高一数学函数全解析

高一数学函数全解析（精选8篇）

篇1：高一数学函数全解析

高一数学抽象函数常见题型高一数学填空题解题方法

一、直接法

从题设条件出发、利用定义、定理、性质、公式等知识，通过变形、推理、运算等过程，直接得到结果。

二、特殊化法

当填空题的结论唯一或题设条件中提供的信息暗示答案是一个定值时，可以把题中变化的不定量用特殊值代替，即可以得到正确结果。

三、数形结合法

对于一些含有几何背景的填空题，若能数中思形，以形助数，则往往可以简捷地解决问题，得出正确的结果。

四、等价转化法

将问题等价地转化成便于解决的问题，从而得出正确的结果。

解决恒成立问题通常可以利用分离变量转化为最值的方法求解。

高一数学复习答疑

问题1:我的基础还可以，上课老师讲的也都能听懂，但是一到自己做就做不出来了，帮忙分析一下原因。

答:数学这个东西是靠着逻辑吃饭的，是靠着逻辑演绎向前推进和发展的。当一个老师把你抱到了逻辑的起点上，告诉你这个逻辑关系是怎样的，比如说饿了就应该找饭吃，下雨了就应该找伞来打，告诉你了这个逻辑规则，你自己肯定会按照逻辑的顺序往前跑，这就叫为什么上课听得懂。

为什么课下自己不会做了呢?是因为课下你找不到逻辑的起点，就像一个运动员空有一身本领，跑得飞快，没有找到起点，没有到起点做好认真的准备，结果人家一发令，你没反应。

有两种学习的模式，一种是靠效仿，老师给我变一个数，出两道类似的练习题，照老师的模子描下来，结果做对了，好象我学会了，这就是效仿的方式来学数学，这种方式在小学是主要手段，在初中，这种手段还占着百分之六七十的分量，但是到了高中就不行了，靠模仿能得到的分数也就是五六十分，其他的分数都要靠你的理解。

所谓理解就是听了老师的一段讲解，看了老师的一个解题过程，你要把他提炼、升华成理性认识，在你的头脑中，应该存下老师讲解的这一段知识和解答的这一道题，他所体现出来的规律性的东西。当你遇到新问题、新试题的时候，你应该拿着这个规律去面对它，这样的话，你就可以把老师讲解的东西很自然地、流畅地用在你的解题里，这就是所谓通过理解，通过顿悟来学习数学。那么高中数学百分之六七十的成分是要靠着这种方式进行学习的。

问题2:我有时候看基础知识的时候定义都没有问题，但是一做题的时候，就转不过来了，耗的时间比较多，怎么办?

答:那你就看看定理、定义、公式都是怎么使用，除了背下它们之外，关键是要把握住这些数学的定义、定理、公式、法则，在解题中是如何运用的，建议你好好从课本出发，如何利用刚才讲的这个定理或者定义去解题的，把它先搞清楚，适当的时候自己做做笔记，问问自己，这个定义是怎么使用的，在这个定理里怎么用的，你自己在旁边注上一两句话。若是一句话也写不出来，显然以后你还不会用。

问题3:现在高考数学题讲究的是通性通法，最后是不是应该加强这方面的训练，再突破一些难题?

答:目前的高考是确实通性通法，但是中等题和难题体现的不完全一样，比如说中等题，在体现通性通法方面就比较暴露，比较直接。

在综合性题目里面，这个通性通法的使用就比较灵活，必须剥掉几层皮之后才能看到。

鉴于这种情况，针对不同层次的同学们，你们对通性通法可以做这样不同层次的追求，比如我市高考数学分数期望值在一百到一百一十几分之间的这样一个档次的，你就要特别注重通性通法在同等题里面的应用，要保证在中等题里面运用通性通法做到万无一失。

如果做得再好一点，你这个分数的期望值完全可以做到的。

在难题里运用通性通法，这个外壳剥不开，个别看不透问题不太大。

如果你期望值是一百二十分以上，甚至达到一百四十几分，相信你在选择填空和中等题方面是有基础和把握的，你们攻克的要点就是通性通法在综合题中间怎么使用，怎么穿破这个迷魂阵，能够剥出里面的，把通性通法用上，这是大家要攻克的，当然这个堡垒比前一个要困难一些。

问题4:老师，关于填空、选择这样小题我现在应该怎样准备?而对于函数数列解析不等式等主体知识，哪部分是现在我应该重点把握的，应该怎样来复习?

答:现在关于选择和填空题，一般的安排是这样，因为我不了解你的学习状况，你的数学水平，所以我只能泛泛的说。

对于一般同学来讲，剩下这四五十天，你可以每天，指的是中等以下，中等或中等以下的同学，每天都做一个选择和填空题的训练，做一次。

如果程度较好的同学你可以两天做一次选择和填空题的训练，这个就是所谓经常热身。另外在热身中，寻求解题的成功率和提高解题速度。

至于说解答题中的属于主体内容的那些大的解答题，应该怎么复习。

首先应该抓住解答题的前三个中等题，一般的考试里面，我们要求考生中等题基本上不丢分，或者丢分不超过5分，看看你是否达到了这个要求。

我们为什么提出这个要求，因为解答题的前三个题，考什么有章可循，题目的难度比最难的选择和填空题都要容易，而且它是凭步骤给分，所以应该说得分是相对较为容易，是我们得分的基础。

至于说最后两道难题，你可以把你做过的属于这个范畴内的题目进行归类和总结，看看这类题的一般解题规律，你在解这类题中的得与失，这样备考也就足够了。

问题5:老师，我现在基础知识还不清楚，现在看高考大纲还能解决问题吗?

