初中数学常见的辅助线

2024-07-26

初中数学常见的辅助线（精选10篇）

篇1：初中数学常见的辅助线

等腰三角形

1.作底边上的高，构成两个全等的直角三角形，这是用得最多的一种方法；

2.作一腰上的高；

3过底边的一个端点作底边的垂线，与另一腰的延长线相交，构成直角三角形。

梯形

1.垂直于平行边

2.垂直于下底，延长上底作一腰的平行线

3.平行于两条斜边

4.作两条垂直于下底的垂线

5.延长两条斜边做成一个三角形

菱形

1.连接两对角

2.做高

平行四边形

1.垂直于平行边

2.作对角线——把一个平行四边形分成两个三角形 3.做高——形内形外都要注意

矩形

1.对角线

2.作垂线

很简单。无论什么题目，第一位应该考虑到题目要求，比如AB=AC+BD....这类的就是想办法作出另一条AB等长的线段，再证全等说明AC+BD=另一条AB,就好了。还有一些关于平方的考虑勾股，A字形等。

三角形

图中有角平分线，可向两边作垂线（垂线段相等）。

也可将图对折看，对称以后关系现。

角平分线平行线，等腰三角形来添。

角平分线加垂线，三线合一试试看。

线段垂直平分线，常向两端把线连。

要证线段倍与半，延长缩短可试验。

三角形中两中点，连接则成中位线。

三角形中有中线，延长中线等中线。

解几何题时如何画辅助线?

①见中点引中位线，见中线延长一倍.在几何题中，如果给出中点或中线，可以考虑过中点作中位线或把中线延长一倍来解决相关问题。

②在比例线段证明中，常作平行线。

作平行线时往往是保留结论中的一个比，然后通过一个中间比与结论中的另一个比联系起来。

③对于梯形问题，常用的添加辅助线的方法有

1、过上底的两端点向下底作垂线

2、过上底的一个端点作一腰的平行线

3、过上底的一个端点作一对角线的平行线

4、过一腰的中点作另一腰的平行线

5、过上底一端点和一腰中点的直线与下底的延长线相交

6、作梯形的中位线

7、延长两腰使之相交

四边形

平行四边形出现，对称中心等分点。

梯形里面作高线，平移一腰试试看。

平行移动对角线，补成三角形常见。

证相似，比线段，添线平行成习惯。

等积式子比例换，寻找线段很关键。

直接证明有困难，等量代换少麻烦。

斜边上面作高线

一．

添辅助线有二种情况：

1按定义添辅助线：

如证明二直线垂直可延长使它们,相交后证交角为90°；证线段倍半关系可倍线段取中点或半线段加倍；证角的倍半关系也可类似添辅助线。

2按基本图形添辅助线：

每个几何定理都有与它相对应的几何图形，我们把它叫做基本图形，添辅助线往往是具有基本图形的性质而基本图形不完整时补完整基本图形，因此“添线”应该叫做“补图”！这样可防止乱添线，添辅助线也有规律可循。举例如下：

（1）平行线是个基本图形：

当几何中出现平行线时添辅助线的关键是添与二条平行线都相交的等第三条直线

（2）等腰三角形是个简单的基本图形：

当几何问题中出现一点发出的二条相等线段时往往要补完整等腰三角形。出现角平分线与平行线组合时可延长平行线与角的二边相交得等腰三角形。

（3）等腰三角形中的重要线段是个重要的基本图形：

出现等腰三角形底边上的中点添底边上的中线；出现角平分线与垂线组合时可延长垂线与角的二边相交得等腰三角形中的重要线段的基本图形。

（4）直角三角形斜边上中线基本图形

出现直角三角形斜边上的中点往往添斜边上的中线。出现线段倍半关系且倍线段是直角三角形的斜边则要添直角三角形斜边上的中线得直角三角形斜边上中线基本图形。

（5）三角形中位线基本图形

几何问题中出现多个中点时往往添加三角形中位线基本图形进行证明当有中点没有中位线时则添中位线，当有中位线三角形不完整时则需补完整三角形；当出现线段倍半关系且与倍线段有公共端点的线段带一个中点则可过这中点添倍线段的平行线得三角形中位线基本图形；当出现线段倍半关系且与半线段的端点是某线段的中点，则可过带中点线段的端点添半线段的平行线得三角形中位线基本图形。

（6）全等三角形：

全等三角形有轴对称形，中心对称形，旋转形与平移形等；如果出现两条相等线段或两个档相等角关于某一直线成轴对称就可以添加轴对称形全等三角形：或添对称轴，或将三角形沿对称轴翻转。当几何问题中出现一组或两组相等线段位于一组对顶角两边且成一直线时可添加中心对称形全等三角形加以证明，添加方法是将四个端点两两连结或过二端点添平行线

（8）特殊角直角三角形

当出现30，45，60，135，150度特殊角时可添加特殊角直角三角形，利用45角直角三角形三边比为1：1：√2；30度角直角三角形三边比为1：2：√3进行证明

二．

基本图形的辅助线的画法

1.三角形问题添加辅助线方法

方法1：有关三角形中线的题目，常将中线加倍。含有中点的题目，常常利用三角形的中位线，通过这种方法，把要证的结论恰当的转移，很容易地解决了问题。

方法2：含有平分线的题目，常以角平分线为对称轴，利用角平分线的性质和题中的条件，构造出全等三角形，从而利用全等三角形的知识解决问题。

方法3：结论是两线段相等的题目常画辅助线构成全等三角形，或利用关于平分线段的一些定理。

方法4：结论是一条线段与另一条线段之和等于第三条线段这类题目，常采用截长法或补短法，所谓截长法就是把第三条线段分成两部分，证其中的一部分等于第一条线段，而另一部分等于第二条线段。

2.平行四边形中常用辅助线的添法

平行四边形（包括矩形、正方形、菱形）的两组对边、对角和对角线都具有某些相同性质，所以在添辅助线方法上也有共同之处，目的都是造就线段的平行、垂直，构成三角形的全等、相似，把平行四边形问题转化成常见的三角形、正方形等问题处理，其常用方法有下列几种，举例简解如下：

