函数奇偶性教案免费

函数奇偶性教案免费（共11篇）

篇1：函数奇偶性教案免费

函数的奇偶性

授课教师——李振明

授课班级——高一（8）

教学目的：

1、使学生理解函数的奇偶性的概念，并能判断一些简单函数的奇偶性；

2、进一步培养学生分析问题和解决问题的能力。教学重点和难点： 函数奇偶性的判断

一、引入新课： 题1：已知函数f(x)=3x 画出图形，并求： f(2),f(-2),f(-x)。

题2：已知函数g(x)= 2x2画出图形，并求： g(1),g(-1),g(-x)。

考察：f(x)与f(-x)，g(x)与g(-x)之间的关系是什么？

二、定义：对于函数f(x),在它的定义域内，任

意一个x.①如果都有f(-x)=f(x)，则函数f(x)叫做奇函数。②如果都有f(-x)=f(x)，则函数f(x)叫做偶函数。

三、例：判断下列函数的奇偶性

① f(x)=x5+x ② f(x)=x4-x2 ③ f(x)=3x+1 定理:

1、性质：奇函数的图象关于原点对称。偶函数的图象关于y轴对称。

２、如果一个函数的图象关于原点对称，那么这个函数是奇函数。

如果一个函数的图象关于y轴对称，那么这个函数是偶函数。

四、巩固练习

（1）如果对于函数f(x)的(任意一个X)，都有(f(-x)=f(x))，那么函数f(x)就叫做偶函数。

如果对于函数f(x)的（任意一个X），都有（f(-x)=f(x)），那么函数f(x)就叫做奇函数。

（2）奇函数的图象关于（关于原点）对称，偶函数的图象关于（y轴对称）对称。

（3）已知函数y = f(x)是奇函数，如果f(a)=1那么f(－a)=（-1）（4）.在下列各函数中，偶函数是（B）

（5）函数f(x)＝|x＋2|－|x－2|的奇偶性是（A）

A．奇函数

B．偶函数

C．既是奇函数又是偶函数 D．既不是奇函数又不是偶函数

四、小结

1、定义：对于函数f(x),在它的定义域内，把任 意一个x换成－x，（x,－x都在定义域）。

①如果都有f(－x)=f(x)，则函数f(x)叫做奇函数。②如果都有f(－x)=f(x)，则函数f(x)叫做偶函数。

2、性质:奇函数的图象关于原点对称。

偶函数的图象关于y轴对称。如果一个函数的图象关于原点对称，那么这个函 数是奇函数。

如果一个函数的图象关于y轴对称，那么这个函 数是偶函数。

五、课后思考题

已知函数f(x)=(m2-1)x2 +(m-1)x+n+2，则当m、n为何值时，为奇函数

f(x)

篇2：函数奇偶性教案免费

教学目标

1．知识与技能：

理解函数的奇偶性及其几何意义；学会运用函数图象理解和研究函数的性质；学会判断函数的奇偶性；

2．过程与方法：

通过函数奇偶性概念的形成过程，培养学生观察、归纳、抽象的能力，渗透数形结合的数学思想．

3．情态与价值：

通过函数的奇偶性教学，培养学生从特殊到一般的概括归纳问题的能力．

教学重点和难点

教学重点：函数的奇偶性及其几何意义 教学难点：判断函数的奇偶性的方法

教学过程：

一：引入课题

观察并思考函数

以及y=|x|的图像有哪些共同特征？这些特征在函数值对应表是如何体现的？（学生自主讨论）根据学生讨论的结果推出偶函数的定义。

偶函数

一般地，对于函数f(x)的定义域内的任意一个x，都有f(x)f(x)，那么f(x)就叫做偶函数．

（学生活动）

依照偶函数的定义给出奇函数的定义．

奇函数

一般地，对于函数f(x)的定义域的任意一个x，都有f(x)f(x)，那么f(x)就叫做奇函数．

注意：

1．具有奇偶性的函数的图像的特征：

偶函数的图像关于y轴对称；奇函数的图像关于原点对称．

2．由函数的奇偶性定义可知，函数具有奇偶性的一个必要条件是，对于定义域内的任意一个x，则x也一定是定义域内的一个自变量（即定义域关于原点对称）． 二：例题讲解

例1．判断下列函数是不是具有奇偶性．（1）f(x)2x3x[1,2]

2（2）f(x)xxx1

例2．判断下列函数的奇偶性

（1）f(x)x4

（2）f(x)x5

（3）f(x)x总结：利用定义判断函数奇偶性的格式步骤： 首先确定函数的定义域，并判断其定义域是否关于原点对称； ○2 确定f(－x)与f(x)的关系； ○3 作出相应结论： ○若f(－x)= f(x)或 f(－x)－f(x)= 0，则f(x)是偶函数；

若f(－x)=－f(x)或 f(－x)＋f(x)= 0，则f(x)是奇函数．

三：课堂练习

课本P36习题1

利用函数的奇偶性补全函数的图象（教材P41思考题）

规律：偶函数的图象关于y轴对称；

奇函数的图象关于原点对称．

1x

（4）f(x)1x2

四：归纳小结，强化思想

本节主要学习了函数的奇偶性，判断函数的奇偶性通常有两种方法，即定义法和图象法，用定义法判断函数的奇偶性时，必须注意首先判断函数的定义域是否关于原点对称．单调性与奇偶性的综合应用是本节的一个难点，需要学生结合函数的图象充分理解好单调性和奇偶性这两个性质．

五：作业布置

1．作业：判断下列函数的奇偶性： f(x)○2x2xx122f(x)；

○

x(1x)x0,x(1x)x0.f(x)x32x ；

○4 f(x)a

（xR）○

篇3：函数奇偶性小议

一、定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的前提条件, 然而这一点却往往被许多学生所忽略。

例1:判断下列函数的奇偶性:

解析: (1) 由于函数定义域为[0, +∞) , 没有关于原点对称, 故该函数既不是奇函数也不是偶函数。

(2) 此题若忽略了函数定义域而直接求f (-x) , 则很难与f (x) 进行比较判断, 最后甚至误认为是非奇非偶函数。事实上, 函数定义域为[-2, 0) ∪ (0, 2], 满足关于原点对称, 此时函数可进一步化简为, 易知有f (-x) =-f (x) , 故函数为奇函数。