答:看考试大纲只是了解高考的考试内容，考试要求，试卷的组成等等，看这个并不能提高你的应试能力，因此还是要回到基础，回到课本上去。

问题6:在考前最后一个月里，数学应该怎样复习才能保证高考能够达到正常的分数?

答:学习方法、准备方法确实是个大问题。大家不要小看这件事情。

比如说，明天就要高考数学了，今天晚上你做什么，如果事先不做好准备，这天晚上过得忙乱的话，想看书看不进去，看书的时候又不知道看哪篇好，是看解析几何还是看代数呢?是看片子呢还是看书呢?还是看参考书呢?

如果事先不计划好，当时很忙乱的话，会给你的心理造成负面影响，使得你当天心理不踏实，晚上睡觉也睡不好，那会直接影响第二天的考试。所以最后这二十几天，学习方法和准备方法是非常非常重要的。

在这里，我给大家关于这方面提几点建议。

第一，应该认识到，就数学知识和数学能力而言，你经过这一年的复习，到了这个时候，基本上已经定型了，你是哪个级别的，那么基本上二十几天不会对这个级别产生更大的变化。因此，我们的工作关键是要把你这一年来复习工作的收获尽量地归纳、提炼、总结。

比如说，我们可以做这样一些工作，按照数学的各个章节，比如说函数，比如三角函数，三角变换，不等式、数列等等，按照课本的这样一个自然的章节顺序，把每一章主要的知识点、基本方法、典型例题，是不是可以做成卡片。

一天做一章，数学有11个左右章节，你11天可以完成这个工作。

这个工作完全之后，有这样的好处，使得我们对知识重新归纳、整理又梳理了一遍，那么知识的网络结构我们就比较清楚了，这一章涉及到的通性通法我也就明白了，再上一点选择例题，作为借鉴，作为参考，这是非常有意义的。

当你做好了这十一张卡片之后，那么你明天高考数学，今天晚上干什么?我就看我自己做的卡片就好了，我把这十几张的卡片从头到尾细细回味一下，冲个澡，踏踏实实睡一觉，因为把数学又重新过了一遍，非常有好处，而且对你大脑的刺激非常明显，短时间内大量的信息进入大脑，使得你对数学的掌握又快又好。这是一个工作要做的，这个工作做好了，对你这二十几天，甚至考前的晚上都会有很好的作用。

其次是你的练习卷子，一定要整理好。按照你做题的先后顺序，把它整理好，装订好。

然后，你就花时间在数学复习里面，就沿着你这一年走过的足迹好好地翻阅你做过的练习，翻阅这个练习，要确定一个主题思想，比如我现在确定这样一个主题，就看我立体几何试题做得如何，那好，这一年做过的卷子，就光看立体几何题，选择填空中的立体几何试题，都看完了，而且一遍做一遍做笔记，这个题亏了，当时做错了，一道题就得了这么一点分，吃亏在什么地方，哪个地方没过来，你想一想，做点笔记，这样的话，这一年走过的足迹，短时间之内在你脑子里又过了一遍电影，好坏得失就归纳开来，这样等于立体集合又复习了一遍。

第二个，可以复习函数或者数列，从知识的角度确定主题，确定十几个、二十几个，一天解决一个。

另外一方面，你的主题可以是考试过程，考试方法和答题技巧，看看这张卷子选择题，你回忆一下当时用了多长时间，第二张卷子当时用了多长时间，一直到最后一张卷子，用了多长时间，看看是不是时间用得越来越少，还有成功率是不是保持在85%左右，如果你能在二十到二十五分钟之内把12道题都做完，而且成功率达到85%，那么我告诉你，祝贺你，高考选择题这一段你已经达到要求了，在选择题上已经有了相当的基础了。

比如说这次考试我是按照题号答的题，看看你的成败得失，下一份试卷是按照我会的题先做，不会的题后做，看看那次考试情况怎么样，总结一下哪个方法最适合你。

另外再看看自己的习惯性错误，比如说数字计算你怎么样，是不是经常马虎啊，数字计算这方面错误多吗?如果多的话，看看都在什么时候发生的，发生在哪一类问题上，恐怕这一年一大摞卷子放在那儿，你就会掌握一个犯错误的基本规律，这样你就有了自知之明，到考场上，一看到又是这样的题，可能会犯错误，小心一点，你就会用非常平常的心微笑地面对这个困难，可能这时候你过去常犯的错误就不会再犯了。

篇2：高一数学函数全解析

老师：同学你好，很高兴可以为你解答。差不多是这样的，导数的基础就是函数，所以在学导数之前把函数的内容再翻看一遍，尤其的函数的图像和单调性。希望我的回答能给你一些帮助。

问题2：请问老师一下，每次做函数题，每次都会有粗心，像这次月考，本来都是会做的，就是因为一些小细节导致错了，应该注意怎么做啊，老师

老师：同学你好，很高兴可以为你解答。做题的时候多注意一些细节方法比如1函数的定义域时刻注意，必须在定义域范围内考虑2取值范围想好开闭3注意数形结合的思想4注意分类讨论5注意抽象函数具体化6注意特殊值验证。希望我的回答能给你一些帮助。

