分段函数教案免费下载

2024-07-26

分段函数教案免费下载（精选7篇）

篇1：分段函数教案免费下载

1.5分段函数与映射教案

      

一、知识与技能：

通过实例，让学生总结、体会分段函数的概念并了解分段函数在解决实际问题中的作用，培养学生数学来源于实际又服务于实践的意识或观念，增强学生运用所学知识解决实际问题的能力。经历映射概念的提出过程，体会由特殊到一般的思维方法，掌握映射的概念，会判断一个对应关系是否是映射。

体会用映射刻画函数的方法，理解函数是一种特殊的映射。

二、过程与方法：

自主学习，了解作图的基本要求。

探究与活动，明白作图是由点到线，由局部到全体的运动变化过程。会判断一个对应是不是映射。

重视基础知识的教学、基础技能的训练和能力的培养；启发学生能够发现问题和提出问题，善于独立思考，学会分析问题和创造性地解决问题；通过教师指导发现知识结论，培养学生的抽象概括能力和逻辑思维能力。

三、情感态度与价值观：

培养辩证地看待事物的观念和数形结合的思想。

使学生认识到事物间是有联系的，对应、映射是一种联系方式。

激发学生学习数学的兴趣和积极性，陶冶学生的情操，培养学生坚韧不拔的意志，实事求是的科学学习态度和勇于创新的精神。  

四、重点：分段函数及其表示，映射概念的理解。

五、难点：分段函数解析式的建立及图象的描绘，用映射来定义函数。

六、分段函数的定义：对于自变量x的不同取值范围，有着不同的对应法则，这样的函数通常叫做分段函数。

注意：

 分段函数是一个函数而不是几个函数，处理分段函数问题时，首先要确定自变量的数值属于哪个区间段，从而选取相应的对应法则。

 定义域是各段函数定义域的并集，值域是分段函数值域的并集。 求分段函数值时，应根据函数自变量的值选择相应的解析式求解。

 作分段函数的图象时，应分别分段作出其图象，在作每一段图象时，先不管定义域的限制，用虚线作出其图象，再用实线保留定义域内的一段图象即可。

七、例6：思考：

 自变量的范围是怎样得到的？

 自变量的范围为什么分成了四个区间？区间端点是怎样确定的？  每段上的函数解析式是怎样求出的？  画图象要注意什么？

八、函数是“两个非空数集间的一种确定的对应关系。”如果将数集扩展到任意的集合，会得到什么结论呢？什么是映射？

九、映射的定义：

十、设A,B是两个非空的集合，如果按某一个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个元素x。在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应，那么就称对应f:AB为从集合A到集合B的一个映射。

象与原象：

y是x在映射f作用下的象，记作f(x),x称做y的原象。

其中A叫做映射f的定义域，由所有象f(x)构成的集合叫做映射f的值域，通常记作f(A).十一、映射要注意什么？

 有三个要素：两个集合，一个对应关系，三者缺一不可。 A中每个元素在B中都有唯一的元素与它对应。 对应可以是“一对一，多对一，”但不能是“一对多”。

十二、练习：判断下列对应关系哪些是从集合A到集合B的映射哪些不是，为什么？

1．ABN*,对应关系f:xyx3

x0 x01,y0,1,对应关系f:x2．AR,B0,3．ABR,对应关系f:xyx x4．AZ,BQ,对应关系f:xy5．

十三：作业：课本第23页：第3题。第24页第8题。

A0,1,2,9,B0,1,4,9,64对应关系f:aba12

篇2：分段函数教案免费下载

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主题一函数

分段函数专篇

在新课标中，对分段函数的要求有了进一步的提高，在近几年的高考试题中，考察分段函数的题目频频出现，分段函数已经成为高考的必考内容。

一.分段函数的定义

在函数的定义域内，对于自变量x的不同取值区间，有着不同的对应法则，这样的函数通常叫做分段函数。

例：1.已知函数yf(x)的定义域为区间0,2，当x0,1时，对应法则为yx，当x1,2]时，对应法则为y2x，试用解析式法与图像法分别表示这个函数。

2.写出下列函数的解析表达式，并作出函数的图像：

（1）设函数yf(x)，当x0时，f(x)0；当x0时，f(x)

2（2）设函数yf(x)，当x1时，f(x)x1；当1x1时，f(x)0；当x1时，f(x)x

1-1RD辅导

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三、分段函数的应用

例：1.在某地投寄外埠平信，每封信不超过20g付邮资80分，超过20g不超过40g付邮资160分，超过40g不超过60g付邮资240分，依此类推，每封xg0x100的信应付多少分邮资（单位：分）？写出函数的表达式，作出函数的图像，并求出函数的值域。