例2:偶函数f (x) 的定义域为 (k, 2k+3) , 则函数g (x) = (k+2) x2+ (k-1) x+3的单调递减区间为_____。

解析:f (x) 既是偶函数, 则其定义域必关于原点对称, 于是k+2k+3=0, 得k=-1, 从而g (x) =x2-2x+3, 单调递减区间为 (-∞, 1]。

二、函数奇偶性除了注意其定义域之外, 判定时也应注意形式多变, 方法多样, 只有做到对症下药, 解题时才可以得心应手。

例3:判断下列函数的奇偶性:

注:第 (1) 题应注意函数奇偶性定义的等价形式的应用:;第 (2) 题则应注意分子有理化在根式化简中的应用。

例4:定义在R上的函数f (x) 满足:对任意的x, y∈R, 都有f (x+y) =f (x) -f (y) , 证明函数f (x) 为偶函数。

解析:对抽象函数奇偶性的说明仍需比较f (-x) 与f (x) 的关系, 依题意, 令x=y=0, 可得f (0) =0, 再令y=-x, 则f (0) =f (x) - (-x) =0, 即f (-x) =f (x) , 所以f (x) 为偶函数。

三、函数奇偶性有着较多的性质, 在解题中有着广泛灵活的运用。

例5:已知函数是奇函数, 则a的值为_____。

解析:若直接采用f (-x) =-f (x) 两边进行比较求解, 很难得出结果。

方法二:利用奇函数的性质f (0) =0 (当x=0时函数有意义) , 即得:。

例6:若f (x) 为奇函数, 且在 (-∞, 0) 内是增函数, 又f (-2) =0, 则xf (x) <0的解集为 () 。

A. (-2, 0) ∪ (0, 2)

B. (-∞, -2) ∪ (0, 2)

C. (-∞, -2) ∪ (2, +∞)

D. (-2, 0) ∪ (2, +∞)

解析:本题可根据题设条件先作出函数f (x) 在 (-∞, 0) 内的大致图像, 如上图, 由对称性 (奇函数的图像关于原点对称) 及单调性 (在 (-∞, 0) 内是增函数) 得出f (x) 在 (0, +∞) 的图像, 如上图。∵f (x) 为奇函数, 且f (-2) =0, ∴f (2) =0。由图像可知:当-20, ∴xf (x) <0;当0

例7:设f (x) 是奇函数, g (s) 是偶函数, 且f (x) -g (x) =x2-x, 求f (x) 与g (x) 的表达式。

篇4：函数的奇偶性

科目：数学

年级：高一年级

内容：普通高中课程标准实验教科书人教A版1.3.2节函数的性质——奇偶性

函数奇偶性的概念形成，以及性质的简单应用（1课时）

奇偶性是函数的重要性质之一，它是通过函数的图象来研究得出的一个概念，实际上反映的是函数图像的一种对称，而我们所研究的数学领域存在着大量的对称美，因此也可以借此培养学生对数学对称美的认识，提高他们对数学的理解能力。

二、教学目标分析

知识与技能：通过对图象的理解，充分经历函数奇偶性这个概念的形成过程；会判断一些简单函数的奇偶性；初步学会运用函数图象理解和研究函数的性质。

过程与方法：经历函数的奇偶性这个概念的形成过程，掌握判断函数奇偶性的方法。

情感·态度·价值观：通过本节内容的学习，认识数学中的对称美，陶冶他们热爱数学、欣赏数学的情操。并且让他们对数学的认识不只是停留在对图象的表面理解，让他们对数学有更进一步的认识，提高到理论层次的认识。

三、学生特征分析

通过平时的观察、了解以及测试，学生的基础处于一个理解和简单应用的水平，不能拔高要求。不过在这之前，学生已经学习了函数的单调性，掌握了单调性概念的形成过程，也会利用单调性求函数的最值，所以为利用化归的数学思想方法来理解函数的奇偶性打下了一个良好的基础。

四、教学策略选择与设计

本课题设计的基本理念：充分利用熟悉的函数的图象来形成概念，然后利用形成的数学概念来研究更多函数的奇偶性。

主要采用的教学与活动策略：

1.复习、总结数学里的一些简单对称，如中心对称、轴对称。

3.从对图象的理解来抽象出数学中奇函数和偶函数的定义。

4.利用函数的解析式来判定函数的奇偶性，并掌握基本的判定步骤。

5.奇偶性在其他方面的应用。

策略实施过程中的关键问题：

1.从图形的理解到抽象的数学概念形成，学生理解有点难度。

2.对奇函数和偶函数概念的理解应用。

五、教学资源与工具设计

多媒体教学，充分利用几何画板和电教平台。

教学参考：教材、《教师教学用书》、《新课程导学》、《新教材，新学案》、《学海导航》等等。

六、教学过程

（一）复习总结

1.点（1，2）关于y轴的对称点是 。点（1，2）关于x轴的对称点是 。点（1，2）关于原点的对称点是 。

2.一般地：点P（x，y）关于y轴的对称点是P1（-x，y），关于x轴的对称点是P2（-x，y），关于原点的对称点是 。

3.一般地：对于函数y=f（x），其图象上一点P（xf（x））关于y轴的对称点为P1 ，关于x轴的对称点为P2 ，关于原点的对称点为P3 。

八、帮助和总结

探究：已知函数f（x）满足：对任意的x、y都有f（x）+f（y）=f（x+y），试判断函数f（x）的奇偶性。

篇5：函数的奇偶性(教案)

