复变函数求解下列方程

复变函数求解下列方程（通用2篇）

篇1：复变函数求解下列方程

求解联立方程组是工程计算的基本问题。正因为如此, 在传统结构力学中才提出了许多避免求解联立方程组的计算方法。例如, 在静定多跨梁内力分析中, 先计算附属部分, 再计算基本部分;在位移法中采用力矩分配法等[1]。

在Matlab中, 求解联立方程组可以采用左除函数“”及求解符号代数方程的函数solve。两者比较, 函数solve可以求解线性、非线性方程组和超越方程组等一般代数方程组。而且在求解线性方程组时, 不需要将方程组的系数矩阵和右端项列阵分离出来, 使用更加直接、方便。但是, 函数solve在某些情况下会产生解的输出顺序与指定的输出顺序不对应的问题[2]。为此, 本文采用字符串演算函数eval及动态结构数组加以改进, 建立了求解符号代数方程的函数SolEqu。作为示例, 使用函数SolEqu计算了非线性方程组及静定结构的反力和内力。

1 函数SolEqu的建立

1.1 函数Solve存在的问题

函数Solve的解向量可以按结构数组和向量两种数组输出。按结构数组输出时, 解的输出安全、可靠;但按向量输出时, 可能出现解的输出顺序与指定顺序不对应的问题。

例1 求方程组vx+uy+w=0、x+wy+v=0中关于x、y的解。

(1) 建立符号方程组

(2) 求解方程组

将求出的x、y代入方程组验证可知, 按结构数组输出及第一种按向量输出的解满足方程组。但第二种按向量输出的解不满足方程组。其原因是, 函数solve在求解时, 总是按字母排列解的顺序, 即x在前、y在后。因此, 一旦输出参数排列混乱就会导致错误结果。事实上, 第二种向量输出方式的解x、y刚好被调换。

1.2 函数SolEqu

为了解决上述问题, 本文在函数solve的基础上专门开发了求解代数方程组的函数SolEqu, 如函数清单表1所示。函数SolEqu的输入参数是未知数向量和方程组。其中未知数向量可以按任意顺序排列。方程组则采用结构数组存放, 调用格式简捷。输出参数是解向量 (线性方程组时) 或矩阵 (非线性方程组时) , 而结构数组表示的解则按“变长度”参数形式输出。在程序设计时, 函数SolEqu利用Matlab字符串演算函数eval自动实现求解过程。方程的解向量或解矩阵是从动态结构数组提取的, 因此避免了直接使用函数solve可能产生的混乱。函数SolEqu与solve的使用范围完全相同, 适用于求解一般代数方程组。

2 函数SolEqu的应用

2.1 非线性方程组计算

例2 求方程组ux+wy2=0、x+y+v=0中关于x、y的解。

(1) 建立符号方程组

(2) 求解方程组

%---按矩阵和结构数组输出解

(3) 计算结果

%---按矩阵输出

2.2 静定结构支座反力和内力联立计算例3 求图1三铰刚架的支座反力。

(1) 生成支座反力符号向量

(2) 建立平衡方程组

(3) 调用函数SolEqu求解平衡方程

(4) 计算结果

例4 求图1三铰刚架的内力。

(1) 定义支座反力和杆端内力向量, 隔离体见图2所示。

%---定义支座反力和杆端内力向量

syms FxA FyA FxB FyB FxC FyC FxD FyD MD

F=[FxA FyA FxB FyB FxC FyC FxD FyD MD];

(2) 建立平衡方程组

(3) 调用函数SolEqu求解平衡方程

%调用函数SolEqu求解方程组, 并化为双精度数

F=double (SolEqu (F, Equ) )

(4) 计算结果

(5) 讨论

如果本例P、q为符号量, 程序稍加改动, 计算结果如下:

本例在计算内力的同时一并计算支座反力, 而不必按传统结构力学的方法先计算支座反力。这种联立法适用于一般静定结构, 并可据此编写静定结构内力分析的一般程序。

3 结 论

本文针对Matlab求解符号代数方程的函数solve可能产生方程解输出混乱的问题, 采用字符串演算函数eval及动态结构数组加以改进, 建立了求解符号代数方程的函数SolEqu。理论分析和算例表明, 函数SolEqu不仅避免了直接使用solve可能导致的错误结果, 而且调用更加方便, 其使用范围也与函数solve完全相同, 可广泛用于一般代数方程的求解。

参考文献

[1]龙驭球, 包世华.结构力学 (Ⅰ、Ⅱ) [M].2版.北京:高等教育出版社, 2006.

篇2：复变函数与实变函数之异同

数学分析是高等院校数学专业的重要基础课,其主要研究对象是取值为实变量的实变函数.而复变函数是自变量为复数的函数,复变函数论是分析学的一个分支,故又称复分析,它是数学专业的后继课.复变函数论的主要研究对象是解析函数.学生在数学分析的基础上学习复变函数,如果能对二者间的内在联系深入探讨,那么有助于轻松掌握这些数学课程,减轻学习压力.通过学习,我们知道复变函数论中的许多内容都是数学分析中相关内容的延伸与拓展.例如函数的极限、连续性、可微性、洛必达法则、积分的概念及其性质、级数理论中的泰勒展开式等内容,在这儿不一一列举.本文就二者在初等函数方面的不一致给予对比,以加深学生对相关内容的学习与理解.

二、两者之间的差别

对任意的复数z=x+iy,复变数z的指数函数定义为w=ez=ex(cosy+isiny).若y=0,则w=ex,故实指数函数是复指数函数的特例.w=ex不是周期函数,但是w=ez是以2πi为周期的周期函数,即ez+2πi=ez.

三、小结

数域从实数域拓展到复数域后,我们在实分析中所学的极限、导数、积分、零点、基本初等函数、中值定理等知识也随着具有了不同的性质,也就是说它们在实数域中的性质不能一成不变地推广到复数域上来.本文就基本初等函数方面在实函数与复变函数中的不同点进行了分析和比较.通过比较我们可以发现新旧知识之间既存在着区别又有联系,只有通过比较分析才能够牢固地掌握新旧知识.因此在教学与学习的过程中,一定要关注二者的差异,这样才能将基础课与后继课紧密结合,达到事半功倍的效果.

摘要：本文主要从基本初等函数方面阐述了一元实变函数与单变量复变函数间的重大差异,由此巩固和理解基础课与后继课间的内在联系,达到事半功倍的效果.

关键词：实变函数,复变函数,基本初等函数

参考文献

[1]钟玉泉.复变函数论(第三版)[M].北京:高等教育出版社,2004.

[2]钟玉泉.复变函数学习指导书[M].北京:高等教育出版社,1998.

[3]同济大学数学系编.高等数学[M].北京:高等教育出版社,2006.

[4]刘玉莲.数学分析[M].北京:高等教育出版社,2001.