2.某市的空调公共汽车的票价制定的规则是：

（1）乘坐5km以内，票价2元；

（2）乘坐5km以上，每增加5km，票价增加1元（不足5km的按5km计算）。

已知两个相邻的公共汽车站之间相距约1km，如果在某条路线上（包括起点站和终点站）设21个汽车站，请根据题意写出这条路线的票价与里程之间的函数解析式，并作出函数的图像。

3.如图所示，在边长为4的正方形ABCD上有一点P，沿着折线BCDA由B点（起点）向A点（终点）移动，设P点移动的路程为x，ABP的面积为yf(x)。（1）求y与x的函数关系式 D

C（2）作出函数的图像

5）y5x3）yx1

（（RD辅导

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2.把下列函数分区间表达，并作出函数的图像

（1）yx1x（2）y2x13x

x,1x0(3)f(x)x2,0x1

x,1x2

五、分段函数题型分类解析

1、求分段函数的函数值

2,x2例1：已知函数

f(x)0,2x2 2,x2f(3),f(2),f(1),f(1),f(100)。）RD辅导

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例2：设x，求函数y2x13x的最大值。

例3：解不等式2x1x2。

4、解与分段函数有关的方程或不等式

例1：已知f(x)x1,x0，则不等式x(x1)f(x1)1的解集是（x1,x0A、{x|1x21}

B、{x|x1}

C、{x|x21}

D、{x|21x21}

例2：设函数f(x)21x,x11log，则满足f(x)2的x的取值范围是（2x,x1A、[1,2]

B、[0,2]

C、[1,)

D、[0,)））RD辅导

篇3：高考新亮点——分段函数

笔者对近几年的高考试卷研究时, 看到有很多省、市都考查了分段函数.而分段函数在书本中只出现一个例题, 很多考生对它理解不深刻.现今对它的应用与考查作一归纳, 旨在探讨分段函数的应用与考查特点, 供高考复习参考.

一、迭代求值

要弄清自变量所在区间, 然后代入相应的关系式.

例1 已知函数

$f (x) = {\begin{cases} \sin π x (x ＜ 0) ‚ \\ f (x - 1) - 1 (x ＞ 0) ‚ \end{cases}$

则 $f (- \frac{11}{6}) + f (\frac{11}{6})$ 的值为__.

解析:因为 $\frac{11}{6} ＞ 0 ‚ - \frac{11}{6} ＜ 0$ ,

所以

二、画图象

在同一个坐标系内, 把各段关系式所对应的图象分别画出来即可.

例2 函数 y=e|lnx|-|x-1|的图象大致是 ( )

解析:函数的定义域为 (0, +∞) , 则

$y = {\begin{cases} e^{l n x} - (x - 1) = x - x + 1 = 1 ‚ x \geq 1 ‚ \\ e^{- l n x} - (1 - x) = \frac{1}{x} + x - 1 ‚ 0 ＜ x \leq 1 . \end{cases}$

分段画出, 故选 (D) .

三、求定义域与值域

因为函数的定义域是自变量的取值集合, 值域是因变量的取值集合, 所以, 分段函数的定义域即为每段上自变量取值范围的并集.值域为每段上因变量取值范围的并集.

例3 求函数

$y = {\begin{cases} - x + 4 ‚ x ＞ 2 ‚ \\ x + 3 ‚ 0 ＜ x \leq 1 ‚ \\ 2 x + 3 ‚ - 1 \leq x \leq 0 \end{cases}$

的定义域和值域.

解:当 x 的取值范围分别为 x>2, 0<x≤1, -1≤x≤0时, y 的取值范围分别为

y<2, 3<y≤4, 1≤y≤3.

故所求的定义域为[-1, 1]∪ (2, +∞],

值域为 (-∞, 2) ∪ (3, 4]∪[1, 3]=

(-∞, 4].

四、解不等式或方程

此类题要采取分类讨论的方法, 利用已知的分段函数, 把所求不等式或方程化为几个不等式或方程, 然后加以综合.

例2 设函数

$f (x) = {\begin{cases} 2^{- x} - 1 ‚ x \leq 0 ‚ \\ x^{\frac{1}{2}} ‚ x ＞ 0 . \end{cases}$

若 f (x0) >1, 则 x0 的取值范围为__.

解:当 x0≤0时,

f (x0) =2-x0-1>1,

所以 x0<-1;

当 x0>0时, 则 $x_{0}^{\frac{1}{2}} ＞ 1$ ,

所以 x0>1.

综上, 知 x0<-1或 x0>1.

