四年级数学模拟试卷

2024-07-19

四年级数学模拟试卷（精选8篇）

篇1：四年级数学模拟试卷

人教版四年级上期中数学模拟试卷

一、填空。

1、一个数由9个亿，2个百万和8个千组成，这个数写作，读作，改写成以“万”作单位的数是万，改写成以“亿”作单位的数是。

2、用0，0，0，1，2，3，4这七个数字组成一个最小的七位数是，读出三个0的最大七位数是。

3、量角的大小使用，角的计量单位是。

4、在同一个平面内的两条直线叫做平行线，如果两条直线相交成直角，就说这两条直线。

5、钟面上1时整，时针与分针所成的角是度；时整，时针与分针所成的角是一个平角。

6、刘宁走一步的平均长度是62厘米，他从操场这头走到那头共走了252步，操场大约长米。

7、过一点可以画条直线，过两点可以画条直线。

二、判断。

1、周角是一条射线，它只有一条边…… √×

2、一个因数扩大6倍，另一个因数扩大4倍，积扩大10倍…… √×

3、同一个平面内的两条直线，如果不相交，就一定互相平行…… √×

4、用一个能放大20倍的放大镜看9°的`角，看到的角是180°…… √×

5、将一张圆形纸对折三次后展开，不能得到175°的角…… √×

三、选择。

1、三位数乘两位数，所得的积是

A．三位数

B．四位数

C．四位数或五位数

2、下面说法中正确的是（）

A．小红3分钟走180米，这是小红的速度

B．特快列车2小时可行320千米，这是特快列车的速度

C．飞机1分钟飞行的路程，是飞机的速度

3、小刚画了一条15厘米长的（）

A．线段

B．射线

C．直线

4、用一副三角尺不能拼出（）的角。

A．15°

B．135°

C．85°

5、某工厂准备进钢材，3天进了219吨．照这样计算，七、八、九三个月共进钢材（）吨。

A．6789

B．6716

C．6643

四、计算。

1、直接写得数

15×20=

147÷7=

40×70=

4×180=

49×11≈

161×40≈

21×19≈

401×26≈

2、竖式计算

402×22=

27×142=

286×35=

20×308=

200×45=

460×70=

五、解决问题。

1、一列普通列车的速度是106千米/时，它21小时大约行多少千米？

列式：

答：它21小时大约行千米。

2、服装厂生产一批服装，每天生产210件，45天可以完成任务．这批服装一共有多少件？

列式：

答：这批服装一共有件。

3、学校准备发练习本，发给15个班，每班144本，全校还需要留40本作为备用．学校应买多少本练习本？

列式：

答：学校应买本。

4、李老师带了元钱为学校选购15台同样的电话机，每台128元．还剩多少元？

列式：

答：还剩元。

5、四年级一班同学去爬山．上山用了4小时，速度是450米/时．下山时只用了3小时，下山的速度是多少？

列式：

答：下山的速度是米。

6、历史博物馆成人票35元，儿童票28元．某学校有5位老师带领112名学生参观博物馆，购买门票需要多少钱？

列式：

答：购买门票需要元。

交卷

篇2：四年级数学模拟试卷

一、填空题。

1、最小的自然数是（），自然数的个数是（）。

2、500505000是一个（）位数，最高位是（）位，最高位上的5表示（）个（），中间的5表示（）个（），最后的5表示（）个（），这个数读作（）。

3、一万一万的数。十个一万是（），十个十万是（），十个一千万是（）。

4、由三亿、七百万、九万和四千组成的.数是（）。由三十万、八万和三千组成的数是（）。

5、在同一平面内，不（）的两条直线叫做平行线，也可以说这两条直线（）。

6、从个位起第（）位是亿位；第七位是（）位；第（）位是十亿位；千万位的右边一位是（）位，左边一位是（）。

7、一个数乘以58等于1160，如果这个数扩大3倍，则积是（）。

8、5□4858，要使商上两位数，□里可以填( );要使商上一位数□可以填（）。

9、86542379中的5表示（），3245876901中的2表示（）。

10、如果两条直线相交成（），就是说这两条直线（），其中一条直线叫做另一条直线的（），这两条直线的（）叫做垂足。

11、括号最大能填几。

（）35＜248

48（）＜369

（）27＜135

75（）＜751

（）53＜302

120（）＜25

12、把下列各数改写成用万或亿作单位的数。（不是整数的可以用四舍五入法省略万或亿后面的尾数。）

59700（）

4320000（）

106000000（）

9012000（）

13、用0、0、0、6、8、9、2这七个数按要求组成七位数。

读出两个0的（）

读出一个0（）

所有的0都不读出来（）

读出三个0（）

二、判断，对的画+号，错的画－号。

1、我可以量出直线的长度。（）

2、两个计数单位之间的进率都是十，这种计数方法叫做十进制计数法。（）

3、有两条射线所组成的图形叫做角。（）

4、角的边越长，角就越大。（）

5、从一个端点可以画无数条射线。（）

6、因为钝角都大于90，所以大于90的角都是钝角。（）

三、把符合要求的序号填在括号里。

1、中午1点整时，时针和分针所组成角的度数是（）。

A、15度

B、30度

C、90度

D、120度

2、两组对边分别平形，有四个直角（），只有一组对边平行（）两组对边分别平行，没有直角（）。

A、正方形

B、长方形

C、平行四边形

D、梯形

3、被除数除以100，除数怎样变化，商不变？（）。

A、除数加100

B、除数减100

C、除数除以100

D、除数乘100

四、算一算。

1、口算。

1506＝

725－65＝

3502＝

2304＝

183＝

1406＝

2703＝

713＝

2380＝

1305＝

2、估算。

48206

12583

162341

1032498

3、笔算下面各题，带*的要验算

16628

24039

300

66525

386151

95800280

五、列式计算。

1、25的34倍是多少？

2、756里面有多少个18？

3、1460减去22乘以18的积，差是多少？

六、应用题。

1、一辆汽车每小时行了516千米，照这样的速度，行6192千米需要多少个小时？

2、小红感冒了，吃完药后要赶快休息。小红应如何合理安排以上事情？

找杯子倒开水	1分钟
等开水变温	7分钟
找感冒药	1分钟
量体温	5分钟

篇3：四年级数学模拟试卷

一、选择题:本大题共10小题 (理科共8小题) , 每小题5分, 共50分 (理科共40分) .在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的.

(A) {1} (B) {0, 1} (C) (0, 1) (D)

(A) [1, +∞)

(B) {0}∪[1, +∞)

(D) {0}∪ (1, +∞)

2. (理) 已知a, b∈R*, i是虚数单位, 且 (1+ai) (b+i) = (b-a) +5i, 则a+b的最小值为 () .

(A) 2 (B) 3 (C) 4 (D) 5

(文) 已知a, b∈R*, 且 (1+ai) (b+i) =5i i是虚数单位, 则a+b= () .

(D) 4

3.已知函数f (x) =log2 (x+1) , f (x-1) 的反函数为g (x) , 则函数h (x) =f (x-1) +g (x) 在[1, 2]上的值域是 () .

() [, ]

(B) (2, 5]

(D) [1, 2)

(A) 5

(B) 8

(D) 25

(文) 下表为某厂节能降耗技术改造后生产甲产品过程中记录的产量x (吨) 与相应的生产能耗y (吨) 标准煤的三组对照数据.

则y关于x的线性回归方程为 () .

(A) 周期为6的奇函数

(B) 周期为6的偶函数

(D) 周期为6π的偶函数

6. (理) 已知双曲线C的右焦点F与抛物线y2=8x的焦点相同, 且以F为圆心, 半径为的圆与双曲线C的渐近线相切, 则双曲线C的方程为 () .

(文) 一个几何体的三视图如图1所示, 则该几何体的体积为 () .

7. (理) 图2是根据部分城市某年6月份的平均气温 (单位:℃) 数据得到的样本频率分布直方图, 其中平均气温的范围是[20.5, 26.5], 样本数据的分组为[20.5, 21.5) , [21.5, 22.5) , [22.5, 23.5) , [23.5, 24.5) , [24.5, 25.5) , [25.5, 26.5].已知样本中平均气温低于22.5℃的城市个数为11, 则样本中平均气温不低于25.5℃的城市个数为 () .

(A) 6 (B) 7 (C) 8 (D) 9

(文) 已知各项均为正数的等差数列{an}中, a2+an-1=12, Sn=36, 则a3a4的最大值为 () .

(A) 6

(B) 12

(D) 48

8. (理) 袋中装有m个红球和n个白球, m>n≥4, 现从中任取两球, 若取出的两球是同色的概率等于取出的两球是异色的概率, 则满足关系m+n≤40的数组 (m, n) 的个数为 () .

(A) 3

(B) 4

()

(文) 已知双曲线C的右焦点F与抛物线y2=8x的焦点相同, 且以F为圆心, 半径为的圆与双曲线C的渐近线相切, 则双曲线C的方程为 () .

(A) (-∞, 4)

(B) (0, 4)

(D) (-∞, 0]

(A) (-2, -1]∪ (1, 2]

(B) (-1, 1]∪ (2, +∞)

(D) [-2, -1]

二、填空题:本大题共5小题 (理科共7小题) , 选做4小题 (理科选做6小题) , 每小题5分, 共20分 (理科共30分) .把答案填在题中横线上.

(一) 必做题

9. (理) 已知函数f (x) =lg (|x+a|+|xa|-2) 的定义域为R, 则实数a的取值范围是__________.

12. (理) 为了鼓励节约用水, 某市实行了如下的居民用水阶梯缴费方案 (按户计价) :

为了方便居民缴交该方案的水费, 某公司准备研制一种“阶梯水价水表”, 其计算原理如图4所示的框图, 则在 (1) 处的表达式为S=________;某户居民5月份交了50.88元水费, 那么, 该户居民5月份用了__________吨水.

(文) 已知a, b均为不等于1的正数, 且函数f (x) =ax-b的图象不经过第四象限, 则函数g (x) =bx-a的图象不经过第__________象限.

13. (理) 一个几何体的三视图如图5所示, 则该几何体的体积为____________.

