线性代数知识点总结

2024-07-20

线性代数知识点总结（精选6篇）

篇1：线性代数知识点总结

线性代数知识点总结

线性代数在考研数学中占有重要地位，必须予以高度重视.线性代数试题的特点比较突出，以计算题为主，证明题为辅，因此，太奇考研专家们提醒广大的的考生们必须注重计算能力.线性代数在数学一、二、三中均占22%，所以考生要想取得高分，学好线代也是必要的。下面，就将线代中重点内容和典型题型做了总结，希望对考研的同学们学习有帮助。

行列式在整张试卷中所占比例不是很大，一般以填空题、选择题为主，它是必考内容，不只是考察行列式的概念、性质、运算，与行列式有关的考题也不少，例如方阵的行列式、逆矩阵、向量组的线性相关性、矩阵的秩、线性方程组、特征值、正定二次型与正定矩阵等问题中都会涉及到行列式.如果试卷中没有独立的行列式的试题，必然会在其他章、节的试题中得以体现.行列式的重点内容是掌握计算行列式的方法，计算行列式的主要方法是降阶法，用按行、按列展开公式将行列式降阶.但在展开之前往往先用行列式的性质对行列式进行恒等变形，化简之后再展开.另外，一些特殊的行列式(行和或列和相等的行列式、三对角行列式、爪型行列式等等)的计算方法也应掌握.常见题型有：数字型行列式的计算、抽象行列式的计算、含参数的行列式的计算.关于每个重要题型的具体方法以及例题见《20xx年全国硕士研究生入学统一考试数学120种常考题型精解》。

矩阵是线性代数的核心，是后续各章的基础.矩阵的概念、运算及理论贯穿线性代数的始终.这部分考点较多，重点考点有逆矩阵、伴随矩阵及矩阵方程.涉及伴随矩阵的定义、性质、行列式、逆矩阵、秩及包含伴随矩阵的矩阵方程是矩阵试题中的一类常见试题.这几年还经常出现有关初等变换与初等矩阵的命题.常见题型有以下几种：计算方阵的幂、与伴随矩阵相关联的命题、有关初等变换的命题、有关逆矩阵的计算与证明、解矩阵方程。

向量组的线性相关性是线性代数的重点，也是考研的重点。考生一定要吃透向量组线性相关性的概念，熟练掌握有关性质及判定法并能灵活应用，还应与线性表出、向量组的秩及线性方程组等相联系，从各个侧面加强对线性相关性的理解.常见题型有：判定向量组的线性相关性、向量组线性相关性的证明、判定一个向量能否由一向量组线性表出、向量组的秩和极大无关组的求法、有关秩的证明、有关矩阵与向量组等价的命题、与向量空间有关的命题。

往年考题中，方程组出现的频率较高，几乎每年都有考题，也是线性代数部分考查的重点内容.本章的重点内容有：齐次线性方程组有非零解和非齐次线性方程组有解的判定及解的结构、齐次线性方程组基础解系的求解与证明、齐次(非齐次)线性方程组的求解(含对参数取值的讨论).主要题型有：线性方程组的求解、方程组解向量的判别及解的性质、齐次线性方程组的基础解系、非齐次线性方程组的通解结构、两个方程组的公共解、同解问题。

特征值、特征向量是线性代数的重点内容，是考研的重点之一，题多分值大，共有三部分重点内容：特征值和特征向量的概念及计算、方阵的相似对角化、实对称矩阵的正交相似对角化.重点题型有：数值矩阵的特征值和特征向量的求法、抽象矩阵特征值和特征向量的求法、判定矩阵的相似对角化、由特征值或特征向量反求A、有关实对称矩阵的问题。

由于二次型与它的实对称矩阵式一一对应的，所以二次型的很多问题都可以转化为它的实对称矩阵的问题，可见正确写出二次型的矩阵式处理二次型问题的一个基础.重点内容包括：掌握二次型及其矩阵表示，了解二次型的秩和标准形等概念;了解二次型的规范形和惯性定理;掌握用正交变换并会用配方法化二次型为标准形;理解正定二次型和正定矩阵的概念及其判别方法.重点题型有：二次型表成矩阵形式、化二次型为标准形、二次型正定性的判别。

一、行列式与矩阵

行列式、矩阵是线性代数中的基础章节，从命题人的角度来看，可以像润滑油一般结合其它章节出题，因此必须熟练掌握。

行列式的核心内容是求行列式——具体行列式的计算和抽象行列式的计算。其中具体行列式的计算又有低阶和高阶两种类型，主要方法是应用行列式的性质及按行(列)展开定理化为上下三角行列式求解;而对于抽象行列式而言，考点不在如何求行列式，而在于结合后面章节内容的相对综合的题。

矩阵部分出题很灵活，频繁出现的知识点包括矩阵各种运算律、矩阵的基本性质、矩阵可逆的判定及求逆、矩阵的秩、初等矩阵等。

二、向量与线性方程组

向量与线性方程组是整个线性代数部分的核心内容。相比之下，行列式和矩阵可视作是为了讨论向量和线性方程组部分的问题而做铺垫的基础性章节，而其后两章特征值和特征向量、二次型的内容则相对独立，可以看作是对核心内容的扩展。

向量与线性方程组的内容联系很密切，很多知识点相互之间都有或明或暗的相关性。复习这两部分内容最有效的方法就是彻底理顺诸多知识点之间的内在联系，因为这样做首先能够保证做到真正意义上的理解，同时也是熟练掌握和灵活运用的前提。

这部分的重要考点一是线性方程组所具有的两种形式——矩阵形式和向量形式;二是线性方程组与向量以及其它章节的各种内在联系。

(1)齐次线性方程组与向量线性相关、无关的联系

齐次线性方程组可以直接看出一定有解，因为当变量都为零时等式一定成立——印证了向量部分的一条性质“零向量可由任何向量线性表示”。

齐次线性方程组一定有解又可以分为两种情况：①有唯一零解;②有非零解。当齐次线性方程组有唯一零解时，是指等式中的变量只能全为零才能使等式成立，而当齐次线性方程组有非零解时，存在不全为零的变量使上式成立;但向量部分中判断向量组是否线性相关、无关的定义也正是由这个等式出发的。故向量与线性方程组在此又产生了联系——齐次线性方程组是否有非零解对应于系数矩阵的列向量组是否线性相关。可以设想线性相关、无关的概念就是为了更好地讨论线性方程组问题而提出的。

(2)齐次线性方程组的解与秩和极大无关组的联系

同样可以认为秩是为了更好地讨论线性相关和线性无关而引入的。秩的定义是“极大线性无关组中的向量个数”。经过 “秩→线性相关、无关→线性方程组解的判定”的逻辑链条，就可以判定列向量组线性相关时，齐次线性方程组有非零解，且齐次线性方程组的解向量可以通过r个线性无关的解向量(基础解系)线性表示。

(3)非齐次线性方程组与线性表出的联系

非齐次线性方程组是否有解对应于向量是否可由列向量

三、特征值与特征向量

相对于前两章来说，本章不是线性代数这门课的理论重点，但却是一个考试重点。其原因是解决相关题目要用到线代中的大量内容——既有行列式、矩阵又有线性方程组和线性相关性，“牵一发而动全身”。