例5 函数

$f (x) = {\begin{cases} \sin (π x^{2}) ‚ - 1 ＜ x ＜ 0 ‚ \\ e^{x - 1} ‚ x \geq 0 . \end{cases}$

若 f (1) +f (a) =2, 则 a 的值为__.

解:f (1) =e1-1=e0=1,

则 f (1) +f (a) =2,

即有 f (a) =1.

考虑到 a 的可能取值情况, 需分类讨论:

当-1<a<0时, 得 sinπa2=1, 则

$a = - \frac{\sqrt{2}}{2}$ ;

当 a≥0时, 得 ea-1=1, 则

a=1.

综上, a=1或 $- \frac{\sqrt{2}}{2} .$

五、求解析式

把不同范围的自变量所对应的关系式求出来, 再加以综合, 即得到所求解析式.

例6 已知奇函数 f (x) 的定义域为R, 且当 x>0时, f (x) =x2-2x+3, 求 f (x) 的解析式.

解:设 x<0, 则-x>0,

所以 f (-x) = (-x) 2-2 (-x) +3

=x2+2x+3.

因为 f (x) 是奇函数, 所以当 x<0时, 有-x>0, 那么

f (x) =-f (-x) =-x2-2x-3, 所以

$f (x) = {\begin{cases} x^{2} - 2 x + 3 ‚ x ＞ 0 ‚ \\ 0 ‚ x = 0 ‚ \\ - x^{2} - 2 x - 3 ‚ x ＜ 0 . \end{cases}$

六、求最值

求分段函数的最值, 有两种方法:①先分别求出每个区间上的最值, 然后比较大小;②先作出分段函数的图象, 然后观察即得.

例7 设函数 f (x) =x2+|x-2|-1, x∈R, 求 f (x) 的最小值.

解析:由 f (x) =x2+|x-2|-1, 得

$f (x) = {\begin{cases} x^{2} + x - 3 ‚ x \geq 2 ‚ \\ x^{2} - x + 1 ‚ x ＜ 2 . \end{cases}$

由于 f (x) 在[2, +∞) 内的最小值为 f (2) =3, 在 (-∞, 2) 内的最小值为 $f (\frac{1}{2}) = \frac{3}{4}$ , 故函数 f (x) 在 (-∞, +∞) 内的最小值为 $\frac{3}{4} .$

七、判断奇偶性

分段函数的奇偶性的判断与常规函数奇偶然性的判断一样, 主要根据定义.一般分两步进行:一、判断定义域是否是关于原点对称的.二、对定义域中任意一个实数 x, 判断 f (-x) 与 f (x) 的关系.对于分段函数还要注意在不同区间上函数解析式的不同.

例8 判断函数

$f (x) = {\begin{cases} x (1 - x) ‚ x ＜ 0 ‚ \\ x (1 + x) ‚ x ＞ 0 \end{cases}$

的奇偶性.

解:函数 f (x) 的定义域为 (-∞, 0) ∪ (0, +∞) , 关于原点对称.

当 x>0, 则-x<0, 所以

f (-x) = (-x) [1- (-x) ]

=-x (1+x) =-f (x) ;

当 x<0, 则-x>0, 所以

f (-x) = (-x) (1-x) =-f (x) .

可见恒有 f (-x) =-f (x) , 故函数 f (x) 为奇函数.

反思:讨论函数的奇偶性, 首先要检查函数定义域是否关于原点对称.分段函数的奇偶性要逐段讨论, 要特别注意定义域对解析式的限制.

八、求反函数

分段函数在其定义域内对不同的自变量, 有不同的函数值与之对应, 则该分段函数存在反函数.反函数的求法:分别求出各个分段区间上的反函数, 再加以综合, 就得到该分段函数的反函数, 其定义域为每段的值域.

例9函数的反函数为.

解析:求分段函数的反函数, 应分别求出各段的反函数, 再合成.故本题的答案为

$y = {\begin{cases} \frac{x}{2} ‚ x \geq 0 ‚ \\ - \sqrt{- x} ‚ x ＜ 0 . \end{cases}$

九、求参数

根据分段函数的自变量建立相关关系式, 然后加以处理, 从而得到结果.

例10 已知

$f (x) = {\begin{cases} (3 a - 1) x + 4 a ‚ x ＜ 1 ‚ \\ \log_{a} x ‚ x \geq 1 \end{cases}$

是R上的减函数, 那么 a 的取值范围为__.

