.至于用曲线方程研究曲线性质则更在其后，本节不予研究.因此，本节涉及曲线方程概念和求曲线方程两大基本问题.（2）重点、难点分析

①本节内容教学的重点是使学生理解曲线方程概念和掌握求曲线方程方法，以及领悟坐标法和解析几何的思想.②本节的难点是曲线方程的概念和求曲线方程的方法.教法建议

（1）曲线方程的概念是解析几何的核心概念，也是基础概念，教学中应从直线方程概念和轨迹概念入手，通过简单的实例引出曲线的点集与方程的解集之间的对应关系，说明曲线与方程的对应关系.曲线与方程对应关系的基础是点与坐标的对应关系.注意强调曲线方程的完备性和纯粹性.（2）可以结合已经学过的直线方程的知识帮助学生领会坐标法和解析几何的思想，学习解析几何的意义和要解决的问题，为学习求曲线的方程做好逻辑上的和心理上的准备.（3）无论是判断、证明，还是求解曲线的方程，都要紧扣曲线方程的概念，即始终以是否满足概念中的两条为准则.（4）从集合与对应的观点可以看得更清楚：

设

表示曲线

上适合某种条件的点的集合；

表示二元方程的解对应的点的坐标的集合.可以用集合相等的概念来定义“曲线的方程”和“方程的曲线”，即

（5）在学习求曲线方程的方法时，应从具体实例出发，引导学生从曲线的几何条件，一步步地、自然而然地过渡到代数方程（曲线的方程），这个过渡是一个从几何向代数不断转化的过程，在这个过程中提醒学生注意转化是否为等价的，这将决定第五步如何做.同时教师不要生硬地给出或总结出求解步骤，应在充分分析实例的基础上让学生自然地获得.教学中对课本例2的解法分析很重要.这五个步骤的实质是将产生曲线的几何条件逐步转化为代数方程，即

文字语言中的几何条件

数学符号语言中的等式

数学符号语言中含动点坐标，的代数方程

简化了的，的代数方程

由此可见，曲线方程就是产生曲线的几何条件的一种表现形式，这个形式的特点是“含动点坐标的代数方程.”

（6）求曲线方程的问题是解析几何中一个基本的问题和长期的任务，不是一下子就彻底解决的，求解的方法是在不断的学习中掌握的，教学中要把握好“度”.二、教学设计示例

课题：求曲线的方程（第一课时）

教学目标：

（1）了解坐标法和解析几何的意义，了解解析几何的基本问题.（2）进一步理解曲线的方程和方程的曲线.（3）初步掌握求曲线方程的方法.（4）通过本节内容的教学，培养学生分析问题和转化的能力.教学重点、难点：求曲线的方程.教学用具：计算机.教学方法：启发引导法，讨论法.教学过程：

【引入】

1.提问：什么是曲线的方程和方程的曲线.学生思考并回答.教师强调.2.坐标法和解析几何的意义、基本问题.对于一个几何问题，在建立坐标系的基础上，用坐标表示点；用方程表示曲线，通过研究方程的性质间接地来研究曲线的性质，这一研究几何问题的方法称为坐标法，这门科学称为解析几何.解析几何的两大基本问题就是：

（1）根据已知条件，求出表示平面曲线的方程.（2）通过方程，研究平面曲线的性质.事实上，在前边所学的直线方程的理论中也有这样两个基本问题.而且要先研究如何求出曲线方程，再研究如何用方程研究曲线.本节课就初步研究曲线方程的求法.【问题】

如何根据已知条件，求出曲线的方程.【实例分析】

例1：设、两点的坐标是、（3，7），求线段的垂直平分线的方程.首先由学生分析：根据直线方程的知识，运用点斜式即可解决.解法一：易求线段的中点坐标为（1，3），由斜率关系可求得l的斜率为

于是有

即l的方程为

①

分析、引导：上述问题是我们早就学过的，用点斜式就可解决.可是，你们是否想过①恰好就是所求的吗?或者说①就是直线的方程?根据是什么，有证明吗?