本章知识要点如下：

1. 特征值和特征向量的定义及计算方法就是记牢一系列公式和性质。

2. 相似矩阵及其性质，需要区分矩阵的相似、等价与合同：

3. 矩阵可相似对角化的条件，包括两个充要条件和两个充分条件。充要条件一是n阶矩阵有n个线性无关的特征值;二是任意r重特征根对应有r个线性无关的特征向量。

4. 实对称矩阵及其相似对角化，n阶实对称矩阵必可正交相似于以其特征值为对角元素的对角阵。

四、二次型

这部分所讲的内容从根本上讲是特征值和特征向量的一个延伸，因为化二次型为标准型的核心知识为“对于实对称矩阵，必存在正交矩阵，使其可以相似对角化”，其过程就是上一章实对称矩阵相似对角化的应用。

本章核心要点如下：

1. 用正交变换化二次型为标准型。

2. 正定二次型的判断与证明。

篇2：线性代数知识点总结

行列式

（一）行列式概念和性质

1、逆序数：所有的逆序的总数

2、行列式定义：不同行不同列元素乘积代数和

3、行列式性质：（用于化简行列式）

（1）行列互换（转置），行列式的值不变

（2）两行（列）互换，行列式变号

（3）提公因式：行列式的某一行（列）的所有元素都乘以同一数k，等于用数k乘此行列式

（4）拆列分配：行列式中如果某一行（列）的元素都是两组数之和，那么这个行列式就等于两个行列式之和。

（5）一行（列）乘k加到另一行（列），行列式的值不变。

（6）两行成比例，行列式的值为0。

（二）重要行列式

4、上（下）三角（主对角线）行列式的值等于主对角线元素的乘积

5、副对角线行列式的值等于副对角线元素的乘积乘

6、Laplace展开式：（A是m阶矩阵，B是n阶矩阵），则

7、n阶（n≥2）范德蒙德行列式

数学归纳法证明

★8、对角线的元素为a，其余元素为b的行列式的值：

（三）按行（列）展开

9、按行展开定理：

（1）任一行（列）的各元素与其对应的代数余子式乘积之和等于行列式的值

（2）行列式中某一行（列）各个元素与另一行（列）对应元素的代数余子式乘积之和等于0

（四）行列式公式

10、行列式七大公式：

（1）|kA|=kn|A|

（2）|AB|=|A|·|B|

（3）|AT|=|A|

（4）|A-1|=|A|-1

（5）|A*|=|A|n-1

（6）若A的特征值λ1、λ2、……λn，则

（7）若A与B相似，则|A|=|B|

（五）克莱姆法则

11、克莱姆法则：

（1）非齐次线性方程组的系数行列式不为0，那么方程为唯一解

（2）如果非齐次线性方程组无解或有两个不同解，则它的系数行列式必为0

（3）若齐次线性方程组的系数行列式不为0，则齐次线性方程组只有0解；如果方程组有非零解，那么必有D=0。

矩阵

（一）矩阵的运算

1、矩阵乘法注意事项：

（1）矩阵乘法要求前列后行一致；

（2）矩阵乘法不满足交换律；（因式分解的公式对矩阵不适用，但若B=E,O,A-1，A*,f(A)时，可以用交换律）

（3）AB=O不能推出A=O或B=O。

2、转置的性质（5条）

（1）（A+B）T=AT+BT

（2）（kA）T=kAT

（3）（AB）T=BTAT

（4）|A|T=|A|

（5）（AT）T=A

（二）矩阵的逆

3、逆的定义：

AB=E或BA=E成立，称A可逆，B是A的逆矩阵，记为B=A-1

注：A可逆的充要条件是|A|≠04、逆的性质：（5条）

（1）（kA）-1=1/k·A-1

(k≠0)