教学目标：

1、理解并掌握偶函数、奇函数的概念；

2、熟悉掌握偶函数、奇函数的图像的特征；

3、会证明一些简单的函数的奇偶性。

教学重点：偶函数、奇函数的概念，判断函数的奇偶性； 教学难点：函数的奇偶性的定义的理解。教学过程：

1、创设情境，直观感受

（1）请同学们欣赏图片，并根据图片说一说这些图片具有怎样的对称性。这些图片展现了数学的对称美，他们是轴对称图形或者中心对称图形。我们熟知的函数中也有如此美的图像。函数的图像一般都是呈现在直角坐标系中的，而在我们直角坐标系中，有2条坐标轴以及一个点，今天我们所要研究的就是在坐标轴中的对称。有三种，关于y轴对称，关于原点对称，关于x轴对称。请问，一个函数图像可能关于x轴对称吗？（这个学生应该比较好回答。）那么就只有2种关于y轴对称和关于原点对称。（这里要复习一下一个点关于y轴对称和关于原点对称的点的坐标特点。）

请同桌讨论一下，举出我们所学习的函数中图像是关于y轴对称或者关于原点对称。

（请2组同学进行汇报，并且将函数的大致图像画到黑板上。）

2、概念引入，理性分析

(1)从函数图像上诠释研究奇偶函数的价值

根据同学举得例子，来探讨这2类函数研究的价值：因为这2类函数具有美丽的对称性，那么我们在画函数图像的时候只需要作出一半的图像，另外一半对称过去就可以；而且在研究函数性质的时候，只需要研究一半，另外一半的性质也可以相应的得出。

(2)从符号语言、解析式来诠释奇偶函数

既然这2类函数具有特殊的对称性，那么如何证明这种对称性呢？

（此处引导学生：图像是点集，要证明图像的性质，只需要证明点的性质即可。）第一组图像中的点1,f(1)，它关于y轴的对称点为1,f(1)，下面证明1,f(1)点在函数的图像上即可，如何证明点在函数图像上呢？只需要证明点的坐标满足函数解析式即可（带入证明）。同样的对于点2,f(2)，它关于y轴的对称点为2,f(2)，下面说明点2,f(2)在函数图像即可。依次下去，需要验证多少个点才可以？（无数个），那么这样太麻烦，我们想一个简单的方式，找一个具有一般性的点a,f(a)，它关于y轴的对称点为a,f(a)，下面证明点a,f(a)在函数图像即可，依然是带入验证。

（归纳刚才的研究过程，得出偶函数的定义）

（1）偶函数的定义：

如果对于函数yf(x)的定义域D内的任意实数x，都有f(x)f(x)，那么就把函数yf(x)叫做偶函数。

（关键词：“任意”即“所有”、“每一个”）（可提问同学此定义的关键词是什么？）

（2）偶函数的性质：

①定义域关于原点对称；（依据：定义域D内的任意实数x，都有f(x)f(x)，也就是说f(x)f(x)是恒等式，恒等式要成立的前提是有意义，xD且xD，得出定义域关于原点对称）

②偶函数的图像关于y轴对称。（依据：有偶函数的定义即可得到）③偶函数中有恒等式f(x)f(x)成立。

（数学中，有“偶”就有“奇”，请同学们类比得出奇函数的定义与性质）（提示同学们从下面几点进行研究：①奇函数图像的特征；②奇函数的定义；③奇函数的性质）

（3）奇函数的定义

如果对于函数yf(x)的定义域D内的任意实数x，都有f(x)f(x)，那么就把函数yf(x)叫做奇函数。

（4）奇函数的性质：①定义域关于原点对称；

②奇函数的图像关于原点对称。

③奇函数中有恒等式f(x)f(x)成立。

根据奇函数的定义，请同学们自己列举奇函数的例子。

3、例题分析，巩固理解 例

1、（根据学生列举的奇函数的例子，提问，如何求证此函数是奇函数？依据：定义。）例

2、求证函数f(x)x21是偶函数。

例

3、判断下列函数的奇偶性

（1）yx22,x3,3

（2）y0,x1,1

（此处分析既奇又偶函数的特征：解析式一定是y0的形式，主要就是在定义域上做文章。）

小结：如何判断函数的奇偶性

（1）一看：看定义域是否关于原点对称，如果不关于原点对称，则非奇非偶；（2）二找：找f(x)与f(x)的关系；（3）三判断：根据关系，下结论。

例

4、（如果时间充足，可作为拓展题目）已知yf(x)是偶函数，它在y轴右边图像如图所示，画出yf(x)在y轴左边的图像。（同学做好，可以投影展示）

4、课堂小结

（1）函数奇偶性的定义；（2）判断函数奇偶性的步骤

篇6：《函数的奇偶性》教案

一、教材分析

1．教材所处的地位和作用

“奇偶性”是人教A版第一章“集合与函数概念”的第3节“函数的基本性质”的第2小节。

奇偶性是函数的一条重要性质，教材从学生熟悉的 及入手，从特殊到一般，从具体到抽象，注重信息技术的应用，比较系统地介绍了函数的奇偶性。从知识结构看，它既是函数概念的拓展和深化，又是后续研究指数函数、对数函数、幂函数、三角函数的基础。因此，本节课起着承上启下的重要作用。

2．学情分析

从学生的认知基础看，学生在初中已经学习了轴对称图形和中心对称图形，并且有了一定数量的简单函数的储备。同时，刚刚学习了函数单调性，已经积累了研究函数的基本方法与初步经验。

从学生的思维发展看，高一学生思维能力正在由形象经验型向抽象理论型转变，能够用假设、推理来思考和解决问题．

3．教学目标

基于以上对教材和学生的分析，以及新课标理念，我设计了这样的教学目标： 【知识与技能】

1．能判断一些简单函数的奇偶性。

2．能运用函数奇偶性的代数特征和几何意义解决一些简单的问题。【过程与方法】

经历奇偶性概念的形成过程，提高观察抽象能力以及从特殊到一般的归纳概括能力。【情感、态度与价值观】

通过自主探索，体会数形结合的思想，感受数学的对称美。从课堂反应看，基本上达到了预期效果。

4、教学重点和难点

重点：函数奇偶性的概念和几何意义。

几年的教学实践证明，虽然“函数奇偶性”这一节知识点并不是很难理解，但知识点掌握不全面的学生容易出现下面的错误。他们往往流于表面形式，只根据奇偶性的定义检验f(x)f(x)或f(x)f(x)成立即可，而忽视了考虑函数定义域的问题。因此，在介绍奇、偶函数的定义时，一定要揭示定义的隐含条件，从正反两方面讲清定义的内涵和外延。因此，我把“函数的奇偶性概念”设计为本节课的重点。在这个问题上我除了注意概念的讲解，还特意安排了一道例题，来加强本节课重点问题的讲解。