（1）连对角线或平移对角线：

（2）过顶点作对边的垂线构造直角三角形

（3）连接对角线交点与一边中点，或过对角线交点作一边的平行线，构造线段平行或中位线

（4）连接顶点与对边上一点的线段或延长这条线段，构造三角形相似或等积三角形。

（5）过顶点作对角线的垂线，构成线段平行或三角形全等.3.梯形中常用辅助线的添法

梯形是一种特殊的四边形。它是平行四边形、三角形知识的综合，通过添加适当的辅助线将梯形问题化归为平行四边形问题或三角形问题来解决。辅助线的添加成为问题解决的桥梁，梯形中常用到的辅助线有：（1）在梯形内部平移一腰。（2）梯形外平移一腰（3）梯形内平移两腰（4）延长两腰（5）过梯形上底的两端点向下底作高（6）平移对角线（7）连接梯形一顶点及一腰的中点。（8）过一腰的中点作另一腰的平行线。（9）作中位线当然在梯形的有关证明和计算中，添加的辅助线并不一定是固定不变的、单一的。通过辅助线这座桥梁，将梯形问题化归为平行四边形问题或三角形问题来解决，这是解决问题的关键。

作辅助线的方法

一：中点、中位线，延线，平行线。

如遇条件中有中点，中线、中位线等，那么过中点，延长中线或中位线作辅助线，使延长的某一段等于中线或中位线；另一种辅助线是过中点作已知边或线段的平行线，以达到应用某个定理或造成全等的目的。

二：垂线、分角线，翻转全等连。

如遇条件中，有垂线或角的平分线，可以把图形按轴对称的方法，并借助其他条件，而旋转180度，得到全等形，这时辅助线的做法就会应运而生。其对称轴往往是垂线或角的平分线。

三：边边若相等，旋转做实验。

如遇条件中有多边形的两边相等或两角相等，有时边角互相配合，然后把图形旋转一定的角度，就可以得到全等形，这时辅助线的做法仍会应运而生。其对称中心，因题而异，有时没有中心。故可分“有心”和“无心”旋转两种。

四:造角、平、相似，和、差、积、商见。

如遇条件中有多边形的两边相等或两角相等，欲证线段或角的和差积商，往往与相似形有关。在制造两个三角形相似时，一般地，有两种方法：第一，造一个辅助角等于已知角；第二，是把三角形中的某一线段进行平移。故作歌诀：“造角、平、相似，和差积商见。”

托列米定理和梅叶劳定理的证明辅助线分别是造角和平移的代表）

九：面积找底高，多边变三边。

如遇求面积，（在条件和结论中出现线段的平方、乘积，仍可视为求面积），往往作底或高为辅助线，而两三角形的等底或等高是思考的关键。

如遇多边形，想法割补成三角形；反之，亦成立。

另外，我国明清数学家用面积证明勾股定理，其辅助线的做法，即“割补”有二百多种，大多数为“面积找底高，多边变三边”。

初中几何辅助线

一初中几何常见辅助线口诀

人说几何很困难，难点就在辅助线。辅助线，如何添？把握定理和概念。还要刻苦加钻研，找出规律凭经验。

三角形

图中有角平分线，可向两边作垂线.也可将图对折看，对称以后关系现。

角平分线平行线，等腰三角形来添。

角平分线加垂线，三线合一试试看。

线段垂直平分线，常向两端把线连。

线段和差及倍半，延长缩短可试验。

线段和差不等式，移到同一三角去。

三角形中两中点，连接则成中位线。

三角形中有中线，延长中线等中线。

四边形

平行四边形出现，对称中心等分点。

梯形问题巧转换，变为△和□。

平移腰，移对角，两腰延长作出高。

如果出现腰中点，细心连上中位线。

上述方法不奏效，过腰中点全等造。

证相似，比线段，添线平行成习惯。

等积式子比例换，寻找线段很关键。

直接证明有困难，等量代换少麻烦。

斜边上面作高线，比例中项一大片。

切勿盲目乱添线，方法灵活应多变。

分析综合方法选，困难再多也会减。

虚心勤学加苦练，成绩上升成直线。

二由角平分线想到的辅助线

口诀：

图中有角平分线，可向两边作垂线。

也可将图对折看，对称以后关系现。

角平分线平行线，等腰三角形来添。

角平分线加垂线，三线合一试试看。

角平分线具有两条性质：a、对称性；b、角平分线上的点到角两边的距离相等。对于有角平分线的辅助线的作法，一般有两种。

三由线段和差想到的辅助线

口诀：

线段和差及倍半，延长缩短可试验。

线段和差不等式，移到同一三角去。

遇到求证一条线段等于另两条线段之和时，一般方法是截长补短法：

1、截长：在长线段中截取一段等于另两条中的一条，然后证明剩下部分等于另一条；

2、补短：将一条短线段延长，延长部分等于另一条短线段，然后证明新线段等于长线段。

对于证明有关线段和差的不等式，通常会联系到三角形中两线段之和大于第三边、之差小于第三边，故可想办法放在一个三角形中证明。

一、在利用三角形三边关系证明线段不等关系时，如直接证不出来，可连接两点或廷长某边构成三角形，使结论中出现的线段在一个或几个三角形中，再运用三角形三边的不等关系证明，四由中点想到的辅助线

口诀：

三角形中两中点，连接则成中位线。

三角形中有中线，延长中线等中线。

在三角形中，如果已知一点是三角形某一边上的中点，那么首先应该联想到三角形的中线、中位线、加倍延长中线及其相关性质（直角三角形斜边中线性质、等腰三角形底边中线性质），然后通过探索，找到解决问题的方法。