（2）（AB）-1=B-1·A-1

（3）|A-1|=|A|-1

（4）（AT）-1=（A-1）T

（5）（A-1）-1=A5、逆的求法：

（1）A为抽象矩阵：由定义或性质求解

（2）A为数字矩阵：（A|E）→初等行变换→（E|A-1）

（三）矩阵的初等变换

6、初等行（列）变换定义：

（1）两行（列）互换；

（2）一行（列）乘非零常数c

（3）一行（列）乘k加到另一行（列）

7、初等矩阵：单位矩阵E经过一次初等变换得到的矩阵。

8、初等变换与初等矩阵的性质：

（1）初等行（列）变换相当于左（右）乘相应的初等矩阵

（2）初等矩阵均为可逆矩阵，且Eij-1=Eij（i，j两行互换）；

Ei-1（c）=Ei（1/c）（第i行（列）乘c）

Eij-1（k）=Eij（-k）（第i行乘k加到j）

★（四）矩阵的秩

9、秩的定义：非零子式的最高阶数

注：（1）r（A）=0意味着所有元素为0，即A=O

（2）r（An×n）=n（满秩）←→

|A|≠0

←→A可逆；

r（A）＜n←→|A|=0←→A不可逆；

（3）r（A）=r（r=1、2、…、n-1）←→r阶子式非零且所有r+1子式均为0。

10、秩的性质：（7条）

（1）A为m×n阶矩阵，则r（A）≤min（m,n）

（2）r（A±B）≤r（A）±（B）

（3）r（AB）≤min{r（A），r（B）}

（4）r（kA）=r（A）（k≠0）

（5）r（A）=r（AC）（C是一个可逆矩阵）

（6）r（A）=r（AT）=r（ATA）=r（AAT）

（7）设A是m×n阶矩阵，B是n×s矩阵，AB=O，则r（A）+r（B）≤n11、秩的求法：

（1）A为抽象矩阵：由定义或性质求解；

（2）A为数字矩阵：A→初等行变换→阶梯型（每行第一个非零元素下面的元素均为0），则r（A）=非零行的行数

（五）伴随矩阵

12、伴随矩阵的性质：（8条）

（1）AA*=A*A=|A|E

→

★A*=|A|A-1

（2）（kA）*=kn-1A*

（3）（AB）*=B*A*

（4）|A*|=|A|n-1

（5）（AT）*=（A*）T

（6）（A-1）*=（A*）-1=A|A|-1

（7）（A*）*=|A|

n-2·A

★（8）r（A*）=n

（r（A）=n）；

r（A*）=1

（r（A）=n-1）；

r（A*）=0

（r（A）＜n-1）

（六）分块矩阵

13、分块矩阵的乘法：要求前列后行分法相同。

14、分块矩阵求逆：

向量

（一）向量的概念及运算

1、向量的内积：（α，β）=αTβ=βTα

2、长度定义：

||α||=

3、正交定义：（α，β）=αTβ=βTα=a1b1+a2b2+…+anbn=04、正交矩阵的定义：A为n阶矩阵，AAT=E

←→

A-1=AT

←→

ATA=E

→

|A|=±1

（二）线性组合和线性表示

5、线性表示的充要条件：

非零列向量β可由α1，α2，…，αs线性表示

(1)←→非齐次线性方程组（α1，α2，…，αs）（x1，x2，…，xs）T=β有解。

★(2)←→r（α1，α2，…，αs）=r（α1，α2，…，αs，β）（系数矩阵的秩等于增广矩阵的秩，用于大题第一步的检验）

6、线性表示的充分条件：（了解即可）

若α1，α2，…，αs线性无关，α1，α2，…，αs，β线性相关，则β可由α1，α2，…，αs线性表示。

7、线性表示的求法：（大题第二步）

设α1，α2，…，αs线性无关，β可由其线性表示。

（α1，α2，…，αs|β）→初等行变换→（行最简形|系数）

行最简形：每行第一个非0的数为1，其余元素均为0

（三）线性相关和线性无关

8、线性相关注意事项：

（1）α线性相关←→α=0

（2）α1，α2线性相关←→α1，α2成比例

9、线性相关的充要条件：

向量组α1，α2，…，αs线性相关

（1）←→有个向量可由其余向量线性表示；

（2）←→齐次方程（α1，α2，…，αs）（x1，x2，…，xs）T=0有非零解；

★（3）←→r（α1，α2，…，αs）＜s

即秩小于个数

特别地，n个n维列向量α1，α2，…，αn线性相关

（1）←→

r（α1，α2，…，αn）＜n

（2）←→|α1，α2，…，αn

|=0

（3）←→（α1，α2，…，αn）不可逆

10、线性相关的充分条件：

（1）向量组含有零向量或成比例的向量必相关

（2）部分相关，则整体相关

（3）高维相关，则低维相关

（4）以少表多，多必相关

★推论：n+1个n维向量一定线性相关

11、线性无关的充要条件

向量组α1，α2，…，αs

线性无关

（1）←→任意向量均不能由其余向量线性表示；

（2）←→齐次方程（α1，α2，…，αs）（x1，x2，…，xs）T=0只有零解

（3）←→r（α1，α2，…，αs）=s

特别地，n个n维向量α1，α2，…，αn

线性无关

←→r（α1，α2，…，αn）=n

←→|α1，α2，…，αn

|≠0

←→矩阵可逆

12、线性无关的充分条件：

（1）整体无关，部分无关

（2）低维无关，高维无关

（3）正交的非零向量组线性无关

（4）不同特征值的特征向量无关

13、线性相关、线性无关判定

（1）定义法

★（2）秩：若小于阶数，线性相关；若等于阶数，线性无关

【专业知识补充】

（1）在矩阵左边乘列满秩矩阵（秩=列数），矩阵的秩不变；在矩阵右边乘行满秩矩阵，矩阵的秩不变。

（2）若n维列向量α1，α2，α3

线性无关，β1，β2，β3

可以由其线性表示，即（β1，β2，β3）=（α1，α2，α3）C，则r（β1，β2，β3）=r（C），从而线性无关。

←→r（β1，β2，β3）=3

←→

r（C）=3

←→

|C|≠0

（四）极大线性无关组与向量组的秩

14、极大线性无关组不唯一

15、向量组的秩:极大无关组中向量的个数成为向量组的秩

对比：矩阵的秩:非零子式的最高阶数

★注:向量组α1，α2，…，αs的秩与矩阵A=（α1，α2，…，αs）的秩相等

★16、极大线性无关组的求法

（1）α1，α2，…，αs

为抽象的：定义法

（2）α1，α2，…，αs

为数字的：

（α1，α2，…，αs）→初等行变换→阶梯型矩阵

则每行第一个非零的数对应的列向量构成极大无关组

（五）向量空间

17、基（就是极大线性无关组）变换公式：

若α1，α2，…，αn

与β1，β2，…，βn

是n维向量空间V的两组基，则基变换公式为（β1，β2，…，βn）=（α1，α2，…，αn）Cn×n

其中，C是从基α1，α2，…，αn

到β1，β2，…，βn的过渡矩阵。

C=（α1，α2，…，αn）-1（β1，β2，…，βn）

18、坐标变换公式：

向量γ在基α1，α2，…，αn与基β1，β2，…，βn的坐标分别为x=（x1，x2，…，xn）T，y=（y1，y2，…，yn）T，即γ=x1α1

x2α2

…

+xnαn

=y1β1

y2β2

…

+ynβn，则坐标变换公式为x=Cy或y=C-1x。其中，C是从基α1，α2，…，αn

到β1，β2，…，βn的过渡矩阵。C=（α1，α2，…，αn）-1（β1，β2，…，βn）

（六）Schmidt正交化

19、Schmidt正交化

设α1，α2，α3

线性无关

（1）正交化

令β1=α1

（2）单位化

线性方程组

（一）方程组的表达形与解向量

1、解的形式：

(1)一般形式

(2)矩阵形式：Ax=b；

(3)向量形式：A=（α1，α2，…，αn）

2、解的定义：

若η=（c1，c2，…，cn）T满足方程组Ax=b，即Aη=b，称η是Ax=b的一个解（向量）

（二）解的判定与性质

3、齐次方程组：

（1）只有零解←→r（A）=n（n为A的列数或是未知数x的个数）

（2）有非零解←→r（A）＜n4、非齐次方程组：

（1）无解←→r（A）＜r（A|b）←→r（A）=r（A）-1

（2）唯一解←→r（A）=r（A|b）=n

（3）无穷多解←→r（A）=r（A|b）＜n5、解的性质：

（1）若ξ1，ξ2是Ax=0的解，则k1ξ1+k2ξ2是Ax=0的解

（2）若ξ是Ax=0的解，η是Ax=b的解，则ξ+η是Ax=b的解

（3）若η1，η2是Ax=b的解，则η1-η2是Ax=0的解

【推广】