(文) 为了鼓励节约用水, 某市实行了如下的居民用水阶梯缴费方案 (按户计价) :

为了方便居民缴交该方案的水费, 某公司准备研制一种“阶梯水价水表”, 其计算原理如图6所示的框图, 则在 (1) 处的表达式为S=________;某户居民5月份交了50.88元水费, 那么, 该户居民5月份用了__________吨水.

(二) 选做题

14. (坐标系与参数方程选讲选做题) 如图7, 在极坐标系Ox中, 等腰梯形OABC的顶点O与极点重合, 顶点A在极轴上, BC∥AO, 且|OA|=3|CB|=3, |OC|=|AB|=, 则直线AB的极坐标方程为__________.

15. (几何证明选讲选做题) 如图8, 过⊙O外一点A作一条直线与⊙O交于C, D两点, AB切⊙O于B, 弦MN过CD的中点P.已知AC=4, AB=6, 则MP·NP=____________.

三、解答题:本大题共6小题, 共80分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

(Ⅱ) 若b=4, △ABC的面积S=6, 求sin B的值.

17. (本小题满分13分) (理) 某食品店每天以每瓶2元的价格从厂家购进一种酸奶若干瓶, 然后以每瓶3元的价格出售, 如果当天卖不完, 余下的酸奶变质作垃圾处理.

(Ⅰ) 若食品店一天购进170瓶, 求当天销售酸奶的利润y (单位:元) 关于当天的需求量n (单位:瓶, n∈N) 的函数解析式;

(Ⅱ) 根据市场调查, 100天的酸奶的日需求量 (单位:瓶) 数据整理如下表:

若以100天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率.食品店一天购进170瓶酸奶, X表示当天的利润 (单位:元) , 求X的分布列和数学期望EX.

(文) 图9所示的茎叶图记录了甲、乙两组各四名同学的投篮命中次数, 乙组记录中有一个数据模糊, 无法确认, 在图中以X表示.

(Ⅰ) 如果乙组同学投篮命中次数的平均数为, 求X及乙组同学投篮命中次数的方差;

(Ⅱ) 在 (Ⅰ) 的条件下, 分别从甲、乙两组中随机选取一名同学, 求这两名同学的投篮命中次数之和为19的概率.

18. (本小题满分13分) 如图10, 四边形ABCD是边长为1的菱形, ∠ABC=120°, 直线m经过点A且垂直于平面ABCD, 直线n经过点C且平行于m, 点P, Q分别是直线m, n上的动点, 且位于平面ABCD同一侧.

(Ⅰ) 证明:BQ∥平面PAD;

(Ⅱ) (理) 若CQ=, 直线BQ与平面BDP所成的角为60°, 求平面BDP与平面BDQ所成的角的余弦值.

(文) 若CQ=2AP=2a, 且平面BDP⊥平面BDQ, 求a的值.

19. (本小题满分14分) 已知函数f (x) =ax-1-ln x (a∈R) .

(Ⅰ) 讨论函数f (x) 在定义域内的极值点的个数;

(Ⅱ) 若函数f (x) 在x=1处取得极值, 对x∈ (0, +∞) , f (x) ≥bx-2恒成立, 求实数b的取值范围;

(Ⅰ) 若M是椭圆C1的右顶点, 点P是椭圆C1上一动点, 点A (2, 0) , |PA|的最小值为|MA|, 求实数m的取值范围;

(Ⅱ) 当m=时, 曲线C2经过椭圆C1的右顶点, 点Q为曲线C2上的动点, l为C2在Q点处的切线, 求原点O到切线l距离的最小值;

(Ⅲ) 当m=2时, 椭圆C1与垂直于x轴的直线EF交于E, F两点, 且|EF|=2b, 椭圆C1的上、下顶点分别为C, D, 求以C, D, E, F为顶点的面积S的最小值.

21. (本小题满分14分) 在数列{an}中, a1=1, 且对任意的k∈N*, a2k-1, a2k, a2k+1成等比数列, 其公比为qk.

(Ⅰ) 若qk=2 (k∈N*) , 求a1+a3+a5+…+a2k-1.

(1) 求证:{bn}成等差数列, 并求其公差;

(2) (理) 若d1=2, 试求数列{dk}的前k项和Dk.

(文) 若a2=d1=2, 试求数列{dk}的前k项和Dk.

参考答案

解之, 得x=0或x-1≥0,

即x=0或x≥1.

2. (理) C.由题意得 (1+ai) (b+i) = (ba) + (1+ab) i= (b-a) +5i, 则1+ab=5, 即ab=4, a, b∈R*, ∴a+b≥=4.

又a, b∈R*,

∴a=b=2, ∴a+b=4.

3.A.f (x-1) =log2x的反函数g (x) =2x, 则h (x) =f (x-1) +g (x) =log2x+2x在[1, 2]上是增函数, 而h (1) =2, h (2) =5,

∴h (x) ∈[2, 5].

∴n=5, 有a2+a4=10=2a3,

∴a3=5,

(文) 由于所给的数据恰在直线y=x-1上, ∴所求的线性回归方程为^y=x-1.

∴4=a2+b2.

∴a3a4≤36.

所以m+n= (m-n) 2, 由m>n≥4, m+n≤40, 得9≤m+n≤40.

解之, 得 (m, n) = (6, 3) , (10, 6) , (15, 10) , (21, 15) .故符合题意的数组 (m, n) 有4个.

∴4=a2+b2.

9. (理) (-∞, -1) ∪ (1, +∞) .由题意可知, 对任意x∈R, |x+a|+|x-a|-2>0恒成立, 则|x+a|+|x-a|>2.

又|x+a|+|x-a|=|x+a|+|a-x|≥| (x+a) + (a-x) |=2|a|, 由2|a|>2得a<-1或a>1.

综上, k的取值范围是 (-∞, 4) .

(1) 当-≥0, 即k≤0时, 区域Ω的边界为三角形;

综上, k的取值范围是 (-∞, 4) .

12. (理) S=2.88x-21.12;25.可得 (1) 处的表达式为S=1.92×22+2.88× (x-22) =2.88x-21.12.

当x=22时, S=2.88×22-21.12=42.24<50.88;当x=30时, S=2.88×30-21.12=65.28>50.88.故该户居民5月份的用水量x满足22≤x≤30.由2.88x-21.12=50.88, 得x=25.

(文) S=2.88x-21.12;25.可得 (1) 处的表达式为S=1.92×22+2.88× (x-22) =2.88x-21.12.

当x=22时, S=2.88×22-21.12=42.24<50.88;当x=30时, S=2.88×30-21.12=65.28>50.88.故该户居民5月份的用水量x满足22≤x≤30, 由2.88x-21.12=50.88, 得x=25.

14.ρ (cosθ+sinθ) =3.以O为原点, 极轴为x的正半轴建立平面直角坐标系, 由题意得

其极坐标方程为ρ (cosθ+sinθ) =3.

(Ⅱ) ∵b=4, S△ABC=6,

17. (理) 解: (Ⅰ) 当n<170时, y=3n-170×2=3n-340;

当n≥170时, y= (3-2) ×170=170.

(Ⅱ) X可取值为:110, 140, 170.

依题意得n=150, 160及不小于170的频率分别为0.17, 0.23, 0.6.

∴X的分布列为:

∴EX=110×0.17+140×0.23+170×0.6=152.9.

(Ⅱ) 记甲组四名同学为A1, A2, A3, A4, 他们投篮命次数依次为:9, 9, 11, 11,

乙组四名同学为B1, B2, B3, B4, 他们投篮命次数依次为:8, 8, 9, 10,

分别在甲、乙组中随机选取一名同学, 有:

(A1, B1) , (A1, B2) , (A1, B3) , (A1, B4) ;

(A2, B1) , (A2, B2) , (A2, B3) , (A2, B4) ;

(A3, B1) , (A3, B2) , (A3, B3) , (A3, B4) ;

(A4, B1) , (A4, B2) , (A4, B3) , (A4, B4) .

故共有16种.

选出的两名同学投篮命中次数之和为19有: (A3, B1) , (A3, B2) , (A4, B1) , (A4, B2) , (A1, B4) , (A2, B4) ,

∴PA∥面BCQ.

∴AD∥面BCQ, AD∩PA=A,

∴面PAD∥面BCQ, BQ面BCQ,

∴BQ∥平面PAD.

(Ⅱ) (理) 设AC∩BD=O, 连结OP, OQ, PQ.

由PA⊥面ABCD, BD面ABCD, 得BD⊥PA,

在菱形ABCD中, BD⊥OA,

又∵OA∩PA=A,

∴BD⊥面POA, PO面POA,

∴BD⊥OP.

同理, BD⊥OQ,

而OP∩OA=O, 则BD⊥面POQ.

作QE⊥OP于点E, 连结QE, 由QE面POQ, 则BD⊥QE,

又PO∩BD=O, 有QE⊥而BDP, 连结BE, 则∠EBQ是直线BQ与平面BDP所成的角,

∴∠EBQ=60°.

(文) 设AC∩BD=O, 连结OP, OQ, PQ.

由PA⊥面ABCD, CQ∥PA, 得QC⊥面ABCD,

而BD面ABCD, 得BD⊥QC.

在菱形ABCD中, BD⊥OC,

又∵QC∩OC=C, ∴BD⊥面QOC, QO面POA,

∴QO⊥BD.

又平面BDP⊥平面BDQ, 平面BDP∩平面BDQ=BD,

∴OQ⊥面BDP, PO面BDP,

则OQ⊥PO.

设PA=a, 由CQ=2AP得CQ=2a,

作PM∥AC交QC于点M, 则PM=AC.

当a≤0时, f′ (x) <0, f (x) 在 (0, +∞) 上单调递减, 这时f (x) 在 (0, +∞) 上没有极值.

∴当a≤0时, f (x) 在 (0, +∞) 上没有极值;当a>0时, f (x) 在 (0, +∞) 上有一个极值.

由g′ (x) =0, 得x=e2.