解:因为当 x=1时, logax=0, 又因为 f (x) 为R上的减函数, 所以

${\begin{cases} 3 a - 1 ＜ 0 ‚ \\ 0 ＜ a ＜ 1 ‚ \\ 3 a - 1 + 4 a \geq 0 . \end{cases}$

解得 $\frac{1}{7} \leq a ＜ \frac{1}{3} .$

十、求单调区间

对于分段函数的单调性的判别, 要分段分区间找出函数的单调区间.在分界点左右两边单调性一致时, 还要根据分段点处的函数值及左右两区间的函数值的大小判断两区间是否可并为一个区间.

例11 求函数

$f (x) = {\begin{cases} (x + 1)^{2} ‚ x \leq 0 ‚ \\ x + 2 ‚ 0 ＜ x \leq 1 ‚ \\ - x + 5 ‚ x ＞ 1 \end{cases}$

的单调区间.

解:f (x) = (x+1) 2, x≤0在区间 (-∞, -1]上为减函数, 在[-1, 0]上为增函数.

f (x) =x+2, 0<x≤1在区间 (0, 1]上为增函数.

f (x) =-x+5, x>1在区间 (1, +∞) 上为减函数.

又因为在区间[-1, 0], (0, 1]上函数单调性一致, 且在分界点 x=0两侧, 右边函数值总比左边函数值大, 故在区间[-1, 0]∪ (0, 1]=[-1, 1]上函数单调性一致.

所以 (-∞, -1], (1, +∞) 是函数 f (x) 的单调递减区间, [-1, 1]是函数 f (x) 的单调递增区间.

十一、探求周期性

解决此类问题常用数形结合寻求其周期性, 不能盲目使用公式.

例12 设函数 f (x) =sin3x+|sin3x|, 则 f (x) 为 ( )

(A) 周期函数, 最小正周期为 $\frac{2 π}{3}$

(B) 周期函数, 最小正周期为 $\frac{π}{3}$

(D) 非周期函数

解析:将原函数写成分段函数

$f (x) = {\begin{cases} 2 \sin 3 x ‚ \sin 3 x ＞ 0 ‚ \\ 0 ‚ \sin 3 x \leq 0 . \end{cases}$

结合其图象 (图象略) , 可得其周期为 $\frac{2 π}{3}$ .选 (A) .

分段函数是一类重要的函数, 它能有效地考查函数的概念、符号及性质, 体现了分类讨论的数学思想, 是高考的重要内容, 我们对此应加以重视.

篇4：高考热点——分段函数

1.分段函数的定义

定义域分成若干区间，在各个区间内，函数的对应关系不同，这样的函数称为分段函数.

注意：分段函数表示的是一个函数，不是几个函数，也不是几个函数的组合，只不过它有多个对应关系.

2.分段函数的定义域及值域

依据函数定义域、值域的定义，分段函数的定义域应是所有自变量取值区间的并集，值域应是各段函数值取值区间的并集.最大（小）值就是每段函数值中最大（小）的那一个.

3.分段函数的图像

画分段函数的图像，应在各自定义域之下画出定义域所对应的解析式的图像.

考点1分段函数的求值

例1设f（x）是定义在R上的周期为2的函数，当x∈[-1，1]时，f（x）=-4x2+2，-1≤x<0，

x，0≤x<1，，则f（32）=.

答案：1

解析：f（32）=f（-12）=-4×14+2=1.

点评：本题考查了函数的周期性和分段函数的定义.解决分段函数的关键在于抓住自变量的范围和它对应的解析式.根据自变量的取值分别代入相应的函数解析式求值.

跟踪练习：定义在R上的函数

f（x）=log3（1-x）x≤0

f（x-1）-f（x-2）x>0，则f（2014）=.

答案：log32

解析：因为当x>0时，f（x）=f（x-1）-f（x-2），所以f（x+1）=f（x）-f（x-1），所以f（x+1）=-f（x-2），即f（x+3）=-f（x），所以函数的周期为6，故f（2014）=f（4）=-f（1）=-[f（0）-f（-1）]=-（log31-log32）=log32.

考点2利用分段函数求参数的取值范围

例2设函数f（x）=x2+x，x<0

-x2，x≥0，若f（f（a））≤2，则实数a的取值范围是.

答案：a≤2

解析：由题意知f（a）<0

f2（a）+f（a）≤2

或f（a）≥0

-f2（a）≤2，解得-2≤f（a）<0或f（a）≥0，因此，f（a）≥-2.

当a<0

a2+a≥-2或a≥0

-a2≥-2时，解得a≤2.

点评：本题考查了复合函数和分段函数的概念.根据自变量的取值范围的不同分别代入相应的函数解析式，列出不等关系式，求出参数的取值范围.

跟踪练习：

函数f（x）=-x+3a，x<0，

ax，x≥0，（a>0且a≠1）是R上的减函数，则a的取值范围是 .