问题3：函数大题求方法

老师：那要看具体是什么样的题了，注意几个重要的思路，比如数形结合，分类讨论等等。

问题4：我从初中就讨厌函数 ，觉得函数好难，老师，有什么学函数的好办法吗

老师：同学你好，很高兴可以为你解答。很能理解，因为函数比较抽象，但是的确很重要，所以尽量克制学好它。要想学好函数，首先必须要会画基本初等函数的图像，然后从图像入手依次解决三要素的题型，图像的变换的题型，零点的题型，性质的题型，而每一部分分别练习基本函数，复合函数，分段函数，抽象函数。希望我的回答能给你一些帮助。

问题5：数学我只有50分，函数我只有20

老师：先从基础学起，公式看不懂的就先背过。会用就行。如果不太会用就去问老师。这时候千万不要胡子眉毛一把抓。会一点，就把它掌握彻底，再往下进行，前面会的知识也要定期练习。

问题6：高一现在，如何学好函数?

老师：同学你好，很高兴可以为你解答。要想学好函数，首先必须要会画基本初等函数的图像，然后从图像入手依次解决三要素的题型，图像的变换的题型，零点的题型，性质的题型，而每一部分分别练习基本函数，复合函数，分段函数，抽象函数。总之函数是基础，高一好好学!希望我的回答能给你一些帮助。

问题7：还有函数易错点一般会在哪里…

老师：同学你好，很高兴可以为你解答。1函数的定义域时刻注意，必须在定义域范围内考虑2取值范围想好开闭3注意数形结合的思想4注意分类讨论5注意抽象函数具体化6注意特殊值验证。希望我的回答能给你一些帮助。

问题8：老师 函数图像怎么判断?复合函数不容易看出来啊怎么办 函数题一般出现在哪里…好像大题目不考啊…函数题考纲方向…请老师明确一下…谢谢老师

老师：同学你好，很高兴可以为你解答。图像就掌握基本函数的图像，然后掌握一些变换，一般一个函数不是基本函数，都是基本函数的四则运算和复合，多观察，肯定能发现的，函数一般出现在小题的后几个，大题是不直接考，但是间接考察的地方有很多，像大题中三角函数本身就是函数，还有导数也用到了函数的基础。希望我的回答能给你一些帮助。

问题9：我现在高三，数学一直都在五六十分，有没有可能突破九十分?学函数最基础的是要学会什么?

老师：同学你好，很高兴可以为你解答。首先你要算一下90分以上，你需要拿下哪些题目，基础的题目或者是难题大题的第一小问，凑够了这些分数。然后利用作业去复习我要掌握的模块，自己还要每段时间做一道之前的题目，我每次都让学生一个星期两套卷子(当然，只做能力范围内的题目，其他该舍弃的舍弃)直到这些模块都掌握了，再开始下一个模块。建立自己的错题本，多做练习。相对来说，函数算是比较难懂的部分，但是也是基础，因为很多模块都用得到。所以最好不要放弃这里，函数从体型上分为函数的三要素，函数的性质，函数的图像，从内容上分为基本初等函数，复合函数，分段函数，抽象函数。要想学好函数，首先必须要会画基本初等函数的图像，然后从图像入手依次解决三要素的题型，图像的变换的题型，零点的题型，性质的题型，而每一部分分别练习基本函数，复合函数，分段函数，抽象函数。

问题10：函数典型题很费劲阿

老师：同学你好，很高兴可以为你解答。是很费劲，因为函数的题目几乎都在填空选择的后几个，所以比较难，要多下功夫!希望我的回答能给你一些帮助。

问题11：函数题的类型

老师：同学你好，很高兴可以为你解答。函数从体型上分为函数的三要素，函数的性质，函数的图像，从内容上分为基本初等函数，复合函数，分段函数，抽象函数。

问题12：数学函数应用题不会做

老师：同学你好，很高兴可以为你解答。函数应用题就是找关系，弄清要求什么， 谁是自变量，找到一个等式关系，再按照要求做就可以了。

问题13：老师我想问怎么学好数学，我的数学总是不及格，特别是函数，对数

老师：同学你好，很高兴可以为你解答。1 熟悉基本的解题步骤和解题方法。2 审题要认真仔细。3 认真做好归纳总结。4 熟悉习题中所涉及的内容。4 熟悉习题中所涉及的内容。6 先易后难，逐步增加习题的难度。

篇3：解析数学中分段函数

一、分段函数的含义

所谓“分段函数”, 习惯上指在定义域的不同部分, 有不同的对应法则的函数, 对它应有以下两点基本认识: (1) 分段函数是一个函数, 不要把它误认为是几个函数; (2) 分段函数的定义域是各段定义域的并集, 值域是各段值域的并集.

二、求分段函数的函数值

{2x (x<0) 槡3 (0≤x≤1) log 13x (x>1) , 求f (f (f (a) ) ) (a<0) .

分析:求分段函数的函数值时, 首先应该确定自变量在定义域中所在的范围, 然后按相应的对应法则求值.f (x) 是分段函数, 要求f (f (f (a) ) ) , 需要确定f (f (a) ) 的取值范围, 为此又需要确定f (a) 的取值范围, 然后根据其所在定义域代入相应的解析式, 逐步求解.