当0<x<e2时, g′ (x) <0, 当x>e2时, g′ (x) >0,

∴g (x) 在 (0, e2) 上递减, 在 (e2, +∞) 上递增,

∴h (x) 在 (e-1, +∞) 上单调递增, 而x>y>e-1, 有h (x) >h (y) ,

∴h (x) 在 (e, +∞) 上单调递增, 而x>y>e, 有h (x) >h (y) ,

代入整理得2x0x-4y-x20-8=0,

原点O到切线l距离

即原点O到切线l距离的最小值为2.

由直线EF⊥x轴知, 四边形CDEF为等腰梯形, 且|CD|=2, 而|EF|=2b,

令f (b) =S2=4 (b+1) 2 (1-b2) , 0<b<1,

(Ⅱ) 证明: (1) ∵a2k, a2k+1, a2k+2成公差为dk的等差数列,

∴2a2k+1=a2k+a2k+2,

∴bk+1-bk=1, 即{bn}是等差数列, 且公差为1.

(2) (理) 由d1=2得a3=a2+2,

则由a22=1×a3=a2+2.

解之, 得a2=2或a2=-1.

∴dk=a2k+1-a2k=4k-2,

从而Dk=2k2,

(文) 参阅理 (2) (i) .

篇4：四年级数学模拟试卷

一、计算题。（共40个知识点）

1.直接写得数。（每道小题1个知识点，共10个知识点）

3.5+0.6= 1.5-0.5= 0.89+0.9= 0×48= 720÷60=

3.3-1.8= 230÷5= 5.4﹣4.6= 125×8= 25×7×4=

2.竖式计算。（后两道小题需要验算；前三道小题每题2个知识点，后两道小题每题3个知识点，共12个知识点。）

（1）6.74+0.68= （2）64.7-3.74= （3）48×29=

（4）23-14.53= （5） 754÷29=

3.脱式计算。（能简算的要简算；每题3个知识点，共18个知识点。）

（1）3.27+6.4+2.73+3.6 （2） 6.45-0.58-1.42

（3）25×44 （4）24×15+169÷13

（5）2400÷25÷4 （6）（125+7）×8

二、填空题。（每空1个知识点，共20个点）

1.一个小数由4个十、5个一、2个十分之一和8个千分之一组成，这个数是（），读作（）。

2.2011年我国的入境旅游人数达到了1 3542 0000人次，把这个数改写成用“亿”做单位的数是（）亿人次，精确到十分位约是（）亿人次。

3.根据36×20=720，578—558=20，列出一道综合算式是（）。

4.一个等腰三角形，它的顶角是30度，那么它的一个底角是（）度。

5.小红、小青和小兰同时买了同样的铅笔各一支，3天后小红用去2.03cm，小青用去1.83cm，小兰用去1.89cm，他们三人中，（）剩下的铅笔最长。

6. 2.5kg=（）g 3.08t =（）t（）kg

30.7dm2=（）m2 7km 430m=（）km

7.一个两位小数，用“四舍五入”的方法取近似数是9.4，则这个两位小数最大是（），最小的是（）。

8.计算小数加减法时，一定要把（）对齐，也就是把（）对齐。

9.把0.56的小数点先向左移两位，再向右移三位，结果是原来的（）倍，比原数大（）。

10.如图是一个直角梯形，如果∠1=45度，则∠2=（）度。

11.新星小学“环保卫士”小分队12人参加植树活动。男生每人栽了3棵树，女生每人栽了2棵树，一共栽了28棵树。男生有（）人，女生有（）人。

三、判断题。（正确的画√，错误的画×；每题2个知识点，共10个知识点）

1.用10cm、4cm和3cm的三根小棒可以围成一个三角形。（）

2.三角形按角可以分为锐角三角形、等边三角形、钝角三角形。（）

3. 4.02和4.020大小相等，意义也相同。（）

4.小东所在班级同学的平均体重是39千克，小亮所在班级同学的平均体重是35千克，小东一定比小亮重。

（）

5.三角形中，最大的一个内角一定不能小于60度。

（）

四、选择题。（把正确答案的序号填在括号里，每题2个知识点，共6个知识点；注意：第1、2小题为多选题）

1.下面选项中，运用了乘法分配律的算式有（）。

① 124×4+124×6=124 ×（4+6）

② 48×（21+29）=48 ×50

③（a + b） ×c = a×c + b ×c

④ 120×25×4= 120×（25×4）

2.从（）看下面三个立体图形的形状完全相同。

3.师生共32人去公园划船，大船租金30元，限乘6人，小船租金24元，限乘4人，下列（）方案最省钱。

①6条大船 ②5条大船，1条小船

③4条大船，2条小船

五、操作题。（共13个知识点）

1.涂色表示各小数。

2.先根据对称轴补全下面这个轴对称图形，再画出这个轴对称图形向右平移9格后的图形。观察平移前后的两个图形，你发现什么变了？什么没变？

3.以给出的三条线段为底分别在格子图中画一个锐角三角形、直角三角形和钝角三角形，然后分别画并标出它们的一条高。观察三个图形的高，你发现了什么？

六、解决问题。（共21个知识点）

1.地球表面的海洋面积是3.61亿平方千米，陆地面积比海洋面积少2.12亿平方千米，地球的表面积是多少亿平方千米？

2.学校买来了32套办公桌椅，桌子每张142元，椅子每把58元，这批桌椅一共多少钱？（两种方法解答。）

3.小明星童装厂加工一批童装。原计划每天加工45套，40天做完，实际36天就完成了任务。实际每天比原计划多加工多少套童装？

4.下面是爱华小学四年级学生男、女生身高统计图。请认真分析统计图中的数据，回答下面的问题。

（1）身高在1.30-1.39米的男生有（）人，女生有（）人。

（2）男生和女生的人数在（）范围内差距最大。

（3）身高在1.30米以下的同学有（）人。

（4）有三位男生的身高在1.30米以下，并且体重在40千克以上，根据右边表格数据，你认为他们的身高、体重怎么样？你对他们有什么建议？

试卷说明：

一、试题结构

试卷分为六大题型，分别为计算题（40分），填空题（20分），判断题（10分），选择题（6分），操作题（13分），解决问题（21分）；总计110分。

二、命题原则

考查知识点本册书中“四则运算及运算定律”“观察物体”“小数的意义和性质”“小数的加减法”“三角形”“图形的运动”“平均数与条形统计图”“数学广角”等内容，突出本册书教学重点“整数、小数的运算”“小数的意义”和“图形的认识与运动”内容考查。

三、命题特点

1.注重数学“双基”，体现数学教育的基础性、普及性。基础知识与基本技能始终是学生适应社会生活和进一步发展所必须的基本素养。本套试卷重点关注“双基”考查突出数学教育的基础性和普及性。具体体现在两个方面，第一方面是关注学生计算能力的考查；第二方面，关注对本册书中基本概念掌握情况的考查。

2.注重数学基本活动经验和数学思想的考查，培养学生发现问题与提出问题能力。本套试卷设计操作题重点考查学生的操作能力，并且通过设计问题引领学生观察数学操作活动，发现并提出数学问题。本套试题通过设计操作活动后的问题对接数学操作与数学思考，渗透数学思想，考查学生的数学活动经验的积累情况。

3.关注解决问题能力和数学思维的灵活性、发散性的考查，体验数学与生活的紧密联系。本套试题注重创设贴近学生生活实际的问题情境，不仅激发了学生的学习兴趣，而且让学生体会到数学与生活的紧密联系，使学生有更多机会从周围熟悉的事物中学习数学、理解数学，增强了学生的解决问题能力和应用意识。同时，本套试题注重知识的综合性与问题的开放性，突出学生数学思维的灵活性、发散性的考查。

篇5：四年级数学期中试卷

一、填空。(22分)

①最小的自然数是()。最大的六位数是()

②三个十亿，八个千和五个一组成的数是()，读作()。

③一个数的最高位是百亿位，它是()位数，九位数的最高位是()位。

④通常把量得的数和()合起来叫做名数。

⑤因为△÷□=○，所以□=()，△=()

⑥闰年的二月有()天，平年全年有()天。

⑦8003平方分米=()平方米()立方分米

510分()时()分千克=()吨()千克

⑧一袋面粉重25千克，那么()袋面粉重2吨。

⑨与百分位相邻的.两个数位是()位和()位。

⑩在有余数的除法中，被除数=()×()+()。

⑾用字母表示运算定律：如(a+b)×c=

(a×b)×c=

⑿5个1100写成小数为()，读作：()

二、判断。(5分)

①在小数点后面添上“0”或去掉“0”，小数的大小不变。()

②在有余数的除法里除数必须比余数大。()

③整数部分是0的小数比1小。()

④两个面积单位之间的进率是100。()

⑤除法是加法的逆运算。()

三、选择题。(选番号写在括号里。4分)

(1)x-28=36求未知数的根据是()

A、一个因数=积÷另一个因数B、一个加数=和-另一个因数

C、被减数=差+减数

(2)2,372和2,329之间该填()

A、>B、

(3)0.250表示()个千分之一。

A、25B、250C、2500

(4)80能被()整除。

A、1268107B、1210416204080

C、1230402080

四、计算。(41分)

1、直接写得数。(5分)

72×60+800=25×40=53×70=(630-80)÷11=

480÷30=270÷3+70=703×6≈5376÷59≈

1-(27+57)=1-79=

2、笔算。(8分)

308×21534163÷757002-46185762+1986

3、简算。(16分)

146+155+254+451762-73-127101×28

5600÷3573×68+32×73142×59-42×59

999×999+999125×32×25

4、求未知数x。(8分)

x-756=12681456÷x=26

x×73=4380x÷75=29

5、脱式计算。(8分)

8360+(201-438÷73)2790÷(250×12-2991)

(374-265+238)×650-50÷5+6

五、列式计算。(6分)

①82与15的差乘32与18的和，积是多少?

②716与708的差除1680，商是多少?