（一）、中线把原三角形分成两个面积相等的小三角形

（二）、由中点应想到利用三角形的中位线

（三）、由中线应想到延长中线

（四）、直角三角形斜边中线的性质

（五）、角平分线且垂直一线段，应想到等腰三角形的中线

（六）中线延长

口诀：三角形中有中线，延长中线等中线。

题目中如果出现了三角形的中线，常延长加倍此线段，再将端点连结，便可得到全等三角形。

五全等三角形辅助线

找全等三角形的方法：

（1）可以从结论出发，看要证明相等的两条线段（或角）分别在哪两个可能全等的三角形中；

（2）可以从已知条件出发，看已知条件可以确定哪两个三角形相等；

（3）从条件和结论综合考虑，看它们能一同确定哪两个三角形全等；

（4）若上述方法均不行，可考虑添加辅助线，构造全等三角形。

三角形中常见辅助线的作法：

①延长中线构造全等三角形； ②利用翻折，构造全等三角形； ③引平行线构造全等三角形； ④作连线构造等腰三角形。常见辅助线的作法有以下几种：

1)遇到等腰三角形，可作底边上的高，利用“三线合一”的性质解题，思维模式是全等变换中的“对折”．

2)遇到三角形的中线，倍长中线，使延长线段与原中线长相等，构造全等三角形，利用的思维模式是全等变换中的“旋转”．

3)遇到角平分线，可以自角平分线上的某一点向角的两边作垂线，利用的思维模式是三角形全等变换中的“对折”，所考知识点常常是角平分线的性质定理或逆定理．

4)过图形上某一点作特定的平分线，构造全等三角形，利用的思维模式是全等变换中的“平移”或“翻转折叠”

5)截长法与补短法，具体做法是在某条线段上截取一条线段与特定线段相等，或是将某条线段延长，是之与特定线段相等，再利用三角形全等的有关性质加以说明．这种作法，适合于证明线段的和、差、倍、分等类的题目．

特殊方法：在求有关三角形的定值一类的问题时，常把某点到原三角形各顶点的线段连接起来，利用三角形面积的知识解答．

六梯形的辅助线

口诀：

梯形问题巧转换，变为△和□。平移腰，移对角，两腰延长作出高。如果出现腰中点，细心连上中位线。上述方法不奏效，过腰中点全等造。

通常情况下，通过做辅助线，把梯形转化为三角形、平行四边形，是解梯形问题的基本思路。至于选取哪种方法，要结合题目图形和已知条件。常见的几种辅助线的作法如下：

篇2：初中数学常见的辅助线

等腰三角形：1.做高2.做底边延长线与腰相等

等边三角形：1.做高2.内切圆，外接圆（不常用）

30°三角形：1.做垂直2.做60°角的平分线（不常用）

三角形条件中出现中点：1.连接顶点和中点2.做中位线

三角形中出现交叉线（相似常用）：1.做平行线2.构造相等的角如做角平分线

45°三角形：1.做高

四边形中

一般四边形：1.连接对角线（常用四点共圆）2.做角平分线，平行线，连接各边中点平行四边形：常用做高，对角线，构造常用三角形

矩形正方形：对角线，构造相似三角形

菱形：由对角线垂直常构造直角三角形

梯形：做平行分成三角形和平行四边形，做高

直角梯形：做垂直分成直角三角形和矩形

等腰梯形：综合梯形和直角梯形方法，证明常需要全等

正多边形：构造三角形，内接圆、外接圆

圆中，切线问题，连半径证垂直（已知点在圆上）

做垂直证半径（未知点在圆上）

角类，弦类问题，做相等的圆周角圆心角

直角三角形，常用直径对的圆周角=90°

相交弦，弦切角定理，四点共圆，两圆相交等的定理常用连接相关两点

做关于直径对称的弦，角，点，弧，线段

部分问题需要用到平行

一个题中出现多个中点常用中位线

一个题中出现多个直角常用三角函数，直角三角形相似，射影定理

一个题中出现多处线段相等常用等腰三角形，对应线段等量代换，线段加减

篇3：初中数学辅助线技巧浅略

一、分割型辅助线, 顾名思义, 就是把现有图形分割

1. 已知AB平行于CD, BC平行于AD求证:CD=AB。

我们可以把图形进行分割, 来实现这个证明方法。在四边形内添加一条分割辅助线AC。

证明:连接BD (或AC)

∵AB平行于CD BC平行于AD (已知条件)

∴∠1=∠2, ∠3=∠4 (根据:两直线平行, 内错角相等)

在△ABC与△CDA中

∵∠1=∠2, ∠4=∠3, CA=AC (已证明条件)

∴△ABC≌△CDA (根据角边角定理)

∴AB=CD (全等三角形的对应边相等)

总结:本例中, 我们通过分割平行四边形为两个三角形, 用三角形的知识来证明了平行四边形的对边相等。这是分割型辅助线的一个典型用法。

2. 已知如下图:AB=CD, ∠A=∠D求证:∠ABC=∠DCB。

我们可以把图形进行分割, 来实现这个证明方法。在四边形内添加分割辅助线BN、MN和CN。

证明:取AD, BC的中点N、M, 连接NB, NM, NC。则AN=DN, BM=CM, 在△ABN和△DCN中

∵AN=ND (N为中点) ∠A=∠D (已知条件) AB=CD (已知条件)

∴△BAN≌△CDN (边角边定理)

∴∠ABN=∠DCN BN=CN (全等三角形对应边和对应角相等)

在△NBM与△NCM中

∵BN=CN (已证明条件) BM=MC (M为中点) MN=NM (公共边)

∴△NBM≌△NCM, (边边边定理)

∴∠NBC=∠NCB (全等三角形对应角相等)

∴∠CNB+∠NAB=∠BNC+∠NDC即∠ABC=∠DCB。

本例中, 我们通过分割梯形为三个三角形证明了等腰梯形的角度问题。

二、延长型辅助线, 顾名思义, 就是把原有图形的线段或者图形延长, 取得新图形, 对问题进行证明

1. 已知D为三角形ABC底边BC的中点求证:AB+AC>2AD。

我们可以把将图形延长, 来实现这个证明方法。在四边形内添加延长型辅助线DE和BE

证明:延长AD至E, 使AD=DE, 把EB连接, 则2AD=AE

∵AD为△ABC的中线 (已知条件)

∴BD=CD (三角形中线定义)

在△ADC和△BDE中

∵CD=BD (已证明条件) ∠CDA=∠BDE (对顶角相等) ED=AD (辅助线作出)

∴△DAC≌△DEB (边角边定理)

∴EB=AC (全等三角形对应边相等)

∵在△ABE中有:BE+AB>AE (三角形两边之和大于第三边)

∴AB+AC>2AD。

2. 已知如图:D、E为△ABC内任意两点, 证明:AC+AB>BD+CE+DE.