解:因为a<0, 所以f (a) =2a.

规律解答:在解决上述问题时, 一定要注意自变量所处的范围, 然后再代入进行解决.

三、求分段函数的解析式

例2已知奇函数f (x) (x∈R) , 当x>0时, f (x) =x (5-x) +1, 求f (x) 在R上的表达式.

分析:本题可分段进行分析解答, 即分为x<0和x=0来讨论.

解:因为f (x) 是定义在R上的奇函数, 所以f (0) =0;

当x<0时, -x>0, 故有f (-x) =-x[5- (-x) ]+1=-x (5+x) +1,

所以f (x) =-f (-x) =x (5-x) -1;所以

规律解答:对于分段函数的解析式, 尤其要注意在定义域内求出分段函数的解析式.

四、分段函数的图象

例3已知函数f (x) =|x2-2x-3|的图象与直线y=a有且仅有3个交点, 求a的值.

分析:本题可利用数形结合直观地解决.

解:因为f (x) =| (x-1) 2-4|=| (x+1) (x-3) |.所以

通过结合图1, 则容易知道a=4.

规律解答:注意要画正确分段函数的图象, 可通过数形结合解决.

五、分段函数的最值

例4求函数的最大值、最小值.

分析:可作图比较在各段上的最值, 从而确定函数的最大值和最小值.

解:函数y=f (x) 的图象如图2, 当4≤x≤8时, f (x) 的最大值为8, 当x=0时, f (x) 的最小值为f (0) =0.

篇4：浅析高中数学三角函数解析技巧

[关键词]高中数学；三角函数；解析技巧

·【中图分类号】G634.6

数学是一门非常神奇的学科，而三角函数在数学当中，也可以说是一个比较特殊的知识点，在一些综合数学题中，采用三角函数解题可能相对来说更简单，但是对这些复杂的题，我们通常要使用三角函数去解，除了对三角函数知识的掌握度必须要非常的熟悉外，还应该具备一定的解题技巧，这样才能灵活自如的用三角函数去解一些复杂的题。

一、高中数学三角函数的特点

三角函数从字面上来理解，就是与角度有关的一些数学知识，高中数学所学的三角函数知识，是从易到难的，学生开始学习三角函数的时候，学的是一些比较简单的三角函数值，就是以角度为自变量，正弦、余弦、正切函数为因变量的函数，而且涉及到的都是一些简单的函数变化值，例如：sin30°=1/2，tan45°=1，sin25°=cos75°等一些简单函数的数值计算。三角函数可以说贯穿了整个高中数学知识的学习中，学习了简单的三角函数之后，学生还会接触到一些三角恒等式，例如：两角和、差公式、和差化积、积化和差、倍角公式等，这些其实还是属于简单函数的运算，遇到这类题目，只要学生掌握好了公式，就可以将答案解出来。

图形是三角函数的一大特点，基本上每个三角函数都可以用图形表示出来，一些特殊的函数，图形上都会有具体的值，一些不常见的函数，也可以用大概的图，清晰的将函数表示出来，随着学习难度的加大，知识的复杂，会出现一些“双曲线函数”，将三角函数与空间几何、解析几何、虚数、复数等内容结合在一起，一般出现这类综合函数题，我们中的很多人都无法下笔。总之，高中数学三角函数可以很简单，也可以很复杂，但是学生一定要掌握好相关知识，结合一些解析技巧，这样在遇到题目的时候，才能从容的解答。

二、高中数学三角函数解析技巧

1、学会运用数形结合法

三角函数与图形是息息相关的，而且我们从做题中可以发现，除了一些运算比较简单、条件也比较直观，我们可以直接运算出来的选择题之外，很多三角函数题都是有图形的，而且每个三角函数本身就代表了一个图形。我们在平时学习三角函数的过程中，一定要养成画图的习惯，这样在做题的过程中，遇到比较复杂不能直接得出答案的题目，就尝试用数形结合法去解析。当然，采用数形结合法是需要前提的，学生一定要牢牢掌握好三角函数的定义和特征，这样才能避免做题画图时出现错误。雖然三角函数学到后面，很多学生都会认为非常难，但是只要学生掌握好了规律，就会清楚的了解到三角函数归根结底，还是那三种简单函数演变过来的，即：正弦、余弦、正切函数，只是演变过程可能相对来说有点复杂，数形结合法对于简化复杂函数是非常有效的，也是解析三角函数非常有效的方法之一。

2、掌握一些特殊三角函数、学会“投机取巧”

三角函数的知识虽然有很多难点，但是在解题时，还是有很多技巧可以用的，特别是对于选择题，在三角函数学习的过程中，教师都列出一些特殊函数的值或者是图像，让学生一定要掌握的，理解能力较好的学生，可以采用理解记忆法，而理解能力不好的学生，死记硬背也是要背出来的。掌握了这些特殊三角函数，遇到比较复杂的选择题时，可以直接采用特殊值法排除不在答案范围内的选项，可以提高正确几率，遇到比较复杂的大题时，特殊三角函数值法其实也是一个比较可取的做题方法，虽然有点“投机取巧”，但是一些正确采用这种方法做题，就最后答案基本上是不会错的，而且就三角函数而言，特殊值法其实也可以算是一种比较常用的解题方法。