难点：奇偶性概念的数学化提炼过程。

由于，学生看待问题还是静止的、片面的，抽象概括能力比较薄弱，这对建构奇偶性的概念造成了一定的困难。因此我把“奇偶性概念的数学化提炼过程”设计为本节课的难点。

二、教法与学法分析

1、教法

根据本节教材内容和编排特点，为了更有效地突出重点，突破难点，按照学生的认知规律，遵循教师为主导，学生为主体，训练为主线的指导思想，采用以引导发现法为主，直观演示法、类比法为辅。教学中，精心设计一个又一个带有启发性和思考性的问题，创设问题情景，诱导学生思考，使学生始终处于主动探索问题的积极状态，从而培养思维能力。从课堂反应看，基本上达到了预期效果。

2、学法

让学生在“观察一归纳一检验一应用”的学习过程中，自主参与知识的发生、发展、形成的过程，从而使学生掌握知识。

三、教学过程

具体的教学过程是师生互动交流的过程，共分六个环节：设疑导入、观图激趣；指导观察、形成概念；学生探索、领会定义；知识应用，巩固提高；总结反馈；分层作业，学以致用。下面我对这六个环节进行说明。

（一）设疑导入、观图激趣

由于本节内容相对独立，专题性较强，所以我采用了“开门见山”导入方式，直接点明要学的内容，使学生的思维迅速定向，达到开始就明确目标突出重点的效果。

用多媒体展示一组图片，使学生感受到生活中的对称美。再让学生观察几个特殊函数图象。通过让学生观察图片导入新课，既激发了学生浓厚的学习兴趣，又为学习新知识作好铺垫。

（二）指导观察、形成概念

在这一环节中共设计了2个探究活动。

2探究1、2 数学中对称的形式也很多，这节课我们就以函数f(x)x和f(x)=︱x︱

1以及f(x)x和f(x)为例展开探究。这个探究主要是通过学生的自主探究来实现的，x由于有图片的铺垫，绝大多数学生很快就说出函数图象关于Y轴（原点）对称。接着学生填表，从数值角度研究图象的这种特征，体现在自变量与函数值之间有何规律? 引导学生先把它们具体化,再用数学符号表示。借助课件演示（令 式 , 再令 ,得到

比较

得出等）让学生发现两个函数的对称性反应到函数值上具有的特性,f(x)f(x)（f(x)f(x)）然后通过解析式给出严格证明，进一步说明这个特性对定义域内任意一个 都成立。最后给出偶函数(奇函数)定义(板书)。

在这个过程中，学生把对图形规律的感性认识，转化成数量的规律性，从而上升到了理性认识，切实经历了一次从特殊归纳出一般的过程体验。

（三）学生探索、领会定义

探究3 下列函数图象具有奇偶性吗？ yx3，yx[4，3]yyx2，x[3，2]4O3x3O2x

设计意图：深化对奇偶性概念的理解。强调：函数具有奇偶性的前提条件是——定义域关于原点对称。（突破了本节课的难点）

（四）知识应用，巩固提高

在这一环节我设计了4道题 例1判断下列函数的奇偶性

选例1的第（1）及（3）小题板书来示范解题步骤，其他小题让学生在下面完成。例1设计意图是归纳出判断奇偶性的步骤：(1)先求定义域，看是否关于原点对称；(2)再判断f(-x)=-f(x)还是 f(-x)=f(x)。例2 判断下列函数的奇偶性： f(x)x2x

例3 判断下列函数的奇偶性：

f(x)0

例2、3设计意图是探究一个函数奇偶性的可能情况有几种类型？ 例4（1）判断函数f(x)x3x的奇偶性。

（2）如图给出函数图象的一部分，你能根据函数的奇偶性画出它在y轴左边的图象吗？

例4设计意图加强函数奇偶性的几何意义的应用。

在这个过程中，我重点关注了学生的推理过程的表述。通过这些问题的解决，学生对函数的奇偶性认识、理解和应用都能提升很大一个高度，达到当堂消化吸收的效果。

（五）总结反馈

在以上课堂实录中充分展示了教法、学法中的互动模式，“问题”贯穿于探究过程的始终，切实体现了启发式、问题式教学法的特色。

在本节课的最后对知识点进行了简单回顾，并引导学生总结出本节课应积累的解题经验。知识在于积累，而学习数学更在于知识的应用经验的积累。所以提高知识的应用能力、增强错误的预见能力是提高数学综合能力的很重要的策略。(1)f(x)x4(2)f(x)x5 11(3)f(x)x(4)f(x)2　xx

（六）分层作业，学以致用

必做题：课本第36页练习第1-2题。选做题：课本第39页习题1.3A组第6题。思考题：课本第39页习题1.3B组第3题。

篇7：必修一函数奇偶性教案

一、课前回顾

1、（1）增函数定义：一般地，设函数y=f(x)的定义域为I，如果对于定义域I内的某个区间D内的任意两个自变量x1，x2，当x1

（2）减函数定义：一般地，设函数y=f(x)的定义域为I，如果对于定义域I内的某个区间D内的任意两个自变量x1，x2，当x1f(x2)，那么就说f(x)在区间D上是减函数。

注意：○1函数的单调性是在定义域内的某个区间上的性质，是函数的局部性质； 必须是对于区间D内的任意两个自变量x1，x2；当x1

2、函数的单调性定义：如果函数y=f(x)在某个区间上是增函数或是减函数，那么就说函数y=f(x)在这一区间具有（严格的）单调性，区间D叫做y=f(x)的单调区间。

3、判断函数单调性的方法步骤：

利用定义证明函数f(x)在给定的区间D上的单调性的一般步骤：

○1 任取x1，x2∈D，且x1

○2 作差f(x1)－f(x2)； 变形（通常是因式分解和配方）； ○4 定号（即判断差f(x1)－f(x2)的正负）； ○5 下结论（即指出函数f(x)在给定的区间D上的单调性）。○