③一个数比756多218，求这个数(列x解)

六、应用题。(22分)

1、实验小学三年级有4个班，每班40人，三年级和四年级一共有多少人?(补充成三步应用题，再解答。)(4分)

2、学校有72个篮球，乒乓球比篮球多28个，足球比篮球和乒乓球的总数少32个，足球有多少个?(3分)

3打字员小李每分钟打字45个，小李1小时20分钟可以打字多少个字?(3分)

4、5个工人6天修路900米，平均每个工人每天修路多少米?(两种分步写小标题解答。)(6分)

5、商店运来大米和面米各60袋，每袋大米重30千克，每袋面粉重25千克，运来的大米比面粉多多少千克?(两种不同方法解答。6分)

附加题(10分)

篇6：四年级数学期末试卷

一、填空。

1、二亿零九百零九万，写作( );把它改写成用万作单位的数是( )，约( )亿。

2、估算： 21403 ( )， 741362( )。

3、要使□5348的商是一位数，□里最大可以填( )，

要使□5348的商是二位数，□里最小可以填( )。

4、1平角+1直角=( )。

5、经过两点能画( )条直线，经过一点能画( )条直线。

6、长方形的对边互相( )，直角的两边互相( )。

7、两个数相除，商是23，如果被除数缩小10倍，要使商不变，除数应( )。

8、括号里最大填几?

35( ) 220 ( )78 650

二、判断题。

1、一个角的两边越长，这个角就越大。 ( )

2、如果被除数的`末尾有两个0，商的末尾至少有一个0。 ( )

3、亿以内数的读法是，每级末尾不管有几个零，都只读一个零。( )

4、a(b+c)=ab+bc 。 ( )

5、一个因数不变，另一个因数扩大10倍，积也扩大10倍 ( )

三、选择题。

1、下午5时整，钟面上时针与分针所成的角是( )。

A. 直角

B. 钝角

C. 锐角

D.平角

2、最大的三位数乘以最小的三位数，积是( )。

A. 999

B. 9990

C. 99900

D. 999000

3、把线段向两端无限延长，就得到一条( )。

A. 线

B. 线段

C. 射线

D. 直线

4、40525034写成万作单位的近似数是( )。

A. 405万

B. 4053万

C. 4052万

D. 4051万

5、与63101的计算结果相等的式子是( )。

A. 63100+1

B. 63100-1

C. 63100+63

D. 631001

四、列式计算。

一个数被20除，商是16，余数是15，求这个数?

五、应用题。

1、同学们进行跳绳比赛，规定每人跳3分钟时间。小明一共跳了321个，小红平均每分钟比小明多跳8个。小红跳了多少个?

2、学校计划购买18台电视机和40台电脑。每台电视机1200元，每台电脑4800元。学校准备20万元，够不够?

3、买门票有两个方案：[甲方案] 成人每位120元，小孩每位40元;[乙方案] 团体5人以上每位80元。

(1)成人7位，小孩3位怎样购票合算?

(2)成人3位，小孩7位怎样购票合算?

4、同学们从学校到公园春游，每分钟行60米，学校到公园的路程是3600米。

(1)出发15分后，同学们走了多长的路程?

篇7：四年级数学上册期中试卷

一、仔细审题，我来填

1.一千万是( )个百万，( )个一千万是一亿。

2. 32050670，这个数的最高位是( )位，它是( )位数，5在( )位上，表示5个( )，把它改写成用万作单位的近似数是( )。

3. 5个105是( )，125的40倍是( )。

4..最小的两位数和最大的三位数的积是( )。

5.用0，1，2，6，7这六个数字组成一个最小的五位数是( )，组成一个最大的五位数是( )。

6.在○里填上“>”、“<”或“=”。

130×30○13×300 31万○310000

210001○209999 47×38○38×49

7. □5643≈9万，□里可以填( )。

8.两个因数的积是936，其中一个因数是12，如果把因数12改成1200，这时积是( )。

9.把下列各数按从大到小的顺序排列。

88000 80008 80800 80080

( ) > ( ) > ( ) > ( )

10.小明的身份证号码是37078603150030，那么他( )年( )月( )日出生。

11.李阿姨平均月收入907元，她一年大约收入( )元。

12.一个长方形公园原来的面积是15公顷，现在将这个公园的长扩大到原来的3倍，宽不变，扩建后公园的面积是( )公顷。

二、火眼金睛，我来判。(对的打“√”，错的打“×”)

1.个位、十位、百位、千位……都是计数单位。 ( )

2.7006000读作“七百万零六千。 ( )

3.一亿比最大的八位数多1。 ( )

4.由六百万和六百组成的数是6000600。 ( )

5.493600省略万后面的尾数约是49万。 ( )

6. 两个计数单位间的.进率都是十。 ( )

三、认真推敲，我来选。(把正确答案的序号填在括号里)

1.两位数乘三位数，积( )是五位数。

A.一定 B.不可能 C.不一定

2.下面各数中，读出两个零的数是 ( )

A.5010040 B.5104000 C.5001004

3.一个数是十位数，它的最高位是( )。

A.十亿位 B.亿位 C.千亿位

4. 160×50所得积的末尾有( )个0。

A. 1 B. 2 C.3

5.由8个十万，2个万和2个十组成的数是( )。

A.8000 B.820002 C. 80

6.把7085310省略万位后面的尾数是( )。

A. 71万 B. 708万 C. 709万

四、看清算式，我来算。

1. 直接写得数。

160×5= 15×400= 23×3= 850×0=

500×25= 70×60= 125×80= 49 ×2=

2. 估算。

223×28 ≈ 408×30 ≈ 650×12 ≈ 98×32≈

3. 竖式计算。

138×18= 408×32= 170×86=

4. 脱式计算。

224×5+159÷3 87+(520-150×3) 25 +45×102

五.解决问题，我能行。

1.一块苗圃，每行种51棵树苗，种了790行，估一估，这块苗圃大约种了多少棵树苗?

2.学校组织植树劳动，平均每人植树4棵。一班有学生42人，二班有学生38人，两个班一共植树多少棵?

3. 甲乙两列火车分别从甲乙两地同时开出，经过5个小时相遇，甲车每小时行110千米，乙车每小时行100千米，甲乙两地相距多少米?

4. 四年级的同学做五角星，每人发了8张红纸，13张黄纸，发给16个同学后，还有112张。两种纸一共买了多少张?

5、小英是第二实验小学三年级四班的七号运动员，她的号码是234007 。小亮是第一实验小学五年级三班的22号运动员，他的号码是153022.

(1)王小红的号码是246091，根据这个号码，你都能知道什么?

(2)第三实验小学赵楠是2年级5班的8号运动员，请你写出她的号码。

6、一副羽毛球拍原来标价是36元，学校购买时，每副降价12元，现在买28副羽毛球拍，比原来少付多少钱?

六、智慧园

1.一个数在省略万位后面的尾数之后是4万，那么这个数在省略之前，最大只能是( )，最小只能是( )。

篇8：四年级数学模拟试卷

本大题共12小题, 每小题5分, 共60分.在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的.

1. (理科) 已知 $x \in R, y ＞ 0 ‚ A = {x^{2} + x + 1, - x, - x - 1} ‚ B = {- y, - \frac{y}{2}, y + 1}$ , 若A=B, 则x2+y2= ( ) .

(A) 4 (B) 5 (C) 6 (D) 7

(文科) 设集合 $A = {x | x ＞ 2} ‚ B = {x | \frac{x - 1}{x - 4} ＜ 0}$ , 则A∩B= ( ) .

(A) {x|x>4} (B) {x|x>2}

2.已知x, y∈R, i为虚数单位, 且 $\frac{3 + 4 i}{x + y i} = 1 + 2 i$ , 则z=x+yi的共轭复数 $\bar{z}$ 在复平面内对应的点在 ( ) .

(A) 第一象限 (B) 第二象限

3.投掷一枚均匀的硬币和一枚均匀的骰子各一次, 记“硬币反面向上”为事件A, “骰子向上的点数是3的倍数”为事件B, 则事件A, B中至少有一件发生的概率是 ( ) .

$\begin{array}{l} (A) \frac{1}{3} (B) \frac{1}{2} \\ (C) \frac{2}{3} (D) \frac{5}{6} \end{array}$

4.设双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a ＞ 0, b ＞ 0)$ 的渐近线与抛物线y=x2+1相切, 则该双曲线的离心率等于 ( ) .

$\begin{array}{l} (A) \sqrt{3} (B) 2 \\ (C) \sqrt{5} (D) \sqrt{6} \end{array}$

5.为了得到函数 $y = \cos (2 x + \frac{π}{3})$ 的图象, 只需将函数y=sin2x的图象 ( ) .

(A) 向左平移 $\frac{5 π}{12}$ 个长度单位

(B) 向右平移 $\frac{5 π}{12}$ 个长度单位

(D) 向右平移 $\frac{5 π}{6}$ 个长度单位

6.已知α, β表示两个不同的平面, m为平面α内的一条直线, 则“α⊥β”是“m⊥β”的 ( ) .

(A) 充分不必要条件

(B) 必要不充分条件

(D) 既不充分也不必要条件

7.某几何体的三视图如图1所示 (尺寸的长度单位为cm) , 则该几何体的体积为 ( ) cm3.

(A) 4

(B) 8

(D) 24

8.设函数 $f (x) = \frac{x}{3} - \ln x$ , 则y=f (x) ( ) .

(A) 在区间 $(\frac{1}{e}, 1), (1, e)$ 内均各有一个零点

(B) 在区间 $(\frac{1}{e}, 1), (1, e)$ 内均无零点

(D) 在区间 $(\frac{1}{e}, 1)$ 内无零点, 在区间 (1, e) 内有且仅有一个零点

9.如果执行如图2所示的框图, 输入N=4, 则输出的数等于 ( ) .

10.已知A, B, C是平面上不共线的三点, O是△ABC的重心, 若点P满足 $3 \vec{Ο Ρ} = \frac{5}{2} \vec{Ο A} + \frac{5}{2} \vec{Ο C} + 4 \vec{Ο B}$ , 则点P为△ABC的 ( ) .

(A) AC边中线的中点

(B) AC边中线的三等分点 (非重心)

(D) AC边的中点

11.已知函数f (x) 对任意的x, y∈R均满足, f (x) +f (2x+y) +6xy=f (3x-y) +2x2+2, 则f (10) = ( ) .