3、熟悉三角函数的解题步骤、解题时巧妙运用

学生在学习三角函数或者平时做相关练习题的时候，不难发现，其实三角函数类型的题目，很多都有着相似的解题步骤，特别是一些比较经典的题型，而且高考数学，并不是与三角函数沾边的题都会特别难。例如：三角函数的五点作图，这是数学试卷中经常会出现的一类题目，解题步骤其实非常明确的，学生可以在平时的学习中熟悉掌握好一些典型三角函数的解题步骤，在考试中巧妙运用即可。

例题：利用五点作图法画出y=3sin（2x+π/3）的图形。解析：此函数是由简单函数y=sinx转化过来的，只要知道y=Asin（ωx+φ）中A、ω、φ分别代表的意思，就可以找出五个特殊值，其中此图形的周期T=2π/ω=π，φ=π/3是代表此图形是由y=sinx向左平移π/3个单位，ω=2横坐标缩小到原来的1/2倍，A=3纵坐标扩大到原来的3倍得到的，再将2x+π/3=-π、-π/2、0、π/2、π分别解出x，五个值对应的x就是五个点的横坐标，之后再求出纵坐标y，在图形上描出五个点，按照y=sinx的图形方向画出来即可。

三、结语

三角函数在高中数学中是非常重要的，只要学生掌握好有关知识，熟悉解题步骤，在遇到三角函数题时，就能迎刃而解了。

[参考文献]

[1] 葛贻文.如何有效提高三角函数解题技巧的课堂教学[J].理科考试研究，2014（08）

篇5：高一数学对数函数教案

1. 通过具体实例，直观了解对数函数模型所刻画的数量关系，初步理解对数函数的概念，体会对数函数是一类重要的函数模型;

2. 能借助计算器或计算机画出具体对数函数的图象，探索并了解对数函数的单调性与特殊点;

3. 通过比较、对照的方法，引导学生结合图象类比指数函数，探索研究对数函数的性质，培养数形结合的思想方法，学会研究函数性质的方法.

旧知提示

复习：若 ，则 ，其中 称为 ，其范围为 ， 称为 .

合作探究(预习教材P70- P72，找出疑惑之处)

探究1：元旦晚会前，同学们剪彩带备用。现有一根彩带，将其对折后，沿折痕剪开，可将所得的两段放在一起，对折再剪段。设所得的彩带的根数为 ，剪的次数为 ，试用 表示 .

新知：对数函数的概念

试一试：以下函数是对数函数的是( )

A. B. C. D. E.

反思：对数函数定义与指数函数类似，都是形式定义，注意辨别，如： ， 都不是对数函数，而只能称其为对数型函数;对数函数对底数的限制 ，且 .

探究2：你能类比前面讨论指数函数性质的思路，提出研究对数函数性质的内容和方法吗?

研究方法：画出函数图象，结合图象研究函数性质.

研究内容：定义域、值域、特殊点、单调性、最大(小)值、奇偶性.

作图：在同一坐标系中画出下列对数函数的图象.

新知：对数函数的图象和性质：

象

定义域

值域

过定点

单调性

思考：当 时， 时， ; 时， ;

当 时， 时， ; 时， .

典型例题

例1求下列函数的定义域：(1) ; (2) .

例2比较大小：

(1) ; (2) ; (3) ;(4) 与 .

课堂小结

1. 对数函数的概念、图象和性质;

2. 求定义域;

3. 利用单调性比大小.

知识拓展

对数函数凹凸性：函数 ， 是任意两个正实数.

当 时， ;当 时， .

学习评价

1. 函数 的定义域为( )

A. B. C. D.

2. 函数 的定义域为( )

A. B. C. D.

3. 函数 的定义域是 .

4. 比较大小：

(1)log 67 log 7 6 ; (2) ; (3) .

课后作业

1. 不等式的 解集是( ).

A. B. C. D.

2. 若 ，则( )

A. B. C. D.

3. 当a1时，在同一坐标系中，函数 与 的图象是( ).

4. 已知函数 的定义域为 ，函数 的定义域为 ，则有( )

A. B. C. D.

5. 函数 的定义域为 .

6. 若 且 ，函数 的图象恒过定点 ，则 的坐标是 .

7.已知 ，则 = .

8. 求下列函数的定义域：

2.2.2 对数函数及其性质(2)

学习目标

1. 解对数函数在生产实际中的简单应用;2. 进一步理解对数函数的图象和性质;

3. 学习反函数的概念,理解对数函数和指数函数互为反函数,能够在同一坐标上看出互为反函数的两个函数的图象性质.

旧知提示

复习1：对数函数 图象和性质.

a1 0

图性质

(1)定义域：

(2)值域：

(3)过定点：

(4)单调性：

复习2：比较两个对数的大小：(1) ; (2) .

复习3：(1) 的定义域为 ;

(2) 的定义域为 .

复习4：右图是函数 ， ， ， 的图象，则底数之间的关系为 .

合作探究 (预习教材P72- P73，找出疑惑之处)

探究：如何由 求出x?

新知：反函数

试一试：在同一平面直角坐标系中，画出指数函数 及其反函数 图象，发现什么性质?

反思：

(1)如果 在函数 的图象上，那么P0关于直线 的对称点在函数 的图象上吗?为什么?