答案：[13，1）

解析：据单调性定义，f（x）为减函数应满足：0

3a≥a0，即13≤a<1.

考点3分段函数的性质

例3已知函数f（x）=x2+1，x>0

cosx，x≤0，则下列结论正确的是（）

A. f（x）是偶函数

B. f（x）是增函数

C. f（x）是周期函数

D. f（x）的值域为[-1，+∞）

答案：D

解析：由于分段函数的左右两边的函数图像不关于y轴对称，所以A不正确，由于图像左边不单调，所以B不正确，由于图像x>0部分的图像没有周期性，所以C不正确，故选D.

点评：判断分段函数的单调性和奇偶性应遵循“分段判断，合并作答”的原则.

跟踪练习：判断函数f（x）=x2-x，（x>0）

x2+x，（x≤0）的奇偶性.

解析：

当x<0时，-x>0，f（-x）=（-x）2-（-x）=x2+x=f（x）；

当x>0时，-x<0，f（-x）=（-x）2+（-x）=x2-x=f（x）；又f（0）=0.

综上所述，在函数定义域内始终有f（-x）=f（x），

∴函数f（x）=x2-x，（x>0）

x2+x（x≤0）为偶函数.

考点4分段函数的图像问题

例4已知函数f（x）=2x（x<0），

log2x（x>0），若直线y=m与函数f（x）的图像有两个不同的交点，则实数m的取值范围是.

答案：（0，1）

解析：在坐标系中画出函数

f（x）=2x（x<0），

log2x（x>0），的图像，可见当0

点评：作出分段函数的各段图像，再观察分析.要特别注意x，y的变化范围.必须熟记基本函数的图像.

跟踪练习：已知函数f（x）=

ax2+2x+1，（-2

ax-3，（x>0）有3个零点，则实数a的取值范围是.

答案：（34，1）

解析：因为二次函数最多有两个零点，所以函数y=ax-3（x>0）必有一个零点，从而a>0，所以函数y=ax2+2x+1（-2

-2<-1a<0

f（-2）>0

f（0）>0

Δ=4-4a>0，解得34

考点5求分段函数的解析式

例5已知f（x）=x2-2x+3，将f（x）在[m，m+1]上的最小值记为g（m），试求g（m）的表达式.

分析：以函数f（x）的对称轴x=1与区间[m，m+1]的位置关系分三种情况讨论，g（m）的取值因区间的不同而不同，因此，它应是关于m的一个分段函数.

解析：当对称轴在区间左侧，即m>1时，函数f（x）=x2-2x+3在[m，m+1]上为增函数，g（m）=f（m）=m2-2m+3；

当对称轴在区间内时，即0≤m≤1时，g（m）=f（1）=2；

当对称轴在区间的右侧时，即m<0，函数f（x）=x2-2x+3在[m，m+1]上为减函数，g（m）=f（m+1）=m2+2.

综上所述，g（m）=m2+2（m<0），

2（0≤m≤1），

m2-2m+3（m>1）.

点评：求分段函数的解析式要遵循“先分（求）后总（求）”的原则.

跟踪练习：甲同学家到乙同学家的途中有一公园，甲从家到公园的距离与乙从家到公园的距离都是2km，甲10时出发前往乙家.如图所示，表示甲从家出发到达乙家为止经过的路程y（km）

与时间x（分钟）的关系，试写出y=f（x）的函数解析式.

解析：当x∈[0，30]时，设y=k1x+b1，

由已知得b1=0，

30k1+b1=2，解得k1=115，

b1=0，∴y=115x.

当x∈（30，40）时，y=2；

当x∈[40，60]时，设y=k2x+b2，

由已知得40k2+b2=2，

60k2+b2=4，解得k2=110，

b2=-2，

∴y=110x-2.

综上，f（x）=115x，x∈[0，30]，

2，x∈（30，40），

110x-2，x∈[40，60].

分段函数是函数的一种重要而特殊的表现形式，同学们要注意它和一般函数的区别和联系，在理解其本质的基础上准确地运用它.

分段函数是高中数学的热点，也是高考的重要考点，下面就分段函数的概念及热点题型进行解析.

1.分段函数的定义

定义域分成若干区间，在各个区间内，函数的对应关系不同，这样的函数称为分段函数.

注意：分段函数表示的是一个函数，不是几个函数，也不是几个函数的组合，只不过它有多个对应关系.

2.分段函数的定义域及值域

3.分段函数的图像

画分段函数的图像，应在各自定义域之下画出定义域所对应的解析式的图像.

考点1分段函数的求值

例1设f（x）是定义在R上的周期为2的函数，当x∈[-1，1]时，f（x）=-4x2+2，-1≤x<0，

x，0≤x<1，，则f（32）=.