（通过教师引导，是学生意识到这是以前没有解决的问题，应该证明，证明的依据就是定义中的两条）.证明：（1）曲线上的点的坐标都是这个方程的解.设

是线段的垂直平分线上任意一点，则

即

将上式两边平方，整理得

这说明点的坐标

是方程的解.（2）以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点.设点的坐标

是方程①的任意一解，则

到、的距离分别为

所以，即点

在直线

上.综合（1）、（2），①是所求直线的方程.至此，证明完毕.回顾上述内容我们会发现一个有趣的现象：在证明（1）曲线上的点的坐标都是这个方程的解中，设

是线段的垂直平分线上任意一点，最后得到式子，如果去掉脚标，这不就是所求方程

吗?可见，这个证明过程就表明一种求解过程，下面试试看：

解法二：设

是线段的垂直平分线上任意一点，也就是点

属于集合由两点间的距离公式，点所适合的条件可表示为

将上式两边平方，整理得

果然成功，当然也不要忘了证明，即验证两条是否都满足.显然，求解过程就说明第一条是正确的（从这一点看，解法二也比解法一优越一些）；至于第二条上边已证.这样我们就有两种求解方程的方法，而且解法二不借助直线方程的理论，又非常自然，还体现了曲线方程定义中点集与对应的思想.因此是个好方法.让我们用这个方法试解如下问题：

例2：点

与两条互相垂直的直线的距离的积是常数

求点的轨迹方程.分析：这是一个纯粹的几何问题，连坐标系都没有.所以首先要建立坐标系，显然用已知中两条互相垂直的直线作坐标轴，建立直角坐标系.然后仿照例1中的解法进行求解.求解过程略.【概括总结】通过学生讨论，师生共同总结：

分析上面两个例题的求解过程，我们总结一下求解曲线方程的大体步骤：

首先应有坐标系；其次设曲线上任意一点；然后写出表示曲线的点集；再代入坐标；最后整理出方程，并证明或修正.说得更准确一点就是：

（1）建立适当的坐标系，用有序实数对例如

表示曲线上任意一点的坐标；

（2）写出适合条件的点的集合；

（3）用坐标表示条件，列出方程；

（4）化方程

为最简形式；

（5）证明以化简后的方程的解为坐标的点都是曲线上的点.一般情况下，求解过程已表明曲线上的点的坐标都是方程的解；如果求解过程中的转化都是等价的，那么逆推回去就说明以方程的解为坐标的点都是曲线上的点.所以，通常情况下证明可省略，不过特殊情况要说明.上述五个步骤可简记为：建系设点；写出集合；列方程；化简；修正.下面再看一个问题：

例3：已知一条曲线在轴的上方，它上面的每一点到

点的距离减去它到

轴的距离的差都是2，求这条曲线的方程.【动画演示】用几何画板演示曲线生成的过程和形状，在运动变化的过程中寻找关系.解：设点

是曲线上任意一点，轴，垂足是

（如图2），那么点

属于集合由距离公式，点

适合的条件可表示为

①

将①式

移项后再两边平方，得

化简得

由题意，曲线在轴的上方，所以，虽然原点的坐标（0，0）是这个方程的解，但不属于已知曲线，所以曲线的方程应为，它是关于

轴对称的抛物线，但不包括抛物线的顶点，如图2中所示.【练习巩固】

题目：在正三角形

内有一动点，已知

到三个顶点的距离分别为、、，且有，求点

轨迹方程.分析、略解：首先应建立坐标系，以正三角形一边所在的直线为一个坐标轴，这条边的垂直平分线为另一个轴，建立直角坐标系比较简单，如图3所示.设、的坐标为、，则的坐标为，的坐标为

.根据条件，代入坐标可得

化简得

①

由于题目中要求点

在三角形内，所以，在结合①式可进一步求出、的范围，最后曲线方程可表示为

【小结】师生共同总结：

（1）解析几何研究研究问题的方法是什么?

（2）如何求曲线的方程?

（3）请对求解曲线方程的五个步骤进行评价.各步骤的作用，哪步重要，哪步应注意什么?

篇3：论中职数学教育中直线与方程思想

一、直角坐标系中处理直线问题

1. 利用直线斜率解题

在直角坐标系中求直线的斜率是中职数学教育中直线问题的入门技能,对直线的初步认识是建立在直角坐标系基础之上,数学学科对任何一种图形的认识离不开对位置特征的表示,因此对直线的学习首先通过直角坐标系描述其倾斜程度,进而进行方程式的求解.

一般地,任何直线皆可以放在直角坐标系中研究,当直线L与x轴相交以后,定义x轴正向与直线向上方向的夹角为该直线的倾斜角. 直线斜率从代数表观上为倾斜角的正切值,因此不同的倾斜角决定了直线斜率可正、可负以及为零的特征.

例如: 以下图形中能表示直线倾斜角的是() .

以上简单例子说明对直线倾斜角的判定,只需准确判别直线向上方向和x轴正向即可准确选择B. 利用直线斜率性质解题是中职数学中的常用技巧,通常涉及已知点在直角坐标系中的坐标与斜率的关系.