(2)由上述过程可以得到结论：互为反函数的两个函数的图象关于 对称.

典型例题

例1求下列函数的反函数：

(1) ; (2) .

提高：①设函数 过定点 ，则 过定点 .

②函数 的反函数过定点 .

③己知函数 的图象过点(1，3)其反函数的图象过点(2，0)，则 的表达式为 .

小结：求反函数的步骤(解x习惯表示定义域)

例2溶液酸碱度的测量问题：溶液酸碱度pH的计算公式 ，其中 表示溶液中氢离子的浓度，单位是摩尔/升.

(1)分析溶液酸碱度与溶液中氢离子浓度之间的变化关系?

(2)纯净水 摩尔/升，计算其酸碱度.

例3 求下列函数的值域：(1) ;(2) .

课堂小结

① 函数模型应用思想;② 反函数概念.

知识拓展

函数的概念重在对于某个范围(定义域)内的任意一个自变量x的值，y都有唯一的值和它对应. 对于一个单调函数，反之对应任意y值，x也都有惟一的值和它对应，从而单调函数才具有反函数. 反函数的定义域是原函数的值域，反函数的值域是原函数的定义域，即互为反函数的两个函数，定义域与值域是交叉相等.

学习评价

1. 函数 的反函数是( ).

A. B. C. D.

2. 函数 的反函数的单调性是( ).

A. 在R上单调递增 B. 在R上单调递减

C. 在 上单调递增 D. 在 上单调递减

3. 函数 的反函数是( ).

A. B. C. D.

4. 函数 的值域为( ).

A. B. C. D.

5. 指数函数 的反函数的图象过点 ，则a的值为 .

6. 点 在函数 的反函数图象上，则实数a的值为 .

课后作业

1. 函数 的反函数为( )

A. B. C. D.

2. 设 ， ， ， ，则 的大小关系是( )

A. B. C. D.

3. 的反函数为 .

4. 函数 的值域为 .

5. 已知函数 的反函数图象经过点 ，则 .

6. 设 ，则满足 的 值为 .

7. 求下列函数的反函数.

篇6：高一数学函数教案24

教学目的：

1．使学生适应各学科的横向联系.2.能够建立一些物理问题的数学模型.3.培养学生分析问题、解决问题的能力.教学重点：数学建模的方法

教学难点：如何把实际问题抽象为数学问题.教学过程：

一、例题

例1（课本第86页 例2）设海拔 x m处的大气压强是 y Pa，y与 x 之间的函数关系式是 ycekx，其中 c，k为常量，已知某地某天在海平面的大气压为1.01105Pa，1000 m高空的大气压为0.90105Pa，求：600 m高空的大气压强。（结果保留3个有效数字）

解：将 x = 0 , y =1.01105；x = 1000 , y =0.90105，代入 ycekx得：

(1)1.01105cek0c1.01105 5k100051000k(2)0.9010ce0.9010ce 将(1)代入(2)得：

0.901051.01105e1000kk10.90ln 10001.014 计算得：k1.15104 ∴y1.01105e1.1510

将 x = 600 代入, 得：y1.01105e1.151044600

计算得：y1.01105e1.1510＝0.943×105(Pa)答：在600 m高空的大气压约为0.943×105 Pa.说明：（1）此题利用数学模型解决物理问题；（2）需由已知条件先确定函数式；（3）此题实质为已知自变量的值，求对应的函数值的数学问题；（4）此题要求学生能借助计算器进行比较复杂的运算.例2在测量某物理量的过程中，因仪器和观察的误差，使得n次测量分别得到a1,a2,„„, an共n个数据，我们规定所测量的物理量的“最佳近似值”a是这样一个量：与其他近似值比较a与各数据差的平方和最小.依次规定，从a1,a2,„„, an推出的a=________.(1994年全国高考试题)分析：此题应排除物理因素的干扰，抓准题中的数量关系，将问题转化为函数求最值问题.解：由题意可知，所求a应使y=(a-a1)2+(a-a2)2+„+(a-an)2 最小 由于y=na2-2(a1+a2+„+an)a+(a12+a22+„+an2)若把a看作自变量，则y是关于a的二次函数，于是问题转化为求二次函数的最小值.因为n＞0,二次函数f(a)图象开口方向向上.1当a=(a1+a2+„+an)，y有最小值.n1所以a=(a1+a2+„+an)即为所求.n说明：此题在高考中是具有导向意义的试题，它以物理知识和简单数学知识为基础，并以物理学科中的统计问题为背景，给出一个新的定义，要求学生读懂题目，抽象其中的数量关系，将文字语言转化为符号语言，即

y=(a-a1)2+(a-a2)2+„+(a-an)2，然后运用函数的思想、方法去解决问题，解题关键是将函数式化成以a为自变量的二次函数形式，这是函数思想在解决实际问题中的应用.例3某种放射性元素的原子数N随时间t的变化规律是N=N0et,其中N0，λ是正的常数.（1）说明函数是增函数还是减函数；（2）把t表示成原子数N的函数；（3）求N当N=0时，t的值.2解：（1）由于N0＞0,λ＞0，函数N=N0et是属于指数函数y=ex类型的，所以它是减函数，即原子数N的值随时间t的增大而减少（2）将N=N0et写成et=

N N0根据对数的定义有-λt=ln所以t=-1N N01NN11(3)把N=0代入t=(lnN0-lnN)得t=(lnN0-ln0)2211=(lnN0-lnN0+ln2)= ln2.