答案：1

解析：f（32）=f（-12）=-4×14+2=1.

跟踪练习：定义在R上的函数

f（x）=log3（1-x）x≤0

f（x-1）-f（x-2）x>0，则f（2014）=.

答案：log32

考点2利用分段函数求参数的取值范围

例2设函数f（x）=x2+x，x<0

-x2，x≥0，若f（f（a））≤2，则实数a的取值范围是.

答案：a≤2

解析：由题意知f（a）<0

f2（a）+f（a）≤2

或f（a）≥0

-f2（a）≤2，解得-2≤f（a）<0或f（a）≥0，因此，f（a）≥-2.

当a<0

a2+a≥-2或a≥0

-a2≥-2时，解得a≤2.

点评：本题考查了复合函数和分段函数的概念.根据自变量的取值范围的不同分别代入相应的函数解析式，列出不等关系式，求出参数的取值范围.

跟踪练习：

函数f（x）=-x+3a，x<0，

ax，x≥0，（a>0且a≠1）是R上的减函数，则a的取值范围是 .

答案：[13，1）

解析：据单调性定义，f（x）为减函数应满足：0

3a≥a0，即13≤a<1.

考点3分段函数的性质

例3已知函数f（x）=x2+1，x>0

cosx，x≤0，则下列结论正确的是（）

A. f（x）是偶函数

B. f（x）是增函数

C. f（x）是周期函数

D. f（x）的值域为[-1，+∞）

答案：D

点评：判断分段函数的单调性和奇偶性应遵循“分段判断，合并作答”的原则.

跟踪练习：判断函数f（x）=x2-x，（x>0）

x2+x，（x≤0）的奇偶性.

解析：

当x<0时，-x>0，f（-x）=（-x）2-（-x）=x2+x=f（x）；

当x>0时，-x<0，f（-x）=（-x）2+（-x）=x2-x=f（x）；又f（0）=0.

综上所述，在函数定义域内始终有f（-x）=f（x），

∴函数f（x）=x2-x，（x>0）

x2+x（x≤0）为偶函数.

考点4分段函数的图像问题

例4已知函数f（x）=2x（x<0），

log2x（x>0），若直线y=m与函数f（x）的图像有两个不同的交点，则实数m的取值范围是.

答案：（0，1）

解析：在坐标系中画出函数

f（x）=2x（x<0），

log2x（x>0），的图像，可见当0

点评：作出分段函数的各段图像，再观察分析.要特别注意x，y的变化范围.必须熟记基本函数的图像.

跟踪练习：已知函数f（x）=

ax2+2x+1，（-2

ax-3，（x>0）有3个零点，则实数a的取值范围是.

答案：（34，1）

解析：因为二次函数最多有两个零点，所以函数y=ax-3（x>0）必有一个零点，从而a>0，所以函数y=ax2+2x+1（-2

-2<-1a<0

f（-2）>0

f（0）>0

Δ=4-4a>0，解得34

考点5求分段函数的解析式

例5已知f（x）=x2-2x+3，将f（x）在[m，m+1]上的最小值记为g（m），试求g（m）的表达式.

分析：以函数f（x）的对称轴x=1与区间[m，m+1]的位置关系分三种情况讨论，g（m）的取值因区间的不同而不同，因此，它应是关于m的一个分段函数.

解析：当对称轴在区间左侧，即m>1时，函数f（x）=x2-2x+3在[m，m+1]上为增函数，g（m）=f（m）=m2-2m+3；

当对称轴在区间内时，即0≤m≤1时，g（m）=f（1）=2；

当对称轴在区间的右侧时，即m<0，函数f（x）=x2-2x+3在[m，m+1]上为减函数，g（m）=f（m+1）=m2+2.

综上所述，g（m）=m2+2（m<0），

2（0≤m≤1），

m2-2m+3（m>1）.

点评：求分段函数的解析式要遵循“先分（求）后总（求）”的原则.

与时间x（分钟）的关系，试写出y=f（x）的函数解析式.

解析：当x∈[0，30]时，设y=k1x+b1，

由已知得b1=0，

30k1+b1=2，解得k1=115，

b1=0，∴y=115x.

当x∈（30，40）时，y=2；

当x∈[40，60]时，设y=k2x+b2，

由已知得40k2+b2=2，

60k2+b2=4，解得k2=110，

b2=-2，

∴y=110x-2.

综上，f（x）=115x，x∈[0，30]，

2，x∈（30，40），

110x-2，x∈[40，60].

分段函数是函数的一种重要而特殊的表现形式，同学们要注意它和一般函数的区别和联系，在理解其本质的基础上准确地运用它.