例如: 若某直线L的斜率为a,另一直线L'的斜率为a + 2,且两直线互相垂直,则a等于多少? 该题中显然用到了直线斜率的性质,为了求未知数a必须将两直线斜率组成等式,根据斜率特性,当两条直线互相垂直时,斜率互为负倒数的性质很容易得到a = -1/(a+2) ,进而求得a = -1. 显然斜率性质是处理简单直线问题的切入点,也是直角坐标系下倾斜角正切值的典型应用.

此外,斜率的另一特性涉及两直线平行问题,亦即平行直线具备相同的斜率. 例如: 已知直线ax - y + 3 = 0与2x - 3y = 0平行, 求a的值. 首先,在直角坐标系内作出已知直线的图形,如图所示,显然已知直线过原点( 0, 0) 并且斜率可求,根据两直线斜率相等不难得到: a =2 /3.

2. 直线表达式求解中用到的方程思想

中职数学中对直线表达式的求解是最常见的数学问题,也是要求学生必须掌握的环节,因此要求具备相对成熟的数学思想和恰当的解题技巧. 对直线表达式的求解往往离不开直角坐标系中具体已知点坐标问题,通过已知点在直角坐标系中的位置特征,再结合直线与两坐标轴的相交情况构造简单的二元一次方程组,进而通过求解方程达到解题的目的.

例如,某直线L与已知直线x - 4y + 1 = 0垂直,并且它与直线2x - y +4 =0相交于y轴上,求L的表达式.

分析: 该题中不仅用到上述中的斜率性质,而且涉及直线相交所蕴含的方程思想,在表达式求解问题中,首先应该熟练掌握直线方程的斜截式,亦即y = kx + b,由已知直线x - 4y + 1 = 0可直接得到斜率k = - 4,因此直线一般式中出现唯一待求参量b,再根据与另一直线的相交特性得到方程组 有唯一解,亦即该方程组的解对应横坐标x = 0,因此,根据对应唯一的y值很容易算得b = 4.

二、直线位置关系与方程思想

1. 利用两直线相交特性构造方程组解题

中职数学教育中,直线位置关系往往涉及相交以及由此产生的求交点坐标等问题,首先应该明白两图形相交所表达的数学含义,从几何角度看是两图形拥有公共轨迹,如果两条轨迹完全重复,则表示这两图形全等,如果有唯一公共交点,表示两图形有且仅有一个共同的点坐标,此时从代数角度分析表示这两图形表达式所组成的方程组有唯一解,进而通过代数运算达到定量求解.

2. 根据方程组特性判断直线位置关系解题

篇4：高二数学直线的方程

关键词： 参数方程 高中文科数学 应用解答

一、利用参数方程如何解决求最值问题

很多时候学生在解决高中几何图形中的关于最值问题时，时常会因为不清楚已知条件的用处，有时候是因为看不懂题目要表达什么而无从下手，这时候如果采用直线参数方程对所遇到的几何最值问题进行一定的转变，从而将未知变成利用已知条件来表达，进而求出最终答案，就能达到自我提升.例如，在已知两条抛物线C1：y■=3x+5和C2：y■=5-3x相交于一点A，在A处作两条直线和抛物线相交于B、C点，求|AB|·|AC|的最大值.这种关于抛物线的题目往往会让学生心生胆怯.由于抛物线的知识点非常多而且零碎，很多学生对抛物线的知识点的记忆中显得很薄弱，进而打击了他们在解题过程中自信心，而题目有很大的模糊性，如果没有良好的知识基础很难完全读懂已知条件，最终解出题目答案.但如果采用直线参数方程，根据两条已知的抛物线C1和C2列方程组y■=3x+5y■=5-3x可以确定出交点A的具体数值，然后可以通过画出两条已知抛物线的图形，以及A点坐标，通过三者的图形关系列出一组关于B、C的方程组.又因为我们知道BC一定会与两条抛物线存在一定的交点，根据三角关系可以列出剩余的方程，最终求得题目所需要的结果.从这个例子中我们可以看到，很多文科高考数学卷中都会采用这样的题目类型考查学生，因此学生在实际练习过程中，应该有意识地训练自己进行一定的类型分析，遇到这样的求最值问题的题目时一定要懂得利用参数方程进行转换，通过图形结合已知条件，让自己能够掌握住更多的知识点，最终解答出题目.