(A) -98 (B) -2

12. (理科) 函数 $f (x) = \frac{2 x^{2} - 2 x + 3}{x^{2} - x + 1} (x \in (1, 3))$ 的值域为 ( ) .

$\begin{array}{l} (A) [2, \frac{10}{3}] (B) (2, \frac{10}{3}] \\ (C) (2 \frac{1}{7}, 3) (D) [2 \frac{1}{7}, 3] \end{array}$

(文科) 若对任意实数x∈[-1, 2], 不等式x2+ax-3a<0的恒成立, 则实数a的取值范围是 ( ) .

(A) (-12, 0) (B) (-∞, -12)

二、填空题:本大题共4小题, 每小题5分, 共20分.将答案填在题中的横线上.

13.函数 $f (x) = \frac{x - x^{3}}{1 + 2 x^{2} + x^{4}}$ 的最大值与最小值的积为____.

14.已知随机变量ξ服从正态分布N (3, σ2) , 若P (2≤ξ≤4) -P (ξ>4) =0.85, 则P (2≤ξ≤3) =____.

$\begin{array}{l} 15 . 在 △ A B C 中 ‚ 已知 C = 60 ° ‚ \\ \frac{s i n A + s i n B + s i n C}{s i n A + s i n C} + \frac{s i n A + s i n B + s i n C}{s i n B + s i n C} = . \end{array}$

16. (理科) 已知函数f (x) 是定义在 (0, +∞) 上的单调递增函数, 当n∈N*时, f (n) ∈N*, 若f[f (n) ]=3n, 则f (5) +f (4) 的值等于____.

(文科) 已知函数f (x) 是定义在 (0, +∞) 上的单调递增函数, 当n∈N*时, f (n) ∈N*, 若f[f (n) ]=3n, 则f (1) 的值等于____.

三、解答题:

本大题共70分.解答应写出必要的文字说明, 证明过程或演算步骤.

17. (本小题满分12分) 设a, b均为大于1的自然数, 函数f (x) =a (b+sinx) , g (x) =b+cosx, 且存在实数m, 使得f (m) =g (m) , 试求a+b的值.

18. (本小题满分12分) 已知椭圆 $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1, (a ＞ b ＞ 0)$ , 过椭圆的左顶点A (-a, 0) 的直线l与椭圆交于Q, 与y轴交于R, 过原点与l平行的直线与椭圆交于P点.求证: $| A Q | ‚ \sqrt{2} | Ο Ρ | ‚ | A R |$ 成等比数列.

19. (本小题满分12分) (理科) 如图3在三棱锥P-ABC中, 已知 $Ρ A ⊥ A B C ‚ A B ⊥ A C ‚ Ρ A = A C = \frac{1}{2} A B ‚ Ν$ 为AB上一点, AB=4AN, M, S分别为PB, BC的中点.

(Ⅰ) 证明:CM⊥SN;

(Ⅱ) 求SN与平面CMN所成角的大小.

(文科) 如图4, 在四棱锥P-ABCD中, 底面ABCD是矩形, PA⊥平面 $A B C D ‚ A Ρ = A B = 2, B C = 2 \sqrt[]{2}, E ‚ F$ 分别是AD, PC的中点.

(Ⅰ) 证明:PC⊥平面BEF;

(Ⅱ) 求平面BEF与平面BAP夹角的正切值.

20. (本小题满分12分) (理科) (Ⅰ) 已知甲盒内有大小相同的3个红球和4个黑球, 乙盒内有大小相同的5个红球和4个黑球.现从甲、乙两个盒内各任取2个球.试求取出的4个球均为红球的概率.

(Ⅱ) 若袋中有红球和白球共100个, 如从这只袋中任取3个球, 试问:袋中有几个红球时, 能使得取出的3个球全为同色的概率最小?

(文科) 三人独立破译同一份密码, 已知三人各自破译出密码的概率分别为 $\frac{1}{5}, \frac{1}{4}, \frac{1}{3}$ , 且他们是否破译出密码互不影响.

(Ⅰ) 求恰有二人破译出密码的概率;

(Ⅱ) “密码被破译”与“密码未被破译”的概率哪个大?试说明理由.

21. (本小题满分12分) (理科) 已知函数 $f (x) = \sqrt{x}, g (x) = a \ln x, a \in R ‚$

(Ⅰ) 若曲线y=f (x) 与曲线y=g (x) 相交, 且在交点处有共同的切线, 求a的值和该切线方程;

(Ⅱ) 设函数h (x) =f (x) -g (x) , 当h (x) 存在最小值时, 求其最小值φ (a) 的解析式;

(Ⅲ) 对 (Ⅱ) 中的φ (a) 和任意的a>0, b>0, 证明: $φ^{'} (\frac{a + b}{2}) \leq \frac{φ^{'} (a) + φ^{'} (b)}{2} \leq φ^{'} (\frac{2 a b}{a + b}) .$

(文科) 已知函数f (x) =x3+2bx2+cx-2的图象在与x轴交点处的切线方程是y=5x-10.

(Ⅰ) 试求函数f (x) 的解析式;

(Ⅱ) 设函数 $g (x) = f (x) + \frac{m x}{3}$ , 若g (x) 的极值存在, 求实数m的取值范围以及函数g (x) 取得极值时对应的自变量x的值.

请考生在第22, 23, 24三题中任选一题作答, 如果多做, 则按所做的第一题记分.

22. (本小题满分10分) 选修4-1:几何证明选讲

从圆O外一点P引切线PA, 其中A为切点, PCB是该圆的一条割线 (如图5) , 试证: $\frac{Ρ C}{Ρ B} = \frac{A C^{2}}{A B^{2}} .$

23. (本小题满分10分) 选修4-4:坐标系与参数方程

已知实数x, y满足x2+y2-2x+4y=0, 试求 $x + \sqrt{3} y$ 的最大值.

24. (本小题满分10分) 选修4-5:不等式选讲

已知x, y, z∈R, 且x2+y2+z2=1, 试求表达式 $\sqrt{3} y z + x z$ 的最大值.

参考答案

1. (理科) B.注意到x∈R, y>0, 则 $x^{2} + x + 1 \geq \frac{3}{4} ＞ 0$ , 故只可能等于y+1, 若-x=-y, 将得到矛盾结果, 只有 $- x = - \frac{y}{2}$ , 从而-x-1=-y, 解之, 得x=1, y=2, 故x2+y2=5.正确答案为B.

【点评】这道题并不是太难, 但也不是很容易得分, 抓住问题的切入点:x2+x+1=y+1是破题的关键所在.其实, 由基本不等式x2+1≥2x知, x2+x+1>-x>-x-1, 这是集合A的元素之间的大小顺序.同理, 由y>0, 则集合B的元素之间的大小顺序是 $y + 1 ＞ - \frac{y}{2} ＞ - y$ , 于是只能得到解之, 得x=1, y=2.

∴x2+y2=5.

(文科) C.这道题比较简单, 求出集合B后就可得出正确答案为C.

2.A.这是一个非常简单的复数的基本概念问题, 但也有求解的策略性, 如直接对左边分母实数化, 有 $\frac{(3 + 4 i) (x - y i)}{x^{2} + y^{2}} = 1 + 2 i$ , 按照这个思路做下去也能做出, 但远不如下面的办法简洁: $\frac{3 + 4 i}{x + y i} = 1 + 2 i \to \frac{3 + 4 i}{1 + 2 i} = x + y i$ , 则 $\frac{(3 + 4 i) (1 - 2 i)}{5} = x + y i$ , 即 $\frac{11}{5} + \frac{- 2}{5} i = x + y i$ , 则 $\bar{z} = x - y i = \frac{11}{5} + \frac{2}{5} i$ , 即 $\bar{z}$ 在复平面内对应的点在第一象限, 正确答案为A.

3.C.本小题同时考查互斥事件同时发生的概率及相互独立事件有一个发生的概率, 记事件A, B中至少有一件发生的事件为C, 则

$Ρ (C) = Ρ (\bar{A} B + A \bar{B} + A B) = Ρ (\bar{A} B) + Ρ (A \bar{B}) + Ρ (A B) = Ρ (\bar{A}) Ρ (B) + Ρ (A) Ρ (\bar{B}) + Ρ (A) Ρ (B) .$

已知 $Ρ (A) = Ρ (\bar{A}) = \frac{1}{2} ‚ Ρ (B) = \frac{1}{3} ‚ Ρ (\bar{B}) = \frac{2}{3}$ , 则 $Ρ (C) = \frac{2}{3} .$

正确答案为C.

【注】本题也可以通过对立事件的概率求解: $Ρ (C) = 1 - Ρ (\bar{A} \bar{B}) = 1 - Ρ (\bar{A}) Ρ (\bar{B})$ , 余略.

4.C.设切点P ( x0, y0) , 则切线的斜率为y′|x=x0=2x0.由题意知, $\frac{y_{0}}{x_{0}} = 2 x_{0}$ .又y0=x $_{0}^{2}$ +1, 解之, 得 $x_{0}^{2} = 1, ∴ \frac{b}{a} = 2, e = \sqrt{1 + (\frac{b}{a})^{2}} = \sqrt{5}$ .正确答案为C.

5.A.此类问题宜先化为同名三角函数 (其中A, ω>0) , 然后有两种处理思路:

①y=Acosx→y=Acos (x±φ) →y=Acos (ωx±φ) ;

②y=Acosx→y=Acos (ωx) →y=Acos (ωx±φ) .

平移方向按“左加右减”原则, 但①中最后一步的平移量大小为|φ|, ②中最后一步的平移量大小为 $| \frac{φ}{ω} | .$

本题中 $y = \sin 2 x = \cos (2 x - \frac{π}{2}) = \cos 2 (x - \frac{π}{4}) \to y = \cos 2 (x + \frac{π}{6})$ , 与上面讨论的情况不直接对应, 设平移量为φ0, 于是有 $2 (φ_{0} - \frac{π}{4}) = 2 \times \frac{π}{6}$ , 得 $φ_{0} = \frac{5 π}{12} ＞ 0$ , 选A.