二、练习：

1．如图，已知⊙O的半径为R，由直径AB的端点B作圆的切线，从圆周上任一点P引该切线的垂线，垂足为M，连AP设AP=x ⑴写出AP+2PM关于x的函数关系式 ⑵求此函数的最值 解：⑴过P作PDAB于D，连PB 设AD=a则x22Ra

x2x2a PM2R

2R2R(lnN-lnN0)=(lnN0-lnN)

x2∴f(x)AP2PMx4R(0x2R)

R1R17R(x)2 R2417R当x时f(x)maxR

42⑵f(x) P D C B A D O A 当x2R时f(x)min2R

2．距离船只A的正北方向100海里处有一船只B，以每小时20海里的速度，沿北偏西60角的方向行驶，A船只以每小时15海里的速度向正北方向行驶，两船同时出发，问几小时后两船相 距最近？

解：设t小时后A行驶到点C，B行驶到点D，则BD=20 BC=100-15t 过D作DEBC于E DE=BDsin60=103t BE=BDcos60=10t ∴EC=BC+BE=100-5t CD=DE2CE2∴t=103t21005t=325t21000t10000

220203时CD最小，最小值为200，即两船行驶小时相距最近。

1313133．一根均匀的轻质弹簧，已知在600N的拉力范围内，其长度与所受拉力成一次函数关系，现测得当它在100N的拉力作用下，长度为0.55m,在300N拉力作用下长度为0.65，那么弹簧在不受拉力作用时，其自然长度是多少？ 解：设拉力是 x N(0≤x≤600)时，弹簧的长度为 y m

0.55100kbk0.0005 设：y = k x + b 由题设： 0.65300kbb0.50 ∴所求函数关系是：y = 0.0005 x + 0.50 ∴当 x = 0时，y = 0.50 , 即不受拉力作用时，弹簧自然长度为 0.50 m。

篇7：高一数学函数教案21

1．掌握对数的运算性质，并能理解推导这些法则的依据和过程； 2．能较熟练地运用法则解决问题； 教学重点：对数运算性质

教学难点：对数运算性质的证明方法.教学过程：

一、复习引入：

1．对数的定义 logaNb 其中 a (0,1)(1,)与 N(0,)。2．指数式与对数式的互化

3.重要公式：

⑴负数与零没有对数； ⑵loga10，logaa1 ⑶对数恒等式alogaNN

amanamn(m,nR)4．指数运算法则(am)namn(m,nR)

(ab)nanbn(nR)

二、新授内容：

1.积、商、幂的对数运算法则：

如果 a > 0，a  1，M > 0，N > 0 有： loga(MN)logaMlogaN(1)MlogalogaMlogaN(2)

NlogaMnnlogaM(nR)(3)运算法则推导 用定义法：运用转化的思想，先通过假设，将对数式化成指数式，并利用幂的运算性质进行恒等变形；然后再根据对数定义将指数式化成对数式。（推导过程略）注意事项： 1语言表达：“积的对数 = 对数的和”„„（简易表达——记忆用）2注意有时必须逆向运算：如 log105log102log10101 3注意定义域： log2(3)(5)log2(3)log2(5)是不成立的log10(10)22log10(10)是不成立的 4当心记忆错误：loga(MN)logaMlogaN

loga(MN)logaMlogaN 2.常用对数的首数和尾数（大纲未要求，只用实例介绍）

科学记数法：把一个正数写成10的整数次幂乘一位小数的形式，即

若N>0,记N10nm,(nZ,1m10)，则lgN=n+lgm,其中nZ,0lm1;这就是说，任何一个正数的常用对数都可以写成一个整数加上一个零或正纯小数的形式.我们称这个整数为该对数的首数，这个零或正纯小数为该对数的尾数.如：已知lg1.280.1070,则

三、例题：

例1 计算

（1）log525，（2）log0.41，（3）log2（47×25），（4）lg5100 例2 用logax，logay，logaz表示下列各式：

lg128lg(1021.28)20.10702.1070;lg0.00128lg(101.28)30.10703.10703

xy(1)loga;z例3计算：(1)lg14-2lg

(2)logax2y3z

7lg243lg27lg83lg10+lg7-lg18(2)(3)3lg9lg1.2(1)分别用对数运算性质和逆用运算性质两种方法运算（答案：0）.lg243lg355lg35(2)2lg92lg32lg3lg27lg83lg10lg(3)lg23lg(10)322lg1.2lg10

四、课堂练习：课本P78 1，3

1.用lgｘ，lgｙ，lgｚ表示下列各式：(3)1323123(lg32lg21)32

lg32lg212xy2xy3x(1)lg（xyz）；（２）lg；（３）lg；（４）lg2

zyzz

2.求下列各式的值：

（１）log2６－log2３（２）lg５＋lg２（４）log3５－log3１５

篇8：高一数学“集合与函数”导入探究

一、“集合”——举例导入法

与初中相比, 高中的学习有一些新的特点, 本节内容属于抽象、概括性强的学科知识, 而且又是高中数学的起始课, “良好的开端是成功的一半”, 如何引入, 将是我们这节课及以后的数学教学成功、顺利的关键。