二、在求解定值类数学题中应该如何运用参数方程

定值类型的数学题是高中数学中的一大难题，很多学生都会在这样的类型题中卡壳，无从下手解答题目，但我们必须明确指出，在几何题中，尽管题目变量是一个我们无法知道横坐标和纵坐标的点或者是由点构成的直线，尽管点存在两个未知元，但如果我们善于将其转变为只有一个参变元，那么对于我们解答题目就会变得相对简单.例如，在已知的抛物线C3：y■=4Bx（A>0）中，求证其x轴的正半轴上存在点A，使得过A点的抛物线的任何一弦满足为常数值.在这类题目中，我们首先要设定好A点的坐标，因为A点在正半轴上，那么可得出A（a，0）（a>0），同时设立好过A点的直线的参数方程x=a+bcosθy=bsinθ.再设定好方程后，将参数方程带入已知的抛物线方程中，得出一条参数量少的等式，将已知的抛物线的图形画出，根据图形得出第三已知量，进而证明出题目要求.这样的类型题也是常见题型，在很多时候文科生对于证明题都非常恐惧，当看到证明题时就会很胆怯，老师要根据这样的现象引导学生直面证明题，在高考文科数学卷中都会有一至两道证明题需要学生解答，学生要懂得根据题目要求来入手，不可以胡乱写出结果，要根据已知条件，通过设定参数方程来解答，避免自己在可以得分的题目上失分，导致成绩不理想.

三、直线参数方程对于解答轨迹问题所起的作用

在轨迹问题中，学生要通过画图，列好参数方程，通过图形中找到突破口，找到正确的图形轨迹，才能够最终求得答案，关于图形轨迹问题也是高中数学中的让同学们头疼的一部分，需要学生高度集中注意力才可以解答出问题，保证不失分.例如在解答关于圆曲线的方程中，经常会面对到题目给出了圆的方程，还有一些其他的已知条件，最终求动点关于圆曲线方程的问题.在这一类题目中，学生要先通读几遍题目内容，在草稿纸上列出已知条件，再根据已知条件设定好过原点的直线方程组，画出图形，通过数形结合，找出动点所在的方程组，并根据已知条件将动点的方程组转化为已知量来表达，通过已知量的组合最终解出轨迹问题.这类题目往往是考试卷中的倒数二三道题目，属于较复杂和困难的题目，对于一些基础薄弱的学生来说要完全解出题目显然要耗费很大的精力和较长的时间，建议学生在解题时要注重时间搭配，尽可能在前面容易拿分的题目中节省一定的时间，同时确保效率，对于这类中难题要多花点时间在题目上，但如果确实无法解答，则要跳过这类题目，不要过多耗费自己的考试时间，尽可能地保证其他类型题目不失分.

综上所述，关于直线参数方程在高中文科数学中如何应用，以上做了一系列讨论，但这些类型题的解答很大程度上依赖着学生对知识点掌握的情况，只有学生真正在高中数学中熟知每一个考查点，在此基础上运用参数方程加以解答，才能最终取得好成绩，为将来的深造打下基础.

参考文献：

[1]张国治.参数方程解题两例[J].数理天地（高中版），2008.

[2]徐雪蓉.例谈圆及椭圆参数方程的应用[J].数理化学习（高中版），2009.

[3]张堂海，熊先香.求曲线的参数方程如何选定参数[J].高中数理化，2013.

篇5：高二数学直线的方程

三、直线的参数方程

（一）》教案 新人教A版

知识与技能：理解直线的参数方程，掌握参数方程的应用.过程与方法：通过学习直线的参数方程，得出参数方程与普通方程互化的方法.情感、态度与价值观：通过本节课的学习，体会数学的现实应用价值，从而提高学习数学的

兴趣，坚定信心.教学过程：

经过点M0(x0,y0)，倾斜角为的直线l的普通方程是 yy0tan(xx0)2思 考

怎样建立直线l的参数方程呢？

如图，在直线l上任取一点M(x, y)，则M0M(x,y)(x0,y0)(xx0,yy0)设e是直线l上的单位向量(单位长度与坐标轴的单位长度相等)，则 e(cos,sin),([0,2)).因为 M0M//e，所以存在实数 tR，使M0Mte，即