6.B.这是一道立体几何背景下与充要条件有关的试题.由不能推出m⊥β;反之, 若.故正确答案为B.

7.A.这是一个三视图背景下的体积问题.该几何体是一个三棱锥, 高为2, 底面三角形一边为4, 这边上的高为 $3 ‚ V = \frac{1}{3} S h = \frac{1}{3} \times \frac{1}{2} \times 4 \times 3 \times 2 = 4 .$

8.D.这是一道与二分法有关的简单试题, 但已被笔者改编, 与单调性问题联系了起来. $f (1) = \frac{1}{3} ＞ 0 ‚ f (\frac{1}{e}) = \frac{1}{3 e} + 1 ＞ 0$ ; $f (e) = \frac{e}{3} - 1 ＜ 0$ , 故函数 $f (x) = \frac{x}{3} - \ln x, (x ＞ 0)$ 在 (1, e) 之间至少有一个零点.但 $f^{'} (x) = \frac{1}{3} - \frac{1}{x} = \frac{x - 3}{3 x}$ , 显然, 当0<x<3时, f (x) 单调递减, 故函数在区间 $(\frac{1}{e}, e) \subset (0, 3)$ 上至多有一个零点, 则函数f (x) 在区间 $(\frac{1}{e}, 1)$ 内无零点, 在区间 (1, e) 内有且仅有一个零点, 正确答案为D.

【点评】有关二分法的试题是新内容, 近年来, 对与此相关问题的考查有加强的趋势, 值得读者重视.同时要注意:我们若不研究单调性, 仅由 $f (1) = \frac{1}{3} ＞ 0 ‚ f (\frac{1}{e}) = \frac{1}{3 e} + 1 ＞ 0$ , 并不能断定该函数在区间 $(\frac{1}{e}, 1)$ 内无零点.

9.B.这是一道有关算法的基本问题, 关键要注意到底是“先执行, 后判断”还是“先判断, 后执行”, 这两种情况的结果会有细微的差异, 本题属于后者.正确答案为B.

10.B.求解本题的关键在于巧妙地应用一个向量恒等式, 若O为△ABC的重心, 则有 $\vec{Ο A} + \vec{Ο B} + \vec{Ο C} = 0$ , 则原条件可化简为 $\vec{Ο Ρ} = \frac{1}{2} \vec{Ο B}$ , 即AC边中线的三等分点, 且不是重心, 于是正确答案为B.

【点评】类似地, 在△ABC中, 有 $\vec{A B} + \vec{B C} + \vec{C A} = 0$ , 三角形“四心”的向量表示等等, 这些结论在处理某些有关平面向量试题时非常有用.

11.A.令2x+y=3x-y, 即x=2y时, 一定有f (2x+y) =f (3x-y) , 从而在此前提下, 原方程退化为f (x) =-x2+2, x=10, 得f (10) =-98, 选A.

【点评】这道抽象函数问题的求解有一定特色, 以上的处理手法在一定程度上也具有一般性.

12. (理科) C.一种正确的求解方法如下:

$y = f (x) = 2 + \frac{1}{x^{2} - x + 1} = 2 + \frac{1}{(x - \frac{1}{2})^{2} + \frac{3}{4}}, x \in (1, 3)$ , 显然f (x) 在 (1, 3) 上单调递减, 即f (3) <f (x) <f (1) , 其中 $f (1) = 3 ‚ f (3) = 2 \frac{1}{7}$ , 即 $2 \frac{1}{7} ＜ f (x) ＜ 3$ .选C.

【注】典型错解 (用别式法) , 记 $y = f (x) = \frac{2 x^{2} - 2 x + 3}{x^{2} - x + 1}, x \in (1, 3)$ , 则 (2-y) x2+ (y-2) x+3-y=0, 若y=2, 方程不成立, 故二次项的系数不为零, 于是Δ= (y-2) 2-4 (3-y) (2-y) ≥0, 即

(y-2) (-3y+10) ≥0, 解之, 得 $2 \leq y \leq \frac{10}{3}$ , 而y≠2, 则所求的值域为 $2 ＜ y \leq \frac{10}{3}$ , 其实这个结果显然是错误的.因为判别式Δ=0时, 对应的 $x = \frac{1}{2} \notin (1, 3)$ , 我们也容易看到, 正确答案 $2 \frac{1}{7} ＜ f (x) ＜ 3$ 与 $2 ＜ y \leq \frac{10}{3}$ 是截然不同的.

【点评】回顾2010年高考, 我们发现以二次分式型函数 $y = \frac{a_{1} x^{2} + b_{1} x + c_{1}}{a_{2} x^{2} + b_{2} x + c_{2}} (x \in Μ \subset R)$ 为背景的最值 (值域) 问题频频在高考试题中出现 (如2010年重庆卷文第12题, 2010年天津卷理第16题, 2010年山东卷理第14题, 2010年江苏卷第14题等等) .处理这类问题的传统办法是判别式法, 笔者以为, 无论用哪种解法, 一定要验证不等式的等号是否能取得, 否则, 出错就难免了 (这种错误还不易看出) .对有关问题的详细讨论, 读者可参见江苏教育出版社主办的《新高考》 (高三语数外) 2010年第11期P26.

(文科) D.本小题重点考查参数分离法及 $\frac{x}{λ_{1}} + \frac{λ_{2}}{x} (λ_{1}, λ_{2} ＞ 0)$ 在x>0或闭区间[a, b] (b>a) 上的最值 (值域) 问题.对x∈[-1, 2], 不等式x2+ax-3a<0恒成立, 则 $a ＞ \frac{x^{2}}{3 - x}, \forall x \in [- 1, 2]$ , 记 $g (x) = \frac{x^{2}}{3 - x}, \forall x \in [- 1, 2]$ , 则 $g (x) = 3 - x + \frac{9}{3 - x} - 6$ , 其中x∈[-1, 2], 易由“耐克函数”的单调性知, [g (x) ]max=4, 于是a>4.正确答案为D.

$13 . - \frac{1}{16}$ .基于表达式结构相似的联想, $f (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{2 x}{1 + x^{2}} \cdot \frac{1 - x^{2}}{1 + x^{2}}$ .令 $x = \tan θ, θ \in (- \frac{π}{2}, \frac{π}{2})$ , 则 $f (x) = g (θ) = \frac{1}{2} \cdot \sin 2 θ \cdot \cos 2 θ = \frac{1}{4} \sin 4 θ$ , 显然, $[f (x)]_{\max} = \frac{1}{4} ‚ [f (x)]_{\min} = - \frac{1}{4}$ , 即最大值与最小值的积为 $- \frac{1}{16} .$

【点评】这道题主要考查学生的类比联想能力.

14.0.45.充分利用正态分布密度函数的几何意义.设P (2≤ξ≤3) =x, P (ξ>4) =y, 则由题意知, 2x-y=0.85.又由对称性知, x+y=0.5, 解之, 得x=0.45.

【说明】这类试题只要抓住正态分布密度函数图象的对称性, 还是比较容易求解的, 类似试题如2008年湖南卷理第4题, 2008年重庆卷理第5题, 2010年广东卷第7题等.

15.3.由正弦定理可知,

原式 $= \frac{a + b + c}{a + c} + \frac{a + b + c}{b + c} = 1 + 1 + \frac{b}{a + c} + \frac{a}{b + c} = 2 + \frac{a^{2} + b^{2} + c (a + b)}{(c^{2} + a b) + c (a + b)}$ , 而由C=60°, 由余弦定理知, c2=a2+b2-2abcos60°, 即c2+ab=a2+b2, 易知最后结果为3.

【点评】这道题类似于2010年江苏卷第13题, 由一道传统试题恒等变换而得.

16. (理科) 15.f (x) 是定义在 (0, +∞) 上单调递增函数, 且x∈N*, f (n) ∈N*, 于是

即有1≤f (1) ≤f[f (1) ]=3,

即1≤f (1) ≤3, 又f (n) ∈N*,

(1) 若f (1) =1, 则有f[f (1) ]=f (1) =1, 与题意中的f[f (1) ]=3矛盾;

(2) 若f (1) =2, 则有f[f (1) ]=f (2) =3;

(3) 若f (1) =3, 则有f[f (1) ]=f (3) =3, 与题意中的f (1) <f (3) 矛盾.

故只有f (1) =2, f (2) =3, 进而有f[f (2) ]=f (3) =3×2=6, f[f (3) ]=f (6) =3×3=9, 于是6=f (3) <f (4) <f (5) <f (6) =9, 而f (n) ∈N*, 故只有f (4) =7, f (5) =8.则f (5) +f (4) =15.

(文科) 2.f (x) 是定义在 (0, +∞) 上单调递增函数, 且x∈N*, f (x) ∈N*, 于是

即有1≤f (1) ≤f[f (1) ]=3,

即1≤f (1) ≤3, 又f (n) ∈N*,

(1) 若f (1) =1, 则有f[f (1) ]=f (1) =1, 与题意中的f[f (1) ]=3矛盾;

(2) 若f (1) =2, 则有f[f (1) ]=f (2) =3;

(3) 若f (1) =3, 则有f[f (1) ]=f (3) =3, 与题意中的f (1) <f (3) 矛盾.

故只有f (1) =2.

【点评】这是一道比较典型的抽象函数问题, 同时也用到了夹逼法的思想, 难度较大.本题由2008年全国高中数学联赛 (河北省预赛) 的第6题改编而成.

17.【解析】由f (m) =g (m) , 得a (b+sinm) =b+cosm, 即cosm-asinm=b (a-1) >0, 要使符合题意的实数m存在, 由三角函数的有界性知, 必须[b (a-1) ]2≤1+a2.

又a, b均为大于1的自然数, 得

$1 ＜ b \leq \frac{\sqrt{1 + a^{2}}}{a - 1} ＜ \frac{a + 1}{a - 1} = 1 + \frac{2}{a - 1}, (*)$

容易发现, 当a≥3时, 有1<b<2, 满足要求的自然数b不存在, 所以, 只有a=2, 此时 $1 ＜ b \leq \sqrt{5}$ , 因此, b=2, 于是a=b=2, 最后得a+b=4.