二、知识要点

1、函数的奇偶性定义：

（1）偶函数：一般地，对于函数f(x)的定义域内的任意一个x，都有f(－x)=f(x)，那么f(x)就叫做偶函数．

（2）奇函数：一般地，对于函数f(x)的定义域内的任意一个x，都有f(－x)=f(x)，那么f(x)就叫做奇函数．

注意： 函数是奇函数或是偶函数称为函数的奇偶性，函数的奇偶性是函数的整○体性质； 由函数的奇偶性定义可知，函数具有奇偶性的一个必要条件是，对于定○义域内的任意一个x，则－x也一定是定义域内的一个自变量（即定义域关于原点对称）．

2、具有奇偶性的函数的图象的特征：

偶函数的图象关于y轴对称；奇函数的图象关于原点对称。

三、典型例题

1．判断函数的奇偶性 方法一：定义法

利用定义判断函数奇偶性的格式步骤： 首先确定函数的定义域，并判断其定义域是否关于原点对称； ○2 确定f(－x)与f(x)的关系； ○3 作出相应结论： ○若f(－x)= f(x)或 f(－x)－f(x)= 0，则f(x)是偶函数； 若f(－x)=－f(x)或 f(－x)＋f(x)= 0，则f(x)是奇函数．

方法二：图像法

偶函数的图象关于y轴对称；奇函数的图象关于原点对称 说明：函数具有奇偶性的一个必要条件是，定义域关于原点对称，所以判断函数的奇偶性应应首先判断函数的定义域是否关于原点对称，若不是即可断定函数是非奇非偶函数．

例

1、函数f（x）=x(-1﹤x≦1)的奇偶性是

（）

A．奇函数非偶函数

C．奇函数且偶函数

例

2、下列四个命题：（1）f（x）=1是偶函数；

（2）g（x）=x3，x∈（－1，1]是奇函数；

（3）若f（x）是奇函数，g（x）是偶函数，则H（x）=f（x）·g（x）一定是奇函数；（4）函数y=f（|x|）的图象关于y轴对称，其中正确的命题个数是（）A．1

2、（1）利用函数的奇偶性补全函数的图象：偶函数的图象关于y轴对称；奇函数的图象关于原点对称

（2）利用函数的奇偶性补全函数的解析式：转移代入法

例

3、（2013年山东高考理科）已知函数f(x)为奇函数,且当x>0时, f(x)=x2+错误！未找到引用源。,则f(-1)=()（A）-2

例

4、(2006春上海)已知函数f(x)是定义在(－∞,+∞)上的偶函数.当x∈(－∞,0)时，f(x)=x-x4，则 当x∈(0.+∞)时，f(x)=.3．函数的奇偶性与单调性的关系

规律：偶函数在关于原点对称的区间上单调性相反；奇函数在关于原点对称的区间上单调性一致．（B）0

（C）1

（D）2 B．2

C．3

D．4

B．偶函数非奇函数 D．非奇非偶函数

例

5、（1）已知f(x)是奇函数，在(0，＋∞)上是增函数，证明：f(x)在(－∞，0)上也是增函数。

（2）若f(x)是偶函数，在(0，＋∞)上是增函数，则f(x)在(－∞，0)上也是增函数还是减函数？

例

6、f（x）是定义在（－∞，－5］［5，＋∞）上的奇函数，且f（x）在［5，＋∞）上单调递减，试判断f（x）在（－∞，－5］上的单调性，并用定义给予证明．

四、课堂练习

1.已知函数f（x）＝ax2＋bx＋c（a≠0）是偶函数，那么g（x）＝ax3＋bx2＋cx（）

A．奇函数

B．偶函数

C．既奇又偶函数

D．非奇非偶函数

2．已知函数f（x）＝ax2＋bx＋3a＋b是偶函数，且其定义域为［a－1，2a］，则（）

1，b＝0

B．a＝－1，b＝0 C．a＝1，b＝0

D．a3＝3，b＝0

A．a3．已知f（x）是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f（x）＝x2－2x，则f（x）在R上的表达式是（）

A．y＝x（x－2）

B．y ＝x（｜x｜－1）C．y ＝｜x｜（x－2）

D．y＝x（｜x｜－2）

4．已知f（x）＝x5＋ax3＋bx－8，且f（－2）＝10，那么f（2）等于（）

A．－26

B．－18

C．－10

D．10 5．函数f(x)x221x2的奇偶性为________（填奇函数或偶函数）

6.设函数y＝f（x）（xR且x≠0）对任意非零实数x1、x2满足f（x1·x2）＝f（x1）＋f（x2），求证f（x）是偶函数．

五、课后作业

1．函数f(x)x1是（）

21xx11x2

A．偶函数

B．奇函数

C．非奇非偶函数

D．既是奇函数又是偶函数

2．若(x)，g（x）都是奇函数，f(x)abg(x)2在（0，＋∞）上有最大值5，则f（x）在（－∞，0）上有（）

A．最小值－5

B．最大值－5

C．最小值－1

D．最大值－3

3．若y＝（m－1）x2＋2mx＋3是偶函数，则m＝_________． 4．已知f（x）是偶函数，g（x）是奇函数，若f(x)g(x)的解析式为_______．

5.（2005山东）下列函数既是奇函数，又在区间1,1上单调递减的是()

1A.f(x)sinx

B.f(x)x1C.f(x)axax

21x1，则f（x）D.f(x)ln 2x

2x6.已知函数f（x）是奇函数，且当x＞0时，f（x）＝x3＋2x2—1，求f（x）在R上的表达式．

篇8：函数的奇偶性

函数的奇偶性是函数的一个重要的性质, 也是每年高考的内容之一, 运用的过程要紧扣定义, 注意理解其本质, 灵活运用其性质, 综合考虑图像、定义域等方面的联系.