我们可以将图形内部的线延长, 形成规则的新图形来证明这个问题, 方法有两种。

证明: (第一种方法)

将DE两边延长分别AB、AC和相交于点M、点N, 在△ANM中, AN+AM>MD+NE+DE;

(1) 在△BMD中, MD+MB>BD; (2) 在△CNE中, NE+CN>CE;

(3) 由 (1) + (2) + (3) 得:AM+MB+AN+MD+NE+CN>MD+NE+DE+CE+BD

∴AC+AB>BD+CE+DE

(第二种方法)

延长BD和AC交于F, 廷长CE和BF交于G, 在△AFB和△GCF和△GED中有:

AB+AF>BD+GF+DG (三角形两边之和大于第三边) (1)

GF+FC>GE+CE (同上) (2) 同上

DG+GE>DE (同上) (3)

由 (1) + (2) + (3) 得:

AB+GF+AF+FC+GE+DG>BD+DG+GE GF+DE+CE

∴AB+AC>BD+DE+EC。

三、平移型辅助线, 顾名思义, 就是把原有图形进行平移, 取得新图形, 对问题进行证明

1. 在直角梯形ABCD中, ∠A=90°, DC平行于AB, AB=16, AD=15, BC=17。求CD的长。

我们可以把一边进行平移, 解决这个问题。

解:过点D作DE平行于BC和AB交于点E。

∵AB平行于CD。

∴四边形BCDE是平行四边形。

∴DE=BC=17, CD=BE。

在△DAE中, 由勾股定理, 得出:

AE2=DE2-AD2, 即AE2=172-152=64。

∴AE=8。

∴BE=AB-AE

∴BE=16-8=8。

得出CD=8。

2. 如图, 梯形ABCD的上底AB等于3, 下底CD等于8, 腰AD等于4, 求腰BC的取值范围。

我们可以把一边进行平移, 解决这个问题。

解:过点B作AD的平行线BM和CD相交于点M,

在△BMC中, BM=DA=4,

CM=CD-DM=CD-AB=8-3=5,

∴BC的取值范围是:

5+4>BC>5+4, 即9>BC>1。

篇4：试论初中数学辅助线的应用方法

关键词：初中数学；辅助线；应用方法

一直以来，不论在哪一阶段，辅助线在数学解题中的地位都是至关重要的，在加上数学题目的变化往往都是灵活无穷的，因此，辅助线的添加方式也是灵活多样的。不论那一道几何题，图形与条件都是必不可少的两部分，而通过结合其图形、条件具有的特殊性巧妙的添加辅助线，不仅可以使得原本复杂、难懂的题目迎刃而解，也能够不断拓展学生解题思维，为其今后的学习、解题提供有力参考，不断提升学生解题效率。

一、辅助线在三角形中的科学运用

对于三角形中辅助线的添加来讲，主要是结合问题特点与需求来进行辅助线的科学运用。例如，在无法利用现有条件将三角形三边关系直接证明出来时，可以将其中一边延长，也可以通过将其两点连接来构成三角形，以此来得出其线段在一个或是多个三角形中的结论，然后再利用三角形三边的不等关系来进行证明；又如：在无法利用现有条件将三角形外角大于任何不与其相邻的内角这一定义直接证明出来时，就可以引导学生将某一边延长，或者是通过连接其中两点构成三角形，以此来让其小角位于其图形的内角，之后再证明出其大角处于其三角形的外角位置，在此基础上再运用相应外角定理来最终解答。此外，若题目中给出了平分线时，通常都是在其角的两边取相同的线段来构成全等三角形等。

上述只是总结了三角形辅助线比较常见的添加方式，但是对于数学辅助线的应用来讲，通常都是法无定法的，因此，要想将辅助线的积极作用充分发挥出来，并在解题中实现科学灵活运用，往往还是需要在实践解题练习中不断归纳与总结，不仅可以单独添加，也可以结合实际情况，进行恰当的组合运用，也只有这样在解答相应题目过程中才能够真正做到有的放矢，才能够引导学生真正掌握其运用规律与技巧，因此，出了总结、归纳外，其数学教师还应结合学生实际认知需求，积极为学生设计针对性较强的练习活动。

二、辅助线在圆形中的有效运用

对于圆形来讲，其添加辅助线的方法主要可以从以下几方面着手：

1.可以结合垂径平分的定理，过圆心做弦的垂线，在此基础上进行问题的解答。同时，也可以结合同圆、等圆中的圆周角、圆心角，以及弦、弧的互相转换关系，与圆上相关点进行连接来妥善解决其题目，为学生分析、解答相应题目提供全新思路。

2.若题目中给出了直徑的相关已知条件，通常情况下，都要结合“直径所对的圆周角是直角”这一定理来进行相关辅助线的添加，这样不仅可以保障准确性，也能够进一步拓展学生解题思路，促进其解题效率的不断提升。

3.若题目重给出了切线的相关已知条件时，一般都是进行过切点连接其半径或直径，充分考虑切线与其垂直的特点来进行问题的解析。或者是作过切点的弦，做好弦切角与圆心、圆周角之间关系的妥善处理与沟通，在此基础上更便捷的解答相应题目，这样不仅可以帮助学生巩固所学知识，也能够让其在此过程中积累到更多解题技巧与经验，激活其数学思维。

4.若题目中给出了两圆相切的已知条件，学生在解答时，教师应指导学会过切点作两圆的公切线，以此来更好的实现弦切角、圆周角间关系的沟通，拓展解题思路。也可以结合现有条件，作两圆的连心线，灵活利用其切点，在连心线上实现圆心距、两圆半径之间关系的有效沟通，通过其辅助线的巧妙添加，获得更便捷的解题方法。

5.在两圆处于相交状态时，对于这样的题目，教师可以指导学生作两圆的公共弦，并充分利用公共弦这一桥梁，更好的实现两圆圆周角、其他角之间关系的有效沟通，以此来为题目的证明提供更简便的思路，也进一步锻炼、提升学生实践探究解题能力。总之，圆形辅助线的添加方式有很多，为了使辅助线的积极作用能够在证明题目中充分发挥出来，教师应引导学生对题目现有条件、现有知识结构做出综合考虑，从而选择更适合、准确的辅助线添加方式，帮助学生积累更丰富的解题技巧与经验。