分段函数是高中数学的热点，也是高考的重要考点，下面就分段函数的概念及热点题型进行解析.

1.分段函数的定义

定义域分成若干区间，在各个区间内，函数的对应关系不同，这样的函数称为分段函数.

注意：分段函数表示的是一个函数，不是几个函数，也不是几个函数的组合，只不过它有多个对应关系.

2.分段函数的定义域及值域

3.分段函数的图像

画分段函数的图像，应在各自定义域之下画出定义域所对应的解析式的图像.

考点1分段函数的求值

例1设f（x）是定义在R上的周期为2的函数，当x∈[-1，1]时，f（x）=-4x2+2，-1≤x<0，

x，0≤x<1，，则f（32）=.

答案：1

解析：f（32）=f（-12）=-4×14+2=1.

跟踪练习：定义在R上的函数

f（x）=log3（1-x）x≤0

f（x-1）-f（x-2）x>0，则f（2014）=.

答案：log32

考点2利用分段函数求参数的取值范围

例2设函数f（x）=x2+x，x<0

-x2，x≥0，若f（f（a））≤2，则实数a的取值范围是.

答案：a≤2

解析：由题意知f（a）<0

f2（a）+f（a）≤2

或f（a）≥0

-f2（a）≤2，解得-2≤f（a）<0或f（a）≥0，因此，f（a）≥-2.

当a<0

a2+a≥-2或a≥0

-a2≥-2时，解得a≤2.

点评：本题考查了复合函数和分段函数的概念.根据自变量的取值范围的不同分别代入相应的函数解析式，列出不等关系式，求出参数的取值范围.

跟踪练习：

函数f（x）=-x+3a，x<0，

ax，x≥0，（a>0且a≠1）是R上的减函数，则a的取值范围是 .

答案：[13，1）

解析：据单调性定义，f（x）为减函数应满足：0

3a≥a0，即13≤a<1.

考点3分段函数的性质

例3已知函数f（x）=x2+1，x>0

cosx，x≤0，则下列结论正确的是（）

A. f（x）是偶函数

B. f（x）是增函数

C. f（x）是周期函数

D. f（x）的值域为[-1，+∞）

答案：D

点评：判断分段函数的单调性和奇偶性应遵循“分段判断，合并作答”的原则.

跟踪练习：判断函数f（x）=x2-x，（x>0）

x2+x，（x≤0）的奇偶性.

解析：

当x<0时，-x>0，f（-x）=（-x）2-（-x）=x2+x=f（x）；

当x>0时，-x<0，f（-x）=（-x）2+（-x）=x2-x=f（x）；又f（0）=0.

综上所述，在函数定义域内始终有f（-x）=f（x），

∴函数f（x）=x2-x，（x>0）

x2+x（x≤0）为偶函数.

考点4分段函数的图像问题

例4已知函数f（x）=2x（x<0），

log2x（x>0），若直线y=m与函数f（x）的图像有两个不同的交点，则实数m的取值范围是.

答案：（0，1）

解析：在坐标系中画出函数

f（x）=2x（x<0），

log2x（x>0），的图像，可见当0

点评：作出分段函数的各段图像，再观察分析.要特别注意x，y的变化范围.必须熟记基本函数的图像.

跟踪练习：已知函数f（x）=

ax2+2x+1，（-2

ax-3，（x>0）有3个零点，则实数a的取值范围是.

答案：（34，1）

解析：因为二次函数最多有两个零点，所以函数y=ax-3（x>0）必有一个零点，从而a>0，所以函数y=ax2+2x+1（-2

-2<-1a<0

f（-2）>0

f（0）>0

Δ=4-4a>0，解得34

考点5求分段函数的解析式

例5已知f（x）=x2-2x+3，将f（x）在[m，m+1]上的最小值记为g（m），试求g（m）的表达式.

分析：以函数f（x）的对称轴x=1与区间[m，m+1]的位置关系分三种情况讨论，g（m）的取值因区间的不同而不同，因此，它应是关于m的一个分段函数.

解析：当对称轴在区间左侧，即m>1时，函数f（x）=x2-2x+3在[m，m+1]上为增函数，g（m）=f（m）=m2-2m+3；

当对称轴在区间内时，即0≤m≤1时，g（m）=f（1）=2；

当对称轴在区间的右侧时，即m<0，函数f（x）=x2-2x+3在[m，m+1]上为减函数，g（m）=f（m+1）=m2+2.

综上所述，g（m）=m2+2（m<0），

2（0≤m≤1），

m2-2m+3（m>1）.