【点评】这里主要利用关于x的方程Acosx+Bsinx+C=0有解的重要条件为 $\frac{| C |}{\sqrt{A^{2} + B^{2}}} \leq 1$ .由此也可等价得到f (x) =Acosx+Bsinx+C的值域为 $C - \sqrt{A^{2} + B^{2}} = [f (x)]_{\min} \leq f (x) \leq [f (x)]_{\max} = C + \sqrt{A^{2} + B^{2}}$ , 同时还利用了夹逼法的解题思想.

18.【解析】由题意知, AQ与OP的斜率存在, 设为k, 则直线AQ的方程可记为y=k (x+a) , 直线OP的方程可记为y=kx, 我们容易求出R (0, ka) , 于是 $| A R | = \sqrt{1 + k^{2}} a$ .我们将直线AQ的方程、OP的方程统一地记为y=k (x+C) , (*) 其中C≡a时即代表前者, 对应|AQ|;C≡0时即代表后者 (设直线OP与椭圆的另一交点为M, 对应|MP|, 其一半即为|OP|) , 这样将 (*) 式与椭圆 $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ 联立 (我们可减少一般的书写过程) , 得

(a2k2+b2) x2+2a2k2Cx+a2 (k2C2-b2) =0, 设其两根为x1, x2, 则 $x_{1} + x_{2} = - \frac{2 a^{2} k^{2} C}{a^{2} k^{2} + b^{2}} ‚ x_{1} x_{2} = \frac{a^{2} (k^{2} C^{2} - b^{2})}{a^{2} k^{2} + b^{2}}$ , 则线段|AQ| (或|MP|) 统一地记为 $\sqrt{1 + k^{2}} | x_{2} - x_{1} | = \sqrt{1 + k^{2}} \cdot \sqrt{(x_{1} + x_{2})^{2} - 4 x_{1} x_{2}}$ , 将前面的具体表达式代入化简得

$\frac{2 a b \sqrt[]{1 + k^{2}}}{a^{2} k^{2} + b^{2}} \sqrt{k^{2} (a^{2} - C^{2}) + b^{2}} . (* *)$

取C=a, 得 $| A Q | = \frac{2 a b^{2} \sqrt[]{1 + k^{2}}}{a^{2} k^{2} + b^{2}}$ ;

取C=0, 得 $| Μ Ρ | = \frac{2 a b \sqrt[]{1 + k^{2}}}{\sqrt{a^{2} k^{2} + b^{2}}} .$

于是 $| Ο Ρ | = \frac{1}{2} | Μ Ρ | = \frac{a b \sqrt[]{1 + k^{2}}}{\sqrt{a^{2} k^{2} + b^{2}}}$ , 则 $\sqrt[]{2} | Ο Ρ | = \frac{\sqrt{2}}{2} | Μ Ρ | = \frac{\sqrt{2} a b \sqrt[]{1 + k^{2}}}{\sqrt{a^{2} k^{2} + b^{2}}}$ , 前面已得 $| A R | = \sqrt{1 + k^{2}} a$ , 易证 $| A R | \cdot | A Q | = \frac{2 a^{2} b^{2} (1 + k^{2})}{a^{2} k^{2} + b^{2}}$ , 而 $(\sqrt{2} | Ο Ρ |)^{2} = \frac{2 a^{2} b^{2} (1 + k^{2})}{a^{2} k^{2} + b^{2}}$ , 于是 $| A R | \cdot | A Q | = [\sqrt{2} | Ο Ρ |]^{2}$ , 即 $| A Q | ‚ \sqrt{2} | Ο Ρ | ‚ | A R |$ 成等比数列.

【点评】一般来说, 解析几何试题的解题过程比较繁琐, 但有时我们可以适当地合并、整合解题的书写过程, 使我们的解题过程变得简洁!如本题, 将两条斜率相同的直线y=kx及y=k (x+a) 统一地记为y=k (x+C) ;另如, 将椭圆方程 $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ 和圆方程x2+y2=r2统一地记为Aix2+Biy2=1 (i=1, 2) , 则i=1时, $A_{1} = \frac{1}{a^{2}} ‚ B_{1} = \frac{1}{b^{2}}$ , 对应椭圆方程 $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 ‚ i = 2$ 时, $A_{2} = \frac{1}{r^{2}} ‚ B_{2} = \frac{1}{r^{2}}$ , 对应圆方程x2+y2=r2等等.

19. (理科) 【解析】这是一道基本也比较典型的理科立体几何试题, 空间向量法是处理有关试题的基本手法.设PA=1, 以A为原点, 射线AB, AC, AP分别为x, y, z轴正向建立如图所示的空间直角坐标系.

$\begin{array}{l} 则 Ρ (0 ‚ 0 ‚ 1) ‚ C (0 ‚ 1 ‚ 0) ‚ B (2 ‚ 0 ‚ 0) ‚ Μ (1 ‚ 0 ‚ \frac{1}{2}) ‚ Ν (\frac{1}{2} ‚ 0 ‚ 0) ‚ S (1 ‚ \frac{1}{2} ‚ 0) . \\ (Ⅰ) \vec{C Μ} = (1 ‚ - 1 ‚ \frac{1}{2}) ‚ \vec{S Ν} = (- \frac{1}{2} ‚ - \frac{1}{2} ‚ 0) ‚ \end{array}$

因为 $\vec{C Μ} \cdot \vec{S Ν} = - \frac{1}{2} + \frac{1}{2} + 0 = 0$ ,

所以CM⊥SN.

设a= (x, y, z) 为平面CMN的一个法向量,

则令x=2, 得a= (2, 1, -2) .

因为 $| \cos 〈 a, \vec{S Ν} 〉 | = | \frac{- 1 - \frac{1}{2}}{3 \times \frac{\sqrt{2}}{2}} | = \frac{\sqrt{2}}{2}$ ,

所以SN与平面CMN所成角为45°.

(文科) 【解析】 (Ⅰ) 证明:连结PE, EC.

在Rt△PAE和Rt△CDE中, PA=AB=CD, AE=DE, ∴PE=CE, 即△PEC是等腰三角形.

又F是PC的中点,

∴ EF⊥PC,

又 $B Ρ = \sqrt{A Ρ^{2} + A B^{2}} = 2 \sqrt[]{2} = B C, F$ 是PC的中点, ∴BF⊥PC.

又BF∩EF=F, ∴ PC⊥平面BEF.

(Ⅱ) ∵ PA⊥平面ABCD, ∴ PA⊥BC,

又ABCD是矩形, ∴ AB⊥BC,

∴ BC⊥平面BAP, BC⊥PB.又由 (Ⅰ) 知, PC⊥平面BEF, ∴ 直线PC与BC的夹角即为平面BEF与平面BAP的夹角.在△PBC中, PB=BC, ∠PBC=90°, ∠PCB=45°, 所以平面BEF与平面BAP的夹角的正切值为1.

20. (理科) 【解析】 (Ⅰ) 设“从甲盒内取出的2个球均为红球”为事件A, “从乙盒内取出的2个球均为红球”为事件B.由于事件A, B相互独立, 且 $Ρ (A) = \frac{3}{7} \times \frac{2}{6} = \frac{1}{7}$ 或 $Ρ (A) = \frac{C_{3}^{2}}{C_{7}^{2}} = \frac{1}{7} ‚ Ρ (B) = \frac{5}{9} \times \frac{4}{8} = \frac{5}{18}$ 或 $Ρ (B) = \frac{C_{3}^{2}}{C_{9}^{2}} = \frac{5}{18} ‚ Ρ (A B) = Ρ (A) Ρ (B) = \frac{1}{7} \times \frac{5}{18} = \frac{5}{126} .$

【说明】本小题主要考查相互独立事件同时发生的概率计算方法.

(Ⅱ) 设红球和白球的个数分别为x, y, 则x+y=100, 从袋中任取三个球全为红球的概率为

$\frac{x}{100} \cdot \frac{(x - 1)}{99} \cdot \frac{(x - 2)}{98} = \frac{x^{3} - 3 x^{2} + 2 x}{970200} .$

同理, 从袋中任取三个球全为白球的概率为 $\frac{y^{3} - 3 y^{2} + 2 y}{970200}$ , 由于这两个事件互斥, 从而3个球同色的概率为

$Ρ = \frac{(x^{3} + y^{3}) - 3 (x^{2} + y^{2}) + 2 (x + y)}{970200} .$

利用x+y=100, 化简得

$Ρ = 1 + \frac{x^{2} - 100 x}{3300} = 1 + \frac{(x - 50)^{2} - 2500}{3300}$ , 其中0<x<100, 显然, 当x=50时, P最小.

【点评】这是一道采用逆向思维命制的试题, 2010年北京卷理第17题在一定程度上也体现了这一意图.

(文科) 【解析】记“第i个人破译出密码”为事件Ai (i=1, 2, 3) , 依题意有

$Ρ (A_{1}) = \frac{1}{5}, Ρ (A_{2}) = \frac{1}{4}, Ρ (A_{3}) = \frac{1}{3}$ , 且A1, A2, A3相互独立.