（1）设η1，η2，…，ηs是Ax=b的解，则k1η1+k2η2+…+ksηs为

Ax=b的解

（当Σki=1）

Ax=0的解

（当Σki=0）

（2）设η1，η2，…，ηs是Ax=b的s个线性无关的解，则η2-η1，η3-η1，…，ηs-η1为Ax=0的s-1个线性无关的解。

变式：①η1-η2，η3-η2，…，ηs-η2

②η2-η1，η3-η2，…，ηs-ηs-1

（三）基础解系

6、基础解系定义：

（1）ξ1，ξ2，…，ξs

是Ax=0的解

（2）ξ1，ξ2，…，ξs

线性相关

（3）Ax=0的所有解均可由其线性表示

→基础解系即所有解的极大无关组

注：基础解系不唯一。

任意n-r（A）个线性无关的解均可作为基础解系。

★7、重要结论：（证明也很重要）

设A施m×n阶矩阵，B是n×s阶矩阵，AB=O

（1）B的列向量均为方程Ax=0的解

（2）r（A）+r（B）≤n（第2章，秩）

8、总结：基础解系的求法

（1）A为抽象的：由定义或性质凑n-r（A）个线性无关的解

（2）A为数字的：A→初等行变换→阶梯型

自由未知量分别取1,0,0；0,1,0；0,0,1；代入解得非自由未知量得到基础解系

（四）解的结构（通解）

9、齐次线性方程组的通解（所有解）

设r（A）=r，ξ1，ξ2，…，ξn-r

为Ax=0的基础解系，则Ax=0的通解为k1η1+k2η2+…+kn-rηn-r

（其中k1，k2，…，kn-r为任意常数）

10、非齐次线性方程组的通解

设r（A）=r，ξ1，ξ2，…，ξn-r

为Ax=0的基础解系，η为Ax=b的特解，则Ax=b的通解为η+

k1η1+k2η2+…+kn-rηn-r

（其中k1，k2，…，kn-r为任意常数）

（五）公共解与同解

11、公共解定义：

如果α既是方程组Ax=0的解，又是方程组Bx=0的解，则称α为其公共解

12、非零公共解的充要条件：

方程组Ax=0与Bx=0有非零公共解

←→

有非零解←→

13、重要结论（需要掌握证明）

（1）设A是m×n阶矩阵，则齐次方程ATAx=0与Ax=0同解，r（ATA）=r（A）

（2）设A是m×n阶矩阵，r（A）=n，B是n×s阶矩阵，则齐次方程ABx=0与Bx=0同解，r（AB）=r（B）

特征值与特征向量

（一）矩阵的特征值与特征向量

1、特征值、特征向量的定义：

设A为n阶矩阵，如果存在数λ及非零列向量α，使得Aα=λα，称α是矩阵A属于特征值λ的特征向量。

2、特征多项式、特征方程的定义：

|λE-A|称为矩阵A的特征多项式（λ的n次多项式）。

|λE-A

|=0称为矩阵A的特征方程（λ的n次方程）。

注:特征方程可以写为|A-λE|=03、重要结论：

（1）若α为齐次方程Ax=0的非零解，则Aα=0·α，即α为矩阵A特征值λ=0的特征向量

（2）A的各行元素和为k，则(1，1，…，1)T为特征值为k的特征向量。

（3）上（下）三角或主对角的矩阵的特征值为主对角线各元素。

△4、总结：特征值与特征向量的求法

（1）A为抽象的：由定义或性质凑

（2）A为数字的：由特征方程法求解

5、特征方程法：

（1）解特征方程|λE-A|=0，得矩阵A的n个特征值λ1，λ2，…，λn

注：n次方程必须有n个根(可有多重根，写作λ1=λ2=…=λs=实数，不能省略)

（2）解齐次方程（λiE-A）=0，得属于特征值λi的线性无关的特征向量，即其基础解系（共n-r（λiE-A）个解）

6、性质：

（1）不同特征值的特征向量线性无关

（2）k重特征值最多k个线性无关的特征向量

1≤n-r（λiE-A）≤ki

（3）设A的特征值为λ1，λ2，…，λn，则|A|=Πλi，Σλi=Σaii

（4）当r（A）=1，即A=αβT，其中α，β均为n维非零列向量，则A的特征值为λ1=Σaii=αTβ=βTα，λ2=…=λn=0

（5）设α是矩阵A属于特征值λ的特征向量，则

f（A）

A-1

P-1AP（相似）

f（λ）

λ-1

|A|λ-1

P-1α

（二）相似矩阵

7、相似矩阵的定义：

设A、B均为n阶矩阵，如果存在可逆矩阵P使得B=P-1AP，称A与B相似，记作A~B8、相似矩阵的性质

（1）若A与B相似，则f（A）与f（B）相似

（2）若A与B相似，B与C相似，则A与C相似

（3）相似矩阵有相同的行列式、秩、特征多项式、特征方程、特征值、迹（即主对角线元素之和）

【推广】

（4）若A与B相似，则AB与BA相似，AT与BT相似，A-1与B-1相似，A*与B*也相似

（三）矩阵的相似对角化

9、相似对角化定义：

如果A与对角矩阵相似，即存在可逆矩阵P，使得P-1AP=Λ=，称A可相似对角化。

注：Aαi=λiαi（αi≠0，由于P可逆），故P的每一列均为矩阵A的特征值λi的特征向量

10、相似对角化的充要条件

（1）A有n个线性无关的特征向量

（2）A的k重特征值有k个线性无关的特征向量

11、相似对角化的充分条件：

（1）A有n个不同的特征值（不同特征值的特征向量线性无关）

（2）A为实对称矩阵

12、重要结论：

（1）若A可相似对角化，则r（A）为非零特征值的个数，n-r（A）为零特征值的个数

（2）若A不可相似对角化，r（A）不一定为非零特征值的个数

（四）实对称矩阵

13、性质

（1）特征值全为实数

（2）不同特征值的特征向量正交

（3）A可相似对角化，即存在可逆矩阵P使得P-1AP=Λ

（4）A可正交相似对角化，即存在正交矩阵Q，使得Q-1AQ=QTAQ=Λ

二次型

（一）二次型及其标准形

1、二次型：

（1）一般形式

（2）矩阵形式（常用）

2、标准形：

如果二次型只含平方项，即f（x1，x2，…，xn）=d1x12+d2x22+…+dnxn2

这样的二次型称为标准形（对角线）

3、二次型化为标准形的方法：

（1）配方法：

通过可逆线性变换x=Cy（C可逆），将二次型化为标准形。其中，可逆线性变换及标准形通过先配方再换元得到。

★（2）正交变换法：

通过正交变换x=Qy，将二次型化为标准形λ1y12+λ2y22+…+λnyn2

其中，λ1，λ2，…，λn

是A的n个特征值，Q为A的正交矩阵

注:正交矩阵Q不唯一，γi与λi

对应即可。

（二）惯性定理及规范形

4、定义：

正惯性指数：标准形中正平方项的个数称为正惯性指数，记为p；

负惯性指数：标准形中负平方项的个数称为负惯性指数，记为q；

规范形：f=z12+…zp2-zp+12-…-zp+q2称为二次型的规范形。

5、惯性定理：

二次型无论选取怎样的可逆线性变换为标准形，其正负惯性指数不变。

注：（1）由于正负惯性指数不变，所以规范形唯一。

（2）p=正特征值的个数，q=负特征值的个数，p+q=非零特征值的个数=r（A）

（三）合同矩阵

6、定义：

A、B均为n阶实对称矩阵，若存在可逆矩阵C，使得B=CTAC，称A与B合同

△7、总结：n阶实对称矩阵A、B的关系

（1）A、B相似（B=P-1AP）←→相同的特征值

（2）A、B合同（B=CTAC）←→相同的正负惯性指数←→相同的正负特征值的个数

（3）A、B等价（B=PAQ）←→r（A）=r（B）

注：实对称矩阵相似必合同，合同必等价

（四）正定二次型与正定矩阵

8、正定的定义

二次型xTAx，如果任意x≠0，恒有xTAx＞0，则称二次型正定，并称实对称矩阵A是正定矩阵。

9、n元二次型xTAx正定充要条件：

（1）A的正惯性指数为n

（2）A与E合同，即存在可逆矩阵C，使得A=CTC或CTAC=E

（3）A的特征值均大于0

（4）A的顺序主子式均大于0（k阶顺序主子式为前k行前k列的行列式）

10、n元二次型xTAx正定必要条件：

（1）aii＞0

（2）|A|＞011、总结：二次型xTAx正定判定（大题）

（1）A为数字：顺序主子式均大于0

（2）A为抽象：①证A为实对称矩阵：AT=A；②再由定义或特征值判定

12、重要结论：

（1）若A是正定矩阵，则kA（k＞0），Ak，AT，A-1，A*正定

篇3：线性代数知识点总结

一、注重对基本概念的理解与把握

高等代数的概念很多,且有些比较抽象,难以理解.在学习过程中,我们一定要准确把握住概念的内涵,并注意相关概念之间的区别与联系.

例如,实矩阵A与B等价、相似、合同这三种关系之间的区别与联系.