点评：求分段函数的解析式要遵循“先分（求）后总（求）”的原则.

与时间x（分钟）的关系，试写出y=f（x）的函数解析式.

解析：当x∈[0，30]时，设y=k1x+b1，

由已知得b1=0，

30k1+b1=2，解得k1=115，

b1=0，∴y=115x.

当x∈（30，40）时，y=2；

当x∈[40，60]时，设y=k2x+b2，

由已知得40k2+b2=2，

60k2+b2=4，解得k2=110，

b2=-2，

∴y=110x-2.

综上，f（x）=115x，x∈[0，30]，

2，x∈（30，40），

110x-2，x∈[40，60].

分段函数是函数的一种重要而特殊的表现形式，同学们要注意它和一般函数的区别和联系，在理解其本质的基础上准确地运用它.

篇5：分段函数的教学反思

本节课能基本完成教学任务。

教学目标基本实现，在教学引导、自学、归纳、探究以及数学思想方法等方面都进行了积极的构思设计，学生能够在教师指导下进行类比自学，大胆探索。教学实践与教学设计基本符合。

应用是最好的学习，每个数学知识都有它的应用价值，只有让学生真切地体会到生活中处处都有数学，才会有生活中处处用数学的可能．本节课我设计了“王师傅一家洛阳一日游”的活动，再精心设计了“旅游全程中的数学”问题，并且层层递进，注重知识的连贯性和章节衔接，学生通过身边鲜活生动、富有内涵的实例，感受到数学的价值．有效地激发了学生进一步探究的强烈愿望。

新课程理念强调“经历过程与获取结论同样重要”，而且我觉得有时过程比结论更重要。因此我让学生充分投入到获取知识的过程中去，在过程中激发学习兴趣和动机，展现思路和方法，学会学习；从过程中培养进取型人格，通过过程中的“成功感”来完善自我。给学生提供探索和交流的时空，鼓励学生大胆发表自己的见解与想法，充分调动学生的积极性，多一些启发，少一些限制，发展学生的创新能力，张扬学生的个性发展，并通过开展“互改互评”的活动，激发学生积极思考，引导学生自主探究与合作交流，让学生人人参与，在快乐中学习。

篇6：分段函数的实际应用说课稿（共）

一、说教材

《分段函数》人教版《数学》必修1，第一章，第2节的内容--分段函数。是一节应用性、实践性极强的课，既是初中“函数”知识的直接延伸，也是函数一般知识在生活中的具体运用，是解决生活中可转化为分段函数的数学问题，并将问题解决方式用来处理生产、生活实际问题的重要工具，因此具有广泛的应用价值。

知识与技能目标：通过丰富的生活实例，体会函数的变量关系，理解分段函数的概念；会建立分段函数的解析式。会求定义域和函数值；

二、说学生学情

三、说教学目标

根据新课标的理念和学生已有的认知结构确定本课确定本节课的教学目标为：

（1）知识与技能：让学生理解分段函数的含义，掌握用分段函数描述实际问题的方法。

（2）过程与方法：在教学过程中，将实际问题抽象为数学问题，通过探索、分析、解决，让学生学习到解决问题的一般方法。

（3）情感、态度与价值观：通过学习，让学生体验任务活动的探索过程，锻炼合理分析问题的意识，激发学习数学的兴趣，形成良好的合作学习态度。

本节课的教学重点是：分段函数概念理解；教学难点是：建立实际问题的分段函数关系

四、说教法学法

五、说教学过程

（1）创设情境，导入新知

本节课我先从复习函数的概念和函数的表示法的形式激发学生的学习兴趣和求职欲望，从而引出今天的新课。（2）发现问题，探索新知

通过多媒体展示例题，引导学生观察分析，逐步引出分段函数，归纳出分段函数的定义。在此过程中让学生理解什么是分段函数，如何求分段函数的定义域和值域，如何画分段函数的图像。通过课本上其它例题的学习让学生了解分段函数在现实生活中的应用，认识到我们所学的数学知识是与生活紧密相联系的。再进一步通过多媒体展示更深层次的练习题让学生思考，巩固加深了对分段函数的理解。认识到处理分段函数问题时，首先要确定自变量的数值属于哪个区间段从而选取相应的对应法则。

五、教学反思：

本节课的教学，力求体现“以学生发展为本”的教学理念。教学过程中，以任务驱动为载体，学生活动为主线，为学生提供了探究问题、分析问题、解决问题的活动空间。例题内容的安排上，注

意逐步推进，力求使教师的启发引导与学生的思维同步，顺应学生学习数学的过程，促进学生认知结构的发展。

以上是我对本课的简单陈述，希望得到各位专家的指正，谢谢！

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