一、对函数奇偶性的理解

奇偶性是函数在整个定义域内的性质, 在函数定义域内的真子集上讨论函数的奇偶性是没有意义的.只有对函数定义域内的每一个x, 都有f (-x) =-f (x) 或f (-x) =f (x) , 才能说函数f (x) 是奇函数或偶函数.因此, 定义域关于原点对称是函数具备奇偶性的前提条件.如果一个函数的定义域不关于原点对称, 这个函数必定既不是奇函数也不是偶函数.

二、函数奇偶性的分类

函数按奇偶性分为四大类:奇函数、偶函数、非奇非偶函数、既奇又偶函数.

既是奇函数又是偶函数的函数必为f (x) =0, x∈M, M为任意关于原点对称的非空数集, 也就是说, 既是奇函数又是偶函数的函数有无穷多个, 它们的解析式相同, 但是定义域不同.

三、函数奇偶性的判定方法

1.判断函数奇偶性的步骤:首先求函数的定义域, 判断定义域是否关于原点对称.若定义域不关于原点对称, 则函数为非奇非偶函数;若定义域关于原点对称, 进一步判断f (-x) 与f (x) 的关系.若满足f (-x) =-f (x) 或f (-x) +f (x) =0或$\frac{f(-x)}{f(x)}=-1$, 其中f (x) ≠0, 则是奇函数;若满足f (-x) =f (x) 或f (-x) -f (x) =0或$\frac{f(-x)}{f(x)}=1$, 其中f (x) ≠0, 则是偶函数;若两者都不满足, 则是非奇非偶函数;若两者都满足, 则是既奇又偶函数.

2.两个奇 (偶) 函数的和、差函数还是奇 (偶) 函数;两个奇 (偶) 函数的积、商函数是偶函数;一个奇函数与一个偶函数的积、商函数是奇函数.

3.如果一个解析式为整式形式的函数是奇函数, 则它只能含有奇次项, 即偶次项的系数和常数项都等于0;如果它是偶函数, 则它只能含有偶次项和常数项, 即奇次项的系数等于0.

4.设f (x) 是定义域关于原点对称的一个函数, 则F (x) =f (-x) +f (x) 为偶函数, G (x) =f (-x) -f (x) 为奇函数.

5.任何一个定义域关于原点对称的函数f (x) 都可以写成一个奇函数与一个偶函数的和, 即f (x) =g (x) +φ (x) , 其中$g(x)=\frac{f(x)-f(-x)}{2}$是奇函数, $\phi (x)=\frac{f(x)+f(-x)}{2}$是偶函数.

四、奇函数和偶函数的图像特征

1.对称性:

奇函数的图像关于原点对称;如果一个函数的图像关于原点对称, 则这个函数为奇函数.偶函数的图像关于y轴对称;如果一个函数的图像关于y轴对称, 则这个函数为偶函数.根据这些性质, 可以帮助我们作出或研究函数的图像、讨论函数的单调区间、求函数的解析式等.

2.单调性:

对称性可以用来讨论函数的单调性和单调区间.在定义域内, 奇函数在关于原点对称的单调区间上的单调性相同, 偶函数在关于原点对称的单调区间上的单调性相反.

五、函数奇偶性的应用

1.若函数f (x) 为偶函数, 则f (-x) =-f (x) =f (|x|) , 这个性质经常和函数的单调性结合在一起使用.如f (x) 是R上的偶函数, 当x≥0时, f (x) 是增函数, 则f (x1) <f (x2) ⇔f (|x1|) <f (|x2|) ⇔|x1|<|x2|.利用这个性质可以帮助我们简便解题, 避免分类讨论带来的麻烦.

2.若奇函数f (x) 的定义域中包含x=0, 则f (0) =0.

总之, 认知函数奇偶性, 就要抓住函数奇偶性的本质, 掌握应用中的基本方法与技巧及其图像特征, 才能提高应用和解题能力.

篇9：函数奇偶性教学

关键词：函数；单调性；纵观

中图分类号：G633.62文献标识码：A 文章编号：1002-7661（2011）05-135-01

函数的奇偶性是中学教学的一个重要内容，它在了解函数的图形分布，单调性等方面能产生以小决大的纵观全局作用。但是在实际教学中，通常把它定位于容易理解，容易掌握，然而不尽其然，看以下学生练习中两题求解过程。

例1：判断函数 的奇偶性。

解：因为 所以 是偶函数

例2：判断 奇偶性。

解：因为

=- =-

=- =-

所以 是偶函数

上述两题解法错误是不言而喻，主要是对函数奇偶性概念理解不到位，教材的定义是：一般地y=

（1）若对于函数定义域内任意一个x ，都有 那么函数 是偶函数

（2）若对于函数定义域内任意一个x ，都有 那么函数 是偶函数

由此可见，函数的奇偶性是在函数的整个定义域内来研究的，由于 ， 都要有意义，所以 和 都要在定义域内，而 和 互为相反数，则 和 在数抽上关于原点中心对称，从而得出函数的定义域应是关于原点对称，这样我们就从定义中挖掘出函数具有奇偶性的另一必要条件是定义域具有关于原点对称的性质，即研究函数的奇偶性，本身包括着函数的定义域要具备关于原点对称的这一起码的条件。基于这一点，例1，例2中错误就说明了，为此：要判断一个函数的奇偶性的步骤为：一是看函数定义域是否关于原点对称，若不对称，其判定为无奇偶性，若对称，进入第二个步骤，看是否满足 或 ，若满足 ，则函数是奇函数，若满足 则函数是偶函数，若都不满足，则函数是非奇非偶函数。