三、辅助线在平行四边形中的恰当运用

平行四边形主要包括正方形、菱形，以及矩形，这些图形的两组对边、对角等具有的性质都有一定的相似之处，所以，辅助线在这些图形中的添加方法一般都具有较大的相似性，往往都是为了实现线段的垂直与平行，在此基础上构成相应的全等、相似三角形。通常情况下，都是平移、连接图形对角线，或者是结合实际情况连接其中一边的中点与顶点等方式，从而将平行四边形巧妙转化成相应的矩形、三角形等图形，这样再分析解决其该题目则更加便捷。

例如，在解答下面这道题目时：已知AB与CD平行，BC平行于AD，证明，CD=AB。

在解答这道题目时，教师就可以通过添加辅助线AC来将图形分割成两个三角形进行证明。解答如下：

证明：连接AC。因为AB与CD平行，BC与AD平行，结合两直线平行、内错角相等的定理，所以∠1=∠2，∠3=∠4。在△ABC与△CDA中，因为∠1=∠2，∠4=∠3，CA=AC，所以根据角边角定理可以得出△ABC≌三角形CDA，在结合全等三角形的对应边相等定理可以得出AB=CD。通过指导学生将平行四边形分割成两个三角形，学生就可以轻松点运用三角形的相关知识来证明其对边相等，让其在此过程中掌握较为典型的辅助线添加方法，也更便捷的解答此题目。

四、结语

总之，初中数学教师在带领学生学习、解答几何问题过程中应充分认识到，积极应用辅助线，对拓展学生解题思维，提升授课效率等方面的重要性。在教学实践中，其教师应结合实际需求与条件，带领学生不断总结几何题中添加辅助线的规律，指导其做出一个较为系统的总结。在此基础上，不仅可以进一步拓展学生解题思维，也能够让其在总结、实践应用中积累更多解题技巧与方法。

参考文献：

[1] 李蓉.例谈全等三角形问题中常见的辅助线的作法[J].都市家教（下半月），2016，（2）：118-119.

[2] 周美丽.初中数学解题中辅助圆的应用探析[J].新课程·中学，2014，（8）：158-158，159.

篇5：初中几何常见辅助线作法口诀

三角形

图中有角平分线，可向两边作垂线。也可将图对折看，对称以后关系现。角平分线平行线，等腰三角形来添。角平分线加垂线，三线合一试试看。线段垂直平分线，常向两端把线连。要证线段倍与半，延长缩短可试验。三角形中两中点，连接则成中位线。三角形中有中线，中线加倍全等现。四边形

平行四边形出现，对称中心等分点。梯形里面作高线，平移一腰试试看。平行移动对角线，补成三角形常见。证相似，比线段，添线平行成习惯。

要作等角添个圆，证明题目少困难。

等积式子比例换，寻找线段很关键。

辅助线，是虚线，画图注意勿改变。

直接证明有困难，等量代换少麻烦。斜边上面作高线，比例中项一大片。

常见基本图形：8字形，平行8字形，平行等8字形，领子，射影，类射影 1．平行、平分、等腰，知二推一。2．中线加倍 3．补形

4．旋转、平移、轴对称

5．遇角分线截长补短或作双垂直，构成一对全等三角形。

6．遇两个等边三角形有公共顶点，用一长一短和长短间的夹角证全等 7．遇2倍角常变作等腰三角形顶角的外角

8．证线段的1/2时，常变作中位线，直角三角形斜边中线或30°Rt△ 9．等边三角形面积：

10．30°底角等腰三角形，腰是a，底是a，面积是

11．图中见120°角，想60°角；见15°角，想30°角；

12．梯形常用辅助线：延两腰，作双高，平行于一腰，平行于对角线。遇一腰中点，作平行等8字13．见直径，有直角

14．证切线，两方法：（1）连半径，证垂直；（2）作垂直，证半径 15．正多边形内切圆与外接圆对应线段比：面积比：

假如图形较分散，对称旋转去实验。圆

篇6：初中数学辅助线添加口诀

数学辅助线

人说几何很困难，难点就在辅助线。辅助线，如何添？把握定理和概念。还要刻苦加钻研，找出规律凭经验。图中有角平分线，可向两边作垂线。也可将图对折看，对称以后关系现。角平分线平行线，等腰三角形来添。角平分线加垂线，三线合一试试看。线段垂直平分线，常向两端把线连。要证线段倍与半，延长缩短可试验。三角形中两中点，连接则成中位线。三角形中有中线，延长中线等中线。平行四边形出现，对称中心等分点。梯形里面作高线，平移一腰试试看。平行移动对角线，补成三角形常见。证相似，比线段，添线平行成习惯。等积式子比例换，寻找线段很关键。直接证明有困难，等量代换少麻烦。斜边上面作高线，比例中项一大片。半径与弦长计算，弦心距来中间站。圆上若有一切线，切点圆心半径连。切线长度的计算，勾股定理最方便。要想证明是切线，半径垂线仔细辨。是直径，成半圆，想成直角径连弦。弧有中点圆心连，垂径定理要记全。圆周角边两条弦，直径和弦端点连。弦切角边切线弦，同弧对角等找完。要想作个外接圆，各边作出中垂线。还要作个内接圆，内角平分线梦圆如果遇到相交圆，不要忘作公共弦。内外相切的两圆，经过切点公切线。若是添上连心线，切点肯定在上面。要作等角添个圆，证明题目少困难。辅助线，是虚线，画图注意勿改变。假如图形较分散，对称旋转去实验。基本作图很关键，平时掌握要熟练。解题还要多心眼，经常总结方法显。切勿盲目乱添线，方法灵活应多变。分析综合方法选，困难再多也会减。虚心勤学加苦练，成绩上升成直线。几何证题难不难，关键常在辅助线；知中点、作中线，中线处长加倍看；底角倍半角分线，有时也作处长线；线段和差及倍分，延长截取证全等；公共角、公共边，隐含条件须挖掘；全等图形多变换，旋转平移加折叠；中位线、常相连，出现平行就好办；四边形、对角线，比例相似平行线；梯形问题好解决，平移腰、作高线；两腰处长义一点，亦可平移对角线；正余弦、正余切，有了直角就方便；特殊角、特殊边，作出垂线就解决；实际问题莫要慌，数学建模帮你忙；圆中问题也不难，下面我们慢慢谈；弦心距、要垂弦，遇到直径周角连；切点圆心紧相连，切线常把半径添；两圆相切公共线，两圆相交公共弦；切割线，连结弦，两圆三圆连心线；基本图形要熟练，复杂图形多分解；

以上规律属一般，灵活应用才方便。

篇7：初中数学几何做辅助线方法技巧

在平面几何中，解决与圆有关的问题时，常常需要添加辅助线的方法包括见弦作弦心距、见直径作圆周角、见切线作半径、两圆相切作公切线、两圆相交作公共弦等方法.