本节开篇的引入, 可以学生已从小学和初中课本中接触过的“集合”实例入手。例如:代数方面, 自然数的“集合”, 有理数的“集合”, 正数的“集合”, 负数的“集合”, 一元一次不等式2x-3>1解的“集合”等。几何方面, 从圆的概念、角平分线的概念等方向引入。从代数、几何两个方向简明扼要地复习旧知识, 既巩固了旧知识, 又起到承前启后的作用, “温故而知新”, 进而引出“集合”概念, 接着举出两个实例。如:

班上所有的男生;班上所有个子较高的女生。

通过举例, 使学生加深对“集合”概念的理解, 进而更加牢固的掌握”集合”的概念。这种“旧知识导入法”是我们教学中常见的方法。

二、“集合”的基本关系——类比导入法

通过上节对“集合”的学习, 学生对”集合”有了初步了解后, 对于”集合”的基本关系的导入相对来说就较容易了。教学本节内容, 我们可以采用“类比导入法”, 通过实数之间的相等关系、大小关系 (如:1=1, 2>0, 5<7) 、类比实数之间的关系, 对学生提出问题:

“集合”与“集合”之间有什么关系?集合是否和实数一样也有相等、大小关系?如果存在这种关系, 我们如何用数学化的语言把它表达出来?通过这样的问题, 向学生设置悬念, 让其思考后, 再举两例:

例1:A={1, 2, 3, 4, 5, 6}, B={1, 2, 3}

例2:A={我们班上的所有男同学},

B={我们班上的所有同学}

让学生观察这两个例子有什么特征, 从而引出“集合”间的基本关系。

三、“集合”的基本运算——悬念导入法

根据中学生追根求源的心理特点, 巧妙设疑激趣, 能诱导他们自己发现问题, 分析问题, 解决问题。

我们知道, 实数有加法、减法等运算, 类比实数的运算, 那么, 集合与集合之间是否也存在一种运算关系?且看下面这个问题:

学校先举办了一次田径运动会, 某班有8名同学参赛。又举办了一次球类运动会, 该班有12名同学参赛。问:两次运动会, 这个班共有多少名同学参赛?

学生往往会回答20名:对吗?

由此分析, 引出交集与并集的概念, 再通过分析参赛同学数量, 画出维恩图, 既引起学生注意, 也容易令学生掌握交集、并集的区别与联系。这样做, 突出了“数学知识来源于生活, 有服务于生活”的教学目标。

四、“函数”的概念——旧知识导入法

学生在初中已学了正比例函数、反比例函数、一次函数、二次函数等具体的函数, 因此我们可以采取旧知识导入法, 让学生回忆初中对函数的定义:设在一个变化过程中有两个变量与, 如果对于的每一个值, 都有唯一的值与他对应, 那么说是的函数, 叫着自变量, 叫因变量。基于此, 向学生提出两个思考题:

问题一:y=1 (xεR) 是函数吗?

问题二:y=x与y=是同一函数吗?

通过这两个问题, 让学生思考, 产生求知欲。显然, 仅用我们初中学习的函数的定义, 是很难解决这样的问题的。为此, 我们借助前面所学的“集合”知识, 设两个非空有限集合A与B的元素之间存在一种对应关系, 引出”集合”的概念。

另外, 我们还可以借助初中物理中自由落体运动y=21gx2的知识, 介绍伽利略在研究自由落体运动时的思想及方法, 从而引出数学建模的思想, 使学生能够对数学建模方法有一个直观、具体的认识, 进而培养他们的发散思维能力与数学建模思想。

五、“函数”的基本性质——直观导入法

本节的导入, 主要从生活实例中的函数图形入手, 如以前所学习的二次函数图象、气候变化图像等。通过数形结合的教学方式, 达到以下目的:引导学生通过观察、归纳、概括, 自主建构基本性质相关概念, 并运用函数的基本性质解决简单的问题;让学生领会数形结合的数学思想方法, 培养学生发现问题、分析问题、解决问题的能力。在函数的基本性质学习中, 使学生体验数学的科学价值和应用价值, 培养学生善于观察、勇于探索的良好习惯和严谨的科学态度。

总之, 新课标的广泛运用, 在促进教育事业发展的同时, 也对教育者形成巨大的挑战。从传统的教学方式转变到现在的创新性教育。根据不同的知识, 利用不同的导入方法, 可以为教师对一堂课的设计增添色彩。

摘要：“集合与函数”是高中数学的入门课, 也是一个基础问题。上好它, 对于引导学生顺利步入高中数学学习, 激起学生学习数学兴趣, 起着至关重要的作用。教师必须高度重视。本文主要针对人教版A版教材, 结合学生的心理特点, 以及新课标的的教育思想, 对“集合与函数”进行系统的导入分析。

关键词：集合与函数,导入技能

参考文献

[1]洪丽敏, 福建省南安一中数学组, 数学通报, 2006年第45卷第7期.

[2]赵食团, 陕西生态校园网, 如何进行新课程理念下的中学数学教http://shengtai.snedu.com/newsshow.php?id=56852.

[3]张红欣, 龙源期刊网, 高中数学课堂教学导入方法的研究.http://www.qikan.com.cn/Article/jxsh/jxsh201005/jxsh201005128.html.

[4]三年级上 (北师大第五册书籍) 数学教学反思.http://yujuan.71901.blog.163.com/blog/static/69417832010928111936807/.