在具体问题的解答中，某些题要求学生必须具备一定的能力要求，因为以函数的奇偶性为载体考察学生的观察和变化能力的一类题，变形难度比较大，所以学生不易理解，从

而将 改写为 或当 时改写为 ；将 改写为或当 时改写为 ，就转化为计算，这样降低了解题难度。

例3：判断函数的奇偶性

解法一因为

所以故 为偶函数

解法二，若将函数 进行化简，得 来进行判断，将更加简化解题的过程，在教学中可引为范例，对于培养成学生从渠道切入问题加以求解的能力很有启发。

对于复合函数类的函数的奇偶性作探讨，在变形计算中多离不开以函数固有性质作载体。

例4已知a>0 且a 是奇函数，判断 的奇偶性。

解：取ø（x）= +则ф(-x)+ф(x)=

( + )+( + )=( + )+1=-1+1=0

所以ф(x)是奇函数,而 是奇函数 g(-x)=(a-1)f(-x)ø(-x)=(a-1)f(x) ø(-x)=g(x)故 是偶函数

本例求解依据是以具有奇偶性的函数之和、差、积的奇偶性为核心来判断 是奇偶性。

综上所述，在教学中要培养学生具备对课本上的概念、定义进行深入细致的分析观察的能力，并逐步转化为自己的解题方法和技巧，这才是新课改目的和意义。

篇10：函数奇偶性教案免费

[本周教学重点] 掌握函数单调性的定义，会用定义法证明函数的单调性及其步骤。

(1)设x1，x2是定义域上的任意两个值，且x1

(2)作差f(x1)-f(x2)并将其变形为可判断符号的形式；

(3)判断f(x1)-f(x2)的正、负；

(4)结论

理解函数奇偶性的定义及奇、偶函数定理，能判断、证明一些简单函数的奇偶性，会利用函数奇偶性求解有关函数问题。

(1)函数的定义域在数轴上关于原点对称，是函数具有奇偶性的必要条件。

(2)f(-x)=-f(x)f(-x)+f(x)=0f(x)是奇函数。

f(x)=f(-x)f(-x)-f(x)=0f(x)是偶函数。

由f(-x)=-f(x)或f(-x)=f(x)是侧重于函数解析式的变形去证明f(x)的奇偶性；而f(-x)+f(x)=0或f(-x)-f(x)=0是通过运算去证明f(x)的奇偶性，两种定义形式各具不同优势。

(3)若f(x)是奇函数且允许x=0，则f(0)=0，即f(x)的图象过原点。

(4)若f(x)既是奇函数，又是偶函数，则f(x)=0。

(5)同为奇函数，同为偶函数的两个函数之积是偶函数；一奇一偶两个函数之积是奇函数。

(6)定义在R上的任意一个函数f(x)都可表示为一个奇函数g(x)与一个偶函数h(x)的和。

即f(x)=g(x)+h(x)，其中g(x)=[f(x)-f(-x)]，h(x)=

[f(x)+f(-x)]。

理解反函数的概念，掌握求反函数的方法步骤。

(1)由原函数y=f(x)求出它的值域；

(2)由原函数y=f(x)反解出x=f-

1(y)；

(3)交换x，y改写成y=f-1(x)；

(4)用f(x)的值域确定f-1(x)的定义域。

[例题分析]

例1．证明函数f(x)=

在定义域上的单调性。

[分析与解答] 函数的单调性必须在定义域内进行考查。由x2+x≥0得f(x)定义域为(-∞，-1][0，+∞)。

函数定义域不是一个连续的区间，应分别考查在每一个区间上的单调性，用定义法证明时，只需任取x1

任取x1

==

当-∞0。

∴ f(x1)-f(x2)>0，∴ f(x)是(-∞，-1]上的单调递减函数。

当0≤x10。

>0。

∴ f(x1)-f(x2)<0，∴ f(x)是[0，+∞)上的单调递增函数。

例2．函数f(x)是[0，+∞)上的单调递减函数，f(x)≠0且f(2)=1，证明函数F(x)=f(x)+在[0，2]上的单调性。

[分析与解答]函数f(x)没有给出解析式，因此对F(x)的函数值作差后，需由f(x)的单调性，确定作差后的符号。任取0≤x1

由F(x1)-F(x2)=f(x1)+-f(x2)-=f(x1)-f(x2)+

=[f(x1)-f(x2)]·[1-]

∵ 0≤x1f(x2)≥f(2)=1。

∴ f(x1)-f(x2)>0，f(x1)·f(x2)>1，<1，1->0，∴ F(x1)-F(x2)>0，F(x)是[0，2]上的单调递减函数。

例3．证明函数f(x)=的奇偶性。

[分析与解答] 函数的奇偶性必须在其定义域内考查。

由 函数f(x)定义域为[-1，0)(0，1]。

∴ |x+3|-3=x+3-3=x。即f(x)=，由f(-x)=

=-f(x)，∴ f(x)是奇函数。

例4．设f(x)是定义在R上的函数，对任意x1，x2∈R，恒有f(x1+x2)=f(x1)+f(x2)，且f(x)不恒为0，证明

f(x)的奇偶性。

[分析与解答] 函数f(x)没有给出解析式，这就必须从定义域，法则，及f(x)不恒为0去分析，完成奇偶性的证明。由f(x)定义域为R，显然允许x=0，所以f(0)=0是f(x)的奇函数的必要条件。

令x1=x2=0，由f(x1+x2)=f(x1)+f(x2)得f(0+0)=f(0)+f(0)，整理得f(0)=0，对任意x∈R，由f(x1+x2)=f(x1)+f(x2)知f(-x)+f(x)=f(-x+x)=f(0)=0，∴ f(-x)=-f(x)，∵ f(x)不恒为0，∴f(x)不可能既是奇函数又是偶函数，所以f(x)是R上的奇函数。

例5．已知函数f(x)=(a，b，c∈Z)是奇函数，且f(1)=2，f(2)<3。

(1)求a，b，c的值；(2)用定义法证明f(x)在(0，1)上的单调性。

[分析与解答](1)∵ f(x)是奇函数，∴f(-x)=-f(x)，即

=-，解出c=0，∴ f(x)=，∵ f(1)=2，∴ =2，∴ 2b=a+1。

∵ f(2)＜3，∴<3。将2b=a+1代入，∴ <3，解出-1

(2)f(x)==x+。任取0

f(x1)-f(x2)=x1+-x2-=(x1-x2)+=(x1-x2)(1-)

∵ 01，1-<0，∴ f(x1)-f(x2)>0，f(x)是(0，1)上的单调递减函数。

例6．证明函数f(x)=

(x≠)的图象关于直线y=x对称。

[分析与解答] 由反函数定理可知，当两个函数互为反函数时，它们的图象关于直线y=x对称，所以要证明 f(x)=(x≠)的图象关于直线y=x对称，只需证明f(x)的反函数是其自身即可。