梯形中常用辅助线的添法

梯形是一种特殊的四边形.它是平行四边形、三角形知识的综合，通过添加适当的辅助线将梯形问题化归为平行四边形问题或三角形问题来解决.辅助线的添加成为问题解决的桥梁，梯形中常用到的辅助线有：(1)在梯形内部平移一腰;(2)梯形外平移一腰;(3)梯形内平移两腰;(4)延长两腰;(5)过梯形上底的两端点向下底作高;(6)平移对角线;(7)作中位线等.

3数学初中证明题技巧

读题要细心

有些学生一看到某一题前面部分有似曾相识的感觉，就直接写答案，这种还没有弄清楚题目讲的是什么意思，题目让你求证的是什么都不知道，这非常不可取，我们应该逐个条件的读，给的条件有什么用，在脑海中打个问号，再对应图形来对号入座，结论从什么地方入手去寻找，也在图中找到位置.?

要引申

难度大一点的题目往往把一些条件隐藏起来，所以我们要会引申，那么这里的引申就需要平时的积累，平时在课堂上学的基本知识点掌握牢固，平时训练的一些特殊图形要熟记，在审题与记的时候要想到由这些条件你还可以得到哪些结论，然后在图形旁边标注，虽然有些条件在证明时可能用不上，但是这样长期的积累，便于以后难题的学习.?

要记.

这里的记有两层意思.第一层意思是要标记，在读题的时候每个条件，你要在所给的图形中标记出来.如给出对边相等，就用边相等的符号来表示;第二层意思是要牢记，题目给出的条件不仅要标记，还要记在脑海中，做到不看题，就可以把题目复述出来.?

篇8：初中数学常见的辅助线

一、辅助线的作用

添加辅助线有以下作用: (1) 发掘图中的隐含条件:当题设条件与结论间的关系不明确时, 通过添加适当的辅助线, 将隐含的图形的有关性质充分展示出来, 充分利用其性质, 帮助结论的推导, 例如:利用等腰三角形的三线合一作辅助线; (2) 转移集中:通过添加适当的辅助线, 将图形中看上去不相关的边, 角等, 通过变换和转化, 把他们相对集中, 聚集到有关图形上来, 使这些条件与结论建立逻辑关系, 从而推导出要求的结论;例如:通过作中位线转化相关线段; (3) 化繁为简:当题设条件与结论之间的关系呈现在已知所给的图形中, 但具体关系不明确, 通过添置适当辅助线, 把图形分解成若干简单图形 (补成一个简单图形) , 从而达到化繁为简, 化难为易的目的;例如求不规则图形的面积; (4) 构造图形的作用。对一类几何证明, 要利用到某种图形, 这种图形没有出现在所给的图形中, 因此添置上这些图形, 利用其性质, 才能导出结论。例如构造直角三角形, 等边三角形。

二、有关旋转的问题

首先, 我们先来回顾下旋转有关的知识:

旋转是指图形绕一点 (旋转中心) 沿一定方向旋转一定的角度 (旋转角) 。性质: (1) 旋转前后图形全等; (2) 对应点与旋转中心所连线段间的夹角为旋转角, 旋转角相等。

我们主要利用旋转中全等三角形对应边, 对应角相等, 旋转角相等帮助我们添加辅助线解决一些几何问题。

三、例题展示

1. 如图1, 正方形ABCD的对角线AC与BD交与点O, 以正方形的边BC为斜边在正方形内作直角三角形BCE, ∠BEC=90°.若CE=3, BE=5, 则△OBE的面积是多少。 (2014年初二希望杯第20题)

分析:求三角形面积, 常规方法是利用面积公式:面积=底乘以底边上的高的一半。在△OBE中, 已知BE的长, 因此只要求出BE边上的高OM即可 (如图2) 。

分析1:这是一道填空题, 如果没有任何思路求OM的长, 有一种方法大家不陌生, 就是猜!如图2, (图形很精确) BE=5, CE=3, 利用直尺度量5所对应的厘米数, 再量出OM的厘米数, 估计出OM=1。所以S=1/2*5*1=2.5。

分析2: (添加辅助线)

思路:我们知道正方形既是轴对称图形, 也是中心对称图形, 因此在考虑添加辅助线时, 重点利用它这些对称性。由于△BCE是RT△ (解题突破口) , 绕点O旋转, 在旋转△BCE的同时, △OBE也在旋转。因此, 我们不妨过点A, 作AN⊥BE, 连接ON。 (如图2) △OBE旋转90°到△ONA。根据旋转的性质, 旋转角相等, 因此OE旋转到ON的旋转角也为90°, 显然△EOM是等腰RT△。而由BN=CE=3, 所以EN=BE—BN=5-3=2。易证OM=EN=1。以下是解答概要: (如图2)

反思:本题中, 求面积的边长有两种选择BO和BE, 因此还有一种思考的方向, 即求出BO边上的高。虽然我们可以把正方形的边长求出来, 进而BO可求, 但是要求BO边上的高似乎没有任何条件。

2. 如图3, 四边形ABCD中, ∠ABC=30°, ∠ADC=60°, AD=CD, 求证。

分析: (如图3) 要证明, 我们马上想到的就是勾股定理, 这就提示我们了证明的方向———构造△ (把AB, BC, BD放在同一个△) 并证明其是RT△。如何构造RT△, 这时题设条件就显得尤为重要了。由∠ADC=60°AD=CD这两个条件, 自然联想到等边△。因此以这个等边△为解题突破口, 问题迎刃而解。若直接连接AC, 不能把AB, BC, BD联系起来。所以我们需要构造其他的等边△。根据AD=CD, 可以把△BCD绕点D逆