(xx0,yy0)t(cos,sin),于是 xx0tcos,yy0tsin.即 xx0tcos, y0ytsin.因此，经过点M0(x0, y0)，倾斜角为的直线l的参数方程为

yelMxxx0tcos(t为参数)yy0tsin思 考

OM0xx0tcos设 M0Mte，你能得到直线 l 的参数方程(t为参数)yy0tsin中参数 t 的几何意义吗？

例1.已知直线l：x＋y－1＝0与抛物线y＝x2交于A，B两点，求线段AB的长和点M(－1,2)到A，B两点的距离之积.探 究

直线与曲线y＝f(x)交于M1，M2两点，对应的参数分别为t1，t2.(1)曲线的弦M1M2的长是多少？

(2)线段M1M2的中点M对应的参数t的值是多少？(3)你还能提出和解决哪些问题？

课堂小结

y经过点M0(x0, y0)，倾斜角为的直线l的参数方程

elMxxx0tcos为(t为参数)

yytsin0OM0x2y21于A，B两点.如果点M恰好为线段AB的例2.经过点M(2,1)作直线l，交椭圆

164中点，求直线l的方程.思 考

这种解法对一般圆锥曲线适用吗？把“中点”改为“三等分点”，直线l的方程怎样求？

课后作业

1.过点P(1, －2)，倾斜角为45o的直线l与椭圆x2＋2y2 ＝8交于A、B两点，求|AB|及|PA|· |PB|.x2y21 的一条弦，点M(2, －1)为AB的中点，求AB所在直线的方程.2.设AB为椭圆169

例3.当前台风中心P在某海滨城市O向东300km处生成，并以40km/h的速度向西偏北45o方向移动.已知距台风中心250km以内的地方都属于台风侵袭的范围，那么经过多长时间后该城市开始受到台风侵袭？

篇6：高中数学《直线的方程》教学反思

直线方程的教学是在学习了直线的倾斜角和斜率公式之后推导引入直线的点斜式方程，进一步延伸出其他形式的直线方程和相互转化，为下面直线方程的应用如中点公式、距离公式、直线和圆的位置关系等打下良好的基础。

（一）初步培养了学生平面解析几何的思想和一般方法。

在初中，学生熟知一次函数y=kx+b（也可以看成是二次方程）的图象是一条直线，但反过来任意画一条，要同学们写出方程表达式，学生刚开始会无从下手，从而激发学生学习的兴趣。随着教学的展开，让学生逐步形成平面解析几何的方法，如建立坐标啊，设点啊，建立关系式啊，得出方程啊等等，初步培养学生的平面解析几何思维，为后面学习圆、椭圆和相关圆锥曲线打下良好的基础。

（二）在教学中贯彻“精讲多练”的教学改革探索。

篇7：高二数学直线的方程

3.1.1 直线的倾斜角与斜率

教学要求：会根据直线上的两点坐标求直线的倾斜角与斜率,给出一直线上的一点与它的斜率,能够画出它的图象.教学重点：理解倾斜角, 斜率.教学难点：倾斜角, 斜率的理解及计算.教学过程：

一、复习准备：

1.讨论：在直角坐标系中,只知道直线上的一点,能不能确定一条直线呢? 2.在日常生活中,我们常说这个山坡很陡峭,有时也说坡度,这里的陡峭和坡度说的是山坡与水平面之间的一个什么关系呢?

二、讲授新课：

1.教学平面倾斜角与斜率的概念：

① 直线倾斜角的概念： x轴正向与直线向上方向之间所成的角叫直线的倾斜角

注意:当直线与x轴平行或重合时,我们规定它的倾斜角为0度.。

讨论:倾斜角的取值范围是什么呢?

② 直线斜率的概念：直线倾斜角的正切值叫直线的斜率.常用k表示,ktan

讨论:当直线倾斜角为90度时它的斜率不存在吗?.倾斜角的大小与斜率为正或负有何关系?斜率为正或负时,直线过哪些象限呢? 取值范围是0,.y2y1x2x1③ 直线斜率的计算:两点确定一直线,给定两点p1(x1,y1)与p2(x2,y2),则过这两点的直线的斜率k

思考 :(1)直线的倾斜角确定后, 斜率k的值与点p1,p2的顺序是否有关?