矩阵A与B等价是矩阵A可以经过初等变换化为B;两个同阶方阵A与B相似是指存在一个同阶的可逆的方阵P,使P-1AP=B;两个同阶实对称方阵A与B合同是指存在一个可逆的同阶方阵C,使CTAC=B.由矩阵等价、相似、合同的定义易知:(1)两个矩阵等价,前提是两个同型矩阵,不一定要求是两个同阶的方阵;两个矩阵相似前提是两个同阶的方阵,不一定要求是两个实对称矩阵;两个矩阵合同是相对于两个同阶的实对称方阵而言的;(2)这三种关系都是等价关系,即满足自反性、对称性与传递性;(3)当两矩阵等价、相似或是合同时,必有两矩阵的秩相等.当两个矩阵A与B的秩相等时,它们等价于同一个标准形,所以根据传递性它们等价,也就是说,两个同型矩阵等价的充要条件是它们的秩相等.从而由两个矩阵相似或合同可得出两矩阵等价,但两矩阵等价显然不能得出两矩阵相似或合同,因为等价可以不是方阵;两个方阵A与B相似,很容易得出|A|=|B|,而两个方阵A与B合同,不一定有|A|=|B|,即合同并不一定相似,又因为两矩阵相似不一定是实对称的,所以两矩阵相似不一定得出两矩阵合同,但当A与B是两个对称实矩阵且相似时,可得出两矩阵合同.

又如,两同型矩阵A=(α1,α2,…,αm)与B=(β1,β2,…,βm)等价以及向量组α1,α2,…,αm与β1,β2,…,βm等价的区别与联系.

由上例知,两个同型矩阵A与B等价的充要条件是秩R(A)=R(B),而向量组α1,α2,…,αm与β1,β2,…βm等价,说明这两个向量组可以互相线性表示,因而它们有相同的秩,但是向量组有相同的秩时,并不能保证它们必能互相线性表示,也就不能得出向量组等价,因此,由向量组α1,α2,…,αm与β1,β2,…,βm等价,可知矩阵A=(α1,α2,…,αm)与B=(β1,β2,…,βm)等价,但矩阵A与B等价并不能得出这两个向量组等价.但要注意,若两个向量组α1,α2,…,αm与β1,β2,…βn等价,当m≠n时,A=(α1,α2,…,αm)与B=(β1,β2,…,βn)不可能等价,因为此时两个矩阵不是同型矩阵.

二、注重基本方法及基本运算的运用

高等代数中运算法则较多,学习时应注意归纳,整理清楚,多进行基本知识与基本技能的训练,在训练过程中总结经验,对一些常用的基本运算、基本方法及基本性质要训练掌握.

三、注重各知识点的内在联系,努力提高综合分析能力

高等代数从内容上看纵横交错,前后联系紧密,环环相扣,相互渗透,因此解题方法灵活多变,学习时要不断地归纳总结,努力搞清各知识点的内在联系,使所学知识融会贯通.

四、注重逻辑性与叙述表述

高等代数对于抽象性与逻辑性有较高的要求,通过证明题可以反映学生对主要原理、定理的理解与掌握程度,同时可以反映学生的抽象思维能力、逻辑推理能力.在学习过程中,应当搞清公式、定理成立的条件,同时还应注意语言表述表达的准确性、简明性.

例如,证明线性空间中的维数公式,如果V1,V2是线性空间V的两个子空间,那么维(V1)+维(V2)=维(V1+V2)+维(V1∩V2).

这是一个非常简单的公式,但它体现了线性空间中两个子空间的维数与它们交与和的子空间的维数之间的关系.公式的证明可能对学生们来说有点难度,但如果对一些基本概念掌握了,对证明的思路清晰了,则这个定理的证明也就迎刃而解了.

要证明结论,只要证明维(V1)+维(V2)-维(V1∩V2)=维(V1+V2),因为V1∩V2V1V1+V2,V1∩V2V2V1+V2,所以V1∩V2的一组基一定是V1与V2中的一组线性无关的向量,也是V1+V2中的一组线性无关的向量.而维数关系实际就是基中所含向量个数之间的关系.所以想到取V1∩V2的一组基α1,α2,…,αm.再分别把它扩充为V1与V2的一组基.然后证明从这里入手.

证明设V1与V2的维数分别是n1,n2,V1∩V2的维数是m,取V1∩V2的一组基α1,α2,…,αm.如果m=0,这个基是空集,下面的讨论中α1,α2,…,αm不出现,但讨论同样能进行.V1∩V2是V1的子空间,也是V2的子空间,所以它可以扩充成V1的一组基α1,α2,…,αm,β1,β2,…,βn1-m,也可以扩充成V2的一组基α1,α2,…,αm,γ1,γ2,…,γn2-m.由线性空间与它的一组基所生成的子空间的相等关系,可得V1=L(α1,α2,…,αm,β1,β2,…,βn1-m),V2=L(α1,α2,…,αm,γ1,γ2,…,γn2-m).再由生成子空间的性质:V1+V2=L(α1,α2,…,αm,β1,β2,…,βn1-m)+L(α1,α2,…,αm,γ1,γ2,…,γn2-m)=L(α1,α2,…,αm,β1,β2,…,βn1-m,γ1,γ2,…,γn2-m),而向量组α1,α2,…,αm,β1,β2,…,βn1-m,γ1,γ2,…,γn2-m所含向量的个数恰好等于维(V1)+维(V2)-维(V1∩V2),所以要证明维数公式成立,只要证明向量组α1,α2,…,αm,β1,β2,…,βn1-m,γ1,γ2,…,γn2-m是V1+V2的一组基即可.即要证明两点:1)该向量组线性无关;2)V1+V2中的任一向量都可由它线性表出.而第2点由生成子空间的定义已满足,所以只需证明此向量组线性无关.而要证明向量组线性无关,只要设k1α1+k2α2+…+kmαm+p1β1+p2β2+…+pn1-mβn1-m+q1γ1+q2γ2+…+qn2-mγn2-m=0.再证明k1,k2,…,p1,p2,…,pn1-m,q1,q2,…,qn2-m全为零即可.而要证明它们为零,只能由已知的线性无关性得出,所以想办法转化为V1,V2与V1∩V2中的基来讨论,于是可令α=k1α1+k2α2+…+kmαm+p1β1+p2β2+…+pn1-mβn1-m=-(q1γ1+q2γ2+…+qn2-mγn2-m).由第一个等式,α∈V1;而由第二个等式看出,α∈V2,

于是,α∈V1∩V2,即α可以被α1,α2,…,αm,线性表示.令α=l1α1+l2α2+…+lmαm,则l1α1+l2α2+…+lmαm+q1γ1+q2γ2+…+qn2-mγn2-m=0.由于α1,α2,…,αm,γ1,γ2,…,γn2-m线性无关,得l1=l2=…=lm=q1=q2=…=qn2-m=0,因而α=0,从而有k1α1+k2α2+…+kmαm+p1β1+p2β2+…+pn1-mβn1-m=0.由于α1,α2,…,αm,β1,β2,…,βn1-m线性无关,得k1=k2=…=km=p1=p2=…=pn1-m=0.

这就证明了α1,α2,…,αm,β1,β2,…,βn1-m,γ1,γ2,…,γn2-m线性无关,因而是V1+V2的一组基,故维数公式成立.

这个证明的思路非常清晰明了,逻辑性强,证明一层套一层,让人看了有一种心旷神怡的感觉,妙不可言.