时针旋转, 使得点C与点A重合, 这样就构造出一个等边△。

解题思路:△BCD旋转到△EAD, 旋转角∠BDE=∠C-DA=60°, BD=ED, 则△BDE是等边△。这样就把BC转换成AE, BD转换成BE, 因此我们就要证明△ABE为RT△即可。

证明概要:如图5, 把△BCD绕点D旋转, 使得点C与点A重合, 得到△EAD, 连接BE。依题意得, △BCD≌△EAD, ∠BDE=∠CDA=60°∴BD=ED, BC=EA, ∠CBD=∠AED

∴△BDE是等边△∴BD=BE, ∠DBE+∠BED=120°, 根据∠ABD+∠CBD=30°得到∠ABD+∠AED=30°, 因此∠ABE+∠AEB=120°-30°=90°∴再由BD=ED, BC=EA

∴。

反思:本题图形简单, 由结论想到了辅助线转移集中的作用, 再根据题设∠ADC=60°, AD=DC, 自然联想到等边三角形。我们可以尝试连接AC, 但是没办法把结论的三边转移到同一个直角三角形中, 以此作罢。

四、举一反三

通过上述例题的讲解, 读者对利用旋转作辅助线的方法大致理解了。下题请读者自行完成。

3.已知:AC垂直平分BD, ∠ADC=∠ABC=90°点E, F分别是AB, AD上的任意一点, 分别连接EF, CE, CF, 使得∠BCD=2∠ECF。求证:EF=DF+BE。 (图略)

摘要：辅助线是指在几何学中用来帮助解答疑难几何图形问题在原图基础之上另外所作的具有极大价值的直线或者线段, 辅助线的合理添加往往在解决中学几何图形问题中起到至关重要的作用, 让我们有一种“山穷水复疑无路, 柳暗花明又一村”的感受。

篇9：三角形全等中常见的辅助线

一、延长中线构造全等三角形

例1如图1，已知△ABC中，AD是△ABC的中线，AB=8，AC=6，求AD的取值范围．

提示：延长AD至A'，使A'D＝AD，连结BA'．根据“SAS”易证△A'BD≌△ACD，得AC＝A'B．这样将AC转移到△A'BA中，根据三角形三边关系定理可解．

二、引平行线构造全等三角形

例2如图2，已知△ABC中，AB＝AC，D在AB上，E是AC延长线上一点，且BD＝CE，DE与BC交于点F．求证：DF=EF．

提示：此题辅助线作法较多，如：

①作DG∥AE交BC于G；

②作EH∥BA交BC的延长线于H；

再通过证三角形全等得DF＝EF．

三、作连线构造等腰三角形

例3如图3，已知Rt△ACB中，∠C=90°，AC=BC，AD=AC，DE⊥AB，垂足为D，交BC于E．求证：BD=DE=CE．

提示：连结DC，证△ECD是等腰三角形．

四、利用翻折，构造全等三角形．

例4 如图4，已知△ABC中，∠B＝

2∠C，AD平分∠BAC交BC于D．求证：AC＝AB+BD．

提示：将△ADB沿AD翻折，使B点落在AC上点B'处，再证BD=B'D＝B'C，易得△ADB≌△ADB'，而△B'DC是等腰三角形，于是结论可证．

五、作三角形的中位线

例5如图5，已知四边形ABCD中，AB＝CD，E、F分别是BC、AD的中点，BA、CD的延长线分别交EF的延长线于点M、N．求证：∠BME＝∠CNE．

提示：连结AC并取中点O，再连结OE、OF．

则OE∥AB，OF∥CD，

故∠1＝∠BME，∠2＝∠CNE．

即∠BME＝∠CNE．

篇10：初中数学常见的辅助线

找全等三角形的方法：

（1）可以从结论出发，寻找要证明的相等的两条线段（或两个角）分别在哪两个可能全等的三角形中；

（2）可以从已知条件出发，看已知条件可以确定哪两个三角形全等；（3）可从条件和结论综合考虑，看它们能确定哪两个三角形全等；（4）若上述方法均不可行，可考虑添加辅助线，构造全等三角形。三角形中常见辅助线的作法：

①延长中线构造全等三角形；②利用翻折，构造全等三角形； ③引平行线构造全等三角形；④作连线构造等腰三角形。常见辅助线的作法有以下几种：

（1）遇到等腰三角形，可作底边上的高，利用“三线合一”的性质解题，思维模式是全等变换中的“对折”。

例1：如图，ΔABC是等腰直角三角形，∠BAC=90°，BD平分∠ABC交AC于点D，CE垂直于BD，交BD的延长线于点E。求证：BD=2CE。

思路分析：

1）题意分析：本题考查等腰三角形的三线合一定理的应用

2）解题思路：要求证BD=2CE，可用加倍法，延长短边，又因为有BD平分∠ABC的条件，可以和等腰三角形的三线合一定理结合起来。

解答过程：

证明：延长BA，CE交于点F，在ΔBEF和ΔBEC中，∵∠1=∠2，BE=BE，∠BEF=∠BEC=90°，∴ΔBEF≌ΔBEC，∴EF=EC，从而CF=2CE。又∠1+∠F=∠3+∠F=90°，故∠1=∠3。

在ΔABD和ΔACF中，∵∠1=∠3，AB=AC，∠BAD=∠CAF=90°，∴ΔABD≌ΔACF，∴BD=CF，∴BD=2CE。

解题后的思考：等腰三角形“三线合一”性质的逆命题在添加辅助线中的应用不但可以提高解题的能力，而且还加强了相关知识点和不同知识领域的联系，为同学们开拓了一个广阔的探索空间；并且在添加辅助线的过程中也蕴含着化归的数学思想，它是解决问题的关键。

（2）若遇到三角形的中线，可倍长中线，使延长线段与原中线长相等，构造全等三角形，利用的思维模式是全等变换中的“旋转”。

例2：如图，已知ΔABC中，AD是∠BAC的平分线，AD又是BC边上的中线。求证：ΔABC是等腰三角形。

思路分析：

1）题意分析：本题考查全等三角形常见辅助线的知识。

2）解题思路：在证明三角形的问题中特别要注意题目中出现的中点、中线、中位线等条件，一般这些条件都是解题的突破口，本题给出了AD又是BC边上的中线这一条件，而且要求证AB=AC，可倍长AD得全等三角形，从而问题得证。