(2)当直线平行表于y轴或与y轴重合时,上述公式ky2y1x2x1还适用吗? 2.教学例题: 例1,求经过两点A(2,3),B(4,7)的直线的斜率和倾斜角,并判断这条直线的倾斜角是锐角还是钝角.例2:在平面直角坐标系中画出经过原点且斜率分别为 1,2,3的直线l1,l2,l3.三.巩固与提高练习: 1.已知下列直线的直线倾斜角,求直线的斜率k.⑴ a300 ⑵ a450

⑶ a1200

⑷

1350 2:已知直线l过点A(1,2)、B(m,3),求直线l的斜率和倾斜角 3,已知a,b,c是现两两不等的实数,求经过下列两点直线的倾斜角.(1)A(a,b),B(b,c)

(2)P(b,bc),Q(a,ca)4.画出经过点(0,3)且斜率分别为3和-2的直线.四.小结:

倾斜角、斜率的概念, 斜率的计算公式.五:作业,P9

52题.第二课时

3.1.2 两条直线平行与垂直的判定

教学要求：明白两直线平行与垂直时倾斜角之间的关系,能够 通过代数的方法,运用斜率来判定两直线平行与垂直关系.教学重点：用斜率来判定两直线平行与垂直.教学难点：用斜率来判定两直线平行与垂直.教学过程：

一、复习准备：

1.提问：直线的倾斜角的取值范围是什么?如果计算直线的斜率? 2.在同一直角坐标系中画出过原点斜率分别是-3,3,1的直线的图象.3.探究：两直线平行(垂直)时它们的倾斜角之间有何关系?

二、讲授新课：

1.两条直线平行的判定：

① 由上述探究 →两条直线平行：两直线倾斜角都相等.即: 12 ，提问: 两直线平行,它们的斜率相等吗? l1l2k1k2 ② 两条直线平行的判定: 两条不重合的直线,斜率都存在.它们的斜率相等.即: 12 , l1l2k1k2

注意: 上述结论的前提是两条直线不重合并且斜率都存在.2.两条直线垂直的判定：

探究两直线l1,l2垂直时,它们的斜率k1,k2的关系.① l1,l2的倾斜角1900,200时, 斜率k1,k2不存在;

② 当斜率k1,k2都存在时.设l1,l2的倾斜角分别为1,2, 其中01>2，则有1902

k1tan1tan(902)01tan21k2，即：k1k21

两条直线垂直的判定：两直线的斜率都存在时，两直线垂直，则它们的斜率k1,k2的乘积k1k21。即：l1l2k1k21

3.教学例题：

例1：已知四边形的四个顶点分别为A(0,1),B(2,0),C(4,3),D(2,4)，试证明四边形ABCD为平行四形。

例2：已知A(5,1),B(4,5),P(1,2),Q(7,5)，试判断直线AB与PQ位置的关系。4． 练习与提高：

1，试判断分别经过下列两点的各对直线是平行还是垂直？ ⑴(3,4),(2,1)与(3,1),(2,2)

⑵

(m,4)m,(求m的值。

四.小结:

倾斜角、斜率的概念, 斜率的计算公式.五:作业, P9

46.7题.1与,3(2,1)(3,0)

2, l1经过点A(m,1),B(3,4)，l2经过点C(1,m),D(1,m1)，当直线l1与l2平行或垂直时，第三课时3.2.1

直线的点斜式方程

教学要求：明白直线可以由直线线上的一点坐标与斜率确定，会由直线的一点坐标与斜率求直线的方程，会根据直线的点斜式方程求直线的截距。

教学重点：直线点斜式方程的理解与求解，由点斜式方程求直线的截距。教学难点：直线点斜式方程的理解与求解。教学过程：

一、复习准备：

1.直线的倾斜角与斜率有何关系?什么样的直线没有斜率? 2.提问：两条不重合的直线,斜率都存在.它们的斜率有何关系.如何用直线的斜率判定两直线垂直?

二、讲授新课：

直线点斜式方程的教学:

① 已知直线l上一点p0(x0,y0)与这条直线的斜率k，设p(x,y)为直线上的任意一点，则有：

kyy0xx0yy0k(xx0)

⑴

探究: 两点可以确定一直线,那么知道直线上一点的坐标与直线的斜率能不能确定一直线呢?

满足方程⑴的所有点是否都在直线 l上? 点斜式方程 ：方程 ⑴:yy0k(xx0)称为直线的点斜式方程.简称点斜式.② 讨论:直线的点斜式方程能否表示平面上的所有直线?(引导学生从斜率的角度去考虑)结论:不能表示垂直于x轴的直线.③ 斜截式方程: 由点斜式方程可知,若直线过点B(0,b)且斜率为k,则直线的方程为: ykxb

方程ykxb称为直线的斜截式方程.简称斜截式.其中b为直线在y轴上的截距.④ 能否用斜截式表示平面内的所有直线? 斜截式与我们学过的一次函数表达式比较你会得出什么结论.(截距b就是函数图象与y轴交点的纵坐标)⑤ 教学例题:

0⒈直线l经过点p0(2,5),且倾斜角为60,求直线l的点斜式方程并画出直线图象.⒉求下列直线的斜截式方程:⑴斜率为3,在y轴上的截距为1:⑵斜率为2,在y轴上的截距为5;⒊把直线l的方程x2y60化成，求出直线l的斜率和在y轴上的截距，并画图．

三.:练习与提高: 1.已知直线经过点(6,4),斜率为43,求直线的点斜式和斜截式.2.方程y13x3表示过点______、斜率是______、倾斜角是______、在y轴上的截距是______的直线。3.已知直线l的方程为y12x1,求过点(2,3)且垂直于l的直线方程.四小结: 点斜式.斜截式.截距 五:作业, P110 3.5题.第四课时3.2.2

直线的两点式方程

教学要求：会由两点求直线的方程,明白直线的点斜式、斜截式、两点式和截距式表示直线有一定的局限性，只有直线的一般式能表示所有的直线，清楚直线与二元一次方程的对应关系．能由直线的一般式转化为所需要的其他直线形式.教学重点：直线两点式及一般式理解与求解.及各种形式互化.教学难点：直线两点式及一般式理解与求解.及各种形式互化.教学过程：

一、复习准备：

1． 写出下列直线的点斜式、斜截式方程,并求直线在y轴上的截距.①经过点A(-2,3),斜率是-1；②经过点B(-3,0),斜率是0；③经过点C2,2,倾斜角是60；

二、讲授新课：

1.直线两点式方程的教学:

① 探讨:已知直线l经过p1(x1,y1),p2(x2,y2)(其中x1x2,y1y2)两点,如何求直线的点斜式方程?

yy1y2y1x2x1xx1x2x1(xx1)

两点式方程:由上述知, 经过p1(x1,y1),p2(x2,y2)(其中x1x2,y1y2)两点的直线方程为yy1y2y1

⑴，我们称⑴为直线的两点式方程,简称两点式.例1:求过A(2,1),B(3,3)两点的直线的两点式方程,并转化成点斜式.② 当直线l不经过原点时,其方程可以化为

1 ⑵, 方程⑵称为直线的截距式方程,其中 b直线l与x轴交于点(a,0),与y轴交于点(0,b),即l与x轴、y轴的截距分别为a,b.axyx2x1x2④ 中点:线段AB的两端点坐标为A(x1,y1),B(x2,y2),则AB的中点M(x,y),其中

yy1y22例2:已知直线经过A(2,0),B(0,3)两点,则AB中点坐标为______,此直线截距式方程为______、与x轴y轴的截距分别为多少？

2.巩固与提高:

① 已知ABC的三个顶点是A(0,7)B(5,3)C(5,-3)，求（1）三边所在直线的方程；

（2）中线AD所在直线的方程。

② 一直线经过点（-3，4）且在两坐标轴上的截距之和为12，求直线的方程 ③ 经过点（１，２），且在两坐标轴上的截距的绝对值相等的直线共有（）

A 1条

B 2条

C 3条

D 4条 ④ 上题若把点坐标改为(1,0)(2,2)呢? 3.小结:两点式.截距式.中点坐标.4.:作业P1104.题.第五课时3.2.3

直线的一般式方程

教学要求：引导学生体会直线的点斜式、斜截式、两点式和截距式表示直线有一定的局限性，只有直线的一般式能表示所有的直线，清楚直线与二元一次方程的对应关系．能由直线的一般式转化为所需要的其他直线形式.教学重点：直线一般式理解与求解.及一般式与点斜式、斜截式、两点式和截距式互化.教学难点：直线一般式理解与求解.及其它形式互化.教学过程：

一、复习准备：

1.写出下列直线的两点式方程.① 经过点A(-2,3)与 B(-3,0)；②经过点B(-3,0)与 C2,2；

2.探讨:点斜式、斜截式、两点式和截距式能否表示垂直于坐标轴的直线?(我们需要直线的一般表示法)

二、讲授新课：

1问：直线的方程都可以写成关于x,y的二元一次方程吗？反过来，二元一次方程都表示直线 关于x,y的二元一次方程:AxByC0(1),(叫直线的一般方程,简称一般式.① 当B0,(1)式可化为yABxCB,这是直线的斜截式.C② 当B0,A0时,(1)式可化为xA定义一般式: 关于x,y的二元一次方程:AxByC0(A,B不全为0)叫直线的一般式方程,.这也是直线方程.简称一般式.2.引导学生思考:直线与二元一次方程的对应是什么样的对应?(直线与二元一次方程是一对多的对应,同一条直线对应的多个二元一次方程是同解方程.)出示例题:已知直线经过点(6,4),斜率为43,求直线的点斜式和一般式方程.3.探讨直线AxByC0,当A,B,C为何值时,直线①平行于x轴;②平行于y轴③与x轴重合④与y轴重合.4.出示例题:把直线l的一般方程3y2x50化成斜截式方程,并求出直线l与x轴、y轴的截距,画出图形.三.练习与提高: 1.设直线l的方程为(m2)x3ym,根据下列条件分别求的值.①l在x轴上的截距为2.② 斜率为1