∴ f(x)的值域为{y|y≠，y∈R}。

由y=，∴ ayx-y=x-1，(ay-1)x=y-1。

∵ y≠，∴ ay-1≠0，x=，即f-1(x)=

(x≠)，显然f(x)与f-1(x)是同一函数，所求f(x)的图象关于直线y=x对称。

[参考练习]

1．设f(x)是定义在R上的任意一个增函数，F(x)=f(x)-f(-x)必是（）。

A、增函数且是奇函数

B、增函数且是偶函数

C、减函数且是奇函数

D、减函数且是偶函数

2．已知y=f(x)是R上的奇函数，当x≥0时，f(x)=x2-2x，则f(x)在R上的表达式是（）。

A、y=x(x-2)B、y=x(|x|-1)C、y=|x|·(x-2)D、y=x(|x|-2)

3．若点(1，2)在函数y=的图象上，又在它的反函数的图象上，则（）。

A、a=3，b=-7 B、a=3，b=7 C、a=-3，b=-7 D、a=-3，b=7

4．函数f(x)是定义在[-6，6]上的偶函数，且在[-6，0]上是减函数，则（）。

A、f(3)+f(4)>0 B、f(-3)-f(2)<0 C、f(-2)+f(-5)<0 D、f(4)-f(-1)>0

5．设f(x)是定义在(-1，1)上的奇函数且是单调减函数，求解关于x的不等式f(1-x)+f(1-x2)<0的解集。

[参考答案]：

1.A 2.D 3.D 4.D

5.由f(1-x)+f(1-x2)<0，∴ f(1-x)<-f(1-x2)，∵ f(x)是(-1，1)上的奇函数，∴ f(1-x)

篇11：函数奇偶性教案免费

指对数的运算

一、反思数学符号：

“”“”出现的背景

数学总是在不断的发明创造中去解决所遇到的问题。

2方程的根是多少？;

①这样的数存在却无法写出来？怎么办呢？你怎样向别人介绍一个人？

描述出来。

②那么这个写不出来的数是一个什么样的数呢？怎样描述呢？

①我们发明了新的公认符号“”作为这样数的“标志”

的形式即是一个平方等于三的数

②推广:则

③后又常用另一种形式分数指数幂形式

3方程 的根又是多少？①也存在却无法写出来？？同样也发明了新的公认符号“”专门作为这样数的标志，的形式

即是一个2为底结果等于3的数

②推广:则

二、指对数运算法则及性质：

幂的有关概念:

正整数指数幂:=

零指数幂:)

负整数指数幂:

正分数指数幂:

负分数指数幂:

0的正分数指数幂等于0,负分指数幂没意义

2根式:

如果一个数的n次方等于a,那么这个数叫做a的n次方根如果,那么x叫做a的次方根,则x=

0的任何次方根都是0,记作

式子叫做根式,n叫做根指数,a叫做被开方数

当n为奇数时,=

当n为偶数时，=

=

3指数幂的运算法则:

=

=

3)=

4)=

二对数

对数的定义:如果,那么数b叫做以a为底N的对数,记作 ,其中a叫做

，叫做真数

2特殊对数:

=

;

=

=

;

;

=

=

=

=

;

=

三、经典体验：

化简根式:；

；

；

2解方程：;

;；

；

3化简求值:

；

4【徐州六县一区09-10高一期中】16求函数的定义域。

四、经典例题

例：1画出函数草图:

练习：1“等式lg3x2=2成立”是“等式lg3x=1成立”的 ▲

．必要不充分条

例：2若则

▲

．

练习：1已知函数求的值

▲

．

例3：函数f=lg是

（奇、偶）函数。

点拨：

为奇函数。

练习：已知则

．

练习：已知则的值等于

练习：已知定义域为R的函数在是增函数，满足且，求不等式

的解集。

例：4解方程．

解：设，则，代入原方程，解得，或（舍去）．由，得．经检验知，为原方程的解．

练习：解方程．

练习：解方程．

练习：解方程：

练习：设，求实数、的值。

解：原方程等价于，显然，我们考虑函数，显然，即是原方程的根．又和都是减函数，故也是减函数．

当时，；当时，因此，原方程只有一个解．分析：注意到，故倒数换元可求解．

解：原方程两边同除以，得．设，原方程化为，化简整理，得．，即．．

解析：令，则，∴原方程变形为，解得。由得，∴，即，∴，∴。由得，∴，∵，∴此方程无实根。故原方程的解为。评注：将指数方程转化为基本型求解，是解决该类问题的关键。

解析：由题意可得，，原方程可化为，即。

∴，∴。

∴由非负数的性质得，且，∴。

评注：通过拆项配方，使问题巧妙获解。

例：已知关于的方程有实数解，求的取值范围。

已知关于的方程的实数解在区间，求的取值范围。

反思提炼：1常见的四种指数方程的一般解法

（1）

方程的解法：

（2）

方程的解法：

（3）

方程的解法：

（4）

方程的解法：

2．常见的三种对数方程的一般解法

（1）方程的解法：

（2）方程的解法：

（3）方程的解法：

3．方程与函数之间的转化。

4．通过数形结合解决方程有无根的问题。

后作业：

对正整数n，设曲线在x＝2处的切线与轴交点的纵坐标为，则数列的前n项和的公式是

[答案] 2n＋1－2

[解析] ∵＝xn，∴′＝′＋′•xn＝n•xn－1－xn

f′＝－n•2n－1－2n＝•2n－1

在点x＝2处点的纵坐标为＝－2n

∴切线方程为＋2n＝•2n－1．

令x＝0得，＝•2n，∴an＝•2n，∴数列ann＋1的前n项和为22－1＝2n＋1－2

2．在平面直角坐标系中，已知点P是函数的图象上的动点，该图象在P处的切线交轴于点，过点P作的垂线交轴于点N，设线段N的中点的纵坐标为t，则t的最大值是_____________

解析：设则，过点P作的垂线