篇4：线性代数知识点总结

关键词：背景知识教学改革三贴近

中图分类号：G642 文献标识码：A 文章编号：1673-9795（2012）12（b）-0113-01

随着当代科学技术的迅猛发展，特别是计算机技术的飞速发展，对人们的物质、文化生活产生了巨大的影响，其最显著的功能就是高速、大量的计算，使得海量数据的处理成为可能，因而科学计算已成为与理论研究、科学实验并列的科学研究的三大手段，由此引起了相关领域的革命性发展。线性代数的知识则在促进这一变化的过程中起着举足轻重的作用，因而也越来越受到重视，这也促使线性代数课程教学需要进行深刻的变革，无论是教学内容还是教学方法、教学手段都需要进行相应的改革，以更好地适应新世纪人才培养的需要。

1 线性代数改革现状分析与思考

线性代数是用数学知识解决实际问题的一个强有力的工具，广泛地应用于物理、力学、信号与信号处理、系统控制、电子、通信、航空等学科领域。但线性代数概念多、定理多、符号多、运算规律多、内容相互纵横交错，知识前后联系紧密，具有高度的抽象性与逻辑性，显得零、散、乱，使其成为我国目前教学中的一个薄弱环节。对此各大院校都积极开展了课程的教改，如上海交通大学李世栋、南开大学孟道骥、浙江大学陈维新等教授领导的团队都如火如荼的展开了线性代数精品课程的建设工作并取得了丰硕的成果。

线性代数课程一般在大学一年级开设，此时，学生正在适应大学生活，正处在由中学生向大学生转变的过程中，在生理、心理、人生观、世界观、学习方式、方法等方面处于人生的重大转折期。通过长期实践发现，只要帮助学生成功完成这个转变，一般而言，学生在以后的学习中都会取得不错的成绩。从线性代数教学的角度讲，促进学生完成转变主要是抓住两个关键，一是正确引导学生学会从宏观和微观把握线性代数的结构体系；二是要激发学生的兴趣，兴趣是一切科学发展的关键。第一个问题可借鉴文献[2]中的方法，第二个问题解决的重点在于找到合适的应用案例，在大量的应用实践中展示线性代数的魅力，以引发学生的兴趣，上述各院校的教改中也多有涉及，但总体来讲都比较偏重数学方面的应用，理论性较强，对于初学者而言是一个比较大的障碍。考虑到军校学生自身固有的特点，提出案例贴近军事、贴近前沿、贴近生活的“三贴近”原则。

2 “三贴近”原则的应用与实践

线性代数的应用是非常广泛的，它的背景涉及的内容更加复杂，虽然可用的案例很多，但要根据学生的实际情况有所取舍，在学生能接受的范围内选取可理解、能接受的实际应用背景知识进行介绍，这样才能引起学生的兴趣，否则，可能会起到适得其反的作用。

2.1 课前背景知识，新鲜、简单、灵活

现代学生爱好广泛、思维活跃、关注社会热点、获取信息的能力强，注意到这些特点，准备课前引入应用案例时，就要做到：新鲜，足以引起学生关注，简单，才不会在引入课程内容时花费过多时间，灵活，是要根据学生的反应来决定讲课方式。如开课之初，通过三个例子来说明线性代数课程的重大应用：一是从军事斗争的角度阐述了我国发展“北斗”卫星导航系统的重大意义，激发学生的爱国热情，向学生介绍了卫星定位的简单原理，即把伪距方程线性化后，用户所在的位置就归结为线性方程组的求解；二是保密问题在现代社会中越来越重要，密码中明文密文是如何转换的呢？通过介绍让学生认识到线性代數中矩阵知识的重要性；三是现代社会几乎每个人都要与网络打交道，从网上查找所需要的种信息，其实搜索引擎的开发需要依赖大量的各类矩阵。通过对这些学生最关注、最感兴趣也比较前沿的问题的简单介绍，让学生明白解线性代数在这些问题的解决中所起到重要作用。

2.2 课内背景知识，瞻前、顾后、易懂

在授课的过程中，可以适时插入关于背景知识的介绍，以活跃课堂氛围，增强互动效果，但要注意所介绍的知识，要么是对前所学知识整理扩展，要么对以后要学习的知识有一定的铺垫作用，当然吧、也不能过于深奥让学生难以理解。根据不同的对象，可分三种情况：一是在数学范围内的应用。如幻方与矩阵，坐标变换与同构，Lagr ange插值公式，中国剩余定理等就分别与组合数学、解析几何、数值计算、数论等数学课程有关；二是涉及专业课程。如斐波那数列，学生在高中接触过，在高等数学中也见识过，在讲矩阵时就可以把它们联系起来，进行推广后就可以得到线性移位寄存器序列，而移位寄存器序列是密码学中非常重要的一部分内容。这样就把前后知识联系起来了，知识性强还不枯燥。其它如数字信号处理、图象处理、测量平差、时间序列等课程中都有许多应用案例都可以借鉴；三是生活及其它方面的应用。如交通流分析、人口迁徙模型，价格平衡模型、小行星的轨道模型等方面也有大量值得介绍的应用案例。这些应用案例的介绍，一定要有针对性，充分考虑学生的接受情况，根据学生的专业情况等有所选择，让学生听得懂，愿意听、喜欢听才会取得良好的效果。

2.3 课后背景知识，广泛、深入、拓展

课后，指导学生对所学的相关应用背景知识进行广泛而深入的挖掘。第一，向学生所在专业的高年级学生、研究生、乃至专业课教员了解线性代数在后继课程中的应用情况，请他们给正在学习线性代数的学生提出意见和建议；第二，鼓励学生去图书馆、上网查找解线性代数在其它方面的应用，增长见识，扩展思维；第三，选择部分有代表性的案例让学生亲自解决，亲身体会线性代数和计算机带来的便利，加深对线性代数作用的认识和上机操作的实际动手能力。

3 结语

线性代数应用背景知识介绍目的在于：课前引起学生兴趣，课内调动学生情绪，课后引领学生深入挖掘知识丰富内涵和外延，通过这些活动让学生认识到线性代数广泛的应用领域，彰显线性代数的实用特性。只有常用、多用才能用得熟、用得好，只有在不断的实践锻炼中，学生的抽象思维能力、逻辑推理能力、空间想象能力、以及数学建模能力和数值计算能力才能得到显著提高。

参考文献

[1]高隆昌.数学及其认识[M].北京：高等教育出版社，海德堡：施普林格出版社，2001.

篇5：初中数学代数知识点总结

一、基本知识

（一）、数与代数A、数与式：

1、实数

有理数：①整数→正整数/0/负整数

②分数→正分数/负分数

数轴：①画一条水平直线，在直线上取一点表示0（原点），选取某一长度作为单位长度，规定直线上向右的方向为正方向，就得到数轴。

②任何一个有理数都可以用数轴上的一个点来表示。

③如果两个数只有符号不同，那么我们称其中一个数为另外一个数的相反数，也称这两个数互为相反数。在数轴上，表示互为相反数的两个点，位于原点的两侧，并且与原点距离相等。

④数轴上两个点表示的数，右边的总比左边的大。正数大于0，负数小于0，正数大于负数。

绝对值：①在数轴上，一个数所对应的点与原点的距离叫做该数的绝对值。

②正数的绝对值是他的本身、负数的绝对值是他的相反数、0的绝对值是0。两个负数比较大小，绝对值大的反而小。

有理数的运算：

加法：①同号相加，取相同的符号，把绝对值相加。

②异号相加，绝对值相等时和为0；绝对值不等时，取绝对值较大的数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值。