2．若直线AxByC0通过第二、三、四象限，则系数A、B、C满足条件（）(A)A、B、C

(B)AC<0,BC>0

(C)C=0,AB<0

(D)A=0,BC<0

篇8：高二数学直线的方程

《数学》在初中的平面直角坐标系和方程的相关知识的基础上,直接引入直线与方程和圆的方程的知识. 分节讨论直线的倾斜角与斜率、直线的方程、直线的交点坐标与距离和圆的方程. 教科书中本部分主要内容是如何用代数方法研究直线. 本部分内容首先探求确定直线位置的几何要素,然后给出不同确定直线方程和圆的方程的方法. 再是用代数方法研究有关的几何问题: 判定两直线的位置关系、圆与直线的位置关系、两点间的距离等. 在《新数学》中,关于坐标与直线的方程式,以及与圆的方程的关系的介绍设置在一章中,首先引入直线和平面上的点的坐标、点间的距离、线段的内分、内分点的坐标四个方面的相关内容,然后再深入由斜率和直线上的点的坐标求直线方程式,学习直线之间的位置关系,最后再进一步引入圆的表达式及求解方法,研究圆与直线之间的位置关系. 在内容布置上,这一章从一维直线入手,再深入到二维平面,引入一系列相关的概念,一步步地深入,使得引出直线与方程和圆的方程的知识相对而言更容易被学生接受,使学生能进一步理解直线与方程之间本质的联系.

相比之下,《新数学》中的“直线与方程”内容基于初中所学的直线的一般式对不同类型的直线的方程的题目进行求解,并没有给出《数学》中涉及的点斜式、斜截式、两点式的一般形式. 这样的安排更加注重基础知识的掌握,更容易被学生所理解. 这在一定程度上降低了教科书的难度.

二、内容结构上,教科书应更注重基础

通过前面知识结构比较,我们发现两本书在知识点的涉及上没有较大的区别,但在知识点的引入先后顺序上有一定的差异,并且在知识点的介绍方式上也各有特点.

我们通过对其中两条直线交点的求法来展现两本书的异同点.《数学》: 在第三节中由思考题引出如何求两条直线的交点这个问题. 通过建立几何与代数之间的联系,用代数方法求出两条直线的交点,写出两条直线的方程A1x +B1y + C1= 0和A2x + B2y + C2= 0,联立求解,若方程有唯一解,则两直线相交,此解就是交点; 若方程无解,则两直线无公共点,此时两条直线平行.《新数学》: 给出命题“平面上两直线不平行即相交”,联立方程求解,此解即为两直线的交点,随后通过一个具体例题进行演示.

《数学》中将直线与方程式的相关内容分阶段提出,与学生在不同年龄的认知水平相适应,有利于学生更好地吸收知识,而且内容起到前后呼应的作用. 而《新数学》则在第五章中集中提出,且内容比较简单. 与《数学》相比,《新数学》中的各个定理缺乏证明过程,欠缺严谨性.《数学》中对各个结论进行了一般情况下的推广,有利于学生课后的思考以及思维的拓展. 在这几点上,值得《新数学》借鉴.

三、例题设置上,教科书应更注重归纳思想

《数学》在“直线的方程”的例题上主要以计算为主,通过6个例题来巩固四种形式的直线方程式的求解; 《新数学》则通过3个计算的例题,在初中已学的一般式基础上分别推导斜截式、点斜式、两点式的方程,给定以上的形式计算斜率和截距.《新数学》对例题求解的要求则是从斜截式出来推导其他形式的直线方程,而《数学》对例题的解决则是基于四种形式的直线方程的公式.

《数学》在“直线的关系”的6个例题由4个计算和2个应用题组成,通过计算交点和直线的位置关系来巩固这部分知识; 《新数学》则更加有针对性地设计3个例子,分别为由两直线求交点坐标、求过一点与某直线平行以及过一点与某直线垂直的直线方程.《新数学》设置的例题更加基础,更加有针对性,使学生在初次接触新知识点时更易接受.