(Ⅰ) 设“恰好二人破译出密码”为事件B, 则有

$B = A_{1} \cdot A_{2} \cdot \bar{A_{3}} + A_{1} \cdot \bar{A_{2}} \cdot A_{3} + \bar{A_{1}} \cdot A_{2} \cdot A_{3}$ , 且 $A_{1} \cdot A_{2} \cdot \bar{A_{3}} ‚ A_{1} \cdot \bar{A_{2}} \cdot A_{3} ‚ \bar{A_{1}} \cdot A_{2} \cdot A_{3}$ 彼此互斥, 于是

$\begin{array}{l} Ρ (B) = Ρ (A_{1} \cdot A_{2} \cdot \bar{A_{3}}) + Ρ (A_{1} \cdot \bar{A_{2}} \cdot A_{3}) + Ρ (\bar{A_{1}} \cdot A_{2} \cdot A_{3}) \\ = \frac{1}{5} \times \frac{1}{4} \times \frac{2}{3} + \frac{1}{5} \times \frac{3}{4} \times \frac{1}{3} + \frac{4}{5} \times \frac{1}{4} \times \frac{1}{3} \\ = \frac{3}{20} . \end{array}$

(Ⅱ) 设“密码被破译”为事件C, “密码未被破译”为事件D, 则有

$D = \bar{A_{1}} \cdot \bar{A_{2}} \cdot \bar{A_{3}}$ , 且 $\bar{A_{1}} ‚ \bar{A_{2}} ‚ \bar{A_{3}}$ 互相独立, 则有

$\begin{array}{l} Ρ (D) = Ρ (\bar{A_{1}}) \cdot Ρ (\bar{A_{2}}) \cdot Ρ (\bar{A_{3}}) \\ = \frac{4}{5} \times \frac{3}{4} \times \frac{2}{3} = \frac{2}{5} . \end{array}$

而 $Ρ (C) = 1 - Ρ (D) = \frac{3}{5}$ , 故P (C) >P (D) , 所以密码被破译的概率比密码未被破译的概率大.

21. (理) 【解析 $】 (Ⅰ) f^{'} (x) = \frac{1}{2 \sqrt[]{x}}, g^{'} (x) = \frac{a}{x} (x ＞ 0)$ , 由已知得

${\begin{cases} \sqrt{x} = a l n x, \\ \frac{1}{2 \sqrt[]{x}} = \frac{a}{x}, \end{cases}$

解之, 得 $a = \frac{e}{2}, x = e^{2} .$

∴两条直线交点的坐标为 (e2, e) , 切线的斜率为 $k = f^{'} (e^{2}) = \frac{1}{2 e} ‚$

∴ 切线的方程为 $y - e = \frac{1}{2 e} (x - e^{2})$ ,

即 $y = \frac{1}{2 e} (x + e^{2}) .$

$\begin{array}{l} (Ⅱ) 由条件知 ‚ h (x) = \sqrt{x} - a \ln x (x ＞ 0), \\ ∴ h^{'} (x) = \frac{1}{2 \sqrt[]{x}} - \frac{a}{x} = \frac{\sqrt{x} - 2 a}{2 x} . \end{array}$

(ⅰ) 当a>0时, 令h′ (x) =0, 解之, 得x=4a2, ∴ 当0<x<4a2时, h′ (x) <0, h (x) 在 (0, 4a2) 上递减;当x>4a2时, h′ (x) >0, h (x) 在 (4a2, +∞) 上递增.∴x=4a2是h (x) 在 (0, +∞) 上的唯一极值点, 从而也是h (x) 的最小值点.

∴ 最小值φ (a) =h (4a2) =2a-aln4a2=2a (1-ln2a) .

(ⅱ) 当a≤0时, $h^{'} (x) = \frac{\sqrt{a} - 2 a}{2 x} ＞ 0, h (x)$ 在 (0, +∞) 上递增, 无最小值, 与题意不符, 故舍去.

故h (x) 的最小值φ (a) 的解析式为

φ (a) =2a (1-ln2a) (a>0) .

(Ⅲ) 由 (Ⅱ) 得到φ′ (a) =-2ln2a, 对任意的

$\begin{array}{l} a ＞ 0, b ＞ 0 ‚ \\ \frac{φ^{'} (a) + φ^{'} (b)}{2} = - \frac{2 \ln 2 a + 2 \ln 2 b}{2} = - \ln 4 a b ‚ ① \\ φ^{'} (\frac{a + b}{2}) = - 2 \ln [2 (\frac{a + b}{2})] = - \ln (a + b)^{2} \leq - \ln 4 a b ‚ ② \\ φ^{'} (\frac{2 a b}{a + b}) = - 2 \ln [2 (\frac{2 a b}{a + b})] \geq - 2 \ln \frac{4 a b}{2 \sqrt[]{a b}} = - \ln 4 a b, ③ \end{array}$

故由①②③, 得

$φ^{'} (\frac{a + b}{2}) \leq \frac{φ^{'} (a) + φ^{'} (b)}{2} \leq φ^{'} (\frac{2 a b}{a + b}) .$

【点评】这道题中的公切线问题是理科导数问题考查的重要方向之一, 而本题最后一问却是形式吓人, 但只是基本不等式的简单应用!

(文科) 解: (Ⅰ) 题意的隐含条件是切点坐标为 (2, 0) , 则f (2) =0, 即4b+c+3=0.而f′ (x) =3x2+4bx+c, 又易知f′ (2) =5, 即12+8b+c=5.联立两式求得b=-1, c=1, 于是f (x) =x3-2x2+x-2.

(Ⅱ) 由 (Ⅰ) 知, $g (x) = x^{3} - 2 x^{2} + x - 2 + \frac{1}{3} m x$ , 于是 $g^{'} (x) = 3 x^{2} - 4 x + 1 + \frac{m}{3}$ , 令g′ (x) =0, 要使函数g (x) 有极值, 其必要条件为方程 $3 x^{2} - 4 x + 1 + \frac{m}{3} = 0$ 有实根, 则相应的判别式Δ≥0, 即4 (1-m) ≥0, 解之, 得m≤1, 下面进一步考虑在此基本条件下函数g (x) 的极值是否存在.①若m=1, 此时令g′ (x) =0, 得 $x = \frac{2}{3}$ , 但在 $x = \frac{2}{3}$ 的左右两侧, 均有g′ (x) >0, 故此时函数g (x) 的极值不存在;②若m<1, g′ (x) =0有两个实数根x1, x2, 其中 $x_{1} = \frac{2 - \sqrt{1 - m}}{3} ‚ x_{2} = \frac{2 + \sqrt{1 - m}}{3} ‚ (x_{1} ＜ x_{2})$ 易由二次函数y=g′ (x) 的图象知, 当x=x1时, 函数g (x) 取极大值;当x=x2时, 函数g (x) 取极小值.

【注】一个函数的导函数为零只是其取极值的必要不充分条件, 还需验证该点两侧的导函数的值是否异号 (即函数在该点两侧的单调性是否改变) , 同号的时候此处不是极值!

22.【证明】已知PA为圆的切线, 则∠CAP=∠B, 又∠P为公共角, 因此, △PAC∽△PBA.

于是 $\frac{Ρ C}{Ρ A} = \frac{A C}{B A}$ , 即 $\frac{Ρ C}{Ρ B} = \frac{A C}{B A} \cdot \frac{Ρ A}{Ρ B}$ ,

而 $\frac{A C}{B A} = \frac{Ρ A}{Ρ B}$ , 于是得 $\frac{Ρ C}{Ρ B} = \frac{A C^{2}}{A B^{2}} .$

【另证】易得△PAC∽△PBA (思路同上) , 一方面, 由于这两个三角形以直线PCB为底边时, 底边上的高相同, 于是 $\frac{S_{△ Ρ A C}}{S_{△ Ρ B A}} = \frac{Ρ C}{Ρ B}$ , 另一方面, 易由相似三角形的性质有 $\frac{S_{△ Ρ A C}}{S_{△ Ρ B A}} = (\frac{A C}{B A})^{2}$ , 两式联立即得要证结果.还可以从等式左端分析: $\frac{Ρ C}{Ρ B} = \frac{Ρ C \cdot Ρ B}{Ρ B^{2}} = \frac{Ρ A^{2}}{Ρ B^{2}}$ (切割线定理) , 又 $\frac{Ρ A}{Ρ B} = \frac{A C}{B A}$ (三角形相似) ,

$∴ \frac{Ρ C}{Ρ B} = \frac{Ρ A^{2}}{Ρ B^{2}} = \frac{A C^{2}}{A B^{2}} .$

23.【解析】将原方程配方为 $(x - 1)^{2} + (y + 2)^{2} = (\sqrt{5})^{2}$ , 则可令

$\begin{array}{l} x = 1 + \sqrt{5} \cos θ ‚ \\ y = - 2 + \sqrt{5} \sin θ ‚ x + \sqrt{3} y = 1 - 2 \sqrt[]{3} + \sqrt{5} (\cos θ + \sqrt{3} \sin θ) \end{array}$

, 显然, 其中的 $g (θ) = \cos θ + \sqrt{3} \sin θ = 2 \cos (θ - \frac{π}{3}) \leq 2$ , 即 $x + \sqrt{3} y$ 的最大值为 $1 - 2 \sqrt[]{3} + 2 \sqrt[]{5} .$

【点评】本小题考查考生对圆的参数方程及asinx+bcosx型三角函数最值求解方法的掌握情况.

24.【解析】将z2项适当地分成两项, λz2和 (1-λ) z2项, 其中λ是待定的常数且λ∈ (0, 1) , 则 $x^{2} + λ z^{2} \geq 2 \sqrt[]{λ} x z ‚ y^{2} + (1 - λ) z^{2} \geq 2 \sqrt[]{(1 - λ)} y z$ , 结合题意, 应使 $\frac{\sqrt{1 - λ}}{\sqrt{λ}} = \frac{\sqrt{3}}{1}$ , 解之, 得 $λ = \frac{1}{4}$ (与前面的限制要求一致) , 即 $x^{2} + \frac{1}{4} z^{2} \geq x z ‚ y^{2} + \frac{3}{4} z^{2} \geq \sqrt{3} y z$ , 即 $x^{2} + y^{2} + z^{2} \geq x z + \sqrt{3} y z$ , 即 $x z + \sqrt{3} y z \leq 1$ , 则在已知条件下, $x z + \sqrt{3} y z$ 的最大值为1, 当且仅当 $z = 2 x = \frac{2 y}{\sqrt{3}} \neq 0$ 时, 不等式取等号.

【点评】这是一道考查考生灵活运用基本不等式解决问题的能力的试题, 难点在于如何选择其中的调整因子λ, 使不等式的等号恰好能取得 (而这一点正是求解本题的关键所在!) .完全类似的试题如2009年全国高中数学联赛浙江赛区预赛卷第15题, 对此类问题比较一般性的讨论可参见笔者在2008年第4期《中小学数学》 (高中版) P42——“一个数学问题的推广”一文.

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