③一个数与0相加不变。

减法：减去一个数，等于加上这个数的相反数。

乘法：①两数相乘，同号得正，异号得负，绝对值相乘。

②任何数与0相乘得0。③乘积为1的两个有理数互为倒数。除法：①除以一个数等于乘以一个数的倒数。

②0不能作除数。

乘方：求N个相同因数A的积的运算叫做乘方，乘方的结果叫幂，A叫底数，N叫次数。

混合顺序：先算乘法，再算乘除，最后算加减，有括号要先算括号里的。

2、实数

无理数：无限不循环小数叫无理数

平方根：①如果一个正数X的平方等于A，那么这个正数X就叫做A的算术平方根。

②如果一个数X的平方等于A，那么这个数X就叫做A的平方根。

③一个正数有2个平方根/0的平方根为0/负数没有平方根。

④求一个数A的平方根运算，叫做开平方，其中A叫做被开方数。

立方根：①如果一个数X的立方等于A，那么这个数X就叫做A的立方根。

②正数的立方根是正数、0的立方根是0、负数的立方根是负数。

③求一个数A的立方根的运算叫开立方，其中A叫做被开方数。

实数：①实数分有理数和无理数。

②在实数范围内，相反数，倒数，绝对值的意义和有理数范围内的相反数，倒数，绝对值的意义完全一样。

③每一个实数都可以在数轴上的一个点来表示。

3、代数式

代数式：单独一个数或者一个字母也是代数式。

合并同类项：①所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项，叫做同类项。

②把同类项合并成一项就叫做合并同类项。

③在合并同类项时，我们把同类项的系数相加，字母和字母的指数不变。4、整式与分式

A、整式：①数与字母的乘积的代数式叫单项式，几个单项式的和叫多项式，单项式和多项式统称整式。

②一个单项式中，所有字母的指数和叫做这个单项式的次数。

③一个多项式中，次数最高的项的次数叫做这个多项式的次数。

整式运算：加减运算时，如果遇到括号先去括号，再合并同类项。

幂的运算：AM+AN=A（M+N）

（AM）N=ANMN

（A/B）N=AN/BN

除法一样。

整式的乘法：①单项式与单项式相乘，把他们的系数，相同字母的幂分别相乘，其余字母连同他的指数不变，作为积的因式。

②单项式与多项式相乘，就是根据分配律用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加。③多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另外一个多项式的每一项，再把所得的积相加。

公式两条：平方差公式

完全平方公式

整式的除法：①单项式相除，把系数，同底数幂分别相除后，作为商的因式；对于只在被除式里含有的字母，则连同他的指数一起作为商的一个因式。

②多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项分别除以单项式，再把所得的商相加。

分解因式：把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种变化叫做把这个多项式分解因式。

方法：提公因式法、运用公式法、分组分解法、十字相乘法。分式：①整式A除以整式B，如果除式B中含有分母，那么这个就是分式，对于任何一个分式，分母不为0。

②分式的分子与分母同乘以或除以同一个不等于0的整式，分式的值不变。

分式的运算：

乘法：把分子相乘的积作为积的分子，把分母相乘的积作为积的分母。

除法：除以一个分式等于乘以这个分式的倒数。

加减法：

①同分母分式相加减，分母不变，把分子相加减。

②异分母的分式先通分，化为同分母的分式，再加减。

分式方程：①分母中含有未知数的方程叫分式方程。

②使方程的分母为0的解称为原方程的增根。

B、方程与不等式

1、方程与方程组

一元一次方程：①在一个方程中，只含有一个未知数，并且未知数的指数是1，这样的方程叫一元一次方程。

②等式两边同时加上或减去或乘以或除以（不为0）一个代数式，所得结果仍是等式。

解一元一次方程的步骤：去分母，移项，合并同类项，未知数系数化为1。

二元一次方程：含有两个未知数，并且所含未知数的项的次数都是1的方程叫做二元一次方程。

二元一次方程组：两个二元一次方程组成的方程组叫做二元一次方程组。

适合一个二元一次方程的一组未知数的值，叫做这个二元一次方程的一个解。

二元一次方程组中各个方程的公共解，叫做这个二元一次方程的解。解二元一次方程组的方法：代入消元法/加减消元法。

一元二次方程：只有一个未知数，并且未知数的项的最高系数为2的方程

1）一元二次方程的二次函数的关系

大家已经学过二次函数（即抛物线）了，对他也有很深的了解，好像解法，在图象中表示等等，其实一元二次方程也可以用二次函数来表示，其实一元二次方程也是二次函数的一个特殊情况，就是当Y的0的时候就构成了一元二次方程了。那如果在平面直角坐标系中表示出来，一元二次方程就是二次函数中，图象与X轴的交点。也就是该方程的解了

2）一元二次方程的解法

大家知道，二次函数有顶点式（-b/2a,4ac-b2/4a），这大家要记住，很重要，因为在上面已经说过了，一元二次方程也是二次函数的一部分，所以他也有自己的一个解法，利用他可以求出所有的一元二次方程的解

(1）配方法

利用配方，使方程变为完全平方公式，在用直接开平方法去求出解

(2)分解因式法

提取公因式，套用公式法，和十字相乘法。在解一元二次方程的时候也一样，利用这点，把方程化为几个乘积的形式去解

(3)公式法

这方法也可以是在解一元二次方程的万能方法了，方程的根X1={-b+

√[b2-4ac)]}/2a，X2={-b-√[b2-4ac)]}/2a

3）解一元二次方程的步骤：

（1）配方法的步骤：先把常数项移到方程的右边，再把二次项的系数化为1，再同时加上1次项的系数的一半的平方，最后配成完全平方公式

(2)分解因式法的步骤：把方程右边化为0，然后看看是否能用提取公因式，公式法（这里指的是分解因式中的公式法）或十字相乘，如果可以，就可以化为乘积的形式(3)公式法：