解答过程：

证明：延长AD到E，使DE=AD，连接BE。又因为AD是BC边上的中线，∴BD=DC 又∠BDE=∠CDA ΔBED≌ΔCAD，故EB=AC，∠E=∠2，∵AD是∠BAC的平分线 ∴∠1=∠2，∴∠1=∠E，∴AB=EB，从而AB=AC，即ΔABC是等腰三角形。

解题后的思考：题目中如果出现了三角形的中线，常加倍延长此线段，再将端点连结，便可得到全等三角形。

（3）遇到角平分线，可以自角平分线上的某一点向角的两边作垂线，利用的思维模式是三角形全等变换中的“对折”，所考知识点常常是角平分线的性质定理或逆定理。

例3：已知，如图，AC平分∠BAD，CD=CB，AB>AD。求证：∠B+∠ADC=180°。

思路分析：

1）题意分析：本题考查角平分线定理的应用。

2）解题思路：因为AC是∠BAD的平分线，所以可过点C作∠BAD的两边的垂线，构造直角三角形，通过证明三角形全等解决问题。

解答过程：

证明：作CE⊥AB于E，CF⊥AD于F。∵AC平分∠BAD，∴CE=CF。

在Rt△CBE和Rt△CDF中，∵CE=CF，CB=CD，∴Rt△CBE≌Rt△CDF，∴∠B=∠CDF，∵∠CDF+∠ADC=180°，∴∠B+∠ADC=180°。解题后的思考：

①关于角平行线的问题，常用两种辅助线；

②见中点即联想到中位线。

（4）过图形上某一点作特定的平行线，构造全等三角形，利用的思维模式是全等变换中的“平移”或“翻转折叠”

例4：如图，ΔABC中，AB=AC，E是AB上一点，F是AC延长线上一点，连EF交BC于D，若EB=CF。求证：DE=DF。

思路分析：

1）题意分析：本题考查全等三角形常见辅助线的知识：作平行线。

2）解题思路：因为DE、DF所在的两个三角形ΔDEB与ΔDFC不可能全等，又知EB=CF，所以需通过添加辅助线进行相等线段的等量代换：过E作EG//CF，构造中心对称型全等三角形，再利用等腰三角形的性质，使问题得以解决。

解答过程：

证明：过E作EG//AC交BC于G，则∠EGB=∠ACB，又AB=AC，∴∠B=∠ACB，∴∠B=∠EGB，∴∠EGD=∠DCF，∴EB=EG=CF，∵∠EDB=∠CDF，∴ΔDGE≌ΔDCF，∴DE=DF。

解题后的思考：此题的辅助线还可以有以下几种作法：

例5：△ABC中，∠BAC=60°，∠C=40°，AP平分∠BAC交BC于P，BQ平分∠ABC交AC于Q，求证：AB+BP=BQ+AQ。

思路分析：

1）题意分析：本题考查全等三角形常见辅助线的知识：作平行线。

2）解题思路：本题要证明的是AB+BP=BQ+AQ。形势较为复杂，我们可以通过转化的思想把左式和右式分别转化为几条相等线段的和即可得证。可过O作BC的平行线。得△ADO≌△AQO。得到OD=OQ，AD=AQ，只要再证出BD=OD就可以了。

解答过程：

证明：如图（1），过O作OD∥BC交AB于D，∴∠ADO=∠ABC=180°－60°－40°=80°，又∵∠AQO=∠C+∠QBC=80°，∴∠ADO=∠AQO，又∵∠DAO=∠QAO，OA=AO，∴△ADO≌△AQO，∴OD=OQ，AD=AQ，又∵OD∥BP，∴∠PBO=∠DOB，又∵∠PBO=∠DBO，∴∠DBO=∠DOB，∴BD=OD，又∵∠BPA=∠C+∠PAC=70°，∠BOP=∠OBA+∠BAO=70°，∴∠BOP=∠BPO，∴BP=OB，∴AB+BP=AD+DB+BP=AQ+OQ+BO=AQ+BQ。

解题后的思考：（1）本题也可以在AB上截取AD=AQ，连OD，构造全等三角形，即“截长法”。（2）本题利用“平行法”的解法也较多，举例如下：

①如图（2），过O作OD∥BC交AC于D，则△ADO≌△ABO从而得以解决。

④如图（5），过P作PD∥BQ交AC于D，则△ABP≌△ADP从而得以解决。

小结：通过一题的多种辅助线添加方法，体会添加辅助线的目的在于构造全等三角形。而不同的添加方法实际是从不同途径来实现线段的转移的，体会构造的全等三角形在转移线段中的作用。从变换的观点可以看到，不论是作平行线还是倍长中线，实质都是对三角形作了一个以中点为旋转中心的旋转变换构造了全等三角形。

（5）截长法与补短法，具体作法是在某条线段上截取一条线段与特定线段相等，或是将某条线段延长，使之与特定线段相等，再利用三角形全等的有关性质加以说明。这种作法，适合于证明线段的和、差、倍、分等类的题目。

例6：如图甲，AD∥BC，点E在线段AB上，∠ADE=∠CDE，∠DCE=∠ECB。求证：CD=AD+BC。

思路分析：

1）题意分析：本题考查全等三角形常见辅助线的知识：截长法或补短法。2）解题思路：结论是CD=AD+BC，可考虑用“截长补短法”中的“截长”，即在CD上截取CF=CB，只要再证DF=DA即可，这就转化为证明两线段相等的问题，从而达到简化问题的目的。

解答过程：

证明：在CD上截取CF=BC，如图乙

∴△FCE≌△BCE（SAS），∴∠2=∠1。又∵AD∥BC，∴∠ADC+∠BCD=180°，∴∠DCE+∠CDE=90°，∴∠2+∠3=90°，∠1+∠4=90°，∴∠3=∠4。

在△FDE与△ADE中，∴△FDE≌△ADE（ASA），∴DF=DA，∵CD=DF+CF，∴CD=AD+BC。