就把一元二次方程的各系数分别代入，这里二次项的系数为a，一次项的系数为b，常数项的系数为c

4）韦达定理

利用韦达定理去了解，韦达定理就是在一元二次方程中，二根之和=-b/a，二根之积=c/a

也可以表示为x1+x2=-b/a,x1x2=c/a。利用韦达定理，可以求出一元二次方程中的各系数，在题目中很常用

5）一元二次方程根的情况

利用根的判别式去了解，根的判别式可在书面上可以写为“△”，△=b2-4ac，这里可以分为3种情况：

I当

△>0时，一元二次方程有2个不相等的实数根；

II当△=0时，一元二次方程有2个相同的实数根；

III当△<0时，一元二次方程没有实数根（在这里，学到高中就会知道，这里有2个虚数根）

2、不等式与不等式组

不等式：①用符号〉，=，〈号连接的式子叫不等式。

②不等式的两边都加上或减去同一个整式，不等号的方向不变。

③不等式的两边都乘以或者除以一个正数，不等号方向不变。

④不等式的两边都乘以或除以同一个负数，不等号方向相反。

不等式的解集：①能使不等式成立的未知数的值，叫做不等式的解。

②一个含有未知数的不等式的所有解，组成这个不等式的解集。

③求不等式解集的过程叫做解不等式。一元一次不等式：左右两边都是整式，只含有一个未知数，且未知数的最高次数是1的不等式叫一元一次不等式。

一元一次不等式组：

①关于同一个未知数的几个一元一次不等式合在一起，就组成了一元一次不等式组。

②一元一次不等式组中各个不等式的解集的公共部分，叫做这个一元一次不等式组的解集。

③求不等式组解集的过程，叫做解不等式组。

一元一次不等式的符号方向：

在一元一次不等式中，不像等式那样，等号是不变的，他是随着你加或乘的运算改变。

在不等式中，如果加上同一个数（或加上一个正数），不等式符号不改向；例如：A>B,A+C>B+C

在不等式中，如果减去同一个数（或加上一个负数），不等式符号不改向；例如：A>B，A-C>B-C

在不等式中，如果乘以同一个正数，不等号不改向；例如：A>B，A*C>B*C（C>0）

在不等式中，如果乘以同一个负数，不等号改向；例如：A>B，A*C

如果不等式乘以0，那么不等号改为等号

所以在题目中，要求出乘以的数，那么就要看看题中是否出现一元一次不等式，如果出现了，那么不等式乘以的数就不能为0，否则不等式不成立；

3、函数

变量：因变量，自变量。

在用图象表示变量之间的关系时，通常用水平方向的数轴上的点自变量，用竖直方向的数轴上的点表示因变量。

一次函数：

①若两个变量X，Y间的关系式可以表示成Y=KX+B（B为常数，K不等于0）的形式，则称Y是X的一次函数。

②当B=0时，称Y是X的正比例函数。

一次函数的图象：①把一个函数的自变量X与对应的因变量Y的值分别作为点的横坐标与纵坐标，在直角坐标系内描出它的对应点，所有这些点组成的图形叫做该函数的图象。

②正比例函数Y=KX的图象是经过原点的一条直线。

③在一次函数中，当K〈0，B〈O，则经234象限；当K〈0，B〉0时，则经124象限；当K〉0，B〈0时，则经134象限；当K〉0，B〉0时，则经123象限。

篇6：线性代数知识点总结

因式分解

1.因式分解：把一个多项式化为几个整式的积的形式，叫做把这个多项式因式分解；注意：因式分解与乘法是相反的两个转化.2．因式分解的方法：常用“提取公因式法”、“公式法”、“分组分解法”、“十字相乘法”.3．公因式的确定：系数的最大公约数·相同因式的最低次幂.注意公式：a+b=b+a；a-b=-(b-a)；(a-b)2=(b-a)2；(a-b)3=-(b-a)3.4．因式分解的公式：

(1)平方差公式： a2-b2=（a+ b）（a-b）；

(2)完全平方公式：a2+2ab+b2=(a+b)2,a2-2ab+b2=(a-b)2.5．因式分解的注意事项：

（1）选择因式分解方法的一般次序是：一提取、二公式、三分组、四十字；

（2）使用因式分解公式时要特别注意公式中的字母都具有整体性；

（3）因式分解的最后结果要求分解到每一个因式都不能分解为止；

（4）因式分解的最后结果要求每一个因式的首项符号为正；

（5）因式分解的最后结果要求加以整理；

（6）因式分解的最后结果要求相同因式写成乘方的形式.6．因式分解的解题技巧：（1）换位整理，加括号或去括号整理；（2）提负号；（3）全变号；（4）换元；（5）配方；（6）把相同的式子看作整体；（7）灵活分组；（8）提取分数系数；（9）展开部分括号或全部括号；（10）拆项或补项.7．完全平方式：能化为（m+n）2的多项式叫完全平方式；对于二次三项式x2+px+q，有“ x2+px+q是完全平方式 

分式

Apq22”.1．分式：一般地，用A、B表示两个整式，A÷B就可以表示为B的形式，如果B

中含有字母，式子B 叫做分式.整式有理式分式2．有理式：整式与分式统称有理式；即.3．对于分式的两个重要判断：（1）若分式的分母为零，则分式无意义，反之有意义；

（2）若分式的分子为零，而分母不为零，则分式的值为零；注意：若分式的分子为零，而分母也为零，则分式无意义.4．分式的基本性质与应用：

（1）若分式的分子与分母都乘以（或除以）同一个不为零的整式，分式的值不变；

（2）注意：在分式中，分子、分母、分式本身的符号，改变其中任何两个，分式的值不变；即

分子分母

分子分母

分子分母



分子分母

（3）繁分式化简时，采用分子分母同乘小分母的最小公倍数的方法，比较简单.5．分式的约分：把一个分式的分子与分母的公因式约去，叫做分式的约分；注意：分式约分前经常需要先因式分解.6．最简分式：一个分式的分子与分母没有公因式，这个分式叫做最简分式；注意：分式计算的最后结果要求化为最简分式.acac,bdbd7．分式的乘除法法则：





adad

bcbc

.aa

n.（n为正整数）

8．分式的乘方：b

.9．负整指数计算法则：

（1）公式： a0=1(a≠0),a-n=a(a≠0)；（2）正整指数的运算法则都可用于负整指数计算；

a

（3）公式：b

n

ba

nm，b



mn；

（4）公式：（-1）-2=1，（-1）-3=-1.10．分式的通分：根据分式的基本性质，把几个异分母的分式分别化成与原来的分式相等的同分母的分式，叫做分式的通分；注意：分式的通分前要先确定最简公分母.11．最简公分母的确定：系数的最小公倍数·相同因式的最高次幂.a

abc

adbd

bcbd

adbcbd

12．同分母与异分母的分式加减法法则：

;

.13．含有字母系数的一元一次方程：在方程ax+b=0(a≠0)中,x是未知数,a和b是用字母表示的已知数，对x来说，字母a是x的系数，叫做字母系数，字母b是常数项，我们称它为含有字母系数的一元一次方程.注意：在字母方程中,一般用a、b、c等表示已知数，用x、y、z等表示未知数.14．公式变形：把一个公式从一种形式变换成另一种形式，叫做公式变形；注意：公式变形的本质就是解含有字母系数的方程.特别要注意：字母方程两边同时乘以含字母的代数式时，一般需要先确认这个代数式的值不为0.15．分式方程：分母里含有未知数的方程叫做分式方程；注意：以前学过的，分母里不含未知数的方程是整式方程.16．分式方程的增根：在解分式方程时，为了去分母，方程的两边同乘以了含有未知数的代数式，所以可能产生增根，故分式方程必须验增根；注意：在解方程时，方程的两边一般不要同时除以含未知数的代数式，因为可能丢根.17．分式方程验增根的方法：把分式方程求出的根代入最简公分母（或分式方程的每个分母），若值为零，求出的根是增根，这时原方程无解；若值不为零，求出的根是原方程的解；注意：由此可判断，使分母的值为零的未知数的值可能是原方程的增根.18．分式方程的应用：列分式方程解应用题与列整式方程解应用题的方法一样，但需要增加“验增根”的程序.数的开方

1．平方根的定义：若x2=a,那么x叫a的平方根，（即a的平方根是x）；注意：（1）a叫x的平方数，（2）已知x求a叫乘方，已知a求x叫开方，乘方与开方互为逆运算.2．平方根的性质：

（1）正数的平方根是一对相反数；（2）0的平方根还是0；（3）负数没有平方根.3．平方根的表示方法：a的平方根表示为也可以认为是一个数开二次方的运算.4．算术平方根：正数a的正的平方根叫a的算术平方根，表示为平方根还是0.5．三个重要非负数： a2≥0 ,|a|≥0，0.6．两个重要公式：（1）a

和

.注意：

可以看作是一个数，a

.注意：0的算术

≥0.注意：非负数之和为0，说明它们都是

a

;(a≥0)

（2）

(a0)a

a

a(a0)

.7．立方根的定义：若x3=a,那么x叫a的立方根，（即a的立方根是x）.注意：（1）a叫x的立方数；（2）a的立方根表示为8．立方根的性质：